Modul Kesebangunan Dan Kekongruenan Matematika Kelas 9 Sem 1 [PDF]

Citation preview

KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN A. Bangun- Bangun yang Sebangun dan Kongruen 1. Foto Berskala Pada dasarnya, skala pada foto sama dengan skala pada peta. Hanya saja, perbandingan antara ukuran pada foto dan ukuran sebenarnya tidak sebesar perbandingan antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. Satu sentimeter pada peta mewakili beberapa kilometer ukuran sebenarnya, sedangkan satu sentimeter pada foto biasanya mewakili beberapa sentimeter atau beberapa meter saja dari ukuran sebenarnya. Skala pada peta ialah perbandingan antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. Contoh Soal 1.1 Perhatikan gambar dari foto sebuah mobil dibawah ini. Jika panjang mobil sebenarnya 3,5m berapakah tinggi mobil sebenarnya? 7cm



2,5 cm



Penyelesaian Untuk menentukan tinggi mobil sebenarnya, langkah pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan skala foto tersebut. Perbadingan antara panjang mobil dalam foto dan panjang mobil sebenarnya adalah 7 cm : 3,5 ⇔ 7 cm : 350 cm ⇔ 1 cm : 50 cm Dengan demikian, skala dari foto tersebut adalah 1 : 50. Oleh karena tinggi mobil dalam foto adalah 2,5 cm x 50 = 125 cm. jadi, tinggi mobil sebenarnya adalah 1,25 m. 2. Pengertian Kesebangunan Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut: 1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai 2. Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu Catatan sama besar.



Salah satu syarat kesebangunan adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (yang dimaksud sama besar adalah ukuran sudutnya). Contoh Soal 1.2 Perhatikan gambar berikut. D



C



R



Q



5cm



A 2cm B



6cm



S



P



Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS, hitunglah panjang QR. Penyelesaian Salah satu syarat bangun datar dikatakan sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebnading. Dari gambar dapat dilihat bahwa AB bersesuaian dengan PQ dan BC bersesuaian dengan QR. Oleh karena itu, AB PQ



=



BC 2 ⇔ QR 6



=



5 QR ⇔ 2QR = 30 ⇔ 15



Jadi, panjang QR adalah 15cm.



Contoh Soal 1.3 Jika layang – layang KLMN dan layang-layang PQRS dibawah ini sebangun, diketahui bahwa



∠ K=125 °



dan



∠l=80 ° . Tentukan besar ∠ R dan ∠ S . K



L



N



P M S



Q



R



Penyelesaian Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut- sudut yang bersesuaian sama besar sehingga besar ∠ P=125 ° dan ∠ Q=80 ° . 



Perhatikan layang-layang PQRS







Oeh karena besar sudut – sudut dalam layang – layang berjumlah 360°.



Menurut sifat layang – layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar sehingga ∠ R=∠ P=125° .



maka ∠ P+∠Q+ ∠ R +∠S



= 260°.



⇔125° + 80° + 125° + ∠ S = 360° ⇔ ∠S



= 360° −¿



330° = 30°



3. Pengertian Kekongruenan Dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen.



Bangun – bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama di katakan bangun – bangun yang kongruen. pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar. Contoh Soal 1.4 Perhatikan gambar berikut D



C



S



6cm A



8cm



B



R



10cm



P



6cm Q



a. apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS? b. apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS? Penyelesaian Unsur – unsur persegipanjang ABCD, yaitu AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ∠ A=∠ B=∠C=∠ D=90 ° . Perhatikan persegipanjang PQRS. PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras. PQ =



√ ( PR )



2



– (QR) ²



=



√ 10 ² – 6 ²



=



√ 64 = 8



Jadi, unsur – unsur persegipanjang PQRS yaitu PQ = SR = 8cm, PS = QR = 6cm, dan ∠ P=∠Q=∠ R=∠ S=90° . a. dari uraian tersebut tampak bahwa sisi – sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut – sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. b. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS. B. Segitiga – Segitiga yang Sebangun 1. Syarat Dua Segitiga Sebangun Dua segitiga dikatakan sebangun jika sisi – sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut – sudut yang bersesuaian sama besar. Contoh Soal 1.5 Apakah ΔABC dan ΔA'B'C' pada gambar dibawah ini sebangun? A



