(P11) Bentuk Bilinier Dan Bentuk Kuadrat-1 [PDF]

Citation preview

P11. BENTUK BILINIER DAN BENTUK KUADRAT Agus Setiawan, M.Env.Sc.



Materi Pembelajaran



1. Bentuk bilinier 2. Bentuk kuadrat 3. Reduksi Lagrange



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BILANGAN REAL dan KOMPLEKS Bilangan real (R) menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan 2 . Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir. Bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BILANGAN REAL dan KOMPLEKS Bilangan kompleks (C) adalah bilangan yang berbentuk a + bi dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR Misalkan V adalah ruang vektor. Bentuk bilinier



pada V adalah fungsi pemetaan f : V x V  K, sedemikian rupa sehingga untuk semua a, b  K dan semua ui, vi  V. (i) f(au1 + bu2, v) = a f (u1, v) + b f (u2, v) (ii) f(u, av1 + av2) = a f (u, v1) + b f (u, v2)



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR f (x, y) = x + y adalah fungsi LINEAR f (x, y) = xy adalah fungsi BILINEAR Secara umum: f (x, y) = xy adalah fungsi bilinear untuk semua ∈R



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR Diberikan sebuah matriks bujur sangkar A, maka



bentuk bilinear adalah n



f ( v, w )  v Aw   vi a ij w j t



i , j1



a11 a12 ... a1n  a a ... a  21 22 2n   A ......................    a n1 a n 2 ... a nn 



 v1  v  2  v    v n 



 w1  w  2  w      w n 



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR Contoh:



1 2 A   3 4, maka bentuk bilinear-nya adalah



  x1   x 2   1 2  x2     f    ,     x1 y1    3 4   y2    y1   y 2  



= x1x2+2x1y2+3y1x2+4y1y2



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR 1. Misalkan f adalah hasil kali titik pada Rn; yaitu untuk u = (ai) dan v = (bi), maka bentuk biliniernya adalah:



f(u, v) = u . v = a1b1 + a2b2 + …. + anbn 2. Misalkan  dan  adalah sebarang fungsional linier



pada V. Misalkan f : V x V  R, maka bentuk biliniernya adalah: f(u, v) = (u) (v) Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR Matriks Bujur Sangkar A dapat diidentifikasi sebagai



BENTUK BILINEAR dimana X=[xi] dan Y=[yi] adalah vektor-vektor kolom dalam bentuk Polinomial Bilinear:



f (x,y) = a11x1y1 + a12x1y2 + ... + a1nx1yn + a21x2y1 + a22x2y2 + ... + a2nx2yn + .................................................. + an1xny1 + an2xny2 + ... + annxnyn Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR n



f (x, y)   a ij x i y j i , j1



a11 a12 ... a1n   y1  a a ... a   y  2n   2   x1 x 2 .... x n   21 22 ......................       a n1 a n 2 ... a nn   y n 



 X T AY Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR Contoh1: Bentuk bilinear x 1y 1 + x 1y 3 + x 2y 1 + x 2y 2 + x 3y 3



1 0 1  y1   x1 x2 x3  1 1 0  y2  0 0 1  y3   X T AY Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR Contoh 2:



Misalkan



u  x1 x2 x3  dan v   y1 y2 y3 



Nyatakan dalam bentuk matriks, dimana



f (u, v)  3x1 y1  2 x1 y3  5 x2 y1  7 x2 y2  8 x2 y3  4 x3 y2  6 x3 y3 Jawab:



3 0  2  y1  f u, v   X T AY  x1 x 2 x 3  5 7  8  y 2  0 4  6   y 3  Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR SIMETRIS Misalkan f adalah bentuk linier pada V, maka f dikatakan simetris jika untuk setiap u, v  V,



f (u, v) = f (v, u) Misalkan A adalah matriks simetris atas K, maka A kongruen terhadap suatu matriks diagonal, yaitu terdapat matriks nonsingular P sedemikian rupa sehingga D = Pt AP (matriks diagonal) Agus Setiawan, M.Env.Sc.



