MATRIKS [PDF]

Citation preview

Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertian matriks Matriks  kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



2. Operasi dasar matriks



Berlaku Kaidah Komutatif : A +B = B+A Kaidah Asosiatif : A + ( B+C) = (A + B) +C = A+B+C



b. Perkalian Matriks dengan Skalar  Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.  Contoh: 4 A



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



Berlaku kaidah Komutatif : kA = Ak Kaidah Distributif : k (A+B) =kA +kB c. Perkalian Antarmatriks  Syarat perkalian Antarmatriks adalah jumlah banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.  Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana



Berlaku Kaidah Asosiatif : A (BC) = (AB)C = ABC Kaidah Distributif : A( B+C) = AB + AC (A+B)C = AC +BC



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



3. Transpose suatu matriks



adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.



3.1



Transpose Penjumlahan dan Pengurangan Ubahan dari jumlah atau selisih beberapa matriks adalah jumlah atau selisih matriks-matriks ubahannya



(Am x n + Bm x n + Cm x n)= At n x m + Bt n x m + Ct n x m kaidah komutatif : (A+B)t = (B+A)t atau At + Bt =Bt + At kaidah Asosiatif : { A + (B+C)}t = {(A+B)+C}t = At +Bt +Ct 3.2



Transpose Perkalian Ubahan dari perkalian matriks dengan skalar adalah perkalian scalar dengan matriks ubahannya. (kA)t = kAt Ubahan dari perkalian antarmatriks adalah perkalian matriksmatriks ubahannya dengan urutan yang terbalik (Am x n x Bn x p x Cp x q) t= Ctq x p x Btp x n x Atn x m



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



4. Beberapa matriks dengan jenis khusus



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



 Matriks Balikan Matriks balikan (inverse matrix)  matriks yang apabila dikalikan dengan suatu matriks bujursangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika A merupakan sebuah matriks bujursangkar, maka balikannya ditulis dengan notasi A-1



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



Contoh:



 Matriks Skalar Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya,



5 0 0  9 0   0 5 0 0 9      0 0 5    Referensi : 1. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi Pengarang : Dumairy Penerbit : BPFE – Yogyakarta 2. http://p4tkmatematika.org/ 3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



E. TRANSFORMASI ELEMENTER DAN MATRIKS EKUIVALEN Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut. 1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk transformasi baris dan Kij(A) untuk transformasi kolom. Contoh : a. Penukaran baris A=



1



2



0



2



3



1



2



3



1



1



2



0



0



1



1



0



1



1



H12(A)



H12(A) berarti menukar baris ke-1 matriks A dengan baris ke-2 b. Penukaran kolom



A=



1



2



0



1



0



2



2



3



1



2



1



3



0



1



1



0



1



1



K23(A)



K13(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3 2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h0, ditulis Hi(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k0, ditulis Ki(k)(A). Contoh :



A=



1



2



0



2



3



1



0



1



1



H2



(-2)



(A)=



1



2



0



-4



-6



-2



0



1



1



K3



(1/2)



(A)=



1



2



0



2



3



1/2



0



1



1/2



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



3. Menambah kolom ke-i dengan k kali kolom ke-j, ditulis Kij(k)(A) dan menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis Hij(h)(A). Contoh :



A=



1



2



0



2



3



1



0



1



1



H23



(-1)



(A)



1



2



0



2



2



0



0



1



1



1



2



2



2



2



5



0



1



1



H2 + (-1*H3) (2)



K31 (A) K3 + (2*K1) MATRIKS EKUIVALEN



Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM. Contoh : A=



2



3



1



4



1



0



dan B=



4



1



0



2



3



1



A dan B adalah ekuivalen baris karena jika kita mempertukarkan baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks A atau H12(A), maka akan didapat matriks B. 3 0 2 1 K12(1) 3 0 2 1 5 1 3 1 A= 4 1 3 1 K1+(1*K2) 3



0



2



1



5



1



3



1



H12



5



1



3



1



3



0



2



1



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



F. Menghitung nilai Determinan suatu matriks



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



6. Matriks persegi yang mempunyai baris atau kolom nol, determinannya adalah nol.



7. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris atau kolom yang sama adalah sama dengan nol.



8. Nilai determinan adalah nol jika semua unsurnya sama 2



2



2



2



2



2



2



2



2



=8+8+8–8–8–8=0



9. Nilai determinan adalah nol jika unsur-unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol 2



6



5



1



3



4



0



0



0



=0+0+0–0–0–0 =0



10.Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasilkali unsur-unsur diagonalnya 2



0



0



0



3



0



0



0



9



= 2 x 3 x 9 = 54



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



11.Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers) 12.Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan non-singular dan mempunyai balikan (invers) G. MINOR DAN KOFAKTOR MINOR unsur aij determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor dinotasikan dengan Mij Contoh:  a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32



a13   a23  a33 



 a11  a A   21 a  31 a  41



a13 a14   a23 a24  a33 a34   a43 a44 



a12 a22 a32 a42



M 11 



a 22



a 23



a32



a33



a22 M 11  a32 a42



a23 a24 a33 a34 a43 a44



KOFAKTOR dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



Contoh: 1  1  2   3 4 A=  1   2 1 1    C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3



C13 = (-1)4 M13 = M13 =



3 4 = 1 (7) = 7 1 1 1



4



2 1



= (-1) (9) = -9



1 3 =5  2 1



C21 = (-1)3 M21 = - M21 = -



1



1



1



1



=0



C22 = M22 = 0



C23 = - M23 = 0



C31 = M31 = 7



C32 = - M32 = - 9 C33 = M33 = 5



H. Matriks Singular dan non-singular Cara menentukan matriks tersebut Singular atau nonsingular adalah :  Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers)  Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan non-singular dan mempunyai balikan (invers)



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



I. Rank matriks



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



J. Matriks Invers Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I AB = I A1  Notasi matriks invers :  Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya akan menghasilkan matrik satuan: 1



A A I



Contoh :



a b  A  c d  



Maka



A1 



1  d  b ad  bc  c a 



A1 = adj. A = kofaktor yang di transpose kan Det A



Det A



K. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Penyelesaian system persamaan linier menggunakan matriks dapat melalui metode balikan maupun metode Cramer. 1. Metode Balikan



atau



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



Contoh :



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1



2. Metode Cramer Untuk menghitung variable x, dapat dilakukan dengan cara membagi determinan-determinannya



Contoh :



Referensi : 4. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi Pengarang : Dumairy Penerbit : BPFE – Yogyakarta 5. http://p4tkmatematika.org/ 6. http://www.idomaths.com/id/matriks.php



Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1