Makalah Statistik Dan Statistika [PDF]

Citation preview

STATISTIK SOSIAL



Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistik Sosial Dosen Pengampu : Farhan Muntafa, S.Stat.,M.Stat



Disusun Oleh : Fika Nur Fidiyanti



(6661160028)



Gladys Anggriana



(6661160066)



Siti Sahati



(6661160041)



Ahmad Mahdi



(6661160064)



PROGRAM STUDI ADMINISTRASI PUBLIK FAKULTAS ILMU SOSIAL DAN ILMU POLITIK UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA AGUSTUS 2018



KATA PENGANTAR Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga makalah ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas pengetahuan tentang Statistik Sosial. Kami sadar dalam penyusunan makalah ini masih banyak terdapat kekurangan. Oleh sebab itu, saran yang membangun sangat diharapkan agar dapat menjadi acuan dalam penyusunan makalah yang akan datang. Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada pembaca. Walaupun makalah ini memiliki kelebihan dan kekurangan. Penyusun mohon untuk saran dan kritiknya. Terima kasih. Billahi Taufiq Walhidayah, Wassalamu’alaikum. Wr. Wb



Serang, 28 Agustus 2018



Penyusun



DAFTAR ISI



Kata Pengantar ............................................................................................................. ii Daftar Isi ...................................................................................................................... iii



BAB I Pendahuluan 1.1 Latar Belakang ........................................................................................................ 1.2 BAB II Pembahasan ................................................................................................ 3-22 BAB III Penutup ........................................................................................................... A. Kesimpulan .......................................................................................................... B. Saran ....................................................................................................................



BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar belakang Secara etimologis kata statistik berasal dari kata status (bahasa latin) yang mempunyai persamaan arti dengan kata state (bahasa inggris) atau kata staat (bahasa belanda), dan yang dalam bahasa indonesia diterjemahkan menjadi negara. Pada mulanya, kata statistic diartikan sebagai kumpulan bahan keterangan (data), baik yang berwujud angka (data kuantitatif) maupun yang tidak berwujud angka (data kualitatif), yang mempunyai arti penting dan kegunaan yang besar bagi suatu Negara. Namun, pada perkembangan selanjutnya, arti kata statistic hanya di batasi pada kumpulan bahan keterangan yang berwujud angka (data kuantitatif) dan yang tidak berwujud angka (data kualitatif). Istilah statistic juga sering diberi pengertian sebagai kegiatan statistic atau kegiatan persetatistikan atau kegiatan pensetatistikan. Sebagaimana disebutkan dalam undang-undang tentang statistic (lihat undang-undang No. 7 tahun 1960), kegiatan statistic mencakup 4 hal, yaitu: (1) pengumpulan data, (2) penyusunan data, (3) pengumuman dan pelaporan data, dan (4) analisis data. Mata kuliah statistika bagi mahasiswa sangat diperlukan terutama ketika seorang



mahasiswa



harus



mengumpulkan,



mengolah,



menganalisis



dan



menginterprestasikan data untuk pembuatan skripsi, thesis atau disertasi. Dalam hal ini pengetahuan statistik dipakai dalam menyusun metodologi penelitian. Sebagai suatu ilmu, kedudukan statistika merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika terapan. Oleh karena itu untuk memahami statistika pada tingkat yang tinggi, terebih dahulu diperlukan pemahaman ilmu matematika. Di negara maju seperti Amerika, Eropa dan Jepang, ilmu statistika berkembang dengan pesat sejalan dengan berkembangnya ilmu ekonomi dan teknik. Bahkan kemajuan suatu negara sangat ditentukan oleh sejauh mana negara itu menerapkan ilmu statistika dalam memecahkan masalah-masalah pembangunan dan



perencanaan pemerintahannya. Jepang sebagai salah satu negara maju, konon telah berhasil memadukan ilmu statistika dengan ilmu ekonomi, desain produk, psikologi dan sosiologi masyarakat. Sejauh itu, ilmu statistika digunakan pula untuk memprediksi dan menganalisis perilaku konsumen, sehingga Jepang mampu menguasai perekonomian dunia sampai saat ini.



1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian pada latar belakang di atas, maka rumusan masalahnya adalah: 1. Apakah yang dimaksud dengan statistik dan statistika? 2. Apa pengertian dari parameter? 3. Apa yang dimaksud dengan populasi dan sampel? 4. Apa yang dimaksud dengan penaksiran dan estimasi statistik? 5. Apa saja ukuran-ukuran yang ada dalam statistik?



