Makalah Matematika Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers [PDF]

Citation preview

Kata Pengantar



Asslamu’alaikum Wr. Wb. Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, yang telah memberikan nikmat nikmat kepada kita, tak lupa shalawat beserta salam kami limpah curahkan kepada Nabi Muhammad SAW. Pada kesempatan ini kami selaku penulis mencoba untuk membuat makalah tentang. “Fungsi Komposisi dan Fungi InversTrigonometri” Makalah ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata pelajaran “MATEMATIKA”. Kami mengucapkan banyak terima kasih kepada segenap pembaca. Apabila dalam makalah ini terdapat banyak kekurangan, kami mohon maaf. Dan kami sangat menantikan saran dn kritik pembaca yang sifatnya membangun. Atas perhatiannya kami ucapkan terima kasih.



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR .................................................................................. i DAFTAR ISI ................................................................................................. ii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang........................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah...................................................................................... 2 C. Tujuan Penulisan........................................................................................ 2 BAB II PEMBAHASAN I.



FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS



A. Fungsi Komposisi........................................................................................ 3 B. Fungsi Invers................................................................................................ 6 BAB III.. PENUTUP A. Kesimpulan............................................................................................. 8 B. Saran....................................................................................................... 8 C. Daftar Pusaka............................................................................................... 9



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pernahkah kalian membayangkan tombol-tombol (tuts) komputerdan tampilan pada layar saat kalian mengetik karakter per karakter? Coba perhatikan, ketika pada tombol tertulis huruf ”a”, setelah diketik pada layar juga muncul huruf ”a”. Demikian juga saat pada tomboldiketik huruf ”k”, pada layar juga muncul huruf ”k”. Jika kalian pikirkan, tentunya ada hubungan (relasi) antara sistem pada tombol dan tampilan pada layar. Kasus ini termasuk aplikasi fungsi dalam kehidupan sehari-hari yang sering dijumpai. Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebah fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiaptiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap-tiap anggota pada himpunan B. Untuk bisa menyelesaikan soal-soal mengenai fungsi komosisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers. Studi tentang trigonometri sebagai cabang matematika, lepas dari astronomi pertama kali diberikan oleh Nashiruddin al-Tusi (1201-1274), lewat bukunya Treatise on the quadrilateral. Bahkan dalam buku ini ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri lewat sebuah segitiga sikusiku (hanya masih dalam trigonometri sferis). Menurut O`Conners dan Robertson, mungkin ia pula yang pertama memperkenalkan Aturan Sinus (di bidang datar). Dalam mempelajari fungsi trigonometri sering banyak yang merasa kesulitan, padahal jika kita mengetahui konsep dasarnya itu tidak akan terjadi. Bentuk soal seperti apapun kita akan dapat kerjakan yang penting kita mengetahui konsep dasarnya. Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama.Mengenai fungsi trigonometri yaitu meliputi trigonometri dasar, identitas trigonometri serta rumus-rumus dalam trigonometri telah kita pelajari bersama sebelumnya.



Sekarang ini yang akan kita pelajari mengenai persamaan dan pertidaksamaan dalam trigonometri. Makalah ini bertujuan untuk memudahkan sobat semua dalam belajar matematika, sehingga ketika menemui soal mengenai persamaan ataupun pertidaksamaan trigonometri tidak akan merasa kesulitan 1 B. Rumusan Masalah 1.



Bagaimana Fungi Komposisi?



2.



Bagaimana Fungsi Invers?



3.



Bagaiamana Ukuran Sudut (Derajat Dan Radian) ?



4. Bagaimana Cara Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Pada Segitiga Siku-Siku? 5.



Bagaimana Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa?



6.



Bagaimana Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi?



7.



Bagaiaman Identitas Trigonometri?



8.



Bagaimana Aturan Sinus dan Cosinus?



9.



Bagaimana Grafik Fungsi Trigonometri?



C. Tujuan Penulisan 1.



Mengetahui Fungi Komposisi



2.



Mengetahui Fungsi Invers



3.



Untuk mengetahui Ukuran Sudut (Derajat Dan Radian)



4. Untuk mengetahui Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Pada Segitiga Siku-Siku 5. Untuk mengetahui Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa 6.



Untuk mengetahui Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi



7.



Untuk mengetahui Identitas Trigonometri



8.



Untuk mengetahui Aturan Sinus dan Cosinus



9.



Untuk mengetahui Grafik Fungsi Trigonometri



2



BAB II PEMBAHASAN I. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS A. 1.



Fungi Komposisi Pengertian Fungi Komposisi



Dari dua buah fungsi f (x) dan g (x) dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan operasi komposisi. Operasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau bundaran). Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi komposisi itu adalah : a.



(f o g) (x) dibaca : f komposisi gx atau fgx



b.



(g o f) (x) dibaca : g komposisi fx atau gfx



1)



Misal fungsi



g : A à B ditentukan dengan y = g (x) f : B à C ditentukan dengan y = f (x) Fungsi komposisi f dan g ditentukan dengan : h (x) = (f o g) (x) = f (g(x)) 2)



Misal fungsi



f : A à B ditentukan dengan y = f (x) g : B à C ditentukan dengan y = g (x) Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan : h (x) = (g o f) (x) = g (f (x)) Misal fungsi f : R à R dan g : R à R ditentukan dengan rumus f (x) = 3x – 1 dan g (x) = 2x. Tentukan : a. (f o g) (x) b. (g o f) (x) Jawab :



a.



