Kesejajaran [PDF]

Citation preview

KESEJAJARAN Disusun untuk memenuhi tugas Mata kuliah : Geometri Dosen pengampu : Ciptianingsari Ayu Vitant S.Pd., M.Pd.



Oleh: Umi Rahma Wahidah (2420001) Miftakhul Khoiroh (2420002) Fenti Ismatu Rizki (2420003)



PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PESANTREN TINGGI DARUL ULUM JOMBANG TAHUN AKADEMIK 2020/2021



KATA PENGANTAR Puji syukur seraya kami ucapkan kepada Tuhan atas rahmat dan berkat-Nya kami dapat menyelesaikan tugas pembuatan makalah ini guna melengkapi tugas yang dibebankan oleh dosen pengampu kami. Di samping itu, kami juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penyelesaian makalah ini. Makalah ini berisi materi tentang Kesejajaran. Tujuan pembuatan makalah ini adalah untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Geometri. Di samping itu juga dapat bermanfaat untuk para pembaca guna mendapatkan wawasan dan pengetahuan. Dari hati yang terdalam kami mengutarakan permintaan maaf atas kekurangan makalah ini, karena kami tahu makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kami berharap kritik, saran dan masukan yang membangun dari pembaca guna penyempurnaannya ke depan. Akhir kata kami ucapkan terima kasih dan semoga makalah ini bermanfaat sesuai dengan fungsinya. Amin.



Jombang, 08 Maret 2021



Penulis



i



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR................................................................................................................. i DAFTAR ISI ..............................................................................................................................ii BAB I ......................................................................................................................................... 1 1.



LATAR BELAKANG..................................................................................................... 1



2.



RUMUSAN MASALAH ................................................................................................ 1



3.



TUJUAN ......................................................................................................................... 2



BAB II ........................................................................................................................................ 2 A. Syarat Perlu Untuk Kesejajaran ...................................................................................... 3 B. Sudut-sudut Sehadap ....................................................................................................... 8 C. Postulat Kesejajaran ...................................................................................................... 10 D. Kesejajaran dan Segitiga-segitiga ................................................................................. 11 E. Segiempat dalam Bidang ............................................................................................... 13 BAB III ..................................................................................................................................... 21 A. KESIMPULAN ............................................................................................................. 21 B. SARAN ............................................................................................................................ 21 Daftar Pustaka .......................................................................................................................... 22



ii



BAB I PENDAHULUAN



1. LATAR BELAKANG Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ ukuran bumi “. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Mempelajari geometri penting karena geometri telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dari serangkaian pernyataan tentang titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang, dan juga planar (proyeksi bidang) dan benda-benda padat. Geometri dimulai dari istilah-istilah yang tidak terdefinisikan, definisi-definisi, aksiomaaksioma, postulat-postulat dan selanjutnya teorema-teorema. Berdasarkan sejarah, geometri telah mempunyai banyak penerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah, pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lain sebagainya. Geometri adalah sistem pertama untuk memahami ide. Dalam geometri beberapa pernyataan sederhana diasumsikan, dan kemudian ditarik menjadi pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks. Sistem seperti ini disebut sistem deduktif. Geometri mengenalkan tentang ide konsekuensi deduktif dan logika yang dapat digunakan sepanjang hidup. Dalam mendefinisikan sebuah kata, pertama digunakan kata yang lebih sederhana kemudian kata yang lebih sederhana ini pada gilirannya didefinisikan menjadi kata yang lebih sederhana lagi, sehingga pada akhirnya, proses tersebut akan berakhir. Pada beberapa tingkatan, definisi harus menggunakan sebuah kata yang artinya sudah sangat jelas, ini dikarenakan agar artinya diterima tanpa memerlukan definisi lagi, dengan kata lain dapat disebut dengan istilah tak terdefinisikan (undefined term)



2. RUMUSAN MASALAH a) Apa Syarat yang perlu untuk kesejajaran? b) Bagaimana sudut-sudut sehadap itu ? c) Apa postulat kesejajaran? d) Bagaimana kesejajaran dan segitiga-segitiga itu? 1



e) Apa itu segiempat dan bidang?



