Modul3 - Deret Hitung Dan Deret Ukur [PDF]

Citation preview

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA EKONOMI (DERET HITUNG DAN DERET UKUR) Dosen Pengampu : Tiur Malasari Siregar, S.Pd, M.Si



DISUSUN OLEH: DINDA MARDIAH



(4191111063)



IKKE FATMA



(4191111030)



RESI LANDANI



(4191111043)



WANDA BAHRI NASUTION



(4192411025)



PENDIDIKAN MATEMATIKA B 2019



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2021



Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, berkat rahmat-Nya, saya dapat menyelesaikan laporan Modul Deret ini untuk memenuhi tugas Matematika Ekonomi. Oleh karena itu, saya mengucapkan terima kasih kepada Ibu Tiur MalaSari Siregar, S.Pd.,M.Si. Selaku dosen Matematika Ekonomi di Universitas Negeri Medan atas bimbingan dan segala kesempatan yang telah diberikan kepada saya dalam penulisan laporan Modul ini. Tak lepas dari kekurangan, saya sadar bahwa laporan modul ini masih jauh dari kata sempurna. Saran dan kritik yang membangun diharapkan demi kara yang lebih baik dimasa yang akan mendatang. Semoga laporan modul ini membawa manfaat bagi pembaca dan bagi penulis sendiri khususnya. Medan, Maret 2021



Kelompok 4



DERET HITUNG DAN DERET UKUR



A. URAIAN MATERI 1. PENGERTIAN DERET Bila suku-suku pada suatu baris dijumlah maka jumlah tersebut dinamakan deret. Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Jadi, deret merupakan penjumlahan semua suku suatu baris. Secara umum suatu deret dapat ditulis sebagai berikut :



𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + ⋯ + 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛



2. DERET HITUNG Deret hitung yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris hitungnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris hitungnya, dan seterusnya. Jadi, deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.



Contoh: 1) 7, 12, 17, 22, 27, 32



(pembeda = 5)



2) 93, 83, 73, 63, 53, 43 (pembeda = - 10) 3) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15



(pembeda = 2)



Suku ke-n dari deret hitung Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus. 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏



Dimana: 𝑈𝑛 : suku ke-n a : suku pertama atau S1 b : pembeda n : banyaknya suku



Contoh: nilai suku ke-10 dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah … Penyelesaian: 𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑆𝑛 = 7 + (10 − 1)5 𝑆𝑛 = 7 + 45 𝑆𝑛 = 52 Jumlah n suku deret hitung Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai sukusukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn ) yang bersangkutan. Menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan. 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑆𝑖 𝑛



𝑆𝑛 = 2 {𝑎 + 𝑈𝑛 } 𝑆𝑛 =



𝑛 {2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏} 2 𝑛



𝑆𝑛 = 𝑛𝑎 + 2 {𝑛 − 1}b



Dimana: 𝑆𝑛 : jumlah suku ke-n



Jika Un belum diketahui



𝑈𝑛 : suku ke-n a : suku pertama atau S1 b : pembeda n : banyaknya suku



Contoh: Jumlah deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 sampai suku ke-10 adalah… Penyelesain: 𝑛



𝐽𝑛 = {𝑎 + 𝑆𝑛 } 2



𝐽𝑛 =



10 2



{7 + 52}



𝐽𝑛 = 5{59} 𝐽𝑛 = 295 Penerapan Deret Hitung Dalam Bisnis Deret hitung dapat diterapkan dalam model perkembangan usaha. Jika variabel-variabel dalam kegiatan usaha seperti produksi, pendapatan, biaya, atau penambahan modal berubah dari satu periode ke periode berikutnya mengikuti pola perubahan seperti hitung maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan.



Contoh



XYZ merupakan perusahaan manufaktur yang memproduksi alat tulis berupa pulpen. Pada bulan Januari perusahaan menghasilkan 10.000 buah pulpen. Karena permintaan terus menerus meningkat diiringi dengan penambahan tenaga kerja dan modal kerja, setiap bulannya perusahaan mampu menambah jumlah produksi sebanyak 500 buah. Jika pertambahan jumlah produksi tersebut setiap bulannya adalah tetap, berapakah jumlah produksi pada bulan ke-7 di tahun yang sama? Dan berapa banyak pulpen yang telah dihasilkan dari bulan pertama (Januari) sampai bulan ke-8?



