Kelompok 1 - KONGRUENSI FIX [PDF]

Citation preview

KONGRUENSI Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Yang dibina oleh Bapak Tjang Daniel Chandra, M.Si, Ph.D.



Disusun oleh: Marinda Rosita Sari



(200311867328)



Bagus Pudja Setiawan (200311858007) Putri Daiana



(200311858005)



Seva Akhidah Islami



(200311858011)



Kelas/ Offering B



UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA Oktober 2020



i



KATA PENGANTAR Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan inayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul Kongruensi. Terima kasih kami ucapkan kepada bapak dosen, Bapak Tjang Daniel Chandra, M.Si, Ph.D yang telah membantu kami baik secara moral maupun materi. Terima kasih juga kami ucapkan kepada teman-teman seperjuangan yang telah mendukung kami sehingga kami bisa menyelesaikan tugas ini tepat waktu. Kami menyadari, bahwa makalah kongruensi yang kami buat ini masih jauh dari kata sempurna baik segi penyusunan, bahasa, maupun penulisannya. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari semua pembaca guna menjadi acuan agar penulis bisa menjadi lebih baik lagi di masa mendatang. Semoga makalah ini bisa menambah wawasan para pembaca dan bisa bermanfaat untuk perkembangan dan peningkatan ilmu pengetahuan. Malang, 4 Oktober 2020



Penyusun



i



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR......................................................................................................I DAFTAR ISI...................................................................................................................II KONGRUENSI................................................................................................................1 1.1



PENGENALAN......................................................................................................1



1.2



BANGUN-BANGUN KONGRUEN...........................................................................3



1.3



CONTOH SOAL...................................................................................................15



1.4



LATIHAN SOAL..................................................................................................17



DAFTAR PUSTAKA....................................................................................................18



ii



KONGRUENSI 1.1



Pengenalan Pengetahuan yang di Asumsikan Jumlah sudut segitiga pada bidang adalah 180° segitiga siku-siku dengan sisi miring c, dan sisi a, dan b hubungan segitiga berlaku pada hubungan phytagoras c 2=a2+ b2.



Istilah garis digunakan untuk menggambarkan garis lurus. Dua garis lurus dapat tidak berpotongan, berpotongan di satu titik, atau berhimpit. Dua garis pada bidang yang tidak berpotongan pada titik manapun dikatakan paralel. Berikut ini adalah aksioma paralel. Diberikan sebuah garis l dan titik P yang terletak pada satu bidang, maka terdapat tepat satu garis yang melalui P dan pararel dengan garis l.



Aksioma merupakan suatu pernyataan yang dapat dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya pembuktian. Aksioma pararel biasanya disebut juga dengan Aksioma Playfair atau Playfair’s Axiom. Berikut ini adalah pernyataan yang mendekati bentuk asli dari postulat paralel. Diberikan dua garis yaitu m dan l. Garis m dan garis l memotong garis t membentuk ϕ dan θ disisi yang sama. Jika ϕ+θ 11. Jadi, panjang 4,11, dan 8 dapat membentuk suatu segitiga. Kongruensi sangat bermanfaat dalam hal pembuktian. Berikut ini adalah bukti bahwa kongruensi dapat digunakan untuk membuktikan dua teorema terkenal tentang segitiga sama kaki. Teorema 1.2.6 Teorema Segitiga Samakaki Jika dua sisi pada suatu segitiga kongruen, maka sudut-sudut di depan sisi tersebut kongruen Pembuktian Teorema Diketahui: △ ABC AB ≡ AC



Buktikan: ∠ B≡ ∠ C Bukti : Pandang kesesuaian antara segitiga dengan dirinya sendiri: △ ABC ↔ △ ACB. 1. 2.



Pernyataan AB≡ AC AC ≡ AB



Alasan Diketahui Sifat simetris kongruensi



3. ∠ A ≡∠ A 4. △ ABC ≡ △ ACB



Jika AB≡ AC maka AC ≡ AB Sifat refleksif kongruensi sudut Berdasarkan Langkah 1,2,3 dan Aksioma



5. ∠ B≡ ∠ C



S-Sd-S Bagian - bagian yang bersesuaian pada segitiga adalah kongruen



10



Teorema 1.2.7 Kebalikan Teorema Segitiga Samakaki Jika dua sudut pada suatu segitiga kongruen, maka sisi-sisi di depan sudut itu kongruen. Pembuktian Teorema Diketahui: △ PQR ∠ P ≡∠Q



Buktikan: PR ≡QR Bukti: Gambar garisSR, yaitu garis bagi dari sudut ∠ PRQ. Ingat bahwa garis bagi sudut adalah garis yang menghubungkan satu titik ke sisi di hadapannya dan memisahkan sudut tertentu menjadi dua sudut kongruen.



Pandang △ PRS dan △ QRS. 1. 2. 3. 4.



Pernyataan ∠ P ≡∠Q ∠ PRS≡ ∠QRS SR≡ SR △ PRS ≡ △ QRS



Alasan Diketahui Kontruksi garis bagi sudut Sifat refleksif kongruensi garis Berdasarkan Langkah 1,2,3



dan



Teorema Sd-Sd-S Bagian - bagian yang bersesuaian pada



5. PR ≡QR



11



segitiga adalah kongruen Teorema segitiga sama kaki dan kebalikannya memunculkan pertanyaan tentang bagaimana dengan sisi yang berkaitan dengan sudut yang tidak sama, berikut ini adalah teorema yang dapat menjawab pertanyaan tersebut.



