MAKALAH ENTROPI Revisi [PDF]

Citation preview

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL.................................................................................................................i DAFTAR ISI.............................................................................................................................ii A. Distribusi Energi .................................................................................................................1 B. Suhu dan Entropi 1. Konsep Entropi..........................................................................................................4 2. Entropi dan Temperatur Dikaitkan dengan Jumlah Keadaan....................................7 3. Perubahan Entropi.....................................................................................................9 4. Perubahan Energi dan Temperatur...........................................................................10 C. Paradoks Gibbs 1. Entropi Gas Klasik..................................................................................................12 2. Pencampuran Dua Gas Berbeda Jenis.....................................................................13 3. Entropi Total Total Sistem Sebelum Kedua Jenis Gas Bercampur.........................13 4. Entropi Total Sistem Setelah Kedua Jenis Gas Bercampur.....................................14 5. Pencampuran Gas Sejenis........................................................................................14 6. Gas Ideal Semi Klasik.............................................................................................15 DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................17



1



Salah satu tujuan fisika adalah untuk mengerti mengapa waktu memiliki arah dan mengapa proses satu arah tidak dapat dibalik. Hal ini merupakan fakta yang menjadi bagian terpenting dari setiap siklus sebab hal ini menentukan bagaimana suatu sistem dapat berjalan dengan baik. Kunci untuk mengerti mengapa proses satu siklus tidak dapat balik meliputi suatu kuantitas yang disebut entropi. Entropi adalah salah satu besaran termodinamika yang terukur dan berkaitan dengan temperatur, tekanan, maupun energi makro. Kita juga dapat mengukur entropi pada besaran mikroskopis dengan meninjaunya melalui termodinamika statistik. Berikut akan diuraikan tentang entropi dan temperatur serta besaran-besaran yang terkait ditinjau dari sistem mikroskopis.



A. Distribusi Energi Kita tinjau dua sistem



A



dan



A'



masing—masing dispesifikasi oleh



E , E+δE , jumlah keadaan Ω(E)



energi



A , E , δE



A ' , E ' , δE '



Ω(E)



Ω ' (E)'



Gambar 1. Dua sistem terpisah Sekarang, kedua sistem mengalami kontak termal yakni dapat mengalami transfer energi sedangkan parameter luar tidak berubah. Misalkan sistem gabungan ditulis



A°



dan setelah selang waktu tertentu sistem gabungan ini mencapai



keadaan



A



A'



A° Gambar 2. Dua sistem kontak termal



Setimbang dengan energi total



E°



2



E °=E+ E



'



....................................



(1) Keadaan sistem gabungan



A ° dapat dinyatakan sebagai fungsi dari salah



E' .



Jumlah keadaan dengna energi total dan sistem A



satu energi sistem, berenergi



E atau



E diberikan oleh : ...........................



Ω ° ( E )=Ω(E)Ω' (E) .. (2)



Karena kedua sistem dapat mengalami kontak termal maka memungkinkan terjadinya transfer energi yakni sistem δE



A'



dan sebaliknya untk sistem



jumlah keadaan



A



mengeluarkan atau kemasukan energi dengan energi total



E°



tetap. Maka



A ° dengan energi total dan sistem A berenergi diberikan oleh



............................



Ω ° ( E−δE )=Ω ( E−δE ) Ω' ( E−δE ) (3)



Dengan demikian jumlah keadaan sistem gabungan berenergi merupakan jumlah dari seluruh jumlah keadaan untuk setiap E dari sistem A yang mungkin, dengan persamaan sebagai berikut



Ω ° ( E ° )=∑ Ω° (E)|E °= E+ E



'



E



¿ ∑ Ω( E) Ω' ( E °−E) E



.........................



