![Metode Kuadrat Terkecil [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/metode-kuadrat-terkecil.jpg)
7 0 686 KB
ABSTRAK Metode kuadrat terkecil adalah sebuah metode yang digunakan untuk mencari garis lurus terbaik dari sebaran kelompok data yang berkecenderungan mendekati persamaan linier. Metode kuadrat terkecil merupakan metode mencari garis lurus terbaik yang paling akurat dibandingkan metode-metode lainnya karena memiliki nilai kesesatan yang paling rendah. Praktikum ini bertujuan agar praktikan dapat menyajikan grafik hasil percobaan dengan baik dan benar, dapat menentukan garis lurus terbaik dari sejumlah pasangan data yang secara teoritis memiliki hubunngan linear, menentukan fungsi linier dari fungsi kuadrat, dan menentukan koefisien korelasi dari beberapa pasangan data. Percobaan dilakukan dengan cara mengolah data kelompok yang disediakan dalam modul. Percobaan ini dilakukan untuk menentukan nilai at , bt , nilai sesatan, dan korelasinya. Data-data yang telah diolah digambarkan dalam bentuk grafik linierisasi dengan metode kuadrat terkecil. Hasil dari percobaan ini kebanyakan titik-titik datanya mendekati garis terbaik dan beberapa adan yang berjauhan. Percobaan ini dilakukan agar praktikan memahami mengenai materi kuadrat terkecil, garis lurus terbaik, sesatan, fungsi linier, fungsi kuadratik, dan grafik. Kata kunci : Metode kuadrat terkecil, fungsi linier, grafik
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis regresi sering digunakan untuk melihat pengaruh antara satu atau lebih variabel bebas terhadap variabel terikat. Saat melakukan analisis hanya dengan melibatkan variabel bebas, analisis yang baik digunakan adalah analisis regresi sederhana, tetapi dalam menyelesaikan masalah di kehidupan sehari-hari manusia lebih memerlukan regresi linear berganda. Salah satu cara untuk mendapatkan nilai regresi linear berganda adalah dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Metode kuadrat terkecil adalah salah metode yang sering dipakai untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi. Seringkali dalam menyajikan dan menganalisis data perlu ditampilkan grafik suatu besaran (variabel terikat) yang berubah terhdapa besaran lain (variabel bebas). Formulasi yang sederhana adalah berupa persamaan linear. Formulasi juga dapat berupa persamaan non linear yang dilinearisasi. Berdasarkan metode ini dapat ditentukan garis lurus terbaik (trend) dari pasangan data yang secara teoritis memiliki hubungan linear. Dalam mempelajari metode kuadrat terkecil ini juga dipelajari cara melinearisasi fungsi-fungsi kuadratis sederhana dan menentukan koefisien korelasi dari beberapa pasangan data.
1.2 Tujuan Percobaan 1.2.1 Praktikan dapat menyajikan data dengan benar. 1.2.2 Praktikan dapat menyajikan grafik dengan benar. 1.2.3 Praktikan dapat menentukan garis lurus terbaik dari sejumlah pasangan data teoritis yang memiliki hubungan linear. 1.2.4 Praktikan dapat menentukan fungsi linier dari fungsi kuadratis. 1.2.5 Praktikan dapat menentukan koefisien korelasi dari beberapa jenis pasangan data.
BAB II METODE PENELITIAN
2.1 Alat dan Bahan Percobaan 2.1.1 Laptop atau Komputer Laptop atau komputer merupakan perangkat lunak yang digunakan untuk memasukkan data atau fakta yang akan diolah dalam percobaan ini menjadi data teoritis yang memiliki hubungan linear. 2.1.2 Kalkulator Kalkulator digunakan untuk menghitung data yang dimiliki dalam percobaan ini. 2.2 Kajian rumus Dalam menggunakan metode kuadrat terkecil, dimisalkan persamaan = y ax + b dengan x dan y merupakan variabel bebas, sedangkan a dan b adalah parameter. Saat praktikan memiliki sekumpulan data pasangan (x,y) dan data ini digambarkan dalam bentuk grafik di kertas grafik linear, maka akan diperoleh suatu garis lurus. Dengan menganggap bahwa x memiliki sesatan yang lebih kecil dari sesatan pada y, garis lurus terbaik dapat diperoleh berdasarkan metode kuadrat terkecil (regresi terhadap y). Nilai a terbaik dituliskan dengan notasi at dan b terbaik dituliskan dengan notasi b t dengan: N
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
at = =i 1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 N
N
N
2
N
................(1)
N
∑ xi 2 ∑ yi − ∑ xi ∑ ( xi yi )
bt = = i1
=i 1
=i 1 =i 1
N N ∑ xi 2 − ∑ xi =i 1 = i1 N
2
................(2)
Sesatan pada nilai a dan b bersifat statistik dan diperoleh: ∆at = Sy
N
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 N
N
∆bt = Sy
2
.....................(3)
2
....................(4)
2
∑x i =1
i
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 N
2
Dengan : = Sy
1 N { yi − ( at xi + bt )}2 ......................(5) ∑ N − 1 i =1
Sebaran titik-titik data garis lurus dapat diukur berdasarkan nilai koefisien korelasinya (r) berdasarkan rumus : N
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
r=
=i 1
=i 1 =i 1
N 2 N N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi N ∑ yi − ∑ yi = i 1 = i 1 i 1 = i 1 = 2
...........(6)
Dengan nilai −1 ≤ r ≤ 1 . Jika r ≈ 1 berarti titik-titik datanya dekat dengan garis terbaik. Sedangkan jika r ≈ 0 titik-titik datanya berjauhan dengan garis lurus terbaik. Beberapa fungsi yang tidak linear dapat dilinearkan. Setelah diperoleh fungsi linear dapat digunakan metode kuadrat terkecil untuk parameter terbaiknya.
