Matematika II (Perminyakan) 2015 [PDF]

Citation preview

MATERI KULIAH MATEMATIKA II



Disusun oleh : Dra. Mustamina Maulani, MT



Teknik Perminyakan FTKE - USAKTI



1



MATERI MATEMATIKA II



1. Integral TakTentu 2. Integral Tertentu 3. Aplikasi Integral



UTS (materi 1,2,3)



4. Integral LipatDuaKoordinatKartesian 5. PersamaanDiferensialOrdeSatu



UAS (materi 3,4,5)



Referensi : 1. Kalkulus II, Purcell 2. Kalkulus II, Koko Martono, ITB 3. Calculus, Leithold



2



BAB I INTEGRAL TAK TENTU I. Definisi :



 f (x)dx



Integral tak tentu dari fungsi f(x)dituliskan C



, didefinisikansebagai :



 f ( x) dx  F ( x)  C dF ( x )  f ( x) Dimana: F(x) suatufungsidengan dx (F(x) disebutajuga anti turunan



Dari f(x) dan C suatukonstantapengintegralan II. Sifat Integral Tak Tentu 1.



 ( f ( x)  g ( x))



2.



 (k f ( x) ) dx  k  f ( x) dx = k F(x), k konstanta yang tidaknol



dx 



 f ( x) dx   g ( x) dx



= F(x) + G(x)



III. Tabel Integral f(x) k, konstanta xn ex Sin x Cos x



 f ( x) dx kx



1 x n 1 n 1



ex -cos x Sin x



a x , a  0 ,1



ax ln a



Sec2x Csc2 x sec x tg x csc x ctg x



tg x -ctg x sec x - ctg x



1 X



ln x



1 1 x2



sin 1 x atau cos1 x



3



tg1 x atau ctg1 x



1 1 x2



Latihan :Tentukan integral berikut : 1.



x 2 x (  3 e  sec x  7 ) dx 



(x 2.  3.



(



3/ 2



 2 sec x tg x  4 x  2 ) dx



x  2 sin x 1 ) dx



IV. MetodaIntegrasi 1. MetodaSubtiusi



 f ( x) dx dengan substitusi u u (x) dan integral menjadi  f (u ) du yang dapat diselesaikan. Latihan :



sin (4 x) dx 1.  2.



3.



 sin x e



2 cos x



4 x cos (2 x 4.  2x 5. 



dx



2 2  (2 x 1) sec ( x  x) dx



6.



(x



5 2







23



2



 1) dx



9 x 3 1 dx



cos 2 x ) dx (1  sin 2 x)



2. Integral Parsial Jika u = u(x) dan v = v(x) maka dari aturan diferensial



d du dv ( u v)  v  u dx dx dx



u



dv d du  (u v)  v dx dx dx



Untukmasing-masingruasdiintegralkanterhadap variable x didapat :



4



 u dv  u v   v du Rumus Integral Parsial Latihan : 1.



 x sin



(x . 



2 x dx



3.



(x 4. 



 1) ln ( x 2  2 x  3) dx



2



 2 x ln (3x  1) dx



2



2



e 3 x 1 ) dx



RUMUS - RUMUS : 















du 1 u  a  ln  C  a2 2a u  a



u



2



a



2











du  u2



du u a 2







1 u arc tg a a



 ln u 



2



du a2 u2







3. Integral



 C



u2  a2  C



 arc sin



u  C a



Pn ( x) dx ax 2  bx  c) Pn (x)  , Polinomderajat n



Penyelesaian : Tuliskanbentuk :







Pn ( x) dx ax 2  bx  c)



Qn 1 ( x) ax 2  bx  c  =







 ax  bx  c 2



dx



Dideferensialkan Latihan :



5



1.







 2.



x 2  2x  3 x  4x  5 2



x3  x 2  2x  1  x  2x  5 2



dx 3.



dx 4.







