Mat Limit Ringkasan [PDF]

Citation preview

MATEMATIK Limit LIMIT I. PENDAHULUAN 1. LIMIT DARI SUATU BARISAN Suatu



barisan



diberikan



sebagai



berikut



:



1,



3/2,



5/3,



7/4,



9/5 ..............2 –1/n, ................ Jika n→~ maka 1/n → 0, sehingga 2 ─ (1/n) → 2, dikatakan : Lim (2 ─ 1/n) = 2 n→~ 2. LIMIT DARI SUATU FUNGSI Misalkan suatu fungsi f(x)=x 2 jika x → 2, maka f(x) = x 2 → 4, seperti tabel berikut : ....



2,1



....



2,01



.....



2,001



....



4,41



....



4,0401



.....



4,004001



x f(x) = x 2



Nampak bahwa jika x → 2, maka f(x) = x 2 → 4 ; dikatakan : lim x 2 =4 x→ 2 II. DEFINISI LIMIT Jika c ε I dan fungsi f didefinisiksn pada selang terbuka I (mungkin kecuali di c), Limit fungsi f di c adalah L, ditulis : Lim f(x) = L x→c Jika untuk setiap Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sehingga :



MATEMATIK Limit 0< x - c



0,



sedemikian sehingga : •



0< (5x – 3) ─ 17



0, sedemikian sehingga : 0< (x - c) < δ sb-y



→



0< f(x) ─ L



f(x) ─ L



0



0



,



untuk



x=0



1 – x2 . 2



untuk



x 2 Jawab : Diketahui



Lim f(t) = 2, berarti t →2 Lim f(t) = 2 t →2 ─



Lim (pt 2 – qt) = 2 t →2 ─ 4p – 2q = 2 ...........................(1)



Lim f(t) = 2 t →2 +



Lim (qt + (p – 2)t + 2) = 2 t →2 + 2q + (p – 2)2 + 2 = 2 2p + 2q = 4



......................(2)



Dari (1) dan (2) diperoleh : 4p – 2q = 2 2p + 2q = 4 + 6p =6 p =1



untuk p = 1, maka 2p – 2q 4p – 2q = 2 4.1 – 2q = 2 -2q = -2 q= 1



jadi p = 1 dan q = 1 VI. LIMIT TAK HINGGA Konsep dasar Limit Tak Hingga : (1) Lim ( 1/x ) = ~ x → 0+



(2) Lim ( 1/x ) = ─ ~ x → 0─



VII. LIMIT DI TAK HINGGA Konsep dasar Limit di Tak Hingga : (1) Lim ( c/x ) = 0



MATEMATIK Limit x→~ Contoh : Tentukan : (1) (3) Jawab : (1)



Lim x→~ Lim x→~



3x 2 – 2x + 2 4x 2 + x – 1 x+2 x 2 + 2x – 1



(2) Lim x3 – x + 1 2 x→~ 2x + x (4) Lim 2x – 2- x x → ~ 2 x + 2 -x



Lim (3x 2 – 2x + 2) = x → ~ ( 4x 2 + x – 1) = =



(2)



Lim (x 3 – x + 1) x → ~ ( 2x 2 + x)



= = =



(3)



Lim x→~



x+2 = x 2 + 2x – 1 =



Lim (1/x 2 )(3x 2 – 2x + 2) x → ~ (1/x 2 )( 4x 2 + x – 1) Lim 3 – 2/x + 2/x 2 x → ~ 4 + 1/x – 1/x 2 3–0+0 = 3 4+0–0 4 Lim (1/x 2 ) (x 3 – x + 1) x → ~ (1/x 2 ) ( 2x 2 + x) Lim x – 1/x + 1/x 2 x→~ 2 + 1/x ~–0+0 =~ 2+0 Lim (1/x 2 ) (x + 2) x → ~ (1/x 2 )(x 2 + 2x – 1) Lim 1/x +2/x 2 = 0 + 0 x → ~ 1 + 2/x - 1/x 2



1+0+0 (4)



Lim 2x – 2-x x → ~ 2 x + 2 -x



=



0



=



Lim 2 x (1 – 2 ─2 x ) x → ~ 2 x (1 + 2 ─2x ) Lim (1 – 2 ─2 x ) x → ~ (1 + 2 ─2x ) 1–0 = 1 1+0



= =



KONTINUITAS DEFINISI Fungsi f kontinu pada x = a jika dan hanya jika memenuhi ketiga syarat berikut :



MATEMATIK Limit (1).



f(a) = L (ada atau didefinisikan pada x = a)



(2.).



