Makalah Filsafat Matematika [PDF]

Citation preview

FILSAFAT PENDIDIKAN MATEMATIKA



Oleh: Jewish Van Septriwanto (19709251077)



Makalah ini ditulis untuk memenuhi tugas mata kuliah Filsafat Pendidikan Matematika dengan Dosen Pengampu Prof. Dr. Marsigit, M.A



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2019



PERSOALAN-PERSOALAN POKOK DALAM PENGEMBANGAN ILMU MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA I.



Latar Belakang Persoalan adalah salah satu yang tidak dapat dihindari dari setiap aspek



kehidupan. Untuk itu, dalam dunia pendidikan begitu banyak aspek yang mendapatkan persoalan ataupun permasalahan. Namun permasalahan dapat ditinjau atau diselesaikan dengan berbagai cara. Salah satu bagian ilmu atau pendidikan yang tidak terlepas dari persoalan adalah matematika. Matematika adalah bidang ilmu yang mendapat julukan Queen of Knowledge. Hal ini dikarenakan matematika adalah mata pelajaran yang dikenal dapat berdiri sendiri. Matematika dengan ilmu pastinya memiliki keistimewaan dan kebermanfaatan yang dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Namun, hal ini tidak menjadi alasan bahwa matematika sebagai ilmu yang disukai oleh manusia dan bukanlah suatu keharusan untuk menyukai matematika. Tetapi tidak dipungkiri matematika memiliki peranan penting dalam kehidupan manusia. Matematika secara lebih jauh dikenal dengan matematika murni dan pendidikan



matematika.



Secara



general



kajian



dari



matematika



murni



membicarakan tentang keilmuan yang secara nyata ada dalam teori, aksioma, konsep atau prosedur dalam matematika. Pendidikan matematika mencakup teori dan penerapannya dalam pembelajaran matematika. Meskipun masih dalam satu kajian yang sama, namun secara ruang dan waktunya, matematika dan pendidikan matematika tidak bisa dikatakan sama.



1



Dalam kajian filsafatnya terdapat perbedaan antara filsafat matematika dan filsafat pendidikan matematika. Tujuan dari filsafat matematika adalah untuk membahas tentang sifat dan metodologi matematika dalam memamami posisi matematika dan peranannya dalam kehidupan manusia. Beberapa para ahli dan filsuf menyatakan bahwa filsafat matematika adalah bagian atau kepingan matematika dapat disusun dan digabungkan menjadi asas dan filsafat matematika adalah penyusunan kumpulan pengetahuan matematika yang kacau balau dan selama berabad-abad yang lalu tersimpan dan memberikan makna tertentu. Selain itu, filsafat matematika menelaah konsep-konsep pembenaran terhadap asas-asas yang digunakan dalam matematika.    Penelaahan lainnya adalah tentang konsep-konsep dan sistem-sistem yang terdapat dalam matematika, dan mengenai pembenaran terhadap pernyataan matematika. Pada kenyataannya, filsafat matematika merupakan bidang pengetahuan yang sangat luas. Perincian ini mencakup problem-problem dan ruang lingkup filsafat ilmu dalam penerapannya terhadap filsafat matematika dapat dan perlu diterbitkan sehingga tercipta skema yang lebih sistematis dan memungkinkan pembahasan selanjutnya yang lebih jelas. Penjabaran filsafat matematika akan memberikan cakupan yang jelas tentang perbedaannya dengan filsafat pendidikan matematika. Konteks dari pendidikan matematika yang paling umum adalah pendidikan matematika mempelajari tentang belajar dan pembelajaran matematika yang diajarkan di sekolah dari berbagai jenjang yaitu SD-SMP-SMA, peruguruan tinggi bukanlah sasaran pendidikan matematika karena konteks pelajarannya ialah ilmu



2



murni. Sehingga matematika menjadi salah satu pembelajaran yang menyulitkan siswa jika matematika murni juga didalami dalam pembelajaran. Filsafat pendidikan matematika memiliki tujuan yang tidak kalah mulia dalam pendidikan. Tujuan dari filsafat pendidikan adalah matematika hendaknya mencakup keadilan sosial melalui pengembangan demokrasi pemikiran kritis dalam matematika. Filsafat pendidikan matematika mengkaji bagaimana interaksi teori atau konsep matematika berinteraksi dan berkaitan satu dan yang lain dalam pembelajaran siswa. Kedua konsep ini akan memberikan



gambaran bahwa matematika



merupakan ilmu yang mamiliki kaitan erat dengan masyarakat, sehingga hal ini membuktikan bahwa



matematika dan pendidikan matematika memiliki



permasalahan yang coba dicari solusinya.Permasalahan-permasalahan yang ada dalam matematika dan pendidikan matematika akan coba dijabarkan melalui tulisan ini yang merujuk pada beberapa sumber kajian literatur. II.



Rumusan Masalah 1. Apakah yang menjadi persoalan matematika? 2. Apakah yang menjadi persoalan pendidikan matematika?



III.



Alur Pembahasan Dalam menulis kajian literatur ini, diperlukan adanya alur pembahasan yang



berisi mengenai beberapa hal yang akan dikaji dalam tulisan ini. Hal ini dapat dilihat dari alur pembahasan yang penulis digambarkan dalam alur pembahasan berikut ini:



3



Latar Belakang, Rumusan Masalah



Persoalan Matematika dan Pendidikan Matematika



A. Sejarah Matematika: Sebelum 1000 SM 1 Milenium SM 1 Milenium Mase



B.Persoalan – Persoalan Pokok Matematika: Konjektur Goldbach Bilangan sempurna semu Masalah milenium



C.Persoalan – Persoalan Pokok Pendidikan Matematika: Hakikat Pendidikan Matematika Metode pembelajaran tradisional dan inovatif Prestasi Belajar Ketersediaan Buku Perubahan Kurikulum



Gambar 1. Alur Pembahasan Sumber: Alur Pikir Penulis



IV.



PEMBAHASAN (Kajian Literatur)



A.



Sejarah Matematika Untuk mengetahui bagaimana perkembangan matematika, maka hal tersebut



berhubungan erat dengan sejarah matematika. Sejarah memberi urutan mengenai kejadian atau teori-teori yang ada dalam dunia matematika. Sejarah memberikan



4



cakrawala pengetahuan tentang matematika secara lebih mendalam. Sejarah menunjukkan bagaimana manusia mempelajari matematika. Pemahaman akan sejarah matematika akan memberi pandangan baru dan dapat dijadikan salah satu objek yang menarik dalam penelitian matematika. Berdasarakan ringakasan dari penjelasan yang terdapat pada (Ambar, 2011) Perkembangan matematika telah didokumentasikan selama 70.000 tahun. Pada awalnya matematika mencoba untuk menggunakan dan memahami waktu dan hal ini dimulai pada sekitar 3500 tahun yang lalu di Mesir. Selain itu matematika juga digunakan untuk memahami masalah praktis yang berhubungan dengan aktivitas ekonomi dengan perhitungan mengenai uang. Selanjutnya berkembang di sepanjang sungai Mesopotomia dan diteruskan serta diperluas di negara Arab lalu ke belahan Eropa. Matematika menjadi salah satu faktor penting dalam peradaban yang terjadi di dunia. Inovasi-inovasi dalam bidang matematika memiliki sumbangsih yang cukup besar dan nyata pada zaman sekarang. Adapun perkembangan matematika dibagi dalam beberapa tahap, yaitu: 1) Sebelum 1000 SM Beberapa teori yang cukup berkembang dalam dunia matematika pada masa ini adalah mengenai Geometri yang secara harafiah memiliki arti pengukuran tentang bumi. Geomeri adalah cabang matematika yang membahas hubungan didalam ruang. Secara intuitif, manusia mengenali ruang dan karakteristiknya dan kemudian dikenal sebagai aksioma dalam geometri. Sedangan Geometri euclidean adalah geometri klasik yang memiliki lima postulat. Kemudian berkembang pula



5



Geometri Non-Euclidean dan bilangan prima, perkalian Mesir dan sistem angka dan beberapa teori lainnya yang dapat dilihat pada timeline berikut.