2.3 Prosedur Percobaan 1. Data dibagikan pada modul, kemudian diamati. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y1 5,78 7,11 9,96 12,59 13,93 15,98 16,78 19,97 22,32 24,86
y2 3,21 6,01 14,83 22,96 31,42 45,39 57,17 73,88 93,88 114,74
y3 4,58 5,70 7,25 10,70 14,02 20,40 28,21 35,24 41,99 52,98
2. Ditentukan parameter a dan b beserta sesatannya apabila diperkirakan data tersebut memenuhi fungsi: a. = y ax + b b. = y ax 2 + bx c. = y ax 2 + b 3. Ditentukan koefisien berelasi untuk ketiga fungsi perkiraan pada nomor 2 di atas. Ditentukan fungsi mana yang paling memenuhi data yang tersedia berdasarkan nilai koefisien korelasi. 4. Dikerjakan seperti pada tugas 2 dan 3 di atas untuk ketiga pasangan data 5. Dibuatkan grafik linierisasi untuk masing-masing data tersebut dengan metode kuadrat terkecil.
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Data Percobaan 3.1.1 Data Pertama Tabel 3.1 Data Percobaan Pertama
xi
yi
1
5,78
2
7,11
3
9,96
4
12,59
5
13,93
6
15,98
7
16,78
8
19,97
9
22,32
10
24,86
3.1.2 Data Kedua Tabel 3.2 Data Percobaan Kedua
xi
yi
1
3,21
2
6,01
3
14,83
4
22,96
5
31,42
6
45,39
7
57,17
8
73,88
9
93,88
10
114,74
3.1.3 Data Ketiga Tabel 3.3 Data Percobaan Ketiga
xi
yi
1
4,58
2
5,70
3
7,25
4
10,70
5
14,02
6
20,40
7
28,21
8
35,24
9
41,99
10
52,98
3.2 Pengolahan Data 3.2.1 Mencari nilai at dan bt dengan menggunakan rumus: N
N
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
at = =i 1
bt = = i1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
= Sy
N
2
N ∑ xi 2 − ∑ xi =i 1 = i1 N
2
N
=i 1 =i 1
N
2
2
N
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 N
N
i =1
N
=i 1
Sy ∆at =
N
∑ xi 2
N
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
1 N { yi − ( at xi + bt )}2 ∑ N − 1 i =1
∆bt = Sy
N
∑ xi 2 ∑ yi − ∑ xi ∑ ( xi yi )
r=
2
2
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
=i 1
=i 1 =i 1
N 2 N 2 N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi ∑ yi − ∑ yi = i1= i 1 = i 1 i 1 =
3.2.2 Data Percobaan 1 dengan fungsi = y ax + b Tabel 3.4 Data Percobaan 1 dengan fungsi = y ax + b
∑ Total •
xi
yi
xi yi
xi 2
yi 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55
5,78 7,11 9,96 12,59 13,93 15,98 16,78 19,97 22,32 24,86 149,28
5,78 14,22 29,88 50,36 69,65 95,88 117,46 159,76 200,88 248,6 992,47
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385
33,4084 50,5521 99,2016 158,508 194,045 255,36 281,568 398,801 498,182 618,02 2587,65
Parameter N
N
at = =i 1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 (10 × 992, 47 ) − ( 55 ×149, 28) at = (10 × 385) − 3025 N
2
at = 2, 078
• = Sy
Nilai S y 1 N ∑{ yi − ( at xi + bt )}2 N − 1 i =1
1 {149, 28 − ( 2, 078 × 55 + 3, 499 )}2 10 − 1 S y = 10, 497
= Sy
N
N
N ∑ ( xi yi ) −∑ xi ∑ yi
N
N
N
∑ x ∑ y − ∑ x ∑(x y ) 2
= i1 bt =
bt =
i =i 1
i
i =i 1 =i 1
i
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 ( 385 × 28) − ( 55 × 385) N
2
(10 × 385) − ( 55)
bt = 3, 499
2
i
•
Nilai ∆at dan ∆bt untuk mencari sesatan pada a dan b yang bersifat statistik N
∆at = Sy
N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 N
∆at = 10, 497
2
N