2 x3  4 x  1 x  6x  5







2



dx



4 x 2  6x  1  x  2x  8 2



dx



Pn ( x)  Qn ( x) dx 4. Integral fungsi Rasional , der Pn(x) < der Qn(x) a. Jika Qn(x) dapat diuraikan atas faktor linier yang berlainan. MisalnyaQn(x) =



( x  a1 ) ( x  a 2 ) ...... ( x  a n )



Pn ( x ) Pn ( x)  Maka Qn ( x) ( x  a1 ) ( x  a 2 ) ...... ( x  a n ) An A1 A2   ........  ( x  an ) = ( x  a1 ) ( x  a 2 )



b. Jika Qn(x) dapat diuraikan atas faktor linier dan ada yang berulang. 3 ( x  a ) ( x  a 2 ) ...... ( x  a n ) 1 MisalnyaQn(x) =



Pn ( x) Pn ( x)  3 Maka Qn ( x) ( x  a1 ) ( x  a 2 ) ...... ( x  a n ) A3 An A1 A2 A4  .   .......  2 3 ( x  an ) ( x  a1 ) ( x  a 2 ) = ( x  a1 ) ( x  a1 )



c. Jika Qn(x) dapat diuraikan atas faktor kuadrat tidak bisa difaktorkan (definit positif) yang tidak berulang. 2 ( ax  bx  c) ( x  d1 ) ...... ( x  d n ) Misalnya Qn(x) =



6



Pn ( x) Pn ( x )  2 Maka Qn ( x) (ax  bx  c) ( x  d1 ) ...... ( x  d n ) Cn C1 Ax  B   .......  2 (x  dn ) = (ax  bx  c) ( x  d1 )



Latihan :



1.







x 2  2x  3 dx x 3  2 x 2  x  2 3.



2 x2  x  3  x 3  x 2  7 x  20 dx



4 x3  x2  2 x3  x 2  4x  5 dx  x 3  3x  2  x 3  3 x 2  4 x  12 dx 2. 4. x3  x 2  x  2  x 4  4 x 3  9 x 2 10 x  4 dx 5.



5. Integral Trigonometri yangmemuat



a2  x2



,



a2  x2



,



x2  a2



Penyelesaian : Gunakansubstitusi : - Untuk



a2  x2



subtitusi x  a sin  atau x  a cos 



- Untuk



a2  x2



subtitusi x  a tg  atau x  a ctg 



- Untuk



x2  a2



subtitusi x  a sec  atau x  a csc 



Latihan : 1.



2.







9  x 2 dx







4  x2 dx 3



3.



2 x 1  x dx 



7



Rumus2 trigonometri : sin 2  2 sin  cos 



cos 2   sin 2   1 cos 2  



1 1  cos 2 2 2



cos 2  cos 2   sin 2 



sin 2  



1 1  cos 2 2 2



sec  



1 1 , csc n   cos  sin 



1  tg 2   sec 2 



1  ctg 2   c sec 2 



 sec x dx  ln



sec x  tg x  C



,



 csc x dx  ln



csc x  ctg x  C



n  sec x dx 



1 (sec n  2 x tg x  (n  2)  sec n  2 x dx  C n 1



 csc



1 (  csc n  2 x ctg x  ( n  2)  csc n  2 x dx  C n 1



n



x dx 



6. Integral



 (hx  k )



dx n



ax 2  bx  c



1 u  hx  k Penyelesaian :gunakansubstitusi



Contoh :



1.



2.



 ( x  2)  ( x  6)



7. Integral



dx x2  x 1



2



3.



 ( x  4)



dx 2



x2  2x  4



dx x2  4x



3



x



m



4.



 (2 x  6)



dx 2



x2  2x  3



p q



( ax  b) dx n



8



m 1  Bilangan Bulat n a. Jika , untuk penyelesaian gunakan substitusi



u q  ax n  b



m 1  Bilangan Bulat n b. Jika ,



m 1 p   Bilangan Bulat n q tetapi , q n n u x  ax b untukpenyelesaiangunakansubstitusi



Latihan :



1



x



3.



dx 3



x



x4  4



.



2.