1.3 Tujuan 1. Untuk mengetahui pengertian dari statistik dan statistika 2. Untuk mengetahui pengertian parameter 3. Untuk mengetahui tentang populasi dan sampel 4. Untuk mengetahui tentang penaksiran dan estimsi statistik 5. Untuk mengetahu ukuran-ukuran yang ada dalam statistik



BAB II PEMBAHASAN



1. PENGERTIAN STATISTIK VS. STATISTIKA Tempo dulu statistik hanya digunakan untuk menggambarkan keadaan dan menyelesaikan problem-problem kenegaraan saja seperti perhitungan penduduk dan lainnya. Pengertian statistik itu sendiri berasal dari kata state (Yunani) yaitu negara dan digunakan untuk urusan negara. Dari uraian ini dapat dikatakan bahwa statistik adalah rekapitulasi dari fakta yang berbentuk angka-angka disusun dalam bentuk tabel dan diagram yang mendeskripsikan suatu permasalahan. Dalam perkembangannya untuk menyelesaikan suatu masalah dapat digunakan beberapa pendekatan antara lain statistika dalam arti sempit dan statistika dalam arti luas (sutrisno hadi, 1994:221). Statistika dalam arti sempit (statistik deskriptif) ialah statistika yang mendeskripsikan atau menggambarkan tentang data yang disajikan dalam bentuk tabel, diagram, pengukuran tendensi sentra (rata-rata hitung, rata-rata ukur, dan rata-rata harmonik), pengukuran penempatan (median, kuartil, desil dan persentil), pengukuran penyimpangan (range, rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians dan angka baku), angka indeks serta mencari kuatnya hubungan dua variabel, melakukan peramalan (prediksi) dengan menggunakan analisis regresi linier, membuat perbandingan (komparatif). Statistik dalam arti luas disebut juga dengan statistik inferensial/statistika induktif/statistika probabilitas ialah suatu alat pengumpul data, pengolah data, menarik kesimpulan, membuat tindakan bersasarkan analisis data yang dikumpulkan atau statistika yang digunakan menganalisis data sampel dan hasilnya dimanfaatkan untuk populasi. Hal ini sesuai dikatakan oleh Sudjana, (1992:3) bahwa "statistika (statistic) adalah ilmu terdiri dari teori dan metoda yang merupakan cabang dari matematika terapan dan membicarakan tentang bagaimana mengumpulkan data, bagaimana meringkas data, mengolah data



menyajikan data, bagaimana menarik kesimpulan dari hasil analisis, bagaimana menentukan keputusan dalam batas-batas resiko tertentu berdasarkan startegi yang ada. Jadi dapat disimpulkan bahwa statistik adalah suatu ilmu pengetahuan yang berhubungan data statistik dan fakta yang benar. Atau suatu kajian ilmu pengetahuan yang dengan teknik pengumpulan data, teknik pengolahan data, teknik analisis data, penarikan kesimpulan, dan pembuatan kebijakan/keputusan yang cukup kuat alasannya bersasarkan data dan fakta yang benar.



2. PENGERTIAN PARAMETER Parameter merupakan ukuran-ukuran yang berlaku pada populasi. Simbol parameter θ (baca: tetha), sedangkan statistik merupakan ukuran-ukuran yang berkenaan dengan sampel. Parameter juga memiliki pengertian sekumpulan angka angka yang dapat memberikan gambaran mengenai keadaan suatu keadaan/gejala. Yang membedakan Statistik dan Parameter adalah adalah data awal yang diolah untuk dijadikan Informasi. Statistik menggunakan Sampel sebagai data awalnya, sedangkan parameter menggunakan populasi. Anggapan-anggapan dasar yang berlaku hendaklah dipenuhi terlebih dahulu sebelum melakukan pengujan hipotesis. Langkah-langkah ialah sebagai berikut ; data yang diuji harus berdistribusi normal dan peniliti menyatakan secara tegas dan jelas bahwa data yang akan diuji tersebut berasal dari populasi atau sampel. Jika menggunakan data populasi, maka rata-rata populasi μ (baca: myu ), standar deviasi populasi σ (baca: sigma) dan varians populasi σ2 (baca: sigma kuadrat). Apabila menggunakan data sampel ..... (baca: eks bar atau eks garis), standar deviasi sampel (s) dan varians sampel (s2 atau S). Statistik yang cocok untuk menguji hipotesis tentang parameter populasi dinamakan statistik parametrik. Jika parameter diuji berdasarkan data sampel, maka statistik yang digunakan adalah statistik infrerensial (statistik induktif). statistik parametrik didasarkan atas asumsi yang ketat tentang keadaan populasi.



Asumsi utama adalah populasi atau sampel harus berdistribusi normal, dipilih secara acak, mempunyai hubungan yang linier dan data bersifat homogen. Statistik parametrk lebih banyak bekerja dengan data interval dan ratio. Pasangan dari statistik parametrik adalah staistik non parametrik. Statistik non parametrik tidak menganut asumsi bahwa data populasi atau sampel harus berdistribusi normal, dipilih secara acak, mempunyai hubungan yang linier dan data bersifat homogen. Oleh sebab itu, statistik non parametrik disebut dengan “statistik bebas distribusi”. Statistik non parametrik lebih banyak bekerja dengan data ordinal dan nominal.