Perubahan BASIS Misalkan P adalah matriks perubahan basis dari basis S ke S’ yang berbeda. Jika A adalah matriks yang merepresentasikan bentuk bilinear f dalam basis asal S, maka B = PtAP adalah matriks yang merepresentasikan bilinear f dalam basis asal S’



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR Contoh 3: Misalkan f adalah bentuk bilinear pada R2 yang definisikan oleh:



f x1 , x 2 , y1 , y 2   2x1y1  3x1y 2  4x 2 y 2 1. Tentukan matriks A dari f dalam basis [u1 = (1, 0), u2 = (1, 1)]



2. Tentukan matriks B dari f dalam basis [v1 = (2, 1), v2 = (1, -1)] Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR Jawab: 1.



A = [aij], dimana aij = f (ui, uj) Ini menghasilkan: a11 = f (u1, u1) = f ((1, 0), (1, 0)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 0 x 0) + (4 x 0 x 0) = 2 a12 = f (u1, u2) = f ((1, 0), (1, 1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 1) + (4 x 0 x 1) = -1 a21 = f (u2, u1) = f ((1, 1), (1, 0)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 0) + (4 x 1 x 0) = 2 a22 = f (u2, u2) = f ((1, 1), (1, 1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 1) + (4 x 1 x 1) = 3 Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR Jadi:



2  1 adalah matriks f dalam basis [u1, u2] A   2 3 



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR 2.



B = [bij], dimana bij = f (vi, vj) Ini menghasilkan: b11 = f (v1, v1) = f ((2, 1), (2, 1)) = (2 x 2 x 2) - (3 x 2 x 1) + (4 x 1 x 1) = 6 b12 = f (v1, v2) = f ((2, 1), (1, -1)) = (2 x 2 x 1) - (3 x 2 x -1) + (4 x 1 x -1) = 6 b21 = f (v2, v1) = f ((1, -1), (2, 1)) = (2 x 1 x 2) - (3 x 1 x 1) + (4 x -1 x 1) = -3 b22 = f (v2, v2) = f ((1, -1), (1, -1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x -1) + (4 x -1 x -1) = 9 Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK BILINEAR Jadi:



 6 6 adalah matriks f dalam basis [v1, v2] B     3 9



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



Perubahan basis Contoh : Dari contoh di atas, tentukan matriks perubahan basis P dari basis [ui] ke basis [vi], dan buktikan bahwa B = PtAP. Jawab:



Dengan menulis v1 dan v2 dalam suku ui, akan diperoleh: v1 = u1 + u2 dan v2 = 2u1 – u2 Agus Setiawan, M.Env.Sc.



Perubahan basis Maka:



1 2  P   1  1



1 1  P   2  1 T



1 1  2  1 1 2   6 6 P AP    B       2  1 2 3  1  1  3 9 t



Terbukti. Agus Setiawan, M.Env.Sc.



DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS Dua matriks A dan B berordo nxn disebut kongruen (A  B) jika terdapat suatu matriks non singular P sedemikian sehingga:



B = PTAP  Bila P diekspresikan sebagai hasilkali matriks kolom elementer, maka PT adalah hasilkali matriks elementer baris yg sama dalam urutan terbalik



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS  A dan B kongruen dengan syarat A dapat direduksi menjadi B dengan memakai sebarisan pasangan transformasi elementer.  Tiap pasang elementer



terdiri atas suatu transformasi baris



yang



diikuti



transformasi



elementer kolom yang sama Agus Setiawan, M.Env.Sc.



DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS  Setiap matriks simetris A dengan rank r kongruen terhadap suatu matriks diagonal yang r elemen pertama adalah tak nol dan elemen lain nol. Contoh: Tentukan matriks non singular P sehingga D = PTAP adalah diagonal 2  3 1 A   2 5  4  3  4 8  Agus Setiawan, M.Env.Sc.



DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS  1 2  3 1 0 0   A I  2 5  4 0 1 0  3  4 8 0 0 1



-2b1 + b2 3b1 + b3



OBE untuk A dan I



1 0 0 1 0 0 1 2  3 1 0 0      kmd  0 1 2  2 1 0  0 1 2  2 1 0    0 2  1 3 0 1 0 2  1 3 0 1 -2c1 + c2 3c1 + c3



OKE untuk A saja



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



KONGRUENSI 1 0 0 1 0 0  0 1 2  2 1 0 0 2  1 3 0 1 -2b2 + b3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0  0 1 2  2 1 0 kmd  0 1 0  2 1 0 0 0  5 7  2 1 0 0  5 7  2 1 -2c2 + c3 D



PT



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



KONGRUENSI 0 0 1 P T   2 1 0  7  2 1



1  2 7  P  0 1  2 0 0 1 



1 0 0  D  P T AP  0 1 0  0 0  5



Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK KUADRAT Pemetaan q: V  K berada dalam bentuk kuadratik jika: q(v) = f (v, v) Misalkan f merepresentasikan matriks simetris A = [aij] dan X =[xi] adalah vektor kolom, maka q :



qX  f X, X  XT AX   a ij x i x j   a ii x i2  2 a ij x i x j i, j



i



i j



Yang koefisien-koefisien aij adalah elemen bentuk kuadrat dalam peubah-peubah x1, x2, …, xn. Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK KUADRAT Contoh: q = x12 + 2x22 – 7x32 – 4x1x2 + 8x1x3  1 2 4  X T  2 2 0  X  4 0  7 



Matriks simetris A = [aij] disebut matriks dari bentuk kuadrat dan rank A disebut rank bentuk kuadrat. Jika rank r < n maka bentuk kuadrat singular dan jika tidak, non singular Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK KUADRAT



Latihan: Tentukan matriks invers yang yang bersesuaian dg setiap bentuk kuadratik berikut ini: 1. q(x, y, z) = 3x2 + 4xy – y2 + 8xz + 6yz + z2 2. q(x, y, z) = 3x2 + xz – 2yz 3. q(x, y, z) = 2x2 - 5y2 - 7z2 Tentukan bentuk kuadrat q(X) yang bersesuaian dengan setiap matriks berikut ini:



 5  3 A    3 8 



 2



4



 1 5



 4 5 7   4  7  6 8 A    5  6 8  A    1  6 3 0    7 8  9 5 8 9 1   Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK KUADRAT TRANSFORMASI Transformasi X = BY akan membawa bentuk kuadrat dengan matriks A ke dalam bentuk kuadrat;



q  X T AX  ( BY )T A( BY )  Y T ( BT AB )Y Dengan matriks simetris BTAB Contoh: reduksi



 1 2 4 q  X T  2 2 0  X  4 0  7 Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK KUADRAT Contoh: Bentuk kuadratik q(x, y) = 3x2 + 2xy - y2 dan subsitusi linier x = s - 3t dan y = 2s + t a. Nyatakan q (x, y) dalam notasi matriks, dan tentukan matriks A yang mempresentasikan q(x, y) b. Nyatakan subsitusi linier dengan notasi matriks, dan tentukan matriks P yang bersesuaian. c. Tentukan q(s,t) dengan menggunakan subsitusi langsung d. Tentukan q(s,t) dengan menggunakan notasi matriks Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK KUADRAT jawab:  3 1  x  3 1    Jadi A   a. qx, y   x, y   dan  1  1 y   1  1



q(X)=XtAX , dimana X = (x, y)  x   1  3  s  b.        y   2 1  t 



jadi



 1  3  x s  dan X   , Y    dan X  PY P   2 1   y t  Agus Setiawan, M.Env.Sc.



BENTUK KUADRAT c. q(s,t) = 3(s-3t)2+2(s-3t)(2s+t)-(2s+t)2 = 3(s2-6ts+9t2) + 2(2s2-5ts-3t2) - (4s2+4ts+t2) = 3s2-32ts+20t2 d. Disini q(X)=XTAX dan X=PY, Jadi Xt =YtPt q s, t   q (Y )  Y t P t APY  1 2  3 1  1  3  s       s, t    3 1  1  1 2 1  t   16  s   3    s, t    16 20  t   3s 2  32st  20t 2 Agus Setiawan, M.Env.Sc.



Latihan 1. Misalkan f adalah bentuk bilinear pada R2 yang definisikan oleh:



f x1 , y1 , x 2 , y 2   2x1y1  3x1y 2  x 2 y1 Tentukan matriks A dari f dalam basis [u1 = (1, 1), u2 = (1, 0)]



Terima kasih Sampai jumpa di pertemuan berikutnya



Agus Setiawan, M.Env.Sc.