PDGK4206 PDF [PDF]

Citation preview

Hak Cipta  pada Penulis dan dilindungi Undang-undang Hak Penerbitan pada Penerbit Universitas Terbuka



Kementerian Riset, Teknologi, dan Pendidikan Tinggi Jalan Cabe Raya, Pondok Cabe, Pamulang, Tangerang Selatan - 15418 Banten - Indonesia Dilarang mengutip sebagian ataupun seluruh buku ini dalam bentuk apa pun tanpa izin dari penerbit Edisi Kesatu Cetakan pertama, Juli 2008 Cetakan kedua, Oktober 2008 Cetakan kelima November 2009 Cetakan keenam, April 2010 Cetakan kesembilan, November 2011



Cetakan kesebelas, Agustus 2012 Cetakan kedua belas, Januari 2013 Cetakan kelima belas, April 2014 Cetakan keenam belas, Juni 2014 Cetakan ketujuh belas, September 2014



Penulis 1. Muchtar Abdul Karim 2. Erry Hidayanto 3. Rustanto Rahardi 4. Toto Nusantara Penelaah Materi Pengembangan Desain Instruksional



: 5. I Made Sulandra 6. Sudirman 7. Ipung Yuwono 8 Nanang Priatna : Tati Rajati : Tati Rajati



Desain Cover dan Ilustrator Lay-outer Copy Editor



: Zulkarnaini : Eddy Purnomo : Suhria Atmana



510 MAT



MATERI pokok pendidikan matematika 2; 1 – 9/PDGK4206/ 3 sks/ Muchtar Abdul Karim [et.al]. -- Cet.17; Ed.1--. Tangerang Selatan: Universitas Terbuka, 2014. 353 hal: ill.; 21 cm ISBN: 978-979-011-292-6 1. matematika I Karim, Muchtar Abdul [et.al].



iii



Daftar Isi



TINJAUAN MATA KULIAH ........................................................... MODUL 1: BANGUN DATAR



ix 1.1



Kegiatan Belajar 1: Garis, Sudut, dan Kurva ..................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



1.3 1.15 1.19 1.20



Kegiatan Belajar 2: Segibanyak ......................................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



1.23 1.32 1.35 1.36



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



1.42 1.43



MODUL 2: KELILING DAN LUAS Kegiatan Belajar 1: Keliling Segibanyak ........................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



2.1 2.3 2.10 2.12 2.12



Kegiatan Belajar 2: Luas Daerah ........................................................................................ Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



2.15 2.22 2.23 2.24



iv



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



2.27 2.28



MODUL 3: BANGUN RUANG Kegiatan Belajar 1: Bidang Banyak dan Bangun Ruang .................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



3.1 3.3 3.10 3.12 3.13



Kegiatan Belajar 2: Jaring-jaring Bangun Ruang ............................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



3.16 3.26 3.29 3.30



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



3.35 3.36



MODUL 4: VOLUME BANGUN RUANG Kegiatan Belajar 1: Volume Kubus dan Balok .................................................................. Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



4.1 4.3 4.14 4.18 4.20



Kegiatan Belajar 2: Volume Prisma dan Volume Silinder ................................................. Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



4.25 4.32 4.34 4.35



v



Kegiatan Belajar 3: Volume Limas dan Kerucut .............................................................. Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 3 ……………………………..……..............................



4.38 4.43 4.45 4.45



Kegiatan Belajar 4: Volume Bola .................................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 4 ……………………………..……..............................



4.49 4.53 4.54 4.54



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



4.58 4.62



MODUL 5: SIMETRI Kegiatan Belajar 1: Simetri Lipat ....................................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



5.1 5.3 5.7 5.8 5.9



Kegiatan Belajar 2: Simetri Putar ...................................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



5.14 5.21 5.22 5.23



Kegiatan Belajar 3: Pengubinan, Pencerminan, dan Sistem Koordinat ........................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 3 ……………………………..……..............................



5.28 5.41 5.43 5.43



vi



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



5.50 5.52



MODUL 6: PENGUKURAN (I) Kegiatan Belajar 1: Pengukuran Panjang dan Sudut .......................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



6.1 6.3 6.11 6.13 6.13



Kegiatan Belajar 2: Luas dan Volume ................................................................................ Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



6.16 6.20 6.23 6.23



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



6.26 6.28



MODUL 7: PENGUKURAN (II) Kegiatan Belajar 1: Berat dan Debit .................................................................................. Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



7.1 7.3 7.9 7.10 7.11



Kegiatan Belajar 2: Waktu dan Kecepatan ......................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



7.14 7.18 7.19 7.20



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



7.23 7.24



vii



MODUL 8: ARITMETIKA Kegiatan Belajar 1: Mata Uang .......................................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



8.1 8.3 8.6 8.8 8.8



Kegiatan Belajar 2: Bank dan Benda-benda Pos ................................................................ Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



8.11 8.24 8.24 8.25



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



8.28 8.29



MODUL 9: PENGOLAHAN DATA Kegiatan Belajar 1: Cara Mengumpulkan Data ................................................................. Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



9.1 9.3 9.6 9.8 9.8



Kegiatan Belajar 2: Diagram .............................................................................................. Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ………………………………….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



9.11 9.30 9.32 9.33



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



9.37 9.38



ix



Tinjauan Mata Kuliah



M



ata kuliah ini bertujuan agar Anda terampil dalam melaksanakan pembelajaran bangun datar, keliling dan luas, bangun ruang, volume dan luas bangun ruang, simetri, pengukuran, matematika sosial, serta pengolahan data. Kemampuan tersebut sangat penting bagi Anda untuk dapat mengajar matematika kepada siswa SD sesuai dengan kurikulum SD. Selain materi matematika dalam mata kuliah ini juga disajikan kesalahan konsep yang sering terjadi di dalam kelas. Informasi tentang kesalahan konsep yang sering terjadi di dalam kelas diperlukan para guru sebagai masukkan dalam menentukan strategi pembelajaran matematika sehingga dapat memperkecil kesalahan konsep yang mungkin terjadi di dalam kelas Anda. Dengan pengetahuan yang didapat, diharapkan Anda menjadi guru yang profesional khususnya di dalam bidang matematika. Materi yang terdapat pada mata kuliah ini disajikan dalam 9 modul sebagai berikut. 1. Modul 1: Bangun Datar 2. Modul 2: Keliling dan Luas 3. Modul 3: Bangun Ruang 4. Modul 4: Volume Bangun Ruang 5. Modul 5: Simetri 6. Modul 6: Pengukuran I 7. Modul 7: Pengukuran II 8. Modul 8: Aritmetika 9. Modul 9: Pengolahan Data Anda diharuskan membaca dan mempelajari semua konsep yang disajikan dalam mata kuliah ini dengan baik. Agar Anda lebih cepat dalam mempelajarinya sebaiknya dilakukan dalam belajar kelompok, dan untuk memudahkan Anda dalam menguasai materi yang ada dalam modul ini siapkan alat tulis, kerjakan semua tugas dan buat rangkumannya.



x



Pet a Ko m pe ten si Pendidikan Matematika 2/PDGK4206/3 sks TUJUAN KOMPETENSI UMUM



4



3



7



6



1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.



2



1



Bangun Datar Keliling dan Luas Bangun Ruang Volume dan Bangun Ruang Simetri Pengukuran I Pengukuran II Aritmetika Pengolahan Data



5



8



9



xi



KOMPETENSI UMUM Setelah mempelajari modul ini, diharapkan Anda terampil melakukan pembelajaran: 1. bangun datar sesuai dengan kurikulum SD. 2. keliling dan luas segi banyak, lingkaran dan tangram dengan sifatsifatnya, sesuai dengan kurikulum SD. 3. bidang banyak dan bangun ruang sesuai dengan kurikulum SD. 4. volume dan luas bangun ruang sesuai dengan kurikulum SD. 5. simetri sesuai dengan kurikulum SD. 6. pengukuran panjang dan sudut sesuai dengan kurikulum SD. 7. berat dan kecepatan sesuai dengan kurikulum SD. 8. bank dan benda-benda pos sesuai dengan kurikulum SD. 9. statistika sesuai dengan kurikulum SD.



Modul 1



Bangun Datar Muchtar Abdul Karim Erry Hidayanto



PEN D A HU L UA N



B



angun datar merupakan salah satu pokok bahasan yang sangat penting baik dalam mempelajari geometri, maupun penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Bangun datar sangat dibutuhkan sebagai bahan prasyarat untuk mempelajari bangun ruang. Hal ini dapat diterima karena saat kita mempelajari balok atau kubus misalnya, kita akan menggunakan titik, garis, ruas garis, sudut, persegi panjang, dan persegi. Dalam kehidupan sehari-hari, bangun datar sangat banyak ditemukan, misalnya kusen pintu ruang kelas dan sisi atau tepi papan tulis. Sebagian besar materi modul ini telah Anda kenal, misalnya titik, garis, ruas garis, sinar garis, sudut, dan kurva. Jika Anda telah memiliki pemahaman yang baik tentang semua materi yang disebutkan terakhir maka Anda memiliki salah satu modal untuk dapat memahami materi modul ini. Materi modul ini terbagi menjadi dua kegiatan belajar. Kegiatan Belajar 1, yaitu berturut-turut tentang garis, sudut, dan kurva. Kegiatan Belajar 2, yaitu mengenai segi banyak, lingkaran, dan tangram. Kompetensi umum yang diharapkan setelah mempelajari modul ini adalah Anda terampil melakukan pembelajaran bangun datar sesuai dengan kurikulum Sekolah Dasar. Kompetensi khusus yang ingin dicapai setelah mempelajari modul ini adalah Anda terampil: 1. menjelaskan garis, sudut, dan kurva; 2. menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal tentang garis, sudut, dan kurva; 3. menjelaskan salah konsep tentang garis, sudut, dan kurva jika ada dilihat dari segi guru dan siswa; 4. melakukan pembelajaran garis, sudut, dan kurva kepada siswa SD menggunakan media dan pendekatan yang tepat;



1.2



Pendidikan matematika 2 



5. 6. 7.



mengevaluasi hasil belajar siswa tentang garis, sudut, dan kurva; menjelaskan segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya; menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal tentang segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya; 8. menjelaskan salah konsep tentang segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya – jika ada – dilihat dari segi guru dan siswa; 9. melakukan pembelajaran segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya kepada siswa SD menggunakan media dan pendekatan yang tepat; 10. mengevaluasi hasil belajar siswa tentang segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya. Kemampuan tersebut sangat penting bagi Anda untuk dapat mengajarkan tentang bangun datar kepada siswa sesuai dengan kurikulum SD. Untuk mempelajari modul ini sebaiknya dilakukan dalam bentuk belajar kelompok. Kelompok belajar sebaiknya beranggotakan tiga atau empat orang. Hal-hal yang kurang dipahami agar dicatat dan diajukan sebagai pertanyaan pada waktu tutorial diadakan. Anda diharuskan membaca dan memahami semua konsep yang disajikan dalam modul ini dengan baik. Untuk memudahkan Anda, sebaiknya Anda menyiapkan penggaris, jangka, pensil, dan kertas. Di samping itu, kerjakan semua tugas dan latihan yang terdapat dalam modul ini dengan sebaikbaiknya. Agar Anda berhasil dengan baik mempelajari modul ini, ikuti petunjuk belajar sebagai berikut. 1. Bacalah dengan cermat bagian Pendahuluan modul ini sampai Anda memahami betul apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini. 2. Baca sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dan katakata yang Anda anggap baru. Carilah dan baca pengertian kata-kata kunci dalam daftar kata-kata sulit modul ini atau dalam kamus yang ada. 3. Tangkaplah pengertian demi pengertian dari isi modul ini melalui pemahaman sendiri dan bertukar pikiran dengan mahasiswa atau guru lain dan dengan tutor Anda. 4. Mantapkan pemahaman Anda melalui diskusi mengenai pengalaman simulasi dalam kelompok kecil atau klasikal pada saat tutorial.



 PDGK4206/MODUL 1



1.3



Kegiatan Belajar 1



Garis, Sudut, dan Kurva A. GARIS Dalam mempelajari geometri kita akan berhubungan dengan beberapa ide atau gagasan dasar. Contoh ide dasar dalam geometri antara lain adalah titik, garis, bidang, permukaan, dan ruang. Titik sebagai ide dasar tidak didefinisikan. Ide tentang titik ini dapat dikaitkan dalam kehidupan seharihari misalnya sebagai ujung bagian runcing suatu pensil, ujung suatu paku baja, ujung suatu jarum dan noktah yang menunjukkan gambar kota Malang pada peta pulau Jawa. Walaupun keempat contoh ini merupakan ilustrasi atau gambaran tentang suatu titik dalam kehidupan sehari-hari, namun contohcontoh tersebut tidaklah memberikan suatu pengertian yang tepat tentang ide titik dalam geometri. Suatu titik dalam geometri tidak mempunyai ukuran. Titik tidak mempunyai panjang tidak mempunyai tebal, dan tidak mempunyai lebar. Suatu titik menunjuk suatu posisi, tempat, atau letak tertentu dari suatu objek. Pada umumnya, dalam mempelajari geometri kita bekerja dengan himpunan titik. Kebanyakan himpunan tersebut memuat titik yang banyaknya tak terhingga. Walaupun demikian, kita masih dapat menemukan beberapa sifat atau prinsip umum sebagai landasan pembicaraan. Prinsip umum tersebut dapat dibuat dan ditemukan oleh karena ide tentang geometri yang demikian abstrak dapat diwujudkan secara nyata dan sederhana dengan cara membuat gambar-gambar. Gambar-gambar seperti ini disebut model geometri. Gambar sebagai model nyata dan dapat diamati merupakan alat bantu untuk meningkatkan pemahaman kita terhadap suatu ide geometri yang abstrak. Dengan demikian, keterampilan membuat gambar atau model merupakan salah satu hal yang perlu mendapat perhatian jika kita ingin memahami ide geometri dengan baik. Untuk mempermudah pembicaraan, suatu titik biasanya digambar dengan menggunakan suatu noktah. Noktah-noktah yang digambar pada kertas atau papan tulis akan cukup memberikan gambaran secara kasar kepada kita tentang ide suatu posisi atau letak suatu titik yang dibicarakan. Kadang-kadang kita ingin menyatakan dengan jelas titik mana yang kita inginkan di antara sekian banyak titik yang ada. Oleh karena itu, suatu titik



1.4



Pendidikan matematika 2 



biasa kita beri nama dengan menggunakan sebuah huruf kapital atau huruf besar, misalnya titik A, titik B, titik C dan seterusnya. Gambar dan nama titik tersebut dapat diamati di bawah ini. .A Titik A



.B Titik B



.C Titik C



Gambar 1.1.



Himpunan semua titik membentuk suatu ruang. Ruang penuh dengan titik-titik. Dengan demikian, tidak ada lokasi atau posisi dalam ruang ini yang tanpa diwakili oleh titik. Konsep ruang ini seolah-olah mirip dengan ruangan kelas tempat kita belajar. Karena konsep ruang ini demikian umum maka yang menjadi perhatian kita adalah himpunan bagian dari ruang. Salah satu himpunan bagian dari ruang yang menjadi perhatian kita adalah bidang. Jadi, bidang merupakan himpunan titik atau suatu bidang penuh dengan titik. Suatu bidang sangat luas. Panjang dan lebar suatu bidang adalah tak terhingga, tetapi bidang tidak mempunyai tebal atau tipis. Secara intuitif, suatu bidang dapat dibayangkan sebagai suatu permukaan kaca yang rata, meja tulis, papan tulis, atau permukaan tembok pada ruangan kelas. Secara sangat sederhana, suatu bidang yang terbatas dapat diilustrasikan dengan selembar kertas tulis yang ada pada buku tulis. Untuk memudahkan pembicaraan dan pemahaman biasanya model suatu bidang dapat digambar dengan menggunakan suatu daerah jajar genjang yang diberi nama dengan menggunakan huruf kapital yang ditempatkan di pojok jajar genjang tersebut. Perhatikan model bidang H pada gambar berikut.



H



Gambar 1.2.



1.5



 PDGK4206/MODUL 1



Kadang-kadang suatu bidang diberi nama dengan menggunakan empat huruf kapital yang ditempatkan pada masing-masing titik pojok jajar genjang. Perhatikan bidang ABCD berikut. D



C



A



B Gambar 1.3.



Secara intuitif dan berdasarkan pemberian nama dengan menggunakan empat titik berlainan dapat disimpulkan bahwa empat titik berlainan dan tidak terletak pada satu garis menentukan suatu bidang. Dua bidang bisa sejajar atau berpotongan. Dua bidang sejajar jika kedua bidang itu tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. Contoh dua bidang sejajar adalah bidang lantai dan bidang langit-langit ruangan kelas. Contoh bidang berpotongan antara lain adalah bidang lantai dan bidang tembok ruangan kelas. Perpotongan dua bidang disebut garis lurus. Suatu garis lurus tentu merupakan himpunan titik. Dengan kata lain garis lurus penuh dengan titik, dan merupakan himpunan bagian khusus dari suatu bidang. Suatu garis lurus mempunyai panjang tak terhingga, dapat diperpanjang pada kedua arahnya, dan tidak mempunyai tebal atau tipis. Seperti halnya suatu titik dan bidang kita dapat menggambar model suatu garis lurus dan memberi nama. Suatu garis lurus (selanjutnya disebut garis) dapat diberi nama dengan menggunakan satu huruf kecil atau dua huruf kapital yang merupakan nama 2 titik berlainan yang termuat pada garis tersebut. Perhatikan gambar garis g atau garis PQ berikut. Anak panah pada masing-masing ujung gambar suatu garis menunjukkan bahwa suatu garis dapat diperpanjang pada kedua pihaknya sesuai kebutuhan (lihat Gambar 1.4). g P Q Gambar 1.4.



1.6



Pendidikan matematika 2 



Secara intuitif dan berdasarkan pemberian nama dengan menggunakan dua huruf kapital yang mewakili dua titik pada garis, kita dapat menyimpulkan bahwa suatu garis ditentukan oleh dua titik berlainan. Ada banyak contoh tentang garis dalam kehidupan sehari-hari. Tepi suatu papan tulis, tepi suatu meja tulis berbentuk persegi panjang, garis pinggir suatu lapangan voli atau lapangan tenis, dan sebagainya. Dua garis dapat sejajar, berpotongan, atau bersilangan. Dua garis adalah sejajar, jika kedua garis itu terletak pada satu bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Ini berarti bahwa dua garis sejajar menentukan satu bidang. Dua garis disebut berpotongan jika kedua garis itu mempunyai satu titik persekutuan. Dapat diselidiki bahwa dua garis berpotongan juga menentukan satu bidang. Dua garis bersilangan adalah dua garis yang tidak terletak pada satu bidang dan tidak mempunyai titik sekutu. Gambar 1.5 adalah gambar garis sejajar, berpotongan, dan bersilangan. g h



garis g dan h sejajar



q



p



M garis p dan q berpotongan di titik M



n m



garis m dan n bersilangan Gambar 1.5.



1.7



 PDGK4206/MODUL 1



Perhatikan sketsa gambar suatu balok atau kotak pada Gambar 1.6 berikut ini!



Gambar 1.6.



Garis AE dan BF, BC dan AD, serta EH dan FG masing-masing adalah sejajar. Garis AB dan AE, CG dan GH, serta EH dan HG masing-masing adalah berpotongan. Garis AE dan BC serta AB dan FG masing-masing adalah bersilangan. Salah satu ide yang penting dipelajari dalam geometri adalah ruas garis. Ruas garis merupakan bagian dari suatu garis. Jika pada suatu garis g dipilih dua titik berlainan P dan Q maka himpunan semua titik P, Q, dan titik-titik di antara P dan Q pada garis g membentuk ruas garis PQ. Ruas garis PQ mempunyai ukuran dan disebut panjang PQ. Perhatikan gambar garis g, titik P dan Q serta ruas garis PQ pada Gambar 1.7 berikut.



P



Q gambar garis g, titik P dan Q



P P



gambar ruas garis PQ Gambar 1.7.



QQ



1.8



Pendidikan matematika 2 



Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali contoh ruas garis. Salah satu sisi papan tulis, salah satu sisi meja tulis, seutas tali sepanjang 2 m yang direnggangkan, dan masih banyak lagi yang lain. Untuk mengakhiri Kegiatan Belajar 1 ini, kita akan mempelajari satu lagi ide dasar yang sangat bermanfaat dalam mempelajari geometri ini. Ide yang dimaksud adalah sinar garis. Tampak dari namanya bahwa sinar garis merupakan himpunan bagian dari suatu garis. Misalkan, kita mempunyai suatu garis g melalui sebarang titik A pada garis g seperti pada gambar berikut.



g g



A



A



Gambar 1.7.



Sekarang garis g terbagi menjadi dua bagian oleh karena adanya titik A. Masing-masing bagian dari garis g tersebut dinamakan tengahan garis. Dalam hal ini titik A tidak termasuk tengahan garis. Gabungan antara titik A dan semua titik pada salah satu tengahan garis tersebut dinamakan sinar garis. Perhatikan Gambar 1.8 berikut.



g



g C



C



A



A



Gambar 1.8.



B



B



Untuk memberi nama sinar garis yang terjadi, kita pilih sebarang titik B pada tengahan garis sebelah kanan titik A, sehingga terjadi sinar garis AB. Dalam hal ini, titik A disebut titik pangkal sinar garis AB dan titik B adalah sebarang titik pada sinar garis. Sinar garis AB tidak sama dengan sinar garis BA. Sinar garis BA adalah sinar garis yang berpangkal di B dan titik A adalah sebarang titik pada sinar BA. Sinar garis AC adalah sinar garis yang berpangkal di A dan titik C adalah sebarang titik pada sinar garis AC. Tentu saja sinar garis AC tidak sama dengan sinar garis CA. Perhatikan gambar sinar garis AB, BA, AC, dan CA pada Gambar 1.9 berikut ini.



1.9



 PDGK4206/MODUL 1



A



B sinar garis AB



A



B sinar garis BA



C



A sinar garis AC



C



C



AA



sinar garis CA sinar garis CA



Gambar 1.9.



Salah satu contoh sinar garis dalam kehidupan sehari-hari adalah sinar yang dipancarkan oleh suatu lampu senter atau lampu sepeda motor. Titik pangkal sinar garis adalah terletak pada ”dop” lampu senter tersebut. B. SUDUT Sudut merupakan suatu ide yang penting dipelajari dalam geometri. Suatu sudut adalah gabungan dua sinar garis AB dan AC dengan sinar AB dan AC masing-masing disebut kaki sudut. Suatu sudut diberi nama dengan menggunakan satu huruf kapital atau 3 huruf kapital. Cara mana yang digunakan tergantung pada situasi yang dihadapi. Kalau kita hanya mempunyai satu sudut maka kedua cara itu dapat kita gunakan. Sebaliknya, jika kita mempunyai lebih dari satu sudut dalam suatu gambar maka sebaiknya kita menggunakan nama dengan 3 huruf kapital. Perhatikan Gambar 1.10 berikut.



1.10



Pendidikan matematika 2 



C R



S



A B



P



Q



Gambar 1.10.



Pada gambar sebelah kiri, kita menamakan sudut itu dengan sudut A atau sudut BAC atau sudut CAB. Jika kita menggunakan 3 huruf kapital maka titik sudut selalu ditulis di tengah. Pada gambar di sebelah kanan, kita dapat menggunakan nama sudut P, tetapi akan rancu atau membingungkan kita sendiri. Sebab sudut P yang mana yang kita maksud. Tentu tidak jelas. Oleh sebab itu, dalam kasus seperti ini sebaiknya kita menggunakan nama dengan 3 huruf, misalnya sudut QPR, atau sudut QPS, atau RPS. Ide tentang sudut banyak sekali kita temukan di sekitar kita. Misalnya pada suatu lukisan yang berpigura dan terbuat dari kayu yang berbentuk persegi panjang. Dalam hal ini ada 4 sudut berlainan. Pada suatu tegel yang terdapat pada lantai ruangan kelas. Di sini juga ada 4 sudut berlainan. Di samping itu, setiap eternit pada langit-langit ruangan kelas juga terdapat 4 sudut. Pada suatu penggaris segitiga, terdapat 3 sudut berlainan. Tentu saja masih banyak contoh yang lain. Sudut mempunyai ukuran. Satuan ukuran dapat biasanya berupa derajat o ( ). Jika sudut pusat suatu lingkaran kita bagi menjadi 360 bagian yang sama besar maka masing-masing sudut yang terjadi berukuran 1 derajat. Di tokotoko telah tersedia dan dijual alat yang dinamakan busur derajat. Busur derajat ini biasanya berupa daerah setengah lingkaran dan telah dibagi menjadi 180 bagian yang sama besar. Masing-masing bagian sudutnya berukuran 1 derajat. Anda bisa menggunakan busur derajat untuk mengukur besar suatu sudut. Oleh sebab itu, belilah alat tersebut. Ada empat jenis sudut yang perlu kita kenal, yaitu sudut siku-siku, sudut lurus, sudut lancip, sudut tumpul. Sudut siku-siku adalah sudut yang ukurannya 90 derajat. Kaki-kaki suatu sudut siku-siku saling tegak lurus.



