Modul Matriks SMK Kelas X PDF [PDF]

Citation preview

Kata Pengantar



\



Modul Matematika MATRIKS



ALHADI NURKHALIS AKHYAR,S.Pd SMK 2 MEI 87 PRINGSEWU



Matriks



MATRIKS A. PENGERTIAN MATRIKS 1. Definisi Matriks Matriks adalah suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk baris dan kolom (lajur) dalam bentuk persegi panjang yang di tempatkan di antara dua tanda kurung biasa ( ) atau siku [ ]. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks. Suatu matriks dilambangkan dengan sebuah huruf kapital A, B, C dst. Secara umum matriks dapat ditulis sebagai berikut : Keterangan : a



= Notasi matriks



i j



= Ordo matriks



i



= Banyak baris



j



= Banyak kolom



Contoh Soal 1:



A33



1 2 3   5 7  6  3 8  2



Ordo matriks adalah 3  3 1 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-1 5 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1 3 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3



2. Jenis-jenis Matriks 1. Matriks Persegi Yaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. (m = n)



1 2  Contoh : A22     2 3 2. Matriks Baris Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu baris Contoh : A  1 3 5 7 Halaman 2



Matriks



3. Matriks Kolom Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu kolom



1 Contoh : A  3 5 4. Matriks Nol Yaitu matriks yang seluruh elemennya adalah 0



0 0  Contoh : A    0 0 



B  0



5. Matriks Identitas / Satuan Yaitu matriks bujur sangkar yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1 (satu), sedangkan elemen lainnya 0 (nol).



1 0 Contoh : A    0 1 



1 0 0 B  0 1 0 0 0 1



6. Matriks Diagonal Yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya adalah 0 (nol)



 2 0 Contoh : A     0 1



1 0 0 B   0 2 0  0 0 3



Matriks sama : matriks A = matriks B, maka elemen yang seletak sama.



a b   p q  c d  =  r s   a  p , b  q, c  r , d  s     7. Matriks Skalar Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.



4 0 Contoh : A    0 4



2 0 0 B  0 2 0 0 0 2



8. Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Halaman 3



Matriks



Contoh :



1 2 4 0  1 4    0 0 6 9. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.



2 0 0 D   2 1 0   4 5  4 3. Kesamaan Matriks Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) pada kedua matriks tersebut sama. Contoh Soal 1:



1 2 Diketahui matriks A    3 4



1  3 1 2 B C   3 4 3 4   



Tentukan: a. Apakah matriks A = B? b. Apakah matriks A = C? Jawab: a. Matriks A  matriks B karena ada satu elemen matriks A dan B yang seletak tidak memiliki nilai yang sama, yaitu 2 ≠ –3. b. Matriks A = matriks B, karena anggota pada matriks A sama dan seletak dengan anggota pada matriks B Contoh Soal 2: Diketahui matriks-matriks berikut.



2  7  2  7 A B   . Jika A = B, tentukan nilai x dan y. 5 4  x 2 y  Jawab: Dengan menggunakan konsep kesamaan dua matriks maka diperoleh: x = 5 dan 2y = 4 y=2 Halaman 4



Matriks



Jadi, nilai x = 5 dan y = 2



4. Transpose Matriks Adalah matriks baru yang merupakan hasil pertukaran baris dan kolom Tranpose matriks di notasikan At (dibaca: A transpose). Sehingga tranpose matriks A adalah At



a Jika A   1 b1



a2 b2



 a1 a3  , maka At  a2 b3   a3



b1  b2  b3 



Jika matriks A berordo m × n maka transpos A memiliki ordo n × m. Secara Umum bisa dituliskan :



Am n



, maka



At nm



Contoh Soal:



2 7  1. A22    1 4  2. B23



maka



6 0 3   2 6 1



2 1  At 22    7 4 maka



Bt 32



6 2   0 6 3 1



Latihan Soal 1



 2 8 3 4 1. Diketahui matriks A = 1 1 0 5 . Tentukan : 7 6  2 0 a) Ordo matriks A b) Elemen kolom ke-4 c) Elemen yang terletak pada baris ke-2 dan kolom ke-3 d) Ordo matriks At dari matriks A