8 cm



A



5 cm



B 6 cm



3 cm C’



C B



Penyelesaian Harus diperiksa apakah sisi – sisi yang bersesuaian dari dua segitiga tersebut sebanding. Perhatikan ΔABC (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 ⇔(AC)² =8² + 6² ⇔(AC)² = 100 ⇔ AC



=



√ 100 = 10



=



6 3



Jadi, AC =10 cm. Perhatikan ΔA'B'C'. (A'B')² = (A'C')² – (B'C')² ⇔(A'B')²= 5² – 3² ⇔(A'B')² = 25 – 9 ⇔(A'B')² = 16 ⇔ A'B'



=



√ 16 = 4



=



8 4



Ternyata, AB A' B'



AB A' B'



Berarti,



BC B'C'



= 2,



BC



= B'C'



=



= 2, dan



AC A'C'



=



AC A'C'



Jadi, ΔABC sebangun dengan ΔA'B'C' Contoh Soal 1.6 Perhatikan gambar berikut E



A



C



D



B



a. Jika DE ∥ BC, apakah ΔADE sebangun dengan ΔABC ? b. jika BC = 6 cm, CE = 3 cm, dan AE = 6 cm, tentukan DE. Penyelesaian a. dari gambar ΔADE dan ΔABC tampak bahwa: ∠ DAE=∠BAC (berimpit), ¿ ∠ ADE=∠ ABC ¿ sehadap), dan



10 5



=2



∠ AED=∠ ACB (sehadap).



Sudut – sudut yang bersesuaian dari ΔABC dan ΔADE sama besar sehingga ΔABC sebangun dengan ΔADE. b. ΔADE sebangun dengan ΔABC. Oleh karena itu, DE BC



AE AC



=



DE



⇔ BC DE 6



⇔



=



AE AE+CE



6



= 6 +3



⇔ DE = 4 Jadi, DE = 4 cm



2. Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga Contoh Soal 1.7 Perhatikan gambar berikut. Tentukan AP! B



P C



A



Q



JJ Penyelesaian AQ QC



=



AP PB



⇔ AP =



AQ QC



× PB =



Jadi, AP = 8 satuan panjang Contoh Soal 1.8 Perhatikan gambar berikut. Tentukan OM O



M



3c



9c



P



N



Penyelesaian ΔMPO sebangun dengan ΔMON sehingga OM MN



=



MP OM



⇔ (OM)² = MP . MN ⇔ (OM)² = 3 .12



6 24 × 4 = 3 3



=8



⇔ (OM)² = 36 ⇔ OM = 6 cm Jadi, OM = 6 cm C. Dua Segitiga yang Kongruen Dua segitiga yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua segitiga yang sebangun belum tentu kongruen. 1. Sifat Dua Segitiga yang Kongruen Dua segitiga yang kongruen harus memenuhi 2 sifat umum, yaitu a. Sisi – sisi yang bersesuaian sama panjang. b. Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar. 2. Syarat Dua Segitiga Kongruen



a. Sisi – Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (s.s.s) C



R



A



B



P



Q



Jika pada gambar tersebut, AB = PQ, BC = QR, AC = PR. Ukurlah besar sudut – sudut dari kedua segitiga tersebut. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut. ∠ A=∠ P ; ∠ B=∠ Q ; ∠C=∠ R Dengan demikian , ΔABC dan ΔPQR memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen, yaitu sisi – sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut – sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi, ΔABC kongruen dengan ΔPQR. b. Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut – Sudut yang Diapitnya Sama Besar (s.sd.s) F



D



M



E



K



L



Jika pada gambar tersebut, DE = KL,



∠ D=∠ K , dan DF = KM. Ukurlah EF dan LM, besar



∠ E dan ∠ L, sertabesar ∠ F dan∠ M . Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan



berikut : EF = LM, ∠ E=∠ L , ∠ F=∠ M Dengan demikian, pada ΔDEF dan ΔKLM berlaku:



(i)



DE = KL, EF = LM, DF = KM; ∠ D=∠ K , ∠ E=∠ L , ∠ F=∠ M



(ii)



Hal ini menunjukan bahwa ΔDEF dan ΔKLM memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Dengan demikian, ΔDEF kongruen ΔKLM. c. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Antaranya Sama Panjang (sd.s.sd) Z