Gambar 2. Timeline Matematika Sebelum 1000 M Sumber: (Ambar, 2011)



2)



1 Milenium SM Beberapa teori atau konsep yang berkembang pada zaman ini adalah: Fraksi



yaitu mengenai konsep angka yang dinyatakan sebagai rasio dan digunakan untuk menyatakan perbandingan antara bagian dan keseluruhan. Kedua ialah persamaan kuadrat yang merupakan suatu persamaan polinomial yang memiliki orde dua. Kemudian ialah Bilangan irasional yang merupakan bilangan yang hasil baginya tidak pernah berhenti. Hiperbola juga muncul pada masa ini sejalan dengan perkembangan matematika. Hiperbola didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang perbedaannya dalam jarak kedua titikyang tetap (yang disebut fokus) adalah konstan. Adapun timeline yang dapat dilihat dari perkembangan matematika pada masa ini adalah:



6



Gambar 3. Timeline 1 Milenium SM Sumber: (Ambar, 2011)



3)



1 Milenium Masehi Berikut adalah beberapa teori yang berkembang pada masa 1 Milenium



Masehi dalam sejarah matematika. Aljabar yang merupakan cabang dari matematika yang memiliki ciri sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Kemudian terdapat teorema Segi enam Pappus yaitu teori segi enam Pappus, teorema Pappus centroid. Teorema Pappus Centroid merupakan teorema yang terkenal dengan teorema Guldinus, Guldinus teorema Pappus atau Pappus teorema. Teorema ini merupakan salah satu dari dua terkait teorema berurusan dengan luas permukaan dan volume dari permukaan dan padatan revolusi. Setelah itu terdapat Fungsi Kubik yang merupakan suatu fungsi dalam bentuk polinomial tingkat tiga. Sistem angka Hindu Arab juga suatu posisi desimal yang dikembangkan oleh matematikawan India yang diadopsi dari Persia. Perhitungan



7



ini kemudian menyebar ke dunia Barat pada abad pertengahan. Perkembangan beberapa teorema pada masa ini dapat dilihat dari gambar berikut:



Gambar 4. Timeline 1 Milenium Masehi Sumber: (Ambar, 2011)



Pada awal abad kedua puluh kita melihat kemajuan besar dalam matematika dan juga dalam logika matematika dan dasar matematika dan sebagian besar isuisu fundamental dalam filsafat matematika dapat diakses oleh siapa saja yang akrab dengan geometri dan aritmatika dan yang telah memiliki pengalaman mengikuti matematika bukti (Marsigit, 2012). Menurut Prof. Marsigit (Marsigit, 2012) Beberapa perkembangan filosofis paling penting dari abad kedua puluh itu dipicu oleh perkembangan yang mendalam yang terjadi dalam matematika dan logika, dan apresiasi yang tepat dari masalah ini hanya tersedia bagi seseorang yang memiliki pemahaman tentang teori himpunan dasar dan menengah logika. Untuk membahas falsafah matematika pada tingkat lanjutan yang benar-benar harus memeriksa gagasan



8



yang mencakup bukti dari teorema ketidaklengkapan Gödel 's serta membaca tentang berbagai topik dalam filsafat matematika. B.



Persoalan-Persoalan Pokok Matematika Perbedaan matematika murni dan pendidikan matematika murni terletak



pada kajian ilmunya. Matematika murni mengkaji tentang ilmu matematika secara mendalam, beberapa persoalan matematika yang penulis kutip dari berbagai sumber adalah sebagai berikut: 1)



Konjektur Goldbach Konjektur Goldbach (dalam Adjie, 2013) yang dicetuskan oleh ahli



matematika Christian Goldbach. Goldbach menyatakan bahwa: “Setiap bilangan genap lebih dari 2 selalu merupakan hasil pemjumlahan dari 2 bilangan prima“. Walaupun pernyataan ini sederhana, tetapi belum ada seorang pun yang dapat memecahkan pendapat ini. Sehingga sampai sekarang pernyataan ini masih dianggap benar. 2)



Bilangan sempurna semu (QuasiPerfect numbers) Bilangan sempurna semu (QuasiPerfect numbers) adalah bilangan bulat



positif yang merupakan hasil dari penjumlahan faktor-faktornya kecuali bilangan itu sendiri dan 1. Jadi, bilangan sempurna semu mirip dengan bilangan sempurna, bedanya pada bilangan sempurna semu kita menghilangkan 1 dari penjumlahan faktor-faktornya. Sampai sekarang tidak diketahui apakah bilangan sempurna semu itu ada atau tidak. Para Matematikawan percaya, jika bilangan sempurna semu itu ada haruslah lebih besar dari 1035 dan mempunyai 7 faktor prima berbeda.



9



3) Masalah Millenium Masalah millenium berdasarkan Clay Mathematics institute (CMI, 2019) adalah tujuh masalah dalam matematika yang dinyatakan oleh Clay Mathematics Institute pada tahun 2000. Pada Juli 2012, enam dari masalah tetap belum terpecahkan. Sebuah solusi yang benar untuk salah satu hasil masalah dengan hadiah US $ 1.000.000 (kadang-kadang disebut Hadiah Millenium) yang diberikan oleh lembaga ini. Konjektur Poincaré, Masalah Millenium hanya untuk dipecahkan sejauh ini, telah dipecahkan oleh Grigori Perelman, namun ia menolak penghargaan pada tahun 2010. Tujuh Masalah Millenium adalah : a) Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer b) Keberadaan dan Kelancaran Navier-Stokes c) Masalah P versus NP d) Hipotesis Riemann e) Konjektur Hodge f) Yang-Mills dan Selisih Massa g) Konjektur Poincaré (terpecahkan)



Berdasarkan



persoalan-persoalan



yang



dijabarkan



diatas,



persoalan



matematika yang ada adalah mengenai kebenaran suatu teori matematika yang membutuhkan bukti-bukti secara empiris. Sifat absolut matematika bukanlah suatu bukti bahwa matematika sebagai bidang ilmu pasti tidak membebaskan matematika dari permasalahan mengenai kebenaran teori yang ada.



10



C.



Persoalan-Persoalan Pendidikan Matematika



1.