1 1  2 4  0 1 1  3  2. Diketahui matriks B = . Tentukanlah: 2  1 1 0   2 5 3 1 a) banyaknya baris dan kolom b) elemen-elemen pada setiap baris Halaman 5



Matriks



c) elemen-elemen pada setiap kolom d) letak elemen-elemen berikut: (i) - 2



(iii) 4



(ii) - 3



(iv) 5



3. Buatlah : a. Matriks kolom b. Matriks segitiga atas c. Matriks segitiga bawah d. Matriks diagonal utama e. Matriks identitas berordo 3  3 4. Tentukan matriks transpose dari :



 4  2 c. B =   3 0 



a. A = 4 1 3



6  2 3 1 b. C = 1  d. D =  4 2 0    3 5. Tentukan nilai a dan b dari matriks berikut :



 0 4  0 4 a.     a 3b  5 15  a  6   7  b.     8  8 2a 1  10 1  c.     3  3b  3 12 6. Tentukanlah p dan x , jika At = B.



8 1  2 p a. A   dan B    0  6  1



0  p  x 



3 p  1 1  6 b. A   dan B     x  2 p 2  8 2  7. Diketahui matriks :



 a log b b   3 10  a  A  , B 3 b  2c  16 a  8 Tentukan nilai a, b dan c agar matriks A sama dengan matriks B.



Halaman 6



Matriks



 3a 4c   6 3b   , dan A = B. Nilai b + c = …  , B =  8. Diketahui A =  0 2 a 0 b      4x 2x  y  8 6   =   , maka nilai x, y, z berturut-turut adalah .... 9. Jika matriks   2 x  2 z   5 12   5 a 3  5 2 3   =   , nilai dari a2 + 3b - c = .... 10. Diketahui matriks   b 2 c   2a 2 ab 



B. OPERASI ALJABAR MATRIKS 1. Operasi Penjumlahan Operasi Penjumlahan pada matriks hanya dapat dilakukan apabila matriks – matriksnya mempunyai ordo sama.



a A 1 a3



b B 1 b3



a2  a4 



a A B   1 a3



b2  b4 



a2  b1 b2   a1  b1   a4  b3 b4  a3  b3



a2  b2  a4  b4 



Contoh Soal 1:



3 5  11  3 Diketahui matriks A =  , matriks B =   7 9  . Hitung A + B! 7 2    Jawab:



3 5  11  3  3  11 5  (3) 14 2   A + B =   2  9   0 11 7 2  7 9  7  (7) 2. Operasi Pengurangan Pengurangan dua matriks harus memiliki ordo sama



a A 1 a3



a2  a4 



a A B   1 a3



b , B 1 b3



b2  b4 



a2  b1 b2   a1  b1   a4  b3 b4  a3  b3



a2  b2  a4  b4 



Contoh Soal 2:



  4 0 6 4 Diketahui A =  ; B =   . Hitung A – B!  3 6  2 4 Jawab: Halaman 7



Matriks



 4 0 6 4  4  6 0  4  10  4 A – B =  =   = 2   3 6  2 4  3  2 6  4   1 Contoh Soal 3 : Tentukan matriks A dari persamaan matriks berikut



 4 6   2 4 A    1  4   3 1  Jawab:



 2 4   4 6   2  4 4  6    2  2 A =  =  = 5  3 1 1  4  31 1 (4)  2 Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Misalkan A, B, dan C matriks-matriks dengan ordo sama maka berlaku sifat-sifat berikut: 1. A + B = B + A (Komutatif ) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Asosiatif ) 3. A – B ≠ B – A (Anti Komutatif )



Latihan Soal 2 1. Diketahui matriks :



0 1  1 2 B = C =  . Hitung :  3 3  3 2 a. B + C b. Bt + C 2. Diketahui matriks-matriks berikut.



  3 4  1  2  5 5      A   2 1  ; B   2 1  ; dan C   2 3   6 3  4  1  4 1  Tentukanlah: a.



A+B



c.



