Kinematika Dan Dinamika Teknik [PDF]

Citation preview

KINEMATIKA & DINAMIKA Terjemahan Bebas : ENGINEERING MECHANICS- DYNAMICS Thirteen Edition R.C. HIBBELER Alih Bahasa Fred Wenehenubun



TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS KATOLIK INDONESIA ATMA JAYA - JAKARTA



KINEMATIKA & DINAMIKA Terjemahan Bebas : ENGINEERING MECHANICS- DYNAMICS Thirteen Edition R.C. HIBBELER Alih Bahasa



Fred Wenehenubun



TEKNIK MESIN – FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS KATOLIK INDONESIA ATMA JAYA - JAKARTA



KINEMATIKA DAN DINAMIKA DAFTAR ISI BAB 1. KINEMATIKA PARTIKEL DAN BENDA TEGAR 1.1 Pengantar 1.2 Kinematika Partikel : Perpindahan Kecepatanm dan Percepatan 1.3 Kinematika Partikel : Gerak lurus dan Gerak lengkung 1.4 Kinematika Benda Tegar : Gerak Translasi, Gerak Umum BAB 2. KINETIKA PARTIKEL DAN BENDA TEGAR- PRINSIP NEWTON 2.1 Gerak Rectilinear 2.2 Gerak Curvilinear 2.3 Gerak Dependent 2.4 Gerak Translasi 2.5 Gerak Rotasi 2.6 Gerak Umum BAB 3 KONSEP KERJA DAN ENERGI PADA GERAK PARTIKEL DAN BENDA TEGAR 31. Prinsip Kerja dan Energi Partikel 3.1.1 Kerja Gaya : gaya luar, gaya berat, gaya pegas dan gaya gesek 3.1.2 Energi Kinetik dan Potensial 3.1.3 Konsep Gaya Konservatif dan Non-konservatif 3.2 Prinsip Kerja dan Energi pada Benda Tegar 3.2.1 Kerja Momen Kopel 3.2.2 Energi Kinetik : Tranlasi, Ritasi dan Gerak Umum BAB 4 KONSEP KEKEKALAN ENERGI PADA BENDA TEGAR 4.1 Hukum Kekekalan Energi 4.1.1 Konsep Kekekalan energi pada Benda Tegar BAB 5 KONSEP IMPULS DAN MOMENTUM 5.1 Impuls dan Momentum Partikel 5.1.1 Prinsp Impuls dan Momentum : Gerak Translasi dan Rotasi 5.1.2 Tumbukan Partikel segaris ( central impact) 5.1.3 Tumbukan Partikel dalam arah sudut ( oblique impact) 5.2 Implus dan Momentum Benda Tegar 5.2.1 Impuls dan momentum linear 5.2.2 Impuls dan momentum angular 5.2.3 Prinsip impulus dan momntum: translasi, rotasi dan gerak umum 5.2.4 Kekekalan Momentum BAB 6 BALANCING- PENERAPAN KINEMATIKA PARTIKEL 6.1 Keseimbangan massa berrotasi 6.1. Keseimbangan massa berrotasi dalam satu bidang 6.2 Keseimbangan massa berrotasi multi-bidang



BAB 7 KINEMATIKA MEKANISME SEDERHANA: SLIDER CRANK DAN FOUR-BAR LINKAGE 7.1 Mobilitas dan Diagran Kinematik 7.2 Analisis Posisi dan Perpindahan : Metode Grafis dan Metode Analisis 7.2.1 Mekanisme Slider-Crank 7.2.2 Mekanisme four-bar linkage 7.3 Analisis Kecepatan relatif, dan sesaat: Metode Grafis dan Metode Analisis 7.3.1 Mekanisme Slider-Crank 7.3.2 Mekanisme four-bar linkage 7.4 Analisis Percepatan relatif dan sesaat: Metode Grafis dan Metode Analisis 7.4.1 Mekanisme Slider-Crank 7.4.2 Mekanisme four-bar linkage 7.5 Analisis Percepatan Corriolis BAB 8 KINETIKA MEKANISME SEDERHANA SLIDER-CRANK DAN FOUR-BAR LONKAGE 8.1 Kinetika Mekanisme Slider crank 8.2 Kinetika Mekanisme Four-bar linkage