(f o g) (x) = f (g (x)) = f (2x) = 3 (2x) – 1 = 6x – 1



b.



(g o f) (x) = g (f (x)) = g (3x – 1) = 2 (3x – 1) = 6x – 2



3



Contoh Soal Fungsi Komposisi : Diketahui fungsi f : R à R dan g : R à R ditentukan dengan rumus : f (x) = 2x + 1



dan



g (x) =



Tentukan : a.



(f o g) (x)



b.



(g o f) (x)



c.



Daerah asal (f o g) (x) dan daerah hasil (f o g) (x)



d.



Daerah asal (g o f) (x) dan daerah hasil (g o f) (x)



Jawab : f (x) = 2x + 1 Daerah asal Df : {x | x Î R} daerah hasil Rf : {y | y Î R} g (x) = Daerah asal Dg : {x | x ³ 0, x Î R}, daerah hasil Rg : {y | y ³ 0, y Î R} a.



(f o g) (x) = f (g (x)) = f () = 2 + 1



b.



( g o f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 1) =



c.



Daerah asal (f o g) (x) = D(f o g) = {x | x ³ 0, x Î R}



Daerah hasil (f o g) (x) = R(f o g) = {y | y ³ 1, y Î R} Tampak bahwa D(f o g) = Dg dan R(f o g) Ì Rf d.



Daerah asal (g o f) (x) = D(g o f) = {x | x ³ ½ , x Î R}



Daerah hasil (g o f) (x) = R(g o f) = {y | y ³ o, y Î R}



Tampak bahwa D(g of) Ì Df dan R(g o f) = Rg



4



Contoh 1 Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -2x + 3 dan f (x) = 2x + 1. Tentukan fungsi g (x). Jawab : (f o g) (x)



= -2x + 3



f (g (x)) = -2x + 3 2 (g (x)) + 1



= -2x + 3



2 g (x)



= -2x + 2



g (x)



=



g (x)



= -x + 1



Jadi fungsi g (x) = -x + 1 Contoh 2 Diketahui fungsi komposisi (f o g) (x) = 4 – 2x dan fungsi g (x) = 2x + 2. Tentukan fungsi f (x). Jawab : (f o g) (x) = 4 - 2x f (g (x)) = 4 – 2x



f (2x + 2)



= 4 – 2x



f (2x + 2)



= 4 – ((2x + 2) –2) = 4 – (2x + 2) + 2



f (2x + 2) f (x)



= 6 – (2x + 2) =6–x



5



B. Fungsi Invers 1.



Pengertian Fungi Invers



Jika fungsi f : A à B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(a,b) | a Î A dan b Î B} maka invers dari fungsi f adalah f-1 : B à A ditentukan oleh : f-1 : {(b,a) | b Î B dan a Î A} Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi maka Fungi Invers itu disebut fungsi invers. | x ¹ 1, x Î R}



Contoh Soal Fungsi Invers Contoh 1 adalah f -1(x) =…..



Pembahasan



Bentuk akhir sesuaikan dengan pilihan soal jika bentuknya pilihan ganda atau multiple choices. 6



Contoh 2 Diberikan sebuah fungsi Tentukan nilai dari f – 1 (2) Pembahasan Cara Pertama: Tentukan fungsi inversnya terlebih dahulu seperti soal-soal sebelumnya, setelah itu masukin angka 2



Cara Kedua Untuk menentukan f – 1 (2), bisa digunakan fungsi asalnya tadi yaitu



Caranya adalah, f(x) nya diganti dengan angka 2, kemudian cari nilai x nya. Jika sudah ketemu nilai x nya, berarti pertanyaan di atas sudah terjawab, karena nilai x di sini tidak lain adalah f – 1 (2)



7 BAB III PENUTUP



A.



Kesimpulan



Relasi khusus dua himpunan yang menghubungkan setiap anggota himpunan daerah asal dengan tepat satu anggota himpunan kawan disebut fungsi. Dalam fungsi terdapat grafik fungsi yang dapat menggambarkan hubungan variabel dalam persamaan fungsi. Dengan mengenal jenis-jenis fungsi sambil mempelajari bahwa konsep fungsi biasa digunakan dalam bidang peternakan. Konsep fungsi ini digunakan untuk memberikan gambaran konkrit dari sebuah analisis dilihat dari segi perhitungan matematika Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga sikusiku.



B.



Saran



1. Pemahaman terhadap rumus-rumus dasar trigonometri harus betul-betul menjadi penekanan dalam proses pembelajaran sehingga siswa mampu



mengaitkan dan menggunakan rumus-rumus yang sesuai untuk menyelesaikan persoalan trigonometri. 2. Semoga bahan ajar ini menjadi salah satu sumber bacaan bagi para guru dalam pembelajaran matematika di SMA. Penulis menyadari adanya keterbatasan dan kekurangan dalam penyusunan bahan ajar ini, sehingga kritik dan saran sangat diharapkan



8 DAFTAR PUSTAKA



Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Matematika Untuk SMA/MA, SMK/MAK Kelas X Semester 2. Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014.



Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher.



Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin Company.



Suwarno, Nono. 2013. Peningkatan Efektivitas dan Efisiensi Proses Belajar Mengajar Matematika melalui Sistem PendekatanVisual dengan Mempergunakan Software Multimedia Interaktif di Fakultas Peternakan Universitas Padjadjaran. Universitas Padjadjaran, Bandung. 2013



Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika.



Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta: PPPG Matematika.



9