3. TUJUAN a) Mendeskripsikan Syarat yang perlu untuk kesejajaran b) Mendeskripsikan sudut-sudut sehadap c) menjelaskan postulat kesejajaran d) mendeskripsikan kesejajaran dan segitiga-segitiga e) mendeskripsikan segiempat dan bidang



2



BAB II PEMBAHASAN



A. Syarat Perlu Untuk Kesejajaran Pada gambar berikut, garis a, b, dan c terletak pada bidang E. Garis b dan c berpotongan sebagaimana yang ditunjukkan; a dan b tidak berpotongan dan selanjutnya disebut sejajar. Garis d bersilangan dengan a, b dan c karena garis d tidak terletak pada bidang E dan tidak memotong ketiga garis tersebut.



Definisi 8.1 (kesejajaran) Dua garis disebut sejajar jika dan hanya jika kedua garis tersebut sebidang dan tidak berpotongan. Definisi 8.2 (Bersilangan) Dua garis disebut bersilangan jika dan hanya jika tidak sebidang. Simbol



yang



digunakan



untuk



⃡ ‖𝐶𝐷 ⃡ menunjukkan bahwa 𝐴𝐵



menunjukkan



⃡ sejajar dengan 𝐴𝐵



bahwa



dua



garis



sejajar



adalahǁ.



⃡ . Simbol yang digunakan untuk 𝐶𝐷



⃡ ∦ menunjukkan bahwa dua garis tidak sejajar adalah Jika AB dan CD berpotongan, maka 𝐴𝐵 ⃡𝐶𝐷 . Definisi 8.3 (berpotongan) Dua garis disebut berpotongan jika dan hanya jika kedua garis tersebut mempunyai tepat satu titik persekutuan. Teorema 8.1 Jika dua garis sejajar, maka garis-garis itu terletak tepat pada satu bidang. Diketahui: 𝑙 ‖ 𝑘 Buktikan: tepat ada satu bidang yang memuat 𝑙 𝑑𝑎𝑛 𝑘 .



3



Bukti: Jika 𝑙 dan 𝑘 sejajar, maka definisi garis-garis sejajar menjamin bahwa ada paling sedikit satu bidang memuat garis-garis. Membuktikan bahwa paling banyak satu bidang yang memuat dua garis, pandang 𝑙 dan sebarang titik 𝑃 pada 𝑘. Dengan Teorema 2.3, (diketahui garis dan titik di luar garis itu, maka ada tepat satu bidang memuat garis dan titik itu), 𝑙 dan 𝑃 menentukan tepat satu bidang. Karena sebarang bidang yang memuat l dan k akan juga memuat 𝑃, ketunggalan bidang yang memuat 𝑙 dan 𝑃 juga ketunggalan untuk 𝑙 dan 𝑘. Sinar-sinar dan segmen-segmen sejajar satu sama lain dan garis-garis yang memuatnya jika garis-garis itu sejajar. Pada gambar berikut, jika 𝑙 ‖ 𝑘, maka ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ‖ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 , 𝐵𝐴 ‖ 𝐶𝐷, 𝐶𝐷 ‖ 𝑙 dan seterusnya.



Teorema 8.2 Jika dua garis sebidang dan keduanya tegak lurus pada garis yang sama, maka garis-garis itu sejajar. Diketahui: 𝑙 ⏊ 𝑛, 𝑘 ⏊ 𝑛, 𝑙 dan 𝑘 sebidang. Buktikan: 𝑙 ‖ 𝑘 Bukti: Dengan menggunakan bukti tak langsung, andaikan 𝑙 dan 𝑘 berpotongan di titik 𝑃.