Penyelesaian:



Dik:



a = 10.000 b = 500



dit:



= U7 dan S8



U7 = a + 6b U7 = 10.000 + 6(500) U7 = 10.000 + 3000 U7 = 13.000



Jadi, produksi pada bulan ke tujuh adalah sebanyak 13.000 buah



Sn = n/2 (a + Un) S8= 8/2 (10.000 + U8) S8 = 4 (10.000 + 10.000 + 7b) S8 = 4 (20.000 + 7 (500)) S8 = 4 (20.000 + 3.500) S8= 4 (23.500) S8 = 94.000



Berarti, jumlah produksi yang telah dihasilkan dari bulan januari sampai dengan bulan agustus (bulan ke-8) adalah sebanyak 94.000 buah



3. DERET UKUR Deret ukur adalah deret yang suku-sukunya emiliki perbandingan yang sama (jika dibandingkan dengan suku sebelumnya secara beruturan). Jadi, jika deret hitung dibentuk melalui pertambahan selisih suku yang berurutan maka deret ukur dibentuk melalui perkalian terhadap perbandingan suku. Contoh deret ukur di bawah ini : 1. 3 9 27 81 243 729 ——–> pembanding = 3 2. 2 4 8 16 32 64 128 256 —-> pembanding = 2 Suku-suku di atas memiliki perbandingan yang sama dengan suku sebelumnya, U2/U1 =U3/U2 = U4/U3 dan seterusnya. Pembanding (dilambangkan dengan huruf ‘r’)pada contoh 1 adalah 3, dan 2 pada contoh 2.



❖ Nilai Dari Suku Ke – n Sama dengan deret hitung, pada deret ukur kita dapat mencari nilai tertentu dari suatu suku dan jumlah nilai dari beberapa suku yang berurutan dengan menggunakan rumus yang ada. Namun, sebaiknya kita juga memahami bagaimana rumus tersebut diperoleh sehingga kita lebih faham dengan deret ukur itu sendiri. Perhatikan uraian di bawah ini (kita gunakan deret ukur pada contoh 1).



r = U2/U1 = 3



A



U2



U3



U4



U5



U6



3



9



27



81



243



729



U2 = a x 3^(1) = a x 3^(2-1) ———-> U2 = a x 3^(2-1) U3 = a x 3^(2) = a x 3^(3-1) ———-> U3 = a x 3^(3-1) U4 = a x 3^(3) = a x 3^(4-1) ———-> U4 = a x 3^(4-1) U5 = a x 3^(4) = a x 3^(5-1) ———-> U5 = a x 3^(5-1) U6 = a x 3^(5) = a x 3^(6-1) ———-> U6 = a x 3^(6-1) *tanda ^ adalah pangkat Persamaan yang dicetak tebal di atas merupakan perhitungan untuk menentukan nilai dari setiap suku. Dapat kita lihat pada persamaan tersebut terdapat suatu pola perhitungan yang teratur di setiap suku sehingga jika kita ganti setiap angka yang berubah dengan ‘n’ maka kita akan memperoleh rumus untuk mengetahui nilai dari suku tertentu dalam deret ukur. Dengan demikian, rumus untuk menentukan nilai dari suatu suku dalam deret hitung adalah: Un = a x r^(n-1) Dengan menggunakan rumus tersebut kita dapat mencari nilai suku ke 10 (U10) dari contoh 1 sebagai berikut. U10 = a x r^(10-1) U10 = 3 x 3^(9) U10 = 3 x 19.683 U10 = 59.049



❖ Jumlah Nilai Suku Ke – n Jumlah nilai dari suku pertama sampai dengan suku tertentu dalm deret ukur dapat kita hitung juga menggunakan sebuah rumus.