Contoh : Kasus 1. Kita ingin mengetahui rata-rata tinggi badan Mahasiswa di suatu kampus yang berjumlah 50 ribu mahasiswa. Karena untuk mengukur 50 ribu mahasiswa memerlukan waktu dan tenaga yang sangat banyak, maka kita bisa memilih beberapa (misal seribu mahasiswa) yang dianggap mewakili 50 ribu mahasiswa tersebut. Nah Populasi dari kejadian tersebut adalah 50 ribu mahasiswa, Sampelnya adalah seribu mahasiswa yang diukur, dan rata-rata yang diperoleh dari pengukuran seribu mahasiswa tersebut merupakan rata-rata Statistik. Kasus 2. Kita ingin mengetahui rata rata pendapatan Kepala Keluarga (KK) di suatu perumahan yang berjumlah 20 KK. Populasinya adalah 20 KK yang berada di perumahan tersebut. Karena jumlah populasinya hanya 20, jadi kita bisa menghitung langsung rata-rata dari data populasi. Nah rata-rata tersebut merupakan rata-rata dari Parameter. Nah itu contoh kasus yang biasa kita temui tentang kapan kita menggunakan parameter dan kapan kita menggunakan statistik. Dari contoh kasus di atas dapat kita tarik kesimpulan bahwasanya umumnya Parameter digunakan jika memungkinkan untuk mengukur semua objek yang akan kita teliti. Biasanya parameter digunakan jika Populasi dari objek kajian kita cenderung sedikit. Jika



Populasi dari objek kajian kita tidak memungkinkan untuk diukur semuanya, kita bisa menggunakan Statistik yang hanya memerlukan ukuran sampel untuk mendekati ukuran populasi. Namun yang perlu digaris bawahi adalah tidak semua kasus dimana objek kajiannya banyak menggunakan statistik. Kalau dia mengukur seluruh populasi dari objek kajian, maka yang digunakan tetaplah Parameter, walau kasus seperti itu sangat jarang terjadi. Selain dari pengertian dan penggunaannya, Statistik dan Parameter juga mempunyai perbedaan pada simbolsimbol yang digunakan dalam perhitungannya. Simbol untuk statistik merupakan simbol yang berbentuk huruf alfabet sedangkan simbol untuk parameter merupakan simbol yang berbentuk huruf Yunani. Berikut contoh beberapa simbol dari statistik dan parameter.



3. PENGERTIAN POPULASI DAN SAMPEL 3.1 Populasi Populasi merupakan subyek penelitian. Menurut Sugiyono (2010:117) populasi adalah wilayah generalisasi yang terdiri atas obyek/subyek yang mempunyai kualitas dan karakteristik tertentu yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya. Jadi populasi bukan hanya orang, tetapi juga obyek dan benda-benda alam yang lain. Populasi juga bukan sekedar jumlah yang ada pada obyek/subyek yang dipelajari, tetapi meliputi seluruh karakteristik/sifat yang dimiliki oleh subyek atau obyek itu. Adapun pengertian Populasi menurut Nawawi (1985) menyebutkan bahwa Populasi adalah : “Totalitas semua nilai yang mungkin, baik hasil menghitung ataupun pengukuran kuantitatif maupun kualitatif dari karakteristik tertentu mengenai sekumpulan objek yang lengkap”. Sedangkan Riduan dan Tita Lestari (1997) mengatakan bahwa Populasi adalah: “Keseluruhan dari karakteristik atau Unit hasil pengukuran yang menjadi objek penelitian”.



Dari beberapa pendapat di atas, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa “Populasi merupakan Objek atau Subjek yang berada pada Suatu Wilayah dan Memenuhi Syarat – Syarat tertentu berkaitan dengan Masalah Penelitian.” 3.2 Sampel Sampel (menurut Sugiyono, 2003 ; 56) adalah sebagian dari jumlah dan karakteristik yang dimiliki oleh populasi tersebut. Bila populasi besar, dan peneliti tidak mungkin mempelajari semua yang ada pada populasi, maka peneliti dapat menggunakan sample yang diambil dari populasi itu. Semua yang dipelajari dari sample itu, kesimpulannya akan diberlakukan untuk Populasi. Oleh karena itu, Sampel yang diambil dari Populasi harus benar – benar Representatif. Sedangkan Suharsimi Arikunto (2002, 109) mendefinisikan Sampel adalah Bagian dari Populasi yaitu sebagian atau wakil dari Populasi yang diambil sebagai sumber data dan dapat mewakili seluruh populasi. Dari beberapa pendapat tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa sampel adalah Sebagian dari Populasi yang memiliki ciri-ciri atau keadaan tertentu yang akan diteliti.



4. PENGERTIAN ESTIMASI, PENAKSIR, DAN TAKSIRAN STATISTIK 4.1 Estimasi Beberapa pengertian estimasi adalah sebagai berikut: a. Estimasi



merupakan



suatu



metode



dimana



kita



dapat



memperkirakan



nilai Populasi dengan memakai nilai sampel. b. Estimasi merupakan kegiatan penarikan kesimpulan statistik yang berawal dari ha l-hal yang bersifat umum ke hal– hal yang bersifat khusus, agar penarikan kesimpulan dapat dibenarkan dan mampu mendekati kebenaran maka dibutuhkan suatu alat untuk memproses data secara benar, jika kegiatan estimasi dapat dilakukan secara benar maka semua keputusan yang berkaitan dengan estimasi dapat dilakukan juga dengan benar dan dapat untuk mengatasi segala persoalan statistik.



