Metode Distribusi Analisis Frekuensi Dan Probabilitas Curah Hujan 1 [PDF]

Citation preview

Nama NIM Prodi



: Audy Demansyah Ikhsan : M1C114012 : Teknik Sipil



1. Metode Distribusi Normal Distribusi normal atau kurva normal disebut juga distribusi Gauss.



Berikut nilai variabel Reduksi Gauss :



Contoh Perhitungan Agar lebih jelas langsung kita masuk dalam perhitungan. Untuk perhitungan kita pakai data curah hujan maksimum pada pembahasan Distribusi Probabilitas Gumbel yang sudah dibahas pada beberapa waktu yang lalu.



Kita akan hitung hujan rencana periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun menggunakan metode Probabilitas Normal.



Tabel curah hujan maksimum



*) Cara perhitungan nilai rata-rata dan standar deviasi sudah dibahas pada pembahasan sebelumnya dan sudah terlampir dalam tabel tinggal masukan saja. *) Kemudian yang dilakukan adalah menghitung nilai KT Nilai KT berdasarkan nilai T yang diambil dari lampiran tabel Variabel Reduksi Untuk T Untuk T Untuk T Untuk T Untuk T



Gauss, nilai T untuk beberapa periode ulang tahun sebagai berikut : = 2 maka nilai KT = 0 = 5 maka nilai KT = 0,84 = 20 maka nilai KT = 1,64 = 50 maka nilai KT = 2,05 = 100 maka nilai KT = 2,33



*) Hitung hujan rencana dengan memasukan nilai yang sudah diketahui kedalam rumus maka ;



Hujan rencana untuk periode ulang 2 tahun (X2) : — XT = X + KTS = 164,9 + (0 x 54,55) = 164,9 mm Hujan rencana untuk periode ulang 5 tahun (X5) : — XT = X + KTS = 164,9 + (0,84 x 54,55) = 210,72 mm Hujan rencana untuk periode ulang 20 tahun (X20) : — XT = X + KTS = 164,9 + (1,64 x 54,55) = 254,36 mm Hujan rencana untuk periode ulang 50 tahun (X50) : — XT = X + KTS = 164,9 + (2,05 x 54,55) = 276,72 mm Hujan rencana untuk periode ulang 100 tahun (X100) : — XT = X + KTS = 164,9 + (2,33 x 54,55) = 292 mm Hujan rencana (XT) adalah hujan dengan periode ulang tertentu (T) yang diperkirakan akan terjadi di suatu daerah pengaliran. Misalnya untuk hujan rencana untuk periode ulang 5 tahun (X 5) adalah 210,72 mm, tidak berarti hujan sebesar 210,72 mm akan terjadi secara periodik 1 kali setiap 5 tahun, melainkan setiap tahunnya ada kemungkinan terjadi 1/5 kali terjadi hujan yang besarnya sama atau lebih dari 210,72 mm. Hujan itu bersifat tidak pasti (probabilistik), dalam mempelajari hujan rencana yang akan digunakan untuk memperkirakan atau meramalkan besarnya debit rencana, Ilmu Statistika adalah landasannya. Samahalnya seperti ilmu-ilmu lainnya yang menggunakan statistika dalam meramalkan sesuatu. Misalnya seperti dalam Ilmu Ekonomi meramalkan kapan meraih BEP (kembali modal), dll.



2. Metode Distribusi Log Normal Mengubah data X ke dalam bentuk logaritmik → Y = LogX



YT : Perkiraan nilai ang diharapkan terjadi dengan periode ulang T Y : Nilai rata-rata hitung variat S : Deviasi standar nilai variat KT : Faktor frekuensi, merupakan fungsi dari peluang atau periode ulang dan tipe model matematik distribusi peluang yang digunakan untuk analisis peluang. Nilai faktor frekuensi dapat dilihat pada tabel Reduksi Gauss Contoh Perhitungan ! Untuk contoh perhitungan kita masih pake data curah hujan maksimum (Xi) yang digunakan pada pembahasan sebelumnya dan kita akan coba hitung hujan rencana periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun menggunakan metode Distribusi Probabilitas Log Normal. Tahun



Xi (mm)



Log Xi



2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013



134 173 241 131 121 126 106 138 234 245



2,1271 2,2380 2,3820 2,1172 2,0827 2,1003 2,0253 2,1398 2,3692 2,3891 21,9711 2,1971



Σ Ratarata Standar Deviasi : 0,1369



___ (Log Xi – LogX)2 0,0049 0,0016 0,0341 0,0063 0,0130 0,0093 0,0295 0,0032 0,0296 0,0368 0,1688



*) Hitung nilai rata-rata Log X : _____ Log X = Σ Log Xi _______ n = 21,9711 ________ 10 = 2,1971 *) Hitung S log X (deviasi standar dari Log X)