Bab 1



Kinematika Partikel



Tujuan Instruksional Khusus § § § § §



Memperkenalkan konsep posisi, perpindahan, kecepatan, dan percepatan Mempelajari gerakan partikel sepanjang suatu garis lurus dan menyampaikan gerakan ini secara grafik Mengamati gerak partikel sepanjang suatu lintasan lengkung menggunakan sistem koordinat berbeda Menyampaikan suatu analisis gerak saling bergantung dua partikel Menguji prinsip gerak relatif dua partikel dengan menggunakan sumbu-sumbu translasi.



1.1 Pengantar Ilmu Mekanika adalah cabang ilmu pengetahuan yang membahas keadaan diam atau bergerak benda-benda yang mengalami aksi kerja gaya-gaya. Ilmu mekanika rekayasa teknik terdiri dari : statika dan dinamika; STATIKA: Membahas keseimbangan benda yang diam atau bergerak dengan kecepatan konstan. DINAMIKA : Membahas gerak benda yang mengalami percepatan; Terbagi menjadi: 1.Kinematika membahas gerak geometri benda: posisi – perpindahan- kecepatan dan percepatan 2. Kinetik membahas analisis gaya yang menyebabkan gerak benda Dalam kuliah ini kita akan hanya bahas dinamika di dahului dengan dengan pembahasan dinamika partikel dan akan diikuti dengan pembahasan dinamika benda tegar dalam satu dan dua dimensi- sementara untuk tiga dimensi dianjurkan untuk belajar lebih mandiri. Prinsip dinamika pertama kali dikembangkan untuk manfaat pengukuran waktu yang tepat. Galilieo Galililei ( 1564 – 1642 ) adalah orang pertama yang mengamati dinamika dengan percobaan dengan ayunan sederhana dan benda jatuh.



Isaac Newton ( 1642 – 1727 ) adalah orang yang sangat berperan penting dalam pembahasan dinamika dengan tiga hukum dasar gerak dan hukummgravitasi universal. Euler, D’ Alembert, Lagrange dll : menggunakan rumusan Newton untuk mengembangkan teknik penerapan yang penting.



PENERAPAN PRINSIP DINAMIKA



Prinsip dinamika lebih banyak diterapkan dalam penyelsaian masalah rekayasa teknik seperti; 1. Rancangan struktur kendaraan : mobil dan pesawat terbang 2. Berbagai alat mekanik : motor, pompa, perlengapan bergerak,dan manipulator industri, dan mesin-mesin. 3. Perkiraan gerak : satelit, proyektil, kendaraan atau mesin terbang: stasiun luar angkasara,



PENYELESAIAN MASALAH:



Dinamika dianggap lebih dapat diandalkan dari statika, karena gaya pada benda dan geraknya yang harus diamati. Dalam berbagai penerapan, peran Kalkulus sangat penting lebih dari aljabar dan trigoniometri walaupun kedua bidang ini juga penting. Oleh karena itu pengetahuan logika matematika ( kalkulus) dan kecerdasan ruang sangat dibutuhkan dalam kuliah ini. Hal-hal kecerdasan ini adalah kemampuan yang sudah harus anda miliki sebelum mempelajari dinamika. Cara yang paling berhasil guna bila mempelajari dinamika adalag menyelesaikan atau mengerjakan soal-soal yang diberikan di dalam buku panduan. Agar dapat berhasil dalam hal ini, ikuti urutan langkah penyelesaian secara logika atau urutan langkah- langkah berikut: 1. Bacalah persoalan dengan saksama dan cobalah untuk menghubungkan situasi fisik soal sesungguhnya dengan teori-teori yang telah anda pelajari. 2. Gambarlah diagram bila perlu dan tabulasikan data masalah 3. Tetapkan sistem koordinat dan terapkan prinsip-prinsip yang bersesuaian, umumnya dala bentuk matetamika. 4. Selesaikan persamaan-persamaan yang dibutuhkan secara aljabar sejauh dapat dikerjakan; kemudian gunakan satuan yang tetap sama terus dan selesaikan jawabannya secara numerik. Laporkan jawabannya dengan jumlah digit bilangan yang tidak boleh lebih dari ketetapan data yang diberikan 5. Pelajari jawabannya dengan menggunakan technical judgement dan common sense untuk menentukan apakah dapat diterima atau tidak. 6. Setelah jawaban diperoleh, tinjaulah masalahnya, apakah ada cara lain untuk memperoleh jawaban yang sama.