Perhatikan uraian di bawah ini. Sn = a + U2 +U3 + U4 + U5 + ……… + Un Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ……. + ar^(n-1) ——————> (Pers. 1) Jika persamaan (Pers.1) diatas kita kalikan dengan pengganda(r), maka : rSn = ar + ar2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 + ……… + ar^(n-1) + ar^n ———-> (Pers. 2) Dengan mengurangkan persamaan 1 terhadap persamaan 2, kita akan memperoleh rumus untuk menghitung jumlah nilai deret hitung sampai suku tertentu. Sn – rSn = a – ar^n Sn (1 –r) = a (1 – r^n) Sn = (a(1 – r^n))/(1 – r) Untuk mempermudah perhitungan, jika r < 1 maka rumus yang digunakan adalah rumus yang diatas. Namun r > 1 maka rumus yang digunakan adalah : Sn = (a( r^n – 1))/(r – 1)



B. APLIKASI PENERAPAN DERET DALAM BIDANG EKONOMI Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevan) diterapkan untuk menganalisisnya. Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang sebenarnya dapat diselesaikan dengan menggunakan deret aritmetika atau deret geometri. Namun, Anda harus mampu mengidentifikasi permasalahan tersebut dan menerjemahkannya ke dalam bahasa matematika. Jika permasalahan tersebut berkaitan dengan penambahan atau pengurangan (selisih) secara tetap, maka dapat diselesaikan



dengan menggunakan deret aritmetika. Sedangkan deret geometri dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan perbandingan tetap.Setelah permasalahan teridentifikasi, Anda harus mampu menyatakan besaran–besaran yang ada dalam permasalahan sebagai variabel–variabel dalam deret, misalnya : a = sebagai suku pertama, b = sebagai beda, r = sebagai rasio. Selanjutnya adalah merumuskan deret yang merupakan model matematika dari permasalahan, menentukan penyelesaiannya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh.



1. MODEL PERKEMBANGAN USAHA Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya di sini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.



Contoh:



Besarnya penerimaan P.T Cemerlang dari hasil penjualan banrang Rp. 750 juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualanan tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaan pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 juta?



Penyelesaian:



Penerimaan tahun ke-5(U5) = 720 U5 = a + (5 – 1)b 720 = a + 4b



Penerimaan tahun ke-7(U7) = 980 U7 = a + (7 – 1)b 980 = = a + 6b



720 = a + 4b 980 = a + 6b - 260 = - 2b b = 130



720 = a + 4b 720 = a + 4(130) 720 = a + 520 a = 200



Jadi, penerimaan pada tahun pertama adalah Rp. 200 juta



Penerimaan tahun ke-n = 460 Un = a + (n – 1)b 460 = 200 + (n – 1)130 260 = 130n – 130 390 = 130n n=3



Jadi, jumlah penerimaan sebesar Rp. 460 juta terjadi pada tahun ketiga



2. MODEL BUNGA MAJEMUK Model bunga majemuk Merupakan penerapan deret ukur ( geometri ) dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya, besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk



mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang. Jika misalnya modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n tahun ( Fn ) dapat dihitung : Setelah 1 tahun : F1 = P + P.i = P ( 1 + i ) Setelah 2 tahun : F2 = P ( 1 + i ) + P ( 1 + i )i = P ( 1 + i )2 Model deret untuk bunga majemuk (Bunga berbunga) ialah baris geometri khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan. Transaksi dengan model ini disebut kredit.



Rumus: 𝐹𝑛 = 𝑃 + (1 + 𝐼)𝑛 Rumus ini untuk kredit system pembayaran suku bunga yang dibayarkan setahun sekali. Sebaiknya jika suku bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun rumusnya menjadi: 𝑖 𝑚𝑛 𝐹𝑛 = 𝑃 + [1 + ( ) ] 𝑚 Dimana : Fn = jumlah nilai kredit dengan n periode i = suku bunga kredit P = jumlah nilai kredit awal periode n = banyaknya tahun M = frekuensi pembayaran suku Bungan dalam setahun



Contoh: Mr. Bean kredit mobil dengan uang muka 10.000.000, sisa kreditnya yaitu 30.000.000 dengan suku bunga kredit 2% / bulan dalam jangka waktu 2 tahun. Berapakah jumlah kredit setelah jatuh tempo pelunasan dan berapakah jumlah harga mobil?