Hakikat Pendidikan Di Indonesia Untuk mengetahui Hakikat pendidikan berarti mengetahui lebih dalam



mengenai definisi pendidikan itu sendiri. Salah satu ranah penting dalam pendidikan ialah pedagogik. Kahian dari hakikat pendidikan sendiri dapat dikategorikan dalam dua kategori yaitu pendekatan epistomologis dan pendekatan ontology(metafisik) Pendekatan Epistemologis diturunkan dari Pendapat seorang Filsuf bernama René Descartes (1596-1650) yang dipandang sebagai pelopor filosofi modern. Salah satu pernyataannya yang terkenal adalah :’Cogito ergo sum”.  Dalam satu bagian dari bukunya Meditationes de Prima Philosophia (1641), Descrates menyatakan : Throughout my writings I have made it clear that my method imitates that of the architect. When an architect wants to build a house which is stable on ground where there is a sandy topsoil over underlying rock, or clay, or some other firm base, he begins by digging out a set of trenches from which he removes the sand, and anything resting on or mixed in with the sand, so that he can lay his foundations on firm soil. In the same way, I began by taking everything that was doubtful and throwing it out, like sand … (Replies 7, AT 7:537).  Diambil dari http://plato.stanford.edu/entries/descartes-epistemology/ Dari uraian tersebut dapat dilihat dasar pemikiran Descrates untuk menghilangkan keraguan untuk mendapatkan kebenaran. Didalam pendekatan epistemologis yang menjadi masalah ialah akar/kerangka ilmu pendidikan sebagai ilmu. Pendekatan tersebut berusaha mencari makna pendidikan sebagai ilmu yaitu



11



mempunyai objek yang akan merupakan dasar analisis yang akan membangun ilmu pengetahuan yang disebut ilmu pendidikan. Didalam usaha tersebut dikaji mengenai peranan pendidikan dan kemungkinan-kemungkinan pendidikan. Dari sudut pandang ini : a)



Pendidikan dilihat sebagai suatu proses yang inheren dalam konsep manusia artinya manusia hanya dapat dimanusiakan melalui proses pendidikan.



b)



Proses pendidikan berkenaan  objek dari proses tersebut ialah peserta-didik. Tingkah laku proses pendewasaan peserta-didik merupakan objek dari ilmu pendidikan.



c)



Selanjutnya ada pula yang melihat hakekat pendidikan di dalam adanya pola struktur hubungan antara subyek dan obyek yaitu antara pendidik dan peserta didik. Kelemahan pendekatan epistemologis mengenai hakekat pendidikan terletak



pada lahirnya atau perkembangan ilmu pengetahuan itu sendiri. Pendekatan Ontologi/metafisik menekankan pada hakekat keberadaan pendidikan itu sendiri. Keberadaan pendidikan tidak terlepas dari keberadaan manusia. Dalam pendekatan ini keberadaan peserta didik dan pendidik terlepas dari makna keberadaan manusia itu sendiri. Pendekatan ini didasari pada tulisan seorang filsuf ahli Metafisik Aristoteles dalam bukunya Metaphysics. "Since we are seeking this knowledge, we must inquire of what kind are the causes and the principles, the knowledge of which is Wisdom. If one were to take the notions we have about the wise man, this might perhaps make the answer more evident. We suppose first, then, that the wise man knows all things, as far as possible, although he has not knowledge of each of them in detail; secondly, that



12



he who can learn things that are difficult, and not easy for man to know, is wise (sense-perception is common to all, and therefore easy and no mark of Wisdom); again, that he who is more exact and more capable of teaching the causes is wiser, in every branch of knowledge; and that of the sciences, also, that which is desirable on its own account and for the sake of knowing it is more of the nature of Wisdom than that which is desirable on account of its results, and the superior science is more of the nature of Wisdom than the ancillary; for the wise man must not be ordered but must order, and he must not obey another, but the less wise must obey him. ( darihttp://classics.mit.edu//Aristotle/metaphysics.html ) Kedua jenis pendekatan mengenai hakekat pendidikan  baik pendekatan ontologis maupun pendekatan metafisik keduanya mempunyai kebenaran masingmasing. Ilmu pendidikan sebagai ilmu tentunya mempunyai objek, metodologi serta analisis proses pendidikan itu. Namun demikian objek ilmu pendidikan atau subjek ilmu pendidikan adalah anak manusia  sehingga tidak terlepas dari pertanyaan mengenai hakikat manusia. Pendekatan-pendekatan mengenai hakekat pendidikan  telah melahirkan berbagai jenis teori mengenai apakah sebenarnya pendidikan itu. Untuk menelusuri berbagai teori tersebut perlu kita sepakati, seperti yang telah diuraikan tadibahwa pendidikan itu bukan hanya suatu kata benda (noun) tetapi juga merupakan suatu proses atau kata kerja (verb). Pengertian bahwa pendidikan merupakan suatu sekaligus hasil (noun) dan suatu proses (verb) adalah penting sekali untuk mengerti hakekat pendidikan tersebut. Berbagai pendekatan mengenai hakikat pendidikan digolongkan atas dua kelompok besar yaitu :



13



1.      Pendekatan reduksionisme 2.      Pendekatan holistic integrative Pengelompokan ini tidak bersifat hitam-putih tetapi sekedar menekankan garis besar dari teri-teori tersebut dan saling berdekatan, mengisi dan melengkapi. Oleh sebab itu, berbagai teori tersebut mempunyai kesamaan di dalam memberikan jawaban terhadap hakikat pendidikan ialah bahwa pendidikan tidak dapat dikucilkan dari proses pemanusiaan. Tidak ada suatu masyarakatpun yang dapat eksis tanpa pendidikan. 



2.



Persoalan-Persoalan dalam Pendidikan Matematika



Matematika adalah salah satu mata pelajaran wajib yang dipelajari disekolah dari jenjang sekolah dasar hingga sekolah menengah atas. Untuk itu, permasalahan dalam dunia pendidikan matematika akan berhubungan erat dengan praktisi pendidikan, pemangku kebijakan, kebijakan dan siswa. Konsep merupakan jenis materi pelajaran yang sangat mendasar dalam matematika sekolah. Salah satu kegunaan konsep dalam matematika adalah menarik konklusi secara deduksi. Dan ini merupakan kegunaan yang utama dalam matematika, karena matematika bersifar deduksi (Soedjadi, 2001). Konsep dalam matematika adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan seseorang untuk dapat mengklasifikasikan suatu objek atau kejadian serta menerangkan apakah objek atau kejadian tersebut merupakan contoh atau bukan contoh dari ide tersebut. Dalam matematika pada umumnya disusun dari konsep konsep terdahulu (Hasrattudin, 2008).



