Logika [PDF]

Citation preview

LOGIKA PROPOSISI



Proposisi



Definisi 1 adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), namun tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut



.



Contoh: (a) 6 adalah bilangan genap. (b) Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama. (c) 2 + 2 = 4. (d) Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang. (e) 10 adalah bilangan prima. (f) 23 ≤ 17. (g) Hasil penjumlahan dua bilangan genap adalah bilangan ganjil. (h) Kerjakan soal ini! (i) Di mana lokasi kampus Telkom University? (j) 2𝑥 + 5 = 10. (k) 𝑥 − 𝑦 < 21.



1 | Logika Matematika



Latihan soal: 1. Tentukan apakah kalimat berikut adalah proposisi, jika ya, tentukan nilai kebenarannya. a. Bandung adalah ibukota Provinsi Kalimantan Barat. b. Belajarlah sungguh-sungguh. c. 2𝑥 + 2 = 7. d. 4 salah satu faktor dari 13. e. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥. 2. Berikan syarat tambahan agar kalimat berikut menjadi suatu proposisi, kemudian tentukan kebenarannya. a. 2 + 𝑥 = 5. b. 𝑥 − 𝑦 = 0. c. 𝑥 − 4𝑦 = 0.



2 | Logika Matematika



Mengkombinasikan Proposisi Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut



.



Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or), dan tidak (not).



Definisi 2 Misalkan 𝑝 dan 𝑞 adalah proposisi. 𝑝 dan 𝑞, dinyatakan dengan notasi 𝑝 ∧ 𝑞, adalah proposisi 𝑝 dan 𝑞 𝑝 dan 𝑞, dinyatakan dengan notasi 𝑝 ∨ 𝑞, adalah proposisi 𝑝 atau 𝑞 dari 𝑝, dinyatakan dengan notasi ∼ 𝑝, adalah proposisi Tidak 𝑝



Contoh: 1. Diketahui proposisi-proposisi berikut: 𝑝: Hari ini hujan 𝑞: Murid-murid diliburkan dari sekolah 𝑝∧𝑞



: Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah



𝑝∨𝑞



: Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah



∼𝑝



: Tidak benar bahwa hari ini hujan (Hari ini tidak hujan)



3 | Logika Matematika



2. Diketahui proposisi-proposisi berikut: 𝑝: Hari ini hujan 𝑞: Hari ini dingin ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 : Hari ini tidak hujan dan hari ini tidak dingin (Hari ini tidak hujan juga tidak dingin) 𝑞 ∨∼ 𝑝



: Hari ini dingin atau hari ini tidak hujan (Hari ini dingin atau tidak hujan)



∼ (∼ 𝑝)



: Tidak benar bahwa hari ini tidak hujan (Salah bahwa hari ini tidak hujan)



Latihan soal: 1. Diketahui proposisi-proposisi berikut: 𝑝: Pemuda itu tinggi 𝑞: Pemuda itu tampan Nyatakan kalimat di bawah ini dalam notasi logika. (a) Pemuda itu tinggi dan tampan (b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan (c) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan (d) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan (e) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan 2. Diketahui proposisi-proposisi berikut: 𝑝: Kami pintar membuat program 𝑞: Kami akan mengikuti kontes robotik Nyatakan notasi logika di bawah ini ke dalam proposisi. (a) ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 (b) ∼ (∼ 𝑞 ∧ 𝑝) (c) ∼ 𝑞 ∧∼ 𝑝



4 | Logika Matematika



3. Diketahui proposisi-proposisi berikut: 𝑝: Hari ini saya berangkat ke kampus 𝑞: Hari ini saya ke mall Nyatakan notasi logika di bawah ini ke dalam proposisi. (d) ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 (e) ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 (f) ∼ (𝑝 ∧ 𝑞)



Tabel Kebenaran dari operasi logika ∧, ∨, dan ∼: p



q



pq



p



q



pq



p



T T F F



T F T F



T F F F



T T F F



T F T F



T T T F



T F



p F T



5 | Logika Matematika



Disjungsi Eksklusif Operator atau (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara, yaitu:  Disjungsi inklusif Disjungsi inklusif adalah operator “atau” yang telah dipelajari sebelumnya, yaitu untuk kalimat “𝑝 atau 𝑞” memiliki arti: “𝑝 atau 𝑞 atau keduanya”.  Disjungsi eksklusif Disjungsi eksklusif adalah operator “atau” yang memberikan arti yang berbeda, yaitu untuk kalimat “𝑝 atau 𝑞” memiliki arti: “𝑝 atau 𝑞 tetapi tidak keduanya”.