1.2 KINEMATIKA GERAK LURUS [Rectilinear Kinematics]: Gerak terus menerus A. POSISI Partikel mulanya berada di titik O, posisi Po, dalam waktu t berpindah sejauh s ke Posisi P, sepanjang sumbu s , arahnya positif ke kanan. Posisi partikel adalah suatu besara vektor yang ditandai dengan tanda panah pada jarak s. Besarannya adalah skalar aljabar s . Gbr (a)



Po



P



B.PERPINDAHAN



Po



Perpindahan adalah perubahan posisi. Partikel dengan posisi awal Po, bergerak ke Posisi P1 sebagai posisi baru dan titik awal perpindahan. Disini jarak awal dari titik O adalah s. Dalam waktu dt berpindah ke posisi P2 sejauh s’ dari titik O, jarak perpindahan ditentukan sebagi: Gbr (b) Ds = s’ – s



P1



S’



P2



Ds’ P2’



Dalam hal ini Ds positif karena bergerak ke kanan dalam arah sumbu s dan s’ > s. Bila partikel bergerak ke kiri ke posisi titik P2’, Ds menjadi negatif karena s’ < s, sehingga : s’ – s = - Ds . Perpindahan sebuah partikel adalah suatu besaran vektor dan harus dibedakan dari jarak yang ditempuh oleh partikel itu. Jarak tempuh adalah besaran skalar positif yang dinyatakan oleh panjang keseluruhan yang dilalui partikel.



C. KECEPATAN



Jika partikel menempuh jarak Ds dalam waktu Dt, kecepatan rata-rata partikel; Gbr (c)



Jika Dt, ditentukan sangat–sangat kecil maka kecepatan merupakan kecepatan sesaat sebagai sebuah vektor yang dapat ditentukan dengan; atau (1)



Tanda untuk Dt dan/atau dt selalu positif, begitu juga untuk Ds dan ds. Kecepatan positif bila gerak ke kanan dan negatif bila ke kiri. Besaran dari velocity adalah speed dengan satuan m/s atau ft/s. Terkadang istilah Average Speed digunakan, yaitu suatu nilai skalar yang menyatakan jarak total yang ditempuh partikel yaitu ST dibagi waktu tempuh Dt.



Sebagai contoh, amati gambar, partikel bergerak sejauh ST dalam waktu Dt, maka keajuan rata-rata ; Tetapi kecepatan rata –rata; Gbr (d)



D. PERCEPATAN. Jika kecepatan sebuah partikel diketahui pada dua titik, masing masing dengan kecepatan v dan v’, kecepatan rata-rata partikel dalam waktu Dt dapat ditentukan ; Gbr (e) ! ! "!