Asumsi ini kontradiksi dengan teorema bahwa melalui titik di luar garis yang diketahui ⃡ dan 𝐵𝑃 ⃡ hanya ada satu garis yang melalui titik itu dan tegak lurus garis tersebut, karena 𝐴𝑃



4



keduanya tegak lurus 𝑛. Oleh karena itu bertawar l dan k tidak berpotongan, dan berdasarkan definisi 𝑙 ‖ 𝑘 . Sekarang kita dapat membuktikan teorema eksistensi untuk garis sejajar. Teorema 8.3 Jika 𝑘 garis, dan 𝑃 di luar 𝑘, maka ada paling sedikit satu garis melalui 𝑃 sejajar 𝑘. Diketahui: Garis k, titik P di luar k Buktikan: ada garis 𝑙 melalui 𝑃 sedemikian hingga 𝑙 ‖ 𝑘. Bukti: Berdasarkan teorema bahwa melalui titik di luar garis yang dike tahui hanya ada satu garis yang melalui titik itu dan tegak lurus garis tersebut, andaikan 𝑛 garis melalui 𝑃 tegak lurus 𝑘. Berdasarkan teorema bahwa dalam bidang yang diketahui melalui titik pada garis ada tepat satu garis tegak lurus garis tersebut, andaikan 𝑙 garis sebidang dengan 𝑘 dan 𝑛, maka ada 𝑛 tegak lurus 𝑙 di 𝑃. Kemudian dengan teorema jika dua garis sebidang dan keduanya tegak lurus pada garis yang sama, maka garis-garis itu sejajar. Dengan perkataan lain 𝑙 ‖ 𝑘.



Dalam gambar 𝑛 yang memotong 𝑘 dan 𝑙 , disebut transversal. Definisi 8.4 (transversal) Sebuah garis disebut transversal pada dua garis yang sebidang jika dan hanya jika garis itu memotong ke dua garis tersebut di dua titik berbeda. Bila sebuah garis transversal memotong dua garis. maka terbentuk em pat sudut dalam.. Sudut-sudut dalam tak bersisihan yang terbentuk pada pihak-pihak yang berlainan dari transversal disebut sudut-sudut dalam berseberangan. Definisi 8.5 (sudut-sudut dalam bersebrangan) Misalkan garis 𝑥 suatu transversal garis 𝑦 dan 𝑧 dan memotong masing-masing di 𝑃 dan 𝑄. Misalkan A adalah titik pada 𝑦 dan B titik pada 𝑧 sedemikian hingga A dan B pada pihak-pihak yang berlainan dari 𝑙 . Maka ∠PQB dan 5



∠QPA adalah sudut-sudut dalam berseberangan yang dibentuk oleh transversal itu dengan y dan z.



Penerapan definisi pada gambar kita dapat melihat bahwa ∠1 dan ∠4 adalah sudut dalam berseberangan, begitu juga ∠2 dan ∠3. Teorema 8.4 Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal, dan jika sepasang sudut dalam bersebrangan adalah kongruen, maka pasangan sudut dalam bersebrangan yang lain juga kongruen. Teorema ini dapat dibuktikan menggunakan postulat suplemen. Diketahui: garis r dan s, transversal t, ∠1 ≅ ∠4 Buktikan:∠2 ≅ ∠3



Bukti : PERTANYAAN



ALASAN



1. ∠1 ≅ ∠4



Diketahui



6



2. ∠1 𝑑𝑎𝑛 ∠2



pasangan Pasangan Linear



linear, ∠3 𝑑𝑎𝑛 ∠4 pasangan linear 3. ∠1 suplemen ∠2



Postulat Pasangan Linear



∠3 suplemen ∠4 4. ∠2 ≅ ∠3



Suplemen sudut-sudut kongruen



Teorema 8.5 Jika dua garis dipotong oleh suatu transvesal, dan jika sepa sang sudut dalam bersebrangan kongruen, maka dua garis tersebut sejajar. Diketahui: garis a adalah transversal garis b dan c, membentuk sepasang sudut dalam bersebrangan kongruen. Buktikan: b || c Bukti: garis a memotong garis b dan c masing-masing di P dan Q membentuk satu pasang sudut dalam bersebrangan yang kongruen.