A + (B + C)



b.



A + Bt



d.



(A + Bt) + C



3. Tentukan hasil penjumlahan dari matriks berikut :



Halaman 8



Matriks



0 5 a.        4   4



 6 8 1 4  b.     7 4  3  2



4. Tentukan hasil penjumlahan dari matriks berikut :



4 0 5  4 a.    3 1 0 3 



y  4 x 4 y   x b.     x 3 y  3x  y 



5. Tentukan hasil pengurangan dari matriks berikut :



4 0 5  4 a.    3 1 0 3 



y  4 x 4 y   x b.     x 3 y  3 x  y 



 4  6 8 0  B  6. Diketahui : A   3  4   3 1   



2  3 D  4 2 



2 0  C   3  2



Hitung : a. A – B



c. (A + B) – C



b. A – (D – B)



d. (A – B) + (C – D)



7. Tentukan matriks A, B dari persamaan matriks berikut :



 4 1 5 0 a. A      0 6 6 1



 5 1 2 3  P  b.   0 5   2 0  



8. Tentukan matriks P, S dari persamaan matriks berikut :



 4 2 5 6 a. B     1 3 2 0



2 0 1 2  b.   S 1 3 5  6



9. Diketahui matriks-matriks berikut.



1 3 2 1 3 2      A    1 0 4  dan B    1 0 4   5 4  3  5 4  3     Tentukanlah matriks C yang memenuhi 3C - 2A = B.



 5 3  c  +  10. Diketahui penjumlahan matriks :   2 a d



b  14 14   = .  4   2  2 



Nilai a, b, c, dan d berturut-turut adalah .......



3. Operasi Perkalian Bilangan Real dengan Matriks Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan k.



Halaman 9



Matriks



a K 1 a3



a 2   K  a1  a 4   K  a3



K  a2  K  a 4 



Contoh Soal :



 6 0 Jika diketahui K = 4 dan matriks A =   . Hitung K  A !  3 7  Jawab :



40  24 0   6 0  46  K  A = 4      3 7 4(3) 47 12 28 Sifat-Sifat Perkalian Skalar Misalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo sama, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut 1. aD + aH = a(D + H) 2. aD + bD = (a + b)D 3. a(bD) = (ab)D 4. Operasi Perkalian Matriks dengan Matriks Perkalian matriks A dan B dituliskan AB terdefinisi hanya jika banyaknya baris matriks B sama dengan banyaknya kolom matriks A. Matriks Amn  Bn p  C m p Ordo hasil perkalian



1. Jika matriks A1  2 = a1 Maka A  B = a1



b b  a2  dan matriks B2  2 =  1 2  b3 b4 



b a 2   1 b3



 a1  b1  a2  b3 a 2. Jika matriks A2  2 =  1  a3



b2  b4 



a1  b2  a2  b4 



a2  b dan matriks B2  2 =  1  a4  b3



Halaman 10



b2  b4 



Matriks



Maka



a A  B = 1  a3



a2  b   1  a4  b3



b2  b4 



a  b  a 2  b3 a1  b2  a2  b4  = 1 1  a3  b1  a4  b3 a3  b2  a 4  b4  Contoh soal 1:



1 2 Diketahui matriks A = 2 3 , B =   . Hitung A  B !  3 1 Jawab :



1 2 A  B= 2  3     3 1 = 2(1)  (3)3 22 (3)1 =  29 43 = 11 1 Contoh Soal 2 :



 2 4 6 2  A=  ,B=   , hitung A  B !  3 6 3 1  Jawab:



 2 4 6 2    A B =    3 6 3 1  26  43 2 2  41 =   36  63 3 2  61



12 12 4  4 =   18 18 6  6 24 8  =   36 12 5. Perpangkatan Matriks Persegi Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk pangkat dari matriks A didefinisikan sebagai berikut. A2 = A × A A3 = A × A × A An = A × A × A ... × A



Halaman 11



Matriks



Contoh soal:



 2 4 2 JIka A =   , hitung A ! 3 6   Jawab:



 2 4  2 4 A2 =    3 6 3 6



2.2  4.3 2.4  4.6 =   3.2  6.3 3.4  6.6  4  12 8  24  =  6  18 12  36 16 32 =  24 48 Jika setiap matriks berikut dapat dioperasikan di mana a adalah konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut. •



P+Q=Q+P



•



(P + Q) + R = P + (Q + R)



•



P(Q+ R) = PQ + PR



•



(P + Q)R = PR + QR



•



P(Q - R) = PQ - PR



•



(P - Q)R = PQ - QR



•



a(P + Q) = aP + aQ



•



a(P - Q) = aP - aQ



•



(a + b)P = aP + bP



•



(a - b)P = aP - bP



•



(ab)P = a(bP)



•



a(PQ) = (aP)Q = P(aQ)



•



(PQ)R = P(QR)



Latihan Soal 3 1. Tentukan hasil perkalian dari :



3 a. 2    = … 4



  4 d. -5    = … 3



2 3  b. 4   = … 1 4



e.



6 3  1   = … 3 4 9



Halaman 12



Matriks



 2a 1  c. 3   = …  2 b 



1 1  2 a 12  f. -6   =… 1 2   b 3 3 



 3 1 0 4  2. Jika A =  , dan B =     4 2 1 4 Hitung : a.



A B



b. 2(A + B) 3. Jika M matriks berordo 2  2, tentukan M dari persamaan berikut :



 5 1 1  4 a. 2M     10 0 2 3   4 7 16 10 b. 3M      2 6  4 0 



4 8 a b   2 4. Tentukan a, b, c, dan d dari persamaan berikut   . 12 16 c d     5. Tentukan hasil perkalian dari matriks – matriks berikut :



 4    2a   



4 a. 2 4   3



d.



4 5  b. 2 3 1 0 1  1 2



2 e. 2 4 1  4  1 



a 3



2 3   3 0 3  0 4  c.    1 2 2 1 2   6. Jika diketahui matriks



1 4   4 2 1 0 A = , B = , C =    2 3 1 0  0 1  Tentukan : a. A  B



d. At  C



b. B2



e. B  (C + A)



c. A  B + B



f. -4 (B  A)



d. A  (B  C)



h. (B  (C + A))t



Halaman 13



Matriks



6  12  30 7. Jika 2a    3b      tentukan nilai a dan b. 10  6 24  x   2 1  3  4  x    +   . Maka nilai   adalah … 8. Jika   =   y   0 2  2 1  y 9. Diketahui matriks-matriks berikut.



1 a  b  a 1 0  1 0   , dan C    , B    A   c  b  c d 1 1  Jika A  B t  C 2 , tentukan nilai a, b, c, dan d. 10. Nilai k yang memenuhi persamaan :



 2  4  2 1    8 6   adalah …    =    3 0   3 k    6 3



Sifat – sifat tranpose matriks Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut. 1.



(A+B)t = At + Bt



2.



(At)t



= A



3.



(cA)t



= cAt dengan c adalah konstanta



4.



(AB)t = BtAt



Contoh Soal :



2 5 2 3  Jika matriks A =  dan B =   . Tunjukkan bahwa :  1 3 4 1 a. (At)t = A b. (A + B)t c. (A  B)t = Bt  At Jawab: a. At (At)t



2 4  =  3 1 2 3  =  4 1



Jadi (At)t = A



Halaman 14



Matriks



b. A + B



2 3  2 5 =   4 1 1 3



At + Bt



2 1 2 1   =   5 3 5 3 4 5 =  8 2 



4 8  =  5 2 4 5 (A + B)t =   8 2  Jadi, (A + B)t = At + Bt



2 1 2 4   Bt  At =   3 1 5 3  



2 5 2 3   c. A  B =  1 3    4 1 25  33   2 2  31 =  4 2  (1)1 45  (1)1



 2 2 13 2 4 1(1)  =  5  2  33 5 4  3(1)



