Materi 4 Fungsi Dua Peubah [PDF]

Citation preview

Materi 4 Fungsi Dua Peubah



Pendahuluan Sampai kini telah ada dua jenis fungsi yang muncul. Pertama, diberikan contoh f(x) = x 2 , yang mengaitkan bilangan riil x dengan bilangan riil lain f(x). Kita sebut f(x) ini sebagai fungsi bernilai riil dari peubah riil. Jenis fungsi yang kedua, diilustrasikan oleh f(x) = , mengaitkan bilangan riil x dengan vektor f(x). Fungsi itu kita sebut fungsi bernilai vektor dari peubah riil. Perhatian kita sekarang berpindah ke suatu fungsi bernilai riil dari dua peubah riil; yakni, fungsi f yang memadankan setiap pasangan terurut (x,y) dalam himpunan D pada bidang dengan bilangan riil (tunggal) f(x,y). Sebagai contoh adalah 1. f(x,y) = x2 + 3y2 2. g(x,y) = 2x√𝑦 Perhatikan bahwa f(-1, 4) = (-1)2 + 3(4)2 = 1 + 48 = 49



dan



g(-1, 4) = 2(-1) √4 = -4



Himpunan D disebut daerah asal (domain) fungsi. Jika daerah asal fungsi, kita ambil D berupa daerah asal mulanya (natural domain), yakni himpunan semua titik (x,y) pada bidang dimana aturan fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan riil. Untuk f(x,y) = x2 + 3y2 , daerah mulanya adalah seluruh bidang; untuk g(x,y) = 2x√𝑦 , daerah mulanya adalah {(x,y) : x ∈ R , y ≥ 0 }. Daerah nilai suatu fungsi adalah himpunan nilai-nilainya. Jika z = f(x , y), kita sebut x dan y peubah bebas dan z peubah tak bebas. Semua yang telah kami nyatakan, dapat meluas menjadi fungsi riil dari tiga peubah riil (atau bahkan n peubah riil). Kita bebas menggunakan fungsi-fungsi yang demikian tanpa komentar lebih lanjut. Contoh 1 : Dalam bidang xy, buatlah grafik daerah asal mula (domain) untuk √𝑦− 𝑥 2



F(x , y) = 𝑥 2 +(𝑦−1)2 Penyelesaian : Agar aturan ini bermakna, kita harus mengeluarkan {(x , y): y > x2} dan titik (0 , 1). Daerah asal yang dihasilkan dapat dilihat dalam gambar 1 dibawah ini



Grafik Dengan grafik fungsi f dua peubah, yang kita maksud adalah grafik dari persamaan z = f(x,y). Biasanya grafik ini merupakan permukaan (lihat gambar 2) dan karena setiap (x,y) di daerah asal hanya berpadanan dengan satu nilai z, maka setiap garis tegak memotong permukaan paling banyak di satu titik.



Contoh 2 1



sketsa grafik dari f(x,y) = √36 − 9𝑥 2 − 4𝑦 2 3



Penyelesaian : Andaikan z =



1 3



√36 − 9𝑥 2 − 4𝑦 2



dan perhatikan bahwa z ≥ 0. Jika kedua ruas kita



kuadratkan dan sederhanakan, kita peroleh persamaan 9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 Persamaan ini kita kenal sebagai sebuah persamaan elipsoid. Grafik dari persamaan yang diberikan merupakan sebagian dari permukaan atas elipsoid ini; grafik ini ditunjukkan pada gambar 3



Contoh 3 Buatlah sketsa grafik dari z = f(x , y) = y2 - x2. Penyelesaian Grafiknya merupakan sebuah paraboloid hiperbol dan sketsanya pada gambar 4.



Kurva Ketinggian Seringkali sangat sukar mensketsa permukaan yang berpadanan dengan grafik dari fungsi dua peubah z = f(x , y). Pembuat bagan telah memberikan cara lain dan biasanya lebih mudah untuk mengambarkan sebuah permukaan, yang disebut peta kontur. Setiap bidang mendatar z = c memotong permukaan dalam bentuk sebuah kurva. Proyeksi kurva pada bidang XY disebut kurva letinggian (gambar 5), dan kumpulan lengkungan – lengkungan yang demikian adalah suatu peta kontur. Kita telah memperlihatkan peta kontur untuk sebuah permukaan bentuk bukit pada gambar 6.



Contoh 4 Gambar peta-peta kontur untuk permukaan yang berpadanan dengan z = √36 −



9𝑥 2



−



4𝑦 2



dan z =



y2



-



x2



1 3



(lihat contoh 2 dan 3)



Penyelesaian : 1



Kurva-kurva ketinggian dari z = 3 √36 − 9𝑥 2 − 4𝑦 2 berpadanan dengan z = 0 , 1, 3/2 , 7/4 , 2 diperlihatkan pada gambar 7 berikut



Kemudian kita perlihatkan kurva ketinggian dari z = y2 – x2 untuk z = -5, -4, -3, . . ., 2, 3, 4. Kurva-kurva ini berbentuk hiperbol seperti tampak pada gambar 8.



Contoh 5 Sketsalah peta kontur untuk z = f(x,y) = xy Penyelesaian : Kurva ketinggian yang berpadanan dengan z = -4, -1, 0, 1, 4 diperlihatkan pada gambar 9.



Dapat diperlihatkan bahwa kurva tersebut berupa hiperbol. Pembandingan peta kontur dari gambar 9 dengan peta kontur gambar 8 memberi kesan bahwa grafik dari z = xy boleh jadi suatu parabol hiperbol, tetapi dengan sumbu-sumbu yang diputar sampai 450. Kesan ini benar.



Grafik komputer Komputer elektronika modern menyediakan suatu alat berkemampuan tinggi untuk memvisualkan permukaa di ruang dimensi-tiga. Walaupunakan membawa kita terlalu jauh untuk membahas bahan grafik komputer, gambar-gambar yang dihasilkan komputer pada halaman 249 dan 250 menghasilkan beberapa pemikiran tentang apa yang dapat dikerjakan.



Latihan soal : 1. Andaikan f(x,y) = x2y + √𝑦 . carilah setiap nilai berikut : a. F(2, 1) d. F(a, a2) b. F(3, 0) e. F(1/x , x4) c. F(1, 4) f. F(2, -4) 2. Andaikan g(x,y) = y/x + xy . carilah setiap nilai berikut : a. G(1, 2) d. G(a , a) b. G(1/4 , 4) e. G(1/x , x2) c. G(4, ¼) f. G(0, 0) 3. Sketsalah grafik dari f(x,y) = √16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 4. Sketsalah grafik dari f(x,y) = 3 – x2 – y2 Dalam soal no 5 dan 6 gambarlah kurva ketinggian z = k untuk nulai k yang diberikan 5. z =



𝑥2 𝑦



untuk k = -4, -1, 0, 1, 4



6. z = x2 + y , untuk k = -4, -1, 0, 1, 4 Dalam soal no 7 dan 8. Tentukan dan buat sketsa daerah asal fungsi dua peubah yang ditunjukkan, yang dengan jelas memperlihatkan sebarang titik pada batas daeral asal yang terendah dalam wilayah 7. Z = √𝑥 2 + 4𝑦 2 − 100 8. Z = - √2𝑥 − 𝑦 − 1