I



G



H



X Y



Jika pada gambar tersebut, besar



∠G=∠ X , ∠ H=∠ Y ,



dan GH = XY. Ukurlah besar



∠ I dan



∠ L , GI



dan XZ, serta HI dan YZ. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan: ∠ I =∠Z , GI = XZ, dan HI = YZ; Dengan demikian, pada ΔGHI dan ΔXYZ berlaku: ∠G=∠ X , ∠ H=∠Y , dan ∠ I =∠ Z



(i) (ii)



GH = XY, HI = YZ, dan GI = XZ



Hal ini menunjukan bahwa ΔGHI dan ΔXYZ memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, ΔGHI ≅ ΔXYZ d. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Hadapannya Sama Panjang (sd.sd.s) C



A



X



Z



B Y



Jika pada gambar tersebut, besar



∠A



=



∠ X , ∠B=∠ Y , dan BC = YZ. Ukurlah besar



∠C



dan



∠Z ,



AB dan XY, serta AC dan XZ. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut: ∠ C=∠Z , AB = XY, dan AC = XZ.



Dengan demikian, pada ΔABC dan ΔXYZ berlaku: (i) (ii)



∠ A=∠ X ,∠ B=∠ Y , dan



∠ C=∠Z ;



AB = XY, BC = YZ, dan AC = XZ



Hal ini menunjukan bahwa ΔABC dan ΔXYZ memenuhi syarat dua segitiga yang kongruen. Jadi, ΔABC



≅



ΔXYZ. Contoh Soal 1.9 Perhatikan trapesium siku – siku PQRS dibawah ini. Jika PQ = 5cm, SR = 3 cm, dan PS = 3 cm. Apakah ΔPSR kongruen dengan ΔPRQ? R



S



Q



P



Penyelesaian Jika ΔPSR dan ΔPRQ kongruen, haruslah PS = PR dan SR = RQ karena ∠ PSR=∠ PRQ .



√ ( PS ) +( SR)² 2



PR =



=



√ 3²+3² = 3 √ 2



Jadi, PR ≠ PS Oleh karena PQ = 5 cm, PQ ≠ PR. Dengan demikian, sisi – sisi yang bersesuaian dari ΔPSR dan ΔPRQ tidak sama panjang. Jadi, ΔPSR dan ΔPRQ tidak kongruen.



3. Panjang Garis dan Besar Sudut dari Bangun Geometri Konsep kekongruenan segitiga dapat digunakan untuk menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun datar, seperti jajargenjang, belahketupat, dan layang – layang. Sebelum menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun geometri, pelajarilah uraian berikut. A 30 T 30 B



C



Jika dibuat garis dari titik sudut B ke sisi miring AC sedemikian rupa sehingga ∠ ABT =30 ° , maka ∠ ATB=¿ 180° – (30° + 30°) = 120°



∠BTC =¿ 180° – ∠ ATB=¿ 180° – 120° = 60° ∠ BCT =¿ 180° – ( ∠ BAT +∠ ABC ¿ = 180° – (30° + 90°) = 60° ∠ CBT =∠ ABC – ∠ ABT =¿ 90° – 30° = 60°



Perhatikan bahwa : a. ∠ BAT =∠ ABT =30 ° b.



sehingga ΔABT samakaki, dalam hal ini AT = BT



∠ CBT =∠ BCT =BTC=60 °



sehingga ΔBTC samasisi, dalam hal ini BT = BC = CT. Dengan demikian, AT



= BT = BC = CT. Perhatikan bahwa AT = CT sehingga BT merupakan garis berat ΔABC.



Oleh karena AC = AT + CT, maka AC = BC + BC = 2BC atau AC = BT + BT = 2BT Uraian tersebut menggambarkan sifat 1 dan sifat 2 dari segitiga siku – siku bersudut 30°, seperti berikut. Sifat 1 Panjang garis berat segitiga siku – siku bersudut 30° yang ditarik dari titik sudut siku – siku sama dengan panjang setengah sisi miringnya. Sifat 2 Panjang sisi terpendek dari segitiga siku – siku bersudut 30° sama dengan panjang setengah sisi miringnya. Catatan Titik tengah sisi miring pada segitiga siku – siku adalah pusat lingkaran luar dari segitiga itu. Contoh soal 1.10 Perhatikan gambar dibawah ini D



