Linear Algebra 1 [1/3] 9789650615840 [PDF]

Table of contents :
מערכות משוואות לינאריות

המרחב Fn

מטריצות

דטרמיננטות

Citation preview

‫‪20109‬‬



‫אלגברה לינארית‬ ‫‪1‬‬



‫| כרך א‬



‫כרך א‬ ‫פרק ‪1‬‬ ‫פרק ‪2‬‬ ‫פרק ‪3‬‬ ‫פרק ‪4‬‬



‫מערכות משוואות לינאריות‬ ‫המרחב ‪F n‬‬ ‫מטריצות‬ ‫דטרמיננטות‬



‫כרך ב‬ ‫פרק ‪5‬‬ ‫פרק ‪6‬‬ ‫פרק ‪7‬‬ ‫פרק ‪8‬‬



‫שדות סופיים‬ ‫שדה המספרים המרוכבים‬ ‫מרחבים לינאריים‬ ‫בסיסים ותורת הממד‬



‫כרך ג‬



‫‪Untitled‬‬



‫‪0 020820 109219‬‬ ‫דאנאקוד ‪208-2010921‬‬



‫מק"ט ‪20109-2012‬‬ ‫מסת"ב‬



‫‪ISBN 978-965-06-1584-0‬‬



‫האוניברסיטה הפתוחה‬



‫פרק ‪ 9‬העתקות לינאריות‬ ‫פרק ‪ 10‬ייצוג העתקות באמצעות מטריצות‬ ‫פרק ‪ 11‬ערכים עצמיים‬ ‫פרק ‪ 12‬המכפלה הסקלרית‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬ ‫כרך א‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬ ‫כרך א‬



‫‪ii‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪Linear Algebra 1‬‬ ‫‪Volume I‬‬ ‫‪Dr. Elad Paran‬‬ ‫)‪Prof. Daniela Leibowitz (Chapter 1‬‬



‫צוות הקורס‬ ‫מהדורה שנייה‬ ‫כתיבה‪ :‬ד"ר אלעד פארן‬ ‫פרופ' דניאלה ליבוביץ )השתתפה בכתיבת פרק ‪(1‬‬ ‫עריכה מתמטית‪ :‬ד"ר ציפי ברגר‬ ‫אסיסטנטית‪ :‬אסתר גרונהט‬ ‫יועצים‪ :‬פרופ' דניאלה ליבוביץ‪ ,‬פרופ' דן הרן‪ ,‬ד"ר גיל אלון‪ ,‬ד"ר מרים רוסט‬ ‫עורכת‪ :‬יהודית גוגנהיימר‬ ‫עיצוב עטיפה‪ :‬שלומית שמר‬ ‫סדר ועימוד‪ :‬מנוחה מורביץ‪ ,‬עינב צדוק‬ ‫התקנה והבאה לדפוס‪ :‬טלי מאן‪ ,‬שרונה יוהן‬ ‫איורים‪ :‬רונית בורלא‬ ‫תמונת העטיפה‪Shutterstock\DivinHX :‬‬



‫מהדורה ראשונה‬ ‫כתיבה‪ :‬פרופ' אלי לוין‪ ,‬פרופ' דניאלה ליבוביץ‪ ,‬פרופ' אברהם אורנשטיין‪ ,‬פרופ' אורי לירון‪,‬‬ ‫פרופ' דב סמט‪ ,‬פרופ' איתמר פיטובסקי‬ ‫יועצים‪ :‬פרופ' אברהם גינזבורג‪ ,‬פרופ' אמנון יקימובסקי‪ ,‬פרופ' מיכאל משלר‬



‫מק"ט ‪20109-2012‬‬ ‫מסת"ב ‪ISBN 978-965-06-1584-0‬‬ ‫‪ ‬תשע"ט–‪ .2019‬כל הזכויות שמורות לאוניברסיטה הפתוחה‪.‬‬ ‫בית ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה‪ ,‬הקריה ע"ש דורותי דה רוטשילד‪ ,‬דרך האוניברסיטה ‪ ,1‬ת"ד ‪,808‬‬ ‫רעננה ‪.4353701‬‬



‫‪The Open University of Israel, The Dorothy de Rothschild Campus, 1 University Road, P.O.Box 808,‬‬ ‫‪Raanana 4353701.‬‬ ‫‪Printed in Israel.‬‬



‫אין לשכפל‪ ,‬להעתיק‪ ,‬לצלם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לתרגם‪ ,‬לאחסן במאגר מידע‪ ,‬לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי‬ ‫אלקטרוני‪ ,‬אופטי‪ ,‬מכני או אחר כל חלק שהוא מהחומר שבספר זה‪ .‬שימוש מסחרי בחומר הכלול בספר זה אסור‬ ‫בהחלט‪ ,‬אלא ברשות מפורשת ובכתב ממדור זכויות יוצרים של האוניברסיטה הפתוחה‪.‬‬



‫תוכן עניינים כללי‬



‫תוכן עניינים כללי‬ ‫כרך א‬ ‫פרק ‪ 1‬מערכות משוואות לינאריות‬ ‫פרק ‪ 2‬המרחב ‪F n‬‬ ‫פרק ‪ 3‬מטריצות‬ ‫פרק ‪ 4‬דטרמיננטות‬ ‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬ ‫כרך ב‬ ‫פרק ‪ 5‬שדות סופיים‬ ‫פרק ‪ 6‬שדה המספרים המרוכבים‬ ‫פרק ‪ 7‬מרחבים לינאריים‬ ‫פרק ‪ 8‬בסיסים ותורת הממד‬ ‫ההגדרות והמשפטים בכרך ב‬ ‫כרך ג‬ ‫פרק ‪ 9‬העתקות לינאריות‬ ‫פרק ‪ 10‬ייצוג העתקות באמצעות מטריצות‬ ‫פרק ‪ 11‬ערכים עצמיים‬ ‫פרק ‪ 12‬המכפלה הסקלרית‬ ‫ההגדרות והמשפטים בכרך ג‬



‫‪iii‬‬



‫‪iv‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫תוכן העניינים של כרך א‬



‫תוכן העניינים של כרך א‬ ‫מבוא‬



‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬



‫פרק ‪ :1‬מערכות משוואות לינאריות‬ ‫‪ 1.1‬פעולות על קבוצה ‪13‬‬ ‫‪ 1.2‬שדות ‪23‬‬ ‫‪n 1.3‬יוֹ ת ‪37‬‬ ‫‪ 1.4‬משוואות לינאריות – מושגים בסיסיים ‪44‬‬ ‫‪ 1.5‬מערכות לינאריות ‪54‬‬ ‫‪ 1.6‬מטריצת המקדמים של מערכת לינארית ‪60‬‬ ‫‪ 1.7‬מערכות לינאריות שקולות ‪63‬‬ ‫‪ 1.8‬מטריצות שקולותשורה ‪69‬‬ ‫‪ 1.9‬שיטת החילוץ – דוגמאות ראשונות ‪72‬‬ ‫‪ 1.10‬מטריצות מדרגות ‪79‬‬ ‫‪ 1.11‬ההצגה הקנונית של מטריצה ‪92‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪ 1.12‬כמות הפתרונות של מערכת לינארית‬ ‫‪ 1.13‬מערכות הומוגניות ‪103‬‬ ‫‪ 1.14‬מערכות מסדר ‪n  n‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪115‬‬ ‫תשובות לשאלות בפרק ‪1‬‬ ‫פרק ‪ :2‬המרחב ‪141 F n‬‬ ‫‪ 2.1‬המרחב ‪ – F n‬מבט אלגברי ‪143‬‬ ‫‪ 2.2‬המרחבים ‪  2‬ו ‪ –  3‬מבט גיאומטרי‬ ‫‪2.3‬‬ ‫הצגות פרמטריות במרחבים ‪  2‬ו ‪ 3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪173‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫המרחב ‪F‬‬ ‫‪ 2.5‬צירופים לינאריים ‪175‬‬ ‫‪ 2.6‬תלות לינארית ‪182‬‬ ‫‪191‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫בסיסים ל ‪F n‬‬ ‫‪203‬‬ ‫תשובות לשאלות בפרק ‪2‬‬ ‫פרק ‪ :3‬מטריצות ‪225‬‬ ‫‪227‬‬ ‫‪ 3.1‬סימון מטריצות ורכיביהן‬ ‫‪230‬‬ ‫‪ 3.2‬על שורות ועמודות‬ ‫‪ 3.3‬חיבור מטריצות וכפל מטריצה בסקלר‬ ‫‪242‬‬ ‫‪ 3.4‬כפל מטריצות‬ ‫‪250‬‬ ‫‪ 3.5‬תכונות של כפל מטריצות‬ ‫‪257‬‬ ‫‪ 3.6‬מטריצות ריבועיות‬



‫‪145‬‬ ‫‪159‬‬



‫‪235‬‬



‫‪v‬‬



‫‪vi‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 3.7‬כתיב וקטורי של מערכות משוואות לינאריות‬ ‫‪273‬‬ ‫‪ 3.8‬מטריצות הפיכות‬ ‫‪280‬‬ ‫‪ 3.9‬מטריצות אלמנטריות‬ ‫‪292‬‬ ‫‪ 3.10‬אפיונים נוספים של מטריצות הפיכות‬ ‫‪299‬‬ ‫תשובות לשאלות בפרק ‪3‬‬ ‫‪333‬‬ ‫פרק ‪ :4‬דטרמיננטות‬ ‫‪ 4.1‬הגדרת הדטרמיננטה ‪335‬‬ ‫‪ 4.2‬משפט הפיתוח ‪341‬‬ ‫‪ 4.3‬תכונות הדטרמיננטה ‪345‬‬ ‫‪ 4.4‬התאפסות הדטרמיננטה ‪360‬‬ ‫‪ 4.5‬הדטרמיננטה של מכפלת מטריצות ‪362‬‬ ‫‪ 4.6‬כלל קרמר ‪366‬‬ ‫‪ 4.7‬המטריצה המצורפת ‪370‬‬ ‫‪374‬‬ ‫‪ 4.8‬תמורות‬ ‫‪ 4.9‬הדטרמיננטה כפונקציית נפח ‪380‬‬ ‫תשובות לשאלות בפרק ‪393 4‬‬ ‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪421‬‬



‫‪269‬‬



‫מבוא‬



‫‪1‬‬



‫מבוא‬ ‫במהלך העיון במבוא זה )שלא כמו בהמשך הקורס( אין צורך שתתעמקו בפרטים – נסו להפנים את‬ ‫רוח הדברים‪.‬‬ ‫מערכות של משוואות‪ ,‬הכוללות משוואה אחת או יותר‪ ,‬הן התרגום לשפת המתמטיקה של בעיות מכל‬ ‫תחומי המדע‪ .‬כאשר בעיה מוצגת באמצעות מערכת משוואות‪ ,‬פתרונה הופך לשאלה מתמטית טהורה‪.‬‬ ‫הענף של המתמטיקה המכונה אלגברה צמח מתוך העיסוק בחקר מערכות של משוואות מסוג מסוים‪,‬‬ ‫שאותו נתאר לאחר שנתבונן בכמה דוגמאות‪.‬‬ ‫א‪ 2 x  4 .‬היא משוואה בודדת )או מערכת בת משוואה אחת(‪.‬‬ ‫הסמל ‪ x‬המופיע בה מציין משתנה או נעלם‪ .‬המספרים הקבועים ‪ 2‬ו‪ 4‬המופיעים בה נקראים‬ ‫מקדמים‪ .‬לפתור את המשוואה משמעו למצוא ערכים מספריים אשר הצבתם במקום המשתנה‬ ‫מניבה שוויון‪ .‬ברור שלמשוואה שלפנינו יש פתרון יחיד – ‪ . x  2‬אפשר לומר גם שהמספר‬ ‫‪ x  2‬מקיים )או פותר( את המשוואה‪ ,‬ושהוא הערך היחיד המקיים אותה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪ 2 x  y ‬היא משוואה בשני משתנים‪ x ,‬ו ‪. y‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x  0, y ‬נקבל שוויון‪ .‬גם צמדי ההצבות ‪ x  , y  0‬ו ‪, y  ‬‬ ‫אם נציב‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪x‬‬



‫מניבים שוויונות‪ .‬הפתרונות של משוואה זו הם זוגות של מספרים‪ ,‬כגון אלה שראינו‪ .‬קל להיווכח‬ ‫שיש אינסוף זוגות שונים של מספרים שמקיימים את המשוואה‪ ,‬כלומר יש לה אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫)האם תוכלו לאפיין את כולם בצורה כלשהי?(‬ ‫ג‪ x 2  5 x  4  0 .‬היא משוואה במשתנה היחיד ‪. x‬‬ ‫מהנוסחה המוכרת לפתרון משוואות ריבועיות נובע שלמשוואה זו יש בדיוק שני פתרונות‪:‬‬ ‫‪. x  1, x  4‬‬ ‫המערכות א‪-‬ג הן בנות משוואה אחת‪ ,‬לכן לא נזקקנו למונח "מערכת"‪ .‬כעת נדגים מערכות שיש בהן‬ ‫יותר ממשוואה אחת‪.‬‬ ‫ד‪ x  y  3 .‬היא מערכת בת שתי משוואות בשני נעלמים )או משתנים(‪.‬‬ ‫‪x  2y  5‬‬



‫פתרון של מערכת בשני נעלמים הוא זוג מספרים‪ ,‬שפותר את כל המשוואות של המערכת כאחת‪.‬‬ ‫למערכת המודגמת כאן יש פתרון יחיד‪ .‬אכן‪ ,‬נניח שעבור ערכים מסוימים של ‪ x , y‬מתקבלים‬ ‫שוויונות‪ .‬מהמשוואה השנייה מתחייב ‪ , ( x  y )  y  5‬ומאחר שהמשוואה הראשונה קובעת‬ ‫ש ‪ , x  y  3‬נקבל ‪ , 3  y  5‬ולכן בהכרח ‪ . y  2‬נציב ‪ y  2‬ב ‪ x  y  3‬ונקבל שבהכרח‬ ‫‪ . x  1‬אם כן‪ ,‬זוג הערכים היחיד שעשוי לפתור את המערכת הוא ‪ , x  1, y  2‬שאותו נסמן‬ ‫בקיצור )‪ . (1, 2‬שימו לב‪ ,‬יצאנו מתוך ההנחה שקיים זוג ) ‪ ( x , y‬המהווה פתרון‪ ,‬והצעדים שביצענו‬ ‫הובילו אותנו למסקנה שבהכרח ‪ , x  1, y  2‬כלומר ש )‪ (1, 2‬הוא הזוג המועמד היחיד‬



‫‪2‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לפתרון‪ .‬נותר לוודא שזהו אמנם פתרון‪ ,‬כלומר שאם מציבים )‪ (1, 2‬במקום ) ‪) ( x , y‬דהיינו‬ ‫מציבים ‪ ,( x  1, y  2‬שתי המשוואות של המערכת הופכות לטענות שוויון נכונות‪ .‬בצעו בדיקה‬ ‫זו!‬ ‫ה‪x  y  3 .‬‬ ‫‪x  4y  5‬‬



‫מערכת זו דומה מאוד למערכת ד‪ .‬גם היא בת שתי משוואות בשני משתנים‪ .‬ההבדל היחיד בין‬ ‫שתי המערכות הוא ַ ּב ְמ ַקדֵּ ם של ‪ y‬במשוואה השנייה‪ .‬אנא ודאו‪ ,‬בדרך דומה לזו שבה פתרנו את‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ , x  , y ‬כלומר הזוג‬ ‫המערכת הקודמת‪ ,‬שהפתרון היחיד של המערכת הזאת הוא‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7 2‬‬ ‫‪.  , ‬‬ ‫‪ 3 3‬‬



‫המקדמים בשתי המערכות האחרונות שבדקנו שייכים לעולם המספרים הרציונליים )מספר רציונלי‬ ‫הוא מנה של שני מספרים שלמים(‪ ,‬ולכל אחת מהן מצאנו פתרון שמורכב מזוג מספרים רציונליים‪.‬‬ ‫יתר על כן‪ ,‬המקדמים בשתי המשוואות שייכים לעולם המצומצם יותר של המספרים השלמים‪ ,‬אך‬ ‫רק לאחת מהן – המערכת ד – יש פתרון בעולם השלמים‪ .‬למערכת ה אין פתרון בשלמים‪ ,‬שהרי‬ ‫‪7 2‬‬ ‫הפתרון היחיד שלה – הזוג ‪ –  , ‬אינו זוג של מספרים שלמים‪ .‬לפיכך‪ ,‬אם הבעיות שתרגומן‬ ‫‪ 3 3‬‬ ‫המתמטי הן המערכת ד וה מחייבות פתרונות במספרים שלמים )למשל‪ ,‬אם ערכי המשתנים הם‬ ‫כמויות של בעלי חיים(‪ ,‬הרי שלאחת מהן יש פתרון ולאחרת – אין‪.‬‬ ‫לפני שמתחילים לחפש פתרונות למערכות משוואות יש לתת אפוא את הדעת לשאלה – באיזה עולם‬ ‫אנו מנסים לפתור אותן‪ .‬למשל‪ ,‬נוכל לדרוש שהמקדמים של המערכת ישתייכו לאותו עולם שבו אנו‬ ‫מחפשים לה פתרונות‪ .‬המספרים השלמים‪ ,‬המספרים הרציונליים והמספרים הממשיים )שהם כל‬ ‫המספרים המייצגים נקודות על ציר המספרים המוכר לכם מלימודי ביתהספר( הם שלושה עולמות‬ ‫שונים‪ :‬עולם המספרים הממשיים מכילממש את עולם הרציונליים )כל מספר רציונלי הוא מספר‬ ‫ממשי‪ ,‬אך לא כל מספר ממשי הוא רציונלי(‪ ,‬ובאופן דומה – עולם המספרים הרציונליים מכילממש‬ ‫את עולם המספרים השלמים‪ .‬האם יש עולמות נוספים? בהחלט כן; עולם המספרים המרוכבים‬ ‫)ייתכן שכבר נתקלתם בו בלימודיכם הקודמים‪ ,‬ובכל אופן נתאר אותו בהרחבה בהמשך( הוא עולם‬ ‫שמכיל ממש את שלושת העולמות הקודמים‪ .‬יש גם עולמות נוספים‪ ,‬נפרדים לחלוטין מכל העולמות‬ ‫שנזכרו עד כה‪ ,‬ועל חלקם תלמדו בקורס זה‪.‬‬ ‫להמחשה נוספת של חשיבות שאלת עולם המקדמים והפתרונות‪ ,‬נתבונן במשוואה ‪. x 3  y 3  z 3‬‬ ‫למשוואה זו‪ ,‬שמקדמיה שלמים‪ ,‬יש פתרון טריוויאלי )כלומר פתרון ברור מאליו( – הפתרון‬ ‫‪ . x  y  z  0‬האם יש לה פתרונות נוספים? גם כאן‪ ,‬התשובה תלויה בעולם שבו מחפשים אותם‪.‬‬ ‫בעולם המספרים הטבעיים אין למשוואה פתרון‪) 1‬זוהי עובדה לא טריוויאלית‪ ,‬שהוכחה במאה ה‪18‬‬ ‫עלידי אוילר(‪ 2.‬לעומת זאת‪ ,‬בעולם המספרים הממשיים קל לגלות אינסוף פתרונות שונים שלה‬ ‫)נסו!(‪.‬‬ ‫‪ 1‬יש המגדירים את ‪ 0‬כמספר טבעי‪ .‬המגדירים כך יאמרו שיש בעולם המספרים הטבעיים פתרון יחיד למשוואה –‬ ‫הפתרון הטריוויאלי‪.‬‬ ‫‪ 2‬ליאונרד אוילר )‪ ,(Leonhard Euler, 1707-1783‬מתמטיקאי שוויצרי‪ ,‬מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים‪.‬‬



‫מבוא‬



‫ו‪.‬‬



‫‪xy  0‬‬



‫‪3‬‬



‫זוהי מערכת בת שלוש משוואות בשני נעלמים‪.‬‬



‫‪x y2‬‬ ‫‪x  4y  3‬‬



‫למערכת הזאת אין פתרון בעולם המספרים הממשיים‪ .‬כדי להיווכח בכך‪ ,‬שימו לב שאחד משני‬ ‫המספרים בכל זוג שפותר את המשוואה הראשונה הוא בהכרח ‪ ,0‬ושאין זוג מספרים שאחד מהם‬ ‫הוא ‪ ,0‬הפותר את המשוואות השנייה והשלישית בבת אחת‪ .‬מקדמי המערכת הזאת שייכים גם‬ ‫לעולמות המצומצמים יותר של המספרים הרציונליים‪ ,‬ואפילו השלמים‪ ,‬אך לאור מה שראינו‪,‬‬ ‫מובן שלמערכת הנידונה אין פתרון בעולמות הללו‪.‬‬ ‫כדוגמה אחרונה נתבונן במערכת‬ ‫ז‪.‬‬



‫‪2 xy  z  0‬‬



‫זוהי מערכת של שלוש משוואות בשלושה נעלמים‪.‬‬



‫‪x yz 3‬‬ ‫‪sin( x  y )  1‬‬



‫עקב הנוכחות של פונקציית הסינוס במשוואה השלישית‪ ,‬אתם מרגישים‪ ,‬מן הסתם‪ ,‬שהמערכת‬ ‫הזאת שונה מקודמותיה‪ .‬אכן‪ ,‬חקר המערכת הזאת חורג מן הגבולות הטבעיים של האלגברה‪.‬‬ ‫יאלִ ית היא משוואה‬ ‫יאליות‪ .‬משוואה ּפוֹ לִ ינוֹ ִמ ָ‬ ‫האלגברה יסודה בחקר מערכות של משוואות ּפוֹ לִ ינוֹ ִמ ָ‬ ‫שמופיעים בה סכומים‪ ,‬מכפלות וחזקות של משתנים‪ ,‬מקדמים קבועים‪ ,‬ות ּו לא‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫‪ 3 x  8 y  5 xz  z 3  17‬היא משוואה פולינומיאלית )בשלושה נעלמים(‪ .‬משוואות פולינומיאליות‬ ‫אינן כוללות ביטויים כגון סינוס‪ ,‬שורשים וכיוצא באלה‪ .‬המשוואה ‪ sin( x  y )  1‬המופיעה‬ ‫במערכת ז‪ ,‬אינה פולינומיאלית‪.‬‬ ‫משוואה פולינומיאלית שלא מופיעות בה מכפלות של משתנים – לא מכפלות של משתנים שונים )כגון‬ ‫‪ ,( xy‬ולא חזקות של משתנה בודד )כגון ‪ – ( z 3‬נקראת משוואה לינארית‪ .‬למשל‪3 x  8 y  15 z  8 ,‬‬ ‫היא משוואה לינארית‪ .‬לעומתה‪ ,‬המשוואה הקודמת שהדגמנו לעיל‪ , 3 x  8 y  5 xz  z 3  17 ,‬היא‬ ‫משוואה פולינומיאלית שאינה לינארית‪ .‬למערכת משוואות שכולן לינאריות נקרא בקיצור מערכת‬ ‫לינארית‪.‬‬ ‫כאמור‪ ,‬חקר מערכות של משוואות פולינומיאליות הוא בליבה של האלגברה‪ .‬החקר אינו מתמצה‬ ‫בפתרון של מערכות ספציפיות; הוא כולל התייחסות לשאלות כלליות הנוגעות לדרכי הפתרון ולתיאור‬ ‫קבוצות הפתרונות‪ .‬דוגמה לשאלה כזאת היא שאלת הקיום של נוסחת שורשים למשוואה‬ ‫פולינומיאלית בודדת בנעלם אחד‪ ,‬כלומר נוסחה המתארת את הפתרונות של מערכת הכוללת‬ ‫משוואה אחת במשתנה אחד בלבד‪.‬‬ ‫המשוואה הכללית הפשוטה ביותר מסוג זה היא המשוואה הלינארית ‪ , ax  b  0‬עם ‪. a  0‬‬ ‫למשוואה זו פתרון יחיד‪ ,‬הניתן לביטוי באמצעות הנוסחה הפשוטה ) ‪. x  ( b / a‬‬



‫‪4‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫מה לגבי המשוואה הפולינומיאלית הכללית ממעלה ‪ ,2‬שהיא ‪ , ax 2  bx  c  0‬עם ‪ ? a  0‬כל‬ ‫הפתרונות הממשיים למשוואה‪ ,‬אם הם קיימים‪ ,‬נתונים עלידי הנוסחה‪:‬‬ ‫‪b 2  4 ac‬‬ ‫‪2a‬‬



‫‪b ‬‬



‫‪x ‬‬



‫המשוואה הפולינומיאלית הכללית ממעלה ‪ 3‬היא ‪ , ax 3  bx 2  cx  d  0‬עם ‪) a  0‬כאשר‬ ‫‪ , a  0‬המשוואה היא ממעלה ‪ 2‬לכל היותר(‪ .‬הנה נוסחת פתרון למשוואה זו‪ ,‬שהתגלתה במאה ה‪:15‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪  b3‬‬ ‫‪ c‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪b2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 27 a 3 6a 2 2 a ‬‬ ‫‪ 3a 9 a 2 ‬‬



‫‪  b3‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6a‬‬ ‫‪ 27 a‬‬



‫‪3‬‬



‫‪x‬‬



‫‪  b3‬‬ ‫‪ c‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪b2 ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪  b3‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 a ‬‬ ‫‪6a‬‬ ‫‪ 27 a‬‬



‫‪3‬‬



‫‪‬‬



‫הנוסחה מסובכת‪ ,‬אך מבחינתנו עצם קיומה הוא החשוב ולא הביטוי המדויק המופיע בה‪.‬‬ ‫גם למשוואה הפולינומיאלית הכללית ממעלה ‪ 4‬יש נוסחת פתרון‪ ,‬הידועה בשם נוסחת ‪ 3.Ferrari‬היא‬ ‫ארוכה מאוד‪ ,‬ולא נציג אותה כאן משום שמבחינתנו – עובדת קיומה בלבד היא הרלוונטית כרגע‪.‬‬ ‫מה לגבי משוואות ממעלה חמישית )או יותר(? מתמטיקאים חיפשו נוסחה לפתרון משוואות כאלה‬ ‫במשך מאות שנים‪ ,‬עד אשר ב‪ 1824‬הוכיח ָא ֶ ּבל‪ 4,‬כי נוסחה כזאת אינה קיימת‪ .‬אין פירוש הדבר‬ ‫שלמשוואות ממעלה חמישית אין פתרונות‪ 5,‬אלא שקיימות משוואות בעלות פתרון שאינו ניתן‬ ‫לתיאור עלידי שום נוסחה כדוגמת אלה המופיעות לעיל‪ ,‬כלומר אינו ניתן לתיאור עלידי נוסחאות‬ ‫המערבות את המקדמים בעזרת צירופים של סכומים‪ ,‬מכפלות‪ ,‬מנות ושורשים בלבד‪.‬‬ ‫זו הייתה תגלית מתמטית מרעישה‪ .‬אולי אתם תוהים‪ :‬כיצד ניתן להוכיח ששום נוסחה‪ ,‬ארוכה‬ ‫ומסובכת ככל שתהיה‪ ,‬אינה מבטאת פתרונות למשוואה נתונה? מהי בכלל "נוסחה"? איך תיתכן‬ ‫אמירה על כלל הנוסחאות? השאלות האלה מדגימות את הבעיות העמוקות שבהן עוסקת האלגברה‪.‬‬ ‫המענה לשאלות מסוג זה היה כרוך בפיתוח שפה מתאימה וכלים לחקר אובייקטים אלגבריים שאינם‬ ‫בהכרח מספרים )במקרה שתיארנו – חקר נוסחאות(‪.‬‬ ‫הטיפול הכללי בשאלת הקיום של נוסחאות שורשים למשוואות פולינומיאליות נעשה במסגרת תורת‬ ‫גָ ל ּו ָאה‪ 6,‬המסתמכת על תורת החבורות – תורה העוסקת במבנים אלגבריים מופשטים שבעזרתם‬ ‫אפשר‪ ,‬בין השאר‪ ,‬לחקור נוסחאות פתרון של משוואות פולינומיאליות‪ .‬במסגרת הקורס הנוכחי לא‬ ‫תלמדו אמנם את התורות הללו‪ ,‬אך תכירו במהלכו דוגמאות חשובות אחרות להפשטה אלגברית‪ .‬כדי‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬



‫לודוביקו פרארי )‪ ,(Lodovico Ferrari, 1522-1565‬מתמטיקאי איטלקי‪.‬‬ ‫נילס הנריק אבל )‪ ,(Niels Henrik Abel, 1802-1829‬מתמטיקאי נורווגי‪.‬‬ ‫למעשה‪ ,‬ממשפט הידוע בשם "המשפט היסודי של האלגברה" נובע‪ ,‬כי לכל משוואה פולינומיאלית בעלת‬ ‫מקדמים ממשיים או מרוכבים יש לפחות פתרון מרוכב אחד‪.‬‬ ‫אווריסט גלואה )‪ ,(Évariste Galois, 1811-1832‬מתמטיקאי צרפתי שקנה לעצמו שם עולם למרות שלא האריך‬ ‫ימים‪ .‬הוא נהרג בדוקרב בגיל ‪.21‬‬



‫מבוא‬



‫‪5‬‬



‫להבהיר למה כוונתנו ב"הפשטה"‪ ,‬נחזור לשאלת "עולם המקדמים" של מערכת משוואות נתונה‪.‬‬ ‫דוגמה ה מתחילת המבוא ממחישה‪ ,‬שכדי לפתור מערכת שמקדמיה שלמים‪ ,‬אנו עלולים להזדקק‬ ‫לחריגה מעולם השלמים )הפתרון היחיד של מערכת ה היה זוג מספרים רציונליים‪ ,‬לא שלמים(‪ .‬ברוח‬ ‫דומה ניתן היה לשער‪ ,‬שפתרון מערכת לינארית שמקדמיה רציונליים עלול לחייב חריגה מעולם‬ ‫המספרים הרציונליים‪ .‬מסתבר שלא כך‪ :‬אם למערכת לינארית שמקדמיה רציונליים יש פתרון שערכיו‬ ‫הם מספרים ממשיים‪ ,‬אז יש לה גם פתרון שערכיו הם מספרים רציונליים‪ .‬מתעוררת אפוא השאלה‪:‬‬ ‫מהו ההבדל בין עולם המספרים הרציונליים לבין עולם המספרים השלמים? מה הן התכונות של‬ ‫האחד‪ ,‬שאין לאחר‪ ,‬המבטיחות שכאשר ניתן למצוא למערכת משוואות פתרון בעולם כלשהו‪ ,‬תמיד‬ ‫ניתן גם למצוא פתרון שאינו חורג מעולם המקדמים? בקרוב תלמדו שהמספרים הרציונליים‬ ‫והמספרים הממשיים הם שתי דוגמאות )מני רבות( לאובייקט אלגברי מופשט המכונה שדה‪ ,‬ושעולם‬ ‫המספרים השלמים אינו שדה‪ .‬בהמשך נחקור שדות באופן מופשט ונוכיח‪ ,‬שאם למערכת לינארית‬ ‫שמקדמיה לקוחים משדה כלשהו יש פתרון באיזשהו עולם‪ ,‬אז בהכרח יש לה פתרון בשדה שממנו‬ ‫לקוחים המקדמים שלה‪.‬‬ ‫מגוון ההיבטים של חקר משוואות פולינומיאליות )שרק בודדים מהם נזכרו לעיל( הצמיח ענפים‬ ‫מעניינים בתוך האלגברה עצמה‪ .‬בנוסף‪ ,‬האלגברה קשורה באופן הדוק לענפים מרכזיים אחרים של‬ ‫המתמטיקה‪ ,‬ובכללם האנליזה‪ ,‬תורת המספרים והגיאומטריה‪ .‬להדגמת הקשר שבין האלגברה‬ ‫לגיאומטריה‪ ,‬נפנה לשאלה עתיקת יומין שהטרידה את המתמטיקאים הקדמונים של יוון‪.‬‬ ‫אלכסון של ריבוע מחלק את הריבוע לשני משולשים חופפים‪ ,‬שווי שוקיים וישרי זווית‪.‬‬



‫נתבונן באחד המשולשים‪ .‬מהו היחס בין אורך הניצב שלו לבין אורך היתר שלו?‬ ‫המתמטיקאים בעת העתיקה היו משוכנעים שהיחס בין האורכים של כל שני קטעים ניתן לביטוי‬ ‫כיחס שבין מספרים שלמים )כלומר ְּכ ָמה שמכונה כיום מספר רציונלי(‪ ,‬ומחשבה זו הובילה ל ָּפ ָרדוֹ קס‬ ‫)מצב עניינים שיש בו סתירה פנימית(‪ .‬מצד אחד‪ ,‬היחס בין אורך הניצב לאורך היֶ ֶתר במשולש הנידון‬ ‫אמור להיות מספר רציונלי‪ .‬מצד שני‪ ,‬משפט פיתגורס )שהיה מוכר להם( קובע‪ ,‬שסכום שטחי‬ ‫הריבועים הבנויים על הניצבים של משולש ישר זווית שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר‪ .‬ממשפט זה‬ ‫נובע‪ ,‬שאם ‪ x‬הוא אורך הניצב במשולש שלנו‪ ,‬ו ‪ y‬הוא אורך היתר‪ ,‬אז ‪ , y 2  x 2  x 2‬כלומר‬ ‫‪ , y 2  2 x 2‬או ‪ . ( y / x )2  2‬היחס בין ‪ y‬ל ‪ x‬אמור אפוא להיות פתרון של המשוואה ‪. z 2  2‬‬ ‫מתמטיקאי יוון הכירו גם בעובדה המבוטאת בלשון ימינו באמירה שלמשוואה הנידונה אין‬ ‫ֵ‬ ‫אבל‬



‫‪6‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פתרון בעולם המספרים הרציונליים; המספרים היחידים הפותרים את המשוואה הזאת‪ ,‬שהם ‪,  2‬‬ ‫אינם מספרים רציונליים‪7.‬‬ ‫ֵמאות רבות חלפו עד שהפרדוקס הזה יוּשב והתמסדה ההבנה‪ ,‬שכדי לייצג באופן מספרי את היחס‬ ‫בין אורכי כל הקטעים לבין האורך של קטע מסוים המשמש כיחידת אורך‪ ,‬דרושה מערכת מספרים‬ ‫רחבה יותר ממערכת המספרים הרציונליים‪ .‬המערכת המתאימה היא מערכת המספרים הממשיים‪.‬‬ ‫כולכם מכירים את הייצוג של המספרים הממשיים כנקודות על ציר מספרים‪ .‬ציר מספרים הוא ישר‬ ‫שעליו נקבעה נקודה כלשהי המכונה ֵראשית‪ ,‬אשר אחת משתי הקרניים היוצאות ממנה נקבעה‬ ‫ככיוון החיובי‪ ,‬והאחרת ככיוון השלילי‪ ,‬ושעבורו נקבעה יחידת אורך‪ .‬לכל קטע ‪ AB‬במישור יש‬ ‫נקודה יחידה על הקרן החיובית‪ ,‬אשר הקטע המחבר אותה עם הראשית חופף ל ‪ , AB‬ולנקודה הזאת‬ ‫מתאים מספר ממשי חיובי ‪ , t‬המבטא את אורך הקטע )יחסית ליחידת האורך שנבחרה(‪ .‬על הקרן‬ ‫השלילית יש נקודה נוספת‪ ,‬אשר הקטע המחבר אותה עם הראשית חופף ל ‪ , AB‬ולנקודה הזאת‬ ‫מתאימים את המספר הנגדי ל ‪ , t‬שהוא ‪ .  t‬בדרך זו מתקבלת התאמה של אחד לאחד בין המספרים‬ ‫הממשיים לבין הנקודות על ציר המספרים‪ .‬בעזרת ההתאמה הזאת ניתן להקנות משמעות גיאומטרית‬ ‫גם לפעולות החיבור והכפל של מספרים ממשיים‪.‬‬



‫הקשר בין האלגברה לגיאומטריה‪ ,‬שהתבסס לקראת המאה ה‪ ,17‬הרחיב את היכולת לתרגם בעיות‬ ‫גיאומטריות לשפת האלגברה‪ ,‬ולהקנות משמעות גיאומטרית לתוצאות אלגבריות‪.‬‬ ‫אם מציידים את המישור במערכת צירים קרטזית – זוג צירי מספרים ניצבים זה לזה )ציר ‪ x‬וציר ‪( y‬‬ ‫בעלי ראשית משותפת – ניתן להתאים לכל נקודה ‪ A‬במישור זוג מספרים ממשיים ) ‪ ( x , y‬המכונים‬ ‫השיעורים‪ ,‬או הקואורדינטות‪ ,‬של הנקודה‪ .‬הראשון משני השיעורים של ‪ A‬מתאר את מרחקה מציר‬ ‫‪ , y‬והשני – את מרחקה מציר ‪ . x‬כל זוג מספרים ממשיים מותאם בדרך זו לנקודה יחידה במישור‪.‬‬



‫‪ 7‬הוכחה לכך תראו במהלך הקורס‪.‬‬



‫מבוא‬



‫‪7‬‬



‫באיור זה‪ A ,‬היא הנקודה שזוג שיעוריה הוא )‪ , (2, 4‬ו ‪ B‬היא הנקודה שזוג שיעוריה הוא )‪. (1, 2‬‬ ‫מה הן שיעורי הנקודות ‪? C , D , E‬‬ ‫באופן דומה‪ ,‬גם את המרחב האוקלידי התלתממדי ניתן לצייד במערכת צירים קרטזית‪ ,‬המורכבת‬ ‫משלושה צירי מספרים ניצבים בעלי ראשית משותפת‪ ,‬ובדרך זו מתקבלת התאמה של אחד לאחד בין‬ ‫נקודות המרחב לבין השלָ שות ) ‪ ( x , y , z‬של מספרים ממשיים‪.‬‬ ‫הכינוי "מערכת צירים קרטזית" מקנה את זכות היוצרים עליה למתמטיקאיפילוסוף הצרפתי הנודע‬ ‫רנה דקארט‪ 8,‬שתרם תרומה מכרעת לביסוס השימוש בה‪ .‬לפני פיתוח מערכת הצירים‪ ,‬הגישה היחידה‬ ‫לטיפול בשאלות גיאומטריות הייתה זו של הגיאומטריה האוקלידית‪ ,‬שפותחה עלידי המתמטיקאים‬ ‫היוונים הקדמונים‪ .‬השימוש במערכת צירים קושר בין הגיאומטריה לאלגברה‪ .‬מערכת הצירים‬ ‫הקרטזית מאפשרת לזהות זוגות מספרים עם נקודות במישור )ושלשות של מספרים עם נקודות‬ ‫במרחב(‪ .‬במילים אחרות‪" ,‬נקודה במישור" ו"זוג )‪ ( a , b‬של מספרים ממשיים" נחשבים בעינינו‬ ‫כמונחים שקולים‪ ,‬והאופן שבו אנו בוחרים לראותם נקבע לפי ההקשר‪.‬‬ ‫כוחה של הגישה שהתווה דקארט טמון בכך‪ ,‬שהיא אינה מוגבלת לנקודות בלבד; היא מאפשרת‬ ‫לתאר באופן אלגברי גם אובייקטים גיאומטריים מסובכים יותר‪ .‬נתבונן למשל בישר במישור‪ ,‬העובר‬ ‫דרך ראשית הצירים ובנקודה )‪: (1,1‬‬



‫‪ 8‬רנה דקארט )‪.(René Descartes, 1596-1650‬‬



‫‪8‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫קל להוכיח שכל נקודה ) ‪ ( s , t‬על הישר הזה היא פתרון של המשוואה ‪ , x  y  0‬ושכל נקודה‬ ‫שפותרת את המשוואה הזאת נמצאת עליו‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬אוסף הנקודות המונחות על ישר זה‬ ‫מתלכד עם אוסף הפתרונות של המשוואה ‪ . x  y  0‬אם כן‪ ,‬הישר ממחיש באופן ויזואלי את‬ ‫קבוצת הפתרונות המופשטת‪ .‬לחלופין‪ ,‬המשוואה מאפיינת בדרך אלגברית את הנקודות של הישר‪.‬‬ ‫כשם שקבוצת הפתרונות של משוואה בשני נעלמים מייצגת אוסף נקודות במישור‪ ,‬כך קבוצת‬ ‫הפתרונות של משוואה בשלושה נעלמים מייצגת אוסף נקודות במרחב‪ .‬לדוגמה‪ ,‬ידוע שדרך כל שלוש‬ ‫נקודות במרחב‪ ,‬שאינן מונחות על אותו ישר‪ ,‬עובר מישור יחיד‪ .‬המישור המומחש באיור הבא‪ ,‬הוא‬ ‫המישור העובר דרך הנקודות )‪ . (1,0,0),(1, 2,1),( 1, 1, 1‬מישור זה מאופיין עלידי המשוואה‪:‬‬ ‫‪x  2 y  4z  1  0‬‬



‫הפתרונות של משוואה זו הם הנקודות של המישור הנידון‪.‬‬



‫שימו לב‪ ,‬בעוד שבדוגמה הקודמת קבוצות הפתרונות אופיינה באמצעות אובייקט גיאומטרי "חד‬ ‫ממדי" – ישר‪ ,‬הפעם קבוצת הפתרונות מאופיינת באמצעות אובייקט "דוממדי" – מישור‪ .‬תוכלו‬



‫מבוא‬



‫‪9‬‬



‫לתהות – מהו בכלל ההבדל בין אובייקט "חדממדי" לאובייקט "דוממדי"? כיצד מגדירים מהו‬ ‫"מ ַמד"‪ ,‬והאם ניתן לעשות זאת באופן שאינו דורש התבוננות באיור?‬ ‫ֵ‬ ‫ציינו שהאלגברה עוסקת בחקר מערכות משוואות פולינומיאליות ובפתרונותיהן; כעת נוסיף ונאמר‬ ‫שהיא עוסקת גם בגיאומטריה של קבוצות הפתרונות‪ ,‬כלומר בהבנת האופן שבו תכונות אלגבריות של‬ ‫המשוואות‪ ,‬ה"מקודדות" במקדמים ובחזקות של המשתנים‪ ,‬משתקפות כתכונות גיאומטריות של‬ ‫קבוצת הפתרונות‪ .‬בדוגמאות לעיל הסתפקנו בהמחשת קבוצות הפתרונות של משוואות לינאריות‬ ‫בודדות‪ ,‬אך ניתן לבחון את הגיאומטריה של קבוצות פתרון למערכות מרובות משוואות‪ ,‬ואף נעשה‬ ‫זאת בהמשך‪ .‬שאלות גיאומטריות הנוגעות למערכות משוואות הן שאלות כגון שאלת ה"ממד" של‬ ‫קבוצת הפתרונות‪ ,‬ועוד שאלות נוספות שבהן לא ניגע כרגע‪.‬‬ ‫עד כה התבוננו במשוואות בשני נעלמים או בשלושה‪ .‬כאשר מספר המשתנים היה ‪ ,2‬ראינו את‬ ‫קבוצת הפתרונות כאובייקט בתוך המישור‪ ,‬וכאשר מספר המשתנים היה ‪ ,3‬ראינו את קבוצת‬ ‫הפתרונות כאובייקט בתוך המרחב‪ .‬מה לגבי משוואות )או מערכות( בארבעה נעלמים )או יותר(?‬ ‫בוודאי תצפו כי קבוצת הפתרונות תתאר אובייקט גיאומטרי בתוך "מרחב מממד ‪) "4‬או יותר(‪ .‬אך‬ ‫כיצד ניתן לעסוק בגיאומטריה של מרחבים שאיננו מסוגלים לראותם )או אפילו לדמיין לעצמנו(? כאן‬ ‫שוב בא לידי ביטוי כוחה של ההפשטה האלגברית‪ .‬מתוך התבוננות במבנים הנידונים במישור הדו‬ ‫ממדי ובמרחב התלתממדי‪ ,‬ניתן לנסח הגדרות מופשטות‪ ,‬המאפשרות להתייחס למבנים אנלוגיים‬ ‫בממדים גבוהים כרצוננו‪ ,‬ולחקור את תכונותיהם ה"גיאומטריות"‪ ,‬גם כאשר מגבלות הראייה‬ ‫האנושית מונעות מאיתנו להמחיש לעצמנו מבנים כאלה‪.‬‬ ‫הבנת הקשר שבין האלגברה לגיאומטריה של מערכת פולינומיאלית היא לרוב בעיה קשה‪ .‬אבל כאשר‬ ‫מצמצמים את הדיון למערכות לינאריות )שהן‪ ,‬כזכור‪ ,‬מערכות פולינומיאליות שכל המשוואות בהן‬ ‫לינאריות( – מתקבלת תורה מתמטית אלגנטית‪ ,‬המאפשרת לענות באופן מלא על כל השאלות‬ ‫והבעיות שנגענו בהן במבוא זה – קיומם של פתרונות‪ ,‬מציאתם‪ ,‬תיאורם באופן מפורש‪ ,‬וכן אפיון‬ ‫התכונות הגיאומטריות של קבוצות הפתרונות )לעיתים במרחב מממד גבוה מ‪ .(3‬תורה זו היא‬ ‫האלגברה הלינארית‪ ,‬ובה נעסוק במסגרת קורס זה‪.‬‬



‫‪10‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פרק ‪ | 1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪12‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪13‬‬



‫‪ 1.1‬פעולות על קבוצה‬ ‫בשיעורי חשבון בכיתות היסוד נלמדות ארבע פעולות החשבון הבסיסיות – חיבור‪ ,‬חיסור‪ ,‬כפל‪,‬‬ ‫חילוק‪ .‬הכינוי "פעולה" משקף את העובדה‪ ,‬שהן ְמ ַע ְ ּבדוֹ ת זוגות מספרים‪ ,‬ומפיקות מהם מספרים‬ ‫בודדים – הסכום‪ ,‬ההפרש‪ ,‬המכפלה או המנה של זוג המספרים‪.‬‬ ‫אנו נשתמש במונח "פעולה" באופן רחב יותר‪ ,‬ככינוי לכל תהליך המפיק תוצאה אחת מזוג נתונים‪.‬‬ ‫אם התהליך מפיק תוצאה מכל זוג איברים )שווים או שונים( של קבוצה נתונה ‪ 1, A‬נאמר שהתהליך‬ ‫הוא פעולה על ‪2. A‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ ‬לכל זוג מספרים )שווים או שונים( יש סכום‪ ,‬הפרש ומכפלה; בהתאם לכך‪ ,‬חיבור‪ ,‬חיסור וכפל הם‬ ‫פעולות על כל קבוצת מספרים ‪ . A‬לא כן החילוק‪ :‬אם ‪ A‬היא קבוצה של מספרים שהמספר ‪0‬‬ ‫הוא אחד מאיבריה‪ ,‬אז יש זוגות איברים מתוך ‪ , A‬שאין להם מנה ‪ -‬המנה ‪ a / b‬אינה מוגדרת‬ ‫כאשר ‪ . b  0‬אם כן‪ ,‬כאשר ‪ , 0  A‬החילוק אינו פעולה על ‪ , A‬אבל אם ‪ , 0  A‬אז גם החילוק‬ ‫הוא פעולה על ‪. A‬‬ ‫‪ ‬המספרים שאליהם מתוודעים בתחילת לימודי החשבון‪ ,‬הם המספרים ‪ , 1, 2, 3,...‬המכונים‬ ‫מספרים טבעיים‪ .‬נהוג לסמן את קבוצת המספרים הטבעיים ב! ‪ 3. ‬מאחר ש! ‪ , 0  ‬כל ארבע‬ ‫פעולות החשבון הבסיסיות – חיבור‪ ,‬חיסור‪ ,‬כפל וחילוק – הן פעולות על ‪. ‬‬ ‫גם העלאה בחזקה‪ ,‬המתאימה לכל ‪ a , b  ‬את ‪ , a b‬היא פעולה על ‪ . ‬אפשר‪ ,‬כמובן‪ ,‬להגדיר‬ ‫על ‪ ‬פעולות אחרות‪ ,‬כגון‪:‬‬ ‫‪5 a  b : a  b  8‬‬ ‫הפעולה ‪ 4, ‬המוגדרת כך‪ :‬לכל ‪, a , b  ‬‬ ‫לפי הגדרה זו‪) 3  2  13 ,‬ודאו(‪.‬‬ ‫‪6 a  b : max  a, b ‬‬ ‫או‬ ‫)מהו ‪ ? 8  10‬מהו ‪(? 5  5‬‬ ‫הממוצע החשבוני של ‪a  b : a, b‬‬ ‫או‬ ‫)מהו הפעם ‪ ? 8  10‬מהו ‪(? 4  7‬‬ ‫ספרת האחדות של ‪a  b : ( a  b)2‬‬ ‫או‬ ‫‪‬‬ ‫)לפי הגדרת ‪ ‬במקרה זה‪(. 4  7  1 ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬



‫קוראים שאינם בעלי רקע בתורת הקבוצות מתבקשים לקרוא בעיון את הסעיפים העוסקים בכך בפרקי ההכנה‪,‬‬ ‫לפני קריאת פרק זה‪.‬‬ ‫התוצאה המופקת היא לאו דווקא איבר של הקבוצה ‪. A‬‬ ‫הסמל ‪ ‬הוא ראש התיבה ‪ – Natural‬טבעי‪.‬‬ ‫בסימון ‪ ‬נשתמש לציון פעולות שונות על קבוצות שונות‪ .‬אותו הסמל יסמל כל פעם פעולה מתמטית אחרת‪.‬‬ ‫זאת – מטעמי נוחות בלבד‪ .‬עקרונית‪ ,‬יכולנו לבחור לכל פעולה חדשה שאנו מדגימים‪ ,‬סימון ייחודי משלה‪.‬‬ ‫כאשר נעסוק בפעולה מוכרת כגון החיבור‪ ,‬נשתמש בסימון המוכר )במקרה זה ‪.(+‬‬ ‫הסימון ‪ :‬מציין שהביטוי הרשום משמאלו מוגדר להיות הביטוי הרשום לימינו‪.‬‬ ‫הסימון ‪ max a , b‬מציין את המספר הגדול מבין ‪ a‬ו! ‪) b‬השווה לשניהם במקרה שהם שווים(‪.‬‬



‫‪14‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נחזור לפעולות החשבון הבסיסיות‪ .‬חיבור וכפל נתפסים בדרך כלל כפשוטים יותר מחיסור‪ ,‬שנחשב‬ ‫לפשוט יותר מחילוק‪ .‬אכן‪ ,‬לפעולות החיבור והכפל יש תכונות מסוימות שאין לפעולת החיסור‪,‬‬ ‫שעושות אותן "נוחות" יותר )ולפעולת החיסור יש תכונות שאין לפעולת החילוק‪ ,‬העושות אותה‬ ‫"נוחה" יותר(‪ .‬למשל‪ ,‬הסכום של זוג מספרים טבעיים הוא תמיד מספר טבעי‪ ,‬כך גם מכפלתם‪.‬‬ ‫ההפרש והמנה לאו דווקא )לדוגמה‪.( 2/3   , 2  3   ,‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.1‬סגירות של קבוצה לגבי פעולה‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה ותהי ‪ ‬פעולה על ‪ . A‬נאמר כי ‪ A‬סגורה לגבי‬



‫‪7, ‬‬



‫אם לכל ‪ a , b  A‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ab A‬‬



‫כעת אפשר להתבטא כך‪ :‬קבוצת המספרים הטבעיים ‪ ‬סגורה לגבי החיבור והכפל‪ ,‬אך אינה סגורה‬ ‫לגבי החיסור והחילוק‪.‬‬ ‫המגרעת של החיסור ניתנת לתיקון על!ידי הרחבת הקבוצה‪ :‬כשמוסיפים ל! ‪ ‬את המספר ‪ 0‬ואת‬ ‫המספרים השלמים השליליים – ‪ ,  1,  2,  3,...‬מתקבלת קבוצת המספרים השלמים‪,‬‬ ‫}‪ , {...,  3,  2,  1, 0,1, 2, 3,...‬שאותה נהוג לסמן ב! ‪ 8. ‬הקבוצה ‪ ‬סגורה לגבי החיסור‪ :‬ההפרש בין‬ ‫כל זוג מספרים שלמים )כמו גם סכומם( הוא תמיד מספר שלם‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.1.1‬‬ ‫בכל אחד מסעיפי השאלה נתונה קבוצה ‪ A‬ומוגדרת פעולה ‪ ‬על ‪ . A‬בכל מקרה בדקו אם הקבוצה‬ ‫סגורה לגבי הפעולה‪.‬‬ ‫א‪. a  b  a  b  8 , A   .‬‬ ‫ב‪. a  b  a  b  8 , A   .‬‬ ‫ג‪.‬‬



‫‪.a b  a  b  8 , A  ‬‬



‫ד‪. a  b  a  b  8 , A   .‬‬ ‫ה‪  , A   .‬היא פעולת החילוק‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬



‫‪. a  b  a 2b , A  ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪115‬‬ ‫לפעולת החיסור על ‪ ‬יש מגרעת שאינה ניתנת לתיקון על!ידי הרחבת הקבוצה‪ .‬לפני שנתאר אותה‪,‬‬ ‫נגדיר‪:‬‬



‫‪ 7‬ויש אומרים‪ :‬סגורה ביחס ל ‪. ‬‬ ‫‪ 8‬מקור הסימון במילה הגרמנית ‪ – Zahlen‬מספרים‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪15‬‬



‫)אסוֹ ְציָ אטיבית(‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.2‬פעולה קיבוצית ָ‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה ותהי ‪ ‬פעולה על ‪ . A‬נאמר כי ‪ ‬היא פעולה קיבוצית‪ ,‬אם ‪ A‬סגורה לגבי ‪ , ‬ולכל‬ ‫‪ a , b, c  A‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪( a  b )  c  a  (b  c‬‬



‫בהגדרת הקיבוציות כללנו את הדרישה ש! ‪ A‬תהיה סגורה ביחס ל! ‪ . ‬נסביר מדוע‪ :‬אם ‪ ‬היא‬ ‫פעולה על ‪ , A‬אבל ‪ A‬אינה סגורה לגבי ‪ , ‬אז יש זוג איברים ‪ , a , b  A‬שעבורם ‪ . a  b  A‬במקרה‬ ‫זה ייתכן ש! ‪ ( a  b )  c‬אינו מוגדר בכלל‪.‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ ‬החיבור והכפל הן פעולות קיבוציות על קבוצת המספרים השלמים ‪: ‬‬ ‫‪ ‬סגורה לגבי הפעולות הללו‪ ,‬ולכל ‪ a , b, c  ‬מתקיים ) ‪( a  b )  c  a  ( b  c‬‬ ‫וכן‪:‬‬ ‫) ‪( ab ) c  a ( bc‬‬ ‫‪ ‬פעולת החיסור על ‪ ‬אינה קיבוצית‪ ,‬למרות ש! ‪ ‬סגורה לגביה‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫)‪ . (1  2)  3  1  (2  3‬אמנם יש מקרים שבהם ) ‪ , ( a  b )  c  a  ( b  c‬לדוגמה‬ ‫)‪ , (1  1)  0  1  (1  0‬אבל אין די בכך‪ ,‬שכן הדרישה המופיעה בהגדרה ‪ 1.1.2‬היא שהשוויון‬ ‫) ‪ ( a  b)  c  a  (b  c‬יתקיים לכל ‪. a , b, c  A‬‬ ‫‪ ‬פעולת החילוק אינה מוגדרת על ‪) ‬שכן מנת חילוק ב! ‪ 0‬אינה מוגדרת(‪.‬‬ ‫‪ ‬פעולת החילוק אמנם מוגדרת על ‪ , ‬אבל ‪ ‬אינה סגורה לגבי החילוק‪.‬‬ ‫‪ ‬נחזור לפעולת החזקה‪. a  b : ab ,‬‬ ‫‪ ‬סגורה לגבי פעולה זו‪ ,‬אבל הפעולה אינה קיבוצית‪ :‬למשל‪,‬‬ ‫)‪(2  2)  3  2  (2  3‬‬



‫שכן‬ ‫ואילו‪:‬‬



‫‪(2  2)  3  (22 )  3  4  3  43  64‬‬ ‫‪ 256  64‬‬



‫‪28‬‬



‫‪ 28 ‬‬



‫) ‪2  (23‬‬



‫‪2  (2  3) ‬‬



‫‪‬‬



‫כאשר ‪ ‬היא פעולה קיבוצית על ‪ , A‬ו! ‪ , a , b, c  A‬נהוג להשתמש בסימון ‪ a  b  c‬כתחליף לכל‬ ‫אחד מהביטויים ‪ ( a  b )  c‬ו! ) ‪ , a  (b  c‬המציינים אותו איבר של ‪. A‬‬ ‫שאלה ‪1.1.2‬‬ ‫א‪ .‬חזרו לשאלה ‪ .1.1.1‬בכל סעיף בדקו אם הפעולה המוגדרת בו היא קיבוצית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬תהי ‪ ‬פעולה קיבוצית על ‪ , A‬ויהיו ‪ . a , b, c, d  A‬הראו שמתקיים‪:‬‬ ‫‪( a  b )  ( c  d )  (( a  b )  c )  d‬‬



‫התשובה בעמוד ‪115‬‬



‫‪16‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫באמצעות ההגדרה הבאה נאיר היבט נוסף‪ ,‬העושה את החיבור והכפל ל"פשוטים" יותר מן החיסור‬ ‫והחילוק‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.3‬פעולה חילופית )קוֹ מו ָּטטיבית(‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה ותהי ‪ ‬פעולה על ‪ . A‬נאמר כי ‪ ‬היא פעולה חילופית‪ ,‬אם לכל ‪ a , b  A‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ab  ba‬‬



‫החיבור והכפל הן פעולות חילופיות‪ .‬החיסור והחילוק אינן פעולות חילופיות‪ .‬למשל‪:‬‬ ‫‪1 / 2  2 / 1, 1  2  2  1‬‬



‫שאלה ‪1.1.3‬‬ ‫א‪ .‬חזרו לשאלה ‪ 1.1.1‬ובדקו בכל אחד מן הסעיפים שם‪ ,‬אם הפעולה הנידונה חילופית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬תהי ‪ ‬פעולה על ‪ , A‬שהיא חילופית וקיבוצית‪ ,‬ויהיו ‪ . a , b, c, d  A‬הראו‪:‬‬ ‫) ‪(( a  b )  c )  d  (b  a )  ( c  d‬‬



‫התשובה בעמוד ‪115‬‬ ‫כמעט בכל הדוגמאות עד כה עסקנו בפעולות על קבוצות של מספרים‪ .‬כעת נדגים פעולות על קבוצות‬ ‫בעלות אופי אחר‪.‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ ‬תהי ‪ X‬קבוצה כלשהי‪ .‬הקבוצה ) ‪ – P ( X‬קבוצת החזקה של ‪ – X‬היא אוסף התתקבוצות‬ ‫של ‪9. X‬‬ ‫האיחוד‪ ,‬המתאים לכל ‪) A, B  X‬כלומר לכל ) ‪ ( A, B  P ( X‬את ‪, A  B‬‬ ‫והחיתוך‪ ,‬המתאים לכל ‪) A, B  X‬כלומר לכל ) ‪ ( A, B  P ( X‬את ‪, A  B‬‬ ‫הן פעולות על ) ‪ . P ( X‬הקבוצה ) ‪ P ( X‬סגורה לגבי כל אחת מהן‪ ,‬וכל אחת מהן היא קיבוצית‬ ‫וחילופית )ודאו!(‪.‬‬ ‫‪ ‬אם ‪ A‬היא קבוצה סופית לא ריקה‪ ,‬נוכל להגדיר פעולה על ‪ A‬באופן שרירותי לחלוטין‪,‬‬ ‫על!ידי פירוט תוצאת הפעולה לכל זוג איברים בקבוצה‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬הטבלה הבאה מגדירה פעולה ‪ ‬על }‪: A  {a , b, c‬‬



‫‪ 9‬ראו בכרך ההכנה‪.‬‬



‫‪c‬‬



‫‪b‬‬



‫‪a‬‬



‫‪‬‬



‫‪c‬‬



‫‪b‬‬



‫‪a‬‬



‫‪a‬‬



‫‪a‬‬



‫‪c‬‬



‫‪b‬‬



‫‪b‬‬



‫‪c‬‬



‫‪c‬‬



‫‪c‬‬



‫‪c‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪17‬‬



‫לכל ‪ x  y , x , y  A‬הוא האיבר שרשום במשבצת הנמצאת בשורה שכותרתה ‪ , x‬בעמודה‬ ‫‪‬‬ ‫שכותרתה ‪) y‬למשל‪.( b  c  a , c  b  c ,‬‬ ‫שאלה ‪1.1.4‬‬ ‫האם הקבוצה }‪ A  {a , b, c‬סגורה לגבי הפעולה ‪ ‬המתוארת בטבלה הקודמת? האם הפעולה‬ ‫קיבוצית? חילופית?‬ ‫התשובה בעמוד ‪115‬‬ ‫נתבונן בקבוצת המספרים השלמים ‪ ‬ובפעולות החיבור והכפל‪ .‬כולכם מכירים את הכלל המקשר‬ ‫בין שתי הפעולות האלה‪ ,‬המכונה חוק הפילוג )של הכפל מעל החיבור(‪ ,‬שלפיו לכל ‪a , b, c  ‬‬ ‫מתקיים ‪ . a ( b  c )  ab  ac‬בהגדרה הבאה נתייחס לשתי פעולות כלשהן על אותה קבוצה‪ ,‬ונגדיר‬ ‫מתי אחת מהן מתפלגת מעל האחרת‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.4‬פילוג של פעולה מעל פעולה אחרת )דיסטריבּוּטיביוּת(‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה‪ ,‬ותהיינה ‪ &, ‬פעולות על ‪ , A‬אשר ‪ A‬סגורה לגביהן‪ .‬נאמר שהפעולה ‪ ‬מתפלגת‬ ‫מעל הפעולה &‪ ,‬אם לכל ‪ a , b, c  A‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪a  (b & c )  ( a  b ) & ( a  c‬‬



‫הסבירו בעצמכם מדוע דרשנו בהגדרה את הסגירוּת של ‪ A‬לגבי שתי הפעולות‪.‬‬ ‫כאמור‪ ,‬ב! ‪ ‬הכפל מתפלג מעל החיבור‪ .‬הנה דוגמה נוספת‪:‬‬ ‫דוגמה‬ ‫תהי )‪ P (X‬קבוצת החזקה של קבוצה כלשהי ‪. X‬‬ ‫כפי שראיתם בכרך ההכנה‪ ,‬לכל ) ‪ A, B , C  P ( X‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C‬‬



‫וכן‪:‬‬



‫) ‪A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C‬‬



‫במונחי הגדרה ‪ ,1.1.4‬פירוש הדבר הוא‪ ,‬שהחיתוך מתפלג מעל האיחוד‪ ,‬והאיחוד מתפלג מעל החיתוך‪.‬‬ ‫‪‬‬



‫האיברים של ) ‪ P ( X‬הם קבוצות‪ ,‬שנתפסות כאובייקטים מתמטיים בעלי אופי שונה ממספרים‪ .‬אך‬ ‫עיון בקבוצה ) ‪ P ( X‬עם פעולות האיחוד והחיתוך‪ ,‬מגלה קווי דמיון לא מעטים בינה ובין קבוצת‬ ‫המספרים השלמים עם פעולות החיבור והכפל‪ .‬בשני המקרים הקבוצה סגורה לגבי שתי הפעולות;‬ ‫בשני המקרים שתי הפעולות חילופיות וקיבוציות‪ ,‬ובשניהם – הפעולה השנייה מתפלגת מעל‬



‫‪18‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הראשונה‪ .‬למרות שהדמיון אינו מלא )הצביעו בעצמכם על‬ ‫עולמות מתמטיים שונים‪ .‬הנה היבט נוסף שלה‪:‬‬ ‫לכל ‪ a  ‬מתקיים‪ 0  a :‬‬



‫כמו כן‪,‬‬ ‫לכל ‪ a  ‬מתקיים‪ 1  a :‬‬



‫‪11 a‬‬



‫‪13 a‬‬



‫הבדל(‪10,‬‬



‫מסתמנת אנלוגיה בין שני‬



‫;‬



‫לכל ) ‪ A  P ( X‬מתקיים‪A    A :‬‬



‫;‬



‫לכל ) ‪ A  P ( X‬מתקיים‪A  X  A :‬‬



‫‪12‬‬



‫‪14‬‬



‫הטענות שבצד ימין אומרות‪:‬‬ ‫הוספת ‪ 0‬אינה משפיעה על הסכום; כפל ב!‪ 1‬אינו משפיע על המכפלה‪.‬‬ ‫או‪ ,‬כפי שמקובל להתבטא‪:‬‬ ‫ב! ‪ , ‬המספר ‪ 0‬נֵ יטרלי ביחס לחיבור‪ ,‬והמספר ‪ 1‬נֵ יטרלי ביחס לכפל‪.‬‬ ‫כיוצא בזה אפשר לנסח את הטענות שבצד שמאל כך‪:‬‬ ‫ב! ) ‪ , P ( X‬הקבוצה הריקה ‪ ‬נֵ יטרלית ביחס לאיחוד‪ ,‬והקבוצה ‪ X‬נֵ יטרלית ביחס לחיתוך‪.‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬נגדיר‪:‬‬ ‫יט ָרלִ י‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.5‬איבר נֵ ְ‬ ‫תהי ‪ ‬פעולה על קבוצה ‪ , A‬ויהי ‪ e‬איבר של ‪ . A‬נאמר כי ‪ e‬נֵ יטרלי ביחס ל ‪ , ‬אם לכל ‪a  A‬‬ ‫‪ae  ea  a‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫דוגמה‬ ‫כאשר ‪) A  ‬קבוצת המספרים השלמים(‪ ,‬יש ב! ‪ A‬איבר ניטרלי ביחס לחיבור – המספר ‪ ,0‬ויש‬ ‫ב! ‪ A‬איבר ניטרלי ביחס לכפל – המספר ‪ .1‬אם מצמצמים את ‪ , A‬ומסתפקים ב! ‪) A  ‬קבוצת‬ ‫המספרים הטבעיים(‪ ,‬שהיא קבוצה חלקית ממש ל! ‪ , ‬המספר ‪ 1‬נותר בה‪ ,‬והוא‪ ,‬כמובן‪ ,‬עדיין ניטרלי‬ ‫‪‬‬ ‫ביחס לכפל; אבל המספר ‪ ,0‬שאינו מספר טבעי‪ ,‬נשמט ממנה‪.‬‬ ‫למעשה מתקיימת הטענה שלהלן‪:‬‬ ‫טענה‬ ‫בקבוצת המספרים הטבעיים אין איבר ניטרלי ביחס לחיבור‪.‬‬



‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬



‫ב! ) ‪ , P( X‬החיתוך מתפלג מעל האיחוד‪ ,‬והאיחוד מתפלג מעל החיתוך‪ .‬ב! ‪ , ‬הכפל מתפלג מעל החיבור‪ ,‬אבל‬ ‫החיבור אינו מתפלג מעל הכפל‪ .‬למשל‪. 2  (3  4)  (2  3)  (2  4) ,‬‬ ‫וכמובן גם ‪ , 0  a  a‬כי פעולת החיבור חילופית‪.‬‬ ‫וכמובן גם ‪ ,   A  A‬כי פעולת האיחוד חילופית‪.‬‬ ‫וכמובן גם ‪ , 1  a  a‬כי פעולת הכפל חילופית‪.‬‬ ‫וכמובן גם ‪ , X  A  A‬כי פעולת החיתוך חילופית‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪19‬‬



‫ייתכן שאתם תוהים‪ :‬מה יש פה להוכיח? הרי "הוצאנו" את ‪ 0‬הניטרלי!‬ ‫נכון‪ , 0   ,‬אבל לא הראינו שבין המספרים הטבעיים ‪) 1, 2, 3,...‬כלומר בין איברי ‪ ,( ‬אין איזשהו‬ ‫מספר נֵ יטרלי ביחס לחיבור‪ .‬זה מה שנראה כעת‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח בשלילה שאיזשהו מספר טבעי ‪ e‬הוא ניטרלי ביחס לחיבור ב‪.  -‬‬ ‫לאור הנחה זו‪ ,‬לכל ‪ , e  a  a , a  ‬ובפרט – ‪ . e  1  1‬מצד שני‪ e ,‬הוא מספר טבעי‪ ,‬לכן‬ ‫‪ , e  1‬ולכן ‪ . e  1  1  1  2  1‬הסתירה שאליה הגענו ) ‪ e  1  1‬ובה בעת ‪ ,( e  1  1‬פוסלת‬ ‫את הנחת השלילה‪ .‬לכן אין מספר טבעי שהוא ניטרלי ביחס לחיבור‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪15.‬‬ ‫זאת ועוד‪ ,‬האם מכך ש! ‪ 0  ‬וש!‪ 0‬ניטרלי ביחס לחיבור ב! ‪ , ‬נובע שאין מספר שלם אחר שגם‬ ‫הוא ניטרלי ביחס לחיבור? התשובה היא – כן‪ ,‬אך במקום להוכיח זאת‪ ,‬נוכיח )בקלות( טענה כללית‬ ‫יותר‪ ,‬שממנה נובע מיידית ש!‪ 0‬הוא המספר השלם היחיד שהוא ניטרלי ביחס לחיבור‪ ,‬ו!‪ 1‬הוא השלם‬ ‫היחיד שהוא ניטרלי ביחס לכפל‪ ,‬ועוד‪.‬‬ ‫משפט ‪1.1.6‬‬ ‫תהי ‪ ‬פעולה על קבוצה ‪. A‬‬ ‫ב! ‪ A‬יש לכל היותר איבר אחד שהוא ניטרלי ביחס ל! ‪. ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫כדי להוכיח את הטענה‪ ,‬נניח ש! ‪ , e, e   A‬ושניהם ניטרליים ביחס לפעולה ‪ , ‬ונַ ראה שבהכרח‬ ‫'‪: e  e‬‬ ‫לאור הניטרליות של ‪, e‬‬ ‫‪e  e  e‬‬ ‫ולאור הניטרליות של ‪, e‬‬ ‫‪e  e  e‬‬ ‫אם כן‪ ,‬כל אחד מבין ‪ e, e‬הוא ‪ , e  e‬לכן‪:‬‬ ‫‪e  e‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫אם בקבוצה כלשהי ‪ A‬יש איבר ‪ , e‬שהוא ניטרלי ביחס לפעולה ‪ ‬על ‪ , A‬אז לאור משפט ‪,1.1.6‬‬ ‫‪ e‬הוא האיבר היחיד של ‪ A‬שהוא ניטרלי ביחס ל! ‪ , ‬ואפשר לקרוא לו האיבר הניטרלי )בהא‬ ‫הידיעה( של ‪ A‬ביחס ל! ‪ . ‬ננסח תוצאה חשובה זו כמסקנה ממוספרת‪ ,‬למשמרת‪:‬‬ ‫מסקנה ‪1.1.7‬‬ ‫אם ‪ e  A‬הוא ניטרלי ביחס לפעולה ‪ ‬על ‪ , A‬אז ‪ e‬הוא האיבר הניטרלי היחיד של ‪ A‬ביחס ל! ‪. ‬‬ ‫איך בודקים אם קיים איבר ניטרלי ביחס לפעולה ‪ ‬על קבוצה ‪ ? A‬נדגים‪:‬‬



‫‪ 15‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬הם ראשי התיבות של 'מה שהיה להוכיח'‪ .‬סימון מקובל אחר לסיום הוכחה הוא ‪ ;Q.E.D‬מקורו בביטוי‬ ‫הלטיני האומר אותו הדבר – '‪.'quod erat demonstrandum‬‬



‫‪20‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫דוגמה‬ ‫נבדוק אם קיים ב! ‪ ‬איבר ניטרלי ביחס לפעולת החזקה‪ ,‬המוגדרת על קבוצת המספרים הטבעיים‬ ‫‪ ‬על!ידי ‪: a  b  ab‬‬ ‫אם ‪ e  ‬הוא איבר ניטרלי ביחס לפעולה הזאת‪ ,‬אז לכל ‪ . e  a  a , a  ‬בפרט‪, e  1  1 ,‬‬ ‫כלומר ‪ , e1  1‬כלומר ‪ . e  1‬אם כן‪ 1 ,‬הוא המועמד היחיד לתפקיד האיבר הניטרלי‪ .‬האם השוויון‬ ‫‪ 1  a  a‬מתקיים לכל ‪ ? a  ‬לא‪ .‬למשל‪ , 1  2  12  1 ,‬כלומר ‪ . 1  2  2‬והמסקנה – אין‬ ‫‪‬‬ ‫איבר ניטרלי ב! ‪ ‬ביחס ל! ‪. ‬‬ ‫שאלה ‪1.1.5‬‬ ‫חזרו לשאלה ‪ 1.1.1‬ובדקו קיום של איבר ניטרלי בכל אחד מן הסעיפים של השאלה‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪116‬‬ ‫דוגמה‬ ‫נחזור לקבוצת החזקה‪ , P ( X ) ,‬של קבוצה נתונה ‪ . X‬כאמור‪ ,‬הקבוצה הריקה ‪ , ‬שהיא איבר של‬ ‫) ‪ , P ( X‬ניטרלית ביחס לאיחוד‪ ,‬שהרי לכל ) ‪ B  P ( X‬מתקיים ‪ . B      B  B‬הקבוצה ‪, X‬‬ ‫שאף היא איבר של ) ‪ , P ( X‬ניטרלית ביחס לחיתוך‪ ,‬שהרי לכל ) ‪ B  P ( X‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪BX  X B B‬‬



‫‪‬‬



‫האנלוגיה בין ) ‪) P ( X‬עם פעולות האיחוד והחיתוך( לבין ‪) ‬עם פעולות החיבור והכפל( מתרחבת;‬ ‫בשני המקרים יש איבר ניטרלי ביחס לכל אחת משתי הפעולות‪ .‬אבל האנלוגיה אינה מלאה‪ :‬התכונה‬ ‫הבאה שנגדיר תסייע להצביע על הבדל בולט בין השתיים‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.8‬איבר הפיך ביחס לפעולה‬ ‫תהי ‪ ‬פעולה על קבוצה ‪ , A‬ונניח שב! ‪ A‬יש איבר ניטרלי ביחס ל! ‪ 16. ‬נסמן איבר זה ב! ‪ . e‬איבר‬ ‫‪ a  A‬נקרא איבר ָהפיך ביחס ל ‪ , ‬אם קיים ‪ b  A‬המקיים ‪. a  b  b  a  e‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫א‪  , A   .‬פעולת החיבור‪:‬‬ ‫כל איברי ‪ ‬הפיכים ביחס לפעולה זו‪ ,‬שכן אם ‪ x‬הוא מספר שלם‪ ,‬אז גם ) ‪ (  x‬הוא מספר שלם‬ ‫ומתקיים‪:‬‬ ‫‪x  ( x)  ( x)  x  0‬‬ ‫ב‪  , A   .‬פעולת החיבור‪:‬‬ ‫ראינו בטענה שלפני משפט ‪ ,1.1.6‬שב! ‪ ‬אין איבר ניטרלי‪ .‬לכן‪ ,‬במקרה זה‪ ,‬אין טעם לדון בשאלת‬ ‫הקיום של איברים הפיכים‪ ,‬שהרי הגדרה ‪ 1.1.8‬מתייחסת רק לפעולות שעבורן יש בקבוצה‬ ‫הנידונה איבר ניטרלי‪.‬‬



‫‪ 16‬בהכרח יחיד‪ ,‬על פי מסקנה ‪.1.1.7‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫ג‪.‬‬



‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬



‫ו‪.‬‬



‫‪21‬‬



‫‪  , A  ‬פעולת הכפל‪:‬‬ ‫המספר ‪ 1‬הפיך; הוא עצמו מקיים ‪ . 1  1  1‬בקבוצה זו‪ ,‬המספר ‪ 1‬הוא האיבר היחיד שהוא‬ ‫הפיך ביחס לכפל )נמקו(‪.‬‬ ‫‪  , A  ‬פעולת הכפל‪.‬‬ ‫במקרה זה‪ ,‬האיברים ההפיכים הם המספרים ‪ , 1 ,1‬והם בלבד )נמקו!(‪.‬‬ ‫) ‪ X ) A  P ( X‬קבוצה כלשהי(‪  ,‬פעולת האיחוד‪:‬‬ ‫האיבר ) ‪   P ( X‬הפיך‪ ,‬כי ‪  .     ‬הוא האיבר היחיד של ) ‪ P ( X‬שהוא הפיך ביחס‬ ‫לאיחוד‪ .‬אכן‪ ,‬אם ‪ B‬הפיך‪ ,‬אז יש ) ‪ C  P ( X‬כך ש־ ‪ , B  C  ‬ומכיוון ש־ ‪, B  B  C‬‬ ‫בהכרח ‪. B  ‬‬ ‫) ‪ X ) A  P ( X‬קבוצה כלשהי(‪  ,‬פעולת החיתוך‪:‬‬ ‫‪ , X  X  X‬לכן הקבוצה ‪ X‬היא איבר הפיך של ) ‪ X . P ( X‬הוא האיבר היחיד של ) ‪P ( X‬‬ ‫שהוא הפיך ביחס לחיתוך‪ .‬אכן‪ ,‬אם ) ‪ B  P ( X‬איבר הפיך‪ ,‬אז יש ) ‪ C  P ( X‬כך‬ ‫‪‬‬ ‫ש־ ‪ . B  C  X‬מכך ש־ ‪ X  B  B  C  X‬נובע‪. B  X :‬‬



‫הדוגמאות הללו חושפות הבדל בין ) ‪ P ( X‬עם פעולות האיחוד והחיתוך‪ ,‬לבין ‪ ‬עם פעולות החיבור‬ ‫והכפל‪ :‬ב־ ‪ , ‬כל האיברים הפיכים ביחס לחיבור‪ ,‬ויש שני איברים הפיכים ביחס לכפל‪ .‬לעומת זאת‪,‬‬ ‫ב־ ) ‪ P ( X‬יש איבר אחד בלבד שהוא הפיך ביחס לאיחוד‪ ,‬ואיבר אחד בלבד שהוא הפיך ביחס‬ ‫לחיתוך‪.‬‬ ‫ב־ ‪ ‬עצמה‪ ,‬הדוגמאות מצביעות על שוני בין תכונות החיבור והכפל‪ .‬ביחס לחיבור – כל איברי ‪‬‬



‫הפיכים; ביחס לכפל – רק שניים מהם‪ .‬ריבוי איברים הפיכים ביחס לפעולה נתונה היא תכונה‬ ‫מתמטית נוחה מאוד‪ .‬שפע איברים הפיכים ביחס לכפל קיים בקבוצת המספרים הרציונליים‪,‬‬ ‫שאותה נהוג לסמן ב־ ‪17. ‬‬ ‫כמה עובדות על אודות מספרים רציונליים‪:‬‬ ‫‪ ‬מספר רציונלי הוא מנת החילוק של מספר שלם במספר שלם שונה מ־ ‪.0‬‬ ‫‪  ‬מכיל את ‪ , ‬משום שכל מספר שלם הוא מספר רציונלי )כל מספר שלם ‪ a‬הוא מנת חילוק‬ ‫‪a‬‬ ‫של עצמו ב־ ‪ a , 1‬‬ ‫‪1‬‬



‫(‪.‬‬



‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ההצגה של מספר רציונלי כמנה איננה יחידה‪ .‬כפי שלמדתם בבית־הספר‪ ad  bc ,‬‬ ‫‪b d‬‬ ‫)הסימן " ‪ ," ‬המכונה סימן השקילות‪ ,‬מציין את צירוף המילים "אם ורק אם"‪(.‬‬



‫למשל‪:‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪ , 2  6  4  3‬לכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪ , 4  1  3  3‬לכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 4‬‬



‫‪.‬‬



‫‪ 17‬לציון המילה ‪ – Quotient‬מנה‪.‬‬



‫‪22‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ ‬חיבור וכפל של מספרים רציונליים‪ ,‬מוגדרים‪ ,‬כידוע‪ ,‬לפי הכללים האלה‪:‬‬ ‫‪ad  bc‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪ b  d ‬‬ ‫‪bd‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a  c  ac‬‬ ‫‪ b d‬‬ ‫‪bd‬‬



‫עבור ‪ a , b, c , d‬שלמים‪, d , b  0 ,‬‬



‫קבוצת המספרים הרציונליים‪ ,‬עם פעולות החיבור והכפל עליה‪ ,‬היא בעלת שלל תכונות מתמטיות‬ ‫רצויות‪ .‬את העיקריות שבהן נסכם בטענה הבאה‪ ,‬החותמת את הסעיף‪.‬‬ ‫טענה ‪1.1.9‬‬ ‫תהי ‪ ‬קבוצת המספרים הרציונליים ותהיינה ‪ ‬ו! ‪ ‬פעולות החיבור והכפל עליה‪ .‬אז‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬



‫‪ ‬סגורה לגבי שתי הפעולות‪.‬‬ ‫שתי הפעולות הן קיבוציות‪.‬‬ ‫שתי הפעולות הן חילופיות‪.‬‬ ‫ב! ‪ ‬המספר ‪ 0‬ניטרלי ביחס לחיבור והמספר ‪ 1‬ניטרלי ביחס לכפל‪.‬‬ ‫הכפל מתפלג מעל החיבור‪.‬‬ ‫כל איברי ‪ ‬הפיכים ביחס לחיבור‪ ,‬וכל איברי ‪ ‬פרט ל! ‪ 0‬הפיכים ביחס לכפל‪ .‬אכן‪,‬‬ ‫לכל ‪ a , b‬שלמים‪: b  0 ,‬‬ ‫לכל ‪ a , b‬שלמים‪: a , b  0 ,‬‬



‫‪a a‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b b a‬‬ ‫‪   1‬‬ ‫‪a a b‬‬ ‫‪‬‬



‫‪a a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬



‫לא נוכיח טענה זו – אנו משאירים לקוראים לוודא את נכונותה‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪23‬‬



‫‪ 1.2‬שדות‬ ‫א‪ .‬הקדמה‬ ‫ַה ְפ ָש ָטה היא אחד התהליכים הרווחים במתמטיקה‪ .‬על פי רוב‪ ,‬נקודת המוצא היא אובייקט מתמטי‬ ‫נתון שאנו מתעניינים בו‪ ,‬אשר כמה מתכונותיו המוכרות לנו נראות בסיסיות או רצויות במיוחד‪.‬‬ ‫ההפשטה מתבטאת בכך‪ ,‬שבמקום להמשיך לחקור את התכונות של האובייקט המוכר‪ ,‬אנו אומרים‪:‬‬ ‫הבה נחקור את התכונות של אובייקט מתמטי מופשט‪ ,‬אשר לגביו נקבל כאקסיומות את התכונות‬ ‫הרצויות של האובייקט המוכר )שאנו מניחים שהאובייקט המופשט ניחן בהן(‪ .‬האובייקט המוכר‬ ‫משמש‪ ,‬אם כן‪ ,‬כמקור השראה להגדרת אובייקט מופשט‪ ,‬אשר מלבד התכונות שבחרנו לייחס לו‪,‬‬ ‫איננו יודעים עליו ולא כלום‪ .‬האובייקט המופשט ישמש כאב טיפוס לאובייקטים בעלי התכונות‬ ‫שמעניינות אותנו; כל טענה שנוכיח ביחס אליו‪ ,‬תהיה בהכרח נכונה לגבי האובייקט המוכר‪ ,‬שכן היא‬ ‫נובעת מתכונות שיש לו‪ .‬כל טענה כזאת תהיה נכונה גם לגבי כל אובייקט מתמטי אחר שמקיים את‬ ‫"ת ַפ ְשֹ ָת ְמרו ֶ ּּבה"‪.‬‬ ‫האקסיומות‪ .‬הוכחת טענות הנוגעות לאובייקט המופשט תהיה אפוא בבחינת ָ‬ ‫דוגמה‬ ‫בהגדרה ‪ 1.1.5‬הגדרנו איבר ניטרלי ביחס לפעולה על קבוצה ‪ . A‬אחר כך הוכחנו במסקנה ‪ ,1.1.7‬שאם‬ ‫בקבוצה )כלשהי( יש איבר ניטרלי לגבי פעולה )כלשהי(‪ ,‬אז יש רק אחד כזה‪ .‬המסקנה מדברת על‬ ‫אובייקט מופשט )קבוצה( ופעולה עליה‪ .‬אין בה שום הנחות‪ ,‬לא ביחס לקבוצה ולא ביחס לפעולה‪.‬‬ ‫המסקנה מלמדת אפוא על מגוון גדול של פעולות שונות על קבוצות שונות‪ :‬אם בקבוצה מסוימת‬ ‫כלשהי נמצא איבר ניטרלי ביחס לפעולה מסוימת‪ ,‬אין צורך לבדוק את יחידותו‪ ,‬שכן המסקנה‬ ‫‪‬‬ ‫הכללית מבטיחה אותה‪.‬‬ ‫מידת ההצלחה של הפשטה נקבעת במבחן התוצאה‪ .‬חלק נכבד מניסיונות ההפשטה של מתמטיקאים‬ ‫עולה בתוהו‪ :‬במשך הזמן מתברר‪ ,‬שחקר האובייקט המופשט שהגדירו אינו מניב ברכה מרובה‪.‬‬ ‫ההפשטות המוצלחות הן אלה אשר בדיעבד מסתבר שהיה בהן כדי להוליד תובנות חדשות בעלות ערך‪.‬‬ ‫ש ֶדה‪ .‬האובייקט המוכר‬ ‫בסעיף זה נגדיר את אחד המבנים המופשטים המרכזיים של האלגברה – ָ ‬ ‫‪ֶ %‬ש ְ ּי ַס ּ ֵפק את ההשראה להגדרת מבנה זה הוא קבוצת המספרים הרציונליים ‪ ‬עם פעולות החיבור‬ ‫והכפל הרגילות; לאובייקט המופשט שייקרא "שדה" נייחס תכונות שתיקראנה אקסיומות השדה‪.‬‬ ‫אלה תהיינה התכונות הבסיסיות של החיבור והכפל על ‪ , ‬שנמנו בטענה ‪ 1.1.9‬בסוף הסעיף הקודם‪.‬‬ ‫האובייקט המוכר שאנו בוחרים בו הוא מבנה בעל שלושה מרכיבים‪ :‬המרכיב הראשון הוא הקבוצה‬ ‫‪ , ‬ושני המרכיבים האחרים הם פעולות החיבור והכפל על ‪" . ‬שדה" מופשט יהיה‪ ,‬בהתאם לכך‪,‬‬ ‫מבנה מתמטי בעל שלושה מרכיבים‪ :‬קבוצה ושתי פעולות עליה‪ .‬הקבוצה תסומן בדרך כלל באות‬ ‫‪ 1. F‬שתי הפעולות תסומנה ב& ‪  F‬וב& ‪ . F‬לפעולה שסומנה ‪  F‬נקרא "חיבור על ‪ ," F‬ולפעולה‬ ‫שסומנה ‪ F‬נקרא "כפל על ‪." F‬‬



‫‪ 1‬להזכירכם‪ ,‬האות ‪ F‬מלשון ‪ – field‬שדה‪.‬‬



‫‪24‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫בחירת הסימנים והכינויים הללו עבור הפעולות אינה שרירותית‪ :‬היא נועדה להזכיר את מקור‬ ‫ההשראה – ‪ ‬עם פעולות החיבור והכפל של מספרים‪ .‬כשחושבים על המבנה המסוים הזה‪ ,‬קל‬ ‫להבין את אקסיומות השדה שנציג מיד; מה שהן "אומרות" הוא‪ ,‬ששתי הפעולות במבנה המופשט‬ ‫המכונה "שדה" הן בעלות התכונות הבסיסיות שיש לחיבור ולכפל של מספרים רציונליים‪ .‬עם זאת‪,‬‬ ‫במהלך העיון בהגדרת השדה )הגדרה ‪ 1.2.1‬להלן(‪ ,‬עליכם לזכור ש& ‪ F‬אינה בהכרח קבוצה של‬ ‫השמות "חיבור"‬ ‫מספרים‪ ,‬ושפעולות החיבור והכפל על ‪ F‬אינן בהכרח חיבור וכפל של מספרים‪ֵ .‬‬ ‫ו"כפל"‪ ,‬שיוּחדו במקורם לפעולות מסוימות‪ ,‬משמשים בהגדרת השדה ככינויים לפעולות מופשטות‬ ‫בעלות תכונות מסוימות‪.‬‬ ‫התופעה של מוּתג שהופך להיות שם עצם כללי‪ ,‬מוכרת משפת הדיבור‪ :‬למשל‪ ,‬למקרר חשמלי )כלשהו(‬ ‫נהגו )בעבר הרחוק( לקרוא "פריג'ידר" )המותג של החברה האמריקאית "‪" ;("Frigidaire‬ג'יפ" – מותג‬ ‫של חברת קרייזלר – הפך בפי רבים לשם גנרי המקביל לרכב שטח; "סלוטייפ" ‪ -‬מותג שהפך לשם‬ ‫גנרי; "ג'קוזי" ‪ -‬בריכה קטנה‪ ,‬המחוממת לטמפרטורה גבוהה‪ ,‬נקרא על שם חברת "ג'קוזי"‬ ‫האמריקאית המייצרת מתקנים כאלה‪ .‬כך גם לגבי המותגים הישראליים המוכרים סוכרזית‪ ,‬במבה‪,‬‬ ‫ארטיק‪ ,‬קרמבו וטרופית‪ .‬אף על פי כן‪ ,‬בתחילת הדרך נקפיד לסמן את הפעולות של השדה המופשט‬ ‫בדרך המשקפת את כלליותן‪ ,‬ומבהירה את עובדת היותן של הפעולות על הקבוצה ‪  F , F‬ו& ‪, F‬‬ ‫סימנים שאינם חדשים‪ ,‬אבל גם לא סתם ‪ ‬ו& ‪ ‬לעת עתה‪.‬‬



‫ב‪ .‬הגדרת השדה‬ ‫הגדרה ‪ 1.2.1‬שדה‬ ‫שדה הוא מבנה מתמטי‪ ,‬המורכב מקבוצה ‪ , F‬ומשתי פעולות על ‪ F‬שנקרא להן חיבור וכפל‪ ,‬שאותן‬ ‫נסמן ‪  F‬ו& ‪) F‬בהתאמה(‪ ,‬כך שמתקיימות הדרישות האלה )אקסיומות השדה(‪:‬‬ ‫א‪ .‬הקבוצה ‪ F‬סגורה לגבי החיבור ולגבי הכפל‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ a , b  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫וגם‪:‬‬



‫‪a F b  F‬‬ ‫‪a F b  F‬‬



‫סוציאטיביוֹ ת(‪.‬‬ ‫ִ‬ ‫)א‬ ‫ב‪ .‬פעולות החיבור והכפל הן קיבוציות ָ‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ a , b , c  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪( a  F b)  F c  a  F (b  F c‬‬



‫וגם‪:‬‬ ‫ג‪ .‬פעולות החיבור והכפל הן חילופיות )קומוטטיביוֹ ת(‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ a , b  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫וגם‪:‬‬



‫) ‪( a F b ) F c  a F ( b  F c‬‬



‫‪a F b  b F a‬‬ ‫‪a F b  b  F a‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪25‬‬



‫ד‪ .‬ב& ‪ F‬יש איבר ניטרלי )יחיד(‪ 2‬ביחס לחיבור שנסמנו ‪ , 0 F‬ויש איבר ניטרלי )יחיד(‪ 3‬ביחס לכפל‬ ‫שנסמנו ‪ 4. 1F‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ a  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪a  F 0F  0F  F a  a‬‬



‫וכן‪:‬‬



‫‪a F 1F  1F F a  a‬‬



‫ה‪ .‬האיברים הניטרליים ביחס לחיבור וביחס לכפל הם איברים שונים של ‪. F‬‬ ‫כלומר‪:‬‬



‫‪0F  1F‬‬



‫ו‪ .‬הכפל מתפלג מעל החיבור )דיסטריבוטיביוּת(‪.‬‬ ‫) ‪a  F ( b  F c )  ( a F b )  F ( a F c‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ a , b , c  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫ז‪ .‬כל איברי ‪ F‬הפיכים ביחס לחיבור‪ ,‬וכל איברי ‪ F‬פרט ל ‪ 0 F‬הפיכים ביחס לכפל‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫‪a  F a '  a ' F a  0F‬‬ ‫לכל ‪ a  F‬יש ‪ , a '  F‬כך ש&‬ ‫‪a F a "  a "F a  1F‬‬ ‫ולכל ‪ a  F‬המקיים ‪ , a  0 F‬יש ‪ , a "  F‬כך ש&‬ ‫הערות‬ ‫א‪ .‬האיברים הניטרליים לגבי החיבור והכפל‪ ,‬הנזכרים באקסיומה ד‪ ,‬סומנו באופן המזכיר את‬ ‫קשר המספרי המוכר‪ 0 F ,‬ו& ‪ . 1F‬גם את שמותיהם נגזור אפוא מאותו הקשר‪ 0 F .‬ייקרא‬ ‫הה ֵ‬ ‫ֶ‬ ‫האפס של השדה ‪ , F‬ו& ‪ 1F‬ייקרא היחידה של השדה ‪ . F‬נאמץ גם את המוסכמה המוכרת בקשר‬ ‫לַ ּ ֵס ֶדר של פעולות החשבון במספרים‪ :‬ביצוע פעולות כפל קודם לביצוע פעולות חיבור‪ ,‬אלא אם כן‬ ‫יש סוגריים המציינים אחרת‪ .‬לאור המוסכמה הזאת‪ ,‬הסוגריים בביטוי ) ‪( a F b )  F ( a F c‬‬ ‫מאקסיומה ו הם מיותרים; אפשר לרשום פשוט ‪ . a F b  F a F c‬לעומת זאת‪ ,‬בביטוי‬ ‫) ‪ a F ( b  F c‬מאותה אקסיומה‪ ,‬הסוגריים הם חיוניים – בלעדיהם‪ ,‬הביטוי היה מסמל את‬ ‫‪. ( a F b )  F c‬‬ ‫ב‪ .‬כאשר נרצה להביע טענה כללית על שדות‪ ,‬לרוב נאמר בקצרה "יהי ‪ F‬שדה"‪ ,‬כאשר כוונתנו בכך‬ ‫היא‪ ,‬ש& ‪ F‬היא קבוצה אשר עליה מוגדרות פעולות "חיבור" ו"כפל"‪ ,‬כך ש& ‪ , F‬בצירוף הפעולות‬ ‫הללו‪ ,‬מהווה שדה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬באקסיומות א‪-‬ה ‪ ,‬ההקבלה בין החיבור והכפל היא מלאה‪ .‬לא כן באקסיומה ו‪ ,‬הקובעת שאחת‬ ‫משתי הפעולות )הכפל( מתפלגת מעל האחרת )החיבור(‪ .‬לא מופיעה בה הדרישה המקבילה‪,‬‬ ‫שהחיבור יתפלג מעל הכפל‪ .‬ההבחנה בין החיבור לכפל ניכרת גם באקסיומה האחרונה )אקסיומה‬ ‫ז(‪ .‬באקסיומה זו‪ ,‬הדרישה לגבי החיבור היא שכל איברי ‪ F‬יהיו הפיכים‪ ,‬בעוד שלגבי הכפל –‬



‫‪ 2‬המילה "יחיד" מופיעה בסוגריים‪ ,‬שכן כאשר בקבוצה יש איבר ניטרלי ביחס לפעולה‪ ,‬בהכרח יש רק איבר אחד‬ ‫כזה )ראו מסקנה ‪ .(1.1.7‬בהתאם לכך‪ ,‬מספיק לקבל כאקסיומה את הקיום של איברים ניטרליים ביחס ל& ‪ F‬‬ ‫וביחס ל& ‪ . F‬היחידות נובעת מהקיום‪.‬‬ ‫‪ 3‬ראו בהערה הקודמת‪.‬‬ ‫‪ 4‬זכרו ש& ‪ F‬איננה בהכרח קבוצה של מספרים‪ ,‬וממילא ‪ 0F‬ו& ‪ 1F‬אינם בהכרח מספרים‪ .‬האינדקס המופיע בהם‬ ‫נועד להזכיר שאלה איברים של ‪ . F‬ה&‪ 0‬וה&‪ 1‬בסימונים הללו נועדו להזכיר שבדוגמה המכוננת – קבוצת‬ ‫המספרים הרציונליים עם פעולות החיבור והכפל – האיברים הניטרליים ביחס לחיבור ולכפל הם ‪ 0‬ו&‪1‬‬ ‫)בהתאמה(‪.‬‬



‫‪26‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫איננו דורשים את ההפיכות של ‪ . 0 F‬שימו לב‪ ,‬איננו דורשים ש& ‪ 0 F‬לא יהיה הפיך‪ ,‬אבל כפי‬ ‫שנראה בקרוב‪ ,‬מן האקסיומות האחרות נובע ש& ‪ 0 F‬אינו הפיך‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.2.1‬אינה קלה לעיכול; נפרק אותה למרכיביה‪:‬‬ ‫בכל שדה יש שלושה מרכיבים‪ :‬קבוצה ‪ , F‬פעולת "חיבור"‪ ,‬ופעולת "כפל"‪.‬‬ ‫כל אחת מהפעולות בנפרד מקיימת תנאים ההופכים אותה ל"נוחה"‪ :‬הקבוצה סגורה ביחס לפעולה‪,‬‬ ‫הפעולה קיבוצית וחילופית‪ ,‬וקיים ב& ‪ F‬איבר שהוא ניטרלי ביחס אליה‪ .‬בנוסף‪ ,‬לגבי פעולת החיבור –‬ ‫כל האיברים הם הפיכים‪ ,‬ולגבי פעולת הכפל – כל האיברים פרט לַ אפס של השדה הם הפיכים‪.‬‬ ‫תכונת הפילוג של הכפל מעל החיבור )אקסיומה ו( ְמ ַק ּ ֶש ֶרת בין שתי הפעולות‪.‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ ‬דוגמה אחת לשדה כבר ראיתם – קבוצת המספרים הרציונליים ‪ ‬עם פעולות החיבור והכפל‬ ‫הרגילות‪ .‬לשדה הזה נקרא שדה המספרים הרציונליים‪ ,‬ובקיצור – השדה ‪. ‬‬ ‫‪ ‬דוגמה נוספת היא קבוצת המספרים הממשיים‪ ,‬שסימונה המקובל ‪ 5. ‬בקורס זה לא נתעמק‬ ‫בשאלה מה הם המספרים הממשיים;‪ 6‬ונסתפק בהבנה האינטואיטיבית המוקנית בבית הספר‪,‬‬ ‫שקבוצה זו כוללת את המספרים הרציונליים‪ ,‬ומספרים נוספים‪ ,‬המכונים אי&רציונליים;‬ ‫שהמספרים הכלולים בה מייצגים את כלל הנקודות על ציר המספרים המוכר‪ ,‬ושהחיבור והכפל‬ ‫של מספרים ממשיים מקיימים את כל אקסיומות השדה‪ .‬למבנה המורכב מן הקבוצה ‪ ‬עם‬ ‫‪‬‬ ‫פעולות החיבור והכפל הרגילות נקרא שדה המספרים הממשיים‪ ,‬ובקיצור – השדה ‪. ‬‬ ‫לאיברים של שדה ‪ F‬נהוג לקרוא ְס ָקלָ ִרים‪ 7.‬למשל‪ ,‬הסקלרים של השדה ‪ ‬הם המספרים‬ ‫הרציונליים‪ .‬הסקלרים של השדה ‪ ‬הם המספרים הממשיים‪.‬‬ ‫לַ מבנה‪ ,‬המורכב מקבוצת המספרים השלמים ‪ ‬עם פעולות החיבור והכפל הרגילות לעולם לא נקרא‬ ‫"שדה המספרים השלמים"‪ .‬המבנה הזה אינו ראוי להיקרא "שדה"‪ .‬אמנם הוא מקיים את‬ ‫האקסיומות א‪-‬ו מהגדרה ‪ ,1.2.1‬ובנוסף כל איבריו הפיכים ביחס לחיבור‪ ,‬אבל רק שניים מאינסוף‬ ‫איבריו )המספר ‪ 1‬והמספר ‪ (1‬הם הפיכים ביחס לכפל‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.2.1‬‬ ‫א‪ .‬למבנה המורכב מקבוצת המספרים הטבעיים ‪ ‬עם פעולות החיבור והכפל הרגילות לעולם לא‬ ‫נקרא "השדה ‪ ." ‬מדוע?‬ ‫ב‪ .‬תהי ‪ X‬קבוצה לא ריקה‪ .‬נניח ש& ) ‪ , F  P ( X‬ושפעולות ה"חיבור" וה"כפל" על ‪ F‬הן פעולות‬ ‫האיחוד והחיתוך )בהתאמה(‪ .‬האם המבנה שתיארנו הוא שדה?‬ ‫התשובה בעמוד ‪116‬‬ ‫‪ 5‬הסמל ‪ ‬נבחר בשל המילה ‪ – Real‬ממשי‪.‬‬ ‫‪ 6‬בשאלה זו עוסקת היחידה הראשונה בקורס חשבון אינפיניטסימלי ‪.1‬‬ ‫‪ 7‬מקור הכינוי יתבהר בהמשך‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪27‬‬



‫ג‪ .‬הנגדי וההופכי של איבר בשדה‬ ‫טענה ‪1.2.2‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ויהי ‪ . a  F‬קיים איבר יחיד ‪ a '  F‬כך ש& ‪. a  F a '  0F‬‬ ‫הוכחה‬ ‫כל איבר בשדה ‪ F‬הוא הפיך ביחס לחיבור )אקסיומה ז(‪ .‬לכן‬ ‫הדרישה ‪. a  F a '  0F‬‬ ‫להוכחת היחידוּת – נניח שגם ‪ a "  F‬עונה על הדרישה‪ ,‬כלומר‬ ‫שבהכרח ' ‪: a "  a‬‬ ‫מאחר שהחיבור הוא חילופי )אקסיומה ג(‪ ,‬ההנחה ‪a  F a "  0F‬‬ ‫כעת נבחן את הביטוי ' ‪. ( a " F a )  F a‬‬ ‫' ‪F a '  a‬‬ ‫מצד אחד‪ ,‬לפי ההנחה ביחס ל& " ‪: a‬‬ ‫מצד שני‪ ,‬מאחר שהחיבור הוא קיבוצי )אקסיומה ב(‪:‬‬



‫בוודאי קיים ‪ , a '  F‬העונה על‬ ‫שמתקיים ‪ , a  F a "  0F‬ונוכיח‬ ‫מבטיחה‪a " F a  0 F :‬‬ ‫‪( a " F a )  F a '  0 F‬‬



‫" ‪( a " F a )  F a '  a " F ( a  F a ')  a " F 0F  a‬‬



‫לכן ' ‪. a "  a‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫לאור טענה ‪ ,1.2.2‬נוכל להגדיר‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.2.3‬האיבר הנגדי‬ ‫יהי ‪ a‬איבר של שדה ‪ . F‬לַ איבר היחיד ‪ a '  F‬המקיים‬ ‫ונסמנו ‪.  a‬‬



‫‪ a  F a '  0F‬נקרא האיבר הנגדי ל& ‪, a‬‬



‫אם כן‪ ,‬בשדה ‪ , F‬לכל ‪ a  F‬מתקיים ‪ , a  F (  a )  0F‬ולאור החילופיות של החיבור בשדה‪ ,‬נובע‬ ‫‪a  F ( a )  ( a )  F a  0‬‬ ‫שמתקיים גם ‪ , (  a )  F a  0F‬ובסך הכל‪:‬‬ ‫הנה "המקבילה הכפלית" של טענה ‪:1.2.2‬‬ ‫טענה ‪1.2.4‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ויהי ‪ . a  0F , a  F‬קיים איבר יחיד ‪ a '  F‬כך ש& ‪. a F a '  1F‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נסו כוחכם‪ .‬אם לא תצליחו – עברו על הוכחת טענה ‪ ,1.2.2‬והחליפו כל הופעה של המילה "חיבור"‬ ‫במילה "כפל"‪ ,‬כל הופעה של הסימן ‪  F‬בסימן ‪ , F‬וכל הופעה של ‪ 0F‬ב& ‪ . 1F‬התוצאה תהיה‬ ‫ההוכחה המבוקשת‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫‪28‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ייתכן שתתהו מדוע נזקקנו כאן לדרישה ‪ . a  0F‬התשובה תינתן בהמשך‪.‬‬ ‫לאור טענה ‪ ,1.2.4‬נוכל להגדיר‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.2.5‬האיבר ההופכי‬ ‫יהי ‪ a  0F‬איבר של שדה ‪ . F‬לאיבר היחיד ‪ , a '  F‬המקיים ‪ a F a '  1F‬נקרא האיבר ההופכי‬ ‫ל& ‪ , a‬ונסמנו ‪. a 1‬‬ ‫אם כן‪ ,‬בשדה ‪ , F‬לכל ‪ a  0F‬מתקיים ‪ , a F a 1  1F‬והחילופיות של הכפל מבטיחה שמתקיים‬ ‫‪a  F a 1  a 1 F a  1‬‬ ‫גם ‪ , a 1 F a  1F‬כלומר‪:‬‬ ‫שימו לב! לפי אקסיומה ז של הגדרת השדה‪ ,‬אם ‪ F‬שדה‪ a  F ,‬ו& ‪ , a  0F‬אז ‪ a‬הפיך הן ביחס‬ ‫לחיבור‪ ,‬הן ביחס לכפל‪ .‬למרות ההקבלה בין ה"תפקידים" של ‪  a‬ו& ‪ , a 1‬בחרנו לסמנם בסימונים‬ ‫בשמות שונים‪  a :‬הוא הנגדי ל ‪ a 1 , a‬הוא ההופכי ל ‪ . a‬ההבחנה הזאת מקלה‬ ‫שונים ולכנותם ֵ‬ ‫על ההתבטאות‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫בשדה המספרים הממשיים )השדה ‪,( ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הנגדי ל&‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ההופכי ל&‬ ‫‪5‬‬



‫הוא ‪ ,  2‬ובסימנים‪:‬‬ ‫‪5‬‬



‫הוא‬



‫‪ , 5‬ובסימנים‪:‬‬



‫‪2‬‬



‫‪ 2  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 5 ‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2‬‬ ‫‪ 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪1.2.2‬‬ ‫תהי ‪ F‬קבוצת המספרים הרציונליים‪ .‬נגדיר על ‪ F‬שתי פעולות שיסומנו‬



‫‪  F‬ו& ‪ F‬כך‪:‬‬



‫‪  F‬היא פעולת החיבור הרגילה‪,‬‬ ‫‪ F‬מוגדרת באופן הבא‪a F b : ab :‬‬ ‫) ‪ x‬מציין את הערך המוחלט של המספר ‪(. x‬‬ ‫בבירור‪ ,‬הקבוצה ‪ F‬סגורה לגבי הכפל‪ ,‬והפעולה ‪ F‬קיבוצית וחילופית‪.‬‬ ‫א‪ .‬האם המספר ‪ 1‬ניטרלי ביחס לפעולה ‪? F‬‬ ‫ב‪ .‬האם המבנה המורכב מן הקבוצה ‪ F‬בצירוף הפעולות ‪  F‬ו& ‪ F‬הוא שדה?‬ ‫התשובה בעמוד ‪116‬‬ ‫משאלה ‪ .1.2.2‬אנו למדים‪ ,‬שעל אותה קבוצה ניתן להגדיר זוגות שונים של פעולות כך שהקבוצה‬ ‫בצירוף זוג אחד של פעולות תהיה שדה‪ ,‬ובצירוף זוג אחר של פעולות – לא‪ .‬הקבוצה ‪ ‬עם החיבור‬ ‫והכפל הרגילים היא שדה )זהו השדה ‪ .( ‬אותה קבוצה‪ ,‬עם החיבור הרגיל וה"כפל" שהוגדר בשאלה‬ ‫‪ ,1.2.2‬איננה שדה‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪29‬‬



‫אנו מקווים ומאמינים שכבר הורגלתם לכך‪ ,‬שכאשר מדברים על מבנה המורכב מקבוצה שעליה‬ ‫מוגדרות פעולות "חיבור" ו"כפל"‪ ,‬הכוונה איננה בהכרח לקבוצה של מספרים‪ ,‬או לחיבור ולכפל‬ ‫הרגילים‪ .‬נרשה לעצמנו אפוא לְ ַפ ּ ֵשט את הסימונים עוד יותר‪ .‬פעולות החיבור והכפל בשדה כלשהו ‪F‬‬ ‫יסומנו מעתה ב& ‪ ‬וב& ‪ , ‬במקום ‪  F‬ו& ‪ , F‬בהתאמה‪ .‬האפס )האיבר הניטרלי לגבי ‪ (  F‬יסומן ב&‪0‬‬ ‫)במקום ‪ ,( 0F‬והיחידה )האיבר הניטרלי לגבי ‪ – ( F‬ב&‪) 1‬במקום ‪ .( 1F‬כמו כן‪ ,‬לעיתים נשמיט את‬ ‫סימן הכפל בין שני איברים ובמקום הביטוי ‪ a  b‬נכתוב בקצרה ‪ , ab‬בדומה למקובל עבור כפל‬ ‫מספרים‪.‬‬



‫ד‪ .‬תכונות האפס של שדה‬ ‫טענה‬ ‫בכל שדה ‪ , F‬לכל ‪ a  F‬מתקיים‪:‬‬



‫‪a0  0a  0‬‬



‫הוכחה‬ ‫מספיק להראות‪ ,‬שלכל ‪ a  F‬מתקיים ‪ . a  0  0‬מכך ומן החילופיות של הכפל נקבל שגם‬ ‫‪.0  a  0‬‬ ‫‪000‬‬ ‫ובכן‪ 0 ,‬ניטרלי ביחס לחיבור‪ .‬לכן לכל ‪ . a  0  a , a  F‬בפרט‪,‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫ולאור הפילוג של הכפל מעל החיבור‪ ,‬נובע מכך ש&‬ ‫לשני צדי השוויון האחרון נוסיף כעת את ‪ ,  a 0‬הנגדי ל& ‪ , a0‬ונקבל‪:‬‬



‫‪a (0  0)  a 0‬‬



‫‪a0  a0  a0‬‬



‫)‪( a 0  a 0)  (  a 0)  a 0  (  a 0‬‬



‫מאחר ש& ‪ , a 0  (  a 0)  0‬השוויון הקודם מבטיח ש&‬ ‫מצד שני‪ ,‬בשל קיבוציות החיבור‪,‬‬



‫‪( a 0  a 0)  (  a 0)  0‬‬



‫‪( a 0  a 0)  (  a 0)  a 0  [ a 0  (  a 0)]  a 0  0  a 0‬‬



‫ולכן ‪ a 0  0‬כפי שנטען‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הטענה הקודמת‪ ,‬יחד עם תכונה ה בהגדרת השדה )הגדרה ‪ ,(1.2.1‬מבהירה את הצורך בתנאי ‪a  0‬‬



‫בטענה ‪.1.2.4‬‬ ‫שאלה ‪1.2.3‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ויהיו ‪ . a , b  F‬הראו‪:‬‬ ‫אם ‪ ab  0‬אז לפחות אחד מבין ‪ a , b‬הוא ‪.0‬‬ ‫הדרכה‪ :‬הניחו ש& ‪ ab  0‬וש& ‪ . a  0‬הוכיחו שבהכרח ‪. b  0‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪116‬‬



‫‪30‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫את האמור בטענה האחרונה ובשאלה ‪ 1.2.3‬שבעקבותיה‪ ,‬אפשר לסכם בקיצור כך‪:‬‬ ‫משפט ‪1.2.6‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה ויהיו ‪ . a , b  F‬השוויון ‪ ab  0‬מתקיים אם ורק אם ‪ a  0‬או ‪ 0‬‬



‫‪8. b‬‬



‫בעזרת משפט ‪ 1.2.6‬נבהיר כעת מדוע נמנענו מלדרוש באקסיומה ז בהגדרת השדה‪ ,‬ש&‪ 0‬יהיה הפיך‬ ‫ביחס לכפל‪.‬‬ ‫מסקנה ‪1.2.7‬‬ ‫האפס של שדה ‪ F‬אינו הפיך ביחס לכפל‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫לפי משפט ‪ ,1.2.6‬לכל ‪ . 0a  0 , a  F‬לפי אקסיומה ה בהגדרת השדה‪ . 0  1 ,‬לכן לכל ‪, a  F‬‬ ‫‪ . 0a  1‬לפיכך אין ‪ a  F‬כך ש& ‪ , 0a  1‬ומכאן ש&‪ 0‬אינו הפיך ביחס לכפל‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.2.4‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ויהיו ‪. a , b  F‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬



‫הוכיחו כי‪:‬‬ ‫הוכיחו כי אם ‪ , a  0‬אז‪:‬‬ ‫הראו כי‬ ‫ובפרט‪:‬‬ ‫הראו כי‪:‬‬



‫‪( a )  a‬‬



‫‪a‬‬



‫‪( a 1 ) 1‬‬



‫) ‪(  a ) b  a (  b )   ( ab‬‬ ‫‪( 1) b   b‬‬ ‫‪(  a )(  b )  ab‬‬



‫התשובה בעמוד ‪116‬‬



‫ה‪ .‬סכומים ומכפלות של איברים רבים‬ ‫פעולת החיבור בשדה ‪ F‬מתאימה תוצאה לכל זוג איברים מתוך ‪. F‬‬ ‫בהינתן איברים ‪ , n  3 , a1 , a2 ,, an‬מתוך שדה ‪ , F‬נהוג לסמן ב& ‪ a1  a2    an‬את האיבר‬ ‫‪a1  a2  a3    an : ((( a1  a2 )  a3 ) )  an‬‬ ‫של ‪ F‬המתקבל כך‪:‬‬ ‫כלומר‪ a1  a2  a3    an ,‬הוא האיבר של ‪ F‬המתקבל על&ידי חיבור זוגות משמאל לימין‪:‬‬ ‫קודם מוסיפים ל& ‪ a1‬את ‪ , a2‬אחר&כך מוסיפים ל& ‪ a1  a2‬את ‪ , a3‬אחר כך מוסיפים לתוצאה את‬ ‫המחובר הבא‪ ,‬וכך הלאה עד ‪. an‬‬



‫‪ 8‬במתמטיקה‪" ,‬או" משמעו "ו‪/‬או"‪ .‬בהתאם לכך המשפט " ‪ a  0‬או ‪ " b  0‬אינו מוציא מכלל אפשרות‬ ‫ש& ‪ a  0‬וגם ‪. b  0‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪31‬‬



‫שאלה ‪1.2.5‬‬ ‫יהיו ‪ a , b , c , d‬איברים של שדה כלשהו ‪ . F‬הראו כי‪a  b  c  d  ( d  a )  ( b  c ) :‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪117‬‬ ‫שאלה ‪ 1.2.5‬ממחישה תופעה כללית‪ :‬הסכום ‪ a1  a2    an‬לא ישתנה אם נשנה את סדר‬ ‫ההופעה של המחוברים‪ ,‬או את סדר ביצוע הפעולות של חיבור זוגות‪ .‬עובדה זו )שעל הוכחתה‬ ‫הכללית נוותר( נובעת מן הקיבוציות והחילופיות של פעולת החיבור בשדה‪ .‬בשדה הרציונליים אתם‬ ‫רגילים להיעזר בה כדי לפשט חישובים‪ .‬למשל‪ 1  7  9  3  (9  1)  (7  3)  10  10 ,‬באופן‬ ‫דומה‪ ,‬בכל שדה ‪ , F‬עבור ‪ , n  3‬נהוג לסמן ב& ‪ a1  a2  a3    an‬את האיבר של ‪ F‬המתקבל כך‪:‬‬ ‫‪a1  a2  a3    an : ((( a1  a2 )  a3 ) )  an‬‬



‫כלומר ‪ a1  a2  a3    an‬הוא האיבר של ‪ , F‬המתקבל על&ידי כפל זוגות משמאל לימין‪ :‬קודם‬ ‫כופלים את ‪ a1‬ב& ‪ , a2‬אחר&כך כופלים את ‪ a1  a2‬ב& ‪ , a3‬אחר כך כופלים את התוצאה באיבר הבא‪,‬‬ ‫וכך הלאה עד ‪ . an‬מאחר שגם הכפל חילופי וקיבוצי‪ ,‬המכפלה ‪ a1  a2  a3    an‬לא תשתנה אם‬ ‫נשנה את סדר ההופעה של הגורמים‪ ,‬או את סדר ביצוע הפעולות של כפל זוגות )לא נוכיח זאת באופן‬ ‫פורמלי(‪.‬‬



‫ו‪ .‬שדות סופיים‬ ‫כל הטענות בנוגע לשדות‪ ,‬שהוּ כחו בטקסט ובשאלות‪ ,‬הן טענות אשר מראש ידענו שהן נכונות בשדה‬ ‫הרציונליים ‪ ‬ובשדה הממשיים ‪ . ‬העובדה שהצלחנו להוכיח אותן בשדה כללי‪ ,‬מלמדת שהן‬ ‫מתחייבות מאקסיומות השדה‪ ,‬כלומר שאין צורך בשום מידע פרט לאקסיומות האלה כדי להוכיח‬ ‫את נכונותן‪.‬‬ ‫השדות ‪ ‬ו& ‪ ‬הם שדות אינסופיים‪ ,‬כלומר שדות שקבוצות האיברים שלהם אינסופיות‪ .‬האם‬ ‫קבוצת איבריו של כל שדה ‪ F‬היא בהכרח אינסופית? האינסופיות של ‪ F‬אמנם אינה נזכרת בהגדרת‬ ‫השדה‪ ,‬אבל א&פריורי ניתן להעלות על הדעת שהיא מתחייבת מאקסיומות השדה‪ .‬כדי להשתכנע שלא‬ ‫כך הדבר‪ ,‬עלינו להצביע על שדה שקבוצת איבריו סופית‪ .‬לצורך זה ננקוט גישה אחרת מזו שנקטנו‬ ‫עד כה‪ :‬במקום לתאר קבוצה )סופית( ושתי פעולות עליה‪ ,‬ולבדוק אם המבנה שתיארנו הוא שדה‪,‬‬ ‫נבחן את הגדרת השדה וננסה לחלץ מתוכה דוגמה מתאימה‪ ,‬פשוטה ככל האפשר‪.‬‬ ‫כצעד ראשון נשאל‪ :‬מהי הקבוצה הקטנה ביותר ‪ , F‬שעשויה להיות קבוצת האיברים של שדה?‬ ‫מראש ברור‪ ,‬שב& ‪ F‬חייבים להיות לפחות שני איברים‪ .‬זאת – משום שאם ‪ F‬שדה‪ ,‬אז ללא תלות‬ ‫בשאלה כיצד מוגדרות פעולת החיבור והכפל על ‪ , F‬יש ב& ‪ F‬איברים ניטרליים ביחס לחיבור ולכפל‬ ‫)ראו באקסיומה ד(‪ ,‬ולפי אקסיומה ה – אלה איברים שונים של ‪. F‬‬



‫‪32‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫במבט ראשון לא נראה שיתר האקסיומות "כופות" עלינו איברים נוספים‪ .‬אם כן‪ ,‬הקבוצה הקטנה‬ ‫ביותר שאותה נוכל לשקול כקבוצת האיברים של שדה‪ ,‬היא קבוצה בת שני איברים‪ .‬יתר על כן‪ ,‬אם‬ ‫יש שדה בן שני איברים‪ ,‬אנו יודעים מראש מה הם ה"תפקידים" המיועדים לשני האיברים הללו‪.‬‬ ‫אחד מהם יהיה האפס‪ ,‬והאחר – היחידה של השדה‪ .‬בהתאם לכך‪ ,‬נסמן אותם ב& ‪ 0‬וב&‪ ,1‬בהתאמה‪.‬‬ ‫הקבוצה ‪ , F‬שאותה ננסה להפוך לשדה על&ידי הגדרת פעולות מתאימות עליה‪ ,‬היא }‪9. F  {0,1‬‬ ‫ַ ּבנִ יסיון להגדיר את הפעולות‪ ,‬משחקת לטובתנו העובדה שבקבוצה ‪ F‬יש רק שני איברים‪ ,‬ולפיכך‬ ‫עלינו להגדיר את תוצאות פעולות החיבור והכפל למספר מצומצם של זוגות מתוך ‪ . F‬יתר על כן‪:‬‬ ‫מאחר ש& ‪ F‬אמורה להיות סגורה לגבי החיבור והכפל )אקסיומה א(‪ ,‬הרי שלכל תוצאת חיבור או‬ ‫כפל יש רק שני ערכים אפשריים – ‪ 0‬או ‪ .1‬את הפעולות נוח יהיה לתאר בעזרת שתי טבלאות‪ ,‬אחת‬ ‫לכל פעולה‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪y‬‬



‫‪‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪x‬‬



‫‪0‬‬



‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫בטבלה השמאלית‪ ,‬במשבצת שבה מופיע כרגע ‪ x‬עלינו לרשום את הערך של ‪ . 0  1‬לפי אותו עיקרון‪,‬‬ ‫בטבלה הימנית‪ ,‬במשבצת שבה רשום ‪ y‬עלינו לרשום את הערך של ‪ . 1  0‬מיד נראה כי השאיפה‬ ‫שהפעולות שנגדיר תקיימנה את אקסיומות השדה‪ ,‬מכתיבה את כל הערכים שעלינו לרשום בטבלאות‪.‬‬ ‫א‪ 0 .‬צריך להיות ניטרלי ביחס לחיבור‪ ,‬לפיכך לכל ‪ a  F‬חייב להתקיים ‪. 0  a  a  0  a‬‬ ‫מכאן שבהכרח ‪ 1  0  1 , 0  1  1‬וכן ‪. 0  0  0‬‬ ‫‪ 1‬אמור להיות ניטרלי ביחס לכפל‪ ,‬לפיכך לכל ‪ a  F‬חייב להתקיים ‪ , 1a  a1  a‬ומכאן‬ ‫שבהכרח ‪ 0  1  0 , 1  0  0‬וכן ‪. 1  1  1‬‬ ‫האילוצים הללו מכתיבים שלוש מתוך ארבע התוצאות שעלינו לרשום בכל טבלה‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪+‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫בכל טבלה נותרה משבצת ריקה אחת בלבד‪.‬‬



‫‪ 9‬נדגיש שוב‪ :‬הסימנים ‪ 0,1‬אינם המספרים הממשיים המוכרים לכם; אנו משתמשים בסמלים הללו רק כדי לזכור‬ ‫את תפקידיהם במבנה שאנו מנסים לבנות‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪33‬‬



‫ב‪ .‬כדי ש& ‪ F‬יהווה שדה‪ ,‬כל איבר של ‪ , F‬ובפרט ‪ ,1‬חייב להיות הפיך ביחס לחיבור‪ .‬פירוש הדבר‬ ‫הוא‪ ,‬שחייב להימצא ‪ , a  F‬כך ש& ‪ . 1  a  a  1  0‬יש רק שני מועמדים‪ a  0 ,‬או ‪. a  1‬‬ ‫המועמד ‪ a  0‬לא יצלח‪ ,‬כי בטבלה כבר רשום ש& ‪ . 1  0  1‬לכן בהכרח ‪ , a  1‬כלומר בהכרח‬ ‫‪ . 1  1  0‬נשבץ תוצאה זו בטבלת החיבור‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪+‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫ג‪ .‬להשלמת טבלאות הפעולות נותרה רק משבצת אחת למילוי בטבלת הכפל‪ ,‬וגם עבורה יש אילוץ‬ ‫המכתיב את התוצאה‪ .‬לפי משפט ‪ ,1.2.6‬לכל איבר ‪ a‬בכל שדה‪ ,‬מתקיים ‪ . a  0  0‬לכן‪ ,‬כדי‬ ‫ש& ‪ F‬יהיה שדה‪ ,‬אין ברירה אלא להגדיר ‪. 0  0  0‬‬ ‫אם כן‪,‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪+‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫כל המשבצות בטבלאות הפעולה מולאו בלית ברירה; הגדרת הפעולות נכפתה עלינו לפי דרישות‬ ‫המופיעות בהגדרת השדה‪ .‬עדיין לא הוכחנו כי הקבוצה ‪ , F‬בצירוף הפעולות ‪ , ‬האלה‪ ,‬אכן מהווה‬ ‫שדה‪ .‬כדי לעשות זאת‪ ,‬צריך לבדוק שכל האקסיומות הנזכרות בהגדרה ‪ 1.2.1‬מתקיימות במבנה‬ ‫}‪ F  {0,1‬עם פעולות ה"חיבור" וה"כפל" שתיארנו‪ .‬את הבדיקה המאשרת שלפנינו שדה‪ ,‬נשאיר‬ ‫לכם‪.‬‬ ‫‪ ‬השדה בן שני האיברים שבנינו לעיל יסומן‪ ,‬מעתה ואילך‪ ,‬בסימון ‪. 2‬‬ ‫שימו לב! ‪ 2‬הוא שדה‪ ,‬ובשדה ‪ 2‬מתקיים‪ . 1  1  0 :‬עובדה זו מלמדת שהטענה ‪, 1  1  0‬‬ ‫שהיא טענה נכונה בשדות ‪ ‬ו& ‪ , ‬אינה נובעת מאקסיומות השדה בלבד‪ ,‬אלא היא נסמכת על‬ ‫תכונות נוספות של המספרים הרציונליים‪/‬הממשיים‪ :‬אילו נבעה מן האקסיומות‪ ,‬היא הייתה נכונה‬ ‫בכל שדה‪ ,‬ובפרט ב& ‪. 2‬‬ ‫שאלה ‪1.2.6‬‬ ‫מהו )‪ ( 1‬בשדה ‪ ? 2‬לשון אחר – מהו האיבר הנגדי ל&‪ 1‬בשדה ‪? 2‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪117‬‬ ‫כדי להרחיב את מגוון הדוגמאות של שדות‪ ,‬נבחר מספר טבעי כלשהו ‪ , n  2‬ונסתכל בקבוצה‬ ‫‪.  n  0,1,, n  1‬‬ ‫שתסומן ‪ n‬המורכבת מן המספרים השלמים מ&‪ 0‬עד ‪ , n  1‬כלומר‬ ‫זוהי קבוצה בת ‪ n‬איברים‪.‬‬



‫‪34‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫על הקבוצה הזאת נגדיר "חיבור" חדש‪ ,‬שיסומן ‪ , n‬ו"כפל" חדש‪ ,‬שיסומן ‪ , n‬כך‪:‬‬ ‫לכל ‪, a , b  n‬‬ ‫‪ ‬ה"סכום"‪ a  n b ,‬הוא השארית המתקבלת כאשר מחברים את ‪ a‬ו& ‪ b‬כמספרים שלמים‪,‬‬ ‫ומחלקים את התוצאה ב& ‪. n‬‬ ‫‪ ‬ה"מכפלה" ‪ a n b‬היא השארית המתקבלת כאשר כופלים את ‪ a‬ו& ‪ b‬כמספרים שלמים‪,‬‬ ‫ומחלקים את התוצאה ב& ‪. n‬‬ ‫דוגמה‬ ‫כאשר ‪, n  7‬‬ ‫‪n  7  0,1,, 6‬‬ ‫‪5 7 5  3, 5 7 5  4‬‬ ‫ומתקיים‪:‬‬ ‫נסביר‪:‬‬ ‫‪ , 5  5  10‬ושארית החילוק של ‪ 10‬ב& ‪ 7‬היא ‪ . 3‬לכן‪. 5 7 5  3 ,‬‬ ‫‪ 5  5  25‬ושארית החילוק של ‪ 25‬ב& ‪ 7‬היא ‪ . 4‬לכן‪. 5 7 5  4 ,‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪1.2.7‬‬ ‫השלימו את טבלאות הפעולות ‪ 7‬ו& ‪ 7‬על }‪: 7  {0,1...,6‬‬ ‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪7‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪7‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪3‬‬



‫‪3‬‬



‫‪4‬‬



‫‪4‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬



‫‪3‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬



‫התשובה בעמוד ‪117‬‬ ‫בהמשך הקורס נראה שכאשר ‪ n‬הוא מספר ראשוני‪ 10,‬הקבוצה ‪ , n‬עם הפעולות ‪ n‬ו& ‪ , n‬היא‬ ‫שדה אשר האיבר הניטרלי שלו לגבי ה"חיבור" הוא ‪ ,0‬והאיבר הניטרלי שלו לגבי ה"כפל" הוא ‪.1‬‬ ‫שאלה ‪1.2.8‬‬ ‫א‪ .‬היעזרו בטבלאות המלאות המופיעות בתשובה ‪ 1.2.7‬כדי למצוא את האיבר הנגדי לכל איבר של‬ ‫השדה ‪  7‬ואת ההופכי לכל איבר שונה מ&‪ 0‬של השדה הזה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬השלימו את טבלאות הפעולות ‪ , 4‬ו& ‪ 4‬על ‪.  4  0,1, 2, 3‬‬ ‫‪ 10‬מספר ראשוני הוא מספר טבעי ‪ , n  1‬שמתחלק רק ב&‪ 1‬ובעצמו‪ .‬מבין עשרים המספרים הטבעיים הראשונים‪,‬‬ ‫הראשוניים הם ‪.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪4‬‬



‫‪4‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪35‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪3‬‬



‫‪3‬‬



‫ג‪ .‬הסיקו מטבלת הכפל של ‪ , 4‬ש& ‪  4‬עם הפעולות ‪ 4‬ו& ‪ 4‬אינו שדה‪.‬‬ ‫רמז‪ :‬היעזרו במשפט ‪.1.2.6‬‬



‫‪11‬‬



‫התשובה בעמוד ‪117‬‬ ‫המספר ‪ 2‬הוא ראשוני‪ ,‬וכאמור לעיל – כאשר ‪ n‬מספר ראשוני‪ ,‬המבנה המורכב מהקבוצה ‪  n‬עם‬ ‫הפעולות ‪ n‬ו& ‪ n‬הוא שדה‪ ,‬אשר האיבר הניטרלי שלו לגבי ה"חיבור" הוא ‪ ,0‬והאיבר הניטרלי שלו‬ ‫לגבי ה"כפל" הוא ‪ .1‬בהתאם לכך‪  2  {0,1} ,‬עם הפעולות ‪ , 2‬ו& ‪ 2‬הוא שדה‪ .‬כפי שראינו קודם‪,‬‬ ‫יש רק דרך אחת להגדיר "חיבור" ו"כפל" על קבוצה בת שני איברים כך שהמבנה המתקבל יהיה‬ ‫שדה‪ .‬אכן‪ ,‬קל לוודא שטבלאות הפעולות ‪ 2‬ו& ‪ 2‬אינן אלא טבלאות החיבור והכפל של השדה ‪ 2‬‬ ‫שבנינו‪.‬‬



‫ז‪ .‬חיסור וחילוק בשדה‬ ‫הגדרה ‪ 1.2.8‬חיסור‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ .‬לכל ‪: a , b  F‬‬



‫) ‪a  b : a  (  b‬‬



‫הווי אומר‪ ,‬לְ ַח ּ ֵסר ‪ b‬מ& ‪ a‬בשדה ‪ , F‬משמעו לחבר ל& ‪ a‬את הנגדי של ‪ a  b : b‬מסמן את הסכום‬ ‫)‪. a  ( b‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.2.9‬חילוק‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ .‬לכל ‪: b  0 , a , b  F‬‬



‫‪a / b : ab 1‬‬



‫הווי אומר‪ ,‬לְ ַח ֵּלק את ‪ a‬ב& ‪ , b  0‬משמעו לכפול את ‪ a‬בהופכי של ‪ a / b : b‬מסמן את המכפלה‬ ‫‪. ab1‬‬ ‫בכל שדה אפשר לחסר כל איבר מכל איבר‪ ,‬ואפשר לחלק כל איבר בכל איבר שונה מ&‪.0‬‬



‫‪ 11‬עם זאת‪ ,‬אפשר להגדיר פעולות אחרות על קבוצה בת ארבעה איברים‪ ,‬כך שביחס לפעולות אלה הקבוצה תהווה‬ ‫שדה‪.‬‬



‫‪36‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪1.2.9‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ויהיו ‪ . a , b , c , d  F‬הוכיחו‪:‬‬ ‫א‪a  0  a , a / 1  a .‬‬ ‫ב‪ ( a  b )   a  b .‬‬ ‫ג‪a  b  c  d  a  d  c  b .‬‬ ‫ד‪ .‬אם ‪ b , d  0‬אז‪:‬‬ ‫‪a / b  c / d  ad  bc‬‬ ‫ובפרט‪ ,‬אם ‪ b  0‬אז‪a / b  c  a  bc :‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪118‬‬ ‫שאלה ‪1.2.10‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה ויהיו ‪ , a , b , c , d  F‬כך ש& ‪ . b , d  0‬הוכיחו‪:‬‬ ‫א‪( a / b )  ( c / d )  ( ac ) / ( bd ) .‬‬ ‫ב‪( a / b )  ( c / d )  ( ad  bc ) / ( bd ) .‬‬



‫התשובה בעמוד ‪118‬‬ ‫הטענות שבשתי השאלות האחרונות נראות מוכרות‪ ,‬לא כן?‬ ‫שאלה ‪1.2.11‬‬ ‫המספר ‪ 5‬הוא מספר ראשוני‪ ,‬לכן ‪  5‬עם הפעולות ‪ 5‬ו& ‪ 5‬שהגדרנו‪ ,‬הוא שדה‪ .‬בשדה זה חשבו את‬ ‫‪.2/3  1‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪118‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪37‬‬



‫‪n 1.3‬־יוֹת‬ ‫נתבונן בקבוצה שאיבריה הם שלושת המספרים הטבעיים הראשונים – ‪ . 1, 2, 3‬את הקבוצה הזאת‬ ‫אנו מסמנים‪ ,‬כרגיל‪ ,‬בעזרת צומדיים כך‪ . {1, 2, 3} :‬אפשר לסמן אותה גם }‪ , {3, 2,1‬שהרי קבוצה היא‬ ‫אוסף של איברים‪ ,‬ללא חשיבות לַ ּ ֶס ֶדר ביניהם‪ .‬במילים אחרות‪ {1, 2, 3} ,‬ו }‪ {3, 2,1‬מתארים אותו‬ ‫אובייקט מתמטי‪ ,‬ואפשר לציין זאת בעזרת סימן שוויון‪ . {1, 2, 3}  {3, 2,1} :‬אך לעיתים קרובות‬ ‫סדר הופעת‬ ‫במתמטיקה )ובחיי היומיום(‪ ,‬אנו מתעניינים ברשימות של עצמים אשר בהן יש חשיבות לְ ֶ‬ ‫העצמים ברשימה‪ ,‬ובמקרים רבים אנו מעוניינים לאפשר לעצם מסוים להופיע יותר מפעם אחת‪.‬‬ ‫למשל‪ ,‬מספר טלפון )או מספר תעודת זהות( הוא רשימה שמורכבת מ ְס ָפרות )לאו דווקא שונות(‬ ‫שערוכות בסדר מסוים‪ .‬לאובייקט שאותו מתאר מספר טלפון בן שבע ספרות נקרא שביעייה סדורה‬ ‫)של ספרות(‪ ,‬ואם האורך של מספר הטלפון הוא אחר – שמינייה סדורה‪ ,‬חמישייה סדורה‪ְ ,‬שלָ שה‬ ‫סדורה או זוג סדור‪ ,‬בהתאם למספר הספרות‪.‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬אם ‪ A‬היא קבוצה ו ‪ n‬הוא מספר טבעי נתון‪ n ,‬יה )קרי – ֶאנִ ייָ ה( סדורה של איברים‬ ‫מתוך ‪ A‬היא רשימה באורך ‪ n‬של איברים של ‪ , A‬לאו דווקא שונים זה מזה‪ .‬האיברים ערוכים‬ ‫בסדר מסוים‪ :‬ראשון‪ ,‬שני‪ ,‬שלישי וכך הלאה‪ ,‬עד המקום ה ‪ . n‬האיבר של ‪ A‬המופיע במקום ה ‪1 i‬‬ ‫של ‪ n‬יה סדורה מכונה הרכיב ה ‪ i‬שלה‪ .‬לשם נוחות ההתבטאות‪ ,‬מוותרים בדרך כלל על הסיומת‬ ‫"סדור‪/‬ה" ואומרים ‪ n‬יה )סתם( במקום ‪ n‬יה סדורה‪2.‬‬ ‫הדרך המקובלת לרישום ‪ n‬יות היא לרשום את רכיביהן בשורה המוקפת בסוגריים; בקצה השמאלי‬ ‫של השורה רושמים את הרכיב הראשון‪ ,‬לימינו – את השני‪ ,‬לימין השני – השלישי וכולי‪ .‬בין איברי‬ ‫ה ‪ n‬יה מפרידים פסיקים‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫)‪(4,  7, 1, 3.5‬‬ ‫היא ‪ n‬יה באורך ‪) 4‬רביעייה( של מספרים ממשיים; הרכיב הראשון שלה הוא ‪ ,4‬הרכיב השני הוא‬ ‫‪ ,7‬השלישי ‪ ,1‬והרביעי ‪.3.5‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬הרכיב ה ‪ i‬ב ‪ n‬יה ) ‪ (a1 ,, an‬הוא ‪. ai‬‬ ‫‪ n‬יה באורך ‪ 1‬מתוך ‪ A‬אינה אלא איבר בודד של ‪ . A‬את הרכיב הבודד של ‪ n‬יה באורך ‪ 1‬אין‬ ‫צורך להקיף בסוגריים‪.‬‬ ‫המאפיינים של ‪ n‬יה הם האורך שלה )כלומר מספר המקומות שיש בה(‪ ,‬האיברים שהם רכיביה‬ ‫ומיקומם בתוכה‪ .‬שוויון כל המאפיינים הללו בשתי ‪ n‬יות משמעו שה ‪ n‬יות שוות; הבדל כלשהו‬ ‫ביניהם משמעו שהן שונות‪.‬‬



‫‪ 1‬לכל ‪ i‬טבעי המקיים ‪. 1  i  n‬‬ ‫‪ 2‬במונחים "זוג" ו"שלשה"‪ ,‬במשמעות של "זוג סדור" ו"שלשה סדורה"‪ ,‬כבר השתמשנו בסעיפים קודמים‪.‬‬



‫‪38‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫דוגמאות‬ ‫בדוגמאות שלהלן קיים אישוויון‪ .‬בכל מקרה הצביעו על המאפיינים שאינם זהים בשתי ה ‪ n‬יות‪.‬‬ ‫)‪(1, 2)  (2,1‬‬ ‫)‪(1, 2)  (3, 4‬‬ ‫)‪(1, 2)  (1, 2, 2‬‬ ‫)‪(0,0)  (0,0, 0‬‬



‫‪‬‬



‫את האמור לעיל על אודות שוויון ואישוויון של ‪ n‬יות‪ ,‬ננסח כהגדרה ממוספרת למשמרת‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.3.1‬שוויון ‪ n‬יות‬ ‫נאמר שה ‪ n‬יה ) ‪ ( a1 , a2 ,..., an‬שווה ל ‪ m‬יה ) ‪ ( b1 , b2 ,..., bm‬ונרשום‪:‬‬ ‫) ‪( a1 , a2 ,..., an )  ( b1 , b2 ,..., bm‬‬



‫אם‪:‬‬ ‫א‪ m .‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪ , 1  i  n , i‬מתקיים‪:‬‬ ‫דהיינו‪4‬‬ ‫‪3n‬‬



‫‪ai  bi‬‬ ‫‪a1  b1 , a2  b2 ,  , an  bn‬‬



‫כאשר נרצה לסמן ‪ n‬יה בקצרה‪ ,‬באמצעות אות בודדת‪ ,‬נשתמש באות לטינית מודגשת‪ ,‬למשל‪:‬‬ ‫) ‪a  ( a1 , an ), b  ( b1 ,, bk ), c  ( c1 ,, cm‬‬



‫הרכיבים של ‪ n‬יוֹ ת יסומנו בדרך כלל באותיות לטיניות נטויות‪ ,‬לא מודגשות‪ ,‬ולעתים באותיות‬ ‫יווניות‪ .‬נשתדל להקפיד על התאמה בין האות )המודגשת( המציינת את ה ‪ n‬יה כולה לבין האותיות‬ ‫)הלאמודגשות( המתארות את רכיביה‪ .‬למשל‪ ,‬אם סימנו ‪ n‬יה באות ‪ , a‬נסמן את רכיביה‬ ‫ב ‪ a1 ,, an‬או ב ‪ , 1 ,, n‬ואם סימנו ‪ m‬יה באות ‪ , c‬נסמן את רכיביה ב ‪ c1 ,, cm‬או‬ ‫ב ‪.  1 ,,  m‬‬ ‫‪ ‬ל ‪ n‬יה שכל רכיביה הם איברים של קבוצה נתונה ‪ , A‬נקרא ‪ n‬יה מעל ‪. A‬‬ ‫‪ ‬אוסף כל ה ‪ n‬יות מעל ‪ A‬יסומן ‪. An‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ ‬האוסף המורכב מכל השלשות של מספרים טבעיים )דהיינו כל השלשות מעל ‪ ( ‬הוא ‪. 3‬‬ ‫‪ 5 ‬הוא אוסף החמישיות של מספרים שלמים‪.‬‬ ‫‪ 2 ‬הוא אוסף הזוגות של מספרים רציונליים‪.‬‬



‫‪ 3‬בהתאם לכך‪ ,‬לעולם אין שוויון בין רביעייה לחמישייה‪ ,‬בין זוג לשלשה וכיוצא באלה‪.‬‬ ‫‪ 4‬שימו לב‪ bn :‬אינו אלא ‪ , bm‬שהרי ‪. n  m‬‬



‫‪‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫שאלה ‪1.3.1‬‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה סופית בת ‪ k‬איברים‪ .‬כמה איברים יש בקבוצה‬



‫‪An‬‬



‫‪39‬‬



‫?‬ ‫התשובה בעמוד ‪118‬‬



‫כאשר ‪ F‬שדה‪ ,‬פעולת החיבור של ‪ F‬מאפשרת להגדיר באופן טבעי פעולת "חיבור" על הקבוצה ‪, F n‬‬ ‫כך‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.3.2‬חיבור ‪ n‬יות מעל שדה‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬יהי ‪ n‬מספר טבעי נתון‪ ,‬ויהיו ‪. a  ( a1 ,, an ), b  ( b1 ,, bn ) ,5 a, b  F n‬‬ ‫הסכום ‪ a  b‬הוא ה ‪ n‬יה המתקבלת עלידי חיבור הרכיבים המתאימים של ‪ a‬ושל ‪ , b‬כלומר‪:‬‬ ‫) ‪a  b : ( a1  b1 ,, an  bn‬‬



‫דוגמאות‬ ‫‪ ‬נחשב סכומים של ‪ n‬יות מעל שדה המספרים הממשיים )השדה ‪:( ‬‬ ‫)‪(1, 2)  (2,1)  (3, 3‬‬ ‫)‪(1, 2)  (3, 4)  (4, 6‬‬ ‫)‪( , 2, 3)  (1, 2, 2)  (  1, 4,5‬‬ ‫)‪(0, 0, 0, 0)  (1, 2, 3,8)  (1, 2, 3,8‬‬ ‫)‪(1, 2, 3,1, 2, 3,1, 2, 3)  (3, 2,1, 3, 2,1, 3, 2,1)  (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4‬‬



‫‪ ‬שימו לב! סכומים כגון )‪ , (1, 2)  (3, 2,1‬של ‪ n‬יות שאינן שוות אורך‪ ,‬אינם מוגדרים‪.‬‬ ‫‪ ‬נחשב סכומים של ‪ n‬יות מעל השדה )הסופי( ‪6: ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1,1)  (0,1)  (1,0‬‬ ‫)‪(0,0,0)  (1,1,0)  (1,1,0‬‬ ‫)‪(1,0,1,0,1)  (1,1,0,1,0)  (0,1,1,1,1‬‬



‫‪‬‬



‫חיבור ‪ n‬יות מתוך ‪ F n‬משמעו חיבור רכיביהן המתאימים‪ ,‬שהם סקלרים מתוך השדה ‪ . F‬לא‬ ‫תתפלאו אפוא שהתכונות של פעולת החיבור של ‪ n‬יות מעל שדה‪ ,‬דומות לתכונות של פעולת החיבור‬ ‫בשדה‪ .‬לאמיתו של דבר‪ ,‬אלה נגזרות מאלה‪.‬‬



‫‪ 5‬כלומר ‪ a, b‬הן ‪ n‬יות של סקלרים מתוך ‪. F‬‬ ‫‪ 6‬פעולות החיבור והכפל של שדה זה מופיעות בטבלאות בסעיף ‪1.2‬ו‪.‬‬



‫‪40‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫משפט ‪ 1.3.3‬תכונות של חיבור ‪ n‬יות‬ ‫לכל שדה ‪ F‬ולכל מספר טבעי ‪, n‬‬ ‫א‪ .‬הקבוצה ‪ F n‬סגורה לגבי פעולת החיבור של ‪ n‬יות‪,‬‬ ‫כלומר לכל ‪ a, b  F n‬מתקיים‪a  b  F n :‬‬ ‫ב‪ .‬פעולת החיבור של ‪ n‬יות מעל ‪ F‬היא קיבוצית‪,‬‬ ‫כלומר לכל ‪ a, b, c  F n‬מתקיים‪:‬‬



‫) ‪(a  b)  c  a  (b  c‬‬



‫ג‪ .‬פעולת החיבור של ‪ n‬יות מעל ‪ F‬היא חילופית‪,‬‬ ‫כלומר לכל ‪ a, b  F n‬מתקיים‪:‬‬



‫‪abba‬‬



‫ד‪ .‬ה ‪ n‬יה ‪ , 0 : (0,,0)  F n‬שכל רכיביה הם האפס של השדה ‪ , F‬היא איבר ניטרלי ביחס‬ ‫לפעולת החיבור של ‪ n‬יות מעל ‪7, F‬‬ ‫‪a00aa‬‬ ‫כלומר לכל ‪ a  F n‬מתקיים‪:‬‬ ‫ה‪ .‬כל איברי ‪ F n‬הפיכים ביחס לפעולת החיבור של ‪ n‬יות מעל ‪; F‬‬ ‫לכל ‪ , a  ( a1 ,, an )  F n‬ה ‪ n‬יה ‪ , a  (  a1 ,,  an )  F n‬שרכיביה הם האיברים‬ ‫הנגדיים של רכיבי ‪ , a‬מקיימת‪:‬‬ ‫‪a  ( a)  ( a)  a  0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫יהיו ‪ a, b, c‬איברים כלשהם של ‪ . F n‬כל אחד מהם הוא ‪ n‬יה מעל ‪ . F‬נפרט את רכיביהן‪:‬‬ ‫) ‪a  ( a1 ,, an ), b  ( b1 ,, bn ), c  ( c1 ,, cn‬‬ ‫) ‪a  b  ( a1  b1 ,, an  bn‬‬ ‫א‪ .‬לפי הגדרת החיבור של ‪ n‬יות ‪,‬‬



‫הסגירות של ‪ F‬ביחס לפעולת החיבור מבטיחה שלכל ‪. ai  bi  F , 1  i  n , i‬‬ ‫‪a  b  Fn‬‬ ‫‪ a  b‬היא אפוא ‪ n‬יה שכל רכיביה שייכים ל ‪ , F‬ולכן‪:‬‬ ‫בכל אחד מיתר סעיפי המשפט נטען שוויון מסוים‪ .‬להוכחתו‪ ,‬נחשב כל אחד משני האגפים של‬ ‫השוויון הנטען‪ ,‬ונראה שהתוצאות זהות‪8.‬‬ ‫‪( ai  bi )  ci‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪ , 1  i  n , i‬הרכיב ה ‪ i‬של ‪ ( a  b )  c‬הוא‬ ‫) ‪ai  ( bi  ci‬‬ ‫והרכיב ה ‪ i‬של ) ‪ a  ( b  c‬הוא‪:‬‬ ‫הקיבוציות של החיבור בשדה ‪ F‬מבטיחה‪ ,‬שלכל ‪, 1  i  n , i‬‬ ‫לכן‪ ,‬על פי הגדרת השוויון בין ‪ n‬יות‪,‬‬ ‫ג‪.‬‬



‫) ‪( ai  bi )  ci  ai  ( bi  ci‬‬ ‫) ‪(a  b)  c  a  (b  c‬‬ ‫) ‪a  b  ( a1  b1 ,, an  bn‬‬



‫) ‪b  a  ( b1  a1 ,, bn  an‬‬ ‫‪ai  bi  bi  ai‬‬ ‫חילופיות החיבור בשדה ‪ F‬מבטיחה‪ ,‬שלכל ‪, 1  i  n , i‬‬



‫לכן‪ ,‬על פי הגדרת השוויון בין ‪ n‬יות‪,‬‬ ‫ד‪ .‬לכל ‪ , 1  i  n , i‬הרכיב ה ‪ i‬של ‪ a  0‬הוא‬ ‫והרכיב ה ‪ i‬של ‪ 0  a‬הוא‬ ‫הניטרליות של ‪ 0‬ביחס לחיבור בשדה ‪ F‬מבטיחה‪ ,‬שלכל ‪, 1  i  n , i‬‬



‫‪ab=ba‬‬



‫‪ 7‬ולפי מסקנה ‪ 0 ,1.1.7‬הוא האיבר הניטרלי היחיד ביחס לפעולת החיבור של ‪ n‬יות מעל ‪. F‬‬ ‫‪ 8‬לאחר שתקראו את הוכחת סעיף ב‪ ,‬כדאי שתנסו להוכיח את הסעיפים הבאים בעצמכם‪.‬‬



‫‪ai  0‬‬ ‫‪0  ai‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪41‬‬



‫‪ai  0  0  ai  ai‬‬



‫ולכן‪ ,‬על פי הגדרת השוויון בין ‪ n‬יות‪:‬‬ ‫ה‪ .‬לכל ‪ , 1  i  n , i‬הרכיב ה ‪ i‬של ) ‪ a  (  a‬הוא‬ ‫והרכיב ה ‪ i‬של ‪ (  a)  a‬הוא‪:‬‬ ‫) ‪ ( ai‬הוא האיבר הנגדי ל ‪ ai‬בשדה ‪ , F‬ולכן לכל ‪, 1  i  n , i‬‬



‫‪a00aa‬‬ ‫) ‪ai  (  ai‬‬ ‫‪(  ai )  ai‬‬



‫‪ai  (  ai )  (  ai )  ai  0‬‬



‫ולכן‪ ,‬על פי הגדרת השוויון בין ‪ n‬יות‪:‬‬



‫‪a  ( a )  (  a )  a  0‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫הערות‬ ‫א‪ .‬לאור סעיף ב במשפט ‪ 1.3.3‬נוכל לדבר על הסכום של שלוש ‪ n‬יות‪ , a  b  c ,‬בלי לטרוח לציין‬ ‫את מיקום הסוגריים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מסעיפים ב‪ ,‬ג ביחד נובע‪ ,‬שהסכום של מספר כלשהו של ‪ n‬יות לא ישתנה אם נשנה את סדר‬ ‫המחוברים או את סדר ביצוע הפעולות‪ .‬לא ננסח ולא נוכיח מסקנה זו באופן פורמלי‪ ,‬אבל אתם‬ ‫עשויים להפיק תועלת מבדיקת מקרה פרטי שלה )ראו בשאלה ‪ 1.3.2‬להלן(‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ג‪ .‬את הסכום ) ‪ a  (  b‬נהוג לסמן בקיצור ‪ . a  b‬הפעולה המתאימה לכל ‪ a, b  F‬את ‪a  b‬‬ ‫נקראת‪ ,‬כצפוי‪ ,‬חיסור ‪ n‬יות‪ .‬לכל ‪ , 1  i  n , i‬הרכיב ה ‪ i‬של ‪ a  b‬הוא ‪. ai  bi‬‬ ‫שאלה ‪1.3.2‬‬ ‫‪ a, b, c ‬מתקיים‪:‬‬ ‫א‪ .‬הסיקו ממשפט ‪ 1.3.3‬שלכל‬ ‫‪(a  b)  c  (c  b)  a‬‬ ‫וזאת – בלי לרשום את רכיבי ה ‪ n‬יות‪) .‬ציינו בכל שלב על מה הסתמכתם‪(.‬‬ ‫ב‪ .‬אם לא הצלחתם לפתור את חלק א בכוחות עצמכם והצצתם בתשובה – נסו כוחכם שנית‪ .‬הפעם‬ ‫הראו כי‬ ‫)‪a  ( b  c )  c  ( b  a‬‬ ‫)בלי להסתמך על חלק א של השאלה(‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪119‬‬ ‫‪Fn‬‬



‫בדרך אנלוגית לזו שבה הגדרנו חיבור ב ‪ , F n‬כחיבור "רכיברכיב" בעזרת פעולת החיבור של ‪, F‬‬ ‫ניתן היה להגדיר כפל ב ‪ F n‬ככפל "רכיברכיב"‪ ,‬בעזרת פעולת הכפל של ‪ . F‬מסתבר‪ ,‬ש"כפל" כזה‬ ‫אינו מביא ברכה מרובה‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬יש תועלת בפעולה אחרת – "כפל ‪ n‬יות בסקלרים"‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.3.4‬כפל ‪ n‬יות בסקלרים‬ ‫יהיו ‪ F‬שדה‪ n ,‬מספר טבעי נתון‪ t  F ,‬סקלר נתון‪ ,‬ו ‪. a  ( a1 ,..., an ) , a  F n‬‬ ‫הכפל ‪ ta‬של ‪ a‬בסקלר ‪ t‬מתקבל עלידי כפל הרכיבים של ‪ a‬ב ‪. t‬‬ ‫) ‪ta : ( ta1 ,..., tan‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫הערה‬ ‫‪a, b ‬‬ ‫במובן שתואר בסעיף ‪ ;1.1‬לכל זוג ‪ n‬יות‬ ‫חיבור ‪ n‬יות מעל שדה ‪ F‬הוא פעולה על‬ ‫תוצאת הפעולה היא סכומן‪ . a  b ,‬כפל ‪ n‬יות מעל ‪ F‬בסקלרים מתוך ‪ , F‬המתאים לכל ‪t  F‬‬ ‫ולכל ‪ a  F n‬את ‪ , ta‬איננו פעולה על ‪ F n‬באותו מובן; ב"כפל" הזה מעורבים זוגות של איברים‬ ‫‪, Fn‬‬



‫‪Fn‬‬



‫‪42‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שכל אחד מהם שייך לקבוצה אחרת )האחד הוא סקלר‪ ,‬האחר הוא ‪ n‬יה של סקלרים(‪ .‬כדי להדגיש‬ ‫"כ ֶפל" )סתם(‪.‬‬ ‫עובדה זו נקפיד לא לקצר‪ :‬לְ ֶכ ֶפל בסקלר לעולם לא נקרא ֶּ‬ ‫דוגמאות‬ ‫בדוגמאות הבאות ה־ ‪ n‬־יות הן מעל ‪ , ‬והסקלרים הם איברים של ‪. ‬‬ ‫‪ .1‬אם )‪ , t  3 , a  (1, 0,  2, 5‬אז )‪ta  (3, 0, 6,15‬‬



‫‪ 1‬‬ ‫‪  2  (2,4,6,8)  ( 1, 2, 3, 4) .2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1(3, 0, 2)  (3, 0, 2) .3‬‬



‫‪0(1, 2, 3, 4)  (0, 0, 0, 0) .4‬‬ ‫‪( 1)(1, 4, 9, 2, 2)  ( 1, 4, 9, 2, 2) .5‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪1.3.3‬‬ ‫במקום השלָ שה מדוגמה )‪ ,(3‬במקום הרביעייה מדוגמה )‪ ,(4‬ובמקום החמישיה מדוגמה )‪ ,(5‬רשמו‬ ‫‪ n‬יה כללית ) ‪ . a  ( a1 ,..., an‬מה תקבלו באגפי ימין? נסחו והוכיחו את ההכללות האלה‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪119‬‬ ‫משפט ‪ 1.3.5‬תכונות הכפל בסקלר‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ויהי ‪ n‬מספר טבעי נתון‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬



‫‪ a  F n‬ולכל סקלר ‪, t  F‬‬ ‫‪,a  Fn‬‬ ‫‪,a  Fn‬‬ ‫‪,a  Fn‬‬ ‫‪ , a  F n‬ולכל ‪, s , t  F‬‬



‫לכל‬ ‫לכל‬ ‫לכל‬ ‫לכל‬ ‫לכל‬ ‫וכן‪:‬‬ ‫לכל ‪ a, b  F n‬ולכל ‪, t  F‬‬



‫‪ta  F n‬‬



‫‪0‬‬



‫‪9 0a‬‬



‫‪1a  a‬‬ ‫‪( 1) a   a‬‬ ‫)‪( st ) a = s ( ta‬‬ ‫‪( s  t ) a  s a  ta‬‬



‫‪t ( a  b )  ta  tb‬‬



‫סעיף א של המשפט ברור לפי ההגדרה של כפל בסקלר‪ .‬סעיפים ב‪ ,‬ג‪ ,‬ד הוכחו בתשובה ‪ .1.3.3‬את‬ ‫הסעיפים הבאים כדאי שתוכיחו בעצמכם‪ .‬במידת הצורך – היעזרו בתשובה ‪.1.3.4‬‬ ‫שאלה ‪1.3.4‬‬ ‫השלימו את הוכחת משפט ‪.1.3.5‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪119‬‬