c. Estimasi adalah menaksir ciri-ciri tertentu dari populasi atau memperkirakan nilai populasi (parameter) dengan memakai nilai sampel (statistik). Beberapa macam estimasi adalah sebagai berikut: a. Estimasi Parameter Salah satu persoalan penting dalam kesimpulan statistik adalah estimasi parameter-parameter populasi atau singkatnya parameter (misalnya mean dan varians populasi) dari statistic sampel atau singkatnya statistik (misalnya mean dan varian sampel) korespondensinya. b. Estimasi Tak Bias Jika mean dari distribusi sampling suatu statistik sama dengan parameter populasi korespondensinya, maka statistik ini disebut sebagai estimator tak bias dari parameter tersebut. Kebalikannya, jika mean dari distribusi sampling suatu statistik tidak sama dengan parameter populasi korespondensinya, maka statistik ini disebut sebagai estimator bias dari parameter tersebut. Nilai-nilai korespondensi dari statistik-statistik semacam ini masing-masing disebut sebagai estimasitak bias atau estimasi bias. c. Estimasi efisien Jika distribusi sampling dari dua statistik memiliki mean atau ekspektasi yang sama, maka statistik dengan varians yang lebih kecil disebut sebagai estimator efisien dari mean, sementara statistik yang lain disebut sebagai estimator tak efisien. Adapun nilai-nilai yang berkorespondensi dengan statistik-statistik ini masing-masing disebut sebagai estimasi efisien dan estimasi tak efisien. Jika kita amati semua kemungkinan statistik yang distribusi samplingnya memliki mean yang sama, maka statistik dengan varians terkecil kadang kala disebut sebagai estimator paling efisien, atau terbaik, dari mean ini. d. Estimasi titik dan estimasi interval Estimasi dari sebuah parameter populasi yang dinyatakan oleh sebuah bilangan tunggal disebut dengan estimasi titik dari parameter tersebut. Sedangkan estimasi dari parameter populasi yang dinyatakan oleh dua bilangan di antara



posisi parameternya diperkirakan berada disebut sebagai estimasi interval dari parameter tersebut. Estimasi interval mengindikasikan tingkat kepresisian, atau akurasi, dari sebuah estimasi sehingga estimasi interval akan dianggap semakin baik jika mendekati estimasi titik.



4.2 Penaksiran Secara umum, parameter populasi akan diberi simbol 0 (baca: theta). Jadi 0 bisa merupakan rata-rata µ, simpangan baku α, proporsi π dan sebagainya. Jika 0, yang tidak diketahui harganya, ditaksir oleh harga Ô (baca: theta topi), maka Ô dinamakan penaksir. Jelas bahwa sangat dikehendaki Ô=0, yaitu bisa mengatakan harga 0 yang sebenarnya. Tetapi ini merupakan keinginan yang boleh dibilang ideal sifatnya. a. Menaksir 0 oleh Ô terlalu tinggi, atau b. Menaksir 0 oleh Ô terlalu rendah. Keduanya ini jelas tidak dikehendaki. Karenanya kita menginginkan penaksir yang baik. Yang bagaimana? Di bawah ini diberikan kriteria untuk mendapatkan penaksir yang baik, yaitu : tak bias, mempunyai varians minimum dan konsisten.



Beberapa definisi: 1) Penaksir Ô dikatakan penaksir tak bias jika rata-rata semua harga Ô yang mungkin akan sama dengan 0. Dalam bahasa ekspektasi ditulis ε (Ô) = 0. Penaksir yang tidak tak bias disebut penaksir bias. 2) Penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil di antara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika Ô1 dan Ô2 dua penaksir untuk 0 di mana varians untuk Ô1 lebih kecil dari varians untuk Ô2 maka Ô1 merupakan penaksir bervarians minimum.



3) Misalkan Ô penaksir untuk 0 yang dihitung berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan Ô mendekati 0, maka Ô disebut penaksir konsisten. 4) Penaksir yang tak bias dan bervarians minimum dinamakan penaksir terbaik.



5. UKURAN DATA STATISTIK Kegiatan pengumpulan data dimaksudkan untuk mengetahui karakteristik dari data-data itu. Ada banyak macam ukuran statistik yang digunakan untuk menjelaskan dan menguraikan data-data yang berhasil dikumpulkan. Karakteristik yang dimaksud umumnya berbentuk parameter misalnya rata-rata, persentase, simpangan baku dan lain-lain maupun sifat-sifat, ciri-ciri atau hal lain yang dimiliki data tersebut. Terminologi yang sering dipakai dalam statistik dalam mengolah data sepenuhnya bergantung pada apakah data merupakan suatu populasi atau suatu penarikan contoh yang diambil dari populasi. Untuk menguraikan karakteristik populasi diperlukan data. Cara memperoleh data yang diperlukan keseluruhannya bergantung pada kondisi dasarnya. Bila kondisi memungkinkan, pengumpulan data dilaksanakan secara sensus. Ini terjadi bila setiap individu yang membentuk populasi yang sedang diamati dicatat untuk dilakukan penelitian, akan tetapi bila tidak memungkinkan, biasanya dilakukan dengan pencuplikan contoh terhadap sebagian yang diambil dari populasi.