14



Konsep dalam matematika sendiri merupakan konsep yang dikenal abstrak, sehingga diperlukan inovasi oleh guru untuk dapat menanamkan konsep yang abstrak tersebut dalam pemikiran siswa. Misalnya konsep operasi pecahan, konsep luas, konsep bangun ruang, konsep bangun datar, dan lain sebagainya. Konsep juga akan memberikan pengaruh terhadap sikap kreatif. Konsep abstrak yang sulit dipahami siswa kemudian menjadi lebih buruk ketika metode ataupun model pembelajaran yang masih bersifat konvensional ataupun tradisional dimana pembelajaran berpusat pada guru. Menurut Armanto (dalam Herman, 2011) Tradisi mengajar seperti ini merupakan karakteristik umum bagaimana guru melaksanakan pembelajaran di Indonesia. Pembelajaran matematika konvensional bercirikan: berpusat pada guru, guru menjelaskan matematika melalui metode ceramah (chalk-and-talk), siswa pasif, pertanyaan dari siswa jarang muncul, berorientasi pada satu jawaban yang benar, dan



aktivitas kelas yang sering dilakukan hanyalah mencatat atau menyalin. Akibatnya siswa menjadi kurang aktif dan pembelajaran merupakan suatu hal yang membosankan bagi siswa, sehingga dapat menurunkan motivasi belajar dan inisiatif siswa untuk bertanya dan mengungkapkan ide. Karenanya kemampuan guru dalam memilih metode mengajar merupakan hal penting dalam kegiatan belajar mengajar. Kekurangan guru dalam memilih metode mengajar bisa menjadi salah satu penyebab kurang baiknya hasil belajar siswaTidak dapat dipungkiri bahwa sebagian besar guru berpandangan mengenai proses belajar mengajar adalah proses mengalihkan ilmu pengetahuan guru kepada siswa (gambar 1). Sehingga hal ini menjadikan siswa hanya mendengar, membaca kemudian menghafal.



15



Dalam matematika ketika hal ini menjadi kebiasaan, maka siswa akan mudah melupakan dan tidak memahami esensi dari matematika. Dengan demikian muncul suatu pendekatan saintifik yang diharapkan mampu menjadikan siswa sebagai pusat pembelajaran. Pendekatan saintifik memiliki beberapa keunggulan yang dianggap mampu mengaktifkan siswa. peserta didik secara aktif mengkonstruksi konsep, hukum atau prinsip melalui tahapan-tahapan mengamati, merumuskan masalah, mengajukan atau merumuskan hipotesis, mengumpulkan data dengan berbagai teknik, menganalisa data, menarik kesimpulan dan mengomunikasikan konsep, hukum atau prinsip yang ditemukan. Perbandingan antar metode konvensional dan saintifik (siswa mengkonstruksi pengetahuan mereka sendiri) dapat dilihat pada gambar berikut:



Gambar 5. Ilustrasi perbedaan pembelajaran tradisional dan inovatif Sumber: (Marsigit, 2013) Berdasarkan ilustrasi gambar diatas dapat dilihat bahwa perbedaan antara pembelajaran tradisional adalah pusat pembelajarannya. Pada pembelajaran tradisional guru yang aktif melakukan kegiatan, siswa hanya terpaku pada penjelasan guru, sedangkan untuk pembelajaran konstruktifisme yang menjadi



16



acuan pendekatan saintifik diibarkan seperti pohon yang terus bertumbuh dan berkembang sehingga menghasilkan buah yang baik. Masalah lainnya yang harus dihadapi dalam dunia pendidikan adalah masalah prestasi belajar siswa. Prestasi belajar yang dicapai siswa dapat dipengaruhi oleh dua faktor yaitu faktor internal dan eksternal (Slameto, 2003, p. 54) . Penyebab utama kesulitan belajar (learning disabilities) adalah faktor internal yaitu diantaranya minat, bakat, motivasi, tingkat intelegensi, sedangkan penyebab utama problema belajar (learning problems) adalah faktor eksternal antara lain berupa strategi pembelajaran yang keliru, pengelolaan kegiatan belajar 1 2 yang tidak membangkitkan motivasi belajar anak, maupun faktor lingkungan keluarga, masyarakat yang sangat berpengaruh pada prestasi belajar yang dicapai oleh siswa. Faktor internal ini telah dibahas sebelumnya oleh teori sosial kognitif bandura yang menyatakan bahwa kepercayaan diri siswa (yang ada pada masingmasing siswa dengan tingkat yang berbeda telah menghasilkan suatu usaha dan ketahanan (Bruning, Schraw, & Norby, 2011, p. 107). Artinya jika kepercayaan diri siswa dalam kategori tinggi maka akan menghasilkan ketahanan siswa dan akan meningkatkan usaha siswa sesulit apapun materi yang mereka pelajari dalam matematika. Faktor internal lain merupakan motivasi dan keyakinan siswa. Menurut (Perry, Turner, J, & Meyer, 2006) Motivasi dan keyakinan siswa berintegrasi dengan kognisi siswa. Dalam cakupan kognisi psikologi memperluas hal ini sebagai kedewasaan yang ada dalam diri siswa. Hal ini memiliki kaitan dengan cara siswa merespon instruksi yang diberikan dalam pelajaran. Disadari atau tidak



17



bahwa dalam pembelajaran guru tidak membiasakan diri dalam memberikan motivasi dan meningkatkan kepercayaan diri siswa. Padahal hal tersebut merupakan salah satu kunci keberhasilan dalam pembelajaran matematika. Masalah lainnya yang juga ditemui dalam pembelajaran matematika adalah buku sebagai sumber belajar siswa.Menurut Maya Saroh (Saroh, 2013) pada buku yang ditelitinya yaitu BSE-matematika kelas VII bahwa ada beberapa sub bab yang tidak menggunakan masalah seharihari dalam pengenalan materinya. Disebutkan pula bahwa masih ada materi yang tidak dijelaskan secara kontekstual. Ketika buku masih sulit untuk dipahami oleh siswa maka yang terjadi adalah siswa menjadi semakin malas untuk belajar. Dilain sisi, buku adalah sumber utama yang secara umum dipakai dalam proses pembelajaran. Dari segi pendidikan, kebijakan yang ada pada dunia pendidikan memberikan sumbangsih yang besar. Kurikulum berfungsi sebagai pedoman dalam pelaksanaan kegiatan pendidikan di sekolah bagi pihak-pihak yang terkait, baik secara langsung maupun tidak langsung, seperti pihak guru, kepala sekolah, pengawas, orangtua, masyarakat dan pihak siswa itu sendiri (Kurniaman & Noviana, 2017). Sehingga kurikulum mengalami perubahan untuk menyesuaikan kebutuhan dan karakter siswa. Perubahan kurikulum memiliki tujuan yang baik dalam pembelajaran, namun akan menjadi persoalan ataupun permasalahan apabila guru, yang berperan dalam pembelajaran secara langsung, tidak dilibatkan pandangannya dan tidak dilakukan pelatihan dalam mengimplementasikan perubahan yang terjadi. Dampaknya ialah pembelajaran tidak berjalan dengan lancar sebagaimana



18



mestinya, dan terjadinya penolakan atau protes seperti petisi dari praktisi pendidikan itu sendiri. Perkembangan yang menjadi salah satu langkah yang dimbil oleh pemangku kebijakan dan dianggap sebagai suatu solusi yang cukup efektif dalam menyelesaikan berbagai persoalan dalam pendidikan matematika. Kebijakan yang dibuat dalam mengganti kurikulum dipertimbangkan karena beberapa aspek yang dipertimbangkan. Pertimbangan-pertimbangan yang dilakukan tentu tidak bisa disetujui dengan mudah oleh beberapa pihak. Sehingga perubahan-perubahan acapkali terjadi dalam kurikulum di Indonesia. Perubahan-perubahan kurikulum di Indonesia sendiri tercatat sudah sebanyak 11 kali. Hal ini dapat dilihat pada gambar 2 (timeline perubahan kurikulum di Indonesia.