1.11



 PDGK4206/MODUL 1



Sudut lurus adalah sudut yang lurus atau sudut yang berukuran 180 derajat. Sudut lancip adalah sudut yang berukuran kurang dari 90 derajat. Sudut tumpul adalah sudut yang berukuran lebih dari 90 derajat tetapi kurang dari 180 derajat. Pada Gambar 1.11 berturut-turut adalah gambar sudut siku-siku, sudut lurus, sudut lancip, dan sudut tumpul.



sudut siku-siku



sudut lurus



sudut lancip



sudut tumpul



Gambar 1.11.



C. KURVA Sesungguhnya materi yang berkenaan dengan garis, ruas garis, sinar garis, dan sudut yang telah Anda pelajari merupakan contoh-contoh dari suatu kurva. Kurva merupakan bangun geometri datar. Kurva adalah kumpulan semua titik pada suatu bidang datar. Untuk mengenalkan konsep kurva kepada para siswa, kita dapat melakukannya antara lain dengan cara sebagai berikut. Pertama, kita minta siswa mengambil kertas dan pensil. Kedua, kita minta siswa menggambar suatu titik A pada kertasnya masing-masing. Titik A disebut sebagai titik pangkal. Ketiga, mintalah siswa untuk menempatkan ujung pensilnya tepat pada titik A. Keempat, tanpa mengangkat pensilnya, kita minta siswa untuk menggambar gabungan sebarang lengkungan, garis, ruas garis, atau sinar garis sekehendak mereka. Gambar tersebut berakhir pada suatu titik. Misalkan nama titik ini adalah titik B. Titik B disebut titik ujung. Apa yang siswa lakukan itu sebenarnya adalah menggambar suatu kurva. Dalam hal ini



1.12



Pendidikan matematika 2 



hasil gambar siswa yang satu dengan siswa yang lain tentu bervariasi atau berbeda. Pada Gambar 1.12 terdapat beberapa contoh gambar kurva yang mungkin terjadi.



Gambar 1.12.



 PDGK4206/MODUL 1



1.13



Pada gambar di atas, kurva (d), (e), (f), (g), (h), dan (i), masing-masing disebut kurva tertutup. Disebut kurva tertutup karena titik ujung B dan titik pangkal A berimpit. Kurva pada gambar (d), (g), (h), dan (i) masing-masing disebut kurva tertutup sederhana. Kurva-kurva ini disebut kurva tertutup sederhana karena masing-masing kurva ini tidak memotong dirinya sendiri atau tidak mempunyai titik potong. Kurva tertutup sederhana yang hanya dibentuk oleh ruas garis-ruas garis disebut segibanyak. Gambar (g), (h), dan (i) merupakan contoh segibanyak dan namanya berturut-turut adalah segi empat, segitiga, dan segilima. Selanjutnya, kurva tertutup pada gambar (e), dan (f) masing-masing disebut kurva tertutup tidak sederhana. Disebut demikian karena masing-masing kurva ini memotong dirinya sendiri atau mempunyai titik potong. Dalam hal ini masing-masing kurva gambar (e) dan (f) memiliki titik potong. Kurva pada gambar (e) mempunyai satu titik potong, yaitu titik P, sedangkan kurva pada gambar (f) mempunyai dua titik potong, yaitu titik Q dan R. Kurva pada gambar (a), (b), (c), (j), (k), dan (l), masing-masing dinamakan kurva tidak tertutup. Kurva-kurva ini dinamakan kurva tidak tertutup karena titik ujung B dan titik pangkal A tidak berimpit atau tidak bertemu. Kurva tidak tertutup ada yang tidak memotong dirinya sendiri dan ada yang memotong dirinya sendiri. Kurva tidak tertutup yang tidak memotong dirinya sendiri sering disebut kurva tidak tertutup sederhana. Kurva pada gambar (j), (k), (l) merupakan contoh kurva tidak tertutup sederhana. Contoh lain kurva tidak tertutup sederhana adalah garis lurus, ruas garis, sinar garis, dan sudut. Kurva tidak tertutup yang memotong dirinya sendiri biasanya disebut kurva tidak tertutup tidak sederhana. Contoh kurva tidak tertutup tidak sederhana antara lain adalah kurva pada gambar (a), (b), dan (c). Pada kasus kurva tertutup (baik yang sederhana maupun yang tidak sederhana) dan kurva tidak tertutup, titik A dan titik B biasanya disebut titik ujung dari kurva. Namun, pada kurva tertutup karena kedua titik ujung ini menjadi ”tidak jelas” atau ”kabur” maka suatu kurva tertutup dikatakan tidak mempunyai ujung. Selanjutnya hanya kurva yang tidak tertutup saja yang memiliki titik ujung. Salah satu cara lain lagi untuk menanamkan konsep kurva pada siswa SD adalah dengan menggunakan seutas tali rafia atau benang atau benda sejenisnya. Mintalah masing-masing siswa untuk membawa seutas tali rafia atau benang yang panjangnya kira-kira 50 cm. Dengan menggunakan permukaan meja atau bangkunya masing-masing sebagai tempat peragaan,



1.14



Pendidikan matematika 2 



mintalah mereka untuk meragakan bangun geometri berupa kurva menurut kehendaknya. Guru mengamati masing-masing siswa sambil bertanya apakah kurva yang siswa ragakan tersebut termasuk kurva tertutup atau kurva tidak tertutup. Bagi siswa yang menjawab kurva tertutup, guru selanjutnya bertanya apakah kurva tersebut tertutup sederhana ataukah kurva tertutup tidak sederhana. Mintalah alasan terhadap setiap jawaban yang dikemukakan siswa. Adanya suatu kurva tertutup sederhana akan membagi kumpulan titik pada suatu bidang datar menjadi dua daerah terpisah, yaitu daerah bidang yang berada di dalam kurva dan daerah bidang di luar kurva. Perhatikan Gambar 1.13 berikut.



H



P



Gambar 1.13. Gambar 1.10



Gambar di atas merupakan gambar suatu bidang H dan kurva tertutup berupa elips. Daerah bidang dalam elips, yaitu yang dihitamkan disebut daerah dalam atau interior dari elips. Daerah bidang H yang memuat titik P, selain daerah dalam dan selain titik-titik pada kurva atau elips, disebut daerah luar atau eksterior dari elips. Kedua konsep ini dapat disajikan kepada siswa dengan menggunakan contoh di sekitar sekolah. Misalkan halaman sekolah mereka sudah dipagar keliling. Para siswa hanya boleh bermain di halaman sekolah, yaitu di dalam pagar. Bagi siswa yang bermain di luar pagar dan di luar halaman sekolah mereka akan dapat hukuman dari guru. Halaman sekolah ini dapat dianggap sebagai daerah dalam atau interior dari pagar halaman sekolah. Daerah luar pagar dan di luar halaman sekolah dapat dianggap sebagai daerah luar atau eksterior dari pagar halaman sekolah. Suatu daerah atau kumpulan titik ada yang konveks (cembung) dan ada yang tidak konveks (cekung). Daerah tidak konveks kadang-kadang disebut daerah konkav. Untuk memahami kedua konsep ini perhatikan Gambar 1.14 dan uraian berikut.



1.15



 PDGK4206/MODUL 1



Gambar 1.14.



Pada gambar (a), titik M dan K keduanya pada daerah dalam segi empat ABCD. Ruas garis MK seluruhnya terletak pada daerah dalam segi empat ABCD. Oleh sebab itu, daerah ABCD disebut konveks. Hal yang berbeda adalah terdapat pada gambar (b). Di sini U dan V keduanya pada daerah dalam segi lima PQRST. Ruas garis UV tidak seluruhnya terletak pada daerah dalam segi lima PQRST. Titik-titik antara titik E dan F dari ruas garis UV terletak di daerah luar segi lima PQRST. Jadi daerah segi lima PQRST adalah tidak konveks (konkav). LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Selain yang terdapat dalam Kegiatan Belajar 1 ini, coba Anda tulis masing-masing 3 contoh dalam kehidupan sehari-hari dan terutama di lingkungan siswa tentang titik, bidang, dan garis! 2) Gambarlah sketsa ruangan kelas Anda! Berilah nama! Tulislah masingmasing 2 pasangan garis yang: a) sejajar, b) berpotongan, dan c) bersilangan,



1.16



Pendidikan matematika 2 



3) Gambarlah sketsa ruangan kelas Anda. Berilah nama. Tulislah 5 nama ruas garis yang terdapat pada sketsa ruangan kelas tersebut! 4) Tuliskan 2 contoh sudut di sekitar Anda selain yang telah disebutkan dalam modul ini! 5) Perhatikan gambar sudut berikut!



Gambar 1.15.



Tulislah 4 nama sudut berlainan yang terdapat pada gambar di atas. 6) Perhatikan gambar segi lima berikut!



Gambar 1.16.



Dengan menggunakan busur derajat, ukurlah besar sudut A, B, C, D, dan E. Tulislah nama jenis sudut tersebut. Perhatikan gambar kurva berikut. Huruf yang ada tepat di bawah masing-masing gambar ini mewakili gambar yang bersangkutan.



1.17



 PDGK4206/MODUL 1



(a)



(b)



(d)



(c)



(e)



(f)



(h)



(g)



(i)



1.18



Pendidikan matematika 2 



(j)



(k)



(l)



(m)



(o)



(n)



Gambar 1.17.



7) Tulislah semua huruf yang mewakili gambar kurva tertutup. 8) Tulislah semua huruf yang mewakili gambar kurva tertutup sederhana. 9) Tulislah semua huruf yang mewakili gambar kurva tertutup tidak sederhana. 10) Tulislah semua huruf yang mewakili gambar kurva tidak tertutup. 11) Tulislah semua huruf yang mewakili gambar kurva tidak tertutup sederhana.



 PDGK4206/MODUL 1



1.19



12) Tulislah semua huruf yang mewakili gambar kurva tidak tertutup tidak sederhana. 13) Tulislah semua huruf yang mewakili gambar daerah kurva konveks. 14) Tulislah semua huruf yang mewakili gambar daerah kurva konkav. Petunjuk Jawaban Latihan 1) Bervariasi. 2) a, b, dan c masing-masing bervariasi. 3) Bervariasi dan tergantung pada nama gambar sketsa yang digunakan. Ada paling sedikit 12 ruas garis. 4) Bervariasi, misalnya garis pembatas lapangan voli dan lapangan bulutangkis. 5) Bervariasi, misalnya sudut BAC, BAD, BAE dan CAE. 6) Ukuran sudut ada yang kurang dari 90, ada yang 90, dan ada yang lebih dari 90 derajat. Sudut A adalah sudut lancip, sudut B adalah siku-siku, serta sudut C, D, dan E masing-masing merupakan sudut tumpul. 7) a, b, e, f, g, h, i, j, k, l, n, o, dan p. 8) a, h, j, k, l, n, o, dan p. 9) b, e, f, g, dan i. 10) c, d, dan m. 11) m. 12) c dan d. 13) j, k, l, dan o. 14) h, n, dan p. R A NG KU M AN Titik, ruang, bidang, dan garis merupakan ide dasar yang tidak mempunyai definisi dalam bidang geometri merupakan objek (benda) yang abstrak. Namun demikian, kita masih dapat mengaitkannya dengan objek-objek nyata dalam kehidupan sehari-hari. Sifat-sifatnya dapat kita pelajari. Suatu bidang dapat ditentukan oleh tiga titik yang tidak segaris, dua garis sejajar, atau dua garis berpotongan. Dua bidang mungkin sejajar atau berpotongan. Bidang sejajar adalah bidang yang tidak mempunyai



1.20



Pendidikan matematika 2 



titik persekutuan. Perpotongan dua bidang merupakan garis lurus. Dua garis lurus mungkin sejajar, berpotongan, atau bersilangan. Ruas garis AB merupakan gabungan antara titik A, B, dan semua titik di antara A dan B pada garis AB. Sinar garis AB adalah gabungan antara titik A dan tengahan garis yang memuat semua titik, misalnya B, pada garis AB yang terletak pada pihak yang sama dari titik A. Sudut adalah gabungan dua sinar garis yang titik pangkalnya bersekutu. Nama suatu sudut dapat menggunakan satu huruf atau 3 huruf kapital. Sudut ada yang siku-siku, lurus, lancip, dan tumpul. Untuk menetapkan jenis sudut tergantung pada ukuran sudut itu. Alat untuk mengukur sudut adalah busur derajat. Kurva merupakan bangun geometri. Kurva merupakan kumpulan semua titik yang dapat digambar tanpa mengangkat pensil. Ada dua jenis kurva, yaitu kurva tertutup dan kurva tidak tertutup. Kurva tidak tertutup terdiri atas dua macam, yaitu kurva tertutup sederhana dan kurva tertutup tidak sederhana. Kurva tertutup adalah kurva yang titik ujungnya berimpit. Kurva tertutup sederhana adalah kurva yang hanya dibentuk oleh ruas garis disebut segi banyak. Kurva tertutup tidak sederhana adalah kurva tertutup yang memotong dirinya sendiri. Kurva tidak tertutup yang tidak memotong dirinya sendiri disebut kurva tidak tertutup sederhana, sedangkan yang memotong dirinya sendiri disebut kurva tidak tertutup tidak sederhana. Kurva tertutup sederhana membagi kumpulan semua titik pada suatu bidang menjadi dua kumpulan titik yang terpisah, yaitu daerah dalam dan daerah luar dari kurva. Daerah kurva ada yang konveks (cembung) dan ada yang konkav (cekung). Daerah kurva disebut konveks jika ruas garis yang terletak di daerah dalam kurva. Daerah kurva disebut konkav jika ruas garis yang titik ujungnya di daerah dalam kurva dan tidak semua titik pada ruas garis terletak pada daerah dalam kurva. TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!



1.21



 PDGK4206/MODUL 1



1) Dari gambar di atas garis yang berpotongan adalah .... A. BC dan BD B. EF dan BC C. GH dan DC D. AC dan FH 2)



Nama gambar di atas yang benar adalah .... A. sinar CA B. garis AC C. sinar garis AC D. garis AC 3)



Banyaknya sudut dari gambar di atas adalah .... A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4) Sudut lancip adalah sudut yang .... A. kurang dari 90 derajat B. lebih dari 90 derajat C. besarnya 90 derajat D. lebih dari 180 derajat 5)



I



II



III



IV



1.22



Pendidikan matematika 2 



Dari gambar di atas yang merupakan kurva tertutup tidak sederhana adalah .... A. I dan II B. I dan III C. III dan IV D. II dan III Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



1.23



 PDGK4206/MODUL 1



Kegiatan Belajar 2



Segibanyak



D



ari kegiatan sebelum ini Anda telah mengenal garis, sudut, dan kurva. Tentunya Anda masih ingat dengan pengertian (ide) segmen garis, sudut, dan kurva tertutup sederhana. Pengertian-pengertian tersebut sangat bermanfaat dan berguna untuk mempelajari bangun geometri datar yang disebut segibanyak. Segibanyak adalah suatu kurva sederhana tertutup yang dibentuk oleh (terdiri atas) segmen garis-segmen garis. Segmen garis-segmen garis yang telah membentuk segi banyak tersebut dinamakan sisi. Segibanyak mempunyai paling sedikit tiga sisi. Segibanyak dengan tiga sisi dinamakan segitiga. Segibanyak dengan empat sisi dinamakan segi empat. Segibanyak dengan lima sisi dinamakan segilima. Segibanyak dengan enam sisi dinamakan segienam, dan begitu seterusnya. Apabila suatu segibanyak ukuran sisinya sama dan ukuran sudutnya juga sama, maka segibanyak tersebut dinamakan segibanyak beraturan. Untuk lebih jelasnya, coba Anda perhatikan Gambar 1.19 berikut.



segiempat segitiga



segilima



segienam



Gambar 1.19. Gambar-gambar di atas adalah gambar bangun segi banyak beraturan



1.24



Pendidikan matematika 2 



A. SEGITIGA Segitiga merupakan segibanyak yang paling dasar. Segibanyak ini mempunyai tiga sisi dan dapat dibedakan menurut sifat-sifat dari sisi-sisi atau sudut-sudut yang membentuknya. Segitiga dengan dua atau tiga sisinya sama panjang dinamakan segitiga sama kaki. Segitiga dengan tiga sisinya sama panjang dinamakan segitiga sama sisi. Apabila ketiga sisi segitiga tersebut panjangnya berbeda, segitiga ini dinamakan segitiga tidak sama kaki dan tidak sama sisi. Suatu segitiga yang mempunyai sudut siku-siku dinamakan segitiga siku-siku.



segitiga siku-siku



Gambar 1.20.



segitiga samasisi



Diagram pada Gambar 1.21 berikut ini menggambarkan hubungan antara segitiga.



segitiga tidak samakaki



segitiga samakaki



Gambar 1.21.



 PDGK4206/MODUL 1



1.25



Segibanyak berikutnya adalah segi empat. Segi empat ini merupakan bentuk segibanyak yang paling banyak macamnya. Segibanyak ini mempunyai empat sisi yang membentuk empat sudut. Beberapa bentuk segi empat itu adalah persegi, persegi panjang, jajar genjang, layang-layang, belah ketupat, dan trapesium. Untuk membedakan macam-macam bentuk segi empat tersebut dapat dilihat sifat-sifat yang mungkin terdapat pada segi empat tersebut, yaitu: 1. Sisi-sisi yang berhadapan sejajar atau tidak. 2. Sudut-sudutnya merupakan sudut siku-siku atau tidak. 3. Sisi-sisinya mempunyai panjang sama atau tidak. 1. a. b. c.



Persegi Persegi adalah segi empat yang mempunyai sifat sebagai berikut. sisi-sisi yang berhadapan sejajar. keempat sudutnya siku-siku. keempat sisinya sama panjang.



2.



Jajar Genjang Jajar genjang adalah segi empat yang mempunyai sifat sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. 3.



Layang-layang Layang-layang adalah segi empat dengan sifat kedua sisi yang berdekatan sama panjang. 4.



Trapesium Trapesium adalah segi empat yang satu pasang sisinya sejajar. Untuk lebih jelasnya Anda perhatikan Gambar 1.22.



1.26



Pendidikan matematika 2 



persegi panjang



persegi



jajaran genjang layang-layang



belah ketupat



trapesium



Gambar 1.22.



Dalam memberikan contoh segi empat pada kehidupan sehari-hari, Anda dapat mengambil contoh benda-benda yang sering dilihat oleh para siswa SD, seperti: buku, pintu, jendela, kotak, muka papan tulis, daun meja, muka bangku, dan tembok kelas. Di samping bentuk-bentuk bangun geometri datar di atas yang merupakan segibanyak, Anda juga perlu mengenal contoh bangun geometri datar yang bukan segibanyak. Disebut bukan segibanyak karena yang membentuk tidak semata-mata terdiri atas segmen garis saja, melainkan juga dibentuk oleh kurva. Untuk lebih jelasnya, Anda perhatikan Gambar 1.23 berikut ini.



1.27



 PDGK4206/MODUL 1



Gambar 1.23.



Bangun geometri di atas merupakan contoh-contoh bangun geometri datar yang bukan merupakan segibanyak. B. LINGKARAN Dalam kehidupan sehari-hari sebetulnya Anda sering menjumpai bangun-bangun geometri datar yang mirip dengan lingkaran. Misalnya, sewaktu Anda bangun pagi, melihat ke arah timur. Anda akan melihat matahari. Bangun geometri datar yang mirip dengan matahari dapat disebut lingkaran. Kemudian, misalnya Anda sakit, lalu minum obat berupa pil, bangun geometri datar yang mirip dengan bentuk permukaan pil ini bisa juga disebut lingkaran. Contoh lainnya lagi, misalnya Anda melihat ke jalan raya, di situ Anda akan melihat banyak kendaraan lewat, bangun geometri datar yang mirip dengan bentuk roda kendaraan ini disebut lingkaran. Nah, apa sebetulnya lingkaran itu? Pada pelajaran sebelum ini, Anda telah mengenal macam-macam segibanyak. Mulai dari segitiga, segi empat, segilima, segienam, dan sebagainya. Pada bagian ini, segibanyak-segibanyak yang dimaksud di sini adalah segibanyak beraturan. Jika sisi-sisi dari segibanyak beraturan tersebut Anda perbanyak hingga n-sisi misalnya maka segibanyak yang terjadi akan membentuk segi-n. Jika n-nya sangat besar maka semua titik pada bangun yang terjadi akan berjarak sama dari suatu titik sebagai pusat. Dari sini, kemudian Anda mendefinisikan apa lingkaran itu. Lingkaran merupakan bentuk kurva sederhana tertutup yang lain selain segi banyak. Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat



1.28



Pendidikan matematika 2 



lingkaran. Segmen garis yang menghubungkan pusat dengan suatu titik pada lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Diameter lingkaran adalah sebarang segmen garis yang melalui pusat dan panjangnya dua kali lipat panjang jarijari lingkaran. Coba Anda perhatikan gambar berikut ini.



Gambar 1.27.



Gambar 1.24 merupakan gambar suatu lingkaran dengan pusat titik O dan berjari-jari lingkaran r. Pada konsep lingkaran ini yang perlu Anda perhatikan adalah suatu titik tetap di suatu bidang sebagai pusat lingkaran dan jarak titik-titik pada bidang tersebut terhadap titik tetap yang disebut pusat lingkaran. Anda dapat mempraktikkan membuat suatu lingkaran. Misalnya, Anda berdiri dengan membawa seutas tali. Kaitkan salah satu ujung tali tersebut dengan sebuah tonggak yang Anda tanam di suatu tempat tetap. Sedangkan ujung tali yang lain Anda ikatkan pada tubuh Anda. Kemudian Anda berjalan mengelilingi tonggak tersebut dari suatu tempat hingga sampai ke tempat semula. Sebelum Anda berjalan tali tersebut harus tetap tegang. Perjalanan Anda tadi dari tempat tertentu hingga sampai lagi di tempat semula tadi membuat suatu lingkaran dengan pusat titik tetap yang berupa tonggak tadi. Jari-jari lingkaran adalah panjang tali antara tubuh Anda dengan tonggak tadi. Lingkaran yang lebih besar atau yang lebih kecil dapat Anda rubah dengan cara memanjangkan atau memendekkan tali tersebut. Contoh lain lagi, misalnya Anda ambil seutas tali kemudian ikat salah satu ujungnya dengan sebuah batu. Kemudian Anda putarkan tali tersebut. Tangan Anda yang memegang tali tersebut dapat dikatakan sebagai titik tetap atau pusat lingkaran yang terjadi, sedangkan gerak batu yang diputar tadi membentuk suatu lingkaran dengan pusat tangan Anda yang memegang tali. Jari-jari lingkaran adalah panjang tali antara tangan Anda dengan batu. Untuk mendapatkan lingkaran yang lebih besar atau yang lebih kecil Anda dapat



1.29



 PDGK4206/MODUL 1



menggunakan tali yang lebih panjang atau lebih pendek. Tali yang lebih panjang akan menghasilkan lingkaran yang lebih besar dan tali yang lebih pendek akan menghasilkan lingkaran yang lebih kecil. Contoh yang bukan lingkaran, misalnya, sinar lampu senter yang diarahkan agak miring ke dinding dan lintasan bumi mengelilingi materi. C. TANGRAM Setelah Anda mempelajari bangun-bangun geometri datar yang berbentuk segi banyak dan lingkaran, berikut ini Anda akan mempelajari bangun geometri datar lain, yaitu tangram. Tangram merupakan permainan orang-orang Cina kuno, ribuan tahun yang lalu. Permainan tangram ini sudah dikenal di seluruh dunia, walaupun penemunya tidak diketahui secara pasti. Tetapi permainan ini nanti dapat Anda pergunakan untuk mengenalkan bentuk-bentuk bangun geometri datar pada siswa. Tangram adalah suatu himpunan yang terdiri dari tujuh bangun geometri datar yang dapat dipotong dari suatu persegi. Bentuk-bentuk bangun geometri yang sudah Anda kenal, yaitu segitiga, persegi, persegi panjang, jajaran genjang, dan lain-lainnya dapat membentuk suatu tangram. Sebagai contoh perhatikan Gambar 1.18 berikut ini.



Gambar 1.28.



1.30



Pendidikan matematika 2 



Segi banyak pada gambar di atas terdiri dari lima segitiga, satu persegi, dan satu jajaran genjang. Segi banyak ini disebut potong-potongan tangram. Perhatikan Gambar 1.29 berikut ini.



Gambar 1.29.



Gambar di atas dibuat potongan-potongan tangan, seperti di bawah ini.



4



Gambar 1.30.



5 3



Gambar 1.31.



1.31



 PDGK4206/MODUL 1



Sebagaimana dijelaskan di atas, potongan-potongan tangram dapat dibuat dari suatu bangun datar persegi yang dipotong-potong menjadi tujuh bangun datar yang lain. Tangram ini dapat Anda pergunakan untuk mengenalkan bangun geometri datar pada siswa, Anda dapat mulai dengan membuat tangram mini. Misalnya, Anda dapat mempergunakan kertas yang agak tebal dengan ukuran-ukuran sebagai berikut. Misalnya, kertas tersebut dibuat persegi berukuran 10 cm. Mula-mula Anda dapat memotong persegi tadi menjadi lima potong, dengan mengurangi dua bentuk segitiga besar. Kemudian barulah nama masing-masing potongan tadi, misalnya dengan huruf a, b, c, d, dan e. Sebaiknya dibuat dua perangkat tangram atau lebih. Untuk lebih jelasnya Anda perhatikan Gambar 1.32 berikut ini.



b a



c



e



d



Gambar 1.32.



