Lingkaran Orthogonal [PDF]

Citation preview

Lingkaran Orthogonal



Lingkaran Orthogonal adalah kurva ortogonal , yaitu, mereka memotong satu sama lain pada sudut kanan .Dengan teorema Pythagoras , dua lingkaran jari-jari dan yang pusatnya jaraknya terpisah adalah orthogonal jika (1) Dua lingkaran dengan persamaan Cartesian (2) (3) bersifat ortogonal jika (4)



Teorema Euclid menyatakan bahwa, untuk lingkaran ortogonal dalam diagram di atas, (5) (Dixon 1991, hlm. 65). Garis radikal dari tiga lingkaran yang diberikan setuju di pusat radikal .Jika lingkaran dengan pusat memotong salah satu dari tiga lingkaran secara ortogonal, memotong ketiga secara ortogonal.Lingkaran ini disebut lingkaran ortogonal (atau lingkaran radikal ) dari sistem.Lingkaran ortogonal adalah lokus titik yang kutubnya berkenaan dengan tiga lingkaran yang diberikan bersamaan (Lachlan 1893, p. 237).



Tabel berikut mencantumkan lingkaran orthogonal ke berbagai lingkaran bernama. lingkaran



lingkaran orthogonal (s)



Lingkaran Apollonius



Lingkaran Stevanović



Lingkaran Bevan



Lingkaran Stevanović



Lingkaran kartu



Lingkaran Parry



circumcircle



Lingkaran Parry , lingkaran Stevanović



lingkaran melingkar radikal



Lingkaran Stevanović



Lingkaran Lester



lingkaran orthocentroidal



Lucas melingkari lingkaran radikal



Lingkaran Parry



lingkaran sembilan titik



Lingkaran Stevanović



lingkaran orthocentroidal



Lingkaran Lester , lingkaran Stevanović



lingkaran ortoptic dari Steiner inellipse



lingkaran kutub , lingkaran Stevanović



Lingkaran Parry



Lingkaran kartu , circumcircle , lingkaran lingkaran Lucas radikal , lingkaran dalam Lucas



lingkaran kutub



lingkaran Droz-Farny kedua , lingkaran Stevanović



lingkaran Droz-Farny lingkaran kutub kedua Lingkaran Stevanović



Lingkaran Apollonius , lingkaran Bevan , circumcircle , lingkaran melingkar radikal , lingkaran sembilan titik , lingkaran orthocentroidal , lingkaran ortoptic dari Steiner inellipse , lingkaran kutub , lingkaran tangensial



lingkaran tangensial



Lingkaran Stevanović



LIHAT JUGA:Lingkaran , Midcircle , Masalah Monge , Pusat Radikal , Lingkaran Radikal REFERENSI: Casey, J. A Sekuel Enam Buku Pertama dari Elemen Euclid, Mengandung Pengantar Mudah untuk Geometri Modern dengan Banyak Contoh, edisi ke-5, rev.enl.Dublin: Hodges, Figgis, & Co., hal.42, 1888. Dixon, R. Mathographics.New York: Dover, pp. 65-66, 1991. Durell, CV "Lingkaran Orthogonal."Ch.8 dalam Geometri Modern: Garis Lurus dan Lingkaran.London: Macmillan, pp. 88-92, 1928. Euclid.The Thirteen Books of the Elements, edisi ke-2.tidak dirubah, Vol.3: Buku X-XIII.New York: Dover, hal.36, 1956. Lachlan, R. Sebuah Risalah Dasar tentang Geometri Murni Modern.London: Macmillian, 1893. Pedoe, D. Lingkaran: A Mathematical View, rev.ed.Washington, DC: Matematika.Assoc.Amer., Hal.xxiv, 1995. Direferensikan di Wolfram | Alpha: Lingkaran Orthogonal SITUS INI SEBAGAI: Weisstein, Eric W. "Lingkaran Orthogonal."Dari MathWorld - Sumber Web Wolfram Web.http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalCircles.html



Lingkaran Orthogonal Dalam matematika, ortogonalitas adalah konsep penting yang digunakan dalam banyak cabang, seperti geometri, aljabar vektor, kalkulus dll. Kata " orthogonal " diambil dari bahasa " Yunani " dan terdiri dari dua kata " ortho " dan " gonal ". Ortho berarti " benar " dan gonal mengacu pada " sudut ". Setiap dua benda geometris dikatakan ortogonal ketika mereka bertemu atau berpotongan pada sudut siku-siku. Dua segmen garis ortogonal jika keduanya tegak lurus satu sama lain.Dalam analisis vektor, dua ruang vektor dikatakan ortogonal terhadap satu sama lain jika setiap elemen dalam satu tegak lurus terhadap setiap elemen di elemen lainnya. Kami juga menemukan istilah " lingkaran ortogonal " sangat sering dalam geometri. Seperti namanya, dua lingkaran dikatakan saling orthogonal ketika keduanya tegak lurus terhadap satu sama lain. Dalam artikel ini, kita akan belajar tentang lingkaran orthogonal dan sifat-sifatnya secara detail.



