MBL-K8 Permodelan Matematika SPL PDF [PDF]

Citation preview

Sistem Persamaan Linear



Pemodelan Matematika Dengan Sistem Persamaan Linear



To p i k Pembahasan 1. Pemodelan Matematika dengan Sistem Persamaan Linear (SPL) 2. Matriks dan Operasinya 3. Solusi SPL dan Aplikasinya



Pemodelan Matematika dengan Sistem Persamaan Linear (SPL)



Temui dan Kenali Masalah



Masalah 1 : Belanja dari Toto, Titi dan Tata. Toto membeli 10 kg jeruk dan 5 kg manggis seharga Rp 175.000,00 sedangkan Titi membeli 2 kg jeruk dan 6 kg manggis seharga Rp 110.000,00. Berapakah harga yang harus dibayar Tata, bila dia membeli 3 kg jeruk dan 5 kg manggis?



Temui dan Kenali Masalah



Masalah 2: Pembuatan Kue Rumahan Baru Suatu industri pembuat kue rumahan akan menghabiskan bahan baku pembuatan kue yaitu: sebanyak 50 ons gula pasir, 50 kg tepung terigu, dan 60 butir telor ayam untuk memproduksi 3 macam kue, yaitu Kue1, Kue2, dan Kue3. Untuk membuat 1 kaleng kue1, diperlukan 1 ons gula pasir, 2 kg tepung terigu, dan 2 butir telor ayam. Untuk membuat 1 kaleng kue2 diperlukan 2 ons gula pasir, 1 kg tepung terigu, dan 2 butir telor ayam. Untuk membuat 1 kaleng kue3 diperlukan 2 ons gula pasir, 3 kg tepung terigu, dan 2 butir telor ayam. Berapa banyak kue1, kue2, dan kue3 yang bisa diproduksi?.



Temui dan Kenali Masalah



Masalah 3 : Umur tiga Bersaudara Ana, Bena, dan Cena adalah tiga orang bersaudara. Jika diketahui bahwa : • usia Ana pada lima tahun yang akan datang dikurangi usia Bena sepuluh tahun yang lalu sama dengan usia Cena lima belas tahun yang lalu, • lima kali usia Ana ditambah tiga kali usia Bena sama dengan 140 tahun dikurangi usia Cena saat ini, dan • usia Bena sama dengan tiga kali usia Cena dikurangi dua kali usia Ana, berapakah usia Ana, Bena, dan Cena saat ini?.



Langkah Pemodelan Matematika



• Pelajari masalah yang ingin diselesaikan, pastikan masalah yang ingin diselesaikan dapat diselesaikan dengan SPL. • Buat formulasi model matematikanya dalam bentuk SPL • Selesaikan SPL yang terbentuk. Selesaikan masalah yang dipelajari.



Definisi Persamaan Linear Persamaan Linear dalam 𝑛 peubah 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛 adalah suatu kalimat matematika (kalimat yang dinyatakan dalam lambang matematika) yang berbentuk 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏 dengan 𝑎𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛; dan 𝑏 adalah konstanta real, serta 𝑛 adalah bilangan asli.



Teori



Contoh untuk Belajar



1.



3𝑥 = 2 adalah persamaan linear dengan 1 peubah.



2.



2𝑥 − 𝑦 = 3 adalah persamaan linear dengan 2 peubah yaitu 𝑥 dan 𝑦.



3.



𝑥1 = 3𝑥2 − 𝑥1 + 𝑥3 adalah persamaan linear dengan 3 peubah.



4.



𝑦 = 𝑥 + 𝑥 2 bukan persamaan linear.



5.



𝑦 = 3 + sin(𝑥) bukan persamaan linear.



Sistem Persamaan Linear



Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah kumpulan dari beberapa persamaan linear. Sistem Persamaan Linear dengan 𝑚 persamaan dan 𝑛 peubah ditulis dalam bentuk standar sebagai berikut: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Penyelesaian (Solusi) SPL Nilai-nilai peubah 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛 yang memenuhi semua persamaan linear (SPL) disebut penyelesaian/solusi dari sistem persamaan linear.



Langkah Penyelesaian Masalah 1.



Mengganti setiap besaran yang terdapat dalam masalah tersebut dengan peubah tertentu (biasanya dilambangkan dengan huruf atau simbol).



2.



Menyusun hubungan antar persamaan dalam bentuk model matematika. Untuk bagian ini, model matematikanya berbentuk kumpulan persamaan linear.



3.



Mencari solusi kumpulan persamaan linear yang terbentuk.



Pemodelan Masalah 1 Toto membeli 10 kg jeruk dan 5 kg manggis seharga Rp 175.000,00 sedangkan Titi membeli 2 kg jeruk dan 6 kg manggis seharga Rp 110.000,00. Berapakah harga yang harus dibayar Tata, bila dia membeli 3 kg jeruk dan 5 kg manggis?