Dari potongan-potongan tangram mini di atas dapat disusun bentukbentuk dasar persegi panjang, jajaran genjang, trapesium seperti pada Gambar 1.33 berikut ini.



Gambar 1.33.



1.32



Pendidikan matematika 2 



Setelah siswa Anda terlatih membuat bentuk-bentuk bangun geometri datar dengan lima potongan tangram, perbanyak potongan tangram menjadi tujuh potongan. Dengan cara sama Anda dapat menyusun bangun-bangun geometri datar dengan menggunakan tujuh potongan tangram tadi. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Di antara bangun datar-bangun datar di bawah ini, manakah yang bukan merupakan segibanyak?



B



A



C



D



2) Di antara bangun datar-bangun datar di bawah ini, manakah yang merupakan jajar genjang?



A



B



C



D



1.33



 PDGK4206/MODUL 1



3) Gambar di bawah ini merupakan bentuk bangun geometri datar. A. belah ketupat B. jajar genjang C. layang-layang D. trapesium



4) Di antara bangun datar-bangun datar di bawah ini, manakah yang merupakan lingkaran?



A



C



D B



5)



A



B



Jika bangun A dan bangun B pada gambar di atas digabungkan maka akan terbentuk bangun: A. persegi panjang B. trapesium



1.34



Pendidikan matematika 2 



C. jajar genjang D. segitiga 6) Perhatikan contoh gambar tangram mini pada pembahasan materi. Dari beberapa bentuk bangun geometri datar di bawah ini semua mungkin dibuat dari potongan-potongan tangram tersebut, kecuali ... A. persegi panjang B. segitiga C. belah ketupat D. jajar genjang 7) Perhatikan contoh tangram mini pada Gambar 1.22. Dari potonganpotongan b, c, dan d susunlah bangun geometri datar: A. segitiga B. jajar genjang C. persegi panjang 8) Perhatikan contoh tangram mini pada Gambar 1.32. Dari potonganpotongan b, d, dan e susunlah geometri datar: A. segitiga B. jajar genjang C. persegi panjang Petunjuk Jawaban Latihan Di bawah ini disajikan kunci jawaban dan petunjuk penyelesaian soal latihan Anda. 1) Untuk membedakan suatu bangun datar itu segibanyak atau bukan, Anda lihat apakah bangun tersebut dibentuk oleh segmen garis-segmen garis atau tidak. Bila tidak semuanya merupakan segmen garis maka bangun tersebut bukan merupakan segibanyak. Jawab: B. 2) Ciri khas dari jajar genjang adalah dua pasang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar dan sama panjang. Jawab: D. 3) Perhatikan sifat-sifat yang ada pada segi empat. Jawab: C.



 PDGK4206/MODUL 1



1.35



4) Lingkaran merupakan himpunan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap terhadap suatu titik tetap pada bidang tersebut. Jawab: B. 5) Dua bangun tersebut jika digabung akan membentuk segi empat. Bentuk yang paling mungkin adalah bentuk trapesium. Jawab: B. 6) Dari potongan-potongan tangram mini tersebut, tidak mungkin dapat dibuat bentuk layang-layang atau belah ketupat. Jawab: C. 7) Anda perhatikan bentuk-bentuk geometri datar pada kegiatan belajar sebelumnya. 8) Anda perhatikan bentuk-bentuk geometri datar pada kegiatan belajar sebelumnya. R A NG KU M AN Segibanyak adalah suatu kurva sederhana tertutup yang dibentuk dari segmen garis-segmen garis. Segmen garis-segmen garis yang telah membentuk segibanyak tersebut dinamakan sisi. Segibanyak dengan tiga sisi dinamakan segitiga. Segibanyak dengan empat sisi dinamakan segi empat. Dan seterusnya, kita tinggal melihat banyaknya sisi. Apabila sisi dan sudut segibanyak masing-masing berukuran sama maka segibanyak tersebut dinamakan segibanyak beraturan. Segitiga dapat dibedakan menurut sifat-sifat dari sisi-sisi atau sudutsudut yang membentuknya. Segitiga dengan dua atau tiga sama panjang dinamakan segitiga sama kaki. Segitiga dengan tiga sisinya sama panjang dinamakan segitiga sama sisi. Apabila suatu segitiga mempunyai sudut siku-siku segitiga tersebut dinamakan segitiga sikusiku. Persegi adalah segi empat yang keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya masing-masing sudut siku-siku. Persegi panjang adalah segi empat keempat sudutnya siku-siku. Jajar genjang adalah segi empat dengan dua pasang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar. Layanglayang adalah segi empat dengan dua pasang sisi yang berdekatan berlainan masing-masing sama panjang. Kemudian yang dimaksud dengan trapesium adalah segi empat dengan tepat satu pasang sisinya sejajar. Lingkaran merupakan bentuk kurva sederhana tertutup. Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama dari



1.36



Pendidikan matematika 2 



titik tertentu (tetap) pada bidang tersebut. Titik tetap tersebut dinamakan titik pusat lingkaran. Segmen garis yang menghubungkan titik pusat dengan suatu titik pada lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Diameter lingkaran adalah sebarang segmen garis yang titik-titik ujungnya pada lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran tersebut. Tangram adalah suatu himpunan yang terdiri dari tujuh bangun geometri datar yang dapat dipotong dari suatu persegi. Anda dapat melihat dan memahami bahwa luas potongan-potongan tangram tersebut akan sama dengan luas persegi. Keliling potongan-potongan tangram belum tentu sama dengan keliling persegi awalnya, tergantung bentuk gabungan bangun yang terbentuk. TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Di antara bangun datar-bangun datar di bawah ini, manakah yang bukan merupakan segibanyak?



C A



B



D



Gambar 1.



2) Di antara bangun datar-bangun datar di bawah ini, manakah yang merupakan belah ketupat?



1.37



 PDGK4206/MODUL 1



A.



C.



D.



B.



3) Di antara bangun datar-bangun datar di bawah ini, manakah yang merupakan segitiga siku-siku?



C.



A.



B.



D.



4) Di antara empat pernyataan berikut ini manakah yang benar? A. segitiga sama sisi mempunyai sudut-sudut yang sama besar B. setiap segitiga siku-siku juga merupakan segitiga sama kaki C. setiap segitiga sama kaki juga merupakan segitiga sama sisi D. segitiga sama kaki juga merupakan segitiga siku-siku 5) Pernyataan berikut benar, kecuali setiap .... A. persegi adalah belah ketupat. B. persegi panjang adalah belah ketupat C. belah ketupat adalah layang-layang D. persegi adalah persegi panjang



1.38



Pendidikan matematika 2 



6) Perhatikan gambar berikut ini. Banyaknya jajar genjang dari gambar di samping adalah .... A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 7) Perhatikan gambar berikut ini. Banyaknya bujursangkar dari gambar tersebut adalah .... A. 17 B. 20 C. 19 D. 18



8) Di antara bangun datar-bangun datar di bawah ini, manakah yang merupakan lingkaran?



C.



A.



B.



D.



9) Di antara contoh-contoh berikut, manakah yang bukan merupakan lingkaran? A. Gerak ujung jarum jam. B. Tepi roda sepeda. C. Tepi mata uang. D. Bentuk kapsul.



1.39



 PDGK4206/MODUL 1



10) Semua pernyataan di bawah ini benar, kecuali .... A. lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama B. dua buah lingkaran dapat mempunyai titik pusat yang sama C. luas gabungan potongan-potongan tangram sama dengan luas tangram D. daerah lingkaran adalah daerah pada bidang datar yang dibatasi oleh lingkaran 11) B A



Jika bangun A dan bangun B pada gambar di atas digabungkan maka akan terbentuk bangun .... A. persegi panjang B. trapesium C. jajar genjang D. segitiga 12) C A B



Jika bangun A, B, dan C pada gambar di atas digabungkan maka akan terbentuk bangun .... A. persegi panjang B. trapesium C. jajar genjang D. segitiga



1.40



Pendidikan matematika 2 



13)



A



B



C



D



Jika bangun A, B, C, dan D pada gambar di atas digabungkan maka akan terbentuk bangun .... A. persegi panjang B. trapesium C. jajar genjang D. segitiga 14) Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang bukan merupakan potongan-potongan suatu tangram?



C. A.



B.



D.



1.41



 PDGK4206/MODUL 1



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



1.42



Pendidikan matematika 2 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) A. Titik potongnya adalah B. 2) C. Sinar garis yang berpangkal di titik A dan C sebarang pada sinar AC. 3) D. AOB, AOC, AOD, BOC, BOD, COD. 4) A. Sudut yang besarnya lebih besar dari 90 derajat adalah sudut tumpul (lihat lagi materinya). 5) C. Kurva tertutup tidak sederhana adalah kurva yang tertutup dan memotong dirinya. Tes Formatif 2 1) C. Bentuk C adalah kurva tertutup sederhana. 2) B. Ingat sifat-sifat belah ketupat. 3) C. Segitiga yang salah satu sudutnya 90 derajat. 4) A. Ingat sifat-sifat segitiga sama sisi. 5) B. Coba lihat lagi bentuk belah ketupat dan persegi panjang. 6) A. Coba hitung dengan teliti. 7) D. Coba hitung dengan teliti. 8) C. Jelas. 9) D Jelas. 10) A. Jelas. 11) B. Anda coba sendiri. 12) A. Anda coba sendiri. 13) C. Anda coba sendiri. 14) B. Lihat gambar tangram.



 PDGK4206/MODUL 1



1.43



Daftar Pustaka Buger, William F, dan Musser, Garry L. (1991). Mathematics for Elementary Teachers. Ontario: Mac. Millan. Kennedy, Leonard M. & Tipps, Steve. (1994). Guiding Children’s Learning of Mathematics, Sixth Edition. Belmont, California: Wadsworth Publishing Company. Van de Walle, J. A. (1994). Elementary School Mathematics, New York: Longman. Van de Walle, J. A. (1994). Elementary School Mathematics Teaching Developmentally. Second Edition. New York: Longman Publishing Group. Wheeler, Ruric E. (1992). Modern Mathematics. Eight Edition. Belmont, California: Brooks/Cole Publishing Company.



Modul 2



Keliling dan Luas Muchtar Abdul Karim Erry Hidayanto



P E N D A HU L UA N



M



odul 2 ini merupakan salah satu dari 9 dari modul dalam mata kuliah Pendidikan Matematika II. Materi Modul 2 ini sangat penting dan perlu dikuasai dengan baik dan benar oleh Anda. Materi ini penting, karena merupakan salah satu materi yang terdapat pada kurikulum sekolah dasar. Selain itu, Anda dituntut untuk dapat mengajarkan dengan baik dan benar kepada peserta didik di sekolah dasar. Materi modul ini diuraikan dalam dua kegiatan belajar. Kegiatan Belajar 1 berkaitan dengan Keliling Bangun Datar. Dalam hal ini akan diuraikan dan dibahas tentang keliling segibanyak berupa persegipanjang, persegi, segitiga, jajar genjang, belah ketupat, trapesium, layang-layang, segibanyak beraturan, lingkaran, dan tangram. Kegiatan Belajar 2 berhubungan dengan Luas Daerah Bangun Datar. Pada Kegiatan Belajar 2 ini diuraikan dan dibahas luas daerah segibanyak berupa persegipanjang, persegi, segitiga, jajar genjang, belah ketupat, trapesium, dan layang-layang; luas daerah lingkaran, serta luas daerah tangram. Selain itu, disajikan juga tentang bagaimana mengajarkan konsep keliling dan luas tersebut kepada anak didik di Sekolah Dasar. Kompetensi umum yang diharapkan setelah mempelajari modul ini adalah Anda dapat melakukan pembelajaran keliling dan luas segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya sesuai kurikulum SD. Selanjutnya kompetensi khusus yang diharapkan dicapai setelah mempelajari modul ini adalah Anda dapat: 1. menjelaskan keliling dan luas segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya; 2. menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal tentang keliling dan luas segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya;



2.2



3.



4.



5.



Pendidikan matematika 2 



menjelaskan salah konsep tentang keliling dan luas segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya jika ada dilihat dari segi guru dan siswa; melakukan pembelajaran keliling dan luas segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya kepada siswa SD menggunakan media dan pendekatan yang tepat; mengevaluasi hasil belajar siswa tentang keliling dan luas segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat-sifatnya.



Kemampuan tersebut sangat penting bagi Anda untuk dapat mengajarkan tentang keliling dan luas bangun datar kepada siswa sesuai dengan kurikulum SD. Dalam mempelajari modul ini sebaiknya dilakukan dalam bentuk belajar kelompok. Kelompok belajar dengan anggota tiga atau empat orang. Hal-hal yang kurang dipahami dicatat untuk diajukan sebagai pertanyaan pada waktu tutorial diadakan. Anda diharuskan membaca dan memahami semua konsep yang disajikan dalam modul ini dengan baik. Untuk memudahkan Anda, sebaiknya Anda menyiapkan penggaris, jangka, pensil, dan kertas. Di samping itu, kerjakan semua tugas dan latihan yang terdapat dalam modul ini dengan sebaikbaiknya. Agar Anda berhasil dengan baik mempelajari modul ini, ikuti petunjuk belajar sebagai berikut. 1. Bacalah dengan cermat bagian Pendahuluan modul ini sampai Anda memahami betul apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini. 2. Baca sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dan katakata yang Anda anggap baru. Cari dan bacalah pengertian kata-kata kunci dalam daftar kata-kata sulit modul ini atau dalam kamus yang ada. 3. Tangkap dan pahamilah pengertian demi pengertian dari isi modul ini melalui penelaahan atau pengkajian sendiri dan lakukanlah tukar pikiran dengan mahasiswa atau guru lain serta dengan tutor Anda. 4. Mantapkan pemahaman Anda melalui diskusi mengenai pengalaman simulasi dalam kelompok kecil atau klasikal pada saat tutorial.



 PDGK4206/MODUL 2



2.3



Kegiatan Belajar 1



Keliling Segibanyak



P



engukuran adalah suatu proses membandingkan suatu objek yang akan diukur dengan suatu objek yang telah diketahui ukurannya. Kedua objek tersebut adalah sejenis atau serupa. Objek yang telah diketahui ukurannya itu biasanya disebut satuan. Satuan ini ada yang standar dan ada yang tidak standar. Dengan perkataan lain ada satuan standar dan satuan tidak standar. Satuan standar atau standar unit ini biasanya ditentukan oleh pemerintah atau oleh suatu definisi matematik. Contoh satuan standar adalah 1 cm, 1 dm, 1 m, dan 1 km. Pada setiap kejadian atau keadaan, satuan standar ini telah mempunyai ukuran tertentu dan tetap. Pengukuran objek-objek sejenis yang lain merupakan suatu proses penentuan berapa banyak satuan standar yang termuat atau tercakup dalam objek yang sedang diukur. Kalau ukuran ruas garis adalah panjang, ukuran segi banyak adalah jumlah panjang sisi-sisinya. Pada Kegiatan Belajar 1 ini Anda akan membicarakan masalah pengukuran tertentu pada segi banyak yang disebut dengan keliling. Satuan tidak standar biasanya tidak ditentukan atau tidak ditetapkan secara formal. Kita bisa memilih dan menetapkan sendiri satuan tidak standar ini sesuai dengan objek yang akan diukur. Kalau kita ingin menentukan ukuran panjang suatu objek, kita dapat memilih dan menetapkan misalnya satu jengkal, satu depa, satu pensil, atau satu potong kawat untuk dijadikan satuan tidak standar. Kita sering dengar misalnya panjang ruangan kelas adalah 6 depa, panjang daun meja adalah 7 pensil, dan panjang papan tulis adalah 20 jengkal. Tentu saja masih banyak contoh lain di sekitar kita dan cobalah Anda cari dan tuliskan sebanyak-banyaknya. Keliling dari suatu segibanyak merupakan jumlah panjang dari sisisisinya, yaitu jarak mengitari segi banyak tersebut. Keliling segitiga merupakan jumlah panjang ketiga sisi segitiga tersebut. Untuk lebih jelasnya Anda perhatikan Gambar 2.1 berikut ini.



2.4



Pendidikan matematika 2 



a



b



c Gambar 2.1.



Jika panjang sisi-sisi segitiga pada Gambar 2.1 ini adalah a, b, dan c satuan maka keliling segitiga tersebut adalah (a + b + c) satuan. Contoh. Jika suatu segitiga mempunyai sisi-sisi dengan panjang 3 cm, 4 cm, dan 5 cm maka keliling segitiga tersebut adalah (3 + 4 + 5) cm atau 13 cm. Untuk segibanyak yang lain, keliling bangun tersebut juga merupakan jumlah panjang sisi-sisinya. Misalnya, keliling segibanyak yang berbentuk segiempat. Sama seperti pada pengertian di atas, keliling segiempat juga merupakan jumlah panjang dari keempat sisi segiempat tersebut. Walaupun segiempat tersebut berupa persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang, belah ketupat, maupun trapesium. Jika segibanyak berupa persegi panjang seperti Gambar 2.2. Gambar 2.2.



Keliling persegi panjang tersebut adalah (a + b + a + b) satuan atau 2  (a + b) satuan.



2.5



 PDGK4206/MODUL 2



Contoh. Jika persegi panjang tersebut mempunyai sisi-sisi yang panjangnya 3 cm dan 4 cm maka keliling persegi panjang tersebut adalah 2  (3 + 4) cm atau 16 cm. Jika segi banyaknya berupa persegi seperti pada Gambar 2.3 berikut. Gambar 2.3.



Maka keliling persegi pada Gambar 2.3 tersebut juga sama dengan (a + a + a + a) satuan atau 4a satuan. Contoh. Jika persegi di atas mempunyai sisi dengan panjang 5 cm maka keliling persegi tersebut adalah (4  5) cm = 20 cm. Jika segi banyaknya berupa jajar genjang, seperti pada Gambar 2.4 berikut.



Gambar 2.4.



Maka keliling jajar genjang pada Gambar 2.4 tersebut juga sama dengan (a + b + a + b) satuan atau 2  (a + b) satuan. Contoh: Jika jajar genjang di atas mempunyai sisi-sisi dengan panjang 5 cm dan 6 cm maka keliling jajar genjang tersebut adalah 2  (5 + 6) cm atau 22 cm. Selanjutnya perhatikan trapesium yang ada pada Gambar 2.5 berikut.



Gambar 2.5.



2.6



Pendidikan matematika 2 



Keliling dari trapesium pada Gambar 2.5 tersebut adalah (a + b + c + d) satuan. Contoh. Misalkan trapesium di atas ini mempunyai sisi-sisinya dengan panjang 4 cm, 5 cm, 6 cm, dan 7 cm, maka keliling trapesium adalah (4 + 5 + 6 + 7) cm atau 22 cm. Jika segi banyaknya berupa belah ketupat seperti pada Gambar 2.6 berikut.



Gambar 2.6.



Maka keliling dari bangun datar belah ketupat seperti pada Gambar 2.6 tersebut sama dengan (a + a + a + a) satuan atau 4  a satuan. Contoh. Jika belah ketupat di atas mempunyai sisi dengan panjang 5 cm maka keliling belah ketupat tersebut adalah (4  5) cm atau 20 cm. Jika segibanyaknya berupa layang-layang seperti pada Gambar 2.7 berikut.



Gambar 2.7.



Maka keliling dari bangun datar layang-layang, seperti pada Gambar 2.7 tersebut sama dengan (a + a + b + b) satuan atau (2  a) + (2  b) satuan atau 2  ( a + b) satuan.



2.7



 PDGK4206/MODUL 2



Contoh. Jika layang-layang di atas mempunyai sisi-sisi dengan panjang 5 cm dan 6 cm maka keliling layang-layang tersebut adalah 2  (5 + 6) cm atau 22 cm. Perhatikan bangun geometri datar seperti pada Gambar 2.8 berikut.



Gambar 2.8.



Keliling bangun datar pada Gambar 2.8 adalah (a + b + c + d + e + f + g + h) satuan. Jika bangun geometri datarnya berupa lingkaran, maka ”jarak mengitari” lingkaran tersebut dinamakan keliling lingkaran. Untuk mencari keliling dari suatu lingkaran, yang merupakan panjang dari lingkaran diperlukan suatu bilangan khusus yang diberi nama  (dibaca “pi”). Bilangan  merupakan perbandingan dari keliling lingkaran dengan diameter lingkaran. Pada setiap lingkaran perbandingan tersebut akan selalu tetap atau nilainya konstan, yaitu . Nilai sesungguhnya  = 3,14159… yang merupakan bilangan desimal tak berulang dan tak berakhir atau bilangan tak rasional (bilangan irasional). Jika ditulis dalam pecahan maka nilai pendekatan untuk  akan dibuat sama 22 dengan . Jika kita misalkan r adalah 7 r jari-jari lingkaran, d adalah diameter O lingkaran, dan K adalah keliling lingkaran maka hubungan yang diperoleh adalah d = 2  r, dan K =   d atau K = 2    r. Perhatikan gambar lingkaran pada Gambar 2.9 berikut. Gambar 2.9.



2.8



Pendidikan matematika 2 



Bila lingkaran di atas berjari-jari 3 cm maka keliling lingkaran tersebut adalah 2    r = 2    3 cm = 6  cm. Untuk mencari keliling tangram, kita hitung jumlah panjang sisi-sisi tepi dari tangram tersebut. Perhatikan Gambar 2.10 berikut



Gambar 2.10.



Bila bentuk tangram masih seperti pada Gambar 2.10 maka tinggal menghitung berapa jumlah panjang dari keempat sisi tepi tangram tersebut. Tetapi bila bentuk tangram seperti Gambar 2.11 berikut.



Gambar 2.11.



2.9



 PDGK4206/MODUL 2



Maka, Anda harus menghitung jumlah panjang dari semua sisi tepi tangram tersebut. Untuk contoh pada Gambar 2.11 keliling tangram tersebut adalah (a + b + c + d + d + d + e + f + g + h + h + h + i) satuan. Oleh karena itu, Anda dapat melihat dan memahami bahwa keliling potonganpotongan tangram belum tentu sama dengan keliling persegi awalnya, tergantung bentuk gabungan bangun yang terbentuk. Misalnya, dari dua contoh bangun yang dibentuk dari potongan-potongan tangram di atas, keliling masing-masing bangunnya berbeda. Untuk mengenalkan konsep keliling ini kepada siswa Anda dapat melakukannya dengan menggunakan bantuan tali atau benang. Karena konsep keliling segibanyak merupakan jarak mengitari segi banyak tersebut maka buatlah model-model tentang segibanyak lalu gunakan tali atau benang tadi untuk menghitung kelilingnya. Caranya tempelkan tali atau benang pada sisi-sisi segi banyak dengan mengambil salah satu titik sebagai awal dan diakhiri pada titik itu juga. Kemudian diukur berapa panjang benang atau tali tersebut. Perhatikan Gambar 2.12 berikut.



benang Gambar 2.12.



benang Cara tersebut dapat digunakan untuk bermacam-macam bentuk bangun geometri datar. Selain menggunakan benang seperti contoh di atas, kita juga bisa menggunakan meteran yang terbuat dari kain atau sejenisnya. Kita mengukur panjang setiap sisi suatu segibanyak dan menjumlahkan panjang semua sisinya untuk memperoleh keliling segibanyak yang dimaksud. Gambar 2.13.



2.10



Pendidikan matematika 2 



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Carilah keliling dari masing-masing bangun geometri datar berikut. A.



76 cm 45,6 cm



60,8 cm B. 13



15



20 2) Carilah keliling suatu persegi yang panjang sisinya 10 cm.



10



3) Dua sisi berurutan dari suatu jajargenjang berturut-turut adalah 8 cm dan 14 cm. Berapa cm keliling jajargenjang tersebut?



2.11



 PDGK4206/MODUL 2



14



8 4) Ukuran sisi suatu segienam beraturan adalah 12 cm. Carilah keliling bangun tersebut. 12



5) Carilah keliling lingkaran yang berjari-jari 5 cm!



2.12



Pendidikan matematika 2 



Petunjuk Jawaban Latihan 1) 2) 3) 4) 5)



a. 182,4 cm b. 48. 40 cm. 44 cm. 72 cm. 10 cm. R A NG KU M AN Keliling dari suatu segibanyak merupakan jumlah panjang dari sisisisinya, yaitu jarak mengitari segibanyak tersebut. Keliling segitiga merupakan jumlah panjang ketiga sisi segitiga tersebut. Untuk segibanyak yang lain, keliling bangun tersebut juga merupakan jumlah panjang sisi-sisinya. Untuk mengenalkan konsep keliling ini kepada siswa Anda dapat melakukannya dengan menggunakan bantuan tali, benang, atau meteran dari kain. Jika bangun geometri datarnya berupa lingkaran maka ”jarak mengitari” lingkaran tersebut dinamakan keliling lingkaran. Bilangan  merupakan perbandingan dari keliling lingkaran dengan diameter lingkaran. Misalkan r adalah jari-jari lingkaran, d adalah diameter lingkaran, dan K adalah keliling lingkaran maka hubungan yang diperoleh adalah d = 2 r, dan K =  d atau K = 2r. Untuk mencari keliling tangram, kita hitung jumlah panjang sisi-sisi tepi dari tangram tersebut. TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!