(4)



Contohnya yaitu sebagai berikut: Dua sistem A dan A’ mempunyai jumlah keadaan sesuai dengan masingmasing energinya seperti diagram berikut



3



Gambar 3. Distribusi energi sistem A dan A’



Bila kedua sistem mengalami kontak termal dan energi total



E °=15ε



maka



kombinasi yang mungkin diperlihatkan oleh tabel berikut: Tabel 1. Kombinasi Energi Sistem E



E'



Ω(E)



Ω ' ( E)



Ω ° (E)



4



11



2



40



80



5



10



5



26



130



6



9



10



16



160



7



8



17



8



136



8



7



25



5



125



Diagram energi sistem gabungan:



4



Gambar 4. Distribusi energi sistem



A°



Dari tabel 1. diperoleh Ω ° ( E °=15 )= ∑ Ω°( E) E →4



¿ Ω ° ( 4 ) +Ω ° (5 )+ Ω° ( 6 ) + Ω° ( 7 ) +Ω ° ( 8 ) ¿ 80+130+160+136+ 125 ¿ 631



B. SUHU DAN ENTROPI 1. Konsep Entropi Hukum pertama Termodinamika dinyatakan dalam persamaan dQ=dU + PdV



...................... (5) Dimana dQ adalah perubahan panas yang diberikan (saat dQ > 0) atau diserap



(saat dQ < 0) , dU adalah energi internal sistem (dU > 0 untuk kasus dimana sistem memberikan panas dan dU < 0 pada kasus dimana panas diserap), dan PdV adalah kerja yang berhubungan dengan panas yang diberikan ataupun diterima sistem dan akan berhubungan langsung dengan perubahan volume sebesar dV (dV > 0 pada proses ekspansi dan dV < 0 saat proses kompresi) pada tekanan tetap. Pada intinya, Hukum Pertama Termodinamika mendeskripsikan konservasi energi dalam fisika. Pada sistem mikroskopik, untuk sistem dengan sejumlah N partikel dan volume V tanpa adanya interaksi atom antar partikel di dalam sistem dan volume serta lingkungannya dijaga tetap (dN = 0 dan dV = 0), maka pada keadaan ini persamaan (1) dapat dituliskan menjadi dQ=dU



, sehingga persamaan Lagrange



d ln W +α dN + β dE=0 menjadi d ln W −



dQ kT



.......................... (6) ......



5



Dalam persamaan tersebut digunakan konversi simbol E = U yang menggambarkan bahwa energi dalam U dinyatakan sebagai total energi kinetik sistem. Entropi merupakan sifat keadaan suatu sistem yang menyatakan tingkat ketidakteraturan, berkaitan dengan jumlah keadaan mikro yang tersedia bagi molekul sistem tersebut. entropi juga dapat didefinisikan sebagai kecenderungan sistem untuk berproses ke arah tertentu. Hukum II Termodinamika menyatakan bahwa total entropi sistem dan lingkungannya selalu bertambah untuk proses spontan. Entropi meningkat seiring dengan kebebasan dari molekul untuk bergerak. Besar entropi untuk setiap perubahan wujud zat akan berbeda . S(g) > S(l) > S(s)



Gambar 5: Besar Entropi pada Padat, Cair, dan Gas



Entropi adalah ukuran pola distribusi energi total sistem dikalangan atomatom penyusunnya. Makin luas distribusinya, maka semakin tersebar dan kurang teratur strukturnya, sehingga tingkat ketersediaan energi untuk melakukan usaha semakin rendah. Jadi entropi dapat juga dikaitkan dengan tingkat keteraturan sistem dan ketersediaan energi (energi bebas) untuk melakukan usaha. Dengan energi dalam U, total energi sistem E, entropi S adalah juga merupakan fungsi statistik, dan perubahan yang sangat kecil dari entropi dS yang diberikan sistem dituliskan dalam persamaan



dS=



dQ T



f



atau



∆ S=S f −S i=∫ i



dQ T



.................. ..



(7)



6



Untuk sistem tertutup dengan proses yang spontan dan tidak dapat kembali, entropi suatu sistem meningkat pada nilai yang maksimum, dihubungkan dengan kondisi kritis dimana situasi yang tidak beraturan mungkin terjadi. Entropi di dalam sistem didefinisikan sebagai ∆ S ≥ 0 Fakta tersebut merupakan satu bentuk Hukum II Termodinamika, dimana tanda lebih besar diaplikasikan untuk proses irreversibel dan tanda sama dengan untuk proses rversibel. Persamaan tersebut berlaku untuk sistem tertutup. Di dunia nyata hampir semua proses sampai pada batas-batas tertentu bersifat irreversibel karena gesekan, tumbukan, dan faktor lain, sehingga entropi sistem tertutup sebenarnya mengalami proses yang semakin meningkat. Proses dimana entropi sistem konstan selalu merupakan idealisasi. Berdasarkan persamaan (6), persamaan (7) dapat dituliskan menjadi 1 .......................... d ln W − dS=0 k ...... Dan kita dapatkan nilai entropi S=k lnW



......................... .......