4dx 5



x8  9



4.



x



dx



x



x5  4



dx 4



x2  2



8. Integral Rasionaldalam sinus dancosinus



Bentukumum :



 f ( sin x, cos x ) dx



Penyelesaian :digunakanpemisalan



2 dt 2t dx  2 sin x  1 t , 1 t 2



,



t  tg



x ,   x  2



1 t 2 cos x  1 t 2



9



Latihan :



dx  1  sin x  cos x 1.



cos x dx  1  cos x 3.



dx  1  sin x  cos x 2.



ctg x dx  1  sin x 4.



BAB II INTEGRAL TERTENTU I. Definisi : Integral tertentudarifungsif(x) adalah : b



 f ( x) dx  F (b)



 F (a )



a



dF  f (x) Dengan dx Latihan :Tentukan Integral tertentu berikut : 3



1.



 2x



4 x 2  5 dx



1



2



2.



x



sin (2 x 1) dx



0



3



3.



2



 1



2x  5 x 2  4 x 12



dx



10



BAB III APLIKASI INTEGRAL



I. LUAS DAERAH Y y = g(x) D y = f(x) 0abX 0



X



D adalah daerah yang dibatasi a  x  b , f ( x)  y  g ( x) b



Luasdaerah D adalah :



LD   ( g ( x)  f ( x) ) dx a



11



Y x = p(y) d



x = q(y) D



c



0X



D daerah yang dibatasi p( y )  x  q( y ) , c  y  d d



Luasdaerah D adalah :



LD   (q( y )  p( y ) ) dy c



Latihan :Tentukan luas daerah D 2 y  x & y  x 1. D daerah yang dibatasi .



2. D daerah yang dibatasi



y   x 2  2 , y  x, y  0 di kuadran pertama.



2 2 y  x  4 x  4 & y   x  4x  1 . 3. D daerah yang dibatasi



II. Volume Benda Putar 1. MetodaCakram



12



D



d r1 r2 k Sumbu putar



daerah D diputar



terhadap garis k terbentuk :



k



Volume = Volume silinder besar – Volume silinder kecil 2



=



2



(  r2 ) d  (  r1 ) d



2



=



2



 ( r2  r1 ) d



Jika diterapkan pada daerah D yang dibatasi y = f(x), y = g(x), x = a, dan x = b Diputarterhadapgaris y =k , maka volume yang terbentukadalah :



V 



b







(r2



2



2



 r1 ) dx



a



Ilustrasi : 1. Jika D diputarterhadapgaris y = 0 13



Y y = g(x)



D r2 y = f(x) r1 0



a



b



b







V 



(r2



2



X



r1  f ( x )



2



 r1 ) dx



a



r2  g ( x)



,



b



V    [( g ( x)) 2  ( f ( x)) 2 ] dx a



2. Jika D diputarterhadapgaris y = -p Y y= g(x) D 0 r1 y = -p



V 



y=f(x)



a r2



b



 a



(r2



b



2



x



r1  f ( x)  (  p )  f ( x )  p



2



 r1 ) dx ,



r2  g ( x )  ( p )  g ( x )  p



14



b



V    [( g ( x)  p) 2  ( f ( x)  p) 2 ] dx a



3. Jika D diputarterhadapgaris y = t y y=t r1 y = g(x) D



r2 y = f(x)



0



a



b



b







V 



(r2



2



x



r1  t  g ( x )



2



 r1 ) dx



a



,



r2  t  f ( x )



b



V    [(t  f ( x)) 2  ( t  g ( x)) 2 ] dx a



Latihan : 1. D daerah yang dibatasi y = x2 + 1, garis x=0 dan y=5. dikuadran I. Tentukan Volume D jikadiputarterhadap : a. Garis y = 0. b. Garis y = -3. c. Garis y = 7. 2. D daerah yang dibatasi y = x, y = -x + 4, dan y = 0. Tentukan Volume D jikadiputarterhadap : a. Garis y = 0. 15



b. Garis y = -5. c. Garis y = 8.