∆!



a avg = # ! "# = ∆# Bila Dt dijadikan sangat-sangat kecil maka semakin kecil juga Dv sehingga disebut kecepatan sesaat, dengan demikian percepatan menjadi percepatan sesaat yang adalah vektor , atau dijadikan bentuk turunan: (2) Atau dalam besaran jarak s ditulis sebagai



Baik percepatan rata-rata maupun percepatan sesaat dapat saja positif atau negatif. Ketika kecepatan partikel berkuarang dikatakan partikel mengalami perlambatan, maka v’ menjadi lebih kecil dari v dan v’ – v = - Dv sehingga percepatan a juga negatif. Gbr.(f). Arah perecepatan berlawanan degan arah kecepatan ke kiri. Bila kecepatan partikel konstan, maka v’ – v = 0 dan a = 0 . Satuan percepatan adalah m/s2 atau ft/s2. Persamaan kinematika untuk kecepatan dan percepatan partikel pada persamaa (1) dan (2), digunakan untuk menentukkan hubungan diferensil penting yang melibatkan perpindfahan, kecepatan dan percepatan partikel, sebagai rumus ketiga koinematika. 1. Persamaan kecepatan (1) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 v = 𝑑𝑡 , dari sini dt = 𝑣 (i) 2. Persamaan percepatan (2) 𝑑𝑣 𝑑𝑣 a = 𝑑𝑡 , dari sini dt = 𝑎 (ii) dimana dt adalah nilai waktu yang sama 𝑑𝑠 𝑑𝑣 = 𝑎 atau 𝑣 ads = v dv (3) Persamaan ini adalah persamaan kinematika ke tiga dan persamaan ini tidak terlepas dari persamaan pertama, kecepatan, dan kedua, percepatan.



PERCEPATAN KONSTAN Bila percepatan konstan,a = ac, ketiga persamaa kinematika dapat diintegrasikan untuk memperoleh hubungan antara ac, v, s dan t; (i). ac = dv/dt (ii). v = ds/dt (iii). ac ds = v dv



Kecepatan sebagai fungsi waktu.



Integrasikan ac = dv/dt, dengan kondisi awal v = vo dan t = o



Posisi sebagai fungsi waktu.



Integrasikan v = ds/dt, dan dari persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu, v = vo + act, dengan kondisi awal , s = so , t = 0 vo + act = Atau



$% $&



ds = (vo + act ) dt



Kecepatan sebagai fungsi posisi



Dapat diperoleh dari penentuan t dari v = vo + act dan masukkan ke s = so + vo.t + ½ act2 dan/atau integrasi ac ds = vdv (i).



Penentuan dari v = vo + ac t ! #!$ t = %! (ii). Persamaan



s = so + vo.t + ½ ac t2 = so + vo = so + vo = so +



! "!+ ,!



! #!$ %"



!!$ #!$ # %"



+ ½ ac



! "!+ -



+ ½ ac +



,!



! & #& ! !$ ' !$ # % '&



! & #& ! !$ ' !$ # &%(



s



= so + = so +



atau



(!!$ #(!$" (%) ! $#!$" (%)



+



! $ #( ! !$ * !$" (%)



= so +



(!!$ #(!$" * (! $ #( ! !$ * !$") (%)



! $#!$"



s – so = (%) \\ 2 ac ( s – so ) = v2 – vo2,,, sehingga v2 = vo2 + 2ac( s – so )



(iii). Integrasi acds = v dv , kondis awal v = vo dan s = so !



*



∫!$ 𝑣 𝑑𝑣 = ∫*$ 𝑎𝑐 𝑑𝑠 ! & # !-& &



= ac ( s – so)



v2 - vo2 = 2 ac ( s – so) v2 = vo2 + 2ac ( s – so) Kedua cara ini menghasilkan rumusan yang sama.



Tanda aljabar pada so, vo, dan ac pada ketiga persamaan di atas ditentukan berdasarkan arah sumbu s yang ditandai dengan tanda panah di sebelah kiri pada setiap persamaan itu. Ingat bahwa persamaan-persamaan ini hanya boleh digunakan apabila percepatan konstan dan bila kondisi awal t = 0, s = so dan v = vo, Sebuah contoh tentu gerak percepatan konstan terjadi bila sebuah benda jatuh bebas menuju permukaan bumi. Jika tahanan udara diabaikan dan jarak jatuh pendek, maka percepatan ke bawah beda ketika dekat bumi konstan dan diperkirakan 9.81 m/s2 atau 32.2 ft/s2. Contoh soal jatuh bebas diberikan pada Contoh 13.2 kemudian .



