Makalah Nilai Mutlak Matematika [PDF]

Citation preview

MAKALAH Tentang



NILAI MUTLAK D I S U S U N O L E H : NAMA



: 1. 2. 3. 4.



ANGGIE TRIE UTAMI NABILAH SAVITRI NUR SAIDAH MUHAMMAD WANDI ALRIDO



MATA PELAJARAN



: MATEMATIKA



KELAS



: X - 1



GURU PEMBIMBING



:



SMA NEGERI 2 PLUS PANYABUNGAN YAYASAN MARBISUK T.P. 2019/2020



KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan Rahmat, Inayah, Taufik dan Hinayahnya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dalam bentuk maupun isinya yang sangat sederhana. Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai salah satu acuan. Dalam penulisan Makalah ini kami menyampaikan ucapan terima kasih yang tak terhingga kepada pihak-pihak yang membantu dalam menyelesaikan makalah ini, dalam rangka penyelesaian Makalah yang berjudul “NILAI MUTLAK”. Harapan saya semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, sehingga penulis dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik. Makalah ini saya akui masih banyak kekurangan karena pengalaman yang saya miliki sangat kurang. Oleh kerena itu penulis harapkan kepada para pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.



Panyabungan, Penulis



i



2019



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................



i



DAFTAR ISI..............................................................................................................................



ii



BAB I PENDAHULUAN.....................................................................................................



1



1.



Latar Belakang....................................................................................................



1



2.



Tujuan .................................................................................................................



1



BAB II PEMBAHASAN 1.



PENGERTIAN NILAI MUTLAK.......................................................................



2



2.



PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK........................



3



BAB III PENUTUP 1. KESIMPULAN....................................................................................................



6



2. SARAN................................................................................................................



6



ii



BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Dalam pembuatan makalah ini, kami memilih judul “Nilai Mutlak” karena, Materi ini merupakan teori dasar yang biasa sering digunakan dalam kehidupan sehari - hari. Dalam Makalah ini kita akan membahas tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak, dalam bagian makalah ini dibahas tentang nilai mutlak, Persamaan Nilai mutlak, sifatsifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak. Materi ini merupakan Persyaratan dasar dalam Mempelajari kalkulus Lainnya. Dan tidak hanya itu, dalam pengambilan judul ini karena, masih banyak beberapa pembaca yang belum mengetahui dan memahami tentang materi ini. Sehingga sering membuat keliruan dalam mengaplikasikanya dalam kehidupan sehari – hari.



2. Tujuan Adapun tujuan dalam pembuatan Makalah ini, yakni : · Memberikan dan menambah wawasan kepada pembaca. · memberikan kemudahan dalam pembelajaran · Dan diutamakan untuk memenuhi tugas Kapita Selekta.



1



BAB II PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN NILAI MUTLAK Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini NILAInya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak pernah negatif. Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahas sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai nilai mutlak. Jadi, Nilai Mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian nilai mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Nilai mutlak atau disebut juga nilai absolut menggambarkan jarak nomor di baris nomor dari 0 tanpa mempertimbangkan jumlah dari arah mana nol terletak. Nilai absolut dari nomor tidak pernah negatif. Penjelasan Nilai Mutlak Misalnya Nilai absolut dari 5 adalah 5 (jarak dari 0 yaitu 5 unit), Nilai mutlak dari -5 adalah 5 (jarak dari 0: 5 unit). Lihat gambar: Nilai mutlak dari 2 + -7 adalah 5 (jumlah jarak dari 0: 5 unit). Lihat gambar: Nilai mutlak dari 0 = 0, kita tidak mengatakan bahwa nilai absolut tersebut dari angka positif.Nol tidak negatif atau positif. Mari kita lanjutkan belajar nilai mutlak dengan contohnya di bawah ini. Simbol untuk nilai mutlak adalah dua garis lurus, sekitarnya jumlah atau ekspresi yang mengindikasikan nilai mutlak. | 6 | = 6 berarti nilai absolut dari 6 adalah 6. | -6 | = 6 berarti nilai absolut dari negative6 adalah 6. | -2 – x | berarti nilai absolut dari negative2 dikurangi x. – | x | berarti nilai negatif dari nilai absolut dari x. Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real. Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan : | x | = -x jika x ≥ 0 | x | = -x jika x < 0 Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut : Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut. Sebagai contoh, |7|=7 |0|=0 | -4 | = -(-4) = 4 Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.



2



2. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier. | x | = a dengan a > 0 Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut. Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a. Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak titik tersebut ke nol sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke 0 sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a. | x | < a untuk a > 0 Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut. Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a. | x | > a untuk a > 0 Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut. Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a. Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut : SIFAT : Untuk a > 0 berlaku a. | x | = a ⇔ x = a atau x = -a b. | x | < a ⇔ -a < x < a c. | x | > a ⇔ x < -a atau x > a



Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3 Jawab : Berdasarkan sifat a : |2x - 7| = 3 ⇔ 2x - 7 = 3 atau 2x - 7 = -3 |2x - 7| = 3 ⇔ 2x = 10 atau 2x = 4 |2x - 7| = 3 ⇔ x = 5 atau x = 2 Jadi, HP = {2, 5}.



Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| = |x + 4| Jawab : Berdasarkan sifat a : |2x - 1| = |x + 4| ⇔ 2x - 1 = x + 4 atau 2x - 1 = -(x + 4) |2x - 1| = |x + 4| ⇔ x = 5 atau 3x = -3 |2x - 1| = |x + 4| ⇔ x = 5 atau x = -1 Jadi, HP = {-1, 5}. 3



Contoh 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7 Jawab : Berdasarkan sifat b : |2x - 1| < 7 ⇔ -7 < 2x - 1 < 7 |2x - 1| < 7 ⇔ -6 < 2x < 8 |2x - 1| < 7 ⇔ -3 < x < 4 Jadi, HP = {-3 < x < 4}. Contoh 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6 Jawab : Berdasarkan sifat c : |4x + 2| ≥ 6 ⇔ 4x + 2 ≤ -6 atau 4x + 2 ≥ 6 |4x + 2| ≥ 6 ⇔ 4x ≤ -8 atau 4x ≥ 4 |4x + 2| ≥ 6 ⇔ x ≤ -2 atau x ≥ 1 Jadi, HP = {x ≤ -2 atau x ≥ 1}.



Contoh 5 Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7| Jawab : Berdasarkan sifat c : |3x - 2| ≥ |2x + 7| ⇔ 3x - 2 ≤ -(2x + 7) atau 3x - 2 ≥ 2x + 7 ⇔ 5x ≤ -5 atau x ≥ 9 ⇔ x ≤ -1 atau x ≥ 9 Jadi, HP = {x ≤ -1 atau x ≥ 9}



Contoh 6 Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 < |x - 1| < 4 Jawab : Ingat : a < x < b ⇔ x > a dan x < b



Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan |x - 1| > 2 dan |x - 1| < 4 Berdasarkan sifat c : |x - 1| > 2 ⇔ x - 1 < -2 atau x - 1 > 2 |x - 1| > 2 ⇔ x < -1 atau x > 3 ................(1) Berdasarkan sifat b : |x - 1| < 4 ⇔ -4 < x - 1 < 4 |x - 1| < 4 ⇔ -3 < x < 5 ............................(2)



Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut Jadi, HP = {-3 < x < -1 atau 3 < x < 5} Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Dalam menyelesaikan persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi |ax + b| = ax + b jika x ≥ -b/a |ax + b| = -(ax + b) jika x < -b/a 4



Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut. Contoh 7 Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut : a. |4x - 3| b. |2x + 8| Jawab : a. Untuk |4x - 3| |4x - 3| = 4x - 3 jika x ≥ 3/4 |4x - 3| = -(4x - 3) jika x < 3/4 b. Untuk |2x + 8| |2x + 8| = 2x + 8 jika x ≥ -4 |2x + 8| = -(2x + 8) jika x < -4 Contoh 8 Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1 adalah... Jawab : |x - 2| = x - 2 jika x ≥ 2 |x - 2| = -(x - 2) jika x < 2 Untuk x ≥ 2 |x - 2| = 2x + 1 ⇔ x - 2 = 2x + 1 |x - 2| = 2x + 1 ⇔ -x = 3 |x - 2| = 2x + 1 ⇔ x = -3 Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi Untuk x < 2 |x - 2| = 2x + 1 ⇔ -(x - 2) = 2x + 1 |x - 2| = 2x + 1 ⇔ -x + 2 = 2x + 1 |x - 2| = 2x + 1 ⇔ -3x = -1 |x - 2| = 2x + 1 ⇔ x = 1/3 Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi. Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.



5



BAB III PENUTUP 1. Kesimpulan Telah kita ketahui bahwa matematika adalah ilmu dasar dari hamper semua mata pelajaran, dan sering digunakan pula dalam kehidupan sehari – hari. dalam materi nilai mutlak merupakan salah satu ilmu yang biasa digunakan dalam pembangunan, karena hasil nilai yang selalu positif memudahkan untuk menyelesaikan berbagi mascam masalah. dan kaerana sifatsifatnya yang tidak terlalu banyak dan mudah dipahami. sehingga membuat materi ini sering diaplikasikan kedalam kehidupan sehari-hari. 2. Saran Dalam mempelajari materi nilai mutlak ini, terlebih dahulu kita harus memahami konsep dari nilai mutlak itu sendiri, sehingga kita bisa lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal baik persamaan maupun pertidaksamaan nilai mutlak.dengan mempelajari materi nilai mutlakjuga, kita bisa menerapkanya dalam kehidupan sehari-hari, contohnya ; jika kita ingin menghitung jarak antar kota yang satu dengan kota yang lain atau jarak antara dua patok tertentu kita bisa menggunakan konsep nilai mutlak.



6