Langkah 1 : Mendefinisikan Peubah Peubah yang terlibat dan ditanyakan di soal adalah harga 1 kg jeruk dan harga 1 kg manggis. Misalkan 𝑥 = harga 1 kg jeruk 𝑦 = harga 1 kg manggis



Langkah 2 : Membuat Model Matematika Model matematikanya berbentuk 2 persamaan linear 10𝑥 + 5𝑦 = 175.000 ...(1) 2𝑥 + 6𝑦 = 110.000 ... (2)



Pemodelan Masalah 1



Langkah 3 : Mencari Solusi Dari persamaan (2) : 2𝑥 + 6𝑦 = 110 000. Berarti 𝑥 = −3𝑦 + 55 000. Substitusikan ke persamaan (1) diperoleh 10(−3𝑦 + 55 000) + 5𝑦 = 175 000 25𝑦 = 375 000 𝑦 = 15 000. Substitusikan untuk mencari 𝑥. 𝑥 = −3 (15 000) + 55 000 𝑥 = 10 000 Jadi harga 1 kg jeruk =Rp 10 000,00 dan harga 1 kg manggis = Rp 15 000,00. Bila Tata membeli 3 kg jeruk dan 5 kg manggis maka harus membayar Rp 30.000,00 + Rp 75.000,00 = Rp 105.000,00



Pemodelan Masalah 2 Suatu industri pembuat kue rumahan akan menghabiskan bahan baku pembuatan kue yaitu: Gula pasir sebanyak 50 ons, 50 kg tepung terigu, dan 60 butir telor ayam dengan cara memproduksi 3 macam kue, yaitu Kue1, Kue2, dan Kue3. Untuk membuat 1 kaleng kue1, diperlukan 1 ons gula pasir, 2 kg tepung terigu, dan 2 butir telor ayam. Untuk membuat 1 kaleng kue2, diperlukan 2 ons gula pasir, 1 kg tepung terigu, dan 2 butir telor ayam. Untuk membuat 1 kaleng kue3, diperlukan 2 ons gula pasir, 3 kg tepung terigu, dan 2 butir telor ayam. Berapa banyak kue1, kue2, dan kue3 yang bisa diproduksi?.



Langkah 1 : Mendefinisikan Peubah Peubah yang terlibat dan ditanyakan di soal adalah banyak Kue1, Kue2, dan Kue3. Misalkan 𝑥 = banyaknya Kue-1 𝑦 = banyaknya Kue-2 z = banyaknya Kue-3 Langkah 2 : Membuat Model Matematika Model matematikanya berbentuk 3 persamaan linear • 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 50 • 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 50



• 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 60



Langkah 1 : Mendefinisikan Peubah Pemodelan Masalah 3 Ana, Bena, dan Cena adalah tiga orang bersaudara. Jika diketahui bahwa usia Ana pada 5 tahun yang akan datang dikurangi usia Bena sepuluh tahun yang lalu sama dengan usia Cena lima belas tahun yang lalu,



Lima kali usia Ana ditambah tiga kali usia Bena sama dengan 140 tahun dikurangi usia Cena saat ini, dan Usia Bena sama dengan 3 kali usia Cena dikurangi 2 kali usia Ana, Berapakah usia Ana, Bena, dan Cena saat ini?.



Peubah yang terlibat dan ditanyakan di soal adalah usia Ana, Bena dan Cena. Misalkan 𝑥 = usia Ana saat ini 𝑦 = usia Bena saat ini z = usia Cena saat ini Langkah 2 : Membuat Model Matematika



Membuat model matematika. Model matematikanya berbentuk 3 persamaan linear • 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −30 • 5𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 140



• 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0



Misalkan diberikan SPL dengan dua peubah dalam dua persamaan.



Penyelesaian SPL Dua Peubah dengan Metode Grafik



Langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan dengan metode grafik ini ialah:



1.



Menggambarkan grafik garis dari masing-masing persamaan.



2.



Menentukan titik potong dari kedua garis.



3.



Penyelesaian SPL adalah titik potong dari kedua garis tersebut.



Contoh 1 Tentukah penyelesaian dari SPL berikut: −𝑥 + 𝑦 = 1 𝑥+𝑦 =5 Titik potong kedua grafik merupakan solusinya. Jadi solusinya ialah (2,3) yang berarti 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 3. Dalam hal ini SPL tersebut memiliki solusi tunggal.



Contoh 2 Tentukah penyelesaian dari SPL berikut: 1 2 1 = 𝑥 2



𝑥 − 2𝑦 = −3 atau 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 − 4𝑦 = 8 atau 𝑦



3 2



−2



Kedua grafik tidak berpotongan. Dalam hal ini SPL tersebut tidak memiliki solusi.



