Modul 7 Aplikasi Transformasi Laplace [PDF]

Citation preview

MODUL 7 APLIKASI TRANFORMASI LAPLACE



Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan baik persoalan analisa maupun perancangan sistem. Aplikasi Transformasi Laplace tersebut bergantung pada sifat-sifat transformasi Laplace, khususnya diferensias, integrasi dan konvolusi. Pada modul ini akan dibahas beberapa contoh aplikasi transformasi Laplace pada sistem linier yaitu dalam menganalisis rangkaian RLC, merancang sistem kendali, menentukan solusi persamaan diferensial dan menentukan kestabilan sistem. Akan tetapi sebelum itu akan diberikan teori dan beberapa definisi tambahan mengenai teorema harga awal dan harga akhir dan beberapa definisi dasar lainnya. 7.1 Teorema Harga Awal dan Harga Akhir Kedua teorema fundamental yang akan kita bicarakan dikenal sebagai teorema harga awal dan harga akhir. Teorema tersebut akan memungkinkan kita untuk menghitung f(0+) dan f(~) dengan memeriksa harga-harga batas dari F(s). Untuk menurunkan teorema harga awal, maka kita tinjau sekali lagi transformasi Laplace dari turunan,



 df  £   = sF(s) – f(0) =  dt 



~



∫e



−st



0



df dt dt



kita ambil sekarang s mendekati tak berhingga. Dengan demikian integral menjadi dua bagian, 0+ ~ lim {sF(s) – f(0)} = lim ( ∫ e −st df dt + ∫ e −st df dt ) s →~ s →~



dt



0−



0+



dt



maka kita lihat bahwa integral kedua harus mendekati nol di dalam limit karena integral itu sendiri mendekati nol. Juga f(0-) bukanlah fungsi dari s, dan itu dapat dipindahkan dari limit kiri, -f(0-) + lim [sF(s)] s →~



= lim s →~



0+



∫df



0−



= lim [f(0+) – f(0-)] s →~



= f(0+) – f(0-) dan akhirnya : f(0+) = lim [sF(s)] s →~ atau



lim f (t ) = lim[ sF ( s )]



s →0 +



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



s→~



Trie Maya Kadarina, ST, MT.



SISTEM LINIER



55



Ini adalah pernyataan matematis dari teorema harga awal (initial-value theorem). Teorema ini mengatakan bahwa harga awal dari fungsi waktu f(t) dapat diperoleh dari transformasi Laplacenya F(s) dengan mula-mula mengalikan transform tersebut dengan s dan kemudian memasukkan nilai s menuju tak berhingga. Sebagai contoh dipilih f(t) = cos ω0t, kita lihat bahwa f(0+) = 1, sekarang kita hitung



  lim[ sF ( s )] = lim  s 2 s 2  = 1  s →~  s→~  s + ω0  Harga ini ternyata cocok dengan f(0+). Teorema harga akhir tidaklah begitu berguna seperti teorema harga awal, karena banyak fungsi f(t) yang tidak atau tak dapat ditentukan harga akhirnya, misalnya cos ω0t dan sin ω0t. Dengan cara yang hampir sama dapat diturunkan teorema harga akhir sebagai berikut :



lim f (t ) = lim[ sF ( s )] s →~



s→0



Sebagai contoh langsung dari pemakaian teorema ini, kita tinjau fungsi f(t) = (1-e-at)u(t), dengan a > 0, kita lihat bahwa f(~) =1. Transformasi dari f(t) adalah : F(s) =



1 1 a − = s s + a s( s + a)



Dengan mengalikan dengan s dan memasukkan nilai s mendekati nol, kita dapat



lim[ sF ( s )] = lim a s→0 s →0



s+a



=1



ternyata harga ini cocok dengan f(~). 7.2 Fungsi Pemindah (Transfer Function) H(s) Fungsi Pemindah adalah perbandingan keluaran/output dalam bentuk transformasi Laplace dengan masukan/input dalambentuk fungsi Laplace juga. Secara matematis Fungsi Pemindah dapat ditulis :



H ( s) =



Fo ( s ) Fi ( s )



7.3 Respon Impuls h(t)



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Trie Maya Kadarina, ST, MT.