4  3 10  9  =   8 1 20  3



 4  3 8 1  =  10  9 20  3



7 19 =  7 17



7 7 =  19 17 



7 7 (A  B)t =   19 17  Jadi, (A  B)t = Bt  At



Latihan Soal 4



 3  1  4 0 4 6 Jika A =  , B = dan C =     . Tentukan :  2 1 1 2   2 4  1. (At)t



6. Bt  At



2. (Bt)t



7. At  B



3. (A + B)t



8. (A + B + C)t



4. (A  B)t



9. (A  B)t + (A  C)t



5. (A  C)t



10. (Bt  At ) – (At  B)



C. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 1. Determinan Matriks



Halaman 15



Matriks



Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. a. Determinan matriks berordo dua Diagonal sekunder



A22



a b    c d 



det A = |A|= ad bc



maka Diagonal utama



Contoh :



 2 3 Jika matriks A =   cari determinan matriks A !  4 6 Jawab: det A = |A|= ad bc = 2634 = 12 – 12 = 0 b. Determinan matriks berordo tiga  menggunakan aturan Sarus



A33



 a11 a12 = a21 a22 a31 a32



 a11 a12 det A =|A|= a21 a22 a31 a32



a13  a23  a33 



_



_



_



a13  a11 a12 a23  a21 a22 a33  a31 a32



+



+



+



det A=|A|= a11  a12  a33  a12  a23  a31  a13  a21  a32  a31  a22  a13  a32  a23  a11  a33  a21  a12 Contoh Soal :



 2 1 4 Tentukan determinan matriks A  4 2 1 . 5 1 3 Jawab: _ Halaman 16



+



Matriks



 2 1 4 2 1 det A  4 2 1 4 2 5 1 3 5 1 = 223115 441524112341



det A



= 12 + 5 + 16 – 40 – 2 – 12 = -21 Contoh 3:



2a  10 4 Diketahui matriks A =  . a   3 Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0. Jawab: det A = 0 det A =



2a  10 4 3 a



 ((2 a – 10) × a) – (–3 × 4) = 2a 2 – 10a + 12



Oleh karena det A = 0 maka 2a 2 – 10a + 12  0 a 2 – 5a + 6  0



(a – 3)( a – 2)  0



a – 2 = 0 atau a – 3 = 0 a =2



a =3



Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3. 2. Adjoint Matriks Adjoint disingkat Adj. Adjoint suatu matriks bujur sangkar adalah :



a b   d  b Jika matriks A =  , maka Adj A =    c d   c a  Contoh Soal : Halaman 17



Matriks



Tentukan matriks adjoint dari :



4 7  1. A =   , maka 1 2 



 2  7 Adj A =   1 4 



 10 3 2. B =   , maka   2 1



 3 1  3  1 Adj B=   =   (2) 10  2 10 



 2 1 3. C =   , maka  7 4 



 (1)  4 4 1  Adj C =  =    2   (7) 7 2 



3. Invers Matriks Jika A sebuah matriks maka invers matriks A adalah A–1 dan A–1 = I, dimana I adalah matriks identitas. Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers. •



Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.



•



Jika |A|≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.



a b  –1 Misalkan matriks A =   invers dari A adalah A , yaitu c d   A–1 =



 d  b 1 ad  bc  c a 



dengan det A ≠ 0



Contoh Soal :



2 7  Diketahui matriks A =   1 4  Maka invers matriks A A–1



=



1  d  b ad  bc  c a 



=



1  4  7 24  71 1 2 



=



1  4  7 8  7 1 2 



Halaman 18



A



Matriks



1  4  7 =  1 1 2   4  7 =  1 2  Sifat-Sifat Invers suatu Matriks Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut. 1. (AB)



–1



=B



–1



·A



–1



2. (BA)



–1



=A



–1



·B



–1



Persamaan Matriks Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐴−1 . 𝐵 Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐵. 𝐴−1 Contoh Soal: 6 8



Jika 𝑃. [ Jawab:



7 2 3 ]=[ ], maka P = …. 9 4 5 𝑃. [



6 7 2 3 ]=[ ] 8 9 4 5 𝑃. A =B 𝑃 = 𝐵. 𝐴−1 1 2 3 9 −7 ]. [ ] =[ 4 5 6.9−7.8 −8 6 1 2 3 9 −7 ][ ] = −2[ 4 5 −8 6 −6 4 ] −4 2 3 −2 ] =[ 2 −1 1