1) Perhatikan gambar persegipanjang berikut.



a



b Jika keliling bangun tersebut adalah 60 cm, dan b = 20 cm maka nilai a adalah ....



 PDGK4206/MODUL 2



A. B. C. D.



2.13



5 cm 10 cm 12 cm 20 cm



2) Suatu segitiga mempunyai panjang sisi-sisi 2 cm, 3 cm, dan 4 cm. Keliling segitiga tersebut adalah .... A. 9 cm B. 8 cm C. 6 cm D. 7 cm 3) Jika keliling lingkaran adalah 62,8 cm maka jari-jari lingkaran tersebut adalah .... A. 9 cm B. 9,5 cm C. 10 cm D. 10,5 cm 4) Jika keliling lingkaran adalah 75,36 cm maka diameter lingkaran tersebut adalah .... A. 10 cm B. 20 cm C. 12 cm D. 24 cm 5) Diketahui suatu lingkaran berjari-jari 4 cm. Keliling lingkaran tersebut adalah .... A. 4  B. 6  C. 8  D. 2  6) Yang manakah di antara pernyataan berikut yang benar? A. Diameter lingkaran sama dengan jari-jari lingkaran. B. Dua buah lingkaran yang sama dapat mempunyai keliling yang berbeda. C. Keliling bangun gabung yang dibuat dari potongan-potongan tangram sama dengan keliling tangram aslinya. D. Keliling bangun gabung yang dibuat dari potongan-potongan tangram berbeda dengan keliling tangram aslinya.



2.14



Pendidikan matematika 2 



7) Perhatikan gambar berikut.



Jika panjang sisi segi enam tersebut adalah 10 cm maka keliling lingkaran adalah .... A. 10  cm B. 20  cm C. 30  cm D. 40  cm Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



2.15



 PDGK4206/MODUL 2



Kegiatan Belajar 2



Luas Daerah



P



engukuran luas suatu daerah hampir sama dengan pengukuran panjang suatu ruas garis. Pengukuran suatu ruas garis adalah suatu proses membandingkan suatu ruas garis yang ingin diketahui ukurannya dengan suatu satuan standar yang biasanya dapat berupa m, dm, cm, inci, kaki, yard, atau yang lainnya. Ukuran suatu ruas garis AB adalah suatu bilangan yang menunjukkan banyaknya satuan standar yang tercakup pada suatu ruas garis AB tersebut. Dengan demikian, pengukuran luas daerah juga merupakan suatu proses membandingkan suatu daerah tertentu yang ingin diketahui ukurannya dengan suatu satuan standar yang ditetapkan. Luas daerah A adalah suatu bilangan yang menyatakan berapa banyak satuan standar yang telah ditetapkan tercakup pada daerah A tersebut. Satuan standar dapat berupa satuan segitiga sama sisi, satuan persegi, satuan lingkaran, satuan segilima beraturan, satuan segienam beraturan, atau satuan yang lain. Satuan standar untuk luas suatu daerah umumnya adalah satuan persegi atau square unit. Sekarang bagaimana menentukan suatu metode untuk menunjuk suatu bilangan terhadap suatu daerah yang tertutup oleh suatu kurva tertutup, segibanyak, atau lingkaran? Sebelum menjawab pertanyaan ini, kita akan mendefinisikan beberapa istilah serta menyajikan beberapa postulat atau aksioma terkait. Definisi 1: Daerah segitiga adalah gabungan antara himpunan titik-titik pada segitiga dan himpunan titik-titik interior segitiga tersebut.



Gambar 2.14.



2.16



Pendidikan matematika 2 



Definisi 1 ini akan memberikan ilustrasi kepada kita bagaimana mendefinisikan daerah segiempat, segilima, atau segibanyak yang lain dan daerah lingkaran. Definisi 2: Luas daerah yang ditutup oleh suatu kurva tertutup atau segibanyak adalah bilangan yang menyatakan banyaknya satuan persegi yang termuat dalam daerah tersebut. Postulat 1: Jika irisan dua segibanyak adalah suatu garis maka luas daerah yang dibatasi oleh kedua segibanyak itu sama dengan jumlah luas kedua segibanyak tersebut.



Gambar 2.15.



Selanjutnya untuk mempermudah pengucapan atau penyebutan, kita hanya menggunakan istilah luas segitiga dan luas persegipanjang saja berturut-turut untuk luas daerah segitiga dan luas daerah persegipanjang. Postulat 2: Luas persegipanjang sama dengan hasilkali ukuran panjang dan lebarnya.



panjang



lebar



Gambar 2.16.



2.17



 PDGK4206/MODUL 2



Selidikilah bagaimana teorema tentang luas persegi! Contoh



:



Penyelesaian :



Postulat 3:



Carilah luas persegipanjang yang ukuran panjang dan lebarnya berturut-turut 8 m dan 10 m. Jika luas persegipanjang itu L maka L = 8  10 = 80. Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah 80m. Jika dua segitiga adalah kongruen (sama dan sebangun), maka luas kedua segitiga tersebut adalah sama.



Berikut kita akan mempelajari lebih lanjut beberapa teorema atau dalil yang berkenaan dengan luas daerah. Teorema 1: Luas jajargenjang sama dengan hasilkali ukuran alas dan tingginya.



tinggi



alas



Gambar 2.17.



Buktikan! Contoh



: Ukuran alas dan tinggi suatu jajargenjang berturut-turut adalah 10 dm dan 6 dm. Carilah luas jajargenjang tersebut. Penyelesaian : Misalkan luas jajargenjang itu adalah A. Maka, A = 10 dm  6 dm = 60 dm2. Jadi luas jajargenjang tersebut adalah 60 dm2. Teorema 2:



Luas segitiga sama dengan setengah kali hasilkali ukuran alas dan tingginya.



2.18



Pendidikan matematika 2 



tinggi



alas



Gambar 2.18.



Buktikan! Contoh



:



Penyelesaian :



Suatu segitiga mempunyai ukuran alas 18 cm dan tinggi 10 cm. Berapa cm luas segitiga itu? Misalkan luas segitiga itu L maka L = (½)  18 cm  10 cm = 90 cm2. Jadi luas segitiga itu adalah 90 cm2.



Teorema 3: Luas trapesium sama dengan setengah kali hasil kali ukuran tinggi dan jumlah ukuran-ukuran alas dan atasnya (sisi-sisi sejajarnya). sisi atas



tinggi



sisi alas Gambar 2.19.



2.19



 PDGK4206/MODUL 2



Contoh



:



Penyelesaian :



Sisi alas dan atas suatu trapesium ABCD adalah AB dan CD. Jika ukuran AB dan CD berturut-turut adalah 12 m dan 8 m serta tinggi trapesium adalah 10 m maka carilah luas trapesium ABCD. Misalkan luas trapesium ABCD adalah L. Maka L = (1/2)  10 m  (12 + 8) m = 100 m2. Jadi luas trapesium ABCD adalah 100 m2.



Teorema 4:



Jika dua segitiga sisi alasnya kongruen dan garis tingginya kongruen maka luas kedua segitiga tersebut adalah sama.



Teorema 5:



Luas belah ketupat sama dengan setengah kali hasil kali ukuran-ukuran diagonalnya.



Gambar 2.20.



Contoh



: Suatu belahketupat mempunyai panjang diagonal berturutturut 18 cm dan 12 cm. Carilah luas belahketupat tersebut. Penyelesaian : Misalkan luas belahketupat adalah A maka A = (1/2)  18 cm  12 cm = 108 cm2. Jadi luas belahketupat tersebut adalah 108 cm2. Definisi 3: Segibanyak beraturan adalah suatu segibanyak yang mempunyai sisi kongruen dan sudut kongruen.



2.20



Pendidikan matematika 2 



Gambar 2.21.



Segibanyak beraturan dan lingkaran mempunyai hubungan yang erat. Setiap segibanyak beraturan mempunyai suatu lingkaran luar dan suatu lingkaran dalam. Demikian juga pada setiap lingkaran terdapat suatu segi-n beraturan. Dengan demikian setiap segibanyak beraturan mempunyai suatu titik pusat, yaitu titik pusat lingkaran luar atau lingkaran dalam segibanyak tersebut. Definisi 4



:



Ruas garis yang titik ujungnya adalah titik pusat segibanyak beraturan dan titik tengah sebarang sisi suatu segibanyak beraturan disebut apotema segibanyak tersebut. Luas segibanyak beraturan sama dengan setengah kali hasilkali ukuran apotema dan keliling segibanyak tersebut.



Teorema 6 :



Contoh



:



Penyelesaian :



Carilah luas suatu segiempat beraturan yang panjang salah satu sisinya 8 dm. Apotema segiempat beraturan ini adalah 4 dm dan kelilingnya adalah (4  8) dm = 32 dm. Jika luas segiempat beraturan itu L, maka L = (1/2)  4 dm  32 dm = 64 dm2. Jadi luas segiempat beraturan tersebut adalah 64 dm2.



Catatan: Segiempat beraturan adalah suatu persegi. Jadi kita dapat mengecek bahwa luas persegi pada Contoh 6 adalah (8  8) dm = 64 dm. Daerah yang dibatasi oleh lingkaran disebut daerah lingkaran. Ukuran daerah lingkaran inilah yang disebut luas lingkaran. Luas lingkaran yang berjari-jari r adalah   (panjang jari-jari)2 =  x r2.



2.21



 PDGK4206/MODUL 2



Coba Anda perhatikan Gambar 2.22 berikut ini.



Gambar 2.22.



Gambar di atas merupakan lingkaran yang dihitamkan daerah dalamnya. Ukuran daerah yang diarsir inilah yang disebut dengan luas daerah lingkaran. Bila lingkaran di atas berjari-jari 3 cm maka luas lingkaran tersebut adalah   r2 =   (3)2 cm2 = 9  cm2. Untuk luas daerah yang berbentuk tangram, luas tangram merupakan luas persegi bentuk aslinya. Perhatikan Gambar 2.23. Bagaimanapun bangun yang dibentuk tangram maka luas tangram tetap seperti luas persegi pembentuk tangram tersebut. Perhatikan Gambar 2.24 berikut.



Gambar 2.23.



Walaupun bentuknya berubah menjadi seperti pada Gambar 2.24, tetapi tangram tersebut dibangun dari bangun-bangun geometri datar yang ada pada persegi semula. Sehingga luas bangunnya tetap seperti luas persegi awalnya.



2.22



Pendidikan matematika 2 



Gambar 2.24.



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Sawah Wildan berbentuk persegipanjang dengan panjang 50 m dan lebar 30 m. Berapa m luas sawah Wildan tersebut? 2) Carilah luas suatu persegi yang panjang sisinya adalah 10 m! 3) Ukuran alas dan tinggi suatu jajargenjang berturut-turut adalah 20 cm dan 8 cm. Berapa cm luas jajargenjang tersebut? 4) Carilah luas suatu segitiga yang ukuran alasnya 42 cm dan tingginya 17 cm! 5) Luas suatu segitiga adalah 195 m. Jika ukuran tingginya 15 m, berapa meterkah panjang alas segitiga tersebut? 6) Ukuran sisi alas dan atas suatu trapesium berturut-turut adalah 8 dm dan 12 dm, sedangkan tingginya adalah 6dm. Carilah luas trapesium tersebut!



 PDGK4206/MODUL 2



2.23



Petunjuk Jawaban Latihan 1) 2) 3) 4) 5) 6)



1500 m2 100 m2 160 cm2 357 cm2 26 m 60 dm2 R A NG KU M AN Luas daerah A adalah suatu bilangan yang menyatakan berapa banyak satuan standar yang telah ditetapkan tercakup pada daerah A tersebut. Satuan standar dapat berupa satuan segitiga sama sisi, satuan persegi, satuan lingkaran, satuan segilima beraturan, atau satuan segienam beraturan. Satuan standar untuk luas suatu daerah umumnya adalah satuan persegi atau square unit. Luas daerah yang ditutup oleh suatu kurva tertutup atau segibanyak adalah bilangan yang menyatakan banyaknya satuan persegi yang termuat dalam daerah tersebut. Luas persegipanjang sama dengan hasil kali ukuran panjang dan lebarnya. Luas jajargenjang sama dengan hasil kali ukuran alas dan tingginya. Luas segitiga sama dengan setengah kali hasil kali ukuran alas dan tingginya. Luas trapesium sama dengan setengah kali hasil kali ukuran tinggi dan jumlah ukuran-ukuran alasnya (sisi-sisi sejajarnya). Luas belah ketupat sama dengan setengah kali hasil kali ukuran-ukuran diagonalnya. Luas segibanyak beraturan sama dengan setengah kali hasil kali ukuran apotema dan keliling segibanyak tersebut. Luas lingkaran adalah   (panjang jari-jari)2.



2.24



Pendidikan matematika 2 



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Diketahui suatu jajargenjang dengan panjang sisi alas 4 cm dan tingginya 3 cm, seperti gambar berikut ini.



3 cm



4 cm



Luas jajargenjang tersebut adalah .... A. 6 cm2 B. 9 cm2 C. 12 cm D. 7 cm2 2) Yang manakah di antara pernyataan berikut yang benar? A. Diameter lingkaran sama dengan jari-jari lingkaran. B. Dua buah lingkaran yang sama dapat mempunyai luas yang berbeda. C. Keliling bangun gabung yang dibuat dari potongan-potongan tangram selalu berbeda dengan tangram. D. Luas bangun gabung yang dibuat dari potongan-potongan tangram sama dengan luas tangram. 3) Jika suatu tangram dibentuk dari bangun-bangun yang ada pada persegi dengan panjang sisi 10 cm maka luas tangram yang dibentuk .... A. 100 cm2 B. Lebih dari 100 cm2 C. Kurang dari 100 cm2 D. Tidak dapat ditentukan



 PDGK4206/MODUL 2



2.25



4) Perhatikan gambar berikut.



ABCD merupakan suatu persegi. Titik E, F, G, dan H berturut-turut adalah titik tengah dari sisi-sisi AB, BC, CD, dan DA, sehingga EFGH juga merupakan bangun persegi. Titik I, J, K, dan L berturut-turut merupakan titik-titik tengah sisi HE, EF, FG, dan GH. Jika panjang sisi AB adalah 10 cm maka luas persegi IJKL adalah .... A. 100 cm2 B. 75 cm2 C. 50 cm2 D. 25 cm2 5) Perhatikan gambar berikut.



Jika segi banyak beraturan di atas mempunyai panjang sisi 10 cm maka luas bangun tersebut adalah .... A. 100 cm2 B. 125 cm2 C. 150 cm2 D. 175 cm2



2.26



Pendidikan matematika 2 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



2.27



 PDGK4206/MODUL 2



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) B. 60 = 2a + 2b. 2) A. (2 + 3 + 4) cm. 3) C. K = 2  r. 4) D. K =  d. 22 75,36 = .d 7 5) C. K = 2  r. 6) D. Baca definisi lingkaran. 7) B. Pelajari lagi rumus lingkaran. Tes Formatif 2 1) C. Luas alas  tinggi. 2) D. Lihat luas tangram. 3) A. Lihat luas tangram. 4) D. Lihat luas tangram. 1 5) C. L=  hasil kali ukuran apotema dan keliling segi banyak tersebut. 2



2.28



Pendidikan matematika 2 



Daftar Pustaka Gerver, Robert; Sgroi, Richard; Hansen, Mary; Lynch, Chicha; dan Molina, David. (1998). Geometry: An Integrated Approach. Cincinnati, Ohio: South-Western Publishing Company. Kalin, Robert dan Corbitt, Mary Kay. (1990). Geometry. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. Kennedy, Leonard M. (1984). Guiding Children’s Learning of Mathematics. Fourth Edition. Belmont, California: Wadsworth Publishing Company. Kennedy, Leonard M. dan Tipps, Steve. (1991). Guiding Children’s Learning of Mathematics. Sixth Edition. Belmont, California: Wadsworth Publishing Company. Lewis, Harry. (1968). Geometry: A Contemporary Course. Second Edition. Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand Company, Inc. Musser, Gary L. dan Burger, William F. (1991). Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach. Second Edition. New York, New York: Macmillan Publishing Company. Van de Walle, John A. (1994). Elementary School Mathematics: Teaching Developmentally. Second Edition. White Plains, New York: Longman Publishing Group. Wheeler, Ruric E. (1992). Modern Mathematics. Eighth Edition. Belmont, California: Brooks/Cole Publishing Company.



Modul 3



Bangun Ruang Rustanto Rahadi



PEN D A HU L UA N



M



odul 3 mata kuliah Pendidikan Matematika 2 terbagi menjadi 2 (dua) kegiatan belajar. Bahan yang di pelajari pada Kegiatan Belajar 1 adalah mengenai Bidang Banyak dan Bangun Ruang, sedangkan dalam Kegiatan Belajar 2 bahan yang dipelajari adalah Jaring-jaring Bangun Ruang. Pembahasan materi dalam modul ini lebih menitikberatkan pada segi praktis daripada segi teoretis sehingga contoh-contoh yang disajikan cukup banyak. Penguasaan terhadap materi dalam modul ini akan sangat menunjang untuk mencari luas permukaan bangun ruang. Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat mengajarkan tentang bangun ruang kepada siswa sesuai dengan kurikulum SD. Secara khusus setelah, mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: 1. menjelaskan bidang banyak dan bangun ruang; 2. menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal tentang bidang banyak dan bangun ruang; 3. merancang pembelajaran bidang banyak dan bangun ruang sesuai dengan kurikulum SD; 4. mengajarkan bidang banyak dan bangun ruang kepada siswa SD dengan menggunakan metode dan media yang sesuai; 5. mengevaluasi hasil belajar siswa tentang bidang banyak dan bangun ruang; 6. menjelaskan jaring-jaring bangun ruang; 7. menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal tentang jaring-jaring bangun ruang; 8. merancang pembelajaran jaring-jaring bangun ruang sesuai dengan kurikulum SD; 9. mengajarkan jaring-jaring bangun ruang kepada siswa SD dengan menggunakan metode media yang sesuai; 10. mengevaluasi hasil belajar siswa tentang jaring-jaring bangun ruang.



3.2



1.



2.



3. 4. 5. 6. 7.



Pendidikan matematika 2 



Petunjuk Belajar! Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan modul ini sehingga Anda dapat memahami betul untuk apa dan bagaimana cara mempelajari modul ini. Pelajarilah kembali modul sebelum modul ini yang membahas tentang konsep bangun ruang, nama dan unsur-unsur bangun ruang, serta pelajari juga tentang luas pada daerah bidang datar, dan konsep tentang ukuran karena hal-hal tersebut merupakan prasyarat dalam mempelajari modul ini. Pelajarilah dengan saksama definisi dan contoh dalam modul ini. Jika ada bagian yang belum jelas, tanyakanlah kepada teman atau tutor Anda. Kerjakanlah sendiri soal-soal latihan, kemudian diskusikanlah dengan teman atau tutor Anda. Pelajarilah kembali uraian dan latihan dalam modul ini. Kerjakanlah sendiri soal-soal tes formatif, kemudian diskusikanlah dengan teman atau tutor Anda. Kegiatan Belajar 1 merupakan prasyarat untuk mempelajari Kegiatan Belajar 2. Oleh karena itu, apabila Anda belum benar-benar menguasai Kegiatan Belajar 1 jangan melanjutkan Kegiatan Belajar 2.



 PDGK4206/MODUL 3



3.3



Kegiatan Belajar 1



Bidang Banyak dan Bangun Ruang



S



ebagai pengingat materi yang telah Anda pelajari pada modul-modul sebelumnya, bahwa segi n dibatasi oleh n garis pembatas yang disebut dengan sisi. Persegi atau bujursangkar dibatasi oleh empat sisi yang sama panjangnya, sedangkan persegipanjang dibatasi oleh empat sisi dengan dua sisi yang sejajar panjangnya sama berbeda dengan panjang sisi yang tidak sejajar. Sekarang pada Kegiatan Belajar 1 ini, kita akan belajar konsep bidang banyak dan jenisnya, kemudian dilanjutkan dengan bangun ruang. Coba perhatikan benda di sekitar kita, sebagai contoh yang mudah kita jumpai adalah papan tulis dan dinding tembok yang mempunyai permukaan rata. Benda-benda ini menimbulkan gagasan tentang suatu bangun geometris yang disebut bidang datar. Anggap kelas kita yang dibatasi oleh dindingdinding tembok sebagai ruang. Sekarang Anda bayangkan ada garis AB dalam ruang dan sebarang titik C di luar garis tadi. Ambil sebarang titik D pada garis AB. Nah sekarang Anda dapat membayangkan, ada berapa garis yang terjadi yang ditimbulkan oleh titik C dan D tadi? Hanya satu bukan. Dapat dikatakan bahwa setiap titik pada garis AB bersama titik C menentukan satu garis. Selanjutnya dapat Anda bayangkan bahwa semua garis tersebut terletak pada satu permukaan yang rata. Permukaan yang rata tersebut disebut bidang datar. Sebut bidang datar itu adalah bidang datar yang ditentukan oleh garis AB dan titik C. Pada bidang tersebut apakah ada garis yang melalui C yang tidak memotong AB dan bagaimana posisi garis tersebut dengan garis AB? Jawabnya ada dan garis tersebut sejajar dengan garis AB. Untuk lebih Gambar 3.1. jelasnya perhatikan Garis melalui titik C di luar garis AB yang Gambar 3.1 berikut memotong dan yang sejajar AB ini.



3.4



Pendidikan matematika 2 



Setelah membayangkan garis-garis dan bidang-bidang datar yang terdapat dalam ruangan, dapat disepakati sebagai berikut. Jika diketahui suatu garis dan suatu titik di luar garis itu, tentu ada tepat satu bidang datar yang memuat garis dan titik itu.



Karena dua titik yang berlainan menentukan tepat satu garis maka pernyataan di atas dapat dikatakan secara lain sebagai berikut. Jika diketahui tiga titik yang tidak segaris, tentu ada tepat satu bidang datar yang ditentukan oleh ketiga titik tadi.



Contoh benarnya sifat tersebut ialah meja berkaki tiga. Meja demikian, tidak pernah goyang di atas lantai, sebab berdiri di atas tiga titik. Kita telah bersepakat bahwa dua garis yang berlainan dalam ruang berpotongan di satu titik atau tidak berpotongan sama sekali. Jika dua garis terletak di dalam satu bidang dan tidak potong memotong, kedua garis tersebut disebut sejajar. Sekarang bayangkanlah sebarang bidang datar dan sebarang titik T di luar bidang datar itu. Andaikanlah S adalah sebarang titik pada bidang tadi. Tentu ada tepat satu garis TS yang ditentukan oleh T dan S. Demikian juga, untuk setiap titik lain pada bidang bersama titik T menentukan satu garis. Terdapat juga garis-garis melalui T yang tidak memotong bidang tadi. Himpunan semua titik pada semua garis itu ada di dalam ruang. Terbayangkan oleh kita, bahwa ruang terisi penuh dengan titik-titik karena ada garis yang memotong bidang tadi dan ada juga garis yang tidak memotongnya maka kita bersepakat sebagai berikut. Jika diketahui suatu garis dan suatu bidang dalam ruang maka salah satu dari pernyataan-pernyataan di bawah ini tentu benar (lihat Gambar 3.2). 1. Garis tadi terletak dalam bidang tersebut. 2. Garis tadi memotong bidang tersebut di satu titik. 3. Garis tadi sejajar dengan bidang tersebut (artinya garis dan bidang tadi tak mempunyai titik persekutuan satu pun).



 PDGK4206/MODUL 3



3.5



Gambar 3.2. Garis pada bidang, garis memotong bidang di satu titik, dan garis sejajar dengan bidang



Jika Anda bayangkan dua bidang dalam ruang, dapat disepakati sebagai berikut. Jika diketahui sebarang dua bidang yang berlainan maka salah satu dari pernyataan berikut ini pasti benar (lihat Gambar 3.3). 1. Irisan kedua bidang itu adalah sebuah garis. 2. Irisannya kosong (artinya kedua bidang sejajar).



Gambar 3.3. Dua bidang berpotongan dan sejajar



3.6



Pendidikan matematika 2 



Sedangkan apabila dua bidang tersebut berimpit maka kita anggap kedua bidang tersebut sama. Perhatikan bahwa bidang yang kita gambarkan dibatasi oleh garis-garis. Garis-garis pembatas bidang ini kita namakan sebagai sisi bidang. Marilah kita perhatikan benda-benda di sekitar kita. Sebagai contoh kotak korek api, dadu, dan batu bata. Benda-benda itu adalah contoh-contoh bangun ruang. Jika Anda perhatikan lebih lanjut, pada batu bata itu terdapat 6 permukaan yang tepinya berbentuk persegi panjang. Masing-masing permukaan itu disebut sisi batu bata, seandainya permukaan batu bata itu rata dan halus dan kita gambar pada sehelai kertas maka kita akan memperoleh gambar suatu bangun ruang, seperti Gambar 3.4. Sisi-sisi depan, atas, dan samping kiri bangun ruang



terlihat pada Gambar 3.4. Perhatikan bahwa bangun ruang dibatasi oleh sisi yang berbentuk bidang, bukan garis, beda dengan bidang yang sisinya berupa



garis. Bangun ruang tertutup yang sisinya datar dan berbentuk segi banyak disebut bidang banyak. Coba sekarang perhatikan bangun ruang (berbentuk kotak) tertutup yang setiap sisinya berbentuk persegi panjang, seperti terlihat pada Gambar 3.5.



