Modul Matematika Kelas 8 Semester 1 Pola Bilangan [PDF]

Citation preview

BAB II BARISAN DAN DERET BILANGAN



Standar Kompetensi Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana Kompetensi Dasar 1. Menentukan pola barisan bilangan sederhana 2. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri 3. Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri 4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret Tujuan Pembelajaran Siswa dapat : 1. Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan barisan bilangan. 2. Mengenal unsur-unsur barisan dan deret, misalnya; suku pertama, suku berikutnya, suku ke –n, beda, rasio. 3. Menentukan pola barisan bilangan. 4. Mengenal pengertian barisan aritmatika dan barisan geometri. 5. Menentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri. 6. Mengenal pengertian deret aritmatika dan deret geometri naik atau turun. 7. Menentukan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri. 8. Menggunakan sifat-sifat dan rumus pada deret aritmetika dan deret geometri untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret.



Diktat Matematika Kelas 9 Semester 2 KTSP



7



Pada bab ini, kamu akan mempelajari tentang barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara menentukan pola barisan bilangan sederhana, menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri, menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri, serta memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.



Pada gambar bunga matahari disamping, jika dihitung banyaknya biji kwaci dari dalam keluar maka akan membentuk pola bilangan tertentu. 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21,… Barisan bilangan ini dikenal sebagai barisan bilangan fibonacci. Setiap bilangan atau angka dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya. Barisan bilangan fibonacci ini ditemukan oleh Fibonacci yang nama lengkapnya adalah Leonardo of Pisa (1180 - 1250 ). Ia menjelaskan teka-teki barisan fibonacci dalam karyanya yang berjudul Liber Abaci.



Fibonacci (1180–1250)



A. POLA dan BARISAN BILANGAN 1. Pola Bilangan Pola Bilangan adalah sebuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu.



a. Pola Bilangan Ganjil Mewakili bilangan 1 Mewakili bilangan 3 Mewakili bilangan 5 dst.



Dari pola-pola tersebut, kemudian akan ditentukan jumlah-jumlah bilangan asli ganjil. Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama adalah: 1+3+5+7+… = n2 n bilangan



b. Pola Bilangan Genap Mewakili bilangan 2 Mewakili bilangan 4 Mewakili bilangan 6 dst.



Dari pola-pola tersebut, kemudian akan ditentukan jumlah-jumlah bilangan asli genap. Diktat Matematika Kelas 9 Semester 2 KTSP



8



Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:



2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1) n bilangan c. Pola Bilangan Segitiga Pascal Jumlah



Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n–1



Contoh Soal_1: Berapa banyaknya bilangan asli yang pertama yang jumlahnya 144? Penyelesaian: Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama = n2 Sehingga 144 = n2 n = 12, atau n = –12 (tidak memenuhi) Jadi, banyaknya bilangan ganjil adalah 12. Contoh Soal_2: Tentukan banyak bilangan asli genap yang pertama yang jumlahnya 121. Penyelesaian: Jumlah n bilangan asli genap adalah n (n + 1), maka: n(n+1) = 121 n2 + n -121 = 0 (n - 10) (n +11) = 0 n - 10 = 0 atau n +11 = 0 n =10 atau n = - 11 (tidak memenuhi) Jadi, banyak bilangan asli genap adalah 10. Contoh Soal_3: Berapakah jumlah bilangan pada segitiga pascal pada baris ke-10. Penyelesaian: Jumlah bilangan adalah Sn = 2n–1 = 210 – 1 = 29 = 512 Jadi, jumlah bilangan segitiga pascal pada baris ke-10 adalah 512. 2. Barisan Bilangan Diktat Matematika Kelas 9 Semester 2 KTSP



9



Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut. a. 2, 4, 6, 8 b. 1, 3, 5, 7, ... c. 3, 6, 9, 12, 15, ... Bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan . Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut Suku Barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh U1 = suku ke-1 = 2 U2 = suku ke-2 = 4 U3 = suku ke-3 = 6 U4 = suku ke-4 = 8 Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku. B. BARISAN dan DERET ARITMATIKA 1. Barisan Aritmatika Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …. +2 +2



+2



+2



+2



+2



Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 2 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. 8, 4, 0, -4, -8, -12, -16 -4



-4



-4



-4



-4



-4



Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih -4 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. U1,



Suku ke-1 = a



U2,



Suku ke-2 = a+b



Rumus Suku ke-n: Un = a + (n – 1)b



U3, ….