Misalkan b dan c berpotongan di titik R. Misalkan titik S pada b yang berlainan pihak dengan R dari a. ∠SPQ adalah sudut luar ∠POR dan ∠PQR adalah salah satu sudut dalam jauhnya. Berdasarkan Teorema sudut luar maka m∠SPQ > M∠PQR. Karena diketahui sepasang sudut dalam berseberangan kongruen maka kedua pasang sudut bersebrangan itu kongruen. Oleh karena itu, m∠SPQ = M∠PQR. Hal ini kontradiksi dengan definisi garis sejajar. Jadi haruslah b || c.



7



B. Sudut-sudut Sehadap Pada gambar di bawah ini, kita tahu bahwa transversal l memotong garis k dan n membentuk dua pasang sudut dalam bersebrangan;∠3 dan ∠6, dan ∠4 dan ∠5. sudut-sudut ini mempunyai sifat khusus, yaitu jika ∠3≅ ∠6, maka ∠4 ≅ ∠5 dan k || n. Hal yang sama dapat disimpulkan dari ∠4 ≅ ∠5.



Hubungan-hubungan sudut-sudut penting lainnya diperoleh ketika sebuah transversal memotong dua garis. Dalam pelajaran ini kita akan mem pelajari tentang sudut-sudut yang sehadap, sudut-sudut interior yang bersisihan dan eksterior pada sisi yang sama terhadap transversal. Definisi 8.6 (sudut-sudut sehadap ) Misalkan l adalah transversal dari k dan n yang memotong k dan n masing-masing di P dan Q. Misalkan A titik pada k, dan B titik pada n sedemikian hingga A dan B dalam pihak yang sama dari l. Misalkan C titik pada l sedemikian hingga C dan B berlainan pihak dari k. Maka ∠CPA dan ∠CQB adalah sudut-sudut yang sehadap dibentuk oleh transversal dua garis itu. Dalam gambar di bawah ini, ∠2 dan ∠6 adalah sudut-sudut sehadap. Sebutkan tiga pasang sudut-sudut sehadap yang dibentuk oleh transversal dengan dua garis lain.



Teorema 8.6 Jika dua garis dipotong transversal, dan jika sepasang sudut. sudut sehadap kongruen, maka tiga pasang sudut sehadap yang lain adalah kongruen. 8



Diketahui: Misal pada gambar di atas ∠2≅ ∠6 Buktikan: ∠4 ≅ ∠8, ∠1 ≅ ∠5, ∠3≅ ∠7 Bukti: PERTANYAAN



ALASAN



1. ∠2 ≅ ∠6



Diketahui



2. ∠3 suplemen ∠2



Postulat Suplemen



∠7 suplemen ∠6 3. ∠3 ≅ ∠7



Kongruensi pada suplemen sudut



4. ∠1 suplemen ∠2



Postulat Suplemen



∠5 suplemen ∠6 5. ∠1 ≅ ∠5



Kongruensi pada suplemen sudut



6. ∠4 suplemen ∠1



Postulat suplemen



∠8 suplemen ∠5 7. ∠4 ≅ ∠8



Kongruensi pada suplemen sudut



Teorema 8.7 Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal, sepasang sudutsudut sehadap kongruen, maka garis-garis tersebut adalah sejajar. Diketahui:∠2 ≅ ∠6



Buktikan: n || k Bukti:



9



PERNYATAAN



ALASAN



1. ∠2 ≅ ∠6



Diketahui



2. ∠4 ≅ ∠2



Sudut bertolak belakang



3. ∠4 ≅ ∠6



Sifat transitif



4. 𝑛 ∥ 𝑘



Teorema



kekongruenan



sudut



dalam



berseberangan



C. Postulat Kesejajaran Dalam dua pasal pertama bab ini, kita telah mempelajari bahwa kesejajaran merupakan akibat dari sudut dalam bersebrangan kekongruenan atau sudut-sudut bersesuaian. Seperti yang dapat kita duga, kebalikannya, juga betul tetapi kita tidak dapat membuktikannya kecuali jika kita menganggap bahwa ada tepat satu garis yang sejajar dengan suatu garis melalui suatu titik di luar garis itu. Postulat 16 (kesejajaran) Melalui titik di luar suatu garis paling banyak ada satu garis yang sejajar dengan garis itu. Teorema 8.8 Jika dua garis sejajar dipotong garis transversal, maka sudut dalam bersebrangannya adalah kongruen. Diketahui k dipotong transversal l masing-masing di P dan Q



Buktikan:∠1≅ ∠2



10



Bukti: Andaikan ∠1 ≇ ∠2. Sekarang misalkan t transversal dari k dan n melalui P sehingga sudut-sudut dalam bersembrangannya kongruen, sebagaimana diberikan oleh postulat kontruksi sudut. Dalam gambar ini :∠3 ≅ ∠2



Karena ∠1 ≇ ∠2., kita dapat menyimpulkan bahwa ∠1 ≇ ∠3 , sehingga t dan k bukan garis yang sama. Diketahui k || n dengan Teorema, 8.5 t || n, sehingga ada dua garis berbeda melalui P sejajar n. Hal ini kontradiksi dengan postulat kesejajaran. Jadi ∠1≅ ∠2



D. Kesejajaran dan Segitiga-segitiga Kita telah mempelajari bahwa sudut pada segitiga jumlah ukuran ketiga sudutnya adalah 180. Konsep ini mungkin kita terima berdasarkan intuisi atau eksperimen, karena buktinya membutuhkan pengetahuan tentang postulat kesejajaran. Sekarang kita akan membuktikan konsep dasar ini sebagai suatu teorema. Teorema 8.9 Jumlah ukuran ketiga sudut dalam segitiga adalah 180 Diketahui: ∆ABC, dengan ∠2, ∠4, 𝑑𝑎𝑛 ∠5



Buktikan m∠2+ m∠4+ m∠5=180 Bukti; 11



̅̅̅̅̅, bentuk ∠1 dan ∠3 sebagaimana Gunakan postulat 16, misalkan k garis melalui B sejajar 𝐴𝐶 ⃡ . Karenn 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ || 𝐵𝐷 ̅̅̅̅, A yang ditunjukkan. Misalkan D titik pada k sepihak dengan C pada 𝐴𝐵 berada pada pihak yang sama dengan C terhadap ⃡𝐵𝐷 . Selanjutnya berdasarkan definisi C interior ∠ ABD. Berdasarkan postulat penjumlahan sudut m ∠ ABD = m ∠ 2 + m ∠ 3. Berdasarkan postulat suplemen m∠1 + m∠ABD = 180. Selanjutnya m∠1 + m∠2 + m∠3 = 180. Berdasarkan Teorema jika dua garis sejajar dipotong transversal maka sudut dalam berseberangannya kongruen, sehingga m∠1 = m∠4 dan m∠3 = m∠5, karena sudut-sudut dalam berseberangan. Dengan substitusi diperoleh m∠2 + m∠4 + m∠5 = 180. Teorema 8.9 mempunyai tiga akibat. Akibat 8.1 Diketahui kesesuaian antara dua segitiga, jika dua pasang sudut sudut yang berkesesuaian kongruen, maka pasangan ketiga dari sudut-sudut yang bersesuaian adalah kongruen. Jadi, pada gambar di bawah, jika ∠𝐴 ≅ ∠𝐴′ 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐵 ≅ ∠𝐵′ , maka ∠𝐶 ≅ ∠𝐶 ′ . Seperti ditunjukkan pada gambar, akibat di atas berlaku tidak hanya pada segitiga-segitiga kongruen tetapi juga pada segitiga-segitiga tidak kongruen.