‫‪ 0 9‬מציין את האפס של השדה ‪ 0 ; F‬מציין את ה ‪ n‬יה מתוך ‪ F n‬שכל רכיביה הם ‪.0‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫שאלה ‪1.3.5‬‬ ‫נתונים‪:‬‬ ‫חשבו את‪:‬‬



‫‪t 3‬‬



‫‪s2‬‬



‫‪1‬‬ ‫)‪b  (3, 7, , 2‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪43‬‬



‫‪1‬‬ ‫) ‪a  (2, 0, 1,‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪sa  tb‬‬



‫התשובה בעמוד ‪120‬‬ ‫שאלה ‪1.3.6‬‬ ‫נתונים‪:‬‬ ‫)‪a  (1,1,1) b  (1,1, 0) c  (1, 0, 0) d  (1, 2, 3‬‬ ‫‪ka  sb  tc  d‬‬ ‫מצאו סקלרים )ממשיים( ‪ k , s, t‬שעבורם‪:‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪120‬‬ ‫סכום מהטיפוס ‪ t1a1    tk ak‬שבו ‪ , a1 ,, ak  F n‬ו ‪ , t1 ,, tk  F‬מכונה צירוף לינארי של‬ ‫איברים של ‪ . F n‬הסקלרים ‪ t1 ,, tk‬מכונים מקדמי הצירוף‪ .‬כל צירוף לינארי של איברים מתוך‬ ‫‪ F n‬הוא‪ ,‬בבירור‪ ,‬איבר של ‪. F n‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫לשם תרגול‪ ,‬חשבו את הצירופים הלינאריים הבאים של איברים מתוך ‪:  4‬‬ ‫)‪ ( 4)(0,1, 0, 0)  3(0, 0,1, 0)  ( 17)(0, 0, 0,1‬‬ ‫)‪ 2(1,1, 0, 0)  ( 3)(1,1,1, 0)  4(1,1,1,1‬‬



‫)‪10 5(1, 0, 0, 0‬‬



‫)‪11 ( 1)(1, 0, 0, 0‬‬



‫‪‬‬



‫הערה‬ ‫בצירוף לינארי נתון‪ ,‬כאשר אחד המחוברים מופיע עם מקדם שלילי‪ ,‬ניתן במקום זאת לחסר את‬ ‫המחובר המתאים‪ .‬למשל‪ ,‬את הצירופים הלינאריים שבדוגמאות האחרונות ניתן לרשום כך‪:‬‬ ‫)‪5(1, 0, 0, 0)  4(0,1, 0, 0)  3(0, 0,1, 0)  17(0, 0, 0,1‬‬



‫)‪ (1, 0, 0, 0)  2(1,1, 0, 0)  3(1,1,1, 0)  4(1,1,1,1‬‬



‫שאלה ‪1.3.7‬‬ ‫) ‪a  ( a1 ,, a12‬‬ ‫מידע על הטמפרטורה בעיר מסוימת בארה"ב נתון עלידי ה ‪ n‬יה‬ ‫שבה ‪ a1‬היא הטמפרטורה הממוצעת )במעלות פרנהייט( בחודש ינואר‪ a2 ,‬היא הטמפרטורה‬ ‫הממוצעת )במעלות פרנהייט( בחודש פברואר‪ ,‬וכך הלאה‪ .‬התייר הישראלי בארה"ב בוודאי יפיק יותר‬ ‫תועלת מן ה ‪ n‬יה ) ‪ , b  (b1 ,, b12‬שבה אותן טמפרטורות נתונות במעלות צלסיוס‪ .‬הציגו את ‪b‬‬ ‫כצירוף לינארי של שתי ‪ n‬יות‪ ,‬שאחת מהן היא ‪ . a‬נעיר‪ ,‬שכדי לקבל את הטמפרטורה במעלות‬ ‫צלסיוס‪ ,‬יש לחסר ‪ 32‬מן הטמפרטורה במעלות פרנהייט ולכפול את התוצאה ב ‪ . 5 / 9‬למשל‪86F ,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪86  32  54, 54   30‬‬ ‫הן ‪ , 30C‬שכן‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪120‬‬



‫‪ 10‬תשובה‪(5, 4,3, 17) :‬‬ ‫‪ 11‬תשובה‪(2,3,1,4) :‬‬



‫‪44‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 1.4‬משוואות לינאריות ‪ -‬מושגים בסיסיים‬ ‫המשוואות המוכרות לכם מימי בית הספר כ"משוואות לינאריות"‪ ,‬הן משוואות כגון‪:‬‬ ‫‪3x  5 .1‬‬ ‫‪2 x  2 y  1  5  3 z  x .2‬‬



‫‪2 x1  4 x2  (1/3) x3  (  17 ) x4 .3‬‬



‫המקדמים )המספרים הקבועים( המופיעים בהן הם מספרים ממשייים‪ ,‬והמשתנים המופיעים בהן‬ ‫מייצגים מספרים ממשיים‪ .‬בהתאם לכך‪ ,‬המשוואות הללו מכונות משוואות לינאריות מעל שדה‬ ‫המספרים הממשיים‪ ,‬ובקיצור – משוואות לינאריות מעל ‪. ‬‬ ‫המשוואה הראשונה – ‪ , 3x  5‬שהיא משוואה במשתנה אחד‪ ,‬מייצגת מכלול של טענות שוויון‪ ,‬אחת‬ ‫כנגד כל ערך ממשי של ‪ . x‬עבור ‪ x  1‬היא מייצגת את הטענה ‪ , 3  1  5‬שאינה נכונה; עבור‬ ‫‪ x  2‬היא מייצגת את הטענה ‪ , 3 2  5‬שאף היא אינה נכונה‪ .‬בבירור‪ ,‬מכלל הטענות‬ ‫שהמשוואה מייצגת‪ ,‬יש רק אחת נכונה – הטענה המתאימה ל ‪ , x  5 / 3‬שהיא‪ . 3  (5 / 3)  5 :‬את‬ ‫המשוואה עצמה אפשר לראות כתנאי על מספרים ממשיים; כפי שראינו‪ ,‬יש רק מספר אחד‪ ,‬כלומר‬ ‫רק ערך אחד של ‪ , x‬שמקיים את התנאי הזה‪.‬‬ ‫המשוואה השנייה – ‪ – 2 x  2 y  1  5  3 z  x‬היא משוואה בשלושה משתנים; גם היא מייצגת‬ ‫טענות שוויון‪ ,‬אלא שהפעם הטענות המיוצגות תלויות בערכים של שלושה משתנים – ‪ y , x‬ו ‪. z‬‬ ‫מכלול הטענות השונות שהיא מייצגת כולל טענה אחת כנגד כל ְשלָ ָשה ) ‪ ( x , y , z‬של מספרים ממשיים‪.‬‬ ‫עבור )‪ , ( x , y , z )  (0, 4, 0‬המשוואה מייצגת את הטענה ‪ 2  0  2  4  1  5  3  0  0‬ה"אומרת"‬ ‫‪ 1. 9  5‬לא נכון!‬ ‫עבור )‪ , ( x , y , z )  (4, 0, 0‬המשוואה מייצגת את הטענה ‪ 2  4  2  0  1  5  3  0  4‬ה"אומרת"‬ ‫‪ . 9  9‬נכון!‬ ‫את המשוואה עצמה אפשר לראות כתנאי על ְשלָ שוֹ ת מעל ‪ . ‬השלשות מתוך ‪  3‬המקיימות את‬ ‫התנאי הן אלה‪ ,‬אשר כשהמשוואה "מדברת" עליהן‪ ,‬מה שהיא "אומרת" הוא נכון‪ .‬כבר ראינו‬ ‫שהשלשה )‪ ( x , y , z )  (4, 0, 0‬מקיימת את התנאי; ב ‪  3‬יש שלשות נוספות שמקיימות אותו‪ ,‬ובהן‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,   ,  0, , 1‬‬ ‫‪)  2 , ‬בדקו!(‪ ,‬ועוד‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬



‫ְ‬ ‫לשלָ ָשה נתונה ‪, ( x, y , z )  3‬‬ ‫התנאי‬ ‫מתקיים אם ורק אם‪:‬‬ ‫ובסימנים –‬



‫‪2 x  2 y  1  5  3z  x‬‬



‫‪x  2 y  3z  4‬‬ ‫‪2 x  2 y  1  5  3z  x  x  2 y  3z  4‬‬



‫‪ 1‬זוהי הטענה שמתקבלת‪ ,‬כאשר במקום כל הופעה של משתנה במשוואה‪ ,‬מציבים את הרכיב המתאים של‬ ‫השלשה )‪. (0,4,0‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪45‬‬



‫הווי אומר‪ :‬על אף שהמשוואות ‪ 2 x  2 y  1  5  3 z  x‬ו ‪ x  2 y  3 z  4‬נראות שונות‪ ,‬הן‬ ‫מציבות אותו תנאי על שלשות ) ‪ ( x , y , z‬מתוך ‪ .  3‬בהתאם לכך‪ ,‬אנו רואים אותן כהצגות שונות של‬ ‫אותה משוואה‪ .‬בהצגה ‪ , x  2 y  3 z  4‬אגף שמאל הוא סכום של מחוברים‪ ,‬אחד כנגד כל‬ ‫משתנה; כל מחובר הוא מכפלה של משתנה במקדם קבוע;‪ 2‬באגף ימין מופיע מספר ממשי בודד‪ .‬הצגה‬ ‫מסוג זה נקראת "הצגה סטנדרטית"‪ .‬לאותה משוואה יש הצגות סטנדרטיות נוספות‪ ,‬וביניהן‬ ‫‪ 2 y  3 z  x  4 , 2 y  x  3 z  4‬ועוד‪ .‬באופן כללי נגדיר‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.4.1‬משוואה לינארית מעל שדה‬ ‫משוואה לינארית סטנדרטית ב ‪ n‬משתנים מעל שדה ‪ F‬היא משוואה מהטיפוס‬ ‫‪a1 x1  a2 x2    an xn  b‬‬



‫שבה ‪ x1 ,, xn‬הם משתנים‪ ,‬ו ‪ , a1 ,, an , b‬המכונים מקדמי המשוואה‪ ,‬הם סקלרים )כלומר איברים‬ ‫של ‪ .( F‬הסקלרים ‪ a1 ,, an‬נקראים מקדמי המשתנים‪ ,‬הסקלר ‪ b‬נקרא המקדם החופשי‪.‬‬ ‫משוואה ב ‪ n‬משתנים מעל השדה ‪ F‬נקראת משוואה לינארית‪ ,‬אם התנאי שהיא מציבה על‬ ‫‪ n‬יות מעל ‪ F‬ניתן להצגה באמצעות משוואה לינארית סטנדרטית‪.‬‬ ‫לעיתים נאמר "נעלמים" במקום "משתנים"‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫את המשוואה ‪ x1  x2  3  0‬ניתן להציג בצורה הסטנדרטית כך‪:‬‬ ‫‪1  x1  ( 1)  x2  3‬‬



‫כאשר מספר המשתנים של משוואה לינארית הוא קטן‪ ,‬נוח לוותר על האינדקסים‪:‬‬ ‫‪ax  b‬‬



‫משוואה לינארית כללית במשתנה אחד תוצג בדרך כלל כ‬ ‫משוואה לינארית כללית בשני משתנים –‬ ‫‪ax  by  c‬‬ ‫משוואה לינארית כללית בשלושה משתנים –‬ ‫‪ax  by  cz  d‬‬ ‫אפשר כמובן להשתמש באותיות אחרות במקום ‪ , a , b, c , d , x , y , z‬למשל ‪  ,  ,  ,  , r , s , t -‬וכדומה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫)כאשר מספר המשתנים גדול מ‪ ,3‬ניעזר בדרך כלל באינדקסים‪(.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫נתבונן במשוואה הלינארית בשני משתנים מעל ‪: ‬‬ ‫‪3 x  4 y  10‬‬ ‫הזוג ‪ (2,1)  2‬מקיים את התנאי שהמשוואה מציבה‪ ,‬כי ‪ . 3  2  4  1  10‬את העובדה הזאת‬ ‫מבטאים באמירה שהזוג )‪" (2,1‬פותר" או "מקיים" את המשוואה‪ ,‬או שהוא "פתרון" שלה‪ .‬זוגות‬



‫‪ 2‬המקדם במחובר שבו מופיע המשתנה ‪ x‬הוא ‪ ;1‬המקדם במחובר שבו מופיע המשתנה ‪ y‬הוא ‪ ;2‬המקדם‬ ‫במחובר שבו מופיע המשתנה ‪ z‬הוא )‪. (3‬‬



‫‪46‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪5‬‬ ‫נוספים מתוך ‪  2‬שפותרים אותה הם‪ ,‬למשל‪,  0,  , ( 2, 4) ,‬‬



‫‪" 3.   4 ,3 ‬לפתור" את‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬



‫המשוואה הזאת משמעו‪ :‬לאפיין במפורש את קבוצת כל הזוגות מתוך‬



‫‪, 2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪‬‬



‫‪10‬‬



‫שהם פתרונות שלה‪.‬‬



‫‪‬‬



‫נכליל את הדוגמה בהגדרה הבאה‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.4.2‬פתרון של משוואה לינארית‬ ‫‪a1 x1  a2 x2    an xn  b‬‬ ‫תהי‬ ‫משוואה לינארית ב ‪ n‬משתנים מעל שדה ‪. F‬‬ ‫על ‪ n‬יה ‪ ( v1 ,, vn )  F n‬של סקלרים מתוך ‪ F‬נאמר שהיא פתרון של המשוואה )או שהיא‬ ‫פותרת אותה( אם הטענה שהמשוואה מייצגת כאשר ) ‪ ( x1 ,, xn )  ( v1 ,, vn‬היא נכונה‪.‬‬ ‫לפתור משוואה לינארית ב ‪ n‬משתנים‪ ,‬משמעו לאפיין את קבוצת ה ‪ n‬יות ב ‪ F n‬שפותרות את‬ ‫המשוואה‪.‬‬ ‫דוגמה ‪1‬‬ ‫נפתור את המשוואה הלינארית במשתנה אחד מעל ‪: ‬‬



‫‪2x  5‬‬



‫‪1‬‬ ‫אם ‪ c‬פותר את המשוואה אז ‪ , 2c  5‬ואם נכפול את שני האגפים של השוויון האחרון ב‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫הוא‬ ‫שבהכרח ‪ . c ‬כלומר‪ ,‬אם יש למשוואה פתרון‪ ,‬הוא בהכרח שווה ל ‪ ,‬וקל לוודא שאכן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫פתרון‪ .‬לכן למשוואה הנתונה יש פתרון יחיד והוא ‪. x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫בקיצור‪ ,‬יכולנו לרשום ‪ , 2 x  5  x ‬ולהגיע לאותה מסקנה‪.‬‬ ‫‪2‬‬



‫נקבל‬



‫דוגמה ‪2‬‬ ‫נפתור את המשוואה הלינארית בשני משתנים מעל ‪: ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪2x  3y  7‬‬



‫נבחין כי‪:‬‬ ‫ההצגה הימנית מלמדת שלכל ערך של ‪ , x‬יש ערך יחיד של ‪ y‬שעבורו הזוג ) ‪ ( x , y‬פותר את‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫המשוואה‪ ,‬והוא ‪x ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪2 x  3 y  7  3 y  7  2 x  3 y  2 x  7  y ‬‬



‫‪.y ‬‬



‫אם נבחר ‪ x  0‬נקבל את הפתרון‪:‬‬ ‫אם נבחר ‪ x  1‬נקבל את הפתרון‪:‬‬



‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( x, y )   0,  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( x, y )  1,  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬



‫אלה פתרונות פרטיים‪.‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬לכל ‪ t  ‬יש זוג יחיד שפותר את המשוואה‪ ,‬אשר הרכיב הראשון שלו הוא ‪ , t‬והוא‬ ‫הזוג‪:‬‬



‫‪3‬‬



‫‪ ‬הוא המספר הממשי )האירציונלי(‪ ,‬המבטא את היחס הקבוע שבין ההיקף של מעגל לבין הקוטר שלו‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪47‬‬



‫‪7‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪( x, y )   t , t  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 3‬‬



‫זהו הפתרון הכללי של המשוואה‪.‬‬ ‫הסימן ‪ t‬המופיע בפתרון הכללי מכונה ָּפ ָר ֶמ ֶטר‪ .‬כל מספר ממשי הוא ערך אפשרי של הפרמטר ‪. t‬‬ ‫ערכים שונים של ‪ t‬מניבים פתרונות פרטיים שונים‪" .‬כמות" הפתרונות השונים‪ ,‬כ"כמות" המספרים‬ ‫הממשיים‪ ,‬היא אפוא אינסופית‪.‬‬ ‫כדי לפתור את המשוואה מצאנו מהו הערך של ‪ , y‬המתאים לערך נתון של ‪ . x‬אפשר לפתור את‬ ‫המשוואה גם עלידי מציאת הערך של ‪ x‬המתאים לערך נתון של ‪ , y‬כך‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪2x  3y  7  2x  3y  7  x ‬‬



‫ההצגה הימנית מלמדת‪ ,‬שלכל ערך של ‪ y‬יש ערך יחיד של ‪ x‬שעבורו הזוג ) ‪ ( x , y‬פותר את‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫המשוואה‪ ,‬והוא שווה ‪ . x  y ‬הפתרון הכללי המתקבל מהצגה זו הוא‪:‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪7 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( x, y )   t  , t ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬



‫גם הפעם הפתרון הכללי מוצג בעזרת פרמטר‪ .‬אבל בעוד שבהצגה הקודמת הפרמטר ייצג את הערך‬ ‫של המשתנה ‪ , x‬בהצגה הנוכחית הפרמטר מייצג את הערך של המשתנה ‪. y‬‬ ‫‪7‬‬ ‫שתי ההצגות של הפתרון הכללי‪,‬‬ ‫‪3 ‬‬



‫‪ ( x, y )   t , t ‬ו ‪ , ( x, y )   t  , t ‬מתארות‪ ,‬בהכרח‪,‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪3‬‬



‫‪7‬‬



‫אותה תתקבוצה של ‪)  2‬כלומר אותה קבוצה של זוגות מעל ‪.( ‬‬ ‫אפשר‪ ,‬כמובן‪ ,‬להשתמש באות אחרת לציון הפרמטר‪ .‬למשל‪ ,‬גם‬



‫‪7 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( x, y )   s  , s ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ו ‪ ( x, y )    ,   ‬הן הצגות של הפתרון הכללי של המשוואה‪ .‬אפשר לתת גם הצגות נוספות‬



‫‪3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫של הפתרון הכללי‪ ,‬כגון ‪. ( x, y )   3t  ,2t ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫לשם תרגול‪ ,‬מצאו זוג אחד שפותר את המשוואה אשר בו הרכיב הראשון הוא ‪ ,3‬וזוג אחר שפותר את‬ ‫המשוואה אשר הרכיב השני בו הוא ‪4.3‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 4‬למציאת פתרון שרכיבו הראשון הוא ‪ ,3‬נציב ‪ t  3‬בפתרון הכללי ‪ ,  t , 2 t  7 ‬ונקבל את הפתרון הפרטי‬ ‫‪3‬‬



‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3,  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 3‬‬



‫)בדקו עלידי הצבת ‪ x  3, y   1‬במשוואה ‪ ;( 2 x  3 y  7‬למציאת פתרון שרכיבו השני הוא ‪,3‬‬ ‫ִּ‬ ‫‪3‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫)בדקו עלידי הצבת ‪x  8, y  3‬‬ ‫נציב ‪ s  3‬בפתרון הכללי ‪ ,  3 s  7 , s ‬ונקבל את הפתרון הפרטי )‪ּ ִ (8,3‬‬ ‫‪‬‬



‫במשוואה ‪.( 2 x  3 y  7‬‬



‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪48‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫עד כאן התבוננו במשוואה ‪ 2 x  3 y  7‬כמשוואה מעל השדה ‪ . ‬אולם‪ ,‬המקדמים של המשוואה‬ ‫‪ 2 x  3 y  7‬הם מספרים רציונליים‪ .‬לפיכך המשוואה הזאת היא גם משוואה לינארית מעל השדה‬ ‫‪ . ‬לפי הגדרה ‪ ,1.4.2‬כמשוואה מעל ‪ , ‬פתרונותיה הם זוגות מתוך ‪ , 2‬כלומר זוגות של מספרים‬ ‫רציונליים שמקיימים את התנאי שהיא מציבה‪ .‬השיקול שהוביל למסקנה שהפתרון הכללי הוא‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪( x, y )   t , t  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 3‬‬



‫עדיין תקף‪ ,‬אבל הפעם הפרמטר ‪ t‬מייצג רק מספרים רציונליים‪ ,‬שכן אם ‪ t‬מספר ממשי שאינו‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫רציונלי‪ ,‬הזוג ‪ ( x, y )   t , t  ‬אינו זוג של מספרים רציונליים‪ 5.‬אם כן‪ ,‬רק חלק מפתרונות‬ ‫‪3‬‬



‫‪ 3‬‬



‫המשוואה שלנו כמשוואה מעל ‪ , ‬הם פתרונות שלה גם כמשוואה מעל ‪ . ‬עם זאת‪ ,‬מאחר שיש‬ ‫אינסוף מספרים רציונליים שונים‪ ,‬גם כמשוואה מעל ‪ ‬יש לה אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫בעזרת הפתרון הכללי של המשוואה ‪ ,  t , t   , 2 x  3 y  7‬אפשר לאפיין את קבוצת‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 3‬‬



‫"הפתרונות הממשיים" שלה‪ ,‬כלומר את קבוצת הזוגות של מספרים ממשיים שמקיימים את התנאי‬ ‫שהיא מציבה‪ .‬הפתרונות הממשיים הם כלל הזוגות המתקבלים ממנו כאשר ‪" t‬עובר" על כל‬ ‫המספרים הממשיים‪.‬‬ ‫בעזרת אותו ביטוי אפשר לאפיין גם את קבוצת "הפתרונות הרציונליים" של המשוואה הנידונה‬ ‫)כלומר את קבוצת הזוגות של מספרים רציונליים‪ ,‬שמקיימים את התנאי שהיא מציבה(‪ .‬הפתרונות‬ ‫הרציונליים הם כלל הזוגות המתקבלים ממנו כאשר ‪" t‬עובר" על כל המספרים הרציונליים‪.‬‬ ‫לעומת זאת‪ ,‬קבוצת "הפתרונות הטבעיים" של המשוואה אינה קבוצת הזוגות המתקבלים מן הפתרון‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫הכללי‪ ,‬כאשר ‪" t‬עובר" על כל המספרים הטבעיים‪ .‬אמנם לכל מספר טבעי ‪ , t‬הזוג ‪  t , t  ‬הוא‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫פתרון שלה‪ ,‬אבל זה אינו בהכרח זוג של מספרים טבעיים‪ .‬למשל‪ ,‬כאשר ‪ , t  1‬הפתרון המתקבל‪,‬‬ ‫‪ ,  1,  ‬אינו שייך לקבוצת הפתרונות הטבעיים של המשוואה )וגם לא לקבוצת הפתרונות השלמים‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫שלה(‪ ,‬משום שהרכיב השני שלו‪ ,‬המייצג את הערך של ‪ , y‬אינו מספר טבעי )או שלם(‪.‬‬ ‫בדיון האחרון ראינו הבדל בין ‪ ‬ו ‪ ‬לבין ‪ ‬ו ‪ . ‬ההבדל נובע מכך ש ‪ ‬ו ‪) ‬עם החיבור‬ ‫והכפל הרגילים( הם שדות‪ ,‬ואילו ‪ ‬ו ‪) ‬עם אותן פעולות( אינם שדות‪ .‬נסביר‪ :‬בכל שדה ‪ , F‬לכל‬ ‫‪ a  F‬יש איבר נגדי ) ‪ , (  a‬ואם ‪ a  0‬אז ל ‪ a‬יש גם איבר הופכי – ‪ . a 1‬לכן בכל שדה ‪ , F‬לכל‬ ‫‪ , a , b  F‬ההפרש ‪ a  b‬הוא איבר של ‪ , F‬ואם ‪ b  0‬אז גם המנה ‪ a / b‬היא איבר של ‪. F‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪t  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬



‫בהתאם לכך‪,‬‬



‫‪t ‬‬



‫)את הסימן " ‪ ," ‬המכונה סימן הגרירה‪ ,‬פגשנו כבר בכרך ההכנה‪ ,‬בסעיף ב של פרק ‪(I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5‬וכאשר ‪ t‬מספר רציונלי‪ ,‬גם ‪ 2 t  7‬הוא רציונלי‪ ,‬לכן במקרה זה ‪  t , 2 t  7 ‬הוא זוג מספרים רציונליים‪.‬‬



‫‪3‬‬



‫‪3‬‬



‫‪3‬‬



‫‪ 3‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪49‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪t  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪t  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬



‫וכמובן גם‪:‬‬



‫‪t ‬‬



‫לעומת זאת‪,‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪t  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬



‫וכן‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫כלומר‪ ,‬מכך ש ‪ t‬מספר טבעי‪/‬שלם‪ ,‬לא נובע ש ‪t ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪t  ‬‬ ‫‪‬‬



‫הוא מספר טבעי‪/‬שלם‪.‬‬



‫‪‬‬



‫בהמשך הפרק נציג שיטה שמאפשרת לאפיין לא רק את קבוצת הפתרונות של כל משוואה לינארית‬ ‫מעל ‪ , ‬אלא גם את קבוצת הפתרונות של כל מערכת לינארית מעל ‪ 6. ‬כפי שתראו‪ ,‬השיטה‬ ‫נסמכת רק על התכונות של ‪ ‬שמתחייבות מעובדת היותו שדה‪ .‬בהתאם לכך‪ ,‬אותה שיטה תתאים‬ ‫גם לאפיון קבוצות הפתרונות של משוואות )ומערכות( לינאריות מעל ‪ , ‬או מעל כל שדה אחר ‪. F‬‬ ‫דוגמה ‪3‬‬ ‫נתבונן במשוואה ‪ , x  y  0‬שהיא המשוואה הלינארית הסטנדרטית בשני משתנים‪:‬‬ ‫‪1 x 1 y  0‬‬



‫בכל שדה ‪ F‬יש איבר ניטרלי ‪ 0‬ביחס לחיבור‪ ,‬ויש איבר ניטרלי ‪ 1‬ביחס לכפל‪.‬‬ ‫המשוואה הזאת היא אפוא משוואה לינארית בשני משתנים מעל כל שדה ‪. F‬‬ ‫‪ ‬הבה נפתור אותה כמשוואה מעל השדה‬ ‫בשדה ‪ 2‬יש שני איברים בלבד – ‪ 0‬ו‪ .1‬מספר זוגות האיברים הוא ‪ .4‬הזוגות הם‪:‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪7: ‬‬



‫)‪(0, 0), (0,1), (1, 0), (1,1‬‬



‫החיבור בשדה הזה מוגדר‪ ,‬כזכור‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫הזוגות המקיימים את התנאי ‪ x  y  0‬הם )‪ (0, 0‬ו )‪ . (1,1‬אם כן‪ ,‬ל ‪ , x  y  0‬כמשוואה‬ ‫מעל ‪ , 2‬יש שני פתרונות‪.‬‬ ‫‪0  0  0, 0  1  1, 1  0  1, 1  1  0‬‬



‫‪ ‬נפתור כעת אותה משוואה כמשוואה מעל השדה‬ ‫כדי למצוא את זוגות האיברים מתוך ‪ 7‬שמקיימים את התנאי ‪ , x  y  0‬נסרוק את‬ ‫המשבצות בטבלת הפעולה ‪ , 7‬שבהן רשום ‪ ,0‬ונאתר את הזוגות שמהם התקבל הסכום הזה‪.‬‬ ‫‪ 0‬מופיע ב‪ 7‬משבצות‪ ,‬אחת בכל שורה בטבלה; הזוגות שסכומם ‪ 0‬הם‪:‬‬ ‫‪7‬‬



‫‪8: ‬‬



‫)‪(0, 0), (1, 6), (2,5), (3, 4), (4,3), (5, 2), (6,1‬‬



‫אם כן‪ ,‬כמשוואה מעל ‪ 7 , 7‬הזוגות שמנינו הם כל הפתרונות שלה‪.‬‬ ‫‪ ‬כעת נפתור את המשוואה כמשוואה מעל שדה כללי ‪. F‬‬ ‫מאחר ש‬ ‫הפתרון הכללי הוא‪ ,‬בבירור‪:‬‬ ‫‪ 6‬מערכות לינאריות תוגדרנה בסעיף הבא‪.‬‬ ‫‪ 7‬ראו בסעיף ‪1.2‬ו‪.‬‬ ‫‪ 8‬טבלת הפעולה ‪ ,  7‬שהיא פעולת החיבור בשדה‬



‫‪x  y  0  y  x‬‬



‫‪ , 7‬מופיעה בתשובה ‪.1.2.7‬‬



‫) ‪(t , t‬‬



‫‪50‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הפ ָר ֶמ ֶטר ‪ , t‬המופיע בפתרון הכללי‪ ,‬מייצג סקלר כלשהו מתוך השדה ‪. F‬‬ ‫ָּ‬ ‫שימו לב‪ ,‬כאשר ‪ , F  2‬הזוג )‪ (1, 1‬המתקבל עבור ‪ t  1‬אינו אלא הפתרון )‪ (1,1‬שמצאנו קודם‪,‬‬ ‫כי בשדה ‪ 2‬האיבר ‪ , 1‬המסמל את הנגדי ל‪ ,1‬הוא ‪ .1‬באופן דומה‪ ,‬כאשר ‪ , F  7‬הזוג )‪(3, 3‬‬ ‫המתקבל עבור ‪ , t  3‬אינו אלא הפתרון )‪ (3, 4‬שמצאנו קודם‪ ,‬כי בשדה ‪ , 7‬האיבר ‪ , 3‬המסמל‬ ‫את הנגדי ל‪ ,3‬הוא ‪.4‬‬ ‫כאשר ‪ F‬הוא שדה המספרים הממשיים ‪ , ‬או שדה המספרים הרציונליים ‪ , ‬כמות הערכים‬ ‫האפשריים עבור ‪ t‬היא אינסופית‪ ,‬ולכן למשוואה ‪ x  y  0‬יש אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫שימו לב‪ ,‬הזוג ‪ ,  2 ,  2 ‬שהוא הפתרון של המשוואה מעל ‪ ‬המתקבל עבור הערך ‪, t  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אינו פתרון של אותה משוואה כמשוואה מעל ‪ , ‬כי ‪) 2  ‬כבר הזכרנו עובדה זו במבוא‪,‬‬ ‫ובהמשך הקורס נוכיח אותה(‪.‬‬ ‫עוד נקודה ראויה לציון‪ :‬מלבד )‪ , (0, 0‬אף אחד מהזוגות שפותרים את המשוואה מעל ‪ 2‬או מעל‬ ‫‪ , 7‬אינו פתרון שלה כמשוואה מעל ‪ ‬או ‪ . ‬לאלה מכם שתוהים "כיצד ייתכן שהזוג )‪(3, 4‬‬ ‫לפעמים פותר את המשוואה ‪ x  y  0‬ולפעמים לא?"‪ ,‬נזכיר שהסימן "‪ "+‬המופיע בה מציין פעולות‬ ‫‪‬‬ ‫שונות בשדות שונים‪ .‬בשדות ‪ ‬ו ‪ , 3  4  7  0 , ‬ובשדה ‪ 7‬מתקיים ‪. 3  4  0‬‬ ‫הלקח מדוגמה ‪ 3‬הוא‪ ,‬שהפתרון הכללי ) ‪ ( t ,  t‬מייצג נאמנה את הפתרונות של המשוואה ‪x  y  0‬‬



‫כמשוואה מעל כל שדה שהוא‪ .‬עם זאת‪ ,‬בשדות שונים‪ ,‬הכמות והמהות של הפתרונות הפרטיים‬ ‫המתקבלים ממנו כאשר הפרמטר ‪" t‬עובר" על כל איברי השדה‪ ,‬תלויים בכמות האיברים שיש בשדה‪,‬‬ ‫ובהגדרה הספציפית של פעולות השדה עליו‪.‬‬ ‫דוגמה ‪4‬‬ ‫נמצא את הפתרון הכללי של המשוואה הלינארית הכללית בשלושה משתנים‬ ‫‪ax  by  cz  d‬‬



‫כמשוואה מעל שדה כלשהו ‪ , F‬אשר המקדמים ‪ a , b, c , d‬הם איברים שלו‪.‬‬ ‫לצורך זה עלינו להבחין בין שתי אפשרויות בנוגע למקדמים‪:‬‬ ‫א‪ . a  b  c  0 .‬במקרה זה‪ ,‬המשוואה היא‬ ‫‪0t1  0t2  0t3  0‬‬ ‫ולכל שלשה ) ‪ ( t1 , t2 , t3‬של איברים מתוך ‪ F‬מתקיים‪:‬‬ ‫לפיכך‪,‬‬ ‫אם ‪ , d  0‬אז כל שלָ ָשה של סקלרים היא פתרון – קבוצת הפתרונות היא ‪9. F 3‬‬ ‫אם ‪ , d  0‬אז אין שלָ ָשה של סקלרים שהיא פתרון – קבוצת הפתרונות ריקה‪.‬‬ ‫‪0x  0 y  0z  d‬‬



‫ב‪ .‬לפחות אחד מבין ‪ a , b, c‬שונה מ‪ .0‬נניח ש ‪. c  0‬‬



‫‪9‬‬



‫השלָ שוֹ ת מעל ‪. F‬‬ ‫‪ F 3‬היא הקבוצה המורכבת מכל ְ‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫במקרה זה‪,‬‬



‫‪d a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ x y‬‬ ‫‪c c‬‬ ‫‪c‬‬



‫‪51‬‬



‫‪ax  by  cz  d  cz  d  ax  by  z ‬‬



‫ההצגה הימנית מלמדת‪ ,‬שלכל בחירה של ערכים מתוך ‪ F‬עבור המשתנים ‪ x‬ו ‪ , y‬יש ערך יחיד‬ ‫של ‪ z‬המשלים את זוג הערכים שבחרנו לשלשה שהיא פתרון‪ :‬עבור ‪ , y  t , x  s‬הערך היחיד‬ ‫‪d a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ s t‬‬ ‫‪c c‬‬ ‫‪c‬‬



‫של ‪ z‬המניב פתרון הוא‪:‬‬



‫‪z‬‬



‫בפתרון הכללי יש שני פרמטרים;‬ ‫הפתרון הכללי הוא‪:‬‬ ‫הפתרון הפרטי המתאים ל ‪ s  t  0‬הוא‪:‬‬ ‫הפתרון הפרטי המתאים ל ‪ s  t  1‬הוא‪:‬‬



‫‪d a‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ s, t , c  c s  c t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0,0, c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d a b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1,1, c  c  c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0,1, c  c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫הפתרון הפרטי המתאים ל ‪ s  0, t  1‬הוא‪:‬‬



‫מצאו בעצמכם את הפתרון הפרטי המתאים ל ‪ , s  1, t  0‬וכן את הפתרון הפרטי המתאים‬ ‫‪‬‬ ‫ל ‪. s  t  c‬‬ ‫הערה‬ ‫משוואה לינארית‪ ,‬שכל המקדמים שלה )הן מקדמי המשתנים‪ ,‬הן המקדם החופשי( הם אפסים‬ ‫)בשדה הנתון(‪ ,‬נקראת משוואת אפס‪.‬‬ ‫דוגמה ‪5‬‬ ‫משוואת האפס בשני משתנים‪ , 0 x  0 y  0 ,‬היא משוואה אחרת מאשר משוואת האפס בשלושה‬ ‫משתנים‪ . 0 x  0 y  0 z  0 ,‬הראשונה מציבה תנאי על זוגות של סקלרים‪ ,‬ואילו השנייה מציבה תנאי‬ ‫על ְשלָ שות של סקלרים‪ .‬בכל הצבה של ערכים במקום המשתנים‪ ,‬כל אחת מהן "אומרת" ‪. 0  0‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬קבוצת הפתרונות של ‪ 0 x  0 y  0‬היא קבוצת כל הזוגות מעל ‪ , F‬כלומר הקבוצה ‪; F 2‬‬ ‫קבוצת הפתרונות של ‪ 0 x  0 y  0 z  0‬היא קבוצת כל השלָ שות מעל ‪ , F‬שהיא הקבוצה ‪. F 3‬‬ ‫מעל ‪ 2‬למשל‪ ,‬כמות הפתרונות של ‪ 0 x  0 y  0‬היא ‪ ,4‬כמספר הזוגות מעל הקבוצה }‪ , {0,1‬ואילו‬ ‫‪‬‬ ‫ל ‪ 0 x  0 y  0 z  0‬יש ‪ 8‬פתרונות‪ ,‬כמספר השלשות מעל הקבוצה }‪. {0,1‬‬ ‫המשוואה הלינארית הכללית ב ‪ n‬משתנים‪ ,‬מעל שדה כלשהו ‪ , F‬היא‪:‬‬ ‫‪a1 x1  a2 x2    an xn  b‬‬



‫דרך דומה לזו שנקטנו בדוגמה ‪ 4‬מובילה למסקנות האלה‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם המשוואה היא משוואת אפס‪ ,‬אז כל ‪ n‬יה מעל ‪ F‬היא פתרון שלה‪ .‬קבוצת פתרונותיה היא‬ ‫‪. Fn‬‬ ‫ב‪ .‬אם מקדמי כל המשתנים הם ‪ , 0‬והמקדם החופשי שונה מ ‪ , 0‬אז אין ‪ n‬יה מעל ‪ F‬שהיא פתרון‬ ‫שלה‪ .‬קבוצת הפתרונות של המשוואה היא הקבוצה הריקה ‪. ‬‬



‫‪52‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ג‪ .‬אם לפחות אחד ממקדמי המשתנים שונה מאפס‪ ,‬אז למשוואה יש פתרון‪ ,‬וכאשר מספר המשתנים‬ ‫גדול מאחד‪ ,‬למשוואה יש יותר מפתרון אחד‪.‬‬ ‫במקרה ג‪ ,‬אם ‪ F‬הוא שדה אינסופי כגון ‪ ‬או ‪ , ‬כמות הפתרונות היא אינסופית; כדי לאפיין את‬ ‫קבוצת הפתרונות עלינו להציג את הפתרון הכללי שלה‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬אם ‪ F‬הוא שדה סופי בן ‪k‬‬ ‫איברים‪ ,‬קבוצת הפתרונות היא סופית‪ ,‬שהרי הכמות הכוללת של ‪ n‬יות מעל ‪ F‬היא סופית‪ .‬במקרה‬ ‫זה‪ ,‬אין הכרח למצוא את הפתרון הכללי; יש דרך אחרת – דרך הניסוי‪ :‬אפשר להציב במשוואה‪ ,‬בזו‬ ‫אחר זו‪ ,‬כל אחת מ ‪ k n‬ה ‪ n‬יות של סקלרים מתוך ‪ , F‬ולברור מתוכן את כל אלה שהן פתרונות‪.‬‬ ‫עם זאת‪ ,‬גם במקרה זה עדיף לתאר את הפתרון הכללי‪.‬‬ ‫דוגמה ‪6‬‬ ‫כדי למצוא בדרך הניסוי את כל הפתרונות מעל ‪ 7‬של המשוואה‬ ‫‪2 x  4 y  5z  3‬‬ ‫השלָ שות של איברים מתוך הקבוצה‬ ‫עלינו למצוא מה היא "אומרת" על כל אחת מ ‪ְ 73  343‬‬ ‫}‪ . {0,1, 2, 3, 4,5, 6‬בפתרון הכללי של המשוואה הזאת יש שני פרמטרים‪ .‬לכל אחד מהם יש ‪ 7‬ערכים‬ ‫אפשריים‪ .‬בסך הכל ישנם ‪ 49‬צירופי ערכים לפרמטרים‪ .‬ארבעים ותשעה חישובים פשוטים יספיקו‬ ‫‪‬‬ ‫אפוא כדי להצביע על כל הפתרונות באופן מפורש‪.‬‬ ‫דוגמה ‪7‬‬ ‫‪ ‬הפתרון הכללי של ‪) x  y  0‬מדוגמה ‪ ,(3‬שהוא ) ‪ , ( t ,  t‬ניתן להצגה כ )‪ , t (1, 1‬כלומר כצירוף‬ ‫לינארי )בעל מחובר אחד(‪ ,‬שבו הפרמטר מופיע כמקדם‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ ‬גם הפתרון הכללי של ‪) 2 x  3 y  7‬מדוגמה ‪ ,(2‬שהוא ‪ ,  t , t  ‬ניתן להצגה כצירוף לינארי‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫שבו הפרמטר ‪ t‬מופיע כמקדם‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫‪7 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7  2  ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ t , 3 t  3    t  0, 3 t  3    t , 3 t    0,  3   t 1, 3    0,  3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬



‫)הפעם יש בצירוף שני מחוברים; המקדם של אחד מהם הוא ‪ t‬ושל האחר – ‪(. 1‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪1.4.1‬‬



‫‪7 3‬‬ ‫הפתרון הכללי של ‪ 2 x  3 y  7‬ניתן להצגה גם כ ‪ .   t , t ‬השלימו‪:‬‬ ‫‪2 2 ‬‬ ‫‪7 3  7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  2 t, t    2 ,   t  2 , ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫התשובה בעמוד ‪120‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪53‬‬



‫דוגמה ‪8‬‬ ‫את הרביעייה מעל ‪ , ‬שבה מופיעים הפרמטרים ‪ s‬ו ‪ , (3, t  2 s , 4  5 s  t , s , t ) : t‬נציג כך‪:‬‬ ‫) ‪(3, t  2 s , 4  5s  t , s, t )  (3  0 s  0t , 0  2 s  t , 4  5s  t , 0  s  0t , 0  0 s  t‬‬ ‫) ‪ (3, 0, 4, 0,0)  (0 s , 2 s ,5s , s , 0 s )  (0t , t ,  t ,0t , t‬‬ ‫)‪ (3, 0, 4, 0,0)  s (0, 2,5,1, 0)  t (0,1, 1, 0,1‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪1.4.2‬‬ ‫מצאו את הפתרון הכללי של כל אחת מן המשוואות שלהלן‪ ,‬והציגו אותו כצירוף לינארי של ‪ n‬יות‬ ‫קבועות‪ ,‬שבו הפרמטרים מופיעים כמקדמים‪ .‬המשוואות הן מעל ‪. ‬‬ ‫א‪2 x  4 y  5 z  3 .‬‬ ‫ב‪x  y  2 z  3 w  0 .‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪120‬‬ ‫הערה‬ ‫בהגדרות ובמשפטים שבהמשך‪ ,‬נמשיך לדבר על משוואות לינאריות )ועל מערכות לינאריות( מעל‬ ‫שדה כלשהו ‪ . F‬זאת – משום שבהוכחות המשפטים נזדקק רק לתכונות של החיבור והכפל‬ ‫שמתקיימות בכל שדה‪ .‬עם זאת‪ ,‬בדרך כלל נתמקד במשוואות לינאריות ובמערכות לינאריות מעל ‪, ‬‬ ‫ולא תמיד נקפיד לציין זאת‪ ,‬משום שזו תהיה עבורנו ברירת המחדל‪ .‬יתר על כן‪ ,‬כמו קודם‪ ,‬המקדמים‬ ‫במערכות שנבחן יהיו בדרך כלל מספרים שלמים‪ ,‬כדי להקל על החישובים ולמנוע סרבול שאינו‬ ‫חיוני‪.‬‬ ‫משוואות )ומערכות( לינאריות עם מקדמים שלמים או רציונליים בלבד‪ ,‬הן גם משוואות )ומערכות(‬ ‫לינאריות מעל שדה הממשיים ‪ . ‬ההבדל היחיד בין הפתרונות הכלליים שלהם מעל ‪ ‬ומעל ‪‬‬ ‫הוא בערכים שעליהם הפרמטרים "עוברים"‪ .‬לפיכך‪ ,‬במהלך כל הדיון‪ ,‬ההבדל בין השדות ‪ ‬ו ‪‬‬ ‫לא יבוא לידי ביטוי‪ .‬כפי שעשינו בסעיף זה‪ ,‬נבחן מדי פעם משוואות מעל שדות סופיים‪ ,‬בפרט ‪2‬‬ ‫או ‪ , 7‬כדי שתראו כיצד מהות השדה שממנו לקוחים המקדמים באה לידי ביטוי‪ .‬בדוגמאות שבהן‬ ‫הכוונה היא לשדה אחר מ ‪ , ‬נקפיד לציין זאת‪.‬‬



‫‪54‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 1.5‬מערכות לינאריות‬ ‫מערכת משוואות לינארית‪ ,‬או בקצרה – מערכת לינארית‪ ,‬מעל שדה ‪ , F‬היא אוסף המורכב ממספר‬ ‫סופי כלשהו של משוואות לינאריות מעל ‪ . F‬לדוגמה‪ ,‬המערכת‬ ‫‪x  2y  2‬‬ ‫‪y  3z  3‬‬ ‫‪z  x5‬‬



‫היא מערכת לינארית מעל ‪ 1, ‬בת ‪ 3‬משוואות‪" .‬לפתור" את המערכת משמעו למצוא עבור אילו‬ ‫ערכים של המשתנים‪ ,‬כל משוואות המערכת מייצגות טענות שוויון נכונות‪ .‬במערכת שהדגמנו‪ ,‬מספר‬ ‫המשתנים שבמקומם צריך להציב סקלרים מסוימים הוא ‪ ;3‬לכן‪ ,‬למרות שבכל אחת ממשוואות‬ ‫המערכת יש רק שני משתנים‪ ,‬המערכת כולה היא בת שלושה משתנים‪ ,‬כמספר המשתנים השונים‬ ‫בכל המשוואות יחד‪ .‬אמרו מעתה‪:‬‬ ‫‪ ‬כל משתנה של כל אחת מהמשוואות של מערכת לינארית הוא משתנה של המערכת‪.‬‬ ‫כאשר מספר המשתנים של מערכת הוא ‪ ,3‬פתרונותיה )אם יש כאלה( הם ְשלָ שות; באופן כללי‪,‬‬ ‫‪ ‬הפתרונות של מערכת לינארית ב ‪ n‬משתנים הם ‪ n‬יות של סקלרים‪.‬‬ ‫בכל מערכת לינארית אפשר להוסיף לכל משוואה את המשתנים של המערכת שאינם מופיעים בה‪ ,‬עם‬ ‫מקדם ‪ .0‬התוספת אינה משנה את קבוצת הפתרונות של המערכת‪ .‬כמו כן‪ ,‬אפשר לשנות את סדר‬ ‫המחוברים במשוואות ולהביא לכך שבכל המשוואות יופיעו המשתנים באותו סדר‪ .‬בדוגמה שלנו‪,‬‬ ‫למשל‪ ,‬אפשר להציג את המערכת כך‪:‬‬ ‫‪x  2 y  0z  2‬‬ ‫‪0 x  y  3z  3‬‬ ‫‪x  0y  z  5‬‬



‫‪x  2y  2‬‬ ‫‪‬‬



‫‪y  3z  3‬‬ ‫‪z  x5‬‬



‫ההצגה שמימין מכונה "הצגה סטנדרטית" של המערכת‪ 2.‬ההצגה הסטנדרטית מאירה את העובדה‬ ‫שמדובר במערכת בת שלושה משתנים‪ ,‬שפתרונותיה אמורים להיות שלָ שות‪ .‬היא קובעת סדר מסוים‬ ‫ביניהם )כאן – ‪ x‬המשתנה הראשון‪ y ,‬השני‪ z ,‬השלישי( ובכך מבהירה גם שבכל פתרון ) ‪, ( r , s , t‬‬ ‫‪ r‬הוא הערך של ‪ s , x‬הוא הערך של ‪ y‬ו ‪ t‬הוא הערך של ‪. z‬‬ ‫המערכת שהדגמנו‪ ,‬שהיא מערכת בת ‪ 3‬משוואות ב‪ 3‬משתנים‪ ,‬מכונה "מערכת לינארית מסדר ‪" 3  3‬‬ ‫)ובקיצור – "מערכת מסדר ‪ .(" 3  3‬באופן כללי נגדיר‪:‬‬



‫‪ 1‬כאמור בהערה מסוף הסעיף הקודם‪ ,‬השדה ‪ ‬שמעליו המערכת מוגדרת‪ ,‬הוא ברירת המחדל‪ .‬בהמשך‪ ,‬בהעדר‬ ‫ציון השדה אנו מניחים שהמערכת היא מעל ‪. ‬‬ ‫‪ 2‬בהצגה הסטנדרטית שבחרנו‪ ,‬סדר הופעת המשתנים בכל המשוואות הוא ) ‪ . ( x, y, z‬יכולנו לבחור‪ ,‬כמובן‪ ,‬בכל‬ ‫סדר הופעה אחר‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪55‬‬



‫מערכת לינארית סטנדרטית מסדר ‪ m × n‬מעל שדה ‪F‬‬



‫הגדרה ‪1.5.1‬‬ ‫מערכת לינארית סטנדרטית מסדר ‪) m  n‬קרי‪ m " :‬על ‪ ,(" n‬היא מערכת מהטיפוס‪:‬‬ ‫‪a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1‬‬ ‫‪a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm‬‬



‫‪ x1 ,..., xn‬הם המשתנים‪ (1  i  m, 1  j  n) aij ,‬הם מקדמי המשתנים‪ bi ,‬הם המקדמים‬ ‫החופשיים‪.‬‬ ‫המשתנים‪ ,‬שכולם מופיעים בכל משוואות המערכת באותו סדר‪ ,‬סומנו ‪ , x1 , , xn‬לפי סדר הופעתם‪.‬‬ ‫לסימול מקדמי המשתנים נעזרנו בשני אינדקסים‪ :‬במקדם ‪ , aij‬האינדקס הראשון‪ , i ,‬מציין את‬ ‫מספר המשוואה שבה המקדם מופיע; האינדקס השני‪ , j ,‬מציין את המשתנה שאותו המקדם כופל‪.‬‬ ‫אם כן‪ ,‬לכל ‪ (1  i  m) i‬ולכל ‪ aij , (1  j  n ) j‬מופיע במשוואה ה ‪ַּ i‬כמקדם של ‪. x j‬‬ ‫לסימול המקדמים החופשיים נזקקנו לאינדקס בודד‪ ,‬המציין את מספר המשוואה שבה הוא מופיע‪.‬‬ ‫נוכל לראות משוואה לינארית בודדת ב ‪ n‬משתנים כמערכת לינארית מסדר ‪. 1  n‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫השלימו בעצמכם את החסר במשפטים הבאים‪:‬‬ ‫‪ ‬מערכת לינארית שיש בה ‪ 6‬משוואות ומספר המשתנים בה הוא ‪ , 5‬היא מערכת מסדר _ ‪. _ ‬‬ ‫‪ ‬במערכת מסדר ‪ 7  10‬יש _ משוואות ו_ משתנים‪ .‬במערכת כזאת‪ a23 ,‬הוא המקדם של ‪x3‬‬ ‫במשוואה השנייה; ‪ a54‬הוא המקדם של _ במשוואה החמישית‪ a64 .‬מופיע במשוואה ה _‪,‬‬ ‫ַּכמקדם של _‪.‬‬ ‫‪ ‬במערכת מסדר ‪ , m  1 , m  n‬המקדם של המשתנה הראשון במשוואה האחרונה הוא _;‬ ‫המקדם של המשתנה האחרון במשוואה הראשונה הוא _; המקדם של המשתנה האחרון‬ ‫‪‬‬ ‫במשוואה האחרונה הוא _‪ ,‬והמקדם של המשתנה הלפני אחרון במשוואה האחרונה הוא _‪.‬‬ ‫מעתה ואילך נתייחס רק למערכות שכבר מוצגות בצורה סטנדרטית‪ .‬כאשר מספר המשתנים קטן –‬ ‫אחד עד שלושה – נסמן אותם בדרך כלל כ ‪ x , y‬או כ ‪ , x, y , z‬במקום ‪ x1 , x2‬או ‪x1 , x2 , x3‬‬ ‫)בהתאמה(‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.5.2‬פתרון של מערכת לינארית‬ ‫תהי נתונה מערכת לינארית מסדר ‪ , m  n‬מעל שדה ‪ . F‬נסמן ב ) ‪ ( x1 ,, xn‬את ‪ n‬יית המשתנים‬ ‫שלה‪.‬‬ ‫‪ n‬יה ) ‪ ( v1 ,, vn‬של סקלרים מתוך ‪ F‬נקראת פתרון של המערכת‪ ,‬אם היא פותרת כל אחת‬ ‫מ ‪ m‬המשוואות של המערכת‪ ,‬כלומר אם עבור ) ‪ , ( x1 ,, xn )  ( v1 ,, vn‬כל טענות השוויון‬ ‫המתקבלות ממנה הן נכונות‪.‬‬



‫‪56‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לפתור מערכת לינארית מסדר ‪ m  n‬משמעו לאפיין את קבוצת כל הפתרונות שלה‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫כל ‪ n‬יה שפותרת מערכת לינארית מסדר ‪ m  n‬היא פתרון של כל אחת מ ‪ m‬המשוואות של‬ ‫המערכת‪ .‬כל משוואה של המערכת מציבה תנאי על ה ‪ n‬יות‪ ,‬ויש לה קבוצה של ‪ n‬יות שמקיימות‬ ‫תנאי זה‪ ,‬כלומר – פותרות אותה‪ .‬פתרונות המערכת הם ה ‪ n‬יות שממלאות את כל התנאים בבת‬ ‫אחת‪ .‬מכאן שקבוצת הפתרונות של המערכת היא קבוצת ה ‪ n‬יות השווה לחיתוך קבוצות הפתרונות‬ ‫של המשוואות הבודדות‪ .‬לפעמים אין ‪ n‬יות כאלה )חיתוך קבוצות הפתרונות של המשוואות‬ ‫הבודדות ריק(‪ ,‬ואז קבוצת הפתרונות של המערכת ריקה‪.‬‬ ‫‪ ‬אם למערכת לינארית יש פתרון )אחד לפחות( אומרים שהמערכת‬ ‫מערכת לינארית שקבוצת הפתרונות שלה ריקה מכונה בלתי עקבית‪.‬‬



‫עקבית‪3.‬‬



‫יש סוג אחד של איעקביות שקל מאוד להבחין בו‪ :‬כאשר במערכת לינארית ב ‪ n‬משתנים יש‬ ‫משוואה מהטיפוס‬ ‫)‪0 x1  0 x2    0 xn  b (  0‬‬ ‫המערכת היא בבירור בלתי עקבית; למשוואה כזאת‪ ,‬וכמובן גם לְ מערכות שבהן היא מופיעה‪ ,‬אין‬ ‫פתרונות‪ ,‬שהרי לכל ‪ n‬יית סקלרים ) ‪ , ( v1 ,, vn‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪0 v1    0 vn  0  b‬‬ ‫מערכת עלולה להיות בלתי עקבית גם כשאין בה משוואה מהטיפוס האמור לעיל‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫המערכת‬ ‫‪3x  5 y  2 z  0‬‬ ‫‪7x  4 y  6z  7‬‬ ‫‪10 x  9 y  4 z  11‬‬



‫היא מערכת בלתי עקבית; אין ְשלָ ָשה של סקלרים שפותרת את שלוש המשוואות כאחת‪ ,‬למרות שלכל‬ ‫אחת מהן בנפרד יש אינסוף פתרונות‪ .‬ננמק‪ְ :‬שלָ ַשת סקלרים שפותרת את שתי המשוואות הראשונות‬ ‫בהכרח פותרת גם את המשוואה שמתקבלת עלידי חיבור שתי המשוואות הללו )נמקו!(‪ ,‬שהיא‪:‬‬ ‫‪10 x  9 y  4 z  7‬‬



‫אבל ְשלָ ָשה שפותרת את המשוואה הזאת בוודאי אינה פותרת את המשוואה השלישית של המערכת‪,‬‬ ‫‪10 x  9 y  4 z  11‬‬ ‫‪‬‬ ‫שהיא‪:‬‬ ‫האיעקביות של המערכת שהדגמנו לעיל אינה בולטת לעין‪ ,‬וייתכן שמלכתחילה לא הבחנתם בה‪.‬‬ ‫בהמשך נציג שיטה כללית לפתרון מערכות לינאריות‪ ,‬שמבוססת על מעבר מן המערכת שאותה רוצים‬ ‫לפתור‪ ,‬למערכת שאותה קל לפתור ושקבוצת פתרונותיה מתלכדת עם קבוצת הפתרונות של המערכת‬ ‫המקורית‪ .‬כשנפעיל את השיטה על מערכת בלתי עקבית‪ ,‬נגיע תמיד למערכת שבה מופיעה משוואה‬ ‫מהטיפוס‪:‬‬ ‫‪ 3‬בלעז – קונסיסטנטית‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪57‬‬



‫‪0 x1  0 x2    0 xn  b  0‬‬



‫האיעקביות של מערכות שבהן יש משוואה כזאת מזדקרת לעין‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫המשוואה‬ ‫‪0 x1    0 xn  0‬‬ ‫מכונה‪ ,‬כזכור‪ ,‬משוואת אפס‪ .‬כל ‪ n‬יה של סקלרים פותרת משוואה זו‪ .‬כאשר משוואת האפס‬ ‫מופיעה במערכת לינארית‪ ,‬והיא אינה המשוואה היחידה במערכת‪ ,‬היא מיותרת ואפשר להתעלם‬ ‫ממנה; נוכחותה במערכת אינה מעלה ואינה מורידה; כל פתרון של המערכת המורכבת מן המשוואות‬ ‫האחרות ממילא פותר גם אותה‪.‬‬ ‫משוואה מתוך מערכת לינארית עשויה להיות מיותרת גם כאשר היא אינה משוואת אפס‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫במערכת מסדר ‪ 3  2‬הבאה‪,‬‬



‫‪2 x  y  10‬‬ ‫‪3 x  2 y  20‬‬ ‫‪5 x  3 y  30‬‬



‫המשוואה השלישית היא הסכום של שתי קודמותיה‪ .‬כל זוג שפותר את שתי המשוואות הראשונות‬ ‫בהכרח פותר גם אותה;‪ 4‬משוואה זו אינה מוסיפה תנאי חדש על הזוגות הפותרים‪ .‬קבוצת הפתרונות‬ ‫של המערכת הזאת מתלכדת עם קבוצת הפתרונות של המערכת מאותו סדר‪:‬‬ ‫‪2 x  y  10‬‬ ‫‪3 x  2 y  20‬‬ ‫‪0x  0 y  0‬‬



‫‪‬‬



‫השיטה הכללית לפתרון מערכות לינאריות שתוצג בהמשך הפרק‪ ,‬תאפשר להמיר כל מערכת שיש בה‬ ‫משוואה או משוואות מיותרות‪ ,‬במערכת מאותו סדר בעלת אותה קבוצת פתרונות שאין בה משוואות‬ ‫מיותרות )מלבד משוואות אפס(‪.‬‬



‫‪ 4‬למעשה‪ ,‬כל זוג שפותר שתיים כלשהן מן המשוואות בהכרח פותר גם את השלישית‪ .‬מדויק יותר אפוא לומר‬ ‫שבמערכת הזאת יש משוואה מיותרת )לאו דווקא השלישית(‪.‬‬



‫‪58‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫למערכות לינאריות בעלות מאפיינים נוספים‪ ,‬מייחדים לעיתים כינויים מיוחדים‪ .‬למשל‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.5.3‬מערכת הומוגנית‪/‬איהומוגנית‬ ‫מערכת לינארית‪ ,‬שכל המקדמים החופשיים שלה הם אפסים‪ ,‬נקראת מערכת )לינארית( הומוגנית‪.‬‬ ‫הצורה הכללית של מערכת הומוגנית היא‪:‬‬ ‫‪a11 x1    a1n xn  0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪am1 x1    amn xn  0‬‬



‫מערכת לינארית שאינה הומוגנית נקראת מערכת איהומוגנית‪.‬‬ ‫דוגמה‬



‫‪2x  3y  z  0‬‬ ‫‪x y‬‬



‫‪0‬‬



‫היא מערכת לינארית הומוגנית )מסדר ‪ – 2  3‬שתי משוואות‪ ,‬שלושה משתנים(‪.‬‬



‫‪‬‬



‫לכל מערכת הומוגנית ב ‪ n‬משתנים יש פתרון‪ :‬ה ‪ n‬יה )‪ (0,...,0‬פותרת אותה‪ .‬פתרון זה מכונה‬ ‫הפתרון הטריוויאלי של המערכת‪ .‬אם כן‪ ,‬כל מערכת לינארית הומוגנית היא עקבית‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.5.1‬‬ ‫הציגו כל אחת ממערכות המשוואות שלהלן בצורה סטנדרטית; קבעו אם היא הומוגנית אם לאו;‬ ‫ציינו לגבי כל אחת מהן מהו ‪ – m‬מספר המשוואות‪ ,‬ומהו ‪ – n‬מספר המשתנים; ומצאו בכל אחת‬ ‫מהן את ‪. a33 , a41 , a23 , a32 , b1‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪x1  2 x2  x3  x4  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x1  x4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x3  0‬‬ ‫‪x1   x2  x3‬‬



‫ב‪.‬‬



‫‪x 1 z  y‬‬ ‫‪y  5 x‬‬



‫‪z  2x‬‬



‫ג‪.‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪x1  3 x2  x3  x4 ‬‬ ‫‪2 x 2  x3  x 4  0‬‬ ‫‪x4  0‬‬



‫התשובה בעמוד ‪121‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪59‬‬



‫שאלה ‪1.5.2‬‬ ‫ציינו אילו מבין ה ‪ n‬יות )‪ , (1, 1,0,2) , (1,1) , (0,0,0,0) , (0,0,0‬מהוות פתרון לאחת )או יותר(‬ ‫מהמערכות א‪ ,‬ב וג מהשאלה הקודמת‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪121‬‬ ‫שאלה ‪1.5.3‬‬ ‫האם קיימת מערכת לינארית איהומוגנית מעל שדה כלשהו אשר )‪ (0,0,0‬הוא פתרון שלה?‬ ‫התשובה בעמוד ‪122‬‬ ‫שאלה ‪1.5.4‬‬ ‫א‪ .‬הדגימו מערכת לינארית מעל הממשיים שאין לה פתרון )מספר הנעלמים ומספר המשוואות‬ ‫לבחירתכם(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬האם המערכת שרשמתם הומוגנית או איהומוגנית?‬ ‫ג‪ .‬האם ייתכן שסטודנט אחר ענה בסעיף ב תשובה שונה וגם תשובתו נכונה?‬ ‫התשובה בעמוד ‪122‬‬ ‫שאלה ‪1.5.5‬‬ ‫נתון כי ) ‪ ( v1 ,, vn‬הוא פתרון של מערכת לינארית מסוימת‪ .‬כמה משתנים יש במערכת? כמה‬ ‫משוואות יש במערכת?‬ ‫התשובה בעמוד ‪122‬‬ ‫שאלה ‪1.5.6‬‬ ‫האם קיימת מערכת לינארית ב‪ 3‬משתנים‪ ,‬אשר כל שלָ שה של סקלרים היא פתרון שלה?‬ ‫התשובה בעמוד ‪123‬‬ ‫שאלה ‪1.5.7‬‬ ‫נתונה מערכת לינארית הומוגנית כלשהי ב ‪ n‬משתנים מעל שדה כלשהו ‪. F‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו‪ :‬אם ) ‪ c  ( c1 ,, cn‬הוא פתרון של המערכת‪ ,‬אז לכל סקלר ‪ s  F‬גם ‪ sc‬הוא פתרון‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכיחו‪ :‬אם ‪ c‬ו ‪ d‬פותרים את המערכת‪ ,‬אז גם ‪ c  d‬פותר אותה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬תוך הסתמכות על התוצאות א וב‪ ,‬הוכיחו‪ :‬אם ‪ c‬ו ‪ d‬הם פתרונות של המערכת ו ‪ s , t‬הם‬ ‫סקלרים כלשהם‪ ,‬אז גם הצירוף הלינארי ‪ sc  td‬הוא פתרון של המערכת‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪124‬‬ ‫שאלה ‪1.5.8‬‬ ‫בשאלה הקודמת הוכחתם שלמערכות הומוגניות יש התכונות האלה‪:‬‬ ‫א‪ .‬כפולה בסקלר של פתרון היא פתרון‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הסכום של שני פתרונות הוא פתרון‪.‬‬ ‫האם אותן תכונות מתקיימות גם במערכות איהומוגניות?‬ ‫התשובה בעמוד ‪121‬‬



‫‪60‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 1.6‬מטריצת המקדמים של מערכת לינארית‬ ‫מערכת לינארית מעל שדה ‪ F‬מאופיינת לחלוטין עלידי המקדמים שלה‪ .‬אי לכך‪ ,‬במקום לרשום‬ ‫מערכת לינארית במלואה‪ ,‬נוח לרשום בקיצור רק את המקדמים שלה‪.‬‬ ‫המערכת הלינארית הכללית מסדר ‪ m  n‬נראית כך‪:‬‬ ‫‪a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1‬‬ ‫‪a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm‬‬



‫בדרך הרישום המקוצרת אפשר להציג את המערכת באמצעות מלבן של סקלרים כך‪:‬‬ ‫‪b1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪bm ‬‬



‫‪ a11 a12  a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a21 a22  a2 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪amn‬‬ ‫‪ m1 m 2‬‬



‫במלבן יש ‪ m‬שורות ו )‪ ( n  1‬עמודות‪:‬‬ ‫בשורה הראשונה נראים המקדמים של המשוואה הראשונה )לפי סדר הופעתם(;‬ ‫בשורה השנייה – המקדמים של המשוואה השנייה;‬



‫‪‬‬



‫בשורה ה ‪ – m‬המקדמים של המשוואה האחרונה‪.‬‬ ‫בעמודה הראשונה נראים המקדמים של ‪ x1‬בכל משוואות המערכת;‬ ‫בעמודה השנייה – המקדמים של ‪; x2‬‬



‫‪‬‬



‫בעמודה ה ‪ n‬נראים המקדמים של ‪ xn‬בכל משוואות המערכת;‬ ‫בעמודה האחרונה‪ ,‬שמספרה ‪ , n  1‬רשומים לפי סדרם המקדמים החופשיים של המערכת‪.‬‬ ‫‪ ‬מלבן של סקלרים שיש בו ‪ m‬שורות ו ‪ n‬עמודות מכונה מטריצה מסדר ‪ . m  n‬בסימון מטריצה‬ ‫נקיף את מלבן איבריה בסוגריים )מרובעים או עגולים – שני הסימונים מקובלים(‪ .‬לסימון‬ ‫מטריצות נשתמש באותיות לטיניות גדולות‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 0 ‬‬ ‫‪8 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫זוהי מטריצה מסדר ‪ 4) 4  5‬שורות‪ 5 ,‬עמודות(‪.‬‬



‫‪2 2/3‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪7‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫‪‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪61‬‬



‫מערכת לינארית בת ‪ m‬משוואות ב ‪ n‬משתנים )לשון אחר – מערכת לינארית מסדר ‪ ( m  n‬מיוצגת‬ ‫באמצעות מטריצה מסדר )‪. m  ( n  1‬‬ ‫‪ ‬המטריצה המייצגת מערכת לינארית נתונה ב ‪ n‬משתנים מכונה מטריצת המקדמים של‬ ‫המערכת‪ .‬מספר שורותיה הוא כמספר המשוואות במערכת‪ ,‬ומספר עמודותיה גדול ב ‪ 1‬ממספר‬ ‫המשתנים של המערכת‪ .‬בכל אחת מ ‪ n‬העמודות הראשונות שלה רשומים המקדמים של אחד‬ ‫ממשתני המערכת‪ ,‬ובעמודתה האחרונה – העמודה ה )‪ – ( n  1‬רשומים המקדמים החופשיים‬ ‫של המערכת‪.‬‬ ‫הערה חשובה‬ ‫בהמשך הפרק נעסוק בהרחבה בקשר שבין תכונות של מערכות משוואות לינאריות ותכונות של‬ ‫מטריצות המקדמים שלהן; עיסוק אינטסיבי זה עלול ליצור את הרושם שמערכת משוואות ומטריצה‬ ‫מייצגות אותו הדבר‪ .‬אך יש לדייק – בהמשך הקורס נעסוק במטריצות גם שלא בהקשר של מערכות‬ ‫משוואות לינאריות‪ .‬מערכת לינארית היא אוסף של משוואות לינאריות‪ ,‬בעוד שמטריצה היא מלבן‬ ‫של סקלרים ות ּו לא‪.‬‬ ‫מטריצת המקדמים של המערכת הלינארית הכללית מסדר ‪ m  n‬שרשמנו בראש סעיף זה היא‬ ‫המטריצה מסדר )‪ m  ( n  1‬שרשמנו בעקבותיה‪ .‬הקו המפריד האנכי‪ ,‬המופיע במטריצה הזאת לפני‬ ‫העמודה האחרונה‪ ,‬אינו מהותי ואין הכרח להוסיף אותו‪ .‬רשמנו אותו רק כדי להדגיש את ההבדל בין‬ ‫‪ n‬העמודות הראשונות‪ ,‬שהן עמודות המקדמים של משתני המערכת‪ ,‬לבין העמודה האחרונה –‬ ‫עמודת המקדמים החופשיים‪5.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫מטריצת המקדמים של המערכת מסדר ‪, 3  3‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x3‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x3‬‬



‫‪ 3 x2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 8 x3‬‬



‫‪ 5 x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫היא המטריצה מסדר ‪: 3  4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0  3 3 0 ‬‬ ‫‪ 0  5 8  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 5‬על אף שאין בכך הכרח‪ ,‬גם להבא נוסיף לפעמים את הקו האנכי במטריצות מקדמים של מערכות לינאריות‪ ,‬כדי‬ ‫להדגיש את ההבחנה בין עמודת המקדמים החופשיים לשאר העמודות‪ .‬יש הנעזרים בקו אנכי מקווקו למטרה זו‪,‬‬ ‫במקום בקו רציף‪.‬‬



‫‪62‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪1.6.1‬‬ ‫רשמו באופן מלא מערכת לינארית שמטריצת המקדמים שלה היא‬ ‫‪3 4 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 5‬‬ ‫‪0 0 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 1‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫והשלימו את המשפטים האלה‪:‬‬ ‫א‪ .‬המטריצה היא מסדר _ ‪. _ ‬‬ ‫ב‪ .‬מספר המשוואות במערכת הוא _ ‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מספר המשתנים של המערכת הוא _ ‪.‬‬ ‫האם המערכת הומוגנית?‬ ‫התשובה בעמוד ‪125‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪63‬‬



‫‪ 1.7‬מערכות לינאריות שקולות‬ ‫לפניכם ארבע מערכות לינאריות בשלושה משתנים )מעל שדה הממשיים ‪:( ‬‬ ‫‪I‬‬



‫‪II‬‬ ‫‪4z  5‬‬



‫‪‬‬



‫‪2x  3y‬‬



‫‪ 7‬‬



‫‪5z‬‬



‫‪‬‬



‫‪4x  2 y‬‬



‫‪ 4z  5‬‬



‫‪ 7‬‬



‫‪4 x  2 y  5z‬‬



‫‪IV‬‬



‫‪2x  3y‬‬



‫‪III‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4z ‬‬



‫‪‬‬



‫‪2x  3y‬‬



‫‪4z  5‬‬



‫‪‬‬



‫‪2x  3y‬‬



‫‪7‬‬



‫‪‬‬



‫‪5z‬‬



‫‪‬‬



‫‪4x  2 y‬‬



‫‪ 7‬‬



‫‪5z‬‬



‫‪‬‬



‫‪4x  2 y‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0z ‬‬



‫‪‬‬



‫‪0x  0 y‬‬



‫‪0z  0‬‬



‫‪‬‬



‫‪0x  0 y‬‬



‫‪9 z  12‬‬



‫‪‬‬



‫‪6x  5 y‬‬



‫אין צורך לפתור אותן כדי לקבוע בוודאות שקבוצות הפתרונות שלהן זֵ הות‪ .‬נסביר‪ :‬לגבי המערכות ‪I‬‬ ‫ו‪ II‬הדבר ברור‪ ,‬שכן הן כוללות אותן משוואות – ההבדל הוא רק בסדר שבו הן מוצגות‪ .‬במערכת ‪III‬‬



‫יש אמנם משוואה אחת נוספת‪ ,‬אבל זו משוואת אפס שכל ְשלָ ָשה היא פתרון שלה‪ ,‬ולכן נוכחותה‬ ‫אינה מצמצמת את קבוצת הפתרונות‪ ,‬שנשארת זהה לזו של המערכות ‪ I‬ו‪ .II‬המשוואה הנוספת של‬ ‫המערכת ‪ IV‬היא הסכום של שתי המשוואות הראשונות שהופיעו במערכות הקודמות‪ .‬כל ְשלָ ָשה‬ ‫שפותרת אותן פותרת גם אותה‪ ,‬לכן גם היא אינה גורעת פתרונות‪ ,‬ובוודאי שאינה מוסיפה‪ .‬בשל כך‬ ‫נאמר שארבע המערכות שהדגמנו הן שקולות‪ .‬הנה ההגדרה הרשמית של מערכות שקולות‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.7.1‬מערכות לינאריות שקולות‬ ‫שתי מערכות לינאריות ב ‪ n‬משתנים מעל שדה נתון הן שקולות זו לזו‪ ,‬אם יש לשתיהן אותה קבוצת‬ ‫פתרונות‪.‬‬ ‫שיטת החילוץ‪ ,‬שאותה נציג בקרוב‪ ,‬היא שיטה כללית לפתרון מערכות לינאריות‪ 1.‬הרעיון שבבסיסה‬ ‫הוא לעבור מהמערכת שאותה רוצים לפתור‪ ,‬למערכת שקולה שניתנת לפתרון בקלות‪ .‬המעבר מן‬ ‫המערכת המקורית למערכת השקולה‪ ,‬הקלה לפתרון‪ ,‬נעשה באופן הדרגתי‪ :‬צעד אחר צעד משנים את‬ ‫המערכת‪ ,‬באופן שאינו משנה את קבוצת הפתרונות שלה‪ .‬השינוי שנעשה בכל צעד מכונה שינוי‬ ‫נטרי )כלומר‪ ,‬שינוי יסודי(‪ .‬כל שינוי אלמנטרי מעביר את המערכת למערכת שקולה‪ ,‬קצת יותר‬ ‫ֶאלֶ ֶמ ָ‬ ‫קרובה בצורתה לצורה הסופית המבוקשת‪ .‬מספר הצעדים הדרוש כדי להגיע למערכת נוחה לפתרון‬ ‫הוא סופי‪.‬‬



‫‪ 1‬השיטה ידועה בשם שיטת החילוץ של גאוס – ‪ ,Gauss' elimination method‬על שם המתמטיקאי הגרמני‬ ‫)‪ ,Karl Friedrich Gauss (1777-1855‬שפיתח אותה‪ .‬גאוס‪ ,‬הידוע בכינוי "נסיך המתמטיקאים"‪ ,‬נחשב לאחד‬ ‫מגדולי המתמטיקאים בכל הדורות‪.‬‬



‫‪64‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נגדיר מהו שינוי אלמנטרי‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.7.2‬שינוי אלמנטרי במערכת לינארית‬ ‫שינוי אלמנטרי במערכת לינארית הוא שינוי מאחד הטיפוסים האלה‪:‬‬ ‫‪ .1‬החלפת סדר הופעתן של שתי משוואות במערכת‪.‬‬ ‫‪ .2‬כפל אחת המשוואות בסקלר שונה מאפס‪.‬‬ ‫‪ .3‬הוספת כפולה בסקלר של אחת ממשוואות המערכת למשוואה אחרת של המערכת‪.‬‬ ‫נדגים תחילה כל אחד מסוגי השינויים הנזכרים בהגדרה ‪ ,1.7.2‬ולאחר מכן נראה ששינויים‬ ‫אלמנטריים במערכת לינארית נתונה אינם משנים את קבוצת הפתרונות שלה‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ - 1‬שינוי סדר הופעת המשוואות במערכת‬ ‫‪7‬‬



‫‪‬‬



‫‪3x  2 y  5 z‬‬



‫‪8‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2 x  6 y  3 z‬‬



‫‪4 x  4 y  4 z  10‬‬



‫‪R1  R3‬‬



‫‪4 x  4 y  4 z  10‬‬ ‫‪8‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x  6 y  3z‬‬



‫‪7‬‬



‫‪‬‬



‫‪3x ‬‬



‫‪2 y  5z‬‬



‫המערכת הימנית התקבלה מן המערכת השמאלית עלידי החלפת סדר ההופעה של המשוואות‬ ‫הראשונה והאחרונה‪ .‬מטריצת המקדמים של המערכת הימנית מתקבלת ממטריצת המקדמים של‬ ‫המערכת השמאלית עלידי החלפת השורות הראשונה והשלישית זו בזו‪:‬‬ ‫‪ 3 2 5 7 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪  2 6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 4 10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R1  R3‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪4 4 10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪ 2 6‬‬ ‫‪ 3 2 5 7 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫שימו לב לדרך הסימון!‬ ‫‪ R1  R3‬מציין שהשינוי היה החלפת המשוואות הראשונה והשלישית זו בזו‪.‬‬



‫‪‬‬



‫באופן כללי‪ ,‬במערכת המשוואות‪ Ri  R j ,‬מסמל את החלפת המשוואות ה ‪ i‬וה ‪ j‬זו בזו‪,‬‬ ‫ובמטריצת המקדמים הוא מסמל את החלפת השורות ה ‪ i‬וה ‪ j‬של המטריצה זו בזו‪ 2.‬באמצעות‬ ‫מספר סופי של שינויים מהטיפוס ‪ Ri  R j‬ניתן להציג את המשוואות של כל מערכת לינארית בכל‬ ‫סדר רצוי‪.‬‬



‫‪ 2‬האות ‪ R‬היא ראש התיבה האנגלית ‪ Row‬שמשמעה שורה‪ .‬שימו לב להבדל הוויזואלי בין סמל זה לסמל ‪, ‬‬ ‫המציין את קבוצת המספרים הממשיים‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪65‬‬



‫דוגמה ‪ - 2‬כפל אחת ממשוואות המערכת בסקלר שונה מאפס‬ ‫‪2x  2 y  2z  5‬‬ ‫‪2x  6 y‬‬



‫‪ 8‬‬



‫‪ 3z‬‬



‫‪ 7‬‬



‫‪ 2 y  5z‬‬



‫‪4 x  4 y  4 z  10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R1  R1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪3x‬‬



‫‪8‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x  6 y  3z‬‬



‫‪7‬‬



‫‪‬‬



‫‪3x ‬‬



‫‪2 y  5z‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫המערכת הימנית התקבלה מן המערכת השמאלית עלידי כפל המשוואה הראשונה ב ‪.‬‬ ‫מטריצת המקדמים של המערכת הימנית מתקבלת ממטריצת המקדמים של המערכת השמאלית‬ ‫‪1‬‬ ‫עלידי כפל השורה הראשונה ב ‪.‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪2 2 2 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 6 3 8 ‬‬ ‫‪ 3 2 5 7 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪R1  R1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 4 4 4 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 6 3 8 ‬‬ ‫‪ 3 2 5 7 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫שימו לב לדרך הסימון!‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2 1‬‬



‫‪ R1 ‬מציין‪ ,‬שהשינוי הוא כפל המשוואה הראשונה )או השורה הראשונה של מטריצת‬



‫‪1‬‬ ‫המקדמים( ב‬ ‫‪2‬‬



‫‪.‬‬



‫‪‬‬



‫באופן כללי‪ Ri  tRi ,‬מסמל את השינוי האלמנטרי של כפל המשוואה ה ‪ i‬של המערכת בסקלר ‪t‬‬



‫)או כפל השורה ה ‪ i‬של מטריצת המקדמים בסקלר ‪.( t‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬הסייג ‪ t  0‬הוא חיוני! כפל אחת המשוואות של מערכת ב‪ 0‬עלול להניב מערכת שאינה‬ ‫שקולה למערכת המקורית‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫עיינו במערכת הממשית‪:‬‬



‫‪x y 5‬‬ ‫‪x y 5‬‬



‫הזוג )‪ (2,3‬פותר את המשוואה הראשונה‪ ,‬אבל לא את השנייה‪ .‬לכן הוא אינו פתרון של המערכת‪.‬‬ ‫אבל אם נכפול את המשוואה השנייה ב‪ 0‬נקבל את המערכת‪:‬‬ ‫‪x y 5‬‬ ‫‪0x  0 y  0‬‬



‫כל זוג פותר את המשוואה השנייה‪ ,‬לכן הזוג )‪ , (2,3‬הפותר את המשוואה הראשונה‪ ,‬הוא פתרון של‬ ‫המערכת כולה לאחר השינוי‪ .‬קבוצות הפתרונות של שתי המערכות אינן זֵ הוֹ ת; המערכות אינן‬ ‫‪‬‬ ‫שקולות‪.‬‬



‫‪66‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫דוגמה ‪ - 3‬הוספת כפולה של אחת ממשוואות המערכת למשוואה אחרת של המערכת‬ ‫‪2‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪ 7‬‬



‫‪‬‬



‫‪x‬‬ ‫‪3 x‬‬



‫‪R2  R2  4 R1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪y  2‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫‪4y‬‬



‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬



‫ובקיצור‪:‬‬ ‫‪1 1 2  R2  R2  4 R1  1 1 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 4 1 ‬‬ ‫‪ 3 0 7 ‬‬



‫שימו לב לדרך הסימון!‬ ‫‪ R2  R2  4 R1‬מציין שלמשוואה השנייה הוספנו את הכפולה ב )‪ (  4‬של המשוואה הראשונה‪ .‬‬ ‫באופן כללי‪ Ri  Ri  tR j ,‬מייצג את השינוי האלמנטרי של הוספת כפולה ב ‪ t‬של השורה ה ‪j‬‬



‫לשורה ה ‪ i‬של מטריצת המקדמים‪.‬‬ ‫נוכיח כעת שכל אחד מן השינויים האלמנטריים שהגדרנו מעביר את המערכת המקורית למערכת‬ ‫שקולה לה‪.‬‬ ‫טענה ‪1‬‬ ‫שינוי אלמנטרי מהטיפוס ‪ Ri  R j‬מניב מערכת משוואות שהיא שקולה למערכת המקורית‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫כאשר מערכת אחת מתקבלת ממערכת אחרת עלידי שינוי אלמנטרי מהטיפוס הזה‪ ,‬בשתי המערכות‬ ‫מופיעות אותן משוואות; ההבדל הוא רק בסדר ההופעה‪ .‬ברור אפוא שכל ‪ n‬יה שפותרת אחת מן‬ ‫המערכות פותרת גם את האחרת‪ ,‬לכן שתי המערכות – זו שלפני השינוי וזו שאחריו – שקולות‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫טענה ‪2‬‬ ‫השינוי האלמנטרי ‪ , Ri  tRi‬כאשר ‪ , t  0‬מניב מערכת משוואות שהיא שקולה למערכת המקורית‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫השינוי האלמנטרי ‪ , Ri  tRi‬כאשר ‪ , t  0‬משנה רק את המשוואה ה ‪ i‬של המערכת‪.‬‬ ‫במערכת המקורית‪ ,‬המשוואה ה ‪ i‬היא‪:‬‬ ‫במערכת החדשה‪ ,‬המשוואה ה ‪ i‬היא‪:‬‬



‫‪ai1 x1  ai 2 x2    ain xn  bi‬‬ ‫‪tai1 x1  tai 2 x2    tain xn  tbi‬‬



‫נניח ש ‪ n‬יה מסוימת של סקלרים פותרת את המשוואה המקורית‪ ,‬כלומר הופכת אותה לשוויון‪.‬‬ ‫השוויון ייוותר בעינו גם אם נכפול את שני אגפיו ב ‪ , t‬ולכן אותה ‪ n‬יה פותרת גם את המשוואה‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪67‬‬



‫החדשה‪ .‬ולהפך – נניח ש ‪ n‬יה מסוימת של סקלרים פותרת את המשוואה החדשה‪ ,‬כלומר הופכת‬ ‫אותה לשוויון‪ .‬השוויון ייוותר בעינו גם אם נכפול את שני אגפיו ב ‪ , t 1‬ולכן אותה ‪ n‬יה פותרת גם‬ ‫את המשוואה המקורית‪ .‬שינוי מהטיפוס ‪ , Ri  tRi‬כאשר ‪ , t  0‬אינו משנה אפוא את קבוצת‬ ‫הפתרונות של המשוואה ה ‪ , i‬ומאחר שהמשוואות האחרות אינן משתנות בכלל‪ ,‬גם קבוצות‬ ‫הפתרונות שלהן אינן משתנות‪ ,‬ולכן קבוצת הפתרונות של המערכת כולה אינה משתנה )ראו הערה‬ ‫לאחר הגדרה ‪ .(1.5.2‬בזאת הוכחנו כי שינוי מטיפוס זה מוביל למערכת שקולה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫טענה ‪3‬‬ ‫השינוי האלמנטרי ‪ , Ri  Ri  tR j‬מניב מערכת משוואות שהיא שקולה למערכת המקורית‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫השינוי משנה רק את המשוואה ה ‪ i‬של המערכת )השורה ה ‪ i‬של מטריצת המקדמים(‪.‬‬ ‫במערכת המקורית‪ ,‬המשוואה ה ‪ i‬היא‪:‬‬ ‫‪ai1 x1  ai 2 x2    ain xn  bi‬‬ ‫במערכת החדשה‪ ,‬המשוואה ה ‪ i‬היא‪:‬‬ ‫‪( ai1  ta j1 ) x1  ( ai 2  ta j 2 ) x2    ( ain  ta jn ) xn  bi  tb j‬‬



‫חלק א של ההוכחה‬ ‫נַ ראה‪ ,‬שכל ‪ n‬יה שפותרת את המערכת המקורית‪ ,‬פותרת גם את המערכת המתקבלת ממנה בעקבות‬ ‫השינוי האלמנטרי ‪. Ri  Ri  tR j‬‬ ‫לשם כך‪ ,‬נניח שה ‪ n‬יה ) ‪ ( v1 ,, vn‬פותרת את המערכת הנתונה‪ ,‬ונוכיח שהיא פותרת את המערכת‬ ‫החדשה‪:‬‬ ‫) ‪ ( v1 ,, vn‬בוודאי פותרת את המשוואות של המערכת שלא השתנו‪ .‬כל שעלינו להוכיח הוא שהיא‬ ‫פותרת גם את המשוואה ה ‪ i‬של המערכת החדשה‪ .‬ובכן‪ , ( v1 ,, vn ) ,‬שפותרת את המערכת‬ ‫המקורית‪ ,‬בוודאי פותרת את המשוואות ה ‪ i‬וה ‪ j‬שלה‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫‪ai1v1  ai 2 v2    ain vn  bi‬‬ ‫‪a j1v1  a j 2 v2    a jn vn  b j‬‬



‫נכפול את שני אגפי השוויון השני ב ‪ , t‬נוסיף אותם לאגפי השוויון הראשון ונקבל‪:‬‬ ‫‪( ai1v1    ain vn )  t ( a j1v1    a jn vn )  bi  tb j‬‬



‫ומכאן‪:‬‬



‫‪( ai1  ta j1 ) v1    ( ain  ta jn ) vn  bi  tb j‬‬



‫לכן ) ‪ ( v1 ,, vn‬אכן פותרת את המשוואה ה ‪ i‬של המערכת החדשה‪.‬‬



‫‪68‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫חלק ב של ההוכחה‬ ‫נראה שאם ‪ n‬יה כלשהי פותרת את המערכת החדשה‪ ,‬אז היא פותרת גם את המערכת המקורית‪.‬‬ ‫אם נתבונן במערכת החדשה שהתקבלה מהמקורית בעקבות השינוי ‪ , Ri  Ri  tR j‬ונפעיל עליה‬ ‫את השינוי ‪ , Ri  Ri  tR j‬נקבל בחזרה את המערכת המקורית‪ .‬אכן‪ ,‬קודם הוספנו את ‪ tR j‬לשורה‬ ‫‪ , Ri‬ואחר כך הפחתנו את ‪ tR j‬משורה זו‪ .‬את השינוי האלמנטרי ‪ Ri  Ri  tR j‬נוכל אפוא לכתוב‬ ‫באופן הבא‪ ; Ri  Ri  (  t ) R j :‬זהו אותו שינוי מהסוג שבו דנו בחלק א של ההוכחה )עם הסקלר‬ ‫‪  t‬במקום הסקלר ‪ ,( t‬ולכן לפי חלק א‪ ,‬אם ‪ n‬יה כלשהי פותרת את המערכת החדשה‪ ,‬היא פותרת‬ ‫גם את המערכת המתקבלת ממנה בעקבות השינוי ‪ , Ri  Ri  tR j‬ולכן היא פותרת את המערכת‬ ‫המקורית‪ ,‬כפי שרצינו להוכיח‪.‬‬ ‫חלקים א וב ביחד משלימים את הוכחת הטענה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫במהלך הדיון לעיל הוכחנו‪ ,‬ששינוי אלמנטרי של מערכת לינארית‪ ,‬מכל אחד משלושת הסוגים‬ ‫שתוארו בהגדרה ‪ ,1.7.2‬אינו משנה את קבוצת הפתרונות של המערכת‪ ,‬כלומר הוא מניב מערכת‬ ‫לינארית שקולה למערכת המקורית‪ .‬מכאן נובע‪:‬‬ ‫משפט ‪1.7.3‬‬ ‫אם מערכת לינארית מתקבלת ממערכת נתונה באמצעות סדרה סופית של שינויים אלמנטריים‬ ‫עוקבים‪ ,‬אז היא שקולה למערכת המקורית‪.‬‬ ‫כפי שתראו בהמשך‪ ,‬בעזרת סדרה סופית של שינויים כאלה אפשר להמיר כל מערכת לינארית‬ ‫במערכת לינארית שניתן לפתור אותה בקלות‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪69‬‬



‫‪ 1.8‬מטריצות שקולות־שורה‬ ‫כפי שראינו בסעיף הקודם‪ ,‬מערכות לינאריות מאופיינות עלידי מטריצות המקדמים שלהן‪ .‬שינויים‬ ‫אלמנטריים במערכת משתקפים כפעולות על שורות מטריצת המקדמים שלה‪ .‬פעולה על מטריצת‬ ‫סקלרים‪ ,‬המבטאת שינוי אלמנטרי במערכת הלינארית שהמטריצה מייצגת‪ ,‬מכונה פעולתשורה‪.‬‬ ‫פעולותהשורה המתאימות לשלושת סוגי השינויים האלמנטריים שתיארנו בסעיף הקודם הן‪:‬‬ ‫א‪ .‬החלפת שתי שורות של המטריצה זו בזו )סימון‪.( Ri  R j :‬‬ ‫ב‪ .‬כפל שורה אחת של המטריצה בסקלר ‪ t‬שונה מאפס )סימון‪.( Ri  tRi :‬‬ ‫ג‪ .‬הוספת כפולה בסקלר של אחת משורות המטריצה לשורה אחרת )סימון‪.( Ri  Ri  tR j :‬‬ ‫אם פעולתשורה כלשהי על מטריצה נתונה ‪ A‬הופכת אותה למטריצה ‪ , B‬אז מ ‪ B‬אפשר לחזור‬ ‫ל ‪ A‬בעזרת פעולתשורה מאותו סוג‪ .‬נפרט‪:‬‬ ‫‪ ‬אם ‪ B‬מתקבלת מ ‪ A‬עלידי החלפת השורות ה ‪ i‬וה ‪ j‬של ‪ A‬זו בזו‪ ,‬אז ‪ A‬מתקבלת מ ‪B‬‬



‫עלידי החלפת השורות ה ‪ i‬וה ‪ j‬של ‪ B‬זו בזו‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‪7 8 9‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪ R1  R3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R1  R3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 5 6    4 5 6   4 5 6 ‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪ 7 8 9 ‬‬ ‫‪ 7 8 9 ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ ‬אם ‪ B‬מתקבלת מ ‪ A‬עלידי כפל השורה ה ‪ i‬של ‪ A‬בסקלר ‪ , t  0‬אז ‪ A‬מתקבלת מ ‪B‬‬



‫עלידי כפל השורה ה ‪ i‬של ‪ B‬בסקלר ‪. t 1‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪2 4 6‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R1  2 R1 ‬‬ ‫‪ R1  2 R1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 5 6‬‬ ‫‪ 4 5 6    4 5 6 ‬‬ ‫‪ 7 8 9 ‬‬ ‫‪ 7 8 9 ‬‬ ‫‪ 7 8 9 ‬‬



‫‪‬‬



‫‪ ‬אם ‪ B‬מתקבלת מ ‪ A‬עלידי הוספת הכפולה בסקלר ‪ t‬של השורה ה ‪ j‬של ‪ , A‬לשורה ה ‪ i‬של‬ ‫‪ , A‬אז ‪ A‬מתקבלת מ ‪ B‬עלידי הוספת הכפולה בסקלר ‪ t‬של השורה ה ‪ j‬של ‪ , B‬לשורה‬ ‫ה ‪ i‬של ‪. B‬‬



‫‪70‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫דוגמה‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪1 2 3 ‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R2  R2  3 R1 ‬‬ ‫‪ R2  R2  3 R1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 7 11 15 ‬‬ ‫‪ 4 5 6‬‬ ‫‪ 4 5 6 ‬‬ ‫‪ 7 8 9 ‬‬ ‫‪7 8 9 ‬‬ ‫‪ 7 8 9 ‬‬



‫‪‬‬



‫הגדרה ‪ 1.8.1‬מטריצות שקולותשורה‬ ‫תהיינה ‪ A, B‬מטריצות מאותו סדר‪ .‬נאמר ש ‪ A‬שקולתשורה )‪ (Row equivalent‬ל ‪ , B‬אם יש‬ ‫סדרה סופית של פעולותשורה עוקבות שמובילה מ ‪ A‬ל ‪. B‬‬ ‫כפל אחת השורות של מטריצה ‪ A‬בסקלר ‪ t  1‬אינו משנה את ‪ . A‬אם כן‪ ,‬לכל מטריצה ‪ A‬יש‬ ‫סדרה סופית של פעולותשורה שמובילה מ ‪ A‬ל ‪ . A‬כל מטריצה היא אפוא שקולתשורה לעצמה‪ .‬את‬ ‫העובדה הזאת מבטאים באמירה‪:‬‬ ‫‪ ‬יחס‪ 1‬שקילותשורה הוא יחס רפלקסיבי‪.‬‬ ‫האמור בפסקה שקדמה להגדרה ‪ 1.8.1‬מלמד‪ ,‬שאם יש סדרה של פעולותשורה עוקבות שמובילה‬ ‫מ ‪ A‬ל ‪ , B‬אז יש גם סדרה של פעולותשורה עוקבות שמובילה מ ‪ B‬ל ‪ . A‬הווי אומר‪ :‬אם ‪A‬‬ ‫שקולתשורה ל ‪ , B‬אז ‪ B‬שקולתשורה ל ‪ . A‬במילים אחרות‪ ,‬כאשר אחת משתי מטריצות היא‬ ‫שקולתשורה לאחרת‪ ,‬אפשר לומר ששתי המטריצות הן שקולותשורה זו לזו‪ .‬את העובדה הזאת‬ ‫מבטאים באמירה‪:‬‬ ‫‪ ‬שקילותשורה הוא יחס סימטרי‪.‬‬ ‫נניח שסדרה סופית כלשהי של פעולותשורה עוקבות מובילה מ ‪ A‬ל ‪ , B‬וסדרה סופית נוספת של‬ ‫פעולותשורה עוקבות מובילה מ ‪ B‬ל ‪ . C‬שרשור הפעולות שבשתי הסדרות מניב סדרה סופית של‬ ‫פעולותשורה עוקבות‪ ,‬המובילה מ ‪ A‬ל ‪ . C‬לפיכך‪ ,‬אם ‪ A‬שקולתשורה ל ‪ , B‬ו ‪ B‬שקולתשורה‬ ‫ל ‪ , C‬אז ‪ A‬שקולתשורה ל ‪ . C‬את העובדה הזאת מבטאים באמירה‪:‬‬ ‫‪ ‬שקילותשורה הוא יחס טרנזיטיבי‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫במתמטיקה נוהגים לייחד את הכינוי "שקילוּת" ליחסים שהם רפלקסיביים‪ ,‬סימטריים‬ ‫וטרנזיטיביים‪.‬‬



‫‪ 1‬יחס הוא מושג מתמטי פורמלי; לא נביא כאן הגדרה מסודרת של מושג זה )ולא נזדקק לה( – תוכלו להסתפק‬ ‫בהבנה האינטואיטיבית של התכונות המפורטות בהמשך‪ ,‬ואין צורך כי תתעמקו בפרטים הטכניים‪ .‬על יחסים‬ ‫בכלל‪ ,‬ויחסי שקילות בפרט‪ ,‬תוכלו ללמוד בהרחבה במסגרת הקורס מתמטיקה בדידה‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪71‬‬



‫דוגמאות‬ ‫א‪ .‬יחס הדמיון בין משולשים במישור ראוי להיקרא יחס‬ ‫היחס רפלקסיבי ‪ -‬כל זווית של משולש נתון שווה לעצמה;‬ ‫היחס סימטרי ‪ -‬אם הזוויות של ‪  ABC‬שוות לזוויות המתאימות של ' ‪ ,  A ' B ' C‬אז הזוויות של‬ ‫' ‪  A ' B ' C‬שוות לזוויות המתאימות של ‪;  ABC‬‬ ‫היחס טרנזיטיבי ‪ -‬אם הזוויות של ‪  ABC‬שוות לזוויות המתאימות של ' ‪ ,  A ' B ' C‬והזוויות של‬ ‫' ‪  A ' B ' C‬שוות לזוויות המתאימות של " ‪ ,  A" B " C‬אז הזוויות של ‪  ABC‬שוות לזוויות‬ ‫המתאימות של " ‪.  A" B " C‬‬ ‫ב‪ .‬יחס הסדר בין מספרים טבעיים‪ ,‬שסימונו " ‪ , " ‬אינו ראוי להיקרא יחס שקילות‪:‬‬ ‫היחס אינו רפלקסיבי ‪ -‬למשל‪. 5  5 ,‬‬ ‫ג‪ .‬יחס השקילות בין מערכות לינאריות ב ‪ n‬משתנים שהוגדר בסעיף הקודם הוא בבירור‬ ‫רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי וטרנזיטיבי )נמקו!(‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ד‪ .‬כפי שראינו לעיל‪ ,‬גם היחס של שקילותשורה בין מטריצות ניחן בתכונות הללו‪.‬‬ ‫שקילוּת‪2:‬‬



‫מטריצות שקולותשורה מייצגות מערכות לינאריות המתקבלות זו מזו באמצעות סדרה של שינויים‬ ‫אלמנטריים עוקבים‪ .‬לאור משפט ‪ ,1.7.3‬פירוש הדבר הוא‪:‬‬ ‫‪ ‬אם שתי מטריצות הן שקולותשורה‪ ,‬אז המערכות הלינאריות שהן מייצגות הן שקולות‪.‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬בהינתן מערכת משוואות לינאריות‪ ,‬ניתן לבצע סדרת פעולות אלמנטריות ולקבל מערכת‬ ‫שקולה‪ ,‬כלומר מערכת שקבוצת הפתרונות שלה זהה לקבוצת הפתרונות של המערכת המקורית‪.‬‬



‫‪ 2‬משולש ' ‪  A ' B ' C‬דומה למשולש ‪  ABC‬אם ורק אם‪. A '  A, B '  B, C '  C :‬‬ ‫‪ 3‬בהקשר זה נעיר עוד שבמתמטיקה‪ ,‬כשאומרים ששתי טענות הן שקולות‪ ,‬מתכוונים לכך שכל אחת מהן נובעת מן‬ ‫האחרת‪ .‬גם היחס הזה הוא‪ ,‬בבירור‪ ,‬רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי‪ ,‬וטרנזיטיבי‪ ,‬וראוי להיקרא "יחס שקילות" )בין‬ ‫טענות(‪.‬‬



‫‪72‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 1.9‬שיטת החילוץ ‪ -‬דוגמאות ראשונות‬ ‫שיטת החילוץ מבוססת על שימוש בשינויים אלמנטריים לשם פישוט מערכות לינאריות שאותן רוצים‬ ‫לפתור‪ .‬לפני שנציג אותה במלוא כלליותה‪ ,‬נפתור בעזרתה מערכות אחדות‪ ,‬פשוטות למדי‪ .‬בכל דוגמה‬ ‫נעבור‪ ,‬בעזרת מספר סופי של שינויים אלמנטריים‪ ,‬מהמערכת הנתונה למערכת שקולה לה‪ ,‬קלה‬ ‫לפתרון‪ ,‬ונפתור אותה‪.‬‬ ‫דוגמה ‪1‬‬ ‫נפתור את המערכת מעל הממשיים שמטריצת המקדמים שלה היא‪:‬‬ ‫‪3 1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1 3 2‬‬ ‫‪1 2 3 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z  1‬‬



‫מטריצה זו מתאימה למערכת‪:‬‬



‫‪‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪y  3z  2‬‬ ‫‪ 3z  1‬‬



‫‪3x‬‬



‫‪2x ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪2y‬‬



‫‪x‬‬



‫המשימה הראשונה תהיה לעבור למערכת שקולה‪ ,‬שבה המשתנה השמאלי ביותר‪ , x ,‬מופיע רק‬ ‫במשוואה אחת – העליונה‪ .‬לשון אחר‪ ,‬המשימה היא לחלץ את ‪ x‬מן המשוואות האחרות‪.‬‬ ‫במשוואה הראשונה‪ ,‬המקדם של ‪ x‬הוא ‪ ,3‬ובמשוואה השלישית המקדם של ‪ x‬הוא ‪ .1‬מסיבות‬ ‫שתתבהרנה מייד‪ ,‬כדאי להחליף את המשוואות הראשונה והשלישית זו בזו )שינוי אלמנטרי מטיפוס‬ ‫‪:(1‬‬ ‫‪x  2y‬‬



‫‪ 3z  1‬‬



‫‪R1  R3‬‬



‫‪y  3z  2‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪z‬‬



‫‪z  1‬‬



‫‪‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪y  3 z  2  2 x ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪y‬‬



‫‪ 3z  1‬‬



‫‪3x‬‬



‫‪3x‬‬



‫‪2x ‬‬



‫‪2y‬‬



‫‪‬‬



‫‪x‬‬



‫כעת נוסיף למשוואות שמתחת לראשונה כפולות של המשוואה הראשונה‪ ,‬כדי להיפטר מההופעות‬ ‫של ‪ x‬במשוואות הללו‪ 1.‬אנו זקוקים אפוא לשני שינויים אלמנטריים מטיפוס ‪:3‬‬ ‫‪x  2 y  3z  1‬‬ ‫‪ 3z  0‬‬



‫‪ 3y‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪z‬‬



‫‪y‬‬



‫‪x  2 y  3z  1‬‬ ‫‪R2  R2  2 R1‬‬



‫‪y  3 z  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫‪3x‬‬



‫‪1‬‬



‫‪ 3z ‬‬



‫‪2y‬‬



‫‪x ‬‬



‫‪0‬‬



‫‪ 3z ‬‬



‫‪3y‬‬



‫‪‬‬



‫‪z‬‬



‫‪‬‬



‫‪y‬‬



‫‪2x ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪3x‬‬



‫‪R3  R3  3 R1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪5 y  8 z  2‬‬



‫‪ 1‬כעת ברורה הסיבה לשינוי האלמנטרי הראשון שעשינו במערכת המשוואות‪ .‬בחרנו לשבץ בשורה הראשונה‬ ‫משוואה שהמקדם של המשתנה הראשון שלה הוא ‪ ,1‬כדי שהכפולות של משוואה זו שנוסיף למשוואות שתחתיה‬ ‫יניבו משוואות עם מקדמים שלמים והחישוב יהיה נוח‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪73‬‬



‫במערכת שאליה הגענו‪ x ,‬אינו מופיע מתחת למשוואה הראשונה; ‪ x‬חוּלץ מן המשוואות השנייה‬ ‫והשלישית‪ .‬במשוואות שמתחת לראשונה‪ ,‬המשתנה השמאלי ביותר הוא ‪ y . y‬מופיע במשוואה‬ ‫השנייה‪ ,‬והמשימה הבאה היא לחלץ את ‪ y‬מהמשוואות שמתחת לשנייה‪ ,‬כלומר מהמשוואה‬ ‫השלישית‪ .‬את זה נשיג עלידי הוספת כפולה מתאימה של המשוואה השנייה לשלישית‪ .‬כדי להקל את‬ ‫‪1‬‬ ‫המשך החישוב‪" ,‬נצמצם" קודם את המשוואה השנייה בגורם ‪ , 3‬כלומר נכפול אותה ב ‪) ‬שינוי‬ ‫‪3‬‬ ‫אלמנטרי מטיפוס ‪:(2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ 3z ‬‬ ‫‪z ‬‬



‫‪x  2y‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪R2  R2‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪ 8 z  2‬‬



‫‪ 5y‬‬



‫‪1‬‬



‫‪ 3z ‬‬



‫‪x  2y‬‬



‫‪0‬‬



‫‪ 3z ‬‬



‫‪ 3y‬‬



‫‪ 8 z  2‬‬



‫‪ 5y‬‬



‫וכעת נחלץ את ‪ y‬מן המשוואה השלישית כך‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ 3z ‬‬ ‫‪z ‬‬



‫‪x  2y‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪ 3z ‬‬



‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪R3  R3  5 R2‬‬



‫‪ 3 z  2‬‬



‫‪z ‬‬



‫‪ 8 z  2‬‬



‫‪x  2y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 5y‬‬



‫כדי להיפטר מסימני המינוס במשוואה השלישית‪ ,‬נכפול אותה ב )‪) ( 1‬שינוי אלמנטרי מטיפוס ‪:(2‬‬ ‫‪x  2 y  3z  1‬‬ ‫‪z  0‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪R3  R3‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪3z  2‬‬



‫‪x  2 y  3z ‬‬ ‫‪z ‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪ 3 z  2‬‬



‫המערכת שאליה הגענו התקבלה מן המערכת המקורית באמצעות סדרה סופית של שינויים‬ ‫אלמנטריים‪ ,‬לכן היא שקולה למערכת המקורית‪ .‬במערכת הזאת‪ ,‬המשתנה הראשון שמופיע בכל‬ ‫משוואה איננו מופיע במשוואות שמתחתיה‪ .‬בכל משוואה‪ ,‬נעביר לאגף ימין את כל המחוברים פרט‬ ‫לראשון )תוך היפוך סימניהם(‪ 2‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪ 2 y  3z‬‬ ‫‪z‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪x‬‬



‫‪‬‬



‫‪y‬‬



‫‪3z ‬‬



‫‪2‬‬



‫את המערכת הזאת נפתור מן הסוף להתחלה‪ ,‬בהצבה לאחור‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬



‫מן המשוואה השלישית נקבל‪:‬‬ ‫נציב תוצאה זו במשוואה השנייה ונקבל‪:‬‬ ‫נציב את הערכים האלה במשוואה הראשונה ונקבל‪:‬‬ ‫אם כן‪ ,‬למערכת יש פתרון יחיד והוא‪:‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪z‬‬



‫‪y ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪x ‬‬



‫‪1 2 2‬‬ ‫‪( x, y , z )   ,  , ‬‬ ‫‪3 3 3‬‬



‫‪ 2‬כלומר‪ ,‬נוסיף לשני האגפים של כל משוואה את הנגדיים לכל המחוברים‪ ,‬פרט לראשון‪ .‬שינוי זה בהצגה מעביר‬ ‫את המערכת למערכת שקולה לה‪.‬‬



‫‪74‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪2 2‬‬



‫‪1‬‬



‫השלָ ָשה ‪  ,  , ‬במערכת המקורית ובדקו שהיא אכן פותרת את כל המשוואות שבה‪ .‬‬ ‫הציבו את ְ‬ ‫‪3 3 3‬‬



‫בדוגמה הבאה ננקוט דרך דומה‪ ,‬אך נסתייע במטריצת המקדמים של המערכת‪ .‬במקום לשנות את‬ ‫המערכת באמצעות שינויים אלמנטריים‪ ,‬נשנה את מטריצת המקדמים שלה באמצעות פעולות שורה‪.‬‬ ‫שימו לב‪:‬‬ ‫'לחלץ' את המשתנה ה ‪ j‬מן המשוואה ה ‪ , i‬כלומר לגרום לכך ש ‪ x j‬לא יופיע בה‪ ,‬משמעו‪ :‬לְ ַא ּ ֵפס‬ ‫את המקדם שלו‪ ,‬שהוא האיבר המופיע בשורה ה ‪ i‬בעמודה ה ‪ j‬במטריצת המקדמים )האיבר ‪aij‬‬ ‫שלה(‪.‬‬ ‫דוגמה ‪2‬‬ ‫נפתור את המערכת הבאה מעל ‪: ‬‬ ‫‪ 16 x4‬‬



‫‪ 28‬‬



‫‪ 22 x5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x4‬‬



‫‪ 7 x3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪‬‬



‫‪4 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x3‬‬



‫‪6‬‬



‫‪‬‬



‫‪5 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪4 x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x3‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪x1‬‬



‫מטריצת המקדמים שלה היא‪:‬‬ ‫‪22 28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪3 4 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 6‬‬



‫‪2 7 16‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫הצעד הראשון יהיה לחלץ את ‪ – x1‬המשתנה הראשון במשוואה הראשונה – מכל המשוואות שמתחת‬ ‫לראשונה‪ ,‬כלומר לְ ַא ּ ֵפס את האיברים שמתחת לאיבר הראשון בעמודה הראשונה של המטריצה‪.‬‬ ‫בעמודה הזאת‪ ,‬מתחת לשורה הראשונה‪ ,‬יש רק איבר אחד שונה מ‪ ,0‬והוא בשורה הרביעית‪ .‬נאפס‬ ‫אותו בעזרת פעולתשורה מטיפוס ‪:3‬‬ ‫‪ 1 2 7 16 22 28‬‬ ‫‪2 7 16 22 28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 2 3 4 R4  R4  R1 0 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 2 3 4 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 4 12 17 22‬‬ ‫‪2 3 4 5 6‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫המערכת שאותה מייצגת המטריצה הימנית היא‪:‬‬ ‫‪28‬‬



‫‪‬‬



‫‪22 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 16 x4‬‬



‫‪4‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x4‬‬



‫‪5‬‬



‫‪‬‬



‫‪4 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x4‬‬



‫‪17 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 12 x4‬‬



‫‪ 22‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 7 x3‬‬ ‫‪2 x3‬‬ ‫‪ 4 x3‬‬



‫‪x1  2 x2‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪75‬‬



‫הפעם‪ ,‬שלא כמו בדוגמה ‪ ,1‬תוך כדי החילוץ של ‪ x1‬מן המשוואות שמתחת לראשונה‪ ,‬גם ‪ x2‬חולץ‬ ‫מהן‪ .‬המשתנה הראשון שמופיע באיזושהי מן המשוואות הבאות הוא ‪ . x3‬נתבונן כעת במערכת‬ ‫שמתחת למשוואה הראשונה‪:‬‬ ‫המשימה הבאה תהיה לדאוג לכך שבמערכת זו‪ x3 ,‬יופיע במשוואה העליונה ולא יופיע באלה‬ ‫שמתחתיה‪ .‬כאמור‪ ,‬מעתה ואילך אנו מתרכזים במשוואות שמתחת לראשונה; במטריצת המקדמים‬ ‫נמתח קו בין השורה הראשונה לשורות הנמוכות יותר‪ ,‬ונתרכז במטריצה שמתחתיו‪.‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 12 17 22‬‬ ‫‪22‬‬



‫‪16‬‬



‫‪7‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫במטריצה שמתחת לקו‪ ,‬העמודה הראשונה שאינה עמודת אפסים היא העמודה השלישית – עמודת‬ ‫המקדמים של ‪ . x3‬נחליף שורות‪ ,‬כדי להביא לכך שבראש העמודה הזאת‪ ,‬כלומר במקום האיבר ‪a23‬‬ ‫של המטריצה המלאה‪ ,‬יהיה איבר שונה מ ‪.0‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 4 12 17 22 ‬‬ ‫‪22‬‬



‫‪7‬‬



‫‪16‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪R2  R3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 4 12 17 22 ‬‬ ‫‪22‬‬



‫‪16‬‬



‫‪7‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫מתחת ל ‪ a23‬יש רק איבר אחד שאינו ‪ ,0‬והוא ‪ . a43  4‬נאפס אותו עלידי הוספת כפולה‬ ‫מתאימה של השורה השנייה לשורה הרביעית‪:‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9 12‬‬ ‫‪22‬‬



‫‪16‬‬



‫‪7‬‬



‫‪2‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪R4  R4  2 R2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 4 12 17 22 ‬‬ ‫‪22‬‬



‫‪16‬‬



‫‪7‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫המערכת שאותה מייצגת המטריצה המלאה שקיבלנו )כולל השורה הראשונה( היא‪:‬‬ ‫‪28‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 22 x5‬‬



‫‪ 16 x4‬‬



‫‪5‬‬



‫‪‬‬



‫‪4 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪4‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x4‬‬



‫‪ 12‬‬



‫‪9 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪6 x4‬‬



‫‪ 7 x3‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪2 x3‬‬



‫‪‬‬



‫בשלב זה נעזוב גם את המשוואה השנייה‪ ,‬ונתרכז במשוואות שמתחתיה‪ .‬במטריצת המקדמים –‬ ‫נמתח קו בין השורה השנייה לשורות הנמוכות יותר‪ ,‬ונתרכז בהן‪.‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9 12 ‬‬ ‫‪22‬‬



‫‪16‬‬



‫‪7‬‬



‫‪2‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪76‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫במטריצה החלקית הנוכחית‪ ,‬העמודה הראשונה שאינה עמודת אפסים היא העמודה הרביעית –‬ ‫עמודת המקדמים של ‪ . x4‬האיבר הראשון בה הוא ‪ . a34  2‬נאפס את האיבר שמתחתיו עלידי‬ ‫הוספת כפולה מתאימה של השורה השלישית לשורה הרביעית‪.‬‬ ‫‪22 28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 ‬‬



‫‪16‬‬



‫‪7‬‬



‫‪2‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪R4  R4  3 R3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9 12 ‬‬ ‫‪22‬‬



‫‪16‬‬



‫‪7‬‬



‫‪2‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫המטריצה )המלאה( שאליה הגענו התקבלה ממטריצת המקדמים של המערכת המקורית באמצעות‬ ‫סדרת פעולותשורה‪ ,‬ולכן היא מייצגת מערכת שקולה למערכת המקורית‪.‬‬ ‫השורה האחרונה במטריצה הזאת מייצגת את המשוואה‪0 x1  0 x2  0 x3  0 x4  0 x5  0 :‬‬



‫זוהי משוואת אפס; כל חמישייה פותרת אותה‪ .‬נוכחותה במערכת אינה מעלה ואינה מורידה‪ ,‬וברור‬ ‫שהיא מיותרת‪ .‬לפיכך‪ ,‬המערכת המקורית )שהייתה מסדר ‪ ( 4  5‬שקולה למערכת מסדר ‪: 3  5‬‬ ‫‪28‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 22 x5‬‬



‫‪ 16 x4‬‬



‫‪5‬‬



‫‪‬‬



‫‪4 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪4‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x4‬‬



‫‪ 7 x3‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪2 x3‬‬



‫כמו בדוגמה הקודמת‪ ,‬גם הפעם הגענו למערכת שבה המשתנה הראשון שמופיע בכל משוואה אינו‬ ‫מופיע במשוואות שמתחתיה‪ ,‬וכמקודם – נציג אותה כך‪:‬‬ ‫‪ 22 x5‬‬ ‫‪4 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪16 x4‬‬ ‫‪3 x4‬‬



‫‪x1  28  2 x2  7 x3 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪2 x3  5‬‬ ‫‪ 4‬‬



‫‪2 x4‬‬



‫כעת נציב לאחור )נפתור מהסוף להתחלה(‪:‬‬ ‫מן המשוואה האחרונה נסיק‪:‬‬ ‫נציב במשוואה הקודמת ונקבל‪:‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫נציב במשוואה הראשונה ונקבל‪:‬‬



‫ומכאן‪:‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 x3  5  3  2  x5   4 x5‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪x3    x5‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪x4  2 ‬‬



‫‪3 ‬‬ ‫‪ 1 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1  28  2 x2  7    x5   16  2  x5   22 x5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x1    2 x2  x5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬



‫המסקנה היא‪ ,‬שאת ‪ , x3 , x1‬ו ‪ x4‬אפשר לבטא בעזרת ‪ x2‬ו ‪ . x5‬את הערכים של ‪ x2‬ו ‪ x5‬אנו‬ ‫חופשיים לבחור כרצוננו‪ ,‬וכל בחירה תקבע את הערכים של ‪ , x3 , x1‬ו ‪ . x4‬למשל‪ ,‬אם נבחר‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪77‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x2  x5  0‬נקבל‪ . x4  2 , x3   2 , x1   2 :‬אכן‪ ,‬קל לבדוק שהחמישייה ‪  2 ,0,  2 ,2,0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫פותרת את המערכת המקורית – ודאו זאת עלידי הצבה‪.‬‬



‫הפתרון הכללי הוא חמישייה עם שני פרמטרים‪ ,‬במקומות השני והחמישי )המקומות של ‪ x2‬ושל ‪:( x5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪   2s  t , s ,   t, 2  t, t ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4  ‬‬ ‫‪2 4 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x5 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬



‫לכל פרמטר יש אינסוף ערכים אפשריים‪ ,‬ולכן למערכת יש אינסוף פתרונות‪ .‬כפי שראינו בסעיף ‪,1.4‬‬ ‫ניתן להציג את הפתרון הכללי כצירוף לינארי‪ ,‬שבו הפרמטרים ‪ s‬ו ‪ t‬מופיעים כמקדמים של‬ ‫חמישיות קבועות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2  2 s  4 t , s,  2  4 t , 2  2 t , t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   , 0,  , 2, 0   s ( 2, 1, 0, 0, 0)  t  , 0, ,  , 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שימו לב שהחמישייה ‪ ,   , 0,  , 2, 0 ‬זו שהמקדם שלה בצירוף הלינארי אינו פרמטר‪ ,‬היא‬ ‫‪‬‬



‫‪2‬‬



‫‪ 2‬‬



‫הפתרון הפרטי המתקבל כשערכי הפרמטרים הם ‪. s  t  0‬‬ ‫בשיטה שנקטנו כאן הגענו להצגה של הפתרון הכללי שבה ערכי המשתנים השני והחמישי מיוצגים‬ ‫עלידי פרמטרים‪ ,‬ואילו שאר המשתנים מיוצגים באמצעות פרמטרים אלה‪ .‬נעיר כי זו אינה ההצגה‬ ‫היחידה של הפתרון הכללי – ניתן לבצע סדרות שונות של פעולות על אותה המערכת‪ ,‬המובילות‬ ‫להצגות שונות של הפתרון הכללי )שונות בכך שמשתנים אחרים מיוצגים עלידי פרמטרים(‪ .‬עם זאת‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫בכל דרך שבה נציג את הפתרון הכללי‪ ,‬תתואר אותה קבוצת פתרונות‪.‬‬ ‫דוגמה ‪3‬‬ ‫נפתור את המערכת הממשית הבאה‪:‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2 x3‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ 4‬‬



‫‪ 5 x4‬‬



‫‪ 3 x3‬‬



‫‪3 x2‬‬



‫‪ 3‬‬



‫‪ 2 x4‬‬



‫‪ 3 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x1‬‬ ‫‪3 x1‬‬



‫מטריצת המקדמים היא‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 5 4‬‬ ‫‪3 2 3 ‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬



‫‪78‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הפעם נעבוד רק עם מטריצת המקדמים‪ ,‬ונקמץ בהסברים‪ .‬המעוניינים מוזמנים לרשום בעצמם את‬ ‫המערכת המלאה שאותה מייצגת המטריצה המתקבלת בעקבות כל ֶס ֶבב של פעולותשורה‪.‬‬ ‫ראשית נחליף שורות‪ ,‬כדי שבעמודה הראשונה יופיע איבר שונה מ‪ 0‬בשורה הראשונה‪ .‬במילים‬ ‫אחרות‪ ,‬נשבץ בראש המערכת משוואה שהמשתנה הראשון המופיע בה הוא ‪. x1‬‬ ‫‪3 2 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 5 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪ 3‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪ R1  R3 ‬‬ ‫‪3 5 4    3‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪3 2 3 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬



‫כעת נאפס את יתרת העמודה הראשונה‪ ,‬כלומר נחלץ את ‪ x1‬מהמשוואות שמתחתיה‪.‬‬ ‫‪3 2 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2 ‬‬



‫‪ 3‬‬ ‫‪3 2 3 ‬‬ ‫‪ R2  R2  R1 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪3 5 4  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬



‫נמתח קו בין השורה הראשונה לבאות אחריה‪.‬‬ ‫‪3 2 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬



‫מתחת לקו‪ ,‬העמודה הראשונה שיש בה איברים שונים מ‪ 0‬היא השנייה‪ .‬נְ ַא ּ ֵפס בה את האיברים‬ ‫שמתחת ל ‪) a22‬אצלנו – ‪ , a22  3‬ועלינו לאפס את ‪ , a23‬שהוא כרגע‪.(1 ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0 1/3‬‬



‫‪3 2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪3‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪ 3‬‬ ‫‪3 2 3 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ R3  R3  3 R2 ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3 7    0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫המטריצה שאליה הגענו מייצגת מערכת‪ ,‬שהמשוואה השלישית בה היא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪0 x1  0 x2  0 x3  0 x4  ‬‬



‫למשוואה הזאת אין פתרון‪ .‬לכן למערכת כולה אין פתרון‪ ,‬ומאחר שהמערכת שקולה למערכת‬ ‫‪‬‬ ‫המקורית‪ ,‬הרי שגם למערכת המקורית אין פתרון – המערכת בלתי עקבית‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪79‬‬



‫‪ 1.10‬מטריצות מדרגות‬ ‫בכל שלוש הדוגמאות מסעיף ‪ 1.9‬השיטה הייתה דומה‪ :‬בכל אחד מהמקרים עברנו‪ ,‬באמצעות שינויים‬ ‫אלמנטריים‪ ,‬מן המערכת שנתבקשנו לפתור למערכת שקולה לה‪ ,‬שאותה הצלחנו לפתור בקלות‬ ‫בהצבה לאחור‪.‬‬ ‫מטרתנו היא להראות שהשיטה הזאת "פועלת" תמיד‪ ,‬ללא תלות במערכת שממנה מתחילים‪ .‬כצעד‬ ‫ראשון – נאפיין את טיפוס המערכת שאליה אנו רוצים להגיע במקרה הכללי; ליתר דיוק – נאפיין את‬ ‫מבנה מטריצת המקדמים של המערכת‪ .‬לשם כך נגדיר תחילה‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.10.1‬שורת אפס‪ ,‬איבר פותח‬ ‫א‪ .‬שורה של מטריצה‪ ,‬שכל איבריה הם אפסים‪ ,‬מכונה שורת‬ ‫ב‪ .‬בשורה של מטריצה שאינה שורת אפס‪ ,‬האיבר הראשון משמאל שהוא שונה מ‪ 0‬מכונה האיבר‬ ‫הפותח‪ 2‬של השורה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬איבר של מטריצת מדרגות‪ ,‬שהוא האיבר הפותח של אחת משורותיה‪ ,‬יכונה להבא איבר פותח‬ ‫של המטריצה‪.‬‬ ‫אפס‪1.‬‬



‫דוגמה‬ ‫אם המטריצה היא‬ ‫‪0 0 8 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 3 4 3‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9 0 5 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 2 1 4‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫בשורה הראשונה‪ ,‬האיבר הפותח הוא ‪) a14  8‬האיברים הקודמים בשורה זו הם אפסים(;‬ ‫בשורה השנייה‪ ,‬האיבר הפותח הוא ‪; a21  7‬‬ ‫השורה השלישית היא שורת אפס‪ ,‬אין לה איבר פותח;‬ ‫בשורה הרביעית האיבר הפותח הוא __ ‪ , a42 ‬ובשורה החמישית האיבר הפותח הוא __ ‪a __ ‬‬ ‫)השלימו בעצמכם את החסר(‪3.‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 1‬שורת אפס במטריצת המקדמים של מערכת לינארית מייצגת משוואת אפס במערכת עצמה‪.‬‬ ‫‪ 2‬כאשר המטריצה היא מטריצת המקדמים של מערכת לינארית‪ ,‬האיבר הפותח של שורה במטריצה הוא המקדם‬ ‫של המשתנה הראשון שמופיע במשוואה המתאימה‪.‬‬ ‫‪. a52  6 , a42  9 3‬‬



‫‪80‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫כעת נגדיר‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.10.2‬מטריצת מדרגות‬ ‫מטריצת מדרגות היא מטריצה שעונה על הדרישות האלה‪:‬‬ ‫א‪ .‬בכל שורה שאינה שורת אפס‪ ,‬האיבר הפותח הוא מימין לאיברים הפותחים של השורות שמעליו‬ ‫)כשיש שורות כאלה(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כל שורות האפס )אם יש כאלה( הן מתחת לכל השורות שאינן שורות אפס‪.‬‬ ‫דוגמה ‪1‬‬ ‫ארבע המטריצות שלפניכם הן מטריצות מדרגות‪ .‬השמאלית ביותר היא מטריצת אפס – מטריצה‬ ‫שכל איבריה אפסים‪ .‬היא עונה על הדרישות למטריצת מדרגות‪ ,‬כי אין בה שורות שאינן שורות אפס;‬ ‫בשלוש המטריצות האחרות – האיברים הפותחים "יושבים" על גֶ ֶרם מדרגות שיורד משמאל לימין‪.‬‬ ‫המדרגות "שוות גובה" )כי בכל שורה שאינה שורת אפס יש איבר פותח‪ ,‬ושורות אפס – כאשר יש‬ ‫כאלה – הן בתחתית(‪ .‬ה"רוחב" של המדרגות אינו בהכרח אחיד‪ ,‬כי לא נדרש שבכל עמודה יהיה‬ ‫איבר שהוא האיבר הפותח של שורתו‪4.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪0 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬



‫‪2 2‬‬



‫‪2 4 8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 1 3 3‬‬ ‫‪0 1 3 2 ‬‬ ‫‪6‬‬



‫‪1 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪6 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 0‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 ‬‬



‫‪1 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0‬‬



‫‪0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫)בין המטריצות המודגמות לעיל‪ ,‬קל לאתר אחת המייצגת מערכת בלתי עקבית‪ .‬נסו כוחכם!‪(5‬‬ ‫‪‬‬



‫דוגמה ‪2‬‬ ‫שלוש המטריצות הבאות אינן מטריצות מדרגות‪:‬‬ ‫‪ 5 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 4‬‬



‫‪0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪ 1 2 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0 0 0 ‬‬ ‫‪ 0 1 0  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬



‫במטריצה השמאלית ביותר יש שורת אפס מעל שורה שאינה שורת אפס; במטריצה האמצעית‪ ,‬האיבר‬ ‫הפותח של ‪ R3‬הוא משמאל לאיבר הפותח של ‪ R2‬שמעליה‪.‬‬ ‫במטריצה הימנית‪ ,‬האיבר הפותח של ‪ R2‬הוא מתחת‪ ,‬ולא מימין‪ ,‬לאיבר הפותח של ‪ R1‬שמעליה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4‬למשל‪ ,‬במטריצה הימנית‪ ,‬בעמודה השנייה אין איבר פותח של שורה כלשהי‪.‬‬ ‫‪ 5‬במערכת שאותה מייצגת המטריצה השלישית משמאל‪ ,‬המשוואה השלישית היא ‪ . 0 x  0 y  0 z  7‬למשוואה‬ ‫זו אין פתרון‪ ,‬לכן כל מערכת שמכילה אותה היא בלתי עקבית )כלומר חסרת פתרונות(‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪81‬‬



‫דוגמה ‪3‬‬ ‫כל מטריצה מסדר ‪) 1  n‬שורה אחת‪ n ,‬עמודות( היא‪ ,‬בבירור‪ ,‬מטריצת מדרגות‪ .‬שימו לב‪ ,‬מטריצה‬ ‫כזאת מייצגת משוואה לינארית רק אם ‪ , n  2‬שכן בכל משוואה לינארית יש לפחות משתנה אחד‪,‬‬ ‫ומספר העמודות של מטריצת המקדמים גדול ב‪ 1‬ממספר המשתנים‪ ,‬כלומר הוא לפחות ‪.2‬‬ ‫‪‬‬ ‫התרשים שלפניכם מתאר את המבנה של מטריצת מדרגות באופן סכמתי‪) .‬הנקודות המודגשות‬ ‫מסמלות איברים פותחים‪ ,‬הכוכביות – סקלרים כלשהם(‪ .‬הביאו בחשבון שהאיור הוא סכמתי בלבד‪:‬‬ ‫האיבר הפותח האחרון לא חייב להימצא בעמודה האחרונה; אין הכרח שהשורה האחרונה תהיה‬ ‫שורת אפס‪ ,‬ואפשר גם שבתחתית המטריצה יהיו שורות אפס אחדות‪ ,‬או כלל לא‪.‬‬ ‫‪* *‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  0 0  * *  * * *‬‬ ‫‪    0  0  * * *‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪       0  0 ‬‬ ‫‪  0  0   0  0 0 ‬‬ ‫*‬



‫‪‬‬



‫*‬



‫*‬



‫*‬



‫*‬



‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫בבירור‪,‬‬ ‫‪ ‬בכל עמודה של מטריצת מדרגות יש לכל היותר איבר אחד שהוא איבר פותח‪.‬‬ ‫כמו כן‪,‬‬ ‫‪ ‬אם בעמודה של מטריצת מדרגות יש איבר פותח‪ ,‬אז מתחתיו )באותה עמודה( יש רק אפסים‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.10.1‬‬ ‫א‪ .‬נמקו את שתי הקביעות דלעיל‪ ,‬על סמך ההגדרה של מטריצת מדרגות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬האם אפשר שבמטריצת מדרגות‪ ,‬מעל איבר פותח‪ ,‬באותה עמודה‪ ,‬יימצאו איברים שונים‬ ‫מ‪) ?0‬אם אפשר – הדגימו מטריצת מדרגות שבה זה המצב‪ ,‬ואם לא – נמקו מדוע!(‬ ‫ג‪ .‬נניח ש ‪ aij‬ו ' ‪ ai ' j‬הם איברים פותחים במטריצת מדרגות ‪ . A‬הראו ש ' ‪ i  i‬אם ורק אם‬ ‫' ‪) . j  j‬במילים‪ :‬השורה שבה נמצא ‪ aij‬היא מתחת לשורה שבה נמצא ' ‪ , ai ' j‬אם ורק אם‬ ‫העמודה שבה נמצא ‪ aij‬היא מימין לעמודה שבה נמצא ' ‪(. ai ' j‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪126‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.10.3‬מערכת לינארית ְמדוֹ ֶרגֶ ת‬ ‫מערכת לינארית‪ ,‬אשר מטריצת המקדמים שלה היא מטריצת מדרגות‪ ,‬נקראת מערכת )לינארית(‬ ‫ְמדוֹ ֶרגֶ ת‪.‬‬ ‫"לדרג מערכת לינארית" משמעו לעבור ממנה למערכת מדורגת‪ ,‬באמצעות מספר סופי של שינויים‬ ‫אלמנטריים עוקבים‪.‬‬



‫‪82‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫העניין שלנו במערכות מדורגות נעוץ בעובדה שהן נוחות לפתרון‪ .‬כדי להבהיר זאת נגדיר תחילה‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.10.4‬משתנים קשורים ומשתנים חופשיים של מערכת מדורגת‬ ‫משתנה של מערכת מדורגת נקרא משתנה קשור‪ ,‬אם המקדם המופיע לצדו הוא איבר פותח‪.‬‬ ‫משתנה של המערכת שאינו קשור נקרא משתנה חופשי‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫במערכת המדורגת ב‪ 7‬משתנים‪,‬‬ ‫‪ 9‬‬



‫‪x7‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪6 x7‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x6‬‬



‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪4 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪5 x3‬‬



‫‪ 3 x5‬‬ ‫‪ 3 x7‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x2‬‬



‫‪2 x1‬‬



‫‪2 x4‬‬



‫‪2 x6‬‬



‫המשתנים הקשורים הם ‪ . x1 , x3 , x4 , x6‬יתר המשתנים – ‪ – x2 , x5 , x7‬הם חופשיים‪.‬‬



‫‪‬‬



‫גם במטריצת המקדמים של מערכת מדורגת‪ ,‬קל להבחין בין המשתנים הקשורים למשתנים‬ ‫החופשיים‪ :‬לכל משתנה של מערכת מדורגת ב ‪ n‬משתנים‪ ,‬מתאימה אחת מ ‪ n‬העמודות הראשונות‬ ‫במטריצת המקדמים שלה‪ .‬המשתנים הקשורים הם אלה אשר בעמודה שמתאימה להם יש איבר‬ ‫פותח‪ ,‬והמשתנים החופשיים הם אלה אשר בעמודה שמתאימה להם אין איבר פותח‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫במערכת המדורגת שאותה מייצגת מטריצת המדרגות הבאה )שבה סימנו בקו תחתון את האיברים‬ ‫הפותחים(‪,‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪5‬‬



‫‪3 4‬‬



‫‪2‬‬



‫‪9‬‬



‫‪7 8‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫העמודות שיש בהן איברים פותחים הן הראשונה‪ ,‬השלישית‪ ,‬החמישית והשישית‪ .‬זכרו שהעמודה‬ ‫השישית אינה עמודה של משתנה‪ .‬המשתנים הקשורים הם אפוא ‪ ; x1 , x3 , x5‬המשתנים החופשיים‬ ‫‪‬‬ ‫הם ‪) . x2 , x4‬שאלה‪ :‬מה אפשר ללמוד מכך שבעמודה האחרונה יש איבר פותח?‪(6‬‬



‫‪ 6‬תשובה‪ :‬קיומו של איבר פותח בעמודה האחרונה מלמד שהמערכת שאותה מייצגת המטריצה אינה עקבית‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪83‬‬



‫דוגמאות‬ ‫זַ ה ּו את המשתנים הקשורים ואת המשתנים החופשיים של המערכות המדורגות שמטריצות‬ ‫המקדמים שלהן הן‪7 :‬‬ ‫‪ 1 0 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 2 0 1‬‬ ‫‪0 0 3 3‬‬



‫‪2 3 4 5 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 7 8 9 1‬‬ ‫‪0 0 1 2 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 1 4‬‬ ‫‪0 0 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0 0 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫כאשר מערכת לינארית היא מדורגת‪ ,‬הצבה לאחור מאפשרת לבטא את המשתנים הקשורים שלה‬ ‫באמצעות המשתנים החופשיים‪ .‬אם נבחר סקלרים כלשהם‪ ,‬נקבע אותם כערכי המשתנים החופשיים‬ ‫ונחשב עבורם את ערכי המשתנים הקשורים‪ ,‬נקבל פתרון למערכת‪ .‬את ערכי המשתנים החופשיים‬ ‫אנו רשאים לבחור כאוות נפשנו; בפתרון הכללי יהיו פרמטרים‪) .‬זה מקור המינוח "משתנה קשור"‬ ‫ו"משתנה חופשי"‪(.‬‬ ‫אם כן‪ ,‬מערכות מדורגות הן נוחות לפתרון‪ .‬יתר על כן‪ :‬בסעיף ‪ 1.12‬נראה‪ ,‬שעיון חטוף במערכת‬ ‫מדורגת או במטריצת המדרגות המייצגת אותה‪ ,‬מספיק כדי לקבוע אם המערכת עקבית או לא‪ ,‬ואם‬ ‫היא עקבית – גם לקבוע )בלי לפתור אותה( כמה פתרונות יש לה‪.‬‬ ‫האם ניתן לדרג כל מערכת לינארית? התשובה היא כן‪ .‬כדי להיווכח בזאת‪ ,‬נַ ראה שמכל מטריצה‬ ‫אפשר לעבור למטריצת מדרגות באמצעות סדרה סופית של פעולות שורה‪ .‬נאמר זאת בקיצור כך‪:‬‬ ‫הדירוּג‬ ‫משפט ‪ 1.10.5‬משפט ֵ‬ ‫כל מטריצה מעל כל שדה ניתנת לדירוג‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה‪ .‬נתאר סדרה של פעולותשורה עוקבות‪ ,‬שמובילה מ ‪ A‬למטריצת‬ ‫במקביל‪ ,‬נמחיש את דברינו עלידי ביצוע סדרת הפעולות המתוארת על המטריצה הממשית מסדר‬ ‫‪:4  6‬‬ ‫מדרגות‪8.‬‬



‫‪ 7‬במערכת השמאלית‪ ,‬שהיא בת ‪ 5‬משתנים‪ ,‬המשתנים הקשורים הם ‪ . x1 , x2 , x4 , x5‬המשתנה החופשי היחיד הוא‬ ‫‪ . x3‬במערכת הימנית‪ ,‬שהיא בת ‪ 3‬משתנים‪ ,‬כל המשתנים קשורים‪.‬‬ ‫‪ 8‬מתכון הדירוג המוצע כאן אינו בהכרח הנוח ביותר מבחינה חישובית למטריצה כלשהי‪ ,‬אבל הוא מבטיח‬ ‫תוצאות‪ .‬בהמשך‪ ,‬לאחר שתדרגו כמה מטריצות‪ ,‬בעזרתנו ובעצמכם‪ ,‬תקנו מיומנות שתאפשר לכם לדרג מטריצות‬ ‫ביעילות‪.‬‬



‫‪84‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 6 3 6 6‬‬ ‫‪1 2 1 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4 4 10 4 ‬‬ ‫‪9‬‬



‫‪0 0 3‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫)בהוכחה‪ ,‬שלא כמו בהמחשה‪ ,‬לא נניח שמקדמי המערכת הם מספרים ממשיים; התהליך "עובד" לכל‬ ‫מטריצה מעל כל שדה‪(.‬‬ ‫אם כל איברי ‪ A‬הם אפסים‪ A ,‬עצמה היא מטריצת מדרגות‪ .‬אחרת – יש ב ‪ A‬איברים שונים מ‪.0‬‬ ‫במקרה זה –‬ ‫‪ .1‬בוחרים את העמודה הראשונה של המטריצה שיש בה איבר שונה מ‪ ,0‬ואם האיבר העליון‬ ‫בעמודה הזאת הוא ‪ ,0‬מחליפים שורות )פעולתשורה מטיפוס ‪ (1‬כדי להביא לכך שהאיבר העליון‬ ‫בעמודה הנבחרת יהיה שונה מ‪:0‬‬ ‫בדוגמה שלנו‪ ,‬העמודה הנבחרת היא השנייה; האיבר העליון בה הוא ‪ ,0‬ולכן נחליף את השורה‬ ‫הראשונה בשורה אחרת – למשל השורה השלישית‪.‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 6 3 6 6‬‬ ‫‪0 0 3 9 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4 4 10 4 ‬‬



‫‪1 2 1‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 6 3 6 6  R1  R3 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 2 1 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4 4 10 4 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9‬‬



‫‪0 0 3‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ .2‬אם אחרי הצעד הקודם נותרו בעמודה הנבחרת איברים שונים מ‪ 0‬מלבד האיבר העליון –‬ ‫מאפסים אותם עלידי הוספת כפולות מתאימות של השורה הראשונה לשורות שבהן הם נמצאים‪.‬‬ ‫בדוגמה שלנו – האיבר העליון בעמודה השנייה הוא כרגע ‪ ; a12  1‬מתחתיו‪, a32  0 , a22  3 :‬‬ ‫‪ . a42  2‬עלינו לְ ַא ּ ֵפס אפוא שני איברים של העמודה השנייה – את ‪ a22‬ואת ‪ . a42‬לשם כך‪,‬‬ ‫נוסיף כפולות של השורה הראשונה לשורותיהם )שתי פעולותשורה עוקבות מטיפוס ‪:(3‬‬ ‫‪1 2 1 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0 3‬‬ ‫‪0 0 3 9 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 2 6 2 ‬‬



‫‪2 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0 3 R4  R4  2 R1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0 3 9 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4 4 10 4 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1 2 1‬‬



‫‪2 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 6 3 6 6  R2  R2  3 R1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0 3 9 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4 4 10 4 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1 2 1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ .3‬מותחים קו מתחת לשורה העליונה של המטריצה שאליה הגענו‪ 9,‬ומפעילים את התהליך מחדש על‬ ‫המטריצה החלקית שמן השורה הבאה ואילך‪ ,‬שהיא מטריצה שמספר שורותיה קטן באחת‬ ‫ממספר השורות של המטריצה הקודמת )מספר העמודות אינו משתנה(‪ .‬חוזרים על התהליך עד‬ ‫אשר המטריצה החלקית שבה מטפלים היא מטריצת אפס או מטריצה בת שורה אחת‪.‬‬



‫‪ 9‬הקו שבעקבות השורה העליונה משמש להבהרת התהליך בלבד‪ .‬לכשתרכשו מיומנות בדירוג מטריצות תוכלו‬ ‫להשמיט אותו‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪85‬‬



‫בדוגמה הממחישה‪ ,‬כשמותחים קו מתחת לשורה העליונה‪ ,‬נותרת מתחתיה מטריצה בת ‪ 3‬שורות‪,‬‬ ‫ועליה מפעילים מחדש את סבב ההוראות‪ .‬בתיאור פעולות השורה שנבצע בהמשך‪ ,‬נמשיך לקרוא‬ ‫לכל שורה לפי מספרה הסידורי במטריצה המלאה )אם כן‪ ,‬השורה העליונה כרגע היא ‪.( R2‬‬ ‫העמודה הראשונה מתחת לקו‪ ,‬שאינה עמודת אפסים‪ ,‬היא הרביעית‪ :‬נעביר לראשה איבר שונה‬ ‫מ‪ ,0‬ואחר כך נאפס את יתרת העמודה‪.‬‬ ‫‪2 1 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 2 6 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 3 9 4‬‬ ‫‪0 0 0 0 3 ‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 3 ‬‬



‫‪2 1 2 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0 3  R2  R4 0‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪0 0 3 9 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0 2 6 2‬‬ ‫‪‬‬



‫‪2 1‬‬ ‫‪0 1 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 1  R3  R3  3 R2 0 0 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9 4‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪0 3 ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0 1 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 1‬‬ ‫‪0 0 0 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪(*) R2  R2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫פעולת השורה המסומנת ב)*( אינה נזכרת במתכון הכללי; הוספנו אותה לנוחות החישוב בדוגמה‬ ‫המסוימת שלנו‪ .‬כעת נמתח קו מתחת ל ‪ , R2‬ונחזור על התהליך עם החלק שמתחתיו‪ .‬השורה‬ ‫העליונה בסבב הבא היא ‪ ; R3‬המטריצה שאליה ההוראות מתייחסות היא בת שתי שורות‪.‬‬ ‫העמודה הראשונה מתחת לקו‪ ,‬שאינה עמודת אפסים‪ ,‬היא השישית )העמודה הימנית של‬ ‫המטריצה(‪ .‬בראשה יש כבר איבר שונה מ‪ ,0‬ונאפס את האיבר שמתחתיו‪.‬‬ ‫‪1 2 1 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1 3 1‬‬ ‫‪0 0 0 0 1 ‬‬ ‫‪0 0 0 0 0 ‬‬



‫‪1 2 1 2 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1 3 1  R  R 3R‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0 0 0 3 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫התהליך הסתיים‪ ,‬והתוצאה היא מטריצת המדרגות‪:‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 ‬‬



‫‪0 1 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 1‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 0 0‬‬



‫מעצם טיבו של התהליך שתיארנו ברור שמספר הצעדים בו הוא סופי‪ .‬הצעד הראשון בתהליך מבטיח‬ ‫שכל האיברים הפותחים המופיעים לימינו של האיבר הפותח השמאלי ביותר‪ ,‬מופיעים מתחתיו‪.‬‬ ‫באופן דומה‪ ,‬החזרה על צעד זה בפעם השנייה מבטיחה שכל האיברים הפותחים המופיעים לימינו‬ ‫של האיבר הפותח השני משמאל‪ ,‬מופיעים מתחתיו‪ ,‬וכן הלאה‪ .‬בכל שלב של התהליך אנו מתחילים‬ ‫מאיבר פותח‪ ,‬שמעצם הגדרתו מופיע בשורה שאינה שורת אפסים‪ ,‬ועוברים לאיבר פותח הנמצא‬ ‫בשורה נמוכה יותר‪ .‬התהליך מסתיים כאשר לא נותרו איברים כאלה‪ ,‬כלומר כאשר כל השורות‬



‫‪86‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שנותרו בתחתית המטריצה הן שורות אפסים או שלא נותרו עוד שורות‪ .‬מכאן שהמטריצה המתקבלת‬ ‫היא מטריצת מדרגות‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הערות בנוגע לדירוג מטריצות‬ ‫א‪ .‬שאלת היחידוּת‪ :‬בדרך כלל אפשר לדרג מטריצה נתונה בדרכים שונות‪ ,‬ואף להגיע למטריצות‬ ‫מדרגות שונות‪.‬‬ ‫‪ 3 6 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 5 8‬‬



‫להמחשה‪ ,‬נדרג בכמה אופנים את המטריצה מסדר ‪: 2  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪R2  R2  2 R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 2 ‬‬ ‫‪ 1 1 1‬‬ ‫‪R2  R2  2 R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 3 6‬‬



‫‪ 6 12 18‬‬ ‫‪R2  R2  R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 3 6 ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪R1  R1‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 5 8‬‬



‫‪ 3 6 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 5 8‬‬



‫‪ 1 1 1‬‬ ‫‪R1  R1  R2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 5 8‬‬



‫‪ 3 6 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 5 8‬‬



‫‪6 12 18 ‬‬ ‫‪R1  2 R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R2  3 R2‬‬ ‫‪6 15 24 ‬‬



‫‪3 6 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 5 8‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪R2  R2  R1‬‬ ‫‪ 3 6 9‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 2 ‬‬



‫‪ 3 6 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 5 8‬‬



‫כל המטריצות השונות שקיבלנו הן מטריצות מדרגות‪ .‬כל אחת מהן שקולתשורה למטריצה‬ ‫המקורית‪ .‬שימו לב! מאחר ששקילותשורה הוא יחס טרנזיטיבי‪ ,‬הרי שכל שתיים מהן שקולות‬ ‫שורה )זו לזו(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אזהרה מפני שגיאה נפוצה‪ :‬פעולותשורה אמורות להתבצע בזו אחר זו; צריך להקפיד לבצע את‬ ‫וצאה של‬ ‫סדרת הפעולות צעד אחר צעד‪ ,‬כלומר לבצע כל פעולה על המטריצה שהתקבלה ַּכ ּת ָ‬ ‫הפעולה הקודמת‪ .‬הקפדה זו חיונית כדי להבטיח שהמטריצה שתתקבל עם השלמת סדרת‬ ‫הפעולות תהיה שקולתשורה למטריצה המקורית‪.‬‬ ‫לפעמים סדר הביצוע של שתי פעולותשורה או יותר‪ ,‬אינו משנה את התוצאה‪ .‬למשל‪ ,‬כדי לְ ַא ּ ֵפס‬ ‫את האיברים שמתחת לאיבר הראשון בעמודה הראשונה של מטריצה מהטיפוס‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫)הכוכביות מציינות סקלרים כלשהם( דרושות שתי פעולות השורה הבאות‪ ,‬המסומנות מעל לחץ‬ ‫ומתחתיו‪:‬‬ ‫‪R2  R2  2 R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R3  R3  3R1‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪87‬‬



‫סדר הביצוע לא משנה‪ ,‬משום שאף אחת מן הפעולות המסומנות אינה משנה את השורות‬ ‫שמעורבות בפעולה האחרת‪.‬‬ ‫‪R1  2 R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R2  3R2‬‬



‫באופן דומה‪ ,‬סדר הביצוע של‬



‫אינו משנה‪ ,‬כי אף אחת מהן אינה משנה שורה שרלוונטית לשורה אחרת‪.‬‬ ‫להמחשה‪ ,‬נבצע אותן פעולות־שורה על המטריצה מהערה א לעיל בסדר שונה‪.‬‬ ‫‪ 3 6 9  R1  2 R1  6 12 18‬‬ ‫‪6 12 18 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 5 8‬‬ ‫‪ 2 5 8‬‬ ‫‪6 15 24 ‬‬ ‫‪18  R1  2 R1 6 12 18 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪24 ‬‬ ‫‪6 15 24 ‬‬



‫‪3 6 9‬‬ ‫‪6 12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 5 8‬‬ ‫‪6 15‬‬



‫במקרים כאלה‪ ,‬הכללת פעולות אחדות בצעד אחד אינה אלא דרך יעילה לחסוך כתיבה מיותרת‪.‬‬ ‫לעומת זאת‪ ,‬את הפעולות הרשומות מעל לחץ ומתחתיו‪,‬‬ ‫‪R1  R1  R2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R2  R2  R1‬‬



‫אסור לבצע על המטריצה ‪ A‬בבת אחת‪ .‬נסביר מדוע‪:‬‬ ‫הפעולה העליונה משנה את השורה הראשונה של ‪ – A‬היא מוסיפה לה את השורה השנייה‪ .‬לבצע‬ ‫בעקבותיה את הפעולה התחתונה‪ ,‬משמעו להוסיף לשורה השנייה את השורה הראשונה‬ ‫המעודכנת‪ ,‬ולא את השורה הראשונה המקורית של ‪ . A‬באופן דומה‪ ,‬אם מבצעים קודם את‬ ‫הפעולה התחתונה‪ ,‬השורה השנייה של ‪ A‬משתנה‪ .‬לבצע בעקבותיה את הפעולה העליונה משמעו‬ ‫להוסיף לשורה הראשונה את השורה השנייה המעודכנת‪ ,‬ולא את השורה השנייה המקורית של ‪. A‬‬ ‫כאשר שתי הפעולות מתבצעות על ‪ A‬בבת אחת‪ ,‬בלי לעדכן את ‪ , A‬התוצאה עלולה להיות‬ ‫מטריצה שאינה שקולת־שורה ל־ ‪ . A‬להמחשה‪ ,‬נבצע בבת אחת את שתי הפעולות שתוארו לעיל‬ ‫על המטריצה‬ ‫‪1 0 0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 0‬‬



‫ונקרא למטריצה המתקבלת ‪: B‬‬ ‫‪1 0 0 R1  R1  R2 1 1 0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪R2  R2  R1 1 1 0‬‬ ‫‪ 0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ A‬ו־ ‪ B‬הללו אינן שקולות־שורה; נוכיח זאת בדרך השלילה‪ .‬אילו הן היו שקולות־שורה‪ ,‬היו‬ ‫המערכות הלינאריות שהן מייצגות שקולות‪.‬‬ ‫‪ A‬מייצגת את המערכת‬



‫‪x0‬‬ ‫‪y0‬‬



‫שפתרונה היחיד הוא )‪. ( x, y )  (0,0‬‬



‫‪88‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪xy0‬‬



‫‪ B‬מייצגת את המערכת‪:‬‬



‫‪xy0‬‬



‫למערכת ש ‪ B‬מייצגת יש פתרונות נוספים רבים‪ ,‬ובהם – )‪ , (1, 1‬שאינו פותר את המערכת‬ ‫ש ‪ A‬מייצגת‪ .‬לכן ‪ A‬ו ‪ B‬אינן שקולותשורה‪.‬‬ ‫תוצאת ביצוע הפעולות הנידונות צעד אחר צעד תלויה בסדר הביצוע‪:‬‬ ‫בסדר אחד‪:‬‬



‫‪1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 0‬‬



‫‪1 0‬‬ ‫ובסדר ההפוך‪ :‬‬ ‫‪1 0‬‬



‫‪0 0 R1  R1  R2 1 1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪ 0 1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 0 0 R1  R1  R2  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 1 0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬



‫התוצאות שונות‪ .‬עם זאת‪ ,‬לאור המשפטים שהוכחנו‪ ,‬מובן שבשני המקרים המטריצה שאליה‬ ‫מגיעים שקולתשורה ל ‪) A‬ולכן הן גם שקולותשורה זו לזו(‪.‬‬ ‫במהלך ההתנסויות הראשונות שלכם בדירוג מטריצות כדאי לכם להימנע מקיצורי דרך‪ .‬עדיף לתעד‬ ‫במלואה את התוצאה של כל פעולה אלמנטרית לפני שתעברו לפעולה הבאה‪ .‬יצירתיות וקיצורי דרך‬ ‫מומלצים רק למי שכבר רכש מיומנות בדירוג מטריצות ואין חשש שיתבלבל‪.‬‬ ‫מסקנה ‪1.10.6‬‬ ‫כל מערכת לינארית שקולה למערכת מדורגת‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫בהינתן מערכת כלשהי‪ ,‬נדרג את מטריצת המקדמים שלה‪ .‬מטריצת המדרגות שנקבל שקולתשורה‬ ‫למטריצת המקדמים המקורית‪ ,‬ולכן המערכת המדורגת שהיא מייצגת שקולה למערכת המקורית‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.10.2‬‬ ‫פתרו את המערכות הבאות מעל הממשיים‪:‬‬ ‫קודם דרגו את מטריצת המקדמים‪ ,‬אחרכך בטאו את המשתנים הקשורים בעזרת המשתנים‬ ‫החופשיים )הצבה לאחור(‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪3 x1‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x2‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪3 x1‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫ג‪.‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ x1  3 x2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫ד‪.‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 7 x2‬‬



‫‪ 2‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2 x3‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ 4‬‬



‫‪ 5 x4‬‬



‫‪ 3 x3‬‬



‫‪ 3 x2‬‬



‫‪ 3‬‬



‫‪ 2 x4‬‬



‫‪3 x3‬‬



‫‪89‬‬



‫‪3 x1‬‬



‫‪2 x1‬‬



‫‪3 x1‬‬



‫‪3 x1 ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪126‬‬ ‫משפט הדירוג ה ּוכח עבור מערכות לינאריות מעל שדה כלשהו‪ ,‬אבל עד כה – כל המערכות שהדגמנו‬ ‫היו מעל שדה הממשיים‪ .‬נדגים עתה איך מדרגים ופותרים מערכת לינארית מעל שדה אחר‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫נפתור את המערכת הבאה מעל ‪: 2‬‬



‫‪z  1‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪z  0‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬



‫‪y‬‬



‫‪x ‬‬



‫כצעד ראשון נדרג את מטריצת המקדמים‪ .‬ההבדל היחיד בין הדוגמה הזאת לדוגמאות הקודמות‬ ‫הוא‪ ,‬שאת פעולות החשבון נבצע לפי טבלאות החיבור והכפל של השדה ‪ 10. 2‬במידה רבה החישוב‬ ‫יהיה קל יותר‪ :‬השוויון ‪ , 1  1‬המתקיים בשדה זה‪ְ 11,‬מ ַפ ּ ֵשט חישובים‪:‬‬ ‫‪1 1 1 1 ‬‬ ‫‪1 1 1 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R2  R2  R1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 0 1‬‬ ‫‪1 0 1 0 ‬‬ ‫‪R3  R3  R1‬‬ ‫‪1 1 0 1 ‬‬ ‫‪0 0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫מטריצת המדרגות שאליה הגענו מייצגת את המערכת הלינארית )השקולה למערכת המקורית(‪:‬‬ ‫‪z  1‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪x ‬‬



‫‪y‬‬



‫‪z  0‬‬



‫שלושת המשתנים קשורים )אין משתנים חופשיים(‪ .‬לפי שתי המשוואות האחרונות‪,‬‬ ‫‪x 1 0 1‬‬ ‫‪ . z  0 , y  1‬הצבת הערכים האלה במשוואה הראשונה מניבה‪:‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫לכן‪,‬‬ ‫השלָ ָשה )‪. (0,1, 0‬‬ ‫ולמערכת יש פתרון יחיד – ְ‬



‫‪ 10‬הטבלאות מופיעות בסעיף ‪1.2‬ו‪.‬‬ ‫‪ 11‬ראו שאלה ‪.1.2.6‬‬



‫‪‬‬



‫‪90‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫דוגמה‬ ‫נפתור את המערכת הבאה מעל ‪: 2‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪y‬‬



‫‪z  1‬‬



‫‪‬‬



‫‪z  1‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬



‫נדרג קודם את מטריצת המקדמים‪:‬‬ ‫‪1 1 0 0‬‬ ‫‪1 1 0 0 ‬‬ ‫‪1 1 0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R2  R2  R1 ‬‬ ‫‪ R3  R3  R2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 1 1  ‬‬ ‫‪ 0 1 1 1 ‬‬ ‫‪1 0 1 1 ‬‬ ‫‪0 1 1 1‬‬ ‫‪0 1 1 1 ‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫במערכת )המדורגת( השקולה‪ ,‬המשוואה השלישית היא משוואת אפס‪ ,‬שממנה אפשר‬ ‫אם כן‪ ,‬המערכת המקורית שקולה למערכת‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪y‬‬