Penyelesaian: Dik:



P = Rp. 30.000.000 i = 2% = 0,02 n = 2 tahun = 24 bulan



Jawab: Jumlah kredit setelah jatuh tempo pelunasan 𝐹𝑛 = 𝑃 + (1 + 𝐼)𝑛 𝐹24 = Rp. 30.000.000 + (1 + 0,02)24 𝐹24 = Rp. 30.000.000 + (1,02)24 𝐹24 = Rp. 48.253.117,48 Jumlah harga mobil (Total Harga Perolehan) THP = Rp. 48.253.117,48 + Rp. 10.000.000 THP = Rp. 58.253.117,48



3. MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK Menurut Robert Malthus, dalam mengukur Pertumbuhan Penduduk mengikuti Barisan Geometri (Ukur), sedangkan Pertumbuhan Pangan mengikuti Barisan Aritmatika (Hitung).



Rumus:



𝐹𝑡 = 𝑃𝑖 + (1 + 𝑟)𝑡−1 Dimana : Pt = Jumlah penduduk pada periode t Pi = Jumlah penduduk pada awal periode / tahun pertama ( basis ) r = Presentase Pertumbuhan penduduk per tahun (%) t = Selisih waktu pada awal periode hingga periode t ( tahun )



Contoh



Di Kota A pada tahun 2000 jumlah penduduknya sebnayak 2.000.000 jiwa dab menurut historis perhitungan tingkat pertumbuhan penduduknya sebesar 2% / tahun. Berapa jumlah penduduk di Kota A tahun 2004?



Penyelesaian:



Dik: Pi = Rp. 2.000.000 r = 2% = 0,02 t = 2004 – 2000 =4 Jawab:



𝐹𝑡 = 𝑃𝑖 + (1 + 𝑟)𝑡−1 𝐹4 = Rp. 2.000.000 + (1 + 0,02)3 𝐹4 = Rp. 2.000.000 + (1,02)3 𝐹4 = Rp. 2.000.000 . 1,06 𝐹4 = Rp. 2.122.416



C. SOAL I. PILIHAN BERGANDA



1. Seorang nasabah Bank ABC meminjam uang di bank sebanyak Rp.5.000.000 untuk jangka waktu pinjaman 36 bulan , dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? a. Rp. 5.306.040 b. Rp. 5.306.600 c. Rp. 5.307.040 d. Rp. 5.307.600



2. Seung Gi ingin menabung uangnya Rp. 1.500.000 di bank dengan tingkat suku bunga yang berlaku 15% per tahun . Berapakah nilai uangnya dimasa datang setelah 10 tahun kemudian, jika dibunga-majemukkan secara kuartalan? a. Rp. 6.371776,65 b. Rp. 6.540.568,14 c. Rp. 6.660319,85 d. Rp. 6.720.458,94



3. Sebuah pabrik rumahan yang memproduksi kerupuk, pada tahun ke-5 memproduksi 30.000 ball kerupuk, namun produksinya secara konstan terus menurun sehingga pada tahun ke-15 hanya memproduksi 10.000 ball kerupuk. berdasarkan pernyataan di atas berapa penurunan produksi kerupuk tersebut? a



36.000 ball



b



37.000 ball



c



38.800 ball



d



39.000 ball



4. Berdasarkan pernyataan di atas berapa ball kerupuk yang diproduksi selama 10 tahun usaha tersebut berproduksi? a. 260.000 ball b. 255.000 ball c. 240.000 ball



d. 235.000 ball



5. Berdasarkan pernyataan di atas berapa ball kerupuk yang diproduksi selama perusahaan berproduksi? a. 360.000 ball b. 366.000 ball c. 368.000 ball d. 350.000 ball



II. ESSAY 1. Penerimaan perusahaan bagus dari hasil penjualan sebesar Rp.1,2 miliar pada tahun kelima dan sebesar Rp.1,8 miliar pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan perusahaan tersebut konstan dari tahun ke tahun, berapakah perkembangan penerimaannya pertahun? Berapakah penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya mencapai Rp.2,7 miliar?



2. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksi konstan setiap bulan, berapakah jumlah keramik yang dihasilkan pada bulan ke-12. Berapakah buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya?



3. Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian ?