= −2[



Latihan Soal 5 1. Tentukan determinan matriks berordo 2x2 berikut :



 4 3 a. B =    2 0



 5 2 d. C =     3 4



0 1  b. P =   3 4



1 0 e. F =   0 1 



 4 2 c. N =    4 1 



 4 6 f. R =    2 3 Halaman 19



Matriks



 12a 9 2. Bila matriks R =   , hitunglah determinan matriks R.  2a 1 3. Tentukan determinan matriks berordo 3x3 berikut :



1 0 1  a. A = 2 2 4 0 3 3



 2 1 0 c. D = 3 2 0 4 3 1



0 0 0 b. M = 2  3 4  5 4  2



2 1 3 d. E = 4 2 5 6  3 1



4. Tentukan adjoint matriks dari matriks – matriks berikut :



4 1  a. A =    3 2



2 6  d. B =   3 1



0 1 b. C =   3 2 



1 0 e. D =   0 1 



 2  4 c. N =    3 1 5. Tentukanlah nilai x dari setiap persamaan berikut. a.



 2x 3 6 1 5



d.



6 x 0 0 6 5 x



6. Tentukan matriks invers dari setiap matriks berikut :



2 3 a. A =   3 5



12 5  d. B =    7  3



1 0 b. C =   0 1 



1 2  6  4  e. N =  P =   4 17 0 7 



8 5  c. R =    3  2 7. Diketahui matriks :



 4 2 A   1 2 



dan



2 1  B  0 1



Tentukan matriks invers dari : a. (A + B)



c. (B – A)



b. (A – B)



d. (A  B)



Halaman 20



Matriks



5  x x  9  x  , jika determinan A dan  dan B=  8. Diketahui A=  7 4 5 3 x     determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah ....



10 12   2 3  X =   dengan X matriks persegi 9. Diketahui matriks  9 1  1 2 berordo 2. Matriks X adalah ....



1 2  1 2  , B=   . Jika C=A-1 dan D=Bt , maka 10. Diketahui matriks A=  3 3  5 4     C+D = ....



D. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS Ada dua persamaan yaitu : ax  by  P cx  dy  Q



Bila ditulis dalam bentuk matriks :



a b   x   P   c d   y  = Q        Maka :



 x –1  y = A  



P Q   



Contoh Soal : 1. Tentukan matriks koefisien dari sistem persamaan linear berikut. 2x – 3y = 4 3x – y = –1 –2x + 2y = 2 Jawab:



2  3  Matriks koefisien dari sistem persamaan linear tersebut adalah 3  1  .  2 2 2. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara matriks 2 x y



=8



5 x  3 y = 21 Halaman 21



Matriks



2 1  x  8 Jawab :  =      5 3  y  21  x 1  P   y  = A Q      =



1  3 1  8  ad  bc  5 2  21



=



1  3 1  8  23 51  5 2  21



1  3 1  8  =  1  3 2  21



 3 1  8  =1      3 2  21 38  (1)21 =    58  221   24  21 =  40  42



3 =  2 Jadi, x = 3



dan



y =2



3. Ibu membeli 5 kg tepung dan 3 kaleng mentega dan harus membayar Rp. 30.500,-. Kakak membeli 2 kg tepung dan 1 kaleng mentega dan ia harus membayar Rp. 7.500,- tulis pernyataan di atas dalam bentuk matriks ! Jawab : 5 x  3 y  30.500 2 x y = 7.500



Dalam bentuk matriks :



30500  5 3  x  2 1  y  =  7500       Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut. Jika AX = B maka x1 



Aj A A1 , x2  2 , ..., x j  . A A A Halaman 22



Matriks



A j matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-j



dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B. Contoh soal : Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan aturan Cramer! 3x - 4y = 5 5x + 6y = 1 Jawab: Terlebih dahulu, tentukan |A|, |A1|, dan |A2| A



3 4  3.6  (4).5  18  20  38 5 6



A1 



5 4  5.6  (4).1  30  4  34 1 6



A2 



3 5  3.1  5.5  3  25  22 5 1



Jadi, x 



A1 A







A 34 17  22 11 dan y  2    A 38 19 38 19



Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah x 



17 11 dan y   . 19 19



Latihan Soal 6 Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan cara invers matriks.