‫להתעלם‪12.‬‬



‫‪x ‬‬



‫‪y  z  1‬‬



‫המשתנים ‪ x‬ו ‪ y‬קשורים‪ z ,‬הוא משתנה חופשי‪.‬‬ ‫מהמשוואה השנייה מקבלים‪:‬‬



‫‪y  1 z‬‬



‫ומהמשוואה הראשונה ) ‪ , x   y  (1  z‬כלומר‪:‬‬



‫‪x  z 1‬‬



‫בפתרון הכללי‪ ,‬הערך של ‪ z‬הוא הפרמטר ‪ . t‬הפתרון הכללי הוא‪:‬‬



‫) ‪ 1, 1  t , t‬‬



‫‪13 ( t‬‬



‫שימו לב‪ ,‬למרות שבפתרון הכללי יש פרמטר‪ ,‬מספר הפתרונות הוא סופי‪ .‬השדה ‪ 2‬הוא שדה סופי‬ ‫בן שני איברים‪ .‬לפרמטר ‪ t‬יש רק שני ערכים אפשריים‪ 0 ,‬או ‪.1‬‬ ‫עבור ‪ t  0‬מתקבל הפתרון )‪ , (1,1,0‬ועבור ‪ – t  1‬הפתרון )‪ . (0,0,1‬למערכת יש אפוא בדיוק שני‬ ‫‪‬‬ ‫פתרונות‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.10.3‬‬ ‫בעזרת פעולות השורה שבהן השתמשנו בדוגמה האחרונה‪ ,‬דרגו שוב את המערכת‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪y‬‬



‫‪z  1‬‬



‫‪‬‬



‫‪z  1‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬



‫אך הפעם כמערכת לינארית מעל הממשיים )שימו לב לשלב בדירוג שבו המטריצה המתקבלת נראית‬ ‫אחרת מזו שהתקבלה כאשר דירגנו אותה כמטריצה מעל ‪ .( 2‬כמה פתרונות יש לה הפעם?‬ ‫התשובה בעמוד ‪129‬‬



‫‪ 12‬כל שלשה של סקלרים מתוך ‪  2‬פותרת אותה‪.‬‬ ‫‪ 13‬בשדה ‪  2‬מתקיים ‪ , 1  1‬ובכלל ‪)  t  t‬מדוע?(‪ .‬לכן את הפתרון הכללי ניתן להציג גם כך‪. (t  1, t  1, t ) :‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪91‬‬



‫שאלה ‪1.10.4‬‬ ‫מצאו את הפתרון הכללי של המערכת מעל ‪, 2‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬



‫ורשמו במפורש את כל פתרונותיה‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪129‬‬



‫‪92‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 1.11‬ההצגה הקנונית של מטריצה‬ ‫מטריצות מדרגות קנוניות הן מטריצות מדרגות מסוג מיוחד‪ ,‬שיוגדר מייד‪ .‬למטריצות אלה יש כמה‬ ‫תכונות בעלות חשיבות ייחודית לענייננו; בפרט – המערכות הלינאריות שהן מייצגות ניתנות לפתרון‬ ‫מיידי‪ ,‬ללא צורך בהצבה לאחור‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.11.1‬מטריצת מדרגות קנונית‬ ‫מטריצת מדרגות קנונית היא מטריצת מדרגות שכל האיברים הפותחים בה הם ‪ ,1‬ובכל עמודה שיש‬ ‫בה איבר פותח‪ ,‬כל יתר האיברים הם ‪.0‬‬ ‫דוגמה ‪1‬‬ ‫מטריצת המדרגות‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫‪3 2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0 2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫היא קנונית – על כך מעידים האיברים הפותחים שסימנו בקו תחתון‪ ,‬שכולם ‪ ,1‬ויתר האיברים‬ ‫‪‬‬ ‫בעמודותיהם‪ ,‬שכולם ‪.0‬‬ ‫שאלה ‪1.11.1‬‬ ‫מבין המטריצות שלהלן‪ ,‬זהו את מטריצות המדרגות וציינו אילו מהן הן קנוניות‪.‬‬ ‫א‪ 1 0 1 2  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 1 3‬‬ ‫‪ 0 0 0 0 ‬‬



‫ב‪8  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10 ‬‬



‫ד‪ 1 2 0 0 0  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1 4 0‬‬ ‫‪ 0 0 0 0 1 ‬‬



‫ה‪2 0 1 0 .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 0 0‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫ג‪ 1 0 0 0  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪ 0 1 0 0 ‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫ו‪.‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪8‬‬



‫‪0‬‬



‫‪5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪3‬‬



‫‪0‬‬



‫‪5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪9‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫התשובה בעמוד ‪130‬‬ ‫דוגמה‬ ‫כדי להמחיש את קלוּת הפתרון של מערכות שמטריצות המקדמים שלהן הן מטריצות מדרגות‬ ‫קנוניות‪ ,‬נחזור לדוגמה ‪.1‬‬ ‫המערכת הלינארית‪ ,‬שאותה מייצגת מטריצת המדרגות הקנונית‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫‪3 2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0 2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪93‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫היא המערכת המדורגת‪:‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 5 x6‬‬



‫‪ 2 x3‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪ 4 x6‬‬



‫‪ 3 x3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x6‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬



‫‪x4‬‬ ‫‪x5‬‬



‫המשתנים הקשורים של המערכת הם ‪ , x1 , x2 , x4 , x5‬והמשתנים החופשיים הם ‪ . x3 , x6‬נעביר מאגף‬ ‫לאגף ונקבל‪:‬‬ ‫‪x1  2 x3  5 x6‬‬ ‫‪x2  1  3 x3  4 x6‬‬ ‫‪x4  2  3 x6‬‬ ‫‪x5  1‬‬



‫אין צורך בהצבה לאחור – המשתנים הקשורים כבר מבוטאים באמצעות המשתנים החופשיים‪ .‬מתוך‬ ‫ההצגה הזאת אפשר לקרוא את הפתרון הכללי ישירות‪ :‬הפרמטרים ‪ s , t‬מייצגים בו את ערכי ‪x3 , x6‬‬ ‫)בהתאמה(‪.‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 3 ‬‬ ‫‪5 6 ‬‬ ‫‪ 2 s  5t , 1  3s  4t , s , 2  3t , 1 , t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫)‪ s (2, 3,1,0,0,0)  t ( 5, 4,0, 3,0,1)  (0, 1,0, 2,1,0‬‬



‫‪‬‬



‫התופעה שהומחשה בדוגמה היא כללית‪ :‬כאשר מטריצת המקדמים של מערכת לינארית היא מטריצת‬ ‫מדרגות קנונית‪ ,‬כל משתנה קשור מופיע במשוואה אחת ויחידה‪ ,‬ובמשוואה זו הוא המשתנה הראשון‬ ‫שמופיע והמקדם שלו בה הוא ‪ .1‬יתר המשתנים שמופיעים במשוואה )אם יש כאלה( הם חופשיים‪.‬‬ ‫העברה מאגף לאגף היא כל הדרוש לביטוי המשתנים הקשורים באמצעות המשתנים החופשיים‪.‬‬ ‫הפתרון הכללי מתקבל מיידית‪ ,‬והמשתנים החופשיים )כשיש כאלה( הם הפרמטרים שלו‪.‬‬ ‫האם כל מטריצה ניתנת לדירוג לצורת מדרגות קנונית? התשובה היא – כן‪ .‬זהו תוכן המשפט הבא‪.‬‬ ‫תנו דעתכם לכך שמשפט הדירוג שהוּכח בסעיף הקודם‪ ,‬מבטיח שכל מטריצה ניתנת לדירוג; על פי‬ ‫רוב‪ ,‬ניתן לדרג מטריצה נתונה ‪ A‬בדרכים שונות‪ ,‬ובדרך כלל מגיעים למטריצות מדרגות שונות‪ .‬כולן‬ ‫שקולותשורה ל ‪ , A‬ולכן כל שתיים מהן שקולותשורה זו לזו‪ .‬המשפט הבא מלמד‪ ,‬שבאוסף המורכב‬



‫‪94‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫מכל מטריצות המדרגות שהן שקולותשורה ל ‪ , A‬תמיד יש מטריצת מדרגות קנונית‪ .‬על מטריצה‬ ‫כזאת נאמר שהיא הצגה קנונית של ‪1. A‬‬ ‫משפט ‪ 1.11.2‬קיום הצגה קנונית‬ ‫לכל מטריצה‪ ,‬מעל כל שדה‪ ,‬יש הצגה קנונית‪.‬‬ ‫לשון אחר – כל מטריצה היא שקולתשורה למטריצת מדרגות קנונית‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫לאור משפט הדירוג‪ ,‬מספיק להוכיח את הטענה למערכות לינאריות מדורגות‪ .‬לשם כך‪ ,‬נצא ממטריצת‬ ‫מדרגות ‪ A‬ונתאר תהליך שמוביל ממנה למטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬באמצעות מספר סופי של פעולות‬ ‫שורה עוקבות‪.‬‬ ‫במקביל להוכחה הכללית‪ ,‬נמחיש אותה עלידי ביצוע התהליך המתואר על מטריצת המדרגות‬ ‫הממשית‪:‬‬ ‫‪9 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7 10 0 ‬‬ ‫‪2 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 3 6 ‬‬ ‫‪1‬‬



‫יהי ‪ aij‬האיבר הפותח הימני ביותר של ‪A‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪2.‬‬



‫בשורה ה ‪ , i‬כל האיברים לשמאלו הם ‪ ,0‬כי ‪ aij‬הוא האיבר הפותח שלה;‬ ‫בעמודה ה ‪ , j‬כל האיברים מתחתיו הם ‪) 0‬כי ‪ A‬היא מטריצת מדרגות(‪.‬‬ ‫נכפול את השורה ה ‪ i‬בהופכי של ‪) aij‬פעולתשורה מטיפוס ‪ ;(1‬אחרי פעולה זו‪ ,‬האיבר הפותח ‪aij‬‬ ‫של השורה ה ‪ i‬הוא ‪.1‬‬ ‫נְ ַא ּ ֵפס בזה אחר זה את כל האיברים שמעליו )בעמודה ה ‪ ,( j‬בעזרת פעולותשורה מטיפוס ‪.3‬‬ ‫בדוגמה שלנו‪ ,‬האיבר הפותח הימני ביותר הוא ‪ . a45  3‬סדרת פעולות השורה שתיארנו היא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪19 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪20 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪2 ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬



‫‪9‬‬



‫‪7 10‬‬



‫‪3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪9 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 3 7 10 0  R  R  2 R‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 2 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0 0 1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬



‫‪0‬‬



‫‪7‬‬



‫‪3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 20  R1  R1  9 R4 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪9‬‬



‫‪4 2‬‬



‫‪9 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 7 10 0  R4  R4 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 2 2 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0 3‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬



‫‪7‬‬



‫‪3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R2  R2 10 R4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ 1‬מקובל לומר גם צורה קנונית‪.‬‬ ‫‪ aij 2‬הוא‪ ,‬כמובן‪ ,‬האיבר הפותח התחתון של ‪ . A‬כל השורות שמתחת לשורתו )השורה ה ‪ ( i‬הן שורות אפס‪.‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪95‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫פעולותהשורה הללו מובילות למטריצה שקולתשורה ל ‪ , A‬שבה העמודה של האיבר הפותח הימני‬ ‫ביותר היא בעלת המבנה הרצוי‪ .‬העמודות שלשמאלה לא השתנו )מדוע?(‪.‬‬ ‫נעבור לאיבר הפותח השני מימין‪ ,‬ונחזור על התהליך‪.‬‬ ‫בדוגמה שלנו‪ ,‬האיבר הפותח השני מימין הוא ‪ . a34  2‬סדרת פעולות השורה הנדרשת היא‪:‬‬ ‫‪19 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 20 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 3/2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0 35/2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 19/2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 3/2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬



‫‪7‬‬



‫‪3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0 19 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 20  R3  R3 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0  3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬



‫‪19 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 19/2  R1  R1  R3 0‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪0 3/2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬



‫‪7‬‬



‫‪3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R2  R2  7 R3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫נמשיך להתקדם מימין לשמאל‪ ,‬עד למיצוי העמודות שבהן יש איבר פותח‪.‬‬ ‫בדוגמה שלנו‪ ,‬השלב הבא הוא‪:‬‬ ‫‪35/2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 0 19/10 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 0 3/2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2 0 0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪0 33/10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 19/10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3/2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0 ‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪2 0 0 35/2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 0 0 19/2  R2  5 R2 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0 1 0 3/2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪0 99/10 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 19/10  R1  3 R1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3/2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2/5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3/5‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R1  R1  4 R2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫המטריצה שהתקבלה היא מטריצת מדרגות קנונית‪.‬‬ ‫הטיפול בעמודה של כל איבר פותח שאינו האחרון‪ ,‬אינו משנה את העמודות שלשמאלה‪ ,‬וגם לא את‬ ‫העמודות שלימינה שבהן יש איבר פותח‪ ,‬שהן העמודות שבהן טיפלנו קודם )נמקו!(‪ .‬לפיכך‪ ,‬התהליך‬ ‫מסתיים במטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬שקולתשורה ל ‪) . A‬שימו לב‪ ,‬במהלך המעבר לצורה הקנונית‪,‬‬ ‫המיקום של האיברים הפותחים לא השתנה‪ .‬במטריצת המדרגות הקנונית שאליה הגענו‪ aij ,‬הוא‬ ‫איבר פותח אם ורק אם ‪ aij‬היה איבר פותח של מטריצת המדרגות המקורית‪(.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫‪96‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪1.11.2‬‬ ‫לפניכם מערכות לינאריות אחדות )מעל ‪ .( ‬פתרו אותן עלידי דירוג מטריצות המקדמים לצורת‬ ‫מדרגות קנונית‪.‬‬ ‫א‪ 2 .‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪ 4‬‬



‫‪ 6 x3‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪2 x1‬‬



‫‪ 2‬‬



‫‪ 5 x3‬‬



‫‪ 5 x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫ב‪ 1 .‬‬



‫‪ 2 x3‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 2 x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪ 3‬‬



‫‪ 2 x3‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 2 x2‬‬ ‫‪x2‬‬



‫‪ 2‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪2 x1‬‬ ‫‪3 x1‬‬



‫ג‪ 0 .‬‬



‫‪ 4 x4‬‬



‫‪ 1‬‬



‫ד‪.‬‬



‫‪ 2‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪ 3‬‬



‫‪ 2 x4‬‬



‫‪ 3 x3‬‬ ‫‪ 4 x3‬‬



‫‪ 2 x2‬‬ ‫‪ 3 x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 4 x2‬‬ ‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪2 x1‬‬ ‫‪3 x1‬‬ ‫‪4 x1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 4 x4‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪7‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x4‬‬



‫‪ 2 x3‬‬



‫‪ 4 x2‬‬



‫‪5 x1‬‬



‫‪ 11‬‬



‫‪ 6 x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪7 x1 ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪130‬‬ ‫יתרון חשוב נוסף של מטריצות המדרגות הקנוניות הוא יחידוּתן‪ :‬למטריצה נתונה ‪ A‬עשויות להיות‬ ‫הצגות שונות כמטריצת מדרגות‪ ,‬אבל ההצגה הקנונית של ‪ A‬היא יחידה – רק אחת מכלל מטריצות‬ ‫המדרגות שהן שקולותשורה ל ‪ A‬היא מטריצת מדרגות קנונית‪ .‬על החשיבות של תכונה זו נעמוד‬ ‫מיד לאחר שנוכיח אותה‪.‬‬ ‫משפט ‪ 1.11.3‬יחיד ּות ההצגה הקנונית‬ ‫ההצגה הקנונית של כל מטריצה היא יחידה‪.‬‬ ‫לשון אחר – כל מטריצה היא שקולתשורה למטריצת מדרגות קנונית יחידה‪.‬‬ ‫את הוכחת משפט ‪ 1.11.3‬נדחה להמשך הפרק‪ ,‬לאחר שנוכיח כמה תוצאות נוספות המקלות על‬ ‫הוכחתו‪ .‬חשיבות המשפט טמונה בכך שהוא נותן בידינו מתכון לבדיקה האם שתי מטריצות נתונות‬ ‫הן שקולותשורה‪ .‬כל שעלינו לעשות הוא להביא כל אחת מהן בנפרד לצורת מדרגות קנונית‪.‬‬ ‫המטריצות המקוריות שקולותשורה אם ורק אם לשתיהן אותה הצגה קנונית‪.‬‬ ‫שימו לב כי המשפט טוען ליחיד ּות ההצגה הקנונית‪ ,‬אך לא ליחידוּת של סדרת הפעולות המובילה‬ ‫אליה‪ .‬מכאן‪ ,‬שאם יצאתם ממטריצה מסוימת ומצאתם סדרה כלשהי של פעולותשורה עוקבות‪,‬‬ ‫המובילה למטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬הגעתם בהכרח למטריצה ה"נכונה"‪ ,‬גם אם לא בחרתם בסדרת‬ ‫הפעולות של המתכון שניתן במהלך הוכחת קיום ההצגה הקנונית‪ .‬לכן‪ ,‬אם אתם מגלים "קיצורי‬ ‫דרך" במהלך הדירוג של מטריצה נתונה לצורת מדרגות קנונית‪ ,‬אל תחששו להשתמש בהם‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.11.3‬‬ ‫הראו כי מטריצות המדרגות הקנוניות המתקבלות מהמערכת שלהלן עלידי שתי סדרות שונות של‬ ‫פעולות אלמנטריות‪ ,‬שאותן תבחרו כרצונכם‪ ,‬הן שוות‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪ 0‬‬



‫‪ x5‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x3‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪ x5‬‬



‫‪ 2 x4‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1  2 x2‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪ x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1  3 x2‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪97‬‬



‫‪x2‬‬



‫התשובה בעמוד ‪133‬‬ ‫שאלה ‪1.11.4‬‬ ‫מיינו את שלוש המטריצות שלפניכם לפי יחס שקילותהשורה‪ ,‬כלומר מצאו ביניהן זוגות של‬ ‫מטריצות שקולותשורה‪.‬‬ ‫‪1 2 1 2 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 5 6 2‬‬ ‫‪0 0 3 2 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 3 1 2 1 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1 2 1 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 2 6 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0 0 3 9 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 2 1 2 4 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪9 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 6 3 6 6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1 2 1 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4 4 10 4 ‬‬ ‫‪0 0 3‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫התשובה בעמוד ‪134‬‬



‫‪98‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 1.12‬כמות הפתרונות של מערכת לינארית‬ ‫בהקשרים רבים‪ ,‬השאלה הרלוונטית ביחס למערכת לינארית איננה "מה הם פתרונותיה?"‪ ,‬אלא רק‬ ‫"האם יש לה פתרונות?" )לשון אחר – "האם המערכת עקבית?"(‪ .‬כאשר המערכת עקבית‪ ,‬יש גם עניין‬ ‫במספר הפתרונות – האם למערכת יש פתרון יחיד‪ ,‬או שמא מספר פתרונותיה גדול מ‪ ?1‬ואם המספר‬ ‫גדול מ‪ ,1‬מה הוא עשוי להיות?‬ ‫ראשית‪ ,‬נסדיר עניין פעוט הקשור לשימוש במונחים‪ :‬כל מערכת לינארית מאופיינת עלידי מטריצת‬ ‫המקדמים שלה‪ .‬בהינתן מערכת לינארית שמטריצת המקדמים שלה היא מטריצה נתונה ‪ , A‬נקרא‬ ‫למערכת בקיצור המערכת ‪. A‬‬ ‫נפתח את הדיון בהתייחסות לשאלת העקביות של מערכת לינארית ‪ , A‬כלומר לשאלה האם כמות‬ ‫הפתרונות שלה גדולה מאפס‪.‬‬ ‫דבר אחד ברור לגמרי‪ :‬אם במטריצה ‪ A‬יש שורה שהאיבר הפותח שלה הוא בעמודה האחרונה‪,‬‬ ‫)‪[0,,0, a ] ( a  0‬‬ ‫כלומר שורה מהטיפוס‬ ‫אז המערכת ‪ A‬בלתי עקבית‪ .‬זאת‪ ,‬משום ששורה מטיפוס זה מעידה על קיומה במערכת של משוואה‬ ‫)‪0 x1    0 xn  a (  0‬‬ ‫שצורתה‬ ‫אשר לה כשלעצמה אין פתרון‪.‬‬ ‫אבל איקיומה של שורה מהסוג זה במטריצה ‪ , A‬אינו ערובה לעקביות של המערכת ‪. A‬‬ ‫דוגמה‬ ‫התבוננו במערכת‪ ,‬הבלתי עקבית בבירור‪:‬‬



‫‪x y7‬‬ ‫‪x y4‬‬



‫כל אחת משתי המשוואות שלה היא עקבית‪ .‬מקור האיעקביות של המערכת נעוץ בכך‪ ,‬שהן אינן‬ ‫מתיישבות זו עם זו‪ .‬הבה נדרג את המערכת‪:‬‬ ‫‪1 1 4 R2  R2  R1 1 1 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 7‬‬ ‫‪ 0 0 3‬‬



‫במערכת המדורגת‪ ,‬השקולה למערכת המקורית‪ ,‬האיעקביות מתבטאת בקיומה של משוואה בלתי‬ ‫‪‬‬ ‫עקבית כשלעצמה – המשוואה השנייה‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫נסתכל במערכת‪:‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪3‬‬



‫‪‬‬



‫‪5 x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 20‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪4 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x2‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪ 14 x4‬‬



‫‪ 16 x3‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ 8 x2‬‬



‫‪2 x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪6 x1‬‬



‫‪99‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫אם מחברים את שלוש המשוואות הראשונות‪ ,‬וכופלים את התוצאה ב‪ ,2‬מתקבלת המשוואה‬ ‫‪6 x1  8 x2  16 x3  14 x4  18‬‬



‫שאינה מתיישבת עם המשוואה הרביעית‪ .‬לכן גם המערכת הזאת אינה עקבית‪ .‬את ההבחנה הזאת קל‬ ‫להחמיץ‪ ,‬אבל כשמדרגים את מטריצת המקדמים המצב משתנה‪ .‬הנה דירוג אפשרי‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪2 2 3 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 2 4 1‬‬ ‫‪R3  2 R3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 2 1 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7 11‬‬ ‫‪ 0 2‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4 1 1‬‬ ‫‪0 3 10 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 2 ‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 1 1  R3  R3  2 R1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 5 3  R4  R4  3 R1  0 1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16 14 20‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4 1 1  R4  R4  R3  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 3 10 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 3 10 4 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R3  R3  R2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R4  R4  R2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫במערכת הימנית‪ ,‬השקולה למערכת המקורית‪ ,‬המשוואה האחרונה בלתי עקבית כשלעצמה‪ .‬מכאן‬ ‫‪‬‬ ‫שהמערכת הנתונה בלתי עקבית‪.‬‬ ‫בשתי הדוגמאות‪ ,‬הדירוג של מערכת בלתי עקבית הוביל למערכת שהאיעקביות שלה מזדקרת לעין‪,‬‬ ‫ולא במקרה‪:‬‬ ‫משפט ‪ 1.12.1‬בוחן לעקביות של מערכת לינארית מדורגת‬ ‫תהי נתונה מערכת לינארית מדורגת ‪ , A‬מעל שדה כלשהו ‪ . F‬המערכת ‪ A‬היא עקבית אם ורק אם‬ ‫)‪[0,,0, a ] ( a  0‬‬ ‫במטריצה המתאימה ‪ A‬אין שורה מהטיפוס‪:‬‬ ‫)כלומר‪ ,‬אם ורק אם במטריצה אין שורה‪ ,‬שהאיבר הפותח שלה הוא בעמודה האחרונה‪(.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח ש ‪ A‬היא מערכת לינארית ב ‪ n‬משתנים‪.‬‬ ‫כיוון אחד‪ :‬נניח שהמערכת ‪ A‬עקבית‪ .‬בפרט‪ ,‬אין ב ‪ A‬שורה מהטיפוס )‪ , [0,,0, a ] ( a  0‬שהרי‬ ‫המשוואה ששורה כזאת מייצגת‪ ,‬היא חסרת פתרון‪.‬‬ ‫הכיוון האחר‪ :‬נניח שבמטריצה ‪ A‬אין שורה מהטיפוס ] ‪ , [0,..., 0, a‬עם )‪ , ( a  0‬ונוכיח שהמערכת‬ ‫‪ A‬עקבית‪.‬‬ ‫אם המטריצה ‪ A‬היא מטריצת אפסים‪ ,‬אז המערכת ‪ A‬היא מערכת של משוואות אפס‪ ,‬שהיא‬ ‫בוודאי עקבית‪ .‬אחרת‪ ,‬יש במטריצה ‪ A‬לפחות שורה אחת שאינה שורת אפס‪ ,‬ומכאן שלפחות באחת‬ ‫משורותיה יש איבר פותח‪ .‬נסמן ב ‪ k‬את מספר השורות של המטריצה ‪ , A‬שבהן יש איבר פותח‬ ‫)‪ k . ( k  1‬השורות הללו הן ‪ k‬השורות העליונות של ‪ ; A‬כל השורות שמתחתיהן הן שורות אפס‪.‬‬ ‫איקיומה ב ‪ A‬של שורה מהטיפוס )‪ [0,...,0, a ] ( a  0‬מבטיח‪ ,‬שבכל אחת מ ‪ k‬השורות‬



‫‪100‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫העליונות של ‪ , A‬האיבר הפותח נמצא באחת מ ‪ n‬העמודות הראשונות )כל אחד מהם בעמודה‬ ‫אחרת‪ ,‬כמובן(‪ .‬העמודות שבהן נמצאים ‪ k‬האיברים הפותחים של המטריצה ‪ , A‬הן עמודות‬ ‫המקדמים של המשתנים הקשורים של המערכת ‪ 1. A‬אם כן‪ ,‬במערכת ‪ A‬יש ‪ k‬משתנים קשורים‪.‬‬ ‫את העקביות של ‪ A‬מספיק להוכיח תחת ההנחה הנוספת‪ ,‬ש ‪ A‬היא מטריצת מדרגות קנונית‪ .‬הנחה‬ ‫זו אינה מגבילה את הכלליות‪ ,‬משום שאם ‪ A‬אינה מטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬אלא מטריצת מדרגות‬ ‫סתם‪ ,‬אז ניתן לעבור מ ‪ A‬למטריצת מדרגות קנונית ‪ B‬באמצעות התהליך שתואר בהוכחת משפט‬ ‫‪ .1.11.2‬שם ראינו שמיקום האיברים הפותחים במטריצה ‪ B‬זהה לזה שבמטריצה המקורית ‪ 2, A‬ולכן‬ ‫המשתנים הקשורים של המערכת ‪ B‬הם אותם המשתנים הקשורים של המערכת ‪ , A‬ובבירור –‬ ‫המערכת ‪ B‬עקבית אם ורק אם המערכת ‪ A‬עקבית‪ .‬כמו כן‪ ,‬מאותה סיבה‪ ,‬אם אין במטריצה ‪A‬‬ ‫שורה מהצורה )‪ , [0,,0, a ] ( a  0‬אין שורה כזאת גם ב ‪. B‬‬ ‫ההנחה ש ‪ A‬היא מטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬מבטיחה שכל אחד מ ‪ k‬המשתנים הקשורים של‬ ‫המערכת ‪ A‬מופיע במשוואה אחת ויחידה מבין ‪ k‬המשוואות העליונות‪ ,‬שהמקדם שלו במשוואה‬ ‫הזאת הוא ‪ ,1‬ושכל יתר המשתנים שמופיעים בה )אם יש כאלה( הם חופשיים‪ .‬אם בכל אחת מ ‪k‬‬ ‫המשוואות הללו נציב‪ ,‬למשל‪ ,‬את הסקלר ‪ 1‬במקום כל משתנה חופשי‪ ,‬ונְ ַח ּ ֵשב את ערכו של המשתנה‬ ‫הקשור היחיד שבה )השונה משורה לשורה(‪ ,‬נקבל ‪ n‬יה שפותרת את כל המשוואות של המערכת ‪. A‬‬ ‫ה ‪ n‬יה שמצאנו מעידה על כך שהמערכת ‪ A‬עקבית‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫אם כן‪ ,‬כדי לקבוע אם מערכת לינארית כלשהי היא עקבית‪ ,‬כל שעלינו לעשות הוא לדרג אותה בדרך‬ ‫הנוחה ביותר‪ ,‬ואין צורך לטרוח להגיע דווקא למערכת קנונית‪ .‬יתר על כן‪ :‬מאחר שכל המטריצות‬ ‫ש"דרכן עוברים" במהלך הדירוג‪ ,‬הן שקולותשורה למטריצת המקדמים של המערכת המקורית‪ ,‬הרי‬ ‫שאם בשלב כלשהו נגיע למטריצה שבה יש שורה מהטיפוס )‪ [0,,0, a ] ( a  0‬אז אפשר לעצור!‬ ‫שורה כזאת היא ֵעדוּת לכך שהמערכת בלתי עקבית‪.‬‬ ‫כאשר הדירוג מוביל למסקנה שהמערכת עקבית‪ ,‬אפשר לדלות מידע ממטריצת המדרגות שאליה‬ ‫מגיעים גם בנוגע לכמות הפתרונות‪ .‬נפרט‪:‬‬ ‫נקודת המוצא לדיון הנוכחי היא מערכת ‪ A‬בת ‪ n‬משתנים‪ 3,‬שהיא מדורגת ועקבית‪ .‬המטריצה‬ ‫המתאימה ‪ A‬שקולתשורה למטריצת מדרגות קנונית ‪ , B‬אשר לפי הבוחן לעקביות‪ ,‬אין בה שורה‬ ‫שצורתה ]‪ . [0,  , 0,1‬נסמן ב ‪ k‬את מספר השורות של ‪ B‬שאינן שורות אפס‪ k .‬הוא מספר‬ ‫המשתנים הקשורים של המערכת ‪ , B‬ולכן ‪ . 1  k  n‬כל משתנה קשור מופיע במשוואה אחת בלבד‪.‬‬ ‫לפיכך‪:‬‬



‫‪ 1‬ראו בדיון בסעיף ‪ ,1.10‬אחרי הגדרה ‪.1.10.4‬‬ ‫‪ 2‬ראו הערה בסוגריים בסוף הוכחת משפט ‪.1.11.2‬‬ ‫‪ 3‬כמקודם‪ ,‬אנו מניחים שבמערכת ‪ A‬יש לפחות משוואה אחת שאינה משוואת אפס‪ :‬בנוגע למערכות שכל‬ ‫המשוואות בהן הן משוואות אפס‪ ,‬הכל ידוע מראש‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪101‬‬



‫אם ‪ , k = n‬כלומר אם כל המשתנים קשורים‪ ,‬אז בכל אחת מ ) ‪ k (  n‬המשוואות העליונות של‬ ‫המערכת ‪ , B‬אין משתנים אחרים‪ .‬אם כן‪ ,‬כל שורה כזאת היא מהצורה‪ . xi  bi :‬לכן‪ ,‬מכיוון‬ ‫שהמערכת מדורגת‪ ,‬בהכרח ‪ n‬המשוואות העליונות של המערכת ‪ B‬נראות כלהלן‪,‬‬ ‫‪b1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bn‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪xn‬‬



‫ואלה הן כל משוואות המערכת‪ .‬ברור אפוא שלמערכת ‪ B‬יש פתרון יחיד‪ ,‬וכך גם למערכת ‪, A‬‬ ‫השקולה לה‪.‬‬ ‫אם ‪ , k < n‬אז במערכת ‪ B‬יש משתנה חופשי אחד לפחות‪ .‬את הערכים של המשתנים החופשיים אנו‬ ‫רשאים לבחור כרצוננו – ערכיהם הם פרמטרים בפתרון הכללי‪ .‬בכל שדה ‪ F‬יש לפחות שני איברים‬ ‫שונים‪ ,‬ולכן ללא תלות בשאלה מהו השדה שמעליו המערכת‪ ,‬אפשר לקבוע בוודאות שלמערכת ‪ B‬יש‬ ‫יותר מפתרון אחד‪ ,‬וכך גם למערכת ‪ , A‬השקולה לה‪ .‬נסכם‪:‬‬ ‫משפט ‪ 1.12.2‬כמות הפתרונות של מערכת לינארית מדורגת‬ ‫תהי נתונה מערכת לינארית מדורגת ‪ A‬מעל שדה כלשהו ‪ , F‬ונניח שהמערכת ‪ A‬עקבית‪.‬‬ ‫א‪ .‬אם כל המשתנים של המערכת הם קשורים‪ ,‬אז למערכת יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם במערכת יש משתנה חופשי אחד לפחות‪ ,‬אז למערכת יש יותר מפתרון אחד‪.‬‬ ‫כמות הפתרונות תלויה‪ ,‬במקרה זה‪ ,‬בכמות איברי השדה ‪: F‬‬ ‫אם ‪ F‬שדה אינסופי‪ ,‬אז למערכת יש אינסוף פתרונות;‬ ‫אם ‪ F‬שדה סופי – כמות הפתרונות היא סופית‪ ,‬ושווה למספר איברי ‪ F‬בחזקת מספר‬ ‫המשתנים החופשיים של המערכת‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.12.1‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו את החלק השני של סעיף ב במשפט ‪.1.12.2‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה מערכת לינארית ב‪ 5‬משתנים מעל השדה הסופי ‪) 2‬לאו דווקא מדורגת‪ ,‬לאו דווקא‬ ‫עקבית(‪ .‬מה אפשר לומר על כמות הפתרונות שלה?‬ ‫התשובה בעמוד ‪134‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.12.3‬כמות הפתרונות של מערכת לינארית מעל ‪‬‬



‫לכל מערכת לינארית מעל ‪ ‬מתקיימת אחת משלוש האפשרויות האלה‪:‬‬ ‫‪ .1‬למערכת אין פתרון‪,‬‬ ‫‪ .2‬למערכת יש פתרון יחיד‪,‬‬ ‫‪ .3‬למערכת יש אינסוף פתרונות‪.‬‬



‫‪102‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫המסקנה נכונה‪ ,‬כמובן‪ ,‬גם למערכות מעל ‪ , ‬או מעל כל שדה אינסופי אחר‪ .‬אין לצפות אפוא‬ ‫לקיומה של מערכת לינארית מעל ‪ , ‬שלה שני פתרונות‪ ,‬או שלושה‪ ,‬או כל מספר סופי אחר שגדול‬ ‫מ‪.1‬‬ ‫שאלה ‪1.12.2‬‬ ‫הוכיחו את מסקנה ‪.1.12.3‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪134‬‬ ‫שאלה ‪1.12.3‬‬ ‫נתונה מערכת המשוואות‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫‪x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ 3‬‬



‫‪x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪ 4‬‬



‫‪x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 5‬‬



‫‪ 2 x5‬‬



‫‪ 4 x4‬‬



‫‪2 x3‬‬



‫‪ 6‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x4‬‬



‫‪ 2 x3‬‬



‫‪x5‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪2 x1‬‬ ‫‪x1‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ x1‬‬



‫כאשר ‪  1 ,...,  6‬הם מספרים ממשיים מסוימים כלשהם‪.‬‬ ‫הראו שלמערכת יש פתרון אם ורק אם מתקיימים התנאים האלה‪:‬‬ ‫‪3  6‬‬ ‫‪ 2 3   5‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪3 1‬‬ ‫‪4 1‬‬



‫התשובה בעמוד ‪135‬‬ ‫שאלה ‪1.12.4‬‬ ‫בדקו אם המערכות הבאות עקביות‪ ,‬ואם כן – ציינו כמה פתרונות יש להן‪.‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪ 2‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪ 4‬‬



‫‪ 6 x3‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪2 x1‬‬



‫‪ 2‬‬



‫‪ 5 x3‬‬



‫‪ 5 x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫)מעל שדה המספרים הממשיים(‬ ‫ב‪.‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪x2‬‬



‫)מעל השדה ‪( 2‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪136‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪103‬‬



‫‪ 1.13‬מערכות הומוגניות‬ ‫במערכות הומוגניות עסקנו כבר בסעיף ‪ .1.5‬כעת נתייחס לתכונות נוספות שלהן‪.‬‬ ‫כבר למדנו שכל מערכת הומוגנית היא עקבית; תמיד יש לה פתרון – הפתרון הטריוויאלי‪.‬‬ ‫אם כך‪ ,‬השאלה המעניינת לגבי מערכת הומוגנית אינה "האם יש לה פתרון?"‪ ,‬אלא‪" :‬האם יש לה‬ ‫פתרון לאטריוויאלי?"‪.‬‬ ‫כאשר מספר המשתנים גדול ממספר המשוואות‪ ,‬התשובה היא כן‪ ,‬כאמור במשפט הבא‪:‬‬ ‫משפט ‪1.13.1‬‬ ‫אם במערכת הומוגנית מספר המשתנים גדול ממספר המשוואות‪ ,‬אז למערכת יש פתרון לא‬ ‫טריוויאלי‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי נתונה מערכת לינארית הומוגנית ‪ A‬בת ‪ m‬משוואות ב ‪ n‬משתנים‪ ,‬עם ‪) n  m‬יותר משתנים‬ ‫מאשר משוואות(‪ֵ .‬דירוג המטריצה המתאימה ‪ A‬לצורת מדרגות קנונית‪ ,‬מוביל למטריצת מדרגות‬ ‫קנונית ‪ B‬בת ‪ m‬שורות‪ .‬המערכת ‪ B‬שקולה למערכת ‪ , A‬שהיא עקבית )כי זוהי מערכת הומוגנית(‪.‬‬ ‫לכן גם המערכת ‪ B‬עקבית‪ .‬מספר המשתנים הקשורים של המערכת ‪ B‬אינו עולה על מספר‬ ‫המשוואות הכולל ‪ , m‬כי בכל משוואה של המערכת ‪ B‬יש לכל היותר משתנה קשור אחד‪ .‬מספר‬ ‫המשתנים הכולל של המערכת ‪ B‬הוא ‪ , n‬ו ‪ ; n  m‬לכן מספר המשתנים הקשורים של המערכת ‪B‬‬ ‫קטן ממספר המשתנים הכולל שלה‪ .‬נסיק מכך‪ ,‬שלפחות אחד מהמשתנים של המערכת ‪ B‬הוא‬ ‫משתנה חופשי‪ .‬לפי משפט ‪ ,1.12.2‬די בכך כדי להבטיח שלמערכת ‪ B‬יש יותר מפתרון אחד‪ ,‬כלומר‬ ‫שיש לה פתרון לאטריוויאלי‪ ,‬וכך גם למערכת ‪ , A‬השקולה לה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫פשר‬ ‫וא ֵ‬ ‫כדאי לשים לב‪ ,‬שהשתמשנו בנתון שהמערכת הומוגנית‪ .‬זה מה שהבטיח שהמערכת עקבית‪ִ ,‬‬ ‫להשתמש במשפט ‪.1.12.2‬‬ ‫במטריצת המקדמים של מערכת הומוגנית‪ ,‬העמודה האחרונה היא עמודת אפסים‪ .‬צורתה הכללית‬ ‫היא‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ a11  a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ am1  amn‬‬



‫‪104‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פעולותשורה על מטריצה כזאת אינן משנות את עמודת האפסים )נמקו בעצמכם(‪ .‬לכן כל מערכת‬ ‫ששקולה למערכת הומוגנית היא עצמה הומוגנית‪1.‬‬ ‫בתהליך הדירוג של מערכת הומוגנית אפשר אפוא להסתפק בדירוג המטריצה המורכבת מ ‪n‬‬



‫העמודות הראשונות‪ ,‬תוך התעלמות מעמודת האפסים הימנית )שאותה אפשר להחזיר בסוף‬ ‫התהליך(‪ .‬בכך נחסכת כתיבה מיותרת‪ .‬למטריצת המקדמים של מערכת שממנה הושמטה העמודה‬ ‫האחרונה‪ ,‬יש שם משלה‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.13.2‬מטריצת המקדמים המצומצמת של מערכת לינארית‬ ‫מטריצת המקדמים המצומצמת של מערכת לינארית ‪ A‬מסדר ‪ m  n‬היא המטריצה מסדר ‪, m  n‬‬ ‫המורכבת מ ‪ n‬העמודות הראשונות של מטריצת המקדמים של ‪ , A‬כלומר מעמודות המקדמים של‬ ‫משתני המערכת בלבד‪.‬‬ ‫אם מטריצת המקדמים של מערכת לינארית מסדר ‪ m  n‬היא‬ ‫‪b1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bm ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ a11  a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ am1  amn‬‬ ‫‪ a11  a1n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ m1  amn ‬‬



‫אז מטריצת המקדמים המצומצמת שלה היא‪:‬‬



‫אם '‪ A‬היא מטריצת המקדמים המצומצמת של מערכת ‪ A‬ו ‪ b‬היא עמודת המקדמים החופשיים‬ ‫של ‪ , A‬אז‪:‬‬



‫‪b1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bm ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ a11  a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A   A' | b    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ am1  amn‬‬



‫כמובן‪ ,‬אין די במטריצת המקדמים המצומצמת כדי לאפיין מערכת לינארית‪ .‬כל מטריצה מסדר‬ ‫‪ m  n‬היא מטריצת המקדמים המצומצמת של משפחה שלמה של מערכות לינאריות שונות מסדר‬ ‫‪ , m  n‬שההבדל ביניהן הוא בעמודת המקדמים החופשיים‪ .‬עם זאת‪ ,‬כפי שתראו בהמשך‪ ,‬תכונות‬ ‫רבות של מערכות לינאריות נקבעות על פי המטריצות המצומצמות בלבד‪ .‬מערכת הומוגנית‪ ,‬על כל‬ ‫פנים‪ ,‬מאופיינת לחלוטין עלידי מטריצת המקדמים המצומצמת שלה‪ ,‬ובעת טיפול במערכת כזאת‬ ‫אפשר להסתפק במטריצה המצומצמת כתחליף למטריצת המקדמים המלאה‪.‬‬



‫‪ 1‬שימו לב‪ ,‬מערכות הומוגניות מדורגות עונות על תנאי הבוחן לעקביות‪ ,‬ממשפט ‪ :1.12.1‬אין בהן שורה מהטיפוס‬ ‫)‪. [0,...,0, a] (a  0‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪105‬‬



‫‪ 1.14‬מערכות מסדר ‪n  n‬‬ ‫סוג חשוב נוסף של מערכות לינאריות הן המערכות מסדר ‪ – n  n‬מערכות שבהן מספר המשוואות‬ ‫שווה למספר הנעלמים‪ .‬הצורה הכללית של מערכות כאלה היא‪:‬‬ ‫‪b1‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ bn‬‬



‫‪a1n xn‬‬



‫‪  ‬‬



‫‪‬‬



‫‪a11 x1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪   ann xn‬‬



‫‪an1 x1‬‬



‫מטריצת המקדמים של מערכת מסדר ‪ n  n‬היא מסדר )‪ ; n  ( n  1‬מטריצת המקדמים המצומצמת‬ ‫שלה היא מטריצה מסדר ‪ – n  n‬מספר שורותיה שווה למספר עמודותיה‪.‬‬



‫‪‬‬



‫מטריצה‪ ,‬שמספר שורותיה שווה למספר עמודותיה מכונה‪ ,‬מסיבות מובנות‪ ,‬מטריצה ריבועית‪.‬‬ ‫על מטריצה ריבועית בעלת ‪ n‬שורות )ו ‪ n‬עמודות( נאמר )בקיצור( שהיא מסדר ‪ . n‬למערכת‬ ‫מסדר ‪ n  n‬מתאימה‪ ,‬אם כן‪ ,‬מטריצה מצומצמת ריבועית מסדר ‪. n‬‬ ‫הצורה הכללית של מטריצה ריבועית מסדר ‪ n‬היא‪:‬‬ ‫‪ a11  a1n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ ann ‬‬ ‫‪ n1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ ‬האלכסון היורד מן הפינה השמאלית העליונה לפינה הימנית התחתונה של מטריצה ריבועית‬ ‫מסדר ‪ , n‬מכונה האלכסון הראשי‪ .‬איברי האלכסון הראשי של המטריצה הם‪:‬‬ ‫‪a11 , a22 , , ann‬‬



‫‪ ‬המטריצה הריבועית מסדר ‪ , n‬שאיברי האלכסון הראשי שלה שווים כולם ל‪ 1‬וכל יתר איבריה‬ ‫הם אפסים‪ ,‬מכונה מטריצת היחידה מסדר ‪ , n‬וסימונה המקובל הוא ‪ . I n‬אם כן‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪In ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫)בשיטת סימון זו האפסים "הגדולים" מציינים שכל האיברים מעל ומתחת לאלכסון הראשי‬ ‫מתאפסים(‪.‬‬ ‫אם ‪ aij‬הוא האיבר הנמצא בשורה ה ‪ i‬ובעמודה ה ‪ j‬של ‪ , (1  i , j  n ) I n‬אז‪:‬‬ ‫‪ aij  1‬אם ‪ , i  j‬אחרת – ‪. aij  0‬‬ ‫מטריצת היחידה מסדר ‪ n‬היא‪ ,‬בבירור‪ ,‬מטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬שבה בכל שורה יש איבר פותח‪.‬‬ ‫התכונות המאפיינות את ‪ I n‬הן אלה‪:‬‬ ‫משפט ‪1.14.1‬‬ ‫אם ‪ A‬מטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬ריבועית מסדר ‪ , n‬שבה בכל שורה יש איבר פותח‪ ,‬אז ‪. A  I n‬‬



‫‪106‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הוכחה‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מהסוג המתואר במשפט‪ .‬בכל שורה של ‪ A‬יש איבר פותח אחד‪ ,‬ולכן מספר‬ ‫האיברים הפותחים של ‪ A‬הוא ‪. n‬‬ ‫נתבונן באיבר הפותח של השורה ה ‪) n‬האחרונה(‪ .‬האיברים הפותחים של ‪ n  1‬השורות שמעליו‬ ‫נמצאים בעמודות שלשמאלו )כי ‪ A‬מטריצת מדרגות(‪ ,‬וכל אחד מהם בעמודה אחרת‪ ,‬כי בכל עמודה‬ ‫של מטריצת מדרגות יש לכל היותר איבר פותח אחד‪ .‬אם כן‪ ,‬משמאל לעמודת איבר זה יש לפחות‬ ‫‪ n  1‬עמודות נוספות‪ .‬בסך הכול יש ב ‪ A‬בדיוק ‪ n‬עמודות‪ ,‬ולכן האיבר הפותח של השורה ה ‪n‬‬ ‫הוא בהכרח בעמודה ה ‪ , n‬כלומר זהו ‪. ann‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬לכל ‪ , 1  i  n , i‬האיבר הפותח של השורה ה ‪ i‬הוא בעמודה ה ‪ , i‬כלומר הוא ‪. aii‬‬ ‫ננמק‪ :‬נסמן ב ‪ j‬את מספר העמודה שבה נמצא האיבר הפותח של השורה ה ‪) i‬ונוכיח כי ‪.( j  i‬‬ ‫מעל השורה ה ‪ i‬יש ‪ i  1‬שורות; האיברים הפותחים של השורות הללו הם בעמודות שמשמאל‬ ‫לעמודה ה ‪) j‬כל אחד בעמודה אחרת(‪ ,‬לכן ‪ . i  1  j‬מתחת לשורה ה ‪ i‬יש ‪ n  i‬שורות;‬ ‫האיברים הפותחים של השורות הללו הם בעמודות שמימין לעמודה ה ‪) j‬כל אחד בעמודה אחרת(‪,‬‬ ‫לכן ‪ , j  ( n  i )  n‬ומכאן נובע ש ‪ . j  i‬משני האישוויונות המובלטים נובע כי ‪ , j  i‬כלומר‬ ‫האיבר הפותח של השורה ה ‪ i‬הוא בעמודה ה ‪ . i‬אם כן‪ ,‬האיברים הפותחים של ‪ A‬הם‪:‬‬ ‫‪a11 , a22 ,, ann‬‬



‫)בכל עמודה של ‪ A‬יש איבר פותח‪(.‬‬ ‫‪ A‬היא מטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬לכן כל האיברים הפותחים שלה שווים ל‪ .1‬בכל עמודה שבה יש‬ ‫‪a11  a22    ann  1‬‬ ‫איבר פותח‪ ,‬כל יתר האיברים הם ‪ .0‬לכן‬ ‫ולכל ‪i  j‬‬ ‫‪aij  0‬‬ ‫‪A  In‬‬ ‫הווי אומר‪:‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫משפט ‪1.14.2‬‬ ‫למערכת לינארית מסדר ‪ n  n‬מעל שדה ‪ F‬יש פתרון יחיד אם ורק אם מטריצת המקדמים‬ ‫המצומצמת שלה שקולתשורה למטריצת היחידה ‪. I n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫ראשית נוכיח טענת עזר פשוטה‪ ,‬שתועיל בהמשך‪:‬‬ ‫למה‪1‬‬



‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ C‬מטריצות שקולותשורה‪.‬‬ ‫אם ‪ A‬מתקבלת מ ‪ A‬עלידי מחיקת אחת מן העמודות של ‪ , A‬ו ‪ C‬מתקבלת מ ‪ C‬עלידי‬ ‫מחיקת העמודה המקבילה של ‪ , C‬אז גם ‪ A‬ו ‪ C‬שקולותשורה‪.‬‬ ‫‪ 1‬לֶ ָּמה )‪ - (lemma‬טענת עזר‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪107‬‬



‫הוכחת הלמה‬ ‫לפי ההנחה בנוגע ל ‪ A‬ו ‪ , C‬יש סדרה סופית של פעולותשורה עוקבות שמובילה מ ‪ A‬ל ‪ . C‬אותה‬ ‫סדרה בדיוק‪ ,‬מובילה מ ‪ A‬ל ‪. C‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫תהי נתונה מערכת לינארית ‪ A‬בת ‪ n‬משוואות ב ‪ n‬נעלמים‪:‬‬ ‫‪b1‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ bn‬‬



‫‪a1n xn‬‬



‫‪  ‬‬



‫‪a11 x1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪   ann xn‬‬



‫‪an1 x1‬‬



‫נסמן ב '‪ A‬את מטריצת המקדמים המצומצמת שלה‪ ,‬וב ‪ b‬את עמודת המקדמים החופשיים‪ .‬אם כן‪,‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪A   A b ‬‬



‫כיוון אחד‪ :‬נניח ש '‪ A‬שקולתשורה ל ‪ , I n‬ונוכיח שלמערכת המתאימה למטריצה ‪ A   A b ‬יש‬ ‫פתרון יחיד‪2.‬‬ ‫לאור ההנחה‪ ,‬יש סדרה של פעולותשורה עוקבות שמובילה מ '‪ A‬למטריצת היחידה ‪. I n‬‬ ‫נבחר סדרה כזאת‪ ,‬ונבצע את הפעולות הכלולות בה על המטריצה ‪ . A   A b ‬התוצאה תהיה‬ ‫מטריצה שצורתה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 c1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ I n | c   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 cn ‬‬ ‫‪0‬‬



‫שבה ‪ c1 , , cn‬הם סקלרים כלשהם‪ .‬המערכת‪ ,‬שזו מטריצת המקדמים שלה‪ ,‬היא‪:‬‬ ‫‪c1‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪ c2‬‬



‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ cn‬‬



‫‪xn‬‬



‫למערכת הזאת יש פתרון יחיד‪ .‬המערכת שקולה‪ ,‬כמובן‪ ,‬למערכת ‪ . A‬לכן גם למערכת ‪ A‬יש פתרון‬ ‫יחיד‪.‬‬ ‫הכיוון האחר‪ :‬נניח שלמערכת המתאימה למטריצה ‪ A   A | b ‬יש פתרון יחיד‪ ,‬ונוכיח ש ' ‪A‬‬



‫שקולתשורה ל ‪. I n‬‬ ‫נדרג את המטריצה ‪ A‬לצורת מדרגות קנונית ‪ . C‬נסמן ב ‪ C‬את מטריצת המקדמים המצומצמת של‬ ‫המערכת ‪ . C‬אז ‪ , C  C  c ‬כאשר ‪ c‬היא איזושהי עמודה של ‪ n‬סקלרים‪ .‬בבירור‪ ,‬גם ‪ C‬היא‬ ‫הל ָּמה שבתחילת ההוכחה‪ C ,‬שקולתשורה ל ‪ , A‬כי ‪C‬‬ ‫מטריצת מדרגות קנונית‪ .‬כמו כן‪ ,‬על פי ֶּ‬ ‫שקולתשורה ל ‪ , A‬ו ‪ C , A‬מתקבלות מ ‪) C , A‬בהתאמה( עלידי מחיקת העמודה האחרונה בכל‬ ‫אחת מהן‪.‬‬ ‫‪ 2‬שימו לב‪ ,‬איננו נזקקים להנחה שהמערכת ‪ A‬עקבית‪.‬‬



‫‪108‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫המטריצה ‪ C‬שקולתשורה ל ‪ , A‬והמערכת ‪ A‬עקבית‪ .‬לכן גם המערכת ‪ C‬עקבית‪ .‬למערכת ‪ A‬יש‬ ‫פתרון יחיד‪ ,‬ולכן גם למערכת ‪ C‬יש פתרון יחיד‪ .‬לפיכך‪ ,‬לפי משפט ‪ ,1.12.2‬במערכת ‪ C‬אין משתנים‬ ‫חופשיים‪ .‬אם כן‪ ,‬כל ‪ n‬המשתנים של המערכת ‪ C‬הם קשורים‪ .‬פירוש הדבר הוא‪ ,‬שבכל אחת מ ‪n‬‬ ‫השורות של המטריצה ‪ C‬יש איבר פותח‪ C .‬היא אפוא מטריצת מדרגות קנונית ריבועית‪ ,‬שבה לכל‬ ‫‪C   In‬‬ ‫שורה יש איבר פותח‪ .‬לפי משפט ‪:1.14.1‬‬ ‫לכן ‪ A‬שקולתשורה ל ‪. I n‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫בסימוני הוכחת משפט ‪ ,1.14.2‬אם ‪ , A   A | b ‬כאשר ‪ A‬היא מטריצת היחידה‪ ,‬אז הפתרון היחיד‪,‬‬ ‫לאור המשפט‪ ,‬למערכת המשוואות המתאימה הוא ה ‪ n‬יה שרכיביה הם רכיבי העמודה ‪ . b‬ודאו‬ ‫שעובדה זו נהירה לכם עלידי הצבה ישירה במערכת המשוואות‪.‬‬ ‫כעת נצא מאיזושהי מטריצה ריבועית ‪ A‬מסדר ‪ , n‬ונסתכל באוסף כל המערכות הלינאריות ש ‪A‬‬



‫היא מטריצת המקדמים המצומצמת שלהן‪ .‬ההבדל בין המערכות השונות הכלולות באוסף הנידון הוא‬ ‫בעמודת המקדמים החופשיים‪ .‬אחת מן המערכות במשפחה היא הומוגנית‪ ,‬וכל היתר הן‬ ‫איהומוגניות‪.‬‬ ‫משפט ‪1.14.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ . n‬אם לאחת מן המערכות הלינאריות ש ‪ A‬היא מטריצת‬ ‫המקדמים המצומצמת שלהן יש פתרון יחיד‪ ,‬אז לכל מערכת ש ‪ A‬היא מטריצת המקדמים‬ ‫המצומצמת שלה‪ ,‬יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ . n‬אם לאחת כלשהי מבין המערכות ש ‪ A‬היא מטריצת המקדמים‬ ‫המצומצמת שלהן‪ ,‬יש פתרון יחיד‪ ,‬אז‪ ,‬לפי משפט ‪ A ,1.14.2‬שקולתשורה למטריצת היחידה ‪, I n‬‬ ‫ולפי אותו משפט זה מבטיח שלכל מערכת ש ‪ A‬היא מטריצת המקדמים המצומצמת שלה‪ ,‬יש פתרון‬ ‫יחיד‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.14.1‬‬ ‫לפניכם ארבע מערכות לינאריות של שלוש משוואות בשלושה נעלמים מעל הממשיים‪ .‬בלי שתפתרו‬ ‫אותן‪ ,‬הוכיחו כי לכל אחת מהן יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪2 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪5 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪4 x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x1‬‬



‫‪ 8‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫ב‪.‬‬



‫ג‪.‬‬



‫ד‪.‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪2 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪5 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪4 x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 x1‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2 x3‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪ 100‬‬



‫‪ 5 x3‬‬



‫‪ 4 x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪18‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2 x3‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪ 1979‬‬



‫‪ 5 x3‬‬



‫‪ 4 x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪80‬‬



‫‪0.01‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪109‬‬



‫‪3 x1‬‬



‫‪3 x1‬‬ ‫‪x1‬‬



‫התשובה בעמוד ‪136‬‬ ‫שאלה ‪1.14.2‬‬ ‫הראו שבמשפט ‪ ,1.14.3‬ההנחה ש ‪ A‬ריבועית היא חיונית‪ ,‬כלומר שבלעדיה מסקנת המשפט איננה‬ ‫נכונה‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪136‬‬ ‫נניח שלמערכת הומוגנית ‪ , n  n‬שמטריצת המקדמים המצומצמת שלה היא ‪ , A‬יש רק פתרון אחד –‬ ‫הפתרון הטריוויאלי‪ .‬לפי משפט ‪ ,1.14.3‬נובע מכך שלכל מערכת איהומוגנית‪ ,‬ש ‪ A‬היא מטריצת‬ ‫המקדמים המצומצמת שלה‪ ,‬יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫המערכת ההומוגנית היא בהכרח עקבית – יש לה פתרון טריוויאלי‪ .‬אם הפתרון הטריוויאלי אינו‬ ‫הפתרון היחיד שלה‪ ,‬אז מספר פתרונותיה גדול מ‪ – 1‬כלומר יש לה פתרון לאטריוויאלי‪ .‬מכך נקבל‬ ‫כמסקנה את המשפט הבא‪:‬‬ ‫משפט ‪1.14.4‬‬ ‫מטריצת המקדמים המצומצמת של מערכת לינארית הומוגנית של ‪ n‬משוואות ב ‪ n‬נעלמים מקיימת‬ ‫טענה אחת מהשתיים‪:‬‬ ‫א‪ .‬או שהיא שקולתשורה למטריצה שבה יש שורת אפסים‪ ,‬וזאת אם ורק אם יש למערכת פתרון‬ ‫לאטריוויאלי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬או שהיא שקולתשורה למטריצה היחידה‪ ,‬וזאת אם ורק אם למערכת יש פתרון אחד בלבד –‬ ‫הפתרון הטריוויאלי‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצת המקדמים המצומצמת של מערכת לינארית הומוגנית של ‪ n‬משוואות ב ‪ n‬נעלמים‪.‬‬ ‫א‪ .‬נניח ש ‪ A‬שקולתשורה למטריצה ‪ B‬שיש בה שורת אפסים‪ .‬נחליף את סדר השורות במטריצה‬ ‫‪ B‬כך ששורת האפסים תעבור לתחתית המטריצה‪ .‬נקבל מטריצה ‪ . C‬נדרג את שאר השורות של‬ ‫‪ C‬למטריצת מדרגות קנונית‪ .‬במטריצה השלמה שנקבל יש בוודאי שורת אפסים והיא קנונית‪.‬‬



‫‪110‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לכן המטריצה המקורית ‪ A‬שקולתשורה למטריצת מדרגות קנונית שיש בה שורת אפסים ולכן‬ ‫יש למערכת משתנה חופשי‪ ,‬ובהכרח יש למערכת פתרון לאטריוויאלי‪.‬‬ ‫ולהפך ‪ -‬אם למערכת יש פתרון לאטריוויאלי‪ ,‬אז אין לה פתרון יחיד‪ .‬מכאן נובע שההצגה הקנונית‬ ‫של ‪ A‬שונה מ ‪ . I n‬לפי משפט ‪ 1.14.1‬נובע מכאן‪ ,‬שבהצגה הקנונית יש שורה שאין בה איבר פותח‪,‬‬ ‫כלומר יש שורת אפסים‪ .‬מכאן ש ‪ A‬שקולתשורה למטריצה שיש בה שורת אפסים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ברור שאם ‪ A‬שקולתשורה למטריצה היחידה‪ ,‬אז למערכת יש פתרון אחד בלבד – הפתרון‬ ‫הטריוויאלי‪.‬‬ ‫ולהפך – אם למערכת יש פתרון יחיד )הטריוויאלי(‪ ,‬אז לפי חלק א שכבר הוכחנו‪ ,‬לא ייתכן‬ ‫ש ‪ A‬שקולתשורה למטריצה שיש בה שורת אפסים‪ .‬לכן‪ ,‬בהצגה הקנונית של ‪ A‬אין שורת‬ ‫אפסים‪ ,‬ולפי משפט ‪ 1.14.1‬הצורה הקנונית של ‪ A‬שווה בהכרח למטריצת היחידה‪ .‬כלומר‪A ,‬‬ ‫שקולתשורה למטריצה היחידה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫בשלב זה נשלים חוב מסעיף ‪ ,1.11‬ונוכיח את משפט יחידות הצורה המדורגת הקנונית של מטריצה‪.‬‬ ‫ההוכחה אינה פשוטה כלל ועיקר‪ ,‬והנכם רשאים לדלג עליה אם זמנכם דוחק‪ .‬תחילה נחזור על נוסח‬ ‫המשפט‪:‬‬ ‫משפט ‪ 1.11.3‬יחידות ההצגה הקנונית‬ ‫ההצגה הקנונית של כל מטריצה היא יחידה‪.‬‬ ‫לשון אחר – כל מטריצה היא שקולתשורה למטריצת מדרגות קנונית יחידה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫שימוש חוזר בלמה שבתחילת ההוכחה של משפט ‪ ,1.14.2‬מלמד שבהינתן זוג מטריצות שקולותשורה‪,‬‬ ‫מחיקת מספר כלשהו של עמודות מקבילות )קטן ממספר העמודות הכולל(‪ ,‬מותירה זוג מטריצות‬ ‫שקולותשורה‪.‬‬ ‫להוכחת יחידוּת ההצגה הקנונית עלינו להראות שאם ‪ A‬מטריצה ואם ‪ B‬ו ‪ C‬הן מטריצות מדרגות‬ ‫קנוניות שהן שקולותשורה ל ‪ , A‬אז ‪. B  C‬‬ ‫תהיינה‪ ,‬אם כן‪ B ,‬ו ‪ C‬מטריצות מדרגות קנוניות שקולותשורה ל ‪ , A‬ונניח בשלילה ש ‪. B  C‬‬ ‫עבור כל אחת מן המטריצות ‪ , B , C‬נתבונן בעמודה השמאלית ביותר שבה היא נבדלת מהאחרת‪ ,‬וכן‬ ‫נתבונן בעמודות המופיעות לשמאלה של עמודה זו וכוללות איבר פותח‪ .‬נסמן ב ' ‪ B ', C‬את‬ ‫המטריצות המתקבלות מ ‪ B , C‬עלידי מחיקת כל שאר העמודות‪.‬‬ ‫למשל‪ ,‬אם‪:‬‬ ‫‪1 3 0 5 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C   0 0 1 5 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0 0‬‬



‫‪1 3 0 2 9 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B   0 0 1 3 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0 0‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪111‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫‪1 0 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C'  0 1 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0‬‬



‫‪1 0 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B'   0 1 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 ‬‬



‫אופן הגדרת המטריצות ‪ B , C ‬מבטיח שהן מטריצות מדרגות קנוניות )מאותו הסדר( הנבדלות זו מזו‬ ‫בעמודה האחרונה ורק בה‪ .‬אם נסמן ב ‪ k  1‬את מספר העמודות של ‪ , B , C ‬אז ‪ k‬העמודות‬ ‫הראשונות של ‪ B , C ‬הן אותה מטריצת מדרגות קנונית שנסמנה ‪. R‬‬ ‫בדוגמה שלנו‪:‬‬



‫‪1 0‬‬ ‫‪R  0 1‬‬ ‫‪ 0 0‬‬



‫כל אחת מ ‪ k‬העמודות של ‪ R‬כוללת ‪ 1‬פותח יחיד‪ ,‬ושאר רכיביה מתאפסים‪ .‬בפרט‪ ,‬ישנם ב ‪R‬‬



‫בדיוק ‪ 1 k‬ים פותחים‪ ,‬ושאר רכיביה מתאפסים‪.‬‬ ‫כל אחד מה‪ 1‬ים הפותחים מופיע מתחת לאלה שלשמאלו‪ ,‬ולכן כל אחד מה‪ 1‬ים הללו נמצא‬ ‫בשורה שונה של ‪ . R‬השורות שאינן כוללות מופע של ‪ 1‬הן שורות אפסים‪ ,‬ולכן מופיעות מתחת‬ ‫לשורות שבהם יש ‪ 1‬פותח‪ .‬נסיק ש ‪ k‬ה‪ 1‬ים הפותחים נמצאים ב ‪ k‬השורות הראשונות‪ .‬לפי‬ ‫משפט ‪ ,1.14.1‬המטריצה המורכבת מ ‪ k‬שורותיה הראשונות של ‪ R‬היא מטריצת היחידה ‪. I k‬‬ ‫ואצלנו‪:‬‬



‫‪1 0  I 2 ‬‬ ‫‪R  0 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0   0 0 ‬‬



‫נסמן ב ‪ b, c‬את העמודות האחרונות של ‪ , B , C ‬בהתאמה‪ ,‬ב ‪ b1 , c1‬את העמודות המורכבות מ ‪k‬‬



‫הרכיבים הראשונים של ‪ , b, c‬בהתאמה‪ ,‬וב ‪ b2 , c2‬את שאר הרכיבים‪ .‬אז המטריצות ‪ B , C ‬הן‬ ‫בעלות הצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪c1 ‬‬ ‫‪c2 ‬‬



‫‪I‬‬ ‫‪C   k‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪b1 ‬‬ ‫‪b2 ‬‬



‫‪I‬‬ ‫‪B   k‬‬ ‫‪0‬‬



‫)האפסים שבצד שמאל למטה מציינים שכל האיברים המופיעים בחלק זה הם אפסים(‪.‬‬ ‫אם יש ב ‪ b2‬איבר שאינו אפס‪ ,‬אז איבר זה הוא איבר פותח בשורה שבה הוא נמצא‪ ,‬ולכן איבר זה‬ ‫הוא בהכרח ‪ , 1‬וכל האיברים שמעליו ומתחתיו מתאפסים )שכן ‪ B‬מדורגת קנונית(‪ .‬יתר על כן‪ 1 ,‬זה‬ ‫הוא בהכרח האיבר העליון של ‪ – b2‬אחרת נקבל שורת אפסים המופיעה מעל שורה שאיננה שורת‬ ‫אפסים‪.‬‬ ‫אותו טיעון תקף עבור ‪ . c2‬אם כך‪ ,‬האפשרויות העומדות בפנינו הן‪:‬‬ ‫‪b1 ‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪I‬‬ ‫‪B   k‬‬ ‫‪0‬‬



‫או‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ Ik‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪112‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪c1 ‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪I‬‬ ‫‪C   k‬‬ ‫‪0‬‬



‫או‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ Ik‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫כעת נתבונן במערכות המשוואות שמייצגות המטריצות ' ‪ . B ', C‬לצורך המחשה‪ ,‬נוסיף את הקווים‬ ‫המאונכים המפרידים באופן ויזואלי בין מקדמי המשתנים והמקדמים הקבועים‪:‬‬ ‫‪b1 ‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪I‬‬ ‫‪B   k‬‬ ‫‪0‬‬



‫או‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ Ik‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪c1 ‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪I‬‬ ‫‪C   k‬‬ ‫‪0‬‬



‫או‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ Ik‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫עבור כל אחת מהמערכות המתאימות‪ ,‬אם מתקיימת האפשרות שבצד שמאל‪ ,‬המערכת איננה עקבית‬ ‫לפי משפט ‪ .1.12.1‬אם מתקיימת האפשרות שבצד ימין‪ ,‬אז לפי משפט ‪ 1.14.2‬המערכת‬ ‫מכיוון שהמטריצות ‪ B , C ‬שקולותשורה‪ ,‬הן מייצגות מערכות משוואות שקולות‪ ,‬ולכן או‬ ‫שהמטריצות ‪ B , C ‬הן שתיהן מן הצורה שבצד שמאל‪ ,‬או ששתיהן מן הצורה שבצד ימין‪.‬‬



‫עקבית‪3.‬‬



‫אם שתי המטריצות הן מהצורה שבצד שמאל‪ ,‬אז הן זהות – בסתירה להנחתנו‪ .‬לכן שתיהן מהצורה‬ ‫שבצד ימין‪ .‬במקרה זה‪ ,‬למערכת המשוואות המתאימה למטריצה ‪  I k b1 ‬יש פתרון יחיד‪ ,‬ה ‪ k‬יה‬ ‫שרכיביה הן רכיבי העמודה ‪) b1‬ראו הערה עוקבת למשפט ‪ .(1.14.2‬באותו אופן‪ ,‬למערכת המתאימה‬ ‫למטריצה ‪  I k c1 ‬יש פתרון יחיד – ה ‪ k‬יה שרכיביה הן רכיבי העמודה ‪ . c1‬מאחר שהמערכות‬ ‫שקולות‪ ,‬נסיק ש ‪ , b1  c1‬ולכן המטריצות ' ‪ B ', C‬זהות‪ .‬סתירה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫לסיום הפרק הנה עוד כמה שאלות לחזרה‪.‬‬ ‫שאלה ‪1.14.3‬‬ ‫א‪ .‬האם קיימת מערכת לינארית מעל הממשיים שיש לה שני פתרונות בדיוק?‬ ‫ב‪ .‬האם קיימת מערכת לינארית מעל שדה כלשהו שיש לה שני פתרונות בדיוק?‬ ‫התשובה בעמוד ‪137‬‬



‫‪ 3‬אנו מפעילים את המשפט על ‪ k‬השורות הראשונות – שורות האפסים אינן משפיעות על שאלת קיום הפתרון‬ ‫למערכת‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪113‬‬



‫שאלה ‪1.14.4‬‬ ‫תהי נתונה מערכת משוואות הומוגנית מעל הממשיים‪.‬‬ ‫‪(1   ) x1 ‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪2 x1  (3   ) x2‬‬



‫עבור אילו ערכים של הפרמטר ‪ ‬קיים למערכת פתרון לאטריוויאלי?‬ ‫)באומרנו ש ‪ ‬הוא פרמטר‪ ,‬הכוונה היא ש ‪ ‬הוא איזשהו מספר ממשי ספציפי‪ ,‬שערכו המדויק‬ ‫אינו ידוע‪ .‬אין הכוונה ש ‪ ‬הוא משתנה‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬בשאלה זו נתונות אינסוף מערכות‬ ‫משוואות שונות – לכל ערך ממשי שנציב במקום ‪ ‬נקבל מערכת שונה‪ .‬עליכם לקבוע‪ ,‬עבור אילו‬ ‫מאינסוף מערכות אלה קיים פתרון לאטריוויאלי‪ .‬סוג דומה של תרגיל ראיתם כבר בשאלה ‪(.1.12.3‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪137‬‬ ‫שאלה ‪1.14.5‬‬ ‫פתרו בעזרת שיטת החילוץ את המערכת הבאה מעל הממשיים‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪ 4 x5‬‬



‫‪ 7 x4‬‬



‫‪ 2 x3‬‬



‫‪5 x1  6 x2‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪ 2 x5‬‬



‫‪ 4 x4‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x1  3 x2‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪ 6 x5‬‬



‫‪ 5 x4‬‬



‫‪ 3 x3‬‬



‫‪7 x1  9 x2‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪ 6 x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x3‬‬



‫‪5 x1  9 x2‬‬



‫‪x4‬‬



‫התשובה בעמוד ‪138‬‬ ‫שאלה ‪1.14.6‬‬ ‫פתרו בשיטת החילוץ את המערכת הבאה מעל השדה ‪:  2‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪ x5‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪ x5‬‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪ x4‬‬ ‫‪ x4‬‬



‫‪x5‬‬



‫‪‬‬



‫‪ x3‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ x3‬‬



‫‪x1  x2‬‬



‫‪ x3‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪x1 ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪138‬‬ ‫שאלה ‪1.14.7‬‬ ‫נניח שיצאנו ממטריצה נתונה ‪) A‬מעל שדה כלשהו( והגענו‪ ,‬עלידי סדרת פעולותשורה למטריצה ‪. B‬‬ ‫האם בהכרח קיימת סדרת פעולות מטיפוס )‪ (2‬ו)‪ (3‬בלבד )כפל שורה בסקלר שונה מאפס והוספת‬ ‫כפולה של שורה בסקלר לשורה אחרת( המובילה מ ‪ A‬ל ‪? B‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪138‬‬



‫‪114‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪1.14.8‬‬ ‫‪ 100‬פרופסורים למתמטיקה נלקחו בשבי עלידי כמה סטודנטים בקורס אלגברה לינארית‪.‬‬ ‫הסטודנטים העמידו את הפרופסורים בטור‪ ,‬ושמו על ראשו של כל פרופסור כובע שצבעו שחור או‬ ‫לבן‪ .‬כל פרופסור יכול לראות רק את צבעי הכובעים שלפניו‪ .‬כעת הפרופסורים נדרשים לשחק את‬ ‫המשחק הבא‪ :‬כל אחד בתורו )החל מהאחרון בטור – זה שרואה את כל האחרים( צריך לנחש את‬ ‫צבע הכובע שעל ראשו‪ ,‬כאשר כל פרופסור שומע מה אמרו הפרופסורים שעומדים מאחוריו‪.‬‬ ‫הסטודנטים מודיעים לפרופסורים שאם יותר מאחד מהם ינחש לא נכון‪ ,‬כולם יוצאו להורג‪ .‬מה יעשו‬ ‫הפרופסורים? )מותר להם לתאם אסטרטגיה מראש‪(.‬‬ ‫דוגמה לאסטרטגיה שלא תצלח‪ :‬הפרופסור הראשון )האחרון בטור( יאמר את צבע הכובע של השני‬ ‫)זה שעומד במקום שלפני האחרון בטור(‪ .‬השני יאמר את צבע הכובע שלו )וכך "ינחש" נכון(‪.‬‬ ‫הפרופסור השלישי יאמר את צבע הכובע של הרביעי‪ ,‬והרביעי יאמר את הצבע של עצמו )וכך "ינחש"‬ ‫נכון(‪ ,‬וכן הלאה‪ .‬אסטרטגיה זו מבטיחה שלפחות מחצית מהפרופסורים ינחשו נכון‪ ,‬אבל אינה‬ ‫מבטיחה שלפחות ‪ 99‬ינחשו נכון‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪139‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪115‬‬



‫תשובות לשאלות בפרק ‪1‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪14‬‬



‫תשובה ‪1.1.1‬‬ ‫א‪ .‬הקבוצה סגורה ביחס לפעולה – התוצאה היא תמיד מספר שלם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כנ"ל‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הקבוצה סגורה ביחס לפעולה – התוצאה היא תמיד מספר טבעי )ואפילו מספר טבעי הגדול‬ ‫מ‪.(8‬‬ ‫ד‪ .‬הקבוצה אינה סגורה ביחס לפעולה‪ .‬למשל‪ 1  1  1  1  8  6 ,‬אינו מספר טבעי‪.‬‬ ‫ה‪ .‬הקבוצה אינה סגורה ביחס לפעולה‪ .‬למשל‪ 2  3  2 / 3 ,‬אינו מספר טבעי‪.‬‬ ‫ו‪ .‬הקבוצה סגורה ביחס לפעולה – התוצאה היא תמיד מספר טבעי‪.‬‬



‫השאלה בעמוד ‪15‬‬ ‫תשובה ‪1.1.2‬‬ ‫א‪ .‬בחלקים א‪-‬ג הפעולה קיבוצית‪ .‬בודקים ישירות על פי ההגדרה‪ .‬נדגים כיצד מוכיחים זאת עבור‬ ‫סעיף ב‪:‬‬ ‫לכל ‪ a, b, c  ‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪a  (b  c )  a  (b  c  8)  a  (b  c  8)  8  a  b  8  c  8‬‬ ‫‪ ( a  b)  c  8  ( a  b)  c‬‬



‫בחלקים ד‪-‬ה הקבוצה אינה סגורה ביחס לפעולה‪ ,‬ולכן ממילא איננו רואים את הפעולה‬ ‫כקיבוצית‪.‬‬ ‫בחלק ו הפעולה אינה קיבוצית‪ ,‬שכן למשל‪ , (2  2)  1  (22  2)  1  8  1  82  1  64 ,‬ואילו‬ ‫‪. 2  (2  1)  2  (22  1)  2  4  22  4  16‬‬ ‫ב‪ .‬נסמן ‪ . a '  a  b‬מאחר שהפעולה קיבוצית‪ ,‬מתקיים ‪ , a ' ( c  d )  ( a ' c )  d‬כלומר‬ ‫‪. ( a  b )  (c  d )  (( a  b )  c )  d‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪16‬‬ ‫תשובה ‪1.1.3‬‬ ‫א‪ .‬בחלקים א‪-‬ד מראים ישירות על פי ההגדרה כי הפעולה חילופית‪ .‬נדגים זאת עבור חלק א‪:‬‬ ‫לכל ‪ a, b  ‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ab  a b 8  b  a 8  ba‬‬



‫בחלק ה הפעולה אינה חילופית‪ ,‬כי למשל ‪ 2  1  2 1  2‬ואילו ‪. 1  2  1 2  2‬‬ ‫בחלק ו הפעולה אינה חילופית‪ ,‬כי למשל מתקיים ‪ 1  2  12  2  2‬ואילו ‪. 2  1  22  1  4‬‬ ‫ב‪ . ( a  b)  (c  d )  (( a  b))c )  d  ((b  a ))c )  d  (b  a )  (c  d ) .‬בשוויון הראשון‬ ‫ובשוויון השלישי הסתמכנו על קיבוציות הפעולה ועל סעיף ב בשאלה ‪ ,1.1.2‬ובשוויון השני‬ ‫הסתמכנו על החילופיות‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪17‬‬



‫תשובה ‪1.1.4‬‬ ‫הקבוצה סגורה ביחס לפעולה – כל האיברים המופיעים בטבלה שייכים לקבוצה‪.‬‬ ‫הפעולה אינה קיבוצית‪ ,‬כי למשל‪ , ( b  b )  c  c  c  c ,‬ואילו ‪. b  ( b  c )  b  a  b‬‬ ‫הפעולה גם אינה חילופית‪ , b  c  a :‬אבל ‪. c  b  c‬‬



‫‪116‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪20‬‬



‫תשובה ‪1.1.5‬‬ ‫א‪ .‬נבדוק אם יש ב‪  -‬איבר ניטרלי ביחס לפעולה ‪. ‬‬ ‫אם ‪ e  ‬הוא ניטרלי‪ ,‬אז בפרט ‪ , e  0  0‬כלומר ‪ , e  0  8  0‬ולכן ‪ . e  8‬לכן‪ ,‬אם יש‬ ‫ב ‪ ‬איבר ניטרלי‪ ,‬זהו בהכרח המספר ‪ . 8‬נראה שהוא אכן ניטרלי‪ .‬בגלל חילופיות הפעולה‪,‬‬ ‫לכל ‪ . a  ( 8)  a , a  ‬ואמנם‪. a  ( 8)  a  ( 8)  8  a ,‬‬ ‫ב‪ .‬האיבר הניטרלי הוא ‪. 8‬‬ ‫ג‪ .‬כאן אין איבר ניטרלי‪ .‬אכן‪ ,‬לוּ היה איבר ‪ e‬כזה‪ ,‬בפרט היה מתקיים‬ ‫‪ , 1  e  1  e  1  8  e  9‬ולכן ‪ . e  8‬אך המספר ‪ 8‬אינו שייך לקבוצה ‪. ‬‬ ‫ד‪ .‬האיבר הניטרלי הוא ‪. 8‬‬ ‫ה‪ .‬כאן לא קיים איבר ניטרלי‪ .‬אכן‪ ,‬ל ּו היה איבר ‪ e‬כזה‪ ,‬היה מתקיים ‪ , 2  2  e  e  2‬ולכן‬ ‫‪ 2  2 / e‬אך גם ‪ . 2  e / 2‬מהשוויון הראשון נובע כי ‪ e  1‬ומהשני נובע כי ‪ , e  4‬סתירה‪.‬‬ ‫ו‪ .‬גם כאן אין איבר ניטרלי‪ .‬אכן‪ ,‬לו היה איבר ‪ e‬כזה‪ ,‬היה מתקיים ‪ , 2  2  e  4e‬ולכן‬ ‫‪ , e  1 / 2‬אך ‪ 1 / 2‬אינו איבר של ‪. ‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪26‬‬ ‫תשובה ‪1.2.1‬‬ ‫א‪ .‬בקבוצת המספרים הטבעיים אין איבר ניטרלי ביחס לחיבור‪ ,‬וממילא אין מבנה זה מהווה שדה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לא‪ .‬בקבוצה זו אמנם יש איבר ניטרלי ביחס ל"חיבור" – הקבוצה הריקה‪ ,‬אך מכיוון ש ‪ X‬אינה‬ ‫ריקה‪ ,‬לא קיימת קבוצה ‪ Y  F‬כך ש ‪ X  Y‬היא הקבוצה הריקה‪ .‬מכאן שהאיבר ‪ X‬השייך‬ ‫ל ) ‪ P ( X‬אינו הפיך ביחס לאיחוד‪.‬‬ ‫תשובה ‪1.2.2‬‬ ‫א‪ .‬לא – למשל משום ש ‪. 1 F ( 1) | 1 | 1  1‬‬ ‫ב‪ .‬לא – למשל‪ ,‬כלל הפילוג אינו מתקיים עלידי הפעולות שהוגדרו‪ .‬לדוגמה‪,‬‬



‫השאלה בעמוד ‪28‬‬



‫‪1 F (1  F ( 1)) | 1  (1  ( 1)) || 1  0 | 0‬‬ ‫‪1 F 1  F 1 F ( 1)  1  1  1  ( 1)  1  1  2‬‬



‫לאור הסעיף הקודם‪ ,‬ניתן היה להתפתות ולתת תשובה קצרה יותר – "לא‪ ,‬משום שאין ניטרלי ביחס‬ ‫לכפל"; אך שימו לב שבסעיף הקודם לא הראינו שאין איבר ניטרלי ביחס לכפל – כל שהראינו הוא‬ ‫ש‪ 1‬אינו ניטרלי ביחס לכפל‪ .‬עם זאת‪ ,‬נציין שבכל זאת קל להראות שגם אין מספר אחר שהוא‬ ‫ניטרלי ביחס לכפל‪ ,‬ואתם מוזמנים לעשות זאת‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪29‬‬ ‫תשובה ‪1.2.3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אם ‪ a‬שונה מאפס‪ ,‬אז קיים עבורו איבר הופכי ‪ . a‬נניח ש ‪ . ab  0‬נכפול את שני אגפי השוויון‬ ‫ב ‪ , a 1‬ונקבל ‪ , 0  a 1ab  1  b  b‬ובזאת הושלמה ההוכחה הנדרשת )הסבירו מדוע(‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪30‬‬



‫תשובה ‪1.2.4‬‬ ‫סעיפים א‪-‬ב נובעים ישירות מההגדרות של איבר נגדי ושל איבר הופכי‪.‬‬ ‫ג‪ .‬תחילה נחשב‪:‬‬ ‫‪(  a ) b  ab  (  a  a ) b  0b  0‬‬ ‫לכן‪:‬‬



‫) ‪(  a ) b   ( ab‬‬



‫‪117‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫כעת‪ ,‬על סמך החילופיות ומה שכבר הוכחנו‪:‬‬ ‫) ‪ ( ab )   ( ba )  (  b ) a  a (  b‬‬



‫מצירוף תוצאות אלה נסיק‬ ‫ובפרט‪:‬‬ ‫ד‪ .‬לפי סעיף ג )עם ‪  b‬במקום ‪,( b‬‬ ‫אבל לפי סעיף א‪,‬‬ ‫ובסך הכל‪:‬‬



‫) ‪(  a ) b  a (  b )   ( ab‬‬



‫‪( 1) b   (1  b )   b‬‬ ‫)) ‪(  a )(  b )  a (  (  b‬‬ ‫‪( b)  b‬‬



‫‪(  a )(  b )  a (  (  b ))  ab‬‬



‫השאלה בעמוד ‪31‬‬



‫תשובה ‪1.2.5‬‬ ‫התוצאה נובעת מקיבוציות וחילופיות פעולת החיבור‪ .‬אכן‪:‬‬



‫‪a  b  c  d  (( a  b )  c )  d  a  ( b  c )  d‬‬ ‫) ‪ d  ( a  ( b  c ))  ( d  a )  ( b  c‬‬



‫תשובה ‪1.2.6‬‬ ‫מהטבלה אנו רואים כי ‪. 1  1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪33‬‬



‫תשובה ‪1.2.7‬‬



‫השאלה בעמוד ‪34‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪7‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪7‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪5‬‬



‫‪3‬‬



‫‪1‬‬



‫‪6‬‬



‫‪4‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬



‫‪1‬‬



‫‪5‬‬



‫‪2‬‬



‫‪6‬‬



‫‪3‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪3‬‬



‫‪3‬‬



‫‪6‬‬



‫‪2‬‬



‫‪5‬‬



‫‪1‬‬



‫‪4‬‬



‫‪0‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪4‬‬



‫‪2‬‬



‫‪4‬‬



‫‪6‬‬



‫‪1‬‬



‫‪3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪5‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪3‬‬



‫‪4‬‬



‫‪5‬‬



‫‪6‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪5‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪6‬‬



‫‪6‬‬



‫השאלה בעמוד ‪34‬‬



‫תשובה ‪1.2.8‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪0  0,  1  6,  2  5,   3  4,   4  3,   5  2,   6  1‬‬



‫‪11  1,  21  4, 31  5, 41  2,  51  3,  61  6‬‬



‫ב‪.‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪4‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪4‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪3‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪3‬‬



‫‪118‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ג‪ .‬השוויון ‪ 2  2  0‬מתקיים לפי הטבלה הימנית‪ .‬לוּ היה בפנינו שדה‪ ,‬היינו מקבלים סתירה‬ ‫למשפט ‪.1.2.6‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪36‬‬



‫תשובה ‪1.2.9‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪a  0  a  ( 0)  a  0  a‬‬



‫‪a / 1  a  11  a  1  a‬‬



‫ב‪ .‬לפי שאלה ‪:1.2.4‬‬ ‫אבל לפי כלל הפילוג והגדרת החיסור‪,‬‬ ‫ולכן‪:‬‬



‫) ‪ ( a  b )  ( 1)( a  b‬‬ ‫‪( 1)( a  b )  ( 1) a  ( 1) b   a  b‬‬ ‫‪(a  b)  a  b‬‬



‫ונקבל‬ ‫האגפים‬ ‫לשני‬ ‫נוסיף‬ ‫‪.a  b  c  d‬‬ ‫מתקיים‬ ‫כי‬ ‫ג‪ .‬נניח‬ ‫‪bd‬‬ ‫‪ , a  b  b  d  c  d  b  d‬כלומר ‪, a  d  c  d  b  d  c  d  d  b  c  b‬‬ ‫כדרוש‪ .‬באופן דומה‪ ,‬אם מתקיים ‪ a  d  c  b‬אז נוסיף ) ‪  ( b  d‬לשני האגפים ונקבל‬ ‫‪.a  b  c  d‬‬ ‫ד‪ .‬ההוכחה אנלוגית לזו של סעיף ג‪ :‬אם מתקיים ‪ a / b  c / d‬אז ‪ . ab1  cd 1‬נכפול את שני‬ ‫האגפים ב ‪ db‬ונקבל ‪ . ad  bc‬ולהפך‪ ,‬אם מתקיים ‪ ad  bc‬אז נכפול את שני האגפים‬ ‫ב ‪ d 1b1‬ונקבל ‪. a / b  c / d‬‬ ‫‪a b  c  a  bc‬‬ ‫ולסיום‪ ,‬אם נציב בתכונה שהוכחנו ‪ , d  1‬נקבל‪:‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪36‬‬ ‫תשובה ‪1.2.10‬‬ ‫א‪ .‬על פי שאלה ‪ ,1.2.9‬השוויון שקול לשוויון המתקבל אם נכפול את שני האגפים ב ‪ , b  d‬שהוא‪:‬‬ ‫‪( a / b )  ( c / d )  b  d  ( ac ) / ( bd )  b  d‬‬



‫ואכן‪:‬‬ ‫‪( a / b )  ( c / d )  b  d  ( a / b )  b  ( c / d )  d  ab 1b  cd 1d  ac‬‬ ‫) ‪ ac  (bd ) 1  (bd )  ( ac / bd )  (bd‬‬ ‫‪ ( ac / bd )  b  d‬‬



‫ב‪ .‬על פי חלק א‪:‬‬ ‫) ‪( a / b )  ( c / d )  ( a / b )  ( d / d )  ( c / d )  ( b / b )  ( ad / bd )  ( bc / bd‬‬ ‫‪ ( ad )  ( bd ) 1  ( bc )  ( bd ) 1  ( ad  bc )  ( bd ) 1  ( ad  bc ) / bd‬‬



‫השאלה בעמוד ‪36‬‬ ‫תשובה ‪1.2.11‬‬ ‫בשדה זה ‪ , 2  3  1‬ולכן ‪ . 31  2‬מכאן נקבל‪. 2 / 3  1  2  31  1  2  2  1  3 :‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪39‬‬



‫תשובה ‪1.3.1‬‬ ‫עלינו למצוא את מספר ה ‪ n‬יות השונות מעל ‪: A‬‬ ‫מספר האפשרויות ל"בחירת" כל רכיב של ‪ n‬יה כזו הוא בדיוק ‪ . k‬מאחר שישנם ‪ n‬רכיבים‪ ,‬מספר‬ ‫האפשרויות ל"בחירת" ‪ n‬יה הוא ‪. k n‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫תשובה ‪1.3.2‬‬ ‫א‪ .‬יש להוכיח כי עבור ‪ n‬יות כלשהן ‪ a, b, c‬מתקיים‪:‬‬



‫‪119‬‬



‫השאלה בעמוד ‪41‬‬ ‫‪(a  b)  c  (c  b)  a‬‬



‫לפי חלק ב של משפט ‪) 1.3.3‬קיבוציות(‪,‬‬



‫) ‪(a  b)  c  a  (b  c‬‬



‫ולפי חלק ג של אותו משפט )חילופיות(‪,‬‬



‫‪a  (b  c)  (b  c)  a‬‬



‫לכן‪:‬‬



‫‪(a  b)  c  (b  c)  a‬‬



‫שוב לפי חלק ג של אותו משפט )חילופיות(‪,‬‬



‫‪bccb‬‬



‫ולכן‪:‬‬



‫‪(a  b)  c  (c  b)  a‬‬



‫ב‪ .‬יש להוכיח כי‪:‬‬



‫)‪a  (b  c )  c  (b  a‬‬



‫הפעם נעשה זאת בקיצור‪:‬‬ ‫) ‪a  ( b  c )  (a  b )  c  (b  a )  c  c  ( b  a‬‬ ‫‪‬‬



‫חילופיות‬



‫תשובה ‪1.3.3‬‬ ‫א‪ .‬נוכיח ראשית כי לכל ‪ n‬יה ‪ a‬מתקיים‪:‬‬



‫‪‬‬



‫חילופיות‬



‫‪‬‬



‫קיבוציות‬



‫השאלה בעמוד ‪42‬‬ ‫‪1a  a‬‬



‫אכן‪ ,‬תהי ) ‪ n a = ( a1 , , an‬יה כלשהי‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪1a = 1( a1 ,  , an )  (1a1 ,  ,1an )  ( a1 ,  , an )  a‬‬



‫ב‪ .‬נוכיח כי לכל ‪ n‬יה ‪ a‬מתקיים‪:‬‬ ‫ואמנם‪:‬‬



‫‪0a  0‬‬



‫‪0a = 0( a1 ,, an )  (0a1 ,, 0 an )  (0,‬‬ ‫)‪, 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  0‬‬ ‫‪ n‬רכיבים‬



‫ג‪ .‬נוכיח כי לכל ‪ n‬יה ) ‪ a = ( a1 , , an‬מתקיים‪:‬‬ ‫ואמנם‪:‬‬



‫תשובה ‪1.3.4‬‬



‫) ‪( 1) a = (  a1 ,  ,  an‬‬



‫) ‪( 1) a = ( 1)( a1 , , an )  (( 1) a1 , , ( 1) an )  (  a1 ,  ,  an‬‬



‫השאלה בעמוד ‪42‬‬



‫) ‪( st )a  ( sta1 ,..., stan )  ( s (ta1 ),..., s (tan ))  s (ta1 ,..., tan )  s (t ( a1 ,..., an ))  s (ta‬‬



‫‪120‬‬ ‫וכן‪:‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫) ‪( s  t )a  ( s  t )( a1 ,..., an )  (( s  t ) a1 ,..., ( s  t ) an )  ( sa1  ta1 ,..., san  tan‬‬ ‫‪ ( sa1 ,..., san )  (ta1 ,..., tan )  sa  ta‬‬ ‫)) ‪t (a  b )  t ( a1  b1 ,..., an  bn )  (t ( a1  b1 ),..., t ( an  bn‬‬ ‫‪ (ta1  tb1 ,..., tan  tbn )  (ta1 ,..., tan )  (tb1 ,..., tbn )  ta  tb‬‬



‫השאלה בעמוד ‪43‬‬



‫תשובה ‪1.3.5‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪sa  tb  2(2, 0, 1, )  3(3, 7, , 2)  (4, 0, 2,1)  (9, 21,1, 6)  (13, 21, 1, 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬



‫השאלה בעמוד ‪43‬‬



‫תשובה ‪1.3.6‬‬ ‫אנו תרים אחר מספרים ‪ k , s, t‬המקיימים‪:‬‬



‫)‪( k , k , k )  ( s , s , 0)  ( t , 0, 0)  ( k  s  t , k  s , k )  (1, 2, 3‬‬



‫השוואת הרכיב השלישי מכתיבה ‪ . k  3‬הרכיב השני מכתיב ‪ , 3  s  2‬ולכן ‪ . s  1‬הרכיב‬ ‫הראשון מכתיב עתה ‪ , 3  ( 1)  t  1‬ולכן ‪ . t  1‬ודאו שאכן‪:‬‬ ‫)‪3(1,1,1)  ( 1)(1,1, 0)  ( 1)(1, 0, 0)  (1, 2, 3‬‬



‫השאלה בעמוד ‪43‬‬ ‫תשובה ‪1.3.7‬‬ ‫אם ‪ , (1  i  12) , bi‬היא הטמפרטורה הממוצעת )במעלות צלסיוס( בחודש ה ‪ , i‬ו ‪a i‬‬ ‫)‪ (1  i  12‬היא הטמפרטורה המתאימה במעלות פרנהייט‪ ,‬אז מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪(1  i  n‬‬



‫‪5‬‬ ‫)‪( a  32‬‬ ‫‪9 i‬‬



‫‪bi ‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b  ( b1 ,b12 )   ( a1  32),, ( a12  32) ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫תשובה ‪1.4.1‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪( a  32,, a12  32)   ( a1 ,, a12 )  ( 32,, 32) ‬‬ ‫‪9 1‬‬ ‫‪9‬‬



‫‪‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪160‬‬ ‫)‪(1,,1‬‬ ‫‪a  32(1,,1)   a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9 ‬‬ ‫‪ 12‬רכיבים‬



‫‪‬‬



‫השאלה בעמוד ‪52‬‬ ‫‪7 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ t , t )  ( , 0)  t ( ,1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫תשובה ‪1.4.2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬



‫(‬



‫השאלה בעמוד ‪53‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪ 2 s  t , s , t )  ( ,0,0)  s ( 2,1,0)  t ( ,0,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫(‬



‫)‪(  r  2 s  3t , r , s , t )  r ( 1,1, 0, 0)  s (2, 0,1, 0)  t ( 3, 0, 0,1‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫תשובה ‪1.5.1‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪121‬‬



‫השאלה בעמוד ‪58‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 4‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 4‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪ 2 x2‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫המערכת הומוגנית כי כל המקדמים החופשיים שווים ‪. 0‬‬ ‫במערכת זו ‪) m  4‬מספר המשוואות(‪) n  4 ,‬מספר המשתנים(‪.‬‬ ‫‪a33  1, a41  1, a23  0, a32  0, b1  0‬‬



‫ב‪.‬‬



‫‪z  1‬‬



‫‪y ‬‬



‫‪x ‬‬



‫‪y‬‬



‫‪x ‬‬



‫‪ 5‬‬ ‫‪z  0‬‬



‫‪2 x‬‬



‫‪‬‬



‫המערכת היא איהומוגנית כי קיימים בה מקדמים חופשיים שונים מ ‪) 0‬למשל ‪.( b2  5‬‬ ‫‪m  3, n  3‬‬ ‫‪a33  1, a23  0, a32  0, b1  1‬‬



‫‪ a41‬אינו קיים‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪ x4‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ x3‬‬



‫‪x1 3 x2‬‬ ‫‪2 x2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫המערכת היא איהומוגנית כי קיים בה מקדם חופשי השונה מ ‪. ( b1  ) 0‬‬ ‫‪m  3, n  4‬‬



‫‪ a41‬אינו קיים‪.‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪a33  0, a23  1, a32  0, b1 ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪59‬‬ ‫תשובה ‪1.5.2‬‬ ‫מספר הרכיבים ב ‪ n‬יה שהיא פתרון של המערכת‪ ,‬שווה למספר הנעלמים במערכת‪ .‬לכן ה ‪ n‬יות‬ ‫העשויות לפתור את המערכת א הן‪ (0, 0, 0, 0) :‬ו )‪. (1, 1, 0, 2‬‬ ‫קל לבדוק עלידי הצבה ששתי הרביעיות האלה אכן פותרות את המערכת א‪.‬‬ ‫במערכת ב שלושה נעלמים‪ .‬לכן המועמד היחיד )מבין ה ‪ n‬יות הנתונות( להיות פתרון של מערכת זו‬ ‫הוא השלישייה )‪ . (0, 0, 0‬אולם‪ ,‬גם שלישייה זו אינה פותרת את המערכת‪ ,‬שכן אם נציב )‪(0, 0, 0‬‬ ‫במשוואה הראשונה נקבל ‪. 0  0  0  1‬‬ ‫במערכת ג ארבעה נעלמים‪ .‬לכן המועמדים לפתור אותה הם )‪ (0, 0, 0, 0‬ו )‪ , (1, 1, 0, 2‬אבל קל‬ ‫לבדוק ולהיווכח כי אלה אינם פותרים אותה‪.‬‬



‫‪122‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נסכם‪:‬‬ ‫שתי ה ‪ n‬יות )‪ (0, 0, 0, 0‬ו )‪ (1, 1, 0, 2‬פותרות את המערכת א‪.‬‬ ‫אף ‪ n‬ה מבין ה ‪ n‬יות הנתונות אינה פותרת את המערכות ב או ג‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪59‬‬ ‫תשובה ‪1.5.3‬‬ ‫לא קיימת מערכת כזאת‪ .‬נוכיח בדרך השלילה‪ .‬תהי נתונה מערכת משוואות שהשלישייה )‪(0, 0, 0‬‬ ‫פותרת אותה‪ .‬במערכת זו מספר הנעלמים הוא ‪ .3‬נרשום את המערכת בצורה הכללית‪:‬‬ ‫‪b1‬‬



‫‪‬‬



‫‪a13 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪a23 x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ am 3 x3‬‬



‫‪b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bm‬‬



‫‪‬‬



‫‪a12 x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪a11 x1‬‬



‫‪‬‬



‫‪a22 x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪a21 x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am1 x1‬‬



‫‪ am 2 x2‬‬



‫אם נציב )‪ (0, 0, 0‬במקום ) ‪ , ( x1 , x2 , x3‬נקבל שאגפי שמאל של כל המשוואות מתאפסים‪ .‬מאחר‬ ‫ש )‪ (0, 0, 0‬הוא פתרון‪ ,‬אז כאשר מציבים אותו חייבים אגפי ימין לשוות לאגפי שמאל‪ ,‬כלומר חייב‬ ‫להתקיים ‪ bi  0‬לכל ‪ , 1  i  m‬כלומר המערכת חייבת להיות הומוגנית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪59‬‬



‫תשובה ‪1.5.4‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪x1  x2  0‬‬ ‫‪x1  x2  1‬‬



‫ב‪ .‬המערכת דלעיל היא איהומוגנית‪.‬‬ ‫ג‪ .‬לא ייתכן שסטודנט כלשהו מצא מערכת הומוגנית שאין לה פתרון‪ ,‬כי לכל מערכת הומוגנית יש‬ ‫פתרון – ה ‪ n‬יה שאיבריה כולם אפסים ואורכה כמספר המשתנים במערכת )ראו פיסקה שלפני‬ ‫שאלה ‪ .(1.5.1‬לכן אם סטודנט כלשהו ענה על חלק ב תשובה שונה משלך‪ ,‬אז אחד משניכם‬ ‫בוודאי טועה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪59‬‬



‫תשובה ‪1.5.5‬‬ ‫במערכת אשר ) ‪ ( v1 ,, vn‬היא הפתרון שלה‪ ,‬יש בהכרח ‪ n‬משתנים‪.‬‬ ‫מספר המשוואות במערכת יכול להיות כלשהו; הנה‪ ,‬למשל‪ ,‬מערכת בת משוואה אחת שה ‪ n‬יה‬ ‫) ‪ ( v1 ,, vn‬פותרת אותה‪:‬‬ ‫‪x1  x2    xn  v1  v2    vn‬‬



‫)*(‬



‫אם נוסיף למשוואה זו את המשוואה‬ ‫‪0  x1  0  x2    0  xn  0‬‬



‫נקבל מערכת בת שתי משוואות שה ‪ n‬יה ) ‪ ( v1 ,, vn‬פותרת אותה‪:‬‬ ‫‪x1  x2    xn  v1  v2    vn‬‬ ‫‪0  x1  0  x2    0  xn  0‬‬



‫)**(‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪123‬‬



‫לקבלת מערכת בת ‪ m‬משוואות אשר ה ‪ n‬יה ) ‪ ( v1 , , vn‬פותרת אותה‪ ,‬נוכל‪ ,‬למשל‪ ,‬להוסיף‬ ‫)‪ ( m  1‬משוואות מהטיפוס )**( למשוואה )*( )ונוכל‪ ,‬כמובן‪ ,‬לנקוט גם תכסיסים אחרים(‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪59‬‬



‫תשובה ‪1.5.6‬‬ ‫למערכת בת משוואה אחת‪,‬‬



‫‪0  x1  0  x2  0  x3  0‬‬



‫)*(‬



‫כל שלָ שה ) ‪ ( x1 , x2 , x3‬היא פתרון‪.‬‬ ‫אם נרשום ‪ m‬משוואות מן הצורה )*(‪ ,‬נקבל מערכת בת ‪ m‬משוואות שכל שלָ שה פותרת אותה‪ .‬בכך‬ ‫מיצינו למעשה את כל המערכות האלה‪ .‬אכן‪ ,‬תהי נתונה מערכת משוואות ב‪ 3‬משתנים‪,‬‬ ‫‪b1‬‬



‫‪‬‬



‫‪a13 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪a23 x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ am 3 x3‬‬



‫‪b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bm‬‬



‫‪‬‬



‫‪a12 x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪a11 x1‬‬



‫‪‬‬



‫‪a22 x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪a21 x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am1 x1‬‬



‫‪ am 2 x2‬‬



‫כאשר ‪ . n  3‬אם נציב )‪ (0, 0, 0‬במקום ) ‪ , ( x1 , x2 , x3‬נקבל שאגפי שמאל של כל המשוואות‬ ‫מתאפסים‪.‬‬ ‫נוכיח כי אם כל שלָ שה פותרת את המערכת‪ ,‬אז כל מקדמי המערכת הם אפסים‪ .‬ואמנם‪ ,‬אם כל‬ ‫שלשה פותרת את המערכת‪ ,‬אז בפרט השלשות )‪ (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1‬פותרות אותה‪.‬‬ ‫היות שלכל ‪ (0, 0, 0) , 1  i  m‬פותרת את המשוואה ה ‪ , i‬נקבל כי‪:‬‬ ‫‪ai1  0  ai 2  0  ai 3  0  bi‬‬



‫ומכאן שלכל ‪: 1  i  m‬‬



‫‪bi  0‬‬



‫השלשה )‪ (1, 0, 0‬היא פתרון של המערכת‪ .‬נציב אותה במשוואה ה ‪: i‬‬ ‫‪ai1  1  ai 2  0  ai 3  0  0 1‬‬



‫ומכאן ‪. ai1  0‬‬ ‫באופן דומה נציב את )‪ (0,1, 0‬במשוואה ה ‪: i‬‬ ‫ומכאן ‪. ai 2  0‬‬ ‫מהצבת )‪ (0, 0,1‬במשוואה ה ‪ i‬נקבל‪:‬‬ ‫ומכאן ‪. ai 3  0‬‬



‫‪ai1  0  ai 2  1  ai 3  0  0‬‬



‫‪ai1  0  ai 2  0  ai 3  1  0‬‬



‫כלומר‪ ,‬כל המקדמים של המשוואה ה ‪ i‬הם אפסים‪ ,‬לכן נקבל כי ‪ aij  0‬לכל ‪, 1  i  m‬‬ ‫‪) 1  j  3‬וכפי שכבר הוכחנו‪ ,‬גם ‪ bi  0‬לכל ‪.( i‬‬



‫‪ 1‬השתמשנו בכך ש‬



‫‪0‬‬



‫‪. bi‬‬



‫‪124‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫תשובה ‪1.5.7‬‬ ‫א‪ .‬אם ) ‪ c  ( c1 , , cn‬היא פתרון המערכת‪ ,‬הרי מתקיים‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫השאלה בעמוד ‪59‬‬ ‫‪a1n cn‬‬



‫‪  ‬‬



‫‪   amn cn‬‬



‫‪a11c1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am1c1‬‬



‫)*(‬



‫נכפול את כל השוויונות בסקלר נתון ‪ s‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪ s0  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ s0  0‬‬



‫‪a11  sc1    a1n  scn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am1  sc1    amn  scn‬‬



‫אולם פירושם של השוויונות האלה הוא שה ‪ n‬יה‬



‫) ‪sc  ( sc1 , , scn‬‬



‫פותרת את המערכת‪.‬‬



‫ב‪ .‬יהיו ) ‪ c  ( c1 , , cn‬ו ) ‪ d  ( d1 ,, d n‬שני פתרונות של המערכת‪ .‬אז מתקיימים השוויונות )*(‬ ‫וכן השוויונות‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫מחיבור )*( ו)**( נקבל‪:‬‬



‫‪a11d1    a1n d n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am1d1    amn d n‬‬



‫)**(‬



‫‪a11 ( c1  d1 )    a1n ( cn  d n )  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am1 ( c1  d1 )    amn ( cn  d n )  0‬‬



‫כלומר‪ ,‬ה ‪ n‬יה ) ‪ c + d  ( c1  d1 ,, cn  d n‬פותרת את המערכת‪.‬‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ c‬הוא פתרון של המערכת‪ ,‬אז )על פי חלק א( גם ‪ sc‬הוא פתרון של המערכת‪ .‬באופן דומה‪,‬‬ ‫אם ‪ d‬הוא פתרון של המערכת‪ ,‬אז ‪ td‬הוא פתרון של המערכת‪ .‬ומכאן‪ ,‬על פי חלק ב‪ ,‬הסכום‬ ‫‪ sc + td‬גם הוא פתרון של המערכת ההומוגנית הנתונה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪59‬‬ ‫תשובה ‪1.5.8‬‬ ‫התכונות שמנינו בשאלה הקודמת הן נחלתן של מערכות הומוגניות בלבד‪ .‬נראה זאת‪:‬‬ ‫תהי נתונה מערכת משוואות איהומוגנית‪ ,‬ונניח ש ‪ c‬היא ‪ n‬יה הפותרת אותה‪ .‬נוכיח ששום כפולה‬ ‫‪ , sc‬שבה ‪ 2, s  1‬אינה פותרת את אותה המערכת‪.‬‬ ‫מאחר שהמערכת היא איהומוגנית‪ ,‬קיים בה לפחות מקדם חופשי אחד השונה מאפס‪ .‬נניח‪ ,‬למשל‪,‬‬ ‫כי ‪ 3, b1  0‬ונתבונן במשוואה הראשונה‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪a11 x1  ...  a1n xn  b1‬‬ ‫אם ) ‪ c  ( c1 ,  , cn‬פותרת את המערכת‪ ,‬היא פותרת בפרט את המשוואה )‪.(1‬‬



‫‪ 2‬אם ‪ , s  1‬אז ‪ sc = c‬ו ‪ c‬הוא פתרון‪.‬‬ ‫‪ 3‬אם ‪ bi  0‬עבור ‪ , i  1‬ואילו ‪ , b1  0‬ההוכחה היא אנלוגית‪.‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫כלומר‪ ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪a11c1    a1n cn  b1‬‬



‫‪125‬‬



‫)‪(2‬‬



‫נניח שה ‪ n‬יה ‪ ( s  1) sc‬פותרת אף היא את המערכת‪ .‬אז בפרט מתקיים‪:‬‬ ‫‪a11 sc1    a1n scn  b1‬‬



‫)‪(3‬‬



‫עתה נכפול את )‪ (2‬ב ‪ s‬ונחסיר את התוצאה מ)‪ .(3‬נקבל‪:‬‬ ‫‪0  sb1  b1  ( s  1) b1‬‬



‫אולם ‪ b1  0‬ו ‪ , s  1‬ולכן ‪ , ( s  1) b1  0‬והשוויון האחרון אינו נכון‪ .‬סתירה זו מפריכה את‬ ‫ההנחה ש ‪ ( s  1) sc‬היא פתרון של המערכת‪.‬‬ ‫באופן דומה מוכיחים שאם ‪ c‬ו ‪ d‬הם פתרונות של מערכת איהומוגנית‪ ,‬אז הסכום ‪ c  d‬אינו‬ ‫פתרון של מערכת זו‪ .‬נעשה זאת‪ :‬תהיינה ) ‪ c  ( c1 , , cn‬ו ) ‪ d  ( d1 ,, d n‬שתי ‪ n‬יות הפותרות‬ ‫את המערכת‪ ,‬ונניח כי במערכת ‪ 4. b1  0‬אז‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪a11c1    a1n cn  b1‬‬ ‫וכן‪:‬‬ ‫‪a11d1    a1n d n  b1‬‬



‫)‪(2‬‬



‫אם ה ‪ n‬יה ‪ c + d‬פותרת את המערכת‪ ,‬אז בפרט‪:‬‬ ‫‪a11 ( c1  d1 )    a1n ( cn  d n )  b1‬‬



‫)‪(3‬‬



‫מאידך גיסא‪ ,‬אם נחבר את )‪ (1‬ו)‪ ,(2‬נקבל‪:‬‬ ‫‪a11 ( c1  d1 )    a1n ( cn  d n )  2 b1‬‬



‫כלומר ‪ , 2b1  b1‬בסתירה לכך ש ‪ . b1  0‬לכן ה ‪ n‬יה ‪ c + d‬אינה פותרת את המשוואה הראשונה‬ ‫של המערכת וממילא אינה פתרון של המערכת כולה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪62‬‬



‫תשובה ‪1.6.1‬‬ ‫המערכת היא‪:‬‬



‫‪2 x1  3 x2  4 x3  1‬‬ ‫‪x2  x3  5‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪6 x1‬‬



‫‪x1  x2  x3  0‬‬ ‫‪1‬‬



‫א‪ .‬המטריצה היא מסדר ‪. 5  4‬‬ ‫ב‪ .‬מספר המשוואות במערכת הוא ‪. 5‬‬ ‫ג‪ .‬מספר המשתנים של המערכת הוא ‪. 3‬‬ ‫המערכת אינה הומוגנית‪.‬‬ ‫‪ 4‬אם‬



‫‪0‬‬



‫‪ bi‬עבור ‪ , i  1‬ואילו‬



‫‪0‬‬



‫‪ , b1‬ההוכחה היא אנלוגית‪.‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪126‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪81‬‬ ‫תשובה ‪1.10.1‬‬ ‫א‪ .‬נתבונן באיבר פותח השייך לעמודה מסוימת‪ .‬כל איבר הנמצא מעליו בעמודה שייך לשורה שבה‬ ‫יש איבר פותח הנמצא משמאל לאיבר הפותח בעמודה הנידונה‪ ,‬ועל כן כל איבר השוכן מעל‬ ‫האיבר הפותח הנידון )באותה העמודה( איננו פותח‪ .‬מאידך גיסא‪ ,‬בכל השורות שמתחת לאיבר‬ ‫הפותח הנתון‪ ,‬האיברים הפותחים נמצאים ימינה ממנו‪ ,‬ולכן באותן שורות יהיו אפסים מתחתיו‬ ‫בעמודה‪ .‬כמובן‪ ,‬אם יש שורות אפס בתחתית המטריצה‪ ,‬האיברים המתאימים לשורות אלה‬ ‫בעמודה מתחתיו הם אפסים‪ .‬בכך נימקנו את שתי הקביעות המובלטות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בהחלט ייתכן כי במטריצת מדרגות יופיעו איברים שונים מאפס באותה העמודה מעל איבר‬ ‫פותח‪ .‬למשל‪ ,‬התבוננו באיבר הנמצא במקום השני בשורה הראשונה במטריצה‪:‬‬ ‫‪1 3 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 1‬‬



‫ג‪ .‬אם ‪ i  i ‬אז ‪ aij‬נמצא בשורה שמתחת לזו של ‪ , ai j ‬ושניהם איברים פותחים‪ ,‬לכן ‪ aij‬נמצא‬ ‫מימין ל ‪ , ai j ‬כלומר ‪. j  j ‬‬ ‫ולהפך – אם ‪ j  j ‬אז ‪ aij‬נמצא מימין ל ‪ , ai j ‬ולכן הוא גם נמצא בשורה שמתחת לשורה של‬ ‫‪ , ai j ‬כלומר ‪. i  i ‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪88‬‬



‫תשובה ‪1.10.2‬‬ ‫א‪ .‬מטריצת המקדמים של המערכת‬



‫‪x1 ‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪3 x1  2 x2‬‬



‫היא‪:‬‬ ‫‪ 1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 2 1‬‬



‫נדרג אותה‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1 R2  5 R2  1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 1 1 R2  R2  3 R1  1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 2/5‬‬ ‫‪3 2 1‬‬ ‫‪ 0 5 2 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫המטריצה שקיבלנו היא שקולתשורה למטריצה המקורית‪ ,‬ומערכת המשוואות המתאימה לה‬ ‫היא‪:‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪5‬‬



‫נציג אותה כך‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪x1  x2‬‬ ‫‪x2‬‬



‫‪1 ‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪x2‬‬



‫המשתנים הקשורים הם ‪ x1 , x2‬ואין משתנים חופשיים‪.‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בהצבה לאחור מקבלים ‪ . x1  , x2  ‬כלומר‪ ,‬הפתרון הוא ‪.  ,  ‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪5‬‬



‫‪5‬‬



‫‪5‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪127‬‬



‫למעשה‪ ,‬אפשר היה לקבל מערכת פשוטה יותר‪ ,‬אילו היינו ממשיכים כך‪:‬‬ ‫‪1 R  R  R‬‬ ‫‪3/5‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 2/5‬‬ ‫‪0 1 2/5‬‬



‫הווי אומר – המערכת הנתונה שקולה למערכת‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬



‫‪3 2‬‬ ‫למערכת זו פתרון יחיד ‪ ,  ,  ‬ולכן הזוג הסדור הזה הוא פתרונה היחיד של המערכת הנתונה‪.‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪5‬‬



‫ב‪ .‬מטריצת המקדמים של המערכת היא‪:‬‬ ‫‪ 1 3 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 1 1 0 ‬‬



‫נבצע עליה פעולות אלמנטריות כדלקמן‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1 0  R2  8 R2  1 3‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪ 1 3 1 0  R2  R2  3 R1  1 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 1 1 0 ‬‬ ‫‪ 0 8 4 0 ‬‬ ‫‪0 1 1/2 0 ‬‬



‫המערכת הנתונה שקולה אם כן למערכת‪:‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x2‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫או בצורה אחרת‪:‬‬ ‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫מכאן שאם ‪ x3  t‬אז‪:‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪x2   t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x1  3(  t )  t  t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬



‫לכן למערכת הנתונה יש אינסוף פתרונות‪ ,‬ופתרונה הכללי הוא ‪ t ‬ממשי | ‪.  t ,  t , t ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫אילו היינו ממשיכים בדירוג עוד שלב אחד‪ ,‬היינו מקבלים מערכת פשוטה יותר‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫‪1 0 R1  R1  3 R2  1 0 1/2 0‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 1/2 0‬‬ ‫‪0 1 1/2 0‬‬



‫המערכת הנתונה שקולה אפוא למערכת‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬



‫‪128‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫או בצורה אחרת‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x1 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2   x3‬‬ ‫‪2‬‬



‫מכאן שאם ניתן ל ‪ x3‬ערך כלשהו )נאמר ‪ ,( x3  t‬אז נקבל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  t‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬



‫כמו קודם!‬ ‫ג‪ .‬נבצע פעולות אלמנטריות על מטריצת המקדמים‪:‬‬ ‫‪ 3 1 1 1‬‬ ‫‪ 1 3 1 1‬‬ ‫‪ 1 3 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R1  R2 ‬‬ ‫‪ R1  R1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 3 1 1   3 1 1 1   3 1 1 1‬‬ ‫‪ 2 7 0 0‬‬ ‫‪ 2 7 0 0‬‬ ‫‪ 2 7 0 0‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 3‬‬ ‫‪ 1 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R2  8 R2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 8 2 2  ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪1 1/4 1/4 ‬‬ ‫‪0 13 2 2 ‬‬ ‫‪0 13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R2  R2  3 R1‬‬ ‫‪R3  R3  2 R1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 3‬‬ ‫‪ 1 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R3  5 R3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪1 1/4 1/4   0‬‬ ‫‪1 1/4 1/4 ‬‬ ‫‪0 0 5/4 5/4 ‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R3  R3 13 R2‬‬



‫המטריצה שקיבלנו היא שקולתשורה למטריצת המקדמים המקורית‪.‬‬ ‫לשון אחר‪ ,‬המערכת המקורית שקולה למערכת‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫כלומר‪:‬‬ ‫‪x3‬‬



‫‪x3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4 3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3 x2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪3 x2‬‬



‫‪1 ‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4 3‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫בהצבה לאחור מקבלים‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪1  3  0 1  0‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪0‬‬



‫למערכת זו יש פתרון יחיד והוא השלָ שה )‪. (0,0,1‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫ד‪.‬‬



‫‪129‬‬



‫נבצע פעולות אלמנטריות על מטריצת המקדמים‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪ 1 1 1 5/3 4/3‬‬ ‫‪ 0 1 2‬‬ ‫‪ 3 3 3 5 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R1  R2 ‬‬ ‫‪ R1  3 R1 ‬‬ ‫‪1 2  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0 1 2‬‬ ‫‪ 3 3 3 5 4   0 1 2‬‬ ‫‪ 3 0 3 2‬‬ ‫‪ 3 0 3 2 3‬‬ ‫‪  3 0 3  2 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 1 1 5/3 4/3‬‬ ‫‪ 1 1 1 5/3 4/3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R3  R3  3 R2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 2‬‬ ‫‪ 0 1 2‬‬ ‫‪0 3 6‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R3  R3  3 R1‬‬



‫מטריצה זו היא מטריצת המקדמים של מערכת המשוואות‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3 4‬‬



‫‪‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪‬‬



‫‪x4‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 0  x4‬‬



‫‪ 0  x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 0  x2‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪0  x1‬‬



‫למשוואה השלישית אין פתרון‪ ,‬ולכן אין למערכת פתרון‪ .‬לפיכך‪ ,‬גם למערכת המקורית אין‬ ‫פתרון‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪90‬‬



‫תשובה ‪1.10.3‬‬



‫‪1 1 0 0‬‬ ‫‪1 1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R2  R2  R1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  0 1 1 1 ‬‬ ‫‪ 1 0 1 1  ‬‬ ‫‪0 1 1 1‬‬ ‫‪0 1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫שימו לב כי בשורה השנייה במקום השני מופיע ‪ , 1‬בעוד שכאשר ראינו את המטריצה כמטריצה‬ ‫מעל ‪ ,  2‬הופיע באותו מקום ‪ 1‬בשלב זה )הסיבה לכך‪ ,‬כמובן‪ ,‬היא שב ‪  2‬מתקיים השוויון‬ ‫‪1 1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ .( 1  1‬אם נמשיך בדירוג המטריצה כרגיל )מעל הממשיים(‪ ,‬נגיע למטריצה ‪ .  0 1 0 0 ‬מכאן‬ ‫‪0 0 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫שלמערכת פתרון יחיד‪ , x  y  0, z  1 :‬כלומר )‪. (0, 0,1‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪91‬‬



‫תשובה ‪1.10.4‬‬ ‫נדרג את המערכת‪:‬‬



‫‪ 0 1 1 1 0‬‬ ‫‪ 1 0 1 1 1‬‬ ‫‪ 1 0 1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R1  R3 ‬‬ ‫‪ R2  R2  R1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  0 1 0 0 0‬‬ ‫‪ 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 ‬‬ ‫‪ 1 0 1 1 1‬‬ ‫‪0 1 1 1 0‬‬ ‫‪0 1 1 1 0‬‬



‫‪ 1 0 1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  0 1 0 0 0‬‬ ‫‪0 0 1 1 0‬‬ ‫‪R3  R3  R2‬‬



‫‪130‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫קיבלנו מטריצת מדרגות‪ .‬נבצע עוד פעולה אחת שתפשט את המערכת המתאימה עוד יותר‪:‬‬ ‫‪ 1 0 0 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 0 0 0‬‬ ‫‪0 0 1 1 0‬‬ ‫‪R1  R1  R3‬‬



‫מכאן שהפתרון הכללי למערכת הוא ) ‪ . (1, 0, t , t‬מאחר שהפרמטר יכול לקבל רק את הערכים ‪,0 ,1‬‬ ‫למערכת יש בדיוק שני פתרונות‪. (1, 0, 0, 0) , (1, 0,1,1) :‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪92‬‬ ‫תשובה ‪1.11.1‬‬ ‫א‪ .‬המטריצה היא מטריצת מדרגות‪ ,‬אולם אין היא מטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬שכן בעמודה ‪ ,3‬שבה‬ ‫נמצא האיבר הפותח של השורה השנייה‪ ,‬יש איבר נוסף שונה מאפס ) ‪.( a13  1‬‬ ‫ב‪ .‬המטריצה היא מטריצת מדרגות‪ ,‬אולם אין היא מטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬שכן האיבר הפותח של‬ ‫השורה הראשונה שונה מ‪.1‬‬ ‫ג‪ .‬המטריצה אינה מטריצת מדרגות‪ ,‬שכן מתחת לשורת האפסים )השורה השנייה( ישנה שורה‬ ‫שאינה שורת אפסים )השורה השלישית(‪.‬‬ ‫ד‪ .‬המטריצה היא מטריצת מדרגות קנונית‪.‬‬ ‫ה‪ .‬המטריצה היא מטריצת מדרגות‪ ,‬אך אינה מטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬שכן האיבר הפותח של‬ ‫השורה הראשונה שונה מ‪.1‬‬ ‫ו‪ .‬המטריצה היא מטריצת מדרגות קנונית‪.‬‬ ‫תשובה ‪1.11.2‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬



‫השאלה בעמוד ‪96‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1 3‬‬ ‫‪ R3  R3  R2 ‬‬ ‫‪0  ‬‬ ‫‪ 0 8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪5/2‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1/2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ R1  R1  3 R2 ‬‬ ‫‪0  ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪2  R  R  2 R  1 3‬‬ ‫‪ R32  R32  R1 1 ‬‬ ‫‪4  ‬‬ ‫‪ 0 8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 8‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬



‫‪1 3‬‬



‫‪1 1/2‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ 1 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R2  R2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫המערכת המתאימה היא‪:‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬



‫או‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 2  x3‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 3‬‬



‫‪‬‬



131



‫ מערכות משוואות לינאריות‬ 1 ‫פרק‬



:‫ ונרשום את אוסף כל הפתרונות בצורה‬t ‫ ערך כלשהו‬x3 ‫ניתן למשתנה החופשי‬  5 1  P   2  t ,  t , t  | ‫ ממשי‬t  2 2  



1  2 3   0



1 2 2 2 2 1  R2  R2  2 R1  1 1 2  R3  R3  3 R1 0 3 3   2 2 3 0 4 4  0 1 1 0  1 1 1  0   0  0 R1  R1  2 R2 R3  R3  4 R2 R4  R4  3 R2



1 1 2 2   0  R2  R4 0 1 1    0 4 4 0  0 3 3 0 



x2







x3



.‫ב‬



0 0 1  1 1 0 0 0 0  0 0 0



:‫המערכת המתקבלת היא‬



 1



x1



1  0 0  0 



 0



:‫ ונקבל את קבוצת הפתרונות‬x3  t ‫ נציב‬.‫ משתנה חופשי‬,‫ אם כן‬,‫ הוא‬x3 P  1, t , t  | ‫ ממשי‬t 



1  2 3   4



3 4 2 3 4 0 R2  R2  2 R1  1 2  R3  R3  3 R1  3 4 0 1 R4  R4  4 R1 0 1 2 8   0 2 9 11 4 0 1 2   0 1 2 3 0 8 11 14



0  1 2  3



3 4 0 1 2   0 1 2 8 1 R2  R2   0 2 9 11 2   0 8 11 14 3 0 1 12



1  0   0  0 R1  R1  2 R2 R3  R3  2 R2 R4  R4  8 R2



1



1  R3  R3 0 5  



0  0



1



2  8 1 5 0  50 5



2



0 5 0



5



0 1 12 1



2



8



0



1



1



0



5



50



2  1 0  5



.‫ג‬



1 ‫אלגברה לינארית‬



1  0   0  0 R1  R1  R3 R2  R2  2 R3 R4  R4  5 R3



1



1  R4 0 55   R4 



0   0



0



0 13



1



0



0



1



0



0



0



0



1



0



0



1



0



0



1  0   0   0 R1  R1 13 R4 R2  R2 10 R4 R3  R3  R4



132



2  10 1 1 0   55 5



 13



2  10 1 0 1  1 1/11



0



0



1



0



0



1



0



0



9/11  0 1/11 0 1/11  1 1/11 0



:‫המערכת המתאימה היא‬ 9 11







x1 x2 x3 x4



 



1 11



 



1 11



 



1 11



:‫וממילא פתרונה היחיד הוא הרביעייה‬ 1 1 1 9  11 ,  11 ,  11 ,  11     1   5  7 



3



1



4



4



2



3



1



1



6



1  R  R  5 R 1 3 1 4 1  R32  R32  7 R11    0 11 3 17 7   2  0 22 6 11 34 4   



1 1 R2  11   0



1   1 3/11 17/11 2/11  0 22 6 34  4  



R2 



3



1



4



1 0 2/11 7/11 17/11    0 1 3/11 17/11 2/11 0 0 0 0 0   R1  R1  3 R2 R3  R3  22 R2



x1 x2







2 x 11 3







7 x 11 4







17 11







3 x 11 3







17 x 11 4



 



2 11



:‫המערכת המתקבלת היא‬



.‫ד‬



133



‫ מערכות משוואות לינאריות‬ 1 ‫פרק‬



. x2 ‫ ואת‬x1 ‫ ובעזרתם לקבוע את‬x4 ‫ ואת‬x3 ‫לכן נוכל לבחור את‬ :‫ ונרשום את הפתרון הכללי בצורה‬, x3  s , x4  t ‫נסמן‬  17 2 7 2 3 17   s  t,  s  t , s , t   11 11 11 11 11 11         x1 x2 x3 x4   



96 ‫השאלה בעמוד‬



1.11.3 ‫תשובה‬ :‫המערכת הנתונה‬



 0 1 3 1 1 0    A  1 2 1 2 1 0 1 3 1 1 1 0



:‫סדרה אפשרית אחת של פעולות‬  1  2 1 2  1 0   1 2 1 2  1 0    R3  R3  R1   A  0 1 3 1 1 0  0 1 3 1 1 0  1 3 1 1 1 0 0 1 2 3 2 0 R2  R1



1    0  0  R1  R1  2 R2 R3  R3  R2



1    0 0  R1  R1  5 R3 R2  R2  3 R3



0



5



0



1



1



3



1



1



0



5 4



3



0 1 0



0 1 1  R3  5 R3   0 0    0 0  



0



5



0



1



1



3



1



1



0



1 4/5 3/5



0  0 0 



2 0  0 7/5 4/5 0 1 4/5 3/5 0 0



4



:‫סדרה אפשרית אחרת של פעולות‬  1 3 1 1 1 0  1 3 1 1 1    R1  R3 R2  R2  R1 A   1 2 1 2 1 0     0 1 2 3 2    0 1 3 1 1 0  0 1 3 1 1    8 1 0 5 8 5 0   1 0 5 1   R3  5 R3  3   0 1 2 3 2 0    0 1 2  0 0 5 4 3 0  0 0 1 4/5    R1  R1  3 R2 R3  R3  R2



1   0 0  R1  R1  5 R3 R2  R2  2 R3



0 1 0



0  0  0 



5



0  2 0  3/5 0 



2 0  0 7/5 4/5 0 1 4/5 3/5 0 0



4



‫ קיבלנו אותה‬,‫אנו רואים כי למרות שביצענו על המערכת סדרות שונות של פעולות אלמנטריות‬ .‫מטריצת מדרגות קנונית בשני המקרים‬



‫‪134‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫תשובה ‪1.11.4‬‬ ‫דירוג שתי המטריצות הראשונות )משמאל לימין( מוביל לאותה צורה קנונית‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫השאלה בעמוד ‪97‬‬



‫‪0 1‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪3‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫ואילו דירוג המטריצה השלישית מוביל לצורה הקנונית‪:‬‬ ‫‪20 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪5/2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7/4 ‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫לכן שתי המטריצות הראשונות שקולות זו לזו‪ ,‬אך אינן שקולות לשלישית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪101‬‬ ‫תשובה ‪1.12.1‬‬ ‫א‪ .‬כל פתרון של המערכת נקבע עלידי קביעת ערכם של המשתנים החופשיים‪ .‬כל אחד מאלה יכול‬ ‫לקבל בדיוק ‪ F‬ערכים אפשריים‪ 5.‬מכאן שאם יש ‪ k‬משתנים חופשיים‪ ,‬מספר האפשרויות‬ ‫ל"בחירת" פתרון למערכת הוא ‪. F k‬‬ ‫ב‪ .‬אם המערכת אינה עקבית‪ ,‬מספר הפתרונות הוא ‪ .0‬אם היא עקבית ואין בה משתנים חופשיים‪,‬‬ ‫יש לה פתרון יחיד‪ .‬אם היא עקבית ובעלת מספר חיובי של משתנים חופשיים ‪ , k‬אז ‪. 1  k  5‬‬ ‫לאור חלק א‪ ,‬מספר הפתרונות למערכת הוא ‪ . 2 k‬מספר זה יכול לקבל את אחד הערכים‬ ‫‪) 2,4,8,16,32‬בהתאם לערכו של ‪.( k‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪102‬‬ ‫תשובה ‪1.12.2‬‬ ‫המסקנה נובעת מיידית מכך ש‪  -‬הוא שדה אינסופי‪ ,‬ממשפט ‪ 1.12.2‬ומכך שראינו כבר שיש‬ ‫מערכות מעל ‪ ‬שאין להן פתרון‪ ,‬כאלה שיש להן פתרון יחיד‪ ,‬וכאלה שיש להן אינסוף פתרונות‪.‬‬



‫‪5‬‬



‫‪ F‬הוא מספר איברי ‪. F‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫תשובה ‪1.12.3‬‬ ‫נדרג את מטריצת המקדמים של המערכת הנתונה‪:‬‬



‫‪135‬‬



‫השאלה בעמוד ‪102‬‬



‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R3  2 R1 ‬‬ ‫‪ 2  RR3 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4  R4  R1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 3  R6  R6  R1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 6 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1  3  2 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  4  1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪1  6   1 ‬‬



‫‪1 1 1‬‬ ‫‪0 1 1‬‬ ‫‪0 1 2‬‬ ‫‪0 1 1‬‬ ‫‪0 2 4‬‬ ‫‪0 1 2‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0  3  2 1   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  4  1   2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 5  2 2 ‬‬ ‫‪0  6   1   2 ‬‬



‫‪1 1 1‬‬ ‫‪0 1 1‬‬ ‫‪0 0 3‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪0 0 6‬‬ ‫‪0 0 3‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1 1 1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 3 0  3  2 1   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 2  4  1   2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0  5  2 3  4 1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0  6   3  3 1 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪ 1 1 1 1‬‬ ‫‪ 0 0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1 1 2‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪ 0 0‬‬ ‫‪ 1 1 2 3‬‬



‫‪R3  R3  R2‬‬ ‫‪R4  R4  R2‬‬ ‫‪R5  R5  2 R2‬‬ ‫‪R6  R6  R2‬‬



‫‪R5  R5  2 R3‬‬ ‫‪R6  R6  R3‬‬



‫כידוע‪ ,‬תנאי הכרחי לקיום פתרון הוא שאין במטריצת המדרגות שקיבלנו שורה מן הטיפוס‬ ‫) ‪ (0, 0, 0, 0, 0, ‬שבה ‪ .   0‬מכאן שהתנאי ההכרחי לקיום פתרון הוא‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪ 4 1‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2 3‬‬



‫‪5‬‬



‫‪‬‬



‫‪6‬‬



‫‪3 1‬‬



‫כלומר‬



‫‪ 0‬‬



‫‪ 6‬‬



‫‪3‬‬



‫‪‬‬



‫‪3 1‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪ 5‬‬



‫‪ 2 3‬‬



‫‪4 1‬‬



‫)*(‬



‫נוכיח עתה שהתנאי שקיבלנו הוא גם תנאי מספיק לקיום פתרון‪.‬‬ ‫יהיו ‪  6 ,...,  1‬מספרים ממשיים המקיימים את התנאי )*(‪ .‬אז עלידי תהליך הדירוג המתואר לעיל‪,‬‬ ‫נביא את מטריצת המקדמים של המערכת לצורה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1   2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0  3  2 1   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  4  1   2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫)**(‬



‫מטריצה זו היא מטריצת מדרגות )לא קנונית( שאין בה שורה מהטיפוס ) ‪ , (   0) (0,..., 0, ‬ולכן‪,‬‬ ‫לפי משפט ‪ ,1.12.1‬קיים פתרון למערכת המשוואות המתאימה‪ ,‬ולכן גם למערכת המקורית‪.‬‬



‫‪136‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪102‬‬



‫תשובה ‪1.12.4‬‬ ‫א‪ .‬עלידי דירוג המטריצה המתאימה מתקבלת מטריצת המדרגות‪:‬‬



‫‪ 1 3 1 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 2 1 0 ‬‬ ‫‪0 0 0 0 ‬‬



‫יש שני משתנים קשורים‪ ,‬ומשתנה חופשי אחד )השלישי(‪ .‬לפי משפט ‪1.12.2‬ב‪ ,‬יש למערכת אינסוף‬ ‫פתרונות מעל ‪. ‬‬ ‫ב‪ .‬עלידי דירוג המטריצה המתאימה מתקבלת הצורה הקנונית‪:‬‬ ‫‪1 0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 1 1‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬



‫אנו רואים כי המערכת עקבית‪ ,‬וכי יש משתנה חופשי יחיד )השלישי(‪ ,‬מכאן שמספר הפתרונות‬ ‫הוא ‪ ,2‬על פי משפט ‪1.12.2‬ב‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪108‬‬ ‫תשובה ‪1.14.1‬‬ ‫לארבע המערכות הנתונות יש אותה מטריצת מקדמים מצומצמת )מסדר ‪ .( 3  3‬נביא אותה לצורה‬ ‫מדורגת‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1/7 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0  I‬‬ ‫‪0 1 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2  R2  R2  3 R1 1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ R3  R3  R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R2  7 R2 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪ 0 7 1  ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪13‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪7 3‬‬ ‫‪13/7 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ R2  R2  7 R3 ‬‬ ‫‪1/7  0‬‬ ‫‪R1  R1 ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪R1  R1  R2‬‬ ‫‪R3  R3‬‬



‫ממשפט ‪ ,1.14.2‬לכל המערכות יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪109‬‬



‫תשובה ‪1.14.2‬‬



‫נתבונן במטריצה ‪ . A   11‬אם נוסיף לה מימין את העמודה ‪ ,  00 ‬נקבל את המטריצה ‪,  11 00 ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪ ‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫שצורתה הקנונית היא ‪ .  0 0 ‬מטריצה זו מתאימה למערכת משוואות בת שתי משוואות בנעלם אחד‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫שלה פתרון יחיד )ודאו!(‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬אם נוסיף מימין ל ‪ A‬את העמודה ‪ ,  1 ‬נקבל את המטריצה‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ,  11 10 ‬שצורתה הקנונית היא ‪ .  10 10 ‬מהשורה השנייה ברור כי למערכת המתאימה אין פתרון כלל‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪137‬‬



‫השאלה בעמוד ‪112‬‬ ‫תשובה ‪1.14.3‬‬ ‫א‪ .‬לא ייתכן שלמערכת יש שני פתרונות בדיוק‪ .‬לפי משפט ‪ ,1.12.3‬לכל מערכת לינארית מעל ‪ ‬שיש‬ ‫לה פתרון – או שהוא יחיד‪ ,‬או שיש אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ראו תשובה ‪ 1.10.4‬או תשובה ‪.1.12.4‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪113‬‬ ‫תשובה ‪1.14.4‬‬ ‫קיים פתרון לאטריוויאלי למערכת הנתונה אם ורק אם מטריצת המקדמים המצומצמת שלה‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3  ‬‬



‫‪1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫היא שקולתשורה למטריצה עם שורת אפסים‪.‬‬ ‫נבחין בין שני מקרים‪:‬‬ ‫‪ ,   1 .1‬ואז המטריצה המצומצמת היא‪:‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 2‬‬



‫והיא שקולתשורה למטריצה‪:‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬



‫)בדקו!(‬ ‫לכן‪ ,‬עבור ‪   1‬יש למערכת פתרון טריוויאלי בלבד‪6.‬‬ ‫‪:   1 .2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R1  1  R1  1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 3   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)*( ‪ ‬‬ ‫‪ 2  4  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪3  ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 3    1     0‬‬



‫כעת‪  2  4  1  0 ,‬כאשר ‪3‬‬ ‫א‪3 .‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫‪R2  R2  2 R1‬‬



‫‪ .   2 ‬נפריד לשני מקרים‪:‬‬



‫‪ 2‬‬



‫ונזכור כי ‪ .   1‬אז נוכל להמשיך את תהליך הדירוג כך‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2  4  1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(*) ‬‬



‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R1  R1 ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1  2  ‬‬ ‫‪1    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫ובמקרה זה אין פתרון לאטריוויאלי‪.‬‬



‫‪ 6‬על פי משפט ‪.1.14.3‬‬



‫‪R2 ‬‬



‫)*(‬



‫‪138‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ב‪3 .‬‬



‫‪ 2‬‬



‫‪‬‬ ‫אז ‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ , (*)  ‬ולכן יש למערכת הנתונה פתרון לאטריוויאלי‪.‬‬ ‫‪0‬‬



‫מסקנה‪:‬‬ ‫למערכת הנתונה קיים פתרון לאטריוויאלי אם ורק אם ‪3‬‬



‫‪.  2 ‬‬



‫תשובה ‪1.14.5‬‬ ‫דירוג המטריצה המתאימה מוביל למטריצה המדורגת הקנונית‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪113‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0 2/3‬‬



‫‪1 1/3‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫מכאן נסיק שהפתרון הכללי של המערכת הוא ‪.  0, s  t , s,0, t ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬



‫תשובה ‪1.14.6‬‬



‫‪‬‬



‫השאלה בעמוד ‪113‬‬



‫דירוג המטריצה המתאימה מוביל למטריצה המדורגת הקנונית‪:‬‬ ‫‪0 0 1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 0 0 0‬‬ ‫‪0 1 1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 1 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫מכאן נסיק שהפתרון הכללי של המערכת הוא )‪ , (  t , 0,  t , t , 0‬ולכן למערכת יש בדיוק שני פתרונות‪:‬‬ ‫)‪. (0, 0, 0, 0, 0) , (1, 0,1,1, 0‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪113‬‬ ‫תשובה ‪1.14.7‬‬ ‫כן‪ ,‬את תוצאתה של סדרת פעולות מטיפוס )‪ (3)-(1‬נוכל להשיג עלידי סדרת פעולות מטיפוס )‪(2‬‬ ‫ו)‪ (3‬בלבד‪ .‬אכן‪ ,‬בכל עת שבה עלינו לבצע את הפעולה ‪ , Ri  R j‬נוכל להחליף אותה בארבע‬ ‫הפעולות הבאות )ודאו!(‪:‬‬ ‫‪Ri   Ri‬‬ ‫‪Ri  Ri  R j‬‬ ‫‪R j  R j  Ri‬‬ ‫‪Ri  Ri  R j‬‬



‫פרק ‪  1‬מערכות משוואות לינאריות‬



‫‪139‬‬



‫השאלה בעמוד ‪114‬‬ ‫תשובה ‪1.14.8‬‬ ‫נחשוב על הצבעים שחור ולבן כעל איברים ‪ 0‬ו‪ 1‬של השדה ‪ .  2‬הפרופסור הראשון )האחרון בטור(‬ ‫יאמר את הסכום )בשדה ‪ (  2‬של כל הכובעים שלפניו )כלומר‪ ,‬את הצבע המתאים לסכום בשדה ‪ 2‬‬ ‫של האיברים המתאימים ב ‪ .(  2‬כעת הפרופסור שאחריו יכול לחשב את הסכום של כל אלה שלפניו‪,‬‬ ‫להחסיר ממה שאמר הראשון‪ ,‬וכך לדעת מה יש לו על הראש‪ ,‬ואז לומר את הצבע המתאים‪ .‬באופן‬ ‫דומה‪ ,‬כל אחד מהפרופסורים יכול בתורו לחשב מה יש לו על הראש‪ ,‬עלידי החסרת מה שאמרו‬ ‫קודמיו‪.‬‬



‫‪140‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פרק ‪ | 2‬המרחב‬



‫‪Fn‬‬



‫‪142‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪143‬‬



‫‪ 2.1‬המרחב ‪ - F n‬מבט אלגברי‬ ‫בפרק זה נשוב ונעסוק ב ‪ n‬יות מעל שדה‪.‬‬ ‫אוסף כל ה ‪ n‬יות מעל שדה נתון ‪ F‬מסומן‪ ,‬כזכור‪ ,‬ב ‪ 1. F n‬הקבוצה ‪ F n‬אינה סתם אוסף של‬ ‫עצמים ) ‪ n‬יות(; יש בה מבנה אלגברי‪ ,‬המתבטא באפשרות לחבר כל שני איברים ב ‪ F n‬ולכפול‬ ‫איברים של ‪ F n‬בסקלרים )על שתי הפעולות האלה למדתם בפרק הקודם(‪ .‬אם ‪ a‬ו ‪ b‬הן שתי‬ ‫‪ n‬יות מעל ‪ , F‬אז סכומן‪ , a  b ,‬מוגדר‪ ,‬וגם הוא ‪ n‬יה מעל ‪ . F‬במילים אחרות‪ :‬אם ‪a, b  F n‬‬ ‫אז גם ‪ . a  b  F n‬כמו כן‪ ,‬אם ‪ a  F n‬ו ‪ t‬הוא סקלר כלשהו מתוך השדה ‪ , F‬אז גם ‪. ta  F n‬‬ ‫את עצם האפשרות לבצע את פעולות החיבור ואת הכפל בסקלר על איברי ‪ , F n‬ואת העובדה‬ ‫שתוצאות הפעולות האלה הן עצמן איברים ב ‪ , F n‬נביע בקיצור כך‪:‬‬ ‫‪ ‬הקבוצה ‪ F n‬סגורה ביחס לחיבור רכיברכיב של איברים ב ‪ F n‬וביחס לכפל רכיברכיב של‬ ‫איברי ‪ F n‬בסקלרים‪.‬‬ ‫למערכת המורכבת מקבוצת ה ‪ n‬יות ‪ , F n‬עם פעולות החיבור והכפל בסקלר רכיברכיב‪ ,‬נקרא‬ ‫המרחב הלינארי ‪ , F n‬או בקצרה – המרחב ‪2. F n‬‬ ‫נמנה כמה תכונות של המרחב ‪ , F n‬שנרבה להשתמש בהן בהמשך‪ .‬תכונות אלה הוכחו בפרק ‪,1‬‬ ‫במסגרת הדיון בתכונות פעולות החיבור והכפל בסקלר של ‪ n‬יות‪.‬‬ ‫תכונות החיבור ב ‪F n‬‬



‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬



‫סגירות‪ :‬לכל ‪, a, b  F n‬‬ ‫חילופיות‪ :‬לכל ‪, a, b  F n‬‬ ‫‪a+bba‬‬ ‫) ‪(a  b)  c  a  ( b  c‬‬ ‫קיבוציות‪ :‬לכל ‪, a, b, c  F n‬‬ ‫קיום איבר ניטרלי‪ :‬קיימת ‪ n‬יה יחידה‪ ,‬שסימונה ‪ , 0‬שהיא ניטרלית לגבי החיבור רכיב רכיב‪3:‬‬ ‫לכל ‪, a  F n‬‬ ‫‪a00aa‬‬ ‫קיום איברים נגדיים‪ :‬לכל ‪ , a  F n‬קיימת ‪ n‬יה יחידה‪ ,‬שסימונה ‪ ,  a‬שעבורה‪4:‬‬ ‫‪a  b  Fn‬‬



‫‪a  ( a)  ( a)  a  0‬‬ ‫תכונות הכפל בסקלר ב ‪F n‬‬



‫א‪ .‬לכל ‪ a  F n‬ולכל סקלר ‪, t  F‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪ a, b  F n‬ולכל סקלר ‪, t  F‬‬



‫‪ta  F n‬‬ ‫‪t ( a + b )  ta  tb‬‬



‫ה"א ָחדוֹ ת" הסדורות‪ .‬נזהה יצורים אלה עם איברי השדה‬ ‫ֲ‬ ‫‪ 1‬עבור ‪ F 1 , n  1‬הוא האוסף של כל‬ ‫במקום ‪ F 1‬נשתמש בסימון ‪. F‬‬ ‫‪ 2‬בהמשך הקורס תינתן הגדרה כללית של המושג מרחב לינארי‪ .‬לכשיעשה הדבר‪ ,‬תמצאו כי ‪ F n‬הוא אכן מרחב‬ ‫לינארי לפי ההגדרה הכללית‪.‬‬ ‫)‪. 0  (0,0,...,0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 4‬אם ) ‪ , a  ( a1 ,, an‬אז ) ‪. a  ( a1 ,, an‬‬ ‫‪F‬‬



‫עצמם‪ .‬לכן‬



‫‪144‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ג‪ .‬לכל ‪ , a  F n‬ולכל זוג סקלרים ‪, s, t  F‬‬ ‫ד‪ .‬לכל ‪ , a  F n‬ולכל זוג סקלרים ‪, s, t  F‬‬ ‫ה‪ .‬לכל ‪, a  F n‬‬



‫‪( s  t )a  sa  ta‬‬ ‫)‪( st )a  s (ta‬‬ ‫‪1a  a‬‬



‫כאשר ‪ F‬הוא שדה המספרים הממשיים ) ‪ ( F  ‬ו ‪ n  2‬או ‪ , n  3‬ניתן לתאר את המרחב ‪F n‬‬



‫במונחים גיאומטריים פשוטים‪ .‬התיאורים הגיאומטריים של ‪ 2‬ושל ‪  3‬יוצגו בסעיף הבא‪.‬‬ ‫ההסתכלות הדואלית – אלגברית מול גיאומטרית – על המרחבים הללו‪ ,‬תסייע להמחיש רבים מן‬ ‫המושגים האלגבריים שיוצגו בהמשך הקורס‪.‬‬ ‫מן הראוי לציין מראש‪ ,‬כי בעוד שבדיון האלגברי אנו מקפידים על הדיוק )מנסחים את כל ההנחות‬ ‫ומוכיחים את כל המסקנות(‪ ,‬בדיון הגיאומטרי לא ננהג כך‪ .‬פיתוח מדויק של יסודות הגיאומטריה‬ ‫הוא נושא לקורס בפני עצמו‪ .‬מאחר שמטרת הגיאומטריה כאן אינה אלא להמחיש את הדיון‬ ‫האלגברי המופשט‪ ,‬אנו נרשה לעצמנו להסתמך על הידע והאינטואיציה הגיאומטריים שרכשתם‬ ‫בעבר‪ ,‬ולא נתיימר להוכיח במדויק את כל הטענות הגיאומטריות‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪145‬‬



‫‪ 2.2‬המרחבים ‪  2‬ו־ ‪ -  3‬מבט גיאומטרי‬ ‫איברי המרחב ‪ 2‬הם הזוגות הסדורים של מספרים ממשיים‪ .‬במישור קרטזי‪ 1,‬כל נקודה מאופיינת‬ ‫באמצעות זוג שיעוריה‪ ,‬שהוא זוג מספרים ממשיים )כלומר איבר של ‪ ,( 2‬וכל זוג מספרים ממשיים‬ ‫מאפיין נקודה‪ .‬איברי ‪ 2‬ו ‪  3‬ניתנים לחיבור ולכפל בסקלר‪ ,‬כפי שראינו בסעיף הקודם‪ ,‬אך כעת‬ ‫נפרש אותם כיצורים גיאומטריים הנקראים וקטורים‪ ,‬וניתן הגדרה בעלת אופי גיאומטרי לפעולות‬ ‫עליהם‪.‬‬



‫א‪ .‬וקטורים מישוריים‬ ‫כשנדבר על וקטור מישורי נתכוון לְ ֵחץ במישור‪ ,‬כגון זה הנראה באיור שלפניכם‪.‬‬



‫המאפיינים של וקטור הם האורך שלו והכיוון שלו ותוּ לא‪ .‬חיצים שווי אורך‪ ,‬המצביעים באותו כיוון‪,‬‬ ‫ייחשבו כהעתקים של אותו וקטור‪.‬‬ ‫לכל חץ יש ראש ויש גם ָע ֵקב‪.‬‬ ‫כדי ששני חיצים ייחשבו כמצביעים באותו כיוון )דבר שמשמעותו ברורה באופן אינטואיטיבי‪ ,‬אך‬ ‫עתה נגדירו(‪ ,‬צריכים להתקיים שני תנאים‪:‬‬ ‫‪ ‬התנאי הראשון הוא‪ ,‬שעליהם להיות מונחים על ישר אחד או על ישרים מקבילים‪.‬‬ ‫‪ ‬לגבי חיצים שמונחים על ישר אחד‪ ,‬התנאי הנוסף הוא‪ ,‬שאם נזיז אותם קדימה או אחורה לאורך‬ ‫הישר שעליו הם מונחים‪ ,‬עד שעקביהם יימצאו בנקודה אחת‪ ,‬שניהם יימצאו על אותה קרן של‬ ‫הישר היוצאת מנקודה זו‪.‬‬ ‫שלושת החיצים באיור הבא מונחים על ישר אחד‪ .‬שני הקיצוניים מצביעים על אותו כיוון‪ ,‬אך‬ ‫החץ האמצעי אינו מצביע על אותו כיוון‪.‬‬



‫לגבי חיצים שמונחים על ישרים מקבילים התנאי הנוסף הוא‪ ,‬שאם נחבר את עקביהם זה לזה‬ ‫ואת ראשיהם זה לזה‪ ,‬נקבל מרובע‪.‬‬



‫‪ 1‬מישור קרטזי הוא מישור שבו נקבעה מערכת צירים קרטזית – שני צירי מספרים ניצבים זה לזה‪ ,‬בעלי ראשית‬ ‫משותפת‪.‬‬



‫‪146‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫למשל‪ ,‬שני החיצים באיור שלפניכם‪ ,‬המונחים על ישרים מקבילים‪ ,‬הם באותו כיוון‪:‬‬



‫גם החיצים שבאיור הבא מונחים על ישרים מקבילים‪ ,‬אך הם אינם באותו כיוון‪ ,‬שכן הצורה‬ ‫הנוצרת מחיבור עקביהם וראשיהם זה לזה אינה מרובע‪:‬‬



‫כאשר שני חיצים מונחים על אותו ישר או על ישרים מקבילים‪ ,‬ואינם מצביעים לאותו כיוון‪ ,‬נאמר‬ ‫שכיווניהם הפוכים‪.‬‬ ‫כאמור‪ ,‬חיצים שווי אורך ושווי כיוון הם העתקים של אותו וקטור‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫רק שניים מחמשת החיצים באיור הבא הם העתקים של אותו וקטור )מצאו אותם!(‪ .‬אם כך‪ ,‬באיור‬ ‫מתוארים ארבעה וקטורים שונים‪ .‬בדקו באילו מן המאפיינים נבדלים ארבעת הווקטורים הללו זה‬ ‫מזה!‬



‫‪‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬לכל וקטור נתון‪ ,‬כל נקודה במישור היא נקודת המוצא של חץ אחד ויחיד שמתאר אותו‪.‬‬



‫ב‪ .‬חיבור וקטורים‬ ‫על קבוצת הווקטורים המישוריים נגדיר פעולה‪ ,‬שנקרא לה חיבור גיאומטרי‪ ,‬באופן הבא‪:‬‬ ‫נבחר זוג וקטורים‪ ,‬למשל אלה שאותם מייצגים החיצים הכחול והירוק שבאיור הבא‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪147‬‬



‫כדי להוסיף את הווקטור הירוק לכחול‪ ,‬נציב את עקבו של החץ הירוק בראשו של החץ הכחול‪:‬‬



‫כעת נמתח חץ מן העקב של הכחול לראש של הירוק‪ .‬זהו החץ האדום באיור הבא‪:‬‬



‫סכום הווקטורים הוא הווקטור שאותו מייצג החץ האדום‪.‬‬ ‫כדי להוסיף באותה דרך את הווקטור הכחול לירוק‪ ,‬עלינו להציב את העקב של החץ הכחול בראשו‬ ‫של החץ הירוק‪,‬‬



‫ולמתוח חץ מן העקב של הירוק לראש של הכחול‪ .‬נקבל את הווקטור האדום שבאיור הבא‪:‬‬



‫האם שני הווקטורים האדומים שקיבלנו בשני המקרים שווים זה לזה?‬ ‫כדי להשיב על שאלה זו‪ ,‬נבחר נקודה במישור‪ ,‬ונצייר את ההעתקים של הווקטור הכחול והירוק‬ ‫היוצאים ממנה‪ .‬האיור הבא ממחיש‪ ,‬שחיבור הירוק לכחול וחיבור הכחול לירוק מניבים אותה‬ ‫תוצאה‪ :‬את שני הסכומים מתאר אותו חץ אדום – אלכסון המקבילית שצלעותיה הסמוכות הן‬ ‫הווקטורים הכחול והירוק‪.‬‬



‫‪148‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הנה דוגמה נוספת‪ ,‬והפעם ייצגנו מראש את הווקטורים הכחול והירוק באמצעות חיצים שיוצאים‬ ‫מנקודה אחת‪:‬‬



‫נוסיף לאיור את העתק הווקטור הירוק היוצא מהראש של החץ הכחול‪ ,‬ואת ההעתק של הווקטור‬ ‫הכחול היוצא מהראש של החץ הירוק‪ .‬מתקבלת מקבילית‪:‬‬



‫האיור ממחיש שהאלכסון )המסומן באדום( מייצג הן את הווקטור המתקבל עלידי הוספת הווקטור‬ ‫הירוק לכחול‪ ,‬והן את הווקטור המתקבל עלידי הוספת הווקטור הכחול לירוק‪.‬‬ ‫בשתי הדוגמאות חיברנו וקטורים‪ ,‬שהחיצים המתארים אותם אינם באותו כיוון ואינם בכיוונים‬ ‫הפוכים‪ .‬כפי שראינו‪ ,‬סכומם )שהתברר כלא תלוי בסדר המחוברים( הוא האלכסון של המקבילית‬ ‫הבנויה על זוג החיצים הזה‪ .‬בשל כך נהוג לקרוא לחיבור הגיאומטרי של וקטורים חיבור לפי כלל‬ ‫המקבילית‪.‬‬ ‫נדגים כעת חיבור של וקטורים שווי כיוון‪:‬‬



‫כדי להוסיף את הווקטור הכחול לירוק‪ ,‬נצייר את ההעתק שלו‪ ,‬כשעקבו בראש של החץ הירוק‪.‬‬ ‫הסכום הוא הווקטור שאותו מייצג החץ האדום‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪149‬‬



‫הוספת הווקטור הירוק לכחול מניבה אותה תוצאה‪:‬‬



‫גם כאן‪ ,‬סדר המחוברים אינו משנה‪.‬‬ ‫ומה קורה כאשר המחוברים מצביעים בכיוונים הפוכים?‬



‫הוספת הירוק לכחול )הסכום הוא הווקטור שאותו מייצג החץ האדום(‪:‬‬



‫הוספת הכחול לירוק‪:‬‬



‫אם כן‪ ,‬שינוי סדר המחוברים אינו משנה את התוצאה‪ :‬בשני המקרים‪ ,‬הסכום הוא וקטור שכיוונו‬ ‫הוא הכיוון של הארוך מבין שני הווקטורים המחוברים‪ ,‬ואורכו הוא הפרש האורכים של וקטורים‬ ‫אלה )הארוך פחות הקצר(‪.‬‬



