Makalah Titik Singular [PDF]

Citation preview

TITIK SINGULAR Definisi : titik z0 disebut titik singular dari f (z) jika f(z) tidak analitik di z0 tetapi untuk setiap dari z0 memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik. Contoh : 1) F(z) = |𝑧 2 | = |(𝑥 + 𝑖𝑦)2 | = |𝑥 2 + 2𝑦 𝑥 + − 𝑦 2 | = |𝑥 2 −𝑦 2 +2xyi | = |𝑥 2 − 𝑦 2 | + |2xyi| Jadi f(z) titik singular karena tidak analitik



(1) Titik singular terisolasi = titik singular z0 disebut titik singular terisolasi jika dan hanya jika δ > 0 sehingga daerah δ z0 ᴈ tidak ada titik singular lain kecuali z0 Dδ(z0) z0



soal misalkan : f(x,y) = u(x,y) + iv,(x,y) jika f(x,y) analitik dan u,v harmonic maka u dan v disebut fungsi harmonic conjugate soal jika f(x,y) = u(x,y) + i(𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑦 + 3) u(x,y) dan 𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑦 + 3 harmonik conjugate maka 1. Buktikan bahwa 𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑦 + 3 harmonik 2. Tentukan u(x,y) Jawab 1. 𝑢𝑥 = 2𝑥 𝑢𝑦 = 2



𝑣𝑥 = -2y-2 𝑣𝑦 = -2



𝜕2 𝑢 𝜕



𝑥2



𝜕2 𝑢



+ 𝜕 𝑦2 = 0



2 + (-2) 



=0



Karena u memenuhi persamaan laplace maka harmonic (terbukti) 2.



𝜕𝑣



𝜕𝑣



= -2x 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣



𝜕𝑦



= -2y-2 𝜕𝑣



*𝜕𝑥 = 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑥



=



𝜕(𝑥 2 −𝑦 2 −2𝑦+3) 𝜕𝑦



= -2x + g’(y)



u = -2xy - 2x + g(y)