Gambar 6. Perkembangan Kurikulum di Indonesia. Sumber:(Gerakan Menulis Buku Indonesia, 2018)



V.



Kesimpulan dan Saran



19



A.



Kesimpulan Beberapa pembahasan yang ada pada tulisan ini hanyalah segelintir dari



permasalahan matematika ataupun pendidikan matematika di Indonesia. Jika diamati persoalan bukan hanya milik pemerintah, tetapi juga guru dan praktisi pendidikan



dan



siswa.



Apabila



dalam



setiap



permasalahan



terjadi



penempatan/kesesuaian ruang dan waktu maka permasalahan mungkin akan lebih dapat diminimalisir.



B. Saran Permasalahan dan persoalan yang ada juga sebaiknya tidak membuat pihak satu dengan yang lain tetapi menjadi tanggung jawab bersama. Dalam hal ini perlu adanya konsep hermeneutika seperti yang ada dalam dunia filsafat yaitu diterjemahkan dan menerjemahkan.



20



PERSOALAN-PERSOALAN POKOK DALAM PENGEMBANGAN ILMU MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA I.



Latar Belakang Salah satu peribahasa yang populer ataupun digunakan di Indonesia adalah



“tuntutlah ilmu sampai kenegeri Cina?” hal tersebut dimaknai dengan pentingnya ilmu yang bila perlu harus sampai ke negeri lain, tidak peduli akan jaraknya. Kebermanfaatan ilmu sendiri sudah diketahui oleh masyarakat. Mulai dari anakanak yang sudah disekolahkan dengang wajib belajar



sembilan tahun,



kemunculan sekolah-sekolah dengan status bergengsi, dan dibukanya instansi kursus ataupun bimbingan belajar. Secara umum, ilmu dianggap suatu alat yang dapat membantu manusia untuk meningkatkan kualitas hidup, mempertahankan keberlangsungan kehidupan yang manusia miliki, dan secara ekstrim dianggap sebagai suatu prestige yang menjadi ajang perbedaan manusia yang satu dengan yang lain. Memandang ilmu



21



berdasarkan peranan dan fungsinya tentu menjadi hak siapapun, apakah penting atau kurang penting. Setelah mengetahui peranan ilmu yang penting bagi manusia, maka bermacam-macam cara dilakukan oleh manusia untuk mendapatkan ilmu yang dianggap dibutuhkan. Salah satunya ialah ilmu matematika. Matematika sebagai ratunya bidang ilmu mendapatkan tempat istimewa pada sebagian masyarakat. Matematika sebagai bagian dari ilmu, terkhusus ilmu pengetahuan menjadi mata pelajaran yang diupayakan untuk dapat dipahami oleh para pembelajar. Di lain sisi, matematika sebagai keilmuan memiliki karakteristik yang harus diperhatikan. Dengan memahami karakterisik ilmu matematika, maka proses pembelajaran matematika akan berjalan dengan lebih efektiv dan lancar. Untuk itu, dalam tulisan ini penulis akan mencoba menjabarkan mengenai karakteristik ilmu matematika dan ilmu pendidikan matematika. ilmu matematika dan ilmu pendidikan matematika memiliki ciri ataupun karakter yang berbeda. Selanjutnya akan dibahas dalam tulisan ini yang dikutip dari berbagai sumber. II.



Rumusan Masalah



1. Apakah definisi ilmu ditinjau dari berbagai aspek? 2. Bagaimanakah sejarah ilmu matematika dan Filsafat matematika? 3. Apakah karakteristika dari ilmu matematika dan ilmu pendidikan matematika?



III. Alur Pembahasan Latar Belakang dan Rumusan Masalah



Pengembangan Matematika dan Ilmu Matematika 22



Definisi Ilmu:



Perkembangan dan



Karakteristik Ilmu



dan pengetahuan



Perkembangan matematika Filsafat Metematika Filsuf Matematika



Pendidikan Matematika Karakteristik matematika Karakteristik Pendidikan Matematika



Gambar 7. Alur Pembahasan Sumber: Alur Pikir Penulis IV.



Pembahasan (Kajian Literatur)



A.



Definisi Ilmu Sebelum memasuki lebih jauh mengenai definisi ilmu, di negara Amerika



pada tahun 1995 terjadi perdebatan besar dimana ajaran kitab suci adalah pegangan yang cukup kuat sebelum ilmu pengetahuan menguasai pola pikir di negara tersebut. Bahkan, ilmu tentang terciptanya semesta dilarang diajarkan di sekolah karena dianggap bertentangan dengan ajaran kitab suci. Dilain pihak, para ahli tidak mempercayai kitab suci tanpa mengetahui sendiri prosesnya (Bird, 1998) Puluhan tahun sebelumnya, Scopes (dalam Malicha, 2018) melakukan percobaan dan pengamatan tentang evolusi yang dikenal dengan percobaan Monkey. Scopes kemudian dinyatakan bersalah dan dihukum karna melakukan percobaan dan mengajarkan hasil percobaan tersebut ke sekolah-sekolah. Scopes dianggap melanggar hukum yang sudah dicetuskan bahwa tidak boleh ada ilmu yang bertentangan dengan agama oleh para fundamentalisme kristiani.



23



Keadaan berubah ketika pada tahun 1957 diluncurkan satelit buatan yang dinamakan Sputnik. Satelit ini menjadi bukti bahwa ilmu adalah sesuatu yang penting dan akan terus berkembang, hal ini kemudian disadari oleh Fundamentalisme kristiani. Pada perkembangannya, proses ilmu yang bebas dan berkembang tidaklah dianggap mudah. Ilmu adalah hal sistematis yang membangun dan mengatur pengetahuan dalam bentuk penjelasan serta prediksi yang dapat diuji melalui metode ilmiah tentang alam semesta(Mirriam Webster Dictionary, 2019). Apakah bumi datar atau bulat dapat diuji secara ilmiah. Apakah hal itu mendukung teori bumi itu bulat atau datar dapat diuji dan dipelajari dengan pelitian yang akan memberikan bukti dari suatu permasalahan. Tujuan dalam penelitian memiliki pendekatan yang berbeda dan bervariasi (Carpi, A & Egger, 2011) Ilmu adalah suatu hal yang berbeda dari pengtahuan. Hal ini menjadi pandangan umum bahwa ilmu dan pengetahuan adalah hal yang serupa. Namun ternyata, ilmu dan pengetahuan adalah dua hal yang berbeda. Ilmu adalah sesuatu yang dihasilkan dari pengetahuan ilmiah yang berawal dari perpaduan proses berpikir deduktif (rasional) dan induktif (empiris), sedangkan pengetahuan adalah hasil aktivitas manusia (subyek) yang mempunyai kesadaran untuk mengetahui obyek yang dihadapinya sebagai sesuatu yang ingin dikenal dan diketahui (Malicha, 2018) Berikut adalah tabel perbedaan antara ilmu dan pengetahuan: Tabel 1. Perbedaan ilmu dan pengetahuan Ilmu Karakteristik



Pengetahuan



Memiliki sudah



sistem



tersusun 24



yang Belum



tersusun



secara secara sistematis



sistematis Jangkauan Lebih Luas Metode Pembuktian Bersifat Objektif Objek yang Telah diuji dan dikaji disampaikan Kebenaran



Tidak terlalu luas Bersifat subjektif Belum diuji dan



dikaji Harus bersifat umum dan Sesuai pemahaman universal sekelompok orang Sumber :(Apaperbedaan.com, 2017)



B.