4. Si tukul menabung sebesar Rp. 2.500.000,- selama 2 tahun dengan pembayaran bunga setiap bulan dan tingkat suku bunga per tahun sebesar 6%. Tentukan :



a) Total tabungan si tukul selama dua tahun jika pembayaran bunga setiap tahun, b) Total tabungan si tukul selama dua tahun jika pembayaran bunga setiap bulan. 5. Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp 700.000,00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp 125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9? 6. Penduduk kota Tangerang berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota Tangerang pada tahun 2006. jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlah 11 tahun kemudian? 7. Penduduk daerah cipondoh berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1990, tingkat pertumbuhannya 5% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk daerah cipondoh pada tahun 2000 dan 2013. 8. Penduduk kota Serang berjumlah 5 juta jiwa pada tahun 2007. Bila diketahui tingkat pertumbuhan penduduk kota Serang 2 % per tahun, berapa jumlah penduduk tahun 2013?



D. KUNCI JAWABAN I. PILIHAN BERGANDA 1. JAWABAN : A Dik:



P = Rp. 5.000.000 n = 36 bulan = 3 tahun i = 0,02



F = P (1 + i)n



F = Rp. 5.000.000 (1 + 0,02)3 F = Rp. 5.306.040



Jadi, jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan saat pelunasan yaitu Rp. 5.306.040



2. JAWABAN : B Pembayaran bunga majemuk kuartalan (m=4) 𝐹10 = 1.500.000 (1 +



0,15 (10)(4) 4



)



𝐹10 = 1.500.000(1,0375)40 𝐹10 =Rp. 6.540.568,14 3. JAWABAN : C 𝑆𝑛 = 𝑎 + ( 𝑛 – 1 )𝑏 𝑆5 = 𝑎 + 4𝑏 = 30.000 𝑎 + 4𝑏



𝑆15 = 𝑎 + 14𝑏 = 10.000



= 30.000



𝑎 + 14𝑏 = 10.000 − −10𝑏 = 20.000 𝑏 = −2000 𝑎 + 4𝑏



= 30.000



𝑎 + 4(−2000)



= 30.000



𝑎 − 8000



= 30.000



𝑎 = 38.000 jadi penurunan produksi kerupuk tersebut adalah 38.000 ball 4. JAWABAN : C 𝑛{𝑛 − 1}𝑏 𝐽𝑛 = 𝑛. 𝑎 + 𝑏 10



𝐽10 = 10(38.000) + 2 . (14). (−2000) = 380.000 + 5. (−28.000)



= 380.000 − 140.000 = 240.000



Jadi kerupuk yang diproduksi selama perusahaan berproduksi adalah 240.000



5. JAWABAN : A



𝐽𝑛 = 𝑛. 𝑎 +



𝑛{𝑛 − 1}𝑏 𝑏



𝐽15 = 15(38.000) +



15 . 2



(14). (−2000)



= 570.000 + 7,5. (−28.000) = 570.000 − 210.000 = 360.000



Jadi kerupuk yang diproduksi selama perusahaan berproduksi adalah 360.000



II. ESSAY 1. Dik:



U7 = 1,8 miliar U5 = 1,2 miliar



U7 = a + (7 – 1)b 1,8 = a + 6b U5 = a + (5 – 1)b 1,2 = a + 4b



1,8 = a + 6b 1,2 = a + 4b 0,6 = 2b



b = 0,3



Sehingga



perkembangan



penerimaan



perusahaan



tersebut



pertahun



Rp.



300.000.000, adapun penerimaan pada tahun pertama adalah



1,2 = a + 4b 1,2 = a + 4(0,3) a=0



Pada tahun pertama perusahaan tersebut belum memperoleh penerimaan. Adapun penerimaan sebesar Rp. 2,7 miliar diterimanya pada tahun Un = a + (n – 1)b 2,7 = 0 + (n – 1)0,3 2,7 = 0 + 0,3n – 0,3 3 = 0,3n n = 10



Jadi, jumlah penerimaan sebesar Rp. 2.7 miliar terjadi pada tahun kesepuluh.



