Modul 8 [PDF]

Citation preview

MODUL PERKULIAHAN



Metode Numerik EVALUASI NUMERIK INTEGRAL • • •



Metode Segmentasi Metode Segi empat Metode Trapesium



Fakultas



Program Studi



Teknik



Teknik Sipil



Tatap Muka



08



Kode MK



Disusun Oleh



W111700062



Masnia, M.Pd



Abstract



Kompetensi



Pada modul ini dijabarkan tentang penjelasan cara penyelesaian integral dengan Metode Segmentasi, Metode Segi empat, Metode Trapesium dan Metode Titik Tengah serta mampu menerapkan metode tersebut dalam bidang Teknik Sipil



Mahasiswa mampu menentukan penyelesaian integral dengan Metode Segmentasi, Metode Segi empat, Metode Trapesium dan Metode Titik Tengah



Integral Numerik Integral tertentu yang pernah kita pelajari pada matakuliah Matematika 1, yang dinyatakan oleh : b



I =  f ( x)dx ……………………………………………………..…………………(08.1) a



adalah bentuk integral yang dapat dipecahkan secara analitis, yang umumnya telah dirumuskan, sehingga tidak ada kesulitan dalam mencari solusi numeriknya. Persamaan (08.1) didefinisikan sebagai sebuah limit Jumlah Riemann, dan menurut teorema dasar kalkulus integral persamaan tersebut dapat dihitung dengan rumus sebagai , b



b



a



a



I =  f ( x)dx = F ( x) = F (b) − F (a ) ……………………………………………(08.2) Dengan F (x) adalah antiderevatif dari f (x) , yakni F ' ( x) = f ( x) . Banyak integral tertentu yang dapat dihitung dengan pers.(08.2), seperti banyak dijumpai dalam buku-buku kalkulus, tapi tidak sedikit integral tertentu yang tidak dapat dihitung dengan persamaan tersebut, karena integrand f (x) tidak mempunyai antideratif yang dapat yang dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi-fungsi elementer. Cara untuk mencari solusi integral semacam itu adalah dengan perhitungan integral secara hampiran atau pendekantan, yang hasilnya berupa numerik. Pendekatan semacam ini banyak digunakan para ilmuwan dan para insinyur untum menyelesaikan perhitungan integral yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Misalnya pada model Debye untuk menghitung kapasitas panas sebuah benda pejal memuat fungsi sebagai berikut: x



t3 dt …………………………………………………………….…..(08.3) t 0 e −1



( x) = 



Oleh karena (x) tidak dapat dinyatakan secara eksplisit, dan hasil integrasinya tidak dapat diperoleh secara analitis, maka harus digunakan metode numerik untuk menghasilkan solusi hampiran dari fungsi (x) . Contoh lain integral tertentu yang tidak dapat diperoleh secara



2020



2



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



x



analitik adalah perhitungan distribusi normal seperti ( x) =



 0



1



contoh-contoh seperti ,



0 e



− x2







dx ,



0 x







e



−t



2



2



dt , dan masih banyak lagi



Sin( x )dx dan lain sebagainya, yang tidak dapat



dihitung secara analitik dan diperlukan perhitungan secara numerik sebagai solusi hampiran.



Metode Segmentasi Suatu fungsi f (x) kontinyu pada interval a, b  . Untuk menghitung



a, b



menjadi



sub



interval



a = x0  x1  x 2  x3  ...  x n = b .



b



a f ( x)dx , kita bagi interval



x0 , x1 , x1 , x2  , x 2 , x3 ,..., xn−1 , xn  ,



yaitu Lebar



tiap



segmen



sama



dengan



,



dimana



h,



dimana



h = x1 − x0 = x 2 − x1 = ... = x n − x n −1 atau dapat dirumuskan sebagai,



h=



x n − x0 b − a ………………………………………………….......………...(08.4) = n n



Titik absis setiap segmen dinyatakan sebagai,



xi = x 0 + ih = a + ih …………………………………………………......………(08.5) dimana i = 0 ,1, 2 , 3 ,..., n dan nilai fungsi pada titik absis segmen adalah f i = f ( xi ) . Luas daerah yang dibatasi oleh f (x) dalam interval a, b  dihampiri sebagai luas n buah segmen.. Metode integrasi numerik yg berbasis pd pembagian daerah yg dibatasi oleh f (x) dlm interval a, b  menjadi segmen-segmen kecil , disebut sebagai metode segmentasi. Perhatikan gambar dan tabulasi sebagai berikut,



i



xi



f i = f ( xi )



