Logika Matematika [PDF]

Citation preview

4. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p p B S



~p S B



B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”. p ∧ q : p dan q 2) Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”. p ∨ q : p atau q 3) Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”. p ⇒ q : Jika p maka q 4) Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …” p ⇔ q : p jika dan hanya jika q C. Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi premis 1 premis 2 konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi P q p∧q p∨q p⇒q p⇔q B B B B B B B S S B S S S B S B B S S S S B S B Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal 1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar, 2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah 3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S) 4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Bila terdapat bentuk implikasi p ⇒ q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut: Implikasi Invers Konvers Kontraposisi p⇒q ~p⇒~q q⇒p ~q⇒~p Kesimpulan yang dapat diambil adalah: 1) invers adalah negasi dari implikasi 2) konvers adalah kebalikan dari implikasi 3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi E. Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen 1) implikasi ≡ kontraposisi :p⇒q≡~q⇒~p 2) konvers ≡ invers :q⇒p≡~p⇒~q 3) ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q : ingkaran dari konjungsi 4) ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q : ingkaran dari disjungsi 5) ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q : ingkaran dari implikasi 6) p ⇒ q ≡~p∨q 7) ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p) : ingkaran dari biimplikasi



Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPS



http://www.soalmatematik.com F. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial • Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “∀x” dibaca “untuk semua nilai x” •



Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “∃x” dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”



•



Ingkaran dari pernyataan berkuantor 1) ~(∀x) ≡ ∃(~x) 2) ~(∃x) ≡ ∀(~x)



G. Penarikan Kesimpulan Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu: 1) Modus Ponens (MP) p ⇒ q : premis 1 p : premis 2 ∴q : kesimpulan



2) Modus Tollens (MT) p ⇒ q : premis 1 ~q : premis 2 : kesimpulan ∴~p



3) Silogisme p ⇒ q : premis 1 : premis 2 q⇒r ∴p ⇒ r : kesimpulan



Cermati secara seksama cara pengerjaannya 28 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN



Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPS



http://www.soalmatematik.com SOAL 1. Negasi dari pernyatan : “Toni tidak rajin belajar.” adalah … a. Toni lulus ujian b. Toni tidak malas c. Toni rajin belajar dan lulus ujian d. Toni rajin belajar e. Toni pandai 2. Negasi dari pernyataan: “Permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang naik”, adalah … a. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi atau harga barang naik. b. Permintaan terhadap sebuah produk tidak tinggi atau harga barang naik. c. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang tidak naik. d. Permintaan terhadap sebuah produk tidak tinggi dan harga barang tidak naik. e. Permintaan terhadap sebuah produk tidak tinggi atau harga barang tidak naik. 3. Negasi dari pernyataan “Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung” adalah … a. Hari ini hujan tetapi saya tidak membawa payung b. Hari ini tidak hujan tetapi saya membawa payung c. Hari ini tidak hujan atau saya tidak membawa payung d. Hari ini hujan dan saya membawa payung e. Hari ini hujan atau saya membawa payung



PENYELESAIAN Lawan (negasi) dari tidak rajin belajar adalah rajin belajar, Jadi, jawaban yang benar adalah ………………(d)



Negasi Permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang naik



:~ :p :∧ :g



sehingga pernyataan tersebut jika disajikan dalam kalimat matematika adalah:



~ ( p ∧ q ) ≡ ~p ∨ ~q jika dijabarkan menjadi ~p : Permintaan terhadap sebuah produk tidak tinggi ∨ : atau ~q : harga barang tidak naik …………………………………………………..(e) Negasi Hari ini tidak hujan dan Saya tidak membawa payung



:~ : ~p :∧ : ~g



sehingga pernyataan tersebut jika disajikan dalam kalimat matematika adalah:



~ (~ p∧ ~ q ) ≡ p ∨ q



jika dijabarkan menjadi: p : hari ini hujan ∨ : atau q : saya membawa payung ………………………………………………….(e) 4. Ingkaran dari pernyataan “beberapa siswa Ingkaran :~ memakai kacamata” adalah … Beberapa siswa :∃ a. Beberapa siswa tidak memekai memakai kacamata :p kacamata b. Semua siswa memakai kacamata sehingga pernyataan tersebut jika disajikan dalam c. Ada siswa tidak memakai kacamata kalimat matematika adalah: d. Tidak benar semua siswa memakai kacamata ~(∃p) ≡ ∀(~p) e. Semua siswa tidak memakai kacamata jika dijabarkan menjadi: ∀ : semua siswa ~p : tidak memakai kacamata ………………………………………………….(e)



Cermati secara seksama cara pengerjaannya 29 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN



Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPS



http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN 5. Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan (p∨~q) ⇔ q, pada tabel berikut Untuk menyelesaikannya perlu dibuat 3 kolom adalah … tambahan untuk ~q, p∨~q, dan (p∨~q) ⇔ q p q (p∨~q) ⇔ q a. SSSS p q ~q p∨~q (p∨~q) ⇔ q b. BSSS B B … B B S B B c. BBSS B S … B S B B S d. SSBB S B … S B S S S e. BBBS S S … S S B B S Jadi, jawaban yang benar adalah ……………(b) 6. Jika ~p menyatakan negasi dari pernyataan Diketahui : ~p : B p, dengan ~p bernilai benar dan q bernilai q:S salah, maka pernyataan berikut bernilai Periksa pernyataan yang menggunakan operator ∧ benar adalah … a. (~p ∨ ~ q) ∧ q jawaban yang sudah pasti salah adalah a, b, c, dan d, kenapa? karena b. (p ⇒ q) ∧ q • jawaban a dan b pernyataan sebelah kanan c. (~p ⇔ q) ∧ p yaitu q nilainya salah (S) d. (p ∧ q) ⇒ p • jawaban c, nilai pernyataan sebelah kiri e. (~p ∨ q) ⇒ p yaitu (~p ⇔ q) nilainya salah (S) B ⇔ S ∴S •



jawaban d, nilai pernyataan sebelah kiri yaitu (p ∧ q) nilainya salah (S) S ∧ S ∴S



Jadi, jawaban yang benar adalah …................(e) 7. Invers dari pernyataan p ⇒ (p ∧ q) adalah … a. (~ p∧ ~ q) ⇒ ~ P b. (~ p∨ ~ q) ⇒ ~ P c. ~ P ⇒ (~ p ∧ ~ q) d. ~ P ⇒ (~ p ∧ q) e. ~ P ⇒ (~ p ∨ ~ q) 8. Ditentukan pernyataan (p∨ ~q) ⇒ p. Konvers dari pernyataan tersebut adalah … a. p ⇒ (~ p ∨ q) b. p ⇒ (p ∧ ~ q) c. p ⇒ (p ∨ ~ q) d. p ⇒ ~ (p ∨ ~ q) e. p ⇒ (~ p ∨ ~ q) 9. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p ⇒ (p ∨ ~ q) adalah … a. (p ∨ ~ q) ⇒ ~ p b. (~ p ∧ q) ⇒ ~ p c. (p ∨ ~ q) ⇒ p d. (~ p ∨ q) ⇒ ~ p e. (p ∧ ~ q) ⇒ p



Invers adalah implikasi yang dinegasi, maka: p ⇒ (p ∧ q) inversnya adalah : ~p ⇒ ~(p ∧ q) ≡ ~p ⇒ (~p ∨ ~q) ……………….(e)



Konvers adalah implikasi yang dibalik, maka: (p∨ ~q) ⇒ p konversnya adalah : p ⇒ (p ∨ ~ q) ……………………………………(c)



Kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi, maka: p ⇒ (p ∨ ~ q) kontraposisinya adalah: ~(p ∨ ~ q) ⇒ ~p ≡ (~p ∧ q) ⇒ ~p ………………(b)



This document has been edited with Infix PDF Editor - free for non-commercial use. pengerjaannya