2. MetodaCincin k d



t = Tinggidaerah D r = jarak dari sumbu putar sampai titik



t D tengah



D



r1 = rr1– d/2 r2



r2 = r + d/2 r sumbuputar



daerah D diputar



terhadap garis k terbentuk :



k



Volume = Volume silinder besar – Volume silinder kecil 2



=



2



(  r2 ) t  (  r1 ) t



2



=



2



 ( r2  r1 ) t



=



 [( r  d / 2) 2  ( r  d / 2) 2 ] t



=



 [( r 2  rd  d 2 / 4)  ( r 2  rd  d 2 / 4) ] t 16



=



 [ r 2  rd  d 2 / 4  r 2  rd  d 2 / 4 ] t



=



2 t r d



Jika diterapkan pada daerah D yang dibatasi y = f(x), y = g(x), x = a, dan x = b Diputarterhadapgaris y =k , maka volume yang terbentukadalah :



V  2



b



 (r t )



dx



a



Ilustrasi :(ambil x jaraksumbu y kegaristengah D) 1. Jika D diputarterhadapgaris x = 0 Y y= g(x) D r y= f(x) 0



b



x



x



V  2



b



 a



V  2



(r t ) dx



rx t  g ( x)  f ( x) ,



b



 x ( g ( x)  f ( x) )



dx



a



17



2. Jika D diputar terhadap garis x = -s Y y=g(x) D r



y=f(x)



a



b -s



0



V  2



x



b



 (r t )



dx



a



V  2



r  x  ( s )  x  s t  g ( x)  f ( x ) ,



b



 ( x  s ) ( g ( x)  f ( x) )



dx



a



3. Jika D diputarterhadapgaris x = f Y y=g(x) D



r



y=f(x) a



b x



0



V  2



b



 a



(r t ) dx



f



r f x t  g ( x)  f ( x ) , 18



V  2



b



 ( f  x ) ( g ( x)  f ( x) )



dx



a



Latihan : 1. D daerah yang dibatasi y = x3, garis x=0 dan y=8. dikuadran I. Tentukan Volume D jikadiputarterhadap : a. Garis x = 0.



b. Garis x = -2



c.Garis x= 6



2. D daerah yang dibatasi y = x2, y = -x2 + 4, dan x = 0 dikuadran I. Tentukan Volume D jikadiputarterhadap : a. Garis x = 0.



b. Garis x = -4



c.Garis x= 5



III. PANJANG BUSUR LENGKUNGAN (S)



 S  (x) 2  (y ) 2 =



 y  1    x



2



.x



y dy  dx dan  S  dS , Jadi dS = Jika  x  0 maka  x



 d y  1    dx



2



dx



Sehinggapanjangbusurlengkungan y = f(x) dari x = a ke x = b, adalah : 19



 d y  1   d x  



b



S



 a



2



dx



Latihan : 3 2



1. Tentukan panjang busur lengkungan y  x diantara x = 0 dan x = 1. 2. Tentukan panjang busur lengkungan y  5 x  2 diantara x = 2 dan x = 6. IV. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR



 Lengkungan y = f(x) diantara x = a dan x = b, diputar terhadap sumbu x, bagaimana menentukan luas permukaan yang terjadi? Karena s cukup kecil maka luas permukaan kecil dari benda putar yang terjadi adalah :



20



f(x)



S



2  f ( x)



luas permukaan = 2  f ( x) s =



2  f ( x)



2



 y  1    x  



.x



d luas permukaan = Jika  x  0 maka



 d y  1    dx



2



dx



Sehingga Luas Permukaan benda yang terjadi adalah :



S  2



b



 a



f ( x)



 d y  1   d x  



2



dx



Latihan : 1. Tentukan luas permukaan benda putar yang terjadi apabila lengkungan



y  x diantara x = 0 dan x = 2 diputar terhadap



sumbu x. 2. Tentukan luas permukaan benda putar yang terjadi apabila lengkungan



y  2 x  1 diantara x = 1 dan x = 4 diputar terhadap



garis y=-1.