Akibat 8.2 Sudut-sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah berpenyiku. Akibat 8.3 Untuk sebarang segitiga, ukuran sudut eksterior sama dengan jumlah ukuran dua sudut interior jauhnya. Pada gambar di bawah ini, m∠1 = m∠3 + m∠4, dan m∠5 = m∠2 + m∠3. Jika sudut ekterior pada segitiga adalah lancip, apa yang Anda ketahui tentang sudut-sudut interior jauhnya.



12



E. Segiempat dalam Bidang Segiempat adalah bangun datar yang memiliki empat sisi yang berpotongan hanya di titiktitik ujungnya. Bila digunakan apa yang sudah kita pelajari hingga kini tentang segitiga dan garis-garis sejajar, kita dapat menemukan banyak sifat menarik tentang segiempat. Untuk itu, akan bermanfaat untuk inempelajari beberapa istilah khusus yang digunakan pada segiempat. Definisi 8.7 (sisi-sisi dan sudut-sudut berhadapan) Sisi-sisi berhadapan sebuah segiempat adalah dua sisi yang tidak berpotongan; sudut-sudut berhadapannya adalah dua sudut yang tidak memuat sisi sekutu. Definisi 8.8 (sisi-sisi dan sudut-sudut berdekatan) Sisi-sisi berdekatan sebuah segiempat adalah dua sisi yang memiliki titik sudut sekutu; sudut sudut berdekatannya adalah dua sudut yang memiliki sisi sekutu. Definisi 8.9 (diagonal segiempat) Diagonal segiempat adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak berdekatan.



̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ adalah sisi-sisi berhadapan, dan 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ dan Dalam setiap segiempat ABCD di atas, 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 adalah sisi-sisi berhadapan. Sisi-sisi berdekatan nya adalah ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 dan 𝐵𝐶 𝐶𝐷 , 13



̅̅̅̅̅dan 𝐷𝐴 ̅̅̅̅, atau 𝐷𝐴 ̅̅̅̅ dan 𝐴𝐵 ̅̅̅̅. Sudut-sudut berhadapannya adalah ∠A dan ∠C atau ∠B dan ∠D, 𝐶𝐷 sementara sudut-sudut berdekatannya adalah ∠A dan ∠B, ∠B dan ∠C, ∠C dan ∠D, atau ∠D ̅̅̅̅ dan 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ . dan ∠A. Diagonal-diagonalnya adalah 𝐴𝐶 Persis seperti segitiga yang dapat dikelompokkan menurut fitur khusus, segiempat dibedakan menurut hubungan di antara sisi-sisinya. Definisi 8.10 (trapesium, alas trapesium, jajargenjang ) Trapesium adalah segiempat yang tepat dua sisi berhadapannya sejajar. Sisi-sisi sejajar suatu trapesium itu disebut basis. Jajargenjang adalah segiempat yang kedua pasang sisi berhadapannya sejajar.



Cermati perbedaan antara dua bangun di atas. Bangun sebelah kiri, trapesium, memiliki dua sisi atau alas sejajar dan dua sisi tak sejajar. Bangun di sebelah kanan, jajargenjang, memiliki dua pasang sisi sejajar. Jajargenjang dan trapesium keduanya merupakan bangun yang berguna dalam geometri, tetapi teorema berikut secara khusus berkaitan dengan jajargenjang. Teorema 8.10 Setiap diagonal membagi jajargenjang nenjadi dua segitiga kongruen Teorema 8.11 Sisi-sisi berhadapan jajargenjang kongruen. Akibat 8.4 Jika 𝑙1 ∥ 𝑙2 dan jika P dan Q dua titik pada l, maka P dan Q berjarak sama ke 𝑙2 . Akibat 8.4 kadang-kadang diungkapkan sebagai "dua garis sejajar ber jarak sama di manamana. Teorema 8.12 Sudut-sudut berhadapan pada suatu jajargenjang kongruen. Teorema 8.13 Dua sudut berdekatan pada suatu jajargenjang saling berpelurus. Teorema 8.14 Diagonal-diagonal jajargenjang membagi dua sama panjang satu sama lain. Bila Teorema 8.10-8.14 diterapkan pada jejargenjang di bawah, kita dapat menyimpulkan hal ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ dan 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ; ∠𝐴𝐷𝐶 ≅ ∠𝐶𝐵𝐴 berikut: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐶𝐷𝐴 dan ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐶𝐷𝐵 ; 𝐴𝐵 14