2. Jumlah keramik yang dihasilkan pada bulan ke-12 U12 = a + (n – 1)b = 5.000 + (12 – 1)300 = 5.000 + (11)300 = 5.000 + 3.300 = 8.300



Jadi, pada bulan ke-12 perusahaan dapat menghasilkan 8.300 buah keramik



Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama adalah 𝑛



𝑆𝑛 = 2 (𝑎 + 𝑈𝑛 )



𝑆𝑛 =



12 2



(5.000 + 8.300)



𝑆𝑛 = 6(13.300) 𝑆𝑛 = 79.800 3. Jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006 Dik: Pt = 1 Juta r = 0,04 R = 1,04 P tahun 2006 = P16 = 1 juta ( 1,04 ) 15 = 1 juta ( 1,800.943 ) = 1.800.943 jiwa Jumlahnya 11 tahun kemudian Dik: Pt = 1.800.943 r = 0,025 R = 1,025 P 11 tahun kemudian = P11 P11 = 1.800.943 ( 1,025 )10 = 2.305.359 jiwa Atau dengan memanfaatkan kaidah logaritma : P11 = 1.800.943 ( 1,025 )10 Log P11 = log 1.800.943 ( 1,025 )10 Log P11 = log 1.800.943 + 10 log 1,025 Log P11 = 6,255499 + 0,107239 Log P11 = 6,362738



P11 = 2.305.359



4. Diketahui : P = 2.500.000 i = 6%/tahun a. Total tabungan si Tukul dengan pembayaran bunga tabungan/ tahun sebagai berikut :



Fn = P (1 + i)n F2 = 2.500.000 (1 + 6%)2 = 2.500.000 (1,06)2 = 2.500.000 x 1,1236 = 2.809.000 b. Total tabungan si Tukul dengan pembayaran bunga tabungan per bulan, sebagai berikut : Fn = 2.500.000 (1 + (6%/12))2 (12) F4 = 2.500.000 (1,005)4 = 2.500.000 x 1,127159776 = 2.817.899,441 5. Diketahui: a = 700.000 b = 125.000 n=9 Jawab:



Sn = a + (n-1)b S9 = 700.000 + (9-1)125.000 = 700.000 + (8)125.000 = 700.000 + 1.000.000 = 1.700.000



6. Diketahui : P1 = 1 juta r = 0,04 R = 1,04 Ditanyakan : Pn Jawab : P tahun 2006/P16



Pn = P1 R n –1 P16 = 1 juta (1,04)15 P16 = 1 juta (1,800943) P16 = 1.800.943 jiwa Pada tahun 2006 penduduk Kota Tangerang adalah 1.800.943 jiwa. Pada Tahun 2006 pertumbuhan menurun 2,5%, berapajumlah 11 tahun kemudian? Diketahui : P1 = 1 .800.943 r = 0,025 R = 1,025 Ditanyakan : Pn…? Jawab : P 11 tahun kemudian/P11 Pn = P1 R n –1 P11 = 1.800.943(1,025)10 P16 = 2.305.359 jiwa Maka, 11 tahun kemudian penduduk Kota Tangerang menjadi 2.305.359 jiwa.



7. Diketahui : P1 = 100.000 jiwa r = 0,05 R = 1,05 Ditanyakan : Pn Jawab :



P tahun 2000/P11 Pn = P1 R n –1 P11 = 100.000 (1,05)10 P11 = 100.000 (1,62889) P11 = 162.889 jiwa Pertumbuhan penduduk daerah cipondoh pada tahun 2000 menjadi 162.889 jiwa. P1 = 100.000 jiwa r = 0,05 R = 1,05 Ditanyakan : Pn Jawab : P tahun 2013 /P24 Pn = P1 R n –1 P24 = 100.000 (1,05)23 P24 = 100.000 (3,0715) P24 = 307.152 jiwa Maka, pertumbuhan penduduk daerah cipondoh pada tahun 2013 menjadi 307.152 jiwa.



8. Diketahui : P1 = 5 juta r = 0,02 R = 1,02 Ditanyakan : Pn Jawab : P tahun 2013/P7



Pn = P1 R n –1P7 = 5 juta (1,02)6 P7 = 1 juta (1,126162) P7 = 5.6 juta jiwa Maka, jumlah penduduk Kota Serang adalah 5.6 juta jiwa.