Makalah Selang Kemonotonan [PDF]

Citation preview

MAKALAH SELANG KEMONOTONAN, FUNGI NAIK DAN FUNGSI TURUN, GRADIEN KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG KURVA



DISUSUN OLEH



: KELOMPOK 5



NAMA



: 1. Theresia Sabrina R Hutabarat 2. Meyla Andini 3. M. Sandi 4. M. Rizky 5. Muhammad Danil



KELAS



: XI IPS 2



SMA NEGERI 21 PALEMBANG TAHUN AJARAN 2022 / 2023



KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan kemudahan sehingga kami mampu menyelesaikantugas makalah ini untuk memenuhi tugas mata pelajaran Matematika Dalam penyusunan makalah ini, tidak sedikit hambatan yang kami hadapi. Namun berkat bantuan dan dorongan dari Guru dan Orang Tua maka selesai juga Makalah dengan judul “Selang Kemonotonan, Fungsi Naik & Fungsi Turun, Gradien Kemiringan Garis singgung Kurva“ . Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas dan menjadi sumbangan pemikiran kepada pembaca. Kami sadar bahwa makalah ini masih banyak kekurangan dan jauh dari sempurna. Untuk kami meminta kritik dan saran demi perbaikan makalah kami di masa yang akan datang.



Palembang,



Januari 2022



Kelompok V



i



DAFTAR ISI Halaman Judul Kata Pengantar ..........................................................................................................i Daftar Isi ....................................................................................................................ii Pembahasan ...............................................................................................................1 A. Selang Kemonotonan ....................................................................................1 a. Definisi Kemonotonan ............................................................................1 b. Teorema Kemonotonan ...........................................................................1 B. Fungsi Naik & Fungsi Turun ........................................................................2 C. Gradien Kemiringan Garis Singgung Kurva .................................................5 Penutup ......................................................................................................................7 A. Kesimpulan ...................................................................................................7 B. Saran ..............................................................................................................7



ii



PEMBAHASAN A. Selang Kemonotonan Suatu fungsi dapat mengalami monoton naik atau monoton turun pada interval tertentu. Kemonotonan suatu fungsi pada interval tertentu dapat diketahui berdasarkan turunannya. Suatu fungsi monoton naik jika turunan fungsi pada interval tersebut lebih besar dari 0. a. Definisi Monoton Suatu fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk semua x1 0 dan juga di mana (4𝑥 − 3)(𝑥 + 1) < 0 Titik-titik pemisah adalah ¾ dan -1 (+) │. (-) .│ (+) Jadi menurut teorema kemonotonan 𝑓 naik pada (-1,∞] dan [3/4,∞) ; ia turun pada [- 1,3/4].



1



B. Fungsi Naik Dan Fungsi Turun Agar kita memahami fungsi naik dan fungsi turun, simaklah contoh berikut ini. Bentuk jalan setapak yang dapat dilintasi pendaki gunung untuk mencapai puncak diwakili oleh kurva fungsi y = f(x), sedangkan perjalanan pulangnya diwakili oleh kurva fungsi y = g(x).



Dari grafik di atas, fungsi bergerak naik dari lokasi A ke B, kemudian bergerak turun dari B ke C. Dalam bahasa matematika, fungsi f(x) disebut fungsi naik dalam daerah interval a 􀁤 x 􀁤 b. Fungsi dikatakan naik apabila makin bertambah (ke kanan), maka nilai f(x) semakin bertambah. Sedangkan fungsi g(x) disebut fungsi turun dalam daerah interval b 􀁤 x 􀁤 c. Fungsi dikatakan turun apabila nilai x makin bertambah (ke kanan), maka nilai g(x) semakin berkurang. Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh berikut. Contoh Tentukan batas–batas interval agar fungsi f (x) = x2 – 4x + 3 naik atau turun! Jawab: f(x) = x2 – 4x + 3 􀁯 f(x) = ax + bx + c Karena koefisien x2 adalah positif, persamaan tersebut adalah persamaan parabola terbuka ke atas. Sumbu simetri parabola adalah:



Untuk x = 2, f (2) = 22 – 4.2 + 3 = –1



2



Grafik fungsinya adalah:



Untuk membuat grafik tentukan terlebih dahulu titik– titiknya:



Dari sketsa grafik dapat Anda lihat bahwa f(x) naik pada x > 2 dan f(x) turun pada x < 2. Jadi, dapat disimpulkan bahwa f(x) = x2 – 4x + 3 naik pada x > 2 dan turun pada x < 2. Berdasarkan contoh di atas, fungsi naik dan fungsi turun dapat didefinisikan sebagai: Fungsi naik Suatu fungsi f(x) dikatakan naik pada suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2 pada interval itu, yaitu x1 < x2 maka f(x1) < f(x2). Fungsi turun Suatu fungsi f(x) dikatakan turun pada suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2 pada interval itu, yaitu x1 < x2 maka f(x1) > f(x2).



Selanjutnya, hubungan antara turunan fungsi dengan fungsi naik atau fungsi turun dapat digambarkan sebagai berikut.



3



Perhatikan gambar. Pada fungsi naik, gradien garis singgungnya positif, sedangkan pada fungsi turun gradien garis singgungnya negatif. Telah diketahui bahwa gradien garis singgung kurva y = f(x) di (x, y) adalah turunan dari y = f(x) di (x, y), maka dapat disimpulkan bahwa: 



Jika f ' (x) > 0 untuk setiap x dalam (x1, y1), maka f (x) adalah fungsi naik pada (x1, y1).







Jika f ' (x) < 0 untuk setiap x dalam (x1, y1), maka f (x) adalah fungsi turun pada (x1, y1).







Jika f ' (x) = 0 untuk setiap x dalam (x1 , y1), maka f (x) adalah fungsi konstan pada (x1 , y1).



Untuk lebih memahami fungsi naik dan fungsi turun, pelajarilah contoh berikut ini. Tentukan interval agar fungsi f (x) = –2x3 + 3x2 naik atau turun! Jawab: f (x)



=



f ' (x) =



=



–6x2 + 6x



=



x(–6x + 6)



–2x3 + 3x2 –2.3x3– 1 + 3. 2x2– 1



Untuk menentukan interval f (x) naik atau turun, ditentukan terlebih dahulu pembuat nol f ' (x) dan periksa nilai f ' (x) di sekitar titik pembuat nol. f ' (x) = 0 x(–6x + 6) =0 x = 0 atau –6x + 6 = 0 6x= 6



x=1



Sehingga diperoleh f ‘(x) berikut. 0 0



0 untuk semua x pada interval I Suatu fungsi dikatakan monoton turun pada interval I jika f'(x) < 0 untuk semua x pada interval I



-



Fungsi Naik & Fungsi Turun Fungsi Naik



-



Suatu fungsi f disebut naik pada suatu interval jika untuk setiap nilai x 1 dan x2 pada interval itu dan x1 < x2 maka f(x1) 0. Fungsi Turun Suatu fungsi f disebut turun pada suatu interval jika untuk setiap nilai x 1 dan x2  pada interval itu dan x1 < x2 maka f(x1) > f(x2), atau jika gradien garis singgungnya negatif sehingga f’(x) < 0. Gradien Kemiringan Garis Singgung Kurva Sebuah garis disebut sebagai garis singgung kurva jika garis tersebut hanya memiliki satu titik persekutuan (titik singgung) dengan kurva.



B. SARAN Demikianlah Makalah Matematika Tentang Selang Kemonotonan, Fungsi Naik & Fungsi Turun, Gradien Kemiringan Garis Siggung Kurva ini, Makalah ini tentunya masih banyak kekurangan yang harus dilengkapi untuk mencapai kesempurnaan, kedepannya Kami akan lebih fokus dan details dalam menjelaskan tentang penjelasan di atas dengan sumber-sumber yang lebih banyak yang tentunya dapat dipertanggung jawabkan. Kami hanyalah manusia biasa yang penuh dengan kekurangan, untuk itu penulis mohon dengan segala kerendahan hati, untuk memberikan Saran dan



7



Kritiknya yang bersifat membangun,dengan harapan agar makalah ini bisa lebih sempurna



8



1