Cermati secara seksama cara 30 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN To remove this notice, visit: www.iceni.com/unlock.htm



Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPS



http://www.soalmatematik.com SOAL 10. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut adalah … P⇒q q⇒r ∴ …. a. p ∧ r b. p ∨ r c. p ∧ ~ r d. ~ p ∧ r e. ~ p ∨ r 11. Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis yang dinyatakan dalam bentuk lambang berikut. (1) : p ∨ q adalah … (2) : ~ p a. p b. ~p c. q d. ~q e. p ∨ q 12. Penarikan kesimpulan dari 1. ~ p ∨ q Yang sah adalah: a. 1, 2, dan 3 ~p b. 1 dan 2 ∴q c. 1 dan 3 2. p ⇒ ~ q d. 2 saja p e. 3 saja ∴~ q 3.



p⇒r q⇒r ∴p⇒q



PENYELESAIAN Jenis penarikan kesimpulannya adalah silogisme P⇒q q⇒r ∴ p ⇒ r ≡ ~ p ∨ r …………………………(e)



Rubah dulu bentuk penarikan tersebut ke dalam bentuk baku: (1) : (2) :



p ∨ q ≡ ~p ⇒ q ~ p____ Modus ponen ∴ q ……………………..(c)



1. ~p ∨ q ≡ p ⇒ q ~ p___ tidak sah, karena bukan bentuk penarikan kesimpulan 2. p ⇒ ~q p___ modus ponen ∴~ q ……………………….sah 3. p ⇒ r q ⇒ r ___



tidak sah, karena bukan bentuk penarikan kesimpulan



Jadi, jawaban yang benar adalah ……………..…(d)



13. Diketahui : Premis 1: Jika Siti Rajin belajar maka ia lulus ujian. Premis 2: Jika Siti lulus ujian maka ayah membelikan sepeda. Kesimpulan dari kedua argumentasi di atas adalah … a. Jika Siti tidak rajin belajar maka ayah tidak membelikan sepeda b. Jika Siti rajin belajar maka ayah membelikan sepeda c. Jika Siti rajin belajar maka ayah tidak membelikan sepeda d. Jika Siti tidak rajin belajar maka ayah membelikan sepeda e. Jika ayah membelikan sepeda , maka Siti rajin belajar



Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : q ⇒ r ………….silogisme Kesimpulan : p ⇒ r p ⇒ r Jika diuraikan adalah ………………..….(b)



Cermati secara seksama cara pengerjaannya 31 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN



Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPS



http://www.soalmatematik.com SOAL 14. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Dodi rajin belajar, maka ia naik kelas. Premis 2 : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan baju. Kesimpulan yang sah adalah … a. Dodi tidak rajin belajar tetapi ia akan dibelikan baju. b. Dodi rajin belajar tetapi ia tidak akan dibelikan baju. c. Dodi rajin belajar atau ia akan dibelikan baju. d. Dodi tidak rajin belajar atau ia akan dibelikan baju. e. Dodi rajin belajar atau ia tidak akan dibelikan baju.



PENYELESAIAN Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : q ⇒ r ………….silogisme Kesimpulan : p ⇒ r ≡ ~p ∨ r ~p ∨ r Jika diuraikan adalah ……………..…….(d)



15. Diberikan pernyataan sebagai berikut: a. Jika Ali menguasai bahasa asing maka Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam Ali mengililingi dunia. kalimat matematika adalah: b. Ali menguasai bahasa asing Kesimpulan dari dua pernyataan di atasa Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : p _____……...modus ponen adalah … Kesimpulan : q a. Ali menguasai bahasa asing b. Ali tidak menguasai bahasa asing Jika diuraikan kesimpulannya adalah ………….(c) c. Ali mengelilingi dunia d. Ali menguasai bahasa asing dan Ali mengelilingi dunia e. Ali tidak menguasai bahasa asing dan Ali mengelilingi dunia



Cermati secara seksama cara pengerjaannya 32 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN