Notasi Sigma [PDF]

Citation preview

NOTASI SIGMA (Oleh Risda) A. Pengertian notasi sigma Secara sederhana kata "Sigma" memiliki arti yaitu jumlah. Maka dari itu pengertian notasi sigma ialah lambang yang digunakan untuk menjumlahkan beberapa bilangan urut dengan aturan dan pola tertentu. Materi ini masih berkaitan dengan materi barisan dan deret aritmatika maupun geometri. Notasi sigma Matematika dilambangkan dengan simbol ∑.  Berdasarkan pengertian notasi sigma diatas dapat disimpulkan bahwa lambang sigma (∑) memiliki makna penjumlahan. Sebenarnya lambang ini berasal dari huruf Yunani yang artinya Penjumlahan. Penemuan Notasi Sigma pertama kali berasal dari negara Yunani dan penggunaannya untuk menyerdehanakan bilangan penjumlahan dalam sebuah barisan bilangan. Untuk lebih jelasnya dapat simak bentuk umum dan sifat sifat notasi sigma di bawah ini. B. Bentuk Umum Notasi Sigma n



∪1 +∪2 +∪ 3+ …+∪4 =∑ ∪i i=1



C. Sifat-Sifat Notasi Sigma 



Sifat 1 n



∑ xi i=1



Contoh Soal : 5



∑ 2 i=( 2.1 ) +( 2.2 ) +( 2.3 ) +( 2.4 )+ ( 2.5 )=2+ 4+6+ 8+10=30 i=1 4



∑ 10 i=( 10.1 ) + ( 10.2 ) +( 10.3 ) +( 10.4 )=10+20+30+ 40=100 i=1







Sifat 2



n



n



2



∑ i = ∑ y2 i=1



y=1



Contoh Soal : 4



4



2



∑ i = ∑ y 2 =12+22 +3 2+ 42 =30 i=1 6



y=1 6



2



∑ i = ∑ y 2 =¿ 12+22 +32 + 42 +52 +6 2=1+ 4+ 9+16+25+ 36=91¿ i=1







y=1



Sifat 3 n



∑ k=n. k , k =konstanta i=1



Contoh Soal : 8



∑ 3=8 . 3=32 i=1 10



∑ 6=10 . 6=60 i=1







Sifat 4 n



n



∑ k . x i=k . ∑ x i , k=konstanta i=1



i=1



Contoh soal : 5



5



∑ 3. i =3 . ∑ i2 =3 ( 12+22 +3 2+ 42 +52 ) =3 .55=165 i=1



2



i=1



3



2



3



∑ 6.i =6 . ∑ i2=6 ( 12 +22 +32 )=6 .14=84 i=1







i=1



Sifat 5



n



n



n



∑ ( xi ± yi) =∑ xi± ∑ yi i=1



i=1



i=1



Contoh Soal : 4



n



n



∑ (2 i+3 i) =∑ 2i+∑ 3 i=( 2.1+2.2+2.3+2.4 ) +( 3.1+3.2+3.3+3.4 )=( 2+4 +6+8 )+ ( 3+6+9+12 )=20 i=1 5



i=1



i=1



n



n



∑ (5 i−4 i )=∑ 2 i−∑ 3 i=( 5.1+5.2+5.3+5.4+5.5 )−( 4.1+ 4.2+4.3+ 4.4+ 4.5 )=( 5+10+ 15+20+25 )− i=1







i=1



i=1



Sifat 6 n



n



n



n



i=1



i=1



i=1



i=1



2



2



2



2



i=1



i=1



i=1



i=1



3



3



3



3



i=1



i=1



i=1



i=1



∑ (xi± yi)2=∑ ( xi)2 ± 2 ∑ ( xi+ yi ) ± ∑ ( yi)2 contoh Soal :



∑ (2 i+3 i)2 =∑ (2 i)2 +2 ∑ ( 2i+3 i )+ ¿ ∑ (3 i)2 ={(2.1)2 +(2.2)2 }+2 {( 2.1 ) +( 2.2 ) . ( 3.1 ) +(3.2) }+{(3.1)2 +(



∑ (3 i+ 4 i)2 =∑ (3 i)2 +2 ∑ ( 3 i+ 4 i ) +¿ ∑ ( 4 i)2 ={(3.1)2 +(3.2)2+(3.3)2 }+2 {( 3.1 ) +( 3.2 )+ ( 3.3 ) . ( 4.1 )+( 4



D. Rumus Notasi Sigma 



Rumus 1 n



∑ i= 12 n ( n+ 1 ) i=1



Contoh soal : 100



100



100



100



100



∑ (¿ k +3) ( k−2 )=∑ ( k 2 ¿ +k −6)=∑ k 2+∑ k +∑ 6= 16 . 100 .101 . 201+ 12 .100 .101+100 .6=33835 k =1 k=1 k=1 k=1 k=1 



Rumus 2 n



∑ i2= 16 n ( n+1 ) ( n+2 ) i=1



Contoh soal : 4



4



4



4



i=1



i=1



i=1



i=1



∑ 3 k 2+∑ 4 k=3 ∑ k 2+ 4 ∑ k=3 ( 12 +22 +32 +4 2 ) +4 (1+2+3+ 4 )=3 ( 30 ) +4 ( 10 )=130