‫‪150‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לבסוף נשאל ‪ :‬מה יקרה אם נחבר זה לזה שני וקטורים שווי אורך‪ ,‬שכיווניהם הפוכים?‬



‫במקרה זה נקבל וקטור‪ ,‬שעקבו וראשו הם באותה נקודה‪ .‬כלומר‪ ,‬וקטור באורך אפס‪ .‬לווקטור‬ ‫המיוחד הזה נקרא וקטור האפס‪ .‬לְ ווקטור האפס אין כיוון מסוים‪ .‬כמו כן‪ ,‬הסכום הגיאומטרי של‬ ‫שני וקטורים‪ ,‬שאחד מהם הוא וקטור האפס‪ ,‬הוא הווקטור האחר‪.‬‬ ‫הסכום הגיאומטרי של זוג וקטורים מישוריים ‪ a‬ו ‪ b‬יסומן‪:‬‬ ‫כפי שראינו‪ ,‬לכל זוג וקטורים ‪ a, b‬מתקיים‪:‬‬



‫‪b‬‬



‫‪2a‬‬



‫‪ab  ba‬‬



‫אם כן‪,‬‬ ‫‪ ‬חיבור גיאומטרי הוא פעולה חילופית )קומוטטיבית(‪.‬‬ ‫כעת‪ ,‬נסמן ב ‪ b , a‬ו ‪ c‬את הווקטורים שאותם מייצגים החיצים השחור‪ ,‬הכחול והירוק )בהתאמה(‬ ‫באיור שלפניכם‪.‬‬



‫נייצג את ‪ b‬באמצעות חץ היוצא מהראש של ‪ , a‬ואת ‪ c‬באמצעות חץ היוצא מהראש של ‪. b‬‬



‫האיור הבא וההסבר שבעקבותיו ממחישים שמתקיים‪:‬‬



‫) ‪(a  b)  c  a  ( b  c‬‬



‫‪ 2‬הערה‪ :‬הסמל ‪ ‬משמש אותנו באופן זמני בלבד – בהמשך הקורס נסמן חיבור וקטורים באמצעות סמל חיבור‬ ‫רגיל‪ ,‬והצדקה לכך תינתן בהמשך הסעיף‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪151‬‬



‫הסבר‪:‬‬ ‫‪) a  b‬שחור ועוד כחול( הוא הווקטור שאותו מייצג החץ השחור המקווקו; כשמוסיפים לו את החץ‬ ‫הירוק‪ ,‬המייצג את הווקטור ‪ , c‬מתקבל החץ האדום‪ .‬הסכום ‪ ( a  b)  c‬הוא אפוא הווקטור‬ ‫שאותו מייצג החץ האדום‪.‬‬ ‫את ‪) b  c‬כחול ועוד ירוק( מייצג באיור החץ הכחול המקווקו; כשמוסיפים אותו לחץ השחור‪,‬‬ ‫המייצג את הווקטור ‪ , a‬מתקבל הווקטור האדום‪ .‬אם כן‪ ,‬גם ) ‪ a  ( b  c‬הוא הווקטור שמיוצג‬ ‫עלידי החץ האדום‪.‬‬ ‫דוגמה אינה הוכחה‪ ,‬אבל ברמת הדיוק של הדיון הנוכחי נסתפק בה כביסוס לקביעה‪:‬‬ ‫‪ ‬חיבור גיאומטרי הוא פעולה קיבוצית )אסוציאטיבית(‪.‬‬ ‫מכך שפעולת החיבור הגיאומטרי חילופית וקיבוצית נובע‪ 3,‬שכדי לחבר אלה לאלה את הווקטורים‬ ‫מתוך קבוצה סופית נתונה‪ ,‬אפשר לרשום את המחוברים בכל סדר שהוא‪ ,‬ולמקם את הסוגריים בכל‬ ‫דרך שהיא‪ .‬למשל‪:‬‬



‫) ‪ (a  b )  c   d  (a  b )  (c  d )  (a  c )  ( b  d‬‬



‫ג‪ .‬וקטורים מרחביים‬ ‫כשם שחץ במישור מייצג וקטור מישורי‪ ,‬כך חץ במרחב מייצג וקטור מרחבי‪ .‬חיצים במרחב‪ ,‬שהם‬ ‫שווי אורך וכיוון‪ ,‬נחשבים להעתקים של אותו וקטור מרחבי‪ .‬חיבור גיאומטרי של וקטורים מרחביים‬ ‫אנלוגי לחיבור הגיאומטרי של וקטורים מישוריים‪ :‬כדי להוסיף וקטור ‪ b‬לווקטור ‪ , a‬מציירים את‬ ‫ההעתק של ‪ b‬היוצא מהראש של ‪ . a‬הסכום הוא הווקטור שאותו מייצג החץ היוצא מהעקב של ‪a‬‬ ‫ופוגע בראש של ‪ . b‬כמו במישור‪ ,‬חיבור וקטורים מרחביים הוא פעולה חילופית וקיבוצית‪.‬‬



‫ד‪ .‬על הקשר בין המבט האלגברי והמבט הגיאומטרי‬ ‫נקבע במישור מערכת צירים קרטזית‪.‬‬ ‫שאלֶ ה הם שיעוריה‪,‬‬ ‫ההתאמה‪ ,‬המתאימה לכל זוג מספרים ממשיים ) ‪ ( u1 , u2‬את הנקודה במישור ֵ‬ ‫היא התאמה של אחד לאחד בין איברי ‪ 2‬לבין נקודות המישור‪ .‬התאמה חדחד ערכית כזאת‬ ‫מאפשרת לחשוב על איברים של ‪ 2‬כעל נקודות במישור‪.‬‬ ‫‪ 3‬ראו בפרק ‪ ,1‬בסעיף ‪ 1.1‬העוסק בתכונות של פעולות על קבוצה‪.‬‬



‫‪152‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נסתכל כעת באלומת החיצים היוצאים מהראשית לעבר כל נקודות המישור‪ .‬האיור שלפניכם ממחיש‬ ‫אחדים מהם‪.‬‬



‫כל חץ באלומה מתאר וקטור מישורי‪ ,‬ומאחר שלכל וקטור מישורי יש העתק יחיד שעקבו בראשית‪,‬‬ ‫הרי שהאלומה מכילה נציג אחד ויחיד של כל וקטור מישורי‪.‬‬ ‫מעתה ואילך נייצג וקטורים מישוריים באמצעות נציגיהם שיוצאים מהראשית‪ .‬כשנדבר על וקטור‬ ‫מישורי‪ ,‬נחשוב אפוא על חץ שיוצא מהראשית‪.‬‬ ‫וקטורים שונים )חיצים שונים שיוצאים מהראשית( פוגעים בנקודות שונות‪ :‬לווקטור שפוגע בנקודה‬ ‫‪ u‬נקרא הווקטור ‪. u‬‬ ‫בבירור‪ ,‬מתקיימות התכונות הבאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫הווקטור ‪ u‬מונח על הישר העובר דרך הראשית והנקודה ‪. u‬‬ ‫אם הווקטורים ‪ u‬ו ‪ v‬מונחים על ישרים שונים )העוברים דרך הראשית(‪ ,‬אז הם מצביעים‬ ‫לכיוונים שונים‪.‬‬ ‫אם הווקטורים ‪ u‬ו ‪ v‬מונחים על ישר אחד העובר דרך הראשית‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫)‪ (i‬אם הנקודות ‪ u‬ו ‪ v‬הן על אותה קרן היוצאת מהראשית של הישר שעליו הם מונחים‪ ,‬אז‬ ‫הווקטורים ‪ u‬ו ‪ v‬הם שווי כיוון‪.‬‬ ‫)‪ (ii‬אם ‪ u‬ו ‪ v‬הן על קרניים נגדיות – הווקטורים ‪ u‬ו ‪ v‬מצביעים לכיוונים הפוכים‪.‬‬ ‫הווקטור ‪) 0‬וקטור האפס( יוצא מהראשית ופוגע בה‪ .‬האורך של הווקטור המיוחד הזה הוא ‪,0‬‬ ‫והוא מונח על כל קרן של כל ישר שעובר דרך הראשית‪ .‬על וקטור האפס אפשר אפוא לומר שהוא‬ ‫מצביע לכל הכיוונים‪4.‬‬



‫שאלה ‪2.2.1‬‬ ‫א‪ .‬נתון כי הווקטור ) ‪ a  ( a1 , a2‬שונה מאפס‪ ,‬מונח על ציר ה ‪ x‬ומצביע בכיוון החיובי‪ .‬מה אפשר‬ ‫לומר על המספרים ‪ a1‬ו ‪ ? a2‬מהו אורכו של הווקטור ‪? a‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ . b2  0 , b  (0, b2 ) :‬מהו הישר שעליו מונח הווקטור ‪ ? b‬מה הכיוון של ‪ ? b‬מהו אורכו?‬ ‫ג‪ .‬נתון כי הווקטור ‪ u‬מונח על ציר ה ‪ x‬ואורכו ‪ . 5‬השלימו‪ u  (_, _) :‬או )_ ‪. u  (_,‬‬ ‫‪ 4‬שימו לב שההתאמה שאנו מבצעים‪ ,‬בין נקודות לווקטורים‪ ,‬תלויה בבחירת הראשית‪ .‬בחירה זו גלומה בתוך‬ ‫בחירת מערכת הצירים הקרטזית שאותה קבענו בתחילת הדיון‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫ד‪.‬‬



‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫ז‪.‬‬



‫‪153‬‬



‫השלימו את המשפטים הבאים‪:‬‬ ‫הווקטור ) ‪ a  ( a1 , a2‬מונח על ציר ה ‪ x‬אם ורק אם ‪. ...‬‬ ‫הנקודה ) ‪ a  ( a1 , a2‬מונחת על ציר ה ‪ y‬אם ורק אם הווקטור ) ‪ a  ( a1 , a2‬מונח ‪,...............‬‬ ‫כלומר אם ורק אם __ ‪. a1 ‬‬ ‫האורך של הווקטור )‪ a  ( a1 ,0‬הוא ‪ ,...‬והאורך של הווקטור ) ‪ a  (0, a2‬הוא ‪. ...‬‬ ‫נתון שהווקטור ) ‪ c  ( c1 , c2‬אינו מונח על אחד מהצירים‪ .‬הראו ש ‪ . c1 , c2  0‬מהו האורך של‬ ‫הווקטור ‪? c‬‬ ‫במישור קרטזי‪ ,‬תארו את הווקטורים הבאים‪:‬‬ ‫)‪u  (3,5); v  ( 3,5); w  (3, 5); x  ( 3, 5‬‬



‫התשובה בעמוד ‪203‬‬ ‫ההתאמה בין איברי ‪ 2‬לבין אוסף הווקטורים המישוריים‪ ,‬המתאימה לכל‪ u  2 ‬את הווקטור‬ ‫‪ , u‬היא התאמה חדחדערכית; היא מאפשרת לחשוב על איברי ‪ 2‬כעל וקטורים במישור קרטזי‪.‬‬ ‫כעת נקנה משמעות גיאומטרית לפעולת החיבור‪ ,‬וכן נבחן את הקשר הגיאומטרי שבין ‪ a‬לבין ‪ ta‬עבור‬ ‫‪. t   , a  2 ‬‬ ‫נפתח בחיבור‪ ,‬ונתחיל בשתי טענות עזר‪.‬‬ ‫טענת עזר ‪1‬‬ ‫יהיו ‪ . a, b   2‬אם הווקטורים המישוריים ‪ a‬ו ‪ b‬מונחים שניהם על ציר ה ‪ , x‬או שניהם על ציר‬ ‫ה ‪ , y‬אז‪:‬‬ ‫‪ab ab‬‬ ‫)הסבר‪ a  b :‬הוא הסכום הגיאומטרי לפי כלל המקבילית של הווקטורים המישוריים ‪ a‬ו ‪; b‬‬ ‫‪ a  b‬הוא הסכום של ‪ a‬ו ‪ b‬כאיברים של המרחב ‪(. 2‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נוכיח תחילה את הטענה בהנחה שהווקטורים המישוריים ‪ a‬ו ‪ b‬מונחים שניהם על ציר ה ‪. x‬‬ ‫)‪a  ( a ,0) , b  ( b,0‬‬ ‫משמעות ההנחה היא‬ ‫כאשר ‪. a , b  ‬‬ ‫)‪a  b  ( a  b,0‬‬ ‫במרחב ‪ 2‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪a  b  ( a  b,0‬‬ ‫עלינו להראות אפוא שמתקיים‪:‬‬ ‫כלומר – שהסכום הגיאומטרי של הווקטורים המישוריים ‪ a‬ו ‪ , b‬הוא הווקטור )‪. ( a  b,0‬‬ ‫לשם כך נזכיר איך מוצאים בדרך גיאומטרית את הסכום‪ , a  b ,‬של זוג מספרים ממשיים ‪. a , b‬‬ ‫על ציר מספרים נתון מציירים את החיצים המובילים מן הראשית לנקודות ‪ a‬ו ‪ ; b‬מזיזים את החץ‬ ‫שע ֵקבו מגיע ל ‪ . a‬במצב הזה‪ ,‬הראש של החץ המוזז ‪ b‬הוא בנקודה‬ ‫המוביל ל ‪ b‬לאורך הציר‪ ,‬עד ָ‬ ‫‪.a  b‬‬ ‫האיור הבא ממחיש את החישוב הגיאומטרי של הסכומים ‪ , 3  4  7‬ו ‪. 3  ( 4)  1‬‬



‫‪154‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הווקטורים המישוריים )‪ a  ( a ,0‬ו )‪ b  ( b,0‬מונחים על ישר אחד )ציר ה ‪ .( x‬מן האופן שבו‬ ‫מחברים גיאומטרית וקטורים מישוריים שמונחים על ישר אחד‪ ,‬נובע שגם הווקטור ‪ a  b‬מונח על‬ ‫ציר ה ‪ , x‬ובהתחשב באמור לעיל‪ ,‬הווקטור הזה הוא )‪ , ( a  b,0‬כפי שרצינו להראות‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫בנוגע לחיבור שני וקטורים שמונחים על ציר ה ‪ – y‬ההוכחה דומה‪.‬‬



‫טענת עזר ‪2‬‬ ‫יהיו ‪ . a, b   2‬אם הווקטור המישורי ‪ a‬מונח על ציר ה ‪ , x‬והווקטור המישורי ‪ b‬על ציר ה ‪, y‬‬ ‫אז‪:‬‬ ‫‪ab ab‬‬



‫הוכחה‬ ‫נניח שהווקטור המישורי ‪ a‬מונח על ציר ה ‪ , x‬והווקטור המישורי ‪ b‬על ציר ה ‪. y‬‬ ‫) ‪a  ( a , 0) , b  (0, b‬‬ ‫משמעות ההנחה היא‬ ‫כאשר ‪. a , b  ‬‬ ‫)‪a  b  ( a , b‬‬ ‫במרחב ‪ 2‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪a  b  ( a , b‬‬ ‫עלינו להראות אפוא שמתקיים‪:‬‬ ‫כלומר‪ ,‬שהסכום הגיאומטרי של הווקטורים המישוריים ‪ a‬ו ‪ b‬הוא הווקטור )‪. ( a , b‬‬ ‫הווקטורים המישוריים ‪ a‬ו ‪ b‬מונחים על ישרים שונים – ציר ה ‪ x‬וציר ה ‪ . y‬לכן סכומם הוא‬ ‫האלכסון של המקבילית הבנויה עליהם‪ .‬מאחר שהם ניצבים זה לזה‪ ,‬המקבילית היא מלבן )ראו‬ ‫באיור(‪ ,‬והאלכסון שלה פוגע בנקודה )‪ , ( a , b‬כפי שרצינו להראות‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪155‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫כעת נכליל‪:‬‬ ‫טענה ‪2.2.1‬‬ ‫לכל ‪: a, b   2‬‬



‫‪ab ab‬‬



‫הוכחה‬ ‫יהיו ‪ . a, b   2‬נסמן‪:‬‬



‫) ‪a  ( a1 , a2 ) , b  ( b1 , b2‬‬



‫סכומם במרחב ‪ 2‬הוא‪:‬‬



‫) ‪a  b  ( a1  b1 , a2  b2‬‬



‫כעת נמצא את הווקטור ‪) a  b‬הסכום הגיאומטרי(‪.‬‬ ‫נתחיל מכך ש‬



‫) ‪a  ( a1 , 0)  (0, a2‬‬



‫הווקטור )‪ ( a1 , 0‬מונח על ציר ה ‪ , x‬והווקטור ) ‪ (0, a2‬על ציר ה ‪ ; y‬לכן‪ ,‬לפי טענת העזר ‪,2‬‬ ‫) ‪a  ( a1 , 0)  (0, a2‬‬



‫לפי אותו שיקול‪,‬‬ ‫ולכן‪:‬‬



‫) ‪b  ( b1 , 0)  (0, b2‬‬



‫‪a  b  ( a1 ,0)  (0, a2 )   ( b1 ,0)  (0, b2 ) ‬‬



‫לאור החילופיות והקיבוציות של החיבור הגיאומטרי‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬



‫‪a  b  ( a1 ,0)  ( b1 ,0)   (0, a2 )  (0, b2 ) ‬‬



‫הווקטורים )‪ ( a1 , 0‬ו )‪ ( b1 , 0‬מונחים על ציר ה ‪ , x‬לכן לפי טענת העזר ‪:1‬‬ ‫)‪( a1 , 0)  ( b1 , 0)  ( a1 , 0)  ( b1 , 0)  ( a1  b1 , 0‬‬



‫ולפי אותו שיקול‪:‬‬ ‫לכן לפי )‪:(1‬‬



‫) ‪(0, a2 )  (0, b2 )  (0, a2 )  (0, b2 )  (0, a2  b2‬‬ ‫) ‪a  b  ( a1  b1 , 0)  (0, a2  b2‬‬



‫הווקטור )‪ ( a1  b1 , 0‬מונח על ציר ה ‪ , x‬והווקטור ) ‪ (0, a2  b2‬מונח על ציר ה ‪ . y‬לכן‪ ,‬מהשוויון‬ ‫האחרון נובע כי‪:‬‬ ‫‪a  b  ( a1  b1 , 0)  (0, a2  b2 )  a  b‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫‪156‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ ‬שימו לב שטענה ‪ 2.2.1‬מקנה משמעות גיאומטרית לפעולת החיבור של המרחב ‪ , 2‬ובה בעת היא‬ ‫מספקת דרך אלגברית למציאת הסכום של וקטורים מישוריים‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬טענה ‪ 2.2.1‬מייתרת את הצורך להבחין בין פעולת החיבור של וקטורים במרחב ‪ , ‬לבין פעולת‬ ‫החיבור הגיאומטרי של וקטורים מישוריים‪ ,‬ולכן לא נשוב להשתמש בסימן ‪ ‬ונסתפק בסימן‬ ‫‪ . ‬לחיבור במרחב ‪ 2‬נקרא חיבור וקטורי‪ ,‬ובהקשרים גיאומטריים – חיבור לפי כלל‬ ‫המקבילית‪.‬‬ ‫כעת נבחן את המשמעות הגיאומטרית של הכפל בסקלר‪.‬‬ ‫טענה ‪2.2.2‬‬ ‫יהי ‪ a‬וקטור ב ‪ , 2‬ויהי ‪ t‬סקלר ממשי‪.‬‬ ‫הקשר הגיאומטרי בין הווקטורים ‪ a‬ו ‪ ta‬הוא כדלהלן‪:‬‬ ‫א‪ ta .‬מונח על הישר שעליו מונח ‪. a‬‬ ‫ב‪ ta .‬ארוך פי | ‪ | t‬מ ‪5. a‬‬ ‫ג‪ ta .‬הוא בכיוון של ‪ a‬אם ‪ , t  0‬ובכיוון ההפוך ל ‪ a‬אם ‪. t  0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תחילה נציין‪ ,‬שאם ‪ t  0‬אז ‪ . ta  0‬וקטור האפס מונח על כל ישר העובר דרך הראשית‪ ,‬הוא‬ ‫מצביע לכל הכיוונים‪ ,‬ואורכו ‪ . 0‬עבור ‪ , t  0‬טענה ‪ 2.2.2‬מתקיימת אפוא באופן טריוויאלי‪.‬‬ ‫בהמשך ההוכחה נניח כי ‪. t  0‬‬ ‫נבחין בין שתי אפשרויות‪:‬‬ ‫אפשרות אחת‪ a :‬מונח על ציר ה ‪ x‬או על ציר ה ‪ , y‬כלומר )‪ a  ( a,0‬או ) ‪. a  (0, a‬‬ ‫א‪ ta  ( ta ,0) .‬או ) ‪ . ta  (0, ta‬בשני המקרים ‪ ta‬מונח על הציר שעליו מונח ‪. a‬‬ ‫ב‪ .‬האורך של ‪ a‬הוא | ‪ , | a‬והאורך של ‪ ta‬הוא | ‪ . | ta || t || a‬לכן ‪ ta‬ארוך פי | ‪ | t‬מ ‪. a‬‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ , t  0‬הסימן של ‪ ta‬הוא הסימן של ‪ , a‬ואם ‪ , t  0‬הסימן של ‪ ta‬הפוך לסימן של ‪ . a‬לכן‬ ‫אם ‪ ta , t  0‬הוא בכיוון של ‪ , a‬ואם ‪ ta , t  0‬הוא בכיוון ההפוך‪.‬‬ ‫האפשרות האחרת‪ a :‬אינו מונח על אחד הצירים‪ ,‬ואז ‪ a  ( a1 , a2 ), a1 , a2  0‬כלומר‬ ‫) ‪ , a  ( a1 , 0)  (0, a2‬ולכן‪:‬‬ ‫) ‪ta  ( ta1 , 0)  (0, ta2‬‬ ‫נתבונן במשולש ישר הזווית שקדקודיו בנקודות ) ‪ . O  (0, 0), A  ( a1 , 0), B  (0, a2‬אורכי‬ ‫הניצבים שלו הם ‪ a1‬ו ‪ . a2‬באופן דומה‪ ,‬אורכי הניצבים של המשולש ישר הזווית שקדקודיו‬ ‫בנקודות ) ‪ O  (0, 0), A '  ( ta1 , 0), B '  (0, ta2‬הם ‪ ta1‬ו ‪ . ta2‬מאחר שכל אחד מהם ארוך פי‬ ‫| ‪ | t‬מן הניצב המתאים במשולש הקודם‪ ,‬הרי שהמשולשים ' ‪ OAB , OA ' B‬דומים‪ .‬האיורים הבאים‬ ‫מתארים את המשולשים )שימו לב להבדל בתיאור בין המקרה שבו ‪ t  0‬לבין המקרה שבו ‪.( t  0‬‬ ‫‪ 5‬אם ‪ , | t | 1‬פירוש הדבר ש ‪ ta‬קצר מ ‪ . a‬למשל‪ ,‬אם ‪ , t  1‬אז ‪ ta‬קצר פי שניים מ ‪. a‬‬ ‫‪2‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪157‬‬



‫מכיוון שהמשולשים דומים‪ ,‬הזוויות המתאימות ' ‪ AOB, A ' OB‬הן שוות‪ ,‬ומכאן ש ‪ ta‬מונח על‬ ‫הישר שעליו מונח ‪. a‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫בקיצור מסבר אוזן נאמר כך‪:‬‬ ‫‪ ta ‬מתקבל מ ‪ a‬עלידי מתיחה או כיווץ של ‪ a‬פי | ‪ | t‬לאורך הישר שעליו הוא מונח‪ ,‬תוך‬ ‫שמירה על הכיוון אם ‪ , t  0‬והיפוך הכיוון אם ‪. t  0‬‬ ‫‪ ‬בקשר לאורך של ‪ ta‬ראוי לציין‪:‬‬ ‫אם ‪ | t |  1‬אז ‪ ta‬ארוך מ ‪6. a‬‬ ‫אם ‪ | t |  1‬אז‪ ,‬כפי שכבר ציינו‪ ta ,‬קצר מ ‪7. a‬‬ ‫אם ‪ , | t |  1‬הווקטורים ‪ a‬ו ‪ ta‬הם שווי אורך‪ | t |  1 :‬אם ורק אם ‪ t  1‬או ‪1a  a . t  1‬‬ ‫ו ‪ . ( 1)a  a‬השוויון האחרון משקף את העובדה שהווקטור הנגדי לווקטור נתון ‪ a‬הוא‬ ‫הווקטור המונח על הישר שעליו מונח ‪ , a‬שאורכו הוא האורך של ‪ a‬וכיוונו הפוך‪.‬‬ ‫למרחב הלינארי ‪  3‬יש ייצוג גיאומטרי אנלוגי‪:‬‬ ‫נקבע במרחב מערכת צירים קרטזית )שלושה צירי מספרים ניצבים זה לזה ובעלי ראשית משותפת(‪.‬‬ ‫במרחב הקרטזי שקבענו‪ ,‬כל נקודה ‪ a‬מאופיינת באמצעות שלָ ַשת שיעוריה‪ ,‬שהיא השלָ ָשה‬ ‫) ‪ ( a1 , a2 , a3‬של מספרים ממשיים )כלומר איבר של ‪ .(  3‬אלומת החיצים המובילים מהראשית לכל‬ ‫נקודות המרחב מכילה נציג אחד של כל וקטור מרחבי‪ .‬בכפוף להסכמה שווקטורים מיוצגים תמיד‬ ‫באמצעות נציגיהם היוצאים מהראשית‪ ,‬אפשר לזהות כל נקודה ) ‪ a  ( a1 , a2 , a3‬עם הווקטור‬ ‫המרחבי שפוגע בה‪ .‬לווקטור הזה נקרא הווקטור ‪. a‬‬



‫‪ 6‬למשל‪ ,‬לכל ‪ , a  0‬כל אחד משני הווקטורים ‪ 2a‬ו ‪ 2a‬כפול באורכו מן הווקטור ‪ . a‬ההבדל בין שני אלה‬ ‫הוא בכיוון‪ 2a :‬הוא בכיוון של ‪ , a‬ואילו ‪ 2a‬הוא בכיוון ההפוך‪.‬‬



‫‪ 7‬למשל‪ ,‬לכל ‪ , a  0‬האורך של כל אחד משני הווקטורים ‪ 1 a‬ו ‪  1 a‬הוא שליש האורך של ‪ . a‬ההבדל ביניהם‬ ‫‪3‬‬



‫‪3‬‬



‫הוא בכיוון‪ 1 a :‬הוא בכיוון של ‪ , a‬ואילו ‪  1 a‬הוא בכיוון ההפוך‪.‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪3‬‬



‫‪158‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫בדרך דומה לזו שבה פעלנו במישור‪ ,‬אפשר להראות שפעולת החיבור במרחב ‪)  3‬החיבור רכיברכיב(‬ ‫מתאימה לכל זוג איברים של ‪  3‬את הסכום הגיאומטרי שלהם כווקטורים מרחביים‪ .‬כמו כן‪ ,‬לכל‬ ‫‪ ta , t  0‬הוא הווקטור המתקבל עלידי מתיחה‪/‬כיווץ פי | ‪ | t‬של הווקטור ‪ a‬לאורך הישר שעליו‬ ‫הוא מונח‪ ,‬ולכל ‪ ta , t  0‬הוא הווקטור המתקבל עלידי מתיחה‪/‬כיווץ פי | ‪ | t‬של הווקטור הנגדי‪,‬‬ ‫‪ 8.  a‬מאחר שהנימוקים אנלוגיים לנימוקים שניתנו לגבי וקטורים מישוריים‪ ,‬לא נפרט אותם‪.‬‬ ‫על זוגות ושלשות של מספרים ממשיים נחשוב‪ ,‬מעתה ואילך‪ ,‬בעת ובעונה אחת הן כעל יצורים‬ ‫אלגבריים )איברים של המרחבים ‪ 2‬ו ‪ (  3‬והן כעל יצורים גיאומטריים )נקודות או וקטורים‬ ‫גיאומטריים(‪ .‬בדרך כלל נקרא להם נקודות‪ ,‬או וקטורים‪ ,‬ולעיתים – כדי להבחין בין ‪ 2‬ל ‪–  3‬‬ ‫וקטורים ד ּוממדיים או וקטורים תלתממדיים מעל ‪. ‬‬ ‫שאלה ‪2.2.2‬‬ ‫ההפרש‬ ‫בפרק ‪ 1‬למדתם את הגדרת ההפרש בין ‪ n‬יות‪ .‬בפרט‪ ,‬עבור וקטורים‬ ‫) ‪ ( a1 , a2 )  (b1 , b2‬הוגדר להיות הווקטור ) ‪ . ( a1  b1 , a2  b2‬מהי המשמעות הגיאומטרית של הפרש‬ ‫זה? כלומר‪ ,‬איזה וקטור במישור מייצג ההפרש?‬ ‫התשובה בעמוד ‪203‬‬ ‫ב ‪, 2‬‬



‫‪ 8‬אם‬



‫‪ta , t  0‬‬



‫הוא וקטור האפס‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪ 2.3‬הצגות פרמטריות במרחבים‬



‫‪159‬‬



‫‪  2‬ו־ ‪ 3‬‬



‫ישר ומישור הם יצירים גיאומטריים‪ .‬אוסף הפתרונות של משוואה לינארית )או של מערכת משוואות‬ ‫לינאריות( בשניים או בשלושה משתנים מעל ‪ 3‬הם יצירים אלגבריים )תתקבוצות של המרחבים‬ ‫‪  2‬ו ‪ , 3‬בהתאמה(‪ .‬בסעיף זה נייצג ישרים )במישור ובמרחב( ומישורים )במרחב( בדרך אלגברית‪,‬‬ ‫ונמחיש את אוספי הפתרונות של משוואות לינאריות )בשני משתנים או בשלושה( בדרך גיאומטרית‪.‬‬



‫א‪ .‬הצגות פרמטריות של ישרים במישור ובמרחב‬ ‫יהי ‪ ‬ישר שעובר דרך הראשית במישור או במרחב קרטזי‪ ,‬ותהי ‪ a  0‬נקודה על ‪ , ‬שאותה נראה‬ ‫גם כווקטור‪ .‬מבחינה גיאומטרית אפשר לאפיין את ‪ ‬כישר )היחיד( העובר דרך הראשית ודרך ‪a‬‬ ‫)זהו הישר שעליו מונח הווקטור ‪.( a‬‬ ‫כעת נאפיין את ‪ ‬בדרך אלגברית‪.‬‬ ‫לכל ‪ , t  ‬גם הווקטור ‪ ta‬מונח על ‪ . ‬כמו כן‪ ,‬לכל נקודה ‪ b‬על ‪ ‬יש ‪ t  ‬כך ש ‪ : b  ta‬ה ‪t‬‬ ‫המתאים ל ‪ b‬הוא חיובי אם ‪ b‬בכיוון של ‪ , a‬ושלילי אם ‪ b‬בכיוון ההפוך ל ‪1. a‬‬ ‫הערך המוחלט של ‪ t‬הוא המספר הממשי המבטא את היחס שבין האורך של ‪ b‬לאורך של ‪. a‬‬ ‫אם כן‪ b ,‬נמצאת על הישר ‪ ‬אם ורק אם קיים ‪ , t   , t‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪b  ta‬‬ ‫הווי אומר‪:‬‬ ‫טענה ‪ 2.3.1‬הצגה פרמטרית של ישר שעובר דרך הראשית‬ ‫אם ‪ ‬ישר העובר דרך הראשית במישור או במרחב קרטזי‪ ,‬ו ‪ a  0‬היא נקודה עליו‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪  ta t  ‬‬



‫ההצגה של ‪ ‬בדרך זו מכונה הצגה פרמטרית של ‪ 2, ‬ואומרים ש ‪ ‬הוא הישר שנקבע עלידי‬ ‫הנקודה ‪. a‬‬ ‫הערות‬ ‫א‪ .‬את האוסף ‪ ta t  ‬נהוג לסמן בקצרה ‪.  a‬‬ ‫‪  ‬הוא הישר העובר‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪ c  0‬במישור או במרחב‪ ,‬האוסף ‪c  tc t  ‬‬ ‫‪ ‬הוא ישר‪ ,‬שהרי ‪c‬‬ ‫דרך הראשית והנקודה ‪. c‬‬ ‫ג‪ .‬לישר ‪ ‬העובר דרך הראשית ו ‪ , a‬יש הצגות פרמטריות שונות‪ ,‬כי לכל נקודה ‪ c  0‬שנמצאת על‬ ‫‪ ‬מתקיים ‪.   tc t  ‬‬



‫‪ 1‬ה ‪ t‬המתאים לווקטור האפס הוא ‪. (0a  0 ) t  0‬‬ ‫‪ 2‬הפרמטר הוא ‪ . t‬כאשר ‪" t‬עובר" על כל המספרים הממשיים‪ ,‬הנקודה ‪" ta‬עוברת" דרך כל נקודות הישר‪ .‬את‬ ‫המושג פרמטר פגשנו כבר בסעיף ‪ 1.4‬אחרי הגדרה ‪ ,1.4.2‬ראו שם‪.‬‬



‫‪160‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪2.3.1‬‬ ‫יהי ‪ ‬הישר במישור שנקבע עלידי‬ ‫שיעור ה ‪ y‬של ‪? a‬‬



‫)‪3, (1,5‬‬



‫ותהי ‪ a‬נקודה על ‪ , ‬ששיעור ה ‪ x‬שלה הוא ‪ . 7‬מהו‬ ‫התשובה בעמוד ‪204‬‬



‫שאלה ‪2.3.2‬‬ ‫יהי ‪ ‬ישר שעובר דרך הראשית במישור קרטזי‪ ,‬ותהיינה )‪ (a,3a‬ו )‪ (7, b‬נקודות על ‪ . ‬נתון כי‬ ‫‪ . a  0‬מצאו את ‪. b‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪204‬‬ ‫שאלה ‪2.3.3‬‬ ‫בכל אחד מסעיפי השאלה נתונות שתי נקודות ‪ a‬ו ‪ b‬ב ‪. 3‬‬ ‫בכל סעיף תנו הצגה פרמטרית של הישר שנקבע עלידי ‪ , a‬וקבעו אם גם ‪ b‬נמצאת עליו‪.‬‬ ‫א‪a  (2,1,3) b  (4, 2, 6) .‬‬



‫ב‪a  (1, 2,3) b  (1, 2,3) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪( a  0 ) a  ( a1 , a2 , a3 ) b   2 a1 , a2 , 2 a3  .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫התשובה בעמוד ‪204‬‬ ‫שאלה ‪2.3.4‬‬ ‫יהיו ‪   0‬ו ‪   0‬מספרים ממשיים‪ .‬נתון שהנקודה ) ‪ b  ( ,  ,‬נמצאת על הישר‬ ‫שנקבע עלידי הווקטור ) ‪ . a  ( 2 ,  2 , ‬חשבו את ‪ ‬ואת ‪. ‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪205‬‬ ‫ב ‪ 3‬‬



‫שאלה ‪2.3.5‬‬ ‫א‪ .‬רשמו הצגות פרמטריות של ציר ה ‪ , x‬של ציר ה ‪ y‬ושל ציר ה ‪ z‬במרחב‬ ‫ב‪ .‬נתון ריבוע ששתיים מצלעותיו מונחות על שני הצירים במישור‪.‬‬ ‫רשמו הצגה פרמטרית של הישר העובר דרך הראשית שעליו מונח אלכסון הריבוע‪.‬‬ ‫‪. 3‬‬



‫‪ 3‬זהו הישר שעובר דרך הראשית והנקודה )‪. (1, 5‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪161‬‬



‫ג‪ .‬רשמו הצגה פרמטרית של הישר המתואר באיור‪ ,‬וקבעו אם הנקודה )‪ (144,260‬נמצאת עליו‪.‬‬



‫התשובה בעמוד ‪205‬‬ ‫נעבור לישרים שאינם עוברים דרך הראשית‪ ,‬ונתאר גם אותם בדרך אלגברית‪.‬‬ ‫יהי ‪ ‬ישר כלשהו )במישור או במרחב(‪.‬‬ ‫נבחר נקודה ‪ b‬על ‪ , ‬וּוֶ קטור כלשהו ‪ a  0‬שמקביל לישר ‪) . ‬ראו בחלק הימני של האיור; בחלק‬ ‫השמאלי שלו ניעזר מיד‪(.‬‬



‫תהי ‪ c‬נקודה כלשהי על ‪ . ‬נתבונן בווקטור היוצא מראשו של ‪ b‬ומסתיים בנקודה ‪ . c‬לפי שאלה‬ ‫‪ ,2.2.2‬וקטור זה שווה ל ‪ . c  b‬מכיוון שהווקטור מקביל לישר שנקבע עלידי ‪ , a‬קיים סקלר ‪t  ‬‬ ‫כך ש ‪ , c  b  ta‬ולכן‪:‬‬ ‫‪c  ta  b‬‬



‫הראינו‪ ,‬אם כן‪ ,‬שכל נקודה ‪ c‬על הישר ‪ ‬היא מהצורה ‪. c  ta  b‬‬ ‫בכיוון ההפוך – יהי עתה ‪ t  ‬מספר ממשי כלשהו‪ ,‬ונתבונן בנקודה ‪ . c  ta  b‬הנקודה ‪d  ta‬‬ ‫היא על הישר שנקבע עלידי ‪ , a‬המקביל ל ‪ . ‬לכן‪ ,‬לפי כלל המקבילית‪ c ,‬היא על ‪4. ‬‬ ‫אם כן‪ c ,‬נמצאת על הישר ‪ ‬אם ורק אם קיים ‪ t‬ממשי שעבורו מתקיים‪:‬‬ ‫‪c  ta  b‬‬



‫‪ 4‬הסבירו לעצמכם כיצד נובעת מסקנה זו מכלל המקבילית‪.‬‬



‫‪162‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫טענה ‪ 2.3.2‬הצגה פרמטרית של ישר כללי‬ ‫א‪ .‬יהיו ‪ a, b‬ב ‪  2‬או ב ‪ , 3‬כאשר ‪ a  0‬ו ‪ b‬אינו מונח על הישר העובר דרך הראשית ו ‪. a‬‬ ‫אז האוסף ‪ , ta  b | t  ‬שאותו נהוג לסמן בקיצור ‪ , a  b‬הוא ישר‪.‬‬ ‫זהו הישר שמקביל לווקטור ‪ a‬ועובר דרך הנקודה ‪. b‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ישר ‪) ‬במישור או במרחב(‪ ,‬יש וקטורים ‪ , a  0 , a, b‬שעבורם ‪.   a  b‬‬ ‫)לשון אחר‪ ,‬לכל ישר ‪ ‬יש הצגה פרמטרית מהצורה ‪(. a  b‬‬ ‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬חלק זה של הטענה הוא תוצאת הדיון שקדם לטענה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ ‬ישר שעובר דרך הראשית‪ ,‬נבחר נקודה ‪ a  0‬על ‪ , ‬ונבחר ‪: b  0‬‬ ‫‪a  b  a  0  a  ‬‬ ‫אם ‪ ‬ישר שאינו עובר דרך הראשית‪ ,‬נבחר וקטור ‪ a  0‬שמקביל ל ‪ , ‬ונקודה ‪ b‬על ‪ . ‬אז ‪b‬‬



‫אינה על הישר שעובר דרך הראשית ו ‪ , a‬וכפי שראינו‪ a  b ,‬היא הצגה פרמטרית של ‪. ‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫דרך שתי נקודות שונות נתונות עובר ישר אחד ויחיד‪ .‬נמצא לו הצגה פרמטרית‪.‬‬ ‫טענה ‪ 2.3.3‬הצגה פרמטרית של הישר העובר דרך שתי נקודות‬ ‫תהיינה ‪ c  d‬נקודות שונות כלשהן‪ ,‬במישור או במרחב‪ .‬הישר העובר דרכן הוא‪:‬‬



‫‪t (c  d)  d | t  ‬‬ ‫זהו הישר ‪.   ( c  d )  d‬‬ ‫הוכחה‬ ‫יהי ‪ ‬הישר שעובר דרך הנקודות ‪ c‬ו ‪ . d‬הווקטור ‪ c  d‬היוצא מראשו של ‪ d‬אל הראש של ‪c‬‬ ‫מקביל ל ‪ , ‬ו ‪ ‬עובר דרך ‪ . d‬לכן הטענה נובעת ישירות מטענה ‪.2.3.2‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫בתיאור "הישר העובר דרך הנקודות ‪ c‬ו ‪ ," d‬ה"מעמד" של ‪ c‬ו ‪ d‬הוא סימטרי; לא כן בהצגה‬ ‫הפרמטרית שלו ‪ . t (c  d)  d | t  ‬על הפגם האסתטי הזה קל להתגבר‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫‪t ( c  d )  d  tc  td  d  tc  (1  t )d‬‬ ‫לכל ‪, t  ‬‬ ‫לכן‪t (c  d)  d | t    tc  (1  t )d | t    tc  sd | t, s  , t  s  1 :‬‬ ‫ההצגה‬ ‫‪tc  sd | t, s  , t  s  1‬‬ ‫היא הצגה פרמטרית של הישר העובר דרך הנקודות ‪ c‬ו ‪ , d‬שבה המעמד של ‪ c‬ו ‪ d‬הוא סימטרי‬ ‫לגמרי‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪163‬‬



‫שאלה ‪2.3.6‬‬ ‫בדקו אם הנקודה )‪ (5, 2‬נמצאת על הישר העובר דרך הנקודות )‪ (1,1‬ו )‪. ( 1, 4‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪206‬‬ ‫שאלה ‪2.3.7‬‬ ‫נתונות ארבע נקודות‬



‫ב ‪: 3‬‬



‫)‪c1  (0, 0, 0‬‬ ‫)‪c2  (1,1,1‬‬ ‫)‪c3  (2,1, 0‬‬ ‫)‪c4  (0,1, 2‬‬



‫בדקו אם הישר העובר דרך ‪ c1‬ו ‪ c2‬והישר העובר דרך ‪ c3‬ו ‪ c4‬חותכים זה את זה‪ 5.‬אם כן – מצאו‬ ‫את שיעוריה של נקודת החיתוך‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪207‬‬



‫ב‪ .‬הצגה פרמטרית של המישור באמצעות שני וקטורים במישור‬ ‫יהיו ‪ a, b  2‬שני וקטורים שמונחים על ישרים שונים‪ .‬בבירור ‪ a  0‬וגם ‪) b  0‬כי וקטור האפס‬ ‫מונח על כל ישר העובר דרך הראשית(‪ .‬תהי ‪ c‬נקודה במישור‪ ,‬שאינה על הישרים האלה‪.‬‬ ‫דרך ‪ c‬נעביר ישרים מקבילים לווקטורים ‪ a‬ו ‪) b‬ראו באיור(‪.‬‬



‫בדיון שלהלן נסתמך על הסימונים שבאיור‪.‬‬ ‫‪ d‬היא נקודה על הישר שעליו מונח ‪ , a‬ולכן יש ‪ s  ‬כך ש‬ ‫‪ e‬היא על הישר שעליו מונח ‪ , b‬ולכן יש ‪ t  ‬כך ש‬ ‫לפי כלל המקבילית‪,‬‬ ‫ולכן‪:‬‬



‫‪ 5‬שימו לב! ישרים נחתכים בנקודה אם ורק אם אותה נקודה נמצאת על שניהם‪.‬‬



‫‪d  sa‬‬ ‫‪e  tb‬‬ ‫‪c de‬‬ ‫‪c  sa + tb‬‬



‫‪164‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫בכיוון ההפוך – ברור שכל נקודה מהצורה ‪ c  sa + tb‬שייכת ל ‪ .  2‬הוכחנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬שתחת‬ ‫ההנחות שלעיל על ‪ , a, b, c‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ 2  a   b‬‬



‫תוצאה זו מובילה אותנו להגדרה הבאה ולטענה שאחריה‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.3.4‬צירוף לינארי‬ ‫סכום מהטיפוס ‪ sa  tb‬מכונה צירוף לינארי של הווקטורים ‪ a‬ו ‪. b‬‬ ‫הסקלרים ‪ s‬ו ‪ t‬נקראים מקדמי הצירוף‪.‬‬



‫טענה ‪2.3.5‬‬ ‫יהיו ‪ a, b  2‬וקטורים שמונחים על ישרים שונים‪.‬‬ ‫אז אוסף כל הצירופים הלינאריים של ‪ a‬ו ‪, b‬‬ ‫‪sa  tb s, t  ‬‬ ‫שאותו אפשר לסמן בקיצור ‪ ,  a   b‬הוא הצגה פרמטרית של המישור‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫בדיון שקדם להגדרה ‪ 2.3.4‬הראינו‪ ,‬שכל וקטור ‪ c‬שאינו מונח על הישרים שעליהם מונחים ‪ a‬ו ‪, b‬‬ ‫ניתן להצגה כצירוף לינארי של ‪ a‬ו ‪ . b‬נותר להוכיח שגם וקטורים שמונחים על הישר שעליו מונח ‪, a‬‬ ‫או על הישר שעליו מונח ‪ , b‬ניתנים להצגה כצירופים לינאריים של ‪ a‬ו ‪: b‬‬ ‫אם ‪ c‬מונח על הישר שעליו מונח ‪ , a‬אז יש סקלר ‪ , s‬כך ש ‪. c  sa  sa  0b‬‬ ‫כלומר‪ a ,‬ניתן להצגה כצירוף לינארי של ‪ a‬ו ‪ , b‬שבו המקדם של ‪ b‬הוא ‪. 0‬‬ ‫באופן דומה‪ ,‬אם ‪ c‬מונח על הישר שעליו מונח ‪ , b‬אז יש סקלר ‪ t‬כך ש ‪. c  tb  0a  tb‬‬ ‫כלומר‪ c ,‬ניתן להצגה כצירוף לינארי של ‪ a‬ו ‪ , b‬שבו המקדם של ‪ a‬הוא ‪. 0‬‬ ‫הראינו‪ ,‬אם כן‪ ,‬ש ‪ . 2  a + b‬ההכלה ההפוכה מובנת מאליה‪ ,‬ומכאן שהוכחנו את השוויון‬ ‫‪ 2  a + b‬‬



‫כדרוש‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫ג‪ .‬הצגה פרמטרית של מישורים במרחב‬ ‫יהיו ‪ ‬ו ‪ k‬ישרים שונים שעוברים דרך הראשית של מרחב קרטזי‪ .‬שני הישרים הללו קובעים מישור‬ ‫יחיד‪.‬‬ ‫נבחר וקטור ‪ a‬שמונח על ‪ּ , ‬ווקטור ‪ b‬שמונח על ‪ . k‬אלה הם שני וקטורים שונים במישור שנקבע‬ ‫עלידי ‪ ‬ו ‪ , k‬ולכן‪ ,‬כמו בסעיף הקודם‪ ,‬אפשר להראות שהמישור הזה הוא האוסף‪:‬‬ ‫‪a  b‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪165‬‬



‫כמובן‪ ,‬לכל ‪ a, b  3‬שאינם מונחים על ישר אחד‪ ,‬האוסף ‪  a   b‬הוא מישור שעובר דרך‬ ‫הראשית‪ .‬המישור הזה נקרא המישור הנפרש עלידי ‪ a‬ו ‪ . b‬על הווקטורים ‪ a‬ו ‪ b‬אומרים שהם‬ ‫פורשים את המישור ‪.  a   b‬‬ ‫יתר על כן‪ ,‬כל מישור שעובר דרך הראשית ניתן להצגה פרמטרית כ ‪ .  a   b‬כדי לקבל הצגה‬ ‫כזאת למישור נתון‪ ,‬נבחר שני וקטורים במישור הזה‪ ,‬שאינם מונחים על ישר אחד‪ .‬המישור הנתון הוא‬ ‫המישור הנפרש עלידי הווקטורים שבחרנו‪.‬‬ ‫אפשר להראות שלכל ‪ , c  3‬האוסף‬ ‫הוא מישור מקביל למישור ‪ .  a   b‬למרות שבהוכחה אין קושי עקרוני‪ ,‬נוותר על הפרטים‪.‬‬ ‫הנקודה ‪ c‬נמצאת במישור ‪ ,  a   b  c‬כי‪:‬‬ ‫‪c  0a  0 b  c‬‬ ‫מן האמור לעיל נובע‪:‬‬ ‫כל מישור במרחב‪ ,‬בין אם הוא עובר דרך הראשית‪ ,‬ובין אם לאו‪ ,‬ניתן להצגה פרמטרית‬ ‫כ ‪ .  a   b  c‬כדי לקבל הצגה כזאת למישור נתון ‪ , L‬נציג תחילה את המישור המקביל לו‪,‬‬ ‫העובר דרך הראשית‪ ,‬כ ‪ ,  a   b‬ואחר כך נבחר נקודה ‪ c‬במישור ‪ . L‬בבירור‪,‬‬ ‫‪a  b  c‬‬



‫‪L  a  b  c‬‬



‫ומכאן‪:‬‬ ‫טענה ‪2.3.6‬‬ ‫א‪ .‬יהיו ‪ a, b‬ב ‪ , 3‬וקטורים שאינם מונחים על ישר אחד‪ ,‬ותהי ‪ c‬נקודה ב ‪ . 3‬אז ‪ a   b  c‬‬ ‫הוא מישור מקביל למישור ‪ ,  a   b‬כלומר זהו המישור שמקביל למישור שנפרש עלידי ‪a‬‬ ‫ו ‪ b‬ועובר דרך ‪. c‬‬ ‫ב‪ .‬לכל מישור ‪ L‬במרחב‪ ,‬יש וקטורים ‪ , a, b, c‬כאשר ‪ a, b‬אינם מונחים על ישר אחד‪ ,‬שעבורם‪:‬‬ ‫‪L  a  b  c‬‬



‫)לשון אחר‪ ,‬לכל מישור ‪ L‬יש הצגה פרמטרית מהצורה ‪(.  a   b  c‬‬ ‫כידוע‪ ,‬שלוש נקודות במרחב שאינן קוויות )כלומר‪ ,‬שאינן מונחות על ישר אחד(‪ ,‬קובעות מישור;‬ ‫נמצא לו הצגה פרמטרית‪.‬‬ ‫טענה ‪ 2.3.7‬הצגה פרמטרית של המישור הנקבע עלידי שלוש נקודות לאקוויות‬ ‫תהיינה ‪ a, b, c  3‬נקודות לאקוויות‪ .‬המישור ‪ , L‬הנקבע עלידי שלוש הנקודות האלה‪ ,‬הוא‪:‬‬ ‫‪L  (a  c )  ( b  c )  c‬‬



‫הוכחה‬ ‫אסטרטגיית ההוכחה תהיה כזאת‪:‬‬ ‫נוכיח תחילה שהווקטורים ‪ a  c‬ו ‪ b  c‬אינם מונחים על ישר אחד‪.‬‬



‫‪166‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫מכך נסיק שהאוסף ‪ ( a  c )  ( b  c )  c‬הוא מישור‪.‬‬ ‫נראה שהנקודות ‪ a, b, c‬נמצאות במישור הזה‪ .‬ואז‪ ,‬מאחר ש ‪ a, b, c‬קובעות מישור יחיד‪ ,‬והוא ‪, L‬‬ ‫‪L  (a  c )  ( b  c )  c‬‬ ‫נסיק ש‬ ‫כעת נשלים את הפרטים‪.‬‬ ‫א‪ .‬נוכיח שהווקטורים ‪ a  c‬ו ‪ b  c‬אינם מונחים על ישר אחד‪.‬‬ ‫נניח בשלילה שהם מונחים על ישר אחד‪.‬‬ ‫על פי טענה ‪ ,2.3.1‬הישר שעליו מונח הווקטור ‪ a  c‬הוא‬ ‫לפי הנחת השלילה‪ ,‬הווקטור ‪ b  c‬מונח עליו‪ ,‬ולכן יש ‪ t  ‬כך ש‬



‫) ‪(a  c‬‬ ‫) ‪b  c  t (a  c‬‬



‫כלומר‪:‬‬



‫‪b  t (a  c )  c‬‬



‫‪ t (a  c)  c | t  ‬הוא הישר העובר דרך ‪ a‬ו ‪) c‬טענה ‪ .(2.3.3‬השוויון הקודם מלמד אפוא‬ ‫שהנקודה ‪ b‬נמצאת עליו‪ ,‬ומכאן שהנקודות ‪ a, b, c‬הן קוויות‪ ,‬בסתירה לנתון‪.‬‬ ‫לכן הווקטורים ‪ a  c‬ו ‪ b  c‬אינם מונחים על ישר אחד‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נותר להראות שהנקודות ‪ a, b, c‬נמצאות במישור‪:‬‬



‫‪ ( a  c )   ( b  c )  c  s ( a  c )  t ( b  c )  c s , t  ‬‬



‫אכן‪:‬‬ ‫‪ a‬היא הנקודה באוסף‪ ,‬המתאימה ל ‪: s  1, t  0‬‬ ‫‪ b‬היא הנקודה באוסף‪ ,‬המתאימה ל ‪: s  0, t  1‬‬ ‫‪ c‬היא הנקודה באוסף‪ ,‬המתאימה ל ‪: s  0, t  0‬‬



‫‪1( a  c )  0( b  c )  c  a‬‬ ‫‪0( a  c )  1( b  c )  c  b‬‬ ‫‪0( a  c )  0( b  c )  c  c‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫בתיאור "המישור שנקבע עלידי הנקודות )הלאקוויות( ‪ ," a, b, c‬המעמד של שלוש הנקודות הוא‬ ‫סימטרי‪ .‬לא כן בהצגה הפרמטרית שלו ‪ . s(a  c)  t (b  c)  c | s, t  ‬על הפגם האסתטי הזה‬ ‫קל להתגבר; הנה הצגה פרמטרית של המישור הזה‪ ,‬שבה המעמד של שלוש הנקודות הוא סימטרי‪:‬‬ ‫‪r  s  t  1‬‬



‫‪sa  tb  rc s, t , r  ,‬‬



‫שאלה ‪2.3.8‬‬ ‫הוכיחו‪:‬‬ ‫‪r  s  t  1  s ( a  c )  t ( b  c )  c s , t  ‬‬



‫‪sa  tb  rc s, t , r  ,‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪207‬‬



‫שאלה ‪2.3.9‬‬ ‫מצאו הצגה פרמטרית של המישור ב ‪ 3‬שנקבע עלידי הנקודות‪. (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) :‬‬ ‫האם הראשית נמצאת בו?‬ ‫התשובה בעמוד ‪208‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪167‬‬



‫ד‪ .‬מערכות לינאריות מעל ‪ – ‬מבט גיאומטרי‬ ‫מערכות בשני משתנים‬ ‫נבחן את האופי הגיאומטרי של אוסף הפתרונות של משוואה לינארית בשני משתנים מעל ‪. ‬‬ ‫‪a1 x  a2 y  a3‬‬ ‫המשוואה הכללית היא‪:‬‬ ‫נניח שלפחות אחד מבין ‪ a1 , a2‬שונה מ ‪. 0‬‬ ‫‪x  by  c‬‬ ‫אם ‪ , a1  0‬המשוואה שקולה למשוואה מהטיפוס‬ ‫‪x  by  c  x  c  by‬‬ ‫ומאחר ש‬ ‫הפתרון הכללי הוא‪:‬‬ ‫‪( c  bt , t ) t  ‬‬ ‫)‪( c  bt , t )  ( c  bt ,0  t )  ( c,0)  t ( b,1‬‬ ‫מאחר שלכל ‪, t  ‬‬ ‫)‪( b,1)  ( c,0‬‬ ‫הפתרון הכללי ניתן להצגה כ‬ ‫קבוצת הפתרונות היא‪ ,‬אם כן‪ ,‬ישר‪.‬‬ ‫‪ax  y  c‬‬ ‫באופן דומה‪ ,‬אם ‪ , a2  0‬המשוואה שקולה למשוואה מהטיפוס‬ ‫‪ax  y  c  y  c  ax‬‬ ‫ומאחר ש‬ ‫הפתרון הכללי הוא‪:‬‬ ‫‪(t, c  at ) | t  ‬‬ ‫) ‪( t , c  at )  (0  t , c  at )  (0, c )  t (1,  a‬‬ ‫ומאחר שלכל ‪, t  ‬‬ ‫) ‪ (1,  a )  (0, c‬‬ ‫הפתרון הכללי ניתן להצגה כ‬ ‫אם כן‪,‬‬ ‫כאשר לפחות אחד ממקדמי המשתנים של משוואה לינארית בשני משתנים שונה מ ‪ , 0‬הפתרון הכללי‬ ‫שלה הוא אוסף מהטיפוס‬ ‫‪a  b‬‬ ‫עם ‪ . a  0 , a, b  2‬לפי טענה ‪ ,2.3.2‬כל אוסף כזה הוא ישר במישור‪.‬‬ ‫מכאן קל להסיק‪:‬‬ ‫טענה ‪2.3.8‬‬ ‫תהי ‪ a1 x  a2 y  a3‬משוואה לינארית בשני משתנים מעל ‪. ‬‬ ‫אם המשוואה עקבית ולאטריוויאלית‪ ,‬אז אוסף הפתרונות שלה הוא ישר במישור‪ .‬ישר זה נקרא‬ ‫הישר המתאים למשוואה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫אם המשוואה עקבית ולאטריוויאלית‪ ,‬אז בהכרח לפחות אחד מבין ‪ a1 , a2‬שונה מ ‪ , 0‬כי אם‬ ‫‪ a1  a2  0‬אז‪ :‬או שהמשוואה בלתי עקבית )אם ‪ ,( a3  0‬או שהיא טריוויאלית )אם ‪.( a3  0‬‬ ‫בדיון שלפני הטענה הוכחנו‪ ,‬שכאשר לפחות אחד מבין ‪ a1 , a2‬שונה מ ‪ , 0‬קבוצת הפתרונות של‬ ‫המשוואה היא ישר‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫קבוצת הפתרונות של מערכת לינארית בשני משתנים‪ ,‬שבה אין משוואות בלתי עקביות‪ ,‬היא החיתוך‬ ‫של קבוצות הפתרונות של המשוואות הלאטריוויאליות הכלולות בה‪ 6.‬זהו אוסף הנקודות המשותפות‬ ‫‪ 6‬משוואה טריוויאלית אינה משפיעה על קבוצת הפתרונות של המערכת‪ ,‬שכן כל נקודה במישור היא פתרון שלה‪.‬‬



‫‪168‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לישרי המשוואות הלאטריוויאליות‪ .‬מספר הישרים שבחיתוכם מדובר הוא כמספר המשוואות מסוג‬ ‫זה‪ ,‬שאינן שקולות‪7.‬‬ ‫ומהו אוסף הנקודות המשותפות של קבוצה בת ‪ m  1‬ישרים?‬ ‫אם ‪ , m  1‬האוסף הוא הישר האחד שבקבוצה;‬ ‫אם ‪ , m  2‬אז או שכל הישרים נחתכים בנקודה אחת‪ ,‬וזו הנקודה המשותפת היחידה‪ ,‬או שאין‬ ‫נקודות משותפות לכולם‪ .‬האיור הבא ממחיש את המצבים ההדדיים האפשריים של שלושה ישרים‬ ‫)רק באחד מהם יש נקודה משותפת לכולם(‪.‬‬



‫והמסקנה‪:‬‬ ‫טענה ‪2.3.9‬‬ ‫אוסף הפתרונות של מערכת לינארית בשני משתנים הוא אחד מאלה‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬



‫אוסף ריק )אין נקודות משותפות לכל הישרים המתאימים למשוואות במערכת(‪.‬‬ ‫נקודה בודדת )הישרים המתאימים למשוואות הלאטריוויאליות נחתכים בנקודה אחת; אם‬ ‫המערכת הומוגנית‪ ,‬הנקודה הזאת היא הראשית(‪.‬‬ ‫ישר )הישרים המתאימים למשוואות הלאטריוויאליות מתלכדים(‪.‬‬ ‫המישור כולו )המערכת טריוויאלית(‪.‬‬



‫‪ 7‬הישרים המתאימים למשוואות שקולות מתלכדים‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪169‬‬



‫ֵדירוג מטריצת המקדמים של מערכת בשני משתנים‪ ,‬מוביל למערכת שקולה‪ ,‬שבה קל לבחור את‬ ‫האפשרות המתאימה מבין האפשרויות שנמנו בטענה ‪ .2.3.9‬נסביר‪:‬‬ ‫במטריצת המדרגות המתקבלת מהדירוג של מטריצת המקדמים‪ ,‬שהיא מטריצה בת ‪ 3‬עמודות‪ 8,‬כל‬ ‫שורות האפס הן בתחתית‪ .‬אם יש בה שורה שהאיבר הפותח שלה הוא בעמודת המקדמים החופשיים‪,‬‬ ‫המערכת בלתי עקבית‪ ,‬ואוסף הפתרונות הוא ריק‪ .‬אחרת – המערכת עקבית‪ ,‬ובשורות שאינן שורות‬ ‫אפס )אם יש כאלה( האיבר הפותח הוא מקדם של משתנה‪ .‬במערכת יש רק שני משתנים‪ ,‬ואיברים‬ ‫פותחים של שורות שונות הם בעמודות שונות‪ ,‬ולכן מספר השורות שאינן שורות אפס אינו עולה על ‪. 2‬‬ ‫פירוש הדבר הוא‪ ,‬שמספר המשוואות הלאטריוויאליות במערכת המדורגת אינו עולה על ‪ . 2‬לפיכך‪:‬‬ ‫אם במערכת המדורגת אין משוואות לאטריוויאליות – אוסף הפתרונות הוא המישור כולו‪.‬‬ ‫אם במערכת המדורגת יש משוואה לאטריוויאלית אחת – אוסף הפתרונות הוא הישר המתאים‬ ‫למשוואה הזאת‪.‬‬ ‫אם במערכת המדורגת יש שתי משוואות לאטריוויאליות – הישרים המתאימים לשתי המשוואות‬ ‫נחתכים )כי המערכת עקבית(‪ ,‬ומאחר שלשני ישרים הנחתכים יש נקודה משותפת אחת‪ ,‬אוסף‬ ‫הפתרונות מכיל נקודה בודדת‪.‬‬ ‫שימו לב למשמעות הגיאומטרית של תהליך הדירוג‪ :‬הוא מאפשר לעבור מקבוצה בת מספר כלשהו‬ ‫של ישרים‪ ,‬לקבוצה בת שני ישרים או פחות‪ ,‬בלי לשנות את הנקודות המשותפות לכל הישרים‬ ‫המקוריים‪.‬‬ ‫מערכות בשלושה משתנים‬ ‫המשוואה הלינארית הכללית בשלושה משתנים היא‪a1 x  a2 y  a3 z  a4 :‬‬ ‫נבחן את המבנה הגיאומטרי של קבוצת הפתרונות שלה‪.‬‬ ‫טענה ‪2.3.10‬‬ ‫תהי ‪ a1 x  a2 y  a3 z  a4‬משוואה לינארית בשלושה משתנים מעל ‪ . ‬אם המשוואה עקבית ולא‬ ‫טריוויאלית אז אוסף הפתרונות שלה הוא מישור במרחב‪ .‬מישור זה נקרא המישור המתאים למשוואה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫ראשית‪ ,‬אם המשוואה עקבית ולאטריוויאלית‪ ,‬אז לפחות אחד מבין ‪ a1 , a2 , a3‬שונה מ ‪) . 0‬הסבירו‬ ‫לעצמכם מדוע‪(.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫בנוסף נזכיר‪ ,‬שלכל זוג וקטורים ‪ , u, v  ‬שאינם מונחים על ישר אחד‪ ,‬ולכל ‪ w  ‬האוסף‬ ‫‪  u   v  w‬הוא מישור במרחב‪.‬‬ ‫נסתפק בהוכחת הטענה בהנחה ש ‪. a3  0‬‬ ‫‪ax  by  z  d‬‬ ‫במקרה זה‪ ,‬המשוואה שקולה למשוואה מהטיפוס‪:‬‬ ‫‪ 8‬שתי עמודות לשני המשתנים‪ ,‬והעמודה השלישית – למקדמים החופשיים‪.‬‬



‫‪170‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫מאחר ש‬ ‫הפתרון הכללי של המשוואה‪ ,‬שבו שני פרמטרים‪ ,‬הוא‪:‬‬ ‫‪( s, t , d  as  bt ) s, t  ‬‬ ‫) ‪( s , t , d  as  bt )  s (1,0,  a )  t (0,1, b)  (0,0, d‬‬ ‫לכל ‪, s, t  ‬‬ ‫) ‪ (1,0,  a )   (0,1,  b)  (0,0, d‬‬ ‫לכן הפתרון הכללי ניתן להצגה כ‬ ‫) ‪u  (1, 0,  a ), v  (0,1, b ), w  (0, 0, d‬‬ ‫נסמן‬ ‫והפתרון הכללי יקבל את הצורה‪:‬‬ ‫‪u  v  w‬‬ ‫הווקטור ‪ v‬אינו על הישר שעליו מונח הווקטור ‪ , u‬שכן אין סקלר ‪ r‬כך ש )‪, (1,0,  a )  r (0,1, b‬‬ ‫ולכן האוסף ‪  u   v  w‬הוא מישור במרחב‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫‪ax  by  z  d  z  d  ax  by‬‬



‫קבוצת הפתרונות של מערכת לינארית בשלושה משתנים‪ ,‬שכל משוואה בה היא עקבית‪ ,‬היא אפוא‬ ‫אוסף הנקודות המשותפות למישורים המתאימים למשוואות הלאטריוויאליות הכלולות בה‪ 9.‬מספר‬ ‫המישורים שבחיתוכם מדובר הוא כמספר המשוואות מסוג זה‪ ,‬שאינן שקולות‪.‬‬ ‫ומהו אוסף הנקודות המשותפות לקבוצה בת ‪ m  1‬מישורים?‬ ‫אם ‪ , m  1‬האוסף הוא המישור האחד שבקבוצה;‬ ‫אם ‪ , m  2‬אז או שכל המישורים נחתכים בישר אחד )למשל‪ ,‬מישורים שונים שעוברים דרך ציר‬ ‫ה ‪ ,( x‬או שהם נחתכים במישור אחד )כאשר כל המישורים המתאימים למשוואות זהים(‪ ,‬או‬ ‫שחיתוכם ריק )למשל‪ ,‬מישורים מקבילים‪ ,‬או מישורים שכל שניים מהם נחתכים בישר‪ ,‬וישרי‬ ‫החיתוך אינם נחתכים(‪ ,‬או שחיתוך כל המישורים הוא נקודה בודדת )למשל‪ ,‬כאשר המישורים הם‬ ‫מישור ‪ , x -y‬מישור ‪ x - z‬ומישור ‪.( y -z‬‬ ‫בהתאם לכך נטען‪:‬‬ ‫טענה ‪2.3.11‬‬ ‫אוסף הפתרונות של מערכת לינארית בשלושה משתנים הוא אחד מאלה‪:‬‬ ‫אוסף ריק‪ ,‬או נקודה בודדת‪ ,‬או ישר‪ ,‬או מישור במרחב‪ ,‬או המרחב כולו‪.‬‬ ‫דירוג מטריצת המקדמים של מערכת בשלושה משתנים‪ ,‬מוביל למערכת שקולה‪ ,‬שבה קל לבחור את‬ ‫המתאימה מבין האפשרויות שנמנו בטענה‪ .‬נסביר‪:‬‬ ‫במטריצת המדרגות השקולה‪ ,‬שהיא מטריצה בת ‪ 4‬עמודות‪ 10,‬כל שורות האפס הן בתחתית‪ .‬אם יש‬ ‫בה שורה שהאיבר הפותח שלה הוא בעמודת המקדמים החופשיים‪ ,‬המערכת בלתי עקבית‪ ,‬ואוסף‬ ‫הפתרונות ריק‪ .‬אחרת – המערכת עקבית‪ ,‬ובשורות שאינן שורות אפס )אם יש כאלה( האיבר הפותח‬



‫‪ 9‬משוואה טריוויאלית אינה משפיעה על קבוצת הפתרונות של המערכת‪ ,‬שכן כל נקודה במרחב היא פתרון שלה‪.‬‬ ‫‪ 10‬שלוש עמודות לשלושת המשתנים‪ ,‬והעמודה הרביעית – למקדמים החופשיים‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪171‬‬



‫הוא מקדם של משתנה‪ .‬במערכת יש רק שלושה משתנים‪ ,‬ואיברים פותחים של שורות שונות הם‬ ‫בעמודות שונות‪ ,‬ולכן מספר השורות שאינן שורות אפס אינו עולה על ‪ . 3‬לפיכך‪:‬‬ ‫אם במטריצת המדרגות השקולה‪ ,‬מספר השורות שאינן שורות אפס הוא ‪ – 0‬המערכת טריוויאלית‪,‬‬ ‫ואוסף הפתרונות הוא המרחב כולו‪.‬‬ ‫אם במטריצת המדרגות השקולה‪ ,‬מספר השורות שאינן שורות אפס הוא ‪ – 1‬אוסף הפתרונות הוא‬ ‫המישור המתאים למשוואה המתאימה‪.‬‬ ‫אם במטריצת המדרגות השקולה‪ ,‬מספר השורות שאינן שורות אפס הוא ‪ – 2‬המישורים המתאימים‬ ‫לשתי המשוואות המתאימות נחתכים )כי המערכת עקבית(‪ ,‬ומאחר שלשני מישורים שנחתכים יש‬ ‫ישר משותף‪ ,‬אוסף הפתרונות הוא ישר‪.‬‬ ‫אם במטריצת המדרגות השקולה‪ ,‬מספר השורות שאינן שורות אפס הוא ‪ – 3‬נמחק ממנה את שורות‬ ‫האפס )אם יש(‪ ,‬ונבחן את המטריצה המצומצמת של המערכת המדורגת המורכבת משלוש המשוואות‬ ‫הראשונות‪.‬‬ ‫צורתה היא‬



‫‪ a * *‬‬ ‫‪0 b ‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 c ‬‬



‫עם ‪ . a, b, c  0‬כל מטריצה כזאת שקולה למטריצת היחידה‪ .‬לכן המערכת המדורגת שקולה למערכת‬ ‫מהטיפוס‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪d‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪f‬‬



‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬



‫ולה פתרון יחיד )המישורים המתאימים לשלוש המשוואות נחתכים בנקודה אחת‪(.‬‬ ‫שאלה ‪2.3.10‬‬ ‫בכל אחד מהסעיפים הבאים נתונה מערכת לינארית בשלושה משתנים מעל הממשיים‪ .‬פתרו את‬ ‫המערכת‪ ,‬ותארו את קבוצת הפתרונות באופן גיאומטרי‪.‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪‬‬



‫‪y‬‬



‫‪3x ‬‬



‫‪z  1‬‬



‫‪ 3z  2‬‬



‫‪y‬‬



‫‪2x ‬‬



‫‪ 2 y  3z  1‬‬



‫ב‪.‬‬



‫‪z  0‬‬ ‫‪z  0‬‬



‫ג‪.‬‬



‫‪x‬‬



‫‪x  3y ‬‬ ‫‪y ‬‬



‫‪3x ‬‬



‫‪ 2y ‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪z‬‬



‫‪ 2‬‬



‫‪2x  4 y  2z‬‬



‫‪x‬‬



‫‪172‬‬ ‫ד‪.‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪0x  0 y  0z  0‬‬ ‫‪0x  0 y  0z  0‬‬



‫התשובה בעמוד ‪208‬‬ ‫בשלב זה בוודאי הבחנתם בדמיון שבין המצב בשני משתנים ובשלושה‪ .‬בשני המקרים‪ ,‬קבוצת‬ ‫הפתרונות היא בעלת אופי שאותו נכנה )באופן בלתי פורמלי בשלב זה( לינארי )="ישר"( – היא כוללת‬ ‫נקודות‪ ,‬ישרים‪ ,‬מישורים‪ ,‬או מרחבים שלמים‪ ,‬אך אף פעם לא קבוצות כגון עיגול‪ ,‬אליפסה או פרבולה‪.‬‬ ‫תוכלו אף לתהות – מה קורה עבור מערכות משוואות בארבעה משתנים או יותר? כיצד "נראית" קבוצת‬ ‫הפתרונות של מערכת לינארית במרחב הארבעהממדי? האם גם היא בעלת אופי "לינארי"?‬ ‫שאלה מעניינת אחרת היא מה בדבר מערכות לינאריות מעל שדות אחרים )למשל‪ ,‬שדות סופיים( –‬ ‫האם גם למערכות כאלה קבוצות הפתרון הן בעלות אופי גיאומטרי?‬ ‫את התשובות לשאלות הכלליות האלה נקבל בהמשך הקורס‪ .‬צעדים ראשונים לקראת ביסוס התיאור‬ ‫של מרחבים לינאריים כלליים ייעשו בסעיף הבא‪ ,‬העוסק במרחב ‪. F n‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪173‬‬



‫‪ 2.4‬המרחב ‪F n‬‬ ‫עד כה התמקדנו במרחב ‪ F n‬עבור ‪ n  2‬ועבור ‪ , n  3‬כאשר ‪ F‬הוא שדה המספרים הממשיים‪.‬‬ ‫למרות שאין בידינו תיאור גיאומטרי למרחב ‪ F n‬באופן כללי‪ ,‬נשתמש גם ב ‪ , F n‬באנלוגיה למקרים‬ ‫שכבר בחנו‪ ,‬בשמות הלקוחים מן הגיאומטריה‪:‬‬ ‫‪ ‬את איברי ‪ F n‬נכנה נקודות או וקטורים‪ .‬את ‪ 0  (0,0,,0)  F n‬נכנה הראשית‪.‬‬ ‫‪ ‬לאוסף כל הכפולות בסקלר של וקטור נתון ‪ , a  0 , a  F n‬נקרא ישר ב ‪ , F n‬או בקיצור‪ ,‬ישר‪,‬‬ ‫ועל וקטור ‪ b‬נאמר שהוא מונח על )או נמצא על( ישר זה אם ורק אם קיים סקלר ‪ t‬המקיים‬ ‫‪ 1. b  ta‬אם נקודה ‪ b‬אינה נמצאת על הישר ‪ , ta t  F ‬נאמר ש ‪ a‬ו ‪ b‬אינן מונחות על ישר‬ ‫אחד העובר דרך הראשית‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ‬באופן דומה‪ ,‬אם ‪ a1‬ו ‪ a 2‬הם שני וקטורים ב ‪ F‬שאינם על ישר אחד העובר דרך הראשית‪ ,‬אז‬ ‫לאוסף כל הצירופים הלינאריים ‪ t1a1  t2 a2 t1 , t2  F ‬נקרא המישור הנפרש עלידי ‪a1‬‬ ‫ו ‪ . a 2‬שלוש הנקודות – הראשית‪ a1 ,‬ו ‪ – a 2‬נמצאות על המישור הזה‪ ,‬שכן שלוש נקודות אלה‬ ‫הן צירופים לינאריים של ‪ a1‬ו ‪: a 2‬‬ ‫‪a1  1  a1  0  a2‬‬ ‫‪a2  0  a1  1  a2‬‬ ‫‪0  0  a1  0  a2‬‬



‫נאמר גם שהמישור הזה עובר דרך הנקודות הללו‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.4.1‬‬ ‫האם הנקודה )‪) ( 3, 4,1, 4‬ב‬



‫‪( 4‬‬



‫נמצאת על המישור הנפרש עלידי )‪ (1, 2,3, 4‬ו )‪? (2, 3,1, 4‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪208‬‬



‫שאלה ‪2.4.2‬‬ ‫שאינם נמצאים על ישר אחד העובר דרך הראשית‪.‬‬ ‫יהיו ‪ a‬ו ‪ b‬שני וקטורים ב‬ ‫הראו שהישר העובר דרך ‪ a‬והראשית‪ , ta | t  F ,‬מוכל במישור הנפרש עלידי ‪ a‬ו ‪. b‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪209‬‬ ‫‪Fn‬‬



‫שאלה ‪2.4.3‬‬ ‫יהיו ‪ a‬ו ‪ b‬שני הווקטורים‬



‫ב ‪5‬‬



‫הנתונים עלידי‪:‬‬



‫)‪a  (1,0,0,0,0‬‬ ‫)‪b  (0,1,0,0,0‬‬



‫א‪ .‬הוכיחו כי ‪ a‬ו ‪ b‬אינם על ישר אחד העובר דרך הראשית‪.‬‬ ‫‪ 1‬שימו לב! הראשית והנקודה ‪ a‬נמצאות‪ ,‬אם כן‪ ,‬על הישר ‪. ta | t  F ‬‬



‫‪174‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ב‪ .‬נסחו תנאי הכרחי ומספיק לכך שהנקודה ‪ (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 )  5‬תימצא על המישור הנפרש‬ ‫עלידי ‪ a‬ו ‪. b‬‬ ‫ג‪ .‬האם ‪ 0‬נמצאת על המישור הנפרש עלידי ‪ a‬ו ‪? b‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪209‬‬ ‫שאלה ‪2.4.4‬‬ ‫יהיו )‪ a2  (4,3, 2, 2,0,0) , a1  (1,1,1,1,1,1‬וקטורים‬



‫ב ‪. 6‬‬



‫א‪ .‬הראו כי ‪ a1‬ו ‪ a 2‬אינם על ישר אחד העובר דרך הראשית ב ‪. 6‬‬ ‫ב‪ .‬האם הישר ‪ t (5,4,3,3,1,1) | t  ‬מוכל במישור הנפרש עלידי ‪ a1‬ו ‪? a 2‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪209‬‬ ‫בכל הדוגמאות שראינו עד כה בפרק זה‪ ,‬עסקנו במרחבים לינאריים מעל הממשיים‪ .‬השאלה הבאה‬ ‫מדגימה את הדברים מעל השדה ‪: 2‬‬ ‫שאלה ‪2.4.5‬‬ ‫יהיו )‪ a2  (1,1,1,1,0,0) , a1  (1,1,1,1,1,1‬וקטורים ב ‪. 62‬‬ ‫א‪ .‬הראו כי ‪ a1‬ו ‪ a 2‬אינם על ישר אחד העובר דרך הראשית ב ‪. 62‬‬ ‫ב‪ .‬האם הישר ‪ t (1,0,0,0,1,1) | t  2 ‬מוכל במישור הנפרש עלידי ‪ a1‬ו ‪? a 2‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪210‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪175‬‬



‫‪ 2.5‬צירופים לינאריים‬ ‫בסעיפים הקודמים קראנו לסכומים מהטיפוס ‪ , s1a1  s2 a2‬כאשר ‪ a1 , a2  F n‬וקטורים ו ‪s1 , s2‬‬ ‫סקלרים כלשהם‪ ,‬צירופים לינאריים של ‪ a1‬ו ‪) a 2‬הגדרה ‪ .(2.3.4‬כעת נרחיב את ההגדרה – סכומים‬



‫מהטיפוס ‪ , s1a1  s2 a2  s3a3‬כאשר ‪ a1 , a2 , a3  F n‬ו ‪ s1 , s2 , s3‬סקלרים כלשהם‪ ,‬ייקראו‬ ‫צירופים לינאריים של שלושת הווקטורים ‪ , a1 , a2 , a3‬ובאופן כללי‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.5.1‬צירוף לינארי כללי‬ ‫יהיו ‪ F‬שדה‪ k ,‬מספר טבעי‪ ,‬ו ‪ a1 ,, ak‬וקטורים ב‬



‫‪. Fn‬‬



‫סכום מהטיפוס‬ ‫‪s1a1  s2 a2    sk ak‬‬



‫)*(‬



‫שבו ‪ s1 ,, sk‬הם סקלרים כלשהם ב‪ , F -‬נקרא צירוף לינארי של הווקטורים ‪ . a1 ,, ak‬הסקלרים‬ ‫‪ s1 ,, sk‬נקראים מקדמי הצירוף‪.‬‬ ‫בהמשך נקצר לעיתים‪ ,‬ובמקום צירוף לינארי נאמר פשוט צירוף‪.‬‬ ‫הערה לגבי סימון‬ ‫‪n‬‬



‫‪1‬‬ ‫כבר פגשתם את סימן הסכימה ‪ 1. ‬סימן זה משמש לציון סכום של כמה איברים‪ .‬הביטוי‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫‪,‬‬



‫‪1‬‬ ‫למשל‪ ,‬מציין את סכום הביטויים מהצורה‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ל ‪ . n‬כלומר‪,‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ ,‬כאשר ‪ i‬מקבל את כל הערכים האפשריים בין ‪1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫‪ .  ‬ניתן להשתמש בשיטת סימון זו גם עבור איברים של שדה‬



‫כללי‪ ,‬ולא רק עבור מספרים טבעיים‪ .‬אם ‪ a1 ,, an‬היא סדרה של איברים בשדה מסוים‪ ,‬אז הביטוי‬ ‫‪n‬‬



‫‪ ai‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫מבטא את הסכום )בשדה הנתון!( ‪ . a1    an‬שימו לב‪ ,‬הסמל בעזרתו אנו "רצים" על פני‬



‫האיברים השונים )המכונה בשם אינדקס( אינו חייב להיקרא ‪ , i‬ואין הכרח שיתחיל ב ‪ 1‬או‬ ‫‪9‬‬



‫שיסתיים ב ‪ . n‬הביטוי ‪ ,  a j‬למשל‪ ,‬מבטא את הסכום ‪ , a2  a3    a9‬והוא שווה לערכו של‬ ‫‪j 2‬‬



‫‪9‬‬



‫הביטוי ‪ .  ai‬ניתן גם לכתוב סכומים מסובכים יותר‪ ,‬כגון סכומים "כפולים"‪ ,‬שבהם המחוברים‬ ‫‪i 2‬‬



‫עצמם הם ביטויי סכום; דוגמאות לכך תראו בהמשך‪.‬‬ ‫השימוש בסימן הסכימה נוח במיוחד לתיאור צירופים לינאריים‪ .‬בהגדרה ‪ ,2.5.1‬נוכל להציג את‬ ‫‪k‬‬



‫הצירוף הלינארי ‪ s1a1  s2 a2    sk ak‬בקיצור כך‪ .  s j a j :‬השימוש בביטויים מסוג זה מבלבל‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪ 1‬ראו בכרך ההכנה‪.‬‬



‫‪176‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫בהתחלה‪ ,‬אך הופך לנוח ביותר לאחר שמתרגלים לסימון‪ .‬בהמשך הפרק נשתדל להציג צירופים‬ ‫לינאריים באופן מפורש‪ ,‬אך לעיתים נשרבב את הסימון המקוצר כדי להרגילכם אליו‪.‬‬ ‫הערות בנוגע להגדרה ‪2.5.1‬‬ ‫הוא כמובן וקטור ב‬ ‫א‪ .‬כל צירוף לינארי של ‪ k‬וקטורים ב‬ ‫ב‪ .‬חלק ממקדמי הצירוף ‪) s1 ,, sk‬ואף כולם(‪ ,‬יכולים להיות ‪. 0‬‬ ‫ג‪ .‬כאשר ‪ , k  1‬הסכום )*( הוא כפולה של ‪ a1‬בסקלר‪ .‬מכאן שכל הצירופים הלינאריים של‬ ‫וקטור נתון ‪ a1  F n‬הם כל הכפולות בסקלר של אותו וקטור‪.‬‬ ‫‪Fn‬‬



‫‪. Fn‬‬



‫על פי האמור בסעיף הקודם‪ ,‬משמעות הקביעה האחרונה היא‪ :‬אוסף כל הצירופים הלינאריים של‬ ‫וקטור ‪ a  0‬ב ‪ F n‬הוא הישר העובר דרך הראשית והנקודה ‪ . a‬אוסף כל הצירופים הלינאריים של‬ ‫שני וקטורים ‪ , a, b  F n‬שאינם על ישר אחד העובר דרך הראשית‪ ,‬הוא המישור העובר דרך ‪a , 0‬‬ ‫ו ‪ . b‬למישור זה קראנו בשם המישור הנפרש עלידי ‪ a‬ו ‪. b‬‬ ‫שאלה ‪2.5.1‬‬



‫עבור )‪ a1   0, 1, 1 , 2  , a 2  (3, 2, 1, 0) , a3  (1,1,1,1‬ב‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪, 4‬‬



‫מצאו את הצירופים הלינאריים‬



‫האלה‪:‬‬



‫‪3‬‬



‫א‪.‬‬



‫‪ ai‬‬



‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬



‫‪2a1  0  a2  a3‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪0  a1  0  a2  0  a3‬‬ ‫‪a1  2a2  a3‬‬



‫התשובה בעמוד ‪211‬‬ ‫את המושג צירוף לינארי הכרתם כבר בפרק ‪ .1‬בשאלה ‪ 1.5.7‬ראינו כי אם נתונה מערכת הומוגנית‬ ‫ב ‪ n‬משתנים ונתונה ‪ n‬יה ‪ c‬שפותרת אותה‪ ,‬אז גם כל כפולה של ‪ c‬בסקלר פותרת את המערכת‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬אם נתונות שתי ‪ n‬יות ‪ c‬ו ‪ d‬הפותרות את המערכת‪ ,‬אז כל צירוף לינארי של ‪ c‬ו ‪ d‬אף‬ ‫הוא פתרון של אותה מערכת‪ .‬טענה זו ניתנת להכללה‪:‬‬ ‫משפט ‪2.5.2‬‬ ‫אם ‪ ( k  1) a1 ,, ak‬הם פתרונות של מערכת הומוגנית‪ ,‬אז כל צירוף לינארי של ‪ a1 ,, ak‬אף הוא‬ ‫פתרון של אותה מערכת‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נוכיח את המשפט באינדוקציה על ‪. k‬‬ ‫א‪ .‬עבור ‪ , k  1, 2‬המשפט נכון‪ ,‬כפי שזה עתה ציינו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נניח שהמשפט נכון עבור ‪ . k  m‬כלומר‪ ,‬נניח שאם‬ ‫‪a1 ,, am‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪177‬‬



‫הם פתרונות כלשהם של מערכת הומוגנית נתונה‪ ,‬אז כל צירוף‬ ‫‪s1a1    sm am‬‬



‫גם הוא פתרון של אותה המערכת‪.‬‬ ‫יהיו נתונים עתה ‪ m  1‬פתרונות כלשהם‬ ‫שכל צירוף לינארי שלהם‪,‬‬



‫‪ a1 ,, am1‬של המערכת ההומוגנית הנתונה‪ .‬נוכיח‬



‫‪ s1a1    sm am  sm 1am 1‬‬



‫‪m 1‬‬



‫‪ s ja j‬‬



‫)*(‬



‫‪j 1‬‬



‫גם הוא פתרון של המערכת‪.‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪ s1a1    sm am‬‬



‫‪m‬‬



‫‪ s ja j‬‬



‫‪b‬‬



‫‪j 1‬‬



‫אז ‪ b‬הוא פתרון המערכת )על פי הנחת האינדוקציה(‪ .‬את הצירוף )*( נוכל לרשום עתה כך‪:‬‬ ‫‪ , b  sm 1am 1‬וסכום זה הוא פתרון של אותה המערכת על פי חלק א של ההוכחה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫ניתן להוכיח את המשפט גם בלי אינדוקציה – עלידי הצבה ישירה‪ .‬נסו בעצמכם!‬ ‫יהיו נתונים ‪ k‬וקטורים ‪ a1 ,, ak‬ב ‪ , F n‬ויהי ‪ b‬וקטור ב ‪ . F n‬ייתכן שקיימים ‪s1 , s2 ,, sk‬‬



‫המקיימים‬ ‫‪k‬‬



‫‪ s ja j‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪b  s1a1    sk ak ‬‬



‫וייתכן שלא‪ .‬לשון אחר – ייתכן ש ‪ b‬הוא צירוף לינארי של ‪ a1 ,, ak‬וייתכן שלא‪ .‬כיצד נכריע‬ ‫בדבר? לפני שנענה על שאלה זו בצורתה הכללית – נבחן דוגמה‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫יהיו‬



‫)‪a1  (2, 0, 0, 2‬‬ ‫)‪a 2  (1,1, 0,1‬‬ ‫)‪a 3  (0, 2,1,1‬‬



‫שלושה וקטורים ב ‪ 4‬ויהי ‪ b‬הווקטור )‪ . b  (1, 2,3, 4‬נבדוק אם ‪ b‬הוא צירוף לינארי של‬ ‫הווקטורים ‪. a1 , a2 , a3‬‬ ‫‪ b‬הוא צירוף לינארי של הווקטורים הללו אם ורק אם קיימים סקלרים ‪ s1 , s2 , s3‬המקיימים‪:‬‬ ‫‪s1a1  s2 a2  s3a3  b‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪178‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫כלומר‪ ,‬אם ורק אם‪:‬‬ ‫)‪s1 (2, 0, 0, 2)  s2 (1,1, 0,1)  s3 (0, 2,1,1)  (1, 2, 3, 4‬‬



‫)‪(2‬‬



‫את רכיבי הווקטורים שבשני אגפי השוויון )‪ (2‬יקל עלינו להשוות אם נרשום את )‪ (2‬בצורה שונה‬ ‫במקצת; אם נרשום את הווקטורים ‪ a3 , a 2 , a1‬ו ‪ b‬כעמודות‪ ,‬השוויון )‪ (2‬ייראה כך‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0 1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪2 s    s    s 2  2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1   3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1  4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪   ‬‬



‫כלומר‬ ‫‪ 2 s1   s2   0   1 ‬‬ ‫‪ 0   s  2 s  2‬‬ ‫‪    2    3   ‬‬ ‫‪ 0   0   s3   3‬‬ ‫‪2 s   s   s  4‬‬ ‫‪ 1  2   3   ‬‬



‫או‪:‬‬ ‫‪ 0 s3   1 ‬‬ ‫‪ 2 s3   2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s3   3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s3   4 ‬‬



‫‪s2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪ 0 s2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s2‬‬



‫‪ 2 s1‬‬ ‫‪0s‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 0 s1‬‬ ‫‪2 s‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫)‪(3‬‬



‫שלָ שה של סקלרים ) ‪ ( s1 , s2 , s3‬שעבורה מתקיים השוויון )‪ (3‬מהווה כמובן פתרון של המערכת‬ ‫הלינארית שלהלן‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪ 2‬‬



‫‪ 2 x3‬‬



‫‪ 3‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪ 4‬‬



‫‪x3‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 x1‬‬



‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬



‫)‪(4‬‬ ‫‪‬‬



‫‪2 x1‬‬



‫ולהפך – שלָ שה של סקלרים ) ‪ ( s1 , s2 , s3‬הפותרת את )‪ (4‬ממלאת כמובן את השוויון )‪ .(3‬לפיכך‪b ,‬‬ ‫הוא צירוף לינארי של ‪ a 2 , a1‬ו ‪ a3‬אם ורק אם קיים פתרון למערכת המשוואות )‪ ;(4‬כמו כן‪ ,‬שלָ שה‬



‫) ‪ ( s1 , s2 , s3‬מהווה שלָ שת מקדמים בהצגה של ‪ b‬כצירוף לינארי של ‪ a 2 , a1‬ו ‪ a3‬אם ורק אם היא‬ ‫פתרון של המערכת )‪.(4‬‬



‫‪ 2‬החיבור והכפל בסקלר המוגדרים ב ‪ F n‬נראים בכתיב עמודות כך‪:‬‬ ‫‪ a1   sa1 ‬‬ ‫‪s      ‬‬ ‫‪ a   sa ‬‬ ‫‪ n  n‬‬



‫‪,‬‬



‫‪ a1   b1   a1  b1 ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪ a  b   a  b ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n  n  n‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪179‬‬



‫למערכת )‪ (4‬קיים פתרון יחיד )ודאו!(‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪( s1 , s2 , s3 )  (2 , 4,3‬‬ ‫‪2‬‬



‫וממילא ‪ b‬ניתן להצגה כצירוף לינארי של ‪ a 2 , a1‬ו ‪ a3‬בדרך יחידה‪:‬‬ ‫‪2 1 a1  4a2  3a3  b‬‬ ‫‪2‬‬



‫כלומר‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2    4    3    ‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1   3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪   ‬‬



‫שימו לב שמטריצת המקדמים של המערכת הלינארית )‪ (4‬דלעיל היא המטריצה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬



‫)‪(5‬‬



‫‪   ‬‬ ‫‪a1 a2 a3 b‬‬



‫שעמודותיה הן הווקטורים הנתונים‪.‬‬



‫‪‬‬



‫‪ b‬הוא‪ ,‬אם כן‪ ,‬צירוף לינארי של ‪ a1 , a2 , a3‬אם ורק אם יש פתרון למערכת המאופיינת עלידי‬ ‫המטריצה שעמודותיה הן הווקטורים ‪ a3 , a2 , a1‬ו ‪ . b‬תוצאה זו אינה מקרית‪ ,‬כפי שתראו במשפט‬ ‫הבא‪ .‬אולם ראשית – אנא תרגלו‪:‬‬ ‫שאלה ‪2.5.2‬‬ ‫יהיו‬



‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b  3 a1  0 a2  1 a3  0 a4  1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬



‫וקטורים ב ‪. 3‬‬ ‫מצאו שלוש הצגות שונות של ‪ b‬כצירוף לינארי של ‪. a1 , a2 , a3 , a4‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪211‬‬ ‫שאלה ‪2.5.3‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪ 0‬‬



‫‪1 ‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫יהי ‪ F‬שדה כלשהו‪ .‬האם הווקטור ‪ 0 ‬ב ‪ F 3‬הוא צירוף לינארי של ‪ 0‬ו ‪? 1‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪212‬‬



1 ‫אלגברה לינארית‬



180



2.5.3 ‫משפט‬ ‫ ויהיו‬,‫ מספר טבעי‬n ‫ ו‬,‫ שדה‬F ‫יהיו‬  a11   a12   a1k  a  a  a  a1   21  , a2   22  ,  , ak   2 k           a  a  a   n1   n2   nk   b1  b  ‫ נתבונן במטריצה‬. F n ‫ וקטור כלשהו ב‬b   2  ‫ ו‬, F n ‫ וקטורים ב‬k  b   n



(*)



 a11 a12 a a22  21    a  n1 an 2  a1



 a2



 a1k  a2 k    ank 



 ak



b1  b2    bn   b



s1a1    sk ak  b



. a1 , a2 ,ak , b ‫שעמודותיה הן הווקטורים‬ :‫אז‬



‫ הוא‬ s1 ,, sk  ‫ אם ורק אם‬s1 ,, sk ‫ עם המקדמים‬a1 ,, ak ‫ הוא צירוף לינארי של‬b ,‫כלומר‬ .(*) ‫פתרון של המערכת הלינארית המאופיינת עלידי המטריצה‬ .‫ אם ורק אם למערכת )*( יש פתרון‬a1 ,, ak ‫ הוא צירוף לינארי של הווקטורים‬b ,‫בפרט‬



(1)



s1a1    sk ak  b



(2)



 a11   a12   a1k   b1  a  a  a  b  s1  21   s2  22     sk  2 k    2            a  a   a  b   n1   n2   nk   n 



‫הוכחה‬ ‫את השוויון‬ :‫נוכל לרשום )בכתיב עמודות( כך‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫ולאחר ביצוע הפעולות שבאגף שמאל‬



‫‪181‬‬



‫נקבל‪3:‬‬



‫‪   a1k sk   b1 ‬‬ ‫‪   a2 k sk   b2 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪   ank sk  bn ‬‬



‫‪ a12 s2‬‬ ‫‪ a22 s2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a22 s2‬‬



‫‪ a11 s1‬‬ ‫‪a s‬‬ ‫‪ 21 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1 s1‬‬



‫)‪(3‬‬



‫השוויון )‪ (3‬פירושו שוויון הרכיבים המתאימים של הווקטורים הרשומים בשני האגפים‪ ,‬כלומר הוא‬ ‫שקול למערכת השוויונות‬ ‫‪ b1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ bn‬‬



‫‪   a1k sk‬‬ ‫‪‬‬



‫‪a11s1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪   ank sk‬‬



‫‪an1s1‬‬



‫וממילא ‪ b‬הוא צירוף לינארי של ‪ a1 ,, ak‬עם המקדמים ) ‪ ( s1 ,, sk‬אם ורק אם ה ‪ k‬יה‬ ‫) ‪ ( s1 ,, sk‬היא פתרון של המערכת המאופיינת עלידי המטריצה )*(‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.5.4‬‬ ‫בדקו אם ‪ b  (1, 1, 0, 2, 2)  5‬הוא צירוף לינארי של‪:‬‬



‫)‪a1  (1,1,0,0,0‬‬ ‫)‪a2  (0, 0,1, 0, 0‬‬ ‫)‪a3  (1, 2, 0,3,1‬‬ ‫)‪a4  (0, 0, 0, 0,1‬‬



‫התשובה בעמוד ‪212‬‬ ‫שאלה ‪2.5.5‬‬ ‫יהיו‬



‫)‪a1  (2, 3, 1,1‬‬ ‫)‪a 2  (0, 2,1, 2‬‬ ‫)‪a3  (6,13, 1, 7‬‬



‫שלושה וקטורים ב ‪ , 4‬ונניח כי‪:‬‬



‫‪b  a1  2a2  a3‬‬



‫האם יש ל ‪ b‬הצגה אחרת כצירוף לינארי של שלושת הווקטורים הנתונים?‬ ‫התשובה בעמוד ‪213‬‬ ‫‪ 3‬שימו לב שזהו שוויון בין שני וקטורים ב ‪. F n‬‬



‫‪182‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 2.6‬תלות לינארית‬ ‫נתבונן בווקטורים ‪ a1 ,  , a k‬במרחב ‪ . F n‬בהינתן וקטור נוסף ‪ , b‬אנו יודעים איך לבדוק אם ‪b‬‬



‫הוא צירוף לינארי של ‪ . a1 ,, ak‬נשים לב שאם ‪ , b  0‬אין צורך בבדיקה‪ ,‬שהרי תמיד נוכל לרשום‬ ‫‪0  a1  0  a2    0  ak  0‬‬



‫ונגלה שהווקטור ‪ 0‬הוא אכן צירוף לינארי של הווקטורים הנתונים )כאשר כל מקדמי צירוף זה‬ ‫שווים ל )‪ .( (0,0,0‬צירוף כזה מכונה צירוף טריוויאלי של ‪ . a1 ,, ak‬אם כן‪ ,‬לגבי וקטור ה ‪ 0‬אין‬ ‫טעם בשאלה האם ניתן להציגו כצירוף לינארי של וקטורים נתונים‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬אפשר לשאול האם‬ ‫ניתן למצוא צירוף לאטריוויאלי כזה )כלומר‪ ,‬צירוף שלפחות אחד ממקדמיו שונה מאפס(‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.6.1‬‬ ‫‪ 0 ‬כצירוף לינארי של )‪ a1  (1, 0‬ו )‪ a2  (0,1‬היא ההצגה‬ ‫א‪ .‬הראו שההצגה היחידה של‬ ‫הטריוויאלית‪. 0  0  a1  0  a2 ,‬‬ ‫ב‪ .‬הראו כי ל ‪ 0   2‬יש הצגה לאטריוויאלית כצירוף לינארי של )‪a 2  (2,1) , a1  (1, 2‬‬ ‫ו )‪. a3  (1,1‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪213‬‬ ‫‪2‬‬



‫הגדרה ‪ 2.6.1‬קבוצה בלתי תלויה לינארית; קבוצה תלויה לינארית‬ ‫יהיו ‪ a1 ,..., ak‬וקטורים שונים ב ‪ . F n‬נאמר שהקבוצה ‪ a1 ,..., ak ‬בלתי תלויה לינארית אם מן‬ ‫השוויון ‪) s1a1  s2 a2  ...  sk ak  0‬כאשר ‪ s1 ,..., sk‬סקלרים( נובע בהכרח כי‪:‬‬ ‫‪s1  s2    sk  0‬‬



‫כלומר‪ ,‬הקבוצה ‪ a1 ,..., ak ‬היא בלתי תלויה לינארית אם ורק אם אין ל ‪ 0‬הצגה כצירוף לינארי‬ ‫לאטריוויאלי של איברי הקבוצה‪.‬‬ ‫אם הקבוצה ‪ a1 ,..., ak ‬אינה מקיימת תנאי זה‪ ,‬נאמר שהיא תלויה לינארית‪.‬‬ ‫הערות‬ ‫א‪ .‬שימו לב שהגדרה ‪ 2.6.1‬אינה תלויה בסדר רישום איברי הקבוצה‪ ,‬וזאת משום שבשוויון‬ ‫‪ s1a1  s2 a2  ...  sk ak  0‬ניתן להחליף את סדר המחוברים כרצוננו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שימו לב לדרישה כי הווקטורים ‪ a1 ,..., ak‬שונים זה מזה‪ .‬חשיבות דרישה זו נעוצה בכך שניתן‬ ‫לרשום קבוצה נתונה בדרכים שונות‪ ,‬עלידי חזרה על איברים‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪ a1 , a2‬שני וקטורים‬ ‫מסוימים‪ ,‬ניתן לרשום את הקבוצה ‪ a1 , a2 ‬גם כ ‪ a1 , a2 , a2 ‬או כ ‪) a1 , a2 , a2 , a1 ‬וכן‬ ‫הלאה(‪ .‬לצורך הגדרה ‪ ,2.6.1‬יש לרשום את איברי הקבוצה באופן שבו כל וקטור מופיע פעם אחת‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.6.2‬‬ ‫תנו הגדרה מפורשת )שאינה מתבססת על הגדרת האיתלות( של קבוצת וקטורים תלויה לינארית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪214‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪183‬‬



‫אנו מקווים שפתרתם את השאלה דלעיל‪ ,‬אך בשל חשיבותה ולצורך נוחות הציטוט ניתן את ההגדרה‬ ‫במפורש‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.6.2‬קבוצה תלויה לינארית‬ ‫יהיו ‪ a1 ,..., ak‬וקטורים שונים ב ‪ . F n‬נאמר שהקבוצה‬ ‫סקלרים ‪ s1 ,..., sk‬שלא כולם אפס כך ש‬



‫‪ a1 ,..., ak ‬תלויה לינארית אם קיימים‬ ‫‪s1a1  s2 a2    sk ak  0‬‬



‫שאלה ‪2.6.3‬‬ ‫הראו כי אם אחד הווקטורים בקבוצה‬



‫‪ a1 ,..., ak ‬הוא הווקטור ‪ , 0‬אז הקבוצה תלויה לינארית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪214‬‬



‫מצאנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי כל קבוצה המכילה את הווקטור ‪0‬‬



‫היא תלויה לינארית‪ .‬בפרט‪ ,‬הקבוצה ‪0‬‬



‫המכילה רק את וקטור האפס‪ ,‬היא תלויה לינארית‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.6.4‬‬ ‫הוכיחו כי אם ‪ , a  0‬אז הקבוצה ‪ a‬היא בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪214‬‬ ‫הווי אומר‪ ,‬קבוצה ‪ a‬שיש בה איבר אחד היא תלויה לינארית אם ורק אם ‪ . a  0‬בכך אפיינו את‬ ‫הקבוצות שהן בנות איבר אחד ותלויות לינאריות‪.‬‬ ‫נעבור לקבוצות בנות שני איברים‪:‬‬ ‫תהי ‪ a1 , a2 ‬קבוצה תלויה לינארית בת שני איברים‪ .‬אז קיימים סקלרים ‪ s1‬ו ‪ , s2‬שלא שניהם ‪, 0‬‬ ‫המקיימים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נניח כי ‪ . s1  0‬נכפול את השוויון )‪ (1‬משמאל ב‬ ‫‪s1‬‬



‫‪s1a1  s2 a2  0‬‬



‫)‪(1‬‬



‫ונקבל‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪a1  2 a2  0‬‬ ‫‪s1‬‬



‫כלומר‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪a1   2 a2‬‬ ‫‪s1‬‬



‫וקיבלנו כי ‪ a1‬הוא צירוף לינארי של ‪ . a 2‬אם ‪ , s1  0‬אז בהכרח ‪ , s2  0‬ואז נוכל לכפול את‬ ‫‪1‬‬ ‫ונקבל באותה דרך‪:‬‬ ‫)‪ (1‬משמאל ב‬ ‫‪s2‬‬



‫‪s‬‬ ‫‪a2   1 a1‬‬ ‫‪s2‬‬



‫‪184‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫בכל מקרה‪ ,‬מצאנו כי מכך שהקבוצה ‪ a1 , a2 ‬תלויה לינארית‪ ,‬נובע שלפחות אחד משני איברי‬ ‫הקבוצה הוא צירוף לינארי של האחר‪.‬‬ ‫גם ההפך נכון‪ .‬אם אחד הווקטורים בקבוצה ‪ a1 , a2 ‬הוא צירוף לינארי של האחר‪ ,‬אז הקבוצה היא‬ ‫תלויה לינארית‪ ,‬שכן אם‪ ,‬למשל‪,‬‬ ‫‪a1  sa2‬‬



‫אז‬ ‫‪a1  sa2  0‬‬



‫הוא צירוף לאטריוויאלי‬



‫שמתאפס‪1.‬‬



‫מסקנה‬ ‫קבוצה בת שני וקטורים היא תלויה לינארית אם ורק אם לפחות אחד מן האיברים בקבוצה הוא‬ ‫צירוף לינארי של האחר‪.‬‬ ‫מסקנה זו מאפיינת את הקבוצות בנות שני איברים שהן תלויות לינארית‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.6.5‬‬ ‫מצאו קבוצה בת שני איברים ‪ , a1 , a2 ‬שהיא תלויה לינארית ובכל זאת ‪ a1‬אינו צירוף לינארי של‬ ‫‪. a2‬‬ ‫)מובן לאור המסקנה הקודמת‪ ,‬כי במקרה זה ‪ a 2‬הוא בהכרח צירוף לינארי של ‪(. a1‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪214‬‬ ‫נעבור לקבוצות בנות שלושה איברים‪:‬‬ ‫תהי ‪ a1 , a2 , a3 ‬קבוצה תלויה לינארית ב‬ ‫‪ , s1 , s2 , s3‬שלא כולם אפס‪ ,‬המקיימים‪:‬‬



‫‪Fn‬‬



‫בת שלושה איברים שונים‪ .‬קיימים‪ ,‬אם כך‪ ,‬סקלרים‬ ‫‪s1a1  s2 a2  s3a3  0‬‬



‫‪1‬‬ ‫נניח כי ‪ . s1  0‬נכפול ב‬ ‫‪s1‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪ .‬נעביר אגפים ונקבל‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪a1   2 a 2  3 a3‬‬ ‫‪s1‬‬ ‫‪s1‬‬



‫כלומר‪ a1 ,‬הוא צירוף לינארי של ‪ a 2‬ו ‪ . a3‬אם ‪ , s1  0‬אז אחד מבין ‪ s2‬ו ‪ s3‬שונה מאפס ונוכל‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לכפול את )‪ (1‬ב‬ ‫או ב‬ ‫‪s3‬‬ ‫‪s2‬‬



‫‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬נקבל כי לפחות אחד מבין שלושת הווקטורים הנתונים‬



‫הוא צירוף לינארי של השניים האחרים‪ .‬כמקודם‪ ,‬גם ההפך נכון‪:‬‬



‫‪ 1‬שימו לב שלא כל מקדמי הצירוף הם אפס‪ ,‬שהרי המקדם של ‪ a1‬הוא ‪. 1‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫טענה‬ ‫אם אחד מבין שלושת הווקטורים‬ ‫‪ a1 , a2 , a3 ‬תלויה לינארית‪.‬‬



‫‪185‬‬



‫‪ a1 , a2 , a3‬הוא צירוף לינארי של האחרים‪ ,‬אז הקבוצה‬



‫הוכחה‬ ‫נניח כי אחד הווקטורים )נאמר ‪ ( a1‬הוא צירוף לינארי של שני האחרים‪ .‬כלומר‪ ,‬קיימים סקלרים‬ ‫‪ s2 , s3‬המקיימים‪:‬‬ ‫‪a1  s2 a2  s3a3‬‬



‫נעביר אגפים ונכתוב את השוויון הזה בצורה‪:‬‬ ‫‪1  a1  s2 a2  s3a3  0‬‬



‫צירוף זה אינו טריוויאלי )המקדם הראשון שווה ל ‪ 2( 1‬ומכאן שהקבוצה הנתונה תלויה לינארית‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫נוכל‪ ,‬אם כן‪ ,‬לאפיין את הקבוצות התלויות לינארית בנות שלושה איברים כך‪:‬‬ ‫מסקנה‬ ‫קבוצה בת שלושה איברים היא תלויה לינארית אם ורק אם לפחות אחד מאיבריה הוא צירוף לינארי‬ ‫של האחרים‪.‬‬ ‫ההכללה הטבעית משתי המסקנות האחרונות היא‪:‬‬ ‫משפט ‪2.6.3‬‬ ‫היא תלויה לינארית אם ורק אם לפחות‬ ‫עבור ‪ , k  2‬קבוצת בת ‪ k‬וקטורים ‪ a1 ,, ak ‬ב‬ ‫אחד מבין הווקטורים ‪ a1 ,, ak‬הוא צירוף לינארי של האחרים‪.‬‬ ‫‪Fn‬‬



‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬נניח שהקבוצה‬ ‫טריוויאלי‪:‬‬



‫‪ ( k  2) a1 ,, ak ‬תלויה לינארית‪ .‬אז יש לווקטור האפס הצגה כצירוף לא‬ ‫‪s1a1  s2 a2    sk ak  0‬‬



‫נניח כי ‪ si  0‬ונחלק את השוויון ב ‪: si‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s1‬‬ ‫‪a1    i 1 ai 1  ai  i 1 ai 1    k ak  0‬‬ ‫‪si‬‬ ‫‪si‬‬ ‫‪si‬‬ ‫‪si‬‬



‫‪ 2‬ייתכן כי ‪ , s2  s3  0‬אבל בוודאי ‪ – 1  0‬זוהי אקסיומה בהגדרת השדה‪.‬‬



‫‪186‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ולכן‪3:‬‬



‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ai   1 a1    i 1 ai 1  i 1 ai 1    k ak‬‬ ‫‪si‬‬ ‫‪si‬‬ ‫‪si‬‬ ‫‪si‬‬



‫כלומר‪ ai ,‬הוא צירוף לינארי של יתר הווקטורים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נניח עתה שאחד הווקטורים )נאמר ‪ ( ai‬הוא צירוף לינארי של יתר הווקטורים‬ ‫‪ . a , , a‬כלומר‪4:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i 1 , ai 1 , , ak‬‬ ‫‪ai  s1a1    si 1ai 1  si 1ai 1    sk ak‬‬



‫או‪:‬‬



‫‪s1a1    si 1ai 1  ai  si 1ai 1    sk ak  0‬‬



‫הצירוף האחרון אינו טריוויאלי‪,‬‬ ‫שהקבוצה תלויה לינארית‪5.‬‬



‫שכן המקדם של ‪ ai‬הוא ‪ , 1‬ולכן שונה מאפס‪ ,‬ומכאן‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫שאלה ‪2.6.6‬‬ ‫‪ , e1  (1, 0) ,‬ויהי ) ‪ b  (b1 , b 2‬וקטור ב‬ ‫יהי ‪ F‬שדה כלשהו‪ .‬יהיו נתונים ב‬ ‫השונה מ ‪ . e1 , e 2‬הוכיחו כי הקבוצה ‪ e1 , e2 , b‬תלויה לינארית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪215‬‬ ‫‪e 2  (0,1) : F 2‬‬



‫‪F2‬‬



‫בתשובה לשאלה האחרונה השתמשנו באפיון התלות הלינארית הנתון במשפט ‪ .2.6.3‬בהוכחת הטענה‬ ‫הבאה נעדיף את האפיון הנתון בהגדרה ‪.2.6.1‬‬ ‫טענה ‪2.6.4‬‬ ‫א‪ .‬קבוצת וקטורים שיש לה תתקבוצה תלויה לינארית היא תלויה לינארית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם קבוצת וקטורים היא בלתי תלויה לינארית‪ ,‬אז כל קבוצה חלקית שלה היא בלתי תלויה‬ ‫לינארית‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.6.7‬‬ ‫הוכיחו את טענה ‪.2.6.4‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪215‬‬ ‫עד כה הגדרנו את מושג התלות הלינארית עבור קבוצת וקטורים )הגדרה ‪ .(2.6.1‬כעת נביא הגדרה‬ ‫אנלוגית עבור סדרות של וקטורים‪ .‬הצורך בשתי הגדרות מקבילות אלה יתבהר בסעיף הבא‪.‬‬



‫‪3‬‬



‫‪ sj ‬‬ ‫או בקיצור‪ a j :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j 1 ‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪j i‬‬ ‫‪k‬‬



‫‪   s‬‬ ‫‪k‬‬



‫‪ 4‬או בקיצור‪ s j a j :‬‬ ‫‪j 1‬‬ ‫‪j i‬‬



‫‪ai ‬‬



‫‪ai ‬‬



‫‪ 5‬באשר ליתר ה ‪ s‬ים‪ ,‬אפשר שהם אפסים ואפשר שלא‪ ,‬על כל פנים – בוודאי ‪. 1  0‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪187‬‬



‫סדרה של וקטורים ‪ a1 ,, ak‬היא ‪ k‬יה שאיבריה הם עצמם וקטורים‪ .‬כדי להימנע מבלבול‪ ,‬איננו‬ ‫רושמים סוגריים מסביב לאיברי הסדרה – אנו רושמים ‪) a1 ,, ak‬ולא ) ‪ .( (a1 ,, ak‬למשל‪,‬‬ ‫)‪(1, 2),(2,3),(3, 2‬‬



‫היא סדרה של וקטורים ב ‪ , 2‬שבה )‪. a1  (1, 2), a2  (2, 3), a3  (3, 2‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬שבסדרת וקטורים יש חשיבות לסדר הופעתם של הווקטורים בסדרה‪.‬‬ ‫הגדרה '‪ 2.6.1‬סדרה בלתי תלויה לינארית; סדרה תלויה לינארית‬ ‫תהי ‪ a1 ,, ak‬סדרת וקטורים ב ‪ . F n‬נאמר שהסדרה היא בלתי תלויה לינארית אם מן השוויון‬ ‫‪) s1a1  s2 a2    sk ak  0‬כאשר ‪ s1 ,..., sk‬סקלרים( נובע בהכרח כי‪:‬‬ ‫‪s1  s2    sk  0‬‬



‫נאמר שהסדרה ‪ a1 ,..., ak‬תלויה לינארית אם היא אינה בלתי תלויה לינארית‪ .‬כלומר‪ ,‬אם קיימים‬ ‫סקלרים ‪ s1 ,..., sk‬שלא כולם אפס כך ש‬ ‫‪s1a1  s2 a2    sk ak  0‬‬



‫שימו לב שבהגדרה '‪ 2.6.1‬אין דורשים שהווקטורים המופיעים בסדרה ‪ a1 ,, ak‬יהיו שונים זה מזה‪.‬‬ ‫)השוו עם הגדרה ‪ 2.6.1‬וראו ההערות העוקבות לה‪ (.‬אולם‪:‬‬ ‫שאלה ‪2.6.8‬‬ ‫תהי ‪ a1 ,, ak‬סדרת וקטורים בלתי תלויה לינארית‪ .‬הוכיחו שהווקטורים ‪ a1 ,, ak‬בהכרח שונים‬ ‫זה מזה‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪215‬‬ ‫שאלה ‪2.6.9‬‬ ‫יהיו ‪ a1 ,, ak‬וקטורים שונים זה מזה‪ .‬הוכיחו שהסדרה ‪ a1 ,, ak‬בלתי תלויה לינארית אם ורק‬ ‫אם הקבוצה ‪ a1 ,, ak ‬בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪215‬‬ ‫לאור צמד השאלות האחרונות‪ ,‬אם נדע לבדוק אם סדרות וקטורים הן בלתי תלויות לינארית‪ ,‬נדע‬ ‫לבדוק גם אם קבוצות וקטורים הן בלתי תלויות לינארית‪.‬‬ ‫מעתה גם נאמר בקיצור "הווקטורים ‪ a1 ,, ak‬בלתי תלויים לינארית"‪ ,‬כאשר כוונתנו לכך שסדרת‬ ‫הווקטורים ‪ a1 ,, ak‬בלתי תלויה לינארית‪ .‬באופן דומה‪ ,‬נאמר שהווקטורים ‪ a1 ,, ak‬תלויים‬ ‫לינארית כדי לציין שסדרת הווקטורים ‪ a1 ,, ak‬תלויה לינארית‪.‬‬ ‫כיצד נבדוק אם וקטורים נתונים ב ‪ F n‬תלויים לינארית?‬



‫‪188‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫את שיטת הבדיקה מספק לנו משפט ‪ .2.5.3‬נניח כי נתונים ‪ k‬וקטורים ב ‪) F n‬שאת רכיביהם נרשום‬ ‫בעמודות(‪:‬‬ ‫‪ a11 ‬‬ ‫‪ a1k ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a1   21  ; ; ak   2 k ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪ n1 ‬‬ ‫‪ nk ‬‬



‫לפי משפט ‪ ,2.5.3‬מתקיים השוויון‬



‫‪s1a1  s2 a2    sk ak  0‬‬



‫אם ורק אם ) ‪ ( s1 ,, sk‬הוא פתרון של מערכת המשוואות ההומוגנית המאופיינת עלידי המטריצה‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ a11  a1k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1  ank‬‬



‫)*(‬



‫לפיכך‪ 0 ,‬הוא צירוף לינארי לאטריוויאלי של ‪ a1 ,..., ak‬אם ורק אם קיים פתרון לאטריוויאלי‬ ‫למערכת הלינארית ההומוגנית המאופיינת עלידי המטריצה )*(‪.‬‬ ‫לסיכום‪:‬‬ ‫היא תלויה לינארית‪ ,‬מציבים אותם בעמודות של‬ ‫כדי לבדוק אם סדרת וקטורים נתונה ב‬ ‫מטריצה ובודקים אם למערכת ההומוגנית‪ ,‬שזו מטריצת המקדמים המצומצמת שלה‪ ,‬יש פתרון‬ ‫לאטריוויאלי או לא‪ .‬אם יש לה פתרון לאטריוויאלי – הסדרה תלויה לינארית‪ ,‬ואם אין – היא‬ ‫בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫‪Fn‬‬



‫ננסח זאת כטענה ממוספרת‪:‬‬ ‫טענה ‪2.6.5‬‬ ‫יהיו ‪ a1 ,, ak‬וקטורים ב ‪ , F n‬ותהי ‪ A‬המטריצה שעמודותיה הן ‪ . a1 ,, ak‬הווקטורים‬ ‫‪ a1 ,, ak‬בלתי תלויים לינארית אם ורק אם למערכת ההומוגנית ש ‪ A‬היא מטריצת המקדמים‬ ‫המצומצמת שלה יש פתרון טריוויאלי בלבד‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.6.10‬‬ ‫השתמשו בשיטה דלעיל כדי לקבוע אם סדרות הווקטורים שלהלן )מעל ‪ ( ‬הן תלויות לינארית‪.‬‬ ‫במקרה שמצאתם שקבוצה היא תלויה לינארית‪ִ ,‬רשמו צירוף לינארי לאטריוויאלי של איבריה‬ ‫ששווה ל ‪. 0‬‬ ‫א‪.‬‬



‫)‪a1  (1, 2, 3), a2  (1,1,1), a3  ( 1, 2, 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪b1  (1, 2,3, 4), b 2  (0, 1, 2,5), b3   1, 2 , 2,1  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬



‫התשובה בעמוד ‪215‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪189‬‬



‫כמה וקטורים בלתי תלויים לינארית נוכל "לצבור" במרחב ‪? F n‬‬ ‫משפט ‪2.6.6‬‬ ‫יהיו ‪ a1 ,, ak‬וקטורים ב ‪ . F n‬אם ‪ , k  n‬אז ‪ a1 ,, ak‬תלויים לינארית‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נרשום את הווקטורים‬ ‫‪ a11 ‬‬ ‫‪ a12 ‬‬ ‫‪ a1k ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a1   21  ; a2   22  ; ; ak   2 k ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪ n1 ‬‬ ‫‪ n2 ‬‬ ‫‪ nk ‬‬



‫ונניח כי ‪. k  n‬‬ ‫על פי משפט ‪ 2.5.3‬וטענה ‪ ,2.6.5‬הווקטורים ‪ a1 ,..., ak‬תלויים לינארית אם ורק אם קיים פתרון לא‬ ‫טריוויאלי למערכת ההומוגנית המאופיינת עלידי המטריצה ש ‪ a1 ,, ak‬הן עמודותיה‪.‬‬ ‫במטריצה זו יש ‪ n‬שורות ו ‪ k‬עמודות‪ .‬כלומר‪ ,‬המערכת ההומוגנית המתאימה היא של ‪ n‬משוואות‬ ‫ב ‪ k‬משתנים‪ .‬אך אם ‪ , k  n‬אז מספר המשתנים במערכת זו גדול ממספר המשוואות‪ ,‬ולכן יש‬ ‫למערכת פתרון לאטריוויאלי )על פי משפט ‪6.(1.13.1‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫מסקנה ‪2.6.7‬‬ ‫אם ‪ a1 ,..., ak‬וקטורים בלתי תלויים לינארית ב ‪ , F n‬אז ‪. k  n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫אילו היה ‪ , k  n‬היו הווקטורים תלויים לינארית לפי משפט ‪.2.6.6‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הראינו‪ ,‬אם כן‪ ,‬שב ‪ F n‬איאפשר "לצבור" יותר מ ‪ n‬וקטורים בלתי תלויים לינארית‪ .‬נראה כי ניתן‬ ‫לצבור ‪ n‬וקטורים בלתי תלויים ב ‪: F n‬‬ ‫נסמן ב ‪ e1 , e 2 ,..., e n‬את ‪ n‬הווקטורים ב ‪ F n‬הנתונים עלידי‪:‬‬



‫)‪e1  (1, 0, 0,  , 0‬‬ ‫)‪e 2  (0,1, 0,  , 0‬‬



‫‪‬‬ ‫)‪ei  (0, 0, 0,  ,1,  , 0‬‬



‫‪‬‬ ‫)‪e n  (0, 0, 0,  ,1‬‬



‫‪ 6‬ראו גם חלק ב של שאלה ‪.2.6.1‬‬



‫‪190‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הערה‬ ‫הסימון ‪) e1‬וכמוהו ‪ ei‬עבור ‪ ( i  1‬משמש בהקשרים שונים לציון וקטורים בעלי אורכים שונים‪.‬‬ ‫למשל ב ‪ F 4‬מסמנים )‪ , e1  (1, 0, 0, 0‬ואילו ב ‪ F 6‬מסמנים )‪ . e1  (1, 0, 0, 0, 0, 0‬מתוך ההקשר‬ ‫עליכם להבין בכל מקרה מהו אורך הווקטור הנדון‪.‬‬ ‫סדרת הווקטורים ‪ e1 , e 2 ,..., e n‬מכונה הבסיס הסטנדרטי של ‪ . F n‬סדרה זו תעלה לדיון שוב בסעיף‬ ‫הבא )שם נסביר את משמעות המושג בסיס(‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.6.11‬‬ ‫ותארו אותם באופן גרפי‪.‬‬ ‫א‪ .‬רשמו את איברי הבסיס הסטנדרטי של‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪ .‬רשמו את איברי הבסיס הסטנדרטי של ‪ ‬ותארו אותם באופן גרפי‪.‬‬ ‫‪2‬‬



‫התשובה בעמוד ‪216‬‬ ‫שאלה ‪2.6.12‬‬ ‫הוכיחו שהקבוצה ‪ e1 , e2 ,, en ‬ב‬ ‫‪ e1 , e 2 ,..., e n‬בלתי תלויה לינארית‪.‬‬



‫‪Fn‬‬



‫היא בלתי תלויה לינארית‪ .‬באופן שקול‪ ,‬סדרת הווקטורים‬ ‫התשובה בעמוד ‪217‬‬



‫שאלה ‪2.6.13‬‬ ‫תהי ‪ a1 , a2 ,, an‬סדרת וקטורים בלתי תלויה לינארית‪ .‬הראו כי כל סדרת וקטורים המתקבלת‬ ‫מ ‪ a1 , a2 ,, an‬עלידי שינוי סדר הווקטורים גם היא בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪217‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪191‬‬



‫‪ 2.7‬בסיסים ל־ ‪F n‬‬ ‫בסוף הסעיף הקודם תואר הבסיס הסטנדרטי ‪ e1 , e 2 ,, e n‬של ‪ , F n‬והוכחנו כי וקטורי הבסיס‬ ‫בלתי תלויים לינארית‪ .‬לבסיס הסטנדרטי יש תכונה חשובה נוספת – כל איבר של ‪ F n‬הוא צירוף‬ ‫לינארי של איברי הבסיס‪ ,‬שכן אם‬ ‫‪ b1 ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪bn ‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪b  b1    b2      bn  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫כלומר‪:‬‬ ‫‪b  b1e1  b2e2    bn en‬‬



‫נאמר שאיברי הבסיס הסטנדרטי פורשֹים את ‪ , F n‬או שהבסיס הסטנדרטי פורשֹ את ‪. F n‬‬ ‫שת‬ ‫הגדרה ‪ 2.7.1‬קבוצה פורשֹת; סדרה פור ֹ‬ ‫על קבוצת‪/‬סדרת וקטורים ב ‪ F n‬נאמר שהיא פורשֹת את‬ ‫כצירוף לינארי של איברי הקבוצה‪/‬הסדרה‪.‬‬



‫‪Fn‬‬



‫אם כל וקטור ב‬



‫‪Fn‬‬



‫ניתן להצגה‬



‫מצאנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי ניתן לפרושֹ את ‪ F n‬באמצעות קבוצה המכילה ‪ n‬וקטורים )איברי הבסיס‬ ‫הסטנדרטי(‪ .‬האם אפשר לפרוש את ‪ F n‬גם באמצעות פחות מ ‪ n‬וקטורים? התשובה שלילית‪ ,‬כפי‬ ‫שמורה משפט ‪ 2.7.3‬בהמשך‪ .‬לצורך הוכחת המשפט‪ ,‬נוכיח תחילה את הלֶ ָמה הבאה‪:‬‬ ‫לֶ ָמה ‪2.7.2‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה בעלת ‪ n‬שורות‪ ,‬ונניח שלכל וקטור עמודה ‪ b‬מאורך ‪ , n‬המטריצה ‪  A b ‬מתארת‬ ‫מערכת משוואות עקבית )מערכת בעלת פתרון(‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי צעד דירוג‪.‬‬ ‫אז לכל וקטור עמודה ‪ b ‬מאורך ‪ , n‬גם המטריצה ‪  A b‬מתארת מערכת משוואות עקבית‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫יהי ‪ b ‬וקטור עמודה כלשהו מאורך ‪ . n‬המטריצה ‪ A‬התקבלה מ ‪ A‬עלידי ביצוע צעד דירוג‬ ‫כלשהו‪ ,‬ולכן ‪ A‬שקולתשורה ל ‪ . A‬מכיוון שיחס שקילותהשורה הוא יחס סימטרי )ראו לאחר‬ ‫הגדרה ‪ A ,(1.8.1‬שקולתשורה ל ‪ , A‬כלומר קיים צעד דירוג המוביל מ ‪ A‬ל ‪ . A‬אם נפעיל צעד זה‬ ‫על המטריצה ‪ ,  A b‬נקבל מטריצה מהצורה ‪ ,  A b ‬כאשר ‪ b‬הוא איזשהו וקטור עמודה מאורך‬



‫‪192‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ . n‬לפי הנחתנו‪ ,‬המערכת ‪  A b ‬עקבית‪ ,‬ולכן גם המערכת ‪)  A b‬שהתקבלה מ ‪  A b ‬עלידי‬ ‫צעד דירוג( היא עקבית‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫כעת למשפט המובטח‪:‬‬ ‫משפט ‪2.7.3‬‬ ‫תהי ‪ a1 ,, ak‬סדרת וקטורים ב‬



‫‪. Fn‬‬



‫אם ‪ , k  n‬אז הסדרה אינה פורשת את‬



‫‪. Fn‬‬



‫הוכחה‬ ‫הוא צירוף לינארי‬ ‫לפי הנחה זו‪ ,‬כל וקטור ב‬ ‫תהי ‪ a1 ,, ak‬סדרת וקטורים הפורשת את‬ ‫של איברי הסדרה ‪ . a1 ,, ak‬נסמן ב ‪ A‬את המטריצה שעמודותיה הן ‪ . a1 , a2 ,, ak‬לפי משפט‬ ‫‪ ,2.5.3‬לכל וקטור עמודה ‪) b‬מאורך ‪ ,( n‬המטריצה ‪  A b ‬מתארת מערכת משוואות עקבית‪ .‬תהי‬ ‫‪ A‬מטריצת המדרגות הקנונית המתאימה ל ‪ . A‬מכיוון ש ‪ A‬התקבלה מ ‪ A‬עלידי מספר סופי של‬ ‫צעדי דירוג‪ ,‬הרי שלפי למה ‪ ,2.7.2‬המטריצה ‪  A b ‬גם היא מתארת מערכת משוואות עקבית לכל‬ ‫‪ . b‬בפרט‪ ,‬האמור נכון עבור ‪ . b  en‬לפי הדיון הקודם למשפט ‪ ,1.12.2‬מספר השורות שאינן אפס‬ ‫במטריצה ‪  A en ‬קטן או שווה למספר המשתנים של המערכת‪ ,‬שהוא ‪ . k‬מכיוון שהשורה‬ ‫האחרונה של המטריצה אינה שורת אפסים )האיבר הימני ביותר בה הוא ‪ ,( 1‬נובע שכל ‪ n‬שורות‬ ‫המטריצה המדורגת ‪  A en ‬אינן מתאפסות‪ ,‬ולכן ‪ . n  k‬באופן שקול‪ ,‬אם ‪ , k  n‬הסדרה‬ ‫‪ a1 ,, ak‬אינה פורשת את ‪. F n‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫‪. Fn‬‬



‫‪Fn‬‬



‫הוכחת משפט ‪ 2.7.3‬היא למעשה הוכחה ישירה של המסקנה הבאה‪:‬‬ ‫מסקנה ‪2.7.4‬‬ ‫אם הסדרה ‪ a1 ,, ak‬פורשת את‬



‫‪, Fn‬‬



‫אז ‪. k  n‬‬



‫וממסקנות ‪ 2.6.7‬ו‪ 2.7.4‬יחדיו נובע‪:‬‬ ‫מסקנה ‪2.7.5‬‬ ‫כל סדרה בלתי תלויה לינארית הפורשת את‬



‫‪Fn‬‬



‫לפי הגדרה ‪ 2.7.1‬ושאלות ‪ ,2.6.9 ,2.6.8‬נסיק גם‪:‬‬



‫מכילה בדיוק ‪ n‬וקטורים שונים‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫מסקנה '‪2.7.5‬‬ ‫כל קבוצה בלתי תלויה לינארית הפורשת את‬



‫‪Fn‬‬



‫‪193‬‬



‫מכילה בדיוק ‪ n‬וקטורים שונים‪.‬‬



‫ומכאן להגדרה המרכזית של הסעיף הנוכחי‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.7.6‬בסיס; בסיס סדור‬ ‫קבוצת וקטורים ב ‪ F n‬נקראת בסיס ל ‪ F n‬אם‪:‬‬ ‫א‪ .‬היא בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬היא פורשת את ‪. F n‬‬ ‫סדרת וקטורים ב ‪ F n‬נקראת בסיס סדור ל ‪ F n‬אם ורק אם הקבוצה המורכבת מאיברי הסדרה‬ ‫מהווה בסיס‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫יש משמעות לסדר שבו מופיעים איברי בסיס סדור‪ .‬אם קבוצה הכוללת שלושה וקטורים שונים‬ ‫‪ b1 , b2 , b3 ‬מהווה בסיס‪ ,‬אז הסדרה ‪ b1 , b2 , b3‬מהווה בסיס סדור ל ‪ , F 3‬וגם הסדרות‬ ‫‪ b2 , b1 , b3‬ו ‪ b3 , b2 , b1‬הן בסיסים סדורים )שונים!(‪.‬‬ ‫ייתכן שתתהו מדוע אנו זקוקים כלל להגדרה של בסיס סדור‪ ,‬ולא די לנו בהגדרה של בסיס‬ ‫כקבוצה – הסיבה לכך תתבהר בהמשך הסעיף‪.‬‬ ‫לאור הגדרה ‪ ,2.7.6‬נוכל לנסח את מסקנה ‪ 2.7.5‬כך‪:‬‬ ‫משפט ‪2.7.7‬‬ ‫בכל בסיס של ‪ F n‬יש בדיוק ‪ n‬וקטורים שונים‪.‬‬ ‫האם כבר פגשנו בסיס ל ‪ ? F n‬בוודאי! כבר הוכחנו כי קבוצת איברי "הבסיס הסטנדרטי" )שבו ‪n‬‬



‫איברים( היא קבוצה בלתי תלויה הפורשת את ‪ . F n‬בשלב זה נעיר שנהוג לראות את הבסיס‬ ‫הסטנדרטי כבסיס סדור – הסדרה ‪ . e1 , e 2 ,, e n‬הסדרה ‪ , en , en1 ,, e1‬למשל‪ ,‬גם היא בסיס סדור‬ ‫ל ‪ , F n‬אך זהו אינו הבסיס הסטנדרטי‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.7.1‬‬ ‫בכל אחד מחלקי השאלה‪ ,‬נתונה קבוצת וקטורים‬ ‫לכל מקרה‪ ,‬קבעו אם הקבוצה מהווה בסיס ל ‪.  3‬‬



‫ב ‪.  3‬‬



‫א‪(1, 2,3), (4,5, 6), (7,8,9), (10,11,12) .‬‬ ‫ב‪(2, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,3) .‬‬



‫‪194‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫)‪(1,0,1), (4, 2,0), (8, 4,0‬‬ ‫‪e1 , 3e1  2e 2 , e3  2e1  e 2‬‬



‫התשובה בעמוד ‪218‬‬ ‫משפט ‪2.7.8‬‬ ‫קבוצה של ‪ n‬וקטורים ב‬



‫‪Fn‬‬



‫פורשת את‬



‫‪Fn‬‬



‫אם ורק אם היא בלתי תלויה לינארית‪.‬‬



‫הערה‬ ‫שימו לב שטענת המשפט מתייחסת רק לקבוצות ב ‪ F n‬המכילות בדיוק ‪ n‬וקטורים‪ .‬קבוצות בנות‬ ‫‪ k  n‬וקטורים עשויות לפרוש את ‪ F n‬בלי שתהיינה בלתי תלויות לינארית‪ ,‬ועשויות להיות בלתי‬ ‫תלויות לינארית בלי שתפרושנה את ‪. F n‬‬ ‫הוכחת משפט ‪2.7.8‬‬ ‫א‪ .‬נניח כי הקבוצה ‪ a1 ,, an ‬פורשת את ‪ F n‬ונוכיח כי היא בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫נניח בשלילה כי ‪ a1 ,, an ‬תלויה לינארית‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אם ‪ , n  1‬אז ‪ a1  0‬לפי שאלה ‪ ,2.6.4‬וברור שהקבוצה ‪ a1   0‬אינה פורשת את ‪, F‬‬ ‫בסתירה להנחה‪.‬‬ ‫אם ‪ , n  2‬אז לפי משפט ‪ ,2.6.3‬אחד מבין הווקטורים בקבוצה הוא צירוף לינארי של האחרים‪.‬‬ ‫לשם נוחות הסימון נניח כי זהו ‪ , a1‬כלומר‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ si ai‬‬



‫‪i 2‬‬



‫‪a1 ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫יהי ‪ b  F n‬וקטור כלשהו‪ .‬הוא בוודאי צירוף לינארי של ה ‪ ai‬ים ) ‪ , (i  1, , n‬שכן‬ ‫‪ a1 ,, an ‬פורשת את ‪ . F n‬לפיכך‪ ,‬קיימים סקלרים ‪ (i  1,, n ) ti‬המקיימים‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ ti ai‬‬



‫‪i 2‬‬



‫‪ t1a1 ‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ti ai‬‬



‫‪b‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪i 1‬‬



‫אבל לפי השוויון )‪:(1‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ t1si ai‬‬



‫‪i 2‬‬



‫‪t1a1 ‬‬



‫)‪(3‬‬



‫ומהצבת התוצאה )‪ (3‬ב)‪ (2‬נקבל‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪i 2‬‬



‫‪i 2‬‬



‫‪i 2‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪ ti ai   t1si ai   ti ai   (t1si  ti )ai‬‬



‫‪b‬‬



‫בכך הצגנו את ‪ b‬כצירוף לינארי של ‪. a2 ,, an‬‬ ‫הוכחנו אפוא כי כל וקטור ב ‪ F n‬הוא צירוף לינארי של ‪ . a2 ,, an ‬מכאן שהסדרה בת ‪n  1‬‬ ‫האיברים ב ‪ , a2 ,, an , F n‬פורשת את ‪ – F n‬בסתירה למשפט ‪.2.7.3‬‬ ‫לכן‪ ,‬אם ‪ a1 ,, an ‬פורשת את ‪ , F n‬אז היא בלתי תלויה לינארית‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪195‬‬



‫ב‪ .‬נניח כעת כי ‪ a1 ,, an ‬היא בלתי תלויה לינארית ונוכיח שהיא פורשת את ‪. F n‬‬ ‫‪1. a , , a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬



‫ברור כי כל אחד מה ‪ (i  1,, n ) ai‬הוא צירוף לינארי של‬ ‫יהי ‪ b  F n‬וקטור כלשהו השונה מ ‪ . a1 ,, an‬נשאר להראות כי גם הוא צירוף לינארי של‬ ‫‪ . a1 ,, an‬ואמנם‪ ,‬הקבוצה ‪ a1 ,, an , b‬היא קבוצה בת ‪ n  1‬וקטורים ולכן היא תלויה‬ ‫לינארית‪ ,‬על פי משפט ‪ .2.6.6‬לכן קיימים ‪ , s1 , s2 ,, sn‬ו ‪ , t‬שלא כולם אפסים‪ ,‬המקיימים‪:‬‬ ‫‪s1a1    sn an  tb  0‬‬



‫)*(‬



‫לא ייתכן כי ‪ , t  0‬כי אז )*( מהווה הצגה של ‪ 0‬כצירוף לינארי לאטריוויאלי של איברי‬ ‫הקבוצה הבלתי תלויה לינארית ‪ . a1 ,, an ‬לכן ‪ . t  0‬נחלק בו‪ ,‬נעביר אגפים ונקבל‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ s1‬‬ ‫‪a    n an‬‬ ‫‪t 1‬‬ ‫‪t‬‬



‫‪b‬‬



‫כלומר‪ b ,‬הוא צירוף לינארי של איברי הקבוצה‪.‬‬ ‫בכך הוכחנו שכל וקטור ב ‪ F n‬הוא צירוף לינארי של איברי הקבוצה‪ ,‬ולכן הקבוצה פורשת את‬ ‫‪. Fn‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫משפט ‪2.7.9‬‬ ‫אם ‪ a1 , a2 ,, an‬הוא בסיס סדור ל‬ ‫) ‪ (i  1,, n‬היא יחידה‪ .‬כלומר‪ ,‬אם‬



‫‪, Fn‬‬



‫אז ההצגה של כל וקטור‬



‫‪b  Fn‬‬



‫כצירוף לינארי של ‪ai‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ si ai‬‬



‫‪b‬‬



‫‪i 1‬‬



‫וגם‬



‫‪n‬‬



‫‪ ti ai‬‬



‫‪b‬‬



‫‪i 1‬‬



‫אז לכל ‪ 1  i  n , i‬מתקיים‪:‬‬



‫‪ti  si‬‬



‫הוכחה‬ ‫נניח כי נתונות שתי הצגות של ‪ b  F n‬כצירוף לינארי של איברי הבסיס‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ ti ai‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫אז‪:‬‬



‫‪ si ai ‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪ si ai   ti ai   ( si  ti )ai‬‬ ‫כלומר‪:‬‬



‫‪n‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪0bb‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( si  ti )ai‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪ai  0  a1    1  ai    0  an‬‬



‫‪b‬‬



‫‪0‬‬



‫‪196‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 0‬מוצג כאן כצירוף לינארי של ‪ , (i  1,, n ) ai‬ומאחר שהקבוצה ‪ a1 ,, an ‬בלתי תלויה‬ ‫לינארית‪ ,‬בהכרח כל אחד ממקדמי הצירוף הוא ‪ , 0‬כלומר‪:‬‬ ‫לכל ‪, 1  i  n , i‬‬ ‫‪si  ti  0‬‬



‫וממילא לכל ‪: 1  i  n , i‬‬



‫‪ti  si‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫נבדוק האם הקבוצה הכוללת את הווקטורים‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a1   3  a 2   2  a3  1 a 4  1  a5   3 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 0 ‬‬



‫היא בסיס ל ‪.  5‬‬ ‫קבוצה זו מונה חמישה איברים‪ .‬לפי משפט ‪ ,2.7.8‬כדי לבדוק אם היא בסיס‪ ,‬די שנבדוק אם איבריה‬ ‫בלתי תלויים לינארית‪ .‬לפי משפט ‪ ,2.5.3‬איבריה הם בלתי תלויים לינארית אם ורק אם למערכת‬ ‫הלינארית ההומוגנית המאופיינת עלידי המטריצה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪1 1‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬



‫יש פתרון טריוויאלי בלבד‪.‬‬ ‫לפי משפט ‪ ,1.14.2‬למערכת הומוגנית של חמש משוואות בחמישה נעלמים יש רק הפתרון הטריוויאלי‬ ‫אם ורק אם המטריצה המצומצמת שלה שקולת שורות למטריצת היחידה‪ .‬בדקו‪ ,‬שעלידי‬ ‫דירוג המטריצה המצומצמת המתאימה למערכת דלעיל‪ ,‬מגיעים למטריצת היחידה‪ ,‬ולכן אין פתרון‬ ‫לאטריוויאלי למערכת הנידונה‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬חמשת הווקטורים הנתונים הם בלתי תלויים לינארית ולכן הקבוצה הכוללת אותם היא‬ ‫‪‬‬ ‫בסיס ל ‪.  5‬‬ ‫הערה‬ ‫משפט ‪ 2.7.9‬מבהיר את הצורך להגדיר את הבסיס הסדור כסדרה ולא כקבוצה‪ .‬אם אנו רואים בסיס‬ ‫כקבוצה בלבד‪ ,‬אז לא מתקיימת היחיד ּות במשפט‪ .‬נדגים זאת‪:‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪197‬‬



‫אם ‪ b1 , b2 , b3 ‬מהווה בסיס ל ‪ , F 3‬אז את הווקטור ‪ b  2b1  b2  b3‬נוכל להציג גם כצירוף‬ ‫‪ . b  b2  b3  2b1‬בהצגה הראשונה סדרת המקדמים היא )‪ , (2,1,1‬ואילו בשנייה סדרת‬ ‫המקדמים היא )‪ . (1,1, 2‬אולם‪ ,‬מאחר שהבסיס הסדור ‪ b1 , b2 , b3‬שונה מהבסיס הסדור ‪, b3 , b2 , b1‬‬ ‫אין הדבר סותר את משפט ‪.2.7.9‬‬ ‫נסכם את העניין כך‪:‬‬ ‫כאשר מעוניינים לדעת אם סדרת וקטורים מסוימת מהווה בסיס‪ ,‬אין חשיבות לסדר שבו נתונים‬ ‫הווקטורים; לסדר יש חשיבות רק עבור הצגתם של וקטורים כצירופים לינאריים של איברי הסדרה‪.‬‬ ‫מעתה והלאה‪ ,‬גם כאשר נעסוק בבסיס סדור‪ ,‬לרוב נאמר בקצרה פשוט בסיס‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.7.2‬‬ ‫א‪ .‬בדקו אם הסדרה שלהלן מהווה בסיס ל ‪:  4‬‬



‫)‪a1  (1,1,1, 0‬‬ ‫)‪a 2  (1,1, 0,1‬‬



‫)‪a3  (1, 0,1,1‬‬ ‫)‪a 4  (0,1,1,1‬‬



‫ב‪ .‬חזרו על השאלה‪ ,‬כאשר הפעם אתם רואים את הווקטורים כאיברים של ‪.  42‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪219‬‬ ‫במשפט ‪ 2.5.3‬ראינו כי השוויון ב ‪, F n‬‬



‫‪s1a1    sk ak  b‬‬



‫מתקיים אם ורק אם ) ‪ ( s1 ,, sk‬הוא פתרון של המערכת הלינארית המאופיינת עלידי המטריצה‪:‬‬ ‫‪b1 ‬‬ ‫‪b2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bn ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬



‫‪ a1k‬‬ ‫‪ a2 k‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ank‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ n1‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ak‬‬



‫במשפט זה השתמשנו כדי להמיר בעיות הקשורות בווקטורים לבעיות פתרון של מערכות לינאריות‪.‬‬ ‫עתה‪ ,‬משרכשנו מעט מידע על תכונות של קבוצות וקטורים )כגון איתלות ופרישה(‪ ,‬נוכל לנצל את‬ ‫המשפט גם בכיוון ההפוך – להסיק על תכונות של מערכות לינאריות מתוך תכונות של קבוצות‬ ‫וקטורים‪.‬‬



‫‪198‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫תהי‪ ,‬אם כן‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪a11 x1    a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1    ann xn‬‬



‫מערכת לינארית הומוגנית של ‪ n‬משוואות ב ‪ n‬נעלמים‪ .‬נניח שלמערכת קיים רק פתרון אחד –‬ ‫הפתרון הטריוויאלי‪ .‬נתבונן במטריצת המקדמים של המערכת‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ a11  a1n‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1  ann‬‬



‫מאחר שלמערכת קיים רק הפתרון הטריוויאלי‪ ,‬הרי שהווקטורים‬ ‫‪ a11 ‬‬ ‫‪ a1n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1   ,, an    ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1 ‬‬ ‫‪ ann ‬‬



‫הם בלתי תלויים לינארית‪.‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬לפי משפט ‪ ,2.7.8‬הם פורשים את ‪ , F n‬וממילא הם בסיס ל ‪ . F n‬לכן‪ ,‬כל וקטור ב ‪ F n‬הוא‬ ‫צירוף לינארי של ה ‪ ai‬ים ) ‪ , (i  1,, n‬והצגתו כצירוף לינארי כזה היא יחידה‪ ,‬לפי משפט ‪.2.7.9‬‬ ‫‪ b1 ‬‬



‫יהי אפוא ‪ b    ‬וקטור כלשהו ב ‪. F n‬‬ ‫‪bn ‬‬



‫היותו ניתן להצגה כצירוף לינארי של ה ‪ ai‬ים ) ‪ (i  1,, n‬בצורה יחידה‪ ,‬מתבטאת בכך שלמערכת‬ ‫המאופיינת עלידי המטריצה‬ ‫‪b1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bn ‬‬



‫‪ a11  a1n‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1  ann‬‬



‫יש פתרון יחיד‪ .‬המסקנה מהדיון האחרון היא זו‪:‬‬ ‫משפט ‪2.7.10‬‬ ‫אם למערכת ההומוגנית‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪a11 x1    a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1    ann xn‬‬



‫יש רק פתרון אחד )הפתרון הטריוויאלי(‪ ,‬אז לכל מערכת מהטיפוס‬ ‫‪ b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bn‬‬



‫יש פתרון אחד ויחיד‪.‬‬



‫‪a11 x1    a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1    ann xn‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪199‬‬



‫הערה‬ ‫משפט ‪ 2.7.10‬נובע בקלות ממשפט ‪ ,1.14.3‬כמקרה פרטי‪ .‬למרות זאת בחרנו לתת לו מעמד של משפט‬ ‫נפרד בגלל חשיבותו‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.7.3‬‬ ‫תהי‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪   a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ann xn‬‬



‫‪a11 x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1‬‬



‫מערכת לינארית הומוגנית של ‪ n‬משוואות ב ‪ n‬משתנים‪ ,‬אשר יש לה פתרון לאטריוויאלי‪ .‬הוכיחו‬ ‫שקיימת מערכת איהומוגנית‬ ‫‪‬‬



‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bn‬‬



‫‪  ‬‬



‫‪a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ann xn‬‬



‫‪a11 x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1‬‬



‫שאין לה פתרון‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪220‬‬ ‫לסיום הפרק נביא כמה שאלות חזרה‪.‬‬ ‫שאלה ‪2.7.4‬‬ ‫הוכיחו שאם במערכת הלינארית ההומוגנית‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫מתקיים‬



‫‪   a1n xn‬‬ ‫‪   a2 n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ann xn‬‬ ‫‪ 3a1n‬‬ ‫‪ 3a2 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3ain‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3ann‬‬



‫‪a11 x1‬‬ ‫‪a21 x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1‬‬ ‫‪a11‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ai1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1‬‬



‫אז למערכת יש פתרון לאטריוויאלי‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪221‬‬



‫‪200‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪2.7.5‬‬ ‫בלי לפתור את המערכת שלהלן )מעל הממשיים(‪ ,‬הוכיחו שיש לה פתרון לאטריוויאלי‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪x4‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪ 10 x4‬‬ ‫‪2 x4‬‬



‫‪ 2 x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 x3‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ 3 x2‬‬ ‫‪4 x2‬‬



‫‪x1‬‬



‫התשובה בעמוד ‪221‬‬ ‫שאלה ‪2.7.6‬‬ ‫יהיו ‪ (1  i  k , 1  j  n )  ij‬איברים של שדה כלשהו‪ .‬הוכיחו כי‬ ‫‪ k‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ n‬‬



‫‪‬‬



‫‪k‬‬



‫‪   ij     ij ‬‬ ‫‪j 1  i 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪i 1  j 1‬‬



‫‪‬‬



‫עלידי רישום מפורש של המחוברים בכל אגף‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪221‬‬ ‫שאלה ‪2.7.7‬‬ ‫הראו כי‪:‬‬ ‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ i 1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪j 1‬‬



‫‪  j   iji ‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪i   ij j  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ j 1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪i 1‬‬



‫רמז‪ :‬הראו כי לכל ‪i‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ i ij j‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪i  ij  j ‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫והיעזרו בשאלה ‪.2.7.6‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪222‬‬ ‫שאלה ‪2.7.8‬‬ ‫יהיו ‪ a1 , a2 ,, an‬ו ‪ b1 , b2 ,, bn‬שני בסיסים סדורים של‬ ‫נניח כי לכל ‪, 1  i  n‬‬



‫‪Fn‬‬



‫)כאשר ‪ F‬שדה כלשהו(‪.‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ sij a j‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪bi ‬‬



‫היא ההצגה של ‪ (i  1, , n ) bi‬כצירוף לינארי של איברי הבסיס ‪. a1 , a2 ,..., an‬‬ ‫יהי ‪ c  n‬וקטור שהצגתו כצירוף לינארי של איברי הבסיס ‪ b1 , b2 ,..., bn‬היא‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ ti bi‬‬



‫‪c‬‬



‫‪i 1‬‬



‫הציגו את ‪ c‬כצירוף לינארי של ‪. ( j  1, , n ) a j‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪223‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫שאלה ‪2.7.9‬‬ ‫אם ‪ F‬שדה אינסופי )למשל‪ ,‬שדה המספרים הממשיים(‪ ,‬אז המרחב‬ ‫)כלומר‪ ,‬יש בו אינסוף נקודות(‪ ,‬ואם ‪ F‬סופי‪ ,‬גם ‪ F n‬סופי‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬



‫‪Fn‬‬



‫‪201‬‬



‫הוא מרחב אינסופי‬



‫כמה נקודות יש במרחב ‪?  n2‬‬ ‫כמה נקודות יש על כל ישר העובר דרך הראשית ב ‪?  n2‬‬ ‫כמה ישרים העוברים דרך הראשית יש במרחב ‪?  n2‬‬ ‫כמה נקודות יש בכל מישור העובר דרך הראשית ב ‪?  n2‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪223‬‬



‫נסיים את הפרק במשפט השימושי הבא‪:‬‬ ‫משפט ‪2.7.11‬‬ ‫קבוצה בת ‪ n‬וקטורים שונים ב‬



‫‪Fn‬‬



‫היא בסיס ל‬



‫‪Fn‬‬



‫אם ורק אם מתקיים אחד התנאים הבאים‪:‬‬



‫א‪ .‬הקבוצה בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הקבוצה פורשת את ‪. F n‬‬ ‫שאלה ‪2.7.10‬‬ ‫הוכיחו את משפט ‪ – 2.7.11‬תוכלו להסיק את נכונותו בנקל ממשפט ‪.2.7.8‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪224‬‬



‫‪202‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪203‬‬



‫תשובות לשאלות בפרק ‪2‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪152‬‬ ‫תשובה ‪2.2.1‬‬ ‫א‪ .‬מכיוון שהווקטור ‪ a‬מונח על ציר ה ‪ , x‬בהכרח ‪ , a2  0‬ומאחר שהוא מצביע בכיוון החיובי‪,‬‬ ‫המספר ‪ a1‬הוא חיובי‪ .‬אורכו של הווקטור הוא ‪. a1  a1‬‬ ‫ב‪ .‬הישר הוא‪ ,‬כמובן‪ ,‬ציר ה ‪ . y‬הווקטור פונה בכיוון השלילי של הציר‪ ,‬ואורכו ‪. b2  b2‬‬ ‫ג‪ u  (5, 0) .‬או )‪. u  ( 5, 0‬‬ ‫ד‪ .‬הווקטור ) ‪ a  ( a1 , a2‬מונח על ציר ה ‪ x‬אם ורק אם ‪. a2  0‬‬ ‫הנקודה ) ‪ a  ( a1 , a2‬היא על ציר ה ‪ y‬אם ורק אם הווקטור ) ‪ a  ( a1 , a2‬מונח על הציר‪,‬‬ ‫כלומר אם ורק אם ‪. a1  0‬‬ ‫ה‪ .‬האורך של הווקטור )‪ a  ( a1 ,0‬הוא ‪ , a1‬והאורך של הווקטור ) ‪ a  (0, a2‬הוא ‪. a2‬‬ ‫ו‪ .‬נכונות הטענה נובעת מהאמור בחלק ד של השאלה‪.‬‬ ‫לפי משפט פיתגורס‪ ,‬אורך הווקטור הוא ‪. c12  c22‬‬ ‫ז‪.‬‬



‫תשובה ‪2.2.2‬‬ ‫נסמן ) ‪. a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2‬‬



‫השאלה בעמוד ‪158‬‬



‫נתבונן בווקטור ‪ c‬שבאיור‪ ,‬היוצא מראשו של ‪ b‬ומסתיים בראשו של ‪ . a‬אם נחבר לווקטור ‪ b‬את‬ ‫הווקטור ‪ , c‬נקבל‪ ,‬לפי הגדרת החיבור הגיאומטרי )"עקב בצד אגודל"(‪ ,‬את הווקטור ‪ . a‬לכן‪ ,‬מאחר‬ ‫שהחיבור הגיאומטרי והחיבור האלגברי מתלכדים‪ ,‬נסיק ש ‪ . b  c  a‬מכך נובע‪ ,‬לפי הגדרת‬ ‫החיסור‪ ,‬ש ‪ . c  a  b‬כלומר‪ ,‬ההפרש ‪ a  b‬הוא הווקטור היוצא מראשו של ‪ b‬ומסתיים בראשו‬ ‫של ‪. a‬‬ ‫נעיר שאותו הטיעון תקף גם עבור וקטורים במרחב‪.‬‬



‫‪204‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪160‬‬ ‫תשובה ‪2.3.1‬‬ ‫הצגה פרמטרית של הישר הנידון היא ‪ .   t (1,5) t  ‬אם ) ‪ a  (a1 , a2‬נמצאת על הישר‪ ,‬פירוש‬ ‫הדבר שקיים סקלר ‪ t  ‬כך ש ) ‪ , t (1,5)  a  ( a1 , a2‬ולכן ‪ . t  a1 , 5t  a2‬לפי הנתון ‪a1  7‬‬ ‫ולכן ‪ , t  7‬ומכאן ‪. a2  5t  35‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪160‬‬ ‫תשובה ‪2.3.2‬‬ ‫הצגה פרמטרית אחת של הישר הנידון היא ‪ .   t ( a,3a ) t  ‬מאחר שהנקודה ) ‪ (7, b‬מונחת על‬ ‫הישר‪ ,‬קיים ‪ t  ‬כך ש ) ‪ , (7, b )  t ( a , 3a‬ולכן ‪ . ta  7, 3ta  b‬מכאן נקבל ש ‪. b  21‬‬ ‫תשובה ‪2.3.3‬‬ ‫א‪ .‬ההצגה הפרמטרית של הישר הנקבע עלידי ‪ a‬היא‪:‬‬



‫השאלה בעמוד ‪160‬‬



‫‪t (2,1,3) t  ‬‬



‫דהיינו‪  ,‬הוא קבוצת הנקודות ‪. (2t , t ,3t ) t  ‬‬ ‫אם נבחר ‪ , t  2‬נקבל כי הנקודה )‪ , (4, 2, 6‬שאינה אלא ‪ , b‬נמצאת על הישר‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הישר הנקבע עלידי ‪ a‬הוא‪:‬‬



‫‪(t , 2t ,3t ) t  ‬‬



‫כאן ‪) b  a‬מתאים ל ‪ ,( t  1‬ומובן ש ‪ b‬נמצאת על הישר‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הישר הנקבע עלידי ‪ a‬הוא‪:‬‬