Definisi 3 Misalkan 𝑝 dan 𝑞 adalah proposisi.



𝑝 dan 𝑞,



dinyatakan dengan notasi 𝑝 ⊕ 𝑞, adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari 𝑝 dan 𝑞 benar, selain itu nilainya salah.



dari operasi logika ⊕:



6 | Logika Matematika



Proposisi Bersyarat (Implikasi) Pernyataan berbentuk “jika 𝑝, maka 𝑞” disebut proposisi bersyarat atau implikasi.



Definisi 4 Misalkan 𝑝 dan 𝑞 adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika 𝑝, maka 𝑞” disebut , dinotasikan dengan 𝑝 → 𝑞. Proposisi 𝑝 disebut hipotesis atau kondisi dan proposisi 𝑞 disebut konklusi atau konsekuen. Implikasi 𝑝 → 𝑞 dapat diekspresikan dalam kalimat-kalimat berikut: (a) Jika 𝑝, maka 𝑞



(e) 𝑝 hanya jika 𝑞



(b) Jika 𝑝, 𝑞



(f) 𝑝 syarat cukup agar 𝑞



(c) 𝑝 mengakibatkan 𝑞



(g) 𝑞 syarat perlu bagi 𝑝



(d) 𝑞 jika 𝑝



(h) 𝑞 bilamana 𝑝



Contoh: (a) Jika mahasiswa rajin belajar maka dosen akan memberikan nilai A. (b) Dosen akan memberikan nilai A apabila mahasiswa rajin belajar. (c) Mahasiswa rajin belajar hanya jika dosen akan memberikan nilai A. (d) Mahasiswa rajin belajar adalah syarat cukup untuk dosen akan memberikan nilai A. (e) Dosen akan memberikan nilai A adalah syarat perlu untuk mahasiswa rajin belajar. Perhatikan!



Dalam implikasi yang dipentingkan nilai kebenaran kondisi dan konsekuen, bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya.



7 | Logika Matematika



Tabel kebenaran implikasidari operasi logika →: p T T F F



q T F T F



pq T F T T



Contoh: 1. Tentukan notasi logika dari pernyataan: “Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika Anda berusia di bawah 17 tahun kecuali kalau Anda sudah menikah”. 2. Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk menarik pembeli. Pedagang pertama mengumbar moto ‘Barang bagus tidak murah’ sedangkan pedagang kedua mempunyai moto ‘Barang murah tidak bagus’. Apakah kedua moto pedagang tersebut menyatakan hal yang sama?



8 | Logika Matematika



Latihan soal: 1. Sebagian besar orang percaya bahwa harimau Jawa sudah lama punah. Tetapi, pada suatu hari Amir membuat pernyataan-pernyataan kontroversial sebagai berikut: (a) Saya melihat harimau di hutan. (b) Jika saya melihat harimau di hutan, maka saya juga melihat srigala. Misalkan kita diberitahu bahwa Amir kadang-kadang suka berbohong dan kadang-kadang jujur (bohong: semua pernyataanya salah, jujur: semua pernyataannya benar). Gunakan tabel kebenaran untuk memeriksa apakah Amir benar-benar melihat harimau di hutan? 2. Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan 𝑝: Pelayanannya baik 𝑞: Tarif kamarnya murah 𝑟: Hotelnya berbintang tiga Terjemahkan proposisi berikut dalam notasi logika: (a) Tarif kamarnya murah, tapi pelayanannya buruk (b) Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik, namun tidak keduanya (c) Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif kamarnya murah dan pelayanannya buruk



9 | Logika Matematika



Bikondisional (Biimplikasi) Pernyataan berbentuk “𝑝 jika dan hanya jika 𝑞” disebut bikondisional atau biimplikasi.



