LATIHAN [PDF]

Citation preview

LATIHAN 1. Mesin bola karet mengeluarkan bola karet merah, hitam, atau hijau. (a) Jelaskan ruang sampel yang sesuai. (b) Daftarkan semua kemungkinan kejadiannya. (c) Jika R adalah kejadian "merah," maka daftar hasilnya di R ' (d) Jika G adalah kejadian "hijau," lalu apa itu R ∩G? Penyelesaian: (a) Misalkan, R sebagai bola merah; B sebagai bola hitam; dan G sebagai bola hijau. Maka, dapat dinyatakan ruang sampelnya adalah S={R , B , G } (b) Kemungkinan kejadiannya adalah { R } , { B } , { G } , { RB } , { RG } , { BG } (c) R' ={BG } (d) R ∩G=∅ 2. Buktikan bahwa P (Ø) = 0. Petunjuk: Misalkan A = 0 untuk semua i dalam persamaan (1.3.3). Penyelesaian: Equation (1.3.3) ∞



P ( ¿ i=1 ¿ ∞ A i )=∑ P( A i) i=1



sehingga, Ai=∅ , maka B= A1 ∪ A 2=∅ yang berakibat P ( A 1 ∪ A 2) =0 berdasarkan Eq . (1.3 .3 ) maka P ( B )=P ( A 1 ) + P ( A 2 )=0+0=0 sehinggadiperoleh bahwa P ( ∅ )=0 TERBUKTI! 3. Buktikan Teorema 1.4.4. Petunjuk: Tulis A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C dan menerapkan Teorema 1.4.3. Penyelesaian: P ( A ∪ B ∪C )



¿ P ( A ∪ B ) ∪C ¿ P ( A ∪ B ) + P ( C ) −P ( ( A ∪ B ) ∩C ) ¿ P ( A ) + P ( B ) −P ( A ∩ B ) + P ( C )−P (( A ∩C)∪( B ∩C)) ¿ P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) −P¿



4. Buktikan Teorema 1.4.5. Petunjuk: IfA B, maka kita dapat menulis B = A ∪ (B ∩ A '), sebuah disjoint Persatuan Penyelesaian:



B P (B )



¿ A ∪ ( B∩ A ' ) ¿ P ( A ∪ (B ∩ A ') ) ¿ P ( A ) + P ( B ∩ A' ) ¿ P ( A ) + P ( B ∩ A' ) −P ¿ ¿ P ( A ) + P ( B ∩ A' ) =P ( ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ A' ) ) ¿ P(B)=P ( A ) + P ( B ∩ A' ) −P ( A ∩ B ) ¿ P(B)≥ P¿)



5. Jika A dan B adalah acara, tunjukkan bahwa: (a) P (A ∩ B ') = P (A) - P (A ∩ B). (b) P (A ∪ B) =1 - P (A'∩ B'). Penyelesaian: a. Karena A = ( A ∩ B ¿∪ ( A ∩B ' ) dan A ∩ B saling dengan A ∩ B' maka P (A) = P ( A ∩ B ¿+ P( A ∩ B' ) Sehingga P (A∩ B' ¿=P( A)−P( A−B) b. P ( A ∪ B ) =1−P ( A ∪ B' ) = 1 – P ( A' ∩B ' ¿ 6. Misalkan P (A) = 1/2, P (B) 1/8, dan P (C) = 1/4, di mana A, B, dan C saling eksklusif. Temukan yang berikut ini: (a) P (A ∪ B ∪ C). (b) P (A' ∩ B' ∩ C '). Penyelesaian: a. P (A ∪ B ∪ C) ¿ P ( A ) + P ( B ) + P(C ) = (1/2) + (1/8) + (1/4) = 7/8 c. P (A 'n B' n C ') = P(( A ∪ B ∪ C)' ) = 1 – P ( A ∪ B∪C ) = 1 – (7/8) = 1/8 7. Buktikan Teorema 1.5.5. Petunjuk: Gunakan Latihan 18. Penyelesaian: Kekanan (⇒) 1.



A dan B saling bebas jh j P ( A|B )=P ( A ) atau P ( B| A )=P( B) atau P ( A ∩ B )=P ( A ) P(B)



sehinggauntuk pasangan A danB’ P¿ P ( A ∩ B ') ¿ P (B ' ) P ( A) P (B') ¿ P ( B' ) ¿ P( A) TERBUKTI !



P¿ P ( A ∩ B ') P (B ' ) P ( A) P (B') ¿ P( A) ¿



¿ P( B ' )



2. sehinggauntuk pasangan A ' danB



P¿ P ( A ' ∩ B) ¿ P (B ) P ( A ' ) P (B ) ¿ P (B) ¿ P( A ' ) TERBUKTI!



P¿ P ( A ' ∩ B) P (B ) P ( A ' ) P (B ) ¿ P(A') ¿



¿ P( B)



3. sehinggauntuk pasangan A ' danB



P¿ P ( A ' ∩ B ') ¿ P (B ' ) P ( A ' ) P (B ' ) ¿ P (B ') ¿ P( A ' ) TERBUKTI!



P¿ P ( A ' ∩ B ') P (B ' ) P ( A ' ) P (B ' ) ¿ P ( A ') ¿



¿ P(B ' )



8. A,B,C adalah suatu kejadian dari P(A) = 1/3, P(B) = ¼ dan P(C) = 1/5, temukan P(A∪ B∪C ¿ berdasarkan masing-masing asumsi berikut: a. Jika A, B dan C saling eksklusif b. Jika A,B dan C independent Penyelesaian: a. P(A∪ B∪C ¿=P(A) + P(B) + P(C) = 1/3 + ¼ + 1/5 = 47/60 b. P ( A' ∩B ' ∩C ' ¿= P ((A ∩ B ∩C ¿ ' ¿ = 1 – P (A∪ B∪ C ¿ = 1 – 47/60 = 13/60