CheckPoint.1



Cermatilah jawaban ini dan lengkapilah bila ada langkahlangkah yang dilewati



Selesaikan persamaan ini dengan t = 4s, tentukan akar positifnya



Pada penyelesaian ini, logika matematika tidak sepenuhnya ditampilkan. Selesaian mandiri



Di sini muncul 2/08 , ada Langkah yang dilewati. Amatilah dan tulislah bila ditanya untuk pemahaman.



Di sini muncul - 1/60 mengapa . Amatilah dan tulislah Langkah-Langkah yang terlewati bila ada



12.3 Kinematika Rectilinear : Gerak Berubah-ubah Bila sebuah partikel memiliki gerak eratik atau gerak berubah-ubah, maka posisi, kecepatan dan percepatan tidak dapat diuraikan dengan suatu fungsi matematika kontinue tunggal sepanjang lintasannya. Sebagai gantinya suatu rangkaian fungsi dibutuhkan untuk menjelaskan gerak pada interval- interval berbeda sepanjang lintasannya. Karena alasan ini, maka gerak partilkel dinyatakan dalam bentuk grafik. Jika grafik yang menghubungkan dua dari variabel s, v, a, t dapat digambarkan maka grafik tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan grafik hubungan dua variabel lainnyam karena semua variabel berhubungan secara hubungan deiferensial antara lain: v = ds/dt, a = dv/dt dan ads = vdv



Grafik-grafik s – t, v – t dan a – t A. Menggambarkan Grafik v – t dengan mengetahui grafik s – t. Perhatikan Gbr.12.7a, hubungan yang digunakan adalah v = ds/dt. Pada tiap saat t0, t1, t2, t3, dstnya, ditentukan kemiringan (garis merah) grafik s = f(t) untuk menentukan nilai masing-masing vo, v1, v2, v3, dstnya, sebagai vi = dsi/dti.



Slope =



𝑟𝑖𝑠𝑒 𝑟𝑢𝑛



Bila kita mengukur kemiringan pada setiap titik ( s,t), Gbr 12.7a



Waktu



to



t1



t2



t3



Jarak



So



s1



s2



s3



V0 = ds0/dt0



V1 = ds1/dt1



V2= ds2/dt2



V3 = ds3/dt3



V= ds/dt



Sebagai contoh, pengukuran kemiringan grafik s – t bila t = t1, kecepatan v1. Gbr 12.7b dimana semua nilai v ( v0.v1,v2,v3 ) diplot. Ketika m = ds/dt = 0 maka grafik v akan memotong sumbu- t. Pada titik dimana tidak ada kenaikan atau perubahan kecepatan dan kecepatan dapat saja berkurang. Kemiringan atau slope dapat juga diamati terhadap suatu interval dengan metode dua titik, yakni kemiringan linear untuk dua titik berdekatan dengan beda waktu satuan atau sangat kecil.



Sebagai contoh, interval t1 dan t2 dengan koordinat ( s1,t1 ) dan (s2,t2) maka rumus kemiringan : . "." # "#" = .# "." ## "#" Maka persamaan linear kemiringan s = f(t) dapat diturunkan dengan mudah bila t1, t2,s1,dan s2 diketahui dari grafik. Kemiringan dalam interval dapat juga diukur , mis. Gbe 12.7b



Interval Posisi +,*-



Slope, m = +./



( to – t1 )



( t1 , t2)



(t2,t3)



s0 < s1



s1< s2



s2> s3



*0 #*1



m = 20 #21



*& #*0



*3#*&



m = 2& #20



m = 23 #2&



Slope m positif bila arah kemiringan naik, m negatif bila arah kemiringan turun, GBr 12.7a. Slope m = 0 bila arak grafik horizontal. Beda waktu harus seecil mungkin. Gbr 12.7b.