‫‪(ta1 , ta2 , ta3 ) t  ‬‬



‫הנקודה ‪ b   2 a1 , 2 a2 , 2 a3 ‬נמצאת על ישר זה אם ורק אם קיים מספר ממשי ‪ t‬המקיים‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 a1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪2 a3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ta1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ta2‬‬



‫‪‬‬



‫‪ta3‬‬



‫)*(‬



‫הצעד הראשון שעולה במחשבתנו הוא לחלק את המשוואות ב ‪ a2 , a1‬ו ‪ , a3‬ולהסיק שאין פתרון‬ ‫למערכת‪ ,‬שכן המשוואה הראשונה קובעת אחרי פעולת החילוק ש ‪ , t  2‬ואילו השנייה קובעת‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . t ‬אולם אל לנו להיחפז‪ ,‬שכן ייתכן שחלק מן ה ‪ ai‬ים שווים לאפס! נתבונן‪ ,‬אם כן‪,‬‬ ‫כי‬ ‫‪3‬‬ ‫בכמה מקרים‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ , a2  0‬אז לפחות אחד מבין ‪ a1‬ו ‪ a3‬שונה מאפס‪.‬‬ ‫אם ‪ a1  0‬אז מהמשוואה ‪ ta1  2a1‬נובע כי ‪ , t  2‬ואם ‪ a3  0‬אז נובע מן המשוואה‬ ‫‪ ta3  2a3‬כי ‪ . t  2‬בכל מקרה‪ ,‬כאשר ‪ t  2 , a2  0‬הוא הפתרון של המערכת )*(‪ 1‬ולכן‬ ‫במקרה זה ‪ b  2a‬נמצאת על הישר הנקבע עלידי ‪. a‬‬



‫‪ 1‬בדקו!‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪205‬‬



‫‪ .2‬אם ‪ , a1  a3  0‬בהכרח ‪ 2, a2  0‬ומהמשוואה השנייה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . t ‬שתי המשוואות האחרות מתקיימות לכל ‪ , t‬ולכן‬ ‫מקבלים‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)*( במקרה זה‪ .‬לכן גם כאן ‪ b‬נמצאת על הישר הנדון‪ ,‬שכן ‪. b  a‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪ta2 ‬‬



‫‪ t ‬הוא הפתרון של‬



‫נותר לנו המקרה האחרון‪:‬‬



‫‪ , a2  0 .3‬ולפחות אחד מבין ‪ a1 , a2‬שונה מ ‪ . 0‬נניח‪ ,‬למשל‪ ,‬כי ‪ . a1  0‬אז מן המשוואה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . t ‬סתירה זו מראה‬ ‫‪ ta1  2a1‬נקבל ‪ , t  2‬ומן המשוואה השנייה‪ , ta2  a2 ,‬נקבל‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שבמקרה זה אין פתרון למערכת )*(‪ ,‬ולכן ‪ b‬אינה נמצאת על הישר הנקבע עלידי ‪. a‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪160‬‬ ‫תשובה ‪2.3.4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מאחר שהנקודה ) ‪ ( ,  , ‬נמצאת על הישר הנקבע עלידי ) ‪ , ( ,  , ‬הרי שקיים ‪ t‬המקיים‪:‬‬ ‫‪  t 2‬‬ ‫‪  t 2‬‬ ‫‪  t‬‬



‫מן המשוואה הראשונה נקבל כי‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 3. t ‬נציב פתרון זה בשתי המשוואות האחרות ונקבל‪:‬‬



‫מהמשוואה הראשונה נובע כי ‪ ,   ‬ואז נקבל מהשנייה כי ‪  1‬‬



‫ולכן‪:‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪, ‬‬ ‫‪   1‬‬



‫למעשה קיבלנו במקרה זה כי‪:‬‬ ‫)‪b  a  (1,1,1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪160‬‬ ‫תשובה ‪2.3.5‬‬ ‫א‪ .‬מאחר שהווקטור )‪ (1, 0, 0‬נמצא על ציר ‪ , x‬נקבל כי הצגה פרמטרית של ציר זה היא‪:‬‬



‫‪t (1,0,0) t  ‬‬ ‫או‪:‬‬ ‫באופן דומה נקבל כי הצגה פרמטרית של ציר ‪ y‬היא‪:‬‬



‫‪ 2‬שכן ‪. a  0‬‬ ‫‪ 3‬זכרו כי ‪.   0‬‬



‫‪(t ,0,0) t  ‬‬



‫‪(0, t ,0) t  ‬‬



‫‪206‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫והצגה פרמטרית של ציר ‪ z‬היא‪:‬‬



‫‪(0, 0, t ) t  ‬‬



‫ב‪ .‬נסמן ב ‪ ‬את אורך הצלע של הריבוע הנתון‪ .‬הנקודה ) ‪ a  ( , ‬היא קדקוד הריבוע הנמצא על‬ ‫האלכסון הנדון‪ .‬לכן הצגתו הפרמטרית של הישר שעליו נמצא האלכסון היא ‪ , ta‬או ביתר פירוט‪:‬‬



‫‪t ( , ) t  ‬‬ ‫גם הנקודה )‪ (1,1‬נמצאת על ישר זה‪ 4,‬לכן גם‬ ‫פרמטרית של אותו ישר‪.‬‬



‫‪t (1,1) t    (t , t ) t  ‬‬



‫היא הצגה‬



‫ג‪.‬‬



‫מן האיור ברור שהנקודה )‪ (12, 20‬נמצאת על הישר‪ .‬לכן הצגה פרמטרית של ישר זה היא‪:‬‬



‫‪t (12, 20) t  ‬‬ ‫הנקודה )‪ (144, 260‬תימצא על ישר זה אם ורק אם קיים ‪ t‬המקיים‪:‬‬ ‫‪t  12  144‬‬ ‫‪t  20  260‬‬



‫מאחר שאין ‪ t‬המקיים את שתי המשוואות דלעיל‪ ,‬נסיק כי הנקודה הנתונה אינה נמצאת על‬ ‫הישר‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪163‬‬ ‫היא‬ ‫הישר‬ ‫של‬



‫תשובה ‪2.3.6‬‬ ‫אפשרית‬ ‫פרמטרית‬ ‫הצגה‬ ‫ש )‪, (1,1)  ( 1, 4)  (2, 3‬‬ ‫מאחר‬ ‫‪. t (2, 3)  ( 1, 4) t  ‬‬ ‫כדי לבדוק אם )‪ c  (5, 2‬נמצאת על ישר זה‪ ,‬עלינו לבדוק אם קיים סקלר ‪ t‬המקיים‪:‬‬



‫)‪t (2, 3)  ( 1, 4)  (5, 2‬‬



‫כלומר‪ ,‬עלינו לבדוק אם קיים ‪ t‬המקיים‪:‬‬



‫‪2t  1  5‬‬ ‫‪3t  4  2‬‬



‫‪ 4‬הסבירו לעצמכם מדוע‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪207‬‬



‫למערכת זו אין פתרון‪ ,‬שכן מן המשוואה הראשונה נקבל ‪ t  3‬ואילו המשוואה השנייה קובעת שעל‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ t‬להיות ‪ .‬לכן )‪ c  (5, 2‬אינה נמצאת על הישר הזה‪.‬‬ ‫‪3‬‬



‫תשובה ‪2.3.7‬‬ ‫הישר העובר דרך הראשית )‪ c1  (0, 0, 0‬ודרך )‪ c 2  (1,1,1‬הוא‪:‬‬



‫השאלה בעמוד ‪163‬‬



‫‪s (1,1,1) s  ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫והישר העובר דרך )‪ c 3  (2,1, 0‬ודרך )‪ c 4  (0,1, 2‬הוא‪:‬‬



‫‪t (2,0, 2)  (0,1, 2) t  ‬‬



‫)‪(2‬‬



‫אם הישרים נחתכים‪ ,‬אז נקודת החיתוך שלהם‪ , c ,‬נמצאת על שני הישרים ולכן קיימים סקלרים ‪s‬‬ ‫ו ‪t‬‬



‫המקיימים‪5:‬‬



‫)‪c  s (1,1,1‬‬ ‫וכן‪6:‬‬



‫)‪c  t (2, 0, 2)  (0,1, 2‬‬



‫מכאן יוצא כי‬



‫)‪(3‬‬ ‫)‪(4‬‬



‫)‪s (1,1,1)  t (2, 0, 2)  (0,1, 2‬‬



‫או‪:‬‬



‫‪s  2t‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪s  2t  2‬‬



‫‪1‬‬ ‫למערכת זו יש פתרון‪:‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪) s  1, t ‬בדקו!(‪ .‬לכן שני הישרים נחתכים‪ ,‬ונקודת החיתוך שלהם‬



‫היא‪7:‬‬



‫)‪c  (1,1,1‬‬



‫תשובה ‪2.3.8‬‬ ‫עלינו להוכיח כי הקבוצות‬



‫השאלה בעמוד ‪166‬‬



‫‪s(a  c)  t (b  c)  c s, t  ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪sa  tb  rc s, t , r  ,‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪r  s  t  1‬‬



‫מתלכדות‪.‬‬ ‫ובכן‪,‬‬



‫‪s(a  c)  t (b  c )  c‬‬



‫‪ sa  sc  tb  tc  c  sa  tb  (1  s  t ) c‬‬



‫מכאן קל להוכיח שהקבוצה )‪ (2‬מתלכדת עם הקבוצה )‪.(1‬‬



‫‪ 5‬כיוון ש ‪ c‬נמצאת על הישר )‪.(1‬‬ ‫‪ 6‬כיוון ש ‪ c‬נמצאת על הישר )‪.(2‬‬ ‫‪ 7‬הצבנו ב)‪. s  1 (3‬‬



‫‪208‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪166‬‬



‫תשובה ‪2.3.9‬‬ ‫הנה הצגה פרמטרית של המישור העובר דרך )‪ (0,1, 0) , (1, 0, 0‬ו )‪: (0, 0,1‬‬



‫‪s(1,0, 1)  t (0,1, 1)  (0,0,1) s, t  ‬‬ ‫הנקודה )‪ (0, 0, 0‬נמצאת על מישור זה אם ורק אם קיימים סקלרים ‪ s , t‬המקיימים‪:‬‬ ‫)‪s (1, 0, 1)  t (0,1, 1)  (0, 0,1)  (0, 0, 0‬‬



‫או‪:‬‬



‫‪s0‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪s  t  1  0‬‬



‫למערכת זו אין פתרון )בדקו!(‪ .‬לכן הנקודה )‪ (0, 0, 0‬אינה נמצאת על המישור הנדון‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪171‬‬ ‫תשובה ‪2.3.10‬‬ ‫‪1 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ .‬בדוגמה ‪ 1‬של סעיף ‪ 1.9‬פתרנו מערכת זו‪ ,‬וראינו כי יש לה פתרון יחיד – הווקטור ‪.  ,  , ‬‬ ‫‪3 3 3‬‬ ‫כלומר‪ ,‬קבוצת הפתרונות כוללת נקודה יחידה במרחב‪.‬‬ ‫ב‪ .‬את מערכת המשוואות הזאת פתרתם בשאלה ‪ .1.10.2‬הפתרון הכללי למערכת הוא‪:‬‬ ‫‪ .  1 t ,  1 t , t   (0, 0,0)  t  1 ,  1 ,1‬זהו ישר במרחב‪ ,‬העובר דרך הראשית‪.‬‬ ‫‪‬‬



‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪‬‬



‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫ג‪ .‬הפתרון הכללי למערכת זו הוא )‪. (1  2 s  t , s , t )  (1, 0, 0)  s ( 2,1, 0)  t ( 1, 0,1‬‬ ‫זוהי הצגה פרמטרית של מישור במרחב‪ ,‬על פי טענה ‪.2.3.6‬‬ ‫ד‪ .‬מערכת זו מורכבת ממשוואות אפס בלבד‪ ,‬לכן כל וקטור במרחב פותר אותה‪ .‬כלומר‪ ,‬קבוצת‬ ‫הפתרונות היא המרחב כולו‪.‬‬ ‫תשובה ‪2.4.1‬‬ ‫הצגה פרמטרית אפשרית של המישור הנפרש עלידי )‪ (1, 2, 3, 4‬ו )‪ (2, 3,1, 4‬היא‪:‬‬



‫השאלה בעמוד ‪173‬‬



‫‪t1 (1, 2,3, 4)  t2 (2,3,1, 4) t1 , t2  ‬‬ ‫עלינו לבדוק‪ ,‬אם כן‪ ,‬אם קיימים ‪ t1 , t2‬המקיימים‪:‬‬ ‫)‪t1 (1, 2,3, 4)  t2 (2, 3,1, 4)  ( 3, 4,1, 4‬‬



‫כלומר‪:‬‬



‫‪t1  2t2  3‬‬ ‫‪2t1  3t2  4‬‬ ‫‪3t1  t2  1‬‬ ‫‪4t1  4t2  4‬‬



‫למערכת זו יש פתרון‪) t1  1, t2  2 :‬בדקו!(‪ ,‬ולכן הנקודה )‪ ( 3, 4,1, 4‬נמצאת על המישור הנדון‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫תשובה ‪2.4.2‬‬ ‫יהי ‪ t‬סקלר בשדה הנתון‪ .‬את הווקטור ‪ ta‬נוכל להציג גם כך‪:‬‬



‫‪209‬‬



‫השאלה בעמוד ‪173‬‬ ‫‪t1a  t2 b‬‬



‫כאשר ‪. t1  t ,  t2  0‬‬ ‫לכן הקבוצה ‪  a‬היא קבוצה חלקית לקבוצה ‪ . a  b‬כלומר‪ ,‬הישר הנקבע עלידי ‪ a‬מוכל‬ ‫במישור הנפרש עלידי ‪ a‬ו ‪. b‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪173‬‬ ‫תשובה ‪2.4.3‬‬ ‫א‪ .‬אילו היו שני הווקטורים הנתונים על ישר אחד העובר דרך הראשית‪ ,‬היה קיים ‪ t‬המקיים‪:‬‬ ‫)‪(1, 0, 0, 0, 0)  t (0,1, 0, 0, 0‬‬



‫אולם הרכיב הראשון של הווקטור באגף ימין הוא ‪ 0‬לכל ‪ , t‬ולעולם לא ישווה ל ‪. 1‬‬ ‫ב‪ .‬המישור הנפרש עלידי שני הווקטורים הנדונים הוא‪:‬‬



‫‪t1 (1,0,0,0,0)  t2 (0,1,0,0,0) t1 , t2  ‬‬ ‫או‪:‬‬



‫‪(t1 , t2 ,0,0,0) t1 , t2  ‬‬



‫מכאן שאם הווקטור ) ‪ ( c1 , c2 , c3 , c4 , c5‬נמצא על המישור‪ ,‬אז בהכרח‪:‬‬ ‫‪c3  c4  c5  0‬‬



‫)*(‬



‫ולהפך‪ ,‬אם מתקיים )*(‪ ,‬כלומר הווקטור הנתון הוא‬ ‫)‪( c1 , c2 ,0,0,0‬‬



‫אז הוא נמצא על המישור הנדון )פשוט נבחר ‪ t1  c1‬ו ‪.( t2  c2‬‬ ‫ובכן‪ ,‬תנאי הכרחי ומספיק לכך שהווקטור ) ‪ ( c1 , c2 , c3 , c4 , c5‬יימצא על המישור הנדון הוא‬ ‫התנאי )*( דלעיל‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בוודאי‪ .‬שכן‪,‬‬



‫)‪(0, 0, 0, 0, 0)  0(1, 0, 0, 0, 0)  0(0,1, 0, 0, 0‬‬



‫או בקיצור‪:‬‬ ‫ולכן‪:‬‬



‫‪0  0a0b‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪0  t1a  t2 b t1 , t2  ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪174‬‬ ‫תשובה ‪2.4.4‬‬ ‫א‪ .‬אילו הווקטורים ‪ a1‬ו ‪ a2‬היו נמצאים על ישר אחד העובר דרך הראשית‪ ,‬היה קיים ‪ t‬שעבורו‪:‬‬ ‫)‪(1,1,1,1,1,1)  t (4, 3, 2, 2, 0, 0‬‬



‫מהשוואת הרכיבים האחרונים של שני האגפים היינו מקבלים‪:‬‬ ‫סתירה!‬



‫‪1 t0‬‬



‫‪210‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ב‪ .‬ניקח נקודה כלשהי )‪ t (5, 4, 3, 3,1,1‬על הישר הנתון‪ .‬נבדוק אם קיימים ‪ t1, t2‬המקיימים‪:‬‬ ‫)‪t1 (1,1,1,1,1,1)  t2 (4, 3, 2, 2, 0, 0)  t (5, 4, 3, 3,1,1‬‬



‫כלומר‪ ,‬נבדוק אם קיים פתרון למערכת‬



‫הלינארית‪8:‬‬



‫‪5t‬‬ ‫‪4t‬‬ ‫‪3t‬‬ ‫‪3t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪4t 2‬‬ ‫‪3t2‬‬ ‫‪2t 2‬‬ ‫‪2t 2‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬



‫בשיטת החילוץ נקבל‪:‬‬ ‫‪5t ‬‬ ‫‪ 1 4 5t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1  t ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 t ‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 t ‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 t ‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪4t ‬‬



‫ומכאן שהמערכת שקולה למערכת‬



‫‪5t ‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1‬‬ ‫‪4t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3t ‬‬ ‫‪ 0 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3t‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ 0 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 4‬‬ ‫‪t‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪4 t2‬‬ ‫‪ t2‬‬



‫‪‬‬



‫‪t1‬‬



‫‪ 5t‬‬ ‫‪ t‬‬



‫שלה פתרון יחיד‪:‬‬



‫‪ t2  t‬‬



‫‪9t‬‬



‫‪1‬‬



‫ובכן‪ ,‬כל נקודה הנמצאת על הישר הנתון שייכת גם למישור הנפרש עלידי ‪ . a1 , a2‬כלומר‪ ,‬כל‬ ‫הישר הזה מוכל במישור הנדון‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪174‬‬ ‫תשובה ‪2.4.5‬‬ ‫א‪ .‬אילו הווקטורים ‪ a1‬ו ‪ a2‬היו נמצאים על ישר אחד העובר דרך הראשית‪ ,‬היה קיים ‪t   2‬‬ ‫שעבורו‪:‬‬ ‫)‪(1,1,1,1,1,1)  t (1,1,1,1, 0, 0‬‬



‫מהשוואת הרכיבים האחרונים של שני האגפים היינו מקבלים‪:‬‬



‫‪1 t0‬‬



‫סתירה!‬ ‫ב‪ .‬ניקח נקודה כלשהי )‪ t (1, 0, 0, 0,1,1‬על הישר הנתון‪ .‬נבדוק אם קיימים ‪ t1 , t2‬המקיימים‪:‬‬ ‫)‪t1 (1,1,1,1,1,1)  t2 (1,1,1,1,0,0)  t (1,0,0,0,1,1‬‬



‫כלומר‪ ,‬נבדוק אם קיים פתרון למערכת‬



‫הלינארית‪10:‬‬



‫‪ 8‬שימו לב כי במערכת זו ‪ t1 , t2‬הם הנעלמים ו ‪ t‬הוא מספר נתון‪.‬‬ ‫‪ 9‬ייתכן שהייתם זריזים יותר וניחשתם את הפתרון ללא חישוב‪.‬‬ ‫‪ 10‬גם במערכת זו ‪ t2 , t1‬הם הנעלמים ו ‪ t‬הוא סקלר נתון בשדה‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪ t‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ t‬‬ ‫‪ t‬‬



‫‪t2‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪t2‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪211‬‬



‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬



‫למערכת זו יש פתרון רק כאשר ‪) t  0‬ודאו!(‪ .‬בפרט‪ ,‬עבור ‪ t  1‬הווקטור )‪ 1  (1, 0, 0, 0,1,1‬אינו‬ ‫שייך למישור הנתון‪ .‬לכן הישר הנתון אינו מוכל במישור הנפרש הנתון‪.‬‬ ‫תשובה ‪2.5.1‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪176‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪1‬‬



‫)‪ ai  a1  a2  a3  (0, 1, 2 , 2)  (3, 2, 1,0)  (1,1,1,1)  (4, 2, 2 ,3‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫‪1‬‬ ‫ב‪2a1  0  a 2  a3  2a1  a3  2(0, 1, , 2)  (1,1,1,1)  (1, 1, 2,5) .‬‬ ‫‪2‬‬



‫ג‪.‬‬



‫)‪0  a1  0  a2  0  a3  0  (0,0,0,0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ד‪a1  2a 2  a3  (0, 1, , 2)  2(3, 2, 1, 0)  (1,1,1,1)  ( 7, 6, ,1) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫השאלה בעמוד ‪179‬‬ ‫תשובה ‪2.5.2‬‬ ‫על פי השיטה שפיתחנו בדוגמה דלעיל‪ ,‬נתבונן במערכת המשוואות שמטריצה המקדמים שלה היא‬ ‫‪ 1 0 0 1 3‬‬ ‫‪ 0 1 0 1 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 1 1 3‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪a1 a 2 a3 a 4 b‬‬



‫ועמודותיה הן הווקטורים שהצבענו עליהם‪.‬‬ ‫כלומר‪:‬‬



‫‪ 3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 3‬‬



‫‪s4‬‬ ‫‪s4‬‬ ‫‪ s4‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪s1‬‬



‫‪s2‬‬



‫‪s3‬‬



‫המשתנה ‪ s4‬הינו משתנה חופשי‪ ,‬ויתר המשתנים הם קשורים‪.‬‬ ‫נבחר ‪ s4  0‬ואז ‪ . s1  s2  s3  3‬כלומר‪ ,‬ניתן להציג את הווקטור הנתון כך‪:‬‬ ‫‪b  3a1  3a2  3a3  0  a4‬‬



‫נבחר עתה ‪ , s4  1‬ואז ‪ , s1  s2  s3  2‬ולכן ניתן להציג את ‪ b‬באופן אחר‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫‪b  2a1  2a2  2a3  1  a4‬‬



‫לבסוף‪ ,‬נבחר את ‪ , s4  1‬ואז ‪ , s1  s2  s3  4‬ולכן‪:‬‬ ‫‪b  4a1  4a2  4a3  a4‬‬



‫‪212‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪179‬‬



‫תשובה ‪2.5.3‬‬ ‫קיימים סקלרים ‪ s1‬ו ‪ s2‬בשדה שעבורם‬



‫‪1 ‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s1 0  s2 1   0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 1 ‬‬



‫אם ורק אם יש פתרון למערכת המשוואות‪:‬‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫‪s1‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪ 0  s2‬‬



‫‪0  s1‬‬



‫למערכת זו אין פתרון בלא תלות בשדה שמעליו אנו עובדים )התבוננו במשוואה האחרונה!(‪ ,‬ולכן‬ ‫‪ 0‬‬ ‫הווקטור ‪ 0‬אינו צירוף לינארי של שני הווקטורים הנתונים‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪181‬‬ ‫תשובה ‪2.5.4‬‬ ‫על פי משפט ‪ ,2.5.3‬עלינו לבדוק אם קיים פתרון למערכת המשוואות שמטריצת המקדמים שלה היא‪:‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 2 ‬‬



‫‪0 1‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪0 1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪    ‬‬ ‫‪a1 a2 a3 a4 b‬‬



‫נבדוק זאת‪ .‬עלידי תהליך הדירוג נגיע מהמטריצה )*( למטריצת המדרגות‬



‫הקנונית‪11:‬‬



‫‪0 0 0 1/3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 0 2/3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1 4/3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫ולכן‪ ,‬למערכת שמטריצת המקדמים שלה היא )*( יש פתרון יחיד והוא‪:‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( s1 , s2 , s3 , s4 )   , 0, , ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪‬‬



‫מכאן נסיק‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪b  a1  0  a2  a3  a4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬



‫הווי אומר‪ b ,‬הוא צירוף לינארי של הווקטורים הנתונים‪ ,‬והצגתו כצירוף לינארי כזה היא יחידה‪.‬‬ ‫‪ 11‬בדקו!‬



‫)*(‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫תשובה ‪2.5.5‬‬ ‫על פי הנתון‪:‬‬



‫‪213‬‬



‫השאלה בעמוד ‪181‬‬ ‫)‪b  (2,3, 1,1)  2(0, 2,1, 2)  (6,13, 1, 7)  (8,12, 4, 4‬‬



‫נתבונן במערכת משוואות שמטריצת המקדמים שלה היא‪:‬‬ ‫‪0 6 8‬‬ ‫‪2 13 12 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 4 ‬‬ ‫‪2 7 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬



‫צורת המדרגות הקנונית של מטריצה זו‬



‫‪‬‬ ‫‪a3‬‬



‫אחד הפתרונות שלה הוא‪:‬‬ ‫כלומר‬



‫‪ ‬‬ ‫‪a1 a2‬‬



‫היא‪12:‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫לכן המערכת הנתונה שקולה למערכת‪:‬‬



‫‪ 2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 4‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ 3s3‬‬ ‫‪ 2 s3‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s1‬‬



‫‪s2‬‬



‫)‪( s1 , s2 , s3 )  (1, 2,1‬‬ ‫‪b  a1  2a2  a3‬‬



‫בהתאם לנתון‪.‬‬ ‫אולם המשתנה ‪ s3‬הוא חופשי‪ ,‬ולכן יש ל ‪ b‬גם הצגות אחרות‪ .‬אם נבחר‪ ,‬למשל‪ , s3  1 ,‬נקבל‬ ‫‪ , s1  7 , s2  2‬ומכאן את ההצגה‪:‬‬ ‫‪b  7a1  2a2  a3‬‬



‫השאלה בעמוד ‪182‬‬ ‫תשובה ‪2.6.1‬‬ ‫א‪ .‬כפי שראינו בסעיף הקודם‪ s1a1  s2a2  0 ,‬אם ורק אם ‪ s1 , s2‬הם פתרונות המערכת שמטריצת‬ ‫המקדמים שלה היא‪:‬‬ ‫‪1 0 0 ‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪a1 a 2 0‬‬



‫למערכת זו יש פתרון יחיד )‪ . ( s1 , s2 )  (0,0‬לכן‪ ,‬ההצגה היחידה של ‪ 0‬כצירוף לינארי של ‪a1‬‬



‫ו ‪ a2‬היא‪:‬‬



‫‪ 12‬בדקו!‬



‫‪0  a1  0  a2  0‬‬



‫‪214‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ב‪ .‬נתבונן במערכת המשוואות שמטריצת המשתנים שלה היא‪:‬‬ ‫‪ 1 2 1 0‬‬ ‫‪ 2 1 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪a1 a2 a3 0‬‬



‫זוהי מערכת לינארית הומוגנית שבה מספר המשתנים גדול ממספר המשוואות‪ ,‬ולכן יש לה פתרון‬ ‫לאטריוויאלי לפי משפט ‪13.1.13.1‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪182‬‬ ‫תשובה ‪2.6.2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫קבוצת וקטורים ‪ a1 ,, ak ‬ב ‪) F‬כאשר ‪ a1 ,, ak‬וקטורים שונים זה מזה( נקראת תלויה‬ ‫לינארית אם קיימים סקלרים ‪ s1 ,, sk‬בשדה הנתון‪ ,‬שלא כולם אפס‪ ,‬המקיימים‪:‬‬ ‫‪s1a1    sk ak  0‬‬



‫לשון אחר – אם ורק אם קיים צירוף לינארי לאטריוויאלי של הווקטורים ‪ a1 ,, ak‬השווה ל ‪. 0‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪183‬‬ ‫תשובה ‪2.6.3‬‬ ‫נניח‪ ,‬למשל‪ ,‬כי ‪) a1  0‬אם וקטור אחר הוא ‪ , 0‬ההוכחה דומה(‪ ,‬ונתבונן בצירוף הבא‪:‬‬ ‫‪0  1  a1  0  a2    0  ak‬‬



‫צירוף זה אינו טריוויאלי )המקדם ‪ ( s1  1  0‬ולכן הקבוצה ‪ a1 ,, ak ‬היא תלויה לינארית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪183‬‬ ‫תשובה ‪2.6.4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫יהי ‪ , a  0‬ונניח כי ‪ sa  0‬ו ‪ . s  0‬נכפול את השוויון משמאל ב ונקבל ‪ , a  0‬בסתירה‬ ‫‪s‬‬ ‫לנתון‪ .‬לכן‪ ,‬אין צירוף לינארי לאטריוויאלי של ‪ a‬השווה ל ‪ , 0‬ולכן כאשר ‪ a  0‬הקבוצה ‪ a‬היא‬ ‫בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪184‬‬ ‫תשובה ‪2.6.5‬‬ ‫נתבונן בקבוצה ‪ a, 0‬בת שני וקטורים ב ‪ , F n‬כאשר ‪ a‬הוא וקטור כלשהו שונה מ ‪ . 0‬הקבוצה‬ ‫תלויה לינארית‪ ,‬שכן היא מכילה את הווקטור ‪. 0‬‬ ‫יחד עם זאת‪ ,‬הווקטור הראשון‪ , a ,‬אינו צירוף לינארי של הווקטור השני ‪) 0‬כיוון שאם ‪ , a  s 0‬אז‬ ‫‪ , a  0‬בניגוד להנחתנו(‪ .‬נציין‪ ,‬עם זאת‪ ,‬שמתקיים‪:‬‬ ‫‪0  0a‬‬



‫כלומר‪ ,‬הווקטור השני‪ , 0 ,‬הוא צירוף לינארי של הווקטור הראשון‪.‬‬



‫‪ 13‬למשל‪ (1,1, 3) ,‬הוא פתרון לאטריוויאלי של מערכת זו‪ ,‬ובהתאם )‪ 1  (1, 2)  1  (2,1)  3(1,1)  (0, 0‬היא‬ ‫הצגה של )‪ (0, 0‬כצירוף לינארי לאטריוויאלי של הווקטורים הנתונים‪.‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫תשובה ‪2.6.6‬‬ ‫ברור כי‪:‬‬



‫‪215‬‬



‫השאלה בעמוד ‪186‬‬ ‫) ‪b1 (1,0)  b2 (0,1)  (b1 , b2‬‬



‫כלומר‪:‬‬



‫‪b1e1  b1e1  b‬‬



‫הווי אומר‪ b ,‬הוא צירוף לינארי של ‪ , e1 , e2‬ולכן‪ ,‬לפי משפט ‪ ,2.6.3‬הקבוצה ‪ e1 , e2 , b‬תלויה‬ ‫לינארית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪186‬‬ ‫תשובה ‪2.6.7‬‬ ‫א‪ .‬תהי נתונה קבוצת וקטורים ‪ a1 ,, ak ‬שיש לה תתקבוצה תלויה לינארית‪ .‬נניח שתתקבוצה זו‬ ‫מורכבת מהווקטורים‪14:‬‬ ‫‪ai1 , ai2 ,, aim‬‬ ‫אז קיים צירוף לאטריוויאלי‪:‬‬



‫‪0‬‬



‫‪si ai  si ai    si ai‬‬



‫‪m‬‬



‫‪m‬‬



‫‪2‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫נוסיף לשני האגפים את יתר וקטורי הקבוצה עם מקדמים השווים ל ‪ . 0‬אז נקבל את הצירוף‬ ‫‪ s1a1    sk ak  0‬שלא כל מקדמיו הם אפסים‪ ,‬ומכאן הטענה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נניח בשלילה שתתקבוצה מסוימת של הקבוצה הנתונה תלויה לינארית‪ .‬אז )על פי חלק א של‬ ‫השאלה( גם הקבוצה הנתונה תלויה לינארית‪ ,‬בסתירה לנתון‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪187‬‬ ‫תשובה ‪2.6.8‬‬ ‫נניח בשלילה ששני וקטורים ‪ ai , a j‬בסדרה שווים זה לזה‪ .‬נקבע ‪ s j  1 , si  1‬ו ‪ sk  0‬לכל‬ ‫‪ . k  i , j‬אז‪:‬‬ ‫‪s1a1  ...  sk a k  1  ai  ( 1)  a j  1  ai  ( 1)  ai  0‬‬



‫בכך קיבלנו צירוף לינארי לאטריוויאלי של איברי הסדרה שמתאפס‪ .‬סתירה‪.‬‬ ‫תשובה ‪2.6.9‬‬ ‫הטענה נובעת מיידית מהגדרות ‪ 2.6.1‬ו'‪.2.6.1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪187‬‬



‫תשובה ‪2.6.10‬‬ ‫א‪ .‬נתבונן במערכת המשוואות המאופיינת עלידי המטריצה‪:‬‬



‫השאלה בעמוד ‪188‬‬ ‫‪ 1 1 1 0 ‬‬ ‫‪ 2 1 2 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 1 0 0 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪a1 a 2 a3 0‬‬



‫‪1  i1  i2    im  k 14‬‬



‫‪216‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫עלידי תהליך הדירוג נגיע למטריצת המדרגות‬ ‫‪ 1 1 1 0 ‬‬ ‫‪ 0 1 4 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1 0‬‬



‫שממנה קל לראות כי למערכת אין פתרון לאטריוויאלי‪ ,‬ולכן קבוצת הווקטורים הנתונה היא‬ ‫בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתבונן במערכת המשוואות המאופיינת עלידי המטריצה‪:‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪ 2 1 2.5 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪ 4 5 1.5 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪  ‬‬ ‫‪b1 b2 b3‬‬



‫עלידי תהליך הדירוג נגיע למטריצה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0.5 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0‬‬



‫כלומר‪ ,‬המערכת הנתונה שקולה למערכת‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪s3‬‬ ‫‪ 0.5 s3‬‬



‫‪ s2‬‬



‫‪s1‬‬



‫המשתנה ‪ s3‬הוא משתנה חופשי‪ .‬אם נבחר‪ ,‬למשל‪ , s3  2 ,‬נקבל ‪ , s1  2 , s2  1‬ולכן קיים‬ ‫צירוף לאטריוויאלי השווה ל ‪: 0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 1  0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2.5   0 ‬‬ ‫‪( 2)    1    2     ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2  0 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪1.5   0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪   ‬‬



‫ולכן הקבוצה תלויה לינארית‪.‬‬ ‫תשובה ‪2.6.11‬‬ ‫א‪ .‬הבסיס הסטנדרטי של ‪  2‬הוא‪:‬‬



‫השאלה בעמוד ‪190‬‬



‫‪(1, 0), (0,1)‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e2‬‬



‫‪‬‬ ‫‪e1‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪217‬‬



‫ותיאורו הגרפי נתון להלן‪:‬‬



‫ב‪ .‬הבסיס הסטנדרטי של ‪  3‬הוא‬ ‫‪, (0,1, 0) , (0, 0,1)‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪e3‬‬



‫‪‬‬ ‫‪,‬‬



‫‪e2‬‬



‫)‪(1, 0, 0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪,‬‬



‫‪e1‬‬



‫‪‬‬



‫ותיאורו הגרפי‪:‬‬



‫תשובה ‪2.6.12‬‬ ‫יהי ‪ e1 ,, en ‬הבסיס הסטנדרטי של‬



‫השאלה בעמוד ‪190‬‬ ‫‪ . F n‬נניח כי‪:‬‬ ‫‪s1e1    sn en  0‬‬



‫נרשום את השוויון בקואורדינטות‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0  s1  0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0  s  0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪   2  ‬‬ ‫‪s1 0  s2 0    sn 0     0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪      ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1   sn  0‬‬



‫מכאן שכל המקדמים של הצירוף שווים בהכרח ל ‪ . 0‬לכן איברי הבסיס הסטנדרטי מהווים קבוצה‬ ‫בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪190‬‬ ‫תשובה ‪2.6.13‬‬ ‫הטענה מיידית מהגדרת האיתלות‪ ,‬שכן אין חשיבות לסדר המחוברים בצירוף הלינארי המופיע‬ ‫בהגדרה‪.‬‬



‫‪218‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪193‬‬ ‫תשובה ‪2.7.1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ .‬בכל בסיס של ‪ ‬יש בדיוק שלושה וקטורים שונים )משפט ‪ ,(2.7.7‬ולכן ארבעת הווקטורים‬ ‫הנתונים כאן בוודאי אינם מרכיבים בסיס ל ‪.  3‬‬ ‫ב‪ .‬כדי לבדוק אם שלושת הווקטורים הם תלויים או בלתי תלויים לינארית‪ ,‬עלינו לבדוק אם קיים‬ ‫או לא קיים פתרון לאטריוויאלי למערכת ההומוגנית המאופיינת עלידי המטריצה שווקטורים‬ ‫אלה הם שלוש עמודותיה הראשונות‪:‬‬ ‫‪ 2 0 0 0‬‬ ‫‪ 0 1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 3 0‬‬



‫ברור שהצורה הקנונית של המטריצה המצומצמת המתאימה‬ ‫‪ 2 0 0‬‬ ‫‪ 0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 3‬‬



‫היא מטריצת היחידה‪ ,‬ולכן אין למערכת פתרון לאטריוויאלי והווקטורים הם בלתי תלויים‬ ‫לינארית‪15.‬‬ ‫כדי לבדוק אם הווקטורים פורשים את ‪ ,  3‬עלינו לבדוק אם לכל וקטור‬ ‫‪ b1 ‬‬



‫‪ b  b2 ‬קיים פתרון למערכת‪:‬‬ ‫‪ b3 ‬‬



‫‪ 2 0 0 b1 ‬‬ ‫‪0 1 0 b ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 3 b3 ‬‬



‫אולם‪ ,‬זוהי מערכת של שלוש משוואות בשלושה נעלמים‪ ,‬וכבר מצאנו קודם כי המטריצה‬ ‫המצומצמת שלה שקולתשורה למטריצת היחידה‪ ,‬ולכן על פי משפט ‪ 1.14.2‬קיים פתרון למערכת‬ ‫זו )ואפילו יחיד!(‪ .‬לכן הווקטורים פורשים את ‪.  3‬‬ ‫בכך הוכחנו כי הווקטורים הנתונים מהווים בסיס ל ‪.  3‬‬ ‫ג‪ .‬הווקטורים השני והשלישי בקבוצה זו הם פרופורציוניים‪:‬‬ ‫)‪(8, 4, 0)  2(4, 2, 0‬‬



‫ולכן‪:‬‬



‫)‪(8, 4, 0)  0  (1, 0,1)  2(4, 2, 0‬‬



‫בכך הראינו כי אחד משלושת הווקטורים הוא צירוף לינארי של האחרים‪ ,‬ולכן הקבוצה הכוללת‬ ‫את שלושת הווקטורים היא תלויה לינארית‪ ,‬וממילא אינה בסיס‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬



‫)‪ (1, 0, 0‬‬ ‫)‪ (3, 2, 0‬‬ ‫)‪ ( 2,1,1‬‬



‫‪e1‬‬ ‫‪3e1  2e2‬‬ ‫‪ 2e1  e2‬‬



‫‪ 15‬על איזה משפט בפרק ‪ 1‬הסתמכנו?‬



‫‪e3‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪219‬‬



‫)בדקו!(‬ ‫שוב‪ ,‬עלינו לבדוק קיום או איקיום של פתרון לאטריוויאלי למערכת ההומוגנית המתאימה‬ ‫למטריצה‪:‬‬ ‫‪ 1 3 2 0 ‬‬ ‫‪ 0 2 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1 0‬‬



‫מדירוג המטריצה המצומצמת מתקבלת מטריצת יחידה ולכן‪:‬‬ ‫‪ .1‬אין למערכת פתרון לאטריוויאלי והווקטורים הם‪ ,‬אם כן‪ ,‬בלתי תלויים לינארית‪.‬‬ ‫‪ .2‬לכל מערכת לינארית המאופיינת עלידי מטריצה מהטיפוס‬ ‫‪1 3 2 b1 ‬‬ ‫‪0 2 1 b ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 1 b3 ‬‬



‫יש‬



‫פתרון‪16.‬‬



‫לכן‪ ,‬כל וקטור ) ‪ b  (b1 , b2 , b3‬הוא צירוף לינארי של הווקטורים הנתונים‪ ,‬כלומר וקטורים אלה‬ ‫פורשים את ‪ .  3‬לפיכך‪ ,‬קבוצה זו מהווה בסיס ל ‪.  3‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪197‬‬ ‫תשובה ‪2.7.2‬‬ ‫א‪ .‬מספיק לבדוק אם הקבוצה המתאימה תלויה או בלתי תלויה לינארית )אם היא בלתי תלויה –‬ ‫לפנינו בסיס לפי משפט ‪ ;2.7.8‬אם היא תלויה – ברור שהקבוצה אינה בסיס ל ‪ .(  4‬כדי לבדוק‬ ‫זאת עלינו לברר אם קיים או לא קיים פתרון לאטריוויאלי למערכת ההומוגנית‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪    ‬‬ ‫‪a1 a 2 a3 a 4 0‬‬



‫לשם כך‪ ,‬לפי משפט ‪ ,1.14.2‬יש לבדוק מה קורה בדירוג המטריצה המצומצמת‪ .‬עלידי ביצוע‬ ‫סדרת הפעולות האלמנטריות שלהלן על המטריצה המצומצמת‪,‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.6‬‬



‫‪ 16‬משפט ‪.1.14.3‬‬



‫‪R1  R1  R4‬‬ ‫‪R2  R2  R3‬‬ ‫‪R2  R2  R4‬‬ ‫‪R3  R3  R1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2 2‬‬



‫‪R4  R4 ‬‬



‫‪R4  R4  R3‬‬



‫‪220‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫מקבלים‪:‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 3/2‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫כבר בשלב זה ברור כי המטריצה המצומצמת היא שקולתשורה למטריצת היחידה‪ ,‬ולכן אין‬ ‫למערכת פתרון לאטריוויאלי‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מסקנה‪ :‬סדרת ארבעת הווקטורים הנתונים מהווה בסיס ל ‪. ‬‬ ‫ב‪ .‬כל שאמרנו בסעיף הקודם עומד ונותר בעינו‪ ,‬אך יש לזכור שמדרגים את המטריצה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪    ‬‬ ‫‪a1 a2 a3 a4 0‬‬



‫כמטריצה מעל ‪ . 2‬גם כאן‪ ,‬מגיעים למטריצת היחידה )ודאו!(‪ ,‬ולכן הסדרה הנתונה מהווה בסיס‬ ‫ל ‪.  42‬‬ ‫תשובה ‪2.7.3‬‬ ‫אנו יודעים כי למערכת המשוואות ההומוגנית‬



‫השאלה בעמוד ‪199‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪  ‬‬



‫‪a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ann xn‬‬



‫‪a11 x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1‬‬



‫יש פתרון לאטריוויאלי‪ .‬דבר זה ייתכן אם ורק אם ‪ n‬הווקטורים ב ‪F n‬‬



‫‪ a11 ‬‬ ‫‪ a1n ‬‬ ‫‪a1     ,, an    ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ann ‬‬ ‫‪ an1 ‬‬



‫הם תלויים לינארית‪ .‬במקרה זה אין ‪ a1 ,, an‬פורשים את ‪ , F n‬כלומר יש וקטור ‪ b  F n‬שאינו‬ ‫צירוף לינארי של ‪ . a1 ,, an‬במילים אחרות – עבור אותו ‪ , b  F n‬לכל בחירה של ‪: sn ,, s2 , s1‬‬ ‫‪s1a1  s2 a2    sn an  b‬‬



‫אם ) ‪ , b  (b1 ,, bn‬אז משמעות הקביעה האחרונה היא כי למערכת‬ ‫‪‬‬



‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bn‬‬



‫אין פתרון‪.‬‬



‫‪  ‬‬



‫‪a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ann xn‬‬



‫‪a11 x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1‬‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫תשובה ‪2.7.4‬‬ ‫נסמן‪:‬‬



‫‪221‬‬



‫השאלה בעמוד ‪199‬‬ ‫‪ a1 j ‬‬ ‫‪ a11 ‬‬ ‫‪ a1n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a1   21  ,, a j   2 j  ,, an   2 n ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪ n1 ‬‬ ‫‪ nn ‬‬ ‫‪ anj ‬‬



‫נתון כי ‪ ai1  3ain‬לכל ‪ . 1  i  n‬במילים אחרות‪ a1  3an ,‬ולכן‬ ‫‪a1  0  a2  0  a3    0  an 1  3an‬‬



‫ומכאן שהקבוצה ‪ a1 ,, an ‬היא תלויה לינארית‪ ,‬ולכן למערכת ההומוגנית הנתונה יש פתרון‬ ‫לאטריוויאלי‪ .‬אפשר בקלות להדגים פתרון כזה‪ ,‬שהרי‪:‬‬ ‫‪a1  0  a2    0  an 1  3an  0‬‬



‫ולכן )‪ ( s1 ,, sn )  (1,0,,0, 3‬הוא פתרון לאטריוויאלי למערכת הנתונה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪200‬‬



‫תשובה ‪2.7.5‬‬ ‫מטריצת המקדמים של המערכת היא‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪2 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪2 10‬‬ ‫‪0 2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬



‫עמודות המערכת תלויות לינארית‪ ,‬שכן העמודה השלישית פרופורציונית לעמודה הראשונה‪ .‬אבל תלות‬ ‫לינארית של העמודות במטריצה זו משמעה קיום פתרון לאטריוויאלי למערכת ההומוגנית הנתונה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪200‬‬



‫תשובה ‪2.7.6‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪j 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪k‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫) ‪   ij    (1 j   2 j     kj‬‬ ‫) ‪ (11  21    k1‬‬ ‫) ‪(12  22    k 2‬‬ ‫‪‬‬



‫) ‪(1n  2n    kn‬‬



‫נסכם את המחוברים לפי העמודות‪:‬‬



‫) ‪ (11  12    1n‬‬ ‫) ‪(21  22    2n‬‬ ‫‪‬‬



‫) ‪(k1  k 2    kn‬‬



‫‪j 1  i 1‬‬



‫‪222‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫עתה נרשום את אגף ימין‪:‬‬ ‫‪k‬‬



‫‪‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪k‬‬



‫) ‪   ij    (i1  i 2    in‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪i 1  j 1‬‬



‫) ‪ (11  12    1n‬‬ ‫) ‪(21  22    2n‬‬ ‫‪‬‬



‫) ‪(k1  k 2    kn‬‬



‫ומכאן נובע השוויון בין שני האגפים‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫נתבונן במטריצה בת ‪ k‬שורות ו ‪ n‬עמודות‪:‬‬



‫‪11 12  1n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 22   2 n ‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k 1  k 2   kn ‬‬



‫)‪(3‬‬



‫מן החישובים שעשינו לעיל מתקבל פירוש פשוט של השוויון‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1  j 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪ k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j 1  i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ ‬‬



‫)‪(4‬‬



‫שאותו הוכחנו‪.‬‬ ‫אם עלינו למצוא את הסכום של כל איברי המטריצה )‪ ,(3‬נוכל לסכם אותם שורה שורה ואחר כך‬ ‫לחבר את התוצאות‪ .‬כך נקבל את אגף ימין של )‪.(4‬‬ ‫לחלופין‪ ,‬נוכל לסכם תחילה את איברי המטריצה )‪ (3‬עמודה עמודה ולחבר את התוצאות‪ .‬כך נקבל‬ ‫את אגף שמאל של )‪ .(4‬אין להתפלא אפוא ששני האגפים שווים‪ ,‬שהרי שניהם שווים לסכום כל איברי‬ ‫המטריצה )‪!(3‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪200‬‬



‫תשובה ‪2.7.7‬‬ ‫לכל ‪, 1  i  n‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ i ij j‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪i  ij  j ‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫שכן‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫) ‪i  ij  j   i ( i11  i 2 2    in n‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪ i i1 1  i i 2 2    i in n‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ i ij j‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪‬‬



‫)*(‬



‫פרק ‪  2‬המרחב ‪F n‬‬



‫‪223‬‬



‫באופן דומה‪ ,‬לכל ‪, 1  i  n‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪i ij j‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ j i ij ‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫נרשום עתה‪:‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪ j 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪i   ij  j      i ij  j ‬‬ ‫‪i 1  j 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   i ij j   j   i ij ‬‬ ‫‪j 1  i 1‬‬ ‫‪  j 1  i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫על פי שאלה ‪2.7.6‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪‬‬



‫השאלה בעמוד ‪200‬‬



‫תשובה ‪2.7.8‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ti bi‬‬



‫‪c‬‬



‫‪i 1‬‬



‫נציב בשוויון זה‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ sij a j‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪bi ‬‬



‫נקבל‪17:‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪ i 1‬‬



‫‪j 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ j 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ti   sij a j    a j   ti sij ‬‬



‫‪c‬‬



‫‪i 1‬‬



‫ונקבל את הצירוף המבוקש‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ rj a j‬‬



‫‪c‬‬



‫‪j 1‬‬



‫כאשר‬



‫‪n‬‬



‫‪ ti sij‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫‪. rj ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪201‬‬ ‫תשובה ‪2.7.9‬‬ ‫א‪ .‬כדי לתאר נקודה במרחב זה‪ ,‬יש לבחור ערך עבור כל אחת מן הקואורדינטות שלה‪ .‬לכל‬ ‫קואורדינטה שתי אפשריות‪ ,‬ולכן מספר הנקודות הוא ‪. 2n‬‬ ‫ב‪ .‬כל וקטור על ישר כזה הוא מהצורה ‪ tb t  2 ‬כאשר ‪ b‬וקטור שונה מאפס‪ .‬הפרמטר ‪ t‬יכול‬ ‫לקבל שני ערכים‪ ,‬ולכן על הישר בדיוק שתי נקודות‪ 0 :‬ו ‪. b‬‬



‫‪tb t  2 ‬‬



‫ג‪ .‬שימו לב שאם ‪ b , c‬הן שתי נקודות שונות במרחב )שאינן הראשית(‪ ,‬אז הישר‬ ‫בהכרח שונה מן הישר ‪ . tc t  2 ‬לכן‪ ,‬יש התאמה חדחדערכית ועל בין הישרים במרחב‬ ‫העוברים דרך הראשית לבין הנקודות שאינן הראשית‪ .‬מכאן שמספר הישרים הללו הוא ‪, 2n  1‬‬ ‫כמספר הנקודות השונות מ ‪ 0‬ב ‪. n2‬‬ ‫‪ 17‬על פי שאלה ‪.2.7.7‬‬



‫‪224‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ד‪ .‬כל מישור כזה הוא מהצורה ‪ sb  tc s, t  2 ‬כאשר ‪ b, c‬וקטורים שונים שאינם הראשית‪.‬‬ ‫לכן הנקודות המונחות על מישור זה הן הווקטורים‪:‬‬ ‫‪0  0b  0c, b  1b  0c , c  0b  1c, b  c  1b  1c‬‬



‫שימו לב‪ ,‬מדובר בארבעה וקטורים שונים‪ ,‬ולכן על המישור בדיוק ‪ 22  4‬נקודות‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪201‬‬ ‫תשובה ‪2.7.10‬‬ ‫כיוון אחד של המשפט נובע מההגדרה‪ :‬אם הקבוצה היא בסיס‪ ,‬אז לפי הגדרה ‪ 2.7.6‬מתקיימים שני‬ ‫התנאים המופיעים במשפט‪.‬‬ ‫בכיוון ההפוך‪ ,‬אם קבוצה של ‪ n‬וקטורים שונים ב ‪ F n‬מקיימת את אחד התנאים )א או ב(‬ ‫המופיעים במשפט‪ ,‬אז היא מקיימת גם את התנאי האחר – לפי משפט ‪ – 2.7.8‬ולכן היא בסיס לפי‬ ‫הגדרה ‪.2.7.6‬‬



‫פרק ‪ | 3‬מטריצות‬



‫‪226‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪227‬‬



‫‪ 3.1‬סימון מטריצות ורכיביהן‬ ‫מושג המטריצה הוגדר בפרק ‪ ,1‬שם השתמשנו במטריצות להקלת עבודת הכתיבה הכרוכה בפתרון‬ ‫מערכות לינאריות‪ .‬אבל שימושיותן של מטריצות אינה מתמצה בכך‪ .‬המטריצות הן אובייקטים‬ ‫מתמטיים בעלי חשיבות בפני עצמם‪ ,‬ואף בעלי משמעות גיאומטרית‪ ,‬כפי שתיווכחו בהמשך הקורס‪.‬‬ ‫כדי להשתמש במטריצות למטרות מעמיקות יותר מאשר רישום מקוצר של מערכות משוואות‪ ,‬נגדיר‬ ‫פעולות חשבון על מטריצות‪ .‬בסעיפים הבאים יוגדרו חיבור מטריצות וכפל מטריצה בסקלר באופן‬ ‫טבעי‪ ,‬כאנלוגיים לחיבור ‪ n‬יות ולכפל ‪ n‬יות בסקלר‪ .‬לאחר מכן יוגדר כפל מטריצות‪ .‬תיבחנה‬ ‫התכונות של הפעולות השונות ונביא שימושים לפעולות אלה‪ .‬בכל המשכו של הקורס נוסיף להפיק‬ ‫תועלת מיסודות תורת המטריצות שיוצגו בפרק זה‪.‬‬ ‫בסעיף זה נתחיל מביסוס פורמלי של המושג עצמו‪ ,‬ונציג כמה מוסכמות סימון נוחות‪ .‬כזכור‪ ,‬מטריצה‬ ‫מסדר ‪) m  n‬קרי‪ m :‬על ‪ ( n‬מעל שדה מסוים היא אוסף של ‪ mn‬סקלרים בשדה זה הערוכים‬ ‫בטבלה בת ‪ m‬שורות ו ‪ n‬עמודות‪ .‬לסקלרים המופיעים במטריצה נקרא איברי המטריצה או רכיבי‬ ‫המטריצה‪.‬‬ ‫כל ההגדרות והטענות שנבסס בפרק זה תקפות בלא תלות בשדה שמעליו נעבוד‪ ,‬ולכן נרשה לעצמנו‬ ‫לומר‪ ,‬למשל‪" ,‬מטריצה מסדר ‪ " m  n‬במקום "מטריצה מסדר ‪ m  n‬מעל שדה כלשהו‪/‬מסוים";‬ ‫בכל עת שבה נעסוק בטענות על אודות מטריצות וסקלרים – תמיד נניח במובלע כי כל רכיבי‬ ‫המטריצות והסקלרים כולם נלקחים מאותו השדה‪ .‬אם לא נציין אחרת‪ ,‬בכל הדוגמאות הקונקרטיות‬ ‫שנביא‪ ,‬השדה שמעליו נעבוד יהיה שדה המספרים הממשיים‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪A   5 5 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 7 12 3‬‬ ‫היא מטריצה מסדר ‪. 3  3‬‬



‫‪‬‬



‫ישנן כמה דרכים לציון רכיביה של מטריצה‪ .‬ניתן לעשות זאת באופן מפורש‪ ,‬כפי שעשינו בדוגמה‬ ‫דלעיל‪ .‬באופן כללי‪:‬‬ ‫‪ a11 a12  a1n ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a22  a2 n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A   21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ m1 am 2  amn ‬‬



‫היא מטריצה מסדר ‪. m  n‬‬ ‫כאשר נרצה להדגיש בסימון עצמו את סדר המטריצה‪ , m  n ,‬נרשום ‪ Amn‬במקום ‪ A‬בלבד‪.‬‬



‫‪228‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לתיאור מטריצה באמצעות אות בודדת משתמשים בדרך כלל באותיות לטיניות גדולות‪ ,‬כגון ‪ . A‬את‬ ‫רכיבי המטריצה מקובל לסמן באותיות הלטיניות הקטנות המתאימות‪ ,‬למשל ‪ , aij‬או באותיות‬ ‫היווניות הקטנות המתאימות‪ ,‬למשל ‪. ij‬‬ ‫במטריצה הרשומה לעיל‪ ,‬האיבר הנמצא בשורה הראשונה בעמודה השנייה הוא ‪ , a12‬ואילו האיבר‬ ‫הנמצא בשורה השנייה בעמודה הראשונה הוא ‪ . a21‬באופן כללי‪ ,‬איבר המטריצה הנמצא בשורה ה ‪i‬‬ ‫ובעמודה ה ‪ j‬הוא ‪ . aij‬לאיבר זה נקרא בהמשך האיבר ה ) ‪ (i , j‬או הרכיב ה ) ‪ (i , j‬של המטריצה‪.‬‬ ‫כמובן‪ ,‬יש במטריצה איבר כזה רק עבור ‪ i‬ו ‪ j‬המקיימים ‪. 1  j  n , 1  i  m‬‬ ‫הערה‬ ‫הסימון ‪ aij‬הוא קיצור של הסימון המדויק יותר ‪ , ai , j‬אך האחרון נחוץ רק כשעוסקים במטריצות‬ ‫גדולות מאוד‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪ A‬מסדר ‪ , 20  30‬אז הסימון ‪ a112‬אינו חד משמעי – הוא עשוי להצביע‬ ‫על האיבר ‪ , a11,2‬או על האיבר ‪ . a1,12‬במקרים כאלה יש להיזהר ולציין במדויק את האיבר שאליו‬ ‫מכוונים‪ .‬עם זאת‪ ,‬עבור מטריצות קטנות‪ ,‬שבהן נעסוק לרוב‪ ,‬אין חשש מבלבול מסוג זה‪ ,‬ונוח יותר‬ ‫להשתמש בסימון ‪. aij‬‬ ‫בדרך רישום קצרה ומקובלת עבור מטריצות מסמנים את המטריצה הרשומה למעלה גם כך‪:‬‬ ‫‪A   ai , j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ m n‬‬



‫כאשר אין חשש לחוסר בהירות‪ ,‬מוותרים על ִאזכור הסדר ורושמים רק ‪. ai , j ‬‬ ‫אם ‪ A‬מטריצה‪ ,‬אז את הרכיב ה ) ‪ (i , j‬של המטריצה נציין גם ב ‪)  Ai , j‬או ב ‪ ,  Aij‬אם אין חשש‬ ‫‪ , A   ai , j ‬אז ‪  Ai , j  aij‬לכל זוג אינדקסים ‪ . i , j‬סימון זה מאפשר‬ ‫לבלבול(‪ .‬כלומר‪ ,‬אם‬ ‫‪m n‬‬ ‫לחסוך במתן שמות מראש )כגון ‪ ( ai , j‬לאיברי המטריצה‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.1.1‬‬ ‫בכל אחד מן הסעיפים הבאים‪ ,‬הציגו את המטריצה באופן מפורש ומצאו מהו האיבר‬ ‫א‪.‬‬



‫‪m n‬‬



‫‪.  A3,2‬‬



‫‪ A   ai , j ‬כאשר נתון‪:‬‬



‫‪ , m  3, n  2‬ו ‪. a1,1  2, a2,1  3, a3,1  3, a1,2  0, a2,2  5, a3,2  7‬‬ ‫ב‪.‬‬



‫‪33‬‬



‫‪. A   2i  j ‬‬



‫‪ A   ai , j ‬כאשר נתון‪:‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪m n‬‬ ‫‪ , m  2, n  3‬ו ‪ 5, a2,3  7‬‬ ‫ד‪.‬‬



‫‪mn‬‬



‫‪. A   2i  j ‬‬



‫‪. a1,1  2, a1,2  3, a1,3  3, a2,1  0, a2,2‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪299‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪229‬‬



‫לאחר שביססנו את הסימונים עבור מטריצה בודדת‪ ,‬נגדיר שוויון בין מטריצות‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.1.1‬שוויון מטריצות‬ ‫‪) A   aij ‬מעל אותו שדה(‪ ,‬הן שוות זו לזו אם מתקיים‪:‬‬ ‫שתי מטריצות ‪,‬‬ ‫‪, B   bij ‬‬ ‫‪  pq‬‬ ‫‪m n‬‬ ‫א‪ .‬שתי המטריצות הן מאותו סדר‪ ,‬כלומר‪:‬‬



‫‪m  p, n  q‬‬



‫ב‪ .‬האיברים המתאימים בשתי המטריצות שווים זה לזה‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ i‬ו ‪ j‬המקיימים ‪, 1  i  m‬‬



‫‪:1  j  n‬‬



‫‪aij  bij‬‬



‫אם המטריצות ‪ A‬ו ‪ B‬שוות זו לזו נרשום ‪ ; A  B‬אחרת נרשום ‪. A  B‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫א‪.‬‬



‫‪ 0 1  0 1 0‬‬ ‫‪ 2 1   2 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬



‫כי המטריצות אינן מאותו סדר‪.‬‬ ‫ב‪ 1 4   1 2  .‬‬ ‫‪ 2 5  4 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬



‫כאן המטריצות הן מאותו סדר‪ ,‬ואפילו כל איבר של אחת מהן שווה לאיזשהו איבר של האחרת‪,‬‬ ‫ובכל זאת המטריצות שונות‪ ,‬כי האיבר ה )‪ , (1, 2‬למשל‪ ,‬במטריצה משמאל הוא ‪ 4‬ובמטריצה‬ ‫שמימין הוא ‪. 2‬‬ ‫ג‪ .‬נבדוק באילו תנאים מתקיים השוויון‪:‬‬ ‫‪0 1   y z ‬‬ ‫‪ 2 x    u 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬



‫ראשית נבחין כי שתי המטריצות הן מאותו סדר‪ .‬מהשוואת האיברים המתאימים נקבל כי‬ ‫השוויון מתקיים אם ורק אם‪:‬‬ ‫‪y 0‬‬



‫‪z 1‬‬ ‫‪u2‬‬ ‫‪x0‬‬



‫‪‬‬ ‫שאלה ‪3.1.2‬‬ ‫מצאו את כל המספרים הממשיים ‪ x, y , z , u‬שעבורם מתקיים השוויון‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2 ‬‬



‫‪0 x   z‬‬ ‫‪u 9    y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪299‬‬



‫‪230‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 3.2‬על שורות ועמודות‬ ‫בפרקים הקודמים‪ ,‬כאשר עסקנו בווקטורים‪ ,‬ראינו אותם כשורות בהקשרים מסוימים‪ ,‬ובהקשרים‬ ‫אחרים – כעמודות‪ .‬בסעיף זה נבסס הגדרות מדויקות יותר‪.‬‬ ‫ראשית נדון במטריצות בנות שורה‪/‬עמודה בודדת‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.2.1‬מטריצת שורה‪/‬עמודה‬ ‫א‪ .‬מטריצה מסדר ‪) 1  n‬כלומר‪ ,‬מטריצה שיש בה שורה אחת בלבד( נקראת וקטור שורה )מסדר ‪( n‬‬ ‫או מטריצת שורה )מסדר ‪.( n‬‬ ‫ב‪ .‬מטריצה מסדר ‪) m  1‬כלומר‪ ,‬מטריצה שיש בה עמודה אחת בלבד( נקראת וקטור עמודה )מסדר‬ ‫‪ ( m‬או מטריצת עמודה )מסדר ‪.( m‬‬ ‫הערה‬ ‫מעתה נאמץ את המוסכמה הבאה‪ :‬אם נתון וקטור מאורך ‪ , n‬ולא מצוין במפורש כי זהו וקטור‬ ‫שורה‪ ,‬אז נראה את הווקטור הזה כווקטור עמודה – כלומר‪ ,‬כמטריצה מסדר ‪. n  1‬‬ ‫בהינתן מטריצה‪ ,‬לעיתים נרצה להתייחס לעמודה או לשורה מסוימת בתוכה‪:‬‬ ‫הגדרה ‪3.2.2‬‬ ‫‪ ‬את השורה ה ‪ i‬של מטריצה ‪ A‬נסמן ב ‪ A‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪i‬‬



‫‪ ‬את העמודה ה ‪ j‬של מטריצה ‪A‬‬



‫כלומר‪ ,‬אם‬



‫‪mn‬‬



‫‪1.‬‬



‫נסמן ב ‪ Acj‬‬



‫‪2.‬‬



‫‪ A   aij ‬מטריצה מסדר ‪ m  n‬ומתקיים ‪ 1  i  m‬ו ‪ , 1  j  n‬אז‪:‬‬ ‫‪  ai1 , , ain ‬‬



‫‪ Air‬‬



‫‪ a1 j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ amj ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ A‬‬



‫‪c‬‬ ‫‪j‬‬



‫בעזרת סימון זה נוכל לראות מטריצה ‪ A‬מסדר ‪ m  n‬כמורכבת מ ‪ m‬וקטורי שורה‪ ,‬שכל אחד‬ ‫מהם מסדר ‪, n‬‬ ‫‪  Ar ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ Ar‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪A  2‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ r ‬‬ ‫‪ Am ‬‬



‫‪ 1‬האות ‪ r‬נבחרה לציון המילה ‪ – Row‬שורה‪.‬‬ ‫‪ 2‬האות ‪ c‬נבחרה לציון המילה ‪ – Column‬עמודה‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪231‬‬



‫או כמורכבת מ ‪ n‬וקטורי עמודה‪ ,‬שכל אחד מהם הוא מסדר ‪: m‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪A   A1 ,  A2 ,,  An ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫שימו לב! מהגדרה ‪ 3.2.1‬נובע כי עבור ‪ , n  1‬וקטור שורה מסדר ‪ n‬לעולם אינו שווה לווקטור‬ ‫עמודה מסדר ‪ , n‬אפילו אם רכיביהם שווים בהתאמה‪:‬‬ ‫‪ a1 ‬‬ ‫‪ a1 , , an     ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ an ‬‬



‫עם זאת‪ ,‬כאשר נתון וקטור )עמודה( מסוים‪ ,‬לעיתים כדאי לראות אותו דווקא כווקטור שורה )כלומר‪,‬‬ ‫להתבונן בווקטור השורה בעל אותם הרכיבים‪ ,‬באותו הסדר(‪ ,‬ולהיפך‪ .‬לכן נרצה דרך סימון נוחה‬ ‫למעבר מווקטור השורה‬ ‫‪a1 ,, an ‬‬



‫לווקטור העמודה‪:‬‬ ‫‪ a1 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ an ‬‬



‫יתר על כן‪ ,‬בהינתן מטריצה מסוימת‪ ,‬לעיתים נרצה להעמיד את המטריצה כולה על צידה‪ ,‬ולעבור‬ ‫למטריצה שבה תפקידי כל העמודות והשורות התחלפו‪ .‬לצרכים אלה נגדיר‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.2.3‬המטריצה המשוחלפת‬ ‫‪ A   aij ‬מטריצה מסדר ‪ . m  n‬המטריצה המשוחלפת של ‪ A‬היא המטריצה מסדר‬ ‫תהי‬ ‫‪mn‬‬ ‫‪ n  m‬אשר האיבר ה ) ‪ (i , j‬שלה הוא האיבר ה ) ‪ ( j , i‬של המטריצה ‪. A‬‬ ‫את המטריצה המשוחלפת של ‪ A‬מסמנים ב ‪3. At‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬אם ‪ , A  [aij ]mn‬אז לכל ‪ 1  i  m‬ו ‪ 1  j  n‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ At   aij‬‬ ‫‪  ji‬‬



‫בכתיב מפורש‪ ,‬אם‪:‬‬ ‫‪ a11 a12  a1n ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a22  a2 n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A   21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ m1 am 2  amn ‬‬



‫‪3‬‬



‫‪ t‬היא ראש התיבה ‪ ,transposed‬שהיא הכינוי הלועזי לתואר "משוחלף"‪.‬‬



‫‪232‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫‪ a11  am1 ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ am 2 ‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪At  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a1n  amn ‬‬



‫השורות של ‪ At‬הן העמודות של ‪ , A‬והעמודות של ‪ At‬הן השורות של ‪ , A‬בסדר המתאים‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2 3 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 6 7 8 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬



‫באמצעות שחלוף נוכל לעבור בנקל בין וקטורי שורה לווקטורי עמודה‪ ,‬שהרי‪:‬‬ ‫‪ a1 ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ a1 , , an     ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ an ‬‬ ‫‪t‬‬



‫‪ a1 ‬‬ ‫‪     a , , a ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ an ‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪3.2.1‬‬ ‫הוכיחו את השוויונות הבאים‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬



‫‪t‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪ At cj  ‬‬



‫‪c‬‬ ‫‪  Ai‬‬



‫‪ At ir‬‬



‫‪t‬‬ ‫‪ Arj‬‬



‫התשובה בעמוד ‪299‬‬ ‫אם נשחלף מטריצה פעמיים‪ ,‬נחזור למטריצה המקורית‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫טענה ‪3.2.4‬‬ ‫לכל מטריצה ‪. ( At )t  A , A‬‬ ‫הוכחה‬ ‫)‪ (1‬אם ‪ A‬היא מטריצה מסדר ‪ , m  n‬אז ‪ At‬היא מטריצה מסדר ‪ , n  m‬ולכן ‪ ( At )t‬היא מטריצה‬ ‫מסדר ‪ , m  n‬כלומר ‪ A‬ו ‪ ( At )t‬הן מטריצות מאותו סדר‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪233‬‬



‫)‪ (2‬האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ ( At )t‬הינו האיבר ה ) ‪ ( j , i‬של ‪ , At‬שהוא האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ . A‬כלומר‪,‬‬ ‫האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ ( At )t‬הינו האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪. A‬‬ ‫מ)‪ (1‬ו)‪ (2‬נקבל ‪. ( At )t  A‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.2.2‬‬



‫‪1 2 3 4 ‬‬ ‫‪ , A  ‬עלידי כתיב מפורש של ‪. At ,( At )t‬‬ ‫הדגימו את נכונות טענה ‪ 3.2.4‬על המטריצה ‪‬‬ ‫‪5 6 7 8 ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪300‬‬



‫עד כה עסקנו בעמודות ושורות‪ .‬עבור מטריצות שבהן מספר השורות שווה למספר העמודות‪ ,‬נוכל‬ ‫לבחון גם אלכסונים‪ .‬נגדיר‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.2.5‬מטריצה ריבועית; אלכסון ראשי; אלכסון משני‬ ‫א‪ .‬מטריצה שבה מספר השורות שווה למספר העמודות )נניח‪ ,‬מסדר ‪ ,( n  n‬מכונה מטריצה‬ ‫ריבועית )מסדר ‪.( n‬‬ ‫‪ aij ‬מכונה בשם האלכסון‬ ‫ב‪ .‬ה ‪ n‬יה ) ‪ ( a11 , a22 ,, ann‬של איברי המטריצה הריבועית‬ ‫‪n n‬‬ ‫הראשי )ראו איור(‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ann ‬‬



‫‪a22‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ aij ‬מכונה בשם האלכסון‬ ‫ג ה ‪ n‬יה ) ‪ ( a1n , a2( n 1) ,, an1‬של איברי המטריצה הריבועית‬ ‫‪n n‬‬ ‫המשני )ראו איור(‪.‬‬ ‫‪a1,n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2,n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an ,1‬‬



‫למטריצה המתלכדת עם המטריצה המשוחלפת שלה יש חשיבות מיוחדת‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.2.6‬מטריצה סימטרית‬ ‫מטריצה ‪ A‬נקראת סימטרית אם ‪. At  A‬‬ ‫שאלה ‪3.2.3‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו שאם ‪ A‬היא מטריצה סימטרית‪ ,‬אז ‪ A‬היא בהכרח מטריצה ריבועית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הראו שלא כל מטריצה ריבועית היא סימטרית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪300‬‬



‫‪234‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נבהיר את מקור השם "סימטרית"‪ .‬נתבונן במטריצה ‪ . A  aij ‬על פי הגדרת ‪, At‬‬ ‫‪ a ji‬‬



‫ולכן פירוש השוויון ‪ At  A‬הוא‪:‬‬



‫‪ At ij‬‬



‫‪a ji   At ij   Aij  aij‬‬



‫)‪(1‬‬



‫)‪(2‬‬



‫האיברים ‪ aij‬ו ‪ a ji‬במטריצה ‪ A‬נמצאים במקומות סימטריים ביחס לאלכסון הראשי‪:‬‬



‫הסימטריה של ‪ A‬פירושה אפוא שוויון האיברים הנמצאים במקומות סימטריים ביחס לאלכסון‬ ‫הראשי‪ .‬כלומר‪ A ,‬סימטרית אם ורק אם ‪ aij  a ji‬לכל ‪. i, j‬‬ ‫שאלה ‪3.2.4‬‬ ‫‪ A  aij ‬מטריצה ריבועית שכל איבריה‪ ,‬פרט לאיברי האלכסון הראשי‪ ,‬הם אפסים‪.‬‬ ‫תהי‬ ‫‪n n‬‬ ‫הוכיחו כי ‪ A‬סימטרית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪300‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪235‬‬



‫‪ 3.3‬חיבור מטריצות וכפל מטריצה בסקלר‬ ‫בסעיף הקודם עסקנו במטריצות בודדות ובאופן שבו מאורגנים רכיביהן‪ .‬כעת נגדיר פעולות על‬ ‫מטריצות שלמות‪ .‬אך תחילה‪:‬‬ ‫סימון ‪3.3.1‬‬ ‫יהיו ‪ m, n‬מספרים טבעיים‪ ,‬ויהי ‪ F‬שדה‪ .‬נסמן ב ) ‪ M m n ( F‬את אוסף כל המטריצות מסדר ‪m  n‬‬ ‫מעל ‪ 1, F‬וב ) ‪ Mn ( F‬את אוסף המטריצות הריבועיות מסדר ‪ n‬מעל ‪) . F‬כלומר‪,‬‬ ‫) ‪(. M n ( F )  M n n ( F‬‬ ‫על הקבוצה ) ‪ , M m n ( F‬כאשר ‪ F‬שדה כלשהו‪ ,‬נגדיר פעולת חיבור‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.3.2‬חיבור מטריצות‬ ‫תהיינה ) ‪ , A, B  M m n ( F‬ונסמן‬ ‫ב ) ‪ M m n ( F‬המוגדרת עלידי‪:‬‬



‫‪ . A   aij  , B  bij ‬הסכום‬



‫‪A B‬‬



‫הוא המטריצה‬



‫‪def‬‬



‫‪A  B   ( aij  bij ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ m n‬‬



‫לפי הגדרה זו‪ ,‬חיבור מטריצות מתבצע רכיברכיב – כלומר האיבר ה ) ‪ (i , j‬במטריצה ‪ A  B‬הוא‬ ‫סכום איברי ) ‪ (i , j‬של המטריצות ‪ A‬ו ‪ , B‬כלומר ‪. aij  bij‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫א‪ 2 3 0  2 5 0 0 2 0  .‬‬ ‫‪ 1  1 0     1 1 3   0 0 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 4 6  5 5 6  5 1 12 ‬‬



‫ב‪ .‬הסכום‬



‫‪ 1 2   1 0 3‬‬ ‫‪ 4 4    2 2 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬



‫אינו מוגדר‪ ,‬שכן המטריצות המופיעות בו אינן מאותו סדר‪.‬‬



‫‪‬‬



‫שימו לב‪ ,‬אם נציג מטריצות לפי שורותיהן‪,‬‬ ‫‪  B r ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ r‬‬ ‫‪ B‬‬ ‫‪B   2‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ B r ‬‬ ‫‪ m‬‬ ‫‪ 1‬סימון אלטרנטיבי‪ ,‬קומפקטי יותר‪ ,‬הוא ‪. M mF  n‬‬



‫‪  Ar ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ r‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪A   2‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Ar ‬‬ ‫‪ m‬‬



‫‪236‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫‪  B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪  B m ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪  Ar‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ Ar‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪A B   2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r‬‬ ‫‪ Am‬‬



‫ובדומה לכך‪:‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪n ‬‬



‫‪A  B   A   B  ,  ,  A   B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪c‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪c‬‬ ‫‪1‬‬



‫שאלה ‪3.3.1‬‬ ‫חשבו‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬



‫‪ 2 2   1 0‬‬ ‫‪ 1 0     1 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 2 2 3  2 2‬‬ ‫‪ 1 3 2    3 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪300‬‬ ‫שאלה ‪3.3.2‬‬ ‫נתבונן בשוויון‪:‬‬ ‫‪z  u 2u ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y   0 5 ‬‬



‫‪ x y  y‬‬ ‫‪z u  2x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬



‫מצאו את כל ערכי ‪ u , y , z , x‬שעבורם הוא מתקיים‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪301‬‬ ‫שאלה ‪3.3.3‬‬



‫‪2  1‬‬ ‫‪2 1‬‬



‫‪0  3 8 1  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7   1  2‬‬



‫‪‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬



‫עבור אילו ערכים של הסקלרים הממשיים ‪  ,  ,  , ‬מתקיים השוויון דלעיל?‬ ‫התשובה בעמוד ‪301‬‬ ‫טענה ‪ 3.3.3‬תכונות החיבור‬ ‫פעולת החיבור על הקבוצה ) ‪ M m n ( F‬מקיימת‪:‬‬ ‫א‪ .‬סגירות‪ :‬לכל ) ‪, A, B  M m n ( F‬‬ ‫ב‪ .‬חילופיות‪ :‬לכל ) ‪, A, B  M m n ( F‬‬ ‫ג‪ .‬קיבוציות‪ :‬לכל ) ‪, A, B, C  M m n ( F‬‬



‫) ‪A  B  M m n ( F‬‬



‫‪A B  B  A‬‬ ‫) ‪( A  B)  C  A  ( B  C‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪237‬‬



‫ד‪ .‬קיום איבר ניטרלי‪ :‬תהי ‪ Om  n‬המטריצה ב ) ‪ M m n ( F‬שכל איבריה אפסים‪ .‬למטריצה זו נקרא‬ ‫‪ O‬ניטרלית ביחס לחיבור‪3.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מטריצת האפס מסדר ‪ m  n‬מעל ‪ . F‬המטריצה ‪m  n‬‬ ‫ה‪ .‬קיום איברים נגדיים‪ :‬לכל מטריצה ‪ A‬ב ) ‪ , M m n ( F‬המטריצה ‪  A‬שאיבריה נגדיים לאיברי‬ ‫המטריצה ‪ ,   Aij    Aij , A‬מקיימת‪:‬‬ ‫‪A  (  A)  (  A)  A  0‬‬



‫הוכחה‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪A   aij  , B  bij  , C  cij ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫א‪ .‬לפי הגדרת החיבור ברור שאם ‪ A‬ו ‪ B‬שתיהן מסדר ‪ , m  n‬אז מוגדרים הסכומים ‪A  B‬‬



‫ו ‪ , B  A‬והם מטריצות מסדר ‪. m  n‬‬ ‫ב‪ .‬האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ A  B‬הוא‪:‬‬ ‫‪aij  bij‬‬



‫והאיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ B  A‬הוא‪:‬‬ ‫‪bij  aij‬‬



‫אך מאחר שחיבור סקלרים הוא חילופי‪ ,‬מתקיים‬ ‫‪aij  bij  bij  aij‬‬



‫לכל ‪ 1  i  m‬ו ‪ . 1  j  n‬כלומר ‪. A  B  B  A‬‬ ‫ג‪ .‬לפי הגדרת החיבור ברור שאם ‪ B , A‬ו ‪ C‬שלושתן מסדר ‪ , m  n‬אז גם ‪ B  C , A  B‬וכן‬ ‫‪ ( A  B )  C‬ו ) ‪ A  ( B  C‬הן מטריצות מאותו סדר‪.‬‬ ‫האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ ( A  B )  C‬הוא‪:‬‬ ‫‪ cij  ( aij  bij )  cij‬‬



‫‪( A  B )  C ij   A  B ij‬‬



‫והאיבר ה ) ‪ (i , j‬של ) ‪ A  ( B  C‬הוא‪:‬‬ ‫) ‪ aij   B  C ij  aij  (bij  cij ) aij  (bij  cij‬‬



‫‪ A  ( B  C )ij‬‬



‫עתה‪ ,‬לפי קיבוציות חיבור הסקלרים‪:‬‬ ‫) ‪( aij  bij )  cij  aij  (bij  cij‬‬



‫‪ 2‬כאשר אין חשש לאיבהירות‪ ,‬תסומן המטריצה ‪ Omn‬סתם – ‪. O‬‬ ‫‪ 3‬וכפי שלמדתם בפרק ‪ ,1‬מטריצה זו היא בהכרח האיבר הניטרלי היחיד ביחס לחיבור בקבוצה ) ‪– Mmn ( F‬‬ ‫מסקנה ‪.1.1.7‬‬



‫‪238‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫וזאת – לכל ‪ 1  i  m‬ו־ ‪ . 1  j  n‬כלומר‪:‬‬ ‫) ‪( A  B)  C  A  ( B  C‬‬



‫ד‪ .‬לכל ‪ 1  i  m‬ו־ ‪ 1  j  n‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪aij  0  0  aij  aij‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪A  Om  n  Om  n  A  A‬‬



‫כלומר ‪ Om  n‬היא ניטרלית ביחס לחיבור מטריצות )מסדר ‪.( m  n‬‬ ‫ה‪  A .‬היא המטריצה אשר האיבר ה־ ) ‪ (i , j‬שלה הוא ‪ ,  aij‬ולכל ‪ 1  i  m‬ו־ ‪: 1  j  n‬‬ ‫‪aij  (  aij )  (  aij )  aij  0‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪A  (  A)  (  A)  A  Om n‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫תכונות החילופיות והקיבוציות שבמשפט זה ניתנות להכללה באופן דומה לדרך שבה מוכללות‬ ‫התכונות הדומות של חיבור איברים בשדה‪ :‬הסכום של מספר סופי כלשהו של מטריצות מסדר‬ ‫‪ m  n‬אינו תלוי בסדר המחוברים או במיקומם של הסוגריים‪ .‬לא נביא כאן הוכחה פורמלית‬ ‫לעובדה זו‪ ,‬אך בכל זאת נרשה לעצמנו להסתמך עליה‪.‬‬ ‫הגדרה ‪3.3.4‬‬ ‫תהי‬ ‫‪aij ‬‬ ‫‪mn‬‬



‫כפל של מטריצה בסקלר‬ ‫‪ A ‬מטריצה מעל שדה ‪ , F‬ויהי ‪ t  F‬סקלר‪ .‬המכפלה ‪ tA‬היא המטריצה‪:‬‬ ‫] ‪tA  [ taij‬‬



‫כלומר‪ ,‬במטריצה ‪ tA‬האיבר ה־ ) ‪ (i , j‬הוא מכפלת האיבר ה־ ) ‪ (i , j‬של ‪ A‬בסקלר ‪. t‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‪1  0 1 2  0 1/2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  1 4 6  1/2 2 3‬‬ ‫‪‬‬



‫הערות‬ ‫א‪ .‬אם ‪ A‬הוא וקטור‪ ,‬אז המכפלה ‪ tA‬אינה אלא המכפלה של ה־ ‪ n‬־יה המתאימה בסקלר ‪ , t‬כפי‬ ‫שהוגדרה בפרק ‪ ,1‬ואם ‪ A‬הוא סקלר‪ ,‬דהיינו אם ‪ A‬היא המטריצה מסדר ‪ 1  1‬שאת איברה‬ ‫היחיד נסמן ב ‪ , a‬אז המכפלה ‪ tA‬אינה אלא הסקלר ‪. ta‬‬ ‫ב‪ .‬שימו לב‪ ,‬הגדרנו כפל של סקלר רק משמאל במטריצה‪ ,‬ולא הגדרנו כפל מימין‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪239‬‬



‫בסעיף ‪ 1.1‬עסקנו בתכונות של פעולות על קבוצה מסוימת – פעולות המקבלות כקלט זוג איברים‬ ‫בקבוצה זו‪ .‬פעולת הכפל בסקלר על מטריצות )ובפרט על וקטורים( אינה כזאת – הקלט שלה הוא‬ ‫מטריצה‪ ,‬שהיא איבר של ) ‪ , M m n ( F‬וסקלר‪ ,‬שהוא איבר של ‪ . F‬למרות הבדל זה‪ ,‬גם פעולה זו‬ ‫מקיימת שלל תכונות רצויות‪ ,‬המזכירות את התכונות הרצויות שבחנו עבור פעולות על קבוצה‪ ,‬כפי‬ ‫שמראה המשפט הבא‪:‬‬ ‫משפט ‪ 3.3.5‬תכונות הכפל של מטריצה בסקלר‬ ‫פעולת הכפל בסקלר מקיימת‪:‬‬ ‫א‪ .‬לכל מטריצה ) ‪ A  M m n ( F‬ולכל סקלר ‪ , t  F‬מתקיים‪:‬‬



‫) ‪tA  M m n ( F‬‬



‫ב‪ .‬לכל מטריצה ) ‪ A  M m n ( F‬ולכל זוג סקלרים ‪ s, t  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪( s  t ) A  sA  tA‬‬ ‫)‪(i‬‬ ‫)‪( st ) A  s ( tA‬‬ ‫)‪(ii‬‬ ‫ג‪ .‬לכל זוג מטריצות ) ‪ , A, B  M m n ( F‬ולכל ‪ t  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫ד‪ .‬לכל מטריצה ) ‪ A  M m n ( F‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪(i‬‬ ‫)‪(ii‬‬ ‫)‪(iii‬‬



‫‪t ( A  B )  tA  tB‬‬



‫‪1 A  A‬‬ ‫‪0 A  O‬‬ ‫‪( 1)  A   A‬‬



‫הוכחה‬ ‫בכל חלקי ההוכחה שלהלן נסתמך על תכונות החיבור והכפל בשדה הסקלרים ‪. F‬‬ ‫נסמן ‪. A  a ij , B  bij‬‬ ‫א‪ .‬ברור מההגדרה‪.‬‬ ‫ב‪ (i) .‬לכל ‪ 1  i  m‬ו ‪: 1  j  n‬‬ ‫‪ ( s  t ) aij  saij  taij   sAij  tAij  [ sA  tA]ij‬‬



‫לכן‪:‬‬



‫‪( s  t ) Aij‬‬



‫‪( s  t ) A  sA  tA‬‬



‫)‪ (ii‬לכל ‪ 1  i  m‬ו ‪: 1  j  n‬‬ ‫‪ ( st )  Aij  ( st ) aij  s (taij )  s tAij   s (tA)ij‬‬



‫לכן‪:‬‬



‫‪( st ) Aij‬‬



‫)‪( st ) A  s (tA‬‬



‫ג‪ .‬לכל ‪ 1  i  m‬ו ‪: 1  j  n‬‬ ‫‪ t  A  Bij  t ( aij  bij )  taij  tbij  tAij  tB ij  tA  tB ij‬‬



‫‪t ( A  B)ij‬‬



‫‪240‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לכן‪:‬‬



‫‪t ( A  B )  tA  tB‬‬



‫ד‪ .‬הטענה נובעת מכך שלכל ‪ 1  i  m‬ו ‪: 1  j  n‬‬ ‫)‪(i‬‬



‫‪1  aij  aij‬‬



‫)‪(ii‬‬



‫‪0  aij  0‬‬



‫)‪(iii‬‬



‫‪( 1) aij   aij‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫תכונות החיבור והכפל בסקלר של מטריצות דומות לתכונות החיבור והכפל בסקלר במרחב ‪ . F n‬אין‬ ‫הדבר מפתיע‪ ,‬שהרי נוכל לראות כל וקטור ב ‪ F n‬כמטריצה בעלת עמודה בודדת‪ ,‬כלומר כווקטור‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.3.4‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬שתי מטריצות כלשהן מאותו סדר ו ‪ t‬סקלר כלשהו‪ ,‬שונה מאפס‪.‬‬ ‫הוכיחו כי אם ‪ , tA  tB‬אז ‪. A  B‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪301‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.3.6‬הפרש מטריצות‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬שתי מטריצות מאותו סדר‪ .‬ההפרש‪ , A  B ,‬מוגדר עלידי‪:‬‬ ‫‪def‬‬



‫)‪A  B  A  ( B‬‬



‫שאלה ‪3.3.5‬‬ ‫‪, B  bij ‬‬ ‫תהיינה‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪m n‬‬



‫‪mn‬‬



‫‪. A  aij ‬‬



‫הוכיחו כי‪:‬‬ ‫‪A  B   aij  bij ‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪mn .‬‬



‫ב‪ .‬המטריצה ‪ A  B‬היא הפתרון היחיד של המשוואה ‪. B  X  A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪302‬‬ ‫משפט ‪3.3.7‬‬ ‫א‪ .‬לכל מטריצה ‪ A‬ולכל סקלר ‪ , s‬מתקיים‪:‬‬ ‫ב‪ .‬לכל שתי מטריצות ‪ A, B‬מאותו סדר‪:‬‬



‫‪sAt‬‬



‫‪‬‬



‫‪( sA)t‬‬



‫‪( A  B )t  At  B t‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪241‬‬



‫שאלה ‪3.3.6‬‬ ‫הוכיחו את משפט ‪.3.3.7‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪302‬‬ ‫שאלה ‪3.3.7‬‬ ‫הוכיחו כי סכום של מטריצות סימטריות הוא מטריצה סימטרית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪303‬‬



‫‪242‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 3.4‬כפל מטריצות‬ ‫אילו נתבקשתם לנחש כיצד יוגדר כפל מטריצות‪ ,‬קרוב לוודאי שהייתם מנחשים הגדרה "טבעית"‪,‬‬ ‫שלפיה המכפלה של שתי מטריצות ‪ A‬ו ‪ B‬מאותו סדר‪ ,‬מוגדרת בתור המטריצה המתקבלת מכפל‬ ‫האיברים המתאימים של שתי המטריצות ‪ A‬ו ‪) B‬בדומה לחיבור(‪.‬‬ ‫הצעה זו אמנם טבעית ונוחה‪ ,‬ומתקבלת על הדעת‪ ,‬אולם הניסיון הראה שהשכר שבצד כפל כזה הוא‬ ‫מועט יחסית‪ .‬פעולת הכפל שתוגדר כאן היא אחרת‪ ,‬בוודאי פחות טבעית בשלב זה ויותר מסובכת‪.‬‬ ‫תחילה נביא את הגדרת הכפל‪ ,‬לאחר מכן נבחן את תכונותיו‪ ,‬ובהמשך הפרק נביא דוגמה שמטרתה‬ ‫להראות את שימושיות ההגדרה‪ .‬המוטיבציה המלאה להגדרת כלל הכפל תתברר בהמשך הקורס‪.‬‬ ‫נִ ְפתח בהגדרת מכפלה של וקטור שורה בווקטור עמודה מאותו סדר‪.‬‬ ‫הגדרה ‪3.4.1‬‬ ‫יהיו‬ ‫‪ b1 ‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪Bn 1   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪ n‬‬



‫‪,‬‬



‫‪A1n   a1 , a2 ,, an ‬‬



‫וקטור שורה ווקטור עמודה מאותו סדר‪ ,‬מעל שדה מסוים‪.‬‬ ‫המכפלה‬ ‫היא הסקלר‬



‫‪A1n  Bn 1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪a1b1  a2 b2    an bn‬‬



‫כלומר‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ ai bi‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫‪ b1 ‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪  a1 , a2 ,..., an   2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪ n‬‬



‫‪A1n Bn 1‬‬



‫למכפלה מסוג זה קוראים מכפלה סקלרית‪.‬‬ ‫נוכל לתאר את המכפלה הסקלרית בתמציתיות‪ ,‬בלא לסמן מראש את איברי הווקטורים‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪  A1i  B i1‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫שהרי ‪  A1i  ai ,  B i1  bi‬לכל ‪) i‬ודאו!(‪.‬‬



‫‪ 1‬לרוב נשמיט את סימן הכפל‪ ,‬ונרשום בקצרה ‪ A1n Bn1‬במקום ‪. A1n  Bn1‬‬



‫‪AB ‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪243‬‬



‫שימו לב‪ ,‬המכפלה של וקטור עמודה בווקטור שורה מוגדרת רק כאשר שניהם מאותו סדר‪ ,‬ותוצאת‬ ‫מכפלה זו היא סקלר‪ 2.‬לחישוב סקלר זה יש לכפול את האיברים המתאימים של שני הווקטורים‬ ‫ולסכם‪.‬‬ ‫נדגים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[3, 1, 2]  3  3  1  ( 1)  3  2  3  6‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬



‫שאלה ‪3.4.1‬‬ ‫חשבו‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[5,6,0]  4 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪303‬‬ ‫ההגדרה של כפל וקטור שורה בווקטור עמודה מאותו סדר היא מקרה פרטי של ההגדרה הכללית של‬ ‫כפל מטריצות )שאותה נביא מיד(‪ .‬המכפלה‪ , AB ,‬תוגדר רק כאשר מספר העמודות של הגורם‬ ‫השמאלי‪ , A ,‬שווה למספר השורות של הגורם הימני‪ . B ,‬לפיכך‪ ,‬אם ‪ A‬היא מטריצה מסדר ‪, m  n‬‬ ‫ואם ‪ B‬היא מטריצה מסדר ‪ , p  q‬אז המכפלה ‪ AB‬תוגדר רק אם ‪ . n  p‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬אפשר יהיה‬ ‫לכפול ‪ A23 B37‬או ‪ , A15 B53‬ולעומתן מכפלות כגון ‪ A34 B25‬או ‪ A12 B12‬לא תוגדרנה‪.‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬במקרה הפרטי שבהגדרה ‪ ,3.4.1‬של כפל וקטור שורה ‪ A1n‬בווקטור עמודה ‪ , Bn 1‬אורך‬ ‫וקטור השורה ‪ A1n‬אכן שווה לאורך וקטור העמודה ‪. Bn 1‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.4.2‬מכפלת מטריצות‬ ‫‪3, A‬‬ ‫תהיינה ‪ A  aij mn‬ו ‪ , B   bij  n  q‬שתי מטריצות מהסדרים הנקובים‪ .‬המכפלה‪m  n Bn  q ,‬‬ ‫היא מטריצה מסדר ‪ , m  q‬אשר האיבר ה ) ‪ (i , j‬שלה‪ ,‬כאשר ‪ , 1  i  m , 1  j  q‬הוא מכפלת‬ ‫השורה ה ‪ i‬של ‪ A‬בעמודה ה ‪ j‬של ‪. B‬‬ ‫אם נסמן ‪ , C  AB‬אז לכל ‪ 1  i  m‬ו ‪, 1  j  q‬‬ ‫‪ b1 j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪C ij   Air  B cj   ai1 , ai 2 ,..., ain   2 j   aik bkj‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k 1‬‬ ‫‪ bnj ‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 2‬בשלב זה הגדרנו רק את המכפלות שבהן הגורם הראשון )השמאלי( הוא וקטור שורה והגורם השני )הימני( הוא‬ ‫וקטור עמודה‪.‬‬ ‫‪ 3‬השמטנו את סימן הכפל‪ .‬לרוב נשמיט גם את סדרי המטריצות‪ ,‬ונרשום בקצרה ‪ AB‬במקום ‪. Am  n  Bn q‬‬



‫‪244‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫האיור שלהלן מדגים את דרך קבלת האיבר ה ) ‪ (i , j‬במכפלה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שורה ‪aik bkj   i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫עמודה ‪j‬‬



‫‪  b1 j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ai1  ain   ‬שורה ‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪      ‬‬ ‫‪  bnj‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫עמודה ‪j‬‬



‫נדגיש שוב את הקשר שבין הסדרים של ‪ B , A‬ו ‪ : AB  C‬הכפל מוגדר רק כאשר מספר העמודות‬ ‫של ‪ A‬שווה למספר השורות של ‪ , B‬ולמכפלה ‪ C‬אותו מספר שורות כמו ל ‪ A‬ואותו מספר עמודות‬ ‫כמו ל ‪. B‬‬ ‫דוגמה‬ ‫תהי‪:‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 2 1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A45  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬



‫ותהי‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1/2 ‬‬



‫‪B52‬‬



‫המכפלה ‪ A45 B5 2‬מוגדרת‪ ,‬כי מספר העמודות של ‪ A‬שווה למספר השורות של ‪ . (5) B‬המכפלה‬ ‫היא מטריצה ] ‪ C  [ cij‬מסדר ‪ . 4  2‬נחשב איברים אחדים במטריצה המכפלה‪.‬‬ ‫נתחיל בחישוב ‪: c11‬‬ ‫איבר זה הוא מכפלת וקטור השורה הראשון של ‪ A‬בווקטור העמודה הראשון של ‪ , B‬ולכן‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 1 2 1 3 4  2  1  1  2  3  1  ( 2)  3  1  4  0  8‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪c11‬‬



‫נחשב כעת את ‪: c32‬‬ ‫לשם כך עלינו לכפול את וקטור השורה השלישי של ‪ A‬בווקטור העמודה השני של ‪: B‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c32  3 7 2 1 1  3  3  0  7  0  2  3  1  4  1  ( )  10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1/2 ‬‬



‫‪‬‬



245



‫ מטריצות‬ 3 ‫פרק‬



3.4.2 ‫שאלה‬ .‫השלימו את חישוב המכפלה של שתי המטריצות בדוגמה דלעיל‬ 303 ‫התשובה בעמוד‬ 3.4.3 ‫שאלה‬ :(‫חשבו את המכפלות הבאות )או קבעו כי המכפלה אינה מוגדרת‬ 0 1/2   2 0   1  3 1 2 4 1     0 4   6 2   6



.‫א‬



1/2 3 5   2   1 0 0   3      4 2 3   4 



.‫ב‬



0 3  1 1/2 1    2 4  2 5 



.‫ג‬



3 0  1 3    4 5 1 1   2 1  



.‫ד‬



 1  1 2 6 1/2   2 



.‫ה‬



 1  1/2  1 2 6    2 



.‫ו‬



3 0 1 1 1 3    4 5  2 1



.‫ז‬



 0 1  1 0   0 0  0 0    



.‫ח‬



0 1  1 0 1   0 0 1 0 0    1 1  



.‫ט‬



1 2   0 0 0 3 4 5 6 



.‫י‬



4O m n



 Bn  p .‫יא‬



Am  n  On  p .‫יב‬



304 ‫התשובה בעמוד‬ . m  n ‫ היא מטריצת האפס מסדר‬Omn :‫ תזכורת‬4



‫‪246‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שימו לב למקרה המיוחד בחלק ו של שאלה ‪ – 3.4.3‬תוצאת מכפלת עמודה )משמאל( בשורה )מימין(‬ ‫מאותו סדר‪ ,‬נותנת מטריצה ריבועית )מאותו הסדר של העמודה והשורה(‪ .‬זאת לעומת מכפלה שורה‬ ‫)משמאל( בעמודה )מימין( מאותו סדר‪ ,‬שתוצאתה סקלר בודד‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.4.4‬‬ ‫א‪ .‬תהיינה ‪ Am  n , B p  q‬שתי מטריצות מהסדרים הנקובים‪ .‬רשמו באילו תנאים על ‪m, n , p , q‬‬ ‫מוגדרות גם המכפלה ‪ AB‬וגם המכפלה ‪. BA‬‬ ‫ב‪ .‬בכל חלק של השאלה הקודמת נתבקשתם לחשב מכפלה של שתי מטריצות‪ .‬בכל מקרה נקרא‬ ‫למטריצה השמאלית ‪ A‬ולמטריצה הימנית ‪ . B‬קבעו באילו מבין החלקים א‪-‬י מוגדרת המכפלה‬ ‫‪ , BA‬וכאשר היא מוגדרת – חשבו אותה ובדקו האם היא שווה ל ‪. AB‬‬ ‫ג‪ .‬נניח ש ‪ A‬ו ‪ B‬הן שתי מטריצות שעבורן מוגדרות גם המכפלה ‪ AB‬וגם המכפלה ‪ . BA‬נסחו‬ ‫מסקנה ביחס לקשר שבין אורך השורות לאורך העמודות של ‪. AB‬‬ ‫ד‪ .‬האם כאשר גם ‪ AB‬וגם ‪ BA‬מוגדרות‪ ,‬בהכרח שתי המכפלות הן מטריצות מאותו סדר? אם כן –‬ ‫נמקו‪ .‬אם לא – קבעו באילו תנאים על הסדרים של ‪ A‬ו ‪ B‬המכפלות ‪ AB‬ו ‪ BA‬הן מאותו‬ ‫סדר‪.‬‬ ‫ה‪ .‬מה תוכלו לומר על הסדר של מטריצה ‪ A‬שעבורה מוגדרת המכפלה ‪? A  A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪307‬‬ ‫למה ‪3.4.3‬‬ ‫‪, B   bij ‬‬ ‫‪ , A   aij ‬ונסמן‬ ‫תהיינה‬ ‫‪ n p‬‬ ‫‪m n‬‬



‫‪AB  C   cij ‬‬ ‫‪ m p‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫א‪ .‬השורה ה ‪ i‬של ‪ AB‬היא מכפלת השורה ה ‪ i‬של ‪ A‬ב ‪: B‬‬ ‫כלומר‬



‫‪C ir   Air  B‬‬ ‫ובמפורש‪:‬‬ ‫‪[ ci1 ,cip ]  [ ai1 ,ain ]B‬‬



‫ב‪ .‬העמודה ה ‪ j‬של ‪ AB‬היא מכפלת ‪ A‬בעמודה ה ‪ j‬של ‪: B‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪ A   B j‬‬ ‫‪c‬‬



‫‪C cj‬‬



‫ובמפורש‪:‬‬ ‫‪ c1 j ‬‬ ‫‪ b1 j ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪    A  ‬‬ ‫‪ cmj ‬‬ ‫‪ bnj ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬עלינו להוכיח כי‪:‬‬



‫‪[ ci1 , cip ]  [ ai1 , ain ]B‬‬



‫‪247‬‬



‫)*(‬



‫באגף שמאל של )*( רשומה מטריצה מסדר ‪) 1  p‬וקטור שורה(‪ .‬הרכיב ה ‪ j‬של וקטור זה עבור‬ ‫‪ 1  j  p‬נתון עלידי‪5:‬‬ ‫‪cij   Ai  B  j‬‬ ‫‪c‬‬



‫‪r‬‬



‫באגף ימין של )*( רשומה המכפלה של מטריצה מסדר ‪ 1  n‬במטריצה ‪ , B‬שהיא מסדר ‪. n  p‬‬ ‫מכאן שהמכפלה מוגדרת והיא מטריצה מסדר ‪) 1  p‬וקטור שורה(‪ .‬על פי הגדרת הכפל‪ ,‬הרכיב‬ ‫ה ‪ j‬של וקטור זה הוא ‪ ,  Air  B cj‬ומכאן שווקטורי השורה הרשומים בשני האגפים של )*( אכן‬ ‫שווים ביניהם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬עלינו להוכיח כי‪:‬‬ ‫‪ c1 j ‬‬ ‫‪ b1 j ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪    A  ‬‬ ‫‪ cmj ‬‬ ‫‪ bnj ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫)**(‬



‫באגף שמאל של )**( רשום וקטור עמודה מסדר ‪ , m‬ובאגף ימין של )**( רשומה המכפלה של‬ ‫מטריצה ‪ A‬מסדר ‪ m  n‬במטריצה מסדר ‪ . n  1‬המכפלה‪ ,‬אם כן‪ ,‬היא מטריצה מסדר ‪, m  1‬‬ ‫דהיינו וקטור עמודה מסדר ‪ . m‬נראה שרכיביהם של שני וקטורי העמודה שווים ביניהם‪.‬‬ ‫הרכיב ה ‪ i‬של וקטור העמודה הרשום באגף שמאל הוא‪:‬‬ ‫‪cij   A  B ‬‬



‫‪c‬‬ ‫‪j‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪i‬‬



‫הרכיב ה ‪ i‬של וקטור העמודה הרשום באגף ימין הוא‪:‬‬ ‫‪ b1 j ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪     Ai  B  j‬‬ ‫‪ bnj ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪[ A]ir‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫את תוכן למה ‪ 3.4.3‬ניתן להמחיש כך‪:‬‬ ‫‪  Ar B ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ A B  p     ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ Am B ‬‬



‫‪ 5‬על פי הגדרת הכפל‪.‬‬



‫‪c‬‬ ‫‪AB   A  B 1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪248‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫כמסקנה מיידית נקבל‪:‬‬ ‫מסקנה ‪3.4.4‬‬ ‫א‪ .‬אם השורה ה ‪ i‬של ‪ A‬היא שורת אפסים‪ ,‬אז גם השורה ה ‪ i‬של ‪ AB‬היא שורת אפסים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם העמודה ה ‪ j‬של ‪ B‬היא עמודת אפסים‪ ,‬אז גם העמודה ה ‪ j‬של ‪ AB‬היא עמודת אפסים‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬נניח שהשורה ה ‪ i‬של המטריצה ‪ Amn‬היא שורת אפסים‪.‬‬ ‫תהי ‪ B‬מטריצה כלשהי מסדר ‪ . n  p‬נסמן ‪. C  AB‬‬ ‫על פי למה ‪ 3.4.3‬מתקיים‪:‬‬



‫‪C ir   Air B  O1n  Bn  p‬‬ ‫אולם על פי סעיף יא של שאלה ‪ 3.4.3‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪O1n  Bn  p  O1 p  00‬‬



‫ולכן השורה ה ‪ i‬של ‪ C‬היא שורת אפסים‪ ,‬כטענתנו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נניח שהעמודה ה ‪ j‬של המטריצה ‪ Bn  p‬היא עמודת אפסים‪ .‬אם ‪ A‬היא מטריצה כלשהי מסדר‬ ‫‪ , m  n‬אז העמודה ה ‪ j‬של המטריצה ‪ C  AB‬היא‪6:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬



‫כלומר‪ ,‬העמודה ה ‪ j‬היא עמודת אפסים‪,‬‬



‫‪ Am n On 1  Om 1‬‬



‫‪Am n [ B ]cj‬‬



‫‪‬‬



‫‪[C ]cj‬‬



‫כטענתנו‪7.‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.4.5‬‬ ‫עבור ‪ m‬ו ‪ n‬נתונים‪ ,‬נסמן‬ ‫שאר איבריה הם אפסים‪.‬‬ ‫כלומר‪:‬‬



‫) ‪( k ,‬‬ ‫‪Em‬‬ ‫ב ‪ n‬‬



‫את המטריצה מסדר ‪ m  n‬שהאיבר ה ) ‪ ( k , ‬שלה הוא ‪ 1‬וכל‬



‫עמודה ‪‬‬



‫‪0  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שורה ‪0  0   k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  0 ‬‬



‫‪ 6‬על פי למה ‪.3.4.3‬‬ ‫‪ 7‬על פי חלק יב של שאלה ‪.3.4.3‬‬



‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  0‬‬



‫) ‪( k ,‬‬ ‫‪Em‬‬ ‫‪n‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫א‪ .‬עבור מטריצה ‪ , Bn p  bij ‬חשבו את‪:‬‬



‫‪249‬‬



‫) ‪( k ,‬‬ ‫‪Em‬‬ ‫‪n  Bn  p‬‬



‫ב‪ .‬עבור מטריצה ‪ , Aqm   aij ‬חשבו את‪:‬‬



‫) ‪( k ,‬‬ ‫‪Em‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪Aqm ‬‬



‫ג‪ .‬חשבו את‪:‬‬ ‫) ‪En( ,mk‬‬



‫‪‬‬



‫) ‪( k ,‬‬ ‫‪Em‬‬ ‫‪n‬‬



‫התשובה בעמוד ‪308‬‬ ‫טענה ‪3.4.5‬‬ ‫לכל שתי מטריצות ‪ A, B‬שעבורן מוגדרת המכפלה ‪ AB‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪( AB )t  Bt At‬‬



‫)כלומר ‪ Bt At‬מוגדרת ושווה‬



‫ל ‪8.( ( AB )t‬‬



‫הוכחה‬ ‫תהיינה ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ , m  n‬ו ‪ B‬מטריצה מסדר ‪ . n  p‬המטריצה ‪ AB‬מוגדרת ומסדר ‪, m  p‬‬ ‫ולכן ‪ ( AB )t‬מסדר ‪ . p  m‬המטריצה ‪ At‬היא מסדר ‪ n  m‬והמטריצה ‪ Bt‬היא מסדר ‪ . p  n‬לכן‬ ‫המכפלה ‪ Bt At‬מוגדרת והיא מסדר ‪ . p  m‬נותר להוכיח את השוויון ‪: ( AB )t  Bt At‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ a jk bki‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪ [ B t ]ir [ At ]cj  [ B t At ]ij‬‬



‫‪ AB t    AB    Ar  B c ‬‬ ‫‪ji‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ [ Bt ]ik [ At ]kj‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ bki a jk ‬‬



‫‪‬‬



‫‪k 1‬‬



‫הוכחנו כי האיברים המתאימים של ‪ ( AB )t‬ו ‪ Bt At‬שווים זה לזה‪ .‬לכן המטריצות שוות זו לזו‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.4.6‬‬ ‫א‪ .‬הדגימו שתי מטריצות סימטריות שמכפלתן מוגדרת אך אינה סימטרית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הראו כי אם ‪ A‬ו ‪ B‬הן מטריצות סימטריות‪ ,‬אז ‪ AB‬היא סימטרית אם ורק אם ‪. AB  BA‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪310‬‬



‫‪ 8‬שימו לב להיפוך בסדר הגורמים‪ AB :‬אחרי השחלוף הופך להיות ‪. Bt At‬‬



‫‪250‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 3.5‬תכונות של כפל מטריצות‬ ‫בסעיף זה נבסס כמה תכונות יסודיות של כפל מטריצות‪.‬‬ ‫משפט ‪ 3.5.1‬קיבוציות הכפל‬ ‫תהיינה ‪ Am  n , Bn p , C p q‬מטריצות מהסדרים הנקובים‪ .‬אז המכפלות ‪ ( AB )C‬ו ) ‪A( BC‬‬ ‫מוגדרות שתיהן ומתקיים‪:‬‬ ‫) ‪( AB )C  A( BC‬‬



‫הערה‬ ‫ההוכחה להלן כרוכה במניפולציה בסכומים כפולים‪ ,‬ובשל כך היא מספקת הזדמנות לתרגול מיומנות‬ ‫השימוש בסימן הסכימה‪ .‬הוכחה נוספת‪ ,‬אלגנטית יותר‪ ,‬תינתן בהמשך‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫לפי הסדרים הנתונים‪ ,‬בדקו בעצמכם כי המכפלות ‪ ( AB )C‬ו ) ‪ A( BC‬מוגדרות וכי הן מטריצות‬ ‫מסדר ‪. m  q‬‬ ‫נראה כי‪:‬‬ ‫) ‪( AB )C  A( BC‬‬



‫יהיו ‪ i‬ו ‪ j‬מספרים כלשהם המקיימים ‪. 1  i  m , 1  j  q‬‬ ‫עלינו להוכיח כי‪:‬‬



‫‪( AB)C ij   A( BC )ij‬‬



‫‪ B  [bij ]n p , A   aij ‬ו ‪. C  cij ‬‬ ‫לנוחיותנו נסמן‬ ‫‪m n‬‬ ‫‪p q‬‬ ‫אכן‪:‬‬ ‫‪p‬‬



‫‪  ABik ckj‬‬



‫‪‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪( AB)C ij   ABir  C cj‬‬



‫)‪(1‬‬



‫לכל ‪ 1  k  p‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ ai bk‬‬



‫‪ AB ik   Air  B ck‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 1‬‬



‫נציב את התוצאה האחרונה בסכום )‪ (1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪p‬‬



‫‪   ai bk ckj‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪k 1   1‬‬



‫‪( AB)C ij‬‬



‫אבל לכל ‪: 1  k  p‬‬ ‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪  1‬‬



‫‪a b c ‬‬ ‫‪a b c‬‬ ‫‪  i k  kj  i k kj‬‬



‫‪ 1‬לכפול סכום בקבוע משמעו לכפול כל מחובר באותו קבוע )"חוק הפילוג" בשדה(‪.‬‬



‫‪1‬‬



‫)‪(2‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪251‬‬



‫נציב את התוצאה האחרונה בסכום )‪ (2‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪p‬‬



‫‪‬‬



‫‪   ai bk ckj ‬‬



‫‪k 1   1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ AB  C  ‬‬ ‫‪ij‬‬



‫)‪(3‬‬



‫חישוב דומה יראה כי‪:‬‬ ‫‪ p‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪   ai bk ckj ‬‬ ‫‪‬‬



‫)הראו זאת בעצמכם!(‬ ‫כעת‪ ,‬מתכונות חיבור סקלרים קל לראות שעבור סקלרים‬ ‫מתקיים‪:‬‬



‫‪ A  BC   ‬‬ ‫‪ij‬‬



‫‪ 1  k 1‬‬



‫)‪(4‬‬



‫‪ , xk‬כאשר ‪, 1    n , 1  k  p‬‬ ‫‪n  p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xk  ‬‬ ‫‪xk ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 1   1‬‬ ‫‪  1  k 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪ ‬‬



‫כלומר‪ ,‬מותר להחליף את סדר הסכימה )הסבירו זאת לעצמכם עלידי פירוט הסכומים בכל אחד‬ ‫משני האגפים(‪ .‬לכן אגפי ימין של )‪ (3‬ו‪ (4)-‬שווים זה לזה‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪n  p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ai bk ckj  ‬‬ ‫‪ai bk ckj ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 1   1‬‬ ‫‪  1  k 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬



‫‪ ‬‬



‫ונקבל‪:‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪( AB)C ij   A( BC )ij‬‬



‫מאחר ש ‪ i‬ו ‪ j‬הם מספרים כלשהם המקיימים ‪ , 1  i  m , 1  j  q‬הרי שבכך הוכחנו כי כל‬ ‫איבר במטריצה ‪ ( AB )C‬שווה לאיבר המתאים לו במטריצה ) ‪ A( BC‬ולכן המטריצות שוות‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הערות‬ ‫א‪ .‬להבא נקצר בהוכחות מסוג זה ונרשום כך‪:‬‬ ‫‪p‬‬



‫‪p  n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ai ak  ckj   ai bk ckj ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 1   1‬‬ ‫‪k 1   1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪‬‬



‫כלל הפילוג‬



‫‪‬‬



‫הגדרת הכפל‬



‫‪‬‬



‫‪ p‬‬



‫‪  1‬‬



‫‪ k 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ AB ik ckj ‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪p‬‬



‫‪‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪‬‬



‫הגדרת הכפל‬



‫‪‬‬



‫הגדרת הכפל‬



‫‪‬‬



‫חוק הפילוג‬



‫‪‬‬



‫הגדרת הכפל‬ ‫‪ p‬‬



‫‪n‬‬



‫‪   ai bk ckj    ai   bk ckj    ai  BC j   A  BC ij‬‬ ‫‪  1‬‬



‫‪( AB )C ij ‬‬



‫‪ 1  k 1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫החלפת סדר הסכימה‬



‫ב‪ .‬לאור משפט ‪ ,3.5.1‬אם ‪ Am  n , Bn p , C pq‬הן מטריצות מהסדרים הנקובים‪ ,‬נוכל לדבר על‬ ‫המכפלה ‪ ABC‬בלי לציין את מיקומם של הסוגריים‪.‬‬



‫‪252‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ג‪ .‬כמו כן‪ ,‬אם ‪ A1 ,  , An‬הן ‪ n‬מטריצות אשר מספר העמודות בכל אחת מהן שווה למספר השורות‬ ‫של הבאה אחריה‪ ,‬נוכל לדבר על המכפלה‬ ‫‪A1  A2    An‬‬



‫בלי לציין את מיקומם של הסוגריים; באינדוקציה על ‪ n‬ניתן להוכיח כי מיקומם של הסוגריים‬ ‫אינו משפיע על התוצאה‪.‬‬ ‫ד‪ .‬בסעיף ‪ 1.1‬הגדרנו את המושג "פעולה קיבוצית" על קבוצה נתונה‪ .‬כאן אין בפנינו פעולה על‬ ‫קבוצה ספציפית‪ ,‬שהרי כפל מטריצות אינו מוגדר על אוסף כל המטריצות מסדר מסוים‪ ,‬אלא רק‬ ‫עבור מטריצות מסדרים התואמים זה את זה‪ ,‬כפי שהגדרנו‪ .‬ניתן לבסס הגדרות כלליות יותר‬ ‫שתאפשרנה לדון גם בתכונות )כגון קיבוציות( של פעולות שאינן מוגדרות על כל איברי קבוצה‬ ‫מסוימת‪ ,‬אך לא נעשה זאת כאן‪ .‬בכל זאת‪ ,‬נרשה לעצמנו לומר כי פעולת הכפל היא קיבוצית‪,‬‬ ‫כאשר כוונתנו בכך היא שפעולה זו מקיימת בדיוק את השוויון הנטען בניסוח משפט ‪) 3.5.1‬עבור‬ ‫מטריצות מסדרים מתאימים(‪ .‬בהמשך‪ ,‬נביא תכונות נוספות‪ ,‬אנלוגיות לאלה שבחנו בפרק ‪) 1‬כגון‬ ‫פילוג הכפל מעל החיבור‪ ,‬קיום איבר יחידה‪ ,‬וכו'( וגם עבור תכונות אלה נרשה לעצמנו להשתמש‬ ‫בשמות שאותם ביססנו שם‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬עבור כל אחת מהתכונות שנוכיח‪ ,‬נכתוב באופן מדויק‬ ‫למה כוונתנו‪.‬‬ ‫נעבור לשאלת החילופיות של כפל מטריצות‪:‬‬ ‫ראינו כבר בסעיף הקודם כי מכך ש‪ AB‬מוגדרת לא מתחייב שגם ‪ BA‬מוגדרת‪ .‬יתרה מזאת‪ :‬אפילו‬ ‫כאשר ‪ AB‬ו ‪BA‬שתיהן מוגדרות‪ ,‬הן אינן בהכרח מאותו סדר וממילא אינן בהכרח שוות זו לזו‪ .‬מצאנו‬ ‫גם שעבור ‪ Am  n‬ו ‪ , B pq‬תנאי הכרחי ומספיק לכך ששתי המכפלות‪ AB ,‬ו‪ ,BA‬תהיינה מאותו סדר‬ ‫הוא‪:‬‬ ‫‪mn pq‬‬



‫הווי אומר‪ ,‬השוויון ‪ AB = BA‬עשוי להתקיים רק אם ‪ A‬ו‪ B‬שתיהן מטריצות ריבועיות מאותו סדר‪.‬‬ ‫מסתבר שגם כאשר שתי המטריצות ריבועיות ומאותו סדר‪ ,‬השוויון לא בהכרח מתקיים‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫כפי שראינו בשאלות ‪ ,3.4.4 ,3.4.3‬עבור‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1 0 ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬



‫מתקיים‬ ‫‪0 1 ‬‬ ‫‪BA  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬



‫‪0 0 ‬‬ ‫‪AB  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 ‬‬



‫ולכן ‪. AB  BA‬‬



‫למטריצות ריבועיות נקדיש סעיף נפרד בהמשך הפרק‪ ,‬ושם נחזור ונדון בשאלת חילופיות הכפל‪.‬‬



‫‪‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪253‬‬



‫בין המטריצות מסדר ‪ m  n‬מצאנו מטריצה "ניטרלית" ביחס לחיבור‪ .‬כזכור‪ ,‬לכל מטריצה ‪ A‬מסדר‬ ‫‪ m  n‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪Am  n  Om  n  Om  n  Am  n  Am  n‬‬



‫האם קיימת מטריצה "ניטרלית" גם ביחס לכפל?‬ ‫השאלה היא אם קיימת מטריצה ‪ X‬כך שלכל מטריצה ‪ A‬מסדר ‪ m  n‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪XAm  n  Am  n X  Am  n‬‬



‫התשובה היא שאם ‪ m  n‬אז לא קיימת מטריצה ‪ X‬כזאת‪ .‬התשובה לשאלה הבאה מכילה הוכחה‬ ‫לטענה זו‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.5.1‬‬ ‫תהי ‪ Am n‬מטריצה מהסדר הנקוב‪ .‬הוכיחו כי אם ‪ m  n‬ואם ‪ , AX  A‬אז לא ייתכן‬ ‫ש ‪. XA  A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪311‬‬ ‫אי לכך‪ ,‬מאחר שאיננו רוצים בינתיים למקד את הדיון במטריצות ריבועיות בלבד‪ ,‬נשנה את השאלה‬ ‫ונשאל כך‪ :‬האם קיימות מטריצות ‪ X‬ו ‪ Y‬המקיימות‪:‬‬ ‫לכל ‪ A‬מסדר ‪ ; AX  A , m  n‬לכל ‪ A‬מסדר ‪? YA  A , m  n‬‬ ‫לשאלה זו התשובה היא – כן‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.5.2‬מטריצת היחידה‬ ‫מטריצת היחידה מסדר ‪ , n‬שסימנה ‪ , I n‬היא המטריצה הריבועית מסדר ‪ n‬אשר כל איברי‬ ‫האלכסון הראשי שלה שווים ל‪) 1‬איבר היחידה של השדה שמעליו אנו פועלים(‪ ,‬וכל יתר איבריה הם‬ ‫‪ I   ‬כאשר ‪ ‬מוגדר עלידי‪2:‬‬ ‫אפסים‪ .‬כלומר‪,‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ij ‬‬ ‫‪n n‬‬



‫‪1 i  j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 i  j‬‬



‫‪ ij‬‬



‫ומסמנים‪3:‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪In  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬



‫כאשר אין חשש לאיבהירות בעניין סדר המטריצה רושמים פשוט ‪ I‬במקום ‪. I n‬‬



‫‪ 2‬הסימון ‪  ij‬הוא סימון מתמטי מקובל עבור הפונקציה המקבלת את הערך ‪ 1‬כאשר ‪ i  j‬ואת הערך ‪ 0‬כאשר‬ ‫‪ . i  j‬פונקציה זו מכונה "הדלתא של קרונקר" על שם המתמטיקאי הגרמני ‪.(1891-1823) L. Kronecker‬‬ ‫‪ 3‬זוהי שיטת סימון מקובלת שבה האפסים ה"גדולים" מעל ומתחת לאלכסון הראשי מציינים שכל האיברים‬ ‫המופיעים במקומות אלה הם אפסים‪.‬‬



‫‪254‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫דוגמאות‬ ‫עבור ‪: n  2‬‬ ‫‪1 0 ‬‬ ‫‪I2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 ‬‬



‫ועבור ‪: n  3‬‬ ‫‪1 0 0 ‬‬ ‫‪I3  0 1 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1 ‬‬



‫משפט ‪3.5.3‬‬ ‫לכל מטריצה‬



‫‪m n‬‬



‫‪‬‬



‫‪) A   aij ‬מסדר ‪ ( m  n‬מתקיים‪:‬‬



‫א‪I m Am  n  Am  n .‬‬ ‫ב‪Am  n I n  Am  n .‬‬



‫הוכחה‬ ‫א‪ I m .‬היא מטריצה מסדר ‪ m  m‬וממילא מוגדרת המכפלה ‪ I m Am  n‬והיא מסדר ‪ . m  n‬נראה‬ ‫שלכל ‪ 1  i  m‬ו ‪ 1  j  n‬האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ I m A‬שווה לאיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪. A‬‬ ‫נסמן ‪ . A   aij ‬אז‪:‬‬ ‫‪m‬‬



‫‪ ik akj‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪r‬‬



‫‪ I m Aij   I m i  A j ‬‬ ‫‪c‬‬



‫‪ i1a1 j  i 2 a2 j    ii aij    im amj‬‬ ‫‪ 0  a1 j  0  a2 j    1  aij    0  amj  aij   Aij‬‬



‫ב‪ .‬את העובדה ש ‪ Am  n I n  Am  n‬תוכיחו בשאלה הבאה‪.‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫שאלה ‪3.5.2‬‬ ‫הוכיחו כי ‪. Am  n I n  Am  n‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪311‬‬ ‫כמסקנה מיידית נקבל‪:‬‬ ‫מסקנה ‪3.5.4‬‬ ‫אם ‪ A‬היא מטריצה ריבועית מסדר ‪ , n‬אז‪:‬‬



‫‪AI n  I n A  A‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪255‬‬



‫בין חיבור מטריצות וכפל מטריצות מתקיים הקשר הבא‪:‬‬ ‫משפט ‪ 3.5.5‬פילוג הכפל מעל החיבור‬ ‫א‪ .‬כלל הפילוג השמאלי‪:‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות מסדר ‪ m  n‬ו ‪ C‬מטריצה מסדר ‪ . n  p‬אז‪:‬‬ ‫‪( A  B )C  AC  BC‬‬



‫ב‪ .‬כלל הפילוג הימני‪:‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות מסדר ‪ m  n‬ו ‪ C‬מטריצה מסדר ‪ . p  m‬אז‪:‬‬ ‫‪C ( A  B )  CA  CB‬‬



‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬נסמן‬



‫‪ B  [bij ]mn , A   aij ‬ו ‪. C   cij ‬‬ ‫‪n p‬‬ ‫‪m n‬‬



‫אז ‪ A  B‬היא מטריצה מסדר ‪ , m  n‬ולכן ‪ ( A  B )C‬היא מטריצה מסדר ‪. m  p‬‬ ‫הראו בעצמכם שגם ‪ AC  BC‬מוגדרת והיא מסדר ‪. m  p‬‬ ‫לכל ‪ , 1  i  m , 1  j  p‬נוכיח כי האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ ( A  B )C‬שווה לאיבר ה ) ‪ (i , j‬של‬ ‫‪. AC  BC‬‬ ‫השורה ה ‪ i‬של ‪ A  B‬היא‪:‬‬ ‫‪ai1  bi1 , ai 2  bi 2 ,, ain  bin ‬‬



‫העמודה ה ‪ j‬של ‪ C‬היא‪:‬‬ ‫‪ c1 j ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ c2 j ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ cnj ‬‬



‫ולכן האיבר ה ) ‪ (i , j‬במטריצה ‪ ( A  B )C‬הוא‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫) ‪ (aik ckj  bik ckj‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪ [ A]ir [C ]cj  [ B ]ir [C ]cj‬‬



‫‪( aik  bik )ckj ‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪ aik ckj   bik ckj‬‬



‫‪( A  B )C ij‬‬



‫‪‬‬



‫‪  AC ij   BC ij   AC  BC ij‬‬



‫את חלק ב של המשפט תוכיחו בשאלה הבאה‪.‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫שאלה ‪3.5.3‬‬ ‫הוכיחו את חלק ב של משפט ‪.3.5.5‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪311‬‬



‫‪256‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫טענה ‪3.5.6‬‬ ‫תהיינה ‪ B  bij  , A  aij ‬מטריצות שעבורן מוגדרת המכפלה ‪ , AB‬ויהי ‪ t‬סקלר כלשהו‪ .‬אז‪:‬‬ ‫א‪t ( AB )  (tA) B .‬‬ ‫ב‪t ( AB )  A(tB ) .‬‬



‫הוכחה‬ ‫‪ A   aij ‬ו ‪ , B  bij ‬ויהיו ‪ 1  i  m‬ו ‪ . 1  j  p‬ודאו בעצמכם ששני אגפי‬ ‫נסמן‬ ‫‪n p‬‬ ‫‪m n‬‬ ‫השוויון שבחלק א מוגדרים והם מאותו סדר‪.‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪ aik bkj   t (aik bkj )   (taik )bkj   tAik  Bkj‬‬



‫‪ t  AB ij  t‬‬



‫‪t ( AB)ij‬‬



‫‪  ( tA) B ij‬‬



‫הראינו כי לכל ‪ 1  i  m‬ו ‪: 1  j  p‬‬



‫‪t ( AB )ij  (tA) B ij‬‬



‫כלומר‪:‬‬ ‫‪t ( AB )  (tA) B‬‬



‫בזאת הוכחנו את חלק א‪ .‬חישוב דומה מוכיח את חלק ב‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫נתבונן כעת במכפלה של מטריצת יחידה ‪) I‬מסדר כלשהו( בסקלר כלשהו ‪: t‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t ‬‬



‫‪t‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1  ‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪tI  t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫)*(‬



‫‪0‬‬



‫מטריצה מהטיפוס הרשום באגף ימין של)*( נקראת מטריצה סקלרית‪ ,‬שכן ניתן לראות כפל מטריצה‬ ‫בסקלר ככפל המטריצה במטריצה סקלרית מתאימה‪ .‬שהרי אם ‪ Am n‬מטריצה ו ‪ t‬סקלר‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪tA  t ( I m A)  (tI m ) A‬‬ ‫‪‬‬



‫על פי טענה ‪3.5.6‬‬



‫כלומר‪ ,‬כפל ‪ A‬בסקלר ‪ , t‬שקול לכפל ‪ A‬במטריצה הסקלרית ‪. tI‬‬



‫‪‬‬



‫על פי משפט ‪3.5.3‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪257‬‬



‫‪ 3.6‬מטריצות ריבועיות‬ ‫נתבונן ב ) ‪ – M n ( F‬אוסף כל המטריצות הריבועיות מסדר ‪ n‬מעל שדה נתון ‪ . F‬פעולת הכפל‬ ‫מוגדרת עבור כל זוג מטריצות בקבוצה זו‪ .‬בסעיף זה נתמקד בתכונות פעולת הכפל על ) ‪. M n ( F‬‬ ‫תחילה נסכם את התכונות שאותן הצגנו כבר‪:‬‬ ‫טענה ‪3.6.1‬‬ ‫א‪ .‬הקבוצה ) ‪ M n ( F‬סגורה ביחס לפעולת כפל מטריצות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬פעולת הכפל על ) ‪ M n ( F‬היא פעולה קיבוצית‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מטריצת היחידה ‪ I‬היא איבר ניטרלי ב ) ‪ M n ( F‬ביחס לפעולת הכפל‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬לכל שתי מטריצות ריבועיות מסדר ‪ A , n  n‬ו ‪ , B‬מוגדרת המכפלה ‪ , AB‬ומהגדרת הכפל נובע‬ ‫שגם המכפלה היא מטריצה מסדר ‪. n  n‬‬ ‫ב‪ .‬על פי משפט ‪.3.5.1‬‬ ‫ג‪ .‬זהו תוכנה של מסקנה ‪.3.5.4‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫המטריצה ‪ I‬היא אמנם המטריצה היחידה המקיימת‬



‫‪AI  IA  A‬‬



‫לכל ‪ A‬ב ) ‪ , M n ( F‬אבל אין להסיק מכך כי עבור מטריצה מסוימת ‪ , A‬לא ייתכן שקיימת מטריצה‬ ‫'‪ , I‬שונה מ ‪ , I‬המקיימת‪:‬‬ ‫‪AI'  I'A  A‬‬



‫למשל‪ ,‬אם ‪ , A  Onn‬אז לכל מטריצה ריבועית '‪ I‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪AI'  I'A  A (  O‬‬



‫‪ 1 0‬‬



‫‪ A  ‬ואם ‪ I'  A‬אז‬ ‫דוגמה אחרת‪ :‬אם ‪‬‬ ‫‪ 2 0‬‬



‫‪AI'  I'A  A‬‬



‫)בדקו!(‪.‬‬ ‫נדון עתה בשאלת החילופיות של כפל מטריצות ריבועיות מסדר ‪ . n‬מצאנו כבר כי תנאי הכרחי‬ ‫ומספיק לכך ששתי המכפלות‪ AB ,‬ו ‪ , BA‬תהיינה מוגדרות‪ ,‬ומאותו סדר‪ ,‬הוא ש ‪ A‬ו ‪ B‬תהיינה‬ ‫מטריצות ריבועיות מאותו סדר‪ .‬אבל מכך ששתי המכפלות מוגדרות‪ ,‬ואפילו מכך שהן מאותו סדר‪,‬‬ ‫אין להסיק עדיין כי הן שוות זו לזו‪ .‬ואמנם‪ ,‬הדגמנו כבר בסעיף הקודם זוג מטריצות ריבועיות ‪A‬‬ ‫ו ‪ B‬מסדר ‪ n‬שעבורן ‪ , AB  BA‬ומכאן שאפילו בקבוצה מצומצמת זו הכפל אינו חילופי‪ .‬הנה‬ ‫דוגמה נוספת‪:‬‬



‫‪258‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪3.6.1‬‬ ‫נתונות המטריצות‪:‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 ‬‬



‫‪1 1 ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0‬‬



‫חשבו את ‪ AB‬ואת ‪ BA‬והראו כי ‪. AB  BA‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪311‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.6.2‬מטריצות מתחלפות‬ ‫נאמר ששתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר‪ A ,‬ו ‪ , B‬מתחלפות זו עם זו )או בקיצור‪ ,‬מתחלפות(‬ ‫אם‪:‬‬ ‫‪AB  BA‬‬



‫במקרה זה נאמר גם כי ‪ A‬מתחלפת עם ‪) B‬או ‪ B‬מתחלפת עם ‪.( A‬‬ ‫כבר מצאנו כי מטריצת היחידה מתחלפת עם כל מטריצה ריבועית מאותו סדר‪ ,‬שהרי לכל ‪A‬‬



‫)ריבועית מסדר ‪ ( n‬מתקיים‪. AI n  I n A  A :‬‬ ‫יתר על כן‪:‬‬ ‫מסקנה ‪3.6.3‬‬ ‫כל מטריצה סקלרית מתחלפת עם כל מטריצה ריבועית ‪ A‬מאותו הסדר‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל מטריצה ריבועית ‪ A‬מסדר ‪ n‬ולכל סקלר ‪ , t‬מתקיים ) ‪. (tI ) A  A(tI‬‬ ‫הוכחה‬ ‫הרכיב ה ) ‪ (i , j‬בשני האגפים הוא ‪. t  Aij‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬מטריצת היחידה היא מטריצה סקלרית‪ ,‬שכן ‪ , I  1  I‬ולכן המסקנה האחרונה כוללת גם‬ ‫את המידע בדבר ההתחלפות של ‪ I‬עם כל מטריצה ריבועית‪ .‬כמו כן‪ ,‬גם מטריצת האפס מסדר ‪n‬‬ ‫היא מטריצה סקלרית‪ ,‬שכן ‪ , O  0  I‬ולכן גם היא מתחלפת בכפל עם כל מטריצה ריבועית מאותו‬ ‫הסדר‪.‬‬ ‫האם קיימות עוד מטריצות ריבועיות‪ ,‬פרט למטריצות הסקלריות‪ ,‬המתחלפות בכפל עם כל מטריצה‬ ‫ריבועית מסדר ‪ ? n‬התשובה היא לא‪ ,‬כפי שמורה המשפט הבא‪.‬‬ ‫משפט ‪3.6.4‬‬ ‫תהי ‪ C   cij ‬מטריצה ריבועית מסדר ‪. n‬‬ ‫אם ‪ C‬מתחלפת עם כל מטריצה ריבועית מסדר ‪ , n‬אז ‪ C‬היא מטריצה סקלרית‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫הוכחה‬ ‫לכל ‪ , 1  i , j  n‬נסמן‬ ‫וכל שאר איבריה הם אפסים‪1.‬‬



‫ב ) ‪E ( i , j‬‬



‫‪259‬‬



‫את המטריצה הריבועית מסדר ‪ , n‬שהאיבר ה ) ‪ (i , j‬שלה הוא ‪, 1‬‬ ‫עמודה ‪j‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0  0  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שורה ‪ 0  1  0   i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  0  0 ‬‬



‫) ‪E (i , j‬‬



‫יהי ‪ 1  i  n‬ונתבונן במטריצה ) ‪ . E ( i ,i‬על פי ההנחה‪ C ,‬מתחלפת עם כל מטריצה ריבועית מסדר‬ ‫‪ , n‬ולכן בפרט‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪i‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪i‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪E C  CE‬‬ ‫לפי התשובה לחלק א של שאלה ‪:3.4.5‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0 ‬‬



‫‪ ‬‬ ‫שורה ‪ cin   i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪i‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪E C  ci1  cii‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪0‬‬



‫לפי התשובה של חלק ב של אותה השאלה‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪c1i‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪i‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪ 0  cii  0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cni‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫)‪(3‬‬



‫מהשוויון )‪ (1‬נובע כי אגפי ימין של )‪ (2‬ו)‪ (3‬שווים זה לזה‪ ,‬כלומר‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪c1i‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ c  c  c    0  cii  0 ‬‬ ‫‪ii‬‬ ‫‪in‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪cni‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ולכן בהכרח לכל ‪ j‬המקיים ‪ , j  i‬מתקיים ‪ . cij  c ji  0‬מכאן נובע כי האיברים היחידים של ‪C‬‬ ‫העשויים להיות שונים מ ‪ , 0‬הם איברי האלכסון הראשי‪ ,‬וממילא‪:‬‬



‫‪0‬‬



‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cnn ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪ 1‬במטריצות מטיפוס זה עסקתם בשאלה ‪.3.4.5‬‬



‫‪260‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫כדי להוכיח כי ‪ C‬היא מטריצה סקלרית‪ ,‬נותר להוכיח כי‪:‬‬ ‫‪c11  c22    cnn‬‬



‫יהי ‪ 1  i  n‬ונוכיח כי ‪ . cii  c11‬לשם כך ננצל את השוויון‬ ‫)‪E ( i ,1) C  CE ( i ,1‬‬ ‫שממנו נובע‪ ,‬בפרט‪ ,‬כי האיברים ה )‪ (i ,1‬במטריצות שבשני האגפים שווים‪ .‬אולם‪ ,‬האיבר ה )‪(i ,1‬‬



‫שבאגף שמאל הוא‪:‬‬



‫‪1 0  0 c11 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪   c11‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬



‫ואילו האיבר ה )‪ (i ,1‬במטריצה באגף ימין הוא‪:‬‬ ‫‪ 0  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i   1   cii‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫ומכאן‪:‬‬



‫‪ 0  cii‬‬



‫‪c11  cii‬‬



‫הוכחנו אפוא שהמטריצה ‪ C‬היא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c11 ‬‬



‫‪0‬‬



‫‪ c11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫ולכן ‪ C‬היא מטריצה סקלרית‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫לפי המשפט האחרון‪ ,‬אם ‪ A‬היא מטריצה שאינה סקלרית‪ ,‬תמיד נוכל למצוא מטריצה ‪ B‬שעבורה‪:‬‬ ‫‪AB  BA‬‬



‫אולם קיימות גם מטריצות המתחלפות עם ‪) A‬למשל ‪ A‬עצמה‪ , I , O ,‬וכל מטריצה סקלרית(‪.‬‬ ‫בהינתן שתי מטריצות ‪ A‬ו ‪ , C‬לא ידוע קריטריון כללי פשוט שעל פיו נוכל להכריע אם הן מתחלפות‬ ‫בלי לכפול ולבדוק‪ ,‬אך יש מקרים מיוחדים שבהם אפשר להסיק התחלפות בכפל מתוך תכונות‬ ‫אחרות‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪ A‬ו ‪ B‬הן מטריצות סימטריות מסדר ‪ n‬ואם ‪ AB‬היא סימטרית‪ ,‬אז ‪ A‬ו ‪B‬‬ ‫מתחלפות בכפל‪ 2.‬מקרה נוסף של מטריצות המתחלפות בכפל הן החזקות של מטריצה קבועה ‪. A‬‬



‫‪ 2‬ראו חלק ב של שאלה ‪.3.4.6‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪261‬‬



‫הגדרה ‪ 3.6.5‬חזקה של מטריצה ריבועית‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ויהי ‪ n  0‬מספר שלם‪.‬‬ ‫החזקה ה ‪ n‬ית של ‪ , A‬שסימנה ‪ , An‬מוגדרת באופן אינדוקטיבי כך‪:‬‬ ‫עבור ‪: n  0‬‬ ‫‪def‬‬



‫‪A0  I‬‬



‫עבור ‪: n  0‬‬ ‫‪def‬‬



‫‪An  An 1  A‬‬



‫שימו לב‪ ,‬עבור ‪ n  1‬לפי הגדרה זו‪:‬‬ ‫‪ A  IA  A‬‬



‫‪A0‬‬



‫‪‬‬



‫‪A1‬‬



‫‪‬‬



‫‪A1‬‬



‫עבור ‪: n  2‬‬ ‫‪ A  A A‬‬



‫עבור ‪: n  3‬‬



‫‪A2‬‬



‫‪A3  A2  A   A  A  A‬‬



‫ובזכות קיבוציות כפל המטריצות נוכל לרשום‪:‬‬ ‫‪A3  A  A  A‬‬



‫באופן כללי‪ ,‬עבור ‪ n‬טבעי כלשהו‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪A  A‬‬ ‫‪   A‬‬ ‫‪ n‬פעמים‬



‫‪An‬‬



‫מקיבוציות הכפל נובע כי לכל ‪ r‬ו ‪ s‬שלמים אישליליים מתקיים‪:‬‬ ‫‪As  Ar  Ar  As‬‬



‫מסקנה ‪3.6.6‬‬ ‫אם ‪ B‬ו ‪ C‬הן חזקות של מטריצה ריבועית ‪ , A‬אז ‪ B‬ו ‪ C‬מתחלפות בכפל‪.‬‬ ‫עד כה ביססנו תכונות יסודיות רבות של כפל המטריצות‪ ,‬אך עדיין לא נתנו מוטיבציה להגדרת הכפל‬ ‫)המשונה לכאורה(‪ .‬נביא כעת דוגמה לבעיה טיפוסית שאותה טבעי לתאר באמצעות כפל מטריצות‪:‬‬ ‫דוגמה‬ ‫במדינה מסוימת יש שלוש חברות סלולר המנהלות ביניהן תחרות עיקשת‪ .‬בעקבות שלל הצעות‪,‬‬ ‫מבצעים‪ ,‬ופרסומות‪ ,‬בכל חודש עובר נתח מלקוחותיה של כל חברה לחברות המתחרות‪20% :‬‬ ‫מלקוחות חברה א' עוזבים לטובת חברה ב'‪ ,‬ו ‪ 10%‬לחברה ג'‪ 30% .‬מלקוחות חברה ב' עוזבים‬ ‫לטובת חברה א'‪ ,‬ו ‪ 20%‬לטובת חברה ג'‪ 10% .‬מלקוחות חברה ג' עוזבים לטובת חברה א'‪ ,‬ואף‬ ‫אחד מלקוחותיה אינו עוזב לטובת חברה ב'‪ .‬נניח שבידינו נתוני מספר הלקוחות של כל אחת מן‬ ‫החברות בנקודת זמן מסוימת‪ ,‬וברצוננו לחשב כמה לקוחות יהיו לכל אחת מן החברות לאחר‬ ‫שנתיים‪ .‬כיצד נעשה זאת?‬



‫‪262‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫תחילה נבטא את הנתונים בסימונים מתמטיים‪ .‬את מספר הלקוחות לאחר ‪ n‬חודשים בחברות‬ ‫א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ג' נסמן ב ‪ a3n , a2n , a1n‬בהתאמה )שימו לב‪ ,‬בסימון זה ‪ n‬אינו מציין חזקה‪ ,‬אלא את מספר‬ ‫החודשים שעברו(‪ .‬בכל חודש‪ 30% ,‬מלקוחות חברה א' עוזבים אותה )לטובת חברות ב' וג' יחדיו(‪,‬‬ ‫אך ל ‪ 70%‬הלקוחות שנותרו מתווספים ‪ 30%‬מלקוחות חברה ב' ו ‪ 10%‬מלקוחות חברה ג'‪ .‬לכן‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪a1n 1  0.7 a1n  0.3a2n  0.1a3n‬‬



‫את חברה ב' עוזבים ‪ 50%‬מהלקוחות‪ ,‬אך לאלה שנותרו מתווספים ‪ 20%‬מלקוחות חברה א' )ולא‬ ‫מצטרף אף לקוח מחברה ג'(‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫‪a2n 1  0.5a2n  0.2 a1n‬‬



‫או באופן שקול‪:‬‬ ‫‪a2n 1  0.2 a1n  0.5a2n  0.0a3n‬‬



‫באופן דומה נקבל‪:‬‬ ‫‪0.9 a3n‬‬



‫‪‬‬



‫‪0.2 a2n‬‬



‫‪‬‬



‫‪0.1a1n‬‬



‫‪‬‬



‫‪a3n 1‬‬



‫אם נתאר את מספרי הלקוחות בחברות לאחר ‪ n‬חודשים באמצעות וקטור )עמודה(‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫‪ a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪vn   a2n ‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪ a3 ‬‬



‫נוכל לכתוב‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 0.1a3n‬‬ ‫‪ 0.0a3n‬‬ ‫‪ 0.9 a3n‬‬



‫‪ 0.3a2n‬‬ ‫‪ 0.5a2n‬‬ ‫‪ 0.2 a2n‬‬



‫‪ 0.7 a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.2 a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 0.1a1‬‬



‫‪‬‬



‫‪ a1n 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a2n 1 ‬‬ ‫‪ n 1 ‬‬ ‫‪ a3 ‬‬



‫‪vn 1 ‬‬



‫עלידי הצבות חוזרות ונשנות בשוויון זה‪ ,‬נוכל לחשב את מספרי הלקוחות בחברות השונות בכל‬ ‫נקודת זמן )כתלות בערכים ההתחלתיים(‪ .‬כפי שתוכלו לתאר לעצמכם‪ ,‬מדובר בחישובים ארוכים‬ ‫ומייגעים‪ .‬אך את הביטוי שהתקבל באגף ימין של השויון דלעיל נוכל לתאר באופן תמציתי באמצעות‬ ‫כפל מטריצה בווקטור‪ .‬נסמן‪:‬‬ ‫‪ 0.7 0.3 0.1 ‬‬ ‫‪A   0.2 0.5 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.1 0.2 0.9 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫אז‪ ,‬לפי הגדרת הכפל של מטריצה בווקטור‪:‬‬ ‫‪ 0.7 a1n  0.3a2n  0.1a3n ‬‬ ‫‪ a1n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  0.2 a1n  0.5a2n  0.0a3n   A  a2n   Avn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ a3 ‬‬ ‫‪ 0.1a1  0.2 a2  0.9 a3 ‬‬



‫‪vn 1‬‬



‫עבור הווקטור ‪) vn  2‬המתאר את מספרי הלקוחות לאחר ‪ n  2‬חודשים( נקבל‪:‬‬ ‫‪vn  2  Avn 1  A( Avn )  ( A  A) vn  A2 vn‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪263‬‬



‫)שימו לב לשימוש בקיבוציות כפל המטריצות‪ (.‬באינדוקציה נסיק בנקל שלכל ‪ k‬טבעי מתקיים‪:‬‬ ‫‪vn  k  Ak vn‬‬



‫בפרט‪ ,‬אם נציב ‪) n  0‬הווקטור ‪ v0‬מתאר את מספרי הלקוחות בנקודת הזמן ההתחלתית(‪ ,‬נקבל‪:‬‬ ‫‪vk  Ak v0‬‬



‫מכאן שמספר הלקוחות של החברות השונות לאחר שנתיים )כלומר עבור ‪ ( k  24‬ניתנים באמצעות‬ ‫השוויון הבא‪:‬‬ ‫‪ a10 ‬‬ ‫‪ a124 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a224   v24  A24 v0  A24  a20 ‬‬ ‫‪ 0 ‬‬ ‫‪ 24 ‬‬ ‫‪ a3 ‬‬ ‫‪ a3 ‬‬



‫הבעיה כולה מיתרגמת‪ ,‬אם כן‪ ,‬לבעיית חישוב המטריצה ‪. A24‬‬ ‫כעת נניח כי ברצוננו לחשב אינפורמציה נוספת‪ .‬נניח‪ ,‬למשל‪ ,‬כי ברצוננו לדעת כמה נשים וכמה גברים‬ ‫נמנים על לקוחותיה של כל חברה‪ .‬נניח כי אין הבדל בין אחוז הגברים ואחוז הנשים העוברים בין‬ ‫החברות השונות )כפי שתואר לעיל(‪ ,‬אך בנקודת הזמן ההתחלתית היו מספר שונה של גברים ונשים‬ ‫בכל אחת מן החברות‪ .‬את מספר הנשים בחברות השונות בכל נקודת זמן נתאר באמצעות הווקטור‬ ‫‪ bn1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ , un   b21 ‬ואת מספר הגברים באמצעות הווקטור‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ b3 ‬‬



‫‪ c1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪wn   c12 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ c3 ‬‬



‫)כאשר מתקיים כמובן‬



‫‪ .( wn  un  vn‬מאחר שאין הבדל באחוזי הגברים והנשים העוברים בין החברות‪ ,‬הניתוח שעשינו‬ ‫עבור הווקטור ‪ vn‬תקף גם עבור הווקטורים ‪ un‬ו ‪ , wn‬ולכן‪:‬‬ ‫‪un  An u0‬‬ ‫‪wn  An w0‬‬



‫את זוג השוויונות הללו נוכל לתאר באופן עוד יותר תמציתי‪ .‬את מספר הלקוחות בכל חברה לאחר ‪n‬‬



‫חודשים נתאר באמצעות המטריצה ‪ , Bn‬שעמודתה הראשונה מכילה את מספר הנשים בחברות‬ ‫השונות )לפי הסדר א'‪,‬ב'‪,‬ג'(‪ ,‬ועמודתה השנייה את מספר הגברים‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪Bn  (un , wn )  ( An u0 , An w0 )  An (u0 , w0 )  An B0‬‬ ‫‪‬‬



‫על פי חלק ב של למה ‪3.4.3‬‬



‫ובפרט‪:‬‬ ‫‪A24 B0‬‬



‫‪B24 ‬‬



‫אם כן‪ ,‬גם עבור הבעיה ה"מורחבת" מצאנו תיאור מלא באמצעות כפל מטריצות‪ .‬לתיאור זה שני‬ ‫יתרונות‪ .‬ראשית‪ ,‬עצם יכולתנו לבטא את הבעיה באופן קומפקטי הוא דבר רצוי ביותר‪ .‬שנית‪ ,‬מתברר‬ ‫כי חישוב חזקה של מטריצה היא בעיה שניתנת לפתרון באמצעות כמה קיצורי הדרך‪ ,‬המייעלים‬ ‫משמעותית את זמן החישוב )בהשוואה לכפל ישיר של המטריצה בעצמה ‪ 24‬פעמים‪ ,‬או בהשוואה‬



‫‪264‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לחישוב ישיר ללא מטריצות(‪ .‬קיצור דרך מסוים תכירו בהמשך סעיף זה‪ ,‬אך נציין כי קיימות שיטות‬ ‫‪‬‬ ‫יעילות בהרבה‪ ,‬שעליהן תוכלו ללמוד בקורס אלגברה לינארית ‪.2‬‬ ‫כעת ניתן דוגמה לבעיה דומה‪ ,‬השייכת למתמטיקה ה"טהורה"‪ ,‬שגם אותה נוח לתאר באמצעות‬ ‫חזקות של מטריצות‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫סדרת מספרי‬



‫פיבונצ'י‪3‬‬



‫היא סדרת המספרים המוגדרת באופן אינדוקטיבי באמצעות הכלל הבא‪:‬‬ ‫‪a1  1‬‬ ‫‪a2  1‬‬



‫ולכל ‪n  2‬‬



‫‪an  an 1  an  2‬‬



‫כך‪:‬‬



‫‪a3  a2  a1  1  1  2‬‬ ‫‪a4  a3  a2  2  1  3‬‬ ‫‪a5  a4  a3  3  2  5‬‬



‫לחישוב האיבר ה ‪ 100‬של הסדרה עלינו להכיר את שני קודמיו‪ ,‬שהרי‪:‬‬ ‫‪a100  a99  a98‬‬



‫להכרת כל אחד משני הקודמים האלה עלינו להכיר את שני קודמיו‪ ,‬ובקיצור – לחישוב איבר כלשהו‬ ‫של הסדרה עלינו לחשב ראשית את כל קודמיו‪.‬‬ ‫אבל‪ ,‬כפי שנראה מיד‪ ,‬תוך שימוש בחזקות של מטריצות ניתן לתאר את האיבר ה ‪ n‬י של סדרת‬ ‫פיבונצ'י בלי להזדקק לכל קודמיו‪.‬‬ ‫כדי לעשות זאת‪ ,‬נרשום ראשית את שני השוויונות‪:‬‬



‫‪an  an 1  an  2‬‬ ‫‪an 1  an 1  0‬‬



‫שני שוויונות אלה שקולים לשוויון‬



‫המטריצות‪4:‬‬



‫‪ an  1 1  an 1 ‬‬ ‫‪ a   1 0   a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n 2 ‬‬ ‫‪ n 1  ‬‬



‫)*(‬



‫נסמן‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0‬‬



‫‪ 3‬על "אבי" הסדרה הזאת ועל "מקורה הביולוגי" תוכלו לקרוא ביחידה האחרונה של הקורס "אשנב למתמטיקה"‪.‬‬ ‫‪ 4‬בדקו )עלידי ביצוע הכפל(‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪265‬‬



‫על פי )*( עבור ‪ , n  3‬נקבל‪:‬‬ ‫‪ a3 ‬‬ ‫‪ a2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ a   A  a   A 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫ועל פי )*( עבור ‪, n  4‬‬ ‫‪  a2  ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ a4 ‬‬ ‫‪ a3 ‬‬ ‫‪2  2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪ a   A  a   A  A  a    A  a   A 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪  1 ‬‬



‫קל כעת לקבל באינדוקציה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪n 2‬‬



‫‪ an ‬‬ ‫‪n  2 1  1 1 ‬‬ ‫‪a   A‬‬ ‫‪1 1 0 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n 1 ‬‬



‫והרי לפנינו תיאור של ‪ an‬ו ‪ an 1‬שלא באמצעות האיברים הקודמים להם בסדרה‪.‬‬



‫)**(‬ ‫‪‬‬



‫שאלה ‪3.6.2‬‬ ‫חשבו את האיבר ‪ a34‬בסדרת פיבונצ'י‪.‬‬ ‫)רמז‪ :‬לחישוב המטריצה ‪ A32‬אין צורך לבצע ‪ 32‬פעולות כפל של מטריצות – יש דרך מהירה יותר‪(.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪312‬‬ ‫ייתכן שלמרות שיטת הייעול שראיתם בתשובה ‪) 3.6.2‬העלאות חוזרות ונשנות בריבוע(‪ ,‬עדיין אין לבכם‬ ‫שלם עם הקביעה כי חישוב איברי סדרת פיבונצ'י באמצעות חזקות של המטריצה ‪ A‬הוא חסכוני יותר‬ ‫מחישובם הישיר‪ .‬אבל יתרון אחד יש בוודאי בשיטה זו‪ :‬אם נחשב את החזקות‬



‫‪n‬‬



‫‪1 1 ‬‬



‫‪ , ‬נוכל‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 ‬‬



‫באמצעותן לחשב בבת אחת את האיברים של כל הסדרות שבהן עבור ‪n  2‬‬



‫‪an  an 1  an  2‬‬



‫ולאו דווקא את אלה שעבורן ‪ a1  1‬ו ‪ . a2  1‬שיטת החישוב תהיה‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ an ‬‬ ‫‪n2  2 ‬‬ ‫‪a   A‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪ n 1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫מכאן שאם נדע לחשב את חזקות המטריצה ‪ , A‬נוכל לחשב בנקל את איבריהן של כל הסדרות הללו‪.‬‬ ‫כאמור‪ ,‬נושא זה – חישוב חזקות של מטריצות – יזכה לטיפול יסודי במסגרת הקורס אלגברה‬ ‫לינארית ‪ .2‬אך כבר בשלב זה נוכל להצביע על קבוצה נרחבת של מטריצות שעבורה חישוב החזקות‬ ‫הוא קל במיוחד – קבוצת המטריצות האלכסוניות )ההגדרה – להלן(‪ .‬מטריצות אלה נמצאות‬ ‫"באמצע הדרך" שבין המטריצות הסקלריות‪ ,‬שתכונותיהן ביחס לפעולות הן כתכונות הסקלרים‪ ,‬לבין‬ ‫המטריצות הכלליות‪ .‬המטריצות האלכסוניות מתנהגות בחישובים בפשטות כמעט כמו מספרים‪.‬‬ ‫מאידך גיסא‪ ,‬יש "מספיק" מהן כדי למלא תפקיד חשוב בתורה הכללית של המטריצות‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.6.7‬מטריצה אלכסונית‬ ‫מטריצה ריבועית ‪ A   aij ‬נקראת אלכסונית אם כל איבריה שמחוץ לאלכסון הראשי הם אפסים‪.‬‬ ‫כלומר ‪ A   aij ‬היא אלכסונית אם לכל ‪ i  j‬מתקיים ‪. aij  0‬‬



‫‪266‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫למשל‪,‬‬ ‫‪6 0 0 ‬‬ ‫‪ 0 2 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 15 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫היא מטריצה אלכסונית מסדר ‪. 3‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬מטריצה אלכסונית נראית כך‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ann ‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫שימו לב‪ ,‬כל מטריצה סקלרית היא אלכסונית‪ ,‬אך לא כל מטריצה אלכסונית היא סקלרית‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.6.3‬‬ ‫הוכיחו‪:‬‬ ‫א‪ .‬סכום של מטריצות אלכסוניות )מאותו הסדר( הוא מטריצה אלכסונית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מכפלה של מטריצות אלכסוניות היא מטריצה אלכסונית‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מטריצות אלכסוניות מתחלפות זו עם זו‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪312‬‬ ‫שאלה ‪3.6.4‬‬ ‫א‪ .‬תהי‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫‪0‬‬



‫מטריצה אלכסונית‪.‬‬ ‫הוכיחו כי לכל ‪ k‬טבעי‪ ,‬החזקה‬



‫‪Ak‬‬



‫היא המטריצה האלכסונית‪:‬‬ ‫‪a k‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪Ak  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫ב‪ .‬חשבו‪:‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪0 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0 1 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪0‬‬



‫התשובה בעמוד ‪313‬‬



‫‪ 5‬מאחר שבמטריצה האלכסונית יש איברים שונים מאפס רק על האלכסון הראשי‪ ,‬הרשינו לעצמנו להשתמש‬ ‫באינדקס בודד ולרשום ‪ ai‬במקום ‪ aii‬עבור ‪. i  1,, n‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪267‬‬



