Metode Substitusi [PDF]

Citation preview

1



D. Penyelesaian PD Orde Satu Metode Substitusi Metode biasanya digunakan jika persamaan diferensial mempunyai dua variabel tetapi tidak dapat dipisah secara langsung pada ruas yang berbeda. dY Persamaannya dapat ditulis dalam bentuk :



= f (X, Y) dX



Adapun urutan penyelesaiannya adalah : 1. Ambillah substitusi yang cocok, artinya yang bisa mengubah bentuk persamaan menjadi dapat dipisahkan variabelnya pada ruas yang berbeda, biasanya substitusi itu adalah Y = V.X Y ( dalam hal ini V =



) dan diperoleh : X



dY



dV



dX



dY +V (



= X dX



2. Substitusikan Y = V.X



substitusi ) dX



ke dalam soalnya sehingga



dY diperoleh :



= f (V) dX dY



3. Samakan



dY substitusi dengan



dX



soal sampai dx



diperoleh : f (V) dV = g (X) dX 4. Integralkan f (V) dV = g (X) dX sehingga didapat : F (V) = G (X) + C Y 5. Substitusikan kembali



V=



ke persamaan ini X



sehingga diperoleh penyelesaiannya dalam bentuk : F (Y) = G (X) + C



2



Contoh : Selesaikanlah persamaan diferensial berikut : dY 1.



= dX



2X + 3Y 4X



dY 2



= 2 XY + 3Y2



2. ( X + 2 XY ) dX



dY Jawab : 1.



2X + 3Y =



-



dX



4X Y



Substitusi Y = V.X



atau V =



, sehingga: X



dY



dV = V+X



dX



dan soal menjadi : dX



dY



2X + 3VX



2+3V



=



=



dX



-



4X dV



V+X



4 2+3V



=



-



dX dV



4 2 + 3 V – 4V



2+3V



X



– V=



= dX



4



dV



2– V



X



=



-



dX



4



4



dX dV =



2–V



X



4 



dX dV = 



2–V



4



X



– 4 ln (2 – V) = ln X + C



3  – 4 ln (2 – V) = ln X + ln A



ln (2 – V) – 4 = ln A.X  (2 – V) – 4 = A.X Y V=



di masukkan kembali sehingga : X



(2 – Y/X) – 4 2X–Y



= A.X



–4



= A.X X  Jadi: ( 2X – Y ) – 4 = A.X – 3



dY 2. ( X2 + 2 XY )



= 2 XY + 3Y2 dX 2 XY + 3Y2



dY =



2



dX



X + 2 XY Y



Substitusi Y = V.X atau V =



, sehingga: X



dY



dV = V+X



dX



dan soal menjadi : dX



2 X.V.X + 3(V.X)2



dY



2 V.X2 + 3V2.X2



=



= 2



dX



X + 2 X.V.X



dY



2 V + 3V2 =



2



X + 2 V.X



2



-



dX



1+ 2 V 2 V+ 3 V2



dV V+X



= dX



1+ 2 V



dV



2 V+ 3 V2



X



– V



= dX



1+ 2 V 2 V+ 3 V2



dV X



-



–



= dX



V + 2V2



1+ 2 V



= 1+ 2 V



2V + 3V2 – V – 2V2 1+ 2 V



4 V+ V2



dV X



=



.



dX



1+ 2 V



1 + 2V



dX dV =



2



V+V



X



1 + 2V



dX







dV = 



-



V + V2



X



ln ( V + V2 ) = ln X + C ln ( V + V2 ) = ln X + ln A ln ( V + V2 ) = ln A.X Y



Y 



V= X







Y +



X



2



X 



X Y + Y2 = A.X3



X2



Latihan : Selesaikan persamaan diferensial berikut ini



1.



= A. X



= A.X



X Y + Y2 = A.X



V + V2



dY 5X + 6Y ------- = ------------dX 2X



dY 2. ( 2X + 3XY ) ------ = 3 XY + 4 Y2 dX 2



-to be-