Optimasi Dengan Derivatif [PDF]

Citation preview

PENDAHULUAN Misal f(x) fungsi unimodal atas interval [a, b] dan mempunyai nilai minimum di x = p dan f ‘(x) terdefinisi di semua titik pada (a, b).



y = f(x)



a



p0



p



b



y = f(x)



a



p



Ambil titik awal p0 pada (a, b).



a. Jika f ‘(p0) < 0 (fungsi turun) maka titik p terletak di sebelah kanan p0. b. Jika f ‘(p0) > 0 (fungsi naik) maka titik p terletak di sebelah kiri p0.



p0 b



Bracketing the Minimum Tentukan tiga nilai uji p0 , p1 = p0 + h, dan p2 = p0 + 2h



(1)



sehingga f(p0) > f(p1), dan f(p1) < f(p2)



(2)



Bracketing the Minimum y = f(x)



a



b p0 p1 p2 p



Misal f ‘(p0) < 0 maka  p0 < p  Ukuran langkah h bernilai positif Kasus 1 Jika f(p0) > f(p1) dan f(p1) < f(p2), maka selesai. Kasus 2 Jika f(p0) > f(p1) dan f(p1) > f(p2), maka p2 < p. Kasus 3



Jika f(p0)  f(p1), maka p terlewati terlalu jauh. Ambil h dengan nilai lebih kecil



Quadratic Approximation Akan digunakan interpolasi kuadrat untuk menentukan pmin yang merupakan pendekatan p. Polinomial Lagrange berdasar pada titik (1) adalah Q( x)



y0 ( x



p1 )( x 2h2



p2 )



y1 ( x



p0 )( x h2



dimana yi = f(pi) untuk i = 0, 1, 2.



p2 )



y2 ( x



p0 )( x 2h 2



p1 )



Quadratic Approximation Turunan Q(x) adalah Q '( x)



y0 (2 x



p1



p2 )



y1 (2 x



2h2



p0



p2 )



y2 (2 x



h2



p0



p1 )



2h 2



Dengan menyelesaikan Q’(x) = 0 diperoleh y0 (2 x



p1



p2 )



2



2h y0 (2 x p1



y1 (2 x



p0



p2 )



y2 (2 x



2



p2 )



h 2 y1 (2 x



p0



p2 )



p0



2h y2 (2 x



p1 )



0



2



p0



p1 )



0



(2 y0



4 y1



2 y2 )x



y0 ( p1



p2 )



2 y1 ( p0



(2 y0



4 y1



2 y2 )x



y0 ( p1



p2 )



2 y1 ( p0



p2 )



y2 ( p0



p1 )



(2 y0



4 y1



2 y2 )x



y0 ( p1



p2 )



2 y1 ( p0



p2 )



y2 ( p0



p1 )



(2 y0



4 y1



2 y2 )x



y0 ( p0



h)



( p0



y2 p0



( p0



h)



2 h)



(2 y0



4 y1



2 y2 )x



y0 2 p0



3h



2 y1



(2 y0



4 y1



2 y2 )x



p0 (2 y0



4 y1



2 y2 )



x



p0 (2 y0 4 y1 2 y2 ) 2 y0 4 y1 2 y2 )



2 p0



p2 )



2 y1 2h



h(3 y0



h(3 y0 4 y1 y2 ) (2 y0 4 y1 2 y2 )



y2 ( p0



p0



( p0



y2 2 p0 4 y1



y2 )



p1 )



0 0



2 h) h)



Quadratic Approximation Dengan menyelesaikan Q’(x) = 0 dalam bentuk Q’(p0 + hmin) diperoleh x



p0 p0 hmin



h(3 y0 4 y1 y2 ) (2 y0 4 y1 2 y2 ) hmin



p0



h(3 y0 4 y1 y2 ) (2 y0 4 y1 2 y2 )



h(3 y0 4 y1 y2 ) (2 y0 4 y1 2 y2 )



dan pmin = p0 + hmin



Contoh Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = x2 – sin x pada interval [0, 1] dengan menggunakan pendekatan kuadratik. SOLUSI p0 = 0 y0 = 0 h = 0.5 p1 = 0.5 y1 = (0.5)2 – sin (0.5) = – 0.23 p2 = 1 y2 = (1)2 – sin (1) = 0.16 Memenuhi y0 > y1 dan y1 < y2