dan ∠𝐷𝐴𝐵 ≅ ∠𝐷𝐶𝐵 ; ∠𝐷𝐴𝐵 dan ∠𝐴𝐵𝐶 , ∠𝐴𝐵𝐶 dan ∠𝐵𝐶𝐷 , ∠𝐵𝐶𝐷 dan ∠𝐶𝐷𝐴 , dan ∠𝐶𝐷𝐴 dan ∠𝐷𝐴𝐵 semuanya saling berpelurus; dan AE = EC dan DE = EB.



Jika sebuah segiempat jajargenjang, semua hubungan ini ada, tetapi apakah hubungan ini saja menentukan sebuah jajargenjang? Dengan kata lain, adakah kebalikan Teorema 8.10-8.14 yang benar? Tiga teorema berikut ini menjawab pertanyaan ini. Teorema 8.15 Jika kedua pasang sisi berhadapan sebuah segiempat kongruen, maka segiempat itu disebut jajargenjang. Teorema 8.16 Jika dua sisi sebuah segiemput sejajar dan kongruen, maka segiempat itu disebut jajargenjang. Teorema 8.17 Jika dua diagonal sebuah segiempat membagi dua satu sama lain, maka segiempat itu disebut jajargenjang. Apa yang telah kita pelajari tentang jajargenjang dalam teorema-teorema ini memberi kesempatan kita untuk membuktikan fakta menarik tentang semua segitiga. Hal ini diungkap dalam teorema dan berikut ini buktinya. Teorema 8.18 Ruas yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan berpanjang setengahnya.



15



̅̅̅̅ dan 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ Diketahui: ∆𝐴𝐵𝐶 dengan D dan E berturut-turut adalah titik tengah 𝐴𝐵 1



Buktikan: ̅̅̅̅ 𝐷𝐸 ∥ ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 dan 𝐷𝐸 = 2 𝐴𝐶 Bukti: PERNYATAAN



ALASAN



1. Misalkan F titik pada sinar yang Teorema penempatan titik berlawanan dengan 𝐸𝐷 dan 𝐸𝐹 = 𝐸𝐷 2. 𝐸𝐵 = 𝐸𝐶



Definisi titik tengah



3. ∠2 = ∠3



Dua ∠ bertolak belakang ≅ (Teo. 3.7)



4. ∆𝐸𝐹𝐶 ≅ ∆𝐸𝐷𝐵



S – Sd – S



5. ∠1 = ∠4



Bag. bers. 2 ∆ ≅ adalah ≅



6. ⃡𝐴𝐵 ≅ ⃡𝐶𝐹



Teorama 8.5



7. 𝐴𝐷 = 𝐷𝐵



Definisi titik tengah



8. ̅̅̅̅ 𝐷𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐹𝐶



Bag. bers. 2 ∆ ≅ adalah ≅



9. 𝐷𝐵 = 𝐹𝐶



Definisi dua ruas ≅



10. 𝐴𝐷 = 𝐹𝐶



Sifat transitif kesamaan



11. 𝐴𝐷𝐹𝐶 Jajargenjang



Teorema 8.16



̅̅̅̅ 12. ̅̅̅̅ 𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶



Definisi jajar genjang



1



13. 𝐷𝐸 = 2 𝐷𝐹



Langkah 1



14. 𝐷𝐹 = 𝐴𝐶



Teorema 8.11



1



Substitusi



15. 𝐷𝐸 = 2 𝐴𝐶



16



F. Contoh Soal 1. Garis AB sejajar dengan CD dan berpotongan dengan EF di titik P dan Q . BESAR EPB =5x derajat dan PQD = (2x + 27 ) . Tentukan nilai X Penyelesaian:



a. Nilai x



b. besar ∠ APQ



∠ EPB dan ∠ PQD merupakan sudut sehadap dan mempunyai sudut yang sama besar.