Gambar 3.5. Bagian-bagian dari Kotak



3.7



 PDGK4206/MODUL 3



Titik-titik A, B, C, dan D semuanya terletak pada satu bidang, dan titiktitik itu merupakan titik sudut dari suatu persegi panjang, tetapi titik-titik A, B, C, dan H tidaklah terletak pada satu bidang. Garis EG yang ditentukan oleh titik-titik E dan G, sejajar dengan bidang yang melalui A, B, C, dan D. Garis HB memotong bidang yang melalui titik-titik A, B, C, dan D di titik B. Bidang yang melalui titik-titik A, D, H, dan E sejajar dengan bidang yang melalui titik-titik B, C, G, dan F. Bidang yang melalui titik-titik A, B, F, dan E memotong bidang yang melalui titik-titik B, C, G, dan F di garis BF. Pada Gambar 3.5 di atas, terdapat enam persegi panjang yakni pada alas, atas, muka, belakang, samping kiri dan samping kanan. Masing-masing daerah persegi panjang itu disebut sisi kotak. Himpunan semua titik pada semua sisi kotak itu disebut prisma siku-siku. Perpotongan dua sisi disebut rusuk, perpotongan dua rusuk atau lebih disebut titik sudut. Ada bermacam-macam bangun ruang yang sisi-sisinya mempunyai bermacam-macam bentuk. Banyak bangun ruang yang semua sisi-sisinya berbentuk daerah persegi panjang. Bangun ruang demikian, disebut prisma siku-siku. Contoh prisma siku-siku ialah kotak pasta gigi, kotak kapur tulis, kotak korek api, dan lain-lain. Prisma siku-siku boleh disebut kotak. Misalnya, kotak yang mempunyai enam sisi berbentuk persegi panjang. Sisisisinya itu sepasang-sepasang bertemu pada ruas garis-ruas garis yang disebut rusuk. Dengan membilang didapatkan dua belas rusuk. Berapa rusuk bertemu pada satu titik yang disebut titik sudut? Ada delapan titik sudut pada kotak. Berapa sudut siku-siku terdapat pada suatu kotak? Suatu prisma siku-siku yang semua sisinya dibatasi oleh bujursangkar disebut kubus, sedangkan prisma siku-siku yang sisi-sisi sejajarnya berbentuk persegipanjang disebut balok.



Sebagai contoh bentuk dadu adalah kubus sedangkan korek api adalah balok. Berikut adalah contoh lain bangun ruang-bangun ruang.



Prisma segitiga



Limas segiempat Gambar 3.6. Bangun Ruang Prisma dan Limas



Limas segitiga



3.8



Pendidikan matematika 2 



Perhatikanlah bahwa pada prisma terdapat dua sisi yang sama dan sebangun, yang terletak pada dua bidang yang sejajar, sisi-sisi lainnya berupa daerah persegipanjang. Sedangkan limas, rusuk-rusuk tegaknya bertemu di satu titik, alasnya berupa segi tiga atau empat atau n. Pada prisma dan limas, jika dua sisi berpotongan, tentu perpotongannya merupakan rusuk jika tiga sisi atau lebih berpotongan maka perpotongannya adalah titik. Tabung mempunyai dua sisi bundar (daerah lingkaran) pada dua bidang yang sejajar, sedangkan sisi lainnya bukan bidang datar tetapi berupa bidang lengkung atau sisi lengkung. Kerucut mempunyai satu sisi bundar, sisi bagian lainnya bukan bidang datar tetapi sisi lengkung. Bola tidak terdapat bagian sisi yang berupa bidang datar, yaitu berupa sisi lengkung. Bangunbangun ini termasuk bangun ruang tetapi bukan merupakan bidang banyak.



Gambar 3.7. Tabung, Kerucut, dan Bola



Tidak setiap bangun ruang/benda mempunyai sisi-sisi yang datar. Contohnya, sebutir telur. Jika Anda lubangi ujung-ujung telur, lalu isinya kita buang maka tinggallah kulitnya saja. Kulit itu adalah contoh suatu bangun ruang yang permukaannya tidak datar. Contoh lainnya ialah balon karet. Permukaannya (kulitnya) ialah bangun ruang yang disebut bola. Contoh bola yang baik ialah gelembung sabun. Telur bukan bola, sebab bulatnya tidak sempurna. Anda dapat menyelidiki apakah suatu bangun ruang bulat sempurna atau tidak, dengan menggelindingkannya di atas permukaan yang datar. Jika bulat sempurna, tentu berguling sepanjang garis lurus. Sekarang perhatikan gambar-gambar pada tabel di bawah ini. Sebutkan nama bangunnya dan lengkapi dengan mengisi kolom di sebelah kanan.



3.9



 PDGK4206/MODUL 3



Gambar



Nama Bangun



Banyak sisi Datar



Segitiga



Segiempat



Banyak Lingkaran



Rusuk Titik sudut



3.10



Pendidikan matematika 2 



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Apakah pernyataan berikut tepat? Jelaskan! Jika diketahui suatu garis dan suatu titik di luar garis itu, tentu ada banyak garis melalui titik itu, yang sejajar dengan garis tadi. 2) Apakah gambar berikut merupakan bidang banyak? Jelaskan!



3) Isilah daftar berikut ini.



 PDGK4206/MODUL 3



3.11



4) a)



Carilah untuk setiap bangun ruang di atas (Nomor 3), hubungan antara banyaknya rusuk dan jumlah banyaknya sisi dan titik sudut. b) Apakah hubungan itu juga berlaku untuk bangun ruang berikut ini?



5) Berikan contoh tiga benda di sekitar Anda dan sebutkan jenis bangun ruang yang sesuai, di mana: a) sisinya datar; b) sisinya melengkung.



3.12



Pendidikan matematika 2 



Petunjuk Jawaban Latihan 1) Salah karena dua bidang atau lebih dikatakan sejajar jika terletak pada satu bidang. 2) Tidak karena tidak tertutup. 3) Untuk prisma siku-siku banyaknya sisi 6, banyaknya rusuk 12, dan banyaknya titik sudut 24. 4) a) Untuk prisma segitiga, banyaknya sisi (3 + 2), banyaknya rusuk (3  3), banyaknya titik sudut (3  2). Untuk prisma segiempat, banyaknya sisi (4 + 2), banyaknya rusuk (4  3), banyaknya titik sudut (4  2). Untuk prisma segilima, banyaknya sisi (5 + 2), banyaknya rusuk (5  3), banyaknya titik sudut (5  2). b) Untuk limas segitiga banyaknya sisi (3 + 1), banyaknya rusuk (3  2), dan banyaknya titik sudut (3 + 1). Untuk limas segiempat banyaknya sisi (4 + 1), banyaknya rusuk (4  2), dan banyaknya titik sudut (4 + 1). 5) Contoh bangun ruang. a) Sisinya datar: Piramida berupa limas, ruang kelas berupa balok, kardus komputer berupa balok. b) Sisinya melengkung: potongan pipa berupa tabung, kaleng berupa tabung, corong air berupa kerucut. R A NG KU M AN Pada bidang banyak semua sisi-sisinya berupa bidang datar, sedangkan pada bangun ruang sisi-sisinya dapat berupa bidang datar atau bidang lengkung. Bangun ruang yang mempunyai sisi berupa bidang lengkung di antaranya adalah bola, silinder, kerucut. Prisma segi n, banyaknya sisi adalah (n + 2), banyaknya rusuk adalah (n  3), dan banyaknya titik sudut adalah (n  2). Limas segi n, banyaknya sisi adalah (n + 1), banyaknya rusuk adalah (n  2), dan banyaknya titik sudut adalah (n + 1).



 PDGK4206/MODUL 3



3.13



TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Pernyataan berikut yang paling tepat adalah …. A. jika diketahui suatu garis dan dua titik di luar garis itu, tentu ada tepat dua bidang datar yang memuat garis dan dua titik itu B. jika diketahui suatu garis dan suatu titik di luar garis itu, tentu ada tepat satu garis melalui titik itu, yang sejajar dengan garis tadi C. jika diketahui tiga titik yang tidak segaris, tentu ada tepat tiga bidang datar yang ditentukan oleh ketiga titik tadi D. jika diketahui suatu garis dan suatu titik di luar garis itu, tentu ada tepat satu garis melalui titik itu, yang tidak sejajar dengan garis tadi 2) Jika diketahui sebarang dua bidang yang berlainan maka irisannya …. A. berupa bidang B. kosong C. berupa garis D. berupa garis atau kosong Untuk soal Nomor 3 sampai 9 perhatikan gambar kerangka rumah berikut ini.



3) Banyaknya sisi gambar di atas adalah …. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4) Banyaknya rusuk gambar di atas adalah …. A. 8 B. 10



3.14



Pendidikan matematika 2 



C. 12 D. 15 5) Banyaknya titik sudut di atas adalah …. A. 8 B. 10 C. 30 D. 32 6) Yang benar dari pernyataan berikut adalah …. A. jika S merupakan titik tengah AB maka GS memotong bidang ABFE B. AB dan DH terletak dalam satu bidang C. AB dan GH berpotongan D. bidang DCGH dan ADHE berpotongan pada garis AB 7) Ada berapa pasang bidang yang sejajar dari gambar di atas …. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8) Garis-garis yang dapat dibuat sebidang adalah …. A. garis AB dan CG B. garis CG dan AD C. garis AB dan HG D. garis HJ dan BF 9) Dua bidang yang sejajar dari gambar di atas adalah bidang ….. A. ABGKFD dengan bidang DCHJE B. ABCD dengan bidang GHJK C. BCHG dengan bidang HDEF D. ABF dengan bidang CDH 10) Berikut yang bukan merupakan bidang banyak adalah …. A. kerucut B. kubus C. balok D. prisma



3.15



 PDGK4206/MODUL 3



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



3.16



Pendidikan matematika 2 



Kegiatan Belajar 2



Jaring-jaring Bangun Ruang



S



etelah kita mempelajari beberapa bentuk dari bangun ruang, maka dalam Kegiatan Belajar 2 ini akan diawali dengan cara menggambar bangun ruang seperti limas segitiga, dan silinder. Selanjutnya diberikan cara menggambarkan beberapa jaring-jaring bangun ruang. Oleh karena itu, Anda harus tahu dan dapat menggambar dari bangun ruang yang akan digambarkan jaring-jaringnya. Perhatikan bahwa apabila Anda nanti mengajarkan ke siswa SD, Anda perlu menyiapkan model bangun ruang yang terbuat dari karton atau bahan yang mudah di dapat sehingga bentuk model bangun ruang apabila dibuka dapat membentuk jaring-jaring. Model ini penting guna menguatkan daya tangkap siswa dalam hal bangun ruang dan jaring-jaringnya. Apabila kita mempunyai suatu bangun ruang, baik yang berbentuk silinder, limas, kerucut, kubus, dan prisma, kita dapat membuat jaring-jaring bangun ruang tersebut. Untuk dapat menggambarkan jaring-jaring bangun ruang, kita harus tahu dulu gambar dari bangun ruang tersebut. Berikut ini diberikan cara untuk menggambar beberapa bangun ruang. A. MENGGAMBAR BANGUN RUANG 1.



Silinder Sebagaimana pada Kegiatan Belajar 1, silinder atau tabung mempunyai dua sisi bundar (daerah lingkaran) pada dua bidang yang sejajar, sedangkan sisi lainnya bukan bidang datar tetapi berupa bidang lengkung atau sisi lengkung. Adapun langkah-langkah menggambar silinder adalah sebagaimana berikut ini. 1. Buatlah garis sejajar dan sama tinggi sesuai dengan ukuran yang telah ditentukan. 2. Gambar elips pada alas dan tutup. 3. Gambarlah dengan garis putus-putus pada tepi elips alas bagian dalam.



3.17



 PDGK4206/MODUL 3



Gambar 3.8. Dua garis sejajar dihubungkan dengan dua lingkaran menjadi silinder



2.



Limas Segitiga Perhatikanlah bahwa pada limas segitiga, rusuk-rusuk tegaknya bertemu di satu titik, sedangkan sisi-sisi tegak dan alasnya berupa segi tiga. Adapun langkah-langkah menggambar limas segitiga adalah sebagaimana berikut ini. 1. Gambarlah segitiga sebagai sisi tegak bagian depan. 2. Tentukan titik di bagian dalam dan bawah dari segitiga itu. 3. Tarik garis putus-putus dari titik tadi dengan sudut-sudut segitiga.



Gambar 3.9. Limas Segitiga



3.



Kerucut Kerucut mempunyai satu sisi bundar, sisi bagian lainnya bukan bidang datar tetapi sisi lengkung. Adapun langkah-langkah menggambar kerucut adalah sebagai berikut. 1. Gambarlah garis putus-putus mendatar. 2. Gambarlah elips dengan garis itu sebagai garis tengah dan bagian belakang tepi elips dengan garis putus-putus. 3. Gambarlah garis putus-putus sebagai garis tinggi pada titik tengah garis tersebut.



3.18



4.



Pendidikan matematika 2 



Hubungkanlah titik atas garis tinggi itu dengan ujung kiri dan kanan elips.



Gambar 3.10. Kerucut



B. JARING-JARING BANGUN RUANG Setelah kita tahu cara menggambar bangun ruang, kita akan bahas bagaimana cara membuat jaring-jaring bangun ruang. Cara untuk membuat jaring-jaring dari bangun ruang tersebut adalah sebagai berikut. 1. Irislah pada setiap sambungan bidang tersebut tetapi jangan sampai putus. 2. Rentangkanlah bidang tadi sehingga membentuk rangkaian bidang. Berdasarkan cara membuat jaring-jaring bangun ruang di atas, kita bisa memberi apa arti yang dimaksud dengan jaring-jaring bangun ruang. Jaring-jaring bangun ruang adalah rangkaian bidang datar dan apabila digabungkan akan membentuk bangun ruang.



Untuk memperjelas pengertian di atas, akan diberikan beberapa contoh suatu bangun ruang dan jaring-jaringnya.



3.19



 PDGK4206/MODUL 3



Bangun silinder



Jaring-jaring bangun silinder



Gambar 3.11. Silinder dan jaring-jaringnya



Bangun limas segi empat



Jaring-jaring limas segi empat



Gambar 3.12. Limas segi empat dan jaring-jaringnya



Jaring-jaring bangun ruang



Gambar 3.13. Kerucut dan jaring-jaringnya



3.20



Pendidikan matematika 2 



Bangun kubus



Jaring-jaring bangun kubus Gambar 3.14. Kubus dan jaring-jaringnya



Bangun prisma segitiga



Jaring-jaring bangun prisma segitiga



Gambar 3.15. Prisma segitiga dan jaring-jaringnya



Tidak semua rangkaian bidang merupakan jaring-jaring bangun ruang, seperti beberapa rangkaian bidang berikut ini.



3.21



 PDGK4206/MODUL 3



Gambar 3.16. Beberapa rangkaian bidang



Dari empat gambar di atas hanya Gambar d yang merupakan jaring-jaring prisma segitiga, perhatikan prisma segitiga pada Gambar 3.17 di bawah ini.



Gambar 3.17. Prisma segitiga



Perhatikan pula empat rangkaian beberapa bidang berikut ini.



3.22



Pendidikan matematika 2 



Gambar 3.18. Beberapa rangkaian bidang



Dari empat rangkaian beberapa bidang pada Gambar 3.18 di atas, gambar a dan b merupakan jaring-jaring kubus, dan gambar c dan d bukan merupakan jaring-jaring kubus. C. MEDIA UNTUK MENGAJARKAN JARING-JARING BANGUN RUANG Supaya topik jaring-jaring bangun ruang ini mudah diterima oleh siswa, alangkah baiknya apabila dalam menyampaikan materi jaring-jaring bangun ruang menggunakan alat peraga, sedangkan alat peraga untuk mengerjakan jaring-jaring bangun ruang adalah benda yang berbentuk bangun ruang. Bangun ruang yang akan digunakan sebagai alat peraga dapat dibuat sendiri. Bahan yang dibutuhkan untuk membuat bangun ruang adalah sebagai berikut. 1. Kertas/karton. 2. Lem, benang. 3. Gunting, pensil, dan penggaris.



1. 2. 3. 4. 5.



Contoh membuat alat peraga bangun ruang, yang berbentuk silinder. Gambarlah 2 lingkaran pada karton. Misalnya, jari-jarinya 10 cm. Guntinglah lingkaran tersebut, berilah sedikit sisa di luar garis luar kirakira 1 cm. Buatlah persegi panjang dengan lebar = keliling lingkaran, (gunakan benang untuk mengukur keliling lingkaran) dan berilah sedikit sisa 1 cm. Gulunglah persegi panjang tersebut sehingga menjadi selimut tabung. Letakkanlah lingkaran pada alas dan tutup tabung.



3.23



 PDGK4206/MODUL 3



Gambar 3.19. Sisi-sisi silinder dan silinder



Untuk bangun ruang yang lain, dapat dibuat sendiri. Dengan bantuan alat peraga berupa bangun ruang tersebut. Kita dapat menyampaikan materi jaring-jaring bangun ruang dengan cara sebagai berikut. Ambil salah satu bangun ruang yang telah tersedia, misalkan bangun ruang kubus. Tunjukkan pada siswa bahwa bangun ruang yang terambil itu adalah kubus, jelaskan juga bahwa untuk membuat kubus diperlukan 6 buah persegi. Untuk menjelaskan jaring-jaring kubus tersebut, lakukan langkahlangkah sebagai berikut. 1. Irislah pada setiap sambungan kubus tersebut tetapi jangan sampai putus. 2. Rentangkanlah bidang tadi sehingga membentuk rangkaian bidang. Misalkan, dari langkah di atas diperoleh jaring-jaring kubus sebagai berikut.



Gambar 3.20. Jaring-jaring Kubus



3.24



Pendidikan matematika 2 



Ulangi langkah di atas, tetapi untuk bagian sambungan yang lain, misalkan diperoleh jaring-jaring kubus sebagai berikut.



Gambar 3.21. Jaring-jaring Kubus



Kemudian, jelaskan pada siswa bahwa jaring-jaring bangun kubus tidak hanya satu. Ulangi kegiatan ini untuk bangun yang lain, misalkan bangun limas segi empat. Tunjukkan pada siswa bangun limas segi empat tersebut, dan tunjukkan juga bahwa bangun limas segi empat terbuat dari empat buah segitiga, dan sebuah persegi panjang. Untuk menjelaskan jaring-jaring bangun limas segi empat tersebut lakukan langkah-langkah, seperti di atas. Misalkan, dari langkah tersebut diperoleh jaring-jaring limas segi empat sebagai berikut.



Gambar 2.22. Jaring-jaring Limas Segi empat



 PDGK4206/MODUL 3



3.25



Kemudian, tanyakan pada siswa apakah mungkin diperoleh bentuk jaring-jaring limas segi empat yang berbeda dari jaring-jaring di atas. Untuk bangun ruang yang lain, dapat dicoba lagi. Selain memperagakan bagaimana cara memperoleh jaring-jaring bangun ruang dari suatu bangun ruang, alangkah baiknya apabila juga diperagakan cara memperoleh jaring-jaring bangun ruang dari suatu rangkaian bidang. Apabila dari rangkaian bidang tersebut dapat dibentuk suatu bangun ruang maka rangkaian bidang tersebut adalah jaring-jaring bangun ruang, tetapi apabila rangkaian bidang tersebut tidak dapat dibentuk suatu bangun ruang maka rangkaian bidang tersebut bukan jaring-jaring bangun ruang. Langkah memperagakannya adalah sebagai berikut: Ambillah rangkaian bidang yang telah dipersiapkan, misalkan rangkaian bidang yang terdiri dari dua lingkaran dan satu persegi panjang, seperti berikut ini.



Gambar 2.23. Rangkaian bidang lingkaran dan persegi panjang



Kemudian, bentuklah rangkaian bidang itu menjadi suatu silinder. Rangkaian bidang yang dapat dibentuk menjadi bangun silinder maka rangkaian bidang tersebut adalah jaring-jaring silinder. Ulangi kegiatan di atas untuk rangkaian bidang yang lain, misalkan rangkaian bidang yang terdiri dari dua segitiga dan tiga persegi panjang, seperti berikut ini.



3.26



Pendidikan matematika 2 



Gambar 3.24. Rangkaian tiga bidang persegi panjang dan dua segitiga



Dari rangkaian bidang ini, kita tidak dapat membentuk suatu bangun prisma segitiga maka rangkaian bidang ini bukan jaring-jaring prisma segitiga. Kegiatan ini bisa dicoba lagi untuk rangkaian bidang yang lain. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!



1) Gambar berikut, merupakan jaring-jaring bangun apa?



 PDGK4206/MODUL 3



3.27



2) Gambarkan salah satu jaring-jaring dari bangun balok berikut ini.



3) Alas dari bangun yang mempunyai jaring-jaring, seperti berikut ini berbentuk ....



4) Perhatikan gambar jaring-jaring bangun ruang ini.



Bidang ABCD adalah .... silinder. 5) Alas dari bangun ruang yang mempunyai jaring-jaring, seperti gambar berikut ini berbentuk ….



3.28



Pendidikan matematika 2 



6) Dari empat gambar berikut, mana yang termasuk jaring-jaring kubus?



7) Bangun ruang yang mempunyai jaring-jaring, seperti berikut adalah ….



 PDGK4206/MODUL 3



3.29



Petunjuk Jawaban Latihan 1) Jaring-jaring limas segitiga karena rangkaian bidang tersebut dapat membentuk bangun limas segitiga. 2)



Jawaban soal ini hanya diberikan satu jaring-jaring saja untuk gambar jaring-jaring yang lain diserahkan pada Anda untuk mencarinya lagi. Segitiga karena gambar tersebut adalah jaring-jaring bangun limas segitiga. Selimut silinder. Persegi karena gambar tersebut adalah jaring-jaring bangun kubus. Hanya gambar 3 yang merupakan jaring-jaring kubus. Bangun balok.



3) 4) 5) 6) 7)



R A NG KU M AN 1.



Jaring-jaring bangun ruang adalah rangkaian bidang yang dapat membentuk suatu bangun ruang. 2. Tidak semua rangkaian bidang membentuk jaring-jaring suatu bangun ruang. 3. Untuk menentukan jaring-jaring dari suatu bangun ruang adalah berikut ini. a. Mengiris tiap sambungan bidang pada bangun ruang tersebut, tetapi tidak sampai lepas. b. Merentangkan bidang tadi sehingga membentuk rangkaian bidang.



3.30



4.



5.



Pendidikan matematika 2 



Rangkaian bidang disebut jaring-jaring dari suatu bangun ruang apabila dari rangkaian bidang tersebut dapat membentuk suatu bangun ruang. Rangkaian bidang bukan merupakan jaring-jaring dari suatu bangun ruang apabila dari rangkaian bidang tersebut tidak dapat dibuat bangun ruang. TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!



1)



Gambar di atas adalah jaring-jaring …. A. silinder B. limas C. kerucut D. kubus 2)



 PDGK4206/MODUL 3



3.31



Gambar di atas adalah jaring-jaring …. A. kubus B. kerucut C. limas D. bola 3) Jika membuat silinder maka yang perlu dipersiapkan adalah …. A. kertas berbentuk lingkaran dan persegi panjang B. kertas lingkaran dan segitiga C. kertas berbentuk lingkaran dan trapesium D. kertas berbentuk lingkaran dan jajaran genjang 4) Jika membuat limas segitiga maka yang perlu dipersiapkan adalah …. A. empat buah kertas berbentuk persegi panjang B. satu buah kertas berbentuk segitiga dan tiga buah kertas berbentuk persegi panjang C. tiga buah kertas berbentuk segitiga dan satu buah kertas berbentuk persegi panjang D. empat buah kertas berbentuk segitiga 5) Gambar di samping adalah jaring-jaring …. A. silinder B. kerucut C. limas D. bola



6) Gambar di samping adalah jaring-jaring .... A. silinder B. limas C. kerucut D. prisma



7) Jaring-jaring kubus terdiri dari …. A. 4 bujur sangkar B. 5 bujur sangkar



3.32



Pendidikan matematika 2 



C. 6 bujur sangkar D. 8 bujur sangkar 8) Gambar berikut yang merupakan jaring-jaring kubus adalah ….



A. B. C. D.



Gambar 1 dan Gambar 2 Gambar 2 dan Gambar 3 Gambar 3 dan Gambar 4 Gambar 1 dan Gambar 4



9) Di antara bangun-bangun berikut, yang merupakan jaring-jaring suatu kubus adalah …. A. B.



3.33



 PDGK4206/MODUL 3



C.



D.



