Modul Fungsi Kuadrat Kelas IX [PDF]

Citation preview

Modul Fungsi Kuadrat Kelas IX SMP/MTs Disusun oleh: Suci Prahadini Yunita (11170170000006)



Daftar Isi Daftar Isi .................................................................................................. 2 Pentunjuk Penggunaan Modul .............................................................. 3 Kompetensi Yang Harus Dicapai ......................................................... 4 Peta Konsep ............................................................................................. 6 Fungsi Kuadrat ........................................................................................ 8 Kegiatan 1, Menggambar Grafik Fungsi y = ax2 ............................... 8 Kegiatan 2, Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + c ......................... 10 Kegiatan 3, Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + bx ........................ 12 Kegiatan 4, Menentukan Fungsi Kuadrat ........................................ 15 Rangkuman Materi ............................................................................... 16 Latihan ................................................................................................... 18 Evaluasi .................................................................................................. 19 Sumber Bacaan ....................................................................................... 21



2 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Pentunjuk Penggunaan Modul Modul matematika Fungsi Kuadrat ini disusun untuk membantu peserta didik kelas IX SMP/MTs dalam memahami, menjelaskan dan menyajikan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel, persamaan, serta grafik. Modul ini disesuaikan dengan Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar pada Kurikulum 2013. Berikut sistematika dari modul ini. 1. Sebelum memasuki pembahasan, modul ini diawali dengan paparan kompetensi yang harus dicapai peserta didik. 2. Materi diawali dengan stimulus yang berupa permasalahan matematis serta aktivitas relevan bagi peserta didik. 3. Evaluasi berisi soal-soal untuk melihat kemampuan peserta didik. Untuk memperoleh hasil belajar secara maksimal, berikut langkah-langkah yang perlu diikuti oleh peserta didik dalam menggunakan modul ini. 1. Sebelum memulai menggunakan modul, berdo’alah terlebih dauhulu supaya diberi kemudahan dalam mempelajari dan memahami materi dalam modul ini. 2. Pelajari materi di modul ini secara berurutan karena materi yang lebih dahulu dipaparkan merupakan prasyarat untuk mempelajari materi selanjutnya. 3. Bacalah terlebih dahulu kompetensi yang harus dicapai. 4. Bacalah dan pahami uraian materi yang ada pada setiap kegiatan belajar serta perhatikan contoh soal yang diberikan dengan sebaik-baiknya. 5. Kerjakan latihan terhadap materi-materi yang dibahas dalam setiap kegiatan belajar. 6. Jika belum menguasai materi yang diharapkan, ulangi lagi pada kegiatan belajar sebelumnya. 7. Kerjakanlah soal-soal evaluasi yang ada di akhir bab dengan cermat. 8. Siswa dikatakan tuntas apabila dalam mengerjakan soal evaluasi mendapatkan nilai 75 dan dinyatakan LULUS untuk melanjutkan kegiatan pembelajaran selanjutnya. 9. Apabila siswa belum tuntas, maka harus mempelajari kembali uraian materi. Setelah itu siswa mengulang mengerjakan soal evaluasi. 10. Jika terdapat kesulitan yang belum dapat dipecahkan, catatlah kemudian tanyakan kepada guru.



3 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Kompetensi Yang Harus Dicapai



Kompetensi Inti (KI) K1



Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.



K2



Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, santun, percaya diri, peduli, dan bertanggung jawab dalam berinteraksi secara efektif sesuai dengan perkembangan anak di lingkungan, keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, dan kawasan regional.



K3



Memahami dan menerapkan pengetahuan faktual, konseptual, prosedural dan metakognitif pada tingkat teknis dan spesifik sederhana berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, dan kenegaraan terkait fenomena dan kejadian tampak mata.



K4



Menunjukkan keterampilan menalar, mengolah dan menyaji secara kreatif, produktif, kritis, mandiri, kolaboratif, dan komunikatif dalam ranah konkret dan ranah abstrak sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang teori.



Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi Kompetensi Dasar 1.1



Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.



2.1



Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, dan tanggung jawab dalam menyelesaikan masalah.



2.2



Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika yang terbentuk melalui pengalaman belajar. Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel, persamaan, dan



3.3



Indikator Pencapaian Kompetensi 1.1.1 Membaca doa sebelum dan sesudah pembelajaran sesuai dengan agama yang dianutnya. 2.1.1 Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, dan tanggung jawab dalam menyelesaikan masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari . 2.1.2 Memiliki rasa percaya diri pada daya dan kegunaan matematika yang terbentuk melalui pengalaman belajar.



3.3.1 Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel.



4 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



grafik.



4.3



Menyajikan fungsi kuadrat menggunakan tabel, persamaan, dan grafik.



3.3.2 Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik. 3.3.3 Menentukan titik balik optimum dari fungsi kuadrat. 4.3.1 Menyajikan fungsi kuadrat menggunakan tabel. 4.3.2 Menyajikan fungsi kuadrat menggunakan sketsa grafik. 4.3.3 Menentukan fungsi kuadrat jika sudah diketahui grafiknya.



Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik mampu mendeskripsikan pengertian fungsi kuadrat dengan tepat. 2. Peserta didik dapat menjelaskan langkah-langkah membuat grafik fungsi kuadrat dengan tepat. 3. Diberikan fungsi kuadrat, peserta didik dapat menentukan titik potong grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu—x dengan tepat. 4. Diberikan fungsi kuadrat, peserta didik dapat menentukan titik potong grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu—y dengan tepat. 5. Diberikan fungsi kuadrat, peserta didik dapat menentukan sumbu simteri grafik fungsi kuadrat. 6. Peserta didik dapat menentukan nilai optimum dari fungsi kuadrat dengan tepat. 7. Peserta didik dapat menentukan titik balik optimum dari fungsi kuadrat dengan tepat. 8. Diberikan fungsi kuadrat, perserta didik menyajikan fungsi kuadrat tersebut menggunakan tabel dengan tepat. 9. Diberikan fungsi kuadrat, peserta didik dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan bantuan unsur-unsur grafik fungsi kuadrat dengan tepat. 10. Diberikan grafik fungsi kuadrat peserta didik dapat menentukan fungsi kuadratnya secara teliti.



5 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Peta Konsep



Fungsi Kuadrat



Pengertian



Grafik Fungsi 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐



Persamaan Fungsi Kuadrat



Grafik Fungsi 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒄



Tabel Fungsi Kuadrat



Grafik Fungsi Kuadrat



Grafik Fungsi 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙



Menentukan Fungsi Kuadrat



6 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Ayo, ingat-ingat materi sebelumnya terlebih dahulu! Sebelumnya, kamu telah mempelajari materi terkait persamaan linear dan persamaan kuadrat. Apakah kamu masih ingat dengan materi tersebut? Untuk mengingatnya kembali, berikut penjabaran singkat materi sebelumnya.



Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan (=) dan hanya memuat satu variabel dengan pangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah: 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 dengan 𝒂 ≠ 𝟎. Untuk penyelesaian persamaan linear adalah dengan mengganti variabel yang menyebabkan persamaan menjadi bernilai benar.



Persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang memiliki pangkat tertingginya adalah dua. Contoh bentuk persamaan kuadrat yaitu: 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = 0, 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 0, dan 3𝑥(𝑥 − 6) = 0. Secara umum bentuk dari persamaan kuadrat itu sendiri adalah: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 dengan 𝒂 ≠ 𝟎 dan 𝒂, 𝒃, 𝒄, ∈ 𝑹. Persamaan kuadrat terbagi menjadi 3 yaitu: 1. Persamaan kuadrat lengkap 𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎, 𝑏, 𝑐, ∈ 𝑅 2. Persamaan kuadrat tak lengkap 𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 = 0 dengan 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎, 𝑏, ∈ 𝑅 3. Persamaan kuadrat murni 𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎, 𝑐, ∈ 𝑅



7 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi polinom dengan pangkat peubah tertingginya adalah 2. Persamaan fungsi kuadrat berbentuk sebagai berikut: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, dengan 𝒂 ≠ 𝟎, dan 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹. atau 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Sebuah fungsi selalu berhubungan dengan grafik fungsi, begitu pula dengan fungsi kuadrat. Lalu, bagaimanakah cara menggambar fungsi kuadrat pada bidang kartesius? Apa pengaruh nilai a, b, dan c terhadap grafik fungsi kuadrat? Yuk! Ikuti serta cermati uraian yang diberikan berikut ini!



Kegiatan 1, Menggambar Grafik Fungsi y = ax2 Menggambar grafik fungsi kuadrat yang paling sederhana, yakni ketika 𝑏 = 𝑐 = 0. Untuk mendapatkan grafiknya kamu terlebih dahulu harus mendapatkan beberapa titik koordinat yang dilalui oleh fungsi 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 . Kamu dapat mencari titik koordinat tersebut dengan mensubtitusikan beberapa nilai x yang berbeda pada 𝑦 = 𝑎𝑥 2 . a. Mari cermati terlebih dahulu tabel berikut ini! 𝒙



𝒚 = 𝒙𝟐



(𝒙, 𝒚)



−𝟑



(−3)2 = 9



(−3, 9)



−𝟐



2



(−2) = 4



(−2, 4)



−𝟏



(−1)2 = 1



(−1, 1)



𝟎



(0)2 = 0



(0, 0)



2



𝟏



(1) = 1



(1, 1)



𝟐



(2)2 = 4



(2, 4)



𝟑



(3)2 = 9



(3, 9)



Tabel di samping merupakan tabel fungsi kuadrat. Mudah bukan untuk membuatnya? Selanjutnya, mari lengkapi tabel berikut ini untuk memperdalam pemahamanmu!



8 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



𝒙



𝒚 = 𝟐𝒙𝟐



(𝒙, 𝒚)



𝒙



𝒚 = −𝟐𝒙𝟐



(𝒙, 𝒚)



−𝟑



2(−3)2 = 18



(−3, 18)



−𝟑



−2(−3)2 = −18



(−3, −18)



−𝟐



−𝟐



−𝟏



−𝟏



𝟎



𝟎



𝟏



𝟏



𝟐



𝟐



𝟑



𝟑



b. Mari tempatkan titik-titik koordinat yang telah kamu tulis dalam tabel pada bidang koordinat kartesius di bawah ini serta hubungkan titik-titik koordinat tersebut sesuai dengan fungsinya sehingga membentuk sketsa grafik



9 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Setelah menyelesaikan sketsa, cermati hal berikut ini! Nilai 𝑎 pada fungsi 𝑦 = 𝑎𝑥 2 akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jika 𝒂 > 0 maka grafiknya akan terbuka ke atas. Jika 𝒂 < 0 maka grafiknya akan terbuka ke bawah. Jika 𝒂 > 0 dan nilai 𝒂 makin besar maka grafiknya akan semakin “kurus”. Jika 𝒂 < 0 dan nilai 𝒂 makin kecil maka grafiknya akan semakin “gemuk”.



Kegiatan 2, Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + c Pada kegiatan ini, kamu akan menggambar grafik fungsi kuadrat ketika 𝑏 = 0 dan 𝑐 ≠ 0. Sama seperti kegiatan 1, untuk mendapatkan grafiknya kamu terlebih dahulu harus mendapatkan beberapa titik koordinat yang dilalui oleh fungsi 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒄. Kamu dapat mencari titik koordinat tersebut dengan mensubtitusikan beberapa nilai x yang berbeda. a. Mari lengkapi tabel berikut ini! 𝒙



𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑



(𝒙, 𝒚)



𝒙



𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟑



(𝒙, 𝒚)



−𝟑



(−3)2 + 3 = 12



(−3, 12)



−𝟑



(−3)2 − 3 = 6



(−3, 6)



−𝟐



(−2)2 + 3 = 7



(−2, 7)



−𝟐



−𝟏



(−1)2 + 3 = 4



(−1, 4)



−𝟏



𝟎



(0)2 + 3 = 3



(0, 3)



𝟎



𝟏



𝟏



𝟐



𝟐



𝟑



𝟑



b. Mari tempatkan titik-titik koordinat yang telah kamu tulis dalam tabel pada bidang koordinat berikut serta hubungkan titik-titik koordinat tersebut sesuai dengan fungsi kuadratnya sehingga membentuk sketsa grafik



10 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Setelah menyelesaikan sketsa, cermati hal berikut ini! a. b. c. d. e.



Grafik fungsi 𝑦 Grafik fungsi 𝑦 Grafik fungsi 𝑦 Grafik fungsi 𝑦 Grafik fungsi 𝑦



= 𝑥 2 memotong sumbu—y di titik koordinat (0, 0) = 𝑥 2 + 3 memotong sumbu—y di titik koordinat (0, 3) = 𝑥 2 − 3 memotong sumbu—y di titik koordinat (0, −3) = 𝑥 2 + 3 merupakan geseran grafik 𝑦 = 𝑥 2 sebesar 3 satuan ke atas = 𝑥 2 − 3 merupakan geseran grafik 𝑦 = 𝑥 2 sebesar 3 satuan ke bawah



Kemudian, lengkapi hal berikut ini! a. Untuk c positif, grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐 merupakan geseran grafik 𝑦 = 𝑥 2 sebesar…… satuan ke…… b. Untuk c negatif, grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐 merupakan geseran grafik 𝑦 = 𝑥 2 sebesar…… satuan ke…… c. Grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐 memotong sumbu—y di titik koordinat (…, …)



11 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Kegiatan 3, Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + bx Pada kegiatan ini, kamu akan menggambar grafik fungsi kuadrat ketika 𝑐 = 0 dan 𝑏 ≠ 0. Sama seperti kegiatan sebelumnya, untuk mendapatkan grafiknya kamu terlebih dahulu harus mendapatkan beberapa titik koordinat yang dilalui oleh fungsi 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙. Kamu dapat mencari titik koordinat tersebut dengan mensubtitusikan beberapa nilai x yang berbeda. Serta pada kegiatan ini kamu akan mengenal titik puncak dari suatu grafik fungsi kuadrat. a. Mari lengkapi tabel berikut ini! 𝒙



𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙



(𝒙, 𝒚)



𝒙



𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙



(𝒙, 𝒚)



−𝟑



(−3)2 + 2(−3) = 3



(−3, 3)



−𝟑



(−3)2 − 2(−3) = 15



(−3, 15)



−𝟐



(−2)2 + 2(−2) = 0



(−2, 0)



−𝟐



−𝟏



(−1)2 + 2(−1) = −1



(−1, −1)



−𝟏



𝟎



(0)2 + 2(0) = 0



(0, 0)



𝟎



𝟏



(1)2 + 2(1) = 3



(1, 3)



𝟏



𝟐



(2)2 + 2(2) = 8



(2, 8)



𝟐



𝟑



(3)2 + 2(3) = 15



(3, 15)



𝟑



𝒙



𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙



(𝒙, 𝒚)



𝒙



𝒚 = −𝒙𝟐 − 𝟐𝒙



(𝒙, 𝒚)



−𝟑



−(−3)2 + 2(−3) = −15



(−3, −15)



−𝟑



−(−3)2 − 2(−3) = −3



(−3, −3)



−𝟐



−𝟐



−𝟏



−𝟏



𝟎



𝟎



𝟏



𝟏



𝟐



𝟐



𝟑



𝟑



b. Mari tempatkan titik-titik koordinat yang telah kamu tulis dalam tabel pada bidang koordinat serta hubungkan titik-titik koordinat tersebut sesuai dengan fungsi kuadratnya sehingga membentuk sketsa grafik



12 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Keterangan: Pada tiap-tiap grafik tentukan koordinat titik yang paling bawah atau paling atas (titik koordinat ini disebut sebagai titik puncak).



Nilai y yang paling kecil (untuk 𝒂 > 0) dan y yang paling besar (untuk 𝒂 < 0) dinamakan nilai optimum (𝒚𝒑 ) dan 𝒙𝒑 yang menyebabkan nilai y optimum disebut sumbu simetri sehingga (𝒙𝒑 , 𝒚𝒑 ) dinamakan titik puncak atau titik balik optimum.



Berikutnya, berdasarkan sketsa cermati dan lengkapi hal berikut ini! Pada grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 memiliki titik puncak (-1, -1), sumbu simetri (-1) dan nilai optimum (-1) Pada grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 memiliki titik puncak (…, …), sumbu simetri (…) dan nilai optimum (…) Pada grafik fungsi 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 memiliki titik puncak (…, …), sumbu simetri (…) dan nilai optimum (…) Pada grafik fungsi 𝑦 = −𝑥 2 − 2𝑥 memiliki titik puncak (…, …), sumbu simetri (…) dan nilai optimum (…)



13 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Untuk lebih jelasnya: Titik puncak adalah titik koordinat yang merupakan titik paling atas atau paling bawah pada grafik fungsi. Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi dua bagian sama dan dapat dikatakan sebagai garis sumbu yang melewati titik puncak. Pengaruh nilai b pada grafik fungsi 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏 adalah pada titik puncak yang berada di koordinat (𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 ).



Secara umum dalam menentukan garis sumbu simetri, nilai optimum, serta titik puncak fungsi kuadrat dirumuskan sebagai berikut. Sumbu simetri 𝒙𝒑 = −



𝒃 𝟐𝒂



Nilai Optimum



Titik puncak



𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝒚𝒑 = − 𝟒𝒂



𝒃 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 (𝒙𝒑 , 𝒚𝒑 ) = (− ,− ) 𝟐𝒂 𝟒𝒂



Jawab Yuk! Untuk memperdalam pemahaman kamu terkait garis sumbu simetri, nilai optimum dan titik puncak fungsi kuadrat, mari jawab pertanyaan berikut ini dengan cara melengkapi tabel yang ada. No.



Fungsi Kuadrat



1.



𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 1



2.



𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 − 2



3.



𝑦 = −3𝑥 2 − 12𝑥 + 5



4.



𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 + 7



Sumbu Materi 𝑥𝑝 = −



2 = −1 2(1)



Nilai Optimum 22 − 4(1)(−1) 𝑦𝑝 = − = −2 4(1)



14 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Titik Puncak (−1, −2)



Kegiatan 4, Menentukan Fungsi Kuadrat Untuk menentukan fungsi kuadrat dari sebuah grafik diperlukan beberapa langkah yang terdiri dari berikut ini. 1. Memisalkan fungsi kuadrat tersebut dengan 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 2. Apabila diketahui beberapa titik koordinat yang lain, yaitu melalui koordinat (p, q), maka diperoleh 𝑓 (𝑝) = 𝑞. 3. Jika diketahui fungsi kuadrat memotong sumbu-𝑦 di (0, 𝑟) maka diperoleh𝑓 (0) = 𝑟. Dengan mensubstitusikan nilai 0 pada 𝑓(𝑥 ) diperoleh 𝑓 (0) = 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 = 𝑐. Sehingga diperoleh c = r. 4. Jika diketahui fungsi kuadrat memotong sumbu-𝑥 di (𝑝, 0) dan (𝑞, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi 𝑓(𝑥 ) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)(𝑥 − 𝑞). 5. Jika fungsi kuadrat tersebut memiliki titik puncak titik puncak di (𝑠, 𝑡) maka diperoleh sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut adalah garis 𝑥 = 𝑠.



Cermati contoh berikut ini! Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (−1, −1), (0, 4) dan (1, 5) seperti pada gambar. Penyelesaian: a. Misalkan fungsi kuadratnya adalah 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 b. Karena melalui titik koordinat (−1, −1), (0, 4) dan (1, 5) diperoleh 𝑓 (−1) = −1, 𝑓(0) = 4 dan 𝑓(1) = 5 c. Karena salah satu titik yaitu (0, 4) memotong di sumbu-y maka 𝑓(0) = 𝑎(0)2 + 𝑏 (0) + 𝑐 = 4 → 𝑐 = 4. Diperoleh, 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 4 d. Substitusi titik koordinat lainnya ke persamaan, maka: 𝑓 (−1) = 𝑎(−1)2 + 𝑏(−1) + 4 = −1 → 𝑎 − 𝑏 + 4 = −1 → 𝑎 − 𝑏 = −5 … (1) 𝑓 (1) = 𝑎(1)2 + 𝑏(1) + 4 = 5 → 𝑎 + 𝑏 + 4 = 5 → 𝑎 + 𝑏 = 1 … (2) e. Dengan melakukan eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh: 2𝑎 = −4 → 𝑎 = −2. Kemudian 𝑏 = 1 − 𝑎 = 1— 2 = 3 f. Dengan demikian 𝑎 = −2, dan 𝑏 = 3, 𝑐 = 4, sehingga fungsi kuadratnya adalah, 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒



15 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Rangkuman Materi Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, dengan 𝒂 ≠ 𝟎. Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabola, sehingga dapat dikatakan juga sebagai fungsi parabola. Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat dapat dilakukan dengan cara: 1. Melihat bentuk persamaan kuadrat yang akan dibuat. 2. Membuat tabel fungsi kuadrat. 3. Menempatkan titik-titik koordinat dalam tabel pada bidang koordinat. 4. Membuat sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut Lalu, terkait pengaruh nilai a, b, dan c terhadap grafik fungsi kuadrat akan dijelaskan secara singkat berikut ini. Diawali dengan grafik berikut ini!



Nilai 𝒂 pada fungsi 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jika 𝑎 positif maka grafiknya akan terbuka ke atas. Sebaliknya, jika 𝑎 negatif maka grafiknya akan terbuka ke bawah. Jika nilai 𝑎 semakin besar maka grafiknya menjadi lebih “kurus” dan begitu pula sebaliknya.



16 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Selanjutnya, perhatikan grafik berikut ini! Garis putus-putus pada gambar di atas merupakan sumbu simteri. Koordinat yang ditandai dengan bulatan merupakan titik puncak sedangkan koordinat yang ditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan sumbu—y.



Nilai 𝒃 pada grafik 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 menunjukkan letak koordinat titik puncak dan sumbu simetri. Jika 𝑎 > 0, grafik 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 memiliki titik puncak minimum. Jika 𝑎 < 0, grafik 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 memiliki titik puncak maksimum.



Nilai 𝒄 pada grafik 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 menunjukkan titik perpotongan grafik fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu—y, yakni pada koordinat (𝟎, 𝒄).



Menentukan Fungsi Kuadrat. Untuk menentukan fungsi kuadrat diperlukan beberapa informasi, di antaranya sebagai berikut. 1. Beberapa titik koordinat yang dilalui fungsi kuadrat tersebut. 2. Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x. 3. Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y. 4. Titik puncak dan sumbu simetri.



17 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Latihan Perhatikan persamaan di bawah ini dan selesaikan dengan menggunakan langkahlangkah pembuatan grafik yang telah dijelaskan sebelumnya!



Gambarlah grafik 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 − 2 dan tentukan titik balik optimumnya! Penyelesaian: 1. Lengkapi tabel. 𝒙 −𝟑 −𝟐 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑



𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐



(𝒙, 𝒚)



2. Sketsak grafik.



3. Tuliskan titik balik optimumnya. 𝒙𝒑 =



𝒚𝒑 =



18 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



(𝒙𝒑 , 𝒚𝒑 ) =



Evaluasi 1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut ini. 1



a. 𝑦 = 𝑥 2 2



b. 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 c. 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 2. Diketahui 𝑓 (𝑥 ) = −𝑥 2 + 5𝑥 + 𝑐, apabila ordinat puncaknya 6.



Tentukan nilai c dan sumbu simetrinya! 3. Tentukanlah fungsi kuadrat dari grafik berikut ini.



19 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Cocokanlah jawaban kamu dengan kunci jawaban yang terdapat dibagian akhir modul ini. Hitunglah jumlah skor yang kamu peroleh. Kemudian, gunakan rumus berikut ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kamu terhadap materi pada modul ini.



Tingkat Penguasaan =



𝑆𝑘𝑜𝑟 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑆𝑘𝑜𝑟 𝑀𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚



x 100%



Arti tingkat penguasaan: 90% – 100% = Baik Sekali 80% – 89% = Baik 75% – 79% = Cukup < 75% = Kurang Apabila kamu mencapai tingkat penguasaan 75% atau lebih, kamu dapat meneruskan ke materi selanjutnya. Jika tingkat penguasaanmu masih di bawah 75%, kamu harus mengulangi materi pada modul ini, terutama pada bagian yang belum kamu kuasai.



S E M A N G A T !!!



20 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Sumber Bacaan



Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. Buku Panduan Siswa Matematika SMP/MTs Kelas IX Edisi Revisi 2018 Kurikulum 2013. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud. 2018. Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. Buku Panduan Guru Matematika SMP/MTs Kelas IX Edisi Revisi 2018 Kurikulum 2013. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Balitbang Kemendikbud. 2018.



21 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Kunci Jawaban No. 1.a



Penyelesaian



Skor



Tabel fungsi kuadrat 𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3



1 2 𝑥 2 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5



𝑦=



(𝑥, 𝑦) (−3; 4,5) (−2; 2) (−1; 0,5) (0, 0) (1; 5) (2, 2) (3; 4,5)



1 1 1 1 1 1 1



Sketsa grafiknya



8



Jumlah 1.b



15



Tabel fungsi kuadrat 𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3



𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 6 2 0 0 2 6 12



(𝑥, 𝑦) (−3, 6) (−2,2 ) (−1, 0) (0, 0) (1, 2) (2, 6) (3, 12)



22 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



1 1 1 1 1 1 1



Sketsa grafiknya



8



Jumlah 1.c



15



Tabel fungsi kuadrat 𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3



𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 10 4 0 −2 −2 0 4



(𝑥, 𝑦) (−3; 10) (−2, 4) (−1, 0) (0, −2) (1, −2) (2, 0) (3; 4)



1 1 1 1 1 1 1



Sketsa grafiknya



8



23 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



Jumlah 2.



15



𝑓(𝑥 ) = −𝑥 2 + 5𝑥 + 𝑐 Ordinat puncaknya 6 → 𝑦𝑝 5



Sumbu simetri: 𝑥𝑝 = − 2(−1) = 2,5



4



Nilai c: −(52 − 4(−1)(𝑐)) 𝑦𝑝 → =6 4(−1) −(25 + 4𝑐) =6 −4 −(25 + 4𝑐 ) = −24



1 1



25 + 4𝑐 = 24



1



4𝑐 = −1



1



𝑐 = − 1⁄4 Jumlah 3.



1



Diketahui grafiknya melalui titik koordinat (−1, 3), (1, −3)



1 10 1



dan (4, 0) a. Misalkan fungsi kuadratnya adalah 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐



1



b. Karena melalui titik koordinat (−1, 3), (1, −3) dan (4, 0)



1



diperoleh 𝑓 (−1) = 3, 𝑓 (1) = −3 dan 𝑓 (4) = 0 c. Substitusi ketiga titik koordinat ke persamaan, maka: 𝑓 (−1) = 𝑎(−1)2 + 𝑏(−1) + 𝑐 = 3 → 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 3 … (1)



1



𝑓 (1) = 𝑎(1)2 + 𝑏(1) + 𝑐 = −3 → 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 … (2)



1



𝑓 (4) = 𝑎 (4)2 + 𝑏 (4) + 𝑐 = 0 → 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = 0 … (3)



1



d. Dengan melakukan eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh: −2𝑏 = 6 → 𝑏 = −3



1



e. Dengan melakukan eliminasi persamaan (1) dan (3) diperoleh: 15𝑎 + 5𝑏 = −3 f. Substitusi nilai 𝑏 = −3, maka: 15𝑎 + 5(−3) = −3 → 𝑎 = 12⁄15 = 4⁄5



24 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs



1 2



g. Kemudian subtitusi 𝑏 = −3 dan 𝑎 = 4⁄5 ke persamaan (1) yaitu 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 3, maka: 4⁄5 − (−3) + 𝑐 = 3



2



→ 𝑐 = − 4⁄5 h. Dengan



demikian



𝑎 = 4⁄5 , dan 𝑏 = −3, 𝑐 = − 4⁄5,



sehingga fungsi kuadratnya adalah:



3



𝑓(𝑥 ) = 4⁄5 𝑥 2 − 3𝑥 − 4⁄5 Jumlah



15



Skor Maksimum



70



25 | Modul Fungsi Kuadrat – Kelas IX SMP/MTs