Laporan 6 Persamaan Differensial Ordiner [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN A.TUJUAN Agar mahasiswa dapat menyelesaikan persamaan differensial ordiner menggunakan initial value problem (IVP). B.DASAR TEORI Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu lain. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak. Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.



Persamaan diferensial pertama kali eksis dengan penemuan kalkulus oleh Newton dan Leibniz. Pada bab 2 hasil karyanya tahun 1671 berjudul "Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum",[1] Isaac Newton menuliskan 3 macam persamaan diferensial: 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑥1



𝑑𝑦 𝑑𝑦 + 𝑥2 =𝑦 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2



Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut. A. Metode Euler



Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti. Metode euler atau disebut juga metode orde pertama



karena



persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja. Misalnya diberikan PDB orde satu, 𝑦 , = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x0) = x0 Misalkan



yr = y(xr) adalah hampiran nilai di xr yang dihitung dengan metode euler. Dalam hal ini r = 1, 2, 3,…n



xr = x0 + rh,



metode euler diturungkan dengan cara menguraikan y(xr+1) di sekitar xr ke dalam deret taylor : y(xr+1



x )=y(x )+ r



r 1



 xr



1!



 y’(x )+  x



r 1



r



 xr  y”(xr)+… 2! 2



(1)



bila persamaan di atas dipotng samapai suku orde tiga, peroleh



y(xr+1



x ) = y(x ) + r



r 1



 xr



1!



 y’(x ) +  x r



 xr  y”(t), 2! 2



r 1



xr