∆bt = Sy
2
(10 × 385) − ( 55)
10, 497 ∆bt =
2
7,1708 ∆b t =
∆at = 1,1557 • Nilai Korelasi N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
r=
=i 1
=i 1 =i 1
N 2 N N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi N ∑ yi − ∑ yi = i 1 = i 1 i 1 = i 1 = 2
(10 × 992, 47 ) − ( 55 ×149, 28) (10 × 385 ) − ( 55 )2 10 × 2587, 65 − (149, 28 )2
r=
i =1
i
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
10
N
∑x
r = 0,995
• Nilai yt percobaan 1 dengan fungsi = yt at x + bt Tabel 3.5 Nilai yt percobaan 1 dengan fungsi = yt at x + bt
x
at
bt
yt
1
2.078
3.499
5,577
2
2.078
3.499
7,655
3
2.078
3.499
9,733
4
2.078
3.499
11,811
5
2.078
3.499
13,889
6
2.078
3.499
15,967
7
2.078
3.499
18,045
8
2.078
3.499
20,123
9
2.078
3.499
22,201
10
2.078
3.499
24,279
N
2
2
385 (10 × 385) − (55) 2
3.2.3 Data Percobaan 1 dengan fungsi= y ax 2 + bx y ax 2 + bx Tabel 3.6 Data Percobaan 1 dengan fungsi=
xi 2
yi 2
xi yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y yi x 5,78 3,555 3,32 3,1475 2,786 2,66333 2,39714 2,49625 2,48 2,486
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
33,4084 12,638 11,0224 9,90676 7,7618 7,09334 5,74629 6,23126 6,1504 6,1802
5,78 7,11 9,96 12,59 13,93 15,98 16,78 19,97 22,32 24,86
55
31,1112
385
106,139
149,28
xi
∑ Total
• Parameter N
at =
N
N
N
N 2 i =i 1 =i 1
N ∑ ( xi yi ) −∑ xi ∑ yi
=i 1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 (10 ×149, 28) − ( 55 × 31,1112 ) at = 2 (10 × 385) − ( 55) N
2
at = −0, 2646
•
bt =
bt =
N
N
∑ x ∑ y − ∑ x ∑(x y ) i
i =i 1 =i 1
i
i
2
N N N ∑ xi 2 − ∑ xi =i 1 = i1 ( 385 × 31,1112 ) − ( 55 ×149, 28)
(10 × 385) − ( 55)
2
bt = 4,5665
Nilai S y 1 N { yi − ( at xi + bt )}2 ∑ N − 1 i =1
= Sy
1 {31,1112 − ( −0, 2646 × 55 + 4,5665 )}2 10 − 1 S y = 13, 6992
= Sy
•
Nilai ∆at dan ∆bt untuk mencari sesatan pada a dan b yang bersifat statistik N
Sy ∆at =
N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 N
13, 6992 ∆at = 1,5082 ∆at =
2
N
∆bt = Sy
2
i =1
i
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
10
(10 × 385) − ( 55)
∑x
2
N
13, 6992 ∆bt = 9,3583 ∆b t =
2
2
385 (10 × 385) − (55) 2
• Nilai Korelasi N
r=
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
=i 1
=i 1 =i 1
N 2 N N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi N ∑ yi − ∑ yi = i 1 = i 1 i 1 = i 1 = (10 ×149, 28) − ( 55 × 31,1112 ) r= (10 × 385 ) − ( 55 )2 10 ×106,139 − 31,11122 r = −0, 078 2
Tabel 3.7 Menghitung nilai yt percobaan 1 dengan fungsi = yt at x + bt
x2
at
bt
yt
1
-0,264
4,566
4,302
4
-0,264
4,566
8,076
9
-0,264
4,566
11,322
16
-0,264
4,566
14,04
25
-0,264
4,566
16,23
36
-0,264
4,566
17,892
49
-0,264
4,566
19,026
64
-0,264
4,566
19,632
81
-0,264
4,566
19,71
100
-0,264
4,566
19,26
y ax 2 + b 3.2.4 Data Percobaan 1 dengan fungsi= Tabel 3.8 Data Percobaan 1 dengan fungsi= y ax 2 + b
∑ Total
xi
xi 2
yi
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000
5,78 7,11 9,96 12,59 13,93 15,98 16,78 19,97 22,32 24,86
33,4084 5,78 50,5521 28,44 99,2016 89,64 158,5081 201,44 194,0449 348,25 255,3604 575,28 281,5684 822,22 398,8009 1278,08 498,1824 1807,92 618,0196 2486
385
25333
149,28