Definisi 5 Misalkan 𝑝 dan 𝑞 adalah proposisi. Proposisi majemuk “𝑝 jika dan hanya jika 𝑞” disebut , dinotasikan dengan 𝑝 ⟷ 𝑞. Biimplikasi 𝑝 ⟷ 𝑞 dapat diekspresikan dalam kalimat-kalimat berikut: (a) 𝑝 jika dan hanya jika 𝑞 (b) 𝑝 adalah syarat perlu dan cukup untuk 𝑞 (c) Jika 𝑝 maka 𝑞, dan sebaliknya Contoh: (a) 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4 (b) Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi (c) Jika“panda kaya maka  Bentuk proposisi: jikaorang dan hanya jikaanda q” mempunyai banyak uang, dan sebaliknya



 Notasi: p  q



dari operasi logika ⟷:



p



q



pq



T T F F



T F T F



T F F T



Latihan soal:



 p  q  (p  q)  (q  p). Misalkan 𝑝: Mahasiswa senang dan 𝑞: Dosen tidak datang. Nyatakan kalimat berikut dalam notasi logika: (a) Mahasiswa senang jika dan hanya jika dosen datang (b) Syarat cukup dan perlu agar mahasiswa senang adalah dosen tidak datang. (c) Jika dosen datang maka mahasiswa tidak senang, dan jika mahasiswa tidak senang maka dosen datang. 10 | Logika Matematika



Jenis-jenis Proposisi 1. Proposisi atomik Yaitu proposisi yang tidak dapat diuraikan menjadi beberapa proposisi penyusunnya. Contoh: a. Muhammad Hatta adalah presiden pertama RI. b. 3 + 4 = 7. c. 5 adalah bilangan genap.



2. Proposisi majemuk Yaitu proposisi yang terdiri dari beberapa proposisi atomik. Contoh: a. 5 adalah bilangan ganjil dan prima. b. Para pengunjung bazar akan mendapat laptop dan voucher pulsa gratis. c. Tidak ada mata kuliah yang sulit jika mahasiswa rajin belajar. d. Mahasiswa Tel-U pintar membuat program dan merakit hardware komputer.



Menentukan Nilai Kebenaran Menggunakan Tabel Kebenaran Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut: 1. 𝑝 ∧∼ 𝑝 2. 𝑝 ∨ 𝑞 ∨∼ 𝑝 3. (𝑝 ∧ 𝑞) →∼ 𝑝 4. (



𝑝∧𝑞



) → (∼ 𝑟 ∨∼ 𝑞)



11 | Logika Matematika



Latihan soal: A. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut: 1. 𝑝 →∼ 𝑞 2. (𝑝 ∨∼ 𝑝) ⟷∼ 𝑞 3. (𝑝 ⟷∼ 𝑞) ∧ 𝑝 4. (𝑝 ⊕∼ 𝑞) ⟷ 𝑞 5. (𝑞 ⟷∼ 𝑝) ⊕ 𝑝 6. (𝑝 ⊕ 𝑞) ∧∼ 𝑝 B. Diketahui proposisi-proposisi berikut: 𝑝: Saya lulus ujian 𝑞: Saya akan mendapat hadiah motor 𝑟: Saya akan mendapat tambahan uang jajan “Jika saya lulus ujian maka saya akan mendapat hadiah motor dan tambahan uang jajan” Tentukan notasi logikanya dan buatlah tabel kebenarannya.



12 | Logika Matematika



Sifat Operator Implikasi Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan 𝑝 → 𝑞, yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari implikasi. :𝑞 →𝑝



Konvers



qp ~p~q ~q~p



Konvers (kebalikan): : ∼ 𝑝 →∼ 𝑞 Invers : Kontraposisi : ∼ 𝑞 →∼ 𝑝 : Kontraposisi Invers



:



p



q



~p



T T F F



T F T F



F F T T



Implikasi ~q pq F T F T



T F T T



Konvers Invers Kontraposisi qp ~p~q ~q~p T T F T



T T F T



T F T T



Contoh: Tentukan bentuk konvers, invers, dan kontraposisi dari: a. Jika Amir mempunyai mobil maka ia orang kaya Konvers



: Jika Amir orang kaya maka ia mempunyai mobil



Invers



: Jika Amir tidak mempunyai mobil maka ia bukan orang kaya



Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya maka ia tidak mempunyai mobil b. Jika Icha menangis maka ia sakit perut Konvers



: JikaIcha sakit perut maka ia menangis



Invers



: Jika Icha tidak menangis maka ia tidak sakit perut



Kontraposisi : Jika Icha tidak sakit perut maka ia tidak menangis Latihan soal: Tentukan bentuk konvers, invers, dan kontraposisi dari kalimat “Kami akan pergi berkemah hari ini apabila hari tidak hujan”.