‫כזכור‪ ,‬כפל מטריצה במטריצה סקלרית אינו אלא כפל כל איברי המטריצה בסקלר של המטריצה‬ ‫הסקלרית‪.‬‬ ‫ומה בדבר כפל מטריצה במטריצה אלכסונית?‬ ‫טענה ‪3.6.8‬‬ ‫תהי ‪ A   aij ‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ , n‬ותהי ‪ B‬המטריצה האלכסונית‪:‬‬



‫‪0‬‬



‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bn ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪ a1n bn ‬‬ ‫‪   A cb  A cb ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n n ‬‬ ‫‪  1 1‬‬ ‫‪ ann bn ‬‬



‫‪a12 b2‬‬ ‫‪an 2 b2‬‬



‫‪ a11b1‬‬ ‫‪AB  ‬‬ ‫‪ an1b1‬‬



‫כלומר‪ ,‬העמודה ה ‪ j‬של ‪ AB‬היא העמודה ה ‪ j‬של ‪ A‬מוכפלת ב ‪. b j‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ b  Ar ‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪ b1a11 b1a12  b1n1n  ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪  b2  A2 ‬‬ ‫‪BA  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bn an1 bn an 2  bn ann    ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ b  A ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n‬‬



‫כלומר‪ ,‬השורה ה ‪ i‬של ‪ BA‬היא השורה ה ‪ i‬של ‪ A‬מוכפלת ב ‪. bi‬‬ ‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬על פי למה ‪ ,3.4.3‬העמודה ה ‪ j‬של ‪ AB‬היא מכפלת המטריצה ‪ A‬בעמודה ה ‪ j‬של ‪: B‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫מקום ‪ A  b j   j‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 ‬‬



‫‪ A B j‬‬ ‫‪c‬‬



‫‪ a1 j b j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪      A j b j‬‬ ‫‪ anj b j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ AB cj‬‬



1 ‫אלגברה לינארית‬



268 :‫ולכן‬



c c c AB   A1 b1 ,  A2 b2 , ,  An bn   



: A ‫ ב‬B ‫ של‬i ‫ היא מכפלת השורה ה‬BA ‫ של‬i ‫ השורה ה‬,3.4.3 ‫ על פי למה‬.‫ב‬



 BAir   Bir A  0bi 0 A  bi ai1 bi ain   bi  Air :‫ולכן‬  b  Ar   1 1 BA      r bn  An 



.‫ל‬.‫ש‬.‫מ‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪269‬‬



‫‪ 3.7‬כתיב וקטורי של מערכות‬ ‫משוואות לינאריות‬ ‫בפרק ‪ 1‬חקרנו מערכת משוואות לינאריות בעזרת רישום מטריציוני‪ .‬בסעיף זה נחזור לעסוק במערכות‬ ‫משוואות לינאריות‪ ,‬אך מנקודת המבט של כפל מטריצות‪.‬‬ ‫‪ b1 ‬‬



‫תהי ‪ A   aij ‬מטריצה מסדר ‪) m  n‬מעל שדה כלשהו( ויהי ‪ b    ‬וקטור עמודה מסדר ‪m‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪ bm ‬‬



‫)מעל אותו שדה(‪ .‬נתבונן במשוואה‬



‫‪Ax  b‬‬



‫‪ x1 ‬‬ ‫שבה הנעלם הוא וקטור עמודה ‪. x    ‬‬ ‫‪ xn ‬‬ ‫‪ c1 ‬‬



‫וקטור עמודה ‪ c    ‬הוא פתרון למשוואה זו אם מתקיים השוויון‪:‬‬ ‫‪ cn ‬‬



‫‪Ac  b‬‬



‫המשוואה )*( מכונה משוואה וקטורית או משוואה מטריציונית‪.‬‬ ‫שימו לב כי ‪ Ac‬הוא וקטור העמודה‪:‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1k ck ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a2 k ck ‬‬ ‫‪ k 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ amk ck ‬‬ ‫‪ k 1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫לפיכך‪ ,‬השוויון )*( יתקיים אם ורק אם יתקיימו ‪ m‬השוויונות הבאים‪:‬‬ ‫‪b1‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ bm‬‬



‫או‪ ,‬ביתר פירוט‪ ,‬אם ורק אם‪:‬‬



‫‪‬‬



‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bm‬‬



‫‪   a1n cn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   amn cn‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ a1k ck‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ amk ck‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪a11c1  a12 c2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am1c1  am 2 c2‬‬



‫)*(‬



‫‪270‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫מסקנה‬ ‫‪ b1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהי ‪ A  aij ‬מטריצה מסדר ‪ m  n‬ויהי ‪ b    ‬וקטור עמודה מסדר ‪) m‬מעל אותו שדה(‪.‬‬ ‫‪ bm ‬‬ ‫‪ c1 ‬‬ ‫וקטור העמודה ‪ c    ‬הוא פתרון למשוואה הווקטורית‬ ‫‪ cn ‬‬ ‫‪Ax  b‬‬



‫)*(‬



‫אם ורק אם ה ‪ n‬יה ) ‪ (c1 ,, cn‬היא פתרון של המערכת הלינארית‪:‬‬ ‫‪‬‬



‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bm‬‬



‫‪  ‬‬



‫‪a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   amn xn‬‬



‫‪a11 x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am1 x1‬‬



‫)**(‬



‫מן האמור לעיל נובע כי כל מערכת של משוואות לינאריות מתאימה למשוואה וקטורית בודדת‪.‬‬ ‫"מתאימה" במובן זה שה ‪ n‬יה ) ‪ (c1 ,, cn‬פותרת את המערכת )**( אם ורק אם וקטור העמודה‬ ‫‪ c1 ‬‬ ‫‪ c    ‬פותר את המשוואה )*(‪ .‬לכן נאמר לעיתים "מערכת המשוואות ‪ " Ax  b‬כאשר כוונתנו‬ ‫‪ cn ‬‬



‫למערכת משוואות מהצורה )**(‪.‬‬



‫בהינתן מערכת משוואות לינאריות )**(‪ ,‬המטריצה ‪ A‬של המשוואה הווקטורית )*( השקולה לה‪ ,‬אינה‬ ‫אלא מטריצת המקדמים המצומצמת של מערכת המשוואות‪ .‬מטריצה זו היא‪ ,‬כזכור‪ ,‬מסדר ‪, m  n‬‬ ‫והיא נבדלת מן המטריצה המאפיינת את המערכת הלינארית )זו שהוגדרה בפרק ‪ (1‬בכך שחסרה בה‬ ‫עמודת המקדמים החופשיים‪.‬‬ ‫באמצעות הכתיב הווקטורי של מערכת משוואות לינאריות ניתן להוכיח בקלות רבה‪ ,‬וללא קשיי‬ ‫סימון‪ ,‬תכונות שונות של הפתרונות‪ .‬כדי להדגים זאת‪ ,‬נסמן ב ‪ A‬את המטריצה המצומצמת של‬ ‫המערכת )**(‬ ‫‪ a11  a1n ‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ am1  amn ‬‬



‫ונתמקד במקרה שבו ‪. b  0‬‬ ‫אם ‪ , b  0‬המשוואה הווקטורית השקולה היא‪:‬‬



‫‪Ax  0‬‬



‫נוכיח כי אם וקטורי העמודה ‪ c‬ו ‪ d‬הם פתרונות של המשוואה הווקטורית‪ ,‬אז גם סכומם הוא‬ ‫פתרון )עובדה שכבר ידועה לכם ממשפט ‪ ,2.5.2‬אך נביא לה הוכחה שונה(‪:‬‬ ‫הווקטור ‪ c‬הוא פתרון‪ ,‬משמע ‪ ; Ac  0‬הווקטור ‪ d‬הוא פתרון‪ ,‬משמע ‪. Ad  0‬‬ ‫כדי להראות כי ‪ c  d‬הוא פתרון‪ ,‬עלינו להראות כי‪:‬‬



‫‪A(c  d )  0‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫אך מתכונת הפילוג )משפט ‪ ,(3.5.5‬נקבל‬



‫‪271‬‬



‫‪A(c  d )  Ac  Ad  0  0  0‬‬



‫כדרוש‪.‬‬ ‫נוכיח עוד עובדה מוכרת – אם וקטור העמודה ‪ c‬הוא פתרון של המשוואה הווקטורית‬ ‫‪Ax  0‬‬



‫אז לכל סקלר ‪ , t‬גם ‪ tc‬הוא פתרון של אותה משוואה‪:‬‬ ‫‪ c‬הוא פתרון‪ ,‬משמע ‪. Ac  0‬‬ ‫עלינו להוכיח כי ‪ tc‬גם הוא פתרון‪ ,‬כלומר כי‪:‬‬



‫‪A( t c )  0‬‬



‫ואמנם‪:‬‬



‫‪A(tc)  t ( Ac )  t 0  0‬‬



‫שילוב תוצאות אלה מוכיח מחדש את משפט ‪ – 2.5.2‬אוסף הפתרונות למערכת משוואות לינארית‬ ‫הומוגנית סגור לצירופים לינאריים‪ .‬אכן‪ ,‬אם ‪ c‬ו ‪ d‬מקיימים ‪ , Ac = Ad  0‬ואם ‪ t , s‬סקלרים‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪A(tc  sd )  A(tc)  A( sd )  tAc  sAd  t 0  s 0  0‬‬



‫כמובן‪ ,‬אם ‪ ( k  1) c1 ,, ck‬הם פתרונות של ‪ , Ax  0‬ואם ‪ s1 ,, sk‬הם סקלרים‪ ,‬אז‬ ‫) ‪A( s1c1    sk ck )  A( s1c1 )    A( sk ck‬‬ ‫‪ s1 Ac1    sk Ack  s1 0    sk 0  0‬‬



‫או בכתיב מקוצר‬ ‫‪k‬‬



‫‪ 0 =0‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫‪k‬‬



‫= ‪si 0‬‬



‫‪‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪si Aci ‬‬



‫‪k‬‬



‫‪‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪A  si ci  ‬‬



‫‪k‬‬



‫‪‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪si ci ‬‬



‫‪k‬‬



‫‪‬‬



‫‪A‬‬



‫‪i 1‬‬



‫כדרוש‪.‬‬ ‫כעת נדון בכתיב וקטורי של מערכות משוואות איהומוגניות‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.7.1‬‬ ‫הוכיחו‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ c‬ו ‪ d‬הם שני פתרונות של המערכת הלינארית הנתונה בכתיב וקטורי עלידי‬ ‫‪Ax  b‬‬



‫אז ‪ c  d‬הוא פתרון של המערכת הלינארית ההומוגנית הנתונה בכתיב וקטורי עלידי‪:‬‬ ‫‪Ax  0‬‬



‫ב‪ .‬אם למערכת ‪ Ax  0‬יש רק הפתרון הטריוויאלי‪ ,‬אז לכל וקטור ‪) b‬מאורך מתאים(‪ ,‬יש למערכת‬ ‫‪ Ax  b‬לכל היותר פתרון אחד‪.‬‬



‫‪272‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ג‪ .‬אם ‪ V‬היא קבוצת כל הפתרונות של מערכת הומוגנית מסוימת ‪ , Ax  0‬ו ‪ c0‬הוא פתרון מסוים‬ ‫של המערכת ‪ , Ax  b‬אז אוסף כל הפתרונות למערכת ‪ Ax  b‬הוא ‪. c0  d | d  V ‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪313‬‬ ‫שאלה ‪3.7.2‬‬ ‫תהי נתונה המערכת הלינארית האיהומוגנית‪:‬‬ ‫‪Ax  b‬‬



‫כלומר ‪ . b  0‬יהי ‪ c‬פתרון של המערכת ויהי ‪ t‬סקלר‪ .‬מצאו עבור אילו ערכים של ‪ tc , t‬הוא‬ ‫פתרון של המערכת ההומוגנית ‪ , Ax  0‬ועבור אילו ערכים של ‪ tc , t‬הוא פתרון של המערכת‬ ‫האיהומוגנית ‪. Ax  b‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪314‬‬ ‫שאלה ‪3.7.3‬‬ ‫הוכיחו כי אם ‪ c‬הוא פתרון של המערכת‬ ‫אז ‪ c‬הוא פתרון של המערכת‬



‫‪Ax  b‬‬ ‫‪BAx  Bb‬‬



‫כאשר ‪ B‬היא מטריצה כלשהי‪ ,‬שעבורה ‪ BA‬מוגדרת‪.‬‬ ‫)שימו לב‪ ,‬אם ‪ BA‬מוגדרת‪ ,‬אז בהכרח הסדרים הם כאלה המבטיחים שגם ‪ Bb‬מוגדרת‪(.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪315‬‬ ‫שאלה ‪3.7.4‬‬ ‫הוכיחו כי הפתרון היחיד של המערכת ‪ Ix  b‬הוא ‪. b‬‬ ‫) ‪ I‬היא מטריצת היחידה מהסדר המתאים‪(.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪315‬‬ ‫הערה‬ ‫לאורך סעיף זה סימנו וקטורים באותיות מודגשות‪ ,‬כולל את וקטור הנעלמים ‪ . x‬ההדגשה נועדה‬ ‫למנוע בלבול עם נעלם בודד‪ ,‬כגון ‪ . x‬עם זאת‪ ,‬כאשר אין חשש לבלבול‪ ,‬נרשה לעצמנו בהמשך‬ ‫להשתמש באותיות לאמודגשות‪ .‬כך למשל‪ ,‬את מערכת המשוואות )בכתיב וקטורי( ‪ , Ax  b‬נסמן‬ ‫עלידי ‪. Ax  b‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪273‬‬



‫‪ 3.8‬מטריצות הפיכות‬ ‫כפי שלמדתם בסעיף ‪ ,1.1‬קיומו של איבר ניטרלי ביחס לפעולה כלשהי מעלה את השאלה של קיום‬ ‫איברים הופכיים‪ .‬בקבוצת המטריצות הריבועיות מסדר ‪ n‬מעל שדה מסוים‪ ,‬קיים איבר ניטרלי‬ ‫ביחס לכפל – המטריצה ‪ . I‬אולם‪ ,‬לא לכל איבר בקבוצה זו יש איבר הופכי‪ :‬למשל‪ ,‬עבור מטריצת‬ ‫האפס לא נוכל למצוא מטריצה ‪ B‬כך ש‬ ‫‪O  B  BO  I‬‬



‫שכן‪ ,‬לכל ‪: B‬‬



‫‪O B  BO  O  I‬‬



‫דוגמה נוספת‪ ,‬פחות טריוויאלית‪:‬‬ ‫טענה ‪3.8.1‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית כלשהי מסדר ‪ , n‬שיש בה שורת אפסים‪.‬‬ ‫לכל מטריצה ‪) B‬ריבועית מסדר ‪ ( n‬מתקיים‪:‬‬



‫‪AB  I‬‬



‫הוכחה‬ ‫מכך שיש ב ‪ A‬שורת אפסים נובע שגם ב ‪ AB‬יש שורת אפסים )לפי מסקנה ‪ .(3.4.4‬אולם ב ‪ I‬אין‬ ‫שורת אפסים‪ ,‬וממילא לכל ‪: B‬‬ ‫‪AB  I‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫נביא דוגמה נוספת למטריצה שאין לה מטריצה הופכית‪.‬‬ ‫דוגמה ‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1‬‬



‫נוכיח כי לא קיימת ‪ B‬שעבורה ‪ . AB  I‬אמנם‪ ,‬אם‬



‫היא מטריצה כלשהי מסדר ‪ , 2  2‬אז‪:‬‬



‫‪  ‬‬ ‫‪   ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1 1 ‬‬ ‫‪AB  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1  ‬‬



‫ולכן‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪AB  I  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬



‫‪274‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פירושו‬



‫‪  1‬‬ ‫‪   0‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪   0‬‬



‫וברור שלמערכת זו אין פתרון‪.‬‬



‫‪‬‬



‫מצאנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי לא לכל מטריצה )ריבועית מסדר ‪ ( n‬יש מטריצה הופכית‪ .‬אך יש מטריצות שיש‬ ‫להן מטריצה הופכית‪.‬‬ ‫דוגמה ‪2‬‬ ‫אם‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 1‬‬



‫אז המטריצה‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪1/2 ‬‬



‫מקיימת‪:‬‬



‫‪ 1/2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 1/2‬‬



‫‪AB  BA  I‬‬



‫)בדקו!(‪.‬‬



‫‪‬‬



‫הגדרה ‪ 3.8.2‬מטריצה הפיכה‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ .‬מטריצה ריבועית ‪ A‬ב ) ‪ M n ( F‬נקראת הפיכה )או – רגולרית( אם קיימת מטריצה ‪B‬‬ ‫ב ) ‪ Mn ( F‬כך ש‬ ‫‪AB  BA  I‬‬



‫מטריצה ריבועית שאינה הפיכה נקראת איהפיכה )או סינגולרית(‪.‬‬ ‫את אוסף כל המטריצות ההפיכות ב ) ‪ M n ( F‬נסמן ב ) ‪. GLn ( F‬‬ ‫הערות‬ ‫א‪ .‬אם קיימת מטריצה ‪ B‬ב ) ‪ M n ( F‬המקיימת את השוויון שבהגדרה ‪ ,3.8.2‬אז היא המטריצה‬ ‫היחידה ב ) ‪ M n ( F‬המקיימת שוויון זה‪ .‬אכן‪ ,‬אם ) ‪ C  M n ( F‬מקיימת גם היא את השוויון‪,‬‬ ‫כלומר אם ‪ , AC  CA  I‬אז‪:‬‬ ‫‪B  BI  B ( AC )  ( BA)C  IC  C‬‬



‫הווי אומר‪ . B  C ,‬למטריצה ‪) B‬היחידה( המקיימת את השוויון שבהגדרה ‪ 3.8.2‬נקרא‬ ‫המטריצה ההופכית ל ‪) A‬בה' הידיעה(‪ ,‬ונסמן אותה ב ‪. A1‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪275‬‬



‫ב‪ .‬בהמשך הקורס )מסקנה ‪ 4.5.2‬בפרק ‪ (4‬נראה כי אם מטריצה ריבועית ‪ B‬מקיימת את אחד‬ ‫השוויונות הנדרשים בהגדרה ‪ ,3.8.2‬אז היא בהכרח מקיימת גם את השני‪ .‬כלומר‪ ,‬אם ‪ B‬מקיימת‬ ‫‪ AB  I‬אז ‪) BA  I‬ולהפך(‪ ,‬ולכן ‪ B‬היא המטריצה ההופכית ל ‪. A‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬ההפיכות של מטריצה נוגעת אך ורק למטריצות ריבועיות – על מטריצה שאינה ריבועית לא‬ ‫נאמר שהיא הפיכה וגם לא שהיא סינגולרית‪ .‬בהמשך הסעיף‪ ,‬בכל הטענות והשאלות שנביא‪ ,‬תמיד‬ ‫נניח במובלע כי המטריצות הנידונות הן מטריצות ריבועיות )מאותו סדר‪ ,‬ומעל אותו שדה(‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.8.1‬‬ ‫נניח כי ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ .‬הוכיחו כי‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם '‪ A‬מטריצה המקיימת ‪ A'A  I‬אז בהכרח ‪. A'  A1‬‬ ‫ב‪ .‬אם '‪ A‬מטריצה המקיימת ‪ AA'  I‬אז בהכרח ‪. A'  A1‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪315‬‬ ‫כעת נוכיח כמה תכונות של מטריצות הפיכות‪ .‬נפתח ב"כלל הצמצום"‪.‬‬ ‫טענה ‪3.8.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה הפיכה‪.‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ AB  AC‬אז‪:‬‬



‫‪BC‬‬



‫ב‪ .‬אם ‪ BA  CA‬אז‪:‬‬



‫‪BC‬‬



‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬נניח כי‪:‬‬



‫‪AB  AC‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪ A‬מטריצה הפיכה ולכן יש לה מטריצה הופכית‪ . A1 ,‬נכפול את שני אגפי השוויון )‪ (1‬משמאל‬ ‫ב ‪ A1‬ונקבל‪:‬‬ ‫) ‪A1 ( AB )  A1 ( AC‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫אבל‬ ‫‪ IB  B‬‬



‫‪( A1 A) B‬‬



‫‪‬‬



‫‪( A1 A)C‬‬



‫‪‬‬



‫) ‪A1 ( AB‬‬



‫וכן‬ ‫‪ IC  C‬‬



‫ולכן מ)‪ (2‬נקבל‪:‬‬



‫) ‪A1 ( AC‬‬



‫‪BC‬‬



‫ב‪ .‬ההוכחה אנלוגית להוכחת חלק א ונשמיטה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫‪276‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שימו לב שכלל הצמצום אינו בהכרח תקף אם ‪ A‬אינה הפיכה‪.‬‬ ‫דוגמה‪1‬‬



‫‪1 0 1 0 1 0 1 0‬‬ ‫‪0 0  1 1  0 0  0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  B  A  I‬‬



‫אבל‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬



‫‪1 0  1‬‬ ‫‪1 1   0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪B  I‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪3.8.2‬‬ ‫א‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה הפיכה ותהי ‪ B‬מטריצה שעבורה ‪) AB  O‬או ‪.( BA  O‬‬ ‫הוכיחו כי ‪. B  O‬‬ ‫ב‪ .‬תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות הפיכות‪ .‬הוכיחו כי ‪. AB  O‬‬ ‫‪1 1‬‬



‫ג‪ .‬תהי ‪ . A   ‬מצאו ‪ B  O‬כך ש ‪. AB  O‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫ד‪ .‬הוכיחו כי אם ‪ A  O‬ו ‪ B  O‬אבל ‪ , AB  O‬אז ‪ A‬ו ‪ B‬שתיהן סינגולריות‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪316‬‬ ‫במשפט הבא מסוכמות כמה תכונות נוספות של מטריצות הפיכות‪.‬‬ ‫משפט ‪3.8.4‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ ,‬אז גם‬



‫‪A 1‬‬



‫הפיכה‬



‫ומתקיים‪2:‬‬



‫‪ A‬‬



‫‪( A1 ) 1‬‬



‫ב‪ .‬המטריצה ‪ A‬הפיכה אם ורק אם המטריצה המשוחלפת ‪ At‬הפיכה‪ ,‬ובמקרה זה‬



‫מתקיים‪3:‬‬



‫‪( At ) 1  ( A1 )t‬‬



‫ג‪ .‬אם ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות הפיכות )מאותו סדר!( אז גם ‪ AB‬הפיכה‬



‫ומתקיים‪4:‬‬



‫‪( AB )1  B 1 A1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬



‫במכוון נמנענו מן הדוגמה הטריוויאלית‪ :‬השוויון ‪ OB  OC‬מתקיים תמיד‪ ,‬גם אם ‪! B  C‬‬ ‫המסקנה הטריוויאלית – מטריצת האפס אינה הפיכה כפי שכבר ידוע לנו‪.‬‬ ‫‪ ( A1 )1‬הוא הסימון של המטריצה ההופכית ל‪ , A1 -‬ולפי טענת המשפט זוהי ‪. A‬‬ ‫שימו לב‪ ( At ) 1 :‬הוא הסימון למטריצה ההופכית של המטריצה ‪ ( A1 )t . At‬הוא סימון למטריצה המשוחלפת‬ ‫מצדה ההופכית של ‪. A‬‬ ‫של ‪ , A1‬שהיא ִ‬ ‫‪ ( AB ) 1‬הוא הסימון של המטריצה ההופכית למטריצה ‪ B 1 A1 . A B‬היא מכפלת המטריצה ההופכית של ‪B‬‬ ‫במטריצה ההופכית של ‪ . A‬שימו לב לחילופי המקומות של ‪ A‬ו ‪ B‬בשני אגפי השוויון‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪277‬‬



‫ד‪ .‬אם ‪ A‬מטריצה הפיכה ו‪ s  0 -‬סקלר‪ ,‬אז גם ‪ tA‬הפיכה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪s‬‬



‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬נניח ש‪ A -‬הפיכה‪ .‬כדי להראות‬ ‫להראות כי‪:‬‬



‫ש ‪A1‬‬



‫‪( sA) 1 ‬‬



‫היא הפיכה וש ‪ A‬היא המטריצה ההופכית‬



‫ל ‪A1‬‬



‫‪ ,‬עלינו‬



‫‪AA1  A1 A  I‬‬



‫אבל שוויונות אלה מתקיימים בהכרח מאחר ש ‪ A‬הפיכה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ A‬הפיכה‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪AA1‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪( AA1 )t‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪( AA1 )t‬‬



‫)‪(3‬‬



‫‪It‬‬



‫)‪(4‬‬



‫‪( A1 )t‬‬



‫)‪(5‬‬



‫‪I‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪It‬‬



‫‪‬‬



‫‪( A 1 ) t‬‬



‫‪‬‬



‫אבל‬ ‫‪At‬‬



‫וכן‪:‬‬ ‫‪I‬‬



‫מהצבת )‪ (3‬ו)‪ (4‬ב)‪ (2‬נקבל‪:‬‬ ‫‪I‬‬



‫‪At‬‬



‫באותו אופן נסיק מן השוויון‬ ‫‪I‬‬



‫‪A1 A‬‬



‫כי‪:‬‬ ‫‪At ( A1 )t  I‬‬



‫)‪(6‬‬



‫מ)‪ (5‬ו)‪ (6‬אנו למדים כי ‪ ( A1 )t‬היא המטריצה ההופכית ל‪ , At -‬כלומר‪:‬‬ ‫‪( A1 )t  ( At ) 1‬‬



‫ובכיוון השני – אם ‪ At‬הפיכה‪ ,‬אז לפי הכיוון שכבר הוכחנו גם המשוחלפת שלה ‪ ( At )t‬הפיכה‪.‬‬ ‫אך ‪ , ( At )t  A‬ולכן הראינו בזאת ש‪ A -‬הפיכה‪ ,‬כדרוש‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נניח ש‪ A, B -‬הפיכות‪ .‬נחשב את המכפלה‪:‬‬ ‫) ‪( AB )( B 1 A1‬‬ ‫‪( AB )( B 1 A1 )  A( BB 1 ) A1  AIA1  AA1  I‬‬



‫כך גם –‬ ‫‪ I‬‬



‫‪B 1 B‬‬



‫‪‬‬



‫‪B 1IB‬‬



‫‪‬‬



‫) ‪( B 1 A1 )( AB‬‬



‫ומכאן ש ‪ AB‬הפיכה וההופכית לה היא ‪. B 1 A1‬‬ ‫ד‪ .‬הוכיחו בעצמכם‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫‪278‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪3.8.3‬‬ ‫תהיינה ‪ A1 , A2 ,, Ak‬מטריצות הפיכות מסדר ‪. n‬‬ ‫הוכיחו באינדוקציה על ‪ k‬כי המכפלה ‪ A1    Ak‬הפיכה וכי מתקיים‪:‬‬ ‫‪   Ak )1  Ak1    A11‬‬



‫‪5 (A‬‬ ‫‪1‬‬



‫התשובה בעמוד ‪317‬‬ ‫שאלה ‪3.8.4‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ .‬הוכיחו כי ‪ An‬הפיכה וכי מתקיים‪:‬‬ ‫‪( An ) 1  ( A 1 ) n‬‬



‫התשובה בעמוד ‪318‬‬ ‫בסעיף זה ניתנו מספר תכונות של מטריצות הפיכות‪ .‬המשפטים בסעיף זה היו מהטיפוס‪" :‬אם ‪A‬‬



‫הפיכה אז ‪ ."...‬כדי שנוכל לנצל משפטים אלה‪ ,‬בהינתן מטריצה ‪ , A‬חשוב שנדע אם היא הפיכה‪ .‬כמו‬ ‫כן‪ ,‬רצוי שנמצא דרך לחישוב ‪) A1‬כאשר זו קיימת(‪.‬‬ ‫יש מקרים שבהם ההכרעה קלה‪ .‬אחד מהם כבר הודגם‪ :‬אם ב ‪ A‬יש שורת אפסים )או עמודת‬ ‫אפסים( אז ‪ A‬אינה הפיכה‪ .‬נדגים מקרה פשוט נוסף‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.8.5‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה אלכסונית‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫‪0‬‬



‫הוכיחו‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם אחד מאיברי האלכסון הראשי הוא אפס אז ‪ A‬אינה הפיכה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם כל איברי האלכסון הראשי שונים מאפס אז ‪ A‬הפיכה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪1/a‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1/an ‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪A1‬‬



‫התשובה בעמוד ‪318‬‬ ‫בשאלה ‪ 3.8.5‬ראינו‪ ,‬אם כן‪ ,‬אוסף נאה של מטריצות הפיכות – אלה המטריצות האלכסוניות‪ ,‬שאיברי‬ ‫האלכסון הראשי שלהן שונים מאפס‪ .‬אבל בכך לא מיצינו את המטריצות ההפיכות‪ .‬יש מטריצות‬ ‫הפיכות שאינן אלכסוניות‪ 6.‬דוגמה פשוטה תמצאו בשאלה הבאה‪.‬‬



‫‪ 5‬שימו לב להיפוך סדר הגורמים בשני האגפים!‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ A  ‬הפיכה‪ ,‬למרות שאינה אלכסונית – ראו דוגמה ‪ 2‬בתחילת סעיף זה‪.‬‬ ‫‪ 6‬מצאנו‪ ,‬למשל‪ ,‬כי ‪‬‬ ‫‪ 1 1‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪279‬‬



‫שאלה ‪3.8.6‬‬ ‫‪ 1 2‬‬ ‫‪ A  ‬הפיכה‪ ,‬ומצאו את המטריצה ההופכית לה‪.‬‬ ‫הראו כי המטריצה הממשית ‪‬‬ ‫‪ 3 1 ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪318‬‬ ‫השיטה שבה השתמשנו בתשובה ‪ 3.8.6‬למציאת המטריצה ההופכית – פתרון מערכת משוואות‬ ‫מתאימה – ניתנת להכללה גם עבור מטריצות מסדרים גבוהים‪ .‬עם זאת‪ ,‬כדי להשתמש בה עבור‬ ‫מטריצות מסדרים כאלה‪ ,‬יש לרשום מערכות משוואות בעלות משתנים רבים‪ .‬בסעיף הבא נתאר‬ ‫שיטה אלגנטית יותר לחישוב המטריצה ההופכית‪.‬‬ ‫בסעיף הבא נעסוק במשפחה נוספת של מטריצות הפיכות – המטריצות האלמנטריות‪ .‬לאחר מכן‬ ‫ניעזר במטריצות האלמנטריות לצורך אפיון כל המטריצות ההפיכות‪ ,‬ובתוך כך אף נציג שיטה‬ ‫לחישוב ‪ , A1‬כאשר זו קיימת‪ .‬אפיונים נוספים של המטריצות ההפיכות יינתנו בסעיף שלאחר מכן‪.‬‬



‫‪280‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 3.9‬מטריצות אלמנטריות‬ ‫נפתח בהגדרה‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.9.1‬מטריצה אלמנטרית‬ ‫מטריצה אלמנטרית היא מטריצה שהתקבלה ממטריצת היחידה ‪ I‬עלידי ביצוע פעולה‬



‫אלמנטרית‪1.‬‬



‫דוגמאות‬ ‫א‪ .‬המטריצה‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 2/3 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0‬‬



‫היא מטריצה אלמנטרית‪ ,‬שכן היא התקבלה ממטריצת היחידה ‪) I‬מסדר ‪ ( 3‬עלידי כפל השורה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬



‫השנייה של ‪ I‬ב ‪ , ‬כלומר עלידי ביצוע הפעולה האלמנטרית‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪R2   R2‬‬ ‫‪3‬‬



‫ב‪ .‬המטריצה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫היא מטריצה אלמנטרית‪ ,‬שכן היא התקבלה מ ‪) I‬מסדר ‪ ( 4‬עלידי הפעולה האלמנטרית‪:‬‬ ‫‪R4  R4  3R2‬‬



‫ג‪ .‬המטריצה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫היא מטריצה אלמנטרית‪ ,‬שהתקבלה מ ‪) I‬מסדר ‪ ( 4‬עלידי הפעולה האלמנטרית‪:‬‬ ‫‪R1  R3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ 1‬מכאן נובע שמטריצה אלמנטרית היא בהכרח ריבועית‪.‬‬ ‫הפעולות האלמנטריות על מטריצות תוארו בפרק ‪ .1‬נמנה אותן שוב‪:‬‬ ‫)‪ (i‬החלפת שתי שורות של המטריצה זו בזו‪.‬‬ ‫)‪ (ii‬כפל שורה של המטריצה בסקלר שונה מאפס‪.‬‬ ‫)‪ (iii‬הוספת כפולה בסקלר של שורה אחת לשורה אחרת של המטריצה‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪281‬‬



‫סימון ‪ 3.9.2‬סימון מטריצות אלמנטריות‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה כלשהי‪ ,‬ותהי נתונה פעולה אלמנטרית שנסמנה ‪ . ‬את המטריצה המתקבלת מ ‪A‬‬ ‫עלידי ביצוע הפעולה ‪ ‬נסמן )‪ .  ( A‬בפרט‪ ,‬המטריצות האלמנטריות הן כל המטריצות מהצורה‬ ‫) ‪ ,  ( I‬כאשר ‪ ‬היא איזושהי פעולה אלמנטרית‪.‬‬ ‫הטענה הבאה קושרת בין פעולות אלמנטריות ומטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫טענה ‪3.9.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ . n‬תהי ‪ I‬מטריצת היחידה מסדר ‪ , n‬ותהי ‪ ‬פעולה אלמנטרית‪.‬‬ ‫אז‪:‬‬ ‫‪ ( A)   ( I ) A‬‬



‫כלומר‪ ,‬התוצאה של פעולה אלמנטרית על ‪ A‬זהה לתוצאת הכפל של ‪ A‬משמאל במטריצה‬ ‫האלמנטרית המתאימה‪.‬‬ ‫לפני שנוכיח טענה זו‪ ,‬נדגים‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.9.1‬‬ ‫תהי‬ ‫‪a14 ‬‬ ‫‪a24 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a34 ‬‬ ‫‪a44 ‬‬



‫ותהי ‪ ‬הפעולה‪:‬‬



‫‪a13‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪a33‬‬ ‫‪a43‬‬



‫‪a12‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪a32‬‬ ‫‪a42‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A   21‬‬ ‫‪ a31‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 41‬‬



‫‪: R4  R4  3R2‬‬



‫חשבו את )‪  ( A‬ואת ) ‪)  ( I‬עבור ‪ I‬מסדר ‪ ( 4‬והראו כי‪:‬‬



‫‪2‬‬



‫)‪ ( I )  A   ( A‬‬



‫התשובה בעמוד ‪319‬‬ ‫הוכחת טענה ‪3.9.3‬‬ ‫תחילה נזכיר שלפי למה ‪ ,3.4.3‬לכל ‪ A, B‬שעבורן מוגדרת המכפלה ‪ AB‬מתקיים לכל ‪: 1  k  n‬‬ ‫‪ AB rk   Ark B‬‬



‫כעת נוכיח את הטענה עבור כל טיפוס של פעולה אלמנטרית בנפרד‪.‬‬ ‫א‪ : Ri  R j .‬‬



‫עבור ‪ k‬השונה מ ‪ i‬ומ ‪ , j‬השורות של ‪ A‬זהות לשורות המתאימות של )‪ ,  ( A‬ובסימנים‪:‬‬ ‫‪ 2‬כלומר ‪ ‬היא הפעולה של הוספת ‪ 3‬פעמים השורה השנייה לשורה הרביעית‪.‬‬



‫)*(‬



1 ‫אלגברה לינארית‬



282



: k  i , j ‫עבור‬ (1)



 ( A)



(2)



 ( I )



r k







 Ark







 I rk



: k  i , j ‫וכמובן גם עבור‬ r k



: k  i , j ‫ולכן עבור‬



 ( I ) Ark   ( I )rk A   I rk A   IArk 







(2)



(*)











(*)







 Ark   ( A)rk 



(1)



IA  A



i ‫ השונה מ‬k ‫ לכל‬,  ( A) ‫ של‬k ‫ שווה לשורה ה‬ ( I ) A ‫ של‬k ‫ובסיכום קיבלנו כי השורה ה‬



. j ‫ומ‬ , k  i ‫עבור‬ (3)



[ ( A)]ir



(4)



[ ( I )]ir







[ A]rj







[ I ]rj



:‫וכן‬ :‫ולכן‬ [ ( I ) A]ir



 [ ( I )]ir  (*)



A  [ I ]rj  (4)



A  [ IA]rj  (*)







[ A]rj



 [ ( A)]ir  (3)



‫ של‬j ‫ ההוכחה של שוויון השורה ה‬.  ( A) ‫ של‬i ‫ שווה לשורה ה‬ ( I ) A ‫ של‬i ‫ השורה ה‬,‫כלומר‬ . i ‫ אנלוגית לחלוטין להוכחת שוויון השורה ה‬ ( A) ‫ ושל‬ ( I ) A (t  0)  : Ri  tRi .‫ב‬ k  i ‫ לכל‬,‫כמקודם‬



 ( A)rk   Ark  ( I )rk   I rk



:‫וכן‬



‫ של‬k ‫ להשתמש באותה הוכחה כמו בא ולהסיק כי השורה ה‬,‫ אם כן‬,‫ אפשר‬k  i ‫עבור‬ .  ( A) ‫ של‬k ‫ שווה לשורה ה‬ ( I ) A k  i ‫עבור‬



 ( A)ir



 t  Ai



 ( I )



 t I 



r



:‫וכן‬ r i



r i



:‫ומכאן‬



 ( I ) A



r i



  ( I ) A  t  I  A  t  IA  t  A   ( A) r i



r i



r i



r i



r i



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫ג‪.‬‬



‫‪283‬‬



‫‪ : Ri  Ri  tR j‬‬



‫‪ ‬היא הפעולה האלמנטרית של הוספת ‪ t‬פעמים השורה ה ‪ j‬לשורה ה ‪ , i‬כלומר‪:‬‬ ‫‪ : Ri  Ri  tR j‬‬



‫לכל ‪ , k  i‬כמו בחלק א נקבל‪:‬‬ ‫‪  ( A) ‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪k‬‬



‫‪ ( I ) A‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪k‬‬



‫עבור ‪, k  i‬‬



‫‪ ( A)‬‬



‫)‪(5‬‬



‫‪  A  t  A‬‬



‫‪ ( I )ir   I ir  t  I rj‬‬



‫)‪(6‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪j‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪ A I  A  t I ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪i‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪j‬‬



‫‪ t I ‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪j‬‬



‫‪ I ‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪i‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪i‬‬



‫‪A‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ ( I )‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪i‬‬



‫)‪(6‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪i‬‬



‫‪ ( I ) A‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫)*(‬



‫‪  IA  t  IA j   Ai  t  A j   ( A) i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬



‫‪r‬‬



‫‪r‬‬



‫‪r‬‬



‫‪r‬‬ ‫‪i‬‬



‫‪‬‬ ‫)*(‬



‫)‪(5‬‬



‫אם כן‪ ,‬לכל ‪ 1  k  n‬השורה ה ‪ k‬של )‪  ( A‬שווה לשורה ה ‪ k‬של ‪ ,  ( I ) A‬ולכן‬ ‫‪.  ( A)   ( I ) A‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.9.2‬‬ ‫תהי‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪A   4 5 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7 8 9 ‬‬



‫נגדיר שלוש פעולות אלמנטריות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2 2‬‬



‫‪1 : R2 ‬‬



‫‪ 2 : R2  R3‬‬ ‫‪3 : R3  R3  2 R2‬‬



‫ודאו עלידי חישוב ישיר‪ ,‬כי )‪ i ( I ) A  i ( A‬עבור ‪. i  1, 2,3‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪319‬‬ ‫את הטענה הקודמת נוכל להכליל למספר כלשהו של פעולות‪.‬‬



‫‪284‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫טענה ‪3.9.4‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ , n‬ותהי ‪ A‬מטריצה אשר התקבלה מ ‪ A‬עלידי ביצוע הפעולות‬ ‫האלמנטריות ‪) 1 ,2 ,...,k‬בסדר זה – משמאל לימין(‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪A  k ( I )k 1 ( I ) 1 ( I ) A‬‬



‫שאלה ‪3.9.3‬‬ ‫הוכיחו את הטענה האחרונה‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪321‬‬ ‫תהי ‪ ‬פעולה אלמנטרית‪ .‬נגדיר פעולה אלמנטרית "הפוכה" ל ‪ , ‬שנסמנה ‪ ,  1‬כך‪:‬‬ ‫‪)  1 : Ri  R j‬כלומר ‪.(    1‬‬



‫א‪ .‬אם ‪ : Ri  R j‬‬



‫אז‬



‫ב‪ .‬אם ‪  : Ri  tRi‬כאשר ‪, t  0‬‬



‫אז‬



‫‪.  1 : Ri  Ri‬‬



‫ג‪ .‬אם ‪  : Ri  Ri  tR j‬כאשר ‪, i  j‬‬



‫אז‬



‫‪.  1 : Ri  Ri  tR j‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬



‫הפעולה ‪"  1‬הפוכה" לפעולה ‪ ‬במובן זה‪ ,‬שאם נבצע על מטריצה ‪ A‬תחילה את ‪ ‬ואחר כך את‬ ‫‪ ,  1‬נקבל שוב את ‪. A‬‬ ‫בסימונים‪:‬‬ ‫‪ 1 ( ( A))  A‬‬



‫)‪(1‬‬



‫))‪ ( 1 ( A‬‬



‫)‪(2‬‬



‫באותו אופן גם‪:‬‬ ‫‪ A‬‬



‫שאלה ‪3.9.4‬‬ ‫יהיו‬ ‫‪1 2 3 ‬‬ ‫‪A   4 5 6  ,  : R2  tR2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 1 0 ‬‬



‫כאשר ‪ . t  0‬חשבו במפורש את ))‪  ( 1 ( A‬ואת ))‪.  1 ( ( A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪321‬‬ ‫על פי טענה ‪ ,3.9.4‬נובע מן השוויונות )‪ (1‬ו)‪ (2‬דלעיל כי לכל פעולה אלמנטרית ‪ , ‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ 1 ( I ) ( I ) A   ( I ) 1 ( I ) A  A‬‬



‫ובפרט עבור ‪ A  I‬מתקיים ‪.  1 ( I ) ( I )   ( I ) 1 ( I )  I‬‬



‫)*(‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪285‬‬



‫כמסקנה נקבל‪:‬‬ ‫מסקנה ‪3.9.5‬‬ ‫כל מטריצה אלמנטרית ) ‪  ( I‬היא הפיכה‪ ,‬וההופכית לה היא‬



‫) ‪.  1 ( I‬‬



‫כלומר‪3:‬‬



‫) ‪( ( I ))1   1 ( I‬‬



‫ממסקנה ‪ 3.9.5‬נקבל גם‪:‬‬ ‫מסקנה ‪3.9.6‬‬ ‫כל מטריצה שהיא מכפלה של מטריצות אלמנטריות היא הפיכה‪ .‬יתר כל כן‪ ,‬אם‬ ‫) ‪ B  1 ( I )    k ( I‬אז‪:‬‬ ‫) ‪B 1  k1 ( I )    11 ( I‬‬



‫הוכחה‬ ‫לפי מסקנה ‪ ,3.9.5‬כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה; מכפלה של מספר סופי של מטריצות הפיכות‬ ‫היא הפיכה )לפי שאלה ‪ ,(3.8.3‬ולכן מכפלה של מספר סופי של מטריצות אלמנטריות היא הפיכה‪ .‬לפי‬ ‫אותה שאלה נקבל גם כי‪:‬‬ ‫‪(1 ( I )    k ( I ))1  (k ( I ))1    (1 ( I ))1‬‬



‫)*(‬



‫עתה‪ ,‬לפי מסקנה ‪ ,3.9.5‬לכל ‪: 1  i  k‬‬ ‫) ‪i1 ( I‬‬



‫‪‬‬



‫‪( I )) 1‬‬



‫‪(i‬‬



‫ולכן מ)*( נקבל‪:‬‬ ‫) ‪k1 ( I )    11 ( I‬‬



‫‪‬‬



‫‪( I ))1‬‬



‫‪(1 ( I )    k‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫בכך מצאנו משפחה גדולה של מטריצות הפיכות‪ :‬כל המטריצות האלמנטריות‪ ,‬וכל המכפלות של‬ ‫מספר סופי של מטריצות אלמנטריות‪ .‬מתברר שבזאת מיצינו את כל המטריצות ההפיכות‪ ,‬שכן –‬ ‫טענה ‪3.9.7‬‬ ‫כל מטריצה הפיכה היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה הפיכה )מסדר ‪ .( n‬נתבונן במשוואה הווקטורית‪:‬‬



‫‪Ax  0‬‬



‫)*(‬



‫‪ 3‬זכרו‪ ( ( I ))1 :‬הוא הסימון למטריצה ההופכית ל ) ‪ .  ( I‬לעומת זאת‪  1 ( I ) ,‬היא המטריצה האלמנטרית‬ ‫שהתקבלה מ ‪ I‬עלידי ‪.  1‬‬



‫‪286‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫למשוואה זו יש פתרון יחיד והוא הפתרון הטריוויאלי‪ .‬נראה זאת‪:‬‬ ‫ראשית – קל לראות כי ‪ c  0‬הוא פתרון‪.‬‬ ‫שנית – נניח כי ‪ c‬הוא פתרון כלשהו של המשוואה )*(‪ ,‬כלומר‬



‫‪Ac  0‬‬



‫ונוכיח כי בהכרח ‪. c  0‬‬ ‫נכפול את שני אגפי השוויון ב ‪ A1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪A1 ( Ac )  A1 0  0‬‬



‫אולם‪:‬‬ ‫‪A1 ( Ac )  ( A1 A) c  Ic  c‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪c0‬‬



‫יצאנו מפתרון כלשהו והראינו כי הוא בהכרח וקטור האפס‪ ,‬ולכן זהו אכן הפתרון היחיד‪.‬‬ ‫עתה‪ ,‬כזכור‪ ,‬המשוואה הווקטורית )*( שקולה למערכת לינארית הומוגנית של ‪ n‬משוואות ב ‪n‬‬



‫נעלמים‪ ,‬וכפי שלמדתם בפרק ‪ ,1‬מכך שלמערכת לינארית הומוגנית של ‪ n‬משוואות ב ‪ n‬נעלמים יש‬ ‫פתרון יחיד )הפתרון הטריוויאלי(‪ ,‬נובע כי הצורה הקנונית של המטריצה המצומצמת של המערכת‪,‬‬ ‫שהיא במקרה שלנו ‪ , A‬היא ‪) I‬משפט ‪.(1.14.2‬‬ ‫המעבר למטריצה קנונית נעשה‪ ,‬כזכור‪ ,‬עלידי פעולות אלמנטריות‪ ,‬הווי אומר – קיימת סדרת פעולות‬ ‫אלמנטריות ‪ 1 ,  2 ,, k‬כך ש‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪k 2 1 ( A)     I‬‬



‫ומכאן‪ ,‬על פי טענה ‪ ,3.9.4‬נסיק ש‬ ‫‪k ( I )    1 ( I )  A  I‬‬



‫)‪(1‬‬



‫נסמן ) ‪ . B  k ( I )    1 ( I‬אז השוויון האחרון פירושו ‪. BA  I‬‬ ‫המטריצה ‪ B‬היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות‪ ,‬ולכן לפי מסקנה ‪ ,3.9.6‬היא הפיכה וההופכית‬ ‫לה היא המטריצה ) ‪ . B 1  11 ( I )    k1 ( I‬נכפול את אגפי השוויון )‪ (1‬ב ‪ B 1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪A  B 1‬‬



‫לכן ‪ A‬היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות‪ ,‬משום ש ‪ B 1‬היא כזאת‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫‪287‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫דוגמה‬ ‫‪ 3 1‬‬ ‫‪ . A  ‬אנו נראה שהיא הפיכה‪ ,‬ונציג אותה כמכפלה של מטריצות‬ ‫נתבונן במטריצה ‪‬‬ ‫‪ 2 0‬‬ ‫אלמנטריות‪ .‬לשם כך‪ ,‬נבצע סדרה של פעולות דירוג שנועדו להביא את ‪ A‬למטריצת מדרגות קנונית‬



‫)שתהיה‪ ,‬כפי שמיד נראה‪ ,‬מטריצת היחידה(‪ ,‬ונעקוב אחר המטריצות האלמנטריות המתאימות‪.‬‬ ‫הפעולה הראשונה שנבחר לבצע היא החלפת השורה הראשונה והשנייה זו בזו )אין הכרח לבצע דווקא‬ ‫פעולה זו – ניתן היה לפעול על פי שיטת גאוס‪ ,‬אך מהתבוננות במטריצה קל לראות שהחלפת השורות‬ ‫כדאית(‪.‬‬ ‫‪ 2 0‬‬



‫‪ . ‬כעת נבצע את‬ ‫אם כן‪ ,‬אנו מבצעים את הפעולה ‪ , 1 : R1  R2‬המביאה את ‪ A‬לצורה ‪‬‬ ‫‪ 3 1‬‬ ‫הפעולה‬



‫‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2 1‬‬



‫‪,  2 : R1 ‬‬



‫‪, 3 : R2  R2  3R1‬‬



‫המביאה‬



‫המביאה‬



‫את‬



‫אותה‬



‫לצורה‬



‫המטריצה‬



‫‪1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 1‬‬



‫‪.‬‬



‫למטריצת‬



‫נסיים‬



‫היחידה‪.‬‬



‫בביצוע‬ ‫לפי‬



‫טענה‬



‫הפעולה‬ ‫‪,3.9.4‬‬



‫‪ , I  3 ( I )2 ( I )1 ( I ) A‬ועל כן ‪ 1 ( I )12 ( I )13 ( I )1  A‬לפי מסקנה ‪ .3.9.6‬אבל לפי מסקנה‬ ‫‪:3.9.5‬‬ ‫‪0 1‬‬



‫‪1 ( I )1  11 ( I )  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪ 2 0‬‬



‫‪2 ( I )1  21 ( I )  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1 0‬‬



‫‪3 ( I )1  31 ( I )  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪ 0 1  2 0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ודאו עלידי חישוב ישיר כי אכן מתקיים‪ :‬‬ ‫‪ 1 0  0 1  3 1‬‬



‫‪ . A  ‬בזאת הצגנו את המטריצה‬



‫שממנה יצאנו כמכפלה של מטריצות אלמנטריות‪.‬‬



‫‪‬‬



‫עלידי שילוב מסקנה ‪ 3.9.6‬וטענה ‪ 3.9.7‬נקבל‪:‬‬ ‫מסקנה ‪3.9.8‬‬ ‫מטריצה ‪ A‬היא הפיכה אם ורק אם ‪ A‬היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫כזכור )הגדרה ‪ ,(1.8.1‬מטריצה ‪ , B‬המתקבלת ממטריצה ‪ A‬עלידי סדרה סופית של פעולות‬ ‫אלמנטריות‪ ,‬מכונה שקולתשורה ל ‪ . A‬לאור הטענות האחרונות‪ ,‬ברור כי ‪ B‬שקולתשורה ל ‪A‬‬ ‫אם ורק אם קיימות מטריצות אלמנטריות ) ‪ 1 ( I ),, k ( I‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪B  k ( I ) 1 ( I ) A‬‬



‫‪288‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫מסקנה ‪3.9.9‬‬ ‫‪ B‬היא שקולתשורה ל ‪ A‬אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ C‬כך ש‬ ‫‪B  CA‬‬



‫הוכחה‬ ‫אם ‪ B‬מטריצה שקולתשורה ל ‪ , A‬אז קיימות מטריצות אלמנטריות ) ‪ 1 ( I ),, k ( I‬המקיימות‪:‬‬ ‫‪B  k ( I ) 1 ( I ) A‬‬



‫לפי מסקנה ‪ C  k ( I )    1 ( I ) ,3.9.8‬היא מטריצה הפיכה‪ ,‬ולכן ‪ B  CA‬כאשר ‪ C‬הפיכה‪.‬‬ ‫ובכיוון ההפוך‪ ,‬אם ‪ B  CA‬כאשר ‪ C‬הפיכה‪ ,‬אז לפי מסקנה ‪– 3.9.8‬‬ ‫) ‪C  k ( I )    1 ( I‬‬



‫כאשר ) ‪ i ( I‬מטריצה אלמנטרית לכל ‪ , 1  i  k‬ולכן ‪. B  k ( I )    1 ( I ) A‬‬ ‫היות שכפל במטריצה אלמנטרית שקול לביצוע פעולה אלמנטרית‪ ,‬נובע כי ‪ B‬התקבלה מ ‪A‬‬ ‫עלידי סדרה של פעולות אלמנטריות‪ ,‬ולכן ‪ B‬שקולתשורה ל ‪. A‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫מסקנה ‪3.9.10‬‬ ‫מטריצה ריבועית ‪ A‬היא הפיכה אם ורק אם ‪ A‬שקולתשורה ל ‪. I‬‬ ‫הוכחה‬ ‫המסקנה נובעת בקלות ממסקנה ‪ .3.9.8‬נרשום את ההוכחה בקיצור כך‪:‬‬ ‫‪ A‬הפיכה‬ ‫‪‬‬



‫‪ A‬היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות ) ‪1 ( I ),, k ( I‬‬ ‫) ‪A  1 ( I )    k ( I‬‬ ‫‪‬‬



‫קיימות מטריצות אלמנטריות ) ‪ 1 ( I ),, k ( I‬כך ש‬ ‫‪A  1 ( I )    k ( I ) I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ A‬שקולתשורה ל ‪I‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫בשאלה הבאה תתבקשו להוכיח כמה תכונות של היחס "שקילותשורה" בין מטריצות‪ .‬על נכונות‬ ‫תכונות אלה למדתם כבר בפרק ‪ ,1‬אך הפעם נבקש כי תוכיחו אותם בעזרת מסקנה ‪.3.9.9‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪289‬‬



‫שאלה ‪3.9.5‬‬ ‫הוכיחו‪:‬‬ ‫א‪ .‬כל מטריצה היא שקולתשורה לעצמה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ A‬שקולתשורה ל ‪ , B‬אז ‪ B‬שקולתשורה ל ‪. A‬‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ A‬שקולתשורה ל ‪ B‬ו ‪ B‬שקולתשורה ל ‪ , C‬אז ‪ A‬שקולתשורה ל ‪. C‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪322‬‬ ‫שאלה ‪3.9.6‬‬ ‫בסוף הסעיף הקודם הוכחנו כי מטריצה אלכסונית אשר כל איברי האלכסון הראשי שלה שונים מ‪0‬‬ ‫היא הפיכה‪ .‬כל מטריצה אלכסונית שאיברי האלכסון בה שונים מ‪ 0‬ניתנת אם כן )לפי מסקנה ‪(3.9.9‬‬ ‫להצגה כמכפלה של מטריצות אלמנטריות‪ .‬מצאו‪ ,‬אם כן‪ ,‬הצגה של המטריצה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫) ‪ ai  0‬לכל ‪ ( 1  i  n‬כמכפלה של מטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪322‬‬ ‫שאלה ‪3.9.7‬‬ ‫תהי ‪ A‬שקולתשורה ל ‪ . B‬הוכיחו כי ‪ A‬הפיכה אם ורק אם ‪ B‬הפיכה‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪323‬‬ ‫הבטחנו בסעיף הקודם לאפיין את המטריצות ההפיכות‪ ,‬ובמסקנה ‪ 3.9.8‬אכן עשינו זאת‪ 4.‬אבל כדי‬ ‫שתרוו נחת מהאפיון‪ ,‬כדאי שנשכנע אתכם שניתן לבדוק אם מטריצה ריבועית נתונה היא מכפלה של‬ ‫מטריצות אלמנטריות או לא‪.‬‬ ‫כיצד בודקים אם מטריצה ריבועית היא הפיכה?‬ ‫ובכן‪ ,‬נצא ממטריצה ריבועית כלשהי ‪ . A‬נבצע על ‪ A‬פעולות אלמנטריות בהתאם לשיטת הדירוג של‬ ‫גאוס שלמדתם בפרק ‪ ,1‬ונביא אותה לצורת מדרגות קנונית‪.‬‬ ‫קיימות שתי אפשרויות‪:‬‬ ‫א‪ .‬במהלך הדירוג נגיע למטריצה שבה יש שורת אפסים‪ ,‬או‪:‬‬ ‫ב‪ .‬בסיום תהליך הדירוג נגיע למטריצת היחידה‪5.‬‬



‫‪ 4‬המטריצות ההפיכות הן המכפלות של מספר סופי של מטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫‪ 5‬ראו משפט ‪.1.14.4‬‬



‫‪290‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ A‬היא כמובן שקולתשורה לכל אחת מהמטריצות שדרכן נעבור‪:‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬אם יקרה א‪ ,‬הרי ש ‪ A‬שקולתשורה למטריצה שיש בה שורת אפסים‪ .‬אבל מטריצה עם שורת‬ ‫אפסים אינה הפיכה ולכן‪ ,‬על פי שאלה ‪ ,3.9.7‬גם ‪ A‬אינה הפיכה‪ .‬אם יקרה ב‪ ,‬הרי ש ‪ A‬שקולת‬ ‫שורה ל ‪ I‬וממילא – על פי מסקנה ‪ A – 3.9.10‬הפיכה‪.‬‬ ‫נניח עתה שמצאנו בתהליך הדירוג כי‪:‬‬



‫‪k ( I )    1 ( I ) A  I‬‬



‫אז‪ ,‬לא זו בלבד ש ‪ A‬הפיכה‪ ,‬אלא‪:‬‬ ‫) ‪ k ( I )    1 ( I‬‬



‫‪A 1‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪ k ( I )    1 ( I ) I‬‬



‫ולכן‪:‬‬



‫‪ k  k 1 ( 2 (1 ( I )) ) ‬‬



‫‪A1‬‬



‫‪A1‬‬



‫הווי אומר‪ A1 ,‬היא המטריצה המתקבלת מכך שמבצעים על המטריצה ‪ I‬בדיוק אותן פעולות‬ ‫)באותו סדר( שמבצעים על ‪ A‬כדי להביאה ל ‪. I‬‬ ‫הנה תיאור דרך רישום שהיא נוחה‪ ,‬מבחינה טכנית‪ ,‬לחישוב ‪A1‬‬



‫‪6:‬‬



‫רושמים את המטריצה ‪ A‬ולימינה את המטריצה ‪ I‬כשביניהן קו הפרדה‪ ,‬כך‪:‬‬



‫‪A | I‬‬ ‫מבצעים על המטריצה הגדולה המתקבלת באופן זה את סדרת הפעולות האלמנטריות המביאות את‬ ‫‪ A‬למטריצת מדרגות קנונית‪ .‬תוך כדי כך מתבצעות אותן פעולות גם על המטריצה ‪ , I‬וכאשר ‪A‬‬ ‫הופכת ל ‪ I , I‬הופכת ל ‪. A1‬‬ ‫בסימונים‪:‬‬



‫‪ A | I    I | A1 ‬‬



‫דוגמה‬ ‫עבור‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪27 ‬‬



‫‪1 2‬‬ ‫‪A  1 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 8‬‬



‫נבדוק אם ‪ A‬הפיכה‪ ,‬ואם כן – נמצא את ‪ A1‬בדרך שתוארה לעיל‪.‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 1 0 0  R2  R2  R1‬‬ ‫‪R3  R3  R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ A | I   1 4 9 0 1 0 ‬‬ ‫‪1 8 27 0 0 1 ‬‬



‫‪ 6‬בדרך זו בודקים "באותה מכה" אם ‪ A‬הפיכה‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪1‬‬ ‫‪R2  R2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 R  1 R‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪2 3 1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 3 1/2 1/2 0 ‬‬ ‫‪0 1 4 1/6 0 1/6 ‬‬



‫‪291‬‬



‫‪1 2‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 6‬‬



‫‪3 1 0‬‬ ‫‪6 1 1 ‬‬ ‫‪24 1 0 1 ‬‬



‫‪ 1 0 3‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1‬‬ ‫‪3 1/2 1/2‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1 1/3 1/2 1/6 ‬‬ ‫‪ 0 0‬‬ ‫‪R3  R3  R2‬‬ ‫‪R1  R1  2 R2‬‬



‫‪R1  R1  3 R3‬‬ ‫‪1 0 0‬‬ ‫‪3 5/2 1/2 ‬‬ ‫‪R2  R2  3 R3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  0 1 0 3/2‬‬ ‫‪2 1/2    I | A1 ‬‬ ‫‪1/6 ‬‬ ‫‪ 0 0 1 1/3 1/2‬‬



‫נסיק כי ‪ A‬הפיכה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪ 3 5/2 1/2 ‬‬ ‫‪A1   3/2‬‬ ‫‪2 1/2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1/3 1/2 1/6 ‬‬



‫כדאי שתוודאו עלידי כפל ישיר כי אכן‪:‬‬ ‫‪I‬‬



‫‪A1 A‬‬



‫‪‬‬



‫‪AA1‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪3.9.8‬‬ ‫לפי השיטה שהודגמה זה עתה‪ ,‬קבעו לגבי כל אחת מהמטריצות הבאות אם היא הפיכה אם לאו‪ .‬אם‬ ‫המטריצה הפיכה‪ ,‬מצאו את המטריצה ההופכית שלה‪.‬‬ ‫א‪ 3 1 .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4 ‬‬ ‫ב‪ 2 1 3 .‬‬ ‫‪B   1 3 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 7 5‬‬



‫ג‪.‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬



‫התשובה בעמוד ‪323‬‬



‫‪292‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 3.10‬אפיונים נוספים של מטריצות הפיכות‬ ‫בסעיף זה נבסס כמה קריטריונים שקולים להפיכוּת של מטריצה ריבועית נתונה‪.‬‬ ‫טענה ‪3.10.1‬‬ ‫מטריצה ) ‪ A  M n ( F‬היא הפיכה אם ורק אם לכל וקטור עמודה‬ ‫‪ Ax  b‬פתרון יחיד‪.‬‬



‫‪Fn‬‬



‫‪ , b ‬יש למשוואה הווקטורית‬



‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬נניח כי ‪ A‬הפיכה‪ .‬יהי ‪ b  F n‬וקטור עמודה כלשהו‪.‬‬ ‫עלינו להוכיח כי למשוואה הווקטורית‬



‫‪Ax  b‬‬



‫יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫אם ‪ c‬הוא פתרון של המשוואה‪ ,‬אז ‪ , Ac  b‬ולכן עלידי כפל שני האגפים של השוויון משמאל‬ ‫ב ‪ , A1‬נקבל‪:‬‬ ‫‪c  A1b‬‬



‫הווי אומר‪ ,‬כל וקטור פתרון שווה בהכרח לווקטור ‪ , A1b‬ולכן אם קיים פתרון אז הוא יחיד‪.‬‬ ‫להשלמת ההוכחה בדקו בעצמכם כי וקטור העמודה ‪ A1b‬הוא אכן פתרון‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נניח כי לכל וקטור עמודה ‪ b  F n‬קיים פתרון יחיד ל‬



‫‪Ax  b‬‬



‫ונוכיח כי ‪ A‬הפיכה‪.‬‬ ‫מההנחה נובע בפרט כי קיים פתרון יחיד למשוואה ‪ , Ax  0‬אבל מכך נובע כי ‪ A‬שקולתשורה‬ ‫ל ‪ I‬לפי משפט ‪ ,1.14.2‬ולכן על פי מסקנה ‪ A ,3.9.10‬הפיכה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫טענה ‪3.10.2‬‬ ‫מטריצה ריבועית ) ‪ A  M n ( F‬היא הפיכה אם ורק אם למשוואה הווקטורית‬ ‫‪Ax  0‬‬



‫אין פתרון לאטריוויאלי‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫אם ‪ A‬הפיכה‪ ,‬אז לפי טענה ‪ ,3.10.1‬לכל וקטור עמודה ‪ b  F n‬יש פתרון יחיד למשוואה הווקטורית‬ ‫‪ . Ax  b‬בפרט‪ ,‬יש פתרון יחיד במקרה ש ‪ . b  0‬כלומר‪ ,‬יש פתרון יחיד למשוואה ‪ . Ax  0‬מאחר‬ ‫שקיים למשוואה זו הפתרון הטריוויאלי‪ ,‬נובע מכך שאין למשוואה זו פתרון לאטריוויאלי‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪293‬‬



‫בכיוון ההפוך‪ ,‬נניח כי למשוואה ‪ Ax  0‬אין פתרון לאטריוויאלי‪ .‬אז ‪ A‬שקולתשורה ל ‪ , I‬ולכן‬ ‫לפי מסקנה ‪ A – 3.9.10‬הפיכה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫טענה ‪3.10.3‬‬ ‫מטריצה ריבועית ) ‪ A  M n ( F‬היא הפיכה אם ורק אם העמודות של ‪ A‬הן בלתי תלויות לינארית‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫לפי טענה ‪ 2.6.5‬בפרק ‪ ,2‬העמודות של ‪ A‬בלתי תלויות לינארית אם ורק אם למשוואה‬ ‫‪Ax  0‬‬



‫יש רק פתרון טריוויאלי‪ ,‬ותנאי זה‪ ,‬על פי טענה ‪ ,3.10.2‬הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות של ‪. A‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫טענה ‪3.10.4‬‬ ‫מטריצה ריבועית ) ‪ A  M n ( F‬היא הפיכה אם ורק אם השורות של ‪ A‬הן בלתי תלויות לינארית‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫לפי משפט ‪ A ,3.8.4‬הפיכה אם ורק אם ‪ At‬הפיכה‪ .‬לפי טענה ‪ At ,3.10.3‬הפיכה אם ורק אם‬ ‫עמודותיה של ‪ At‬הן בלתי תלויות לינארית‪ .‬אבל עמודותיה של ‪ At‬אינן אלא השורות של ‪ , A‬ובסך‬ ‫הכול קיבלנו כי ‪ A‬הפיכה אם ורק אם השורות של ‪ A‬בלתי תלויות לינארית‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫טענה ‪3.10.5‬‬ ‫מטריצה ) ‪ A  M n ( F‬היא הפיכה אם ורק אם לכל וקטור עמודה‬ ‫‪ Ax  b‬קיים פתרון‪.‬‬



‫‪Fn‬‬



‫‪ , b ‬למשוואה הווקטורית‬



‫שימו לב להבדל בין טענה זו לבין טענה ‪ – 3.10.1‬כאן לא דרשנו את יחידות הפתרון‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫א‪ .‬אם ‪ A‬הפיכה‪ ,‬אז לפי טענה ‪ – 3.10.1‬לכל משוואה מהצורה‬ ‫יש פתרון יחיד )ובפרט – יש פתרון(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם לכל ‪ b  F n‬קיים פתרון למשוואה‬



‫‪Ax  b‬‬



‫‪Ax  b‬‬



‫אז ‪ n‬העמודות של ‪ A‬פורשות את ‪ , F n‬ולכן על פי משפט ‪ n ,2.7.8‬העמודות של ‪ A‬הן בלתי תלויות‬ ‫לינארית‪ .‬לכן‪ ,‬על פי טענה ‪ A ,3.10.3‬הפיכה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫‪294‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪3.10.1‬‬ ‫תהי ) ‪ . A  M n ( F‬הוכיחו כי‪:‬‬ ‫א‪ A .‬הפיכה אם ורק אם עמודותיה‪ ,‬כווקטורים ב ‪ , F n‬פורשות את ‪. F n‬‬ ‫ב‪ A .‬הפיכה אם ורק אם שורותיה‪ ,‬כווקטורים ב ‪ , F n‬פורשות את ‪. F n‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪325‬‬ ‫נסכם במשפט אחד את התנאים ההכרחיים והמספיקים שמצאנו להפיכ ּות‪.‬‬ ‫משפט ‪3.10.6‬‬ ‫תהי ) ‪ A  M n ( F‬מטריצה ריבועית מסדר ‪. n‬‬ ‫כל אחת מהטענות שלהלן היא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות של ‪. A‬‬ ‫א‪ A .‬היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫ב‪ A .‬שקולתשורה ל ‪. I‬‬ ‫ג‪ .‬קיימת מטריצה הפיכה ‪ C‬כך ש ‪. CA  I‬‬ ‫ד‪ .‬צורת המדרגות הקנונית של ‪ A‬היא ‪. I‬‬ ‫ה‪ .‬לכל וקטור עמודה ‪ b  F n‬קיים פתרון יחיד למשוואה‬ ‫ו‪ .‬לכל וקטור עמודה ‪ b  F n‬קיים פתרון למשוואה‬



‫‪Ax  b‬‬ ‫‪Ax  b‬‬



‫ז‪ .‬למשוואה ‪ Ax  0‬יש רק פתרון טריוויאלי‪.‬‬ ‫ח‪ .‬העמודות של ‪ , A‬כווקטורים ב ‪ , F n‬הן בלתי תלויות לינארית‪.‬‬ ‫ט‪ .‬השורות של ‪ , A‬כווקטורים ב ‪ , F n‬הן בלתי תלויות לינארית‪.‬‬ ‫י‪ .‬העמודות של ‪ , A‬כווקטורים ב ‪ , F n‬פורשות את ‪. F n‬‬ ‫יא‪ .‬השורות של ‪ , A‬כווקטורים ב ‪ , F n‬פורשות את ‪. F n‬‬ ‫מפאת חשיבותן של תוצאות אלה‪ ,‬אנו ממליצים כי תעברו בקפידה על כל סעיפיו של משפט ‪3.10.6‬‬ ‫ותוודאו כי נהירה לכם דרך ההוכחה לכך שכל אחד מהם הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכ ּות‬ ‫)בהסתמך על המשפטים והטענות הקודמים לניסוח המשפט(‪.‬‬ ‫שאלה ‪3.10.2‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות ריבועיות מסדר ‪. n‬‬ ‫הוכיחו כי ‪ AB‬הפיכה אם ורק אם ‪ A‬ו‪ B -‬שתיהן הפיכוֹ ת‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪325‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪295‬‬



‫שאלה ‪3.10.3‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות ריבועיות מסדר ‪. n‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו כי‬ ‫‪B2‬‬



‫‪ 2 AB ‬‬



‫‪A2‬‬



‫‪‬‬



‫אם ורק אם‪:‬‬



‫‪B )2‬‬



‫‪(A ‬‬



‫‪AB  BA‬‬



‫ב‪ .‬מצאו מטריצות ממשיות ‪ A‬ו ‪ B‬מסדר ‪ 2  2‬שעבורן‪:‬‬ ‫‪( A  B)2  A2  2 AB  B2‬‬



‫ג‪.‬‬ ‫‪1 1 2 ‬‬ ‫‪B  2 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 2 2 ‬‬



‫‪1 1 2‬‬ ‫‪A  1 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 2 2 ‬‬



‫קבעו ביחס לכל אחת מהמטריצות שלהלן אם היא סינגולרית או הפיכה‪.‬‬ ‫‪AB .3‬‬ ‫‪B .2‬‬ ‫‪A .1‬‬ ‫‪B2 .5‬‬ ‫‪A2 .4‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪326‬‬ ‫שאלה ‪3.10.4‬‬ ‫א‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ n‬מהצורה‪:‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫כאשר ‪ B‬מטריצה כלשהי מסדר )‪ ( n  1)  ( n  1‬והכוכבים מסמנים סקלרים כלשהם‪.‬‬ ‫הראו כי לכל מספר טבעי ‪ k‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪0  0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪n  1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪Ak ‬‬



‫‪1‬‬



‫רמז‪ :‬היעזרו באינדוקציה על ‪. k‬‬ ‫ב‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ n‬שאיבריה ‪aij‬‬



‫מקיימים‪2‬‬



‫‪ 1‬כאן הכוכביות מסמנות סקלרים מסוימים‪ ,‬לאו דווקא אלה המופיעים במטריצה המקורית‪.‬‬ ‫‪ 2‬עבור ‪ , n  3‬למשל‪ ,‬מטריצה כזאת נראית כך‪:‬‬ ‫‪a13 ‬‬ ‫‪a23 ‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪ 0 a12‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪aij  0‬‬



‫‪296‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לכל ‪. i  j‬‬ ‫הוכיחו כי‪:‬‬ ‫‪An  0nn‬‬



‫)שימו לב שהמעריך ‪ n‬שווה לסדר המטריצה ‪ , A‬שגם הוא ‪(. n‬‬ ‫רמז‪ :‬היעזרו באינדוקציה על הסדר ‪ n‬של המטריצה ובחלק א של השאלה‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪327‬‬ ‫לסיום הפרק‪ ,‬נדון בסיבה נוספת להגדרה ה"משונה" של כפל מטריצות )או לפחות‪ ,‬להגדרת הכפל של‬ ‫מטריצה בווקטור(‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.10.7‬העתקה לינארית‬ ‫יהיו ‪ F‬שדה‪ m, n ,‬מספרים טבעיים‪ ,‬ותהי ‪ T‬העתקה )כלומר‪ ,‬פונקציה( מ ‪ F n‬ל ‪ . F m‬נאמר ש ‪T‬‬ ‫היא העתקה לינארית‪ 3‬אם מתקיימים התנאים הבאים‪:‬‬ ‫א‪ .‬לכל ‪ v , w  F n‬מתקיים )‪. T (v  w)  T ( v )  T ( w‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪ v  F n‬ולכל סקלר ‪ s  F‬מתקיים ) ‪. T ( sv )  sT ( v‬‬ ‫דוגמה ‪1‬‬ ‫ההעתקה ‪ ‬‬



‫‪2‬‬



‫‪ , T :‬המוגדרת עלידי ‪ , T  ( x, y )   2 x  y‬היא העתקה לינארית‪ .‬נוכיח זאת‪:‬‬



‫א‪ .‬לכל ) ‪ v  ( a , b), w  (c , d‬ב ‪ , 2‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪T (v  w)  T (( a  c, b  d ))  2( a  c )  (b  d )  (2 a  b )  (2c  d‬‬ ‫)‪ T (( a , b ))  T ((c, d ))  T (v )  T ( w‬‬



‫ב‪ .‬לכל ‪ , v  ( a, b)  2 , s  ‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪T ( sv )  T (( sa , sb ))  2( sa )  ( sb )  s (2 a  b )  sT ( v‬‬



‫‪‬‬



‫דוגמה ‪2‬‬ ‫ההעתקה ‪ , T : 2  3‬המוגדרת עלידי ) ‪ , T (( x , y ))  ( x  1, 0, y‬איננה העתקה לינארית‪ .‬אכן‪,‬‬ ‫ל ּו הייתה זו העתקה לינארית‪ ,‬היה מתקיים )בפרט( ))‪ . T ((2, 0))  2T ((1, 0‬אבל‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ , T ((2, 0))  (3, 0, 0‬ואילו )‪. 2T ((1, 0))  2(2, 0, 0)  (4, 0, 0‬‬ ‫שאלה ‪3.10.5‬‬ ‫עבור כל אחת מההעתקות הבאות‬ ‫א‪T (( x, y ))  (2 x , 0) .‬‬ ‫ב‪T (( x, y ))  ( x, y ) .‬‬ ‫‪ 3‬או בקיצור – כי ‪ T‬היא לינארית‪.‬‬



‫מ ‪2‬‬



‫ל ‪, 2‬‬



‫בדקו האם היא לינארית‪:‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪297‬‬



‫ג‪T (( x, y ))  ( x2 , y ) .‬‬ ‫ד‪T (( x , y ))  ( x  y , y ) .‬‬



‫התשובה בעמוד ‪330‬‬ ‫שאלה ‪3.10.6‬‬ ‫הוכיחו כי ‪ T‬לינארית אם ורק אם לכל‬ ‫תהי ‪ T‬העתקה‬ ‫‪ s, t  F‬מתקיים )‪. T ( sv  tw)  sT (v )  tT ( w‬‬ ‫מ ‪F n‬‬



‫ל ‪. F m‬‬



‫‪Fn‬‬



‫‪ v , w ‬ולכל זוג סקלרים‬ ‫התשובה בעמוד ‪330‬‬



‫שאלה ‪3.10.7‬‬ ‫המוגדרת עלידי ‪) T ( v )  Av‬שימו‬ ‫תהי ) ‪ A  M m n ( F‬מטריצה‪ ,‬ותהי ‪ T‬ההעתקה‬ ‫לב – אנו רואים את הארגומנט ‪ v‬כווקטור עמודה‪ ,‬ולכן הכפל המופיע בהגדרת ההעתקה מוגדר‬ ‫היטב(‪ .‬הוכיחו כי ‪ T‬היא העתקה לינארית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪331‬‬ ‫מ ‪F n‬‬



‫ל ‪F n‬‬



‫העתקות לינאריות הן מושג מרכזי באלגברה לינארית‪ ,‬ובהמשך נעסוק בהן בהרחבה‪ .‬בשאלה‬ ‫האחרונה הוכחתם כי פעולת הכפל של מטריצה בווקטור מגדירה העתקה לינארית‪ .‬בהמשך הקורס‬ ‫נוכיח‪ ,‬כי כל העתקה לינארית ניתנת לביטוי עלידי פעולת כפל של מטריצה מסוימת בווקטור‪ .‬תכונה‬ ‫זו מאפשרת "לתרגם" בעיות העוסקות בהעתקות לינאריות לבעיות העוסקות במטריצות‪.‬‬



‫‪298‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪299‬‬



‫תשובות לשאלות בפרק ‪3‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪228‬‬



‫תשובה ‪3.1.1‬‬ ‫א‪ 2 0 .‬‬ ‫‪ 7 , A   3 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 7 ‬‬



‫‪.  A3,2‬‬



‫ב‪21 3   4 8 16  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪22  3    8 16 32 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪23 3  16 32 64 ‬‬



‫ג‪.‬‬



‫‪21 2‬‬ ‫‪22  2‬‬ ‫‪23 2‬‬



‫‪ 211‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , A   22 1‬ו ‪.  A3,2  25  32‬‬ ‫‪ 231‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ 2 3  3‬‬ ‫‪7 ‬‬



‫‪ . A  ‬האיבר ‪  A3,2‬אינו מוגדר‪ ,‬מאחר שבמטריצה יש רק שתי שורות!‬ ‫‪0 5‬‬



‫ד‪21 n  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪22  n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2  n ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪23‬‬



‫‪.  A3,2  25  32‬‬



‫‪ 22‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . A  ‬האיבר‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ m 1‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫‪  A3,2‬מוגדר רק אם ‪ , m  3, n  2‬ובמקרה זה ערכו‬



‫השאלה בעמוד ‪229‬‬



‫תשובה ‪3.1.2‬‬ ‫שתי המטריצות הן מאותו הסדר‪ .‬כדי שיתקיים השוויון‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2 ‬‬



‫דרוש כי‪:‬‬



‫‪0 x   z‬‬ ‫‪u 9    y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪z0‬‬ ‫‪x y‬‬



‫‪u y‬‬ ‫‪x2  9‬‬



‫שוויונות אלה יתקיימו אם ורק אם ‪. x  y  u , z  0 , x  3‬‬ ‫תשובה ‪3.2.1‬‬ ‫‪. A  aij ‬‬ ‫נסמן‬



‫השאלה בעמוד ‪232‬‬



‫‪m n‬‬



‫א‪ .‬מתוך ההגדרה נקבל בשני האגפים את וקטור השורה‪ a1i ,, ami  :‬‬



‫ב‪ .‬מתוך ההגדרה נקבל בשני האגפים את וקטור העמודה‪:‬‬ ‫‪ a j1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ a jn ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪300‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪233‬‬



‫תשובה ‪3.2.2‬‬ ‫מההגדרה נקבל‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪At  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 6 7 8 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬



‫ואז‪:‬‬ ‫‪t‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1 2 3 4 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5 6 7 8 ‬‬ ‫‪8 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( At )t  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬



‫השאלה בעמוד ‪233‬‬ ‫תשובה ‪3.2.3‬‬ ‫‪t‬‬ ‫א‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ , m  n‬ונניח כי ‪ A‬סימטרית‪ .‬לפי ההגדרה‪ A ,‬הינה מטריצה מסדר‬ ‫‪A. n  m‬‬ ‫סימטרית‪ ,‬כלומר ‪ , A  At‬ובפרט הסדרים של ‪ A‬ושל ‪ At‬שווים‪ ,‬וזה נכון רק אם‬ ‫‪ , m  n‬כלומר רק אם ‪ A‬היא מטריצה ריבועית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתבונן לדוגמה במטריצה‪:‬‬ ‫‪1 2 ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 4‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪At  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4‬‬



‫האיבר ה )‪ (2,1‬של ‪ A‬הוא ‪ 3‬והאיבר ה )‪ (2,1‬של ‪ At‬הוא ‪ , 2‬ולכן ‪ , A  At‬כלומר ‪ A‬אינה‬ ‫סימטרית אף על פי ש ‪ A‬ריבועית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪234‬‬



‫תשובה ‪3.2.4‬‬ ‫יהיו ‪ 1  i  n‬ו ‪ 1  j  n‬כלשהם‪.‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ , i  j‬אז האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ , A‬שהוא ‪ , aij‬שווה ל ‪) a ji‬שכן ‪ ,( i  j‬שהוא האיבר‬ ‫ה ) ‪ ( j , i‬של ‪ , A‬והוא גם האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ , At‬כדרוש‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ , i  j‬אז האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ A‬אינו נמצא על האלכסון הראשי של ‪ , A‬ולכן לפי הנתון ‪aij‬‬ ‫הוא ‪ .0‬באופן דומה‪ ,‬גם ‪ a ji‬הוא ‪ ,0‬אבל ‪ a ji‬הוא האיבר ה ) ‪ ( j , i‬של ‪ A‬והוא גם האיבר‬ ‫ה ) ‪ (i , j‬של ‪ , At‬ולכן איברים אלה שווים‪.‬‬ ‫מ ‪ 1‬ומ ‪ 2‬נקבל כי לכל ‪ , 1  j  n , 1  i  n‬האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ A‬שווה לאיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪, At‬‬ ‫ולכן ‪ , A  At‬כלומר ‪ A‬סימטרית‪.‬‬ ‫תשובה ‪3.3.1‬‬ ‫א‪ .‬לפי הגדרת הסכום‪:‬‬



‫השאלה בעמוד ‪236‬‬ ‫‪ 2 2  1 0  2  1 2  0 3 2‬‬ ‫‪ 1 0    1 3   1  ( 1) 0  3    0 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪301‬‬



‫ב‪.‬‬ ‫‪0  2  2 2  2‬‬ ‫‪3  0  4 4‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1  ( 3) 3  2 2     2 5 2   ‬‬



‫‪ 2 2 3  2 2‬‬ ‫‪1 3 2   3 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪236‬‬



‫תשובה ‪3.3.2‬‬ ‫השוויון הנדון שקול לארבעת השוויונות הבאים‪:‬‬



‫‪x y  u‬‬



‫‪y  z  2u‬‬



‫‪2x  z  0‬‬ ‫‪u y 5‬‬



‫נוכל לראות זאת כמערכת משוואות; למערכת זו פתרון יחיד )בדקו!(‪:‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪, z , u‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬



‫‪y‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪x ,‬‬ ‫‪7‬‬



‫השאלה בעמוד ‪236‬‬ ‫תשובה ‪3.3.3‬‬ ‫אין ערכים מספריים ל ‪  ,  ,  , ‬שעבורם יתקיים השוויון‪ ,‬שכן כדי שיתקיים שוויון דרוש בפרט‬ ‫שהאיבר ה )‪ (2,3‬של סכום המטריצות שבאגף שמאל ישווה לאיבר ה )‪ (2,3‬של המטריצה שמימין‪.‬‬ ‫אבל באגף שמאל האיבר ה )‪ (2,3‬של הסכום הוא‬ ‫‪7 1 8‬‬



‫בעוד שבאגף ימין האיבר ה )‪ (2,3‬הוא ‪.1‬‬ ‫תשובה ‪3.3.4‬‬ ‫נסמן‪:‬‬



‫השאלה בעמוד ‪240‬‬ ‫‪B  bij  ; A   aij ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫השוויון ‪ tA  tB‬פירושו שלכל ‪ 1  i  m‬ו ‪: 1  j  n‬‬



‫‪taij  tbij‬‬



‫מכיוון ש ‪ , t  0‬יש לו הופכי ‪ , t 1‬ומכפל שני אגפי השוויון הזה ב ‪ t 1‬נקבל שלכל ‪1  i  m‬‬



‫ו ‪: 1  j  n‬‬ ‫כלומר‪:‬‬



‫‪aij  bij‬‬



‫‪AB‬‬



‫שימו לב שאם ‪ , t  0‬הטענה אינה נכונה‪ .‬במקרה זה לכל שתי מטריצות מאותו סדר‪ A ,‬ו ‪B‬‬ ‫‪tA  tB  0‬‬



‫גם אם‬



‫‪.A B‬‬



‫‪302‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪240‬‬



‫תשובה ‪3.3.5‬‬ ‫א‪ .‬לפי הגדרת ההפרש‪:‬‬



‫)‪A  B  A  ( B‬‬



‫האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ A‬הוא ‪ , aij‬והאיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪  B‬הוא ‪ .  bij‬לכן האיבר ה ) ‪ (i , j‬של‬ ‫‪ A  B‬הוא‪:‬‬ ‫‪aij  (  bij )  aij  bij‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪A  B   ( aij  bij ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ m n‬‬



‫ב‪ .‬על פי תכונות החיבור‪:‬‬ ‫‪B  ( A  B )  B   (  B )  A   B  (  B )   A  O  A  A‬‬



‫ולכן ‪ A  B‬הוא פתרון של המשוואה‪:‬‬



‫‪BX  A‬‬



‫להוכחת העובדה כי ‪ A  B‬הוא הפתרון היחיד‪ ,‬נניח כי‬



‫‪C‬‬



‫הוא פתרון‪ ,‬כלומר כי מתקיים‪:‬‬ ‫‪BC  A‬‬



‫נוסיף ) ‪ (  B‬לשני אגפי השוויון‪ ,‬ונקבל‪:‬‬ ‫אבל‪:‬‬



‫‪( B)  ( B  C )  ( B)  A‬‬



‫)*(‬



‫‪(  B )  ( B  C )  (  B )  B   C  O  C  C‬‬



‫וכן‪:‬‬



‫‪( B)  A  A  ( B)  A  B‬‬



‫לכן‪ ,‬לפי )*( נקבל כי‪:‬‬



‫‪C  AB‬‬



‫לפיכך ‪ A  B‬הוא הפתרון היחיד של המשוואה הנידונה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪241‬‬



‫תשובה ‪3.3.6‬‬ ‫א‪ .‬אם ] ‪ , A  [ aij‬אז לכל ‪ i , j‬מתקיים‪:‬‬



‫‪( sA)t    sA  sa ji  s  At    sAt ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪ ij  ij‬‬ ‫‪ji‬‬



‫ולכן ‪. ( sA)t  sAt‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ A‬ו ‪ B‬הן מטריצות מסדר ‪ , m  n‬אז גם ‪ A  B‬היא מסדר ‪ , m  n‬ולכן ‪Bt , At‬‬



‫ו ‪ ( A  B )t‬הן מסדר ‪ , n  m‬וכן גם ‪ At  B t‬היא מסדר ‪ . n  m‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪( A  B )t    A  B    A   B    At    Bt    At  Bt ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪  ij  ij ‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪ji‬‬ ‫‪ji‬‬ ‫‪ji‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪Bt‬‬



‫‪‬‬



‫‪At‬‬



‫‪‬‬



‫‪B )t‬‬



‫‪(A ‬‬



303



‫ מטריצות‬ 3 ‫פרק‬



241 ‫השאלה בעמוד‬ :‫ אז‬, B 



Bt



‫ ו‬A 



At



3.3.7 ‫תשובה‬ ‫ כלומר‬,‫ הן מטריצות סימטריות‬B ‫ ו‬A ‫אם‬



( A  B )t  At  Bt  A  B 







3.3.7 ‫מהנתון לפי משפט‬



.‫ הינה מטריצה סימטרית‬A  B ‫ ולכן‬, ( A  B )t  A  B ‫כלומר‬ 243 ‫השאלה בעמוד‬



3.4.1 ‫תשובה‬



 2 5 6 0   4  5  2  6  4  0  2  34  2



245 ‫השאלה בעמוד‬



3.4.2 ‫תשובה‬



 0  0   1 c12  1 2 1 3 4  3  1  0  2  0  1  3  3  4  4   17 2  4   1/2 



c21



 1  3     2 4 1 1 0  2   2  1  4  3  1  ( 2)  ( 1)  1  0  0  11  1    0 



 0  0   1 c22   2 4 1 1 0  3   2  0  4  0  1  3  ( 1)  4  0   1 2  4   1/2   1  3   c31  3 7 2 1 1  2   3  1  7  3  2  ( 2)  1  1  1  0  21  1    0   1  3   c41   4 3 2 1 1  2   4  1  3  3  ( 2)  ( 2)  ( 1)  1  1  0  16  1    0 



‫‪304‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c42   4 3 2 1 1  3   4  0  3  0  ( 2)  3  ( 1)  4  1   9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1/2 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫כבר מצאנו בגוף הטקסט כי ‪ c11  8‬וכי‬ ‫‪2‬‬



‫‪ . c32  10‬כעת חושבו כל איברי ‪ , A  B‬וקיבלנו‪:‬‬



‫‪17 ‬‬ ‫‪0  8‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0  11  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪   2‬‬ ‫‪3    21 10 1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0 1/2  16 9 2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪C4  2‬‬



‫‪B55‬‬



‫תשובה ‪3.4.3‬‬



‫‪2 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 1 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪3 2 1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪A45‬‬



‫השאלה בעמוד ‪245‬‬



‫‪ 1 0 1/2 ‬‬ ‫א‪ .‬המטריצה ‪ A =  3 1 2 ‬היא מטריצה מסדר ‪. 3  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6 0 4 ‬‬ ‫‪2 0‬‬



‫‪ B   4 1 ‬היא מטריצה מסדר ‪. 3  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 2‬‬



‫לכן המכפלה ‪ A33  B32‬מוגדרת‪ ,‬והיא המטריצה ‪ C‬מסדר ‪ 3  2‬שאיבריה הם‪:‬‬ ‫‪ 5 1‬‬ ‫‪C  14 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12 8‬‬



‫לדוגמה‪ ,‬את האיבר ה )‪ (2,1‬של ‪ C‬קיבלנו על ידי כפל השורה השנייה של ‪, 3  1 2  , A‬‬ ‫בעמודה הראשונה של ‪, B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 6 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪1 2  4  3  2  ( 1)  4  2  6  6  4  12  14‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 6 ‬‬ ‫‪1/2 3 5‬‬ ‫ב‪ .‬המטריצה ‪ A   1 0 0‬היא מסדר ‪. 3  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 2 3‬‬



‫‪3‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪305‬‬



‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ B   3 ‬הינה מטריצה מסדר ‪. 3  1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 4 ‬‬



‫לכן המכפלה ‪ A33  B31‬מוגדרת‪ ,‬והיא המטריצה ‪ C‬מסדר ‪ 3  1‬שאיבריה הם‪:‬‬ ‫‪ 28‬‬ ‫‪C   2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪10 ‬‬



‫לדוגמה‪ ,‬את האיבר ה )‪ (1,1‬של ‪ C‬קיבלנו על ידי כפל השורה הראשונה של ‪ A‬בעמודה‬ ‫הראשונה )והיחידה( של ‪: B‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪ 2 3 5  3   2  ( 2)  3  3  5  4  1  9  20  28‬‬ ‫‪ 4 ‬‬



‫ג‪ A   1 1/2 1 .‬היא מטריצה מסדר ‪. 1  3‬‬ ‫‪0 3 ‬‬ ‫‪ 2 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫היא מטריצה מסדר ‪. 3  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 5 ‬‬



‫לכן המכפלה ‪ A13  B32‬מוגדרת‪ ,‬והיא המטריצה ‪ C‬מסדר ‪: 1  2‬‬ ‫‪C  3 4 ‬‬



‫לדוגמה‪ ,‬את האיבר ה )‪ (1, 2‬של ‪ C‬קיבלנו על ידי המכפלה הבאה‪:‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4   1  3  12  4  1  5  3  2  5  4‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 1 3‬‬



‫‪ A  ‬הוא ‪ , 2‬והוא שונה ממספר השורות‬ ‫ד‪ .‬מספר העמודות )= אורך השורות( במטריצה ‪‬‬ ‫‪ 4 5‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫)=אורך העמודות( במטריצה ‪ 4 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫אינה מוגדרת‪.‬‬ ‫שהוא ‪ ,3‬ולכן המכפלה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 2‬‬



‫)שימו לב שהמכפלה ‪ BA‬כן מוגדרת‪ ,‬שכן אורך השורות של ‪ B‬הוא ‪ 2‬והוא שווה לאורך‬ ‫העמודות של ‪(. A‬‬ ‫ה‪ .‬מספר העמודות במטריצה ‪ A  1 2 6‬הוא ‪ ,3‬והוא שווה למספר השורות במטריצה‬ ‫‪ 1‬‬



‫‪ B  1/2‬שהוא ‪ ,3‬ולכן מוגדרת המכפלה ‪ AB‬והיא מטריצה מסדר ‪ , 1  1‬כלומר סקלר‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬



‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪C  1 2 6 1/2   1  ( 1)  2   6  2  1  1  12  12‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬



‫‪306‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 1‬‬ ‫ו‪ .‬המטריצה ‪ A  1/2‬היא מסדר ‪ . 3  1‬המטריצה‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬



‫‪ B  1 2 6 ‬היא מסדר ‪ . 1  3‬לכן‬



‫המכפלה ‪ A31  B13‬מוגדרת‪ ,‬והיא מטריצה מסדר ‪: 3  3‬‬ ‫‪ 1 2 6 ‬‬ ‫‪C  1/2 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 4 12 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬האיבר ה )‪ (2,3‬של ‪ C‬התקבל מכפל השורה השנייה של ‪, A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:6 , B‬‬



‫‪ ,‬בעמודה השלישית של‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6  3‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪3‬‬



‫‪0‬‬



‫ז‪ .‬מספר העמודות במטריצה ‪ A  1 1‬הוא ‪ ,2‬והוא שווה למספר השורות במטריצה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , B  ‬ולכן מוגדרת המכפלה ‪ , A32  B22‬והיא מטריצה ‪ C‬מסדר ‪. 3  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 5‬‬ ‫‪1 3‬‬



‫‪12 15 ‬‬ ‫‪C    3 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 1 ‬‬ ‫‪0 1‬‬



‫‪1 0‬‬



‫‪ B  ‬שתיהן מטריצות מסדר ‪ , 2  2‬ולכן מוגדרת המכפלה‬ ‫ח‪ .‬המטריצות ‪ A   0 0‬ו ‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , A2 2  B2 2‬והיא מטריצה ‪ C‬מסדר ‪: 2  2‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪C ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬



‫‪0 1 ‬‬



‫‪1 0 1‬‬ ‫‪ A  ‬היא מסדר ‪ B  0 0 . 2  3‬היא מטריצה מסדר ‪ , 3  2‬ולכן‬ ‫ט‪ .‬המטריצה ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫המכפלה ‪ A23  B32‬מוגדרת‪ ,‬והיא מטריצה מסדר ‪: 2  2‬‬



‫‪1 2 ‬‬ ‫‪C  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 ‬‬



‫‪1 2‬‬



‫י‪ 0 0 0 .‬היא מטריצה מסדר ‪ 1  3‬ו ‪ 3 4‬היא מטריצה מסדר ‪ , 3  2‬ולכן מוגדרת‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 6 ‬‬



‫המכפלה והיא מטריצה מסדר ‪) 1  2‬וקטור שורה(‪:‬‬



‫‪1 2 ‬‬ ‫‪[0 0 0] 3 4  0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 6‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪307‬‬



‫‪ B  bij ‬מטריצה כלשהי מסדר ‪ . n  p‬המכפלה ‪ Om  n  Bn  p‬מוגדרת‪ ,‬והיא‬ ‫יא‪ .‬תהי‬ ‫‪n p‬‬ ‫מטריצה מסדר ‪ . m  p‬נסמנה ‪. C   cij ‬‬ ‫השורה ה ‪ i‬של ‪ Om n‬היא שורת אפסים ולכן האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ C‬הוא‪:‬‬



‫‪cij  0  b1 j  0  b2 j  ...  0  bnj  0‬‬



‫כלומר‪ ,‬כל איברי ‪ C‬הם אפסים‪ ,‬ולכן‪:‬‬



‫‪Om  n  Bn  p  Om  p‬‬



‫יב‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה כלשהי מסדר ‪ . m  n‬המכפלה ‪ Am  n  On  q‬מוגדרת והיא מטריצה מסדר‬ ‫‪ . m  q‬נסמנה ‪. D   dij ‬‬ ‫האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ D‬הוא‪:‬‬ ‫‪d ij  ai1  0  ...  ain  0  0‬‬



‫ולכן‪:‬‬



‫‪Am  n  On  q  Om  q‬‬



‫השאלה בעמוד ‪246‬‬



‫תשובה ‪3.4.4‬‬ ‫א‪ .‬כדי שהמכפלה ‪ Am  n  B p  q‬תהיה מוגדרת‪ ,‬דרוש שיתקיים ‪. n  p‬‬ ‫כדי שהמכפלה ‪ B p  q  Am  n‬תהיה מוגדרת‪ ,‬דרוש שיתקיים ‪. q  m‬‬ ‫כדי ששתי המכפלות תהיינה מוגדרות‪ ,‬דרוש אפוא כי ‪ p  n‬וגם ‪ , q  m‬כלומר ש ‪ B‬תהיה‬ ‫מטריצה מסדר ‪ . n  m‬בתנאים אלה‪ ,‬המכפלה ‪ Am n  Bn m‬היא מסדר ‪ , m  m‬ואילו המכפלה‬ ‫‪ Bn m  Amn‬היא מסדר ‪. n  n‬‬ ‫ב‪) .‬א(‬ ‫)ב(‬ ‫)ג(‬ ‫)ד(‬



‫מספר העמודות במטריצה ‪ B‬הוא ‪ 2‬ושונה ממספר השורות ב ‪ A‬שהוא ‪ , 3‬ולכן המכפלה‬ ‫‪ BA‬אינה מוגדרת‪.‬‬ ‫מספר העמודות במטריצה ‪ B‬הוא ‪ 1‬ושונה ממספר השורות ב ‪ A‬שהוא ‪ , 3‬ולכן גם במקרה‬ ‫זה המכפלה ‪ BA‬אינה מוגדרת‪.‬‬ ‫מספר העמודות במטריצה ‪ B‬הוא ‪ 2‬ושונה ממספר השורות ב ‪ A‬שהוא ‪ , 1‬ולכן המכפלה‬ ‫‪ BA‬אינה מוגדרת‪.‬‬ ‫‪ B‬היא מסדר ‪ 3  2‬ו ‪ A‬היא מסדר ‪ 2  2‬ולכן המכפלה ‪ B32  A22‬מוגדרת‪.‬‬ ‫‪ 12 15‬‬ ‫‪BA   3 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫המכפלה ‪ A22  B32‬אינה מוגדרת כלל וממילא אין השוויון ‪ AB  BA‬מתקיים‪.‬‬ ‫)ה( מספר העמודות במטריצה ‪ B‬הוא ‪ 1‬ושווה למספר השורות של ‪ , A‬ולכן מוגדרת המכפלה‬ ‫‪ . BA‬המכפלה ‪ AB‬היא מסדר ‪ 1  1‬ואילו ‪ BA‬היא מסדר ‪ , 3  3‬ולכן הן שונות בהכרח‪ .‬את‬ ‫המכפלה ‪ BA‬חישבנו בסעיף ו של שאלה ‪ 3.4.3‬וקיבלנו כי‪:‬‬ ‫‪ 1 2 6‬‬ ‫‪BA  1/2 1 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 4 12 ‬‬



‫)ו( ראו את הסעיף הקודם‪.‬‬



‫‪308‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫)ז( מספר העמודות במטריצה ‪ B‬הוא ‪ 2‬ושונה ממספר השורות במטריצה ‪ , A‬ולכן המכפלה‬ ‫‪ BA‬אינה מוגדרת‪.‬‬ ‫)ח( מספר העמודות של ‪ B‬הוא ‪ 2‬ושווה למספר השורות של ‪ , A‬ולכן מוגדרת גם המכפלה ‪, BA‬‬ ‫ולפי סעיף ח בשאלה ‪:3.4.3‬‬ ‫‪0 1 ‬‬ ‫‪BA  ‬‬ ‫‪  AB‬‬ ‫‪0 0 ‬‬



‫)ט( מספר העמודות במטריצה ‪ B‬הוא ‪ 2‬ושווה למספר השורות ב ‪ , A‬ולכן מוגדרת המכפלה‬ ‫‪. BA‬‬ ‫‪0 1 ‬‬ ‫‪0 0 1 ‬‬ ‫‪1 0 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪BA  0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫‪1 0 2 ‬‬



‫לפי סעיף ט בשאלה ‪ AB ,3.4.3‬היא מסדר ‪ 2  2‬ולכן בוודאי ‪. AB  BA‬‬ ‫)י( מספר העמודות במטריצה ‪ B‬הוא ‪ 2‬ושונה ממספר השורות של ‪ A‬שהוא ‪ , 1‬ולכן ‪ BA‬אינה‬ ‫מוגדרת‪.‬‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ A‬היא מטריצה מסדר ‪ m  n‬ואם המכפלות ‪ AB‬ו ‪ BA‬מוגדרות‪ ,‬אז לפי סעיף א‪ B ,‬היא‬ ‫מטריצה מסדר ‪ . n  m‬במקרה זה ‪ AB‬היא מטריצה מסדר ‪ , m  m‬כלומר ‪ AB‬היא מטריצה‬ ‫ריבועית מסדר ‪ . m‬אורך שורותיה שווה‪ ,‬אם כן‪ ,‬לאורך עמודותיה‪.‬‬ ‫ד‪ .‬לפי סעיף א‪ ,‬אם ‪ A‬היא מטריצה מסדר ‪ , m  n‬אז המכפלות ‪ AB‬ו ‪ BA‬מוגדרות אם ורק אם‬ ‫‪ B‬היא מסדר ‪ . n  m‬במקרה זה‪ AB ,‬היא מטריצה ריבועית מסדר ‪ m‬ו ‪ BA‬היא מטריצה‬ ‫ריבועית מסדר ‪ . n‬לכן ‪ AB‬ו ‪ BA‬תהיינה מאותו סדר רק אם ‪ , m  n‬כלומר אם ‪ A‬ו ‪B‬‬ ‫שתיהן מטריצות ריבועיות מאותו סדר‪.‬‬ ‫ה‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ . m  n‬המכפלה ‪ AA‬מוגדרת רק אם מספר העמודות של ‪ A‬שווה‬ ‫למשפר השורות של ‪ , A‬כלומר רק אם ‪ , m  n‬ובניסוח אחר – המכפלה ‪ AA‬מוגדרת רק אם ‪A‬‬ ‫היא מטריצה ריבועית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪248‬‬



‫תשובה ‪3.4.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫) ‪( k ,‬‬ ‫‪Em‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ B  bij ‬מטריצה כלשהי מסדר ‪. n  p‬‬ ‫א‪ .‬תהי‬ ‫‪n p‬‬ ‫) ‪( k ,‬‬ ‫נחשב את המכפלה ‪ Emn  Bn  p  Cm p‬לכל ‪. i  k‬‬ ‫השורה ה ‪ i‬של )‪ Em( k,n‬היא שורת אפסים‪ ,‬ולכן על פי מסקנה ‪3.4.4‬א‪ ,‬לכל ‪ i  k‬השורה ה ‪i‬‬



‫של ‪ Cm  p‬היא שורת אפסים‪.‬‬ ‫נחשב כעת את השורה ה ‪ k‬של ‪: Cm  p‬‬



309



‫ מטריצות‬ 3 ‫פרק‬



:‫ כלומר‬, B ‫ של‬j ‫ בעמודה ה‬Em( k,n) ‫ של‬k ‫ בשורה זו הוא מכפלת השורה ה‬ckj ‫איבר‬ 



ckj



b1 j       0  0 1 0  0     bnj     0  b1 j  0  b2 j    1  bj    0  bnj



:‫ולכן‬



ckj  bj



C kr



( k , ) Em  n Bn p



  B  ‫ נסיק ש‬, 1  j  p ‫מאחר שתוצאה זו נכונה לכל‬ r



:‫ובסיכום‬



 0  0       b1  bp   k       0  0



‫ וכל שאר השורות הן שורות‬B ‫ של‬ -‫ "יושבת" השורה ה‬Em( k,n) Bn p ‫ של‬k -‫ בשורה ה‬,‫כלומר‬ .‫אפס‬ Aq  m 



( k , ) Em n



 Dq  n   dij    qn



‫ נחשב את‬A   aij 



qm



‫ עבור‬.‫ב‬



. j   ‫לכל‬ ‫ העמודה‬j   ‫ לכל‬,‫ב‬3.4.4 ‫ ולכן על פי מסקנה‬,‫היא עמודת אפסים‬ ‫ של‬j ‫העמודה ה‬ ( k , ) : A  Em n ‫ של‬ ‫ נחשב כעת את העמודה ה‬.‫ היא עמודת אפסים‬A  Em( k,n) ‫ של‬j ‫ה‬ : 1  i  q ‫לכל‬ ( k , ) Em n



d i   ai1



0     0  aim  1   k   0     0



 0  ai1    1  aik    0  aim



:‫כלומר‬



di  aik



Aq  m 



( k , ) Em n



 0  a1k      0  aqk   



 0    0 



:‫ ובסיכום‬.  D c   Akc ‫ולכן‬



‫‪310‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫כלומר‪ ,‬בעמודה ה‪  -‬של )‪" Aq m  Em( k,n‬יושבת" העמודה ה‪ k -‬של ‪ A‬וכל שאר העמודות הן‬ ‫עמודות אפס‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נסמן‪:‬‬ ‫) ‪( k , ) (  ,k‬‬ ‫‪Em‬‬ ‫‪ n En  m‬‬



‫‪Fm m ‬‬



‫לפי סעיפים א ו ב בשאלה זו‪ ,‬כל השורות של ‪ , Fm m‬פרט אולי לשורה ‪ , k‬הן שורות של אפסים‪,‬‬ ‫וכל העמודות של ‪ , Fm m‬פרט אולי לעמודה ה ‪ , k‬הן עמודות של אפסים‪.‬‬ ‫מכאן נובע כי כל איברי ‪ , Fm m‬פרט אולי לאיבר ה ) ‪ , ( k , k‬הם אפסים‪ .‬נחשב את האיבר‬ ‫ה ) ‪ , ( k , k‬שהוא מכפלת השורה ה ‪ k‬של )‪ Em( k,n‬בעמודה ה ‪ k‬של ) ‪. En( ,mk‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0  0 1 0  0 1   ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪Fkk‬‬



‫‪ 0  0  ...  1  1  ...  0  0  1‬‬ ‫ולכן ‪ Fm m‬היא המטריצה שכל איבריה‪ ,‬פרט לאיבר ה ) ‪ , ( k , k‬הם אפסים‪ ,‬והאיבר ה ) ‪( k , k‬‬



‫שלה הוא ‪ . 1‬בסימונים שבשאלה זו –‬ ‫) ‪( k ,k‬‬ ‫‪Em‬‬ ‫‪m‬‬



‫תשובה ‪3.4.6‬‬ ‫‪1 3‬‬



‫‪Fm m ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪249‬‬ ‫‪1 2‬‬



‫‪.B  ‬‬ ‫א‪ .‬תהיינה ‪ A   3 5‬ו ‪‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קל לראות כי ‪ A‬ו ‪ B‬הינן מטריצות סימטריות‪ ,‬אולם‬ ‫‪1 3  1 2   7 20 ‬‬ ‫‪AB  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 5  2 6  13 36 ‬‬



‫והאיבר ה )‪ (2,1‬של ‪ , AB‬שהוא ‪ , 13‬שונה מ ‪ , 20‬שהוא האיבר ה )‪ (1, 2‬של ‪ . AB‬לכן ‪ AB‬אינה‬ ‫סימטרית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נניח כי ‪ A, B‬סימטריות‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪( AB )t  Bt At  BA‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ A, B‬סימטריות‬



‫‪‬‬



‫)‪(1‬‬



‫טענה ‪3.4.5‬‬



‫אם ‪ AB‬סימטרית אז ‪ , ( AB )t  AB‬ולכן לפי )‪ (1‬נקבל ‪ . AB  BA‬להפך‪ ,‬אם ‪ , AB  BA‬אז לפי‬ ‫)‪ (1‬נקבל ‪ , ( AB )t  AB‬כלומר ‪ AB‬סימטרית‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫תשובה ‪3.5.1‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ m  n‬כאשר ‪ , m  n‬ותהי ‪ X‬מטריצה מסדר ‪. p  q‬‬



‫‪311‬‬



‫השאלה בעמוד ‪253‬‬



‫אם המכפלה ‪ AX‬מוגדרת‪ ,‬אז לפי הגדרת כפל מטריצות ‪ , p  n‬ואז ‪ AX‬היא מטריצה מסדר‬ ‫‪.m  q‬‬ ‫היות שלפי הנתון ‪ AX  A‬ו ‪ A‬היא מסדר ‪ , m  n‬נובע כי ‪ , q  n‬כלומר ‪ X‬היא מטריצה מסדר‬ ‫‪ . n  n‬מכאן שמספר העמודות של ‪ , n , X‬שונה ממספר השורות של ‪ , m , A‬ולכן המכפלה ‪XA‬‬ ‫אינה מוגדרת וממילא אין משמעות לשוויון ‪. XA  A‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪254‬‬ ‫תשובה ‪3.5.2‬‬ ‫‪ In‬הינה מטריצה מסדר ‪ n n‬ולכן המכפלה ‪ AI n‬מוגדרת והיא מטריצה מסדר ‪ . m  n‬נראה שלכל‬ ‫‪ 1  i  m‬ו ‪ , 1  j  n‬האיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ AI n‬שווה לאיבר ה ) ‪ (i , j‬של ‪ . A‬נסמן ‪. A   aij ‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ aik  kj‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪ AI n ij ‬‬



‫‪ ai1   i1  ai 2   2 j    aij   jj    ain   nj‬‬



‫‪ ai1  0  ai 2  0    aij  1    ain  0  aij   Aij‬‬



‫השאלה בעמוד ‪255‬‬ ‫תשובה ‪3.5.3‬‬ ‫ניתן להוכיח את השוויון הדרוש ישירות‪ ,‬כפי שעשינו בהוכחת חלק א של המשפט‪ .‬אולם נציג כאן‬ ‫הוכחה אחרת‪ ,‬קצרה יותר‪ ,‬המסתמכת על חלק א של המשפט לצורך הוכחת חלק ב‪ .‬נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪( C ( A  B ))t  ( A  B )t C t  ( At  B t )C t  At C t  B t C t  (CA)t  (CB )t  (CA  CB )t‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫משפט ‪3.3.7‬‬



‫טענה ‪3.4.5‬‬



‫משפט ‪3.5.5‬א‬



‫‪‬‬



‫משפט ‪3.3.7‬‬



‫‪‬‬



‫טענה ‪3.4.5‬‬



‫כלומר ‪ . ( C ( A  B ))t  ( CA  CB )t‬לפי טענה ‪ 3.2.4‬נסיק כי‪:‬‬ ‫‪C ( A  B )  ( C ( A  B )t )t  (( CA  CB )t ) t  CA  CB‬‬



‫כדרוש‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪258‬‬



‫תשובה ‪3.6.1‬‬ ‫‪1 0 ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 ‬‬



‫‪1 1 ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0‬‬



‫‪ 2 1‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪AB  ‬‬ ‫‪; BA  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 0‬‬ ‫‪ 2 1‬‬



‫‪AB  BA‬‬



1 ‫אלגברה לינארית‬



265 ‫השאלה בעמוד‬



312



3.6.2 ‫תשובה‬



1 1  A  1 0 



1 1  1 1   2 1 A2      1 0  1 0   1 1  2 1  2 1 5 3 A4  A2  A2       1 1  1 1  3 2 



5 3 5 3 34 21 A8  A4  A4       3 2   3 2   21 13  34 21  34 21 1597 987  A16  A8  A8        21 13   21 13   987 610 



1597 987  1597 987   3524578 2178209  A32  A16  A16       987 610   987 610   2178209 1346269 



:‫ולכן‬  a34  1 1   a   1 0   33  



32



1  3524578 2178209  1 5702887  1   2178209 1346269  1   3524578       



. 5, 702,887 ‫ בסדרת פיבונצ'י הוא‬34 ‫ולכן האיבר ה‬ 266 ‫השאלה בעמוד‬



3.6.3 ‫תשובה‬ :‫נסמן‬



0



0



a   1  A     an  



b   1  B     bn  



0



0



.‫א‬



0



a  b  1  1  A B       an  bn  



0



.‫ היא אלכסונית‬A  B ‫וממילא‬ AB – ‫ וממילא‬,  ABij  0 ‫ מתקיים‬i  j ‫ ודאו בעצמם כי מהגדרת הכפל נובע שעבור‬.‫ב‬



.‫אלכסונית‬



:‫ נסיק כי‬.  AB ij   AB ii  ai bi , i  j ‫ קל לוודא שעבור‬.‫ג‬



0



a b   11  AB       a b n n 



0



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪313‬‬



‫קיבלנו כי כפל מטריצות אלכסוניות אינו אלא "כפל איבר איבר"‪ ,‬ובפרט נובע מכך כי מטריצות‬ ‫אלכסוניות מתחלפות בכפל‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪266‬‬



‫תשובה ‪3.6.4‬‬ ‫א‪ .‬נוכיח את הטענה באינדוקציה על ‪. k‬‬ ‫עבור ‪ k  1‬הטענה ברורה מאליה‪.‬‬ ‫נניח כי הטענה נכונה עבור ‪ , k    1‬כלומר כי‪:‬‬



‫‪0‬‬



‫‪ a  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪A 1‬‬



‫‪0‬‬



‫ונוכיח שהטענה נכונה עבור ‪ , k  ‬כלומר כי‪:‬‬



‫‪0‬‬



‫‪a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫ואמנם‪ ,‬על פי הנחת האינדוקציה‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪ a  1‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an  ‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪A 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪A‬‬



‫‪0‬‬



‫ועל פי התשובה לחלק ב בשאלה הקודמת‬



‫‪0 ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an ‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪ a  1  a‬‬ ‫‪ a ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪an 1  an  ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫ב‪ .‬על פי חלק א של השאלה נקבל‪:‬‬ ‫‪0  8 0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0    0 1 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪33  0 0 27 ‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪ 23‬‬ ‫‪ 2 0 0‬‬ ‫‪ 0 1 0    0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0 0 3‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪( 1)3‬‬ ‫‪0‬‬



‫השאלה בעמוד ‪271‬‬



‫תשובה ‪3.7.1‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ c‬ו ‪ d‬הם פתרונות של המערכת הלינארית ‪ , Ax  b‬אז‬



‫‪A( c  d )  A c  Ad  b  b  0‬‬ ‫‪‬‬



‫לפי הנתון‬



‫ולכן ‪ c  d‬הוא פתרון של המערכת ההומוגנית ‪. Ax  0‬‬



‫‪‬‬



‫משפט ‪3.5.5‬‬



‫‪314‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ב‪ .‬נניח כי ‪ c‬ו ‪ d‬הם פתרונות של המערכת ‪ , Ax  b‬ונוכיח כי הם שווים זה לזה‪ .‬לפי חלק א של‬ ‫שאלה זו‪ ,‬היות ש ‪ c‬ו ‪ d‬הם פתרונות של ‪ , Ax  b‬הרי ש ‪ c  d‬הוא פתרון של המערכת‬ ‫ההומוגנית ‪ . Ax  0‬אבל לפי הנתון יש למערכת זו פתרון יחיד והוא הפתרון הטריוויאלי‪ ,‬ולכן‬ ‫‪ c  d  0‬כלומר ‪ . c  d‬לפיכך למערכת ‪ Ax  b‬יש לכל היותר פתרון אחד‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נוכיח ראשית כי כל וקטור עמודה מהטיפוס ‪ , c0  d‬כאשר ‪ d‬הוא פתרון כלשהו של המערכת‬ ‫ההומוגנית ‪ , Ax  0‬הוא פתרון של ‪ . Ax  b‬ואמנם‬ ‫‪A  c 0  d   Ac 0  A d  b  0  b‬‬



‫)שהרי ‪ c0‬הוא פתרון מסוים של ‪.( Ax  b‬‬ ‫נוכיח עתה כי כל פתרון של המערכת ‪ Ax  b‬ניתן לתיאור כסכום של ‪ c0‬ופתרון כלשהו של‬ ‫המערכת ההומוגנית ‪. Ax  0‬‬ ‫יהי ‪ c‬פתרון כלשהו של ‪ , Ax  b‬כלומר ‪ . Ac  b‬מאחר שגם ‪ c0‬הוא פתרון של ‪ , Ax  b‬הרי‬ ‫שלפי חלק א‪ c  c0 ,‬הוא פתרון של ‪. Ax  0‬‬ ‫נסמן ‪ d  c  c0‬ונקבל‪:‬‬



‫‪c  c0  ( c  c0 )  c0  d‬‬



‫תשובה ‪3.7.2‬‬ ‫לפי הנתון ‪ c‬הינו פתרון של המערכת האי הומוגנית ‪ , Ax  b‬כלומר ‪. Ac  b‬‬ ‫יהי ‪ t‬סקלר כלשהו‪.‬‬



‫השאלה בעמוד ‪272‬‬



‫‪A( t c )  t ( Ac )  t b‬‬



‫)*(‬



‫‪‬‬



‫לפי טענה ‪3.5.6‬‬



‫אם ‪ tc‬הוא פתרון של המערכת ההומוגנית ‪ , Ax  0‬אז‪:‬‬



‫‪A( t c )  0‬‬



‫מצד שני‪ ,‬לפי )*(‪:‬‬



‫‪A( t c )  t b‬‬



‫ולכן במקרה זה‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪tb  0‬‬



‫)**(‬



‫אם ‪ , t  0‬נכפול משמאל את שני אגפי השוויון )**( ב‪ -‬ונקבל ‪ b  0‬בסתירה לנתון‪ .‬לכן בהכרח‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ . t  0‬אכן‪ ,‬כאשר ‪ tc  0 , t  0‬הוא פתרון של המערכת ההומוגנית ‪. Ax  0‬קיבלנו ש‪ tc -‬הוא‬ ‫פתרון של המערכת ההומוגנית ‪ Ax  0‬רק אם ‪. t  0‬‬ ‫אם ‪ tc‬הוא פתרון של המערכת האי‪-‬הומוגנית ‪ , Ax  b‬אז ‪ , A(tc)  b‬ולכן לפי )*(‪ ,‬במקרה זה‪:‬‬ ‫‪tb  b‬‬



‫כלומר‬ ‫‪(t  1)b  0‬‬



‫וכמו קודם ינבע מכאן שבהכרח ‪ t  1  0‬כלומר ‪ . t  1‬ונקבל ש‪ tc -‬הוא פתרון של ‪ Ax  b‬רק‬ ‫אם ‪. t  1‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫תשובה ‪3.7.3‬‬ ‫נניח כי ‪ c‬הוא פתרון של המערכת ‪ , Ax  b‬כלומר ‪. Ac  b‬‬ ‫אם ‪ B‬היא מטריצה שעבורה מוגדרת המכפלה ‪ , BA‬אז‬



‫‪315‬‬



‫השאלה בעמוד ‪272‬‬



‫‪( BA)c  B ( Ac)  Bb‬‬ ‫‪‬‬



‫קיבוציות‬



‫ולכן ‪ c‬הוא פתרון של המערכת ‪. BAx  Bb‬‬



‫השאלה בעמוד ‪272‬‬



‫תשובה ‪3.7.4‬‬ ‫מאחר ש ‪ , Ib  b‬הווקטור ‪ b‬הוא פתרון של המערכת ‪. Ix  b‬‬ ‫יהי ‪ c‬פתרון כלשהו של המערכת ‪ , Ix  b‬ונוכיח כי ‪. c  b‬‬ ‫‪ c‬הוא פתרון‪ ,‬ולכן‪:‬‬ ‫מצד שני‪:‬‬



‫‪Ic  b‬‬



‫)*(‬



‫‪Ic  c‬‬



‫)**(‬



‫מ )*( ומ )**( נקבל‪:‬‬



‫‪cb‬‬



‫ולכן ‪ c‬הוא הפתרון היחיד למערכת ‪. Ix  b‬‬ ‫תשובה ‪3.8.1‬‬ ‫נתון ש ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ ,‬כלומר קיימת‬



‫השאלה בעמוד ‪275‬‬ ‫‪ A1‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪AA1  A1 A  I‬‬



‫א‪ .‬נניח כי‪:‬‬



‫‪A' A  I‬‬



‫)‪(1‬‬



‫נכפול את שני אגפי השוויון )‪ (1‬מימין ב ‪ A1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪( A ' A ) A 1  IA 1‬‬



‫היות שכפל מטריצות הוא קיבוצי‪ ,‬נוכל לרשום את )‪ (2‬גם כך‪:‬‬ ‫‪A '( AA 1 )  IA 1‬‬



‫או‬ ‫‪IA1‬‬



‫‪A'I ‬‬



‫ומן הניטרליות של ‪ I‬נקבל כי‪:‬‬ ‫‪A 1‬‬



‫ב‪ .‬נניח כי‪:‬‬



‫‪A' ‬‬



‫‪AA '  I‬‬



‫נכפול את שני אגפי השוויון הקודם משמאל ב ‪ A1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪A1 ( AA)  A1 I‬‬



‫או‬ ‫‪A 1 I‬‬



‫‪‬‬



‫‪( A  1 A ) A‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪316‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫או‬ ‫‪IA  A1 I‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪A 1‬‬



‫תשובה ‪3.8.2‬‬ ‫א‪ A .‬מטריצה הפיכה‪ ,‬ולכן קיימת מטריצה‬



‫‪A ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪276‬‬ ‫‪ A1‬המקיימת‪:‬‬ ‫‪ I‬‬



‫‪A1 A‬‬



‫נכפול את שני אגפי השוויון ‪ AB  O‬משמאל ב ‪: A1‬‬ ‫‪A1 ( AB )  A1O‬‬



‫או‪:‬‬ ‫‪A1O‬‬



‫‪‬‬



‫‪( A1 A) B‬‬



‫כלומר‪:‬‬ ‫‪A1O‬‬



‫נקבל‪:‬‬



‫‪IB ‬‬



‫‪BO‬‬



‫באופן דומה מוכיחים שאם ‪ BA  O‬ו ‪ A‬הפיכה‪ ,‬אז ‪. B  O‬‬ ‫ב‪ .‬נניח בשלילה כי‪:‬‬



‫‪AB  O‬‬



‫מאחר ש ‪ A‬הפיכה‪ ,‬נובע מחלק א שמתקיים‪:‬‬



‫‪BO‬‬



‫אבל ‪ B‬הפיכה ומטריצת האפס בוודאי אינה הפיכה )למשל‪ ,‬משום שיש בה שורה של אפסים(‪,‬‬ ‫והגענו לסתירה‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1‬‬



‫לכל מטריצה ‪ , B‬שהיא מהצורה‬



‫מתקיים‪:‬‬



‫כלומר‪:‬‬



‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    0 0 ‬‬



‫‪ ‬‬ ‫‪B  ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪1 1  ‬‬ ‫‪AB  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1  ‬‬



‫‪AB  O‬‬



‫לפיכך‪ ,‬אם נבחר עבור ‪ ‬ו ‪ ‬ערכים כלשהם‪ ,‬שלא שניהם אפס‪ ,‬נקבל ‪ B  O‬שעבורה‬ ‫‪. AB  O‬‬ ‫שימו לב כי מצאנו כאן זוג מטריצות ‪ A‬ו ‪ B‬שכל אחת מהן שונה מאפס ובכל זאת מכפלתן‬ ‫מתאפסת‪ .‬מצב כזה לא ייתכן במספרים הממשיים‪ :‬שם – אם ‪   0‬ו ‪ ,   0‬אז בהכרח‬ ‫‪.   0‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪317‬‬



‫בסעיף הבא של שאלה זו נוכיח כי המצב ‪ , AB  O‬כאשר גם ‪ A  O‬וגם ‪ , B  O‬ייתכן רק‬ ‫כאשר שתי המטריצות ‪ A‬ו ‪ B‬הן סינגולריות‪ .‬אם אפילו אחת מהן היא הפיכה – אז מכך‬ ‫שהמכפלה מתאפסת נובע שהאחרת שווה לאפס‪ .‬לפיכך מהווה הדוגמה שנתנו הוכחה לכך‬ ‫שהמטריצות‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬



‫‪1 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1‬‬



‫‪ ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ‬‬



‫שתיהן סינגולריות‪.‬‬ ‫ד‪ .‬נתון כי ‪ B  O , A  O‬ו ‪. AB  O‬‬ ‫עלינו להוכיח כי ‪ A‬ו‪ B -‬הן מטריצות סינגולריות‪.‬‬ ‫נניח בשלילה שלא‪ .‬אז לפחות אחת מהן הפיכה‪.‬‬ ‫בלי הגבלת הכלליות נניח כי ‪ A‬הפיכה ) ההוכחה למקרה ש‪ B -‬הפיכה דומה(‪.‬‬ ‫אז מכך ש ‬



‫‪AB  O‬‬



‫ומחלק א של השאלה נקבל‬



‫‪BO‬‬



‫בסתירה לנתון‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪278‬‬ ‫תשובה ‪3.8.3‬‬ ‫נוכיח באינדוקציה על ‪ , k‬כי אם ‪ A1 , A2 ,, Ak‬הן מטריצות הפיכות מאותו סדר‪ ,‬אז המכפלה‬ ‫‪ A1    Ak‬הפיכה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪( A1    Ak )1  Ak1    A11‬‬



‫עבור ‪ k  2‬הטענה נכונה לפי משפט ‪3.8.4‬ג‪ ,‬הקובע‪:‬‬ ‫אם ‪ A1‬ו ‪ A2‬הפיכות אז ‪ A1 A2‬הפיכה ומתקיים‪:‬‬



‫‪( A1 A2 )1  A21 A11‬‬



‫נניח כעת כי המכפלה ‪ A1    Ak 1‬של ‪ k  1‬מטריצות הפיכות היא הפיכה וכי‬ ‫‪( A1    Ak 1 )1  Ak11    A11‬‬



‫ונוכיח כי גם המכפלה ‪ A1    Ak‬של ‪ k‬מטריצות הפיכות היא הפיכה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪( A1    Ak )1  Ak1    A11‬‬



‫תהיינה אם כן ‪ A1 , A2 ,, Ak‬מטריצות הפיכות מאותו סדר‪ .‬אם נסמן‬



‫‪B  A1    Ak 1‬‬



‫)*(‬



‫‪B 1‬‬



‫)**(‬



‫אז לפי הנחת האינדוקציה ‪ B‬הפיכה ומתקיים‬ ‫‪A11‬‬



‫‪‬‬



‫‪Ak11‬‬



‫‪‬‬



‫ולכן – לפי משפט ‪3.8.4‬ג – מאחר ש ‪ Ak‬הפיכה‪ ,‬גם ‪ BAk‬הפיכה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪( BAk ) 1  Ak1 B 1‬‬



‫)**(‬



‫‪318‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נציב בשוויון האחרון את הערכים של ‪ B‬ו ‪) B 1‬מ )*( ו )**(( ונקבל‪:‬‬ ‫‪( A1    Ak 1  Ak )1  Ak1  Ak11    A11‬‬



‫כפי שרצינו להוכיח‪) .‬ויתרנו על הסוגריים בגלל קיבוציות הכפל‪(.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪278‬‬ ‫תשובה ‪3.8.4‬‬ ‫בתשובה הקודמת הוכחנו כי לכל ‪ A1 ,, Ak‬הפיכות‪ A1    Ak ,‬הפיכה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪( A1    Ak )1  Ak1    A11‬‬



‫נציב במסקנה זו‬



‫‪A1  A2  ...  Ak  A‬‬



‫ונקבל‪:‬‬ ‫‪( A k ) 1  ( A 1 ) k‬‬



‫השאלה בעמוד ‪278‬‬ ‫תשובה ‪3.8.5‬‬ ‫א‪ .‬אם אחד מאיברי האלכסון הוא אפס‪ ,‬אז השורה המתאימה היא שורת אפסים‪ ,‬וממילא המטריצה‬ ‫אינה הפיכה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כבר ראינו כי מכפלת מטריצות אלכסוניות היא מטריצה אלכסונית‪ ,‬שאיברי האלכסון שלה הם‬ ‫מכפלות איברי האלכסונים של שני הגורמים )ובפרט‪ ,‬מטריצות אלכסוניות מתחלפות בכפל(‪.‬‬ ‫לכן‪:‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪a‬‬ ‫‪ 1/a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1/an ‬‬ ‫‪an  ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1/a‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1/an  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an  ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫שימו לב‪ ,‬לכל ‪ 1 , i‬מוגדר‪ ,‬שכן לכל ‪. ai  0 , i‬‬ ‫‪ai‬‬



‫תשובה ‪3.8.6‬‬ ‫‪y‬‬ ‫אנו תרים אחר מטריצה‬ ‫‪w ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪279‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ‬המקיימת‪:‬‬ ‫‪z‬‬



‫‪y  1 2 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪w   3 1   0 1 ‬‬



‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬



‫כלומר‪:‬‬ ‫‪ x  3y 2x  y  1 0‬‬ ‫‪ z  3w 2 z  w    0 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪319‬‬



‫על ידי השוואת רכיבי המטריצות שבשני האגפים‪ ,‬נקבל מערכת של ארבע משוואות בארבעה נעלמים‪:‬‬ ‫‪ . x, y , z , w‬למערכת זו פתרון יחיד )ודאו!(‪:‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬



‫‪ . x  , y   , z  , w ‬ודאו ישירות כי‬



‫‪ 1/7 2/7 ‬‬ ‫המטריצה‬ ‫‪1/7 ‬‬



‫‪ ‬אכן הופכית ל ‪. A‬‬ ‫‪ 3/7‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪281‬‬



‫תשובה ‪3.9.1‬‬ ‫נרשום‬ ‫‪a14 ‬‬ ‫‪a24 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a34 ‬‬ ‫‪a44 ‬‬



‫‪a12‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪a32‬‬ ‫‪a42‬‬



‫‪a13‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪a33‬‬ ‫‪a43‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A   21‬‬ ‫‪ a31‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 41‬‬



‫ו ‪ ‬היא הפעולה של הוספת ‪ 3‬פעמים השורה השנייה לשורה הרביעית‪:‬‬ ‫‪a14‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a24‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a34‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3a24  a44 ‬‬



‫‪a13‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪a33‬‬ ‫‪3a23  a43‬‬



‫‪a11‬‬ ‫‪a12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪ ( A)  ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a32‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪3a  a‬‬ ‫‪41 3a22  a42‬‬ ‫‪ 21‬‬



‫כמו כן –‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(I )  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫עתה‪:‬‬ ‫‪a14 ‬‬ ‫‪a24 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a34 ‬‬ ‫‪a44 ‬‬



‫‪a12‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪a32‬‬ ‫‪a42‬‬



‫‪a13‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪a33‬‬ ‫‪a43‬‬



‫‪A‬‬ ‫‪a14‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a24‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a34‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3a24  a44 ‬‬



‫ואכן‪:‬‬



‫תשובה ‪3.9.2‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪ a31‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 41‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(I )A  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫) ‪(I‬‬



‫‪a11‬‬ ‫‪a12‬‬ ‫‪a13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3a  a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪23  a43‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫)‪ ( A‬‬



‫)‪ ( I ) A   ( A‬‬



‫השאלה בעמוד ‪283‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪A   4 5 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7 8 9 ‬‬



1 ‫אלגברה לינארית‬



320 .‫א‬



1 1 : R2  R2 2



:‫לכן‬ 1



2



3



 7



8



 9 



1 ( A)   2 2.5 3 0 0 1  1 ( I )  0 0.5 0    0 1 0 1



0 0  1 2 3 



1



2 3



 0



  0 1 7 8 9 



 7



 8 9 



1 ( I ) A  0 0.5 0   4 5 6    2 2.5 3



1 ( A)  1 ( I ) A



:‫אכן‬



.‫ב‬



2 : R2  R3



:‫לכן‬ 1 2 3  2 ( A)   7 8 9     4 5 6  1 0 0 



2 ( I )  0 0 1     0 1 0 



1 0 0   1 2 3   1 2 3  2 ( I ) A   0 0 1   4 5 6   7 8 9       0 1 0  7 8 9   4 5 6 



2 ( A)  2 ( I )  A



,‫אכן‬ .‫גם במקרה זה‬ .‫ג‬



3 : R3  R3  2 R2



:‫לכן‬  1



2 3 5 6   15 18 21



3 ( A)   4



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪321‬‬



‫‪1 0 0 ‬‬ ‫‪3 ( I )  0 1 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 2 1 ‬‬ ‫‪ 1 0 0   1 2 3   1 2 3‬‬ ‫‪3 ( I )  A  0 1 0   4 5 6    4 5 6 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 2 1  7 8 9  15 18 21‬‬



‫ושוב –‬



‫‪3 ( A)  3 ( I ) A‬‬



‫השאלה בעמוד ‪284‬‬



‫תשובה ‪3.9.3‬‬ ‫נוכיח את הטענה באינדוקציה על מספר הפעולות ‪. k‬‬ ‫עבור ‪ k  1‬תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ותהי ‪ A‬מטריצה שהתקבלה מ ‪ A‬על ידי פעולה אלמנטרית‬ ‫אחת‪ . 1 ,‬אז לפי הטענה הקודמת‪:‬‬ ‫‪A  1 ( A)  1 ( I ) A‬‬



‫נניח כי אם ‪ A‬מתקבלת מ ‪ A‬על ידי סדרה של ‪ k  1‬פעולות אלמנטריות ‪ , 1 ,, k 1‬אז‪:‬‬ ‫‪A  k 1 ( I ) 1 ( I ) A‬‬



‫תהי כעת ‪ A‬מטריצה שהתקבלה מ ‪ A‬על ידי סדרה של ‪ k‬פעולות אלמנטריות ‪. 1 ,,k 1 ,k‬‬ ‫נסמן ב ‪ A‬את המטריצה שהתקבלה מ ‪ A‬על ידי ביצוע סדרת הפעולות ‪ . 1 , 2 ,, k 1‬אז לפי‬ ‫הנחת האינדוקציה‪:‬‬ ‫‪A  k 1 ( I ) 1 ( I )  A‬‬



‫‪ A‬מתקבלת מ ‪ A‬על ידי פעולה אלמנטרית אחת‪ ,‬ולכן לפי הטענה הקודמת‪:‬‬ ‫‪A  k ( I ) A  k ( I )k 1 ( I ) 1 ( I ) A‬‬ ‫‪‬‬



‫לפי הנחת האינדוקציה‬



‫תשובה ‪3.9.4‬‬



‫השאלה בעמוד ‪284‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪A   4 5 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 1 0‬‬



‫יהי ‪ t‬סקלר שונה מאפס‪ ,‬ותהי ‪ ‬הפעולה האלמנטרית‪:‬‬ ‫‪ : R2  tR2‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪ ( A)   4t 5t 6t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 1 0‬‬



‫‪322‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪3  1 2 3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ( A)   4t /t 5t /t 6t /t   4 5 6  A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0   2 1 0 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4/t 5/t 6/t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪1 2 3‬‬



‫‪3 ‬‬



‫‪2‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 1 0 ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫‪ 1‬‬



‫) ‪ 1 ( A‬‬



‫‪  1 ( A)    4/t  t 5/t  t 6/t  t    4 5 6  A‬‬



‫השאלה בעמוד ‪289‬‬ ‫תשובה ‪3.9.5‬‬ ‫א‪ .‬היות ש ‪ I‬מטריצה הפיכה‪ ,‬והיות שלכל מטריצה ‪ , IA  A , A‬נובע ממסקנה ‪ 3.9.9‬כי ‪A‬‬ ‫שקולת שורה לעצמה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נניח כי ‪ A‬שקולת שורה ל ‪ . B‬לפי מסקנה ‪ ,3.9.9‬קיימת מטריצה הפיכה ‪ C‬המקיימת‪:‬‬ ‫‪A  CB‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪ C‬הפיכה‪ ,‬לכן קיימת המטריצה ‪ . C 1‬נכפול את השוויון )‪ (1‬משמאל ב ‪ C 1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪C 1 A  C 1 (CB )  (C 1C ) B  IB  B‬‬



‫ולכן‪ ,‬היות ש ‪ C 1‬אף היא הפיכה‪ ,‬נובע ממסקנה ‪ 3.9.9‬כי ‪ B‬שקולת שורה ל ‪. A‬‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ A‬שקולת שורה ל ‪ B‬ו ‪ B‬שקולת שורה ל ‪ , C‬אז קיימות מטריצות הפיכות‬ ‫)מהסדרים המתאימים( המקיימות‬



‫‪D, E‬‬



‫‪A  DB , B  EC‬‬



‫ולכן‪:‬‬



‫‪A  DB  D ( EC )  ( DE )C‬‬



‫‪ D‬ו ‪ E‬הפיכות‪ ,‬לכן גם המכפלה ‪ DE‬הפיכה‪ ,‬ולכן לפי מסקנה ‪ A ,3.9.9‬שקולת שורה ל ‪. C‬‬ ‫תשובה ‪3.9.6‬‬ ‫לכל ‪ 1  k  n‬המטריצה האלכסונית‬



‫השאלה בעמוד ‪289‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שורה ‪  k‬‬ ‫‪k ( I )  ‬‬ ‫‪ak‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫עמודה ‪k‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪323‬‬



‫היא מטריצה אלמנטרית‪ ,‬שכן היא מתקבלת ממטריצת היחידה‪ , I ,‬על ידי כפל השורה ה ‪ k‬שלה‬ ‫בסקלר ‪ , ak‬שאינו אפס‪.‬‬ ‫כבר הראינו שכפל מטריצות אלכסוניות אינו אלא "כפל איבר איבר"‪ ,‬ולכן המכפלה‬ ‫) ‪1 ( I )  ...  n ( I‬‬



‫)*(‬



‫שהיא‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪ a1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫אינה אלא‬ ‫‪ a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫וקיבלנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬הצגה של ‪ A‬כמכפלה של מטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪289‬‬



‫תשובה ‪3.9.7‬‬ ‫נתון כי ‪ A‬שקולת שורות ל ‪ , B‬לכן קיימת מטריצה הפיכה ‪ C‬המקיימת‪:‬‬



‫‪A  CB‬‬



‫)*(‬



‫א‪ .‬אם ‪ B‬הפיכה‪ ,‬אז ‪ , A‬כמכפלה של מטריצות הפיכות‪ ,‬גם היא הפיכה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ A‬הפיכה‪ .‬מאחר שגם ‪ C‬הפיכה‪ ,‬נוכל לכפול את )*( ב ‪ , C 1‬ולקבל‪:‬‬ ‫‪C 1 A  B‬‬



‫אבל גם ‪ C 1‬הפיכה‪ ,‬ולכן ‪ B‬הפיכה כמכפלה של מטריצות הפיכות‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪291‬‬



‫תשובה ‪3.9.8‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪ 3 1 1 0 R1  3 R1  1 1/3 1/3 0‬‬ ‫‪ A I    2 4 0 1   2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪1/3‬‬ ‫‪1/3 0 R2  14 R2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪14/3 2/3 1 ‬‬ ‫‪6/21 1/14 ‬‬ ‫‪1/7 3/14 ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪R2  R2  2 R1‬‬



‫‪1/3‬‬ ‫‪0  R1  R1  3 R2 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1/7 3/14 ‬‬ ‫‪0 1‬‬



‫‪1 1/3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪  I A1 ‬‬



1 ‫אלגברה לינארית‬



324



:‫ הפיכה ומתקיים‬A ‫לכן‬ A 1



 6/21 1/14     1/7 3/14 



.‫ב‬ 2 1 3  B I    1 3 1   4 7 5



1 0 0 R2  R1  0 1 0    0 0 1



1 3 1 2 1 3   4 7 5



0 1 0  R2  R2  2 R1 R3  R3  4 R1 1 0 0     0 0 1



1 3 1  0 5 1   0 5 1



0 1 0 R3  R3  R2  1 2 0    0 4 1



1 3 1  0 5 1  0 0  0



0 1 0 1 2 0  1 2 1



.‫ אינה הפיכה‬B ‫ ולכן‬,‫ובמטריצה השמאלית קיבלנו כבר בשלב זה שורת אפסים‬ .‫ג‬ 1 2 C I    1 2 



2 3 0 1



3 4 0 2



4 5 1 3



1 2 3 4  0 1 2 3   0 2 3 3  0 3 4 5 



1 0 0 0



0 1 0 0



1 2 1 2



0 0 1 0 0 1 0 0



0 0    0 1 R2  R2  2 R1 R3  R3  R1 R4  R4  2 R1



0 0 1 0



0  R2  R2 R3 1/ 2 R3 0  R4 1/ 3 R4   0 1



1 0  0 0 



2 3 4 1 0 0 0 R1  R1  2 R2 R3  R3  R2 1 2 3 2 1 0 0 R4  R4  R2  1 3/2 3/2 1/2 0 1/2 0 1 4/3 5/3 2/3 0 0 1/3



1 0  0 0 



0 1 2 1 2 3 0 1/2 3/2 0 2/3 4/3



0 0 3 2 R3 2 R3 2 1 0 0  R4 3/ 2 R4   3/2 1 1/2 0 0 1/3 4/3 1



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪0‬‬ ‫‪0 R1  R1  R3‬‬ ‫‪R2  R2  2 R3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 R4  R4  R3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 1/2 ‬‬



‫‪0 1  2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪0  R4  R4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 1/2 1 1/2 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪0 1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0  R1  R1  R4‬‬ ‫‪R2  R2  3 R4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪0  R3  R3  3 R4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 1/2‬‬ ‫‪1 1/2 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3/2‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1/2 ‬‬ ‫‪1 1/2‬‬ ‫‪1 3/2 ‬‬ ‫‪1 3/2‬‬ ‫‪0 1/2 2‬‬ ‫‪3/2 ‬‬ ‫‪1 1/2‬‬ ‫‪1 1/2 ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪325‬‬



‫לכן ‪ C‬הפיכה ו ‬ ‫‪0 1/2 ‬‬ ‫‪ 1 1/2‬‬ ‫‪ 1 3/2‬‬ ‫‪1 3/2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C 1  ‬‬ ‫‪3/2 ‬‬ ‫‪ 0 1/2 2‬‬ ‫‪ 1 1/2‬‬ ‫‪1 1/2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫בדקו בעצמכם כי‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪CC 1  C 1C  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫השאלה בעמוד ‪294‬‬ ‫תשובה ‪3.10.1‬‬ ‫א‪ .‬לפי טענה ‪ A ,3.10.3‬הפיכה אם ורק אם עמודותיה ) ‪ n‬במספר( הן בלתי תלויות לינארית‬ ‫כווקטורים ב ‪ . F n‬אך ‪ n‬וקטורים ב ‪ F n‬הם בלתי תלויים לינארית אם ורק אם הם פורשים‬ ‫את ‪ , F n‬ולכן ‪ A‬הפיכה אם ורק אם עמודותיה פורשות את ‪. F n‬‬ ‫ב‪ .‬לפי טענה ‪ A ,3.10.4‬הפיכה אם ורק אם שורותיה ) ‪ n‬במספר( הן בלתי תלויות לינארית‬ ‫כווקטורים ב ‪ . F n‬אולם ‪ n‬וקטורים ב ‪ F n‬הם בלתי תלויים לינארית אם ורק אם הם פורשים‬ ‫את ‪ , F n‬ולכן ‪ A‬הפיכה אם ורק אם שורותיה פורשות את ‪. F n‬‬ ‫תשובה ‪3.10.2‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ A‬ו ‪ B‬הפיכות‪ ,‬כבר הוכחנו כי ‪ AB‬הפיכה )ראו משפט ‪.(3.8.4‬‬ ‫ב‪ .‬נניח כי ‪ AB‬הפיכה ונוכיח כי ‪ A‬ו ‪ B‬הפיכות‪.‬‬



‫השאלה בעמוד ‪294‬‬



‫‪326‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נוכיח תחילה כי ‪ B‬הפיכה‪:‬‬ ‫אם לא‪ ,‬אז למשוואה ‪ Bx  0‬יש פתרון לא טריוויאלי‪ .‬כלומר‪ ,‬קיים וקטור ‪ c  0‬כך‬ ‫ש ‪ . Bc  0‬ומכאן נובע‪ ,‬על ידי כפל משמאל במטריצה ‪ , A‬שקיים ‪ c  0‬בך ש ‪ . ABc  0‬לכן‬ ‫גם למערכת ‪ ABx  0‬יש פתרון לא טריוויאלי‪ ,‬בסתירה להפיכ ּות של ‪. AB‬‬ ‫הוכחנו אם כן ש‪ B -‬הפיכה‪ .‬נותר להראות שגם ‪ A‬הפיכה‪.‬‬ ‫מכך ש ‪ B‬הפיכה‪ ,‬נובע שקיימת ‪ B 1‬וגם היא הפיכה‪.‬‬ ‫‪A  ( AB ) B 1‬‬ ‫נרשום‪:‬‬ ‫לכן ‪ A‬היא מכפלה של מטריצות הפיכות‪ ,‬ומכאן שגם היא הפיכה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪295‬‬



‫תשובה ‪3.10.3‬‬ ‫א‪ .‬נניח כי ‪. AB  BA‬‬



‫) ‪( A  B ) 2  ( A  B )( A  B )  A ( A  B )  B ( A  B‬‬



‫‪ A2  AB  BA  B 2‬‬ ‫‪ A2  AB  AB  B 2  A2  2 AB  B 2‬‬



‫נניח כעת כי‪:‬‬ ‫‪(A ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪( A  B ) 2  A2  AB  BA  B 2‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪B2‬‬



‫‪ 2 AB ‬‬



‫‪A2‬‬



‫‪‬‬



‫‪B )2‬‬



‫כפי שראינו‪ ,‬מתקיים גם‬ ‫ולכן מתקיים ‪ . A2  AB  BA  B 2  A2  2 AB  B 2‬נחסיר ‪ A2  B 2‬משני האגפים ונקבל‪:‬‬ ‫) ‪AB  BA  2 AB (  AB  AB‬‬



‫כעת נחסיר ‪ AB‬משני האגפים ונקבל ‪. AB  BA‬‬ ‫ב‪ .‬נבחר‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬



‫‪1 1 ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 ‬‬



‫בדקו ומצאו כי ‪ , AB  BA‬ולכן על פי חלק א של השאלה‪:‬‬ ‫‪( A  B ) 2  A2  2 AB  B 2‬‬



‫ואמנם‪ ,‬בחישוב ישיר מקבלים‬ ‫‪6 6 ‬‬ ‫‪( A  B )2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 3‬‬



‫ואילו‪:‬‬ ‫‪5 7 ‬‬ ‫‪A2  2 AB  B 2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 4 ‬‬



‫ג‪ .1 .‬ננסה "להפוך" את ‪: A‬‬ ‫‪1 0 0  R2  R2  R1‬‬ ‫‪R3  R3  2 R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 0  ‬‬ ‫‪0 0 1‬‬



‫‪1 1 2‬‬ ‫‪ A I    1 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 2 2‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪2 1 0 ‬‬ ‫‪1 1 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 0 1‬‬



‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪R1  R1  R2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 0  0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 0 1‬‬ ‫‪ 0 0 2‬‬



‫‪2 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪R1  R1  2 R3‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 1/2 ‬‬



‫‪327‬‬



‫‪1 1 2‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 2‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R3  R3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪0 2‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1‬‬



‫‪0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 1/2 ‬‬



‫‪1 0 0‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 1‬‬



‫לכן ‪ A‬הפיכה ו ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0 1‬‬ ‫‪A1   1 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 0 1/2 ‬‬



‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬



‫השורות השנייה והשלישית של ‪ B‬שוות זו לזו‪ ,‬ולכן השורות של ‪ B‬תלויות לינארית‬ ‫כווקטורים ולכן ‪ B‬סינגולרית‪.‬‬ ‫היות ש ‪ A‬רגולרית ו ‪ B‬סינגולרית‪ ,‬נובע משאלה ‪ 3.10.2‬כי ‪ AB‬סינגולרית‪.‬‬ ‫‪ A‬רגולרית ולכן ‪ A2‬רגולרית‪ ,‬כמכפלה של )שתי( מטריצות רגולריות‪.‬‬ ‫‪ B‬סינגולרית‪ ,‬ולכן לפי שאלה ‪ B 2 ,3.10.2‬סינגולרית‪.‬‬



‫השאלה בעמוד ‪295‬‬ ‫תשובה ‪3.10.4‬‬ ‫א‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ , n‬שהשורה ה ‪ n‬ית שלה היא שורת אפסים‪:‬‬ ‫‪a1n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2 n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an 1,n ‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪a1,n 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪a12‬‬



‫‪a2,n 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪a22‬‬



‫‪an 1,2  an 1,n 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a21‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an 1,1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬



‫נסמן‪:‬‬ ‫‪a12  a1,n 1 ‬‬ ‫‪ a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a22  a2,n 1 ‬‬ ‫‪1 B   21‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an 1,1   an 1,n 1 ‬‬



‫בעזרת סימון זה נוכל לרשום את ‪ A‬כך‪:‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪ B‬מטריצה מסדר )‪. ( n  1)  ( n  1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪328‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נחשב את ‪ . A2‬אם ‪ 1  i  n  1‬ו ‪ , 1  j  n  1‬האיבר ) ‪ (i , j‬של ‪ A2‬שווה ל ‬ ‫‪ a1 j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a2 j ‬‬ ‫‪ A2    ai1  ai ,n 1 *   ‬‬ ‫‪  ij ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an 1, j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 ‬‬



‫‪ ai1a1 j    ai ,n 1an 1, j  0   B 2 ‬‬ ‫‪ij‬‬



‫לכן איברי ‪ A2‬המופיעים ב )‪ ( n  1‬השורות הראשונות וב )‪ ( n  1‬העמודות הראשונות שווים‬ ‫בהתאמה לאיברי ‪. B 2‬‬ ‫השורה ה ‪ n‬ית של ‪ A2‬היא שורת אפסים‪ ,‬שכן השורה ה ‪ n‬ית של ‪ A‬היא שורת אפסים‪ 2.‬לכן‬ ‫המטריצה ‪ A2‬היא בעלת המבנה הבא‪:‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪0 0 ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B2‬‬ ‫‪A2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬



‫נניח עתה שעבור ‪ k‬מסוים המטריצה ‪ Ak‬היא מהצורה‪:‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪0 0 ‬‬



‫נחשב את ‪. Ak A  Ak 1‬‬ ‫אם ‪ , 1  j  n  1 , 1  i  n  1‬האיבר ה ) ‪ ( i , j‬של‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Bk‬‬ ‫‪3 Ak  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ Ak 1‬הוא‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪  Ak ip a pj‬‬



‫‪p 1‬‬



‫‪ Ak 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ij‬‬



‫‪0‬‬



‫||‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪k a‬‬ ‫‪k a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪  ip pj  in nj‬‬ ‫‪n 1‬‬



‫‪p 1‬‬



‫‪  B k 1 ‬‬ ‫‪ij‬‬



‫‪n 1‬‬



‫‪  Bk ip  B pj‬‬



‫‪5‬‬



‫‪p 1‬‬



‫השורה ה ‪ n‬ית של ‪ Ak 1‬היא שורת אפסים‪ ,‬שכן השורה ה ‪ n‬ית של ‪ Ak‬היא שורת אפסים‬ ‫)על פי ההנחה(‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ A‬היא מן הצורה‬ ‫לכן המטריצה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬



‫ראו מסקנה ‪.3.4.4‬‬ ‫כלומר ‪  Ak ij   B k ij‬עבור ‪. 1  i , j  n  1‬‬ ‫שכן על פי הנתון‪ ,‬השורה ה ‪ n‬ית היא שורת אפסים‪ .‬לכן ‪. anj  0‬‬ ‫על פי הנחת האינדוקציה )וראו הערה לעיל(‪.‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪0 0 ‬‬



‫‪329‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B k 1‬‬ ‫‪Ak 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬



‫כפי שרצינו להוכיח‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתבונן במטריצה ריבועית מסדר ‪ 2‬בעלת המבנה הנדון‪:‬‬ ‫‪0 a12 ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 ‬‬



‫אז‬ ‫‪ 0 a12   0 a12   0 0‬‬ ‫‪A2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0  0 0  0 0‬‬



‫כנדרש‪.‬‬ ‫נניח שעבור ‪ n  k‬הטענה נכונה‪ .‬כלומר‪ ,‬נניח שכל מטריצה ‪ A‬מסדר ‪ k‬שעבורה‬ ‫) ‪(i  j‬‬



‫‪aij  0‬‬



‫מקיימת‪:‬‬ ‫‪ Ok k‬‬



‫‪Ak‬‬



‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ k  1‬בעלת המבנה הנדון‪ .‬אז המטריצה ‪ , B‬שאיבריה הם‬ ‫איברי ‪ A‬הנמצאים ב ‪ k‬השורות הראשונות וב ‪ k‬העמודות הראשונות של ‪ , A‬היא מטריצה‬ ‫ריבועית מסדר ‪ k‬ומן הצורה הנדונה‪.‬‬ ‫לכן על פי הנחת האינדוקציה‪:‬‬ ‫‪ Ok k‬‬



‫‪Bk‬‬



‫את המטריצה ‪ A‬נוכל לרשום כך‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪0‬‬



‫על פי חלק א מתקיים‪:‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪0 0 ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Bk‬‬ ‫‪Ak  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬



‫ועל פי )‪:(1‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫נחשב את ‪. Ak 1‬‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Ak   ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪330‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השורה ה )‪ ( k  1‬של ‪ Ak 1‬היא שורת האפס‪ ,‬שכן השורה ה )‪ ( k  1‬של ‪ Ak‬היא שורת האפס‪.‬‬ ‫נמצא את ‪  Ak 1 ‬כאשר ‪: 1  i  k‬‬ ‫‪ij‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪  Ak ip a pj‬‬



‫‪p 1‬‬



‫‪ Ak 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪k‬‬



‫‪  Ak ip a pj   Ak i,k 1 ak 1, j‬‬



‫‪6‬‬



‫‪p 1‬‬



‫||‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬



‫‪k‬‬



‫‪ [ B|| k ]ip a pj‬‬



‫‪7‬‬



‫‪p 1 0‬‬



‫כל איברי המטריצה ‪ Ak 1‬הם אפסים‪ ,‬כלומר‬ ‫)‪Ak 1  O( k 1)( k 1‬‬



‫ובזה נסתיימה ההוכחה באינדוקציה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪296‬‬ ‫תשובה ‪3.10.5‬‬ ‫ההעתקות הנתונות בסעיפים א וב הן לינאריות – בודקים זאת ישירות על פי ההגדרה‪ ,‬כמו בדוגמה א‬ ‫הקודמת לשאלה‪ .‬ההעתקה המופיעה בסעיף ג איננה לינארית‪ ,‬למשל משום ש ‬ ‫))‪T ((2, 0))  (4, 0)  (2, 0)  2(1, 0)  2T ((1, 0‬‬



‫ההעתקה המופיעה בסעיף ד איננה לינארית‪ ,‬למשל משום ש ‬ ‫)‪T ((1,1)  (1, 0))  T (2,1)  (2,1‬‬



‫ואילו‪:‬‬



‫)‪T ((1,1))  T ((1, 0))  (1,1)  (0, 0)  (1,1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪297‬‬ ‫תשובה ‪3.10.6‬‬ ‫נניח תחילה כי ‪ T‬מקיימת את התנאי הנתון בשאלה‪ .‬אם נציב בתנאי זה את המקרה הפרטי שבו‬ ‫‪ , s  t  1‬נקבל כי ‪ T‬מקיימת את תנאי א של הגדרה ‪ ,3.10.7‬ואם נציב בתנאי את המקרה הפרטי‬ ‫שבו ‪ , t  0‬נקבל כי ‪ T‬מקיימת את תנאי ב של הגדרה ‪.3.10.7‬‬ ‫בכיוון ההפוך‪ ,‬נניח כי ‪ T‬לינארית ונוכיח כי היא מקיימת את התנאי הנתון בשאלה‪ .‬אכן‪:‬‬ ‫)‪T ( sv  tw)  T ( sv )  T (tw)  sT ( v )  tT ( w‬‬



‫)השוויון הראשון על פי תנאי א בהגדרה ‪ ,3.10.7‬השוויון השני על פי תנאי ב שם(‪.‬‬



‫‪ , ak 1, j  0 6‬שכן השורה ה ‪ k  1‬של ‪ A‬היא שורת אפסים‪.‬‬ ‫‪ 7‬על פי ההנחה ‪. B k  0‬‬



‫פרק ‪  3‬מטריצות‬



‫‪331‬‬



‫השאלה בעמוד ‪297‬‬ ‫תשובה ‪3.10.7‬‬ ‫נראה כי ‪ T‬מקיימת את התנאי המופיע בשאלה ‪ .3.10.6‬אכן‪ ,‬מתכונות כפל מטריצה בווקטור‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫)‪T ( sv  tw)  A( sv  tw)  A( sv )  A(tw)  sAv  tAw  sT ( v )  tT ( w‬‬