∠ APQ dan ∠ EPB merupakan sudut bertolak belakang yang mempunyai sudut sama besar.



∠ EPB = ∠ PQD



∠ APQ = ∠ EPB



5x = 2x + 27



∠ APQ = 5x



5x - 2x = 27



= 5 (9)°



3x = 27



= 45°



x = 27/3



Jadi besar ∠ APQ adalah 45°



x=9 Jadi nilai x adalah 9



17



2. Pada gambar dibawah diketahui mA1 = x + 30° dan mB3 = 3x + 10°. Tentukan nilai x !



Penyelesaian: A1 =  A3, Sudut yang bertolak belakang. Sedangkan  A3 =  B3 adalah sudut sehadap. x + 30° = 3x + 10° 2x



= 30° - 10°



x



= 20° : 2



x



= 10 °



3. Perhatikan gambar berikut:



Bila PS = 3 cm, SR = 6 cm dan TR = 8 cm, tentukan QR ! Penyelesaian: Kembangkan gambar menjadi seperti berikut :



Maka TR = WV dan QT = UW. Karena PR dan UV merupakan transversal dari tiga ruas garis sejajar RV, SW dan PU, berlaku perbandingan proporsional : 19



𝑈𝑊 𝑃𝑆 = 𝑊𝑉 𝑆𝑅 𝑈𝑊 3 𝑐𝑚 = 8 𝑐𝑚 6 𝑐𝑚 6 cm x UW = 8 cm x 3 cm UW =



24 𝑐𝑚 6 𝑐𝑚



= 4 cm Sehingga, QT = 4 cm dan QR = QT + TR = 4 cm + 8 cm = 12 cm Jadi, QR = 12 cm



20



BAB III PENUTUP



A. KESIMPULAN •



Dua garis disebut sejajar jika dan hanya jika kedua garis tersebut sebidang dan tidak berpotongan.



•



6 (sudut-sudut sehadap ) Misalkan l adalah transversal dari k dan n yang memotong k dan n masing-masing di P dan Q. Misalkan A titik pada k, dan B titik pada n sedemikian hingga A dan B dalam pihak yang sama dari l. Misalkan C titik pada l sedemikian hingga C dan B berlainan pihak dari k. Maka ∠CPA dan ∠CQB adalah sudut-sudut yang sehadap dibentuk oleh transversal dua garis itu.



•



Dalam dua pasal pertama bab ini, kita telah mempelajari bahwa kesejajaran merupakan akibat dari sudut dalam bersebrangan kekongruenan atau sudut-sudut bersesuaian. Seperti yang dapat kita duga, kebalikannya, juga betul tetapi kita tidak dapat membuktikannya kecuali jika kita menganggap bahwa ada tepat satu garis yang sejajar dengan suatu garis melalui suatu titik di luar garis itu.



•



Diketahui kesesuaian antara dua segitiga, jika dua pasang sudut sudut yang berkesesuaian kongruen, maka pasangan ketiga dari sudut-sudut yang bersesuaian adalah kongruen.



B. SARAN Alhamdulillah segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, atas rahmatnya dan hidayahnya yang telah memberikan kesempatan untuk kami sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini. Dan dengan kekurangan-kekurangan yang ada pada penulisan makalah, kami mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk penyusunan makalahmakalah selanjutnya.



21



Daftar Pustaka



Dr. Susanah, M.Pd, Drs. Hartono. 2014.Geometri. Surabaya: Unesa University Press-2004 Modul pengayaan matematika untuk SMA/MA kelas XII Semester 1. http://puputarfiani.blogspot.com/2016/03/tugas-matematika-3.html (diakses pada kamis 08 Maret 2021) https://brainly.co.id/tugas/14732988 (diakses pada kamis 08 Maret 2021)



22