Lim f(x) = L (ada) x→a



(3)



Lim f(x) = f(a) = L x→a



Contoh : Selidiki apakah fungsi f kontinu pada x = 2, jika : x2 – 4 x–2



; untuk x ≠ 2



4x – 4



; untuk x = 2



f(x) =



Jawab : (1)



Untuk x = 2,



f(2) = 4x – 4 = 4.2 – 4 = 4 (ada), jadi syarat (1)



terpenuhi. (2)



Lim f(x) = Lim x 2 – 4 = Lim (x-2)(x+2) = Lim (x + 2) = 2 + 2 = 4 x→2 x→2 (x -2) x →2 (x – 2) x→2 Jadi syarat (2) terpenuhi



(3)



Lim f(x) = f(2) = 4, syarat (3) terpenuhi x→2



Jadi ke-3 syarat kontinuitas terpenuhi, berarti f kontinu pada x = 2.



Contoh : Tentukan konstanta a dan b, jika fungsi f kontinu pada t = 3; dan f(t) =



at 2 + bt + 5



; untuk t > 3



4t + 2



; untuk t = 3



(b+4)t + at - 1



; untuk t < 3



MATEMATIK Limit



Jawab : Fungsi f kontinu pada t = 3, berarti ke-3 syarat terpenuhi, dengan demikian : Lim f(t) = f(3). t→3 •



f(3) = 4t + 2 = 4.3 + 2 = 14



•



Lim f(t) = f(3), berarti : t→3 (a).



Lim f(t) =14 t →3 ─



Lim (b+4)t + at - 1 = 14 t →3 ─ (b + 4).3 + a.3 – 1 = 14 3a + 3b = 3 .......................... (1)



(b).



Lim f(t) =14 t →3 +



Lim (at 2 + bt + 5) = 14 t →3 +



a.3 2 +b.3 + 5 = 14 9a + 3b = 9 ......................... (2) Dari pers. (1) dan (2) diperoleh : 3a + 3b = 3 9a + 3b = 9 - 6a= -6 a = 1



untuk a = 1, maka 9a + 3b = 9



9.1 + 3b = 9 3b = 0 b=0



Contoh : Selidiki apakah arus I kontinu pada t = ½π, Jika arus I dinyatakan sebagai fungsi dari waktu t (dalam detik) sbb : I(t) =



e 2t . S in 2t Cos t



; untuk t ≠ ½π



e 2t . Sin 2t



; untuk t = ½π



Jawab : (1). (2)



I(½π) = e 2.½π . Sin 2.½π = e π . Sin π = e π . 0 = 0 (ada) Lim I(t) = Lim e 2t . S in 2t t → ½π t → ½π Cos t =



Lim e 2t . 2 Sin t.Cos t t → ½π Cos t



MATEMATIK Limit



(3)



=



Lim 2.e 2t . Sin t t → ½π



=



2.e 2.



=



2.e π .1



=



2.e π (ada)



Jelas nampak,



½π



. Sin ½π



Lim I(t) ≠ I(½π) t → ½π



Jadi I diskontinu pada t = ½π Tes Formatif : 1. Tentukan limit fungsi berikut : (a)



Lim x→5



x 2 – 4x – 5 x–5



(c)



(b)



Lim x →0



5x – tg 3x 2x + Sin 2x



(d) Lim x → –~



Lim x+3 x →-3 √(x 2 + 7) - 4 x 5 + 3x 2 – 4x



2. Tentukan konstanta p dan q, jika I kontinu pada t = – 4, dan I(t) didefinisikan : qt + (p – 4)t – 16 I(t) =



-4t + 8 pt 2 + qt + 20



, untuk t > -4



, untuk t = -4 , untuk t < -4



3. Arus I dinyatakan sebagai fungsi dari waktu t (dalam detik) sbb : I(t) = a.



I o + S in 2t Cos t



; untuk t ≠ ½π



I o + Cos 2t



; untuk t = ½π



Selidiki apakah I kontinu pada t = ½π



b. Jika tidak kontinu, tentukan nilai I(½π) agar kontinu pada t = ½π. 4. Tentukan konstanta c agar fungsi f mempunyai limit di x = -1, dan f didefinisikan : f(x) =



3 – cx ; untuk x < -1 x 2 – c ; untuk x ≥ -1



5. Carilah : a. Lim √(1+x) x →~ 3 x



b. Lim (x – π/4).Sec 2x x → π/4



MATEMATIK Limit c. Lim √(x 2 + x) x →– ~ 2x – 1



6. Diberikan f(x) = Jika x > -1/5.



d. Lim



5 x + 1 , tentukan



(x 2 – 3x) x→– ~



+x



f ( x + h) − f ( x ) lim h h→ 0



MATEMATIK Limit



2. 2.1.