5.1 Ukuran Pemusatan Jika ada sekelompok atau kumpulan data-data kuantitatif, maka untuk menyebutkan ukuran numerik sebagai wakil dari data sering dipakai nilai rata-rata baik terhadap populasi maupun terhadap contoh. Rata-rata ini merupakan ukuran pemusatan bila kumpulan data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. Seperti contoh, tinggi badan rata-rata 165 cm dapat dipandang sebagai nilai yang menunjukkan pusat dari nilai-nilai lainnya. Dengan demikian bila segugus data diurutkan dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar disebut ukuran pemusatan.



Ukuran pemusatan lain yang banyak digunakan dalam ilmu statistik adalah median dan modus. Di samping itu ada parameter lain seperti rata-rata ukur (geometric mean) dan rata-rata harmonis, yang semuanya bergantung pada arah dan tujuan pemakainya. Perhatikan angka-angka hasil ujian akhir berikut ini: 67, 70, 78, 74, 81, 88, 81, 63, 73, 65, 81, 77, 81 dan 84. Tidak banyak yang dapat disimpulkan dari hasil ujian di atas hanya dengan memperhatikan gugusan datanya. Untuk itu perlu dilakukan pengurutan nilai ujian dan angka terkecil ke angka terbesarnya. 63, 65, 67, 70, 73, 74, 77, 78, 81, 81, 81,82, 84, dan 88



Banyaknya data yang diamati sama dengan N, maka nilai N disebut ukuran kumpulan data (populasi). Sedangkan data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar dinamakan statistik peringkat. Data yang nilainya terkecil adalah statistik peringkat pertama atau statistik minimum yang ditulis X[1] dan pada contoh di atas nilainya X[1] = 63. Data terbesar disebut statistik peringkat ke-N atau statistik maksimum X[N] = X[14] = 88. Kedua statistik ini bersama-sama sebagai statistik-statistik ekstrim.



5.1.1



Rata-Rata



5.1.1.1 Rata-Rata Hitung Rata-rata (mean) adalah ukuran pemusatan lokasi yang banyak digunakan dalam statistika. Ukuran ini mudah dihitung dengan memanfaatkan semua data yang dimiliki. Namun demikian, kekurangan dari ukuran pemusatan rata-rata ini sangat dipengaruhi nilai ekstrim. Jika ada sekelompok data, maka untuk menyebut ukuran numeric sebagai wakil dari data sering dipakai nilai rata-rata (hitung) baik terhadap populasi maupun terhadap contoh. Rata-rata hitung (sering disebut rata-rata saja) dapat ditentukan dengan cara membagi jumlah nilai data oleh banyaknya data.



5.1.1.2 Rata-Rata Sementara Menghitung nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan rata-rata sementara. Rata-rata hitung ͞x yang diperoleh dari jumlah rata-rata sementara dan simpangan rata-rata dirumuskan:



x= xs +



𝑓𝑖 .𝑑𝑖 Σ𝑓𝑖



Variabel ͞xs merupakan rata-rata sementara. Nilai simpangan d diperoleh dari setiap titik tengah dikurangi rata-rata sementaramya x i - x S.



5.1.1.3 Rata-Rata Tertimbang Dalam hal tertentu sebuah nilai variabel statistik mempunyai timbangan. Bila kita merata-ratakan n buah data X1, X2,…..Xn, tetapi dengan asumsi bahwa sebagian lebih penting dari lainnya dapat dilakukan dengan member timbangan w1, w2, w3,….., wn pada nilai-nilai tersebut. Oleh karena itu rata-rata tertimbangnya adalah:



͞xw=



𝑊1. 𝑋1 +𝑊2 .𝑋2 +⋯+𝑊𝑛 .𝑋𝑛 𝑊1 +𝑊2 +⋯+𝑊𝑛



5.1.1.4 Rata-Rata Gabungan Misalkan ada k buah populasi terhingga dengan ukuran populasi N1, N2,…..Nk dan mempunyai rata-rata populasi µ1, µ2,…, µk maka rata-rata gabungan µg dari semua populasi adalah : µg =



𝑁1 . µ1 + N2 . µ2 + ⋯ Nk µk 𝑁1 + 𝑁2 + ⋯ 𝑁𝑘



Apabila dari populasi berukuran N1, N2, …, dengan cara tertentu hanya diambil sebagian saja sehingga yang terukur nilainya hanya N1, N2, …, Nk. bila masingmasing mempunyai rata-rata ͞ x 1, x 2, …, x k maka rata-rata contoh gabungan adalah:



x g=



𝑛1 . x 1 +n2 . x 2 +⋯nk x k 𝑛1 +𝑛2 +⋯𝑛𝑘



5.1.1.5 Rata-Rata Geometrik Dalam banyak hal, nilai rata-rata sering kali memerlukan data berkala (time series) untuk mengetahui kecenderungan misalkan indeks ekonomi, tingkat pendapatan nasional, tingkat produksi, rata-rata penjualan tiap tahun dan lain-lain. Berapa besar rata-rata persentase tingkat perubahan per tahun? Yang ditanyakan dalam hal ini adalah nilai konstanta yang dapat menjelaskan tingkat perubahan per tahunnya. Nilai konstanta ini dapat dicari dengan menggunakan rata-rata geometrik. Rata-rata geometric bagi nilai n bilangan positif X1, X2,…, Xn, adalah akar pangkat n dari hasil kali semua bilangan itu. Jadi , G= 𝑛√𝑋1. 𝑋2 … 𝑋𝑛 G merupakan rata-rata geometric dari X1, X2,…,Xn. nilai dari X1, X2,…,Xn menunjukkan rata-rata relative. Selanjutnya gunakan logaritma pada masing-masing ruas : 1