0



x0



f0



1



x1



f1



x2



f2



2



y



y=f(x)



h



h



h x Gbr 08.1 Metode Segmentasi



2020



3



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



…



…



…



n −1



xn −1



f n−1



n



xn



fn



Metode integrasi numerik yang dapat diturunkan dari metode segmentasi ini adalah : 1) Metode segi empat ( rectangle rule ) 2) Metode trapesium ( trapezoidal rule ) 3) Metode titik tengah ( midpoint rule ) Metode no 1 dan no 2 pada hakekatnya sama, hanya cara penurunan rumusnya yang berbeda, sedangkan yang no 3 merupakan bentuk kompromi untuk memperoleh nilai hampiran yang lebih baik.



Metode Segi Empat Untuk merumuskan metode ini, diperlukan hampiran jumlah kiri dan hampiran jumlah kanan. Perhatikan gambar dibawah ini, dimana a = x0 dan b = x1 , y = f (x)



y



y y=f(x)



y=f(x)



h



h x



x



Gbr 08.2 a



2020



4



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Gbr 08.2 b



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Gambar 08.2 a adalah hampiran jumlah kiri dan gambar 08.2 b adalah hampiran jumlah sebelah kanan. Luas daerah yg dibatasi oleh kurva y = f (x) , garis x = a ,garis x = b dan sumbu x menurut jumlah hampiran sebelah kiri ( gbr 08.2 a ) adalah sebagai berikut:



L0 =



x1



 f ( x)dx  h f



0



…………………………………………………(08.6 a).



x0



Sedangkan Luas daerah yg dibatasi oleh kurva y = f (x) , garis x = a ,garis x = b dan sumbu



x menurut jumlah hampiran sebelah kanan ( gbr 08.2 b) adalah sebagai berikut:



L1 =



x1



 f ( x)dx  h f



1



……………………………………….…………(08.6 b).



x0



L0 + L1 =



x1



x1



x1



x0



x0



x0



 f ( x)dx +  f ( x)dx = 2  f ( x)dx = h f



0



+ h f1 = h ( f 0 + f1 ) , maka luas daerah yg



dibatasi oleh kurva y = f (x) , garis x = a ,garis x = b dan sumbu x adalah



L=



x1



h



 f ( x) dx  2 ( f



0



+ f1 ) ……………………………………………..(08.7)



x0



Persamaan (08.7) adalah rumusan perhitungan luas daerah untuk satu segmen,. sedangkan rumusan luas daerah yang dibagi menjadi n segmen adalah merupakan jumlahan dari luas masing-masing segmen, sebagai berikut:



L=



b = xn



h



 f ( x) dx = 2 ( f a= x 0



2020



5



0



h h h + f1 ) + ( f1 + f 2 ) + ... + ( f n −2 + f n −1 ) + ( f n −1 + f n ) 2 2 2



=



h ( f 0 + f1 + f1 + f 2 + f 2 ... + f n −1 + f n −1 + f n ) 2



=



h ( f 0 + f1 + f1 + f 2 + f 2 ... + f n −1 + f n −1 + f n ) 2



=



n −1 h h ( f 0 + 2 f 1 + 2 f 2 ... + 2 f n −1 + f n ) = ( f 0 + f n ) + h f i ………..(08.8) 2 2 i =0



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Metode Trapesium Metode ini pada hakekatnya sama dengan metode segiempat, hanya saja penurunan rumusnya yang berbeda, tapi hasil akhirnya sama, yaitu seperti pada persamaan (08.8). Perhatikan gambar berikut ini,



y



y=f(x)



h



x Gbr 12.3 Metode trapesium



Bangun trapesium yg dibentuk dari kurva y = f (x) , lebar trapesium sama dgn h ,sisi-sisi yang sejajar adalah f 0 dan f1 , maka luas trapesium LT = ( f 0 + f1 ) 



h . Luas daerah yang dibatasi 2



oleh kurva y = f (x) , garis x = a ,garis x = b dan sumbu x



adalah sama dengan luas



trapesium ( daerah yang di arsir ), sehingga



L=



x1



h



 f ( x) dx  2 ( f



0



+ f1 ) ………………………………………………………(08.9)



x0



Persamaan (08.9) adalah rumusan perhitungan luas daerah untuk satu segmen,. trapesium sedangkan rumusan luas daerah yang dibagi menjadi n segmen trapesium merupakan jumlahan dari luas masing-masing segmen, sebagai berikut:



L=



b = xn



h



f ( x) dx = ( f  2 a= x 0



=



2020



6



Metode Numerik Masnia, M.Pd



0



h h h + f1 ) + ( f1 + f 2 ) + ... + ( f n −2 + f n −1 ) + ( f n −1 + f n ) 2 2 2



h ( f 0 + f1 + f1 + f 2 + f 2 ... + f n −1 + f n −1 + f n ) 2



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



adalah



=



h ( f 0 + f1 + f1 + f 2 + f 2 ... + f n −1 + f n −1 + f n ) 2



=



n −1 h h ( f 0 + 2 f 1 + 2 f 2 ... + 2 f n −1 + f n ) = ( f 0 + f n ) + h f i …………. 2 2 i =0



………………………………..(08.10) Persamaan (08.10 ) sama persis dengan persamaan (08.8). Jadi metode segiempat sama persis dengan metode trapesium.



Metode Titik Tengah y=f(x)



f1 2 12 h x



a = x0



x1 2



b = x1



Gbr 08.4 Metode titik tengah Pandang sebuah segmen berbentuk empat persegi panjang x = x0 sampai x = x1 dan titik tengah absis x = x0 +



L=



x1



 x



0



1 h ( Gambar.08.4 ). Luas satu segmen adalah dinyatakan oleh 2



h f ( x) dx  h f ( x0 + )  h f ( x1 2 ) ……………………………..(08.11) 2



Persamaan (08.11) adalah rumusan perhitungan luas daerah untuk satu segmen,. seperti pada gambar (08.4) sedangkan rumusan luas daerah yang dibagi menjadi n segmen adalah merupakan jumlahan dari luas masing-masing segmen, sebagai berikut:



L=



2020



7



b = xn



x2



x3



x4



a = x0



1



2



3



xn



 f ( x) dx = x f ( x) dx + x f ( x) dx + x f ( x) dx + ... + x f ( x) dx



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



n−1



= h f ( x1 2 ) + h f ( x3 2 ) + h f ( x5 2 ) + ... + h f ( xn−1 2 ) n −1



= h ( f 1 2 + f 3 2 + f 5 2 + ... + f n −1 2 ) = h f i +1 2 ………………(08.12) i =0



yang dalam hal ini, xi +1 2 = x0 + h(i + 1 2) dan f i +1 2 = f ( xi +1 2 ) , i = 0 ,1, 2,..., (n − 1)



Contoh: 1



Hitung:



1)



1



 x + 1 dx bila h = 0,05 0



1



2)



e



x



dx , bila n = 25



0



dengan menggunakan metode : a) Trapesium b) Titik tengah



Jawab: 1



1.



1



 x + 1 dx ,



h=



0



x1 − x0 1 − 0 = = 0,04 n 25



a) Metode Trapesium. Perhatikan tabel (08.1). Tabel tersebut dihitung dari f ( x) =



2020



8



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



1 , xi = x0 + ih x +1



Tabel 08.1 Metode Trapesium



1



i



xi



f i = f ( xi )



i



xi



f i = f ( xi )