(8)



(9)



Persamaan tersebut didapatkan dari tinjauan mikroskopik. Dengan mengabaikan kemungkinan kecil dua molekul menempati tempat yang sama, masing- masing molekul dapat menempati



Vi Vm



tempat dan banyaknya cara



sejumlah N molekul untuk menempati suatu tempat pada volume tertentu menjadi W i=wi N =



Vi Vm



N



( )



. Ketika volume meningkat menjadi



sejumlah N molekul untuk menempati ruang menjadi



V f , banyaknya cara Vf Vm



( )



W f =w f N =



N



.



Perbandingan cara menempati ruang suatu molekul pada volume tertentu pada konfigurasi awal sampai akhir adalah Vf Vm



N



( ) ( ) ( )



Wf = Wi Vi Vm



V = f N Vi



N



7



Apabila dihubungkan dengan persamaan logaritma dan dikalikan dengan konstanta Boltzman, akan didapatkan k B ln



Wf Vf =n N A k B ln Wi Vi



( )



( )



N=n N A



Diketahui bahwa



NAkB



dan



adalah konstanta gas umum R, maka



persamaan tersebut dapat ditulis sebagai k B lnW f −k B lnW i=nR ln



Vf Vi



( )



Berdasarkan persamaan ∆ S=nR ln S f −S i=nR ln



Vf Vi



, perubahan entropi dapat ditentukan



Vf Vi



( )



Terlihat bahwa kedua ruas kanan antara persamaan diatas adalah sama, sehingga menunjukkan bahwa persamaan



S=k lnW memberikan hubungan yang penting.



Persamaan di atas dikenal sebagai Boltzman Relation , yang menjembatani konfigurasi W sebagai besaran mikroskopik dan entropi S sebagai besaran makroskopik.



2. Entropi keadaan



dan



Temperatur



dikaitkan



dengan



Jumlah



Dari contoh sistem A dan A’ yang saling berinteraksi, probabilitas keadaan sistem gabungan berenergi total



P ( E )=



0 Ω ( E) 0



0



Ω (E )



=



E



0



dengan sistem berenergi



1 0 ` E0−E) Ω ( E ) Ω` ( E −E )=C Ω( E) Ω( 0 Ω (E ) 0



Dengan C adalah konstanta sebesar



E diberikan oleh



(10 )



1 . Ω ( E0)



Terlihat P(E) bergantung pada



0



Ω ( E)



dan



` 0−E) . Pola distribusi Ω(E



dua sistem tunggal ini akan memberikan pola distribusi baru yakni distribusi yang



8



menonjol di sekitar nilai energi tertentu ditunjukkan pada grafik berikut, dengan



~ E



bagi sistem gabungan sebagaimana



ΔE≪ E .



Gambar 6: Distribusi energi sistem gabungan



Secara intuitif dapat kita simpulkan bahwa untuk sistem dengan distribusi (mendekati) kontinyu dan jumlah keadaan meningkat secara eksponensial maka ΔE



distribusi energi sistem gabungan akan makin sempit,



makin kecil. Untuk



sistem yang makin besar dengan tingkat energi yang makin besar pula maka



ΔE



mendekati nol. Artinya fungsi distribusi energi sistem gabungan akan mendekati fungsi delta Dirac.