B. Menggambarkan Grafik a – t dengan mengetahui grafik v – t. Perhatikan Gbr. 12.8 m hubungan yang digunakan adalah a = dv/dt



Contoh pengukuran pada GBr.12.8a dan di plot pada Gbr.12.8b.



Catatan



: Gbr. 12.7 dan Gbr.12.8 tidak berhubungan. Hanya sebagai ilustrasi fenomena gerak partikel pada posisi, kecepatan dan percepatan. Paga grafik v – t, kemiringan tiap titik ( v,t) dapat diukur . Gbr.12.8a Waktu



To



T1



T2



t3



Kecepatan



V0



v1



v2



v3



a =Slope, m



a0= dv0/dt t = 0



a1= dv1/dt t = t1



a2 = dv2/dt t = t2



a3 = dv3/dt t = t3



Grafik a – t , v – t dan s – t Pada pembahasan di atas di awali dengan mengetahui grafik s – t, maka grafik v – t dan a – t digambarkan dari nilai kemiringan grafik. Apabila Grafik a – t lebih dahulu diketahuim maka grafik v – t dan s – t digambarkan dengan menentukan luasan dibawah grafik dari interval waktu yang ditentukan .



A. Menggambarkan Grafik v – t dengan mengetahui grafik a – t.



Jika Grafik a – t diberikan, A. Grafik v – t dapat digambarkan dari a = dv/dt. Persamaa ini dijadikan dv = a dt dan diintegralkan sebagai:



Untuk menggambarkan Grafik v – t , mulai dengan menentukan nilai vo , Gbr.12.9b. Kemudian akan ditentukan v1 yang merupakan tambahan Dv dari vo. Besaran Dv diperoledh dari Grafik a – t,Gbr.12.9a, yaitu luasan dibawah grafik (kotak merah). Luasan dibentuk dengan menentukan suatu waktu t1, dari titik t1 naikkan garis hingga memotong grafik dan kotak merah terbentuk dengan luasan Dv1 = a x t Nilai ini diplotkan pada sumbu v, Grafik v-t dengan t1 yang sama, ujungan tambahan adalah v1. Gbr.12.9 b, (garis merah). Dengan demikian v1 = vo + Dv1, v2 = v1 + Dv2, dstnya. Luasan di bawah Grafik a – t tidak sama pada semua selang waktu t, tergantung dari bentuk grafiknya. Ingatlah bahwa suatu penjumlahan aljabar dari penambahan luas pada Grafik a – t sangat perlu, karena suatu luasan di atas sumbu –t merupakan peningkatan v (luasan “positif”) sedangkan yang terletah di bawah sumbu– t, merupakan suatu pengurang v ( luasan “negatif”)



v1 Dv vo



B.Bila Grafik v – t diberikan, Gbr.12.10a, maka Grafik s– t dapat digambarkan dengan menggunakan v = ds/dt dan ditulis sebagai:



S1 Ds so



Pada Grafik s – t ,GBr.12.10b, tentukan titik so, dan dari Grafik v – t, tentukan t1 dan tarik garis ke atas hingga berpotongan dengan garis grafik, disini asumsi jarak t1 sangat kecil memungkinkan kotak merah ,Gbr 12.10a, berbentuk persegi dengan luas Ds1 = v x t1.. Nilai ini diplotkan pada sumbu s, Grafik s – t, dengan jarak t1 yang sama dengan t1 pada Grafik v – t. Ujung tambahan adalah s1, dengan demikian s1 = so + Ds, s2 = s1 + Ds2 ,dstnya.



Grafik v – s dan Grafik a - s A. Bila grafik a–s telah tergambarkan maka titik-titik pada grafik v–s dapat digambatkan dengan menggunakan ads = v dv . Diintegrasikan dengan batasan v = vo pada s = so dan v = v1 pada s= s1 𝑠



s2 s3



𝑣



- 𝑎𝑑𝑠 = - 𝑣𝑑𝑣 𝑠𝑜



=



1 2



𝑣𝑜



𝑣12 − 𝑣𝑜 2



atau



V2



v3



s2 s3



𝑠



Dimana ∫𝑠 𝑎𝑑𝑠 adalah luasan dibawah grafik a – s. 𝑜



Bila luas kotak merah, Gbr.12.10a ditentukan, dengan kecepatan awal vo pada so = 0 diketahui, v1 , v2. v3, dstnya dapat dihitung; 1 2



𝑠



𝑣12 − 𝑣𝑜 2 = ∫𝑠𝑜1 𝑎𝑑𝑠



𝑠



𝑣12 − 𝑣𝑜 2 = 2 ∫𝑠𝑜1 𝑎𝑑𝑠



atau



𝑠



𝑠



1/2



𝑣12 = 2 ∫𝑠𝑜1 𝑎𝑑𝑠 + 𝑣𝑜 2 atau v1 = 2 ∫𝑠𝑜1 𝑎𝑑𝑠 + 𝑣𝑜 2 Dengan demikian, bila seterusnya ditentukan luasan pada v1 pada s = s1 , v2 pada s =s2, v3 pada s = s3 , dstnya. v2 =



𝑠



∫𝑠12 𝑎𝑑𝑠 + 𝑣12



1/2



,



𝑠



v3 = ∫𝑠23 𝑎𝑑𝑠 + 𝑣22



1/2



, dstnya.



Pada Gbr.12.10b, titik koordinat (v,s) yang ditentukan kemudian semua titik dihubungakan menjadi grafik v – s B. Bila grafik v – s telah tergambarkan percepatan a pada setiap posisi s dapat ditentukan dengan menggunakan ads = vdv , ditulis sebagai



Dimana a =kecepatan x kemiringan grafik v – s. Gbr.12.11a Dengan demikian setiap titik ( s,v) di Gbr.12.11a dan kemiringan dv/ds dapat diukur. Bila jarak s sangat kecil maka kemiringan adalah linear sehingga dapat ditentukan dengan persamaan linear antara dua titik berdekatan, sebagai penyelesaian dari persamaan ; ! "!" . "." = , !# "!" .# "." bila v1,v2,s1,dan s2 diketahui Atau kemiringan ( slope) suatu interval; ! "!+ Slope, m1 = . " ".+ , dstnya " Maka ! "!+ a1 = v1 . " ".+ , dstnya "



12.4 Gerak Lengkung Umum Gerak Lengkung (Curvilinear) terjadi ketika sebuah partikel bergerak pada lintasan lengkung. Karena lintasan ini sering dibahas dalam tiga-dimensi, analisis veltor digunakan untuk merumuskan posisi, kecepatan dan percepatan partikel. Pada bagian ini aspek umum gerak lengkung dibahas, dan pada bagian selanjutnya kita akan amati tiga sistem koordinat yang sering digunakan untuk menganalisis gerak lengkung.



Posisi



Amati sebuah partikel yang terletak pada sebuah titik dari sebuah kurva ruang yang didefinisikan oleh fungsi lintasa s(t), Gbr.12.16a Vektor posisi : 𝒓 = r(t) diukur dari titik O Besar dan arah vektor posisi akan selalu berubah ketika partikel bergerak sepanjang lintasan s.