Suku ke-3 = a+2b



Un



Suku ke-n = a+(n-1)b



a = Suku ke-1 b = Beda = Un – Un-1



Contoh Soal_1: Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut. 10, 13, 16, 19, 22, 25, .... Tentukan Suku kedua belas barisan tersebut! Penyelesaian: Diktat Matematika Kelas 9 Semester 2 KTSP



10



Diketahui: U1 = a = 10 b = U2 – U1 = 13 – 10 = 3 Untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut. Un = a + (n – 1)b, maka U12 = 10 + (12 – 1)3 = 10 + (11)3 = 43 Jadi Suku ke-12 adalah 43 Contoh Soal_2: Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24. Tentukan beda dari barisan tersebut! Penyelesaian: Diketahui: U1 = a = 6 U7 = a + 6b = 24 = 6 + 6b = 24 = 6b = 24 – 6 = 6b = 18 = b =3 Contoh Soal_3: Setiap bulan, Ucok selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap bulannya. a. Nyatakanlah uang yang ditabung Ucok (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama. b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12. Penyelesaian: a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai berikut. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 b. Un = a + (n – 1)b = 10 + (12 – 1)1 = 21 Jadi, uang Ucok pada bulan ke 12 adalah Rp. 21.000,2. Deret Aritmatika Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika.



Sn =



1 n (a + 2



Karena Un = a + (n – 1)b, maka Sn =



1 n (a + a + (n – 1)b) 2



1 Sn = n (2a + (n – 1)b) Contoh 2Soal_1: Diktat Matematika Kelas 9 Semester 2 KTSP



11



Tentukan jumlah suku-suku berikut 2 + 6 + 10 + …+ 62 Penyelesaian: Un a + (n – 1)b 2 + (n – 1)4 2 + 4n – 4 4n – 2 4n 4n n



= 62 = 62 = 62 = 62 = 62 = 62 + 2 = 64 = 16



Sn =



1 n (a + Un) 2



S16 =



1 (16) (2 + 62) 2



= 512



Contoh Soal_2: Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + .... Tentukan a. Suku kesepuluh (U10) deret tersebut, b. Jumlah sepuluh suku pertama (S10). Penyelesaian: a. Un = a + (n – 1)b maka



U10 = 3 + (10 – 1)4 = 3 + 36 = 39



b. Sn = ½n (2a + (n – 1)b) maka



S10 = ½.10 (2(3) + (10 – 1)4 = 5 (6 + 36) = 210



C. BARISAN dan DERET GEOMETRI 1. Barisan Geometri Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r) Perhatikan uraian berikut. 3, 6, 12, 24, 48, 96, x2 x2



x2



x2



x2



Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri. U1



Suku ke-1 = a



Un = ar



U2



Suku ke-2 = ar



n–1



U3



Suku ke-3 = ar2



Un



Suku ke-n = arn-1



a = U1 = Suku pertama r = Rasio



Diktat Matematika Kelas 9 Semester 2 KTSP



12



Contoh Soal_1: Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2 2 2 18, 6, 2, , , 3 9 27 Tentukan suku kesepuluh dari barisan tersebut. Penyelesaian: Diketahui: U1 = a = 18 Un 6 1 r= maka r = = U n−1 8 3



Un = ar n–1 1 10−1 U10 = 18( ) 3 1 9 = 18( ) 3 2 = 2.187



Contoh Soal_2: Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32. Tentukan: a. suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut, b. suku kesembilan barisan geometri tersebut. Penyelesaian: a. U4 = 4 U7 = 32



b. Un = ar n – 1 U9 = ½ (2)9-1



3



U4 = ar = 4 4 ↔a= 3 r



U9 = ½ .(256)



U7 = ar6 = 32, karena a =



U9 = 128



4 maka r3



Jadi suku kesembilan adalah 128 4 6 r = 32 r3 ↔ 4r3 =32 ↔ r3 = 8 ↔r=2 U4 = ar3 = 4 ↔a(2)3 = 4 ↔a8 = 4 ↔a = ½ Jadi suku pertama adalah ½ dan rasionya 2. ↔



2. Deret Geometri Deret geometri merupakan jumlah sukusuku dari suatu barisan geometri. Sn = a ¿ ¿ ¿



atau



Sn = a(r ¿¿ n−1) ¿ r −1 Diktat Matematika Kelas 9 Semester 2 KTSP



13



Contoh Soal_1: Diketahui deret geometri : 3+ 6+ 12+ 24+ 48+ ..., Tentukan jumlah tujuh suku pertamanya (S7). Penyelesaian: Sn = a ¿ ¿ ¿ maka