Teorema 1.2.9 Teorema Ketaksamaan dalam Satu Segitiga Jika satu sisi segitiga lebih panjang dari sisi yang lain, maka sudut yang berlawanan dengan sisi yang lebih panjang akan lebih besar dari sudut yang berlawanan dengan sisi yang lebih pendek. Pembuktian Teorema Diketahui △ ABC AC > AB Buktikan: m∠ ABC >m ∠ ACB Bukti:



1. 2.



Pernyataan Alasan AC > AB Diketahui Gambar titik P pada sisi AC Teorema Penempatan Titik



sedemikian hingga AB= AP 3. △ ABP adalah segitiga samakaki Definisi segitiga samakaki 4. m∠ 1=m∠3 Karena △ ABP segitiga sama kaki, maka sudut - sudut alas segitiga △ ABPadalah kongruen ∠ 3 adalah sudut eksterior



5. m∠3=m ∠2+ m∠ ACB



dari



△ BCP . Berdasarkan Teorema Sudut



12



Eksterior, besar sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdampingan dengan 6. m∠1=m∠ 2+m ∠ ACB 7. m∠ ABC =m∠ 1+m∠ 2 8.



sudut tersebut. Subtitusi dari Langkah 4 Aksioma Penjumlahan Sudut Subtitusi dari Langkah 6



m∠ ABC =m∠ 2+m∠ ACB+ m∠ 2 9. m∠ ABC >m ∠ ACB



Definisi “lebih dari” (dari Langkah 8)



Teorema 1.2.10 Kebalikan Teorema Ketaksamaan dalam Satu Segitiga Jika satu sudut dalam segitiga lebih besar dari sudut lainnya dalam segitiga, maka sisi yang berlawanan dengan sudut yang lebih besar akan lebih panjang dari sisi yang berlawanan dengan sudut yang lebih kecil. Pembuktian Teorema Diketahui: △ ABC m∠ ABC >m ∠ ACB



Buktikan: AC > AB Bukti: Ada tiga kemungkinan untuk AC dan AB 1) AC= AB 2) AC < AB 3) AC > AB



13



Jika



AC= AB,



maka



△ ABC



adalah



segitiga



samakaki



dan



m∠ ABC =m∠ ACB. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui, sehingga kemungkinan (1) salah. Jika AC < AB, m∠ ABC AB, pastilah benar dan teorema terbukti.



1.3



Contoh Soal



1.



Buktikan segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR?



Pembahasan : ∠ ABC=180 ° – ( ∠BAC +∠ ACB ) ¿ 180 ° – (80 0+ 65 0)=180° – 145 °=35 ° Sehingga ∠ ACB=∠ PRQ=65 ° ∠ ABC=∠ PQR=35 ° Jika dua buah pasang sudut dalam segitiga sama maka sepasang sudut lainnya pasti sama, namun syarat di atas baru membuktikan bahwa kedua bangun segitiga tersebut sebangun dan belum tentu kongruen. Untuk membuktikan kedua bangun segitiga kongruen masih butuh satu syarat lagi yaitu 14



Panjang AC = panjang PR Jadi segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR dengan pembuktian sisi,sudut,sudut 2.



Perhatikan gambar di bawah ini!



Diketahui ∠ 1=∠ 2 , BC =DC Apakah △ ABC dan △ ADC memenuhi kriteria S-Sd-S? Pembahasan : Bukti 1. 2. 3. 4.



Pernyataan ∠ 1=∠2 BC=DC AC= AC △ ABC ≡ △ ADC



Alasan Diketahui Diketahui Sifat Refleksif Kongruensi Ruas Garis Aksioma S-Sd-S



3. Apakah untuk sembarang titik P pada ruas garis CDberjarak sama dari A dan B, maka PA ≡ PB?



Pembahasan : Harus dibuktikan segitiga △ PEA ≡ △ PEB agar diperoleh PA ≡ PB Bukti Pernyataan 1. CD adalah ruas garis membagi dua Diketahui garis AB dan tegak lurus dengan



15



Alasan



AB 2. m∠ PEA ≡ m∠ PEB



∠ PEA=90° dan ∠ PEB=90 °. Jadi m∠ PEA ≡∠ PEB akibat CD ⊥ AB



3. AE ≡ EB



Karena CD membagi garis AB sama



4. PE ≡ PE



panjang Sifat Refleksif Kongruensi Ruas Garis



5. △ PEA ≡ △ PEB 6. PA ≡ PB



Aksioma S-Sd-S Karena ∆ PEA ≡ ∆ PEB maka sisi-sisi yang bersesuaian kongruen



1.4



Latihan Soal



1.



Perhatikan kedua segitiga siku-siku di bawah ini!



Buktikan bahwa △ ABC ≡ △ PQR! 2. Perhatikan gambar berikut!



Diketahui : ∠ ABE ≡∠CBD ,∠ BDE ≡∠ BED, dan BD ≡ BE. Buktikan : △ DAB ≡ △ ECB !



16



DAFTAR PUSTAKA Alexander, D.C. and Koeberlein, G.M. 2015. Elementary Geometry for College Students Sixth Edition. United States of America: Cengage Learning. Susanah dan Hartono. 2012. Geometri. Surabaya: UNESA University Press. Leonard, I.E., Lewis, J.E., Liu, A.C.F, and Tokarsky, G.W. 2014. Classical Geometry, Euclidean, Transformational, Inversive, and Projective. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Leff, Lawrence S. 2009. E-Z geometry. Hauppauge, New York: Barron’s Educational Series, Inc.



17