C



A



B



(a) C



A



30



60°



(b)



B



Jajargenjang ABCD terbentuk dari dua segitiga siku – siku yang kongruen, yaitu ΔADC dan ΔCBA. Jika AC = 12 cm, tentukan panjang semua sisi jajargenjang tersebut Penyelesaian Lihat gambar (b) BA = 2CB



ΔACB siku – siku di C sehingga berlaku hubungan (BA)² = (AC)² + (CB)² (2CB)² = 12² + (CB)² 4(CB)² =144 + (CB)² 3(CB)² = 144 CB²



= 48



CB



=4



√3



Dengan demikian BA = 2CB = 2 . (4



√3 ) = 8 √3



Oleh karena ΔADC ≅ ΔCBA, AD = CB = 4



√ 3 cm dan DC = BA = 8 √ 3 cm.



Contoh Soal 1.11 A D



60°



E



F C



B



Pada gambar diatas ∠ BAC =60 ° , AD = AE = 5 cm, dan EC = DB = 4 cm. Hitunglah BE, jika CD = 8cm. Penyelesaian Perhatikan ΔABE dan ΔACD AC = AE + EC = 5 cm + 4 cm = 9 cm AB = AD + DB = 5 cm + 4 cm = 9 cm AD = AE = 5 cm ∠BAE =∠CAD=60 °



AB = AC = 9 cm sehingga ΔABE kongruen dengan ΔACD Jadi, BE = CD = 8cm Contoh Soal 1.12 Perhatikan gambar dibawah ini! D A



C



(a)



B



D



5 cm



4cm



A



53° 3 E cm



(b)



B 3 cm



C



Pada gambar tersebut, AB = 6 cm, BC = 3 cm, DC = 4 cm, besar ∠ DAB .



∠ DBC=53 ° , dan DB = DA = 5 cm. Tentukanlah



Penyelesaian 1. pada gambar tersebut, ΔABD adalah segitiga samakaki. Tarik garis tinggi ΔADB yang melalui titik D hingga memotong AB di E seperti gambar (b) 2. Oleh karena ΔABD adalah segitiga samakaki dengan DE garis tingginya, AE = EB ΔDEB siku – siku di E, EB = 3 cm, dan DB = cm (DE)² = (DB)² – (EB)² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16 DE



= 4cm



3. Sekarang, perhatikan ΔDEB dan ΔDCB. DC = DE = 4cm, DB = DB = 5 cm (berimpit), dan CB = EB = 3 cm Oleh karena itu, ΔDEB kongruen dengan ΔDCB, akibatnya ∠ DCB=∠ DEB=¿ 53° 4. ΔDEB kongruen dengan ΔDEA berdasarkan sifat (s.s.s) karena ED = ED = 4 cm (berimpit), EB = EA = 3 cm, dan DB = DA = 5 cm Jadi, ∠ DAB = ∠ DBE=53°



Uji Kemampuan 1 1. Pada sebuah peta, jarak 3,2 cm mewakili 288 km. Skala peta tersebut adalah… a. 1 : 4.500.000



c. 1 : 7.500.000



b. 1 : 6.000.000



d. 1 : 9.000.000



2. Pada sebuah peta, jarak 3 cm mewakili 225 km. Jarak 7,5 cm mewakili… a. 465,5 km



c. 562,5 km



b. 486,5 km



d. 584,5 km



3. Suatu menara mempunyai bayangan 75 m diatas tanah horizontal. Pada saat yang sama tongkat yang tingginya 3 m mempunyai bayangan 5 m. Tinggi menara tersebut adalah … a. 25 m



c. 50 m



b. 45 m



d. 60 m



4. Sebuah peta dibuat dengan skala 1 : 350.000. Jika jarak dua kota pada peta adalah 4,2 cm maka jarak dua kota sebenarnya adalah … a. 15,7 km



c. 14,7 km



b. 17.7 km



d. 12,7 km



5. Pada layar TV, sebuah gedung yang tingginya 72 m tampak setinggi 12 cm. Jika lebar gedung itu 24 m maka lebar gedung pada TV adalah … cm a. 4