Gambar 7: Distribusi energi sistem besar



Karena



Ω



meningkat secara eksponensial, maka untuk mendapatkan variasi yang



lebih lambat dan konvergensi yang lebih cepat diambil logaritma pada kuantitas tersebut. Logaritma dari probabilitas P(E) memberikan : ` E −E))=ln C+ ln Ω( E)+ ln Ω( ` E −E) ln P ( E )=ln(C Ω( E) Ω( 0



Probabilitas maksimum terjadi jika ∂P =0 ∂E atau ∂ ln P =0 ∂E



0



(11 )



.......................... (12 ...... ) .......................... (13 ...... )



9



Persamaan (12) dan (13) memberikan ∂ ln P =0 ∂E ∂ ` 0−E) }=0 { lnC+ ln Ω(E)+ln Ω(E ∂E ` E) ` ∂ ln Ω(E) ∂ ln Ω( + =0 ∂E ∂E ` E) ` ∂ ln Ω(E) ∂ ln Ω( + =0 ∂E (−∂ E) ` E) ` ∂ ln Ω(E) ∂ ln Ω( − =0 ∂E ∂ E` 1 ∂ Ω(E) 1 ∂ Ω` ( E` ) − =0 Ω( E) ∂ E Ω ( E` ) ∂ E` 1 ∂ Ω(E) 1 ∂ Ω` ( E` ) = Ω( E) ∂ E Ω ( E` ) ∂ E` Selanjutnya didefinisikan kuantitas bergantung energi β ( E )=



∂ ln Ω( E) 1 ∂ Ω(E) = ∂E Ω(E) ∂ E



................................ (14) β=β ( E ) ................................ (15)



Maka probabilitas maksimum akan tercapai jika ` β ( E)=β ( E) ...........



....................... (16 )



Sesuai dengan hukum I Termodinamika bila sistem yang berbeda temperatur mengalami kontak termal maka kedua temperatur sistem menjadi sama saat mencapai keadaan setimbang. Sehingga dapat didefinisikan parameter temperatur T terkait fungsi



β (E) menurut



(17)



................................ 1 1 atau =kT kT β ( E) dengan k adalah tetapan Boltzman. Karena probabilitas maksimum terjadi jika β ( E)=



` β ( E)=β ( E) Jelas bahwa kT =k T`



................................ (18) dan saat maksimum tercapai dipenuhi



T =T`



................................ (19)



Selanjtunya didefinisikan kuantitas S menurut ................................ (20) 10



1 ∂S = T ∂E Persamaan (15) dan (20) memberi hubungan antara S dan jumlah keadaan S=k ln W ................................ (21) dQ , S dapat diidentifikasi sebagai entropi. Dengan T demikian syarat bagi probabilitas maksimum P(E) adalah



Dikaitkan dengan



dS=



´ S + S=maksimum



................................ (22)



Entropi sistem gabungan maksimum. Persamaan (21) memberi penafsiran fisis bahwa entropi sebanding dengan jumlah keadaan. Dengan demikian keadaan setimbang yang mempunyai entropi maksimum berarti memiliki keadaan dengan tingkat keacakan paling tinggi.



3. Perubahan Entropi Uraian didepan memberi hasil bahwa dalam keadaan setimbang entropi menjadi maksimum. Hal ini berarti perubahan entropi terhadap waktu selama menuju proses setimbang selalu positif. Berikut ini diberikan bukti formal perubahan ini. Misalkan kita mempunyai dua sistem masing-masing dengan temperatur, energi, dan entropi S2



T1 ,



E1 ,



S1



untuk sistem pertama dan



untuk sistem kedua. Lebih lanjut, misalkan juga



T1 >



T2



mengalamai kontak termal sehingga mengalami perpindahan energi δE



T2 ,



E2 ,



dan sistem dari sistem



pertama ke sistem kedua. T1 , E1 ,



T2 , E2 , δE



Gambar 8. Perpindahan Energi



Entropi total ketika kedua sistem belum digabung yaitu S=S1 + S2



11



Begitu kedua sistem digabung segera terjadi perpindahan energi sampai terjadi kesetimbangan. Perubahan entropi sistem gabungan menggunakan persamaan (19) δS=



∂ S1 ∂S δ E1+ 2 δ E2 ∂ E1 ∂ E2



¿



∂ S1 ∂S (−δE ) + 2 δE ∂ E1 ∂ E2 ¿



( −1T + T1 ) δE 1



.......................... (23)



2



Jadi didapatkan dari persamaan diatas δS



>0



Kita telah menggunakan δ E1 =−δ E2=−δE . Karena T 1 >T 2 maka δS



selalu



positif, seperti yang diduga sebelumnya. 4. Perubahan Energi dan Temperatur Kita masih meninjau dua sistem di depan. Variasi entropi masing-masing sistem sampai orde dua 2