13 | Logika Matematika



Implikasi dalam Bahasa Pemrograman Cara kerja program komputer sebagian besar menggunakan konsep implikasi. Namun, implikasi logika yang telah dipelajari berbeda dengan implikasi pada program komputer. Skema singkat implikasinya adalah if 𝐶 then 𝑆 𝐶: ekspresi logika yang menyatakan syarat atau kondisi 𝑆: satu atau lebih pernyataan yang akan dieksekusi 𝑆 dieksekusi jika 𝐶 yang diberikan bernilai benar (T), sedangkan 𝑆 tidak akan dieksekusi jika 𝐶 yang diberikan bernilai salah (F). Logika matematika yang telah dipelajari terletak pada kondisi yang menjadi syarat dieksekusinya suatu pernyataan. Contoh: 1.



if 𝑥 > 𝑦 then 𝑦 ≔ 𝑥 + 10



2.



if 1 − 2 = 3 then 𝑥 ≔ 2𝑥 + 1 (diberikan 𝑥 = 1, 2, 3, 4 sebagai input)



3.



if (1 + 𝑥 = 3) ∨ (2 + 𝑥 = 4) then 𝑥 ≔ 𝑥 + 5 (diberikan 𝑥 = 1, 2, 3, 4 sebagai input)



4.



if (𝑥 > 2) ⊕ (1 + 2 = 3) then 𝑥 ≔ 2 (diberikan 𝑥 = 1, 2, 3, 4 sebagai input)



𝑥



Latihan soal: Tentukan output dari program komputer berikut, dengan ketentuan, jika kondisi tidak terpenuhi, program akan mengeluarkan nilai input. 1.



if (𝑥 ≥ 3) ∨ (8 − 𝑥 = 4) then 𝑥 ≔ 𝑥 2 + 1 (diberikan 𝑥 = 1, 2, 3, 4 sebagai input)



2.



if (𝑥 ≤ 2) ⊕ (2 + 𝑥 2 = 3) then 𝑥 ≔ 𝑥/5 (diberikan 𝑥 = 1, 2, 3, 4 sebagai input)



14 | Logika Matematika



Operasi Bit pada Sistem Komputer Bit pada sistem komputer berupa angka 1 dan 0. Sedangkan susunan beberapa bit disebut string. Bit 1 digunakan untuk menyajikan nilai benar (T) dan bit 0 digunakan untuk menyajikan nilai salah (F). Operaso bit berupa konektivitas pada logika, yaitu ∧,∨, dan ⊕. Syarat dua string dapat dioperasikan jika keduanya memiliki panjang bit yang sama. Contoh: Diberikan string 𝑥 dan 𝑦. 𝑥 = 01 1011 0110 𝑦 = 11 0001 1101 Tentukan string 𝑥 ∧ 𝑦, 𝑥 ∨ 𝑦, dan 𝑥 ⊕ 𝑦.



Latihan soal: Diberikan string 𝑥, 𝑦 dan 𝑧. 𝑥 = 10 1001 0110 𝑦 = 01 0001 1101 𝑧 = 11 0101 1000 Tentukan string (𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧 dan (𝑥 ⊕ 𝑦) ∧ 𝑧.



15 | Logika Matematika



Latihan soal: 1. Tentukan notasi logika dan buatlah tabel kebenaran dari pernyataan berikut: a. Anda bisa mengakses internet dari kampus hanya jika anda jurusan Ilmu Komputer atau anda bukan mahasiswa baru. b. Kamu tidak bisa naik roller coaster jika tinggimu di bawah 4 kaki kecuali jika kamu berusia lebih dari 16 tahun. c. Mesin penjawab otomatis tidak dapat mengirimkan pesan ketika file system sedang full. d. Jika rusa itu waspada dan bergerak lebih cepat, maka buaya itu tidak akan mampu menangkapnya. e. Fahri akan membeli saham dan membeli properti untuk investasi, atau dia akan menanamkan uangnya di deposito bank. 2. Diketahui proposisi 𝑝 bernilai benar (T) dan 𝑞 bernilai salah (F). Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan (𝑝 ∧ 𝑞) →∼ 𝑝. 3. Diketahui proposisi 𝑝 bernilai benar (T), 𝑞 bernilai salah (F), dan 𝑟 bernilai benar (T). Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan (𝑝 ∧ 𝑞) → (∼ 𝑟 ∨∼ 𝑞). 4. Diketahui proposisi 𝑝 bernilai salah (F), 𝑞 bernilai benar (T), dan 𝑟 bernilai salah (S). Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan 𝑝 → (∼ 𝑟 ∨ 𝑞). 5. Tentukan tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut: a. (∼ 𝑝 ⟷ 𝑞) ⊕∼ (𝑞 → 𝑝) b. [𝑝 ∧ (𝑞 ∨∼ 𝑞)] →∼ 𝑝 c. ∼ 𝑝 ⟷ (𝑞 ∧∼ 𝑟) d. (𝑝 ⊕∼ 𝑟) → [(𝑞 ∨ 𝑟) ∧∼ 𝑝]



16 | Logika Matematika



Aplikasi dalam Kehidupan Contoh: 1. Eri, Anto, dan Shinta adalah sekelompok hacker remaja. Mereka teridentifikasi membajak akun dan program pribadi Presiden RI. Berikut hasil interogasi aparat kepolisian. Aparat



: “Siapa yang bersalah diantara kalian bertiga?”



Eri



: “Anto bersalah dan Shinta tidak bersalah”



Anto



: “Jika Eri bersalah maka Shinta bersalah”



Shinta



: “Saya tidak bersalah, tetapi Anto atau Eri bersalah”



Tentukan siapa yang bersalah (gunakan tabel kebenaran), bila aparat menemukan bahwa Anto telah berbohong, sementara kedua temannya mengatakan kebenaran.



2. Hari ini, Presiden RI dan tiga orang menteri Negara sedang rapat tertutup di istana Negara membahas isu kenaikan BBM. Hadir di sana Menteri Perekonomian, Menteri Keuangan, dan Menteri Sosial. Berikut hasil wawancara wartawan kepada para menteri. Wartawan : “Bagaimana hasil pembahasan rapat tadi, Pak?” Menko



: “Harga BBM dinaikkan atau harga bahan pokok melonjak”



Menkeu



: “Jika harga bahan pokok melonjak dan BBM dinaikkan maka Presiden akan didemo masa”



Mensos



: “Pak Presiden tidak akan didemo massa tetapi harga BBM tidak dinaikkan”



Tentukan hasil rapat yang diputuskan (gunakan tabel kebenaran), bila ternyata hanya Menko yang tidak berbohong tentang hasil rapat.



17 | Logika Matematika



Latihan soal: 1. Hari ini siswa sedang mengadakan UTS. Suasana kelas tenang dan senyap. Tiba-tiba, “Pletak!” terdengar suara keras dari arah belakang. Andi, Agus, dan Aldi yang duduk di belakang terlihat panik. Guru : “Kertas contekan ini milik siapa?” Andi



: “Kertas ini milik Aldi dan Agus, Pak”



Aldi



: “Jika kertas ini milik Andi atau Agus maka bukan milik saya, Pak”



Agus : “Yang jelas bukan milik saya atau Aldi, Pak” Tentukan siapakah pemilik kertas contekan tersebut bila guru yakin bahwa Andi dan Aldi telah berbohong.



2. Petugas pajak sedang mencari alamat rumah paman Ali. Di tengah perjalanan ia bertemu Eri, Anto, dan Shinta yang merupakan keponakan paman Ali. Petugas : “Apa yang dimiliki paman kalian? Coba ceritakan!” Eri



: “Jika paman Ali memiliki banyak uang maka ia memiliki rumah mewah atau mobil sport”



Anto



: “Paman Ali tidak memiliki mobil sport atau tidak memiliki banyak uang tetapi memiliki rumah mewah”



Shinta : “Paman Ali tidak memiliki rumah mewah atau memiliki mobil sport” Tentukan apa saja yang dimiliki Paman Ali bila hanya Shinta yang tidak berbohong.