Log G=𝑛 ( ∑𝑛𝑖=1 log 𝑋𝑖 ) Rata-rata geometric G diselesaikan dengan mengambil antilogaritmanya : 1



G = antilog 𝑛 ( ∑𝑛𝑖=1 log 𝑋𝑖 ) 5.1.1.6 Rata-Rata Harmonik Dalam praktek nilai rata-rata harmonik H, paling sering digunakan untuk merataratakan kecepatan jarak tempuh, menentukan harga rata-rata komoditi tertentu, menghitung investasi sejumlah uang tertentu setiap periode dan lain-lain. Rata-rata harmonik bagi nilai n bilangan positif X1, X2,..., Xn, adalah n dibagi dengan jumlah kebalikan bilangan-bilangan itu. Jadi, 𝑛 H= 1 1 1 + 𝑋 +⋯+𝑋 𝑋 1



2



𝑛



5.1.2



Median



Sekumpulan data statistic sebanyak N telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya. Data statistik yang berada di tengah-tengah disebut median (Med). Bila banyaknya pengamatan data ganjil, data yang di tengah-tengah adalah mediannya atau bila banyaknya pengamatan genap, rata0rata kedua pengamatan yang di tengah adlah mediannya. Median selalu ditentukan dengan membagi kumpulan data menjadi dua bagian fraksi yang sama. . Perhatikan kembali nilai ujian mahasiswa yang telah diurutkan dari nilai yang terkecil sampai nilai yang terbesar: 63, 65, 67, 70, 73, 74, 77, 78, 81, 81, 82, 84, dan 88. Nilai statistic minimumnya 63, nilai statistic maksimumnya 88 dan nilai mediannya adalah 77,5. Bila datanya berkelompok atau disusun dalam kelas-kelas selang, maka rumus mediannya dihitung dengan cara interpolasi. Med = Lo+(c)



𝑁 − (∑𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖 ) 2



𝑓𝑚



Dengan : Lo



= nilai batas bawah dari kelas selang yang mengandung unsure atau memuat nilai median



∑ 𝑓𝑖 )0



= jumlah frekuensi dari semua kelas selang dibawah kelas yang mengandung median (kelas yang mengandung median tidak dihitung)



N



= Banyaknya pengamatan



fm



= Frekuensi selang kelas yang mengandung median



c



= Besarnya selang kelas, jarak antara kelas yang satu dengan lainnya.



5.1.2.1 Kuartil Pengurutan data seperti yang telah disinggung, selain untuk menentukan statistic ekstrim, juga berguna untuk membagi statistic peringkat menjadi bagian-bagian (fraksi) dalam lompatan 25% dari keseluruhan data yang diamati. Median atau kuartil



kedua (Q2) dapat ditentukan sebagai suatu nilai lebih besar dari 1/2N nilai pengamatan terkecil dan kurang dari 1/2N nilai pengamatan terbesar. Kuartil pertama (Q1) adalah median semua pengamatan yang kurang dari Q2. Artinya nilai-nilai kuartil ketiga Q3 adalah median amatan yang lebih dari Q2. Artinya nilai-nilai kuartil mempunyai sifat bahwa 25% data jatuh di bawah Q1, 50% jatuh di bawah Q3. Misalkan di atas ada N pengamatan dan sudah diurutkan dari nilai yang terkecil sampai nilai yang terbesar, peringkat kuartilnya adalah: 1



Q1 pada peringkat 4 (𝑁 + 1) 2



Q2 pada peringkat 4 (𝑁 + 1) 3



Q3 pada peringkat 4 (𝑁 + 1) Perlu diperhatikan bahwa penentuan median selalu membagi kumpulan data menjadi dua bagian fraksi yang sama. Akan tetapi pada penentuan kuartil pertama dan kuartil ketiga rasio yang terjadi tidaklah sama 1 : 3. Kuartil pertama menghasilkan fraksi bawah 3 nilai dan fraksi atas dengan 11 nilai. Rasionya 3 : 11 hanya mendekati rasio yang diharapkan yaitu 1 : 3. Oleh karena itu untuk menentukan kuartil pertama dan kuartil pertama dan kuartil ketiga perlu dilakukan interpolasi agar hasilnya lebih cermat. Kuartil Qi = Lo + (c)