δ E1 ¿ +… 2 ∂ S1 1 ∂ S1 δ S1= δ E 1+ ¿ ∂ E1 2 ∂ E1 2



δ E2 ¿ +… 2 ∂S 1 ∂ S2 δ S2= 2 δ E2 + ¿ ∂ E2 2 ∂ E2 Perubahan entropi total δS



dalam keadaan setimbang yang mana T 1 =T 2



δS=δS 1+ δ S 2 δ E2 ¿2 2 1 ∂ S2 δ E1 ¿2 + ¿ 2 ∂ E22 2 ∂S ∂S 1 ∂ S1 ¿ 1 δ E 1 + 2 δ E2 + ¿ ∂ E1 ∂ E2 2 ∂ E21



................................ (24)



12



2



δE ¿ ¿



(



2 2 −1 1 1 ∂ S1 ∂ S2 + δE + + ¿ T 1 T2 2 ∂ E 21 ∂ E22



(



)



)



2



δE ¿ 2 2 1 ∂ S 1 ∂ S2 ¿ + ¿ 2 ∂ E21 ∂ E22



(



)



Didapatkan dari persaman (20) 2



∂ S1 ∂ ∂ S1 = 2 ∂ E1 ∂ E 1 ∂ E1



( ) ¿



¿



∂ 1 ∂ E1 T 1



( )



∂ S1 ∂ 1 ∂ E1 ∂ T 1 T 1



¿−



( )



1 ∂T 1 T 21 ∂ E1



( )



................................ (25)



Sehingga δE ¿2 −1 1 ∂ T 1 1 ∂ T 2 δS= + ¿ 2 T 21 ∂ E 1 T 22 ∂ E2



(



)



δE ¿2 ¿ ¿ ¿−¿



................................ (26)



Karena dalam keadaan setimbang S



maksimum maka δS



harus negatif dan



selalu dipenuhi jika ∂ T1 ∂ T2 >0, >0 ∂ E1 ∂ E2



13



Artinya, bila energi naik maka temperatur naik sebaliknya bila energi turun maka temperatur turun. E ∂E >0 T



T Gambar 9. Kurva energi terhadap temperatur suatu sistem



C. Paradoks Gibbs 1. Entropi gas klasik Dengan menggunakan perumusan entropi S dari energi bebas Helmholtz F ∂F ¿ ∂T v S=−¿



................................ (27)



Kaitan antara energi bebas Helmholtz F dengan fungsi partisi Z F=−NkT ln Z



................................ (28)



dan bentuk eksplisit fungsi partisi Boltzmann 2 πmkT ¿ ¿ V¿ Z =¿



3 2



................................ (29)



dapat diperoleh bentuk eksplisit dari entropi yang bergantung dari jumlah partikel N, volume gas V , dan temperatur gas T , yaitu



14



3 2



................................ (30)



2 πmkT ¿ ¿ 3 V ¿+ Nk 2 ¿ S=N k ln¿



Di sini m adalah massa satu partikel gas, k adalah konstanta Boltzmann, dan h adalah konstanta Planck. Persamaan (30) diperoleh dari penurunan berikut: ∂F ¿ ∂T v S=−¿ Z NkT ln ¿ ¿ ∂¿v ¿ ∂ NkT ln Z S=− v=¿ dT



[



]



S=Nk ln Z + 2 πmkT ¿ ¿



NkT ∂ Z v Z ∂T



( )



3 2



3



2 πmkT ¿ 2 /h3 ¿ 3 2



2 πmkT ¿ ¿ V¿ ¿ ¿ ∂ ¿ ∂T V¿ NkT V ¿+ ¿ ¿ ¿ S=Nk ln ¿



15



2 πmkT ¿ ¿



3 2 3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 3 2



2 πmkT ¿ ¿ V¿ V¿ NkT V ¿+ ¿ ¿ S=Nk ln ¿ 3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 1 NkT 3 2 V ¿+ 3 T 2 T2 ¿ S=Nk ln ¿