*) Hitung nilai KT



Nilai KT berdasarkan nilai T yang diambil dari lampiran tabel Variabel Reduksi Gauss, nilai T untuk beberapa periode ulang tahun sebagai berikut : Untuk Untuk Untuk Untuk Untuk



T T T T T



= = = = =



2 maka nilai KT = 0 5 maka nilai KT = 0,84 20 maka nilai KT = 1,64 50 maka nilai KT = 2,05 100 maka nilai KT = 2,33



*) Hitung hujan rencana



Hujan rencana untuk periode ulang 2 tahun (X2) : _____ 1. Log X2 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (0 x 0,1369) = 2,1971 X2 = 157,43 mm



2. Hujan rencana untuk periode ulang 5 tahun (X5) : _____ Log X5 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (0,84 x 0,1369) = 2,3120 X5 = 205, 11 mm 3. Hujan rencana untuk periode ulang 20 tahun (X20) : _____ Log X20 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (1,64 x 0,1369) = 2,4216 X20 = 264 mm 4. Hujan rencana untuk periode ulang 50 tahun (X50) : _____ Log X50 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (2,05 x 0,1369) = 2,4778 X50 = 295, 12 mm 5. Hujan rencana untuk periode ulang 100 tahun (X100) : _____ Log X100 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (2,33 x 0,1369) = 2,5160 X100 = 328,15 mm Demikianlah hasil perhitungan hujan rencana untuk periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun. Mungkin kalian sedikit bingung pada pemakaian fungsi logaritma pada perhitungan diatas, misalnya : _____ Log X2 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (0 x 0,1369) = 2,1971 X2 = 157,43



3. Metode Log Pearson III















Pearson telah mengembangkan serangkaian fungsi probabilitas yang dapat dipakai untuk hampir semua distribusi probabilitas empiris. Tiga parameter penting dalam Metode Log Pearson Tipe III, yaitu : 1) Harga rata-rata (r) 2) Simpangan baku (s) 3) Koefisien kemencengan(G atau Cs) Hal yang menarik adalah jika G = 0 maka distribusi kembali ke distribusi Log Normal. Rumus yang digunakan dalam metode Distribusi Probabilitas Log Pearson Tipe III adalah sebagai berikut :



Log XT = Log X + (KT x S Log X) Keterangan rumus :  Ubah data dalam bentuk logaritmik : Y = Log X n



Y



 logX i



i1



n







Hitung harga rata-rata :



n



S



(logX i1











i



 Y)



n 1



Hitung harga simpangan baku :



Hitung koefisien kemencengan : n



G



n  (logX i  Y ) 3 i 1



(n  1)(n  2)s 3







Hitung logaritma hujan dengan periode ulang T menggunakan persamaan :



YT  Y  K.s



K = variabel standar (standardized variable) untuk X yang besarnya tergantung G Contoh Perhitungan ! Pada data curah hujan maksimum (Xi) di bawah ini, hitung hujan rencana periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun menggunakan metode Distribusi Probabilitas Log Pearson Type III Tahu n



Xi (mm)



Log Xi



2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Σ



134 173 241 131 121 126 106 138 234 245 1649



2,1271 2,2380 2,3820 2,1172 2,0827 2,1003 2,0253 2,1398 2,3692 2,3891 21,9711



Rata -rata



164,9



2,1971



____ ( Log Xi – Log X )2 0,0049 0,0016 0,0341 0,0063 0,0130 0,0093 0,0295 0,0032 0,0296 0,0368 0,1688



0,00100



n



Y



-0,00034 0,00006 0,00632 -0,00050 -0,00149 -0,00090 -0,00507 -0,00018 0,00509 0,00708 0,01005



0,0168



*) Menghitung nilai rata-rata Y :



 logX i



i1



____ ( Log Xi – Log X )3



n = 21,9711 /10 = 2,1971



*) Hitung S log X (deviasi standar dari Log X)



= 10 x 0,00100 3/(10-1)(10-2)(0,1369)3 = 5,41 x 10-8 n



G



n  (logX i  Y) 3 i 1



(n  1)(n  2)s 3



Nilai G yang sudah didapat dipakai untuk mencari nilai T pada lampiran Tabel Frekuensi KT untuk Distribusi Log Pearson Type III, maka didapat : T = 2 dan G = 0,541 maka nilai KT = 0,116 T = 5 dan G = 0,541 maka nilai KT = 0,790 T = 20 dan G = 0,541 maka nilai KT = 1,333 T = 50 dan G = 0,541 maka nilai KT = 2,407 T = 100 dan G = 0,541 maka nilai KT = 2,824 Hujan rencana untuk periode ulang 2 tahun (X2) :