10) Semua gambar berikut, merupakan jaring-jaring kubus, kecuali …. A.



C.



B.



D.



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



3.34



Pendidikan matematika 2 



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



 PDGK4206/MODUL 3



3.35



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) B. Sebab dua titik menentukan tepat satu garis. 2) C. Bidang merupakan luasan yang rata, jadi dua bidang jika berpotongan maka potongannya akan berupa garis. 3) B. Mudah dilihat. 4) D. Mudah dihitung dari gambar dan perhatikan bahwa EF dan GH bukan merupakan rusuk. 5) B. Mudah dihitung dari gambar. 6) A. Perhatikan gambarnya. 7) B. Mudah dilihat dari gambar. 8) C. Mudah dilihat dari gambar. 9) B. Bidang tersebut merupakan prisma. 10) A. Bidang lengkung bagian dari sisi silinder. Tes Formatif 2 1) A. Rangkaian bidang tersebut membentuk silinder. 2) C. Rangkaian bidang tersebut membentuk limas. 3) A. Silinder terbuat dari satu persegi panjang dan dua lingkaran. 4) D. Limas segitiga terbuat dari empat buah segitiga. 5) B. Rangkaian bidang tersebut akan membentuk suatu kerucut. 6) D. Prisma segitiga. 7) C. Kubus terbuat dari 6 buah persegi. 8) B. Hanya Gambar 2 dan Gambar 3 yang membentuk bangun kubus. 9) C. Hanya rangkaian bidang ini saja yang membentuk bangun kubus. 10) C. Semua rangkaian bidang membentuk bangun kubus, kecuali rangkaian ini.



3.36



Pendidikan matematika 2 



Daftar Pustaka Burger, William F. dan Musser, Gary L. (1991). Mathematics for Elementary Teachers. Ontario: Macmillan. Wagiman, dkk. (1996). Matematika Mahir Berhitung 5B. Surabaya: Trijaya Pustakarya.



Modul 4



Volume Bangun Ruang Toto Nusantara I Made Sulandra



PEN D A HU L UA N



P



ada modul sebelumnya Anda telah mempelajari konsep tentang bangun ruang, macam-macam bangun ruang, seperti kubus, balok, prisma, kerucut, silinder, dan bola. Pada modul ini akan dibahas materi tentang volume dari bangun-bangun ruang yang banyak telah disebutkan di atas. Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat memiliki kemampuan: 1. menjelaskan tentang volume bangun ruang; 2. menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal tentang bangun ruang; 3. merancang pembelajaran tentang volume bangun ruang sesuai kurikulum SD; 4. mengajarkan tentang volume bangun ruang kepada siswa SD dengan menggunakan metode dan media yang sesuai; 5. mengevaluasi hasil belajar siswa tentang volume bangun ruang. Kemampuan tersebut sangat penting bagi Anda untuk dapat mengajarkan volume bangun ruang kepada siswa sesuai dengan kurikulum SD. Mempelajari modul ini sebaiknya dilakukan dalam bentuk belajar kelompok dengan anggota 3 atau 4 orang. Hal-hal yang kurang dipahami dicatat untuk diajukan sebagai pertanyaan pada waktu tutorial diadakan. Modul ini terdiri atas 4 kegiatan belajar sebagai berikut. 1. Kegiatan Belajar 1: Volume Kubus dan Balok. 2. Kegiatan Belajar 2: Volume Prisma Tegak dan Silinder. 3. Kegiatan Belajar 3: Volume Limas dan Kerucut. 4. Kegiatan Belajar 5: Volume Bola.



4.2



Pendidikan Matematika 2 



Petunjuk Belajar! 1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan modul ini sehingga Anda dapat memahami betul apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini. 2. Pelajarilah kembali modul sebelum ini yang membahas tentang konsep bangun ruang, nama dan unsur-unsur bangun ruang, serta pelajari juga tentang luas pada daerah bidang datar, dan konsep tentang ukuran karena hal-hal di atas merupakan prasyarat dalam mempelajari modul ini. 3. Pelajarilah dengan saksama definisi dan contoh dalam modul ini. Jika ada bagian yang belum jelas, tanyakanlah kepada teman atau tutor Anda. 4. Kerjakanlah sendiri soal-soal latihan, kemudian diskusikanlah dengan teman atau tutor Anda. 5. Pelajarilah kembali uraian dan latihan dalam modul ini. 6. Kerjakanlah sendiri soal-soal tes formatif, kemudian diskusikanlah dengan teman atau tutor Anda. 7. Kegiatan Belajar 1 merupakan prasyarat untuk mempelajari Kegiatan Belajar 2 dan seterusnya. Oleh karena itu, apabila belum benar-benar menguasai Kegiatan Belajar 1 jangan melanjutkan Kegiatan Belajar 2, dan seterusnya.



 PDGK4206/MODUL 4



4.3



Kegiatan Belajar 1



Volume Kubus dan Balok



P



ada modul sebelumnya, yaitu tentang bangun ruang, Anda mengenal adanya bermacam-macam bangun ruang, seperti balok, kubus, prisma, limas, kerucut, silinder, dan bola. Selanjutnya, pada kegiatan belajar ini, Anda akan mempelajari volume dari benda ruang, yaitu kubus dan balok. A. KUBUS Definisi 4.1: Volum (volume) dari suatu bangun ruang adalah suatu ukuran yang menyatakan kuantitas dari ruangan yang ditempati oleh benda ruang itu sendiri. Contoh 4.1. Misalnya, ada suatu kubus dengan sisi-sisinya memiliki panjang 5 cm, berapa volume kubus tersebut? Untuk mengetahui volume kubus tersebut, apabila kita isikan kubus kecil dengan panjang sisi 1 cm, ada berapa kubus kecil yang dapat mengisi kubus besar tersebut? Anda dapat melakukan percobaan untuk mengetahui, berapa banyak kubus kecil mengisi kubus besar tersebut. Apabila kita lakukan percobaan, maka kita akan mendapatkan bahwa ada 25 kubus kecil yang mengisi kubus besar tersebut. Dengan demikian kita katakan bahwa volume kubus dengan panjang sisi 5 cm adalah 25 satuan volume, dengan satuan volume yang dimaksud adalah volume kubus dengan panjang sisi 1 cm. Definisi 4.1 dapat juga dinyatakan sebagai berikut. Apabila diketahui suatu bangun ruang yang berongga (dan sisi dari benda ruang itu sangat tipis sehingga bisa diabaikan) maka volume dari benda ruang dapat dinyatakan sebagai ukuran yang



4.4



Pendidikan Matematika 2 



menyatakan banyaknya tepung atau cairan yang memenuhi rongga bangun ruang tersebut. Contoh 4.2. Misalnya, ada suatu kotak yang berbentuk kubus, dapat diisi penuh oleh 2 liter air. Maka volume kubus tersebut adalah kuantitas air yang dapat mengisi ke dalam kubus tersebut, yaitu 2 liter. Contoh 4.3. Diketahui suatu bak air, dapat diisi penuh oleh 3 ember air dengan volume 10 liter. Dengan demikian volume bak mandi tersebut adalah 3  10 liter = 30 liter air. Dari definisi volume bangun ruang maka diperoleh suatu kesimpulan sebagai berikut. Volume dari dua bangun ruang dikatakan sama jika dan hanya jika kuantitas ruangan yang ditempati oleh kedua bangun ruang tersebut adalah sama.



Dengan kata lain, simpulan itu juga dapat ditulis sebagai berikut.



Volume dari dua bangun ruang dikatakan sama jika dan hanya jika banyaknya tepung atau cairan yang memenuhi kedua bangun ruang tersebut adalah sama.



Dengan simpulan inilah Anda dapat menunjukkan bahwa dua bangun ruang atau lebih memiliki volume sama atau tidak. Langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk menunjukkan bahwa dua bangun ruang mempunyai volume yang sama atau tidak adalah sebagai berikut. 1. Pertama-tama salah satu dari bangun ruang tersebut, misalnya bangun ruang A, diisi penuh dengan air (pasir). 2. Kemudian, air (pasir) yang terdapat pada bangun ruang A dimasukkan ke dalam bangun ruang yang lainnya, misalnya bangun ruang B. (Catatan, tidak boleh ada air (pasir) yang tumpah). 3. Apabila semua air (pasir) itu dapat memenuhi bangun ruang B maka volume dari bangun ruang A dan B dikatakan sama.



4.5



 PDGK4206/MODUL 4



4.



5.



Apabila semua air (pasir) itu tidak dapat memenuhi bangun ruang B maka volume bangun ruang A dikatakan lebih kecil dari volume bangun ruang B. Apabila bangun ruang B sudah penuh berisi air (pasir) dan air (pasir) masih tersisa di bangun ruang A maka volume bangun ruang A dikatakan lebih besar dari volume bangun ruang B.



Contoh 4.4. Volume dari semua bola voli adalah sama. Volume dari bola voli lebih kecil dari volume bola basket, tetapi volume bola voli lebih besar dari volume bola tenis. Pada sistem matriks, satuan dasar dari volume bangun ruang adalah liter. Satu liter (1L) didefinisikan sebagai volume dari suatu kubus yang masing-masing sisinya berukuran 10 cm (Gambar 4.1). Gambar 4.1.



Sisi-sisi pada kubus tersebut (Gambar 4.1) berukuran 1 desimeter (1 dm = 10 cm) maka satu liter juga dapat dinyatakan sebagai 1 decimeter kubik. Selanjutnya disimpulkan dengan 1L = 1 dm3 Pada sistem Inggris, satuan dari volume adalah quart. Dalam hal ini liter agak lebih besar dari quart karena 1 quart = 0,9463 liter Contoh 4.5. Dalam kehidupan sehari-hari, misalnya label suatu botol minuman memuat tulisan isi 1 liter. Isi 1 liter maksudnya minuman itu dimasukkan ke dalam kubus yang sisinya berukuran 10 cm maka minuman itu akan memenuhi kubus tersebut tanpa sisa di botol kaleng.



4.6



Misalkan, Anda mempunyai satu kubus liter, yaitu kubus dengan volume 1 liter (kubus dengan sisinya berukuran 10 cm) dan beberapa kubus kecil yang sisisisinya berukuran 1 cm. Kubus kecil ini mempunyai volume 1 centimeter kubik (1 cm3) dan dikenal dengan kubus centimeter. Permasalahan yang muncul adalah sebagai berikut.



Pendidikan Matematika 2 



Gambar 4.2.



Ada beberapa kubus centimeter yang diperlukan untuk mengisi kubus liter tersebut? Dalam menyelesaikan masalah tersebut, pertama-tama perhatikan Gambar 4.2. Pertama-tama, Anda perlu menutup alas kubus liter ABCD. EFGH tersebut, yaitu daerah bujur sangkar ABCD. Untuk itu Anda membutuhkan 10  10 susunan kubus-kubus centimeter, yaitu 10 lajur yang masing-masing lajur terdiri dari 10 kubus centimeter, seperti Gambar 4.3a. Jadi, untuk menutupi alas kubus liter diperlukan 100 kubus centimeter. Akhirnya untuk memenuhi kubus liter itu, Anda memerlukan 10 lapisan yang masing-masing lapisan terdiri dari 100 kubus cm, seperti Gambar 4.3b. Jadi, untuk memenuhi kubus liter itu diperlukan (10  100) kubus sentimeter. Dengan demikian, 1 liter ekuivalen dengan 1000 cm3 dan ditulis 1 L = 1000 cm3 Dalam sistem metrik, awalan mili mengandung makna satu per seribu. Jadi, Anda dapat mengatakan bahwa 1 mililiter (ml) ekuivalen dengan 1 cm3. Hal ini disebabkan karena ada 1000 cm3 dalam 1 liter. Selanjutnya disimpulkan dengan 1 mL = 1 cm3



4.7



 PDGK4206/MODUL 4



Pada sistem metrik, satuan kecil dari volume bangun ruang dinyatakan dalam mililiter (centimeter kubik). Satu mililiter (1 mL atau 1 cm3) didefinisikan sebagai volume dari suatu kubus yang sisi-sisinya 1 centimeter. Isi dari botol/kaleng minuman ringan sering dinyatakan dengan mililiter. Misalnya, isi bersih 250 mL.



Gambar 4.3b.



Pada sistem metrik, satuan besar dari bangun ruang dinyatakan dalam kiloliter (meter kubik). Satu kilometer (1 kL atau 1 m3) didefinisikan sebagai volume dari suatu kubus yang semua isinya berukuran 1 meter. Kapasitas dari wadah (container) barang besar kapasitas tangki air. Penyuplai air atau kolam renang diukur dengan menggunakan satuan meter kubik. Misalnya, Tangki air ini dapat menampung air sebanyak 25 m3. Dari ketiga satuan volume tersebut, yaitu satuan dasar (liter atau desimeter kubik), satuan kecil (mililiter atau centimeter kubik), dan satuan besar (kilometer atau meter kubik) di peroleh hubungan sebagai berikut. 1 kilometer = 1000 liter 1 mililiter = 0,001 liter atau 1 m3 = 1000 dm3 1 m3 = 0,001 dm3 Secara ringkas dapat disajikan dalam tabel berikut. Tabel 4.1 berikut memberikan hubungan antara satuan volume yang sering digunakan secara bersamaan dalam sistem metrik. Satuan Mililiter (sentimeter kubik) Liter (desimeter kubik) Kiloliter (meter kubik)



Tabel 4.1 Sistem Motorik Singkatan Pecahan/Kelipatan dari Liter mL (cm3) 0,001 L L (dm3) 1L kL (m3) 1000 L



Contoh 4.5. Oleh karena 1 liter ekuivalen dengan 1000 cm3 maka berlaku a. 2 liter akan ekuivalen dengan (2  1000 cm3), yaitu 2 L = 2000 cm3.



4.8



Pendidikan Matematika 2 



1 1  1000) cm3, yaitu L = 500 cm3. 2 2 Dalam Contoh 4.5, liter dapat dipandang sebagai volume dari dua kubus 1 1 yang masing-masing memiliki volume liter, sedangkan liter dapat 2 2 dipandang sebagai volume kubus dengan volume setengah dari kubus yang bervolume 1 liter. Secara umum, apabila r merupakan suatu bilangan real maka r liter akan ekuivalen dengan (r  1000 cm3), dan ditulis rL = (r  1000) cm3 b.



½ liter akan ekuivalen dengan (



Setelah Anda memahami makna volume beserta satuannya maka selanjutnya Anda akan mempelajari volume dari suatu kubus. Dalam menentukan volume suatu kubus Anda menggunakan kubus satuan, yaitu kubus yang sisi-sisinya berukuran 1 satuan panjang, yaitu 1 cm, atau 1 dm, atau 1 m. Sebagai contoh, dalam menentukan volume kubus yang satuan dari sisi-sisinya adalah centimeter maka Anda perlu menggunakan kubus satuan yang sisi-sisinya berukuran 1 cm. Contoh 4.6. Tentukan volume dari kubus yang sisinya 4 cm, seperti Gambar 4.4 berikut. Oleh karena itu, satuan sisi-sisi kubus ABCD.EFGH tersebut adalah centimeter maka Anda memilih kubus satuannya adalah kubus centimeter, yaitu kubus yang sisi-sisinya berukuran 1 cm. Pertama-tama Anda perlu menutupi alas dari kubus, yaitu bujur sangkar ABCD, dengan kubus satuan. Untuk menutupi alas tersebut diperlukan 4  4 = 16 kubus satuan, yaitu 4 lajur yang masing-masing lajur terdiri dari 4 kubus satuan (Gambar 4.5a).



 PDGK4206/MODUL 4



4.9



Sedangkan untuk memenuhi kubus ABCD.EFGH dengan kubus satuan, Anda memerlukan 4 lapisan yang masing-masing terdiri dari 16 kubus satuan (seperti Gambar 4.5b). Dengan demikian, kubus satuan yang diperlukan adalah 4  4  4 = 64 buah. Jadi, volume dari kubus ABCD.EFGH tersebut adalah 64 cm3. Berdasarkan Contoh 4.6. Anda dapat memperoleh suatu dugaan sebagai berikut. Volume dari kubus yang sisinya berukuran s cm adalah s3 cm3. Dugaan tersebut dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 1



Volume dari kubus yang sisinya berukuran s satuan panjang adalah s3 satuan panjang kubik.



Volume (V) dari kubus pada Teorema 1 ditulis dengan simbol sebagai berikut. V = s3 Satuan panjang pada Teorema 1, antara lain adalah cm, dm, dan m. Bukti: Untuk menyederhanakan pembuktian, Anda dapat memisalkan satuan panjang yang dipakai adalah sentimeter. Dengan demikian, kita dapat memilih kubus satuannya adalah kubus sentimeter, yaitu kubus yang sisinya berukuran 1 cm (Gambar 4.6). Pertama-tama, alas kubus ABCD.EFGH, yaitu daerah bujur sangkar ABCD kita tutup dengan beberapa kubus satuan. Ternyata masing-masing



4.10



Pendidikan Matematika 2 



lajur terdiri dari s buah kubus centimeter (Gambar 4.7a). Jadi, untuk menutupi alas kubus ABCD.EFGH diperlukan s2 kubus centimeter. Akhirnya, untuk memenuhi kubus ABCD.EFGH itu, kita memerlukan s lapisan yang masing-masing lapisan terdiri dari s2 kubus centimeter (Gambar 4.7b). Dengan demikian, volume dari kubus ABCD.EFGH adalah s  s2 = s3 buah kubus satuan. Selanjutnya karena volume dari kubus satuan itu adalah 1 cm3 maka volume dari kubus ABCD.EFGH adalah s3 cm3.



Gambar 4.7a



Gambar 4.7b



Contoh 4.7. Diketahui suatu kubus dengan panjang sisi 6 cm. Berapa volumenya? Berdasarkan Teorema 1 maka volume kubus tersebut adalah V = 63, jadi volume kubus tersebut adalah 216 cm3. Contoh 4.8. Diketahui suatu tangki air yang berbentuk kubus dengan panjang sisi 10 cm. Berapa volumenya? Jawab volume tangki air tersebut adalah 103 cm3 = 1000 cm3. Contoh 4.9. Diketahui suatu kubus dengan volumenya adalah 125 cm3. Tentukanlah panjang sisi dari kubus tersebut. Untuk menyelesaikan soal ini, misalkan panjang sisi kubus itu adalah s cm. Oleh karena volume dari kubus itu 125 cm3 maka s3 = 125. Dengan demikian, s = 5. Jadi, panjang sisi kubus itu adalah 5 cm.



4.11



 PDGK4206/MODUL 4



B. BALOK Pada bangun ruang yang disebut balok, Anda akan mengenal istilah panjang, lebar, dan tinggi. Agar tidak terjadinya kerancuan dengan ketiga istilah itu maka kita perlu membuat batasannya. Istilah panjang dan lebar dipakai sebagai ukuran untuk sisi-sisi yang terdapat pada balok, sedangkan tinggi digunakan sebagai ukuran dari sisi balok yang tegak lurus alas, untuk memudahkan pemahaman maka balok digambar secara tegak dan alas dari balok merupakan bidang datar yang ada di bawah. Panjang menyatakan ukuran sisi pada alas balok yang lebih besar dari sisi yang lain, dan ukuran sisi yang lain disebut lebar. Lebih jelasnya, perhatikan Gambar 4.8. Balok pada Gambar 4.8 dinamakan balok ABCD.EFGH. Alas balok adalah bidang persegi panjang ABCD dan tingginya adalah sisi AE atau BF atau CG atau DH. Jika ukuran dari sisi AB lebih besar dari ukuran sisi BC maka ukuran dari sisi AB disebut panjang, dan ukuran dari sisi BC disebut lebar. Sebelum menurunkan rumus mengenai volume dari suatu balok, cobalah menghitung volume dari suatu balok yang panjang, lebar, dan tingginya berturut-turut adalah 5 cm, 3 cm, dan 2 cm (Gambar 4.9). Gambar 4.9.



Pada Kegiatan Belajar 1 dipilih kubus centimeter sebagai kubus satuan. Pemilihan ini dilakukan karena satuan dari panjang, lebar, dan tinggi dari balok adalah sentimeter.



4.12



Pendidikan Matematika 2 



Gambar 4.10a



Pertama-tama Anda harus menutupi alas balok ABCD. EFGH tersebut dengan kubus-kubus satuan. Untuk itu Anda membutuhkan 5 lajur yang setiap lajur terdiri dari 3 buah kubus satuan (Gambar 4.10a).



Berarti diperlukan 5  3 = 15 buah kubus satuan. Selanjutnya untuk memenuhi balok tersebut Anda harus membuat 2 lapisan yang setiap lapisan terdiri dari 15 buah kubus satuan. Jadi, untuk memenuhi balok tersebut diperlukan kubus satuan sebanyak: 2  15 = 2  (5  3) = 2  5  3 = 30 Oleh karena itu, volume dari kubus satuan adalah 1 cm3 maka volume dari balok ABCD.EFGH adalah (30  1) = 30 cm3. Gambar 4.10b



Berdasarkan contoh tersebut maka Anda dapat menduga bagaimana rumus dari suatu balok. Dugaan tersebut dinyatakan dalam teorema berikut.



Teorema 2.



Volume dari suatu balok yang panjang, lebar, dan tinggi berturut-turut p, l, dan t satuan panjang adalah (p  l  t) satuan panjang kubik. Gambar 4.11.



Dengan simbol dituliskan sebagai berikut. V=plt



4.13



 PDGK4206/MODUL 4



dengan: V adalah volume dari balok p adalah panjang balok l adalah lebar balok t adalah tinggi balok satuan dari panjang, lebar, dan tinggi haruslah sama, sedangkan, hasil kali (p  t) satuan panjang kuadrat menyatakan luas dari alas balok ABCD. EFGH. Bukti untuk memudahkan pembuktian, kita misalkan satuan dari pandang, lebar, dan tinggi adalah sentimeter. (Gambar 4.12a)



Gambar 4.12a



Pertama-tama alas balok ABCD.EFGH ditutup dengan kubus satuan (kubus sentimeter). Alas balok ditutup dengan p lajur yang setiap lajur terdiri dari 1 buah kubus satuan. Berarti untuk menutupi alas balok diperlukan kubus satuan sebanyak (p l) buah (Gambar 4.12a). Lebih lanjut untuk memenuhi balok tersebut kita membuat t lapisan yang setiap lapisan terdiri dari (pp) buah kubus satuan (Gambar 4.12b). Gambar 4.12b Jadi, untuk menutupi balok ABCD.EFGH diperlukan kubus satuan sebanyak. t  (p  l) = t  p  l



Contoh 4.10. Diketahui suatu balok yang panjangnya adalah dua kali lebarnya dan tinggi balok adalah setengah dari lebarnya. Hitunglah volume balok jika lebarnya adalah 4 cm!



