Menaksir Selisih Rata Dan Selisih Proporsi [PDF]

Citation preview

MENAKSIR SELISIH RATA-RATA DAN SELISIH PROPORSI



1. Menaksir Selisih Rata-Rata Misalkan kita mempunyai dua buah populasi yang berdistribusi normal. Rata-rata dan μ1 σ1 μ2 simpangan bakunya masing-masing dan untuk populasi kesatu, serta σ2



dan



untuk populasi kedua. Dari masing-masing populasi secara independen diambil n1



sebuah sampel acak dengan ukuran ´x 1



sampel-sampel itu berturut-turut



,



dan s1



n2



, dan



( μ1−μ2 ) . Jelas bahwa titik taksiran



rata



. Rata-rata dan simpangan baku dari ´x 2



,



( μ1−μ2 )



s2



. Akan ditaksir selisih rata-



( ´x 1−´x 2 ) . Untuk



adalah



menentukan interval taksirannya, dibedakan berdasarkan hal-hal berikut: 1.1



σ 1=σ 2 Jika kedua populasi normal itu mempunyai



σ 1=σ 2=σ



dan besarnya diketahui,



μ −μ interval kepercayaan untuk ( 1 2 ) ditentukan oleh rumus:



maka 100 γ



√



1



√



1



1



1



.......(1)



( ´x 1−´x 2 )−z 1 γ σ n + n < μ 1−μ2 < ( ´x 1−´x 2) + z 1 γ σ n + n 1 2 1 2 2 2 dengan



z1 2



Dalam hal



γ



diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang σ 1=σ 2=σ



1 γ 2 .



tetapi tidak diketahui besarnya, pertama-tama dari sampel-



sampel kita perlu tentukan varians gabungannya, dinyatakan dengan s2 , besarnya diberikan oleh rumus: ...........(2) ( n1−1 ) s12 + ( n 2−1 ) s 22 2 s= n1 +n 2−2 Interval kepercayaan ditentukan dengan menggunakan distribusi student. Rumus μ −μ untuk 100 γ interval kepercayaan untuk ( 1 2 ) adalah:



√



1



√



1



1



1



( ´x 1−´x 2 )−t p . s n + n < μ1 −μ 2< ( ´x1 −´x2 ) + t p . s n + n 1 2 1 2 Dengan s didapat dari rumus (2) dan



tp



...........(3)



didapat dari daftar distribusi Student, dengan



n 1 p= ( 1+γ ) dan (¿ ¿ 1+n2−2) 2 dk=¿ n ≤30 dan n2 ≤30 ) Sedangkan untuk sampel kecil ( 1 maka 100 γ



interval



1.2



σ1 ≠ σ 2 Untuk populasi normal dengan ada hanya bersifat pendekatan. s 1=σ 1 Dengan menunjukkan



σ1 ≠ σ 2



dan



, teori diatas tidak berlaku. Dan teori yang s 2=σ 2



, untuk sampel-sampel acak



berukuran cukup besar, kita dapat melakukan pendekatan kepada distribusi normal. Rumus interval kepercayaannya ditentukan oleh: 2 2 2 2 s1 s2 s1 s2 ...........(4) ( ´x 1−´x 2 )−z 1 γ n + n < μ 1−μ2 < ( ´x 1−´x 2 ) + z 1 γ n + n 1 2 1 2 2 2



√



dengan



z1 2



γ



√



diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang



1 γ 2 .



Contoh Kasus: 1. Diketahui dua buah sampel nilai matematika yang diambil dari dua buah populasi adalah sebagai berikut: Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45 Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63 Tentukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaannya 95% jika: a. Simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar, yaitu 9,5 b. Simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar namun tidak diketahui nilainya. c. Simpangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama. Pembahasan: Diketahui: 38+ 42+51+47+ 38+60+57+58+32+ 45 ´x 1= =46,8 10 n1=10 ´x 2=



44+ 49+53+ 46+41+ 47+34+ 60+59+63 =49,6 10



n2=10 1 1 p= ( 1+γ )= ( 1+0,95 ) =0,975 2 2 ❑



γ =95



Dk = 10 + 10 – 2 = 18 Ditanya: μ1−μ2 σ 1=σ 2=9,5 a. jika b.



μ1−μ2



jika



σ 1=σ 2



c.



μ1−μ2



jika



σ1 ≠ σ2



Jawab:



a.



√



1



√



1



1



1



( ´x 1−´x 2 )−z 1 γ σ n + n < μ 1−μ2 < ( ´x 1−´x 2) + z 1 γ σ n + n 1 2 1 2 2 2 ( 46,8−49,6 )−Z 0,475 ( 9,5 )



√ √



( 46,8−49,6 )−(1,96) ( 9,5 )



√



1 1 1 1 + < μ1−μ2 < ( 46,8−49,6 ) + Z0,475 ( 9,5 ) + 10 10 10 10



√



2 2 < μ1−μ2 < ( 46,8−49,6 ) +(1,96) ( 9,5 ) 10 10



(−2,8 )−18,62 √0,2< μ 1−μ2 < (−2,8 )+ 18,62 √ 0,2 (−2,8 )−18,62 ( 0,45 ) < μ1−μ2 < (−2,8 ) +18,62 ( 0,45 ) (−2,8 )−8,379< μ1 −μ 2< (−2,8 )+ 8,379 −11,18 < μ1−μ2