3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 3 V ¿+ Nk 2 ¿ S=Nk ln ¿



2. Pencampuran Dua Gas Berbeda Jenis Sebuah sistem terdiri dari dua ruangan yang masing-masing terisi oleh satu jenis gas. Gas 1 yang memiliki jumlah partikel N1, dengan massa tiap partikel m1 , menempati ruangan bervolume V , bertemperatur T , dan bertekanan p. Sedangkan gas 2 yang menempati ruangan bervolume, bertemperatur, dan bertekanan sama dengan gas 1, akan tetapi memiliki jumlah partikel N1 dan massa tiap partikelnya adalah m. Terdapat sekat yang memisahkan ruangan kedua jenis gas tersebut. 3. Entropi Total Total Sistem Sebelum Kedua Jenis Gas Bercampur Dengan menggunakan Persamaan (30) dapat dihitung entropi masing-masing gas, yaitu S 1 dan S 2 dan entropi total sistem



S



16



3 2



2 πmkT ¿ ¿ 3 V ¿+ Nk 2 ¿ S=Nk ln ¿ 3



2 π m1 kT ¿ 2 ¿ 3 V ¿+ N 1 k 2 ¿ → S1 =N 1 k ln ¿ 3



2 π m2 kT ¿ 2 ¿ 3 V ¿+ N 2 k 2 ¿ → S1 =N 2 k ln ¿ → S=S 1 +S 2



4. Entropi Total Sistem Setelah Kedua Jenis Gas Bercampur Setelah sekat pemisah ruangan kedua jenis gas dihilangkan maka kedua jenis gas akan bercampur. Mengingat teanan dan temperatur awal kedua gas adalah sama, maka partikel-partikel kedua gas akan memiliki temperatur dan tekanan campuran yang sama pua. Hanya saja setelah dicampur, masing-masing partikel kedua gas akan melihat volume ruangan menjadi dua kali volume semula. Dengan demikian 3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 3 V ' ¿+ Nk 2 ¿ S '=Nk ln ¿ 3



2 π m1 kT ¿ 2 ¿ 3 V ¿+ N 1 k 2 ¿ → S ' 1=N 1 k ln ¿



17



3 2



2 π m2 kT ¿ ¿ 3 V ¿+ N 2 k 2 ¿ → S ' 1=N 2 k ln ¿ → S '=S ' 1 +S ' 2



Perubahan entropi sistem ∆ S Perubahan entropi sistem ∆ S=S ' −S sehingga ∆ S=S ' −S=( S ' 1+ S' 2 ) −( S 1 +S 2 )=( S ' 1+ S' 1 ) + ( S' 2 +S ' 2) =∆ S 1+ ∆ S 2 3



2 π m1 kT ¿ 2 ¿ 3 2V ¿+ N 1 k 2 ¿ ¿ 3



2 π m1 kT ¿ 2 ¿ 3 V ¿+ N 1 k 2 ¿ N 1 k ln ¿ N 1 k ln ¿ → ∆ S 1=¿ → ∆ S 1=N 1 k ln 2 → ∆ S 2=N 2 k ln 2 → ∆ S=( N 1 + N 2 ) k ln 2



5. Pencampuran Gas Sejenis Apabila gas yang dicampur memiliki jenis yang sama maka suatu fenomena yang disebut sebagai Paradoks Gibb muncul di sini. Sistem yang ditinjau sama dengan sistem sebelumnya, hanya saja dalam hal ini kedua gas berjenis sama. Dan karena dijaga agar tekanan p, temperatur T , dan volume V sama, maka dengan m1= m2 = m akan terpenuhi bahwa N1=N2=N. Dengan menggunakan persamaan (30) dapat dihitung entropi masing-masing gas, yaitu S1 dan S2 dan entropi total sistem S



18



3 2



2 πmkT ¿ ¿ 3 V ¿+ Nk 2 ¿ S=Nk ln ¿ 3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 3 V ¿+ Nk 2 ¿ → S1 =Nk ln ¿ 3 2