4.14



Pendidikan Matematika 2 



Penyelesaian: Lebar balok adalah 4 cm, dan panjangnya dua kali lebar, serta tingginya setengah dari lebar maka panjang balok adalah (2  4) = 8 cm dan tinggi 1 balok adalah (  4) = 2 cm. Dengan demikian, volume balok adalah 2 V = 8  4  2 = 64 cm3. Contoh 4.11. Diketahui suatu bak air yang berbentuk balok dengan panjang 10 dm, lebar 6 dm. Jika bak air itu digunakan untuk menampung air sebanyak 300 liter maka tentukan tinggi dari bak air tersebut. Penyelesaian: Oleh karena 1 liter ekuivalen dengan 1 dm3 dan bak air itu akan dipenuhi dengan air sebanyak 300 liter maka volume dari bak air itu adalah 300 dm3. Misalkan, t adalah tinggi bak air maka berdasarkan rumus volume dari balok diperoleh 300 = 10  6  t Jadi, t = 300 : 60 = 5 berarti tinggi bak air adalah 5 dm. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Berikut ini sisi kubus yang volumenya 1 liter, kecuali …. A. 1 dm B. 1 cm C. 10 cm D. 0,1 m 2) Diketahui dua kotak A dan B yang berbentuk kubus. Jika kotak A dapat dimasukkan ke dalam kotak B maka volume kotak A …. A. sama dengan volume kotak B B. kurang dari volume kotak B C. lebih dari volume kotak B D. lebih dari atau sama dengan volume kotak B



 PDGK4206/MODUL 4



4.15



3) Diketahui dua buah botol A dan B. Jika air pada botol A dapat memenuhi botol B maka volume botol A …. A. sama dengan volume botol B B. kurang dari volume botol B C. lebih dari volume botol B D. lebih dari atau sama dengan volume botol B. 4) Diketahui volume dari suatu kaleng minuman adalah 1 liter dan minuman itu akan dibagi rata kepada 4 orang. Setiap orang akan mendapat minuman …. A. 0,4 liter B. 250 cm3 C. 0,25 cm3 D. 0,25 dm3 5) Kubus satuan adalah kubus yang …. A. volumenya 1 liter B. volume 1 cm3 C. sisinya berukuran 1 cm D. sisinya berukuran 1 satuan panjang 6) Volume dari kubus yang sisinya berukuran 20 cm adalah …. A. 8 L B. 800 cm3 C. 8 cm3 D. 800 dm3 7) Panjang dari sisi suatu kubus yang bervolume 27 liter adalah …. A. 3 L B. 3 dm C. 3 cm D. 3 m 8) Jika suatu kubus yang alasnya dapat ditutupi dengan 49 buah kubus centimeter maka sisi dari kubus tersebut adalah …. 1 A. 49 dm 3 1 B. 49 cm 3 C. 7 cm D. 7 dm



4.16



Pendidikan Matematika 2 



9) Volume dari kubus pada soal 8 adalah …. A. 493 dm3 B. 493 cm3 C. 343 cm3 D. 243 dm3 10) Jika panjang sisi dari kubus A adalah 4 cm dan panjang sisi kubus B adalah 3 cm maka selisih dari volume kubus A dan B adalah .... A. 37 cm3 B. 37 L C. 1 L D. 1 cm3 11) Diketahui suatu balok yang panjang, lebar, dan tingginya berturut-turut adalah p, , dan t. Volume balok adalah …. A. (p  ) + t B. p + (  t) C. p +  + t D. p    t 12) Volume dari balok yang panjangnya 6 cm, lebarnya 4 cm, dan tingginya 5 cm adalah …. A. 1,2 dm3 B. 120 cm3 C. 24 cm3 D. 1,2 liter 13) Volume dari balok yang panjangnya 8 cm, lebarnya 5 cm, dan tingginya 1 dm adalah …. A. 40 cm3 B. 400 cm3 C. 40 dm3 D. 400 dm3



1 2 kali lebar balok B, dan tinggi dari balok A dan B adalah sama. Pernyataan berikut yang benar adalah volume balok A sama dengan …. A. dua kali volume balok B B. setengah dari volume balok B



14) Diketahui panjang dari balok A 2 kali panjang balok B, lebar balok A



 PDGK4206/MODUL 4



4.17



C. sama dengan volume balok B D. tiga kali volume botol B 15) Volume dari suatu balok 24 liter dan luas alasnya 8 dm3 maka tinggi balok adalah …. A. 30 cm B. 0,3 dm C. 3 m D. 1,3 dm 16) Jika volume balok A dua kali dari volume balok B dan tinggi dari kedua balok tersebut sama maka …. A. panjang dari balok A adalah dua kali panjang balok B B. lebar dari balok A adalah dua kali lebar balok B C. luas alas dari balok A adalah dua kali dari luas alas balok B D. panjang balok A sama dengan lebar balok B 17) Pak Anton membuat bak air yang berbentuk balok dengan perbandingan panjang : lebar : tinggi adalah 2 : 1 : 2. Jika lebar bak air itu adalah 3 dm maka volume bak air adalah …. A. 108 dm3 B. 54 dm3 C. 27 dm3 D. 15 dm3 18) Pak Made membuat bak air yang dapat menampung air sebanyak 192 liter. Perbandingan panjang : lebar : tinggi bak air adalah 3 : 2 : 4. Tinggi bak air tersebut adalah …. A. 4 dm B. 8 dm C. 12 dm D. 32 dm 19) Jika luas alas dari balok A dua kali dari luas alas balok B dan kedua balok tersebut mempunyai volume yang sama maka …. A. tinggi balok B adalah dua kali tinggi balok A B. tinggi balok B adalah setengah dari tinggi balok A C. tinggi balok A dan B adalah sama D. tinggi balok A dua kali tinggi balok B



4.18



Pendidikan Matematika 2 



20) Diketahui volume dari balok A delapan kali dari volume balok B. Jika kedua balok itu adalah kubus maka panjang balok A adalah …. A. dua kali lebar balok B B. delapan kali panjang balok B C. setengah dari panjang balok B D. tiga kali lebar balok B Petunjuk Jawaban Latihan 1) Gunakan peringkat dalam sistem matriks. Jawab soal ini adalah 1 cm; (B). 2) Sudah jelas; jawab (B). 3) Sudah jelas; jawab (D). 4) Sudah jelas; jawab (B). 5) Kata kuncinya adalah "satuan". Dengan demikian, jawabnya adalah (D). 6) Gunakan rumus volume kubus dan konversi sistem metrik; jawab (A). 7) Gunakan rumus volume kubus dan konversi sistem metrik; jawab (B). 8) Gunakan konversi sistem metrik; jawab (C). 9) Gunakan rumus volume kubus; jawab (C). 10) Gunakan rumus volume kubus; jawab (A). 11) D. Sudah jelas. 12) B. Gunakan rumus volume balok. 13) B. Gunakan rumus volume balok. 14) C. Gunakan rumus volume dan bandingkan. 15) A. Gunakan rumus volume balok dan konversi sistem matriks. 16) C. Sudah jelas. 17) A. Sudah jelas. 18) B. Sudah jelas. 19) A. Sudah jelas. 20) A. Sudah jelas. R A NG KU M AN Rangkuman berikut merupakan inti dari pokok bahasan yang dibahas pada Kegiatan Belajar 1. Pahamilah dan hafalkan rangkuman berikut. Volume dari bangun ruang adalah ukuran yang menyatakan kapasitas ruangan yang ditempati oleh bangun ruang tersebut.



4.19



 PDGK4206/MODUL 4



Satuan dari volume bangun ruang dalam sistem matriks dapat dikelompokkan dalam tiga satuan, yaitu: 1. satuan dasar adalah liter (desimeter kubik); 2. satuan kecil adalah mililiter (centimeter kubik); 3. satuan besar adalah kilometer (meter kubik). Dua bangun ruang dikatakan bervolume sama jika kedua bangun ruang itu menempati suatu ruangan yang sama. Hubungan antara satuan volume yang sering digunakan secara bersamaan dalam sistem metriks dinyatakan dalam tabel berikut. Satuan Mililiter (sentimeter kubik) Liter (desimeter kubik) Kiloliter (meter kubik)



Singkatan ml (cm3) L (dm3) kL (cm3)



Pecahan/Kelipatan dari 1 Liter 0,001 L 1L 1000 L



Volume V dari suatu kubus yang sisinya berukuran s satuan panjang adalah s3 satuan panjang kubik, dan ditulis sebagai berikut. V = s3 Volume dari suatu balok yang panjang, lebar, dan tingginya berturut-turut p, l, dan t satuan panjang adalah (p  l  t) satuan panjang kubik. Dengan simbol dituliskan sebagai berikut. V= plt Dengan: V adalah volume dari balok p adalah panjang balok l adalah lebar balok t adalah tinggi balok Satuan dari panjang, lebar dan tinggi haruslah sama, sedangkan hasil kali (p  t) satuan panjang kuadrat menyatakan luas dari alas balok ABCD. EFGH. Misalnya, satuan dari panjang, lebar, tinggi balok adalah cm maka satuan dari volumenya adalah cm3.



4.20



Pendidikan Matematika 2 



TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Jika ukuran sisi dari kubus A adalah dua kali ukuran sisi dari kubus B maka volume kubus A …. A. dua kali volume kubus B B. empat kali volume kubus B C. delapan kali volume kubus B D. setengah dari volume kubus B 2) Diketahui dua botol A dan B, masing-masing penuh berisi air. Semua air dalam botol A dan B dituangkan ke dalam ember yang sama secara bergantian. Tinggi air yang berasal dari botol A adalah 20 cm dan dari botol B adalah 2 dm, volume botol A adalah …. A. sama dengan volume botol B B. lebih dari volume botol B C. kurang dari volume botol B D. kurang dari atau sama dengan volume botol B 3) 1 liter didefinisikan sebagai volume dari kubus satuan yang ukuran sisinya adalah …. A. 1 m B. 1 dm C. 1 cm D. 10 cm 4) Air dari bak penampungan air yang berkapasitas 270 liter akan dialirkan ke-10 rumah secara merata. Agar air pembagian tersebut tidak terbuang secara percuma maka setiap rumah harus dilengkapi dengan bak air yang berbentuk kubus. Pernyataan yang benar, kecuali …. A. volume dari setiap bak air adalah 27 dm3 B. volume dari setiap bak air itu adalah 27.000 mililiter C. ukuran sisi dari bak air itu adalah 0,03 m D. ukuran sisi dari bak air itu adalah 30 cm 5) Untuk membuat kotak yang berbentuk kubus dengan volume 216 mililiter maka sisinya berukuran …. A. 6 cm B. 6 dm



 PDGK4206/MODUL 4



4.21



C. 0,6 m D. 0,6 dam 6) Pak Bonar membeli pasir sebanyak 13,5 m3 yang akan disimpan secara merata dalam 4 buah bak yang berbentuk kubus. Pernyataan berikut benar, kecuali …. A. volume dari bak tersebut adalah 3,375 m3 B. volume dari bak tersebut adalah 3375 liter C. ukuran sisi dari bak tersebut adalah 15 dm D. ukuran sisi dari bak tersebut kurang dari 15 dm dan lebih dari 14 dm 7) Jika luas satu permukaan suatu kubus adalah 81 cm2 maka kubus tersebut adalah …. A. 729 cm3 B. 6561 cm3 C. 6,561 m3 D. ukuran sisi dari kubus tersebut lebih dari 10 cm 8) Jika volume kubus A adalah seper delapan dari volume kubus B maka ukuran sisi kubus A ... kali ukuran sisi kubus B. A. setengah B. dua C. seper delapan D. delapan 9) Jika ukuran sisi dari kubus A adalah tiga kali dari ukuran sisi kubus B maka volume kubus A … kali volume kubus B. A. 3 B. 27 C. 1/3 D. 1/27 10) Jika panjang dari 3 sisi kubus A adalah 12 cm maka volume kubus A adalah …. A. 1728 mililiter B. 64 liter C. 17,28 liter D. 64 mililiter



4.22



Pendidikan Matematika 2 



11) Volume dari balok yang panjangnya 8 cm. Lebar 6 cm, dan tinggi 10 cm adalah …. A. 24 cm3 B. 480 cm3 C. 48 dm3 D. 4,8 liter 12) Volume dari balok yang panjangnya 6 cm, lebar 5 cm, dan tinggi 2 dm adalah …. A. 60 cm3 B. 60 dm3 C. 600 cm3 D. 600 dm3 13) Diketahui panjang dari balok A 2 kali panjang balok B, lebar balok A kali lebar balok B, dan tinggi dari balok A



1 2



1 kali tinggi balok B. 2



Volume balok A adalah .... A. dua kali volume balok B B. setengah dari volume balok B C. sama dengan volume balok B D. tiga kali volume balok B 14) Volume dari suatu balok adalah 340 liter dan luas alasnya 40 dm2 maka tinggi balok adalah …. A. 60 cm B. 0,6 dm C. 6 m D. 1/6 dm 15) Jika volume balok A dua kali dari volume balok B dan tinggi serta lebar dari kedua balok tersebut sama maka …. A. panjang balok A adalah dua kali panjang balok B B. panjang balok A adalah setengah dari panjang balok B C. luas alas balok A adalah setengah luas alas balok B D. luas balok A adalah tiga kali panjang balok B



 PDGK4206/MODUL 4



4.23



16) Pak Anton membuat bak air berbentuk balok, dengan panjang : lebar : tinggi = 3 : 2 : 1. Jika lebar bak air itu adalah 4 dm maka volume bak air adalah …. A. 24 dm3 B. 64 dm3 C. 384 dm3 D. 48 dm3 17) Pak Agung membuat bak air yang dapat menampung air sebanyak 18 liter. Panjang : lebar : tinggi bak air = 3 : 1 : 2. Tinggi bak air tersebut adalah …. A. 2 dm B. 4 dm C. 6 dm D. 12 dm 18) Jika luas alas dari balok A dua kali dari luas alas balok B dan volume balok A setengah kali volume balok B maka …. A. tinggi balok A adalah dua kali tinggi balok B B. tinggi balok A adalah setengah dari tinggi balok B C. tinggi balok A adalah seper empat dari tinggi balok B D. tinggi kedua balok adalah sama 19) Diketahui volume dari balok A delapan kali dari volume balok B. Pernyataan berikut yang benar jika kedua balok itu adalah kubus maka panjang balok A adalah …. A. dua kali lebar balok B B. delapan kali panjang balok B C. setengah dari panjang balok B D. empat kali lebar balok A 20) Balok mempunyai volume 12 kali dari volume kubus. Panjang : lebar : tinggi dari balok tersebut adalah …. A. 6 : 2 : 4 B. 1 : 2 : 1 C. 6 : 3 : 3 D. 3 : 2 : 2



4.24



Pendidikan Matematika 2 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar ×100% Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



4.25



 PDGK4206/MODUL 4



Kegiatan Belajar 2



Volume Prisma dan Volume Silinder A. VOLUME PRISMA Pada kegiatan belajar sebelumnya Anda sudah mengenal dan menguasai dengan baik konsep volume balok, yaitu dengan membuat kubus kecil-kecil dengan panjang sisinya satu satuan yang ditempatkan pada balok. Banyak kubus kecil yang mengisi balok tersebut, menyatakan kuantitas volume yang dicari. Pada bahasan tentang volume prisma ini, Anda akan diajak untuk mencari volume dari sebarang prisma tegak serta mencari volume dari suatu silinder. Perhatikan benda ruang di bawah ini yang memiliki permukaan paralel, seperti Gambar 4.13 berikut. (a) (b) (c) (d)



Gambar 4.13.



Untuk benda ruang (a) permukaan paralelnya adalah berupa persegi panjang, benda ruang (b) berupa segitiga, (c) berupa segi lima, dan (d) berupa segi enam. Gambar seperti (a), (b), (c), dan (d) disebut “prisma”. Dua permukaan paralel pada prisma memiliki bentuk dan ukuran sama. Pada Gambar 4.13(a) permukaan berupa persegi panjang disebut “permukaan sisi” atau “sisi”. Apabila alas berbentuk segitiga, persegi panjang, atau segi lima, maka prisma secara berturut-turut disebut “prisma segitiga, prisma segi empat, atau, prisma segi lima”. Kubus adalah salah satu tipe prisma. Ingat kembali volume balok atau prisma segi empat, apabila digunakan istilah panjang, lebar, dan tinggi adalah Volume prisma segi empat = panjang x lebar x tinggi



4.26



Pendidikan Matematika 2 



Seperti diketahui bahwa panjang, lebar, dan tinggi pada kubus adalah sama. Volume kubus dapat dihitung dengan menggunakan Volume kubus = rusuk x rusuk x rusuk



Contoh 4.12 Tentukan volume masing-masing volume prisma persegi panjang berikut.



(f) Pikirkan tentang volume bangun geometri berikut. Penyelesaian Volume prisma: a. V = (5  5  5) cm3 = 125 cm3; b. V = (5,5  2, 5  8) cm3 = 110 cm3; c. V = (8  4  6) cm3 = 192 cm3; d. V = (2  4  8) cm3 = 64 cm3; e. V = (10  2  3) cm3 = 60 cm3.



4.27



 PDGK4206/MODUL 4



f.



Anda dapat memikir-kannya bangun geometri tersebut sebagai gabungan dua prisma berikut. Untuk bangun pertama memiliki volume V = (3  3  2) + (4  3  8) cm3 = 114 cm3, sedangkan bangun kedua memiliki volume V = (7  2  3) + (6  4  3) cm3 = 114 cm3



Sekarang kita akan memformulasikan volume prisma secara umum. Pengalaman belajar volume balok akan kita gunakan kembali. Perhatikan bahwa balok memiliki dimensi panjang, lebar, dan tinggi. Dengan demikian, seperti yang telah dibahas di bagian sebelumnya, volume balok adalah panjang x lebar x tinggi.



Selanjutnya, kalau diperhatikan, balok yang alasnya berbentuk persegi panjang memiliki luas panjang x lebar



4.28



Pendidikan Matematika 2 



Dengan demikian volume balok ini dapat kita pandang sebagai tumpukan alas berbentuk persegi panjang, selembar demi selembar sampai ke-tinggi-an balok. Dengan memandang volume balok sebagai tumpukan kertas dengan dimensi panjang dan lebar sampai pada ke – tinggi – an balok maka volume balok dapat dipandang sebagai Volume balok = =



panjang x lebar x tinggi luas alas x tinggi



Sekarang kita perluas pemahaman kita, apabila kita menyusun tumpukan kertas dengan bentuk geometri jajaran genjang seperti di bawah ini sampai ketinggian tertentu; sebut h. Maka, kita akan memperoleh prisma segi empat dengan alas berbentuk jajaran genjang. Untuk menentukan volume prisma yang kita peroleh, kita harus memperoleh pengetahuan tentang luas jajaran genjang tersebut. Apabila bangun geometri jajaran genjang tersebut memiliki luas A, berdasarkan analogi yang digunakan pada volume balok, volume prisma jajaran genjang tersebut adalah Volume Prisma = A x h



Secara umum Anda dapat menentukan volume dari sebarang prisma tegak, dengan menggunakan teorema berikut. Teorema 3



Volume V dari suatu prisma dengan luas alas A dan tinggi h adalah V = Ah Gambar 4.15.



 PDGK4206/MODUL 4



4.29



Contoh 4.13. Hitung volume prisma segitiga seperti yang disajikan pada gambar berikut.



Gambar 4.16



Penyelesaian Untuk menghitung volume prisma segitiga tersebut ada dua cara: Cara pertama Pertama hitung luas alas prisma, alas prisma berupa segitiga siku-siku, sehingga luas alas prisma adalah 1 A = (3  4) cm3 = 6 cm3 2



Tinggi prisma adalah 8 cm, dengan demikian volume prisma adalah Volume = (6 8) cm3 = 48 cm3 Cara kedua Pertama buat bangun geometri yang sama dengan bangun tersebut. Selanjutnya gabung kedua bangun geometri tersebut sehingga kita peroleh balok dengan panjang 4 cm, lebar 3 cm, dan tinggi 8 cm. Balok ini memiliki volume V balok = 4  3  8 cm3 = 96 cm3



4.30



Pendidikan Matematika 2 



Sedangkan volume prisma segitiga adalah Dengan demikian



1 V balok. 2



V prisma segitiga = 48 cm3



Contoh 4.13 Tentukan volume prisma segitiga, dengan luas alas 30 cm dan tinggi 5 cm! Penyelesaian: Luas alas dari prisma segi enam sudah diketahui maka volume dari prisma tersebut adalah: Volume prisma = luas alas  tinggi = (30  5) cm3 = 150 cm3 Sekarang coba Anda pikirkan, bagaimana halnya volume dari suatu silinder. Apakah silinder merupakan suatu prisma juga? Kalau silinder juga merupakan suatu prisma maka volume dari silinder adalah hasil kali antara luas alas dengan tinggi. Sekarang Anda diajak untuk menunjukkan bahwa untuk mencari volume suatu silinder dapat diperoleh dengan pendekatan volume dari prisma. B. SILINDER Perhatikan bangun geometri berikut ini!



(1)



(2)



(3) Gambar 4.18.



(4)



 PDGK4206/MODUL 4



4.31



Bangun pertama, kedua, dan ketiga adalah prisma dengan alas segiempat, segi lima, dan segi enam. Bangun terakhir (bangun 4), seperti kita tahu adalah silinder. Lantas apa kesamaan keempat bangun geometri tersebut? Tepat, keempatnya memiliki alas yang paralel. Lantas apa relevansinya terhadap volume bangun geometri silinder? Dari pengalaman belajar yang telah kita lakukan, prisma memiliki alas-alas yang paralel, sisi-sisinya berupa persegi panjang, dan volumenya diperoleh dari informasi luas alas dan ketinggiannya. Sedangkan silinder, seperti kita ketahui, memiliki alas-alas paralel, lantas bagaimana dengan sisi-sisinya? Apakah silinder juga memiliki sifat demikian? Perhatikan, bila silinder dibuat jaring-jaringnya, apa yang dapat Anda simpulkan? Ya, silinder juga memiliki sisi yang berbentuk persegi panjang. Dengan demikian formula volume prisma bisa kita gunakan untuk menentukan volume silinder. Ingat bahwa alas silinder berbentuk lingkaran, sehingga luas alas silinder adalah A   r 2 dengan r menyatakan jari-jari lingkaran. Dengan demikian, volume silinder adalah Volume Silinder = ( r 2 )h dengan h menyatakan ketinggian silinder. Dengan hasil ini diperoleh suatu teorema berikut (pembuktiannya dapat diperoleh dengan menggunakan kalkulus). Teorema 3



Volume V dari suatu prisma dengan luas alas A dan tinggi h adalah V = Ah.



Jika alas dari silinder adalah suatu lingkaran dengan jari-jari r maka V = πr 2 h. Anda ingat luas lingkaran adalah πr 2 . Secara umum untuk volume suatu silinder adalah hasil kali dari luas alas dan tingginya.



4.32



Pendidikan Matematika 2 



Mungkin dalam kehidupan sehari-hari Anda akan menjumpai bentukbentuk silinder, seperti Gambar 4.20 berikut.



Gambar 4.20.



Contoh 4.14 Gelas kopi ayah berbentuk silinder dengan jari-jari 10 cm dan tingginya adalah 15 cm. Tentukan volume dari gelas kopi tersebut. Penyelesaian: Jari-jari dari gelas tersebut adalah 10 cm, jadi r = 10 cm dan tinggi gelas adalah 15 cm. Jadi, h = 15 cm. Dengan demikian, volume dari gelas kopi tersebut adalah (10)2. 15 cm3 = 1500 cm3. Contoh 4.15 Tentukan volume suatu silinder, seperti Gambar 4.21 berikut. Penyelesaian: Bentuk silinder tersebut mempunyai luas atas 20 cm2 dan tinggi 7 cm. Oleh karena itu, volume silinder adalah 20  7 cm3 = 140 cm3.



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tentukan volume dari masing-masing prisma berikut!



 PDGK4206/MODUL 4



4.33



2) Tentukan volume gelas-gelas berikut ini. a) gelas kopi b) gelas juice c) gelas sop r = 10 cm r = 6 cm r = 4 cm h = 16 cm h = 17 cm h = 10 cm 3) Dua buah silinder dengan alas berbentuk lingkaran dengan jari-jari masing-masing r dan 2r. Jika tinggi kedua silinder adalah sama, tentukan perbandingan volume dari kedua silinder tadi. Petunjuk Jawaban Latihan 1) a) Bangun ruang pada soal 1a ini adalah berbentuk balok dengan panjang 15, lebar 10 dan tinggi 10. Dengan menggunakan rumus untuk volume balok dapat dicari volumenya, yaitu 1500 satuan volume. b) Bangun ruang pada soal 1b juga berbentuk balok dengan panjang 15, lebar 2, dan tinggi 10. Jadi, volume bangun ruang ini adalah 300 satuan volume. c) Bangun ruang pada soal 1c ini adalah prisma segi empat dengan alas berbentuk trapesium sama kaki. Luas trapesium adalah: tinggi . (jumlah panjang sisi-sisi yang sejajar)  2 4 Dengan demikian, luas alas bangun ini adalah 8  2    20 2 satuan luas. Jadi, volume prisma segi empat ini adalah luas alas  tinggi = 20.10 satuan volume atau 200 satuan volume.



4.34



Pendidikan Matematika 2 



d) Bangun ruang pada soal 1.d ini adalah prisma segitiga. Bentuk atas 4 segitiga mempunyai luas 6  = 12 satuan luas. Tinggi prisma 2 adalah 12, jadi volume prisma ini adalah 12  12 = 144 satuan volume. 2) Gunakan rumus umum dari volume silinder V = r2h, untuk masingmasing soal di atas diperoleh jawab: a) V = 100 satuan volume. b) V = 102 satuan volume. c) V = 40 satuan volume. 3) Misalnya, volume untuk silinder pertama adalah V1, volume untuk silinder kedua V2 dan jari-jarinya masing-masing r1 serta r2. Diperoleh r1 = r, r2 = 2r. Ketinggian dari kedua silinder sama, notasikan dengan h. Maka, perbandingan volume silinder pertama dengan silinder kedua adalah: V1 : V2= (r1)2h : (r2)2h = (r)2h : (2r)2h = (r)2h : 4(r)2h = 1:4 Jadi, perbandingan volume silinder pertama dengan silinder kedua adalah 1 : 4. R A NG KU M AN 1.



2. 3.



Volume dari suatu prisma adalah hasil kali luas alas dengan ketinggian dari prisma tersebut. Misal luas alas dari prisma adalah A dan tinggi dari prisma adalah h maka volume prisma (V) adalah V = Ah. Silinder dapat dipandang sebagai suatu prisma dengan bentuk alas berupa suatu lingkaran. Volume silinder adalah hasil kali luas alas dengan tinggi silinder. Alas silindernya berupa lingkaran, jadi volume silinder diberikan oleh rumus V = r2h, dengan r menyatakan jari-jari lingkaran dan h tinggi silinder.