Contoh 3 Tentukah penyelesaian dari SPL berikut: 𝑥1 + 𝑥2 = 3 −2𝑥1 − 2𝑥2 = −6 Kedua grafik berimpit (berpotongan di semua titik) pada garis 𝑥2 = −𝑥1 + 3. Dalam hal ini SPL tersebut memiliki solusi banyak (tak terhingga). Contoh solusinya antara lain : (3,0), (0,3), (1,2), ...



Kesimpulan



Pada metode grafik ini, terdapat beberapa jenis himpunan penyelesaian berdasarkan grafik persamaan, yaitu: • Jika kedua garis berpotongan, maka perpotongan kedua garis adalah penyelesaian dari SPL dan memiliki satu penyelesaian. • Jika kedua garis sejajar, maka SPL tidak memiliki penyelesaian • Jika kedua garis saling berhimpit, maka SPL memiliki tak berhingga penyelesaian.



Bagaimana jika SPL 3 peubah?



Selamat Belajar ......



Bahan RESPONSI



Pemodelan Matematika dengan Sistem Persamaan Linear (SPL)



TUGAS KELOMPOK Untuk soal berikut, susunlah model matematika yang menjelaskan permasalahan yang diberikan. Selanjutnya tentukan solusinya.



1. Untuk merayakan keberhasilan putrinya masuk IPB, Ibu Untung memesan 3 macam kue di Toko Kue "Super Delicious Enak Tenan", yaitu kue manis dengan harga Rp10.000,00/buah, kue asin dengan harga Rp20.000,00/buah, dan kue spesial dengan harga Rp30.000,00/buah. Banyaknya kue manis dan kue spesial yang dipesan adalah 70 buah. Banyaknya kue asin adalah 40 buah lebihnya dari kue manis. Total harga kue asin dan kue spesial yang dipesan adalah Rp2.400.000,-. Berapa banyaknya kue yang dipesan Ibu Untung masing-masing jenis? a. Rumuskan masalah di atas dalam bentuk SPL. b. Tentukan penyelesaian masalah di atas.



2. Usia Didi tahun lalu sama dengan dua kali usia Jeni tahun lalu. Bila usia Didi empat tahun lalu dijumlahkan dengan usia Jeni empat tahun lalu, maka hasilnya sama dengan dua kali usia Jeni saat ini. a. Rumuskan masalah di atas dalam bentuk SPL. b. Tentukan penyelesaian masalah di atas.



3.



Pada liburan yang lalu Cerdas berlibur di rumah Kakek di desa. Suatu sore, saat berjalan melintasi kebun tetangga, Cerdas dan Kakek melihat segerombolan kambing dan ayam. "Cerdas, hitung banyaknya kambing dan ayam itu," kata Kakek. Apa jawaban Cerdas sesaat kemudian? "Ada 60 kepala dan 200 kaki!" Tentu saja Kakek bingung dengan jawaban yang tidak biasa ini. Berapa sebenarnya banyaknya kambing dan ayam yang dilihat Cerdas?



4.



Untuk suatu pesta, panitia membuat 2 jenis roti, yaitu Roti-1 dan Roti-2. Untuk membuat 1 satuan Roti-1 dibutuhkan 1 satuan tepung terigu, 2 satuan telur, dan 1 satuan gula pasir. Sedangkan untuk membuat 1 satuan Roti-2 dibutuhkan 1 satuan tepung terigu, 3 satuan telur, dan 4 satuan gula pasir. Bahan yang tersedia adalah 30 satuan tepung terigu, 70 satuan telur, dan 60 satuan gula pasir. Jika semua bahan yang tersedia harus habis maka a. Rumuskan masalah di atas dalam bentuk SPL. b. Tentukan penyelesaian masalah di atas.



TUGAS KELOMPOK



Untuk soal berikut, susunlah model matematika yang menjelaskan permasalahan yang diberikan. Selanjutnya tentukan solusinya.



TUGAS KELOMPOK Untuk soal berikut, susunlah model matematika yang menjelaskan permasalahan yang diberikan. Selanjutnya tentukan solusinya.



5. Aminah, Julaikha, dan Zakia adalah mahasiswi baru IPB. Mereka adalah teman sekamar di asrama. Suatu hari mereka bertiga pergi ke supermarket untuk membeli kebutuhan sehari-hari. Aminah membeli 3 sabun, 2 pasta gigi, 3 biskuit dan membayar Rp18000,00. Julaikha membeli 3 sabun dan 3 pasta gigi, membayar Rp13500,00. Sedangkan Zakia membeli 4 sabun, 3 pasta gigi, dan 3 biskuit. Berapa rupiah Zakia harus membayar?



Pustaka



• Anton H, Rorres C, Kaul A. 2019. Elementary Linear Algebra. 12th Edition. Wiley. • Bisa menggunakan buku dengan judul dan pengarang yang sama pada edisi sebelumnya.



Terimakasih Selamat Belajar