‫‪332‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פרק ‪ | 4‬דטרמיננטות‬



‫‪334‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪335‬‬



‫‪ 4.1‬הגדרת הדטרמיננטה‬ ‫בפרק זה נעסוק באחד מהמושגים החשובים והשימושיים בתורת המטריצות – הדטרמיננטה‪.‬‬ ‫הדטרמיננטה היא פונקציה המקבלת כקלט מטריצה ריבועית ‪ A‬מעל שדה מסוים‪ ,‬ומחזירה כפלט‬ ‫סקלר בודד באותו שדה‪ ,‬שאותו נסמן ב ‪ . A‬כלומר‪ ,‬אם ‪ F‬שדה כלשהו‪ ,‬אז הדטרמיננטה היא‬ ‫פונקציה מ ) ‪ M n ( F‬ל ‪ . F‬בתחילת הפרק נעסוק בהגדרתה של פונקציה זו‪ .‬רק לאחר שנלמד כיצד‬ ‫לחשב את הפונקציה באופן טכני‪ ,‬נעבור לדון בשימושיה ובמשמעותה‪.‬‬ ‫נגדיר את הדטרמיננטה באופן רקורסיבי‪ .‬דוגמה להגדרה רקורסיבית פגשתם בפרק הקודם‪ ,‬שם‬ ‫הוגדרה סדרת פיבונצ'י כך‪:‬‬ ‫‪a1  1, a2  1‬‬



‫ולכל ‪, n  3‬‬



‫‪an  an 1  an  2‬‬



‫הגדרה זו אינה מספקת נוסחה ישירה לחישוב ערכו של ‪ an‬על פי ‪ , n‬אלא מתכון המאפשר לחשבו על‬ ‫סמך הערכים הקודמים בסדרה; זהו אופיין של הגדרות רקורסיביות‪ .‬באופן דומה‪ ,‬הגדרת‬ ‫הדטרמיננטה תהיה רקורסיבית על פי סדר המטריצה‪ :‬תחילה נגדיר את הדטרמיננטה עבור מטריצות‬ ‫מסדר ‪ 1  1‬ו ‪ , 2  2‬ולאחר מכן נלמד כיצד לחשב דטרמיננטות של מטריצות כלליות מסדר ‪n  n‬‬ ‫באמצעות דטרמיננטות של מטריצות מסדרים נמוכים יותר‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.1.1‬דטרמיננטה של מטריצה מסדר ‪1  1‬‬ ‫אם ‪ , A  a ‬אז הדטרמיננטה של ‪ A‬מוגדרת עלידי‪:‬‬



‫‪A a‬‬



‫כלומר‪ ,‬הדטרמיננטה של מטריצה הכוללת סקלר בודד הוא הסקלר עצמו‪.‬‬



‫הגדרה ‪4.1.2‬‬ ‫‪a ‬‬



‫דטרמיננטה של מטריצה מסדר ‪2  2‬‬



‫‪a‬‬



‫אם ‪ , A   11 12 ‬אז הדטרמיננטה של ‪ A‬מוגדרת עלידי‪:‬‬ ‫‪a21 a22 ‬‬ ‫‪A  a11a22  a12 a21‬‬



‫דוגמה‬ ‫‪ 3 6‬‬



‫‪ 3 6‬‬



‫‪.A  ‬‬ ‫אם ‪ , A   2 5‬אז ‪  3  5  6  2  15  12  3‬‬ ‫‪ 2 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪336‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫סימון‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אם ‪ , A   11 12 ‬נסמן את הדטרמיננטה ‪  11 12 ‬בקיצור עלידי השמטת הסוגריים‬ ‫‪ a21 a22 ‬‬ ‫‪a21 a22 ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מסביב למטריצה‪ ,‬כך‪ . 11 12 :‬גם כאשר נגדיר בהמשך דטרמיננטות כלליות של מטריצות‬ ‫‪a21 a22‬‬



‫ריבועיות מסדרים גבוהים‪ ,‬נסמן את הדטרמיננטה בקיצור עלידי‬



‫‪a11  a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1  ann‬‬



‫במקום‬



‫‪ a11  a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1  ann ‬‬



‫‪.  ‬‬



‫רק עבור מטריצות מסדר ‪ 1  1‬מומלץ לא לקצר ולהשתמש בסימון המלא ‪ , a ‬שכן כאשר הסקלר‬ ‫‪ a‬לקוח משדה המספרים הממשיים‪ ,‬הסימון המקוצר עשוי לבלבל מאחר ש ‪ a‬מסמן את הערך‬ ‫המוחלט של ‪ , a‬ואילו כאשר אנו מחשבים את הדטרמיננטה של המטריצה ‪ , a ‬אנו מעוניינים בערך‬ ‫הסקלר עצמו‪ ,‬כלומר ‪. a   a‬‬ ‫יש המסמנים את הדטרמיננטה של מטריצה ‪ A‬ב ‪ det A‬במקום ‪ , A‬וכך אין חשש לבלבול בשום‬ ‫מקרה‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.1.1‬‬ ‫‪3 4 ‬‬



‫‪ A  ‬מעל שדה המספרים הממשיים‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה ‪‬‬ ‫‪8 1 ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ A  ‬מעל השדה‬ ‫ג‪ .‬חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה ‪‬‬ ‫‪1 1‬‬



‫‪ A  ‬מעל שדה המספרים הממשיים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. 2‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪393‬‬



‫הערה‬ ‫בהמשך הפרק‪ ,‬כהרגלנו‪ ,‬בכל עת שנתאר מטריצה ולא נציין את השדה שמעליו היא מוגדרת‪ ,‬הניחו‬ ‫שהכוונה היא לשדה המספרים הממשיים‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.1.2‬‬ ‫חשבו את ‪ A‬אם ידוע כי‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 x‬‬



‫התשובה בעמוד ‪393‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪337‬‬



‫כדי להגדיר דטרמיננטות של מטריצות מסדרים גבוהים‪ ,‬נזדקק להגדרה הבאה‪:‬‬ ‫הגדרה ‪4.1.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ , n  n‬כאשר ‪. n  2‬‬ ‫לכל ‪ , 1  i , j  n‬המטריצה המינורית‪ 1‬ה ‪ i, j‬של ‪ A‬היא המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי‬ ‫מחיקת השורה ה ‪ i‬והעמודה ה ‪ j‬שלה‪ .‬נסמן מטריצה זו ב ‪ . AijM‬הדטרמיננטה של מטריצה זו‬ ‫נקראת המינור ה ‪ i, j‬של ‪. A‬‬ ‫שימו לב! אם ‪ A‬היא מטריצה מסדר ‪ , n  n‬אז ‪ AijM‬היא מטריצה מסדר )‪. ( n  1)  ( n  1‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪ , A  ‬אז ‪M‬‬ ‫‪ A12‬היא המטריצה מסדר ‪1  1‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ 2 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M   3 6    2‬‬ ‫‪A12‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫והמינור ה ‪ 1,2‬של ‪ A‬הוא ‪. 2‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ , A   2 3 2 ‬אז ‪M‬‬ ‫‪ A22‬היא המטריצה מסדר ‪2  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 1 1 ‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ 2 3 2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪ 1 1 1 ‬‬



‫‪M‬‬ ‫‪A22‬‬



‫והמינור ה ‪ 2, 2‬של ‪ A‬הוא ‪. 1  1  1  1  0‬‬



‫‪‬‬



‫כעת נוכל להציג את הגדרת הדטרמיננטה באופן כללי‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.1.4‬הדטרמיננטה‬ ‫תהי ‪ A  aij ‬מטריצה מסדר ‪ n  n‬מעל שדה ‪ . F‬הדטרמיננטה של ‪ A‬מוגדרת עלידי‪:‬‬ ‫אם ‪, n  1‬‬ ‫אם ‪, n  2‬‬



‫‪ 1‬מינורית – משנית‪ ,‬בלעז‪.‬‬



‫‪A  a11‬‬ ‫‪a1i A1Mi‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪  1‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪338‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הערות‬ ‫א‪ .‬נכתוב את ההגדרה באופן מפורש‪ ,‬ללא שימוש בסימן הסכימה‪:‬‬ ‫‪M a‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪n 1 a‬‬ ‫‪A  a11 A11‬‬ ‫)‪12 A12  a13 A13  a14 A14    ( 1‬‬ ‫‪1n A1n‬‬



‫ובמילים‪ :‬כדי לחשב את הדטרמיננטה‪ ,‬אנו עוברים על השורה הראשונה של המטריצה‪ ,‬וכופלים‬ ‫כל ערך בה בדטרמיננטת המטריצה המינורית‪ ,‬שהיא מסדר )‪ , ( n  1)  ( n  1‬המתאימה‬ ‫למיקומו בשורה‪ .‬את הערכים שמתקבלים אנו מחברים ומחסרים‪ ,‬לסירוגין‪ .‬שימו לב לשימוש‬ ‫בביטוי ‪ ( 1)1 i‬המקבל את הערכים ‪ 1‬לסירוגין‪ ,‬בהתאם לזוגיות של ‪. i‬‬ ‫ב‪ .‬בהגדרה לעיל‪ ,‬עבור ‪ n  1‬אנו חוזרים למעשה על הגדרת הדטרמיננטה שבהגדרה ‪ .4.1.1‬תוכלו‬ ‫לתהות – מה לגבי ‪ ? n  2‬הרי גם עבור ערך זה כבר הגדרנו את הדטרמיננטה באופן עצמאי‬ ‫בהגדרה ‪ !4.1.2‬מיד נראה כי שתי ההגדרות השונות לכאורה עבור ‪ n  2‬הן שקולות‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫נפתח בהדגמת חישוב דטרמיננטות של מטריצות קטנות יחסית‪ ,‬על פי הגדרה ‪.4.1.4‬‬ ‫‪a‬‬



‫‪a ‬‬



‫תהי ‪ A   11 12 ‬מטריצה כללית מסדר ‪. 2  2‬‬ ‫‪a21 a22 ‬‬ ‫האיבר הראשון בשורה הראשונה של המטריצה הוא‬ ‫‪a ‬‬



‫‪ , a11‬והמטריצה המינורית המתאימה לו היא‬



‫‪a‬‬



‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪M ‬‬ ‫‪ . A11‬האיבר השני בשורה הראשונה של המטריצה הוא ‪ , a12‬והמטריצה‬ ‫‪a‬‬ ‫‪   a22 ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪a ‬‬



‫‪a‬‬



‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪M ‬‬ ‫‪. A12‬‬ ‫‪a‬‬ ‫המינורית המתאימה לו היא ‪   a21 ‬‬ ‫‪ 21 a22 ‬‬



‫על פי הגדרה ‪ ,4.1.4‬הדטרמיננטה של ‪ A‬היא‪:‬‬ ‫‪M a‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A  a11 A11‬‬ ‫‪12 A12  a11  a22   a12  a21   a11a22  a12 a21‬‬



‫ואכן קיבלנו את הביטוי המופיע בהגדרה ‪.4.1.2‬‬



‫‪‬‬



‫דוגמה‬ ‫‪a13 ‬‬



‫‪a12‬‬



‫‪ a11‬‬



‫‪a33 ‬‬



‫‪a32‬‬



‫‪ a31‬‬



‫תהי ‪ A   a21 a22 a23 ‬מטריצה כללית מסדר ‪. 3  3‬‬ ‫תחילה נחשב את המינורים המתאימים לאיברי השורה הראשונה‪:‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪ a22 a33  a23a32‬‬ ‫‪a33‬‬



‫‪a22‬‬ ‫‪a32‬‬



‫‪M ‬‬ ‫‪A11‬‬



‫‪a‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪M  21‬‬ ‫‪A12‬‬ ‫‪ a21a33  a23a31‬‬ ‫‪a31 a33‬‬ ‫‪a21 a22‬‬ ‫‪ a21a32  a22 a31‬‬ ‫‪a31 a32‬‬



‫‪M ‬‬ ‫‪A13‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪339‬‬



‫לכן‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪a13 A13‬‬



‫‪‬‬



‫‪M‬‬ ‫‪a12 A12‬‬



‫‪‬‬



‫‪M‬‬ ‫‪a11 A11‬‬



‫‪A ‬‬



‫) ‪= a11 ( a22 a33  a23a32 )  a12 ( a21a33  a23 a31 )  a13 ( a21a32  a22 a31‬‬ ‫‪= a11a22 a33  a11a23a32  a12 a21a33  a12 a23 a31  a13 a21a32  a13a22 a31‬‬



‫נסכם‪:‬‬ ‫‪a13‬‬ ‫‪a23  a11a22 a33  a11a23 a32  a12 a21a33  a12 a23a31  a13 a21a32  a13a22 a31‬‬ ‫‪a33‬‬



‫‪a12‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪a32‬‬



‫‪a11‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪a31‬‬



‫‪‬‬



‫בדוגמה האחרונה קיבלנו נוסחה מפורשת עבור דטרמיננטה של מטריצה מסדר ‪ . 3  3‬באופן דומה‪,‬‬ ‫ניתן להמשיך ולפתח נוסחאות מפורשות עבור דטרמיננטות של מטריצות ריבועיות מכל סדר‪ .‬כפי‬ ‫שתוכלו לדמיין‪ ,‬נוסחאות אלה הולכות ומתארכות ככל שסדר המטריצה עולה )קוראים אמיצים‬ ‫מוזמנים לכתוב נוסחה מפורשת עבור דטרמיננטות מסדר ‪ ,( 4  4‬ואיננו ממליצים שתנסו לזכור‬ ‫נוסחאות אלה‪ ,‬אפילו לא עבור מטריצות מסדר ‪. 3  3‬‬ ‫בהינתן מטריצה נתונה‪ ,‬תוכלו לחשב את הדטרמיננטה שלה עלידי שימוש רקורסיבי בהגדרה ‪.4.1.4‬‬ ‫בהמשך הפרק נלמד דרכים מהירות יותר לחישוב דטרמיננטה‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.1.3‬‬ ‫חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה הממשית‬ ‫‪ 1 2 4‬‬ ‫‪ 1 0 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 2 2‬‬



‫בשתי דרכים‪:‬‬ ‫א‪ .‬על פי הגדרה ‪.4.1.4‬‬ ‫ב‪ .‬בעזרת הנוסחה המפורשת דלעיל‪.‬‬



‫התשובה בעמוד ‪393‬‬ ‫שאלה ‪4.1.4‬‬ ‫א‪ .‬נתונה המטריצה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 ‬‬



‫‪1 3 2‬‬ ‫‪2 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 0 2‬‬ ‫‪‬‬



‫חשבו את ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬כמה דטרמיננטות מסדר ‪ 2‬היה עליכם לחשב?‬ ‫ג‪ .‬כמה דטרמיננטות מסדר ‪ 2‬יש לחשב כדי לחשב )לפי ההגדרה( דטרמיננטה של מטריצה ריבועית‬ ‫מסדר ‪ ?5‬ומסדר ‪?6‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪393‬‬



‫‪340‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪4.1.5‬‬ ‫תהי‪:‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪ 2 7‬‬ ‫‪A 4‬‬ ‫‪3 6 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 2 3 1‬‬



‫חשבו את ‪. A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪395‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪341‬‬



‫‪ 4.2‬משפט הפיתוח‬ ‫הגדרה ‪ 4.1.4‬נותנת‪ ,‬למראית עין‪ ,‬חשיבות מיוחדת לשורה הראשונה במטריצה‪ .‬בהמשך נראה כי אין‬ ‫כך הדבר‪ ,‬ולמעשה יכולנו להגדיר את הדטרמיננטה באמצעות כל אחת מהשורות‪ ,‬או אף כל אחת‬ ‫מהעמודות! ליתר דיוק‪ ,‬נוכיח את המשפט הבא‪:‬‬ ‫משפט ‪ 4.2.1‬משפט הפיתוח‬ ‫תהי ‪ A  aij ‬מטריצה מסדר ‪ , n  n‬כאשר ‪ . n  2‬אז‪:‬‬ ‫א‪ .‬לכל ‪, 1  i  n‬‬



‫‪AijM‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j aij‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫זהו פיתוח של הדטרמיננטה לפי השורה ה ‪. i‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪, 1  j  n‬‬



‫‪AijM‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j aij‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪i 1‬‬



‫זהו פיתוח של הדטרמיננטה לפי העמודה ה ‪. j‬‬ ‫הערות‬ ‫א‪ .‬פיתוח לפי השורה ‪ i  1‬מתלכד למעשה עם הגדרת הדטרמיננטה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שימו לב למקדם ‪ ( 1)i  j‬המופיע לפני המחובר ‪ ; aij AijM‬פירושו בפשטות שיש לקחת איבר זה‬ ‫עם מקדם " ‪ " ‬כאשר ‪ i  j‬זוגי‪ ,‬ועם מקדם " ‪ " ‬כאשר ‪ i  j‬איזוגי‪.‬‬ ‫נוכל להמחיש זאת עלידי כתיבת הסימן של ‪ ( 1)i  j‬במקום האיבר ה ‪ i , j‬במטריצה ‪ , A‬מה‬ ‫שייצור דוגמת לוח שחמט‪ ,‬שבאלכסון הראשי שלו מופיעים רק סימני " ‪:" ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬



‫ניתן אפוא לנסח במילים את תוכנו של משפט הפיתוח כך‪:‬‬ ‫לשם חישוב הדטרמיננטה נוכל לבחור שורה )או עמודה(‪ ,‬כרצוננו‪ ,‬לכפול את איבריה במינורים שלהם‪,‬‬ ‫ולסכם את המכפלות עם סימנים מתאימים‪ .‬הדוגמה הבאה מראה כי עלידי בחירה מתאימה של‬ ‫שורה‪ ,‬או עמודה‪ ,‬לפיתוח הדטרמיננטה‪ ,‬ניתן לחסוך עבודה רבה‪.‬‬



‫‪342‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫דוגמה‬ ‫נחשב את הדטרמיננטה של המטריצה ‪) A‬מסדר ‪:( 4  4‬‬ ‫‪ 2 17.5 1937.39 178‬‬ ‫‪ 0 267‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪89 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪36 ‬‬ ‫‪‬‬



‫אם נחשב את הדטרמיננטה עלידי פיתוח לפי השורה הראשונה )כלומר‪ ,‬על פי ההגדרה(‪ ,‬יהיה עלינו‬ ‫לחשב ארבע דטרמיננטות של מטריצות ריבועיות מסדר ‪ . 3‬אולם‪ ,‬נבחין שהעמודה הראשונה מכילה‬ ‫רק איבר אחד שונה מאפס‪ .‬לפיכך‪ ,‬אם נפתח את הדטרמיננטה לפי העמודה הראשונה‪ ,‬יתאפסו כל‬ ‫המחוברים פרט לאחד )שהמקדם שלו הוא " ‪ .(" ‬כלומר‪,‬‬ ‫‪M  0  0  0  2 AM‬‬ ‫‪A  2 A11‬‬ ‫‪11‬‬



‫לכן נותר לנו לחשב את הדטרמיננטה של המטריצה המינורית ‪M‬‬ ‫‪ , A11‬שהיא‪:‬‬



‫‪ 267 1 89 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 36 ‬‬ ‫‪ 9‬‬



‫את הדטרמיננטה הזאת נחשב לפי השורה השנייה‪ .‬גם כאן כל המחוברים פרט לאחד מתאפסים‪.‬‬ ‫האיבר ‪ , 3‬המופיע שם‪ ,‬נמצא במקום ה )‪ (2, 3‬של המטריצה שבה עוסקים כרגע‪ ,‬ולכן יש לכפול‬ ‫אותו במקדם ‪ , ( 1)2  3  ( 1)5  1‬לפיכך‪:‬‬ ‫‪267 1‬‬ ‫‪ 2  3   0  ( 9)   2  3  9  54‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0‬‬



‫)‪M  2( 1)( 3‬‬ ‫‪A  2 A11‬‬



‫‪‬‬



‫את הוכחת משפט הפיתוח נדחה לסוף הפרק‪ ,‬ועד אז נרשה לעצמנו להשתמש במשפט כאילו כבר‬ ‫הוכחנו אותו )כאשר נוכיח את המשפט בהמשך‪ ,‬ניזהר כמובן שלא להסתמך על תוצאות שהסקנו‬ ‫בינתיים מהמשפט עצמו!(‪ .‬נפתח במסקנה השימושית הבאה‪:‬‬ ‫מסקנה ‪4.2.2‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ , n  n‬ונניח כי יש ב ‪ A‬שורת אפסים או עמודת אפסים‪ .‬אז ‪. A  0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נפתח את הדטרמיננטה לפי שורת )או עמודת( האפסים‪ ,‬ונקבל סכום של אפסים‪ ,‬כלומר אפס‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪343‬‬



‫שאלה ‪4.2.1‬‬ ‫חשבו את ‪ A‬עבור המטריצות הנתונות להלן‪.‬‬ ‫נסו לחשב בדרך הקצרה ביותר‪ ,‬תוך שימוש במשפט הפיתוח‪.‬‬ ‫א‪0 7  .‬‬ ‫‪0 8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 9‬‬ ‫‪0 10‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0 2‬‬ ‫ב‪3  .‬‬ ‫‪0 1/11 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 100 2 ‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫ג‪.‬‬



‫‪0 z‬‬ ‫‪0 u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 y‬‬ ‫‪4 w‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 5 ‬‬



‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1 x‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  0 t‬‬ ‫‪g h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0‬‬



‫התשובה בעמוד ‪395‬‬ ‫שאלה ‪4.2.2‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ 2‬שעבורה ‪. A  5‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה ‪ B‬המתקבלת מ ‪ A‬עלידי החלפת סדר שורות ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה ‪ B‬המתקבלת מ ‪ A‬עלידי החלפת סדר עמודות ‪. A‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת‪. At ,‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪396‬‬ ‫שאלה ‪4.2.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ . 2  2‬חשבו את ‪ A‬אם‪:‬‬ ‫א‪ .‬יש ב ‪ A‬שורת אפסים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬יש ב ‪ A‬עמודת אפסים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬שתי השורות של ‪ A‬שוות זו לזו‪.‬‬ ‫ד‪ .‬שתי העמודות של ‪ A‬שוות זו לזו‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪397‬‬ ‫שאלה ‪4.2.4‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪. 2  2‬‬ ‫א‪ .‬יהי ‪ t‬סקלר כלשהו ותהי ‪ . B  tA‬בטאו את ‪ B‬באמצעות ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬תהי ‪ C‬המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי כפל של אחת השורות של ‪ A‬ב ‪ . t‬בטאו את ‪C‬‬ ‫באמצעות ‪. A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪397‬‬



‫‪344‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪4.2.5‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות מסדר ‪. 2  2‬‬ ‫קבעו ביחס לכל אחת מהטענות שלהלן אם היא נכונה אם לאו )נמקו כמובן!(‪.‬‬ ‫א‪AB  A B .‬‬ ‫ב‪A  B  A  B .‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪398‬‬ ‫שאלה ‪4.2.6‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪. 2  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הוכיחו כי ‪ A  0‬אם ורק אם השורות של ‪ A‬תלויות לינארית כווקטורים ב ‪. ‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪399‬‬ ‫שאלה ‪4.2.7‬‬ ‫תהי ‪ A‬המטריצה‪:‬‬ ‫‪a12 ‬‬ ‫‪ a11‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a21  aˆ21 a22  aˆ22 ‬‬



‫הוכיחו כי‪:‬‬ ‫‪a11 a12‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 11 12‬‬ ‫‪a21 a22‬‬ ‫‪aˆ21 aˆ22‬‬



‫‪A ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪400‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪345‬‬



‫‪ 4.3‬תכונות הדטרמיננטה‬ ‫בסעיף זה נראה כיצד משתנה הדטרמיננטה של מטריצה ‪ A‬כאשר מבצעים שינויים מסוימים‬ ‫במטריצה‪ .‬בין השאר נבדוק מה קורה לדטרמיננטה כאשר מבצעים פעולות אלמנטריות על שורות‬ ‫המטריצה‪ ,‬או כאשר "משחלפים" אותה‪ .‬בעזרת התוצאות שנקבל נוכל לפשט מאוד את דרך חישוב‬ ‫הדטרמיננטה‪ .‬בשאלות שבסוף הסעיף הקודם היו כלולות למעשה כל הטענות שבכוונתנו להוכיח‪,‬‬ ‫אלא שהן התייחסו רק לדטרמיננטות של מטריצות מסדר ‪ . 2  2‬להלן נעסוק בדטרמיננטות של‬ ‫מטריצות מסדר ‪ n  n‬המוגדרות מעל שדה כלשהו‪ ,‬כאשר ‪ n‬הוא מספר טבעי כלשהו‪.‬‬ ‫נבחן תחילה את ההשפעה של פעולת השחלוף של מטריצה על הדטרמיננטה שלה‪.‬‬ ‫משפט ‪ 4.3.1‬הדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת‬ ‫אם ‪ A‬היא מטריצה מסדר ‪ , n  n‬אז‪1:‬‬ ‫‪At  A‬‬



‫הוכחה‬ ‫נוכיח את המשפט באינדוקציה על ‪. n‬‬ ‫‪t‬‬ ‫עבור ‪ , n  1‬המשפט טריוויאלי‪ ,‬משום שבמקרה זה ‪. A  A‬‬ ‫נניח עתה כי ‪ n  2‬ונניח שטענת המשפט נכונה לכל מטריצה מסדר )‪. ( n  1)  ( n  1‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ , n  n‬ונוכיח כי‪:‬‬ ‫‪At  A‬‬



‫נרשום את רכיבי המטריצות הנידונות באופן מפורש‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫‪ a11  an1 ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a1n  ann ‬‬



‫‪ a11  a1n ‬‬ ‫‪A    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1  ann ‬‬



‫‪At‬‬



‫נחשב את ‪ A‬עלידי פיתוח לפי השורה הראשונה‪:‬‬ ‫‪M  ( 1)3 a‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪1 n a‬‬ ‫‪A  ( 1) 2 a11 A11‬‬ ‫)‪12 A12    (  1‬‬ ‫‪1n A1n‬‬



‫את ‪ At‬נחשב עלידי פיתוח לפי העמודה הראשונה‪:‬‬ ‫‪M  (  1)3 [ At ] ( At ) M    ( 1) n 1 [ At ] ( At ) M‬‬ ‫‪At  ( 1) 2 [ At ]11 ( At )11‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪M  (  1)3 a ( At ) M    (  1)1 n a ( At ) M‬‬ ‫‪ ( 1) 2 a11 ( At )11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1n‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪21‬‬



‫‪ 1‬זכרו‪ At :‬היא המטריצה המשוחלפת‪ .‬כלומר‪ ,‬שורותיה הן העמודות של‬ ‫הסדר‪.‬‬



‫‪A‬‬



‫ועמודותיה הן השורות של ‪ , A‬באותו‬



‫‪346‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫אנו רואים כי כדי להוכיח כי ‪ , At  A‬די שנראה כי לכל ‪ (1  i  n ) i‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪A1Mi  ( At )iM1‬‬



‫אולם‪ ,‬לאור הקשר שבין ‪ A‬ו ‪ , At‬קל להיווכח כי ‪ . ( At )iM1  ( A1Mi )t‬לכן‪ ,‬על סמך הנחת‬ ‫האינדוקציה‪ ,‬ומכיוון שהסדר של כל אחת מהמטריצות המינוריות שבפיתוח הדטרמיננטה הוא‬ ‫)‪ , ( n  1)  ( n  1‬מתקיים‬ ‫‪ ( At )iM1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ ( A1Mi )t‬‬ ‫‪‬‬



‫לפי השוויון‬ ‫דלעיל‬



‫‪A1Mi‬‬



‫לפי הנחת‬ ‫האינדוקציה‬



‫כפי שרצינו‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.3.1‬‬ ‫בדקו כי ‪ A  At‬עבור‬ ‫‪ 3 0 1‬‬ ‫‪A   2 4 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 3 2 ‬‬



‫כאשר אתם מפתחים הן את ‪ A‬והן את ‪ , At‬לפי השורה ראשונה‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪400‬‬ ‫משפט ‪4.3.2‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ותהי ‪ B‬המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי החלפה של שתי שורות )או שתי‬ ‫עמודות(‪ 2‬זו בזו‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪B  A‬‬



‫כלומר‪ ,‬החלפה של שתי שורות של ‪) A‬או שתי עמודות( הופכת את סימן הדטרמיננטה של‬



‫‪3. A‬‬



‫הערה‬ ‫כל תכונה של דטרמיננטה שמתייחסת לשורות של מטריצה‪ ,‬נכונה גם לעמודות‪ .‬דבר זה נובע ממשפט‬ ‫‪ ,4.3.1‬המבטיח לנו שכתיבת שורות ‪ A‬כעמודות לא תשנה את ערך הדטרמיננטה‪ .‬בהוכחת משפט‬ ‫‪ ,4.3.2‬שתובא להלן‪ ,‬נדגים כיצד מסיקים ממשפט על השורות את המשפט האנלוגי לגבי העמודות;‬ ‫בהמשך ננסח את הטענות לגבי השורות והעמודות כאחת‪ ,‬ונוכיח אותן רק לגבי השורות‪ .‬המעבר‬ ‫לעמודות ייעשה באותו אופן כמו בהוכחת משפט ‪.4.3.2‬‬



‫‪ 2‬החלפה של שתי עמודות במטריצה זו בזו תכונה פעולה אלמנטרית על עמודות המטריצה‪ .‬בדומה‪ ,‬כפל עמודה‬ ‫בסקלר שונה מאפס והוספת כפולה של עמודה אחת לעמודה אחרת אף הן פעולות אלמנטריות על עמודות‪.‬‬ ‫‪ 3‬לשון אחר‪ :‬פעולה אלמנטרית מטיפוס )‪ (1‬על שורות )או עמודות( המטריצה הופכת את סימן הדטרמיננטה‪.‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫הוכחת משפט ‪4.3.2‬‬ ‫נניח כי ] ‪ A  [ aij‬היא מטריצה מסדר‬ ‫באינדוקציה על ‪. n‬‬



‫‪347‬‬



‫‪ , n  n‬ונוכיח את המשפט בנוגע לשורות המטריצה‬



‫אנחנו מניחים כמובן ש ‪ , n  2‬שהרי עבור ‪ n  1‬אין משמעות למשפט‪.‬‬ ‫עבור ‪ n  2‬הבדיקה קלה )ביצעתם אותה במסגרת שאלה ‪.(4.2.2‬‬ ‫נניח כעת כי ‪ n  3‬וכי טענת המשפט נכונה לכל מטריצה ריבועית מסדר ‪ , n  1‬ונוכיח את הטענה‬ ‫עבור מטריצה ריבועית ‪ A‬כלשהי מסדר ‪ . n‬תהי‪ ,‬אם כן‪ A ,‬המטריצה מסדר ‪: n  n‬‬ ‫‪ a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫השורה ה ‪ ain   i‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫השורה ה ‪ a jn   j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ann ‬‬



‫ותהי ‪ B‬המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי החלפת השורה ה ‪ i‬והשורה ה‬



‫‪j‬‬



‫‪ a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫השורה ה ‪ a jn   i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫השורה ה ‪ ain   j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ann ‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ai1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪ a j1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ an1‬‬



‫זו בזו‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫‪ a11‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a j1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪ ai1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ an1‬‬



‫מאחר ש ‪ , n  3‬קיימת במטריצה ‪ B‬לפחות שורה אחת נוספת פרט לשורות ה ‪ i‬וה ‪) j‬שביניהן‬ ‫החלפנו(‪ ,‬ונוכל לפתח את ‪ B‬על פי שורה כזאת‪ .‬יהי‪ ,‬אם כן‪ p ,‬מספר השונה מ ‪i‬‬ ‫ומ ‪ , j‬ונפתח על פי השורה ה ‪ . p‬אז‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B  ( 1) p 1 a p1 B pM1  ( 1) p  2 a p 2 B pM2    ( 1) p  n a pn B pn‬‬



‫ובעזרת שימוש בסימן הסכום ‪: ‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B pk‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1) p  k a pk‬‬



‫‪B ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪k 1‬‬



‫יהי ‪ . 1  k  n‬לא תתקשו לוודא כי ‪ B M‬מתקבלת מ ‪ AM‬עלידי החלפת שתי שורות של ‪M‬‬ ‫‪ Apk‬זו‬ ‫‪pk‬‬ ‫‪pk‬‬ ‫בזו‪ ,‬ולכן על פי הנחת האינדוקציה‪:‬‬ ‫‪M   AM‬‬ ‫‪B pk‬‬ ‫‪pk‬‬



‫‪348‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לכן נוכל לרשום את )‪ (1‬כך‪:‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪pk   A‬‬



‫‪ (1) p  k a pk   AMpk     (1) p  k a pk‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪B ‬‬



‫נותר להוכיח את התכונה בנוגע לעמודות המטריצה‪:‬‬ ‫תהי ‪ B‬המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי החלפת שתי עמודות זו בזו‪.‬‬ ‫נעבור למטריצות המשוחלפות; היות שאלה מתקבלות עלידי החלפת השורות בעמודות‪ ,‬נובע כי‬ ‫מתקבלת מ ‪ At‬עלידי החלפה של שתי שורות זו בזו‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫‪  At   A‬‬ ‫‪‬‬



‫משפט‬ ‫‪4.3.1‬‬



‫‪‬‬



‫הוכחנו‬ ‫כבר‬



‫‪Bt‬‬



‫‪B  Bt‬‬ ‫‪‬‬



‫משפט‬ ‫‪4.3.1‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.3.2‬‬ ‫תהי ‪ B‬המטריצה המתקבלת מהמטריצה‬ ‫‪ 3 0 1‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 3 2 ‬‬



‫‪A  2‬‬



‫עלידי החלפת העמודה הראשונה בעמודה השנייה‪.‬‬ ‫בדקו כי ‪ B   A‬עלידי חישוב מפורש של ‪ A‬ושל ‪. B‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪401‬‬ ‫משפט ‪4.3.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ותהי ‪ B‬מטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי כפל של שורה )או עמודה( של ‪A‬‬ ‫בסקלר ‪ . t‬אז‪:‬‬ ‫‪B t A‬‬



‫הוכחה‬ ‫נוכיח‪ ,‬כאמור‪ ,‬את הטענות עבור השורות‪ .‬את הטענות האנלוגיות עבור עמודות מסיקים באותה דרך‬ ‫כבהוכחת משפט ‪ ,4.3.2‬עלידי מעבר למטריצה המשוחלפת‪.‬‬ ‫נניח כי ‪ B‬התקבלה מ ‪ A‬עלידי כפל השורה ה ‪ i‬של ‪ A‬בסקלר ‪ . t‬כלומר‪ ,‬נניח כי‪:‬‬ ‫‪ a11  a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B  tai1  tain ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1  ann ‬‬



‫;‬



‫‪ a11  a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A   ai1  ain ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1  ann ‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪349‬‬



‫נפתח את ‪ B‬לפי השורה ה ‪: i‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j taij BijM‬‬



‫‪B ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪j 1‬‬



‫‪ B‬נבדלת מ ‪ A‬רק בשורתה ה ‪ , i‬ולכן המטריצות המתקבלות מ ‪ A‬ומ ‪ B‬לאחר מחיקת השורה‬ ‫ה ‪ i‬ועמודה כלשהי הן זהות‪ ,‬ולפיכך לכל ‪ , BijM  AijM , 1  j  n‬ולכן את )‪ (1‬נוכל לרשום כך‪:‬‬ ‫‪AijM‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ (1)i  j aij‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪( 1)i  j taij AijM  t‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪B ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫אבל הסכום הרשום באגף ימין של שוויון זה אינו אלא הפיתוח של ‪ A‬לפי השורה ה ‪ , i‬ולכן קיבלנו‬ ‫‪.B tA‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.3.3‬‬ ‫א‪ .‬עבור המטריצות ‪ A‬ו ‪B‬‬ ‫‪ 3 4 3‬‬ ‫‪B   5 0 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 3 12 ‬‬



‫‪ 3 4 1‬‬ ‫‪A   5 0 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 3 4 ‬‬



‫)שימו לב כי ‪ B‬התקבלה מ ‪ A‬עלידי כפל העמודה השלישית ב ‪.( 3‬‬ ‫בדקו עלידי חישוב מפורש כי‪:‬‬ ‫‪B 3A‬‬



‫ב‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר‬



‫‪n‬‬



‫ויהי ‪ t‬סקלר‪ .‬הוכיחו כי‪:‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪tn‬‬



‫‪tA ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪401‬‬ ‫משפט ‪4.3.4‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות ריבועיות הנבדלות זו מזו רק בשורה )או עמודה( אחת‪ ,‬השורה )העמודה(‬ ‫ה ‪. i‬‬ ‫תהי ‪ C‬מטריצה אשר שורתה )עמודתה( ה ‪ i‬היא סכום השורות )העמודות( ה ‪ i‬של ‪ A‬ושל ‪, B‬‬ ‫ושאר שורותיה )עמודותיה( שוות לאלה של ‪) A‬או של ‪ .( B‬אז‪:‬‬ ‫‪C  A  B‬‬



‫‪350‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הוכחה‬ ‫נוכיח את המשפט בנוגע לשורות‪ .‬השלימו בעצמכם את הגִ רסה עבור עמודות‪.‬‬ ‫נתונות המטריצות ‪ B , A‬ו ‪: C‬‬ ‫‪ a11  a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B   aˆi1  aˆin ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1  ann ‬‬



‫;‬



‫‪ a11  a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A   ai1  ain ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1  ann ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪a1n ‬‬ ‫‪ a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C   ai1  aˆi1  ain  aˆin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ann ‬‬ ‫‪ an1‬‬



‫נפתח את ‪ C‬לפי השורה ה ‪ i‬ונשים לב לעובדה כי לכל ‪, 1  j  n‬‬ ‫‪AijM  BijM  CijM‬‬



‫‪4‬‬



‫אם כן‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪j 1‬‬



‫‪j 1‬‬



‫‪ ( 1)i  j aij CijM   ( 1)i  j aˆij CijM‬‬ ‫‪ A  B‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j ( aij  aˆij ) CijM‬‬



‫‪C ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j aˆij BijM‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪AijM ‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j aij‬‬



‫‪‬‬



‫‪j 1‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫משפט ‪4.3.5‬‬ ‫אם במטריצה ריבועית ‪ A‬יש שתי שורות שוות )או שתי עמודות שוות(‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪A 0‬‬



‫בשלב זה נוכיח את המשפט עבור מטריצות ממשיות – כלומר כאלה המוגדרות מעל שדה המספרים‬ ‫הממשיים‪ .‬המשפט אמנם נכון עבור מטריצות המוגדרות מעל שדה שרירותי‪ ,‬אך לצורך הוכחה כללית‬ ‫נידרש לפתח כלים נוספים‪ ,‬ולכן נדחה אותה בשלב זה‪ .‬את ההוכחה במקרה הכללי ניתן בסוף הפרק‪,‬‬ ‫בצמוד להוכחת משפט הפיתוח )שגם את הוכחתו‪ ,‬כזכור‪ ,‬דחינו לסוף הפרק(‪ .‬עם זאת‪ ,‬בהמשך הפרק‬ ‫נרשה לעצמנו להסתמך על משפט ‪ ,4.3.5‬כאילו הוכחנו אותו באופן כללי‪.‬‬



‫‪4‬‬



‫‪ A, B , C‬נבדלות זו מזו רק בשורה ה ‪ , i‬וזו נמחקת כאשר "מייצרים" את המטריצות המינוריות ‪. AijM , BijM , CijM‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪351‬‬



‫הוכחה עבור מטריצות ממשיות‬ ‫החלפת שתי השורות השוות של ‪ A‬זו בזו אינה משנה את ‪ A‬ולכן גם לא את ‪ . A‬אולם לפי משפט‬ ‫‪ ,4.3.2‬החלפה כזאת הופכת את סימן הדטרמיננטה‪ .‬לכן ‪ , A   A‬כלומר ‪ , 2 A  0‬ולכן‬ ‫‪. A  1 2 A  1 0  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.3.4‬‬ ‫היכן ניצלנו‪ ,‬בהוכחה דלעיל‪ ,‬את ההנחה כי המטריצה היא מטריצה ממשית? האם תוכלו להוכיח כבר‬ ‫בשלב הזה משפט כללי יותר מזה שהוכחנו?‬ ‫התשובה בעמוד ‪402‬‬ ‫שאלה ‪4.3.5‬‬ ‫נתונה המטריצה הממשית‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪A   1 2 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 5 6‬‬



‫בדקו עלידי פיתוח לפי השורה הראשונה כי ‪. A  0‬‬ ‫)שימו לב כי יש ב ‪ A‬שתי שורות שוות‪(.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪402‬‬ ‫כבר בדקנו במשפטים קודמים כיצד משתנה הדטרמיננטה כאשר מחליפים את סדר השורות‬ ‫במטריצה‪ ,‬וכיצד היא משתנה כאשר כופלים שורה כלשהי בסקלר‪ .‬שתי הפעולות האלה הן הפעולות‬ ‫האלמנטריות מטיפוסים )‪ (1‬ו)‪ (2‬על מטריצה שתוארו בפרק ‪.1‬‬ ‫כעת נבדוק מהי השפעתה של פעולה אלמנטרית מטיפוס )‪) (3‬הוספת כפולה של שורה אחת של‬ ‫מטריצה לשורה אחרת של אותה מטריצה( על הדטרמיננטה‪ .‬כפי שתיווכחו‪ ,‬בדיקה זו נעשית לא רק‬ ‫מטעמי "שלמות" – כדי שנדע שטיפלנו בכל הפעולות האלמנטריות‪ ,‬אלא הכרת התוצאה מייעלת‬ ‫במידה ניכרת את תהליך החישוב של דטרמיננטות‪.‬‬ ‫משפט ‪4.3.6‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ותהי ‪ B‬מטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי הוספת כפולה של שורה )עמודה(‬ ‫כלשהי לשורה )עמודה( אחרת‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪B  A‬‬



‫כלומר‪ ,‬הפעולה האלמנטרית של הוספת כפולה של שורה )עמודה( לשורה )עמודה( אחרת אינה משנה‬ ‫את הדטרמיננטה‪.‬‬



‫‪352‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הוכחה‬ ‫נניח‪ ,‬לשם נוחות הכתיבה‪ ,‬כי הוספנו לשורה הראשונה כפולה ב ‪ t‬של השורה השנייה‪ ,‬ונחשב בעזרת‬ ‫משפט ‪ 4.3.4‬ומשפט ‪:4.3.3‬‬ ‫‪a12  ta22  a1n  ta2 n‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ann‬‬



‫‪ ta2 n‬‬ ‫‪ a2 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ann‬‬



‫‪ta22‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an 2‬‬



‫‪a22  a2 n‬‬ ‫‪a22  a2 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an 2  ann‬‬



‫‪ a1n‬‬ ‫‪ta21‬‬ ‫‪ a2 n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ann‬‬ ‫‪a n1‬‬



‫‪a11  ta21‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a n1‬‬



‫‪a12‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an 2‬‬



‫‪a11‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1‬‬



‫‪a12  a1n‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪a22  a2 n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ t 21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an 2  ann‬‬ ‫‪a n1‬‬



‫‪a11‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1‬‬



‫)המחובר הראשון בסכום דלעיל הוא ‪ , A‬ואילו השני הוא ‪ 0‬על פי משפט ‪ ,4.3.5‬שכן מופיעה בו‬ ‫דטרמיננטה של מטריצה ששתי שורותיה הראשונות שוות זו לזו‪ (.‬קיבלנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי ‪. B  A‬‬ ‫את המקרה הכללי של הוספת כפולה ב ‪ t‬של השורה ה ‪ j‬לשורה ה ‪ i‬תוכיחו בעצמכם כחלק‬ ‫מהשאלה העוקבת‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.3.6‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו את משפט ‪ 4.3.6‬למקרה שבו ‪ B‬מתקבלת מ ‪ A‬עלידי הוספת כפולה ב ‪ t‬של השורה‬ ‫ה ‪ j‬לשורה ה ‪ i‬של ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬תהי ‪ A‬המטריצה‬ ‫‪ 1 3 2 ‬‬ ‫‪A 4 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 0‬‬



‫ותהי ‪ B‬המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי הוספת כפולה ב ‪  3‬של העמודה השנייה לעמודה‬ ‫השלישית‪ .‬בדקו עלידי חישוב ישיר כי ‪. A  B‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪402‬‬ ‫בשלב זה מצויים בידינו הכלים הדרושים לחישוב יעיל של דטרמיננטות‪ .‬חישוב כזה מורכב‪ ,‬בדרך‬ ‫כלל‪ ,‬מהשלבים האלה‪:‬‬ ‫א‪ .‬בחישוב ידני‪ ,‬כדאי שיופיעו בדטרמיננטות מספרים שלמים‪ ,‬ואם אפשר – כדאי שערכיהם לא יהיו‬ ‫"גדולים מדי"‪ .‬לכן‪ ,‬אם יש שורה )או עמודה( שאיבריה הם מספרים שלמים שיש להם גורם‬ ‫משותף‪ ,‬נוציא גורם זה מחוץ לדטרמיננטה‪ .‬בדומה‪ ,‬אם מופיעים שברים‪ ,‬נוכל להוציא מחוץ‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪353‬‬



‫לדטרמיננטה את השבר שמונהו ‪ 1‬ומכנהו הוא המכנה המשותף‪ ,‬כך שבתוך השורה המתאימה‬ ‫יופיעו מספרים שלמים בלבד‪5.‬‬ ‫ב‪ .‬נבחר שורה )או עמודה( שרירותית‪ ,‬אך רצוי שיופיע בה מספר רב ככל האפשר של אפסים‪ ,‬ואם‬ ‫אין כאלה – לפחות שורה )או עמודה( שכמה מאיבריה הם ‪ 1‬או ‪ .–1‬עלידי פעולות אלמנטריות‬ ‫מהסוג השלישי )אשר אינן משנות את הדטרמיננטה( נאפס את כל איברי השורה )או העמודה(‬ ‫שבחרנו‪ ,‬פרט לאחד‪.‬‬ ‫ג‪ .‬לאחר שקיבלנו שורה )או עמודה( שכל איבריה‪ ,‬פרט לאחד‪ ,‬הם אפסים‪ ,‬נפתח את הדטרמיננטה‬ ‫לפי שורה )או עמודה( זו‪ .‬בפיתוח זה יופיע רק מחובר אחד ובו מינור שהוא דטרמיננטה מסדר‬ ‫קטן יותר‪.‬‬ ‫ד‪ .‬נמשיך בפעולות דומות על הדטרמיננטה הקטנה יותר שהתקבלה‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫נחשב את ‪ A‬עבור‪:‬‬ ‫‪ 15 21 27 6‬‬ ‫‪ 3 8 27 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪ 0 3‬‬ ‫‪ 1 6‬‬ ‫‪9 2 ‬‬ ‫‪‬‬



‫נוציא גורם משותף ‪ 3‬מהשורה הראשונה ולאחריו גורם משותף ‪ 9‬מהעמודה השלישית‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8 3‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪7‬‬ ‫‪9 2‬‬ ‫‪8 27 6‬‬ ‫‪ 39‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9 2‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A  3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫בשורה השלישית מופיעים שני אפסים; "נאפס" את ה‪ 3‬שמופיע שם במקום ה )‪ , (3, 2‬עלידי הוספת‬ ‫העמודה הרביעית מוכפלת ב )‪ ( 3‬לעמודה השנייה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪5‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3 10 3‬‬ ‫‪ 27‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫נפתח לפי שורה שלישית )המקדם של ה‪ 1‬שבמקום ה )‪ (3, 4‬הוא ‪ , ( 1)3 4‬כלומר )‪:( ( 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ 27 3 10 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪5‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1  3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫למשל ‪3 4 1‬‬ ‫‪1/3 2/5 1/5‬‬ ‫‪5/15 6/15 3/15 15 5 6 3‬‬



‫‪354‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נוסיף את העמודה השלישית לראשונה ואחר כך נוציא גורם משותף )‪ ( 1‬מהשורה השנייה‪:‬‬ ‫‪6 1 1‬‬ ‫‪ 27 6 10 3‬‬ ‫‪0 0 1‬‬



‫נפתח לפי שורה אחרונה )המקדם של ה‪ 1‬בשורה זו הוא ‪:( ( 1)3 3  ( 1)6  1‬‬ ‫‪6 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ 27  6‬‬ ‫‪ 27  6(10  1)  1458‬‬ ‫‪6 10‬‬ ‫‪1 10‬‬



‫‪ 27  1‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪4.3.7‬‬ ‫חשבו‪:‬‬ ‫א‪4 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 2‬‬



‫ב‪5 11 .‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪3 2 2 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 0 8‬‬ ‫‪4 1 3 17‬‬



‫ג‪.‬‬



‫‪3 5 2 4‬‬ ‫‪3 4 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 7  7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪5 6‬‬



‫ד‪1 2 3 4 5 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 7 10 13‬‬ ‫‪3 5 11 16 21‬‬ ‫‪2 7 7 7 2‬‬ ‫‪1 4 5 3 10‬‬



‫התשובה בעמוד ‪403‬‬ ‫לסיום סעיף זה נבחן סוג מסוים של מטריצות שעבורן חישוב הדטרמיננטה פשוט במיוחד‪.‬‬ ‫הגדרה ‪4.3.7‬‬ ‫מטריצה ריבועית נקראת משולשית עילית אם כל איבריה אשר מתחת לאלכסון הראשי הם אפסים‪.‬‬ ‫כלומר‪ A  [ a ] ,‬היא מטריצה משולשית עילית אם לכל ‪6. a  0 , i  j‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫מטריצה ריבועית נקראת משולשית תחתית אם כל איבריה אשר מעל לאלכסון הראשי הם אפסים‪.‬‬ ‫כלומר‪ A  [ aij ] ,‬היא מטריצה משולשית תחתית אם לכל ‪. aij  0 , i  j‬‬ ‫מטריצה ריבועית נקראת משולשית אם היא משולשית עילית או משולשית תחתית‪.‬‬



‫‪ 6‬אנחנו מקצרים וכותבים שהתכונה מתקיימת עבור ‪ , i  j‬כאשר הכוונה היא‪ ,‬כמובן‪ ,‬שאם המטריצה ‪ A‬היא‬ ‫מסדר ‪ n  n‬אז התכונה מתקיימת לכל ‪ , n  i  j  1‬כלומר לכל ‪ i , j‬רלוונטיים‪ .‬בדרך קיצור זו ננהג מדי‬ ‫פעם גם בהמשך כדי למנוע סרבול‪.‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪355‬‬



‫צורתה של מטריצה משולשית מסבירה את שמה‪ .‬כך נראית מטריצה משולשית עילית‪:‬‬ ‫‪  a1n ‬‬ ‫‪  a2 n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 ann ‬‬



‫‪a12‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫וכך נראית מטריצה משולשית תחתית‪:‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ann ‬‬



‫‪0 ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪a22‬‬



‫‪ ‬‬ ‫‪an 2 ‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1‬‬



‫שימו לב‪ ,‬מטריצות סקלריות ואלכסוניות הן בפרט גם מטריצות משולשיות‪.‬‬ ‫משפט ‪4.3.8‬‬ ‫הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה‪ .‬כלומר‪ ,‬אם‬ ‫] ‪ A  [ aij‬היא מטריצה משולשית מסדר ‪ , n  n‬אז‪:‬‬ ‫‪A  a11  a22    ann‬‬



‫שאלה ‪4.3.8‬‬ ‫הוכיחו את משפט‬



‫‪7.4.3.8‬‬



‫התשובה בעמוד ‪405‬‬ ‫ממשפט ‪ 4.3.8‬נקבל שכדי לחשב דטרמיננטה‪ ,‬לא הכרחי למצוא שורה או עמודה במטריצה שכדאי‬ ‫לפתח על פיה‪ ,‬או להגיע למצב שיש שורה או עמודה כזאת‪ .‬אפשר תמיד לבצע פעולות לדירוג‬ ‫המטריצה כמו שלמדנו בפרק ‪ .1‬אם במהלך תהליך הדירוג נקבל שורת אפסים‪ ,‬נוכל לעצור ולומר‬ ‫שהדטרמיננטה היא אפס‪ .‬אם לא – נקבל בסוף התהליך מטריצה משולשית שאת הדטרמיננטה שלה‬ ‫אנו יודעים כעת לחשב בקלות‪.‬‬ ‫והנה עוד כמה שאלות לתרגול‪:‬‬ ‫שאלה ‪4.3.9‬‬ ‫עבור‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 y ‬‬



‫הוכיחו כי לכל‬



‫‪x‬‬



‫‪( x  y )2‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪3x  y‬‬



‫‪ x2  y2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A x y‬‬ ‫‪ x  y‬‬



‫ו ‪ y‬ממשיים מתקיים ‪. A  0‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪406‬‬



‫‪ 7‬רמז‪ :‬אינדוקציה!‬



‫‪356‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שאלה ‪4.3.10‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ממשית מסדר ‪ B‬המקיימת ‪  A‬‬



‫‪At‬‬



‫‪ ,‬כלומר‪ ,‬לכל ‪: 1  i , j  n‬‬ ‫‪  a ji‬‬



‫‪8a‬‬ ‫‪ij‬‬



‫מטריצה כזאת נראית כך‪:‬‬ ‫‪ a1n ‬‬ ‫‪ a2 n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0 ‬‬



‫‪a13‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a3 n‬‬



‫‪a12‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a2 n‬‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A   12‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 1n‬‬



‫ואומרים שהיא מטריצה אנטיסימטרית‪.‬‬ ‫הוכיחו כי במקרה זה‪ ,‬אם ‪ n‬איזוגי אז ‪. A  0‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪406‬‬ ‫שאלה ‪4.3.11‬‬ ‫תהי ‪ An‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ n‬הנתונה עלידי‬ ‫‪x12  x1n 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x22  x2n 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xn2  xnn 1 ‬‬



‫‪1 x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 x2‬‬ ‫‪An  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 xn‬‬



‫כאשר ‪ x1 , , xn‬סקלרים כלשהם‪.‬‬ ‫‪ An‬נקראת מטריצת וַ ֶנדרמוֹ נְ ֶדה )‪.(Vandermonde‬‬ ‫הוכיחו כי עבור ‪: n  2, 3‬‬



‫) ‪ ( xi  x j‬‬ ‫‪j i‬‬



‫‪An ‬‬



‫‪9‬‬



‫)הערה‪ :‬הנוסחה ל ‪ An‬נכונה לכל ‪ n‬טבעי‪ ,‬אך נסתפק בהוכחה עבור ‪(. n  2, 3‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪407‬‬ ‫שאלה ‪4.3.12‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר‬ ‫אם ידוע כי ‪? A  0‬‬



‫‪ . n‬מהו המספר המרבי של אפסים שיכולים להופיע כאיברים של ‪A‬‬



‫התשובה בעמוד ‪407‬‬



‫‪ 8‬שימו לב שעבור ‪ i  j‬נקבל ‪ , aii   aii‬ומכיוון ש ‪ A‬ממשית‪ ,‬נובע כי ‪. aii  0‬‬ ‫‪ 9‬הסימון ‪ ‬משמש לתיאור מכפלה‪  ( xi  x j ) .‬היא המכפלה של כל הביטויים מהטיפוס ) ‪ ( xi  x j‬שבהם‬ ‫‪ji‬‬ ‫‪ j  i‬לכל ‪. 1  i, j  n‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪357‬‬



‫שאלה ‪4.3.13‬‬ ‫חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬



‫התשובה בעמוד ‪408‬‬ ‫שאלה ‪4.3.14‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ממשית ותהי ‪ B‬המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי הוספת כפולה ב‪ 4‬של‬ ‫השורה הראשונה של ‪ A‬לשורה השנייה של ‪ . A‬תהי ‪ C‬המטריצה המתקבלת מ ‪ B‬עלידי החלפת‬ ‫העמודה הראשונה של ‪ B‬בעמודה השנייה של ‪ , B‬ותהי ‪ D‬המטריצה המתקבלת מ ‪ C‬עלידי כפל‬ ‫ב‪ 2‬של כל איבר בשורה הראשונה‪ .‬תהי ‪ E‬המטריצה המשוחלפת של ‪. D‬‬ ‫בטאו את ‪ E‬באמצעות ‪. A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪408‬‬ ‫שאלה ‪4.3.15‬‬ ‫חשבו‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫א‪1 0 .‬‬ ‫‪2 0 3‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪2 1 1‬‬



‫ב‪.‬‬



‫ג‪.‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0 1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪20 10 40 50‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪4 180 49‬‬ ‫‪0 270 35‬‬ ‫‪0 360 21‬‬



‫‪1 2‬‬ ‫ה‪2 3 .‬‬ ‫‪1 0 2 0‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3 0 2‬‬



‫‪2‬‬ ‫ד‪1 3 2 .‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1 4 3‬‬ ‫‪2 2 1 1‬‬



‫התשובה בעמוד ‪408‬‬ ‫שאלה ‪) 4.3.16‬שאלת רשות(‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ n‬ותהי ‪ B‬מטריצה ריבועית מסדר‬ ‫תהי ‪ C‬מטריצה ריבועית מסדר ‪, n  m‬‬



‫‪.m‬‬ ‫‪X n m ‬‬ ‫‪Bm m ‬‬



‫‪A‬‬ ‫‪C   nn‬‬ ‫‪Om n‬‬



‫כאשר ‪ Om  n‬היא מטריצת האפס מסדר ‪ m  n‬ו ‪ X n m‬היא מטריצה כלשהי מהסדר הנקוב‪.‬‬ ‫הוכיחו כי‪:‬‬ ‫‪C  A B‬‬



‫‪358‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫רמז‪ :‬עבור ‪ B‬נתונה כלשהי‪ ,‬הוכיחו את המשפט באינדוקציה על הסדר‬



‫‪n‬‬



‫של המטריצה הריבועית ‪. A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪409‬‬



‫שאלה ‪) 4.3.17‬שאלת רשות(‬ ‫הוכיחו שהדטרמיננטה של המטריצה‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ n  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n  2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬



‫היא מספר שלם המתחלק ב )‪. n ( n  1‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪2‬‬



‫‪ 1‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫התשובה בעמוד ‪411‬‬



‫שאלה ‪4.3.18‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ n  n‬שבה מופיע בכל שורה המספר ‪ 1‬פעם אחת וכל שאר איברי השורה הם‬ ‫אפסים‪ ,‬וגם מופיע בכל עמודה המספר ‪ 1‬פעם אחת וכל שאר איברי העמודה הם אפסים‪.‬‬ ‫מהו ערכה של ‪? A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪411‬‬ ‫שאלה ‪4.3.19‬‬ ‫יהיו ‪  , ‬ממשיים‪ .‬חשבו את הדטרמיננטה מסדר ‪10: n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫רמז‪ :‬חשבו את סכום כל השורות!‬ ‫התשובה בעמוד ‪412‬‬ ‫שאלה ‪4.3.20‬‬ ‫תהי ‪ An‬המטריצה הריבועית מסדר ‪ n‬אשר איברי האלכסון המשני שלה שווים ל‪ 1‬ויתר איבריה‬ ‫הם אפסים‪.‬‬ ‫הוכיחו )באינדוקציה על ‪ ( n‬כי‪:‬‬ ‫)‪n ( n 1‬‬ ‫‪2‬‬



‫)‪An  ( 1‬‬



‫התשובה בעמוד ‪413‬‬



‫‪, i j‬‬ ‫‪ 10‬כלומר‪:‬‬ ‫‪, i j‬‬



‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪[ A]ij ‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪359‬‬



‫שאלה ‪4.3.21‬‬ ‫א‪ .‬מהו הערך של ‪ ‬אם‪:‬‬ ‫‪1 0 2‬‬ ‫‪0  3 4‬‬ ‫‪1 4 0‬‬



‫‪2‬‬



‫‪ 1‬‬



‫‪?A ‬‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכים של ‪ ‬מתקיים ‪ ,  I  A  0‬כאשר ‪ A‬היא המטריצה ‪‬‬ ‫‪ 1 3 ‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪413‬‬ ‫שאלה ‪4.3.22‬‬ ‫תהי‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n ‬‬



‫כלומר‪:‬‬



‫‪i j‬‬



‫‪,‬‬



‫‪i j‬‬



‫‪,‬‬



‫‪n n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 n ‬‬ ‫‪n 3 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n n ‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬



‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[ A]ij  ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬



‫חשבו את ‪. A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪414‬‬



‫‪360‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 4.4‬התאפסות הדטרמיננטה‬ ‫בפרק הקודם‪ ,‬כאשר עסקנו בשאלה מתי מטריצה ריבועית ‪ A‬היא הפיכה‪ ,‬מצאנו אפיונים שונים של‬ ‫תכונת ההפיכוּת‪ .‬באמצעות הדטרמיננטה נוכל לתת אפיון נוסף‪ ,‬מפתיע ושימושי‪ ,‬לתכונה זו‪.‬‬ ‫משפט ‪4.4.1‬‬ ‫מטריצה ריבועית ‪ A‬היא הפיכה אם ורק אם ‪. A  0‬‬ ‫באופן שקול‪ ,‬מטריצה ריבועית ‪ A‬היא לא הפיכה אם ורק אם ‪. A  0‬‬ ‫להוכחת המשפט ניעזר בלמה הבאה‪:‬‬ ‫למה ‪4.4.2‬‬ ‫אם ‪ A‬שקולתשורה ל ‪ B‬אז ‪ A  0‬אם ורק אם ‪. B  0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫מאחר ש ‪ A‬שקולתשורה ל ‪ , B‬הרי ש ‪ B‬מתקבלת מ ‪ A‬עלידי סדרה של פעולות אלמנטריות על‬ ‫שורות ‪ . A‬בסעיף הקודם ראינו כי‪:‬‬ ‫‪ ‬החלפת שורות הופכת את סימן הדטרמיננטה‪.‬‬ ‫‪ ‬כפל שורה בסקלר שונה מאפס כופל את הדטרמיננטה באותו סקלר‪.‬‬ ‫‪ ‬הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אינה משנה את הדטרמיננטה‪.‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬במעבר מ ‪ A‬ל ‪ B‬משתנה הדטרמיננטה בכל שלב בכך שהיא מוכפלת בסקלר שונה מאפס‬ ‫)שיכול להיות גם שווה ל ‪.( 1‬‬ ‫לכן‪ ,‬קיים ‪ , t  0‬כך ש ‪. A  t B‬‬ ‫משוויון זה ברור כי ‪ A  0‬אם ורק אם ‪. B  0‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הוכחת משפט ‪4.4.1‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית‪ .‬טענת המשפט שקולה לצמד הטענות‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ A‬הפיכה‪ ,‬אז ‪. A  0‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ A‬אינה הפיכה‪ ,‬אז ‪. A  0‬‬ ‫נוכיח אותן‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ ,‬אז ‪ A‬שקולתשורה ל ‪) I‬משפט ‪3.10.6‬ב(‪ ,‬ומאחר ש ‪ , I  0‬הרי על פי‬ ‫למה ‪. A  0 ,4.4.2‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪361‬‬



‫ב‪ .‬נניח כי ‪ A‬לא הפיכה‪ .‬מאחר ש ‪ A‬ריבועית‪ ,‬היא שקולתשורה למטריצה ‪ A‬שיש בה שורת‬ ‫אפסים )משפט ‪ .(1.14.4‬לכן ‪ , A  0‬ולכן על פי למה ‪. A  0 ,4.4.2‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫לאור משפט ‪ ,4.4.1‬איהתאפסות הדטרמיננטה היא תנאי שקול לכל אחד מן התנאים המופיעים‬ ‫במשפט ‪.3.10.6‬‬ ‫שאלה ‪4.4.1‬‬ ‫אילו מהמטריצות המופיעות בשאלה ‪ 4.3.15‬הן הפיכות?‬ ‫התשובה בעמוד ‪414‬‬ ‫שאלה ‪4.4.2‬‬ ‫‪a13 ‬‬ ‫הוכיחו שאם ‪a23 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a33 ‬‬



‫הפיכה‪.‬‬



‫‪a12‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪a32‬‬



‫‪a31 ‬‬ ‫‪ a11‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪  a21‬היא מטריצה הפיכה מעל ‪ , ‬אז גם ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a33 ‬‬ ‫‪ a31‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a32 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4  a22‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a13‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 12‬‬



‫התשובה בעמוד ‪414‬‬ ‫שאלה ‪4.4.3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪a  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫הפיכה?‬ ‫‪1‬‬ ‫עבור אילו ערכים של הסקלר הממשי ‪ a‬המטריצה ‪a  1 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a  4 ‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫התשובה בעמוד ‪415‬‬ ‫שאלה ‪4.4.4‬‬ ‫תהי ] ‪ A  [ aij‬מטריצה מסדר ‪ n  n‬ששסכום האיברים בכל שורה שלה הוא אפס‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל ‪i,‬‬ ‫‪:1  i  n‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ aij‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫חשבו את ‪. A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪415‬‬



‫‪362‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 4.5‬הדטרמיננטה של מכפלת מטריצות‬ ‫הנה תכונה מרשימה של דטרמיננטות‪:‬‬ ‫משפט ‪ 4.5.1‬הדטרמיננטה של מכפלת מטריצות‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות ריבועיות מאותו סדר )ומעל אותו שדה(‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪AB  A B‬‬



‫הוכחה‬ ‫הוכחת המשפט תיעשה בשלבים – תחילה למקרה ש ‪ A‬היא מטריצה אלמנטרית‪ ,‬לאחר מכן למקרה‬ ‫ש ‪ A‬היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות‪ ,‬ולבסוף ל ‪ A‬כלשהי‪.‬‬



‫שלב א –‬



‫נניח כי ‪ A‬היא מטריצה אלמנטרית ו ‪ B‬היא מטריצה ריבועית מאותו הסדר‪ ,‬ונוכיח‪:‬‬ ‫‪AB  A B‬‬



‫בסעיף ‪ 3.9‬עסקנו במטריצות אלמנטריות‪ .‬כזכור‪ ,‬מטריצה אלמנטרית ‪ A‬היא מטריצה המתקבלת‬ ‫ממטריצת היחידה‪ , I ,‬עלידי ביצוע פעולה אלמנטרית ‪ ‬על שורות ‪ , A‬כלומר ) ‪ . A   ( I‬יתר על‬ ‫כן‪ ,‬על פי טענה ‪ ,3.9.3‬אם ‪ ‬היא פעולה אלמנטרית כלשהי ו ‪ C‬מטריצה כלשהי‪ ,‬אז ביצוע הפעולה‬ ‫‪ ‬על ‪ C‬כמוה ככפל ‪ C‬משמאל ב ) ‪ ,  ( I‬כלומר‪:‬‬ ‫‪ (C )   ( I )C‬‬



‫קיימים שלושה טיפוסים של פעולות אלמנטריות‪ ,‬ובהוכחתנו נתייחס לכל טיפוס בנפרד‪.‬‬ ‫‪  .1‬היא החלפה הדדית של שתי שורות )בסימנים‪ .(  : Ri  R j :‬כלומר‪  ( I ) ,‬מתקבלת‬ ‫עלידי החלפת שתי שורות ב ‪ I‬זו בזו‪.‬‬ ‫במקרה זה‪ ,‬לפי משפט ‪,4.3.2‬‬ ‫‪A   ( I )   I  1‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫וכן‪,‬‬



‫‪ ( B)   B‬‬



‫)‪(2‬‬



‫לכן‪:‬‬ ‫‪AB   ( I ) B   ( B )   B  ( 1) B  A B‬‬ ‫‪‬‬



‫לפי )‪(1‬‬



‫‪‬‬



‫לפי )‪(2‬‬



‫‪  .2‬היא כפל שורה בסקלר ‪) t  0‬בסימנים‪ .(  : Ri  tRi :‬כלומר‪  ( I ) ,‬מתקבלת מ ‪ I‬עלידי‬ ‫כפל שורה כלשהי ב ‪. t‬‬ ‫במקרה זה‪,‬‬ ‫‪A  (I )  t I  t‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪ ( B)  t B‬‬



‫)‪(2‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫ולכן‪:‬‬



‫‪363‬‬



‫‪AB   ( I ) B   ( B )  t B  A B‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫לפי )‪ (1‬לפי )‪(2‬‬



‫‪  .3‬היא הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת )בסימנים‪ .(  : Ri  Ri  tR j :‬כלומר‪,‬‬ ‫) ‪  ( I‬מתקבלת מ ‪ I‬עלידי הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת‪.‬‬ ‫במקרה זה‪,‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪I‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪ ( B)  B‬‬



‫ולכן לכל ‪, B‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪AB   ( I ) B   ( B )  B  1  B  A B‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫לפי )‪(1‬‬



‫לפי )‪(2‬‬



‫ובזאת סיימנו את הוכחת שלב א‪.‬‬ ‫שלב ב – נניח כי ‪ A‬היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות ו ‪ B‬היא מטריצה ריבועית מאותו‬ ‫הסדר‪ ,‬ונוכיח‪:‬‬ ‫‪AB  A B‬‬



‫ההוכחה תהיה באינדוקציה על מספר הגורמים ‪ n‬במכפלה המתארת את ‪. A‬‬ ‫כאשר ‪ , A   ( I ) , n  1‬ולפי שלב א‪:‬‬ ‫‪AB  A B‬‬



‫נניח כי טענת שלב ב נכונה עבור מטריצות ‪ , A‬שהן מכפלות של ‪ n  1‬מטריצות אלמנטריות )‪. ( n  2‬‬ ‫נוכיח כי טענה זו נכונה עבור מטריצות ‪ , A‬שהן מכפלות של ‪ n‬מטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫תהי‪ ,‬אם כן‪,‬‬ ‫) ‪A   n ( I ) n 1 ( I )    1 ( I‬‬



‫אז‪:‬‬



‫‪AB  n ( I )n 1 ( I )    1 ( I )  B‬‬



‫כדרוש‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬



‫כפל מטריצות הוא קיבוצי‪.‬‬ ‫לפי שלב א‪.‬‬ ‫לפי הנחת האינדוקציה‪.‬‬ ‫שוב‪ ,‬לפי שלב א‪.‬‬



‫‪n ( I ) n 1 ( I )    1 ( I ) B ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪n ( I )  n 1 ( I )    1 ( I ) B‬‬



‫‪2‬‬



‫‪n ( I )  n 1 ( I )    1 ( I )  B‬‬



‫‪3‬‬



‫‪n ( I )    1 ( I )  B  A B‬‬



‫‪4‬‬



‫‪364‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫שלב ג –‬



‫נוכיח את טענת המשפט עבור ‪ A‬ריבועית כלשהי ו ‪ B‬מטריצה ריבועית מאותו הסדר‪.‬‬



‫נבחין בין שני מקרים‪:‬‬ ‫‪ A .1‬הפיכה )‪. ( A  0‬‬ ‫‪ A . 2‬לא הפיכה )‪. ( A  0‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ A‬הפיכה‪ ,‬אז לפי מסקנה ‪ A ,3.9.8‬היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות‪ ,‬ולכן על פי שלב ב‪:‬‬ ‫‪AB  A B‬‬



‫‪ .2‬אם ‪ A‬לא הפיכה )‪ , ( A  0‬אז ‪ A‬אינה שקולתשורה למטריצת היחידה ‪ , I‬ולכן היא‬ ‫שקולת שורה למטריצה שיש בה שורת אפסים‪ 5.‬כלומר‪ ,‬קיימות מטריצות אלמנטריות‬ ‫) ‪ 1 ( I ), ,  k ( I‬כך שבמטריצה‬ ‫‪A   k ( I )    1 ( I ) A‬‬



‫יש שורת אפסים‪ .‬מכאן נובע כי לכל ‪ , B‬יש במטריצה ‪ AB‬שורת אפסים‪ 6,‬כלומר במטריצה‬ ‫‪ k ( I )    1 ( I ) AB‬‬



‫יש שורת אפסים‪ ,‬ולכן‪:‬‬ ‫‪k ( I )    1 ( I ) AB  0‬‬



‫אבל המטריצה ‪  k ( I )    1 ( I ) AB‬שקולתשורה למטריצה ‪ , AB‬ולכן גם‪:‬‬ ‫‪AB  0‬‬



‫נסכם‪:‬‬ ‫כאשר ‪ A‬לא הפיכה‪ ,‬אז מחד גיסא‪,‬‬ ‫‪A B 0B 0‬‬



‫מאידך גיסא‪,‬‬ ‫‪AB  0‬‬



‫ולפיכך גם במקרה זה‪:‬‬ ‫‪AB  A B‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫כמסקנה ממשפט ‪ 4.5.1‬נקבל‪:‬‬ ‫מסקנה ‪4.5.2‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות ריבועיות המקיימות‪:‬‬



‫‪AB  I‬‬



‫אז ‪ A‬ו ‪ B‬שתיהן הפיכות וכל אחת מהן היא ההופכית של האחרת‪ 7,‬כלומר ‪. AB  BA  I‬‬



‫‪ 5‬ראו משפטים ‪ 1.14.4‬ו‪.3.10.6‬‬ ‫‪ 6‬מסקנה ‪.3.4.4‬‬ ‫‪ 7‬את המסקנה הזאת יכולנו להוכיח בקלות גם בעקבות משפט ‪ 3.10.6‬בלי להסתמך על משפט ‪ ,4.5.1‬אלא שכאן‬ ‫ההוכחה אלגנטית יותר‪.‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪365‬‬



‫שאלה ‪4.5.1‬‬ ‫הראו כיצד נובעת המסקנה האחרונה ממשפט ‪.4.5.1‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪415‬‬ ‫שאלה ‪4.5.2‬‬ ‫את הטענות שבשאלה זו כבר הוכחתם בעבר‪ .‬הפעם הוכיחו אותן תוך שימוש במשפט ‪ 4.5.1‬ובאפיון‬ ‫של מטריצות הפיכות כמטריצות שהדטרמיננטה שלהן שונה מאפס‪.‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ A‬לא הפיכה ו‪ B -‬ריבועית מאותו הסדר‪ ,‬אז ‪ AB‬וגם ‪ BA‬שתיהן לא הפיכות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מכפלה של שתי מטריצות הפיכות היא הפיכה‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪416‬‬ ‫שאלה ‪4.5.3‬‬ ‫נניח ש ‪ A, B‬מטריצות ריבועיות מאותו הסדר‪ ,‬כך ש ‪ . A2  AB  I‬הוכיחו ש ‪ A‬ו ‪ B‬מתחלפות‪,‬‬ ‫כלומר ‪. AB  BA‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪416‬‬ ‫להלן עוד שתי מסקנות חשובות ממשפט ‪:4.5.1‬‬ ‫מסקנה ‪4.5.3‬‬ ‫לכל מטריצה ריבועית ‪ A‬ולכל ‪ k  1‬טבעי‪ ,‬מתקיים‪:‬‬



‫‪k‬‬



‫‪Ak  A‬‬



‫הוכיחו בעצמכם את מסקנה ‪.4.5.3‬‬ ‫מסקנה ‪4.5.4‬‬ ‫אם ‪ A‬מטריצה הפיכה אז‪:‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪A1 ‬‬



‫הוכחה‬ ‫המסקנה נובעת בקלות מהשוויונות‪:‬‬ ‫‪A1  A  A1 A  I  1‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.5.4‬‬ ‫הוכיחו כי‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬אין מטריצה ‪ , B  M 3 (  ) B,‬כך ש ‪. B   I‬‬ ‫ב‪ .‬אם ) ‪ A, B  M 7 ( ‬הן מטריצות הפיכות‪ ,‬אז ‪. AB  BA  0‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪416‬‬



‫‪366‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 4.6‬כלל קרמר‬ ‫בפרק ‪ 1‬למדנו כיצד לפתור מערכות משוואות לינאריות כלליות‪ ,‬ובפרט מערכות משוואות לינאריות‬ ‫של ‪ n‬משוואות ב ‪ n‬נעלמים‪ .‬שיטת הפתרון – שיטת החילוץ של גאוס – לא נתנה בידינו נוסחה‬ ‫מפורשת למציאת הפתרונות‪ ,‬אלא רק מתכון למציאתם‪ .‬בסעיף זה נראה כיצד נוכל לתת ביטוי‬ ‫מפורש‪ ,‬בעזרת דטרמיננטות‪ ,‬עבור רכיבי הפתרון‪.‬‬ ‫תהי נתונה מערכת לינארית של ‪ n‬משוואות ב ‪ n‬נעלמים‪:‬‬ ‫‪‬‬



‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bn‬‬



‫‪a11 x1    a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1    ann xn‬‬



‫נסמן ב ‪ A‬את מטריצת המקדמים המצומצמת וב ‪ B‬את וקטור העמודה של המקדמים החופשיים‪:‬‬ ‫‪ b1 ‬‬ ‫‪, b‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪bn ‬‬



‫‪ a11  a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1  ann ‬‬



‫משפט ‪ 4.6.1‬כלל קרמר‬ ‫‪ c1 ‬‬ ‫אם ‪ , A  0‬אז למערכת ‪ Ax  b‬יש פתרון יחיד‪ ,    ,‬ורכיביו נתונים עלידי‪:‬‬ ‫‪ cn ‬‬ ‫לכל ‪, 1  k  n‬‬ ‫‪Ak‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪ck ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫כאשר ‪ Ak‬היא המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי החלפת העמודה ה ‪ k‬של ‪ A‬בווקטור העמודה ‪. b‬‬ ‫הערה‬ ‫נוסחה זו אינה יעילה לחישוב מעשי של הפתרון‪ ,‬שכן מספר הצעדים הכרוך בחישוב הדטרמיננטות‬ ‫הרלוונטיות גדול מזה הדרוש בתהליך החילוץ של גאוס‪ .‬העניין בכלל קרמר הוא בכך‪ ,‬שהוא מראה‬ ‫במפורש כיצד הפתרונות תלויים במקדמי המערכת‪ .‬הכרת התלות הזאת חשובה‪ ,‬למשל‪ ,‬בבעיות‬ ‫מעשיות שבהן מקדמי המערכת הם מספרים שנמדדו בניסיון ואינם ידועים במדויק; במקרים כאלה‬ ‫רוצים לדעת מה קורה לפתרונות כאשר מבצעים שינויים קטנים במקדמי המערכת‪.‬‬ ‫הוכחת משפט ‪4.6.1‬‬ ‫כבר ראינו כי מתוך ‪ A  0‬נובע שלמערכת ‪ Ax  b‬יש פתרון יחיד‪ .‬נסמנו ) ‪. ( c1 , , cn‬‬



367



(2)



‫ דטרמיננטות‬ 4 ‫פרק‬



a11c1    a1n cn   an1c1    ann cn



:‫ ( מקיימת אם כן‬c1 , , cn ) ‫ יה‬n ‫ה‬







b1   bn



: A1 ‫נחשב כעת את‬ b1 a12  a1n    A1   bn an 2  ann ‫זוהי העמודה הראשונה של המטריצה‬  a11c1    a1n cn a12  a1n 8



9



   an1c1    ann cn a11c1



a12



 a1n











an1c1



an 2



   ann



 



10 



a12



 a1n











an 2 c2



an 2



   ann



 a1n



a12



 ann cn



   an 2  ann



a12



 a1n











a n1



an 2



   ann



   cn



11 







a12 c2



a1n cn



a11 c1



   an 2  ann



 c2



a12



a12



 a1n











an 2



an 2



   ann



a1n



a12



 a1n











ann



an 2



   ann



c1 A  c2  0    cn  0  c1 A



,‫כלומר‬ A1  c1 A



.(2) ‫לפי‬ .‫ לעמודות‬4.3.4 ‫עלידי שימוש חוזר במשפט‬ .‫ לעמודות‬4.3.3 ‫לפי משפט‬ .‫ בכל אחת מן הדטרמיננטות )פרט לראשונה( יש שתי עמודות שוות‬,‫שכן‬



8 9 10 11



‫‪368‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪c1 ‬‬



‫באותו אופן‪ ,‬מקבלים כי לכל ‪: 1  k  n‬‬ ‫‪Ak‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪ck ‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫נפתור את המערכת הבאה בעזרת כלל קרמר‪:‬‬



‫‪x  4 y  2 z  19‬‬ ‫‪2 x  y  2 z  19‬‬ ‫‪2 x  3 y  z  18‬‬



‫נחשב‪:‬‬ ‫‪1 4 2‬‬ ‫‪A  2 1 2  11‬‬ ‫‪2 3 1‬‬



‫‪ , A  0‬ולכן למערכת יש פתרון יחיד‪ ,‬ואפשר לחשבו באמצעות הכלל שלמדנו‪.‬‬ ‫‪19 4 2‬‬ ‫‪A1  19 1 2  51‬‬ ‫‪18 3 1‬‬ ‫‪1 19 2‬‬ ‫‪A2  2 19 2  17‬‬ ‫‪2 18 1‬‬ ‫‪1 4 19‬‬ ‫‪A3  2 1 19  45‬‬ ‫‪2 3 18‬‬



‫ומכאן‪:‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪x3 ‬‬ ‫‪11‬‬



‫‪17‬‬ ‫‪x2 ‬‬ ‫‪11‬‬



‫‪51‬‬ ‫‪x1 ‬‬ ‫‪11‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪4.6.1‬‬ ‫פתרו בעזרת כלל קרמר את המערכת‪:‬‬



‫‪2 x1  3 x2  1‬‬ ‫‪3 x1  4 x2  10‬‬



‫התשובה בעמוד ‪417‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫שאלה ‪4.6.2‬‬ ‫פתרו בעזרת כלל קרמר את המערכת‪:‬‬



‫‪369‬‬



‫‪2 x1  x2  2 x3  10‬‬ ‫‪3 x1  2 x2  2 x3  1‬‬ ‫‪5 x1  4 x2  3 x3  4‬‬



‫התשובה בעמוד ‪417‬‬



‫‪370‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 4.7‬המטריצה המצורפת‬ ‫בסעיף זה נפתח דרך חדשה לחישוב המטריצה ההופכית למטריצה הפיכה נתונה‪ ,‬תוך שימוש בכלל‬ ‫קרמר‪.‬‬ ‫טענה ‪4.7.1‬‬ ‫רשומים כעמודות‪1.‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ ,‬ויהיו ‪ e1 ,  , e n‬איברי הבסיס הסטנדרטי של‬ ‫לכל ‪ , 1  j  n , j‬נסמן ב ‪ b j‬את הפתרון היחיד של המערכת ‪ 2, Ax  e j‬ותהי ‪ B‬המטריצה‬ ‫שעמודותיה הן הווקטורים ‪ . b j‬אז ‪. B  A1‬‬ ‫‪, Fn‬‬



‫הוכחה‬ ‫לפי מסקנה ‪ ,4.5.2‬מספיק להוכיח כי ‪. AB  I‬‬ ‫לשם כך‪ ,‬די שנוכיח כי לכל ‪ , 1  j  n‬העמודה ה ‪ j‬של ‪ AB‬היא העמודה ה ‪ j‬של ‪. I‬‬ ‫אבל העמודה ה ‪ j‬של ‪ I‬אינה אלא הווקטור‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מקום ‪e j  1   j‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0 ‬‬



‫לכן‪ ,‬די לנו שנוכיח כי לכל ‪ , 1  j  n‬העמודה ה ‪ j‬של ‪ AB‬שווה ל ‪. e j‬‬ ‫העמודה ה ‪ j‬של ‪ AB‬היא המכפלה של ‪ A‬בעמודה ה ‪ j‬של ‪ 3, B‬והעמודה ה ‪ j‬של ‪ B‬היא‬ ‫הווקטור ‪ , b j‬ולכן עלינו להוכיח כי ‪ . Ab j  e j‬אולם זה כמובן נכון‪ ,‬שהרי ‪ b j‬הוא הפתרון של‬ ‫המערכת ‪. Ax  e j‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫מצאנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי למציאת העמודות של ‪ A1‬עלינו לפתור את המערכות ‪ Ax  e j‬עבור‬ ‫‪ , j  1,, n‬ופתרונותיהן יהיו העמודות של ‪. A1‬‬ ‫‪ b1 j ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫כעת נבטא את הפתרון ‪ , b j    ‬של ‪ , Ax  e j‬באמצעות כלל קרמר‪.‬‬ ‫‪ bnj ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫כלומר‪,, e n     ,‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לכל ‪ 1  j  n‬למערכת הלינארית ‪ Ax  e j‬קיים פתרון יחיד )מדוע?(‪.‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬ראו למה ‪.3.4.3‬‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, e 2   0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪e1  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪371‬‬



‫לשם נוחות הסימונים‪ ,‬נבחר בשלב זה ‪ j‬קבוע‪.‬‬ ‫לפי כלל קרמר‪,‬‬ ‫‪Ai‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪bij ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫כאשר ‪ Ai‬היא המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי החלפת העמודה ה ‪ i‬של ‪ A‬ב ‪ . e j‬נרשום‬ ‫] ‪ , A  [ Aij‬ואז‪:‬‬ ‫‪ a11  0  a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שורה ‪Ai   a j1  1  a jn   j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ an1  0  ann ‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאן‪ ,‬בעמודה ה ‪ , i‬רשום הווקטור‬



‫‪ej‬‬



‫‪ Ai‬נפתח את הדטרמיננטה של ‪ Ai‬לפי העמודה ה ‪ , i‬ומאחר שכל האיברים פרט ל ‪j‬‬



‫לחישוב‬ ‫בעמודה זו הם אפסים‪ ,‬נקבל כי‪:‬‬



‫‪Ai  ( 1) j  i AM‬‬ ‫‪ji‬‬



‫נציב את התוצאה האחרונה ב)‪ (1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪( 1)i  j AM‬‬ ‫‪ji‬‬ ‫‪A‬‬



‫השוויון )‪ (2‬נכון לכל ‪ , 1  i , j  n‬ומכאן שהמטריצה ‪ A1‬ההופכית ל ‪ A‬נתונה‬



‫‪bij ‬‬



‫)‪(2‬‬



‫עלידי‪4‬‬



‫] ‪A1  [bij‬‬



‫כאשר ‪ bij‬נתונים עלידי )‪.(2‬‬ ‫הגדרה ‪4.7.2‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪. n  n‬‬ ‫המטריצה המצורפת ל ‪ , A‬שסימנה ‪ 5, adj A‬היא המטריצה שהאיבר ה ) ‪ (i , j‬שלה נתון עלידי‪:‬‬ ‫‪[adj A]ij  ( 1)i  j AM‬‬ ‫‪ji‬‬



‫מטענה ‪ 4.7.1‬נסיק‪:‬‬



‫‪ 4‬שימו לב כי לצורך חישוב האיבר ה ) ‪ ( i , j‬של ‪ A1‬אנו משתמשים במטריצת המינורית ה ‪ j , i‬של ‪. A‬‬ ‫‪ adj 5‬הוא קיצור המילה האנגלית ‪ ,adjoint‬שתרגומה המילולי הוא "צמוד"‪ .‬עם זאת‪ ,‬בחרנו בביטוי "המטריצה‬ ‫המצורפת"‪ ,‬ולא "המטריצה הצמודה"‪ ,‬משום שהמינוח האחרון ישמש אותנו בהמשך הקורס לתיאור מושג אחר‪.‬‬



‫‪372‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫מסקנה ‪4.7.3‬‬ ‫אם ‪ A‬מטריצה הפיכה אז‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪adj A‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪A 1 ‬‬



‫שאלה ‪4.7.1‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫עבור ‪ A   11 12 ‬המקיימת ‪ , A  0‬חשבו את ‪ adj A‬ותארו באמצעותה את ‪. A1‬‬ ‫‪a21 a22 ‬‬



‫התשובה בעמוד ‪418‬‬ ‫התבוננו בשוויון‬ ‫‪1‬‬ ‫‪adj A‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪A 1 ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫אשר מנוסח במסקנה ‪ ,4.7.3‬ותקף לכל מטריצה הפיכה‪.‬‬ ‫אם נציב במקום ‪ A1‬בשוויון ‪ AA1  A1 A  I‬את אגף ימין של )‪ ,(1‬ונכפול את השוויון‬ ‫שהתקבל ב ‪ , A‬נקבל‪:‬‬ ‫‪A(adj A)  (adj A) A  A I‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫מסתבר ששוויון זה נכון עבור כל מטריצה‪ ,‬הפיכה או לא הפיכה‪ .‬נוכיח עתה משפט זה באופן ישיר‪.‬‬ ‫משפט ‪4.7.4‬‬ ‫לכל מטריצה ריבועית ‪ A‬מתקיים ‪. A(adj A)  (adj A) A  A I‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהיינה ] ‪ . adj A  [bij ] , A  [aij‬נסמן ] ‪. C  (adj A) A  [ cij‬‬ ‫נוכיח ראשית כי לכל ‪ i‬מתקיים ‪: cii  A‬‬ ‫האיבר ‪ cii‬שווה למכפלת השורה ה ‪ i‬של ‪ adj A‬בעמודה ה ‪ i‬של ‪ , A‬כלומר‪:‬‬ ‫‪AkiM aki‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪ bik aki   ( 1)i  k‬‬



‫‪cii ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫אולם‪ ,‬אגף ימין של )‪ (1‬אינו אלא פיתוח של ‪ A‬לפי העמודה ה ‪ , i‬ולכן ‪ , cii  A‬כפי שרצינו‬ ‫להוכיח‪.‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪373‬‬



‫נוכיח עתה שאם ‪ , i  j‬אז ‪: cij  0‬‬ ‫האיבר ‪ cij‬שווה למכפלת השורה ה ‪ i‬של ‪ adj A‬בעמודה ה ‪ j‬של ‪ , A‬כלומר‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪AkiM   ( 1)i  k akj AkiM‬‬ ‫‪k 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪ bik akj   akj ( 1)i  k‬‬



‫‪cij ‬‬



‫)‪(2‬‬



‫איברי העמודה ה ‪ i‬של ‪ A‬אינם משתתפים בסכום האחרון‪ .‬לכן‪ ,‬אילו במקום המטריצה ‪ A‬היינו‬ ‫לוקחים את המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי מחיקת העמודה ה ‪ i‬והצבת העמודה ה ‪) j‬של ‪( A‬‬ ‫במקומה‪ ,‬הסכום באגף ימין של )‪ (2‬לא היה משתנה‪ .‬לכן‪ ,‬אם ] ‪ D  [ dij‬היא המטריצה המתקבלת‬ ‫מ ‪ A‬בצורה דלעיל‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪d ki DkiM‬‬



‫‪ik‬‬



‫‪n‬‬



‫‪  1‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪DkiM ‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ik‬‬ ‫‪  1 d kj‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪cij ‬‬



‫)‪(3‬‬



‫)כי ‪ d ki  d kj  akj‬לכל ‪ , 1  k  n‬וכן ‪(. AkiM  DkiM‬‬ ‫אולם בשוויון הימני של )‪ (3‬רשום בדיוק פיתוח הדטרמיננטה של ‪ D‬לפי העמודה ה ‪ , i‬כלומר‬ ‫‪ , cij  D‬ומכיוון שב ‪ D‬יש שתי עמודות שוות )העמודה ה ‪ i‬שווה לעמודה ה ‪ ,( j‬נובע‬ ‫ש ‪ . D  0‬לכן ‪. cij  0‬‬ ‫קיבלנו אפוא כי‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  AI‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪A ‬‬



‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪A‬‬



‫‪‬‬



‫‪0 ‬‬



‫‪A‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(adj A) A  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫כעת‪ ,‬כדי להוכיח ש ‪ , A  adj A  A I‬נפעיל את התוצאה האחרונה על המטריצה ‪ , At‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪(adj At ) At  At I‬‬



‫אבל ‪ 6, adj At  (adj A)t‬וכן ‪ , At  A‬ולכן נקבל כי‪:‬‬ ‫‪(adj A)t At  A I‬‬



‫)‪(4‬‬



‫לפי טענה ‪ ,3.4.5‬אגף שמאל של )‪ (4‬שווה ל ‪ , ( A  adj A)t‬ולכן ‪ , ( A  adj A)t  A I‬ואם נשחלף את‬ ‫השוויון האחרון נקבל‪:‬‬ ‫‪A  adj A  A I‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬



‫‪ 6‬הוכיחו תכונה זו בעצמכם‪.‬‬



‫‪374‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 4.8‬תמורות‬ ‫סעיף זה‪ ,‬וכן הסעיף הבא‪ ,‬הם בחזקת חומר רשות בקורס‪.‬‬ ‫הגדרת הדטרמיננטה‪ ,‬כזכור‪ ,‬הייתה הגדרה רקורסיבית – לא נתנו הגדרה מפורשת לדטרמיננטה של‬ ‫מטריצה ריבועית כללית‪ ,‬אלא מתכון לחישובה מתוך דטרמיננטה של מטריצות מסדרים נמוכים‬ ‫יותר‪ .‬בסעיף הבא נציג ביטוי מפורש לערכה של הדטרמיננטה – כזה שאינו תלוי בהגדרתה עבור‬ ‫מטריצות קטנות יותר‪ .‬לצורך זה‪ ,‬נזדקק לכלי מתמטי חדש – תמורה‪ .‬התמורה היא מושג מרכזי‬ ‫באלגברה‪ ,‬אך בסעיף זה נציג רק את ההגדרות והתכונות הבסיסיות הנחוצות לצורך פיתוח‬ ‫הדטרמיננטה‪.‬‬ ‫תמורה‪1‬‬



‫הגדרה ‪4.8.1‬‬ ‫יהי ‪ n‬מספר טבעי‪ .‬פונקציה חדחדערכית ועל מהקבוצה ‪ 1, 2,,n‬לעצמה נקראת תמורה על‬ ‫הקבוצה ‪. 1, 2,,n‬‬ ‫אוסף התמורות הללו מסומן ב ‪. S n‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪ ,   ‬כאשר ‪  (i )  ai‬לכל ‪. 1  i  n‬‬ ‫נסמן תמורה ‪   Sn‬עלידי ‪‬‬ ‫‪ a1 a2  an ‬‬ ‫‪ ‬שימו לב כי כל תמורה ‪   Sn‬היא פונקציה הפיכה‪ ,‬והפונקציה ההופכית לה ‪  1‬גם היא‬ ‫תמורה‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫התמורה ‪ ,   S5‬המקיימת ‪ ,  (1)  3,  (2)  2,  (3)  4,  (4)  5,  (5)  1‬תסומן כך‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3 4 5‬‬



‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 2 4 5 1‬‬



‫התמורה ההפוכה לה‪ ,  1 ,‬מקיימת‪:‬‬ ‫‪ 1 (1)  5,  1 (2)  2,  1 (3)  1,  1 (4)  3,  1 (5)  4‬‬ ‫‪1 2 3 4 5‬‬



‫‪.  1  ‬‬ ‫כלומר ‪‬‬ ‫‪5 2 1 3 4‬‬



‫‪‬‬



‫הגדרה ‪ 4.8.2‬היפוך )בתמורה(‬ ‫תהי ‪ .   S‬אם ‪ i  j‬אך ) ‪ ,  (i )   ( j‬נאמר כי )) ‪ ( (i ),  ( j‬הוא היפוך ב ‪2. ‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ 1‬תמורה – ‪.permutation‬‬ ‫‪ 2‬שימו לב‪ ,‬איננו רואים היפוך‪ ,‬בפני עצמו‪ ,‬כתמורה‪ .‬היפוך הוא פשוט זוג ערכים בתוך תמורה‪ ,‬המקיים את התנאי‬ ‫המופיע בהגדרה ‪.4.8.2‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪375‬‬



‫דוגמה‬



‫‪ 1 2 3 4 5‬‬ ‫‪   ‬ישנם בדיוק חמישה היפוכים‪:‬‬ ‫בתמורה ‪‬‬ ‫‪ 3 2 4 5 1‬‬



‫)‪(3,2),(3,1),(2,1),(4,1),(5,1‬‬



‫)ודאו!(‬



‫‪‬‬



‫הגדרה ‪ 4.8.3‬זוגיות של תמורה‬ ‫נקרא הסימן של ‪ , ‬ומסומן ) ‪. sgn(‬‬ ‫תהי ‪ ,   Sn‬ויהי ‪ k‬מספר ההיפוכים ב ‪ . ‬המספר‬ ‫אם ‪ sgn( )  1‬נאמר כי ‪ ‬זוגית‪ ,‬אחרת נאמר כי ‪ ‬איזוגית‪.‬‬ ‫‪( 1)k‬‬



‫דוגמאות‬ ‫‪ 1 2 3 4 5‬‬



‫‪   ‬מכילה חמישה היפוכים‪ ,‬ולכן ‪ , sgn( )  ( 1)5  1‬כלומר‬ ‫א‪ .‬התמורה ‪‬‬ ‫‪ 3 2 4 5 1‬‬ ‫‪ ‬איזוגית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬תמורת הזהות‪ ,‬שאותה נסמן מעתה ב ‪ , ‬אינה מכילה היפוכים כלל‪ ,‬ולכן ‪, sgn( )  ( 1)0  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ו ‪ ‬היא זוגית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.8.4‬חילוף‬ ‫תמורה ‪   Sn‬המקיימת ‪  (i )  j ,  ( j )  i‬עבור איזשהו זוג ‪ , i  j‬וכן ‪  ( k )  k‬לכל‬ ‫‪ , k  i , j‬נקראת חילוף )או טרנספוזיציה(‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‪1 2 3 4 5 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫התמורה‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 2 5 4 3‬‬ ‫ו ‪.  (1)  1,  (2)  2,  (4)  4‬‬



‫היא‬



‫חילוף‬



‫ב ‪, S5‬‬



‫שכן‬



‫‪,  (3)  5,  (5)  3‬‬ ‫‪‬‬



‫שאלה ‪4.8.1‬‬ ‫הוכיחו כי כל חילוף הוא תמורה איזוגית‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪419‬‬ ‫הערה‬ ‫אם ‪ ‬חילוף‪ ,‬אז גם‬



‫‪ 1‬‬



‫היא חילוף ומתקיים ‪ ‬‬



‫‪.  1‬‬



‫מאחר שתמורות הן פונקציות‪ ,‬ניתן להרכיב תמורות ב ‪ . S n‬ההרכבה של שתי תמורות גם היא תמורה‬ ‫)נמקו!(‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.8.2‬‬ ‫‪1 2 3 4 5   1 2 3 4 5 ‬‬



‫‪ ‬ב ‪. S5‬‬ ‫‪‬‬ ‫חשבו את הרכבת התמורות ‪‬‬ ‫‪1 2 5 4 3  5 2 3 4 1 ‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪419‬‬



‫‪376‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הערה‬ ‫מעתה והלאה‪ ,‬נסמן את ההרכבה ‪ 1   2‬עלידי סימון כפל‪ , 1   2 ,‬או בקיצור‬ ‫להרכבת תמורות בשם כפל תמורות‪.‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬מאחר שתמורות הן‪ ,‬בפרט‪ ,‬פונקציות‪ ,‬כפל תמורות הוא פעולה קיבוצית‪.‬‬



‫‪ , 1 2‬ונקרא‬



‫מעניין לשאול‪ ,‬כיצד מתנהג הסימן של כפל תמורות ביחס לסימן של כל אחת מן התמורות‪.‬‬ ‫משפט ‪ 4.8.5‬כפליות הסימן‬ ‫אם ‪  ,  Sn‬תמורות‪ ,‬אז ) ‪. sgn(   )  sgn( )  sgn(‬‬ ‫לפני הוכחת המשפט נציג כמה סימונים‪ ,‬הגדרות ולֶ ָמה שישמשו ככלי עזר להוכחה‪.‬‬ ‫סימון‬ ‫נסמן ‪. X  (i , j ) 1  i , j  n, i  j‬‬ ‫הערה‬ ‫הגדרת הקבוצה ‪ X‬תלויה במספר ‪ . n‬לאורך סעיף זה‪ ,‬נניח כי ‪ n‬הוא מספר טבעי קבוע כלשהו‪ ,‬ולכן‬ ‫גם ‪ X‬קבועה לאורך הסעיף‪.‬‬ ‫הגדרה א‬ ‫נאמר שתתקבוצה ‪ Y‬של ‪ X‬היא תקנית‪ ,‬אם לכל ) ‪ ( i , j‬ב ‪ , X‬בדיוק אחד מן הזוגות ) ‪(i , j ),( j , i‬‬ ‫שייך ל ‪. Y‬‬ ‫דוגמה‬



‫‪ T  (i , j ) 1  i  j  n‬היא קבוצה תקנית‪.‬‬



‫‪‬‬



‫שאלה ‪4.8.3‬‬ ‫נניח כי ‪ . n  3‬אילו מהקבוצות הבאות הן תקניות?‬ ‫א‪Y  (1, 2),(1,3),(2,3) .‬‬



‫ב‪Y  (1, 2),(3,1),(2,3) .‬‬



‫ג‪Y  (1, 2),(2,1),(2,3) .‬‬



‫ד‪Y  (1, 2),(2,1),(3,1),(2,3) .‬‬



‫התשובה בעמוד ‪419‬‬ ‫הגדרה ב‬ ‫א‪ .‬אם ‪ , (i , j )  X‬נסמן ‪ s (i , j )  1‬אם ‪ , i  j‬ו ‪ s (i , j )  1‬אם ‪. i  j‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ (i , j )  X‬ו ‪ ,   Sn‬נסמן ‪.  (i , j )   (i ),  ( j ) ‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪377‬‬



‫שימו לב כי‪:‬‬ ‫‪.  (i , j )  X ‬‬ ‫‪ ‬לכל ‪   Sn‬מתקיים‪:‬‬ ‫)) ‪ (i , j )  ( (i ),  ( j ))  ( ( (i )),  ( ( j )))   ( (i ), ( j ))   ( (i , j‬‬



‫למה א‬ ‫אם ‪ Y‬תתקבוצה תקנית של ‪ X‬ו ‪ ,   Sn‬אז ) ‪s ( (i , j ))  s (i , j‬‬



‫‪‬‬



‫‪( i , j )Y‬‬



‫‪. sgn( ) ‬‬



‫הוכחה‬ ‫תחילה נראה כי אגף ימין של השוויון אינו תלוי בבחירת ‪: Y‬‬ ‫לכל ‪ , (i , j )  X‬או ש ‪ , (i , j )  Y‬או ש ‪ . ( j , i )  Y‬מספיק להראות שלכל‬ ‫) ‪ . s ( (i , j ))  s (i , j )  s ( ( j , i ))  s ( j , i‬שוויון זה נובע מיידית מכך ש‬



‫‪, (i, j )  X‬‬



‫)) ‪s (i, j )   s ( j , i ), s ( (i, j ))   s ( ( j , i‬‬



‫מספיק‪ ,‬אם כן‪ ,‬להוכיח את הטענה עבור ‪ , Y  T‬כאשר ‪ . T  (i , j ) 1  i  j  n‬זכרו שראינו‬ ‫ש ‪ T‬היא קבוצה תקנית‪ .‬במקרה זה‪ ,‬הביטוי ) ‪) s ( (i , j ))  s (i , j‬כאשר ‪ ( i  j‬מקבל את הערך ‪1‬‬ ‫אם ורק אם )‪ , s ( (i , j ))  s (i , j ) (  1‬כלומר אם ורק אם ‪ , s ( (i , j ))  1‬כלומר אם ורק אם‬ ‫) ‪ ,  (i )   ( j‬כלומר אם ורק אם )) ‪ ( (i ),  ( j‬הוא היפוך ב ‪ . ‬לכן אגף ימין של השוויון המבוקש‬ ‫שווה ל )‪ ( 1‬בחזקת מספר ההיפוכים ב ‪ – ‬וזוהי בדיוק ההגדרה של ) ‪. sgn(‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫אם ‪ Y‬היא תתקבוצה תקנית של ‪ X‬ו ‪ ,   Sn‬אז מאחר ש ‪ ‬היא חדחדערכית ועל‪ ,‬גם‬ ‫הקבוצה ‪  (Y )   (i , j ) (i , j )  Y ‬היא תקנית‪.‬‬ ‫הוכחת משפט ‪4.8.5‬‬ ‫תהיינה ‪  ,  Sn‬זוג תמורות‪ .‬נבחר קבוצה תקנית כלשהי ‪ . Y  X‬לפי למה א‪:‬‬ ‫) ‪s ( ( (i , j )))  s (i , j‬‬



‫‪‬‬



‫‪( i , j )Y‬‬



‫‪s ( (i , j ))  s (i , j ) ‬‬



‫‪‬‬



‫‪sgn( ) ‬‬



‫‪( i , j )Y‬‬



‫נשים לב ש ‪  s ( (i , j )   1‬לכל ) ‪ , ( i , j‬לכן את הביטוי המופיע באגף ימין של השוויון הקודם נוכל‬ ‫לכתוב כך‪:‬‬ ‫‪2‬‬



‫) ‪s ( ( (i , j )))  s ( (i , j ))  s ( (i , j ))  s (i , j‬‬



‫‪‬‬



‫‪( i , j )Y‬‬



‫‪378‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נפריד מכפלה זו לשתי מכפלות‬



‫נפרדות‪3:‬‬



‫) ‪s ( (i , j ))  s (i , j‬‬



‫‪‬‬



‫)) ‪s ( ( (i , j )))  s ( (i , j‬‬



‫‪( i , j )Y‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪( i , j )Y‬‬



‫נסמן ) ‪ . Z   (Y‬אז המכפלה השמאלית היא ) ‪s ( (i , j ))  s (i , j‬‬



‫‪‬‬



‫‪( i , j )Z‬‬



‫‪ .‬על פי ההערה שלפני‬



‫ההוכחה‪ Z   (Y ) ,‬היא קבוצה תקנית‪ ,‬לכן על פי למה א‪ ,‬המכפלה השמאלית שווה ל ) ‪. sgn(‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬המכפלה הימנית‪s ( (i , j ))  s (i , j ) ,‬‬



‫‪‬‬



‫‪( i , j )Y‬‬



‫‪ ,‬שווה על פי למה א ל ) ‪ . sgn(‬קיבלנו אפוא‪:‬‬ ‫) ‪sgn( )  sgn( )sgn(‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫למה ‪4.8.6‬‬ ‫תהי ‪   Sn‬תמורה‪ ,‬ויהיו ‪ 1  i , j  n‬אינדקסים שונים‪ .‬נגדיר תמורה‪ ,    Sn ,‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪ ( j ) : k  i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ( k )   ( i ) : k  j‬‬ ‫‪ ( k ) : k  i , j‬‬ ‫‪‬‬



‫אז ‪  ‬מתקבלת עלידי כפל מימין של ‪ ‬בחילוף‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי ‪   Sn‬התמורה המחליפה בין ‪ i‬ו ‪ . j‬ודאו כי ‪.      ‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫למה ‪4.8.7‬‬ ‫ניתן להציג כל תמורה ‪   Sn‬כמכפלה של‬ ‫אז ‪. sgn( )  ( 1)k‬‬



‫חילופים‪4,‬‬



‫ואם מספר החילופים בהצגה כזאת הוא ‪, k‬‬



‫הוכחה‬ ‫נוכיח באינדוקציה על ‪ n‬שכל תמורה ב ‪ S n‬ניתנת להצגה כמכפלה של חילופים‪.‬‬ ‫עבור ‪ , n  1‬התמורה היחידה ב ‪ S1‬היא תמורת הזהות‪ ,‬ואותה אנו רואים כמכפלה של אפס‬ ‫חילופים‪.‬‬ ‫יהי ‪ , n  2‬ונניח שכל תמורה ב ‪ Sn 1‬ניתנת להצגה כמכפלה של חילופים‪ .‬תהי ‪.   Sn‬‬



‫‪ 3‬הסבירו לעצמכם מדוע ההפרדה מותרת‪.‬‬ ‫‪ 4‬את תמורת הזהות נראה כמכפלה של אפס חילופים‪.‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪379‬‬



‫אם ‪ ,  ( n )  n‬אז קיים אינדקס ‪ j  n‬כך ש ‪ .  ( j )  n‬נסמן ‪ . i  n‬נגדיר תמורה ‪  ‬כמו בלמה‬ ‫‪ .4.8.6‬אז ‪  ‬מתקבלת מ ‪ ‬עלידי מכפלה בחילוף ומקיימת ‪ .  ( n )  n‬שימו לב שבמקרה זה גם‬ ‫‪ ‬מתקבלת מ ‪  ‬עלידי מכפלה באותו החילוף‪ ,‬לאור ההערה שלאחר שאלה ‪.4.8.1‬‬ ‫ישנן‪ ,‬אם כן‪ ,‬שתי אפשרויות‪ .‬או ש ‪ ,  ( n )  n‬או ש ‪ ‬מתקבלת עלידי כפל בחילוף מהתמורה ‪ ‬‬



‫המקיימת ‪ .  ( n )  n‬לאור זאת נוכל‪ ,‬במידת הצורך‪ ,‬להחליף את ‪ ‬ב ‪ ,  ‬כדי להניח בלא הגבלת‬ ‫הכלליות ש ‪.  ( n )  n‬‬ ‫כעת נוכל לראות את ‪ ‬כתמורה ‪ ‬ב ‪ , Sn 1‬עלידי צמצום‪ .‬כלומר‪  ( k )   ( k ) ,‬לכל‬ ‫‪ . 1  k  n  1‬לפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬ניתן לכתוב את ‪ ‬כמכפלה של חילופים‪ .‬אך מכך קיבלנו‬ ‫הצגה של ‪ ‬כמכפלה של אותם החילופים‪ .‬בזאת הושלמה האינדוקציה‪.‬‬ ‫אם ‪ ‬היא מכפלה של ‪ k‬חילופים‪ ,‬אז לפי שאלה ‪ 4.8.1‬ומשפט ‪ 4.8.5‬נקבל כי ‪. sgn( )  ( 1)k‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.8.4‬‬ ‫הראו כי מספר החילופים בהצגת תמורה כמכפלה של חילופים אינו יחיד‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬מצאו דוגמה לתמורה ‪   Sn‬ושתי הצגות שונות שלה כמכפלה של חילופים‪ ,‬כך שבכל הצגה‬ ‫מספר שונה של חילופים‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪419‬‬ ‫מלמה ‪ 4.8.7‬נובע כי למספר החילופים בהצגות שונות של אותה התמורה חייבת להיות אותה הזוגיות‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬נקבל את המסקנה הבאה‪:‬‬ ‫מסקנה ‪4.8.8‬‬ ‫לכל תמורה ‪   Sn‬מתקיים ) ‪ sgn(‬‬



‫) ‪. sgn( 1‬‬



‫הוכחה‬ ‫נרשום ‪ ,   1   2     k‬כאשר ‪ 1 ,  2 ,,  k‬הם חילופים‪.‬‬ ‫אז ‪)  1   k1    11‬זכרו כי כפל תמורות הוא למעשה הרכבת פונקציות(‪ .‬לכן‪ ,‬לפי למה ‪,4.8.7‬‬ ‫נקבל ) ‪. sgn( 1 )  ( 1)k  sgn(‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫בזאת סיימנו לבסס את התכונות היסודיות של תמורות וכפל תמורות שלהן אנו נזקקים‪ .‬בסעיף הבא‬ ‫נשתמש בתמורות כדי לתת הגדרה מפורשת‪ ,‬לארקורסיבית‪ ,‬למושג הדטרמיננטה‪ .‬עם זאת‪ ,‬נעיר‬ ‫שחקר תמורות בפני עצמו הוא בעל חשיבות רבה באלגברה‪ ,‬ותוכלו ללמוד על כך בהרחבה במסגרת‬ ‫הקורס "מבנים אלגבריים"‪.‬‬



‫‪380‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪ 4.9‬הדטרמיננטה כפונקציית נפח‬ ‫בסעיף ‪ 4.1‬הגדרנו את מושג הדטרמיננטה‪ .‬לכל מטריצה ריבועית מעל שדה ‪ , F‬התאמנו סקלר ב ‪F‬‬



‫הנקרא הדטרמיננטה של המטריצה‪ ,‬ולמדנו לחשב סקלר זה באמצעות פיתוח לפי שורות‪/‬עמודות‪ .‬כמו‬ ‫כן‪ ,‬למדנו תכונה מרשימה ושימושית של הדטרמיננטה – ערכה שונה מאפס אם ורק אם המטריצה‬ ‫הפיכה‪ .‬כמה שאלות מתעוררות באופן טבעי‪:‬‬ ‫‪ .1‬מדוע הגבלנו את עצמנו מלכתחילה למטריצות ריבועיות?‬ ‫‪ .2‬האם ניתן להגדיר את הדטרמיננטה באופן שאיננו "חישובי"‪ ,‬עלידי נוסחה "סגורה"?‬ ‫‪ .3‬האם ניתן לייחס משמעות גיאומטרית למושג זה?‬ ‫בסעיף זה ננסה לענות על שאלות אלה‪.‬‬ ‫כדי לרכוש אינטואיציה‪ ,‬נפתח בדיון בלתי פורמלי במשמעות הדטרמיננטה של מטריצה ממשית מסדר‬ ‫‪.2  2‬‬ ‫דוגמה א‬ ‫‪c‬‬



‫‪a‬‬



‫‪ ‬מטריצה מסדר ‪ 2  2‬עם מקדמים ממשיים‪ .‬נסתכל על שורות המטריצה כזוג וקטורים‬ ‫תהי ‪‬‬ ‫‪b d ‬‬ ‫‪ , u  a c  , v  b d ‬ונתבונן במקבילית הנפרשת עלידי הווקטורים הללו‪ .‬לצורך האיור‪ ,‬נניח‬ ‫כי רכיבי שני הווקטורים חיוביים )ולכן שני הווקטורים מתוארים ברביע הראשון(‪ ,‬וכי הווקטור ‪u‬‬



‫מופיע "לימינו" של הווקטור ‪. v‬‬



‫נחשב את שטח המקבילית הצבועה בוורוד‪ .‬שטח המשולש הצהוב באיור‪ ,‬שבסיסו באורך ‪a  b‬‬



‫וגובהו ‪ , c‬הוא ‪ . ( a  b )c /2‬זהו גם שטח המשולש הכחול‪ ,‬החופף לו‪ .‬באופן דומה‪ ,‬שטח המשולשים‬ ‫הירוק והסגול הוא ‪ . (c  d )b /2‬את שטח המקבילית נקבל עלידי הפחתת שטחם של ארבעת‬ ‫המשולשים משטחו של המלבן המופיע באיור‪ .‬השטח המתקבל הוא‪:‬‬ ‫‪( a  b)c‬‬ ‫‪( c  d )b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ac  bc  ad  bd  ac  bc  bc  bd‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ad  bc‬‬



‫‪( a  b )( c  d )  2‬‬



‫‪a c ‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫כלומר‪ ,‬קיבלנו כי שטח המקבילית שווה לדטרמיננטה של המטריצה ‪‬‬ ‫‪b d ‬‬



‫‪‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪381‬‬



‫שימו לב כי אם אחד מהווקטורים ‪ u , v‬הוא וקטור האפס‪ ,‬אז המקבילית הנוצרת עלידי הווקטורים‬ ‫מוכלת כולה בישר‪ ,‬ולכן שטחה אפס‪ .‬באופן אינטואיטיבי נוכל לומר‪ ,‬כי צורה חדממדית במרחב‬ ‫דוממדי היא בעלת שטח אפס‪ .‬הבחנה זו מתאימה לתכונה המוכרת‪ ,‬כי הדטרמיננטה של מטריצה‬ ‫שאחת משורותיה היא וקטור האפס היא אפס‪.‬‬ ‫מתוך דוגמה א ניתן להתפתות ולהסיק כי שטח מקבילית הנוצרת עלידי זוג וקטורים במישור שווה‬ ‫לדטרמיננטת המטריצה ששורותיה הן זוג הווקטורים‪ .‬אך יש להיזהר‪ :‬מה יקרה אם נחליף את סדר‬ ‫‪a c ‬‬ ‫‪b d ‬‬ ‫השורות? כלומר‪ ,‬אם נתבונן במטריצה ‪  a c ‬במקום במטריצה ‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ ? ‬שטח המקבילית‪ ,‬כמובן‪,‬‬



‫לא ישתנה‪ ,‬אך הדטרמיננטה תחליף את סימנה‪ .‬נשנה‪ ,‬אם כן‪ ,‬את מסקנתנו‪:‬‬ ‫הדטרמיננטה של מטריצה מסדר ‪ 2  2‬מודדת את שטח המקבילית הנפרשת עלידי שורות‬ ‫המטריצה "עד כדי סימן"‪ .‬כלומר‪ ,‬הדטרמיננטה היא "שטח מכוון"‪ ,‬וערכה המוחלט שווה לשטח‬ ‫המקבילית‪.‬‬ ‫שימו לב כי זוהי מסקנה בלתי פורמלית – לא הגדרנו מהו "שטח מכוון"‪ ,‬ואף לא הוכחנו באופן מדויק‬ ‫את טענתנו על אודות ערכה המוחלט של הדטרמיננטה‪ .‬ביסוס פורמלי של המסקנה והוכחתה ינבע‬ ‫מתוך הדיון הכללי בהמשך הסעיף‪ ,‬אך בכל זאת נרשה לעצמנו להסתמך על המסקנה כמוטיבציה‪.‬‬ ‫"כיווניות" הדטרמיננטה עשויה להיראות‪ ,‬במבט ראשון‪ ,‬כפגם אסתטי‪ ,‬אך למעשה‪ ,‬בזכות תכונה זו‪,‬‬ ‫מהווה הדטרמיננטה אמצעי גמיש יותר לחישוב שטחים‪ ,‬בהיותה פונקציה "מולטילינארית" )הסבר‬ ‫על מינוח זה יגיע מיד(‪ ,‬כפי שממחישה הדוגמה הבאה‪:‬‬ ‫דוגמה ב‬ ‫‪c‬‬



‫‪a‬‬



‫‪ A  ‬מטריצה מסדר ‪ 2  2‬עם מקדמים ממשיים‪ .‬נסמן ב ‪ D  ad  bc‬את‬ ‫תהי ‪‬‬ ‫‪b d ‬‬ ‫‪2a 2c ‬‬ ‫הדטרמיננטה של ‪ , A‬ולשם פשטות נניח כי הדטרמיננטה חיובית‪ .‬נסמן ב‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ B  ‬את‬ ‫‪b‬‬



‫המטריצה המתקבלת עלידי כפל השורה הראשונה של ‪ A‬ב ‪ . 2‬אז הדטרמיננטה של ‪ B‬היא‬ ‫‪ . 2 ad  2bc  2 D‬הפירוש הגיאומטרי לעובדה זו ברור – אם נכפול את אחת מצלעות הבסיס של‬ ‫מקבילית פי שניים‪ ,‬נקבל מקבילית גדולה יותר‪ ,‬שאותה נוכל לראות כאיחוד של שני עותקים של‬ ‫המקבילית המקורית‪:‬‬



‫‪‬‬



‫‪382‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫מהאיור ברור‪ ,‬כי שטחה של המקבילית החדשה יהיה כפול משטח המקבילית המקורית‪ .‬עובדה זו‬ ‫תואמת את האינטואיציה הטבעית שלנו‪ ,‬שלפיה איחוד צורות זרות במישור הוא בעל שטח השווה‬ ‫לסכום השטחים המקוריים‪ .‬לאור אינטואיציה זו‪ ,‬ולאור הדוגמה דלעיל‪ ,‬נוכל לצפות להכללה הבאה‪:‬‬ ‫‪c2 ‬‬ ‫אם‬ ‫‪d ‬‬



‫‪ , A1   1 1  , A2   2‬אז שטח המקבילית הנוצרת עלידי שורות המטריצה‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪b‬‬



‫‪c ‬‬



‫‪a‬‬



‫‪a‬‬



‫‪c1  c2 ‬‬ ‫‪d ‬‬



‫‪ a1  a2‬‬ ‫‪ b‬‬



‫‪ A  ‬יהיה שווה לסכום שטחי המקביליות הנוצרות עלידי שורות ‪ A1‬ו ‪. A2‬‬



‫אך כאן עלינו להיזהר משטחים חופפים‪ .‬נניח‪ ,‬למשל‪ ,‬כי ‪ . a2   a1 , c2   c1‬במקרה זה‪ ,‬השורה‬ ‫הראשונה של המטריצה ‪ A‬היא ‪ , 0‬שטח המקבילית המתאימה הוא ‪ , 0‬ולכן אנו רואים כי השטח‬ ‫אינו בהכרח סכום השטחים‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬אם בכל האמור לעיל היינו משתמשים בדטרמיננטה‬ ‫במקום בשטח‪ ,‬לא הייתה מתעוררת בעיה זו‪ ,‬שהרי ‪) det A  det A1  det A2‬משפט ‪ .(4.3.4‬יתר על‬ ‫‪sc1  tc2 ‬‬ ‫כן‪ ,‬ראינו כי אם ‪ s , t‬הם זוג סקלרים ממשיים‪ ,‬ואם ‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ sa1  ta2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬



‫‪) A  ‬כלומר‪ ,‬השורה‬



‫הראשונה של ‪ A‬היא הצירוף הלינארי של השורות הראשונה של ‪ A1‬ו ‪ , A2‬עם המקדמים ‪ ,( s , t‬אז‬ ‫ממשפטים ‪ 4.3.3‬ו‪ 4.3.4‬נסיק כי ‪ . det A  s det A1  t det A2‬תכונה זו "תופסת" את האינטואיציה‬ ‫הטבעית שלנו על אודות "לינאריות" הנפח‪/‬השטח )היזכרו בהגדרה ‪.(3.10.7‬‬ ‫הערה‬ ‫האמור לעיל פירושו כי הדטרמיננטה היא פונקציה לינארית בשורה הראשונה של המטריצה שאותה‬ ‫היא מקבלת‪ .‬כלומר‪ ,‬אם נקבע את השורה השנייה‪ ,‬ונראה את הדטרמיננטה כפונקציה של השורה‬ ‫הראשונה של המטריצה‪ ,‬אז תתקבל העתקה לינארית‪ .‬כמובן‪ ,‬כל האמור נכון גם אם נחליף בין‬ ‫השורה הראשונה והשנייה )כלומר נקבע את השורה הראשונה‪ ,‬ונראה את הדטרמיננטה כפונקציה של‬ ‫השורה השנייה(‪ .‬לכן נהוג לקרוא לתכונה זו מולטילינאריות‪.‬‬ ‫הערה ליודעי חשבון אינפיניטסימלי‬ ‫מושג האינטגרל‪ ,‬כפי שפותח בקורס חשבון אינפיניטסימלי ‪ ,2‬משמש לחישוב השטח הכלוא בין הגרף‬ ‫של פונקציה לבין ציר ה ‪ . x‬גם שם ראיתם כי ייתכן שהאינטגרל שלילי‪ ,‬ובמקרה כזה השטח הכלוא‬ ‫בין גרף הפונקציה לציר ‪ x‬הוגדר )עבור פונקציה ) ‪ f ( x‬שהיא אינטגרבילית בקטע ]‪ ( [a, b‬כערכו‬ ‫‪b‬‬



‫המוחלט של האינטגרל ‪ .  f ( x )dx‬כלומר‪ ,‬האינטגרל מהווה גם הוא "שטח מכוון"‪ .‬האינטגרל‪ ,‬בדומה‬ ‫‪a‬‬



‫לדטרמיננטה‪ ,‬הוא בעל תכונת "לינאריות" – עבור פונקציות אינטגרביליות ) ‪ f ( x ), g ( x‬בקטע ]‪, [a, b‬‬ ‫‪b‬‬



‫מתקיים ‪f ( x ) dx   g ( x ) dx‬‬ ‫‪a‬‬



‫‪b‬‬



‫‪‬‬ ‫‪a‬‬



‫‪b‬‬



‫‪ .   f ( x )  g ( x )  dx ‬אם היינו מחליפים את האינטגרל בערכו‬ ‫‪a‬‬



‫המוחלט‪ ,‬לא היה מתקיים שוויון נאה ושימושי זה‪.‬‬ ‫דוגמה ג‬ ‫ראינו כי דטרמיננטה של מטריצה ממשית מסדר ‪ 2  2‬מודדת שטח "מכוון" של מקבילית במישור‪.‬‬ ‫כעת נתחקה אחר משמעות הדטרמיננטה של מטריצות ריבועיות ממשיות מסדרים אחרים‪ .‬הדוגמה‬ ‫הפשוטה ביותר היא מטריצה ‪ a ‬מסדר ‪ . 1  1‬במקרה זה‪ ,‬המטריצה מכילה מספר בודד‪ .‬נוכל‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪383‬‬



‫לחשוב על מספר זה כעל וקטור ב ‪ 1‬באורך ‪) a‬כאן הכוונה לערך מוחלט‪ ,‬לא לדטרמיננטה(‪ ,‬היוצא‬ ‫מהראשית )בכיוון ימין אם ‪ a‬חיובי‪ ,‬ובכיוון שמאל אם ‪ a‬שלילי(‪:‬‬



‫הדטרמיננטה של המטריצה שווה לערכו של הסקלר ‪ , a‬ולכן הערך המוחלט של הדטרמיננטה שווה‬ ‫‪‬‬ ‫לאורכו של הווקטור‪.‬‬ ‫אם כן‪ ,‬עבור מטריצות מסדר ‪ , 1  1‬מודדת הדטרמיננטה אורך )עד כדי סימן(‪ .‬עבור מטריצות מסדר‬ ‫‪ 2  2‬מודדת הדטרמיננטה שטח‪ .‬וודאי תנחשו כי עבור מטריצות מסדר ‪ 3  3‬מודדת הדטרמיננטה‬ ‫נפח )שוב‪ ,‬עד כדי סימן(‪ .‬ניתן להוכיח זאת באופן גיאומטרי‪ ,‬באופן אנלוגי לחישוב שהצגנו בדוגמה א‪.‬‬ ‫לא נביא הוכחה זאת כאן‪ ,‬אך נציין כי תוצאה זו תנבע ממילא מהפיתוח הכללי שנביא בהמשך הסעיף‪.‬‬ ‫לאור הדוגמאות שראינו בסעיף זה‪ ,‬נוכל להתפתות ולנחש כי הדטרמיננטה של מטריצה מסדר ‪n  n‬‬



‫מודדת את הנפח ה" ‪ n‬ממדי" של מקבילון במרחב ‪ . F n‬אך לטענה זו אין משמעות בשלב זה‪ ,‬מאחר‬ ‫שהגיאומטריה האוקלידית )במישור ובמרחב( נותנת בידינו הגדרה לשטחם של מצולעים במישור‬ ‫ולנפחם של פאונים במרחב התלתממדי בלבד‪ ,‬ובוודאי שאין משמעות לנפח כאשר אנו עובדים מעל‬ ‫שדה שאינו שדה המספרים הממשיים‪ .‬כדי להתגבר על כך‪ ,‬יהיה עלינו להגדיר באופן מדויק את מושג‬ ‫הנפח )ה"מכוון"( של מקבילון במרחב‪ .‬אנו נראה כי הדרך היחידה לעשות זאת היא להגדיר את נפחו‬ ‫של מקבילון כזה באמצעות מושג הדטרמיננטה עצמו‪ .‬נסביר את כוונתנו‪ :‬אנו מעוניינים להגדיר מושג‬ ‫של "נפח מכוון" עבור "מקבילונים"‪ .‬כלומר‪ ,‬ברצוננו להגדיר פונקציה ‪ , V‬המקבלת כקלט מטריצה‬ ‫ששורותיה ‪ a1 , a2 , , an‬הם ‪ n‬וקטורים‪ ,‬ומחזירה כפלט סקלר )] ‪ V ([ a1 , a2 ,  , an‬המציין את‬ ‫"הנפח המכוון" של ה"מקבילון" הנוצר עלידי שורות המטריצה‪ .‬בטרם נגדיר פונקציה זו‪ ,‬נברר‬ ‫לעצמנו כמה תכונות שנצפה כי הפונקציה ‪ V‬תקיים אותן‪ ..‬את המטריצה נסמן ב ] ‪[ a1 , a2 , , an‬‬ ‫)שימו לב‪ ,‬כאן כל ‪ ai‬הוא וקטור שורה; יכולנו כמובן לעבוד עם וקטורי עמודה‪ ,‬אך בהמשך נראה‬ ‫ששתי הגישות שקולות לחלוטין(‪.‬‬ ‫תכונה א‪ V ([ a1 , a2 ,  , an ])  0 :‬אם ‪ ai  a j‬עבור ‪ i  j‬כלשהם‪.‬‬ ‫הסבר‬ ‫בדוגמה א דלעיל‪ ,‬ראינו כי שטח מקבילית שאחת מצלעותיה היא וקטור האפס הוא אפס‪ ,‬מאחר‬ ‫שמקבילית כזאת היא אובייקט "חדממדי" בתוך מרחב דוממדי‪ .‬אם ‪ ai  a j‬עבור ‪ i  j‬כלשהם‪,‬‬ ‫אז המקבילון הנפרש עלידי הווקטורים ‪ a1 , a2 , , an‬מוכל במרחב הנפרש עלידי ‪ n  1‬וקטורים‬ ‫במרחב ‪ , F n‬ולכן נצפה כי הנפח ה" ‪ n‬ממדי" של מקבילון כזה יהיה ‪. 0‬‬ ‫תכונה ב‪ :‬לכל זוג סקלרים ‪ s , t‬מתקיים השוויון‪:‬‬ ‫) ‪V (  a1 , a2 ,, ai 1 , sai  taˆi , ai 1 ,, an ‬‬ ‫) ‪ sV (  a1 , a2 ,, ai 1 , ai , ai 1 ,, an  )  tV (  a1 , a2 ,, ai 1 , aˆi , ai 1 ,, an ‬‬



‫‪384‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הסבר‬ ‫כפי שראינו בדוגמה ב‪ ,‬אנו מצפים כי ‪ V‬תהיה פונקציה "חיבורית" בכל אחת מן השורות‪ ,‬כדי לבטא‬ ‫את האינטואיציה שלנו שלפיה נפח גוף המתקבל מאיחוד גופים )זרים( שווה לסכום הנפחים‪ .‬כמו כן‬ ‫אנו מצפים שאם נכפול את אחת השורות בסקלר‪ ,‬תוכפל הדטרמיננטה בסקלר המתאים – שכן‬ ‫למעשה אנו מסתכלים על אותו גוף‪ ,‬אלא ששינינו את קנההמידה בהתאם לסקלר הזה‪ 1.‬במילים‬ ‫אחרות‪ ,‬אנו מצפים שהפונקציה ‪ V‬תהיה לינארית )הגדרה ‪ (3.10.7‬בכל אחת מן השורות‪ ,‬או כפי‬ ‫שנאמר מעתה – מולטילינארית‪ .‬על פי שאלה ‪ ,3.10.6‬זהו בדיוק התנאי דלעיל‪.‬‬ ‫תכונה ג‪ :‬אם ‪ e1 , e 2 ,, e n‬הם וקטורי הבסיס הסטנדרטי‪ ,‬אז ‪. V ([ e1 , e 2 ,, e n ])  1‬‬ ‫הסבר‬ ‫שטח הריבוע במישור‪ ,‬הנפרש עלידי וקטורי הבסיס הסטנדרטי‪ ,‬הוא ‪ , 1‬ונפח הקובייה במרחב‬ ‫התלתממדי‪ ,‬הנפרשת עלידי וקטורי הבסיס הסטנדרטי‪ ,‬גם הוא ‪ . 1‬אנו נדרוש כי תכונת "נירמול" זו‬ ‫תתקיים גם עבור גופים מממד גדול יותר‪ .‬בשלב זה ייתכן שתתהו מדוע דווקא ‪ 1‬ולא ‪ , 1‬שהרי אנו‬ ‫מגדירים נפח "עד כדי סימן"; בחירתנו ב ‪ 1‬היא אכן שרירותית‪ .‬כלומר‪ ,‬יכולנו לדרוש כי נפח‬ ‫"מקבילון היחידה" יהיה ‪ . 1‬דרישה שכזאת הייתה משנה בהמשך את הגדרת הפונקציה ‪, V‬‬ ‫ומובילה להגדרת הפונקציה ‪ V‬במקומה )וברור כי אין הבדל מהותי בין שתי הפונקציות – הבחירה‬ ‫עם מי מהן לעבוד היא שרירותית(‪.‬‬ ‫שימו לב כי כל שלוש התכונות לעיל אינן תלויות בכך שאנו עובדים עם סקלרים ממשיים‪ .‬למעשה‪,‬‬ ‫נוכל לעבוד מעל כל שדה ‪ . F‬ואכן‪ ,‬ההגדרה שניתן בהמשך לא תהיה תלויה בשדה‪ .‬עבור שדות‬ ‫כלליים‪ ,‬לא נוכל לתאר איורים כפי שעשינו בסעיף הקודם )אפילו לא בממד נמוך(‪ ,‬אך בכל זאת נוכל‬ ‫לפתח עבורם את מושג הנפח‪ .‬כלומר‪ ,‬אנו יוצקים משמעות גיאומטרית של "נפח מקבילון" במרחב‬ ‫‪ , F n‬באופן שאינו תלוי באופיו של ‪" . F‬נפח" זה יהיה סקלר ב ‪. F‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.9.1‬פונקציית נפח‬ ‫נאמר שפונקציה ‪ V‬מ ) ‪ M n ( F‬לשדה ‪ F‬היא פונקציית נפח ב ‪ , F n‬אם היא מקיימת את התכונות‪:‬‬ ‫א‪ V ([ a1 , a2 ,  , an ])  0 .‬אם ‪ ai  a j‬עבור ‪ i  j‬כלשהם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לכל זוג סקלרים ‪ s , t‬ולכל ‪ i‬מתקיים השוויון‪:‬‬ ‫)] ‪V ([ a1 , a2 ,, ai 1 , sai  taˆi , ai 1 ,, an‬‬ ‫)] ‪ sV ([ a1 , a2 ,, ai 1 , ai , ai 1 ,, an ])  tV ([ a1 , a2 ,, ai 1 , aˆi , ai 1 ,, an‬‬



‫ג‪ .‬אם ‪ e1 , e 2 ,, e n‬הם וקטורי הבסיס הסטנדרטי של ‪ , F n‬אז ‪. V ([ e1 , e 2 ,, e n ])  1‬‬



‫‪ 1‬מכאן גם מקור השם "סקלר" באלגברה לינארית – כפל בסקלר פירושו הגיאומטרי הוא שינוי הסקאלה )‪– (scale‬‬ ‫שינוי קנההמידה‪.‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪385‬‬



‫בהמשך נוכיח כי לכל שדה ‪ F‬ומספר טבעי ‪ , n‬קיימת פונקציית נפח אחת ויחידה ב ‪ . F n‬לפני שניגש‬ ‫למלאכה זו‪ ,‬נוכיח תכונה נוספת של פונקציות נפח‪ ,‬הנובעות מהתכונות א‪ ,‬ב‪.‬‬ ‫טענה ‪4.9.2‬‬ ‫פונקציית נפח ‪ V‬היא פונקציה מתחלפת‪ ,‬במובן הבא‪:‬‬ ‫אם מטריצה ‪ B‬מתקבלת ממטריצה ‪ A‬עלידי החלפת שתי שורות של ‪ A‬זו בזו‪ ,‬אז‬ ‫)‪. V ( B )  V ( A‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח ש ‪ B‬התקבלה מ ‪ A‬עלידי החלפת השורות ה ‪ i , j‬של ‪ A‬זו בזו‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נקבע ‪ n  2‬וקטורי שורה ‪ a1 , a2 ,, ai 1 , ai 1 ,, a j 1 , a j 1 ,, an‬ב ‪. F‬‬ ‫נסמן ב ‪ V  : F n  F n  F‬את הפונקציה המוגדרת עלידי‪:‬‬ ‫) ‪V ( ai , a j )  V (  a1 , a2 ,, an ‬‬



‫עלינו להראות כי ) ‪. V ( ai , a j )  V ( a j , ai‬‬ ‫אכן‪ ,‬משילוב תכונות א וב נקבל‪:‬‬ ‫) ‪V ( ai , a j )  V ( ai , ai )  V ( ai , a j )  V ( ai , ai  a j )  V ( ai , ai  a j )  V ( ai  a j , ai  a j‬‬



‫) ‪ V (  a j , ai  a j )  V ( a j , ai  a j )  V ( a j , ai )  V ( a j , a j )  V ( a j , ai‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫נקבע שדה ‪ F‬ומספר טבעי ‪ , n‬ונניח כי ‪ V‬היא פונקציית נפח ב ‪ . F n‬הארגומנט של פונקציה זו היא‬ ‫מטריצה ששורותיה הם וקטורים ‪ a1 , a2 , , an‬ב ‪ , F n‬ונוכל לבטא כל אחד מהם כצירוף לינארי של‬ ‫וקטורי הבסיס הסטנדרטי‪ .‬לכל ‪ 1  j  n‬נרשום‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ ai , j ei‬‬ ‫‪i 1‬‬



‫‪aj ‬‬



‫מתכונה ב של פונקציית הנפח נקבל כי‪:‬‬



‫‪‬‬



‫‪n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V ([ a1 ,, an ])  V   ai ,1ei , a2 ,, an   ‬‬ ‫‪ai ,1V ei , a2 , , an ‬‬ ‫‪  i 1‬‬ ‫‪  i 1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫קיבלנו ביטוי של )] ‪ V ([ a1 ,, an‬כסכום של ‪ n‬מחוברים‪ .‬כעת נביע את ‪ a 2‬כצירוף לינארי של‬ ‫איברי הבסיס הסטנדרטי‪ ,‬נציב ביטוי זה בנוסחה לעיל‪ ,‬ונקבל ביטוי חדש ל )] ‪ V ([ a1 ,, an‬הכולל‬ ‫‪ n 2‬מחוברים‪ .‬נחזור על תהליך זה עבור כל אחד מהווקטורים ‪ , a1 , a2 , , an‬ונקבל כי‬



‫‪ a (1),1a (2),2  a ( n ),nV  e (1) , e (2) ,, e ( n )  ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪V ([ a1 ,, an ]) ‬‬



‫כאשר הסכימה היא על פני כל הפונקציות ‪ ‬מהקבוצה }‪ {1,2,, n‬לעצמה‪ .‬שימו לב כי אם ‪‬‬ ‫אינה תמורה‪ ,‬כלומר אינה חדחדערכית ועל‪ ,‬אז ‪ , V e (1) , e (2) ,, e ( n )   0‬לפי תכונה א של‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪386‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫פונקציית הנפח‪ .‬לכן מספיק לסכום על פני הפונקציות ‪ ‬שהינן תמורות‪ .‬כמו כן‪ ,‬על פי למה ‪,4.8.10‬‬ ‫כל תמורה ניתנת להצגה כמכפלה של חילופים‪ ,‬ואם מספרם הוא ‪ k‬אז סימן התמורה הוא ‪. ( 1)k‬‬ ‫לפי טענה ‪ ,4.9.2‬חילוף בודד של שניים משורות הארגמונט של ‪ V‬הופך את סימן הפונקציה‪ .‬לכן‪ ,‬אם‬ ‫נבצע ‪ k‬חילופים‪ ,‬ערך הפונקציה יוכפל ב ‪ . sgn( )  ( 1)k‬לכן‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫) ‪V e (1) , e (2) ,, e ( n )   sgn( )V e1 , e2 ,, en   sgn( )  1  sgn(‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫)בשוויון שלפני האחרון השתמשנו בתכונה ג של פונקציית הנפח(‪.‬‬ ‫מכאן נקבל‪:‬‬ ‫מסקנה ‪4.9.3‬‬ ‫אם קיימת פונקציית נפח ‪V‬‬



‫ב ‪, F n‬‬



‫אז היא נתונה עלידי הנוסחה‪:‬‬



‫‪sgn( ) a (1),1a (2),2    a ( n ),n‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫‪V ([ a1 , , an ]) ‬‬



‫)*(‬



‫בפרט‪ ,‬פונקציית נפח ב ‪ F n‬נקבעת באופן יחיד‪.‬‬ ‫הערה‬ ‫אם ‪ ‬היא תמורה ב ‪ , S n‬אז הרכיבים‬



‫‪ a (1),1 ,, a ( n ),n‬של מטריצה ‪ , [aij ]nn‬כוללים בדיוק‬



‫איבר אחד מכל שורה ומכל עמודה‪ .‬אוסף רכיבים כזה במטריצה מכונה אלכסון מוכלל‪ .‬למשל‪ ,‬אוסף‬ ‫הרכיבים ‪ a1,1 ,, an ,n‬המתאים לתמורת הזהות‪ ,‬מתאר את האלכסון הראשי המוכר לכם‪ .‬באיור‬ ‫‪ 1 2 3‬‬



‫‪:  ‬‬ ‫הבא מתואר האלכסון המוכלל המתאים לתמורה ‪‬‬ ‫‪ 2 1 3‬‬ ‫‪a13 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a23 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a33 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪a12‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪a32‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a31‬‬ ‫‪‬‬



‫כדי לחשב את ערכו של הביטוי המופיע בנוסחה )*(‪ ,‬יש אם כן לעבור על כל האלכסונים המוכללים‬ ‫במטריצה הנתונה ולכפול את רכיביהם‪ .‬את המכפלות שהתקבלו יש לחבר או לחסר‪ ,‬בהתאם לסימן‬ ‫התמורות המתאימות לאלכסונים הללו‪.‬‬ ‫שאלה ‪4.9.1‬‬ ‫עבור ‪ , n  2,3‬כתבו את הנוסחה )*(‪ ,‬ללא שימוש בסימן הסכימה )שימו לב לאינדקסים(‪.‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪419‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪387‬‬



‫שאלה ‪4.9.2‬‬ ‫הוכיחו כי הביטוי המופיע באגף ימין של )*( שווה לביטוי‪:‬‬ ‫) ‪sgn( ) a1, (1) a2, (2)    an , ( n‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫התשובה בעמוד ‪420‬‬ ‫באמצעות השאלה הקודמת נוכל להוכיח תכונה שימושית נוספת של פונקציות נפח‪.‬‬ ‫למה ‪4.9.4‬‬ ‫פונקציית נפח ‪ Vn‬ב ‪ F n‬מקיימת ) ‪ Vn ( A)  Vn ( At‬לכל מטריצה ) ‪. A  M n ( F‬‬ ‫הוכחה‬ ‫על פי מסקנה ‪ ,4.9.3‬פונקציית נפח )אם קיימת(‬



‫‪ Vn‬ב ‪F n‬‬



‫נתונה עלידי‪:‬‬



‫‪sgn( ) a (1),1a (2),2  ...  a ( n ),n‬‬



‫לפי שאלה ‪ 4.9.2‬מתקיים גם‪:‬‬ ‫) ‪sgn( ) a1, (1) a2, (2)  ...  an , ( n‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫תהי ‪ . B  At‬הרכיב ה ) ‪ ( i , j‬של ‪ B‬הוא ‪ , a ji‬ולכן‪:‬‬ ‫‪sgn( )b (1),1    b ( n ),n‬‬



‫‪‬‬



‫‪ S n‬‬



‫‪sgn( ) a1, (1) a2, (2)    an , ( n ) ‬‬



‫‪‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪ S n‬‬



‫אך הביטוי באגף ימין של )‪ (2‬שווה ל ) ‪ , Vn ( B‬לפי אותו הטיעון שהפעלנו עבור )‪ . Vn ( A‬מ‪ (1)-‬ו‪(2)-‬‬ ‫נסיק ש‬ ‫) ‪Vn ( A)  Vn ( B )  Vn ( At‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שימו לב שעדיין לא הוכחנו כי הפונקציה הנתונה במסקנה ‪ 4.9.3‬היא פונקציית נפח‪ .‬כל שהראינו הוא‬ ‫כי אם קיימת פונקציית נפח‪ ,‬אז היא יחידה‪ ,‬ונתונה עלידי הנוסחה )*(‪ .‬כעת נוכיח את קיום‬ ‫פונקציית הנפח‪.‬‬ ‫טענה ‪4.9.5‬‬ ‫לכל ‪ n‬טבעי קיימת פונקציית נפח יחידה‬ ‫מתקיים‪:‬‬



‫‪ Vn‬ב ‪ . F n‬יתר על כן‪ ,‬אם ‪ n  2‬אז לכל ‪1  i  n‬‬ ‫‪n‬‬



‫) ‪ ( 1)i  j [ A] jiVn 1 ( AMji‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫‪388‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הוכחה‬ ‫את יחידות פונקציית הנפח כבר הראינו במסקנה ‪ .4.9.3‬נשלים את הוכחת הטענה באינדוקציה על ‪. n‬‬ ‫עבור ‪ , n  1‬פונקציית הזהות היא בבירור פונקציית נפח‪.‬‬ ‫יהי ‪ , n  2‬ונניח כי מצאנו פונקציית נפח ‪ Vn 1‬ב ‪ . F n 1‬נבחר שרירותית ‪ , 1  i  n‬ונגדיר‬ ‫פונקציה ‪ Vn‬על פי הכלל הנתון לעיל‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪n‬‬



‫) ‪ ( 1)i  j [ A] jiVn 1 ( AMji‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫נראה שהפונקציה ‪ Vn‬היא פונקציית נפח‪ .‬זוהי הוכחה מורכבת‪ ,‬ולכן נחלק אותה לכמה חלקים‪.‬‬ ‫טענה א‪ :‬אם מטריצה ‪ B‬מתקבלת ממטריצה ‪ A‬עלידי החלפת שתי שורות סמוכות ‪ , A‬נניח‬ ‫השורות ה ‪ , k , k  1‬אז )‪. Vn ( B )  Vn ( A‬‬ ‫לפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬הפונקציה ‪ Vn 1‬היא פונקציית נפח‪ ,‬ולכן היא פונקציה מתחלפת‪ ,‬לפי טענה‬ ‫‪.4.9.2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ AM‬גם הן נבדלות זו מזו‬ ‫יהי ‪ 1  j  n‬אינדקס השונה מ ‪ . k , k  1‬אז המטריצות המינוריות ‪ji , B ji‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪. Vn 1 ( AM‬‬ ‫עלידי החלפת שתי שורות סמוכות‪ .‬מאחר ש ‪ Vn 1‬מתחלפת‪ ,‬מתקיים ) ‪ji )  Vn 1 ( B ji‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬שימו לב ש ‪ .  A ji   B ji‬לכן‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪i  j [ A] V‬‬ ‫‪( 1)i  j [ B ] ji Vn 1 ( B M‬‬ ‫) ‪ji n 1 ( A ji‬‬ ‫)‪ji )   ( 1‬‬



‫מאחר ש ‪ B‬התקבלה מ ‪ A‬עלידי החלפת השורות ה ‪ , k , k  1‬המטריצה המינורית ‪ BkiM‬שווה‬ ‫למטריצה המינורית ‪ , AkM1,i‬ומתקיים ‪ .  Bk ,i   Ak 1,i‬לכן‪:‬‬ ‫) ‪( 1)i  k [ B ]k ,i Vn 1 ( BkM,i )  ( 1)i  k [ A]k 1,i Vn 1 ( AkM1,i‬‬ ‫) ‪  ( 1)i  k 1[ A]k 1,i Vn 1 ( AkM1,i‬‬



‫באופן דומה‪:‬‬ ‫) ‪( 1)i  k [ A]k ,i Vn 1 ( AkM,i‬‬



‫‪‬‬



‫) ‪( 1)i  k 1 [ B ]k 1,i Vn 1 ( BkM1,i‬‬



‫שלושת השוויונות שהצגנו מראים שבביטוי‬ ‫‪n‬‬



‫) ‪ ( 1)i  j [ A] jiVn 1 ( AMji‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫מופיעים בדיוק אותם המחוברים שבביטוי‬ ‫‪n‬‬



‫) ‪ ( 1)i  j [ B ] jiVn 1 ( B Mji‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪Vn ( B ) ‬‬



‫אחרי החלפת סימן )והחלפת סדר המחוברים ה ‪ .( k , k  1‬לכן )‪. Vn ( B )  Vn ( A‬‬ ‫טענה ב‪ Vn :‬מקיימת את תכונה א בהגדרת פונקציית הנפח‪ ,‬כלומר – אם יש ב ‪ A‬שתי שורות שוות‪,‬‬ ‫אז ‪. Vn ( A)  0‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪389‬‬



‫נניח שבמטריצה ‪ A‬יש שתי שורות שוות‪ .‬עלידי כמה החלפות של שורות סמוכות‪ ,‬נוכל להגיע‬ ‫למטריצה שיש בה שתי שורות שוות סמוכות זו לזו‪ :‬לפי טענה א‪ ,‬בכל צעד חילוף שכזה‪ ,‬משתנה רק‬ ‫סימנו של )‪ . Vn ( A‬לכן מותר להניח שב‪ A -‬יש שתי שורות שוות סמוכות זו לזו‪.‬‬ ‫נניח‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי השורה ה ‪ k‬של ‪ A‬שווה לשורה ה ‪. k  1‬‬ ‫‪ AM‬יש שתי שורות )סמוכות(‬ ‫נתבונן באינדקס ‪ , j‬כאשר ‪ . j  k , k  1‬אז למטריצה המינורית ‪ji‬‬ ‫‪. Vn 1 ( AM‬‬ ‫זהות‪ ,‬לכן לפי הנחת האינדוקציה ‪ji )  0‬‬ ‫לכן‪ ,‬בביטוי‬



‫‪n‬‬



‫) ‪ ( 1)i  j [ A] jiVn 1 ( AMji‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪ Vn ( A) ‬כל המחוברים הם אפסים פרט אולי לשני‬



‫המחוברים המתאימים לשורות ה ‪ , k , k  1‬ולכן‪:‬‬ ‫) ‪Vn ( A)  ( 1)i  k [ A]k ,i Vn 1 ( AkiM )  ( 1)i  k 1 [ A]k 1,i Vn 1 ( AkM1,i‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫) ‪ ( 1)i  k [ A]k ,i Vn 1 ( AkiM )  [ A]k 1,i Vn 1 ( AkM1,i‬‬



‫המטריצות המינוריות ‪ AkiM , AkM1,i‬שוות מאחר שהשורות ה ‪ k , k  1‬שוות‪ ,‬ומאותו נימוק מתקיים‬ ‫‪ . [ A]k ,i  [ A]k 1,i‬מכאן נסיק ש ‪. Vn ( A)  ( 1)i  k  0  0‬‬ ‫טענה ג‪ :‬הפונקציה ‪ Vn‬היא מולטילינארית‪.‬‬ ‫עלינו להראות ש ‪ Vn‬לינארית בכל אחת מן השורות‪ .‬נקבע ‪ , 1  k  n , k‬ונקבע ‪ n  1‬וקטורי‬ ‫שורה ‪ . a1 ,, ak 1 , ak 1 ,, an  F n‬לכל וקטור ‪ , v  F n‬תהי ) ‪ A( v‬המטריצה ששורותיה הן‬ ‫‪ , a1 ,, ak 1 , v , ak 1 ,, an  F n‬בסדר זה‪ .‬עלינו להראות כי ההעתקה ‪ , D : F n  F‬המוגדרת‬ ‫עלידי ‪ , D( v )  Vn  A( v ) ‬היא העתקה לינארית‪ .‬כלומר‪ ,‬עלינו להראות )ראו סעיף ‪ (3.10‬כי‬ ‫ההעתקה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר‪.‬‬ ‫נראה כי ההעתקה שומרת על החיבור‪ .‬הבדיקה עבור הכפל בסקלר מתבצעת באופן דומה‪.‬‬ ‫עלינו להראות‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי )‪ D( v  w)  D( v )  D( w‬לכל זוג וקטורים ‪. v , w‬‬ ‫כדי לחשב את ערכו של הביטוי‬ ‫‪n‬‬



‫) ‪ ( 1)i  j [ A( v  w)] jiVn 1 ( A( v  w) Mji‬‬



‫‪D ( v  w) ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫נפריד בין שני מקרים הנוגעים לערכו של האינדקס ‪. j‬‬ ‫מקרה ראשון‪j  k :‬‬



‫במקרה זה מתקיים‪:‬‬ ‫)כי השורה ה ‪ j‬אינה תלויה ב ‪ v‬וב ‪(. w‬‬



‫‪[ A( v  w)] ji  [ A( v )] ji  [ A( w)] ji  a ji‬‬



1 ‫אלגברה לינארית‬



390



:‫ לכן‬,‫ מולטילינארית‬Vn 1 ,‫ לפי הנחת האינדוקציה‬,‫כמו כן‬ M M Vn 1 ( A( v  w) M ji )  Vn 1 ( A( v ) ji )  Vn 1 ( A( w) ji )



j  k :‫מקרה שני‬



:‫במקרה זה מתקיים‬ A( v 



w) M ji







A( v ) M ji







A( w) M ji



:‫ ברור כי‬,‫( כמו כן‬.‫ נמחקת במטריצות המינוריות האלה‬k ‫)מכיוון שהשורה ה‬ [ A( v  w)] ji  [ v  w]i  [ v ]i  [ w]i  [ A( v )] ji  [ A( w)] ji



:‫ נקבל‬,‫משילוב השוויונות שאספנו בשני המקרים‬ D ( v  w) 



n



 ( 1)i  j a ji Vn 1 ( A( v ) Mji )  Vn 1 ( A( w) Mji )   ( 1)i  k ([v ]i  [ w]i ) Vn 1 ( A( v  w)kiM ) 



j 1, j k







n



n



j 1, j k



j 1, j k



 ( 1)i  j a jiVn 1 ( A( v ) Mji )   ( 1)i  j a jiVn 1 ( A( w) Mji ) M M )  ( 1)i  k [ w ] V  ( 1)i  k [ v ]i Vn 1 ( A( v  w )ki i n 1 ( A( v  w ) ki )







n



 ( 1)i  j a jiVn 1 ( A( v ) Mji )  ( 1)i  k [v ]i Vn 1 ( A( v )kiM )



j 1, j k







n



 ( 1)i  j a jiVn 1 ( A( w) Mji )  ( 1)i  k [ w]i Vn 1 ( A( w)kiM )



j 1, j k







n



n



j 1



j 1



 ( 1)i  j [ A( v )] jiVn 1 ( A( v ) Mji )   ( 1)i  j [ A( w)] jiVn 1 ( A( w) Mji )  D ( v )  D ( w) .‫כדרוש‬ . Vn ([e1 , e 2 ,  , e n ])  1 ‫ אז‬,‫ הם וקטורי הבסיס הסטנדרטי‬e1 , e 2 ,, e n ‫ אם‬:‫טענה ד‬ .( n ‫ היא מטריצת היחידה מסדר‬I n ‫ )כאשר‬Vn ( I n )  1 ‫ כי‬,‫עלינו להראות אם כן‬ :‫ ולכן‬, [ I n ] ji  0 ‫ מתקיים‬j  i ‫ לכל‬,‫אכן‬



Vn ( I n ) 



n



 ( 1)i  j [ I n ] jiVn 1 ([ I n ]Mji )  ( 1)i i [ I n ]ii Vn 1 ([ I n ]iiM ) j 1



 ( 1)2 i  1  Vn 1 ([ I n ]iiM )  Vn 1 ([ I n ]iiM )



‫הנחת‬



‫לפי‬



, Vn ( I n )  Vn 1 ([ I n ]iiM )  Vn 1 ( I n 1 )  1



‫ולכן‬



, [ I n ]iiM  I n 1 ‫ש‬



‫שימו לב‬ .‫האינדוקציה‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪391‬‬



‫משילוב טענות ב‪ ,‬ג‪ ,‬וד נסיק ש ‪ Vn‬היא פונקציית נפח‪ .‬לפי הגדרת הפונקציה‪ ,‬היא מקיימת את‬ ‫השוויון‬ ‫‪n‬‬



‫) ‪ ( 1)i  j [ A] jiVn 1 ( AMji‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫עבור ‪ i‬מסוים שאותו בחרנו באופן שרירותי‪.‬‬ ‫מכאן שלכל ‪ , 1  i  n‬הביטוי‬



‫‪n‬‬



‫) ‪ ( 1)i  j [ A] jiVn 1 ( AMji‬‬



‫שפונקציית הנפח – אם קיימת – היא יחידה‪ ,‬נסיק‬



‫מגדיר פונקציית נפח‪ .‬אך מאחר‬



‫‪j 1‬‬ ‫‪( 1)i  j [ A] jiVn 1 ( AM‬‬ ‫ש ) ‪ji‬‬



‫)‪ Vn ( A‬לכל ‪. 1  i  n‬‬



‫‪n‬‬



‫‪‬‬



‫‪j 1‬‬



‫מתלכד עם‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫כעת נראה כי הדטרמיננטה מתלכדת עם פונקציית הנפח שאת קיומה הוכחנו בטענה ‪.4.9.5‬‬ ‫משפט ‪4.9.6‬‬ ‫יהי ‪ n‬מספר טבעי ויהי ‪ F‬שדה‪ .‬הדטרמיננטה היא פונקציית הנפח היחידה‬ ‫עלידי הנוסחה‬ ‫‪sgn( ) a (1),1 , a (2),2  a ( n ),n‬‬



‫ב ‪, F n‬‬



‫‪‬‬



‫והיא נתונה‬



‫‪A ‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫לכל ) ‪ . A  M n ( F‬יתר על כן‪ ,‬לכל ‪ 1  i  n‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪ji‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j [ A] ji‬‬



‫‪A ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫‪j 1‬‬



‫וכן‪:‬‬ ‫‪AijM‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j [ A]ij‬‬



‫‪A ‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪j 1‬‬



‫שימו לב‪ ,‬השוויון )‪ (1‬הוא כלל הפיתוח לפי העמודה ה ‪ , i‬והשוויון )‪ (2‬הוא כלל הפיתוח לפי השורה‬ ‫ה ‪. i‬‬ ‫הוכחה‬ ‫לפי מסקנה ‪ 4.9.3‬וטענה ‪ ,4.9.5‬לכל ‪ n‬טבעי קיימת פונקציית נפח יחידה‬