18 | Logika Matematika



Logic Puzzles Teka-teki (puzzle) yang bisa dipecahkan dengan menggunakan penalaran logis dikenal dengan istilah logic puzzles. Memecahkan logic puzzle ini merupakan cara terbaik untuk berlatih bekerja dengan aturan logika. Latihan soal: 1. Raymond Smullyan mengajukan banyak puzzle tentang sebuah pulau yang memiliki dua jenis penghuni, yaitu ksatria yang selalu mengatakan yang sebenarnya, dan penjahat yang selalu berbohong. Di pulau tersebut kamu bertemu dengan dua orang A dan B. A berkata “B adalah ksatria” dan B berkata “Kami berdua adalah tipe yang berlawanan”. Jadi, siapakah sebenarnya A dan B? 2. Bram, Peter, Rivana, dan Smith adalah empat seniman kreatif yang berbakat, satu penari, satu pelukis, satu penyanyi, dan satu penulis (tidak memperhatikan urutan). (a) Bram dan Rivana berada di antara penonton di malam sang penyanyi memulai debutnya dalam konser. (b) Baik Peter maupun si penulis telah menjadi model dari karya si pelukis. (c) Si penulis, dimana biografi Smith merupakan karya best seller, berencana untuk menulis biografi Bram. (d) Bram tidak pernah mendengar tentang Rivana. Apa bidang keahlian masing-masing seniman tersebut? 3. Tentukan korespondensi antara symbol (A, B, C) dan (P, Q, R) dengan keterangan berikut: (a) Jika A adalah P, C bukan R. (b) Jika B adalah P atau R, A adalah Q. (c) Jika A adalah Q atau R, B adalah P.



19 | Logika Matematika



4.



20 | Logika Matematika



Logic Circuits Logika proposisi dapat diaplikasikan pada desain perangkat keras sebuah komputer. Pada bab Aljabar Boolean akan dipelajari lebih mendalam. Logic circuits (rangkaian logika atau sirkuit digital) menerima sinyal input berupa 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 , dengan setiap input berupa bit (0 untuk off dan 1 untuk on), dan menghasilkan sinyal output 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑛 yang juga berupa bit. Pada subbab ini akan dipelajari rangkaian logika dengan output berupa sinyal tunggal. Rangkaian logika yang rumit disusun oleh tiga sirkuit dasar, yang disebut gerbang logika, yang merupakan operator logika. Gerbang not (inverter) untuk operator negasi, gerbang or untuk operator atau, dan gerbang and untuk operator dan.



(a) Inverter



(b) Gerbang Or



(c) Gerbang And



Input



Output



Input



Input



Output



Input



Input Output



(𝑝)



(∼ 𝑝)



(𝑝)



(𝑞)



(𝑝 ∨ 𝑞)



(𝑝)



(𝑞)



(𝑝 ∧ 𝑞)



1



0



1



1



1



1



1



1



0



1



1



0



1



1



0



0



0



1



1



0



1



0



0



0



0



0



0



0



Secara matematis, gerbang logika dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi dengan ketentuan berikut:



(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥̅



(b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦



(c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦



21 | Logika Matematika



Contoh: 1. Buatlah rangkaian logika dari fungsi berikut. (a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥̅ 𝑦 (b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥̅ 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦̅𝑧 2. Tentukan fungsi dari rangkaian logika berikut. (a)



(b)



Latihan soal: 1. Buatlah rangkaian logika dari fungsi berikut. (a)



𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥̅ + 𝑦̅



(b)



𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥̅ 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦̅𝑧 + 𝑥𝑦𝑧̅



(c)



(𝑥̅ 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦̅𝑧) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅



(d)



𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑥̅ 𝑦̅



(e)



̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)



22 | Logika Matematika



2. Tentukan fungsi dari rangkaian logika berkut. (a)



(b)



(c)



23 | Logika Matematika