2 πmkT ¿ ¿ 3 V ¿+ Nk 2 ¿ → S 2=Nk ln ¿ → S=S 1 +S 2=2 S 1=2 S 2 Setelah sekat pemisah ruangan kedua jenis gas dihilangkan maka kedua gas akan bercampur. Mengingat tekanan dan temperatur awal kedua gas adalah sama, maka partikel-partikel kedua gas akan memiliki temperatur dan tekanan campuran yang sama pula. Hanya saja setelah tercampur, masingmasing partikel kedua gas akan melihat voume ruangan menjadi dua kali volume semula. Dengan demikian 3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 3 V ' ¿+ Nk 2 ¿ S '=Nk ln ¿ 3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 3 (2 V ) ¿+ Nk 2 ¿ → S'1 =Nk ln ¿



19



3 2



2 πmkT ¿ ¿ 3 (2 V ) ¿+ Nk 2 ¿ → S'1 =Nk ln ¿ → S '=S '1 +S '2=2 S '1=2 S '2



Perubahan entropi sistem ∆S ∆ S=∆ S 1 +∆ S2 2 πmkT ¿ ¿



3 2 3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 3 V ¿+ Nk 2 ¿ 3 2V ¿+ Nk−Nk ln ¿ 2 ¿ → ∆ S 1=Nk ln ¿ → ∆ S 1=Nk ln2 → ∆ S 2=Nk ln2 → ∆ S=2 Nk ln2 Di sini diperoleh bahwa ∆S = 2Nk ln 2 dan bukan ∆S = 0, padahal kedua gas adalah jenis gas yang sama. Ketidakcocokan ini disebut sebagai Paradoks Gibb. 6. Gas ideal semi-klasik Peluang suatu keadaan makro gas ideal klasik yang semula menggunakan ❑



statistik Maxwell-Boltzmann W MB=N ! ∏ j



Nj



gj N j!



dapat dikoreksi dengan menggunakan statistik kuantum, yang seharusnya tetap memperhatikan sifat statistik dari partikel gas – apakah bersifat sebagai boson atau fermin, sehingga menjadi menjadi peluang termodinamika suatu keadaan makro semiklasik.



20



❑



W SK =N ! ∏ j



Nj



gj Nj!



................................ (31)



Dengan menggunakan dua pengali tak tentu Lagrange a dan ß dapat diperoleh bahwa U W maks= −αN + N 1 kT dan dengan S = k ln Wmaks dapat dituliskan 3 2



2 πmkT ¿ ¿ 5 V ¿+ Nk 2 ¿ S=Nk ln ¿



................................ (32)



dengan menggunakan fungsi partisi Boltzmann yang sama



2 πmkT ¿ ¿ V¿ Z =¿



3 2



Saat sebelum dicampur, dengan menggunakan Persamaan (32) dapat diperoleh 3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 5 V ¿+ Nk 2 ¿ S=Nk ln ¿ 3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 5 V ¿+ Nk 2 ¿ → S1 =Nk ln ¿



21



3 2



2 πmkT ¿ ¿ 5 V ¿+ Nk 2 ¿ → S 2=Nk ln ¿ → S=S 1 +S 2=2 S 1=2 S 2



Sedangkan saat sebelum dicampur: Sehingga perubahan entroipinya menjadi 3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 5 V ¿+ N ' k 2 ¿ ' S =N ' k ln ¿



3



2 πmkT ¿ 2 ¿ 5 (2 V )¿+¿ (2 N ) k 2 ¿ ¿ → S' =S 1+ S 2=( 2 N ) k ln ¿ → S' =2 S2 +2 S 1 Dengan menggunakan statistik semi-klasik, telah ditunjukkan bahwa paradoks Gibb tidak lagi muncul saat dua gas berjenis sama dicampurkan. ∆ S=S ' −S ∆ S=2 S1 −2 S1=2 S2−2 S2=0



22



DAFTAR PUSTAKA Abdullah, Mikrajuddin.2007. Pengantar Fisika Statistik untuk Mahasiswa. ITB: Bandung Halliday, Resnick. 2010. Fisika Dasar Jilid 1. Penerbit Erlangga: Jakarta. Purwanto, Agus. 2007. Fisika Statistik. Gava Media: Yogyakarta Viridi, Sparisoma, dkk. 2010. Catatan Kuliah Fisika Statistik. ----. ----Zemansky, Mark W. 1986. Kalor dan Termodinamika. ITB: Bandung http://hikam.freevar.com/kuliah/termo/pdf_bab/thmd04.pdf (diakses pada 29 April 2016)



23