SISTEM LINIER



56



Respon impuls adalah respon atau fungsi keluaran dalam fungsi t, jika masukannya adalah impuls satuan [δ(t)]. 7.4 Hubungan Respon Impuls dan Fungsi Pemindah Kita lihat pada persamaan H(s), jika inputnya impuls satuan [δ(t)], maka Fi(s) =1 sehingga H(s) = Fo(s) artinya keluarannya adalah Fungsi pemindah H(s), sedangkan menurut definisi jika masukannya adalah impuls satuan, maka keluarannya dalam fungsi t adalah respons impuls h(t). Maka dapat diambil kesimpulan fungsi pemindah H(s) transform Laplace dari respons impuls h(t) dan sebaliknya respons impuls h(t) adalah inverse transform Laplace dari H(s) atau dapat digambarkan : £ h(t)



H(s) £-1



7.5 Transformasi Laplace pada Analisa Rangkaian RLC Untuk perhitungan rangkaian linier menggunakan transformasi Laplace biasanya induktor dan kapasitor langsung dibuat rangkaian penggantinya sehingga tidak lagi mulai dari persamaan diferensial.



7.5.1



Relasi Ekivalen untuk Resistor dalam Domain s



Karakteristik tegangan arus dalam domain s suatu resistor, R adalah: VR(s) = R IR(s) R=



7.5.2



VR ( s) I R ( s)



Relasi Ekivalen untuk Induktor dalam Domain s



Persamaan untuk Induktor (dalam diferensial) : v =L



di dt



Jika persamaan tersebut di transformasikan dalam bentuk Laplace akan menjadi : V(s)



= L[sI(s) – i(0)] = sL I(s) – Li(0)



Persamaan untuk Induktor (dalam integral) :



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Trie Maya Kadarina, ST, MT.



SISTEM LINIER



57



i=



1 L



~



∫



0



v (t ) d (t ) + i (0)



Jika persamaan tersebut di transform Laplace akan menjadi :



7.5.3



I (s) =



1 V ( s ) i ( 0) + L s s



I ( s) =



i (0) 1 V ( s) + sL s



Relasi Ekivalen untuk Kapasitor dalam Domain s



Persamaan untuk Kapasitor (dalam integral) : v=



1 ~ i (t )d (t ) + v(0) c ∫0



Jika persamaan tersebut di transformasikan dalam bentuk Laplace akan menjadi :



V ( s) =



1 I ( s ) v ( 0) + C s s



V (s) =



v(0) 1 I (s) + sC s



Persamaan untuk Kapasitor (dalam diferensial) : i =c



dv dt



Jika persamaan tersebut di transform Laplace akan menjadi : I(s) = C[sV(s) – v(0)] = sC V(s) – Cv(0)



Contoh soal: Tinjau rangkaian yang ditunjukan pada gambar 7.1 (a), dengan I L=(0-) = 1, vC(0-) = 2 dan x(t) = u(t). Rangkaian ekivalen dalam domain s ditunjukkan pada gambar 7.1 (b).



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Trie Maya Kadarina, ST, MT.



SISTEM LINIER



58



Gambar 7.1 Rangkaian RLC Jawab: Persamaan pada node 1:



 Y (s) − 1 / s − 2  2 −  − sY ( s ) − Y ( s ) = 0 2+s   atau, Y ( s) =



2s 2 + 6s +1 s ( s 2 + 3s + 3)



1 = 3s +



=



(5s ) / 3 + 5 ( s + 1,5) 2 +



(



3/2



)



2



1 5 s + 1,5 5 3/2 + + 2 2 2 3s 3 ( s + 1,5) + ( 3 / 2) 3 ( s + 1,5) + ( 3 / 2) 2



maka, y (t ) = =



1 5 3  5 3   3   3  u (t ) + exp − t cos t u (t ) + exp − t sin t u (t ) 3 3 2  2  3  2   2   1 5 3 3    3  1 exp − t  cos t + sin t u (t ) 1 + 3 2 2  3  2  3  



7.6 Transformasi Laplace pada Sistem Kendali



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Trie Maya Kadarina, ST, MT.



SISTEM LINIER



59



Aplikasi transformasi Laplace banyak dijumpai dalam sistem kendali. Banyak persoalan praktis yang dapat diformulasikan sebagai persoalan kendali/pengaturan. Sebagai contoh, tunjau sistem yang ditunjukkan pada gambar 7.2.



Gambar 7.2 Sistem Kendali Sub sistem pertama disebut sebagai plant yang memiliki fungsi transfer H(s). Subsistem kedua disebut kontroler didesain untuk memperoleh performansi sistem tertentu. Input sistem tersebut adalah sinyal referensi r(t), sedangkan w(t) menggambarkan gangguan atau noise dalam sistem. Perbedaan antara referensi dan output disebut galat atau error, e(t)=r(t)-y(t). Sinyal galat ini dikenakan pada kontroler, yang berfungsi mamaksa sinyal galat menjadi nol untuk t∞.