‫‪ Vn‬ב ‪, F n‬‬



‫‪sgn( ) a (1),1 , a (2),2  a ( n ),n‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫הנתונה עלידי‪:‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫נותר לנו להראות כי פונקציה זו מתלכדת עם הדטרמיננטה‪ ,‬כלומר ש ‪ Vn ( A)  A‬לכל‬ ‫) ‪ , A  M n ( F‬וכי מתקיימים השוויונות )‪ (1‬ו)‪ .(2‬נוכיח זאת באינדוקציה על ‪. n‬‬ ‫עבור ‪ n  1‬הטענה מתקיימת באופן טריוויאלי‪.‬‬ ‫נניח שטענתנו מתקיימת עבור ‪ , n  1‬כאשר ‪. n  2‬‬



‫‪392‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫לפי טענה ‪ 4.9.5‬מתקיים‬ ‫‪n‬‬



‫) ‪ ( 1)i  j [ A] jiVn 1 ( AMji‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫‪M‬‬ ‫‪ Vn 1 ( AM‬לכל ‪ , 1  j  n‬לכן‬ ‫לכל ) ‪ A  M n ( F‬ולכל ‪ . 1  i  n‬לפי הנחת האינדוקציה‪ji )  A ji ,‬‬



‫‪AM‬‬ ‫‪ji‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j [ A] ji‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪AijM‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j [ A]ij‬‬



‫‪Vn ( At ) ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫אך לפי למה ‪ 4.9.4‬מתקיים ) ‪ . Vn ( A)  Vn ( At‬נסיק ש‬ ‫‪AijM‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j [ A]ij‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪AM‬‬ ‫‪ji ‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j [ A] ji‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫עבור ‪ , i  1‬הביטוי שהתקבל באגף ימין הוא‪ ,‬לפי ההגדרה‪ ,‬הדטרמיננטה ‪ . A‬לכן‪:‬‬ ‫‪AijM‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j [ A]ij‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪AM‬‬ ‫‪ji ‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j [ A] ji‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫בזאת פרענו שני חובות ישנים – הוכחנו כללית את משפט ‪) 4.3.5‬שהרי הדטרמיננטה‪ ,‬בהיותה‬ ‫פונקציית נפח‪ ,‬מקיימת את תכונה א – שהיא בדיוק טענת משפט ‪ ,(4.3.5‬וכן הוכחנו את משפט ‪.4.2.1‬‬ ‫לסיום הפרק‪ ,‬נדגים שימוש בהצגת הדטרמיננטה בעזרת תמורות לחישוב דטרמיננטה שקשה לחשב‬ ‫עלידי פיתוח לפי שורות או עמודות‪:‬‬ ‫שאלה ‪4.9.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מהצורה הבאה‬ ‫‪*‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫*‬ ‫*‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫*‬ ‫*‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫*‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫*‬



‫*‪‬‬ ‫*‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‪‬‬ ‫*‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‪‬‬



‫כאשר הכוכביות מציינות סקלרים כלשהם‪ .‬מהי ‪? A‬‬ ‫התשובה בעמוד ‪420‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪393‬‬



‫תשובות לשאלות בפרק ‪4‬‬ ‫תשובה ‪4.1.1‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫א‪ 3  32  29 .‬‬ ‫‪8 1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪336‬‬ ‫‪A ‬‬



‫‪1 1‬‬ ‫ב‪ .‬מעל שדה המספרים הממשיים‪ 1  ( 1)  1  1  2 :‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫ג‪ .‬מעל השדה ‪ 1  ( 1)  1  1  0 :  2‬‬ ‫‪1 1‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪A ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪336‬‬



‫תשובה ‪4.1.2‬‬ ‫לפי פיתוח הדטרמיננטה נקבל‪:‬‬



‫‪1 2‬‬ ‫‪ x6‬‬ ‫‪3 x‬‬



‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 x‬‬



‫לכן‪,‬‬



‫‪x62‬‬



‫ומכאן‪:‬‬



‫‪x8‬‬



‫השאלה בעמוד ‪339‬‬



‫תשובה ‪4.1.3‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪1 2 4‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0 3  1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 2 2‬‬ ‫‪ 6  2 (  2  3)  4( 2)  6  10  8  4‬‬



‫ב‪ .‬על פי הנוסחה‪:‬‬ ‫‪A  1  0  2  1  3  2  2  ( 1)  2  2  3  1  4  ( 1)  2  4  0  1  0  6  4  6  8  0  4‬‬



‫תשובה ‪4.1.4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪1 3 2‬‬ ‫‪2 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3 1 4‬‬ ‫‪4 0 2‬‬



‫נחשב את ‪: A‬‬



‫השאלה בעמוד ‪339‬‬



‫‪394‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪7‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪2 7 3‬‬ ‫‪2 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A  1 1 4 2  3 3 4 2  2 3 1 2  1 3 1 4‬‬ ‫‪0 2 4‬‬ ‫‪4 2 4‬‬ ‫‪4 0 4‬‬ ‫‪4 0 2‬‬



‫‪7‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪1 4 2  7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪0 4‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪0 2 4‬‬ ‫‪ 7(16  4)  1( 4  0)  3(2  0)  140  4  6  150‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪3 4 2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4 2 4‬‬ ‫‪ 2(16  4)  1(12  8)  3( 6  16)  40  4  66  30‬‬ ‫‪2 7 3‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪3 1 2  2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 4‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4 0‬‬ ‫‪4 0 4‬‬ ‫‪ 2( 4  0)  7(12  8)  3(0  4)  8  28  12  24‬‬ ‫‪2 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪3 1 4  2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4 0‬‬ ‫‪4 0 2‬‬ ‫‪ 2(2  0)  7( 6  16)  (0  4)  4  154  4  162‬‬



‫לכן‪:‬‬ ‫‪A  150  3( 30)  2( 24)  162  150  90  48  162  30‬‬ ‫ב‪ .‬לשם חישוב ‪ A‬היה עלינו לחשב ‪ 4‬דטרמיננטות מסדר ‪ ,3‬ולשם חישוב כל דטרמיננטה מסדר ‪3‬‬



‫היה עלינו לחשב ‪ 3‬דטרמיננטות מסדר ‪ ,2‬ובסך הכול חישבנו ‪ 12‬דטרמיננטות מסדר ‪ 2‬כדי למצוא‬ ‫את ‪) . A‬למעשה היה עלינו לחשב רק ‪ 6‬דטרמיננטות‪ ,‬כי במהלך החישוב הופיעה כל דטרמיננטה‬ ‫מסדר ‪ 2‬פעמיים‪(.‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫למשל‪,‬‬ ‫‪0 4‬‬



‫הוא המינור ה‪ 1,2‬במטריצה‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪1 4 2‬‬ ‫‪0 2 4‬‬



‫וכן המינור ה‪ 1,1‬במטריצה‪:‬‬ ‫‪2 7 3‬‬ ‫‪3 1 2‬‬ ‫‪4 0 4‬‬



‫ג‪ .‬אנו רואים כי כדי לחשב דטרמיננטה מסדר ‪ , n‬יש לחשב ‪ n‬דטרמיננטות מסדר ‪ . n  1‬לכן‪ ,‬כדי‬ ‫לחשב דטרמיננטה מסדר ‪ , n‬יש לחשב ‪ n ( n  1)( n  2)4  3‬דטרמיננטות מסדר ‪.2‬‬ ‫כדי לחשב דטרמיננטה מסדר ‪ ,5‬יש לחשב ‪ 5  4  3  60‬דטרמיננטות מסדר ‪.2‬‬ ‫כדי לחשב דטרמיננטה מסדר ‪ ,6‬יש לחשב ‪ 6  5  4  3  360‬דטרמיננטות מסדר ‪) 2‬כמובן שלא‬ ‫כולן שונות זו מזו‪ ,‬כפי שצוין בחלק ב של התשובה(‪.‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫תשובה ‪4.1.5‬‬ ‫זוהי שאלה מכשילה – אנו מקווים כי הבחנתם בכך‪.‬‬ ‫המטריצה‬



‫‪395‬‬



‫השאלה בעמוד ‪340‬‬



‫‪5 1‬‬ ‫‪ 2 7‬‬ ‫‪A 4‬‬ ‫‪3 6 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 2 3 1‬‬



‫אינה ריבועית! הדטרמיננטה שלה אינה מוגדרת!‬ ‫השאלה בעמוד ‪343‬‬



‫תשובה ‪4.2.1‬‬ ‫א‪ 1 3 0 7  .‬‬



‫‪0 4 0 8 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2 5 6 9 ‬‬ ‫‪ 0 0 0 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫נפתח את ‪ A‬לפי השורה הרביעית‪ ,‬שכל איבריה‪ ,‬פרט לזה שבמקום ה )‪ , (4,4‬הם אפסים‪.‬‬ ‫המקדם המתאים לאיבר זה הוא ‪ . ( 1)4  4  ( 1)8  1‬לכן נקבל‪:‬‬ ‫‪1 3 0‬‬ ‫‪A  10 0 4 0‬‬ ‫‪2 5 6‬‬



‫את הדטרמיננטה מסדר ‪ 3‬שעלינו לחשב בשלב זה נפתח לפי העמודה השלישית‪ ,‬שכל איבריה‪,‬‬ ‫פרט לזה שבמקום ה )‪ , (3,3‬הם אפסים‪ .‬המקדם המתאים לאיבר זה הוא‪:‬‬ ‫‪( 1)3 3  ( 1)6  1‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪ 10  6  4  240‬‬ ‫‪0 4‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫ב‪3  .‬‬ ‫‪0 1/11 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 100 2 ‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 ‬‬



‫‪A  10  6‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬



‫נפתח את ‪ A‬לפי השורה הרביעית‪ .‬בפיתוח זה‪ ,‬כל המחוברים פרט לזה המתאים לאיבר‬ ‫שבמקום ה )‪ , (4,1‬מתאפסים‪ .‬המקדם המתאים לאיבר זה הוא‬ ‫‪( 1)4 1  ( 1)5  1‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 1/11 0‬‬ ‫‪ 11 0 1/11 0‬‬ ‫‪5 100 2‬‬ ‫‪5 100 2‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪11‬‬



‫את הדטרמיננטה מסדר ‪ 3‬שעלינו לחשב כעת נפתח לפי העמודה הראשונה‪ .‬המחובר היחיד שאינו‬ ‫מתאפס הוא זה המתאים לאיבר הנמצא במקום ה )‪ . (3,1‬מקדמו הוא‪:‬‬



‫‪396‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪( 1)3 1  ( 1)4  1‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫)‪( 3‬‬ ‫‪ 11  5 ‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1/11 0‬‬



‫ג‪.‬‬



‫‪0 z‬‬ ‫‪0 u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 y‬‬ ‫‪4 w‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 5 ‬‬



‫‪A  11  5‬‬



‫‪1 x y‬‬ ‫‪0 2 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  0 t 3‬‬ ‫‪g h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬



‫נפתח את ‪ A‬לפי השורה החמישית‪ ,‬שכל איבריה‪ ,‬פרט לזה שבמקום ה )‪ , (5,5‬הם אפסים‪.‬‬ ‫המקדם של המחובר המתאים לאיבר זה הוא ‪. ( 1)5 5  1‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1 x y 0 z‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪0 2 0 0 u‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪0 t 3 0 y 5‬‬ ‫‪0 t‬‬ ‫‪g h  4 w‬‬ ‫‪g h‬‬ ‫‪0 0 0 0 5‬‬



‫את הדטרמיננטה מסדר ‪ 4‬שעלינו לחשב בשלב זה נפתח לפי השורה השנייה‪ ,‬שכל איבריה‪ ,‬פרט‬ ‫לזה שבמקום ה )‪ , (2,2‬הם אפסים‪ .‬מקדמו של המחובר המתאים לאיבר זה הוא ‪, ( 1)2  2  1‬‬ ‫והמינור המתאים לו מתקבל ממחיקת השורה השנייה והעמודה השנייה של המטריצה הקודמת‪.‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪y 0‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪ 4‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪ 52 0‬‬ ‫‪g‬‬



‫את הדטרמיננטה מסדר ‪ 3‬שעלינו לחשב כעת נפתח לפי העמודה השלישית‪ .‬האיבר היחיד השונה‬ ‫מאפס בעמודה זו הוא זה הנמצא במקום ה )‪ , (3,3‬והמקדם המתאים לו הוא ‪ . ( 1)3 3  1‬לכן‪:‬‬ ‫‪1 y‬‬ ‫‪ 5  2  4  3  120‬‬ ‫‪0 3‬‬



‫תשובה ‪4.2.2‬‬ ‫תהי‪:‬‬



‫‪ 524‬‬



‫השאלה בעמוד ‪343‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A   11 12 ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 21 22 ‬‬



‫נתון כי‪:‬‬ ‫‪A  a11a22  a12 a21  5‬‬



‫א‪ .‬במקרה זה‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B   21 22 ‬‬ ‫‪ a11 a12 ‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪397‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪B  a21a12  a11a22   A  5‬‬



‫ב‪ .‬במקרה זה‬ ‫‪a11 ‬‬ ‫‪a21 ‬‬



‫‪a‬‬ ‫‪B   12‬‬ ‫‪a22‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪B  a12 a21  a11a22   A  5‬‬



‫ג‪ .‬המטריצה המשוחלפת‪ , At ,‬היא המטריצה הבאה‪:‬‬ ‫‪a21 ‬‬ ‫‪a22 ‬‬



‫‪a‬‬ ‫‪At   11‬‬ ‫‪ a12‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪At  a11a22  a21a12  A  5‬‬



‫תשובה ‪4.2.3‬‬ ‫א ‪ +‬ב‪ .‬אם ב ‪ A‬יש שורת אפסים או עמודת אפסים‪ ,‬אז לפי מסקנה ‪:4.2.2‬‬



‫השאלה בעמוד ‪343‬‬ ‫‪A 0‬‬



‫תוכלו כמובן להסיק זאת גם בחישוב ישיר של הדטרמיננטה‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬



‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A   11 21 ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 11 a21 ‬‬



‫)השורה השנייה של ‪ A‬שווה לשורה הראשונה‪(.‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫‪A  a11a21  a21a11  0‬‬



‫ד‪a11  .‬‬ ‫‪a12 ‬‬



‫‪a‬‬ ‫‪A   11‬‬ ‫‪a12‬‬



‫)העמודה השנייה של ‪ A‬שווה לעמודה הראשונה(‪ .‬ולכן‪:‬‬ ‫‪A  a11a12  a11a12  0‬‬



‫תשובה ‪4.2.4‬‬ ‫תהי‬



‫השאלה בעמוד ‪343‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A   11 12 ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 21 22 ‬‬



‫מטריצה כלשהי מסדר ‪. 2  2‬‬ ‫א‪ .‬אם‬ ‫‪a   ta‬‬ ‫‪ta12 ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B  t  11 12    11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a21 a22  ta21 ta22 ‬‬



398



1 ‫אלגברה לינארית‬



:‫נקבל כי‬ B  ta11ta22  ta12 ta21 



t 2 ( a11a22



 a12 a21 ) 



t2



A



‫ אם‬.‫ב‬ ta12  ta C   11   a21 a22 



:‫נקבל כי‬ B  ta11a22  ta12 a21  t ( a11a22  a12 a21 )  t A



.‫ או את אחת מעמודותיה‬A ‫ את השורה השנייה של‬t ‫תוצאה דומה נקבל אם נכפול ב‬ 344 ‫השאלה בעמוד‬



4.2.5 ‫תשובה‬ :‫ נוכיח זאת‬.‫ הטענה נכונה‬.‫א‬ . 2  2 ‫ שתי מטריצות כלשהן מסדר‬B ‫ ו‬A ‫תהיינה‬



a  b  a b A   11 12  , B   11 12  a a b b  21 22   21 22 



:‫מכפלתן‬  a b  a12 b21 a11b12  a12 b22  AB   11 11   a21b11  a22 b21 a21b12  a22 b22 



AB  ( a11b11  a12 b21 )( a21b12  a22 b22 )  ( a11b12  a12 b22 )( a21b11  a22 b21 )  a11b11a21b12  a11b11a22 b22  a12 b21a21b12  a12 b21a22 b22  ( a11b12 a21b11  a11b12 a22 b21  a12 b22 a21b11  a12 b22 a22 b21 )  a11a22 ( b11b22  b12 b21 )  a12 a21 ( b21b12  b22 b11 )  a11a22 ( b11b22  b12 b21 )  a12 a21 ( b11b22  b12 b21 )  ( a11a22  a12 a21 )( b11b22  b12 b21 )



 A B



‫ כי‬,‫ אם כן‬,‫ומצאנו‬ AB  A B



.‫כפי שרצינו להוכיח‬ .‫ הטענה אינה נכונה‬.‫ב‬ ‫ אם‬,‫לדוגמה‬ 3 1 1 0  A  , B  0 2  0 2    



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪399‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫‪A  B 8‬‬



‫‪A  6,‬‬



‫‪B  2,‬‬



‫ולעומת זאת‪:‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫‪ 16  8‬‬ ‫‪0 4‬‬



‫תשובה ‪4.2.6‬‬ ‫תהי‪:‬‬



‫‪A B ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪344‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A   11 12 ‬‬ ‫‪ a21 a22 ‬‬



‫כיוון ראשון‬ ‫נניח ששורותיה של ‪ A‬תלויות לינארית‪ .‬במקרה זה‪ ,‬אחד מבין הווקטורים‪, ( a11 , a12 ), ( a21 , a22 ) ,‬‬ ‫הוא כפולה בסקלר של האחר‪ .‬נניח למשל כי‪:‬‬ ‫) ‪( a21 , a22 )  t ( a11 , a12‬‬



‫כלומר‬



‫‪a21  ta11 , a22  ta12‬‬



‫ואז‪:‬‬ ‫‪A  a11a22  a12 a21  a11ta12  a12 ta11  0‬‬



‫באופן דומה מוכיחים עבור המקרה שבו השורה הראשונה היא כפולה של השנייה‪.‬‬ ‫כיוון שני‬ ‫נניח כי ‪. A  0‬‬ ‫כלומר‬



‫‪a11a22  a12 a21  0‬‬



‫דהיינו‪:‬‬ ‫‪a11a22  a12 a21‬‬



‫)‪(1‬‬



‫נפריד לשני מקרים‪:‬‬ ‫א‪a12  0 .‬‬ ‫‪1. a‬‬ ‫במקרה זה נובע כי ‪ a11  0‬או ‪22  0‬‬ ‫אם ‪ , a11  0‬אז השורה הראשונה של ‪ A‬היא שורת אפסים‪.‬‬ ‫כל קבוצה המכילה את וקטור האפס היא תלויה לינארית‪ ,‬ולכן שתי שורותיה של ‪ A‬תלויות‬ ‫לינארית‪.‬‬ ‫אם ‪ a11  0‬אז ‪ , a22  0‬ואז‬



‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A   11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 21 0‬‬



‫ושתי השורות תלויות לינארית‪ ,‬שכן‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪( a21 ,0)  21 ( a11 ,0‬‬ ‫‪a11‬‬ ‫‪) 1‬או שניהם כאחד(‪.‬‬



‫‪400‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫‪a21‬‬ ‫)שימו לב כי‬ ‫‪a11‬‬



‫מוגדר במקרה זה‪ ,‬שכן ‪.( a11  0‬‬



‫ב‪a12  0 .‬‬



‫במקרה זה‪ ,‬נובע מ)‪ (1‬כי‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 22  a11‬‬ ‫‪a12‬‬



‫‪a21‬‬



‫כמו כן‪ ,‬ברור כי‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a12 12‬‬



‫‪a22 ‬‬



‫ולכן‬ ‫‪a‬‬ ‫) ‪( a21 , a22 )  22 ( a11 , a12‬‬ ‫‪a12‬‬



‫ושורותיה של ‪ A‬תלויות לינארית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪344‬‬



‫תשובה ‪4.2.7‬‬ ‫הדטרמיננטה של ‪ A‬היא‪:‬‬



‫‪a11‬‬ ‫‪a12‬‬ ‫) ‪ a11 ( a22  aˆ22 )  a12 ( a21  aˆ21‬‬ ‫‪a21  aˆ21 a22  aˆ22‬‬ ‫‪a12‬‬ ‫‪aˆ22‬‬



‫‪a12‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪aˆ21‬‬



‫‪a11‬‬ ‫‪a21‬‬



‫‪ a11a22  a12 a21  a11aˆ22  a12 aˆ21 ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪346‬‬



‫תשובה ‪4.3.1‬‬



‫‪ 3 0 1‬‬ ‫‪A   2 4 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 3 2 ‬‬



‫נפתח את ‪ A‬לפי השורה הראשונה‪ ,‬ונקבל כי‪:‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪2 3 2 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪1 2 1 3‬‬



‫‪A 3‬‬



‫‪ 3(8  9)  (6  4)  3  2  1‬‬



‫‪ At‬היא המטריצה‪:‬‬ ‫‪3 2 1‬‬ ‫‪At  0 4 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 3 2 ‬‬



‫נפתח את ‪ At‬לפי השורה הראשונה‪:‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪0 3 0 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪1 2 1 3‬‬



‫‪At  3‬‬



‫‪ 3(8  9)  2(0  3)  (0  4)  3  6  4  1‬‬



‫קיבלנו‪:‬‬ ‫‪At  A‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫תשובה ‪4.3.2‬‬



‫‪401‬‬



‫השאלה בעמוד ‪348‬‬



‫תהי ‪ B‬המטריצה המתקבלת מהמטריצה‬ ‫‪ 3 0 1‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 3 2 ‬‬



‫‪A  2‬‬



‫עלידי החלפת העמודה הראשונה בעמודה השנייה‪.‬‬ ‫‪0 3 1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 1 2 ‬‬



‫‪B  4‬‬



‫נפתח את ‪ B‬לפי השורה הראשונה‪:‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4 3 4 2‬‬ ‫‪B 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 2 3 1‬‬



‫‪ 0  3(8  9)  (4  6)  3  2  1‬‬



‫כבר ראינו בשאלה ‪ 4.3.1‬כי‬ ‫‪A  1‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪B A‬‬



‫השאלה בעמוד ‪349‬‬



‫תשובה ‪4.3.3‬‬ ‫‪ 3 4 3‬‬ ‫‪B   5 0 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 3 12 ‬‬



‫‪ 3 4 1‬‬ ‫‪A   5 0 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 3 4 ‬‬



‫א‪ .‬נפתח את ‪ A‬לפי העמודה השנייה‪:‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪ ( 1)2  2  0‬‬ ‫‪ ( 1)3 2  3‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪1 4‬‬



‫‪A  ( 1)1 2  4‬‬



‫‪ 4(20  2)  3(6  5)  88  3  91‬‬



‫נפתח את ‪ B‬לפי העמודה השנייה‪:‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪ ( 1)3 2  3‬‬ ‫)‪ 4(60  6)  3(18  15‬‬ ‫‪1 12‬‬ ‫‪5 6‬‬



‫‪B  ( 1)1 2  4‬‬



‫‪ 4  3(20  2)  3  3(6  5)  3 ( 91)  273‬‬



‫‪B   273  3  ( 91)  3 A‬‬



‫ב‪ tA .‬מתקבלת מ ‪ A‬עלידי כפל כל אחת מ ‪ n‬שורותיה בסקלר ‪. t‬‬ ‫כפל שורה אחת בסקלר מתבטא בכפל הדטרמיננטה באותו סקלר‪ ,‬ולכן כפל ‪ n‬שורות באותו‬ ‫סקלר מתבטא בכפל הדטרמיננטה באותו סקלר ‪ n‬פעמים‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪tA  t n A‬‬



‫‪402‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪351‬‬ ‫תשובה ‪4.3.4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫המקום היחיד בהוכחה שבו ניצלנו את ההנחה‪ ,‬הוא בעצם השימוש בביטוי ‪ ,‬כלומר בהנחה כי‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2  1  1‬הוא איבר הפיך‪ .‬למעשה הוכחנו את המשפט מעל כל שדה שבו ‪. 1  1  0‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪351‬‬



‫תשובה ‪4.3.5‬‬



‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪A   1 2 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 5 6‬‬



‫נפתח את ‪ A‬לפי השורה הראשונה‪:‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪4 6‬‬ ‫‪4 5‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪ (12  15)  2(6  12)  3(5  8)  3  12  9  0‬‬



‫תשובה ‪4.3.6‬‬ ‫א‪ .‬תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬המטריצות הריבועיות הבאות‪:‬‬ ‫‪a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ain  ta jn ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a jn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ann‬‬ ‫‪‬‬



‫השאלה בעמוד ‪352‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ai1  ta j1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ a j1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1‬‬



‫‪ a1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ain ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a jn ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ann ‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ai1‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a j1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1‬‬



‫לפי משפטים ‪ 4.3.4‬ו‪ 4.3.3‬נקבל כי‪:‬‬ ‫‪ a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a jn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a jn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ann‬‬



‫‪‬‬



‫‪a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ta jn‬‬



‫‪a11‬‬ ‫‪a11  a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a j1‬‬ ‫‪ai1  ain‬‬ ‫‪ t ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪a j1  a jn‬‬ ‫‪ a jn‬‬ ‫‪a j1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1  ann‬‬ ‫‪ ann‬‬ ‫‪a n1‬‬



‫‪a11‬‬ ‫‪a11  a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ta j1‬‬ ‫‪ai1  ain‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪B  ‬‬ ‫‪a j1  a jn‬‬ ‫‪a j1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1  ann‬‬ ‫‪a n1‬‬



‫המחובר הראשון בסכום שבאגף ימין הוא ‪ , A‬המחובר השני הוא המכפלה ב ‪ t‬של דטרמיננטה‬ ‫של מטריצה שבה השורות ה ‪ i‬וה ‪ j‬שוות זו לזו‪ .‬לכן מחובר זה מתאפס‪.‬‬ ‫ובסיכום‪:‬‬ ‫‪B  A‬‬



‫ב‪ .‬תהי‪:‬‬



‫‪ 1 3 2 ‬‬ ‫‪A 4 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 0‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪403‬‬



‫למרות שעדיף לפתח לפי העמודה השנייה או לפי השורה השלישית‪ ,‬נפתח את ‪ A‬וגם את ‪B‬‬



‫לפי העמודה השלישית‪ ,‬כדי שתומחש ההוכחה של התכונה הרלבנטית‪:‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2  2  6  3  ( 11)  4  6  33  43‬‬ ‫‪2 0 2 0‬‬ ‫‪4 1‬‬



‫‪A  2‬‬



‫‪ B‬היא המטריצה הבאה‪:‬‬ ‫‪ 1 3 11‬‬ ‫‪B   4 1 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 0‬‬



‫‪4 1‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫)‪ ( 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪4 1‬‬



‫‪B  11‬‬



‫‪ 11  2  2  6  3 ( 11)  22  12  33  43‬‬



‫ואכן‪:‬‬ ‫‪A  B‬‬



‫השאלה בעמוד ‪354‬‬



‫תשובה ‪4.3.7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪1 2 3 4‬‬ ‫‪0 5 10 11‬‬ ‫‪0 2 10 14‬‬ ‫‪0 11 10 17‬‬



‫‪R R 2R‬‬



‫‪4 R32  R32  3 R11‬‬ ‫‪3 R4  R4  4 R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪3  4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 2‬‬



‫נפתח את הדטרמיננטה לפי העמודה הראשונה ונקבל‪:‬‬ ‫‪5 10 11‬‬ ‫‪ 2 10 14‬‬ ‫‪11 10 17‬‬



‫נוציא מהעמודה השנייה גורם משותף ‪:10‬‬ ‫‪5 1 11‬‬ ‫‪10 3 0 3‬‬ ‫‪6 0 6‬‬



‫‪R2  R2  R1‬‬ ‫‪R3  R3  R1‬‬



‫‪‬‬



‫‪5 1 11‬‬ ‫‪ 10 2 1 14‬‬ ‫‪11 1 17‬‬



‫נפתח לפי עמודה שנייה‪ ,‬ונזכור כי המקדם של ה ‪ 1‬הוא ‪ , ( 1)2 1‬כלומר ‪:–1‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪ 10( 18  18)  360‬‬ ‫‪6 6‬‬



‫‪ 10‬‬



‫ב‪ .‬לחישוב הדטרמיננטה בסעיף זה נסמן את עמודות המטריצה ב ‪ , C1 , C2 , C3 , C4‬ונבצע פעולות‬ ‫אלמנטריות על העמודות כך‪:‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3 2 11/2 33/2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪39‬‬



‫‪C C  5 C‬‬



‫‪2 0‬‬ ‫‪5 11 3 3 211 1‬‬ ‫‪C  C4  C1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 2 2 0 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 0 8‬‬ ‫‪4 1 3 17‬‬



‫‪404‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נפתח לפי שורה ראשונה‪:‬‬ ‫‪2 11/2 33/2‬‬ ‫‪2 11/2 11/2‬‬ ‫‪ ( 2) 1 10‬‬ ‫‪30  ( 2)  3 1 10‬‬ ‫‪10  0‬‬ ‫‪1 13‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪1 13‬‬ ‫‪13‬‬



‫השוויון האחרון נובע מכך שבדטרמיננטה האחרונה יש שתי עמודות זהות‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬



‫‪3 5 2  4‬‬ ‫‪0  1  3 1‬‬ ‫‪5 7 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪5 6‬‬



‫‪3  5 2 4‬‬ ‫‪3 4 5‬‬ ‫‪3 R2  R2  R1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 7 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪5 6‬‬



‫‪3 5 2 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪5 7  7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪5 6‬‬



‫האפס שקיבלנו נמצא בעמודה הראשונה בשורה השנייה‪ .‬אם נמשיך ונאפס את איברי העמודה‬ ‫הראשונה‪ ,‬חלק מאיברי המטריצה יהיו שברים‪ .‬כדי לחסוך בכתיבת שברים‪ ,‬נאפס את איברי‬ ‫השורה השנייה‪ .‬לשם כך‪ ,‬נבצע פעולות על העמודות כך‪3:‬‬ ‫‪3 5 17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 7 28 2‬‬ ‫‪8 8 29‬‬ ‫‪2‬‬



‫נפתח לפי שורה שנייה )המקדם של ה‪ 1‬הוא ‪ , ( 1)2  2‬כלומר‬



‫‪C3 C3  3C2‬‬ ‫‪C4 C4  C2‬‬



‫‪‬‬



‫‪4:(1‬‬



‫‪R R 2R‬‬



‫‪3 17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 17 1 R2  R2  2 R1 3 17 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 6‬‬ ‫‪  5 28 2  5 28 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 6 0  1‬‬ ‫‪ 5  12  17‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪8 29‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8 29 2‬‬ ‫‪2 5 0‬‬



‫ד‪.‬‬



‫‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1 1 8‬‬ ‫‪2 1 5‬‬



‫‪3 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪6 1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1 1 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 1 5‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪R2  R2  2 R1‬‬



‫‪1 2 3 4 5 R3  R3  3 R1‬‬ ‫‪R  R 2 R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 7 10 13 R4  R4  R 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 11 16 21‬‬ ‫‪2 7 7 7 2‬‬ ‫‪1 4 5 3 10‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ( 1) 10 23 41  10 23 41‬‬ ‫‪0 10 23 41‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 11‬‬ ‫‪4 3 11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 11‬‬



‫‪ 2‬הוצאנו מהשורה השנייה גורם משותף )‪.(–1‬‬ ‫‪ 3‬אין זו הדרך היחידה להימנע משברים‪.‬‬ ‫‪ 4‬ולאחר מכן נוציא מהשורה השנייה גורם משותף )‪.(–1‬‬



‫‪R2  R2  R1‬‬ ‫‪R3  R3 11R1‬‬ ‫‪R4  R4  2 R1‬‬



‫‪‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪1 2 3‬‬ ‫‪3 11‬‬ ‫‪ 3  55  52‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3 11  1‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪0 5 1‬‬



‫‪405‬‬



‫‪R2  R2 10 R1‬‬ ‫‪R3  R3  4 R1‬‬



‫תשובה ‪4.3.8‬‬ ‫נוכיח את המשפט למטריצה משולשית עילית באינדוקציה על ‪. n‬‬ ‫עבור ‪ , n  1‬מטריצה משולשית עילית מסדר ‪ 1‬נראית כך‪:‬‬



‫‪‬‬



‫השאלה בעמוד ‪355‬‬



‫‪A  a11 ‬‬



‫ואכן‪:‬‬ ‫‪A  a11‬‬



‫נבדוק גם עבור ‪ . n  2‬מטריצה משולשית עילית מסדר ‪ 2‬נראית כך‪:‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A   11 12 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪22 ‬‬ ‫‪‬‬



‫ואכן‪:‬‬ ‫‪A  a11  a22  a12  0  a11a22‬‬



‫נניח עתה כי הטענה נכונה עבור מטריצות משולשיות עיליות מסדר ‪ , n  1‬ונוכיח אותה עבור‬ ‫מטריצות משולשיות עיליות מסדר ‪: n‬‬ ‫‪  a1n ‬‬ ‫‪  a2 n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 ann ‬‬



‫‪ a11 a12‬‬ ‫‪ 0 a‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫נפתח את הדטרמיננטה ‪ A‬לפי העמודה הראשונה ונקבל כי‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A11‬‬



‫‪A  a11 ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫המינור ‪M‬‬ ‫‪ A11‬הוא דטרמיננטה של מטריצה משולשית מסדר ‪ n  1‬שאיברי האלכסון שלה הם‬ ‫‪ . a22 , , ann‬לכן‪ ,‬על פי הנחת האינדוקציה‪:‬‬ ‫‪M  a  a‬‬ ‫‪A11‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪22‬‬



‫ולפי )‪(1‬‬ ‫‪A  a11  a22    ann‬‬



‫כפי שרצינו להוכיח‪.‬‬ ‫אפשר להוכיח את המשפט למטריצה משולשית תחתית באותו אופן‪ ,‬אך אנו נציג כאן דרך אחרת‪:‬‬ ‫נניח ש ‪ A‬היא מטריצה משולשית תחתית‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0  0 ‬‬ ‫‪ a11‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a22 0  0 ‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1 an 2   ann ‬‬



‫‪406‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫אז המטריצה המשוחלפת ‪ At‬היא מהצורה‪:‬‬ ‫‪an1 ‬‬ ‫‪an 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an 3 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ann ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a33‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ a11 a21‬‬ ‫‪ 0 a‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪At   0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫זוהי מטריצה משולשית עילית‪ ,‬ולכן לפי מה שכבר הוכחנו‪:‬‬ ‫‪At  a11    ann‬‬



‫אבל‬ ‫‪ A‬‬



‫‪At‬‬



‫ולכן‬ ‫‪A  a11  a22    ann‬‬



‫כפי שרצינו להוכיח‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪355‬‬



‫תשובה ‪4.3.9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 y ‬‬



‫‪0  ( x  y )( x  y ) ( x  y )2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪2 y  ‬‬ ‫‪3x  y‬‬ ‫‪x y‬‬



‫‪y )2‬‬



‫‪(x ‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪3x  y‬‬



‫‪ x2  y2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A x y‬‬ ‫‪ x  y‬‬



‫לחישוב ‪ A‬נוציא מן השורה הראשונה גורם משותף‪ , x  y ,‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪x y x y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A  ( x  y) x  y x  y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x  y 3x  y 2 y‬‬



‫באגף ימין קיבלנו דטרמיננטה של מטריצה שבה יש שתי שורות שוות‪ .‬דטרמיננטה של מטריצה כזאת‬ ‫היא אפס ולכן‪:‬‬ ‫‪A  ( x  y)  0  0‬‬



‫השאלה בעמוד ‪356‬‬ ‫תשובה ‪4.3.10‬‬ ‫נתון כי ‪ A‬מטריצה ריבועית ממשית מסדר ‪ n‬אי‪-‬זוגי המקיימת ‪ , At   A‬כלומר ‪. At  ( 1) A‬‬ ‫לפי סעיף ב של שאלה ‪,4.3.3‬‬ ‫‪At  ( 1)n A‬‬



‫‪ n‬איזוגי ולכן‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬



‫‪( 1)n‬‬



‫כלומר‪:‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪At‬‬



‫מאידך גיסא‪:‬‬ ‫‪At  A‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪407‬‬



‫ולכן‬ ‫‪A A‬‬



‫כלומר‬ ‫‪2A 0‬‬ ‫וזה ייתכן רק אם ‪A  0‬‬



‫‪5.‬‬



‫השאלה בעמוד ‪356‬‬



‫תשובה ‪4.3.11‬‬ ‫עבור ‪: n  2‬‬



‫) ‪ ( xi  x j‬‬ ‫‪j i‬‬



‫‪1 x1 ‬‬ ‫‪A2  ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1 x2 ‬‬



‫‪A2  x2  x1 ‬‬



‫עבור ‪: n  3‬‬ ‫‪x12‬‬



‫‪x2 2  x12‬‬



‫‪x2  x1‬‬



‫‪x32  x12‬‬



‫‪x3  x1‬‬



‫‪x12‬‬ ‫‪x22  x12  1 ‬‬ ‫‪x32  x12‬‬



‫‪x1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0 x2  x1‬‬ ‫‪x3  x1‬‬



‫‪R2  R2  R1‬‬ ‫‪R3  R3  R1‬‬



‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪1 x1‬‬



‫‪x22‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪x32‬‬



‫‪1 x3‬‬



‫‪x12‬‬



‫‪1 x1‬‬



‫‪A3  1‬‬



‫‪x22‬‬



‫‪x2‬‬



‫‪x32‬‬



‫‪1 x3‬‬



‫‪A3  1‬‬



‫נוציא גורם משותף ‪ x2  x1‬מהשורה הראשונה‪ ,‬ו ‪ x3  x1‬מהשורה השנייה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪1 x2  x1‬‬ ‫‪ ( x2  x1 )( x3  x1 )( x3  x2 ) ‬‬ ‫) ‪( xi  x j‬‬ ‫‪1 x3  x1‬‬ ‫‪j i‬‬



‫‪‬‬



‫) ‪A3  ( x2  x1 )( x3  x1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪356‬‬ ‫תשובה ‪4.3.12‬‬ ‫אם ‪ , A  0‬אז בוודאי שאין ב ‪ A‬שורת אפסים‪ .‬לפיכך‪ ,‬בכל שורה של ‪ A‬חייב להיות איבר שונה‬ ‫מ‪ .0‬הווי אומר‪ ,‬ב ‪ A‬חייבים להיות לפחות ‪ n‬איברים השונים מ‪.0‬‬ ‫האם קיימת מטריצה ריבועית מסדר ‪ , A‬שבה יש רק ‪ n‬איברים שונים מאפס ושהדטרמיננטה שלה‬ ‫אינה מתאפסת?‬ ‫התשובה היא כן! למשל‪ ,‬במטריצת היחידה ‪ I‬מסדר ‪ , n‬רק ‪ n‬איברי האלכסון הראשי שונים‬ ‫מאפס‪ .‬מטריצה זו היא‪ ,‬בין היתר‪ ,‬משולשית‪ ,‬ולכן הדטרמיננטה שלה היא מכפלת איברי האלכסון‬ ‫הראשי שלה‪ ,‬כלומר ‪. I  1  0‬‬ ‫מסקנה‬ ‫המספר המקסימלי של אפסים במטריצה מסדר ‪ n‬שהדטרמיננטה שלה שונה מאפס הוא ‪ n‬‬ ‫) ‪ n 2‬הוא המספר הכולל של איברים במטריצה‪(.‬‬



‫‪ 5‬אנו מניחים בתשובה זו שהשדה שמעליו אנחנו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים‪.‬‬



‫‪. n2‬‬



‫‪408‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪357‬‬



‫תשובה ‪4.3.13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬



‫נחסר את השורה הראשונה מהשורה השנייה‪ ,‬מהשורה השלישית ומהשורה הרביעית‪ .‬ערך‬ ‫הדטרמיננטה לא ישתנה ונקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪ 0 2 0 ‬‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫פיתוח לפי שורה‬ ‫ראשונה‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫פיתוח לפי‬ ‫עמודה ראשונה‬



‫השאלה בעמוד ‪357‬‬



‫תשובה ‪4.3.14‬‬ ‫נבדוק את ערכי הדטרמיננטות ‪. B, C , D, E‬‬ ‫‪ B‬מתקבלת מ ‪ A‬עלידי הוספת השורה הראשונה של ‪ A‬כפולה ב‪ 4‬לשורה השנייה של ‪ . A‬לכן‪:‬‬ ‫‪B  A‬‬



‫‪ C‬מתקבלת מ ‪ B‬עלידי החלפת עמודות‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫‪C B‬‬



‫‪ D‬מתקבלת מ ‪ C‬עלידי כפל של כל איבר בשורה הראשונה ב‪ .2‬לכן‪:‬‬ ‫‪D  2C‬‬



‫‪ E‬היא המטריצה המשוחלפת של ‪ , D‬כלומר ‪ . E  Dt‬לכן‪:‬‬ ‫‪E  D‬‬



‫ובסך הכול נקבל‪:‬‬ ‫‪E  D  2 C   2 B  2 A‬‬



‫השאלה בעמוד ‪357‬‬ ‫תשובה ‪4.3.15‬‬ ‫לצורך החישוב ביצענו פעולות אלמנטריות על השורות ועל העמודות של המטריצות הנדונות וביצענו‬ ‫את השינויים בערך הדטרמיננטות בהתאם‪ .‬הנה התוצאות שקיבלנו‪:‬‬ ‫א‪.‬‬



‫‪0 1 0‬‬ ‫‪2 0 3‬‬ ‫‪ 14‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪2 1 1‬‬



‫ב‪.‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪1 4 5‬‬ ‫‪0 1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20 10 40 50‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪409‬‬



‫שימו לב שהשורה השלישית במטריצה היא כפולה של השורה הראשונה‪ .‬די בפעולה אלמנטרית‬ ‫אחת כדי להביא את המטריצה למטריצה שיש בה שורת אפסים‪ .‬ומכאן קל להסיק‬ ‫שהדטרמיננטה היא ‪.0‬‬ ‫ג‪.‬‬



‫‪4 180 49‬‬ ‫‪0 270 35  27720‬‬ ‫‪0 360 21‬‬



‫ד‪.‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪1 3 2‬‬ ‫‪3 0 1 1‬‬ ‫‪ 48‬‬ ‫‪1 1 4 3‬‬ ‫‪2 2 1 1‬‬



‫ה‪.‬‬



‫‪1 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1 0 2 0‬‬ ‫‪ 19‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3 0 2‬‬



‫השאלה בעמוד ‪357‬‬



‫תשובה ‪4.3.16‬‬ ‫תהי ‪ B‬מטריצה ריבועית כלשהי מסדר ‪ , m‬כאשר ‪ m‬מספר טבעי נתון כלשהו‪.‬‬ ‫בהמשך ההוכחה המטריצה ‪ B‬קבועה‪.‬‬ ‫נוכיח ראשית כי עבור מטריצה ‪ A‬כלשהי מסדר ‪ , 1  1‬המטריצה ‪ , C‬הנתונה עלידי‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B ‬‬



‫‪A‬‬ ‫‪C ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫מקיימת‪:‬‬ ‫‪C  A B‬‬



‫ובכן‪ ,‬אם ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ , 1‬כלומר ‪ , A  a11 ‬אז ‪ , A  a11‬ובמקרה זה ‪ C‬היא מסדר‬ ‫‪ m  1‬ונראית כך‪:‬‬ ‫‪ a11 *   *‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6C ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬



‫פיתוח ‪ C‬לפי העמודה הראשונה נותן‬ ‫‪C  a11 B  A B‬‬



‫כנדרש‪.‬‬



‫‪ * 6‬מציין איבר כלשהו‪.‬‬



‫‪410‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נניח עתה באינדוקציה כי הטענה נכונה עבור ‪ A‬ריבועית כלשהי מסדר ‪ , n  1‬כלומר כי‬ ‫הדטרמיננטה של המטריצה ‪ , C‬מסדר ‪ , m  n  1‬הנתונה עלידי‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B ‬‬



‫‪A‬‬ ‫‪C ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫מקיימת‪:‬‬ ‫‪C  A B‬‬



‫תהי עתה ] ‪ A  [aij‬מטריצה ריבועית כלשהי מסדר ‪ , n‬ונתבונן במטריצה מסדר ‪ m  n‬הנתונה‬ ‫עלידי‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B ‬‬



‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪7C‬‬



‫עלינו להוכיח כי‪:‬‬ ‫‪C  A B‬‬



‫נפתח את ‪ C‬לפי העמודה הראשונה‪:‬‬ ‫‪M  a C M    ( 1)n 1 a C M  ‬‬ ‫‪C  a11 C11‬‬ ‫‪21 21‬‬ ‫‪n1 n1‬‬



‫)‪(1‬‬



‫יתר המחוברים בפיתוח של ‪ C‬לפי העמודה הראשונה מתאפסים‪ ,‬שכן יתר איברי העמודה הראשונה‬ ‫הם אפסים‪.‬‬ ‫‪ CiM‬המופיעה בפיתוח דלעיל‪:‬‬ ‫עבור ‪ 1  i  n‬נבדוק כעת מהי המטריצה המינורית ‪1‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫שורה ‪ i‬מחוקה ‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B ‬‬



‫‪CiM‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪‬‬ ‫עמודה ראשונה מחוקה‬



‫‪ CiM‬היא מטריצה מהטיפוס‬ ‫כלומר‪1 ,‬‬



‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B ‬‬



‫‪ Ai1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪CiM‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫שבה ‪ Ai1‬היא המטריצה הריבועית מסדר ‪ n  1‬המתקבלת מ ‪ A‬עלידי מחיקת השורה ה ‪i‬‬



‫והעמודה הראשונה של ‪ . A‬כלומר ‪ Ai1‬היא המטריצה המינורית של האיבר ה ‪ i ,1‬של ‪ , A‬ולכן‪:‬‬ ‫‪Ai1  AiM‬‬ ‫‪1‬‬



‫מאחר ש ‪ Ai1‬היא מסדר ‪ , n  1‬הרי לפי הנחת האינדוקציה‬ ‫‪M‬‬ ‫‪CiM‬‬ ‫‪1  Ai1 B  Ai1 B‬‬



‫‪ B 7‬היא זאת שקבענו מקודם‪ .‬איברי המטריצה ‪ X‬הם סקלרים כלשהם‪.‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪411‬‬



‫ושוויון זה נכון לכל ‪.( 1  i  n ) i‬‬ ‫נציב תוצאה זו בשוויון )‪ (1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪M B a‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪n 1 a‬‬ ‫‪C  a11 A11‬‬ ‫‪n1 An1 B‬‬ ‫)‪21 A21 B    ( 1‬‬



‫כלומר‪:‬‬



‫‪B‬‬



‫‪‬‬



‫‪M a‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪n 1 a‬‬ ‫‪C  a11 A11‬‬ ‫‪n1 An1‬‬ ‫)‪21 A21    ( 1‬‬



‫הגורם הרשום בסוגריים באגף ימין של השוויון האחרון אינו אלא הפיתוח של ‪ A‬לפי העמודה‬ ‫הראשונה‪ ,‬ולכן השוויון האחרון פירושו‬ ‫‪C  A B‬‬



‫כפי שרצינו להוכיח‪.‬‬ ‫מאחר ש ‪ B‬הייתה מטריצה ריבועית כלשהי‪ ,‬הרי שהוכחנו את הטענה עבור שתי מטריצות ‪A‬‬



‫ו ‪ B‬כלשהן‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪358‬‬ ‫תשובה ‪4.3.17‬‬ ‫אם כל האיברים במטריצה כלשהי שלמים‪ ,‬אז גם הדטרמיננטה היא מספר שלם )כי הדטרמיננטה‬ ‫היא סכום של מכפלות של איברים הלקוחים מתוך המטריצה(‪ .‬אם נחבר לשורה האחרונה במטריצה‬ ‫את כל קודמותיה‪ ,‬נקבל )עלידי שימוש חוזר במשפט ‪ (4.3.6‬מטריצה בעלת אותה דטרמיננטה‪ ,‬שבה‬ ‫)‪n ( n  1‬‬ ‫השורה האחרונה היא השורה שכל איבריה שווים ל‬ ‫‪2‬‬



‫‪ . 1  2    n ‬נוציא סקלר זה‬



‫החוצה‪ ,‬ונישאר עם דטרמיננטה של מטריצה שרכיביה שלמים‪ .‬לכן נקבל בסך הכול שהדטרמיננטה‬ ‫)‪n ( n  1‬‬ ‫היא‬ ‫‪2‬‬



‫כפול איזשהו מספר שלם‪.‬‬



‫תשובה ‪4.3.18‬‬ ‫כל אחת מהשורות של ‪ A‬היא מהטיפוס‪:‬‬



‫השאלה בעמוד ‪358‬‬ ‫‪ 1  0‬‬



‫‪0‬‬



‫בכל אחת מהשורות של ‪ A‬מופיע המספר ‪ 1‬במקום אחר )כי אחרת הייתה ב ‪ A‬עמודה שבה מופיע‬ ‫המספר ‪ 1‬יותר מפעם אחת(‪ .‬לכן קיימת שורה של ‪ A‬שבה ה‪ 1‬מופיע במקום הראשון‪ ,‬קיימת שורה‬ ‫של ‪ A‬שבה ה‪ 1‬מופיע במקום השני‪ ... ,‬וקיימת שורה של ‪ A‬שבה ה‪ 1‬מופיע במקום ה ‪ n‬י‪ .‬עלידי‬ ‫סדרה סופית של החלפות הדדיות של שורות של ‪ A‬נוכל‪ ,‬אם כן‪ ,‬להגיע למטריצה ששורתה הראשונה‬ ‫היא‪:‬‬ ‫‪0 0  0‬‬



‫שורתה השנייה היא‪:‬‬



‫‪1 0  0‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0‬‬



‫ובאופן כללי – לכל שורה ‪ (1  i  n ) i‬ה‪ 1‬מופיע במקום ה ‪: i‬‬ ‫‪ 0 1 0  0‬‬ ‫‪‬‬



‫מקום ‪i‬‬



‫‪0‬‬



‫‪412‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫אבל המטריצה שאלה הן שורותיה אינה אלא מטריצת היחידה ‪. I‬‬ ‫מצאנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי ניתן להגיע מ ‪ A‬ל ‪ I‬עלידי מספר סופי של החלפות הדדיות של שורות‪ .‬כל‬ ‫החלפה כזאת משנה את סימן הדטרמיננטה‪ .‬לכן‪ ,‬אם ביצענו ‪ m‬החלפות כאלה כדי לעבור מ ‪ A‬ל ‪, I‬‬ ‫יוצא כי‪:‬‬ ‫‪A  ( 1)m  I  ( 1)m‬‬



‫הווי אומר‪:‬‬ ‫‪A  1‬‬



‫כדי להדגים שייתכן כי נקבל ‪ 1‬וייתכן כי נקבל ‪ ,–1‬שימו לב כי המטריצות‬ ‫‪ 1 0‬‬ ‫‪A1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬



‫ו‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪A2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0‬‬



‫שתיהן מן הטיפוס הנדון בשאלה‪ ,‬וכי‪:‬‬ ‫‪A1  1 , A2  1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪358‬‬



‫תשובה ‪4.3.19‬‬ ‫נחשב את הדטרמיננטה הבאה‪:‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫נחבר בזו אחר זו את כל השורות לשורה הראשונה‪:‬‬ ‫‪ n  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪n   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪n  ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪n  ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫נחלץ את הגורם המשותף ‪ n  ‬מהשורה הראשונה‪:‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫) ‪ ( n  ‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪413‬‬



‫עבור ‪ 2  i  n‬נבצע את הפעולה ‪: Ri  Ri   R1‬‬



‫‪ ( n   )  n 1‬‬



‫‪1  ‬‬ ‫‪0  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪‬‬



‫‪1 1‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫) ‪ ( n  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0 0‬‬



‫)שהרי קיבלנו מטריצה משולשית‪ ,‬ולכן הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון הראשי‪(.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪358‬‬



‫תשובה ‪4.3.20‬‬ ‫נבדוק עבור ‪: n  2‬‬ ‫)‪2(2 1‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪0 1‬‬ ‫‪A2 ‬‬ ‫)‪ 1  ( 1‬‬ ‫‪1 0‬‬



‫אכן‪ ,‬הנוסחה נכונה‪.‬‬ ‫כעת‪ ,‬בהנחה שמתקיים‬ ‫)‪( n 1)( n  2‬‬ ‫‪2‬‬



‫נוכיח כי‪:‬‬



‫)‪An 1  ( 1‬‬



‫)‪n ( n 1‬‬ ‫‪( 1) 2‬‬



‫‪An ‬‬



‫ואמנם‪ ,‬בפיתוח ‪ An‬לפי השורה הראשונה נקבל כי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ( 1)1 n An 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪2  2 n  ( n 1)( n  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( 1‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫)‪( n 1)( n  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ ( 1‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪An   ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪( 1)1 n‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫על פי הנחת האינדוקציה‬ ‫)‪n ( n 1‬‬ ‫‪2‬‬



‫)‪ ( 1‬‬



‫‪n2  n‬‬ ‫‪2‬‬



‫)‪ ( 1) 2 ( 1‬‬



‫‪4  n2  n‬‬ ‫‪2‬‬



‫)‪ ( 1‬‬



‫כנדרש‪.‬‬ ‫תשובה ‪4.3.21‬‬



‫השאלה בעמוד ‪359‬‬



‫א‪.‬‬ ‫‪ 1 0 2 R  R  R 1 0 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪0  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  3‬‬ ‫‪1 4 0‬‬ ‫‪0 4 2‬‬



‫נפתח לפי עמודה ראשונה‪:‬‬



‫‪ ( 1)(2  12)  12  2‬‬



‫‪414‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫עתה‪ 12  2  4 ,‬אם ורק אם ‪ , 2  8‬כלומר‪ ,‬אם ורק אם ‪.   4‬‬ ‫ב‪.‬‬



‫‪ 0   1 2   1 2 ‬‬ ‫‪I  A  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  3‬‬ ‫‪ 0    1 3  1‬‬



‫עלינו למצוא את ערכי ‪ ‬שעבורם‪:‬‬



‫‪I  A  0‬‬



‫נחשב את‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (   1)(   3)  2   2  2  1‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬



‫ולכן ‪  I  A  0‬אם ורק אם ‪ ,  2  2  1  0‬כלומר אם ורק אם ‪2‬‬



‫‪I  A ‬‬



‫‪.   1 ‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪359‬‬



‫תשובה ‪4.3.22‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬



‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A  n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬



‫נחסר את העמודה האחרונה מיתר העמודות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ( n  1)  n n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪1 n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫הדטרמיננטה שקיבלנו היא דטרמיננטה של מטריצה משולשית ולכן שווה למכפלת איברי האלכסון‬ ‫הראשי של מטריצה‪ ,‬דהיינו‪:‬‬ ‫‪A  (1  n )  (2  n ) [(‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1)  n ]  n‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪ ( n  1)  ( n  2) 1  n  ( 1)n 1‬‬ ‫! ‪ ( 1)n 1  n‬‬



‫השאלה בעמוד ‪361‬‬ ‫תשובה ‪4.4.1‬‬ ‫לכל אחת מהמטריצות המופיעות בשאלה ‪ ,4.3.15‬למעט המטריצה שבחלק ב‪ ,‬יש דטרמיננטה שונה‬ ‫מאפס‪ ,‬ולכן כולן הפיכות!‬ ‫המטריצה בחלק ב אינה הפיכה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪361‬‬ ‫תשובה ‪4.4.2‬‬ ‫נסמן ב ‪ A‬את המטריצה הראשונה‪ ,‬וב ‪ B‬את השנייה‪ .‬נניח כי ‪ A‬הפיכה‪ ,‬ולכן ‪. A  0‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪a31‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a33‬‬ ‫‪ a32‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪4  a22‬‬



‫‪415‬‬



‫‪a11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪a13‬‬ ‫‪ a12‬‬



‫נפתח לפי השורה השנייה‪:‬‬ ‫‪a11‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪a31‬‬ ‫‪a11 a21 a31‬‬ ‫‪B  2 a13‬‬ ‫‪a23‬‬ ‫‪a33  2 a13 a23 a33‬‬ ‫‪ a12  a22  a32‬‬ ‫‪a12 a22 a32‬‬ ‫‪a11 a21 a31‬‬ ‫‪2 a12 a22 a32  2 At  2 A  0‬‬ ‫‪a13 a23 a33‬‬



‫‪R 2  R3‬‬



‫‪‬‬



‫ולכן גם ‪ B‬הפיכה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪361‬‬ ‫תשובה ‪4.4.3‬‬ ‫הדטרמיננטה שווה ל )‪ , ( a  4)( a  2)( a  3‬לכן המטריצה הפיכה אם ורק אם ‪. a  2,3, 4‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪361‬‬ ‫תשובה ‪4.4.4‬‬ ‫אנו יודעים כי סכום איברי כל שורה של ‪ A‬הוא אפס‪ .‬נתבונן בעמודות המטריצה ‪ A‬כווקטורים‬ ‫ב ‪ . F n‬אם נסכם עמודות אלה נקבל‪:‬‬ ‫‪ a1n ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪ 2n ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪ nn ‬‬



‫‪ a11   a12 ‬‬ ‫‪a   a ‬‬ ‫‪[ A]1c  [ A]2c    [ A]cn   21    22    ‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫‪a  a ‬‬ ‫‪ n1   n 2 ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  a1 j ‬‬ ‫‪ j 1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ a  0‬‬ ‫‪2j‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ j 1‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪  nj ‬‬ ‫‪ j 1‬‬ ‫‪‬‬



‫לכן עמודות המטריצה ‪ A‬כווקטורים ב ‪ , F n‬תלויות לינארית )מקדמי הצירוף כולם ‪ ,(1‬וממשפט‬ ‫‪ 3.10.6‬נקבל אפוא כי ‪ A‬סינגולרית ולכן ‪. A  0‬‬ ‫תשובה ‪4.5.1‬‬ ‫ממשפט ‪ 4.5.1‬נקבל‪:‬‬



‫השאלה בעמוד ‪365‬‬ ‫‪AB  A B‬‬



‫מאידך גיסא‪ ,‬אנו יודעים כי‬



‫‪AB  I‬‬



‫‪416‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ולכן‬ ‫‪AB  I  1‬‬



‫ובסך הכול קיבלנו‪:‬‬ ‫‪A B 1‬‬



‫מכאן נקבל גם כי ‪ A  0‬וגם ‪ . B  0‬לפיכך ‪ A‬ו ‪ B‬שתיהן הפיכות‪ ,‬ולכן קיימות להן מטריצות‬ ‫הופכיות‪ .‬עתה נכפול את השוויון‬ ‫‪AB  I‬‬



‫משמאל ב ‪ A1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪A1 ( AB )  A1‬‬



‫אבל‬ ‫‪ IB  B‬‬



‫‪( A1 A) B‬‬



‫‪‬‬



‫) ‪A1 ( AB‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪A1‬‬



‫‪B‬‬



‫כמו כן‪:‬‬ ‫‪ A‬‬



‫‪( A1 )1‬‬



‫‪‬‬



‫‪B 1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪365‬‬ ‫תשובה ‪4.5.2‬‬ ‫א‪ A .‬היא מטריצה לא הפיכה אם ורק אם ‪ . A  0‬לכן‪ ,‬משימוש במשפט ‪ ,4.5.1‬נקבל כי אם ‪A‬‬ ‫לא הפיכה‪ ,‬אז‬ ‫‪AB  A B  0‬‬



‫וכן‬ ‫‪BA  B A  0‬‬



‫ולכן ‪ AB‬וגם ‪ BA‬לא הפיכות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪A‬‬



‫ו ‪ B‬הן מטריצות רגולריות‪ ,‬אז ‪A  0‬‬



‫וגם ‪ , B  0‬ולכן ‪ , A B  0‬אבל‬



‫‪ AB  A B‬ולכן ‪ . AB  0‬לכן ‪ AB‬רגולרית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪365‬‬ ‫תשובה ‪4.5.3‬‬ ‫לפי הנתון ‪ . A( A  B )  I‬לכן‪ ,‬לפי מסקנה ‪ A  B ,4.5.2‬הופכית של ‪ , A‬לכן גם ‪. ( A  B ) A  I‬‬ ‫לכן ‪ , A2  BA  ( A  B ) A  I  A( A  B )  A2  AB‬לכן ‪. BA  AB‬‬ ‫תשובה ‪4.5.4‬‬ ‫א‪ .‬נניח בשלילה שיש מטריצה ) ‪ B  M 3 ( ‬כך ש ‪  I‬‬



‫השאלה בעמוד ‪365‬‬ ‫‪. B2‬‬



‫אז‪:‬‬



‫‪ B 2  ( 1)  I  ( 1)3 I  1‬‬



‫אבל ‪ B‬הוא מספר ממשי – סתירה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נניח בשלילה שקיימות ) ‪ A, B  M 7 ( ‬שהן הפיכות‪ ,‬ומקיימות ‪. AB  BA  0‬‬ ‫אז ‪ , AB   BA‬ולכן ‪. A B  AB   BA  ( 1)7 BA   B A‬‬



‫‪2‬‬



‫‪B‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪417‬‬



‫מאחר ששתי המטריצות ‪ A‬ו ‪ B‬הפיכות‪ ,‬נוכל לצמצם ב ‪ A B‬את שני אגפי השוויון‬ ‫‪ , A B   B A‬ונקבל ‪ , 1  1‬סתירה‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪368‬‬



‫תשובה ‪4.6.1‬‬ ‫עבור המערכת‬



‫‪2 x1  3 x2  1‬‬ ‫‪3 x1  4 x2  10‬‬



‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪ 8  9  17‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪ 4  30  34‬‬ ‫‪10 4‬‬



‫‪A1 ‬‬



‫‪2 1‬‬ ‫‪ 20  3  17‬‬ ‫‪3 10‬‬



‫‪A2 ‬‬



‫‪ A  0‬ולכן הפתרון )היחיד( הוא‪:‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪17‬‬



‫‪‬‬



‫‪A1‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪17‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪17‬‬



‫‪x1 ‬‬



‫‪x2 ‬‬



‫)בדקו זאת עלידי הצבה‪(.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪369‬‬



‫תשובה ‪4.6.2‬‬ ‫עבור מערכת המשוואות‬



‫‪2 x1  x2  2 x3  10‬‬ ‫‪3 x1  2 x2  2 x3  1‬‬ ‫‪5 x1  4 x2  3 x3  4‬‬



‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪2 1 2‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 0 11‬‬



‫‪R2  R2  2 R1‬‬ ‫‪R3  R3  4 R1‬‬



‫‪‬‬



‫‪2 1 2‬‬ ‫‪A  3 2 2‬‬ ‫‪5 4‬‬ ‫‪3‬‬



‫נפתח לפי עמודה שנייה‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪ ( 11  6)  5‬‬ ‫‪3 11‬‬ ‫‪R R 2R‬‬



‫‪10 1 2 R2  R2  4 R1 10 1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A1  1 2 2‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪36 0 11‬‬



‫‪418‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫נפתח לפי עמודה שנייה‪:‬‬ ‫‪19 2‬‬ ‫‪A1  ‬‬ ‫‪ ( 209  72)  137‬‬ ‫‪36 11‬‬ ‫‪R  R 10 R‬‬



‫‪2 10 2 R1  R1  4 R 2 28 0 18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 1 2‬‬ ‫‪A2  3 1 2‬‬ ‫‪5 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7 0 11‬‬



‫נפתח לפי עמודה שנייה‪:‬‬ ‫‪28 18‬‬ ‫‪ 308  126  182‬‬ ‫‪7 11‬‬



‫‪A2 ‬‬



‫‪R  R 2 R‬‬



‫‪2 1 10 R2  R2  4 R1 2 1 10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A3  3 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 19‬‬ ‫‪5 4 4‬‬ ‫‪3 0 36‬‬



‫נפתח לפי עמודה שנייה‪:‬‬ ‫‪1 19‬‬ ‫‪ (36  57)  21‬‬ ‫‪3 36‬‬



‫‪A3  ‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪137‬‬ ‫‪182‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪, x2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, x3 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪‬‬



‫‪A1‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪x1 ‬‬



‫)בדקו עלידי הצבה וזכרו כי אם זהו פתרון‪ ,‬הרי שזהו הפתרון היחיד‪(.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪372‬‬



‫תשובה ‪4.7.1‬‬ ‫נסמן‪:‬‬



‫‪b ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪adj A   11 12 ‬‬ ‫‪b21 b22 ‬‬



‫על פי הגדרת המטריצה המצורפת‪:‬‬ ‫‪ a22‬‬



‫‪M‬‬ ‫‪A11‬‬



‫‪( 1)11‬‬



‫‪b11 ‬‬



‫‪M  a‬‬ ‫‪b12  ( 1)1 2 A21‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪M  a‬‬ ‫‪b21  ( 1)2 1 A12‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪M  a‬‬ ‫‪b22  ( 1)2  2 A22‬‬ ‫‪11‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫‪ a12 ‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪adj A   22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a11 ‬‬ ‫‪ 21‬‬



‫כמו כן‪:‬‬ ‫‪A  a11a22  a12 a21‬‬



‫פרק ‪  4‬דטרמיננטות‬



‫‪ a12 ‬‬ ‫‪a11 ‬‬



‫‪ a22‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪adjA ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪11 22‬‬ ‫‪12 21   a21‬‬



‫‪419‬‬



‫‪A1 ‬‬



‫ואמנם‪ ,‬אם תבדקו תמצאו כי‪:‬‬ ‫‪I‬‬



‫‪A1 A‬‬



‫תשובה ‪4.8.1‬‬ ‫נתבונן בחילוף ‪   Sn‬המחליף בין ‪ i‬ו ‪ , j‬כאשר בלא הגבלת הכלליות ‪: i  j‬‬ ‫‪j  1  n‬‬ ‫‪j  1  n ‬‬



‫תוכלו לראות כי כלל ההיפוכים ב ‪   Sn‬הם‪:‬‬



‫‪j 1 j‬‬ ‫‪j 1 i‬‬



‫‪‬‬



‫‪AA1‬‬



‫השאלה בעמוד ‪375‬‬



‫‪1 2  i  1 i i  1 ‬‬ ‫‪1 2  i  1 j i  1 ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ j , i  ,  j , i  1 ,  j , i  2 ,,  j , j  1 ,‬‬ ‫‪ i  1, i  ,  i  2, i  ,,  j  1, i ‬‬



‫מספר ההיפוכים ברשימה זו הוא )‪ . 1  ( j  i  1)  ( j  i  1)  1  2( j  i  1‬זהו מספר‬ ‫איזוגי‪ ,‬ולכן חילוף הוא תמורה איזוגית‪.‬‬ ‫השאלה בעמוד ‪375‬‬



‫תשובה ‪4.8.2‬‬ ‫עלידי הרכבת התמורות נקבל‪:‬‬



‫‪1 2 3 4 5   1 2 3 4 5   1 2 3 4 5 ‬‬ ‫‪1 2 5 4 3   5 2 3 4 1    3 2 5 4 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬



‫השאלה בעמוד ‪376‬‬ ‫תשובה ‪4.8.3‬‬ ‫על פי ההגדרה‪ ,‬הקבוצות א וב הן תקניות‪ ,‬והקבוצות ג וד אינן תקניות – למשל‪ ,‬כי בשתיהן‬ ‫מופיעים שני הזוגות )‪ , (1,2),(2,1‬ולא רק אחד מהם‪.‬‬ ‫תשובה ‪4.8.4‬‬ ‫‪1 2 3 ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪379‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬



‫‪ 1 2 3‬‬



‫‪ .   ‬אלה הם שלושה חילופים ב ‪, S3‬‬ ‫נסמן ‪ ,    2 1 3  ,    1 3 2 ‬‬ ‫‪ 3 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ומתקיים ‪ .   ‬כלומר‪ ,‬מצאנו הצגה של אותה תמורה ‪ , ‬פעם כמכפלה של חילוף בודד‪ ,‬ופעם‬ ‫כמכפלה של שלושה‪.‬‬ ‫תשובה ‪4.9.1‬‬ ‫עבור ‪ n  2‬יש שתי תמורות‪:‬‬ ‫‪1 2 ‬‬



‫השאלה בעמוד ‪386‬‬ ‫‪1 2‬‬



‫‪  2  ‬שסימנה ‪. 1‬‬ ‫‪ 1   1 2 ‬שסימנה ‪ , 1‬ו ‪‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נקבל‪:‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪V  a1 , a2   sgn(1 ) a11a22  sgn( 2 ) a21a12  a11a22  a21a12‬‬



‫‪420‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫עבור ‪ n  3‬יש שש תמורות‪ ,‬שלוש מהן זוגיות‪ ,‬ושלוש איזוגיות )ודאו ישירות(‪.‬‬



‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪V  a1 , a2 , a3   a11a22 a33  a21a32 a13  a31a12 a23  a11a32 a23  a21a12 a33  a31a22 a13‬‬



‫תשובה ‪4.9.2‬‬ ‫נתבונן במכפלה מהצורה‬



‫השאלה בעמוד ‪387‬‬



‫‪. a (1),1a (2),2  ...  a ( n ),n‬‬



‫כל שלם ‪ 1  k  n‬מופיע בדיוק פעם אחת בין השלמים ) ‪ ,  (1),,  ( n‬ולכן נוכל לכתוב מחדש את‬ ‫המכפלה כך ) ‪ , a1, 1 (1) a2, 1 (2)  ...  an , 1 ( n‬שהרי סדר מכפלת הגורמים אינו משפיע על התוצאה‪.‬‬ ‫מאחר שלכל תמורה ‪ ‬מתקיים ) ‪) sgn( )  sgn( 1‬מסקנה ‪ ,(4.8.8‬נקבל‪:‬‬ ‫) ‪sgn( 1 ) a1, 1 (1) a2, 1 (2)  ...  an , 1 ( n‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫‪sgn( ) a (1),1a (2),2  ...  a ( n ),n ‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫אך שימו לב שכאשר ‪ ‬עוברת על פני כל התמורות ב ‪ , S n‬גם ‪  1‬עוברת על פניהן‪ ,‬ולכן‬ ‫) ‪sgn( ) a1, (1) a2, (2)  ...  an , ( n‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫‪sgn( 1 ) a1, 1 (1) a2, 1 (2)  ...  an , 1 ( n ) ‬‬



‫ולכן‪:‬‬ ‫) ‪sgn( ) a1, (1) a2, (2)  ...  an , ( n‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫‪sgn( ) a (1),1a (2),2  ...  a ( n ),n ‬‬



‫תשובה ‪4.9.3‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫השאלה בעמוד ‪392‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫*‬ ‫*‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫*‬ ‫*‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫*‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫*‬



‫*‪‬‬ ‫*‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‪‬‬ ‫*‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‪‬‬



‫נוכיח כי ‪. A  0‬‬ ‫אכן‪ ,‬נסמן את הרכיב ה ‪ i, j‬של המטריצה ב ‪ . aij‬לפי משפט ‪:4.9.6‬‬



‫)‪ sgn( )a1, (1) a2, (2) a3, (3) a4, (4) a5, (5‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪ S5‬‬



‫אם ‪ ,   S5‬אז )‪  (3),  (4),  (5‬הם שלושה מספרים שונים בין ‪ 1‬ל‪ ,5‬ולכן לפחות אחד מהם גדול‬ ‫מ ‪ . 2‬כלומר קיים ‪ 3  i  5‬כך ש ‪ ,  (i )  2‬ולכן ‪ . ai , ( i )  0‬כלומר‪ ,‬בכל אחד מהמחוברים‬ ‫בסכום יש גורם שהוא אפס‪ ,‬לכן כל המחוברים הם אפסים‪ ,‬ו ‪. A  0‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪422‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫הגדרה ‪ 1.1.1‬סגירות של קבוצה לגבי פעולה‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה ותהי ‪ ‬פעולה על ‪ . A‬נאמר כי ‪ A‬סגורה לגבי‬



‫‪1, ‬‬



‫‪423‬‬



‫אם לכל ‪ a , b  A‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪a b  A‬‬



‫)אסוֹ ְציָ אטיבית(‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.2‬פעולה קיבוצית ָ‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה ותהי ‪ ‬פעולה על ‪ . A‬נאמר כי ‪ ‬היא פעולה קיבוצית‪ ,‬אם ‪ A‬סגורה לגבי ‪ , ‬ולכל‬ ‫‪ a, b, c  A‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪( a  b )  c  a  (b  c‬‬



‫הגדרה ‪ 1.1.3‬פעולה חילופית )קוֹ מו ָּטטיבית(‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה ותהי ‪ ‬פעולה על ‪ . A‬נאמר כי ‪ ‬היא פעולה חילופית‪ ,‬אם לכל ‪ a, b  A‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ab  ba‬‬



‫הגדרה ‪ 1.1.4‬פילוג של פעולה מעל פעולה אחרת )דיסטריבּוּטיביוּת(‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה‪ ,‬ותהיינה ‪ &,‬פעולות על ‪ , A‬אשר ‪ A‬סגורה לגביהן‪ .‬נאמר שהפעולה ‪ ‬מתפלגת‬ ‫מעל הפעולה &‪ ,‬אם לכל ‪ a, b, c  A‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪a  (b & c )  ( a  b ) & ( a  c‬‬



‫יט ָרלִ י‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.5‬איבר נֵ ְ‬ ‫תהי ‪ ‬פעולה על קבוצה ‪ , A‬ויהי ‪ e‬איבר של ‪ . A‬נאמר כי ‪ e‬נֵ יטרלי ביחס ל ‪ , ‬אם לכל ‪a  A‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪ae  ea  a‬‬ ‫משפט ‪1.1.6‬‬ ‫תהי ‪ ‬פעולה על קבוצה ‪. A‬‬ ‫ב ‪ A‬יש לכל היותר איבר אחד שהוא ניטרלי ביחס ל ‪. ‬‬ ‫מסקנה ‪1.1.7‬‬ ‫אם ‪ e  A‬הוא ניטרלי ביחס לפעולה ‪ ‬על ‪ , A‬אז ‪ e‬הוא האיבר הניטרלי היחיד של ‪ A‬ביחס‬ ‫ל ‪. ‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.1.8‬איבר הפיך ביחס לפעולה‬ ‫תהי ‪ ‬פעולה על קבוצה ‪ , A‬ונניח שב ‪ A‬יש איבר ניטרלי ביחס ל ‪ . ‬נסמן איבר זה ב ‪ . e‬איבר‬ ‫‪ a  A‬נקרא איבר ָהפיך ביחס ל ‪ , ‬אם קיים ‪ b  A‬המקיים ‪. a  b  b  a  e‬‬



‫‪ 1‬ויש אומרים‪ :‬סגורה ביחס ל ‪. ‬‬



‫‪424‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫טענה ‪1.1.9‬‬ ‫תהי ‪ ‬קבוצת המספרים הרציונליים ותהיינה ‪ ‬ו ‪ ‬פעולות החיבור והכפל עליה‪ .‬אז‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬



‫‪ ‬סגורה לגבי שתי הפעולות‪.‬‬ ‫שתי הפעולות הן קיבוציות‪.‬‬ ‫שתי הפעולות הן חילופיות‪.‬‬ ‫ב ‪ ‬המספר ‪ 0‬ניטרלי ביחס לחיבור והמספר ‪ 1‬ניטרלי ביחס לכפל‪.‬‬ ‫הכפל מתפלג מעל החיבור‪.‬‬ ‫כל איברי ‪ ‬הפיכים ביחס לחיבור‪ ,‬וכל איברי ‪ ‬פרט ל‪ 0‬הפיכים ביחס לכפל‪ .‬אכן‪,‬‬ ‫לכל ‪ a, b‬שלמים‪, b  0 ,‬‬ ‫לכל ‪ a, b‬שלמים‪, a, b  0 ,‬‬



‫‪a‬‬ ‫‪a a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b b a‬‬ ‫‪   1‬‬ ‫‪a a b‬‬ ‫‪‬‬



‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬



‫הגדרה ‪ 1.2.1‬שדה‬ ‫שדה הוא מבנה מתמטי‪ ,‬המורכב מקבוצה ‪ , F‬ומשתי פעולות על ‪ F‬שנקרא להן חיבור וכפל‪ ,‬שאותן‬ ‫נסמן ‪  F‬ו ‪) F‬בהתאמה(‪ ,‬כך שמתקיימות הדרישות האלה )אקסיומות השדה(‪:‬‬ ‫א‪ .‬הקבוצה ‪ F‬סגורה לגבי החיבור ולגבי הכפל‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ a , b  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫וגם‪:‬‬ ‫סוציאטיביוֹ ת(‪.‬‬ ‫ִ‬ ‫)א‬ ‫ב‪ .‬פעולות החיבור והכפל הן קיבוציות ָ‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ a , b , c  F‬מתקיים‪:‬‬



‫‪a F b  F‬‬ ‫‪a F b  F‬‬



‫) ‪( a  F b)  F c  a  F (b  F c‬‬ ‫) ‪( a  F b ) F c  a F ( b F c‬‬



‫וגם‪:‬‬ ‫ג‪ .‬פעולות החיבור והכפל הן חילופיות )קומוטטיביוֹ ת(‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ a , b  F‬מתקיים‪a  F b  b  F a :‬‬ ‫וגם‪a F b  b F a :‬‬ ‫ד‪ .‬ב ‪ F‬יש איבר ניטרלי )יחיד( ביחס לחיבור שנסמנו ‪ , 0 F‬ויש איבר ניטרלי )יחיד( ביחס לכפל‬ ‫שנסמנו ‪ . 1F‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ a  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫וכן‪:‬‬



‫‪a  F 0F  0F  F a  a‬‬ ‫‪a F 1F  1F F a  a‬‬



‫ה‪ .‬האיברים הניטרליים ביחס לחיבור וביחס לכפל הם איברים שונים של ‪. F‬‬ ‫כלומר‪:‬‬



‫‪0 F  1F‬‬



‫ו‪ .‬הכפל מתפלג מעל החיבור )דיסטריבוטיביוּת(‪.‬‬ ‫) ‪a  F ( b  F c )  ( a F b )  F ( a F c‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ a , b , c  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫ז‪ .‬כל איברי ‪ F‬הפיכים ביחס לחיבור‪ ,‬וכל איברי ‪ F‬פרט ל ‪ 0 F‬הפיכים ביחס לכפל‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫לכל ‪ a  F‬יש ‪ , a '  F‬כך ש ‪a  F a '  a '  F a  0 F‬‬ ‫‪a F a "  a "F a  1F‬‬ ‫ולכל ‪ a  F‬המקיים ‪ , a  0 F‬יש ‪ , a "  F‬כך ש‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪425‬‬



‫טענה ‪1.2.2‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ויהי ‪ . a  F‬קיים איבר יחיד ‪ a '  F‬כך ש ‪. a  F a '  0F‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.2.3‬האיבר הנגדי‬ ‫יהי ‪ a‬איבר של שדה ‪ . F‬לַ איבר היחיד ‪ a '  F‬המקיים‬ ‫ונסמנו ‪. a‬‬



‫‪ , a  F a '  0F‬נקרא האיבר הנגדי ל ‪a‬‬



‫טענה ‪1.2.4‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ויהי ‪ . a  0F , a  F‬קיים איבר יחיד ‪ a '  F‬כך ש ‪. a F a '  1F‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.2.5‬האיבר ההופכי‬ ‫יהי ‪ a  0F‬איבר של שדה ‪ . F‬לאיבר היחיד ‪ a '  F‬המקיים ‪ , a F a '  1F‬נקרא האיבר ההופכי‬ ‫ל ‪ a‬ונסמנו ‪. a 1‬‬ ‫משפט ‪1.2.6‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה ויהיו ‪ . a , b  F‬השוויון ‪ ab  0‬מתקיים אם ורק אם ‪ a  0‬או ‪. b  0‬‬ ‫מסקנה ‪1.2.7‬‬ ‫האפס של שדה ‪ F‬אינו הפיך ביחס לכפל‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.2.8‬חיסור‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ .‬לכל ‪, a , b  F‬‬



‫) ‪a  b : a  (  b‬‬



‫הגדרה ‪ 1.2.9‬חילוק‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ .‬לכל ‪, b  0 , a , b  F‬‬



‫‪a / b : ab 1‬‬



‫הגדרה ‪ 1.3.1‬שוויון ‪ n‬יות‬ ‫נאמר שה ‪ n‬יה ) ‪ ( a1 , a2 ,..., an‬שווה ל ‪ m‬יה ) ‪ ( b1 , b2 ,..., bm‬ונרשום‪:‬‬ ‫) ‪( a1 , a2 ,..., an )  ( b1 , b2 ,..., bm‬‬



‫אם‪:‬‬ ‫א‪n  m .‬‬ ‫‪ai  bi‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪ , 1  i  n , i‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪a1  b1 , a2  b2 , , an  bn‬‬ ‫דהיינו‬ ‫הגדרה ‪ 1.3.2‬חיבור ‪ n‬יות מעל שדה‬ ‫‪. a  ( a1 ,, an ), b  ( b1 ,, bn ) , a, b ‬‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬יהי ‪ n‬מספר טבעי נתון‪ ,‬ויהיו‬ ‫הסכום ‪ a  b‬הוא ה ‪ n‬יה המתקבלת עלידי חיבור הרכיבים המתאימים של ‪ a‬ושל ‪ , b‬כלומר‪:‬‬ ‫‪Fn‬‬



‫) ‪a  b : ( a1  b1 ,, an  bn‬‬



‫‪426‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫משפט ‪ 1.3.3‬תכונות של חיבור ‪ n‬יות‬ ‫לכל שדה ‪ F‬ולכל מספר טבעי ‪, n‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬



‫ה‪.‬‬



‫הקבוצה ‪ F n‬סגורה לגבי פעולת החיבור של ‪ n‬יות‪,‬‬ ‫כלומר לכל ‪ a, b  F n‬מתקיים‪a  b  F n :‬‬ ‫פעולת החיבור של ‪ n‬יות מעל ‪ F‬היא קיבוצית‪,‬‬ ‫כלומר לכל ‪ a, b, c  F n‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪(a  b)  c  a  (b  c‬‬ ‫פעולת החיבור של ‪ n‬יות מעל ‪ F‬היא חילופית‪,‬‬ ‫‪abba‬‬ ‫כלומר לכל ‪ a, b  F n‬מתקיים‪:‬‬ ‫ה ‪ n‬יה ‪ , 0 : (0,,0)  F n‬שכל רכיביה הם האפס של השדה ‪ , F‬היא איבר ניטרלי ביחס‬ ‫לפעולת החיבור של ‪ n‬יות מעל ‪, F‬‬ ‫כלומר לכל ‪a  0  0  a  a , a  F n‬‬ ‫כל איברי ‪ F n‬הפיכים ביחס לפעולת החיבור של ‪ n‬יות מעל ‪; F‬‬ ‫לכל ‪ , a  ( a1 ,, an )  F n‬ה ‪ n‬יה ‪ ,  a  (  a1 ,,  an )  F n‬שרכיביה הם האיברים‬ ‫הנגדיים של רכיבי ‪ , a‬מקיימת‪a  (  a )  (  a )  a  0 :‬‬



‫הגדרה ‪ 1.3.4‬כפל ‪ n‬יות בסקלרים‬ ‫יהיו ‪ F‬שדה‪ n ,‬מספר טבעי נתון‪ t  F ,‬סקלר נתון‪ ,‬ו ‪. a  ( a1 ,..., an ) , a  F n‬‬ ‫הכפל ‪ ta‬של ‪ a‬בסקלר ‪ t‬מתקבל עלידי כפל הרכיבים של ‪ a‬ב ‪. t‬‬ ‫) ‪ta : ( ta1 ,..., tan‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫משפט ‪ 1.3.5‬תכונות הכפל בסקלר‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬ויהי ‪ n‬מספר טבעי נתון‪.‬‬ ‫א‪ .‬לכל ‪ a  F n‬ולכל סקלר ‪ta  F n , t  F‬‬



‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬



‫לכל‬ ‫לכל‬ ‫לכל‬ ‫לכל‬ ‫וכן‪:‬‬ ‫לכל ‪ a, b  F n‬ולכל ‪, t  F‬‬



‫‪, a  Fn‬‬ ‫‪, a  Fn‬‬ ‫‪, a  Fn‬‬ ‫‪ , a  F n‬ולכל ‪, s , t  F‬‬



‫‪0a  0‬‬ ‫‪1a  a‬‬ ‫‪( 1) a   a‬‬



‫)‪( st )a = s (ta‬‬ ‫‪( s  t ) a  s a  ta‬‬ ‫‪t ( a  b )  ta  tb‬‬



‫הגדרה ‪ 1.4.1‬משוואה לינארית מעל שדה‬ ‫משוואה לינארית סטנדרטית ב ‪ n‬משתנים מעל שדה ‪ F‬היא משוואה מהטיפוס‬ ‫‪a1 x1  a2 x2    an xn  b‬‬



‫שבה ‪ x1 ,, xn‬הם משתנים‪ ,‬ו ‪ , a1 ,, an , b‬המכונים מקדמי המשוואה‪ ,‬הם סקלרים )כלומר איברים‬ ‫של ‪ .( F‬הסקלרים ‪ a1 ,, an‬נקראים מקדמי המשתנים‪ ,‬הסקלר ‪ b‬נקרא המקדם החופשי‪.‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪427‬‬



‫משוואה ב ‪ n‬משתנים מעל השדה ‪ F‬נקראת משוואה לינארית‪ ,‬אם התנאי שהיא מציבה על‬ ‫‪ n‬יות מעל ‪ F‬ניתן להצגה באמצעות משוואה לינארית סטנדרטית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.4.2‬פתרון של משוואה לינארית‬ ‫‪a1 x1  a2 x2    an xn  b‬‬ ‫תהי‬ ‫משוואה לינארית ב ‪ n‬משתנים מעל שדה ‪. F‬‬ ‫על ‪ n‬יה ‪ ( v1 ,, vn )  F n‬של סקלרים מתוך ‪ F‬נאמר שהיא פתרון של המשוואה )או שהיא‬ ‫פותרת אותה( אם הטענה שהמשוואה מייצגת כאשר ) ‪ ( x1 ,, xn )  ( v1 ,, vn‬היא נכונה‪.‬‬ ‫מערכת לינארית סטנדרטית מסדר ‪ m × n‬מעל שדה ‪F‬‬



‫הגדרה ‪1.5.1‬‬ ‫מערכת לינארית סטנדרטית מסדר ‪) m × n‬קרי‪ m " :‬על ‪ ,(" n‬היא מערכת מהטיפוס‪:‬‬ ‫‪a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1‬‬ ‫‪a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2‬‬ ‫‪‬‬



‫‪‬‬



‫‪am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm‬‬



‫‪ x1 ,..., xn‬הם המשתנים‪ (1  i  m, 1  j  n ) aij ,‬הם מקדמי המשתנים‪ bi ,‬הם המקדמים‬ ‫החופשיים‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.5.2‬פתרון של מערכת לינארית‬ ‫תהי נתונה מערכת לינארית מסדר ‪ , m  n‬מעל שדה ‪ . F‬נסמן ב ) ‪ ( x1 ,, xn‬את ‪ n‬יית המשתנים‬ ‫שלה‪.‬‬ ‫‪ n‬יה ) ‪ ( v1 ,, vn‬של סקלרים מתוך ‪ F‬נקראת פתרון של המערכת‪ ,‬אם היא פותרת כל אחת‬ ‫מ ‪ m‬המשוואות של המערכת‪ ,‬כלומר אם עבור ) ‪ , ( x1 ,, xn )  ( v1 ,, vn‬כל טענות השוויון‬ ‫המתקבלות ממנה הן נכונות‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.5.3‬מערכת הומוגנית‪/‬איהומוגנית‬ ‫מערכת לינארית‪ ,‬שכל המקדמים החופשיים שלה הם אפסים‪ ,‬נקראת מערכת )לינארית( הומוגנית‪.‬‬ ‫הצורה הכללית של מערכת הומוגנית היא‪:‬‬ ‫‪a11 x1    a1n xn  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am1 x1    amn xn  0‬‬



‫מערכת לינארית שאינה הומוגנית נקראת מערכת איהומוגנית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.7.1‬מערכות לינאריות שקולות‬ ‫שתי מערכות לינאריות ב ‪ n‬משתנים מעל שדה נתון הן שקולות זו לזו‪ ,‬אם יש לשתיהן אותה קבוצת‬ ‫פתרונות‪.‬‬



‫‪428‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הגדרה ‪ 1.7.2‬שינוי אלמנטרי במערכת לינארית‬ ‫שינוי אלמנטרי במערכת לינארית הוא שינוי מאחד הטיפוסים האלה‪:‬‬ ‫‪ .1‬החלפת סדר הופעתן של שתי משוואות במערכת‪.‬‬ ‫‪ .2‬כפל אחת המשוואות בסקלר שונה מאפס‪.‬‬ ‫‪ .3‬הוספת כפולה בסקלר של אחת ממשוואות המערכת למשוואה אחרת של המערכת‪.‬‬ ‫משפט ‪1.7.3‬‬ ‫אם מערכת לינארית מתקבלת ממערכת נתונה באמצעות סדרה סופית של שינויים אלמנטריים‬ ‫עוקבים‪ ,‬אז היא שקולה למערכת המקורית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.8.1‬מטריצות שקולותשורה‬ ‫תהיינה ‪ A, B‬מטריצות מאותו סדר‪ .‬נאמר ש ‪ A‬שקולתשורה )‪ (Row equivalent‬ל ‪ , B‬אם יש‬ ‫סדרה סופית של פעולותשורה עוקבות שמובילה מ ‪ A‬ל ‪. B‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.10.1‬שורת אפס‪ ,‬איבר פותח‬ ‫א‪ .‬שורה של מטריצה‪ ,‬שכל איבריה הם אפסים‪ ,‬מכונה שורת אפס‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שורה של מטריצה שאיננה שורת אפס‪ ,‬האיבר הראשון בה משמאל השונה מ‪ 0‬מכונה האיבר‬ ‫הפותח של השורה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬איבר של מטריצת מדרגות‪ ,‬שהוא האיבר הפותח של אחת משורותיה‪ ,‬יכונה להבא איבר פותח‬ ‫של המטריצה‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.10.2‬מטריצת מדרגות‬ ‫מטריצת מדרגות היא מטריצה שעונה על הדרישות האלה‪:‬‬ ‫א‪ .‬בכל שורה שאינה שורת אפס‪ ,‬האיבר הפותח הוא מימין לאיברים הפותחים של השורות שמעליו‬ ‫)כשיש שורות כאלה(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כל שורות האפס )אם יש כאלה( הן מתחת לכל השורות שאינן שורות אפס‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.10.3‬מערכת לינארית ְמדוֹ ֶרגֶ ת‬ ‫מערכת לינארית‪ ,‬אשר מטריצת המקדמים שלה היא מטריצת מדרגות‪ ,‬נקראת מערכת )לינארית(‬ ‫ְמדוֹ ֶרגֶ ת‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.10.4‬משתנים קשורים ומשתנים חופשיים של מערכת מדורגת‬ ‫משתנה של מערכת מדורגת נקרא משתנה קשור‪ ,‬אם המקדם המופיע לצדו הוא איבר פותח‪.‬‬ ‫משתנה של המערכת שאינו קשור נקרא משתנה חופשי‪.‬‬ ‫הדירוּג‬ ‫משפט ‪ 1.10.5‬משפט ֵ‬ ‫כל מטריצה מעל כל שדה ניתנת לדירוג‪.‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪429‬‬



‫מסקנה ‪1.10.6‬‬ ‫כל מערכת לינארית שקולה למערכת מדורגת‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.11.1‬מטריצת מדרגות קנונית‬ ‫מטריצת מדרגות קנונית היא מטריצת מדרגות אשר כל האיברים הפותחים בה הם ‪ ,1‬ובכל עמודה‬ ‫שבה יש איבר פותח‪ ,‬וכל יתר האיברים הם ‪.0‬‬ ‫משפט ‪ 1.11.2‬קיום הצגה קנונית‬ ‫לכל מטריצה‪ ,‬מעל כל שדה‪ ,‬יש הצגה קנונית‪.‬‬ ‫לשון אחר – כל מטריצה היא שקולתשורה למטריצת מדרגות קנונית‪.‬‬ ‫משפט ‪ 1.11.3‬יחידות ההצגה הקנונית‬ ‫ההצגה הקנונית של כל מטריצה היא יחידה‪.‬‬ ‫לשון אחר – כל מטריצה היא שקולתשורה למטריצת מדרגות קנונית יחידה‪.‬‬ ‫משפט ‪ 1.12.1‬בוחן לעקביות של מערכות לינאריות מדורגות‬ ‫תהי נתונה מערכת לינארית מדורגת ‪ , A‬מעל שדה כלשהו ‪ . F‬המערכת ‪ A‬היא עקבית אם ורק אם‬ ‫במטריצה המתאימה ‪ A‬אין שורה מהטיפוס‪:‬‬ ‫)‪[0,, 0, a ] ( a  0‬‬ ‫)כלומר‪ ,‬אם ורק אם במטריצה אין שורה‪ ,‬שהאיבר הפותח שלה הוא בעמודה האחרונה‪(.‬‬ ‫משפט ‪ 1.12.2‬כמות הפתרונות של מערכת לינארית מדורגת‬ ‫תהי נתונה מערכת לינארית מדורגת ‪ A‬מעל שדה כלשהו ‪ , F‬ונניח שהמערכת ‪ A‬עקבית‪.‬‬ ‫א‪ .‬אם כל המשתנים של המערכת הם קשורים‪ ,‬אז למערכת יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם במערכת יש משתנה חופשי אחד לפחות‪ ,‬אז למערכת יש יותר מפתרון אחד‪.‬‬ ‫כמות הפתרונות תלויה‪ ,‬במקרה זה‪ ,‬בכמות איברי השדה ‪: F‬‬ ‫אם ‪ F‬שדה אינסופי‪ ,‬אז למערכת יש אינסוף פתרונות;‬ ‫אם ‪ F‬שדה סופי – כמות הפתרונות היא סופית‪ ,‬ושווה למספר איברי ‪ F‬בחזקת מספר‬ ‫המשתנים החופשיים של המערכת‪.‬‬ ‫כמות הפתרונות של מערכת לינארית מעל ‪‬‬



‫מסקנה ‪1.12.3‬‬ ‫לכל מערכת לינארית מעל ‪ ‬מתקיימת אחת משלוש האפשרויות האלה‪:‬‬ ‫‪ .1‬למערכת אין פתרון‪,‬‬ ‫‪ .2‬למערכת יש פתרון יחיד‪,‬‬ ‫‪ .3‬למערכת יש אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫משפט ‪1.13.1‬‬ ‫אם במערכת הומוגנית מספר המשתנים גדול ממספר המשוואות‪ ,‬אז למערכת יש פתרון לא‬ ‫טריוויאלי‪.‬‬



‫‪430‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הגדרה ‪ 1.13.2‬מטריצת המקדמים המצומצמת של מערכת לינארית‬ ‫מטריצת המקדמים המצומצמת של מערכת לינארית ‪ A‬מסדר ‪ m  n‬היא המטריצה מסדר‬ ‫‪ , m  n‬המורכבת מ ‪ n‬העמודות הראשונות של מטריצת המקדמים של ‪ , A‬כלומר מעמודות‬ ‫המקדמים של משתני המערכת בלבד‪.‬‬ ‫משפט ‪1.14.1‬‬ ‫אם ‪ A‬מטריצת מדרגות קנונית‪ ,‬ריבועית מסדר ‪ , n‬שבה בכל שורה יש איבר פותח‪ ,‬אז ‪. A  I n‬‬ ‫משפט ‪1.14.2‬‬ ‫למערכת לינארית מסדר ‪ n  n‬מעל שדה ‪ F‬יש פתרון יחיד אם ורק אם מטריצת המקדמים‬ ‫המצומצמת שלה שקולתשורה למטריצת היחידה ‪. I n‬‬ ‫משפט ‪1.14.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ . n‬אם לאחת מן המערכות הלינאריות ש ‪ A‬היא מטריצת‬ ‫המקדמים המצומצמת שלהן יש פתרון יחיד‪ ,‬אז לכל מערכת ש ‪ A‬היא מטריצת המקדמים‬ ‫המצומצמת שלה‪ ,‬יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫משפט ‪1.14.4‬‬ ‫מטריצת המקדמים המצומצמת של מערכת לינארית הומוגנית של ‪ n‬משוואות ב ‪ n‬נעלמים‬ ‫מקיימת טענה אחת מהשתיים‪:‬‬ ‫א‪ .‬או שהיא שקולתשורה למטריצה שבה יש שורת אפסים‪ ,‬וזאת אם ורק אם יש למערכת פתרון‬ ‫לאטריוויאלי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬או שהיא שקולתשורה למטריצה היחידה‪ ,‬וזאת אם ורק אם למערכת יש פתרון אחד בלבד –‬ ‫הפתרון הטריוויאלי‪.‬‬ ‫טענה ‪2.2.1‬‬ ‫לכל ‪: a, b  2‬‬ ‫טענה ‪2.2.2‬‬ ‫יהי ‪ a‬וקטור ב ‪ ,  2‬ויהי ‪ t‬סקלר ממשי‪.‬‬ ‫הקשר הגיאומטרי בין הווקטורים ‪ a‬ו ‪ ta‬הוא כדלהלן‪:‬‬ ‫א‪ ta .‬מונח על הישר שעליו מונח ‪. a‬‬ ‫ב‪ ta .‬ארוך פי | ‪ | t‬מ ‪. a‬‬ ‫ג‪ ta .‬הוא בכיוון של ‪ a‬אם ‪ , t  0‬ובכיוון ההפוך ל ‪ a‬אם ‪. t  0‬‬



‫‪ 2‬באגף שמאל החיבור הוא החיבור הרגיל ב ‪ .  2‬באגף ימין – חיבור גיאומטרי‪.‬‬



‫‪b ab‬‬



‫‪2a‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪431‬‬



‫טענה ‪ 2.3.1‬הצגה פרמטרית של ישר שעובר דרך הראשית‬ ‫אם ‪ ‬ישר העובר דרך הראשית במישור או במרחב קרטזי‪ ,‬ו ‪ a  0‬היא נקודה עליו‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪  ta t  ‬‬



‫ההצגה של ‪ ‬בדרך זו מכונה הצגה פרמטרית של ‪ , ‬ואומרים ש ‪ ‬הוא הישר שנקבע עלידי ‪. a‬‬ ‫טענה ‪ 2.3.2‬הצגה פרמטרית של ישר כללי‬ ‫א‪ .‬יהיו ‪ a, b‬ב ‪  2‬או ב ‪ ,  3‬כאשר ‪ a  0‬ו ‪ b‬אינו מונח על הישר העובר דרך הראשית ו ‪. a‬‬ ‫אז האוסף ‪ , ta  b | t  ‬שאותו נהוג לסמן בקיצור ‪ ,  a  b‬הוא ישר‪.‬‬ ‫זהו הישר שמקביל לווקטור ‪ a‬ועובר דרך הנקודה ‪. b‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ישר ‪) ‬במישור או במרחב(‪ ,‬יש וקטורים ‪ , a  0 , a, b‬שעבורם ‪.    a  b‬‬ ‫)לשון אחר‪ ,‬לכל ישר ‪ ‬יש הצגה פרמטרית מהצורה ‪(.  a  b‬‬ ‫טענה ‪ 2.3.3‬הצגה פרמטרית של הישר העובר דרך שתי נקודות‬ ‫תהיינה ‪ c  d‬נקודות שונות כלשהן‪ ,‬במישור או במרחב‪ .‬הישר העובר דרכן הוא‪:‬‬



‫‪t (c  d)  d | t  ‬‬ ‫זהו הישר ‪.    ( c  d )  d‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.3.4‬צירוף לינארי‬ ‫סכום מהטיפוס ‪ sa  tb‬מכונה צירוף לינארי של הווקטורים ‪ a‬ו ‪. b‬‬ ‫הסקלרים ‪ s‬ו ‪ t‬נקראים מקדמי הצירוף‪.‬‬ ‫טענה ‪2.3.5‬‬ ‫יהיו ‪ a, b  2‬וקטורים שמונחים על ישרים שונים‪.‬‬ ‫אז אוסף כל הצירופים הלינאריים של ‪ a‬ו ‪, b‬‬ ‫‪sa  tb s, t  ‬‬ ‫שאותו אפשר לסמן בקיצור ‪ ,  a   b‬הוא הצגה פרמטרית של המישור‪.‬‬ ‫טענה ‪2.3.6‬‬ ‫וקטורים שאינם מונחים על ישר אחד‪ ,‬ותהי ‪ c‬נקודה‬ ‫א‪ .‬יהיו ‪a, b‬‬ ‫אז ‪ a   b  c‬‬ ‫הוא מישור מקביל למישור ‪ ,  a   b‬כלומר זהו המישור שמקביל למישור שנפרש עלידי ‪a‬‬ ‫ו ‪ b‬ועובר דרך ‪. c‬‬ ‫ב ‪.  3‬‬



‫ב ‪,  3‬‬



‫ב‪ .‬לכל מישור ‪ L‬במרחב‪ ,‬יש וקטורים ‪ , a, b, c‬כאשר ‪ a, b‬אינם מונחים על ישר אחד‪ ,‬שעבורם‪:‬‬ ‫‪L  a  b  c‬‬



‫)לשון אחר‪ ,‬לכל מישור ‪ L‬יש הצגה פרמטרית מהצורה ‪(.  a   b  c‬‬ ‫טענה ‪ 2.3.7‬הצגה פרמטרית של המישור הנקבע עלידי שלוש נקודות לאקוויות‬ ‫תהיינה ‪ a, b, c  3‬נקודות לאקוויות‪ .‬המישור ‪ , L‬הנקבע עלידי שלוש הנקודות האלה‪ ,‬הוא‪:‬‬ ‫‪L  (a  c )  (b  c )  c‬‬



‫‪432‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫טענה ‪2.3.8‬‬ ‫תהי ‪ a1 x  a2 y  a3‬משוואה לינארית בשני משתנים מעל ‪. ‬‬ ‫אם המשוואה עקבית ולאטריוויאלית‪ ,‬אז אוסף הפתרונות שלה הוא ישר במישור‪ .‬ישר זה נקרא‬ ‫הישר המתאים למשוואה‪.‬‬ ‫טענה ‪2.3.9‬‬ ‫אוסף הפתרונות של מערכת לינארית בשני משתנים הוא אחד מאלה‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬



‫אוסף ריק )אין נקודות משותפות לכל הישרים המתאימים למשוואות במערכת(‪.‬‬ ‫נקודה בודדת )הישרים המתאימים למשוואות הלאטריוויאליות נחתכים בנקודה אחת; אם‬ ‫המערכת הומוגנית‪ ,‬הנקודה הזאת היא הראשית(‪.‬‬ ‫ישר )הישרים המתאימים למשוואות הלאטריוויאליות מתלכדים(‪.‬‬ ‫המישור כולו )המערכת טריוויאלית(‪.‬‬



‫טענה ‪2.3.10‬‬ ‫תהי ‪ a1 x  a2 y  a3 z  a4‬משוואה לינארית בשלושה משתנים מעל ‪ . ‬אם המשוואה עקבית ולא‬ ‫טריוויאלית אז אוסף הפתרונות שלה הוא מישור במרחב‪ .‬מישור זה נקרא המישור המתאים למשוואה‪.‬‬ ‫טענה ‪2.3.11‬‬ ‫אוסף הפתרונות של מערכת לינארית בשלושה משתנים הוא אחד מאלה‪:‬‬ ‫אוסף ריק‪ ,‬או נקודה בודדת‪ ,‬או ישר‪ ,‬או מישור במרחב‪ ,‬או המרחב כולו‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.5.1‬צירוף לינארי כללי‬ ‫יהיו ‪ F‬שדה‪ k ,‬מספר טבעי‪ ,‬ו ‪ a1 ,, ak‬וקטורים ב‬



‫‪. Fn‬‬



‫סכום מהטיפוס‬ ‫‪s1a1  s2 a2    sk ak‬‬



‫שבו ‪ s1 ,, sk‬הם סקלרים כלשהם‪ ,‬נקרא צירוף לינארי של הווקטורים ‪. a1 ,, ak‬‬ ‫הסקלרים ‪ s1 ,, sk‬נקראים מקדמי הצירוף‪.‬‬ ‫משפט ‪2.5.2‬‬ ‫אם ‪ ( k  1) a1 ,, ak‬הם פתרונות של מערכת הומוגנית‪ ,‬אז כל צירוף לינארי של ‪ a1 ,, ak‬אף הוא‬ ‫פתרון של אותה מערכת‪.‬‬ ‫משפט ‪2.5.3‬‬ ‫יהיו ‪ F‬שדה‪ ,‬ו ‪ n‬מספר טבעי‪ ,‬ויהיו‬ ‫‪ a11 ‬‬ ‫‪ a12 ‬‬ ‫‪ a1k ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a1   21  , a2   22  ,  , ak   2 k ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪ n1 ‬‬ ‫‪ n2 ‬‬ ‫‪ nk ‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪433‬‬



‫‪ b1 ‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪ k‬וקטורים ב ‪ , F n‬ו ‪ b   2 ‬וקטור כלשהו ב ‪ . F n‬נתבונן במטריצה‬ ‫‪‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪b1 ‬‬ ‫‪b2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bn ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬



‫שעמודותיה הן הווקטורים ‪. a1 , a2 ,ak , b‬‬ ‫אז‪:‬‬



‫‪ a1k‬‬ ‫‪ a2 k‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ank‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ak‬‬



‫‪‬‬



‫‪ a11 a12‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ n1 an 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬



‫) ‪(‬‬



‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬



‫‪s1a1    sk ak  b‬‬



‫כלומר‪ b ,‬הוא צירוף לינארי של ‪ a1 ,, ak‬עם המקדמים ‪ s1 ,, sk‬אם ורק אם ) ‪ ( s1 ,, sk‬הוא‬ ‫פתרון של המערכת הלינארית המאופיינת עלידי המטריצה )*(‪3.‬‬ ‫בפרט‪ b ,‬הוא צירוף לינארי של הווקטורים ‪ a1 ,, ak‬אם ורק אם למערכת ) ‪ ( ‬יש פתרון‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.6.1‬קבוצה בלתי תלויה לינארית; קבוצה תלויה לינארית‬ ‫יהיו ‪ a1 ,..., ak‬וקטורים שונים ב ‪ . F n‬נאמר שהקבוצה ‪ a1 ,..., ak ‬בלתי תלויה לינארית אם מן‬ ‫השוויון ‪) s1a1  s2 a2  ...  sk ak  0‬כאשר ‪ s1 ,..., sk‬סקלרים( נובע בהכרח כי‪:‬‬ ‫‪s1  s2    sk  0‬‬



‫כלומר‪ ,‬הקבוצה ‪ a1 ,..., ak ‬היא בלתי תלויה לינארית אם ורק אם אין ל ‪ 0‬הצגה כצירוף לינארי‬ ‫לאטריוויאלי של איברי הקבוצה‪ .‬אם הקבוצה ‪ a1 ,..., ak ‬איננה מקיימת תנאי זה‪ ,‬נאמר שהיא‬ ‫תלויה לינארית‪.‬‬ ‫הגדרה '‪ 2.6.1‬סדרה בלתי תלויה לינארית; סדרה תלויה לינארית‬ ‫תהי ‪ a1 ,, ak‬סדרת וקטורים ב ‪ . F n‬נאמר שהסדרה היא בלתי תלויה לינארית אם מן השוויון‬ ‫‪) s1a1  s2 a2    sk ak  0‬כאשר ‪ s1 ,..., sk‬סקלרים( נובע בהכרח כי‪:‬‬ ‫‪s1  s2    sk  0‬‬



‫נאמר שהסדרה ‪ a1 ,..., ak‬תלויה לינארית אם היא איננה בלתי תלויה לינארית‪ .‬כלומר‪ ,‬אם קיימים‬ ‫סקלרים ‪ s1 ,..., sk‬שלא כולם אפס כך ש‬ ‫‪s1a1  s2 a2    sk ak  0‬‬



‫‪ 3‬ובפרט‪ b ,‬הוא צירוף לינארי של הווקטורים ‪ a1 ,, ak‬אם ורק אם למערכת )*( יש פתרון‪.‬‬



‫‪434‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הגדרה ‪ 2.6.2‬קבוצה תלויה לינארית‬ ‫יהיו ‪ a1 ,..., ak‬וקטורים שונים ב ‪ . F n‬נאמר שהקבוצה‬ ‫סקלרים ‪ s1 ,..., sk‬שלא כולם אפס כך ש‬



‫‪ a1 ,..., ak ‬תלויה לינארית אם קיימים‬ ‫‪s1a1  s2 a2    sk ak  0‬‬



‫משפט ‪2.6.3‬‬ ‫עבור ‪ , k  2‬קבוצת בת ‪ k‬וקטורים ‪ a1 ,, ak ‬ב ‪ F n‬היא תלויה לינארית אם ורק אם לפחות‬ ‫אחד מבין הווקטורים ‪ a1 ,, ak‬הוא צירוף לינארי של האחרים‪.‬‬ ‫טענה ‪2.6.4‬‬ ‫א‪ .‬קבוצת וקטורים שיש לה תתקבוצה תלויה לינארית היא תלויה לינארית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם קבוצת וקטורים היא בלתי תלויה לינארית‪ ,‬אז כל קבוצה חלקית שלה היא בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫טענה ‪2.6.5‬‬ ‫יהיו ‪ a1 ,, ak‬וקטורים ב ‪ , F n‬ותהי ‪ A‬המטריצה שעמודותיה הן ‪ . a1 ,, ak‬הווקטורים‬ ‫‪ a1 ,, ak‬בלתי תלויים לינארית אם ורק אם למערכת ההומוגנית ש ‪ A‬היא מטריצת המקדמים‬ ‫המצומצמת שלה יש פתרון טריוויאלי בלבד‪.‬‬ ‫משפט ‪2.6.6‬‬ ‫יהיו ‪ a1 ,, ak‬וקטורים ב ‪ . F n‬אם ‪ , k  n‬אז ‪ a1 ,, ak‬תלויים לינארית‪.‬‬ ‫מסקנה ‪2.6.7‬‬ ‫אם ‪ a1 ,..., ak‬וקטורים בלתי תלויים לינארית ב‬



‫‪, Fn‬‬



‫אז ‪. k  n‬‬



‫הגדרה ‪2.7.1‬‬ ‫נאמר שהיא פורשת את‬ ‫על קבוצת‪/‬סדרת וקטורים ב‬ ‫כצירוף לינארי של איברי הקבוצה‪/‬סדרה‪.‬‬ ‫‪Fn‬‬



‫‪Fn‬‬



‫אם כל וקטור ב‬



‫‪Fn‬‬



‫ניתן להצגה‬



‫למה ‪2.7.2‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה בעלת ‪ n‬שורות‪ ,‬ונניח שלכל וקטור עמודה ‪ b‬מאורך ‪ , n‬המטריצה ‪  A b ‬מתארת‬ ‫מערכת משוואות עקבית )מערכת בעלת פתרון(‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי צעד דירוג‪.‬‬ ‫אז לכל וקטור עמודה ‪ b ‬מאורך ‪ , n‬גם המטריצה ‪  A b‬מתארת מערכת משוואות עקבית‪.‬‬ ‫משפט ‪2.7.3‬‬ ‫תהי ‪ a1 ,, ak‬סדרת וקטורים ב‬



‫‪. Fn‬‬



‫אם ‪ , k  n‬אז הסדרה אינה פורשת את‬



‫מסקנה ‪2.7.4‬‬ ‫אם הסדרה ‪ a1 ,, ak‬פורשת את‬



‫‪, Fn‬‬



‫אז ‪. k  n‬‬



‫‪. Fn‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫מסקנה ‪2.7.5‬‬ ‫כל סדרה בלתי תלויה לינארית הפורשת את‬



‫מסקנה '‪2.7.5‬‬ ‫כל קבוצה בלתי תלויה לינארית הפורשת את‬



‫‪Fn‬‬



‫‪Fn‬‬



‫‪435‬‬



‫מכילה בדיוק ‪ n‬וקטורים שונים‪.‬‬



‫מכילה בדיוק ‪ n‬וקטורים שונים‪.‬‬



‫הגדרה ‪ 2.7.6‬בסיס; בסיס סדור‬ ‫קבוצת וקטורים ב ‪ F n‬נקראת בסיס ל ‪ F n‬אם‪:‬‬ ‫א‪ .‬היא בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬היא פורשת את ‪. F n‬‬ ‫סדרת וקטורים ב ‪ F n‬נקראת בסיס סדור ל ‪ F n‬אם ורק אם הקבוצה המורכבת מאיברי הסדרה‬ ‫מהווה בסיס‪.‬‬ ‫משפט ‪2.7.7‬‬ ‫בכל בסיס של ‪ F n‬יש בדיוק ‪ n‬וקטורים שונים‪.‬‬ ‫משפט ‪2.7.8‬‬ ‫קבוצה של ‪ n‬וקטורים ב‬



‫‪Fn‬‬



‫פורשת את‬



‫משפט ‪2.7.9‬‬ ‫אם ‪ a1 , a2 ,, an‬הוא בסיס סדור ל‬ ‫) ‪ ( i  1, , n‬היא יחידה‪ .‬כלומר‪ ,‬אם‬



‫‪, Fn‬‬



‫‪Fn‬‬



‫אם ורק אם היא בלתי תלויה לינארית‪.‬‬



‫אז ההצגה של כל וקטור‬



‫‪b  Fn‬‬



‫כצירוף לינארי של ‪ai‬‬ ‫‪n‬‬



‫‪ si ai‬‬



‫‪b‬‬



‫‪i 1‬‬



‫וגם‬



‫‪n‬‬



‫‪ ti ai‬‬



‫‪b‬‬



‫‪i 1‬‬



‫אז לכל ‪ 1  i  n , i‬מתקיים‪:‬‬



‫משפט ‪2.7.10‬‬ ‫אם למערכת ההומוגנית‬



‫‪ti  si‬‬



‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬



‫‪a11 x1    a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1    ann xn‬‬



‫‪436‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫יש רק פתרון אחד )הפתרון הטריוויאלי(‪ ,‬אז לכל מערכת מהטיפוס‬ ‫‪ b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bn‬‬



‫יש פתרון אחד ויחיד‪.‬‬ ‫משפט ‪2.7.11‬‬ ‫קבוצה בת ‪ n‬וקטורים שונים ב‬



‫‪Fn‬‬



‫היא בסיס ל‬



‫‪Fn‬‬



‫‪a11 x1    a1n xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1 x1    ann xn‬‬



‫אם ורק אם מתקיים אחד התנאים הבאים‪:‬‬



‫א‪ .‬הקבוצה בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הקבוצה פורשת את ‪. F n‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.1.1‬שוויון מטריצות‬ ‫‪, A   aij ‬‬ ‫שתי מטריצות‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪m n‬‬



‫‪) B  bij ‬מעל אותו שדה(‪ ,‬הן שוות זו לזו אם מתקיים‪:‬‬ ‫‪pq‬‬



‫א‪ .‬שתי המטריצות הן מאותו סדר‪ ,‬כלומר‪:‬‬



‫‪m  p, n  q‬‬



‫ב‪ .‬האיברים המתאימים בשתי המטריצות שווים זה לזה‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ i‬ו ‪ j‬המקיימים ‪, 1  i  m‬‬



‫‪:1  j  n‬‬



‫‪aij  bij‬‬



‫אם המטריצות ‪ A‬ו ‪ B‬שוות זו לזו נרשום ‪ ; A  B‬אחרת נרשום ‪. A  B‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.2.1‬מטריצת שורה‪/‬עמודה‬ ‫א‪ .‬מטריצה מסדר ‪ 1  n‬נקראת וקטור שורה )מסדר ‪ ( n‬או מטריצת שורה )מסדר ‪.( n‬‬ ‫ב‪ .‬מטריצה מסדר ‪) m  1‬כלומר‪ ,‬מטריצה שיש בה עמודה אחת בלבד( נקראת וקטור עמודה )מסדר‬ ‫‪ ( m‬או מטריצת עמודה )מסדר ‪.( m‬‬ ‫הגדרה ‪3.2.2‬‬ ‫‪ ‬את השורה ה ‪ i‬של מטריצה ‪ A‬נסמן ב ‪.  A‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪i‬‬



‫‪ ‬את העמודה ה ‪ j‬של מטריצה ‪ A‬נסמן ב ‪.  A j‬‬ ‫‪c‬‬



‫הגדרה ‪ 3.2.3‬המטריצה המשוחלפת‬ ‫‪ A   aij ‬מטריצה מסדר ‪ . m  n‬המטריצה המשוחלפת של ‪ A‬היא המטריצה מסדר‬ ‫תהי‬ ‫‪m n‬‬ ‫‪ n  m‬אשר האיבר ה ) ‪ ( i , j‬שלה הוא האיבר ה ) ‪ ( j , i‬של המטריצה ‪. A‬‬ ‫את המטריצה המשוחלפת של ‪ A‬מסמנים ב ‪. At‬‬ ‫טענה ‪3.2.4‬‬ ‫לכל מטריצה ‪. ( At )t  A , A‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪437‬‬



‫הגדרה ‪ 3.2.5‬מטריצה ריבועית; אלכסון ראשי; אלכסון משני‬ ‫א‪ .‬מטריצה שבה מספר השורות שווה למספר העמודות )נניח‪ ,‬מסדר ‪ ,( n  n‬מכונה מטריצה‬ ‫ריבועית )מסדר ‪.( n‬‬ ‫ב‪ .‬ה ‪ n‬יה ) ‪ ( a11 , a22 ,, ann‬של איברי המטריצה הריבועית‬ ‫הראשי‪.‬‬



‫‪n n‬‬



‫‪  aij ‬מכונה בשם האלכסון‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ann ‬‬



‫‪ a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪  aij ‬מכונה בשם האלכסון‬ ‫ג‪ .‬ה ‪ n‬יה ) ‪ ( a1n , a2( n 1) ,, an1‬של איברי המטריצה הריבועית‬ ‫‪n n‬‬ ‫המשני‪.‬‬ ‫‪a1,n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2,n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an ,1‬‬ ‫‪‬‬



‫הגדרה ‪ 3.2.6‬מטריצה סימטרית‬ ‫מטריצה ‪ A‬נקראת סימטרית אם ‪ A‬‬



‫‪At‬‬



‫‪.‬‬



‫סימון ‪3.3.1‬‬ ‫יהיו ‪ m, n‬מספרים טבעיים‪ ,‬ויהי ‪ F‬שדה‪ .‬נסמן ב ) ‪ M m n ( F‬את אוסף כל המטריצות מסדר ‪m  n‬‬ ‫מעל ‪ , F‬וב ) ‪ Mn ( F‬את אוסף המטריצות הריבועיות מסדר ‪ n‬מעל ‪) . F‬כלומר‪,‬‬ ‫) ‪(. M n ( F )  Mn n ( F‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.3.2‬חיבור מטריצות‬ ‫תהיינה ) ‪ , A, B  M m n ( F‬ונסמן‬ ‫ב ) ‪ M m n ( F‬המוגדרת עלידי‪:‬‬



‫‪ . A   aij  , B  bij ‬הסכום‬



‫‪A B‬‬ ‫‪def‬‬



‫הוא המטריצה‬



‫‪A  B  ( aij  bij ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ m n‬‬



‫טענה ‪ 3.3.3‬תכונות החיבור‬ ‫פעולת החיבור על הקבוצה ) ‪ M m n ( F‬מקיימת‪:‬‬ ‫א‪ .‬סגירות‪ :‬לכל ) ‪, A, B  Mm n ( F‬‬ ‫ב‪ .‬חילופיות‪ :‬לכל ) ‪, A, B  M m n ( F‬‬ ‫ג‪ .‬קיבוציות‪ :‬לכל ) ‪, A, B, C  Mm n ( F‬‬



‫) ‪A  B  M m n ( F‬‬ ‫‪A B  B A‬‬ ‫) ‪( A  B)  C  A  (B  C‬‬



‫‪438‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ד‪ .‬קיום איבר ניטרלי‪ :‬תהי ‪ Omn‬המטריצה ב ) ‪ M m n ( F‬שכל איבריה אפסים‪ .‬למטריצה זו נקרא‬ ‫מטריצת האפס מסדר ‪ m  n‬מעל ‪ . F‬המטריצה ‪ Omn‬ניטרלית ביחס לחיבור‪.‬‬ ‫ה‪ .‬קיום איברים נגדיים‪ :‬לכל מטריצה ‪ A‬ב ) ‪ M m n ( F‬קיימת מטריצה‪ ,‬שתסומן ‪ ,  A‬המקיימת‪:‬‬ ‫‪A  (  A)  (  A)  A  0‬‬



‫הגדרה ‪ 3.3.4‬כפל של מטריצה בסקלר‬ ‫‪ A   aij ‬מטריצה מעל שדה ‪ , F‬ויהי ‪ t  F‬סקלר‪ .‬המכפלה ‪ tA‬היא המטריצה‪:‬‬ ‫תהי‬ ‫‪m n‬‬



‫] ‪tA  [taij‬‬



‫משפט ‪ 3.3.5‬תכונות הכפל של מטריצה בסקלר‬ ‫פעולת הכפל בסקלר מקיימת‪:‬‬ ‫א‪ .‬לכל מטריצה ) ‪ A  M m n ( F‬ולכל סקלר ‪ , t  F‬מתקיים‪tA  M m n ( F ) :‬‬



‫ב‪ .‬לכל מטריצה ) ‪ A  M m n ( F‬ולכל זוג סקלרים ‪ s, t  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪(i‬‬ ‫‪( s  t ) A  sA  tA‬‬ ‫)‪(ii‬‬ ‫)‪( st ) A  s ( tA‬‬ ‫ג‪ .‬לכל זוג מטריצות ) ‪ , A, B  Mm n ( F‬ולכל ‪ t  F‬מתקיים‪:‬‬ ‫ד‪ .‬לכל מטריצה ) ‪ A  M m n ( F‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪(i‬‬ ‫)‪(ii‬‬ ‫)‪(iii‬‬



‫‪t ( A  B )  tA  tB‬‬



‫‪1 A  A‬‬



‫‪0 A  O‬‬ ‫‪(  1)  A   A‬‬



‫הגדרה ‪ 3.3.6‬הפרש מטריצות‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬שתי מטריצות מאותו סדר‪ .‬ההפרש‪ , A  B ,‬מוגדר עלידי‪:‬‬ ‫‪def‬‬



‫)‪A  B  A  ( B‬‬



‫משפט ‪3.3.7‬‬ ‫א‪ .‬לכל מטריצה ‪ A‬ולכל סקלר ‪ , s‬מתקיים‪( sA)t  sAt :‬‬ ‫‪( A  B )t  At  Bt‬‬ ‫ב‪ .‬לכל שתי מטריצות ‪ A, B‬מאותו סדר‪:‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪439‬‬



‫הגדרה ‪3.4.1‬‬ ‫יהיו‬ ‫‪ b1 ‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪  a1 , a2 ,  , an  , Bn 1   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪ n‬‬



‫וקטור שורה ווקטור עמודה מאותו סדר‪ ,‬מעל שדה מסוים‪.‬‬ ‫המכפלה‬



‫היא הסקלר‪:‬‬



‫‪A1 n‬‬



‫‪A1n  Bn 1‬‬



‫‪a1b1  a2 b2    an bn‬‬



‫כלומר‪:‬‬ ‫‪ b1 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪A1n Bn 1   a1 , a2 ,..., an   2  ‬‬ ‫‪ai bi‬‬ ‫‪   i 1‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪ n‬‬



‫‪‬‬



‫למכפלה מסוג זה קוראים מכפלה סקלרית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.4.2‬מכפלת מטריצות‬ ‫‪ , B   bij ‬שתי מטריצות מהסדרים הנקובים‪ .‬המכפלה ‪Amn  Bn q‬‬ ‫‪ A   aij ‬ו‬ ‫תהיינה‬ ‫‪ n q‬‬ ‫‪m n‬‬ ‫היא מטריצה מסדר ‪ , m  q‬אשר האיבר ה ) ‪ (i , j‬שלה‪ ,‬כאשר ‪ , 1  i  m , 1  j  q‬הוא מכפלת‬ ‫וקטור השורה ה ‪ i‬של ‪ A‬בווקטור העמודה ה ‪ j‬של ‪. B‬‬ ‫אם נסמן ‪ , C  AB‬אז לכל ‪ 1  i  m‬ו ‪: 1  j  q‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ aik bkj‬‬



‫‪k 1‬‬



‫‪ b1 j ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪  ai1 , ai 2 ,..., ain   2 j  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ nj ‬‬



‫למה ‪3.4.3‬‬ ‫‪ , A   aij ‬ונסמן‪:‬‬ ‫‪, B   bij ‬‬ ‫תהיינה‬ ‫‪ n p‬‬ ‫‪m n‬‬



‫‪C ij   Air  B cj‬‬



‫‪AB  C   cij ‬‬ ‫‪ m p‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫א‪ .‬השורה ה ‪ i‬של ‪ AB‬היא מכפלת השורה ה ‪ i‬של ‪ A‬ב ‪: B‬‬ ‫כלומר‬



‫‪C ir   Air  B‬‬



‫‪440‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫ובמפורש‪:‬‬ ‫‪[ ci1 , cip ]  [ ai1 , ain ] B‬‬



‫ב‪ .‬העמודה ה ‪ j‬של ‪ AB‬היא מכפלת ‪ A‬בעמודה ה ‪ j‬של ‪: B‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪ A   B j‬‬ ‫‪c‬‬



‫‪C cj‬‬



‫ובמפורש‪:‬‬ ‫‪ c1 j ‬‬ ‫‪ b1 j ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪    A  ‬‬ ‫‪ cmj ‬‬ ‫‪ bnj ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬



‫מסקנה ‪3.4.4‬‬ ‫א‪ .‬אם השורה ה ‪ i‬של ‪ A‬היא שורת אפסים‪ ,‬אז גם השורה ה ‪ i‬של ‪ AB‬היא שורת אפסים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם העמודה ה ‪ j‬של ‪ B‬היא עמודת אפסים‪ ,‬אז גם העמודה ה ‪ j‬של ‪ AB‬היא עמודת אפסים‪.‬‬ ‫טענה ‪3.4.5‬‬ ‫לכל שתי מטריצות ‪ B , A‬שעבורן מוגדרת המכפלה ‪ AB‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪( AB )t  Bt At‬‬



‫)כלומר ‪ B t At‬מוגדרת ושווה ל ‪(. ( AB)t‬‬ ‫משפט ‪ 3.5.1‬קיבוציות הכפל‬ ‫תהיינה ‪ Amn , Bn p , C p q‬מטריצות מהסדרים הנקובים‪ .‬אז המכפלות ‪ ( AB )C‬ו ) ‪A( BC‬‬ ‫מוגדרות שתיהן ומתקיים‪:‬‬ ‫) ‪( AB )C  A( BC‬‬



‫הגדרה ‪ 3.5.2‬מטריצת היחידה‬ ‫מטריצת היחידה מסדר ‪ , n‬שסימנה ‪ , I n‬היא המטריצה הריבועית מסדר ‪ n‬אשר כל איברי‬ ‫האלכסון הראשי שלה שווים ל‪) 1‬איבר היחידה של השדה שמעליו אנו פועלים(‪ ,‬וכל יתר איבריה הם‬ ‫‪ I n   ij ‬כאשר ‪  ij‬מוגדר עלידי‪:‬‬ ‫אפסים‪ .‬כלומר‪,‬‬ ‫‪n n‬‬



‫כאשר אין חשש לאיבהירות בעניין סדר המטריצה רושמים פשוט‬



‫‪0 i  j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 i  j‬‬



‫‪I‬‬



‫‪ ij‬‬



‫במקום ‪ , I n‬ומסמנים‪:‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪In  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫משפט ‪3.5.3‬‬ ‫לכל מטריצה‬



‫‪m n‬‬



‫‪441‬‬



‫‪) A   aij ‬מסדר ‪ ( m  n‬מתקיים‪:‬‬



‫א‪I m Amn  Amn .‬‬ ‫ב‪Amn I n  Amn .‬‬



‫מסקנה ‪3.5.4‬‬ ‫אם ‪ A‬היא מטריצה ריבועית מסדר ‪ , n‬אז‪:‬‬



‫‪AI n  I n A  A‬‬



‫משפט ‪ 3.5.5‬פילוג הכפל מעל החיבור‬ ‫א‪ .‬כלל הפילוג השמאלי‪:‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות מסדר ‪ m  n‬ו ‪ C‬מטריצה מסדר ‪ . n  p‬אז‪:‬‬ ‫‪( A  B )C  AC  BC‬‬



‫ב‪ .‬כלל הפילוג הימני‪:‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות מסדר ‪ m  n‬ו ‪ C‬מטריצה מסדר ‪ . p  m‬אז‪:‬‬ ‫‪C ( A  B )  CA  CB‬‬



‫טענה ‪3.5.6‬‬ ‫תהיינה ‪ B  bij  , A  aij ‬מטריצות שעבורן מוגדרת המכפלה ‪ , AB‬ויהי ‪ t‬סקלר כלשהו‪ .‬אז‪:‬‬ ‫א‪t ( AB )  (tA) B .‬‬ ‫ב‪t ( AB )  A(tB ) .‬‬



‫טענה ‪3.6.1‬‬ ‫א‪ .‬הקבוצה ) ‪ M n ( F‬סגורה ביחס לפעולת כפל מטריצות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬פעולת הכפל על ) ‪ M n ( F‬היא פעולה קיבוצית‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מטריצת היחידה ‪ I‬היא איבר ניטרלי ב ) ‪ M n ( F‬ביחס לפעולת הכפל‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.6.2‬מטריצות מתחלפות‬ ‫נאמר ששתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר‪ A ,‬ו ‪ , B‬מתחלפות זו עם זו )או בקיצור‪ ,‬מתחלפות(‬ ‫אם‪:‬‬ ‫‪AB  BA‬‬



‫במקרה זה נאמר גם כי ‪ A‬מתחלפת עם ‪) B‬או ‪ B‬מתחלפת עם ‪.( A‬‬ ‫מסקנה ‪3.6.3‬‬ ‫כל מטריצה סקלרית מתחלפת עם כל מטריצה ריבועית ‪ A‬מאותו הסדר‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל מטריצה ריבועית ‪ A‬מסדר ‪ n‬ולכל סקלר ‪ , t‬מתקיים ) ‪. (tI ) A  A(tI‬‬



‫‪442‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫משפט ‪3.6.4‬‬ ‫תהי ‪ C   cij ‬מטריצה ריבועית מסדר ‪. n‬‬ ‫אם ‪ C‬מתחלפת עם כל מטריצה ריבועית מסדר ‪ , n‬אז ‪ C‬היא מטריצה סקלרית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.6.5‬חזקה של מטריצה ריבועית‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ויהי ‪ n  0‬מספר שלם‪.‬‬ ‫החזקה ה ‪ n‬ית של ‪ , A‬שסימנה ‪ , An‬מוגדרת באופן אינדוקטיבי כך‪:‬‬ ‫עבור ‪: n  0‬‬ ‫‪def‬‬



‫‪A0  I‬‬



‫עבור ‪: n  0‬‬ ‫‪def‬‬



‫‪An  An 1  A‬‬



‫מסקנה ‪3.6.6‬‬ ‫אם ‪ B‬ו ‪ C‬הן חזקות של מטריצה ריבועית ‪ , A‬אז ‪ B‬ו ‪ C‬מתחלפות בכפל‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.6.7‬מטריצה אלכסונית‬ ‫מטריצה ריבועית ‪ A   aij ‬נקראת אלכסונית אם כל איבריה שמחוץ לאלכסון הראשי הם אפסים‪.‬‬ ‫כלומר ‪ A   aij ‬היא אלכסונית אם לכל ‪ i  j‬מתקיים ‪. aij  0‬‬ ‫טענה ‪3.6.8‬‬ ‫תהי ‪ A   aij ‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ , n‬ותהי ‪ B‬המטריצה האלכסונית‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬



‫אז‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪ a1n bn ‬‬ ‫‪   Ac b  Ac b ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n n ‬‬ ‫‪  1 1‬‬ ‫‪ ann bn ‬‬



‫‪a12 b2‬‬ ‫‪an 2 b2‬‬



‫‪ a11b1‬‬ ‫‪AB  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an1b1‬‬



‫כלומר‪ ,‬העמודה ה ‪ j‬של ‪ AB‬היא העמודה ה ‪ j‬של ‪ A‬מוכפלת ב ‪. b j‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪b A r ‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪b A r ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬



‫‪ ‬‬



‫‪ b1n1n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ bn ann  ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪bn  An ‬‬



‫‪b1a12‬‬ ‫‪bn an 2‬‬



‫כלומר‪ ,‬השורה ה ‪ i‬של ‪ BA‬היא השורה ה ‪ i‬של ‪ A‬מוכפלת ב ‪. bi‬‬



‫‪ b1a11‬‬ ‫‪BA  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bn an1‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫טענה ‪3.8.1‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית כלשהי מסדר ‪ , n‬שיש בה שורת אפסים‪.‬‬ ‫לכל מטריצה ‪) B‬ריבועית מסדר ‪ ( n‬מתקיים‪:‬‬



‫‪443‬‬



‫‪AB  I‬‬



‫הגדרה ‪ 3.8.2‬מטריצה הפיכה‬ ‫יהי ‪ F‬שדה‪ .‬מטריצה ריבועית ‪ A‬ב ) ‪ Mn ( F‬נקראת הפיכה )או – רגולרית( אם קיימת מטריצה ‪B‬‬ ‫ב ) ‪ Mn ( F‬כך ש‬ ‫‪AB  BA  I‬‬



‫טענה ‪3.8.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה הפיכה‪.‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ AB  AC‬אז‪:‬‬



‫‪BC‬‬



‫ב‪ .‬אם ‪ BA  CA‬אז‪:‬‬ ‫משפט ‪3.8.4‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ ,‬אז גם‬



‫‪BC‬‬



‫‪ A  1‬הפיכה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪( A1 ) 1  A‬‬



‫ב‪ .‬המטריצה ‪ A‬הפיכה אם ורק אם המטריצה המשוחלפת ‪ At‬הפיכה‪ ,‬ובמקרה זה מתקיים‪:‬‬ ‫‪( At ) 1  ( A1 )t‬‬



‫ג‪ .‬אם ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות הפיכות )מאותו סדר!( אז גם ‪ AB‬הפיכה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪( AB )1  B 1 A1‬‬



‫ד‪ .‬אם ‪ A‬מטריצה הפיכה ו‪ s  0 -‬סקלר‪ ,‬אז גם ‪ sA‬הפיכה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪s‬‬



‫‪( sA) 1 ‬‬



‫הגדרה ‪ 3.9.1‬מטריצה אלמנטרית‬ ‫מטריצה אלמנטרית )מסדר ‪ ( n‬היא מטריצה שהתקבלה ממטריצת היחידה ‪) I‬מסדר ‪ ( n‬עלידי‬ ‫ביצוע פעולה אלמנטרית‪.‬‬ ‫סימון ‪ 3.9.2‬סימון מטריצות אלמנטריות‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה כלשהי‪ ,‬ותהי נתונה פעולה אלמנטרית שנסמנה ‪ . ‬את המטריצה המתקבלת מ ‪A‬‬ ‫עלידי ביצוע הפעולה ‪ ‬נסמן )‪ .  ( A‬בפרט‪ ,‬המטריצות האלמנטריות הן כל המטריצות מהצורה‬ ‫) ‪ ,  ( I‬כאשר ‪ ‬היא איזושהי פעולה אלמנטרית‪.‬‬



‫‪444‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫טענה ‪3.9.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ . n‬תהי ‪ I‬מטריצת היחידה מסדר ‪ , n‬ותהי ‪ ‬פעולה אלמנטרית‪.‬‬ ‫אז‪:‬‬ ‫‪ ( A)   ( I )  A‬‬



‫כלומר‪ ,‬התוצאה של פעולה אלמנטרית על ‪ A‬זהה לתוצאת הכפל של ‪ A‬משמאל במטריצה‬ ‫האלמנטרית המתאימה‪.‬‬ ‫טענה ‪3.9.4‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית מסדר ‪ , n‬ותהי ‪ A‬מטריצה אשר התקבלה מ ‪ A‬עלידי ביצוע הפעולות‬ ‫האלמנטריות ‪) 1 ,2 ,...,k‬בסדר זה(‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪A  k ( I )  k 1 ( I )1 ( I )  A‬‬



‫מסקנה ‪3.9.5‬‬ ‫כל מטריצה אלמנטרית ) ‪  ( I‬היא הפיכה‪ ,‬וההופכית שלה היא‬



‫) ‪.  1 ( I‬‬



‫כלומר‪:‬‬



‫) ‪( ( I ))1   1 ( I‬‬



‫מסקנה ‪3.9.6‬‬ ‫כל מטריצה שהיא מכפלה של מטריצות אלמנטריות היא מטריצה הפיכה‪ .‬יתר כל כן‪ ,‬אם‬ ‫) ‪ B  1 ( I )    k ( I‬אז‪:‬‬ ‫) ‪B 1  k1 ( I )    11 ( I‬‬



‫טענה ‪3.9.7‬‬ ‫כל מטריצה הפיכה היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫מסקנה ‪3.9.8‬‬ ‫מטריצה ‪ A‬היא הפיכה אם ורק אם ‪ A‬היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫מסקנה ‪3.9.9‬‬ ‫‪ B‬היא שקולתשורה ל ‪ A‬אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ C‬כך ש‬ ‫‪B  CA‬‬



‫מסקנה ‪3.9.10‬‬ ‫מטריצה ריבועית ‪ A‬היא הפיכה אם ורק אם ‪ A‬שקולתשורה ל ‪. I‬‬ ‫טענה ‪3.10.1‬‬ ‫מטריצה ) ‪ A  M n ( F‬היא הפיכה אם ורק אם לכל וקטור עמודה‬ ‫‪ Ax  b‬יש פתרון יחיד‪.‬‬



‫‪Fn‬‬



‫‪ , b ‬למשוואה הווקטורית‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪445‬‬



‫טענה ‪3.10.2‬‬ ‫מטריצה ריבועית ) ‪ A  M n ( F‬היא הפיכה אם ורק אם למשוואה הווקטורית‬ ‫אין פתרון לאטריוויאלי‪.‬‬



‫‪Ax  0‬‬



‫טענה ‪3.10.3‬‬ ‫מטריצה ריבועית ) ‪ A  M n ( F‬היא הפיכה אם ורק אם העמודות של ‪ A‬הן בלתי תלויות לינארית‪.‬‬ ‫טענה ‪3.10.4‬‬ ‫מטריצה ריבועית ) ‪ A  M n ( F‬היא הפיכה אם ורק אם השורות של ‪ A‬הן בלתי תלויות לינארית‪.‬‬ ‫טענה ‪3.10.5‬‬ ‫מטריצה ) ‪ A  M n ( F‬היא הפיכה אם ורק אם לכל וקטור עמודה‬ ‫‪ Ax  b‬קיים פתרון‪.‬‬



‫‪ , b  F n‬למשוואה הווקטורית‬



‫משפט ‪3.10.6‬‬ ‫תהי ) ‪ A  M n ( F‬מטריצה ריבועית מסדר ‪. n‬‬ ‫כל אחת מהטענות שלהלן היא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות של ‪. A‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬



‫‪ A‬היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות‪.‬‬ ‫‪ A‬שקולתשורה ל ‪. I‬‬ ‫קיימת מטריצה הפיכה ‪ C‬כך ש ‪. CA  I‬‬ ‫צורת המדרגות הקנונית של ‪ A‬היא ‪. I‬‬ ‫לכל וקטור עמודה ‪ b  F n‬קיים פתרון יחיד למשוואה‬



‫ו‪ .‬לכל וקטור עמודה ‪ b  F n‬קיים פתרון למשוואה‬



‫‪Ax  b‬‬ ‫‪Ax  b‬‬



‫ז‪ .‬למשוואה ‪ Ax  0‬יש רק פתרון טריוויאלי‪.‬‬ ‫ח‪ .‬העמודות של ‪ , A‬כווקטורים ב ‪ , F n‬הן בלתי תלויות לינארית‪.‬‬ ‫ט‪ .‬השורות של ‪ , A‬כווקטורים ב ‪ , F n‬הן בלתי תלויות לינארית‪.‬‬ ‫י‪ .‬העמודות של ‪ , A‬כווקטורים ב ‪ , F n‬פורשות את ‪. F n‬‬ ‫יא‪ .‬השורות של ‪ , A‬כווקטורים ב ‪ , F n‬פורשות את ‪. F n‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.10.7‬העתקה לינארית‬ ‫יהיו ‪ F‬שדה‪ n, m ,‬מספרים טבעיים‪ ,‬ותהי ‪ T‬העתקה )כלומר‪ ,‬פונקציה( מ ‪ F n‬ל ‪ . F m‬נאמר‬ ‫ש ‪ T‬היא העתקה לינארית אם מתקיימים התנאים הבאים‪:‬‬ ‫א‪ .‬לכל ‪ v, w  F n‬מתקיים ) ‪. T ( v  w )  T ( v )  T ( w‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪ v  F n‬ולכל סקלר ‪ s  F‬מתקיים ) ‪. T ( sv )  sT ( v‬‬



‫‪446‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫הגדרה ‪ 4.1.1‬דטרמיננטה של מטריצה מסדר ‪1  1‬‬ ‫אם ‪ , A  a ‬אז הדטרמיננטה של ‪ A‬מוגדרת עלידי‪:‬‬



‫‪A a‬‬



‫כלומר‪ ,‬הדטרמיננטה של מטריצה הכוללת סקלר בודד הוא הסקלר עצמו‪.‬‬ ‫הגדרה ‪4.1.2‬‬ ‫‪a ‬‬



‫דטרמיננטה של מטריצה מסדר ‪2  2‬‬



‫‪a‬‬



‫אם ‪ , A   11 12 ‬אז הדטרמיננטה של ‪ A‬מוגדרת עלידי‪:‬‬ ‫‪ a21 a22 ‬‬ ‫‪A  a11a22  a12 a21‬‬



‫הגדרה ‪4.1.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ , n  n‬כאשר ‪. n  2‬‬ ‫לכל ‪ , 1  i , j  n‬המטריצה המינורית ה ‪ i , j‬של ‪ A‬היא המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי‬ ‫מחיקת השורה ה ‪ i‬והעמודה ה ‪ j‬שלה‪ .‬נסמן מטריצה זו ב ‪ . AijM‬הדטרמיננטה של מטריצה זו‬ ‫נקראת המינור ה ‪ i , j‬של ‪. A‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.1.4‬הדטרמיננטה‬ ‫תהי ‪ A  aij ‬מטריצה מסדר ‪ n  n‬מעל שדה ‪ . F‬הדטרמיננטה של ‪ A‬מוגדרת עלידי‪:‬‬ ‫אם ‪, n  1‬‬



‫‪A  a11‬‬



‫אם ‪, n  2‬‬



‫‪a1i A1Mi‬‬



‫‪i 1‬‬



‫‪n‬‬



‫‪  1‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪i 1‬‬



‫משפט ‪ 4.2.1‬משפט הפיתוח‬ ‫תהי ‪ A   aij ‬מטריצה מסדר ‪ , n  n‬כאשר ‪ . n  2‬אז‪:‬‬ ‫א‪ .‬לכל ‪, 1  i  n‬‬



‫‪AijM‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j aij‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫זהו פיתוח של הדטרמיננטה לפי השורה ה ‪. i‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪, 1  j  n‬‬



‫‪AijM‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j aij‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪i 1‬‬



‫זהו פיתוח של הדטרמיננטה לפי העמודה ה ‪. j‬‬ ‫מסקנה ‪4.2.2‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ , n  n‬ונניח כי יש ב ‪ A‬שורת אפסים או עמודת אפסים‪ .‬אז ‪. A  0‬‬ ‫משפט ‪ 4.3.1‬הדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת‬ ‫אם ‪ A‬היא מטריצה מסדר ‪ , n  n‬אז‪:‬‬ ‫‪At  A‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪447‬‬



‫משפט ‪4.3.2‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ותהי ‪ B‬המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי החלפה של שתי שורות )או‬ ‫שתי עמודות( זו בזו‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪B A‬‬



‫כלומר‪ ,‬החלפה של שתי שורות של ‪) A‬או שתי עמודות( הופכת את סימן הדטרמיננטה של ‪. A‬‬ ‫משפט ‪4.3.3‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ותהי ‪ B‬מטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי כפל שורה )או עמודה( של ‪A‬‬ ‫בסקלר ‪ . t‬אז‪:‬‬ ‫‪B tA‬‬



‫משפט ‪4.3.4‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות ריבועיות הנבדלות זו מזו רק בשורה )או עמודה( אחת‪ ,‬השורה )העמודה(‬ ‫ה ‪. i‬‬ ‫תהי ‪ C‬מטריצה אשר שורתה )עמודתה( ה ‪ i‬היא סכום השורות )העמודות( ה ‪ i‬של ‪ A‬ושל ‪, B‬‬ ‫ושאר שורותיה )עמודותיה( שוות לאלה של ‪) A‬או של ‪ .( B‬אז‪:‬‬ ‫‪C  A B‬‬



‫משפט ‪4.3.5‬‬ ‫אם במטריצה ריבועית ‪ A‬יש שתי שורות שוות )או שתי עמודות שוות(‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪A 0‬‬



‫משפט ‪4.3.6‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ותהי ‪ B‬מטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי הוספת כפולה של שורה )עמודה(‬ ‫כלשהי לשורה )עמודה( אחרת‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪B  A‬‬



‫כלומר‪ ,‬הפעולה האלמנטרית של הוספת כפולה של שורה )עמודה( לשורה )עמודה( אחרת אינה משנה‬ ‫את הדטרמיננטה‪.‬‬ ‫הגדרה ‪4.3.7‬‬ ‫מטריצה ריבועית נקראת משולשית עילית אם כל איבריה אשר מתחת לאלכסון הראשי הם אפסים‪.‬‬ ‫כלומר‪ A  [ aij ] ,‬היא מטריצה משולשית עילית אם לכל ‪. aij  0 , i  j‬‬ ‫מטריצה ריבועית נקראת משולשית תחתית אם כל איבריה אשר מעל לאלכסון הראשי הם אפסים‪.‬‬ ‫כלומר‪ A  [ aij ] ,‬היא מטריצה משולשית תחתית אם לכל ‪. aij  0 , i  j‬‬ ‫מטריצה ריבועית נקראת משולשית אם היא משולשית עילית או משולשית תחתית‪.‬‬



‫‪448‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫משפט ‪4.3.8‬‬ ‫הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה‪ .‬כלומר‪ ,‬אם‬ ‫] ‪ A  [ aij‬היא מטריצה משולשית מסדר ‪ , n  n‬אז‪:‬‬ ‫‪A  a11  a22    ann‬‬



‫משפט ‪4.4.1‬‬ ‫מטריצה ריבועית ‪ A‬היא הפיכה אם ורק אם ‪. A  0‬‬ ‫באופן שקול‪ ,‬מטריצה ריבועית ‪ A‬היא לא הפיכה אם ורק אם ‪. A  0‬‬ ‫למה ‪4.4.2‬‬ ‫אם ‪ A‬שקולתשורה ל ‪ B‬אז ‪ A  0‬אם ורק אם ‪. B  0‬‬ ‫משפט ‪ 4.5.1‬הדטרמיננטה של מכפלת מטריצות‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות ריבועיות מאותו סדר )ומעל אותו שדה(‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪AB  A B‬‬



‫מסקנה ‪4.5.2‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו ‪ B‬מטריצות ריבועיות המקיימות‪:‬‬



‫‪AB  I‬‬



‫אז ‪ A‬ו ‪ B‬שתיהן הפיכות וכל אחת מהן היא ההופכית של האחרת‪ ,‬כלומר ‪. AB  BA  I‬‬ ‫מסקנה ‪4.5.3‬‬ ‫לכל מטריצה ריבועית ‪ A‬ולכל ‪ k  1‬טבעי‪ ,‬מתקיים‪:‬‬



‫מסקנה ‪4.5.4‬‬ ‫אם ‪ A‬מטריצה הפיכה אז‪:‬‬



‫‪k‬‬



‫‪Ak  A‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪A1 ‬‬



‫משפט ‪ 4.6.1‬כלל קרמר‬ ‫‪ c1 ‬‬ ‫אם ‪ , A  0‬אז למערכת ‪ Ax  b‬יש פתרון יחיד‪ ,    ,‬ורכיביו נתונים עלידי‪:‬‬ ‫‪ cn ‬‬



‫לכל ‪, 1  k  n‬‬



‫‪Ak‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪ck ‬‬



‫)‪(1‬‬



‫כאשר ‪ Ak‬היא המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬עלידי החלפת העמודה ה ‪ k‬של ‪ A‬בווקטור העמודה ‪. b‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫‪449‬‬



‫טענה ‪4.7.1‬‬ ‫רשומים כעמודות‪.‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ ,‬ויהיו ‪ e1 ,, e n‬איברי הבסיס הסטנדרטי של‬ ‫לכל ‪ , 1  j  n , j‬נסמן ב ‪ b j‬את הפתרון היחיד של המערכת ‪ , Ax  e j‬ותהי ‪ B‬המטריצה‬ ‫שעמודותיה הן הווקטורים ‪ . b j‬אז ‪. B  A1‬‬ ‫‪, Fn‬‬



‫הגדרה ‪4.7.2‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪. n  n‬‬ ‫המטריצה המצורפת ל ‪ , A‬שסימנה ‪ , adj A‬היא המטריצה שהאיבר ה ) ‪ ( i , j‬שלה נתון עלידי‪:‬‬ ‫‪[adj A]ij  ( 1)i  j AM‬‬ ‫‪ji‬‬



‫מסקנה ‪4.7.3‬‬ ‫אם ‪ A‬מטריצה הפיכה אז‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪adj A‬‬ ‫‪A‬‬



‫‪A 1 ‬‬



‫משפט ‪4.7.4‬‬ ‫לכל מטריצה ריבועית ‪ A‬מתקיים ‪. A(adj A)  (adj A) A  A I‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.8.1‬תמורה‬ ‫יהי ‪ n‬מספר טבעי‪ .‬פונקציה חדחדערכית ועל מהקבוצה ‪ 1, 2,,n‬לעצמה נקראת תמורה על‬ ‫הקבוצה ‪. 1, 2,,n‬‬ ‫אוסף התמורות הללו מסומן ב ‪. Sn‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.8.2‬היפוך )בתמורה(‬ ‫תהי ‪ .   Sn‬אם ‪ i  j‬אך ) ‪ ,  ( i )   ( j‬נאמר כי ‪  (i ),  ( j ) ‬הוא היפוך ב ‪. ‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.8.3‬זוגיות של תמורה‬ ‫תהי ‪ ,   Sn‬ויהי ‪ k‬מספר ההיפוכים ב ‪ . ‬המספר ‪ ( 1)k‬נקרא הסימן של ‪ , ‬ומסומן ) ‪. sgn(‬‬ ‫אם ‪ sgn( )  1‬נאמר כי ‪ ‬זוגית‪ ,‬אחרת נאמר כי ‪ ‬איזוגית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.8.4‬חילוף‬ ‫תמורה ‪   Sn‬המקיימת ‪  (i )  j ,  ( j )  i‬עבור איזשהו זוג ‪ , i  j‬וכן ‪  ( k )  k‬לכל‬ ‫‪ , k  i , j‬נקראת חילוף )או טרנספוזיציה(‪.‬‬ ‫משפט ‪ 4.8.5‬כפליות הסימן‬ ‫אם ‪  ,  Sn‬תמורות‪ ,‬אז ) ‪. sgn(   )  sgn( )  sgn(‬‬



‫‪450‬‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬



‫למה ‪4.8.6‬‬ ‫תהי ‪   Sn‬תמורה‪ ,‬ויהיו ‪ 1  i , j  n‬אינדקסים שונים‪ .‬נגדיר תמורה‪ ,    Sn ,‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪ ( j ) : k  i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ( k )   ( i ) : k  j‬‬ ‫‪ ( k ) : k  i , j‬‬ ‫‪‬‬



‫אז ‪  ‬מתקבלת עלידי כפל מימין של ‪ ‬בחילוף‪.‬‬ ‫למה ‪4.8.7‬‬ ‫ניתן להציג כל תמורה ‪   Sn‬כמכפלה של חילופים‪ ,‬ואם מספר החילופים בהצגה כזאת הוא ‪, k‬‬ ‫אז ‪. sgn( )  ( 1)k‬‬ ‫מסקנה ‪4.8.8‬‬ ‫לכל תמורה ‪   Sn‬מתקיים ) ‪ sgn(‬‬



‫) ‪. sgn( 1‬‬



‫הגדרה ‪ 4.9.1‬פונקציית נפח‬ ‫נאמר שפונקציה ‪ V‬מ ) ‪ M n ( F‬לשדה ‪ F‬היא פונקציית נפח‬



‫ב ‪, F n‬‬



‫אם היא מקיימת את התכונות‪:‬‬



‫א‪ V ([ a1 , a2 ,  , an ])  0 .‬אם ‪ ai  a j‬עבור ‪ i  j‬כלשהם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לכל זוג סקלרים ‪ s , t‬ולכל ‪ i‬מתקיים השוויון‪:‬‬ ‫)] ‪V ([ a1 , a2 ,, ai 1 , sai  taˆi , ai 1 ,, an‬‬ ‫)] ‪ sV ([ a1 , a2 ,, ai 1 , ai , ai 1 ,, an ])  tV ([ a1 , a2 ,, ai 1 , aˆi , ai 1 ,, an‬‬



‫ג‪ .‬אם ‪ e1 , e 2 ,, e n‬הם וקטורי הבסיס הסטנדרטי של ‪ , F n‬אז ‪. V ([ e1 , e 2 , , e n ])  1‬‬ ‫טענה ‪4.9.2‬‬ ‫פונקציית נפח ‪ V‬היא פונקציה מתחלפת‪ ,‬במובן הבא‪:‬‬ ‫אם מטריצה ‪ B‬מתקבלת ממטריצה ‪ A‬עלידי החלפת שתי שורות של ‪ A‬זו בזו‪ ,‬אז )‪. V ( B )  V ( A‬‬ ‫מסקנה ‪4.9.3‬‬ ‫אם קיימת פונקציית נפח ‪ V‬ב‬



‫‪, Fn‬‬



‫אז היא נתונה עלידי הנוסחה‪:‬‬



‫‪sgn( ) a (1),1a (2),2    a ( n ),n‬‬



‫‪‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫‪V ([ a1 , , an ]) ‬‬



‫בפרט‪ ,‬פונקציית נפח ב ‪ F n‬נקבעת באופן יחיד‪.‬‬ ‫למה ‪4.9.4‬‬ ‫פונקציית נפח ‪ Vn‬ב‬



‫‪Fn‬‬



‫מקיימת‬



‫) ‪( At‬‬



‫‪ Vn ( A)  Vn‬לכל מטריצה ) ‪. A  Mn ( F‬‬



‫ההגדרות והמשפטים בכרך א‬



‫טענה ‪4.9.5‬‬ ‫לכל ‪ n‬טבעי קיימת פונקציית נפח יחידה ‪ Vn‬ב‬ ‫מתקיים‪:‬‬



‫‪. Fn‬‬



‫‪451‬‬



‫יתר על כן‪ ,‬אם ‪ n  2‬אז לכל ‪1  i  n‬‬ ‫‪n‬‬



‫) ‪ ( 1)i  j [ A] jiVn 1 ( AMji‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪Vn ( A) ‬‬



‫משפט ‪4.9.6‬‬ ‫יהי ‪ n‬מספר טבעי ויהי ‪ F‬שדה‪ .‬הדטרמיננטה היא פונקציית הנפח היחידה ב ‪ , F n‬והיא נתונה‬ ‫עלידי הנוסחה‬ ‫‪sgn( ) a (1),1 , a (2),2  a ( n ),n‬‬



‫‪‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪ Sn‬‬



‫לכל ) ‪ . A  Mn ( F‬יתר על כן‪ ,‬לכל ‪ 1  i  n‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪ji‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j [ A] ji‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪j 1‬‬



‫וכן‪:‬‬ ‫‪AijM‬‬



‫‪n‬‬



‫‪ ( 1)i  j [ A]ij‬‬ ‫‪j 1‬‬



‫‪A ‬‬



‫‪20109‬‬



‫אלגברה לינארית‬ ‫‪1‬‬



‫| כרך א‬



‫כרך א‬ ‫פרק ‪1‬‬ ‫פרק ‪2‬‬ ‫פרק ‪3‬‬ ‫פרק ‪4‬‬



‫מערכות משוואות לינאריות‬ ‫המרחב ‪F n‬‬ ‫מטריצות‬ ‫דטרמיננטות‬



‫כרך ב‬ ‫פרק ‪5‬‬ ‫פרק ‪6‬‬ ‫פרק ‪7‬‬ ‫פרק ‪8‬‬



‫שדות סופיים‬ ‫שדה המספרים המרוכבים‬ ‫מרחבים לינאריים‬ ‫בסיסים ותורת הממד‬



‫כרך ג‬



‫‪Untitled‬‬



‫‪0 020820 109219‬‬ ‫דאנאקוד ‪208-2010921‬‬



‫מק"ט ‪20109-2012‬‬ ‫מסת"ב‬



‫‪ISBN 978-965-06-1584-0‬‬



‫האוניברסיטה הפתוחה‬



‫פרק ‪ 9‬העתקות לינאריות‬ ‫פרק ‪ 10‬ייצוג העתקות באמצעות מטריצות‬ ‫פרק ‪ 11‬ערכים עצמיים‬ ‫פרק ‪ 12‬המכפלה הסקלרית‬



‫אלגברה לינארית ‪1‬‬ ‫כרך א‬