Perkembangan dan Filsafat Matematika Berdasarkan lia dalam websitenya (Nuriasih Lia, 2012) berikut adalah



sejarah singkat matematika dan filsafat matematika: 1.



Perkembangan Matematika Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh



dunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton322 (matematika Babilonia sekitar 1900 SM), Lembaran Matematika Rhind (MatematikaMesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan membahas teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras, yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luassetelah aritmetika dasar dan geometri. Sumbangan matematikawan



Yunani memurnikan



metode-metode (khususnya melalui



pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok bahasan matematika. Kata "matematika" itu sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα(mathema), yang berarti "mata pelajaran". 25



Matematika Cina membuat sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah padapengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa. Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abadkemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan matematika baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut hingga kini. 2.



Filsafat Matematika Filsafat matematika adalah segenap pemikiran reflektif terhadap persoalan-



persoalan mengenai segala hal yang menyangkut landasan matematika serta hubungan matematika dengan segala segi dari kehidupan manusia. Landasan itu mencakup berbagai konsep pangkal, anggapan dasar, asa permulaan, struktur teoritis, dan ukuran kebenaran. Sampai sekarang para filsuf dan ahli matematika masih mencoba merumuskan apasesungguhnya matematika itu. Banyak definisi matematika telah dikemukakan,



namun



banyak



pula



26



sanggahannya.



Filsafat



matematika



adalahcabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-anggapanfilsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafat matematika adalah untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan untuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Sifat logis dan terstruktur dari matematika itu sendiri membuat pengkajian ini meluas dan unik di antara mitra-mitra bahasan filsafat lainnya. Secara lebih luas, berikut sintesis hubungan antara aliran filsafat yang ditulis oleh Marsigit dalam blog power math.



Gambar 8. Hubungan Aliran Filsafat Ilmu dan Filsafat Matematika Sumber: (Marsigit, 2014) 3.



Tokoh-Tokoh Filsuf Matematika



27



Beberapa Tokoh Besar dalam filsafat matematika dunia disadur dari tulisan Sridayani (Sridayani, 2015), yaitu: a)



Thales (624-550 SM) Thales merupakan seorang ahli filsafat. Pada zamann tersebut para filsuf



mempelajari matematika, astronomi, fisika dan ilmu pengetahuan alam. Thales lahir di Yunani kemudian memperdalam ilmunya ke Mesir. Thales mencoba mengukur tinggi paramida dengan konsep kesebangunan dan memprediksi waktu peredaran matahari. Hal ini menjadi penyebab bahwa Thales Bapak awal ilmu Matematika dan Astronomi. b)



Pythagoras Pythagoras tidak hanya terkenal sebagai seorang filsuf namun ia juga



menghabiskan waktuna dengan mempelajari musik dan juga bidang ilmu lainnya. Dilahirkan di Yunani, Pythagoras pergi ke Mesir dan Babylonia untuk menimba ilmu. Beberapa postulat dan aksioma yang sudah dicetuskan oleh Pythagoras mengenai pengembangan geometri. Pythagoras semakin terkenal dengan dalil yang menerangkan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Perhitungan sudut-sudut dalam segitiga ini diperoleh dalam persamaan a2 + b2 = c2.  Persamaan ini kemudian digunakan pertama kali oleh perentang tali yang ada di Mesir untuk tanah dan tali-tali bersimpul. Penemuan Pythagoras ini terjadi saat sang Filsuf mengamati susunan lantai bersegitiga di rumah salah seorang temannya. c)



Socrates (427-347 SM)



28



Socrates merupakan filsuf besar yang berasal dari Yunani. Ajaran yang dikemukakan oleh Socrates banyak dipengaruhi oleh kaum Sofis. Ia merupakan akhli pikir pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda. d)



Ecluides (325-265 SM) Ecluidis mungkin tidak seterkenal atau sepopuler filsuf laiunnya, namun



beliau dianugrahkan sebagai “Bapak Geometri” karena keterlibatannya dalam teori bilangan dan geometri. Beberapa yang dibahas oleh Ecluides diantaranya ialah : bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan yang ada dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, dan lain sebagainya. Alat yang merupakan temuan dari Ecluides antara lain ialah mistar dan jangka. e)



Archimedes (287-212 SM) Archimedes merupakan salah satu ilmuan yang menggabungkan prinsip



fisika dan matematika. Beliau menemukan perhitungan π (pi) untuk menghitung luas lingkaran. Archimedes merupakan ahli matematika terbesar sepanjang masa. Karya-karya yang dihasilkan oleh Archimedes berkenaan tentang geometri bidang datae, pengukuran lingkaran serta kuadratur parabola dan spiral. f)



Appolonius (262-10 SM) Appolonius menggunakan konsep tentang parabola, hipernppla dan elips



pada astronomi modern. Keahliam yang beliau miliki ialah dalam bidang Geometri dan menghubungkan beberapa unsur yang ada dalam segitiga. g)



Diophantus (250- 200 SM) Diophantus terkenal sebagai Bapak Aljabar yang mengembangkan konsep-



konsep aljabar Babilonia. Karya besar yang dihasilkan oleh Diophantus ialah buku aritmatika, buku karangan pertama yang berisi mengenai sistem aljabar.



29



h)



Rene Deskartes (156-1650 M) De cartes memperlihatkan dalam karyanya La geometria bahwa sepasang



garius lurus yang berpotongan digunakan dalam memperlihatkan posisi titik pada sebuah bidang untuk menghormatinya. Konsep ini kemudian menghasilkan sistem koordinat cartesius dengan sistem tersebut dan menghasilkan matematika baru berupa geometri analitik. i)



Leonhard Euler (1707-1783 M) Euler juga merupakan ahli matematika yang terkemuka di sepanjang masa.



Kalkulus dan Geometri banyak mencatat hasil pemikiran Euler, salah satu yang paling utama adalah topik topologi. j)



John Napier (1550-1617 M) Ide yang dikemukakan oleh John Napier adalah tentang logaritma. John



Napier adalah filsuf sekaligus seorang bangsawan yang berasal dari Merchiston. Dengan penemuannya dalam topik algoritma telah memberikan kemudahan dalam perhitungn bilangan bilangan besar. k)



Carl F Gauss (1777-1855 M) Setelah Archimedes dan Newton, gaus merupakan ahli matematika yang



terkenal pada zamannya. Tidak hanya itu, pada umur sepuluh tahun, Gaus telah menimbulkan kekaguman pada guru-gurunya dan meminta Gaus menyelesaikan deret 1+2+3+...+100. Bila diurutkan dalam urutan waktu dan konsep atau prinsip matematika dari beberapa tokoh diatas, dapat disederhanakan pada alur timeline berikut:



Thales



Socrates



Archimedes



Diophantus L Euler



30



Carl F Gauss



(625-550 SM) (427-347 SM) (287-212 SM) (250-200SM) (1707-1783 M)(1777-1855 M)



Phytagoras (582-496 SM)



Ecluides (325-265 SM)



Appolonius Rene D John Napier (262-190 SM) (1596-1650M) (1550-1617 M)



Gambar 9. Tokoh Filsafat Matematika Dunia Sumber: www.google.com C.