LIMIT DEFENISI LIMIT



2.1.1. LIMIT DARI SUATU BARISAN Suatu barisan diberikan sebagai berikut : 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5 ..............2 –1/n, ................ diletakkan pada sebuah garis bilangan, nampak bahwa mereka semakin menggerombol ke titik 2 sedemikian rupa, sehingga ada titik dari barisan yang berjarak dari 2, lebih kecil dari sembarang bilangan positif terkecil, betapapun kecilnya.



Contoh : Titik 2001/1001 dan semua bagian barisan titik-titik yang berjarak 0 sedemikian hingga f(x) - 4 < ∈ untuk 0 < x - 2 < ∈, kita nyatakan bahwa limit dari f(x) untuk x mendekati 2 adalah sama dengan 4, atau dinyatakan dengan



lim f ( x) = 4 . x→2



Definisi : lim f ( x) = A , dapat ditetapkan dengan mengecek f(x) x→a untuk x → a pada sebuah bilangan dari barisan. Penemuan f(x) → A dalam setiap kejadian, kemudian disimpulkan bahwa hasil yang sama akan diperoleh untuk semua barisan lain yang memiliki limit a. Sekarang untuk x → a pada setiap macam barisan, x harus dapat terjadi menutup a. Pengertian penting dari konsep limit ialah bahwa ketika x makin menutup tetapi masih berbeda dari a, kemudian f(x)



mendekati A.



Ini mungkin bisa dinyatakan dalam batasan yang tepat sebagai berikut : lim f ( x ) = A = A jika untuk sembarang pemilihan bilangan positif x→a ∈, betapapun kecilnya, ada sebuah bilangan positif δ sedemikian hingga jika 0 < x - a < δ, maka f(x) - A < ∈. Dua ketetapan interval yang berbeda : Xo a-δ



a



X a+δ A -∈ Gambar 2.1



F(xo) A



f(x) A+∈



MATEMATIK Limit Intisari dari definisi ialah bahwa sesudah ∈ terpilih (interval (ii) diatas), δ



dapat ditentukan (interval (i) dapat ditentukan)



sedemikian jika x ≠ a pada interval (i) katakan pada x o , maka f(x) pada interval (ii). Contoh : 1. Tentukan limit dari setiap barisan berikut : a) 1/2, 1/4 1/8, 1/16, 1/32, ...................... b) 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; 0,99999 ; ............. Penyelesaian : a) Jelasnya, kita pindahkan barisan tersebut kedalam garis bilangan 0 1



1



1



1



1



64 16 4 2 Nampak bahwa mereka makin menggerombol di/ke titik 0, dan kita katakan bahwa limit dari barisan adalah 0. Dalam bentuk tabel sebagai berikut : n F (n)



1 1/2



2 1/4



3 1/8



4 1/16



5 1/32



6 1/64



.... ....



n 1/2 n



Sehigga kita dapat menentukan bantuk umu dari barisan tersebut yaitu ½ n .



∴



lim 1 / 2 n = lim (1 / 2) n = 0 n→ ∼ n→∼



b) Dengan menggunakan tabel seperti pada (a), kita dapat menentukan limit dari barsan (b) sebagai berikut :



.... ....



MATEMATIK Limit n F (n)



1 0,9



2 0,99



3 0,999



4 0,9999



5 0,99999



.... ....



n 1-1/10n



Nampak bahwa rumus umum barisan tersebut adalah 1 – 1/10 n sehingga : lim f (n) = lim (1 − 1 / 10 n ) = 1 n→ ∼ n→∼ 2. f(x) = 4x – 1, diketahui lim f(x) = 11, tentukan δ untuk untuk x →3 ∈ = 0,01. Penyelesaian : f(x) - 11 = (4x –1) – 11 = 4x - 12 = 4x - 3 karena kita inginkan 4x - 3 < - 0,01 untuk 0 < x - 3 < δ = 0,0025, kita punyai (4x – 1) - 11 < 0,001 dimana 0 < x3 < 0,0025 sehingga δ = 0,0025.



lim 5 x = 5.2 =10



3. a)



x →2



b)



2.2.



lim ( x 2 − 4 x + 1) = 4 − δ + 1 = − 3 x→2



CONTOH LIMIT GEOMETRI



sin x =1 x x →0



Y Rumus limit fungsiRtrogonometri yang sangat penting lim P Adapun kejadiannya sebagai berikut : r α



O



L



Q



A



X



Sudut α radian (0 < α < Π/2), diletakkan



Gambar 2.2.



pada



posisi



baku.



