MetNum04-Differensiasi Numerik [PDF]

Citation preview

Metode Numerik



Differensiasi Numerik Yuliana Setiowati Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2007



PENS-ITS



1



Metode Numerik



Topik • DIFFERENSIASI NUMERIK • Mengapa perlu Metode Numerik ? • Diferensiasi dg MetNum – Metode Selisih Maju – Metode Selisih Tengahan – Metode Selisih Mundur



• Differensiasi tingkat tinggi • Rumus Turunan Kedua dg – Metode Selisih Maju – Metode Selisih Tengahan – Metode Selisih Mundur



PENS-ITS



2



Metode Numerik



DIFFERENSIASI NUMERIK • Perhitungan kalkulus banyak digunakan untuk keperluan perhitungan geometrik, yang berhubungan dengan perubahan nilai per-satuan waktu atau jarak. • Secara kalkulus, didefinisikan sebagai perbandingan perubahan tinggi (selisih tinggi) dan perubahan jarak



dy lim y  ax0 dx x



• penentuan titik puncak kurva y = f(x)  dy/dx = 0



PENS-ITS



3



Metode Numerik



Mengapa perlu Metode Numerik ? • Terkadang terdapat suatu fungsi yang sulit dihitung secara manual • Untuk mengotomatiskan, tanpa harus menghitung manualnya



PENS-ITS



4



Metode Numerik



Diferensiasi dg MetNum • Metode Selisih Maju • Metode Selisih Tengahan • Metode Selisih Mundur



PENS-ITS



5



Metode Numerik



Metode Selisih Maju • Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi differensial



f ( x  h)  f ( x ) f ' ( x)  h



PENS-ITS



6



Metode Numerik



Metode Selisih Maju • Rumus-rumus turunan numerik diperoleh dari deret Taylor • Misalkan diberikan titik-titik (xi,fi) i=0,1,2,…,n yang dalam hal ini • dan



xi  x0  ih f i  f ( xi )



PENS-ITS



7



Metode Numerik



Metode Selisih Maju • Uraikan f(xi+1) disekitar xi



PENS-ITS



8



Metode Numerik



Metode Selisih Maju • Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil • Error yang dihasilkan



1 11 E(f)  hf x  2



PENS-ITS



9



Metode Numerik



Contoh : • Hitung differensial • f(x)=e-xsin(2x) • +1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05



PENS-ITS



10



Metode Numerik



Metode Selisih Mundur • Rumus Differensiasi Numerik f x   f x  h  f ' x   h



PENS-ITS



11



Metode Numerik



Metode Selisih Mundur



PENS-ITS



12



Metode Numerik



Metode Selisih Mundur



PENS-ITS



13



Metode Numerik



Metode Selisih Mundur • Untuk nilai-nilai f di x0 dan x-1 persamaan rumusnya menjadi:



PENS-ITS



14



Metode Numerik



Metode Selisih Tengahan • Metode selisih tengahan merupakan metode pengambilan perubahan dari dua titik sekitar dari titik yang diukur. f x  h   f x  h  f ' ( x)  2h



PENS-ITS



15



Metode Numerik



Metode Selisih Tengahan



PENS-ITS



16



Metode Numerik



Metode Selisih Tengahan • Kesalahan pada metode ini



h 2 111 E(f)   f   6



• Perhatikan bahwa pendekatan metode selisih tengahan lebih baik daripada dua pendekatan sebelumnya, sebab orde errornya adalah O(h2)



PENS-ITS



17



Metode Numerik



Contoh • Hitung differensial f(x)=e-xsin(2x)+1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05



PENS-ITS



18



Metode Numerik



Differensiasi tingkat tinggi • Differensiasi tingkat tinggi merupakan proses pendifferensialan secara terus-menerus, hingga tingkatan yang ditentukan. • Differensial tingkat 2 f " x   f '  f ' x  • Differensial tingkat 3



f (3) x   f '  f " x 



• Differensial tingkat n



f n  x   f 1 f n1 x 











dn f d  d n1 f    n1  n dx  dx  dx PENS-ITS



19



Metode Numerik



Differensiasi tingkat tinggi • Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Maju f ' x  h   f ' ( x) f " x   h f ( x  2h)  f ( x  h) f ( x  h)  f ( x )  h h f " x   h f ( x  2h)  2 f ( x  h)  f ( x ) f " x   h2



PENS-ITS



20



Metode Numerik



Differensiasi tingkat tinggi • Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Tengahan f '  x  h   f ' ( x  h) f " x   2h f ( x  2h)  f ( x ) f ( x )  f ( x  2h)  2h 2h f " x   2h f ( x  2h)  2 f ( x )  f ( x  2h) f " x   4h 2 PENS-ITS



21



Metode Numerik



Rumus Turunan Kedua Metode Selisih Tengahan



PENS-ITS



22



Metode Numerik



Rumus Turunan Kedua Metode Selisih Mundur



PENS-ITS



23



Metode Numerik



Rumus Turunan Kedua Metode Selisih Maju • Dengan cara yang sama diperoleh



PENS-ITS



24



Metode Numerik



Contoh : • Hitung differensial kedua dari f(x)=e-xsin(2x)+1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05



PENS-ITS



25



Metode Numerik



Contoh



PENS-ITS



26



Metode Numerik



Contoh



PENS-ITS



27



Metode Numerik



Contoh



PENS-ITS



28



Metode Numerik



Contoh



PENS-ITS



29



Metode Numerik



Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva



Kurva tersebut mempunyai 7 titik puncak, yaitu dan .Titik puncak dan dinamakan titik puncak maksimum.Titik puncak dan dinamakan titik puncak minimum. PENS-ITS



30



Metode Numerik



Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva • Definisi 1. Suatu titik a pada kurva y = f(x) dinamakan titik puncak bila dan hanya bila : f1(a) = 0.



• Definisi 2. Sebuah titik puncak a dikatakan titik maksimum pada kurva y = f(x) bila : f11(a) < 0. • Definisi 3. Sebuah titik puncak a dikatakan titik minimum pada kurva y = F(x) bila : f11(a) > 0. PENS-ITS



31



Metode Numerik



Contoh : • Tentukan titik-titik puncak dari kurva y = x3-2x2-x dengan mengambil range



Terlihat bahwa nilai puncak terjadi antara 0.75 dan 0.8, karena nilai f’(x) mendekati nol. Pada nilai tersebut terlihat nilai f”(x)