Karakteristik Ilmu Matematika dan Pendidikan Matematika



1.



Karakteristik Matematika Berikut ini beberapa ciri-ciri atau karakteristik matematika secara umum



adalah sebagai berikut (Sumardyono, 2004, p. 30) l)



Memiliki objek kajian abstrak Dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak, sering juga



disebut objek mental. Objek-objek itu merupakan objek pikiran. Objek dasar itu meliputi (1) fakta, (2) konsep, (3) operasi ataupun relasi dan (4) prinsip. Dari objek dasar itulah dapat disusun suatu pola dan struktur matematika. 2)



Bertumpu pada kesepakatan Dalam matematika kesepakatan merupakan tumpuan yang amat penting.



Kesepakatan yang amat mendasar adalah aksioma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pembuktian. Sedangkan konsep



primitif



diperlukan



untuk



menghindarkan



pendefinisian. 3)



Berpola pikir deduktif



31



berputar-putar



dalam



Matematika merupakan pengetahuan yang memiliki pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau pernyataan dalam matematika dapat diterima kebenarannya apabila telah dibuktikan secara deduktif. 4)



Memiliki simbol yang kosong dari arti Dalam matematika jelas terlihat banyak sekali simbol yang digunakan, baik



berupa huruf ataupun bukan huruf rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun geometrik tertentu, dsb. Huruf-huruf yang dipergunakan dalam model persamaan, misalnya x + y = z belum tentu bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda (+) belum tentu berarti operasi tambah untuk dua bilangan. Makna huruf dan tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. 5)



Memperhatikan semesta pembicaraan Semesta pembicaraan adalah lingkup pembicaraan. Benar atau salahnya



ataupun ada atau tidaknya penyelesaian suatu model matematika sangat ditentukan oleh semesta pembicaraannya. 6)



Konsisten dalam sistemnya. Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai



kaitan satu sama lain, tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain. Misal dikenal sistem-sistem aljabar, sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan sistem geometri tersebut dipandang terlepas satu sama lain, tetapi di dalam sistem aljabar sendiri terdapat sistem yang lebih kecil yang terkait satu sama lain.



32



2.



Karakteristik Pendidikan Matematika Disisi lain Matematika yang diajarkan di jenjang persekolahan (pendidikan



matematika) yaitu Sekolah Dasar, Sekolah Menengah Pertama dan Sekolah Menengah Umum disebut Matematika Sekolah. Sering juga dikatakan bahwa Matematika Sekolah adalah unsur-unsur atau bagian-bagian dari Matematika yang dipili berdasarkan atau berorientasi pada kepentingan kependidikan dan perkembangan IPTEK. Matematika yang dipilih adalah matematika yang dapat menata nalar, membentuk kepribadian, menanamkan nilai-nilai, memecahkan masalah, dan melakukan tugas tertentu. Hal tersebut menunjukkan bahwa Matematika Sekolah tidaklah sepenuhnya sama dengan Matematika sebagaiilmu. Dikatakan tidak sepenuhnya sama karena memiliki perbedaan antara lain dalam hal (1) penyajian, (2) pola pikir, (3) keterbatasan semesta, dan (4) tingkat keabstrakan. 1)



Penyajian Matematika Penyajian



atau



pengungkapan



butir-butir



Matematika



di



Sekolah



disesuaikan dengan perkiraan perkembangan intelektual peserta didik. Mungkin dengan mengaitkan butir yang akan disampaikan dengan realitas di sekitar siswa atau disesuaikan dengan pemakaiannya. Jadi penyajian tidak langsung berupa butir-butir Matematika. 2)



Pola Pikir Matematika Telah dikemukakan bahwa pola pikir matematika sebagai ilmu adalah



deduktif. Sifat atau teorema yang ditentukan secara induktif ataupun empirik kemudian dibuktikan kebenarannya dengan langkah-langkah deduktif sesuai strukturnya. Tidaklah demikian halnya dengan matematika sekolah. Meskipun



33



siswa pada akhirnya diharapkan mampu berfikir deduktif namun dalam proses pembelajarannya dapat digunakan pola pikir induktif. Pola pikir induktif yang digunakan dimaksudkan untuk menyesuaikan dengan tahap perkembangan intelektual siswa. 3)



Keterbatasan Semesta Sebagai akibat dipilihnya unsur atau elemen matematika sekolah dengan



memperhatikan aspek kependidikan, dapat terjadi “penyederhanaan” pada konsep matematika yang kompleks. Pengertian semesta pembicaraan tetap diperlukan namun mungkin sekali lebih dipersempit. Selanjutnya semakin meningkat usia siswa, yang berarti meningkat juga tahap perkembangannya, maka semesta itu berangsur lebih diperluas lagi. 4)



Tingkat Keabstrakan Sifat abstrak objek matematika ada pada matematika sekolah. Hal itu



merupakan salah satu penyebab sulitnya. Seorang guru mengajarkan matematika sekolah. Seorang guru matematika harus berusaha mengurangi sifat abstrak dari objek matematika itu sehingga memudahkan siswa menangkap pelajaran matematika di sekolah.



V.



Kesimpulan Dan Saran



A.



Kesimpulan Matematika (matematika murni) dan pendidikan matematika (matematika



sekolah) memiliki pertimbangan yang berbeda. Oleh karena itu, dalam kajiannya matematika dan matematika murni tidak bisa disamakan. B.



Saran 34



Perbedaan karakteristik dari ilmu matematika murni dan matematika sekolah (pendidikan) sebaiknya dipahami dengan baik oleh guru, agar proses pembelajaran berjalan dengan lancar.



Daftar Pustaka Adjie, D. (2013). Dimas Adjie Post. Retrieved January 1, 2019, from https://dimasadji4.wordpress.com/2013/07/08/persoalan-matematika-yangbelum-terpecahkan/ Ambar.



(2011).



No



Title.



Retrieved



January



12,



2019,



from



https://www.google.com/search? safe=strict&rlz=1C1XBRQ_enID810ID810&biw=1366&bih=626&tbm=isch &sa=1&ei=6Tg7XJzfGsyw9QPcv5rYDA&q=timeline+sejarah+matematika &oq=timeline+sejarah+matematika&gs_l=img.3...6944.11526..12044...1.0..0 .225.1389.3j8j1......1....1..gws-wizimg.CECa0eYTcwY#imgrc=gV8I_jCrv2oHYM: Apaperbedaan.com. (2017). Apa Perbedaan Ilmu dan Pengetahuan. Retrieved January 5, 2019, from https://apaperbedaan.com/ilmu-dan-pengetahuan/ Bird, A. (1998). Philosophy of Science. University College London: UCL Press. Bruning, R., Schraw, G., & Norby, M. (2011). Cognitive Psychology and instruction (Fifth). Boston: Pearson Education.