.... ....



MATEMATIK Limit Lingkaran berjari-jari 1 satuan dan berpusat



dititik



0.



Lingkaran



tersebut memotong sumbu x di A dan memotong kaki terminal sudut α di P. PQ ⊥ sumbu x atau PQ ⊥ OA, demikian juga AR ⊥ OA. Dan ternyata : Luas ∆ OPA < luas sektor OPA < luas ∆ ORA. 1/2. PQ.OA < α/2 Π. Π. r 2 < ½.AR.OA. 1/2. r 2 .sin α. r 2 < ½ . r 2 . tg α sin α < α < tg α α



1
0 sedemikian hingga : [f(x) + g(x)] – (L + M) < ∈ dimana 0 0, disana x →a ada sebuah δ 1 > 0 sedemikian hingga f(x) - L< 1/2 ∈ untuk mana 0 0, ada sebuah δ 2 x →a > 0 sedemikian hinggag(x) - M < 1/2 ∈ , dimana 0 < x - a < δ 2. Sekarang kita misalkan δ menjadi lebih kecil dari dua bilangan δ1 dan δ2, sehingga f(x) - L P, maka f(x) > M.



Jika lim g ( x) dan lim it f ( x) ada, teorema-teorema tentang limit dari bab ini x →∼ x →∼ berarti benar. Mereka jangan digunakan tetapi, lim f ( x) = ∼ dan lim g ( xjika )∼ x→a x→a atau ketika lim f ( x) = ∼ dan lim g ( x) = ∼ . sebagai contoh : x →∼



x →∼



x 1 = ∼ dan lim = ∼ tetapi 2 1− 2 x →∼ 1 − x x →1



lim



 x  1− 1



1 1− x 2



 lim x →1 



lim ( x x→ + ∼ lim { x→ + ∼



2



)



  = lim x (1 + x ) = 2. Demikan juga  x →1



+ 5 = + ∼ dan



(x



2



)



(



lim ( 2 − x x →+ ∼



+ 5 = + 2 − x2



) }=



2



) = − ∼ , tetapi



lim



x→ + ∼



7=7



PEMECAHAN MASALAH 1. Tentukan limit dari setiap barisan berikut :



MATEMATIK Limit a) 1, 1/2, 1/3, ¼, 1/5, .................. b) 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, ............. c) 2, 5/2, 8/3, 11/4, 14/5, ............ d) 5, 4, 11/3, 7/2, 17/5, ............... Penyelesaian : a) Rumus umumnya 1/12. Untuk n merupakan perubahan pada harga-harga 1, 2, 3, 4 ............., 1/n berkurang tetapi ,asih positif. Limitnya adalah 0. b) Rumus umumnya (1/n) 2 ; limitnya 0. c) Rumus umumnya 3-1/n ; limitnya 3. d) Rumus umumnya 3 + 2/n ; limitnya 3.



Evaluasikanlah :



x− 4



x− 4



1



1



lim x 2 − x − 12 = lim ( x + 3) ( x − 4) = lim x + 3 = 7



a)



x→ 4



b)



x 3 − 27 ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9) x 2 + 3x + 9 9 = = = lim x 2 − 9 lim ( x − 3) ( x + 3) x+3 2 x →3 x→3



c)



( x + h) 2 − x 2 x 2 + 2hx + h 2 − x 2 2hx + h 2 = lim = lim = 2x lim h h h h→0 h→0 h→0



d)



x→ 4



x→ 4



(4 − x 2 ) (3 + x + 5 ( 4 − x ) (3 + x 2 + 5 = = lim lim 4 − x2 + x 2 + 5 ) = 6(3 − x 2 + 5) (3 + x + 5) x→2 h→2 (3 − lim 4 − x2



x→2



e)



x2 + x − 2 ( x − 1) ( x + 2) x+2 = lim = ∼ . Tak ada lim it lim ( x − 1) 2 = lim 2 ( x − 1) x→1 x →2 x →1 x − 1 3x − 2