2587,647 7643,05
yi 2
xi yi
• Parameter N
at =
N
N
N ∑ ( xi yi ) −∑ xi ∑ yi
=i 1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 (10 × 7643, 05) − ( 385 ×149, 28) at = 2 (10 × 25333) − ( 385) N
2
at = 0,180
• = Sy = Sy
Nilai S y 1 N { yi − ( at xi + bt )}2 ∑ N − 1 i =1 1 {149, 28 − ( 0,18 × 385 + 7,98 )}2 10 − 1
1 ( 5184 ) 9 S y = 24 Sy =
N
N 2 i =i 1 =i 1
bt =
bt =
N
N
∑ x ∑ y − ∑ x ∑(x y ) i
i =i 1 =i 1
i
i
2
N N N ∑ xi 2 − ∑ xi =i 1 = i1 ( 25333 ×149, 28) − ( 385 × 7643, 05)
bt = 7,983
(10 × 25333) − ( 385)
2
•
Nilai ∆at dan ∆bt untuk mencari sesatan pada a dan b yang bersifat statistik N
N
∆at = Sy
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
∆at = 24
N
N
2
∑x
∆bt = Sy
2
i =1
i
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
10
(10 × 25333) − ( 385)
24 ∆bt =
2
N
2
2
25333 (10 × 25333) − (385) 2
11, 7 ∆b t =
∆at = 0, 23
• Nilai Korelasi N
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
r=
=i 1
=i 1 =i 1
2 N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi N ∑ yi − ∑ yi = i 1 = i 1 i 1 = i 1 = N
N
2
(10 × 7643, 05) − ( 385 ×149, 28) (10 × 25333) − ( 385 )2 10 × 2587, 64 − 149, 282
r=
r = 0,36 Tabel 3.9 Menghitung nilai yt percobaan 1 dengan fungsi = yt at x + bt x2
at
bt
yt
1
0,18
7,983
8,163
4
0,18
7,983
8,703
9
0,18
7,983
9,603
16
0,18
7,983
10,863
25
0,18
7,983
12,483
36
0,18
7,983
14,463
49
0,18
7,983
16,803
64
0,18
7,983
19,503
81
0,18
7,983
22,563
100
0,18
7,983
25,983
3.2.5 Data Percobaan 2 dengan fungsi = y ax + b Tabel 3.10 Data Percobaan 2 dengan Fungsi = y ax + b
∑ Total
xi
xi 2
yi
yi 2
xi yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
3,21 6,01 14,83 22,96 31,42 45,39 57,17 73,88 93,88 114,74
10,3041 36,1201 219,9289 527,1616 987,2164 2060,252 3268,409 5458,254 8813,454 13165,27
3,21 12,02 44,49 91,84 157,1 272,34 400,19 591,04 844,92 1147,4
55
385
463,49
34546,37 3564,55
• Parameter N
N
N
N ∑ ( xi yi ) −∑ xi ∑ yi
at = =i 1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 (10 × 3564,55) − ( 55 × 463, 49 ) at = 2 (10 × 385) − ( 55) N
at = 12,307
2
N
N
N
N
∑ xi 2 ∑ yi − ∑ xi ∑ ( xi yi )
bt = = i1
bt =
=i 1
=i 1 =i 1
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 ( 385 × 463, 49 ) − ( 55 × 3564,55) N
bt = −21,341
2
385 − ( 55 )
2
•
Nilai S y 1 N ∑{ yi − ( at xi + bt )}2 N − 1 i =1
= Sy
1 {463, 49 − (12,30 × 55 + ( −21,34 ) )}2 10 − 1
= Sy
1 2 ( −232, 755) 9 S y = 78, 25
= Sy
•
Nilai ∆at dan ∆bt untuk mencari sesatan pada a dan b yang bersifat statistik N
∆at = Sy
N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
∆at = 78, 25
N
2
N
∑x
∆bt = Sy
2
i =1
(10 × 385) − ( 55)
24 ∆bt =
2
N
• Nilai Korelasi N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
=i 1
=i 1 =i 1
N 2 N N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi N ∑ yi − ∑ yi = i 1 = i 1 i 1 = i 1 = (10 × 3564,55) − ( 55 × 463, 49 ) r= (10 × 385 ) − ( 55 )2 10 × 34546,37 − 463, 492 r = 0,97 2
2
385 (10 × 385) − (55) 2
∆b t = 36,51
∆at = 8, 61
r=
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
10
N
i
2
Tabel 3.9 Menghitung nilai yt percobaan 2 dengan fungsi = yt at x + bt
x2
at
bt