S7 = 3(1−2¿¿ 7) ¿ 1−2 =



3(1−128) −1



=



3(−127) −1



Diktat Matematika Kelas 9 Semester 2 KTSP



14



SOAL – SOAL LATIHAN Pilihlah jawaban yang paling tepat! 1. Sebuah gedung pertunjukan, banyaknya kursi pada baris paling depan adalah 15 buah, banyaknya kursi pada baris di belakang selali lebih 3 buah dari baris di depannya, berapa banyak kursi pada baris ke 12 dari depan? a. 42 kursi c. 51 kursi b. 48 kursi d. 54 kursi 2. Pada tumpukan batu bata, banyak batu bata paling atas adalah 8 buah, tepat di bawahnya ada 10, dan seterusnya setiap tumpukan di bawahnya selalu lebih banyak 2 dari tumpukan di atasnya, jika ada 15 tumpukan batu bata (dari atas sampai bawah) maka banyak batu bata pada tumpukan paling bawah ada ......... a. 35 c. 38 b. 36 d. 40



3. Kompleks suatu perumahan ditata dengan teratur, rumah yang terletak di sebelah kiri menggunakan nomor rumah ganjil yaitu : 1, 3, 5, 7, ...... nomor rumah yang ke 12 dari deretan rumah sebelah kiri tersebut adalah ......



a. 13 b. 23



kenaikan 10% dari gaji bulan pertama. Gaji pada akhir tahun pertama adalah ........ a. Rp.620.000,c. Rp.330.000,b. Rp.630.000,d. Rp.320.000,-



7. Di ruang pertunjukan, baris paling depan tersedia 15 kursi. Baris di belakangnya selalu tersedia 3 kursi lebih lebih banyak dari baris di depannya. Jika pada ruang itu tersedia 10 baris, banyak kursi di ruang tersebut adalah ...... a. 150 buah c. 300 buah b. 285 buah d. 570 buah



8. Dalam gedung pertunjukan disusun kursi dengan baris peling depan terdiri dari 12 buah, baris kedua berisi 14 buah, baris ketiga berisi 16 buah dan seterusnyaselalu bertambah 2 baris, banyak kursi pada baris ke 20 adalah .... a. 28 buah c. 300 buah b. 50 buah d. 570 buah



9. Pola



noktah-noktah



berikut



yang



menunjukkan pola bilangan persegipanjang adalah ... b.



c. 25 d. 27



4. Diketahui barisan bilangan 3, 5, 9, 15, 23, ... bilangan pada suku ke 15 adalah ..... a. 159 c. 213 b. 185 d. 243



5. Rumus suku ke - n dari barisan bilangan aritmatika 2, 6, 10, 14, ... adalah .... a. 4n – 4 c. 4n – 2 b. 4n – 1 d. 4n – 8



6. Seorang pegawai pada bulan januari menerima gaji sebesar Rp. 300.000,-. setiap bulan pegawai tersebut mendapat



10. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Banyaknya suku barisan dari barisan bilangan tersebut adalah .... a. 10 c. 8 b. 9 d. 7 11. Perhatikan barisan sebagai berikut. 3, 6, 12, 24, ...



bilangan



Diktat Matematika Kelas 9 Semester 2 KTSP



geometri



15



Nilai suku kesepuluh dari barisan tersebut adalah… a. 1.356 c. 1.635 b. 1.635 d. 1.653 12. Diketahui deret bilangan aritmetika sebagai berikut. 12 + 15 + 18 + ... Jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah .... a. 160 c. 360 b. 180 d. 450 13. Suatu deret aritmetika memiliki suku ketiga 9 dan suku keenam adalah 243. Jumlah lima suku pertama deret aritmetika tersebut adalah ....



a. 242 b. 121



c. 81 d. 72



14. Barisan aritmetika yang memenuhi rumus umum: 3n – 1 adalah .... a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 1, 5, 9, 13, 17, ... c. 2, 8, 14, 20, ... d. 2, 5, 8, 11, 14, ... 15. Beda pada barisan aritmetika yang memiliki suku pertama 15 dan suku ketujuh 39 adalah .... a. 3 c. 5 b. 4 d. 6



Diktat Matematika Kelas 9 Semester 2 KTSP



16