2 x  2 y  8 1.   x  2y  6



3x  4 y  9 3.   2x  y  6



 3a  2b  7 2.   2a  b  5



2 x  5 y  12  0 4.   3x  2 y  7  0



Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan Cramer.



x  2 y  4  0 5.  2 x  y  3  0



 2x  3 y  0 6.  3 y  4 x  12  0



Halaman 23



Matriks



2 x  y  1 7.  x  3 y  8



 x3 6.  3 y  2 x  6



9. Harga 3 rim kertas HVS folio dan 2 rim kertas CD Rp. 35.000,- harga 4 rim kertas HVS folio dan 5 rim kertas CD Rp. 56.000,- jika pernyataan tersebut di tulis dalam bentuk matriks adalah …. 10. Pada liburan semester, sekolah A dan sekolah B mengadakan karyawisata ke Bali. Sekolah A menyewa 10 bus dan 5 mobil. Sekolah B menyewa 7 bus dan 3 mobil. Biaya sewa kendaraan sekolah A sebesar Rp41.250.000,00, sedangkan sekolah B Rp28.250.000,00. Jika diasumsikan biaya sewa per bus dan per mobil kedua sekolah tersebut sama, tentukan harga sewa 1 bus dan 1 mobil.



RANGKUMAN MATERI 1. Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom. 2. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. 3. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks. 4. Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks: Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris. •



Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom.



•



Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.



•



Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.



•



Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.



•



Matriks skalar, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.



•



Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.



•



Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Halaman 24



Matriks



•



Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang elemenelemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.



5. Operasi Pada Matriks a. Penjumlahan dan Pengurangan - Syarat : ordo harus sama - Entry yang bersesuaian di operasikan. b. Perkalian dengan skalar Masing masing entry dikalikan dengan skalar c. Perkalian Matriks degan Matriks - Syarat : A(m x n) B(n x p) = C(m x p) - Baris ke-i kalikan dengan kolom ke-j (element seletak), kemudian jumlahkan 6. Transpose Matriks Baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. 7. Sifat – sifat tranpose matriks : 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (K A)t = KAt 4. (A  B)t = Bt  At 8. Invers Matriks. a



b



Jika A =   , maka invers dari matriks A adalah c d  A-1 =



d 1 ad  bc  c



b  a 



Dengan Determinan A, Det A = ad – bc 9. Sifat-Sifat Invers suatu Matriks Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut. 1. (AB)



–1



=B



–1



·A



–1



2. (BA)



–1



=A



–1



·B



–1



10.



Persamaan Matriks



-



Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐴−1 . 𝐵



-



Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐵. 𝐴−1



Halaman 25



Matriks



EVALUASI BAB MATRIKS A. SOAL PILIHAN GANDA  1 1  1. Diketahui A = 2 3 dan B =  , nilai A – 2B adalah … 0 2  0 7  



3 0 



4 1 



a.   0 5 



d.   3 0 



4 1



0 1



b.   0 5  0



e.   0 3 



1



c.   0 5  1 2



2 3



5



2



2. Jika A =   , B = 0 1  , dan C =  1 0  , maka bentuk yang paling  3 4     sederhana dari (A + C) – (A + B) adalah 5 4



3



a.   5 4



7 1



4 7 



b.   2 5  4



1



d.    1 1 e.   1 1



0



c.    4 4 2



1 3 



1



1



  3. Jika A =   , dan B =  3 2 , maka matrik A.B adalah  4 2 0    1 2 



a.



 2 2   6 6  



2 4 d.  3 4  3 0 



b.