yt
1
12,307
-21,341
-9,034
2
12,307
-21,341
3,273
3
12,307
-21,341
15,58
4
12,307
-21,341
27,887
5
12,307
-21,341
40,194
6
12,307
-21,341
52,501
7
12,307
-21,341
64,808
8
12,307
-21,341
77,115
9
12,307
-21,341
89,422
10
12,307
-21,341
101,729
y ax 2 + bx 3.6.2 Percobaan 2 dengan fungsi= Tabel 3.12 Data Percobaan 2 dengan fungsi= y ax 2 + bx
∑ Total
xi
xi 2
yi
yi 2
xi yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
3,21 3,005 4,943333 5,74 6,284 7,565 8,167143 9,235 10,43111 11,474
10,3041 9,030025 24,43654 32,9476 39,48866 57,22923 66,70222 85,28523 108,8081 131,6527
3,21 6,01 14,83 22,96 31,42 45,39 57,17 73,88 93,88 114,74
55
385
70,05459 565,8844
463,49
• Parameter N
N
N
N ∑ ( xi yi ) −∑ xi ∑ yi
at = =i 1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 (10 × 463, 49 ) − ( 55 × 70, 054 ) at = 2 (10 × 385) − ( 55) N
2
at = 0,947
• = Sy = Sy
Nilai S y 1 N ∑{ yi − ( at xi + bt )}2 N − 1 i =1 1 {70, 05 − ( 0,94 × 55 + (1, 79 ) )}2 10 − 1
1 2 (19, 72 ) 9 S y = 6,57 Sy =
N
N
N
N
∑ xi 2 ∑ yi − ∑ xi ∑ ( xi yi )
bt = = i1
bt =
=i 1
=i 1 =i 1
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 ( 385 × 70, 054 ) − ( 55 × 463, 49 )
bt = 1, 792
N
2
10(385) − ( 55 )
2
•
Nilai ∆at dan ∆bt untuk mencari sesatan pada a dan b yang bersifat statistik N
∆at = Sy
N
N ∑ xi 2 − ∑ xi =i 1 = i1
∆at = 6,57
N
N
∆bt = Sy
2
∑x i =1
i
2
N N ∑ xi 2 − ∑ xi =i 1 = i1
10
(10 × 385) − ( 55)
6,57 ∆bt =
2
N
2
385 (10 × 385) − (55) 2
4, 48 ∆b t =
∆at = 0, 72
• Nilai Korelasi N
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
r=
=i 1
=i 1 =i 1
N 2 N N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi N ∑ yi − ∑ yi = i 1 = i 1 i 1 = i 1 = (10 × 463, 49 ) − ( 55 × 70, 05) r= (10 × 385 ) − ( 55 )2 10 × 565,88 − 70, 052 r = 0,993 2
Tabel 3.9 Menghitung nilai yt percobaan 2 dengan fungsi = yt at x + bt x2
at
bt
yt
1
0,947
1,792
2,739
4
0,947
1,792
7,372
9
0,947
1,792
13,899
16
0,947
1,792
22,32
25
0,947
1,792
32,635
36
0,947
1,792
44,844
49
0,947
1,792
58,947
64
0,947
1,792
74,944
81
0,947
1,792
92,385
100
0,947
1,792
112,62
y ax 2 + b 3.2.7 Data Percobaan 2 dengan Fungsi= y ax 2 + b Tabel 3.14 Data Percobaan 2 dengan Fungsi=
∑ Total
xi
xi 2
yi
yi 2
xi yi
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000
3.21 6,01 14,83 22,96 31,42 45,39 57,17 73,88 93,88 114,74
10.3041 36.1201 219.9289 527.1616 987.2164 2060.252 3268.409 5458.254 8813.454 13165.27
3.21 24,04 133,37 367,36 785,5
385
25333
463,49
34536,37 29555,55
1634,04 2801,33 4728,32 7604,28 11474
• Parameter N
N
N
N ∑ ( xi yi ) −∑ xi ∑ yi
at = =i 1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 (10 × 29555,55) − ( 385 × 463, 49 ) at = 2 (10 × 25333) − ( 385) at = 1,114
N
2
N
N
N
N
∑ xi 2 ∑ yi − ∑ xi ∑ ( xi yi )
= i1 bt =
bt =
=i 1
=i 1 =i 1
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 ( 25333 × 463, 49 ) − ( 385 × 29555,55)
bt = 3, 450
N
2
10(25333) − ( 385 )
2
•
Nilai S y 1 N ∑{ yi − ( at xi + bt )}2 N − 1 i =1
= Sy
1 {463, 49 − (1,11× 385 + ( 3, 45 ) )}2 10 − 1
= Sy
1 2 ( 37,95) 9 S y = 12, 65 Sy =
•
Nilai ∆at dan ∆bt untuk mencari sesatan pada a dan b yang bersifat statistik N
∆at = Sy
N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
∆at = 12, 65
N
2
N
∆bt = Sy
2
(10 × 25333) − ( 385)
2
6,57 ∆bt = 3, 049 ∆b t =
∆at = 0, 0012
• Nilai Korelasi r=
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
=i 1
=i 1 =i 1
N 2 N N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi N ∑ yi − ∑ yi = i 1 = i 1 i 1 = i 1 = (10 × 29555,55) − ( 385 × 463, 49 ) r= (10 × 25333) − ( 385 )2 10 × 34546,37 − 463, 492 r = 0,99 2
i =1
i
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
10
N
∑x N
2
2
25333 (10 × 25333) − (385) 2
Tabel 3.9 Menghitung nilai yt percobaan 2 dengan fungsi = yt at x + bt
x2
at
bt
yt
1
1,114
3,45
4,564
4
1,114
3,45
7,906
9
1,114
3,45
13,476
16
1,114
3,45
21,274
25
1,114
3,45
31,3
36
1,114
3,45
43,554
49
1,114
3,45
58,036
64
1,114
3,45
74,746
81
1,114
3,45
93,684
100
1,114
3,45
114,85
3.2.8. Data Percobaan 3 dengan Fungsi = y ax + b Tabel 3.16 Data Percobaan 3 dengan Fungsi = y ax + b
∑ Total
xi
xi 2
yi
yi 2
xi yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
4,58 5,7 7,25 10,7 14,02 20,4 28,21 35,24 41,99 52,98
20,9764 32,49 52,5625 114,49 196,5604 416,16 795,8041 1241,858 1763,16 2806,88
4,58 11,4 21,75 42,8 70,1 122,4 197,47 281,92 377,91 529,8
55
385
221,07
7440,942 1660,13
• Parameter N
N
at = =i 1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 (10 ×16610,13) − ( 55 × 221, 07 ) at = 2 (10 × 385) − ( 55) N
2
at = 5,384
• = Sy = Sy
N
N
N
∑ xi 2 ∑ yi − ∑ xi ∑ ( xi yi )
= i1 bt =
bt =
=i 1
1 N { yi − ( at xi + bt )}2 ∑ N − 1 i =1 1 {221, 07 − ( 5,38 × 55 + ( −7,50 ) )}2 10 − 1
=i 1 =i 1
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 ( 385 × 221, 07 ) − ( 55 ×1660,13) N
bt = −7,509
Nilai S y
1 ( 6823, 201) 9 S y = 27,53 Sy =
N
N
N ∑ ( xi yi ) −∑ xi ∑ yi
2
10(385) − ( 55 )
2
•
Nilai ∆at dan ∆bt untuk mencari sesatan pada a dan b yang bersifat statistik N
∆at = Sy
N
N ∑ xi 2 − ∑ xi =i 1 = i1
∆at = 27,53
N
N
∆bt = Sy
2
∑x i =1
i
2
N N ∑ xi 2 − ∑ xi =i 1 = i1
10
(10 × 385) − ( 55)
6,57 ∆bt =
2
N
2
385 (10 × 385) − (55) 2
18,80 ∆b t =
∆at = 3, 03
• Nilai Korelasi N
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
r=
=i 1
=i 1 =i 1
N 2 N N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi N ∑ yi − ∑ yi = i 1 = i 1 i 1 = i 1 = (10 ×1660,13) − ( 55 × 221, 07 ) r= (10 × 385 ) − ( 55 )2 10 × 7440,93 − 221, 07 2 r = 0,96 2
Tabel 3.9 Menghitung nilai yt percobaan 2 dengan fungsi = yt at x + bt x2
at
bt
yt
1
5,384
-7.509
-2.125
2
5,384
-7.509
3,259
3
5,384
-7.509
8,643
4
5,384
-7.509
14,027
5
5,384
-7.509
19,411
6
5,384
-7.509
24,795
7
5,384
-7.509
30,179
8
5,384
-7.509
35,563
9
5,384
-7.509
40,947
10
5,384
-7.509
46,331
y ax 2 + bx 3.2.9 Data Percobaan 3 dengan Fungsi= y ax 2 + bx Tabel 3.18 Data Percobaan 3 dengan Fungsi=
∑ Total
xi
xi 2
yi
yi 2
xi yi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
4,58 2,85 2,416667 2,675 2,804 3,4 4,03 4,405 4,665556 5,298
20,9764 8,1225 5,840278 7,155625 7,862416 11,56 16,2409 19,40403 21,76741 28,0688
4,58 5,7 7,25 10,7 14,02 20,4 28,21 35,24 41,99 52,98
55
385
37,12422 146,9984
221,07
• Parameter N
N
at = =i 1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 (10 × 221, 07 ) − ( 55 × 37,124 ) at = 2 (10 × 385) − ( 55) N
at = 0, 204
2
N
N
N ∑ ( xi yi ) −∑ xi ∑ yi
N
N
N
∑ xi 2 ∑ yi − ∑ xi ∑ ( xi yi )
bt = = i1
bt =
=i 1
=i 1 =i 1
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 ( 385 × 37,124 ) − ( 55 × 221, 07 )
bt = 2,586
N
2
10(385) − ( 55 )
2
•
Nilai S y 1 N { yi − ( at xi + bt )}2 ∑ N − 1 i =1
= Sy
1 {146, 7 − ( 0, 2 × 55 + ( 2,58 ) )}2 10 − 1 S y = 44,37
= Sy
•
Nilai ∆at dan ∆bt untuk mencari sesatan pada a dan b yang bersifat statistik N
∆at = Sy
N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
∆at = 44,37
N
2
N
∆bt = Sy
2
(10 × 385) − ( 55)
∆bt = 44,37
2
∆b t = 30,31
∆at = 4,88
• Nilai Korelasi r=
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
=i 1
=i 1 =i 1
N 2 N N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi N ∑ yi − ∑ yi = i 1 = i 1 i 1 = i 1 = (10 × 221, 07 ) − ( 55 × 37,12 ) r= (10 × 385 ) − ( 55 )2 10 ×146,99 − 37,122 r = 0, 28 2
i =1
i
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
10
N
∑x N
2
2
385 (10 × 385) − (55) 2
Tabel 3.9 Menghitung nilai yt percobaan 2 dengan fungsi = yt at x + bt
x2
at
bt
yt
1
0,204
2,586
2,79
4
0,204
2,586
5,988
9
0,204
2,586
9,594
16
0,204
2,586
13,608
25
0,204
2,586
18,03
36
0,204
2,586
22,86
49
0,204
2,586
28,098
64
0,204
2,586
33,744
81
0,204
2,586
39,798
100
0,204
2,586
46,26
3.2.10 Data Percobaan 3 dengan Fungsi= y ax 2 + b Tabel 3.20 Data Percobaan 3 dengan Fungsi= y ax 2 + b
∑ Total
xi
xi 2
yi
yi 2
xi yi
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000
4,58 5,7 7,25 10,7 14,02 20,4 28,21 35,24 41,99 52,98
20,9764 32,49 52,5625 114,49 196,5604 416,16 795,8041 1241,858 1763,16 2806,88
4,58 22,8 65,25 171,2 350,5
385
25333
221,07
7440,942 13685,57
734,4 1382,29 2255,36 3401,19 5298
• Parameter N
N
N
N ∑ ( xi yi ) −∑ xi ∑ yi
at = =i 1
=i 1 =i 1 2 N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 (10 ×13685,57 ) − ( 385 × 221, 07 ) at = 2 (10 × 25333) − ( 385) N
2
at = 0, 492
• = Sy
Nilai S y 1 N ∑{ yi − ( at xi + bt )}2 N − 1 i =1
1 {221, 07 − ( 0, 49 × 385 + ( 3,15 ) )}2 10 − 1 S y = 11,56
= Sy
N
N
N
N
∑ xi 2 ∑ yi − ∑ xi ∑ ( xi yi )
= i1 bt =
bt =
=i 1
=i 1 =i 1
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1 ( 25333 × 221, 07 ) − ( 385 ×13685,57 )
bt = 3,153
N
2
10(25333) − ( 385 )
2
•
Nilai ∆at dan ∆bt untuk mencari sesatan pada a dan b yang bersifat statistik N
∆at = Sy
N
N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
∆at = 11,56
N
2
N
∆bt = Sy
2
∑x i =1
i
2
N N ∑ xi − ∑ xi =i 1 = i1
10
(10 × 25333) − ( 385)
2
11,56 ∆bt =
N
25333 (10 × 25333) − (385) 2
5, 67 ∆b t =
∆at = 0,11
• Nilai Korelasi N
N
N
N ∑ ( xi yi ) − ∑ xi ∑ yi
r=
=i 1
=i 1 =i 1
N 2 N N 2 N 2 N ∑ xi − ∑ xi N ∑ yi − ∑ yi = i 1 = i 1 i 1 = i 1 = (10 ×1386,57 ) − ( 385 × 221, 07 ) r= (10 × 25333) − ( 385 )2 10 × 7440,94 − 221, 07 2 r = 0,99 2
Tabel 3.9 Menghitung nilai yt percobaan 2 dengan fungsi = yt at x + bt x2
at
bt
yt
1
0,492
3,153
3,645
4
0,492
3,153
5,121
9
0,492
3,153
7,581
16
0,492
3,153
11,025
25
0,492
3,153
15,453
36
0,492
3,153
20,865
49
0,492
3,153
27,261
64
0,492
3,153
34,641
81
0,492
3,153
43,005
100
0,492
3,153
52,353
2
2
3.3 Analisa Data Praktikum yang berjudul “Metode Kuadrat Terkecil” dilakukan agar praktikan lebih memahami cara menyajikan data dan grafik yang benar, menentukan garis lurus terbaik dari sejumlah pasangan data teoritis yang memiliki hubungan linear, menentukan fungsi linear serta kuadratis, dan menentukan koefisien korelasi dari beberapa jenis pasangan data. Metode kuadrat terkecil merupakan metode dalam menentukan garis lurus terbaik yang paling akurat. Dalam percobaan ini, praktikan diminta untu mengolah data dengan fungsi sebagai berikut: 1. = y ax + b y ax 2 + bx 2.=
y y Fungsi ini diubah menjadi = ax + b , di mana merupakan nilai dari yi x x 3.= y ax 2 + b diuraikan menjadi = y ax + b , di mana xi = x 2 Ketiga data tersebut kemudian dicari disertai dengan parameter a , parameter b , beserta sesatannya dan korelasinya .Berikut adalah hasil pengolahan datanya: 1. Kelompok data 1 • Fungsi = y ax + b , diperoleh at sebesar 2,077, bt sebesar 3,499, dan r sebesar 0,995. y ax 2 + bx , diperoleh at sebesar -0,264, bt sebesar 4,566, dan r sebesar • Fungsi= 0,78.
• Fungsi = y ax 2 + b , diperoleh at sebesar 0,180, bt sebesar 7,983, dan r sebesar 0,36. 2. Kelompok data 2
• Fungsi = y ax + b , diperoleh at sebesar 12,307, bt sebesar -21,341, dan r sebesar 0,97. • Fungsi = y ax 2 + bx , diperoleh at sebesar 0,947, bt sebesar 1,792, dan r sebesar 0,993. y ax 2 + b , diperoleh at sebesar 1,114, bt sebesar 3,45, dan r sebesar 0,99. • Fungsi= 3. Kelompok data 3 • Fungsi = y ax + b , diperoleh at sebesar 5,384, bt sebesar -7,509, dan r sebesar 0,96. • Fungsi = y ax 2 + bx , diperoleh at sebesar 0,204, bt sebesar 2,586, dan r sebesar 0,28. • Fungsi = y ax 2 + b , diperoleh at sebesar 0,492, bt sebesar 3,153, dan r sebesar 0,99. Grafik dan garis lurus terbaik dibuat dalam percobaa ini. Nilai korelasinya kebanyakan dekat dengan garis lurus terbaik dan beberapa memiliki data yang berjauhan dari garis lurus terbaik.
BAB IV KESIMPULAN Setelah melakukan beberapa rangkaian percobaan, berikut kesimpulan: 4.1 Praktikan dapat menyajikan data dengan benar, 4.2 Praktikan dapat menyajikan grafik hasil percobaan dengan baik dan benar, 4.3 Praktikan dapat menentukan garis lurus terbaik dari sejumlah pasangan data yang secara teoritis memiliki hubungan linier, 4.4 Praktikan dapat menentukan fungsi linier dari fungsi kuadratis, 4.5 Praktikan dapat menentukan koefisien korelasi dari beberapa jenis pasangan data.
DAFTAR PUSTAKA Ningsih, T., Heriyanto, N., & Rachmatin, D. (2019). Analisis regresi linear precewise dua segmen dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Jurnal Eura Matematika, 7(12). Putri, N. A. (n.d.). Studi komparatif kuadrat terkecil dengan metode regresi robust pembobot weisch pada data yang mengandung pencilan. Jurnal Matematika UNAND, 2(4). Raupong, A., & Zainuddin, S. (2010). Analisis regresi robust menggunakan kuadrat terkecil terpangkas untuk pendugaan parameter. Jurnal Matematika, Statistika, dan Komputasi, 6(2).