𝑖 𝑁−(∑𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖 ) 0 4



𝑓𝑄



dengan i=1,2,3



5.1.2.2 Desil Dalam 2 pasal sebelumnya dibahas ukuran lokasi pemusatan yaitu median dan kuartil. Ada beberapa ukuran lokasi lain yang menunjukkan lokasi sebagian data relative terhadap sekelompok data. Ukuran lokasi yang akan diberikan ini adalah desil dan persentil. Desil adalah nilai-nilai yang membagi sekelompok data pengamatan menjadi 10 bagian yang sama. Dalam ilmu statistic, desil sering dituliskan sebagai D1, D2,…, D8



dan D9 yang mempunyai sifat bahwa 10% data jatuh di bawah D1, 20% data jatuh di bawah D2,… dan 90% data jatuh dibawah D9. Cara menghitung desil sama persis dengan menghitung kuartil. Bila ada N pengamatan dan sudah diurutkan dari nilai yang terkecil sampai yang terbesar, maka rumus desil adalah : Desil Di = Lo + (c)



𝑖 𝑁−(∑𝑘 𝑖=1 10



𝑓𝐷



𝑓𝑖 ) 0



dengan i=1,2,3,…9



Dengan : Lo= nilai batas bawah dari kelas selang yang membangun desil



5.1.2.3 Persentil Persentil adalah nilai-nilai yang membagi sekelompok data pengamatan menjadi 100 bagian yang sama yang disebut persentil. Persentil sering disimbolkan sebagai P1, P2,…, P98 dan P99 yang mempunyai sifat bahwa 1% data jatuh di bawah P1, 2% data jatuh di bawah P2,… dan 99% data jatuh di bawah P99. Cara menghitung persentil sama persis dengan perhitungan kuartil maupun desil dari data asalnya, akan tetapi karena data sudah dikelompokkan dan telah dihilangkan identitasnya, maka lebih mudah bila ditentukan langsung dari sebaran frekuensinya. Bila ada N pengamatan dan sudah diurutkan dari nilai yang terkecil sampai nilai yang terbesar, maka rumus persentilnya: Persentil Pi=Lo+(c)



5.1.3



𝑖 𝑁−(∑𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖 ) 0 100



𝑓𝑃



dengan i=1,2,…,99



Modus



Sekumpulan pengamatan data yang nilai terjadinya sering muncul atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi disebut modus (Mo, atau nilai yang paling banyak di dalam satu kelompok nilai.



Suatu distribusi mungkin tidak mempunyai modus, dengan kata lain modus tidak selalu ada. Hal ini bila semua pengamatan hanya mempunyai satu frekuensi saja. Untuk data-data tertentu kemungkinan muncul beberapa nilai dengan frekuensi yang sama dan hal ini dimungkinkan kumpulan data mempunyai lebih dari satu modus. Untuk kumpulan data yang berukuran cukup kecil modus ini tidak mantap sehingga hanya bermanfaat untuk dijadikan penciri kumpulan data yang berukuran besar. Dalam bidang pemasaran, ukuran modus juga sering digunakan untuk mengetahui barang apa yang paling disukai konsumen. Artinya barang apa yang telah menjadi mode. Mode pakaian, mode sepatu, rambut gondrong, celana belel dan lain-lain merupakan suatu mode. Potongan rambut “cepak” ala “Demi Moore” yang paling digemari pun disebut mode. Jenis film opera “sabun” yang sering ditonton pemirsa TV merupakan mode. Apabila data dikelompokkan dalam kelas-kelas selang dan disajikan dalam tabeltabel frekuensi tertentu, maka dalam mencari modus dapat dipergunakan rumus sebagai berikut: M0=Lo + c (𝛿



𝛿1



)



1 + 𝛿2



Dengan : Lo = Nilai batas bawah dari kelas yang mengandung unsure nilai unsure atau membuat nilai modus.



5.2



Ukuran Keragaman



Nilai rata-rata, median (kuartil, desil, persentil) dan modus adalah nilai-nilai yang mewakili pemusatan sekelompok data. Akan tetapi ketiga ukuran pemusatan yang telah dibahas ternyata belum memberikan gambaran yang mencukupi bagi sekelompok data. Data dari suatu pengamatan selain memiliki kecenderungan memusat juga memiliki kecenderungan mencapai nilai yang berbeda. Hal ini disebut kecenderungan memencar. Yaitu seberapa jauh hasil-hasil pengamatan menyebar di “sekitar” rata-



ratanya. Ada yang sama dengan rata-rata, ada yang lebih kecil atau lebih besar dengan rata-rata tersebut. Dengan kata lain ada keragaman atau disperse dari datadata itu. Bila seluruh data dari suatu kelompok data sama satu sama lain dikatakan kelompok data homogeny (tidak bervariasi). Perhatikan hasil pengamatan 2 kelompok data berikut, dalam miligran kadar tar dalam rokok filter dan kretek. Rokok Filter



30 31 28 30 29 29 32 30 32 29 mg



Rokok Kretek



33 29 30 31 34 28 29 29 27 30 mg



Rata-rata kandungan tar kedua rokok sama yaitu 30 mg. tetapi terlihat bahwa pada rokok filter kandungan tar-nya lebih seragam daripada rokok kretek. Maksudnya tingkat keragaman pengamatan rokok filter dari nilai rata-ratanya lebih kecil daripada rokok kretek. Oleh sebab itu, kita lebih percaya bahwa kandungan tar lebih mendekati pada rokok filter. Ada beberapa macam ukuran keragaman atau dispense, misalnya nilai jarak, ratarata simpangan, simpangan baku, dan koefisien variasi.