c. 6



b. 8



d. 3



6. Diketahui ΔABC sebangun dengan ΔPQR. Jika panjang AB = 3 cm, BC = 4 cm dan PQ = 4,5 cm maka panjang PR adalah … A



P



C



B



R



Q



a. 6 cm



c. 8, 5 cm



b. 7,5 cm



d. 9 cm



7. Pada gambar berikut, AC // DB. Jika OA = 4 cm, OB = 8 cm, dan OD = 10 cm, OC adalah … a. 7 cm



C



A



b. 6,5 cm O



c. 2 cm d. 5 cm



D



B



8. Pada gambar berikut, nilai x sama dengan …



9 cm



a. 6,7 cm b. 5,0 cm 6 cm



x



c. 4,0 cm



10 cm



d. 3,0 cm (EBTANAS 1995)



9. Perhatikan gambar berikut ini. Jika AC = 9 cm, PC = 6 cm, dan AB = 12 cm, panjang PQ adalah …



B



a. 6,0 cm b. 7,5 cm



Q



c. 8,0 cm d. 9,0 cm A



C



P



(EBTANAS 1996) 10. Jarak dari kota X ke kota Y adalah 450 km. Jarak pada peta 18 cm. Skala yang digunakan peta tersebut adalah… a. 1 : 2.500.000



c. 1 : 250.000



b. 1 : 810.000



d. 1 : 8.100 (EBTANAS 1997)



11. Pada gambar dibawah ini, diketahui panjang DE = 8 cm, CE = 9 cm dan AB = 12 cm. Panjang BE adalah … C E



D A



a. 2



1 3



B



b. 3



2 3



2 3



c. 2



d. 4



1 2



12. Ditentukan dua lapangan sepak bola sebangun. Lapangan epak bola yang satu panjangnya 120 m dan lebarnya 100m. Bila lebar lapangan sepak bola yang kedua 80 m, maka panjang lapangan sepak bola yang kedua adalah … a. 96 m



c. 78 m



b. 86 m



d. 60 m



13. Sebuah tiang bendera setinggi 6 m berdiri disamping menara. Panjang bayangan tiang bendera 1,5 m dan panjang bayangan menara 18 m. Maka tinggi menara tersebut adalah … a. 45 m



c. 72 m



b. 36 m



d. 108 m



(EBTANAS – SMP – 99 -28) 14. Seorang anak yang tingginya 150 cm mempunyai panjang bayangan 2m. Bila panjang bayangan tiang bendera 3,5 m, mka tinggi tiang bendera adalah … a. 2,625 m



c. 4,66 m



b. 3,625 m



d. 5,66 m



(EBTANAS – SMP – 98 24) 15. Jika ΔABC dan ΔDEF kongruen, panjang AC = 10 cm, BC = 15cm,



∠ ACB=65 ° ,



DF = 10 cm, DE = 13



cm dan ∠ EDF=70 ° , maka besar ∠≝¿ adalah … a. 75°



c. 55°



b. 65°



d. 45°



16. Diketahui ΔABC siku – siku di B, kongruen dengan ΔPQR siku – siku di P. Jika panjang BC = 8 cm dan QR = 10 cm, maka luas ΔPQR adalah … a. 24 cm2



b. 48 cm2



c. 40 cm2



d. 80 cm2



17. Sebuah foto berukuran alas 20 cm dan tinggi 30 cm. Ditempel pada sebuah karton yang berbentuk persegi panjang. Jika foto dan karton sebangun dan lebar karton sebelah kiri, kanan dan atas foto 2 cm, maka lebar kertas dibawah foto adalah…



a. 2 cm



c. 4 cm



c. 3 cm



d. 6 cm



18. Perhatikan gambar dibawah ini E



70 cm A



112 cm 1



B



C 2



P



64 cm



D



Nilai P adalah …. a. 30 cm



c. 40 cm



b. 10 cm



d. 20 cm



19. Jika diketahui segitiga dibawah ini kongruen, maka nilai y adalah … A



L y 4 cm



B 3 cm



C



S



a. 2 cm



c. 6 cm



b. 4 cm



d. 5 cm



Q



20. Layang - layang ABCD di bawah ini yang dibentuk dari ΔABC dan ΔADC.Maka perbandingan sisi-sisinya adalah… A B



D



C



a. 2 cm



c. 4 cm



b.1 cm



d. 7 cm