0



0.000000



1.000000



11



0.550000



0.645161



1



0.050000



0.952381



12



0.600000



0.625000



2



0.100000



0.909091



13



0.650000



0.606061



3



0.150000



0.869565



14



0.700000



0.588235



4



0.200000



0.833333



15



0.750000



0.571429



5



0.250000



0.800000



16



0.800000



0.555556



6



0.300000



0.769231



17



0.850000



0.540541



7



0.350000



0.740741



18



0.900000



0.526316



8



0.400000



0.714286



19



0.950000



0.512821



9



0.450000



0.689655



20



1.000000



0.500000



10



0.500000



0.666667



1



h



 x + 1 dx = 2 ( f 0



0



h h h + f 20 ) + ( f1 + f1 ) + ... + ( f18 + f18 ) + ( f19 + f19 ) 2 2 2



h h ( f 0 + f 20 ) + (2 f1 + 2 f 2 + 2 f 3 + ... + 2 f18 + 2 f19 ) 2 2



=



=



19 h ( f 0 + f 20 ) + h f i 2 i =1



=



h ( f 0 + f 20 ) + h( f1 + f 2 + f 3 + ... + f18 + f19 ) 2



=



0,05 (1,000000 + 0,500000) + 0,05(0,952381 + 909091 + ... + 0,512821) 2



= 0.0375 + 0.655803382 = 0.693303382



2020



9



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



b) Metode Titik tengah 1



1 0 x + 1 dx =



x2



x3



x4



x20



x1



2



3



19



 f ( x) dx + x f ( x) dx + x f ( x) dx + ... + x f ( x) dx = h f ( x1 2 ) + h f ( x3 2 ) + h f ( x5 2 ) + ... + h f ( xn−1 2 ) 19



= h ( f 1 2 + f 3 2 + f 5 2 + ... + f n −1 2 ) = h f i +1 2 i =0



= 0.05(0.975610 + 0.930232 + 888889 + ... + 0.506329) = 0.693069098



Tabel 08.2 . Metode titik Tengah



i



xi



x1 2



f1 2



i



xi



x1 2



f1 2



0



0.0000000



0.0250000



0.9756098



10



0.5000000



0.5250000



0.6557377



1



0.0500000



0.0750000



0.9302326



11



0.5500000



0.5750000



0.6349206



2



0.1000000



0.1250000



0.8888889



12



0.6000000



0.6250000



0.6153846



3



0.1500000



0.1750000



0.8510638



13



0.6500000



0.6750000



0.5970149



4



0.2000000



0.2250000



0.8163265



14



0.7000000



0.7250000



0.5797101



5



0.2500000



0.2750000



0.7843137



15



0.7500000



0.7750000



0.5633803



6



0.3000000



0.3250000



0.7547170



16



0.8000000



0.8250000



0.5479452



7



0.3500000



0.3750000



0.7272727



17



0.8500000



0.8750000



0.5333333



8



0.4000000



0.4250000



0.7017544



18



0.9000000



0.9250000



0.5194805



9



0.4500000



0.4750000



0.6779661



19



0.9500000



0.9750000



0.5063291 0.6930691



1



2)



e



x



dx , bila n = 25



0



h=



x1 − x0 1 − 0 = = 0.04 n 25



a) Metode Trapesium



2020



10



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Perhatikan tabel (08.1). Tabel tersebut dihitung dari f ( x) = e



x



, xi = x0 + ih



Tabel 08.3 Metode Trapesium



i



xi



f i = f ( xi )



i



xi



f i = f ( xi )



0



0.0000000



1.0000000



13



0.5200000



2.0567154



1



0.0400000



1.2214028



14



0.5600000



2.1134707



2



0.0800000



1.3268964



15



0.6000000



2.1697168



3



0.1200000



1.4139825



16



0.6400000



2.2255409



4



0.1600000



1.4918247



17



0.6800000



2.2810164



5



0.2000000



1.5639483



18



0.7200000



2.3362057



6



0.2400000



1.6321496



19



0.7600000



2.3911628



7



0.2800000



1.6974893



20



0.8000000



2.4459343



8



0.3200000



1.7606542



21



0.8400000



2.5005611



9



0.3600000



1.8221188



22



0.8800000



2.5550790



10



0.4000000



1.8822268



23



0.9200000



2.6095200



11



0.4400000



1.9412361



24



0.9600000



2.6639125



12



0.4800000



1.9993464



25



1.0000000



2.7182818 1.9984501



1



e



x



dx =



0



h h h h h ( f 0 + f 25 ) + ( f1 + f1 ) + ( f 2 + f 2 ) + ... + ( f 23 + f 23 ) + ( f 24 + f 24 ) 2 2 2 2 2 =