Perpindahan



Kataknlah dalam suatu selang waktu kecil Dt partikel bergerak sejauh Ds sepanjang kurva ke suatu posisi baru: Vektor posisi baru: 𝒓′ = 𝒓 + D 𝒓 Dimana D 𝒓 adalah perubahan posisi partikel yang ditentukan sebagai selisih vektor: ( diagonal terpendek dari bangun jajaran genjang terbentuk dari vektor 𝒓 dan D 𝒓 = 𝒓′ - 𝒓 𝒓′ ) Gbr.12.16b Perhatikan ada dua besaran : (i) vektor D 𝒓 : Jarak linear dari posisi lama 𝒓 ke posisi baru 𝒓′ partikel. (ii). skalar Ds : Jarak lengkung sesuai lintasa partikel pada lintasan s



Kecepatan



Selama selang waktu Dt, kecepatan rata-rata partikel ;



Ds D𝒓



Kecepatan sesaat ditentukan dengan menjadikan selang waktu Dt → 0, sehingga D 𝒓 hampir menjadi garis singgung pada kurva lintasan.. Dengan begitu kecepatan sesaat v = 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕 ∆𝒓/∆𝒕 atau ∆𝒕 → 𝒐 Ds D𝒓



Karena dr akan menjadi arah singgung pada kurva lintasan, arah v juga menyinggung kurva , Gbr.12.16c. Besaran v disebut speed yang diperoleh dari menyadari bahwa



panjang bagian garis lurus D 𝒓, Gbr.12.16b, menjadi hampir sama dengan panjang busur Ds kalau Dt→ 0, maka v = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 ∆𝒓/∆𝒕 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 ∆𝑠/∆𝑡 , atau ∆𝑡 → 𝑜 ∆𝑡 → 𝑜 Dengan begitu kelajuan (speed) dapat diperoleh dari diferensial fungsi lintasan s terhadap waktu.



Percepatan Jika sebuah partikel memiliki keceapatan v pada waktu t dan v’ = v + Dv pada waktu t + Dt , Gbr. 12.16d maka percepatan rata-rata partikel dalam waktu Dt, adalah: Dimana Dv = v’ - v . Untuk mempelajari laju perubahan waktu ini, dua besaran kecepatan v dan v’, Gbr.12-16d digambarkan pada titik yang sama, Gbr.12-16e, sedemikian hingga ekor vektornya terpasang pada titik O’, dan kepala-tanda panahnya menyentuk sebuah kurva. Kurva demikian disebut hodograph, dan bila digambarkan akan menjadi titik locus (lokasi) kepala-tanda panah vektor kecepatan sebagaiman layaknya pada lintasan s yang menjadi locus kepala-tanda panah vektor posisi, Gbre.1216a. Percepatan sesaat diperoleh dari memisalkan Dt → 0 pada persamaan aavg = Dv/Dt. Dalam limit v akan menyerupai garis singgung pada kurva hodograph, sehingga; a = lim ( ∆𝑣/∆𝑡) ∆𝑡→𝑜 Karena bentuk ini adalah turunan dalam Kalkulus maka dapat ditulis : bila Maka 𝑑



𝑑𝑟



a = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 atau Sebagai definisi turunan, a merupakan tangen pada hodograph, Gbr.12-16f, dan umumnya bukan tangen pada lintasan, Gbr.12–16g



12.5 Gerak Lengkung : Komponen Tegak Lurus



Kadang gerak sebuah partikel lebih baik dijelaskan sepanjang suatu lintasan dengan di uraikan dalam koordinat ( x,y,z).



Posisi



Jika partikel berada pada titik ( x, y,z ) pada lintasan lengkung s , Gbr.12– 17, maka lokasi didefinisikan sebagai vektor posisi adalah:



Bila partikel bergerak, komponen ( x,y,z ) dari vektor posisi 𝑟⃗ akan jadi fungsi waktu;



yakni: x = x(t), y = y(t), z = z(t), sehingga 𝑟⃗ = 𝑟⃗ (t) atau dapat ditulis cetakan tebal sebagai: r = r (t).. Besaran vektor 𝑟⃗ (r) =



𝑥 - + 𝑦 - + 𝑧 - ..



CheckPoint 1. Buktikan persamaan ini dengan dasar kecerdasan spasial dan logika matematika, sertakan gambar ruang ( x,y,z)