Definisi Dua lingkaran dikatakan lingkaran ortogonal jika mereka saling berpotongan secara ortogonal, yaitu, sudut antara dua lingkaran adalah 90 circ circ.Hanya untuk mengingat bahwa sudut antara dua kurva dikatakan sebagai sudut yang terbentuk di titik perpotongan kurva. Konsep lingkaran ortogonal dinyatakan dalam referensi dari dua lingkaran yang berpotongan. Sudut antara dua garis singgung yang ditarik dua lingkaran berpotongan disebut sebagai sudut antara dua lingkaran. Sudut biasanya berbeda pada titik potong yang berbeda. Ketika sudut pada titik persimpangan tersebut adalah sudut siku-siku atau sama dengan 90 circ circ, lingkaran-lingkaran tersebut dikenal sebagai lingkaran ortogonal yang ditunjukkan dalam diagram berikut:



Dengan kata lain, dua lingkaran memotong satu sama lain secara ortogonal jika sudut persimpangan dari lingkaran yang diberikan pada titik perpotongan adalah sudut siku-siku. Kita dapat mengatakan bahwa garis singgung yang ditarik pada titik perpotongan dua lingkaran ortogonal memotong satu sama lain pada sudut kanan, yaitu saling tegak lurus satu sama lain. Garis-garis singgung ini melewati pusat lingkaran.



Kondisi



Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk dua lingkaran menjadi orthogonal adalah: Dalam sepasang lingkaran yang berpotongan, garis tangen yang ditarik pada setiap titik



persimpangan pada satu lingkaran melewati pusat lingkaran yang lain.



Juga, dapat dikatakan bahwa



lingkaran-lingkaran ini terbalik satu sama lain. Lingkaran ortogonal dapat didefinisikan sebagai lokus titik yang koordinat kutubnya untuk tiga lingkaran tertentu bersamaan atau terletak pada titik yang sama.



Persamaan Persamaan untuk dua lingkaran yang diberikan persamaannya adalah x 22 + y 22 + 2 gx + 2 fy + c = 0 dan x 22 + y 22 + 2 g 'x + 2 f' y + c '= 0, untuk orthogonal diberikan oleh: 2 gg '+ 2 ff' = c + c ' Di mana, (g, f) dan (g ', f') adalah lokasi pusat dari dua lingkaran. dan jari-jari mereka diberikan oleh: r = sqrtg2 + f2−c sqrtg2+f2−c dan r '= sqrtg′2+f′2−c′ sqrtg′2+f′2−c′ Jika pusat dari kedua atau salah satu lingkaran terletak di asal, maka baik (g, f) = (0, 0) atau g ', f') = (0, 0) atau keduanya. Dalam hal apapun, persamaan orthogonality adalah: c + c '= 0



Bukti Kembali ke atas



Bukti persamaan orthogonality adalah sebagai berikut: Mari kita pertimbangkan bahwa ada dua lingkaran berpotongan yang diberikan oleh persamaan x 22 + y 22 + 2 gx + 2 fy + c = 0 dan x 22 + y 22 + 2 g 'x + 2 f' y + c '= 0 Di mana, koordinat pusat mereka adalah (g, f) dan (g ', f') masing-masing dan persamaan untuk jari-jari mereka adalah: r = sqrtg2+f2−c sqrtg2+f2−c



dan r '= sqrtg′2+f′2−c′ sqrtg′2+f′2−c′ Silahkan lihat diagram berikut:



Karena kedua lingkaran itu ortogonal, maka garis singgung yang ditarik pada titik persimpangan P bertemu dengan pusat lingkaran lain dan membuat sudut siku-siku satu sama lain. Jadi, bigtriangleup bigtriangleup APB adalah segitiga siku-siku. Menggunakan teorema Pythagoras, kami punya AB 22 = PA 22 + PB 22



(−g+g′)2+(−f+f′)2=g2+f2−c+g′2+f′2−c′(−g+g′)2+(−f+f′)2=g2+f2−c+g′2+f′2−c′ g2+g′2−2gg′+f2+f′2−2ff′=g2+f2−c+g′2+f′2−c′g2+g′2−2gg′+f2+f′2−2ff′=g2+f2−c+g′2+f′2−c′ 2gg '+ 2ff' = c + c ' Karena itu terbukti.



Contoh Kembali ke atas



Contoh masalah berdasarkan orthogonalitas lingkaran diilustrasikan di bawah ini: Contoh 1: Temukan apakah lingkaran x 22 + y 22 - 2x - 5y + 16 = 0 dan x 22 + y 22 - 8x + 6y - 23 = 0 ortogonal satu sama lain atau tidak? Solusi: Persamaan lingkaran pertama adalah x 22 + y 22 - 2x - 5y + 16 = 0 Di sini, 2g = -2, 2f = -5 dan c = 16



Jadi, g = -1 dan f = -



frac52 frac52



Persamaan lingkaran kedua adalah x 22 + y 22 - 8x + 6y - 23 = 0 2g '= -8, 2f' = 6 dan c '= -23 g '= -4 dan f' = 3 Kondisi untuk orthogonality adalah: 2 gg '+ 2 ff' = c + c ' 2 (-1) (-4) + 2 (-



frac52 frac52 ) (3) = 16 + (-23)



8 - 15 = -7 -7 = -7 Kondisi kami terbukti puas . Oleh karena itu, lingkaran yang diberikan adalah lingkaran ortogonal. Contoh 2: Buktikan bahwa dua lingkaran x 22 + y 22 - 2y - 15 = 0 dan x 22 + y 22 - 8x - 6y + 21 = 0 adalah lingkaran ortogonal. Solusi: Lingkaran pertama adalah x 22 + y 22 - 2y - 15 = 0 2g = 0, 2f = -2 dan c = -15 Jadi, g = 0 dan f = -1 x 22 + y 22 - 8x - 6y + 21 = 0 2g '= -8, 2f' = -6 dan c '= 21 g '= -4 dan f' = -3 Kondisi untuk ortogonalitas diberikan oleh: 2 gg '+ 2 ff' = c + c ' 2 (0) (-4) + 2 (-1) (-3) = - 15 + 21 0+6=6



6 = 6. Oleh karena itu kedua lingkaran itu bersifat ortogonal.