Kondisi ini menyebabkan output sistem mengikuti sinyal referensi r(t). Performansi sistem jenis ini disebut penjejakan (tracking). Misalkan sistem LTI memiliki fungsi transfer:



H ( s) =



N ( s) D( s)



Jika input r(t) = A u(t) dan sinyal gangguan w(t) = B u(t) dimana A dan B adalah konstanta. Maka dengan menggunakan sifat superposisi dapat ditunjukkan bahwa.



Y ( s) = =



H c ( s) H ( s) H ( s) R( s) + W (s) 1 + H C ( s) H ( s) 1 + H C ( s) H ( s) H ( s )[ H C ( s ) A + B ] s[1 + H C ( s ) H ( s )]



Ingin didesain HC (s) sedemikian hingga r(t) menjejaki y(t) yaitu:



lim y (t ) = A t →∞



Misalkan Hc(s) = Nc(s)/Dc(s), maka :



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Trie Maya Kadarina, ST, MT.



SISTEM LINIER



60



Y ( s) =



N ( s )[ Nc ( s ) A + Dc( s ) B ] s[ D ( s ) Dc ( s ) + N ( s ) Nc ( s )]



Dengan menggunakan teorema harga akhir



lim y (t ) = lim sY ( s ) t →∞



s →0



= lim s →0



N ( s ){Nc ( s ) A + Dc( s ) B} y (t ) D ( s ) Dc( s ) + N ( s ) Nc( s )



y (t ) = A Agar, lim t →∞ D( s ) = 0 maka harus dipenuhi lim s →0 atau Dc(s) memiliki zero di s=0 7.7 Transformasi Laplace Untuk Menentukan Solusi Persamaan Diferensial Prosedur untuk menyelesaikan suatu PD dengan menggunakan transformasi Laplace adalah sebagai berikut : 1. Dengan kondisi mula yang diketahui, ambil transformasi Laplace kedua sisi dari persamaan diferensial 2. Selesaikan persamaan aljabar untuk Y(s) 3. Ambil invers-nya untuk memperoleh y(t) Contoh: Selesaikan PD : y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = exp(-t); y’(0) =1, y(0) = 2 1. Ambil TL kedua sisi menghasilkan : ( s 2Y ( s ) − 2 s −1) + 5( sY ( s ) − 2) + 6Y ( s ) =



1 s +1



2. Diselesaikan untuk Y(s) 2 s 2 + 13s + 12 ( s + 1)( s 2 + 5s + 6) 1 6 9 = + − 2( s + 1) ( s + 2) 2( s + 3)



Y (s) =



3. Ambil invers dari Y(s), yaitu £-1{Y(s)} diperoleh ; 9 1  y (t ) =  exp(−t ) + 6 exp(−2t ) − exp(−3t ) u (t ) 2 2 



7.8 Transformasi Laplace Untuk Menentukan Stabilitas dalam Domain s Suatu fungsi transfer H(s) selalu dapat ditulis dalam bentuk perkalian



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Trie Maya Kadarina, ST, MT.



SISTEM LINIER



61



H (s) =



N (s) N (s) = D ( s ) ( s + s1 )( s + s 2 )...( s + s N )



Nilai s yang menjadikan H(s) = disebut “pole”. Jadi pole dari H(s) di atas adalah s = -s1, s = -s2, …, s = -sN Persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai berikut :



H ( s) =



A1 A2 AN + + ... + s + s1 ( s + s 2 ) s + sN



Secara umum, pole dapat berbentuk kompleks, yaitu: sk = σk + jωk Respon impuls dari sistem dapat ditulis (jika tidak ada pole yang berulang/multiple pole) h(t) = A1 exp(-s1t) + A2 exp(-s2t) + … + AN exp(-sNt) atau secara umum, N



h(t ) = ∑ Ak exp(−s k t ) k =1



Jika sk = σk + jωk, maka : N



h(t ) = ∑ Ak exp(−σ k t ) exp(− jωk ) k =1



Jelas bahwa agar stabil BIBO, maka sistem tersebut harus memiliki pole yang bagian riilnya negative, atau pole-polenya terletak di sebelah kiri bidang s.



PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



Trie Maya Kadarina, ST, MT.



SISTEM LINIER



62