= lim lim x→ ∼ 9 x + 7 x→∼



( x − 1) ( x + 2) 3− 2 / x 30 3 = lim = = x −1 9+0 9 x→∼ 9 + 7 / x



MATEMATIK Limit 2. a) 6x 2 + 2x +1 6 + 2 / x +1 / x 2 6+0+0 = lim = =1 b) lim 2 2 6−0−0 x→ ∼ 6 x − 3 x + 4 x→∼ 6 − 3 / x + 4 / x



c) lim = x→ ∼



d)



x2 + x − 2 1 / x +1 / x 2 − 2 / x 3 0 = = =0 lim 3 3 4 4x −1 4 − 1/ x x→∼



2x 3 2 = = lim =∼ lim 2 x + 1 x →∼ 1 / x + 1 / x 3 x→ ∼



3. Diberikan f(x) = x 2 – 3x, tentukan



f ( x + h) − f ( x ) h h →0



lim



Untuk f(x) = x 2 – 3x, f(x + h) = (x + h) 2 – 3(x + h), dan



7 ( x + h) − f ( x ) ( x 2 + 2hx + h 2 − 3 x − 3h) − ( x 2 − 3x ) = lim h lim h h →0 h →0 2h + h 2 − 3h = lim (2 x + h − 3) = 2 x − 3 h h→0 h →0



= lim



1 − cos x 2 sin 2 1 / 2 x sin 2 1 / 2 x = . .1 / 2 lim lim 2 x2 x2 x →0 x →0 x →0 (1 / 2 x)



4. = lim



=



sin 1 / 2 x 1 lim 2 x →0 1 / 2 x



sin 1 / 2 x 1 = 2 x →0 1 / 2 x



. = lim



tg x − sin x tg ( 1 − cos x) = lim 3 x x3 x →0 x →0 tg x . 2 sin 2 1 / 2 x = lim x3 2 x→0 tg x . 2 sin 1/ 2 x = lim 3 x x→0



5. = lim



tg x sin 2 1 / 2 x 1 = lim tg x = 2 lim sin 1 / 2 x2 .1 sin 1 / 2 x →0 x = 2xlim = xlim →0 (1 / 2 x) . 4lim 1 / 2x 2 x →0 1 / 2 x x →0 x x →0



.1



4



MATEMATIK Limit



=



1 .2 =1 4 2



SOAL-SOAL 1. Evaluasikanlah : a)



2 lim ( x − 4 x)



x→ 2 b)



3 2 lim ( x + 2 x − 3x − 4)



c)



(3x − 1) 2 lim ( x + 1) 3 x→ 1



d)



3x − 3 − x lim x − x x→ 0 3 + 3



e)



x−1 lim 2 x→ 2 x − 1



x→ 1



x2 − 4 f) lim 2 x→ 2 x − 5 x + 6



g)



x 2 + 3x + 2 lim 2 x→ − 1 x + 4 x + 3 x− 2



lim 2 x→ 2 x − 4



MATEMATIK Limit h)



i)



j)



k)



l)



2. a)



b)



lim



x→ 2



x− 2 x2 − 4 x− 2



lim 2 x→ 2 x − 4



( x + h) 3 − x 3 lim h h→ 0



lim x→ 1



x−1 x2 + 3− 2



2x+ 3



lim x→ ∼ 4 x − 5



2 x2 + 1 lim 2 x→ ∼ 6 + x − 3x x



c)



lim 2 x→ ∼ x + 5



d)



x 2 + 5x + 6 lim x + 1 x→ ∼



e)



x+ 3 lim 2 x→ ∼ x + 5 x + 6 3x − 3 − x lim x − x x→ + ∼ 3 + 3 3x − 3− x lim x − x x→ − ∼ 3 + 3



MATEMATIK Limit f)



g)



3. Evaluasikanlah :



a)



sin ax lim x x→ 0



4. Diberikan f(x) =



b)



lim tg 2 x . cosec 3x



x→ 0



5 x + 1 , tentukan



Jika x > 1/5.



c)



1 + cos x



lim 2 x→ π ( x − π )



f ( x + h) − f ( x ) lim h h→ 0



Jawaban : (a)



-4 ; (b) 0 ; (c) 1/2 ; (d) 0 ; (e) 1/3 ; (f) –4 ; (g) 1/2 ; (h) 1/4 ; (i) 0 ; (j) ∼ ; (k) 3x 2 ; (l) 2.



(a)



1/2 ; (b) –2/3 ; (c) 0 ; (d) ∼ ; (e) 0 ; (f) 1 ; (g) -1



(a)



a ; (b) 2/3 ; (c) 1/2 ; dan



5 2 5x + 1