35



Carpi, A & Egger, A. E. (2011). “The Nature of Scientific Knowledge” Visionlearning. 3 (2). Science: definition of science in Mirriam Webster Online



Dictionary.



https://doi.org/https://www.merriam-



webster.com/dictionary/science? utm_campaign=sd&utm_medium=serp&utm_source=jsonld CMI. (2019). Millennium Problems. Retrieved January 5, 2019, from http://www.claymath.org/millennium-problems Gerakan Menulis Buku Indonesia. (2018). Perkembangan Kurikulum di Indonesia hingga Kurikulum 2013 (K13). Retrieved January 5, 2019, from https://gmbindonesia.com/2018/05/20/perkembangan-kurikulum-di-indonesia-hinggakurikulum-2013-k13/ Hasrattudin. (2008). Permasalahan Pembelajaran Matematika Sekolah dan Alternatif Pemecahannya. Pythagoras, UNY, 4(1), 67–73. Herman, T. (2011). Membangun Pengetahuan Siswa Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah. Kurniaman, O., & Noviana, E. (2017). Penerapan Kurikulum 2013 Dalam Meningkatkan Keterampilan, Sikap, dan Pengetahuan. Jurnal Primary , UNRI, 6(2), 389–396. Malicha, L. N. (2018). Hakikat Ilmu dan Pengetahuan. Research Gate, (August). Marsigit. (2012). Sejarah Dan Filsafat Matematika. Yogyakarta. Retrieved from http://staffnew.uny.ac.id/upload/131268114/pengabdian/sejarah-dan-filsafatmatematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012.pdf Marsigit. (2013). Philosophy, Psychology, Spiritual, Math Education, Lesson Study, Indonesia: Prof Dr Marsigit MA. Retrieved January 5, 2019, from https://powermathematics.blogspot.com Mirriam Webster Dictionary. (2019). Mirriam Webster. Retrieved January 5, 2019,



from



webster.com/dictionary/science?



utm_campaign=sd&utm_medium=serp&utm_source=jsonld



36



Nuriasih Lia. (2012). KuPakaiMathUntukBerhitung. Retrieved January 7, 2019, from http://ku-mathitung.blogspot.com/p/sejarah-matematika.html Perry, N., Turner, J, C., & Meyer, D. (2006). Classroom as Context for Motivating Learning. Mahwah: Erlbaum. Saroh, M. (2013). Analisis Buku BSE-Matematika Kelas VII. Slameto. (2003). Belajar dan Faktor-Faktor yang Mempengaruhinya. Jakarta: Rineka Cipta. Soedjadi, R. (2001). Nilai Nilai dalam Pendidikan Matematika dan Upaya Pembinaan Pribadi Anak Didik. Surabaya: Unesa. Sridayani.



(2015).



Matematika.



Retrieved



January



13,



2019,



from



http://mathnewblog.blogspot.com/2015/12/tokoh-besar-dalam-filsafatmatematika.html Sumardyono. (2004). Karakteristik Matematika dan Implementasinya Terhadap Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Depdiknas. Adjie, D. (2013). Dimas Adjie Post. Retrieved January 1, 2019, from https://dimasadji4.wordpress.com/2013/07/08/persoalan-matematika-yangbelum-terpecahkan/ Ambar.



(2011).



No



Title.



Retrieved



January



12,



2019,



from



https://www.google.com/search? safe=strict&rlz=1C1XBRQ_enID810ID810&biw=1366&bih=626&tbm=isch &sa=1&ei=6Tg7XJzfGsyw9QPcv5rYDA&q=timeline+sejarah+matematika &oq=timeline+sejarah+matematika&gs_l=img.3...6944.11526..12044...1.0..0 .225.1389.3j8j1......1....1..gws-wizimg.CECa0eYTcwY#imgrc=gV8I_jCrv2oHYM: Apaperbedaan.com. (2017). Apa Perbedaan Ilmu dan Pengetahuan. Retrieved January 5, 2019, from https://apaperbedaan.com/ilmu-dan-pengetahuan/ Bird, A. (1998). Philosophy of Science. University College London: UCL Press.



37



Bruning, R., Schraw, G., & Norby, M. (2011). Cognitive Psychology and instruction (Fifth). Boston: Pearson Education. Carpi, A & Egger, A. E. (2011). “The Nature of Scientific Knowledge” Visionlearning. 3 (2). Science: definition of science in Mirriam Webster Online



Dictionary.



https://doi.org/https://www.merriam-



webster.com/dictionary/science? utm_campaign=sd&utm_medium=serp&utm_source=jsonld CMI. (2019). Millennium Problems. Retrieved January 5, 2019, from http://www.claymath.org/millennium-problems Gerakan Menulis Buku Indonesia. (2018). Perkembangan Kurikulum di Indonesia hingga Kurikulum 2013 (K13). Retrieved January 5, 2019, from https://gmbindonesia.com/2018/05/20/perkembangan-kurikulum-di-indonesia-hinggakurikulum-2013-k13/ Hasrattudin. (2008). Permasalahan Pembelajaran Matematika Sekolah dan Alternatif Pemecahannya. Pythagoras, UNY, 4(1), 67–73. Herman, T. (2011). Membangun Pengetahuan Siswa Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah. Kurniaman, O., & Noviana, E. (2017). Penerapan Kurikulum 2013 Dalam Meningkatkan Keterampilan, Sikap, dan Pengetahuan. Jurnal Primary , UNRI, 6(2), 389–396. Malicha, L. N. (2018). Hakikat Ilmu dan Pengetahuan. Research Gate, (August). Marsigit. (2012). Sejarah Dan Filsafat Matematika. Yogyakarta. Retrieved from http://staffnew.uny.ac.id/upload/131268114/pengabdian/sejarah-dan-filsafatmatematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012.pdf Marsigit. (2013). Philosophy, Psychology, Spiritual, Math Education, Lesson Study, Indonesia: Prof Dr Marsigit MA. Retrieved January 5, 2019, from https://powermathematics.blogspot.com



38



Mirriam Webster Dictionary. (2019). Mirriam Webster. Retrieved January 5, 2019,



from



webster.com/dictionary/science?



utm_campaign=sd&utm_medium=serp&utm_source=jsonld Nuriasih Lia. (2012). KuPakaiMathUntukBerhitung. Retrieved January 7, 2019, from http://ku-mathitung.blogspot.com/p/sejarah-matematika.html Perry, N., Turner, J, C., & Meyer, D. (2006). Classroom as Context for Motivating Learning. Mahwah: Erlbaum. Saroh, M. (2013). Analisis Buku BSE-Matematika Kelas VII. Slameto. (2003). Belajar dan Faktor-Faktor yang Mempengaruhinya. Jakarta: Rineka Cipta. Soedjadi, R. (2001). Nilai Nilai dalam Pendidikan Matematika dan Upaya Pembinaan Pribadi Anak Didik. Surabaya: Unesa. Sridayani.



(2015).



Matematika.



Retrieved



January



13,



2019,



from



http://mathnewblog.blogspot.com/2015/12/tokoh-besar-dalam-filsafatmatematika.html Sumardyono. (2004). Karakteristik Matematika dan Implementasinya Terhadap Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Depdiknas.



39