_____ 1. Log X2 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (-0,018 x 0,1369) = 2,1946 X2 = 156,53 mm 2. Hujan rencana untuk periode ulang 5 tahun (X5) : _____ Log X5 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (0,837 x 0,1369) = 2,3116 X5 = 204,92 mm



3. Hujan rencana untuk periode ulang 20 tahun (X20) : _____ Log X20 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (1,685 x 0,1369) = 2,4277 X20 = 267,73 mm 4. Hujan rencana untuk periode ulang 50 tahun (X50) : _____ Log X50 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (2,108 x 0,1369) = 2,4856 X50 = 305,91 mm 5. Hujan rencana untuk periode ulang 100 tahun (X100) : _____ Log X100 = Log X + (KT x S Log X) = 2,1971 + (2,401 x 0,1369) = 2,5257 X100 = 335,50 mm Demikianlah hasil perhitungan hujan rencana dengan metode Distribusi Probabilitas Log Pearson Type III, untuk periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun. (*) 4. Distribusi Probabilitas Gumbel Berikut rumus untuk perhitungan Distribusi Probabilitas Gumbel di bawah ini. Kelihatannya agak berbeda dari rumus sebelumnya, itu cuma kelihatannya saja tapi sebenarnya sama saja, karena rumus sebelumnya merupakan penjabaran dari rumus ini ___ XT = X + S x K



dimana : XT = hujan rencana (mm) _ X = nilai rata-rata dari hujan S = Standar deviasi dari data hujan K = Faktor frekuensi Gumbel : K =



Yt – Yn Sn



Yt = reduced variate (lampiran tabel) Sn = reduced standar (lampiran tabel) Yn = reduced mean (lampiran tabel)



Contoh Perhitungan Diketahui data hujan harian maksimum 10 tahun pengamatan seperti tertera dalam tabel. Hitunglah besar curah rencana dengan periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun berdasarkan Distribusi Probabilitas Gumbel. Tabel Perhitungan Parameter Statistik Tahun 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Σ Ratarata Stand dev



Xi __ (mm) (Xi – X )2 134 954,81 173 65,61 241 5791,21 131 1149,21 121 1927,21 126 1513,21 106 3469,21 138 723,61 234 4774,81 245 6416,01 1649 26784,9 164,9 54,55



__ *) Hitung nilai rata-rata ( X ) __ X = Σ (Xi) n = 1649 10 = 164,9 *) Hitung Deviasi Standar (S) 0,5 _ 0,5 Σ( Xi – X)2 = 26784,9 S = _______ _______ = 54,55 (bentuk akar bisa disederhanakan menjadi X 0,5)



10 -1 9 *) Hitung Faktor Frekuensi (K) dan Hujan Rencana (XT)



Dengan jumlah data (n) = 10 maka didapat nilai Sn dan Yn yang diambil dari lampiran :



Sn Yn



0,9497 0,4952



Nilai Yt yang diambil lampiran



Periode Ulang T (tahun) 2 5 20 50 100



Yt 0,3065 1,4999 2,9702 3,9019 4,6001



Lalu kemudian hitung hujan rencana untuk periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun dengan Yt untuk masing-masing periode ulang dan hasil perhitungannya tertera dalam tabel di bawah ini; Tabel Perhitungan Hujan Rencana dengan Distribusi Probabilitas Gumbel Periode Yt K (Faktor Hujan Rencana (mm) Ulang T Frekuensi) ___ (tahun) XT = X + (S x K) K = Yt – Yn _____ Sn 2 0,3065 -0,1986 154,06 5 1,4999 1,0579 222,61 20 2,9702 2,6060 307,07 50 3,9019 3,5871 360,59 100 4,6001 4,3223 400,69 Rekap Hasil Perhitungan Hujan Rencana Untuk Empat Metode yang Dipakai Periode Ulang



1 X2 tahun X5 tahun



Gumb el 2 154,06 222,61



X20 tahun 307,07 X50 tahun X100 tahun



360,59 400,69



Hujan Rencana (mm) Norm Log Log Pearson Type al Normal III 3 4 5 164,9 157,43 156,53 210,7 205,11 204,92 2 254,3 264,00 267,73 6 276,7 295,12 305,91 2 292,0 328,15 335,50



0 Sumber : http://lorenskambuaya.blogspot.co.id/2014/05/perhitungan-hujan-rencanadengan_9997.html http://adnyana4all.blogspot.co.id/2013/02/analisa-curah-hujanrencana.html#!/2013/02/analisa-curah-hujan-rencana.html http://slideplayer.info/slide/2799566/