 4 6  2 0  



 6 3 3  e. 14 7 9   9 5 3



2 3 3



c.   4 4 0  2 3



2 4. Jika matriks A =   , maka A adalah 4 5 



4



9



a.   16 25  4



6



b.   8 10 



d. 16 21



28 37



4



6



e.   16 25 



Halaman 26



Matriks



16 21



c.   16 25  1



4



5. Invers dari matriks A =   adalah  3 2  a. 



1  1  3  10  4 4 



b.



1  2  4  1  10  3



c.



1  1 3 10  4 2 



d.  e. 



1  2 4 10  3 1 



1  1  3  10  4 2 



 6. Invers dari matrik B =   adalah 5 - 1 1



a.



3 1 11 11    2 5 11 11 



b.



 2 1  5 3  



c.



1  2  11 11   3  5  11 11 a



2



3



1



d.    5 2



e.



b  6 5 



2  1 11 11    5  1 11 11



12 27 



7. Jika  .   maka harga a dan b adalah  3 2 2 4  14 23  a. a = 1 dan b = 6



d. a = 3 dan b = -3



b. a = -3 dan b = 15



e. a = 2 dan b = 0



c. a = -2 dan b = 12 2 k 



1  2 



 1 8  . 2 



8. Diketahui A =   , B = 3 4  , dan C =  1    1 0 



Jika AB = C, maka



nilai k yang memenuhi adalah a. 4



d. -1



b. 2



e. -2



c. 1 6 2 3  a 2 3    9. Diberikan K = 5 4 b  , dan L = 5 4 2a  . Jika K = L, maka c adalah 8 3c 11 8 4b 11 



a. 16



d. 13



b. 15



e. 12



c. 14



Halaman 27



Matriks



3 1 



0



1



10.Diketahui A =   , dan B =  1 2 , dan X matriks berordo (2 x 2) yang 2 4    memenuhi persamaan matriks 2A – B + x = 0, maka x sama dengan ... 6



 6



1



a.    5 6 



 6 1 



6 1



b.   5 6 6



1



d.    5 6 e.    5 6



1



c.    5 6 2



 1 1 



1



11.Diketahui A =   , dan B =  0 2 , maka nilai A – 2B = ... 0 1   0 3 



4 1 



a.   0 5 



d.   0 3 



4 1



 4 1



b.   0 5  0



e.   0 3 



1



c.   0 5  1



3 



 2 0 



3 1



12.Jika A =   , B =  1 3 , dan C = 1 2 maka A(B – C) = ...  2 4       5 14



1



a.   10 18   5 4 6  



 7



b.  10 1



2 



d.    2 2  10 



e.    10 20 



16 



c.    2 22  2 1 



4 3



5 1 



13.Diketahui A =   , B = 2 3 , dan C = 4 2 . Nilai AB – C = ... 3 2      4 5 



5 d. 



8  12 13



a.    7 8  4



4 5 



3



b.    1 0   5



e.   7 8 



8 



c.    12 13  4 3x  y  6 



14.Jika A =  8



 4



dan matriks B =  x  y



12 . 6 



.... a. 3



d. 6



b. 4



e. 9



c. 5



Halaman 28



Jika A = B, maka nilai x =



Matriks



 2a



15.Diketahui matrik K =  1 



 2



b



d d



c   6 



4



3a



dan matriks L =  6x 2c



2b  . b 



Jika



matriks K = L, maka nilai x = .... a. -6



d. 2



b. -4



e. 6



c. -2



B. SOAL URAIAN



1  z 2x 4 6 2  1. Jika matriks A =  , B = , C =    3 x  y   7 2 x 3 y Jika A – B = 2C, maka akan diperoleh himpunan jawab x, y, z  ...... 2. Diketahui matriks :



 11  3  3 1 1 0 I = , A = , B =     6 5  0 1   2 1  Nilai 3A – B = …



1 0 2   2 4 3. Diketahui matriks M =  , N =   1 3  2  3 1  Hasil perkalian M  N adalah …



 2x 4. Diketahui A =  2 x



1   6  7 , B =   , jika det.(A) = det.(B) maka nilai x 3  x 5 



adalah …



1  3  5. Invers matriks   adalah … 2  7 



Halaman 29