21



BAB IV INTEGRAL LIPAT DUA KOORDINAT CARTESIAN I. Definisi Jika D daerah yang dibatasi beberapa lengkungan pada bidang kartesian xy. Dan F(x,y) fungsi yang terdefinisi pada D. Maka Integral Lipat Dua dari fungsi F(x,y) pada daerah D adalah :



 F ( x. y) dA D



,



dengan dA : Diferensial elemen luas (dx dy atau dy dx ) Gambar 1 : Integral Lipat Dua F(x,y) pada D



y y=g2(x) D y=g1(x) 0



a



b



x



II. Sifat Integral Lipat Dua 1. 2.



 ( F  G) ( x, y) dA   F ( x, y) dA   G( x, y) dA D



D



D



 (F ) ( x, y) dA    F ( x, y) dA D



D



III. Tafsiran Integral Lipatdua



22



Gambar 2 : Tafsiran I Integral Lipat Dua y y = g2(x) D y = g1(x)



0



a



b



x



Jika D daerah yang dibatasi a ≤ x ≤ b & f(x,y) ≤ y ≤ g(x,y). Maka b g2 ( x)



 F ( x, y) dA    D



F ( x, y ) dy dx



a g1 ( x )



Gambar 3 : Tafsiran II Integral Lipat Dua y d D c x=p1(y)



x=p2(y)



0



x



Jika D daerah yang dibatasi p1(y) ≤ x ≤ p2(y) & c ≤ y ≤ d. Maka d p2 ( y )



 F ( x, y) dA   D







F ( x, y ) dx dy



c p1 ( y )



23



Gambar 4 : Tafsiran III Integral Lipat Dua y y=g2(x)



y=g3(x) I



D



II



y=g1(x)



0



a



b



c x



Jika D = DI U DII.Dimana DI dibatasi a ≤ x ≤ b & g1(x) ≤ y ≤ g2(x) dan DII dibatasi b ≤ x ≤ c & g1(x) ≤ y ≤ g3(x). Maka



 F ( x, y) dA   F ( x, y) dA   F ( x, y) dA D



DI







b g2 ( x)



 



DII



F ( x, y ) dA 



a g1 ( x )



c g3 ( x )



 



F ( x, y ) dA



b g1 ( x )



IV. Latihan: 1. Diketahui D daerah yang dibatasi y=-2, y = 3 & x = -3, x = 5.



 (3xy  6 x) dA



Tentukan D



.



2. Diketahui D daerah yang dibatasi y=x 2, y = 9 & x = 0 dikuadran I. Tentukan



 (3 y  x



2



y ) dA.



D



Ddaerah yang dibatasi y=x3, y= -8 x=0 dikuadran III.



3. Diketahui



 (4 xy



Tentukan D



4. Diketahui



2



8  x2



0



x2



 



3



 5 y ) dA



.



( 3 xy  y ) dy dx



.



a. Gambarkan daerah integrasi D. b. Ubahlah urutan batas inegrasi dan hitung.



24



5. Diketahui



3



6 y



0



y



 



( 3xy  y ) dx dy



.



a. Gambarkan daerah integrasi D. b. Ubahlah urutan batas inegrasi dan hitung.



BAB V PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU



I. Definisi Persamaan Diferensial orde 1(PD Orde 1) adalah suatu fungsi yang memuat variable x, y dan dy/dx.



F ( x, y ,



dy )  k , k kons tan ta dx



Contohbentuk PD Orde1 :



dy  4 x y  sin (2 x) dx 1. 25



2 2 ( x  y ) dx  2 x y dy  0 2.



(3x  5 y 1) dy  dx ( x  4 y  1) 3. II. Masalah PD OrdeSatu Menentukan penyelesaian umum persamaan diferensial, yaitu



f ( x , y )  C atau y  f ( x )



III. Tipe – Tipe PD OrdeSatu 1. PD VariabelTerpisah BentukUmum :



M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy  0 Dengan M(x,y) dan N(x,y) fungsi dalam variable x dan y Penyelesaian :



M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy  0 M ( x , y ) dx   N ( x , y ) dy Dengan opersi aljabar



P ( x ) dx  Q ( y ) dy



 P ( x ) dx   Q ( y ) dy Penyelesaian umum



f( x, y ) C



26



Latihan: Tentukan penyelesaian umum PD 3 2 5 2 ( 2 x y  5 x y ) dx  4 y dy  0 1. x 3 2 2 ( e y  x x y ) dx  7 y dy  0 2.



4 3 4 dy (  y x  3 y x )  dx 8y 3.



2. PD Hmogen Bentuk umum : PD M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy  0 disebut PD Homogen jika M(x,y) dan N(x,y) fungsi homogen derajat sama. Definisi fungsi homogen : n f ( kx , ky )  k f ( x, y ) Fungsi f(x,y) disebut fungsi homogen derajat n jika



Contoh : 



f ( x, y )  2 x 2  y 2



suatu fungsi homogen derajat 2 karena



f (kx, ky)  2(kx) 2  (ky) 2  2k 2 x 2  k 2 y 2  k 2 (2 x 2  y 2 ) 



f ( x, y )  4 x 2  y



bukan suatu fungsi homogen karena



f (kx, ky)  4(kx) 2  (ky)  4k 2 x 2  k y  k n (4 x 2  y ) Penyelesaian : Substitusi



y  v x & dy  v dx  x dv dan



PD M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy  0 akan menjadi PD variable terpisah dalam v dan x.



27



Latihan :Tentukan penyelesaian umum PD 2 2 ( 2 x  y ) dx  4 y x dy  0 a. 3 3 2 ( y  x ) dx  3 xy dy  0 b.



c. (  y  x e



y x



) dx  x dy  0



3. PD Eksak Bentukumum :



M N  M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy  0  y x PD disebut PD Eksak jika Penyelesaian :



f M  x Fungsi f(x,y) = C diperoleh dari hubungan



f M  x Cara1 : dari



f  N  y dan



f ( x , y )   M dx  C ( y )



f  N Dan C(y) diperoleh dari hubungan y f  N Cara2 : dari y



f ( x , y )   N dy  C ( x)



f M Dan C(x) diperoleh dari hubungan x Latihan: Tentukan penyelesaian umum PD 1. (e ) dx  ( x e  2 y ) dy  0 y



y



28



2 2 ( x  y  2 x ) dx  2 x y dy  0 2.



dy ( y e x y  3 )  xy dx 3 y  x e 3. 4. PD Tidak Eksak Bentuk umum : PD M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy  0 disebut PD tidak Eksak jika



M N  y x Dan suatu fungsi



 yang mengakibatkan PD



 M ( x , y ) dx   N ( x , y ) dy  0 menjadi PD Eksak disebut Faktor Integrasi.



Penyelesaian :



M N   y x . a. Tunjukkan b. Tentukan factor integrasi



N







 dengan menggunakan rumus



   M x y M N  y x



dengan 



  (z ) dan z  z ( x , y )



c. Selesaikan PD  M ( x , y ) dx   N ( x , y ) dy  0 29



Denganpenyelesaian PD Eksak. Latihan :Tentukan penyelesaian umum PD 3 2 ( x  x y ) dx  x dy  0 dengan factor integrasi    (x) . 1. 2



3 2 2 3 3 2 3 ( 2 x y  x y ) dx  ( x y  2 x y ) dy  0 dengan factor 2.



integrasi



   ( x y)



2 2 4 3 ( 2 x y  y ) dx  ( x  2 x y  x y ) dy  0 dengan factor 3.



( integrasi



1 ) xy



5. PD Linier Orde Satu Bentuk umum :



dy  p( x) y  q( x) dx Penyelesaian :  p ( x ) dx p ( x ) dx ye  [  q ( x) e  dx  C ]



Latihan :Tentukan penyelesaian umum PD



1.



dy y   ( x 3  4 x 2  1) dx x x3



2.



3.



dy  ( 2  3 x 2 ) y  x3 dx



dy 2y   (1  ln x ) dx x 30



6. PD Bernoulli Bentuk umum :



dy  p ( x) y  q ( x) y   dx



konstanta tidak nol



Penyelesaian :



z  y1  



Substitusi



dan PD berubah menjadi PD linier orde satu



Dalam z dan x. Latihan :Tentukan penyelesaian umum PD



1.



dy y   (  2x  x2 ) y 4 dx x x



2.



3.



dy  y  x3 y 6 dx



dy y   ( x 3  8 x ) cos x. y 4 dx x



31