5.2.1



Nilai Jangkauan Di antara ukuran keragaman yang paling sederhana dan paling mudah



dihitung adalah nilai jangkauan (NJ). Nilai jangkauan sekumpulan data adalah beda pengamatan data terbesar dengan data terkecil dalam sekumpulnya data tersebut. Bila suatu kumpulan data sudah disusun menurut urutan yang terkecil (statistik minimum X[1]) sampai yang terbesar (statistik maksimum X[n], maka nilai jangkauannya adalah: NJ = X[1] – X[1] Nilai jangkauan bukan merupakan ukuran keragaman yang baik karena nilai ini hanya memperhatikan kedua nilai ekstrim dan tidak mengatakan apa-apa mengenai sebenarnya. Sebagai gambaran lihatlah sebaran kandungan tar rokok di atas. Rokok filter mempunyai nilai rata-rata dan median sama yaitu sebesar 30 mg



dan bilangan-bilangannya bervariasi dari 28 sampai 32 mg. Pada rokok kretek, rata-rata dan mediannya sama 30 mg tetapi nilai bilanginnya sangat bervariasi dari 27 sampai 34 mg.



5.2.2



Simpangan Rata-Rata Simpangan sebuah pengamatan dari rata-ratanya diperoleh dengan mengurangkan



pengamatan



tersebut



dengan



nilai



rata-rata.



Bila



sekelompok data X1, X2, …, XN menyusun sebuah populasi terhingga berukuran N, maka simpangan dari nilai rata-rata populasinya : X1-µ,X2-µ,…,XN-µ. Jumlah semua simpangan rata-ratanya selalu sama dengan nol. Dan ini berlaku untuk sembarang data. Untuk mengatasi hal ini kita dapat menentukan ukuran keberagaman simpangan rata-rata dengan mengambil harga mutlaknya. Jadi simpangan rata-rata suatu contoh dari sejumlah n pengamatan didefinisikan sebagai jumlah harga mutlak masing-masing simpangan bagi banyaknya pengamatan : 1



SR=𝑛 ∑𝑛𝑖=1 |𝑋𝑖 − x | Untuk data berkelompok yang tersebar dalam tabel frekuensi fi dan titik tengah x:, simpangan rata-rata dinyatakan sebagai : ∑𝑛 𝑖=1|𝑋𝑖 − x |



SR = 5.2.3



∑𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖



Ragam dan Simpangan Baku Dalam



praktik



simpangan



rata-rata



jarang



sekali



digunakan.



Penggunaan harga-harga mutlak dalam simpangan rata-rata sangat sulit dan merepotkan secara matematis. Untuk memanipulasi hal itu telah digunakan kuadrat semua simpangan yang disebut ragam.



Bila sekelompok data X1, X2,…XN menyusun sebuah populasi terhingga berukuran N yang mempunyai rata-rata µ, maka ragam populasi yang dilambangkan sebagai σ2 (sigma kuaudrat) adalah : 1



σ2 = 𝑁 ∑𝑁 𝑖=1(𝑋𝑖 − µ)2. Ragam suatu populasi mempunyai satuan kuadrat dari satuan hasil pengamatan. Misalkan satuan hasil amanat waktu, panjang, maka ragam mempunyai satuan hukum kuadrat atau panjang kuadrat. Oleh karena itu agar diperoleh ukuran keragaman yang sama dengan satuan amanat asalnya kita tarik ulur akar ragamnya. Ukuran yang diperoleh terakhir ini disebut simpangan baku, yaitu : 1



σ = √ 𝑁 ∑𝑁 𝑖=1(𝑋𝑖 − µ) 5.3



2



Koefisien Variasi Dalam suatu investasi, resiko ditunjukkan oleh besar-kecilnya simpangan baku



dari nilai rata-rata atau hasil yang diharapkan. Oleh karena itu resiko untuk tingkat pengembalian akan diukur dari seberapa besar tingkat pengembalian riil akan lebih kecil dari tingkat yang diharapkan dengan membandingkan besaran simpangan bakunya. Akan tetapi karena simpangan baku merupakan pengukuran variabilitas yang absolut, maka jika digunakan untuk mengevaluasi proyek investasi yang nilainya berbeda, hasilnya kurang tepat. Atas dasar pemikiran ini, sebaiknya digunakan metode koefisien variasi (coefficient of variation, CV) yaitu simpangan baku yang dinormalisir: dihitung dari simpangan baku dibagi dengan rata-rata atau tingkat pengembalian yang diharapkan. Bila simpangan baku mempunyai satuan mengikuti satuan data asalnya, maka koefisien variasi tidak mempunyai satuan. Secara matematis rumus koefisien variasi dinyatakan dalam formulasi berikut ini: σ



CV= µ × 100% Bila data merupakan contoh, gantilah parameter populasi µ dengan rata-rata statistik ͞X dan simpangan baku populasi σ dengan simpangan baku contoh s.



BAB III PENUTUP



3.1 KESIMPULAN 3.2 SARAN