2020



11



h h ( f 0 + f 25 ) + (2 f1 + 2 f 2 + 2 f 3 + ... + 2 f 23 + 2 f 24 ) 2 2 Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



=



24 h ( f 0 + f 25 ) + h f i 2 i =1



=



h ( f 0 + f 25 ) + h( f1 + f 2 + f 3 + ... + f 23 + f 24 ) 2



=



0,04 (1,000000 + 2,7182818) + 0,04(1,2214028 + 1,3268964 + ... + 2,6639125) 2



=1,9984501



a) Metode Titik Tengah



Tabel 08.4 Metode Titik Tengah



i



xi



x1 2



f1 2



i



xi



x1 2



f1 2



0



0.0000000



0.0200000



1.1519099



12



0.4800000



0.5000000



2.0281150



1



0.0400000



0.0600000



1.2775561



13



0.5200000



0.5400000



2.0851628



2



0.0800000



0.1000000



1.3719427



14



0.5600000



0.5800000



2.1416516



3



0.1200000



0.1400000



1.4537781



15



0.6000000



0.6200000



2.1976768



4



0.1600000



0.1800000



1.5284652



16



0.6400000



0.6600000



2.2533181



5



0.2000000



0.2200000



1.5984615



17



0.6800000



0.7000000



2.3086433



6



0.2400000



0.2600000



1.6651279



18



0.7200000



0.7400000



2.3637103



7



0.2800000



0.3000000



1.7293101



19



0.7600000



0.7800000



2.4185691



8



0.3200000



0.3400000



1.7915751



20



0.8000000



0.8200000



2.4732635



9



0.3600000



0.3800000



1.8523246



21



0.8400000



0.8600000



2.5278316



2020



12



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



10



0.4000000



0.4200000



1.9118552



22



0.8800000



0.9000000



2.5823073



11



0.4400000



0.4600000



1.9703930



23



0.9200000



0.9400000



2.6367207



24



0.9600000



0.9800000



2.6910986 2.0004307



1



0 e



x



dx =



x2



x3



x4



x25



x1



2



3



24



 f ( x) dx + x f ( x) dx + x f ( x) dx + ... +  f ( x) dx = h f ( x1 2 ) + h f ( x3 2 ) + h f ( x5 2 ) + ... + h f ( xn−1 2 ) 24



= h ( f 1 2 + f 3 2 + f 5 2 + ... + f n −1 2 ) = h f i +1 2 i =0



= 0.04(1,1519099 + 1,2775561 + 1,3719427 + ... + 2,6910986) = 2.0004307



2020



13



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



SOAL LATIHAN 1, 2



1. Hitung integral



 (2 + Sin



2 x )dx bila h = 0,05 dengan menggunakan metode



0



a) Trapesium b) Titik tengah 1



2. Hitung



x e 2



−x



dx sampai 6 angka dibelakang koma dengan menggunakan metode



0



c) Trapesium d) Titik tengah 3



3. Hitung



e



x2



dx sampai 6 angka dibelakang koma dengan menggunakan metode



0



a) Trapesium b) Titik tengah 1



4. Hitung nilai pendekatan



1



1+ x



2



dx , bila n = 12 (ingat : n =



0



b−a ) dengan metode: h



a) Trapesium b) Titik tengah



c) Simpson



2020



14



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



3 8



Daftar Pustaka 1. Chapra, Steven C. Numerucal Methods for engineers 7, 2015 2.



Chapra, Steven C. Applaid Numerucal Methods with MATLAB for engineers and science, 2005



3. Harijono Djojodihardjo, Metode Numerik, Gramedia, Jakarta, 2000 4. Kreyzig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics 10th edition, 2009 5. Purcell, Edwin J., Kalkulus jilid I, Erlangga, Jakarta, 2006 6. I Ketut Adi Atmika, Metode Numerik, Diktat Mata Kuliah, Jurusan Teknik Mesin, Fakultas Teknik, Universitas Udayana, 2016 7. Agus Setiawan, Analisis Numerik, Diktat Kuliah, Teknik Sipil, Universitas Pembangunan Jaya, 2016



2020



15



Metode Numerik Masnia, M.Pd



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id