 PDGK4206/MODUL 4



4.35



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Sebuah balok berukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 5 cm maka volumenya adalah … cm3. A. 240 B. 250 C. 260 D. 230 2) Sebuah prisma segi empat mempunyai alas berbentuk jajaran genjang dengan masing-masing sisinya adalah 5 cm dan 4 cm, tinggi prisma adalah 10 cm, serta volume dari prisma ini adalah 100 cm3. Maka tinggi dari jajaran genjang adalah .... A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm 3) Suatu kolam renang mempunyai panjang 125 m dan lebarnya 100 m. Jika untuk mengisi air sampai penuh di butuhkan air sebanyak 125.000 m3 maka kedalaman kolam tersebut adalah .... A. 20 m B. 25 m C. 10 m D. 5 m 4) Dua buah silinder dengan alas berbentuk lingkaran dengan jari-jari masing-masing 3r dan 2r. Jika tinggi kedua silinder sama maka perbandingan volume dari kedua silinder tadi adalah .... A. 6 : 8 B. 9 : 4 C. 8 : 9 D. 10 : 12



4.36



Pendidikan Matematika 2 



5) Volume bangun ruang berikut ini adalah … cm3 A. 400 B. 350 C. 450 D. 300 6) Volume silinder berikut ini adalah … cm3 A. 200 B. 250 C. 300 D. 350



7) Jika volume prisma segi enam berikut adalah 300 cm3 dan luas alas dari prisma adalah 75 cm3 maka tinggi prisma tersebut adalah … cm. A. 7 B. 4 C. 5 D. 6 8) Sebuah prisma segitiga mempunyai alas berupa segitiga siku-siku, tinggi prisma 10 cm dan volumenya 270 cm3. Jika sisi siku-siku dari segitiga mempunyai perbandingan 2 : 3 maka panjang sisi-sisi tersebut berturutturut adalah …. A. 6 cm, 9 cm B. 4 cm, 6 cm C. 8 cm, 10 cm D. 10 cm, 14 cm 9) Dua buah silinder dengan alas berbentuk lingkaran mempunyai perbandingan volume 2 : 3. Jika jari-jari kedua silinder itu sama maka perbandingan tinggi kedua silinder itu adalah .... A. 2 : 3 B. 4 : 9 C. 8 : 27 D. 1 : 3



4.37



 PDGK4206/MODUL 4



10) Jika volume prisma berikut 300 satuan volume maka tinggi segitiga pada alas prisma tersebut adalah .... A. 3 B. 5 C. 6 D. 4 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar ×100% Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



4.38



Pendidikan Matematika 2 



Kegiatan Belajar 3



Volume Limas dan Kerucut



P



ada Kegiatan Belajar 2, Anda sudah mempelajari konsep volume dari suatu prisma dan silinder. Volume dari suatu silinder tersebut dapat dipandang sebagai suatu pendekatan dari volume suatu prisma, karena silinder itu sendiri merupakan bentuk khusus dari suatu prisma, yaitu prisma dengan alas yang berbentuk suatu lingkaran. A. VOLUME LIMAS Uraian kegiatan belajar ini untuk mengenal dan memahami volume suatu limas serta perluasannya, yaitu penentuan volume dari suatu kerucut. Bentuk limas dalam kehidupan sehari-hari sudah cukup Anda kenal, sebagai contoh bentuk piramida Mesir, bentuk atap rumah kita, tenda pramuka, dan lain-lain. Bagaimana menentukan volume dari bangun-bangun ruang tersebut? Berikut ini Anda akan diberi dua contoh sederhana menghitung volume dari limas. Untuk mempermudah pemahaman, pertama-tama Anda akan dikenalkan pada volume suatu limas dengan alas berbentuk suatu persegi. Untuk itu, perhatikan pembagian bangun ruang yang dilakukan pada kubus berikut ini.



Gambar 4.22.



Apa yang Anda peroleh dari pembagian kubus dengan menghubungkan garis-garis tersebut? Ya, Anda memperoleh tiga limas persegi yang sama dan sebangun. Dengan demikian ketiga limas persegi tersebut akan mempunyai volume yang sama. Ingat: Limas persegi adalah suatu limas yang alasnya berbentuk suatu persegi. Seperti yang telah Anda pelajari sebelumnya tentang volume kubus maka Anda dengan mudah memahami kalau ketiga limas yang sama dan sebangun tadi mengisi kubus tersebut. Apa artinya? Artinya bahwa



4.39



 PDGK4206/MODUL 4



volume dari setiap limas tersebut adalah sama, yaitu satu per tiga dari volume kubus. Selanjutnya, perhatikan prisma segitiga berikut yang dibagi menjadi tiga bagian yang sama seperti pada Gambar 4.23.



Gambar 4.23.



Seperti yang terjadi pada kubus di atas, untuk prisma segitiga ini Anda juga akan memperoleh tiga bangun ruang yang mempunyai volume sama. Bangun ruang yang dimaksud adalah limas segitiga, yaitu limas yang alasnya berbentuk segitiga. Ketiga limas segitiga akan mengisi prisma tersebut dan Anda akan memperoleh kesimpulan: Volume dari limas segitiga tersebut adalah satu per tiga dari volume prisma segitiga.



Secara umum, Anda akan memperoleh volume untuk sebarang limas diberikan oleh teorema berikut. Teorema 4 Volume V dari suatu limas dengan luas alas A dan tinggi h adalah V  13 Ah.



Gambar 4.24.



4.40



Pendidikan Matematika 2 



Contoh 4.16. Diketahui piramida Mesir berbentuk limas dengan alas berbentuk segi enam dengan luas alas 300 m2 dan tinggi 20 m. Tentukan volume dari piramida Mesir tersebut. Penyelesaian: Luas alas piramida Mesir adalah 300 m2 dan tingginya adalah 20 m. Dengan demikian, volume dari piramida Mesir tersebut adalah  300  20  3 3   m  2000 m . 3   Contoh 4.17. Tentukan volume dari limas berikut! (Limas yang tingginya 8 satuan panjang dengan alas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi sikunya adalah 5 dan 6 satuan panjang).



Gambar 4.25.



Penyelesaian: Limas tersebut merupakan suatu limas dengan alas berbentuk segitiga siku-siku. Panjang sisi-sisi siku-sikunya berturut-turut adalah 5 dan 6 satuan panjang. Dengan demikian, luas alas limas tersebut merupakan luas segitiga 5 6  15 satuan luas. Selanjutnya, oleh karena tinggi limas siku-siku, yaitu 2 15  8 tersebut adalah 8 satuan panjang, maka volume limas adalah  40 3 satuan volume.



4.41



 PDGK4206/MODUL 4



B. VOLUME KERUCUT Pada bagian berikut Anda akan mempelajari volume suatu kerucut. Untuk menentukan volume suatu kerucut Anda dapat menggunakan pengalaman Anda dalam menghitung volume suatu silinder. Perhatikan arah perubahan alas dari bangun geometri limas berikut: dari segi-4 beraturan ke segi-n beraturan dengan n yang kian membesar.



Gambar 4.26.



Perlu diingat bahwa bentuk dari perubahan alas limas di atas tidaklah harus menjadi lingkaran pada akhirnya. Mungkin Anda juga sering menjumpai bentuk kerucut dengan bentuk alas seperti gambar berikut ini.



Gambar 4.27.



Kembali pada bentuk perubahan gambar geometri dalam Gambar 4.26 Anda ingat bahwa volume untuk masing-masing limas adalah satu per tiga luas alas dikalikan dengan tinggi limas. Selanjutnya, karena lingkaran (alas dari kerucut) tersebut dapat dipandang sebagai bentuk perubahan alas limas, maka rumus volume untuk limas juga akan berlaku untuk kerucut. Oleh karena itu, Anda akan memperoleh kesimpulan bahwa volume kerucut juga merupakan perkalian luas alas dengan tinggi dibagi dengan tiga.



4.42



Pendidikan Matematika 2 



Secara umum, volume kerucut seperti pada Gambar 4.27 diberikan oleh teorema berikut. Teorema 5 Volume (V ) dari kerucut dengan jari-jari alasnya



r dan tinggi h adalah V  13  r 2 h. Penyelesaian: Oleh karena jari-jari alas dari kerucut tersebut adalah r maka luas alas kerucut itu adalah A   r 2 . Dengan demikian, volume kerucut tersebut adalah V  13  r 2 h.



Gambar 4.28.



Contoh 4.18. Suatu menara berbentuk kerucut pejal dengan alas berbentuk lingkaran yang berjari-jari 15 m. Pembangunan menara tersebut membutuhkan bahan bangunan dengan volume keseluruhan 3000 m3. Tentukan ketinggian dari menara tersebut! Penyelesaian: Alas menara tersebut berbentuk lingkaran dengan jari-jari 15 m maka luas alas kerucut adalah A   152 m2  225 m2 . Sedangkan volume dari bahan bangun yang dibutuhkan untuk membangun menara tersebut menjadi volume dari menara itu sendiri. Dengan demikian, ketinggian dari menara adalah 3  300 40 h m  m. 225  Contoh 4.19. Dua kerucut dengan alas berbentuk lingkaran yang masing-masing dengan jari-jari r dan 2r. Jika tinggi kedua kerucut adalah sama, maka tentukan perbandingan volume dari kedua kerucut tersebut! Penyelesaian: Misalnya, jari-jari kerucut pertama dan kedua berturut-turut adalah r1  r dan r2  2r , serta volume yang berkaitan berturut-turut V1 dan V2 ,



4.43



 PDGK4206/MODUL 4



dan tinggi kedua kerucut tersebut h. Oleh karena itu, perbandingan volume kedua kerucut adalah: V1 : V2  13  r12 h : 13  r22 h



 r12 : r22  r 2 : (2r ) 2  r 2 : 4r 2  1: 4. Jadi, perbandingan volume kedua kerucut adalah 1 : 4. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tentukan volume dari masing-masing bangun ruang berikut!



2) Diketahui suatu kerucut yang alasnya berbentuk lingkaran dan termuat di dalam suatu tabung. Jika jari-jari lingkaran tersebut sama dengan jari-jari alas tabung dan perbandingan tinggi tabung dan tinggi kerucut adalah 3 : 2 maka tentukan perbandingan volume tabung dan kerucut! Petunjuk Jawaban Latihan 1) a) Alas limas berbentuk persegi panjang dengan panjang sisi-sisinya adalah 7 dan 5. Luas alas limas tersebut 35 satuan luas, tinggi limas



4.44



Pendidikan Matematika 2 



6 satuan panjang. Jadi, volume limas adalah



35  6 satuan volume = 3



70 satuan volume. b) Alas kerucut berbentuk lingkaran dengan panjang diameter 48, berarti jari-jari lingkaran alas adalah 24. Untuk mencari tinggi kerucut, perhatikan potongan kerucut dari arah vertikal berikut. Perhatikan segitiga ABC, di mana AB menyatakan tinggi kerucut dan BC adalah jari-jari lingkaran (alas kerucut). Dengan menggunakan rumus Phytagoras diperoleh: AB2 = AC2 – BC2 = 402 – 242 = 1600 – 576 = 1024 AB = 1024 = 32



Jadi, tinggi kerucut tersebut adalah AB  32 satuan panjang. Dengan demikian, volume kerucut adalah: V  13  (24)2 32 satuan volume = 6144π satuan volume. 2) Misalkan V1 dan V2 berturut-turut adalah volume dari tabung dan kerucut, tinggi silinder adalah t dan tinggi kerucut adalah h. Oleh karena perbandingan tinggi tabung dan tinggi kerucut adalah 3 : 2 maka diperoleh hubungan t : h  3: 2. Dengan demikian Anda memperoleh t  32 h dan perbandingan volume tabung dan volume kerucut tersebut adalah V1 : V2   r 2 t : 13  r 2 h



  r 2 32 h : 13  r 2 h  32 : 13  9 : 2. Jadi, perbandingan volume silinder dengan volume kerucut adalah 9 : 2.



 PDGK4206/MODUL 4



4.45



R A NG KU M AN 1.



Volume limas adalah satu per tiga dari hasil kali luas alas dengan tinggi limas tersebut. Misalkan luas alas limas adalah A dan tinggi limas adalah h maka volume limas adalah V  13 Ah.



2.



Kerucut dapat dipandang sebagai suatu limas dengan alas berupa lingkaran. Volume kerucut adalah satu per tiga dari hasil kali luas alas dengan tingginya. Alas kerucut berupa lingkaran maka volume kerucut adalah V  13  r 2 h , dengan r adalah jari-jari lingkaran dan h adalah



3.



tinggi kerucut. TES F OR M AT IF 4 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Tempat es krim berbentuk kerucut dengan jari-jari lingkaran alas 5 cm dan tinggi 30 cm. Volume tempat es krim tersebut adalah … cm3 A. 250 B. 250 C. 300 D. 150 2) Piramida Mesir berbentuk limas segi empat dengan luas alas 150 m2 . Jika tinggi piramida 25 m, maka volume piramida ini adalah … m3 A. 600 B. 300 C. 625 D. 1250 3) Dua limas segi empat mempunyai alas berbentuk persegi yang sebangun. Tinggi masing-masing limas adalah 5 dan 10. Jika volume kedua limas tersebut sama maka perbandingan luas alas kedua limas adalah.... A. 1 : 2 B. 2 : 5 C. 1 : 3 D. 2 : 3



4.46



Pendidikan Matematika 2 



4) Dua kerucut mempunyai alas yang sama dan sebangun. Jika volume dari kedua kerucut tersebut berturut-turut adalah 125 dan 200 satuan volume, maka perbandingan tinggi dari kedua volume tersebut adalah …. A. 3 : 4 B. 5 : 8 C. 2 : 6 D. 4 : 5 5) Diketahui kerucut dengan alas lingkaran yang berdiameter 8 cm dan panjang sisi miringnya 5 cm (lihat gambar). Volume kerucut tersebut adalah … cm3 A. 25 B. 16 C. 9    D. 64 6) Suatu kerucut dengan alas berbentuk lingkaran dan termuat di dalam suatu tabung. Jika jari-jari alas kerucut sama dengan jari-jari alas tabung dan perbandingan tinggi tabung dan kerucut adalah 4 : 3 maka perbandingan volume tabung dan volume kerucut adalah …. A. 3 : 2 B. 3 : 1 C. 4 : 1 D. 4 : 7 7) Suatu tabung dimasukkan ke dalam kerucut sehingga kedua sumbu simetrisnya berimpit. Jika jari-jari lingkaran alas tabung dan jari-jari lingkaran kerucut mempunyai perbandingan 1 : 3 maka perbandingan tinggi tabung dengan tinggi kerucut adalah …. A. 1 : 9 B. 1 : 2 C. 2 : 3 D. 1 : 4 8) Jika panjang sisi dari kubus pada gambar berikut adalah s, maka volume piramida ABCD adalah …. 1 3 A. s 3



4.47



 PDGK4206/MODUL 4



B. C. D.



4 3 s 6 1 3 s 6 2 3 s 3



9) Perbandingan volume piramida ABCD dengan volume kubus pada soal Nomor 8 adalah …. A. 2 : 3 B. 1 : 3 C. 4 : 3 D. 1 : 6 10) Diketahui suatu limas segitiga dengan alas berbentuk segitiga ABC (lihat gambar) dengan tinggi 10 cm. Jika volume limas adalah 1000 cm3 dan perbandingan panjang sisi sikusikunya dari alas adalah 2 : 3 maka panjang sisi siku-siku tersebut adalah …. A. 30 cm dan 50 cm B. 20 cm dan 30 cm C. 49 cm dan 50 cm D. 30 cm dan 40 cm Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar ×100% Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang



4.48



Pendidikan Matematika 2 



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 4. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.



4.49



 PDGK4206/MODUL 4



Kegiatan Belajar 4



Volume Bola



P



ada kegiatan belajar sebelumnya Anda sudah mempelajari volume bangun-bangun geometri, seperti prisma, silinder, limas, dan kerucut. Pada uraian Kegiatan Belajar 4, Anda akan mempelajari konsep volume bola. Sengaja volume bola disendirikan dari bangun geometri lain karena cara memperoleh rumus volume bola berbeda dengan volume bangun geometri sebelumnya. Untuk memperoleh volume bola akan digunakan prinsip Cavalieri yang dirumuskan dengan pernyataan berikut. Prinsip Cavalieri Jika dua bangun ruang pejal terletak di antara dua bidang paralel sehingga setiap irisan kedua bangun ruang tersebut dengan satu bidang yang paralel dengan kedua bidang tadi mempunyai luas yang sama maka volume dari dua bangun ruang tadi adalah sama.



Untuk melihat dengan jelas prinsip Cavalieri di atas perhatikan contoh berikut. Pada gambar berikut disajikan dua silinder dengan penampangnya berbentuk lingkaran dengan panjang jari-jari yang sama dan tinggi dari kedua silinder tersebut juga sama. Dalam hal ini, satu silindernya adalah tegak dan yang lain adalah miring. Ingat bahwa satu bidang yang sama akan memotong masing-masing silinder dan bentuk irisannya berupa lingkaran dengan luas r2. Oleh karena itu, berdasarkan prinsip Cavalieri Anda akan memperoleh kenyataan bahwa kedua silinder tersebut mempunyai volume yang sama.



Gambar 4.29.



4.50



Pendidikan Matematika 2 



Dengan prinsip Cavalieri Anda dapat menjelaskan mengapa volume dari suatu prisma atau silinder hanya bergantung pada alas dan tingginya saja. Dapatkah Anda menggunakan prinsip Cavalieri untuk menghitung volume bola? Oleh karena itu, untuk menentukan volume dari suatu bola, Anda perlu mencari suatu benda ruang yang mempunyai luas irisan sama dengan luas irisan bola. Perhatikan benda pejal (lihat Gambar 4.30) yang diperoleh dari proses pemotongan suatu silinder dengan jari-jari alas r dan tinggi 2r dengan kerucut. Ingat: Ketinggian dari posisi puncak kerucut dan pusat bola adalah sama.



Gambar 4.30.



Potong kedua benda ruang ini (kerucut dan bola) dengan suatu bidang datar yang berjarak a satuan dari pusat bola. Dalam hal ini, “posisi” atau ketinggian dari pusat bola dan puncak kerucut adalah sama. Gambar 4.31 menyajikan tampak depan dari irisan atau perpotongan antara bidang datar dan kedua benda ruang itu.



Gambar 4.31.



4.51



 PDGK4206/MODUL 4



Gambar 4.32 menyajikan tampak atas dari perpotongan bidang datar itu dengan kedua bangun ruang tersebut.



(r2-a2)



(r2-a2) Gambar 4.32.



Perpotongan bidang datar tersebut dengan benda pejal S akan berbentuk suatu daerah lingkaran (daerah yang diarsir) dengan panjang jari-jari luarnya r dan jari-jari dalam a. Sedangkan perpotongan bidang datar tersebut dengan bola akan berbentuk suatu daerah lingkaran (daerah yang diarsir) dengan panjang jari-jari r 2  a 2 . Dengan demikian, hasil potongan benda S akan mempunyai luas permukaan  (r2 – a2) dan hasil potongan bola bidang dengan bidang mempunyai luas permukaan  (r2 – a2). Jadi, luas permukaan dari kedua potongan tersebut adalah sama, yaitu  (r 2  a 2 ). Bidang datar yang digunakan untuk memotong kedua benda pejal tersebut adalah sebarang dengan jarak a satuan dari pusat bola (atau puncak kerucut). Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa setiap pemotongan oleh benda datar terhadap kedua benda pejal itu akan menghasilkan suatu daerah yang luasnya sama. Dengan demikian berdasarkan prinsip Cavalieri, Anda dapat menyimpulkan bahwa volume bola sama dengan volume dari benda S itu. Berapa volume benda S? Perhatikan lagi Gambar 4.30. Anda dapat menyimpulkan bahwa volume benda S adalah hasil pengurangan dari volume silinder dengan volume dari 2 kerucut yang sama. Silinder tersebut mempunyai jari-jari r dan tinggi 2r . Sedangkan kerucut tersebut mempunyai alas dengan jari-jari r dan tinggi r. Dengan demikian volume benda S adalah:



4.52



Pendidikan Matematika 2 



1    r 2 .  2r   2   r 2 . r  3  2  2 r3   r3 3 6 3 2 3  r  r 3 3 4 3  r 3 Dengan demikian, volume untuk bola sudah diperoleh dan disajikan pada teorema berikut. Volume S



Teorema 4.5 Volume (V) dari suatu bola dengan jari-jari r adalah V  34  r 3 .



Gambar 4.33.



Contoh 4.20. Diketahui dua bola yang masing-masing mempunyai jari-jari r dan 2r. Tentukan perbandingan volume dari kedua bola tersebut! Penyelesaian: Misalkan volume bola dengan jari-jari r adalah V1 dan volume bola kedua dengan jari-jari 2r adalah V2 . Maka perbandingan volume kedua bola tersebut adalah:



V1 : V2



3 3 4 3 πr : π  2r  4 3 4 4  = πr 3 :  πr 3  8 3 3    1: 8



=



Jadi, perbandingan volume kedua bola adalah 1 : 8



 PDGK4206/MODUL 4



4.53



Contoh 4.21 Suatu bola dengan jari-jari r termuat di dalam kerucut dengan jari-jari lingkaran alas 2r. Hitunglah perbandingan volume kerucut dan volume bola jika ketinggian kerucut 3r. Penyelesaian: Misalkan volume kerucut adalah V1 dan volume bola adalah V2. Dengan demikian perbandingan volume kerucut dan volume bola adalah sebagai berikut. 1 4 2 V1 : V2 = π  2r  . 3r : πr 2 3 3 12 3 4 3 = πr : πr 3 3 4  4: 3  3 :1 Jadi, perbandingan volume kerucut dan volume bola adalah 3 : 1. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Dengan menggunakan prinsip Cavalieri. Buktikan bahwa volume dari prisma miring dan silinder miring bergantung hanya pada alas dan ketinggiannya! 2) Buatlah kotak kecil yang tepat memuat satu bola. Dalam hal ini, setiap permukaan kotak tersebut menyinggung bola itu. Jika jari-jarinya bola adalah r. Berapa persen dari kotak tadi yang kosong? 3) Berapa kali perubahan dari volume bola jika jari-jari bola berubah dua kalinya? Petunjuk Jawaban Latihan 1) Penjelasan soal ini mirip dengan penjelasan dalam mencari volume bola. Untuk membuktikannya Anda harus mencari benda ruang yang



4.54



Pendidikan Matematika 2 



mempunyai luas perpotongan horizontal (mendatar) sama dengan masing-masing benda tersebut. 2) Andaikan bola mempunyai jari-jari r, dan kotak (kubus) dengan panjang rusuk s. Bola menyentuh sisi-sisi kotak apabila jari-jari dari bola adalah



s . Dengan demikian, volume bola adalah 2 kotak yang tidak terisi bola adalah



3



4 3



s π   . Berarti, persentase 2



3



4 s s3  π   3 2 100%. s3 3) Misalkan jari-jari bola tersebut adalah r. Dengan demikian volume bola 4 r 3 tersebut adalah V0  . Apabila jari-jari bola berubah menjadi 2r, 3 4π(2r)3 4πr 3 maka volume bola sekarang adalah V1  8  4V0 . Jadi, 3 3 perubahan volumenya menjadi 8 kali volume semula. R A NG KU M AN 1.



2.



Misalkan dua benda ruang terletak di antara dua bidang paralel. Jika tiap-tiap irisan mendatar dari kedua benda ini menghasilkan luas permukaan yang sama maka volume dari kedua benda ini adalah sama. (Prinsip Cavalieri). 1 Volume dari bola dengan jari-jari r adalah  r 3 . 3 TES F OR M AT IF 4 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!



1) Diketahui tinggi dari suatu silinder adalah15 cm. Jika volume silinder tersebut adalah 2310 cm3 maka volume bola terbesar yang dapat masuk ke dalam silinder adalah .... A. 143,73 cm3 B. 205,3 cm3



 PDGK4206/MODUL 4



4.55



C. 616 cm3 D. 1437,3 cm3 2) Diketahui dua bola yang masing-masing jari-jarinya adalah r1 dan r2. Jika volume kedua bola tersebut berturut-turut V1 dan V2 dan r2 = 2r1, maka V1 : V2 …. A. 1 : 3 B. 1 : 6 C. 1 : 8 D. 1 : 2 3) Diketahui jari-jari dari bola dan alas suatu silinder adalah 2 m. Jika tinggi dari silinder tersebut adalah 2m maka perbandingan volume bola dan volume silinder adalah .... A. 2 : 1 B. 4 : 3 C. 3 : 2 D. 1 : 1 4) Jika jari-jari bola 1, jari-jari silinder 1, dan tinggi 27 maka perbandingan volume bola dan silinder adalah .... A. 1 : 2 B. 2 : 3 C. 3 : 4 D. 4 : 5 5) Jika volume dari suatu kerucut sama dengan volume bola dan jari-jari alas kerucut sama dengan jari-jari bola, yaitu r maka tinggi kerucut adalah …. A. 3r. B. 2r. C. 5r. D. 4r. 6) Bola dengan jari-jari r dimasukkan ke dalam tempat air yang berbentuk silinder dengan tinggi 2r dan jari-jari lingkaran alasnya r. Persentase air yang tidak tumpah di dalam silinder adalah …. A. 33% B. 40% C. 45% D. 50%



4.56



Pendidikan Matematika 2 



7) Perbandingan volume air yang tidak tumpah pada soal 6 dengan volume bola adalah …. A. 1 : 3 B. 2 : 3 C. 1 : 2 D. 1 : 4 8) Jika perbandingan volume dua bola adalah 1 : 27 maka perbandingan jari-jari dari kedua bola tersebut adalah …. A. 1 : 2 B. 1 : 4 C. 2 : 3 D. 1 : 3 9) Jika perbandingan jari-jari dari dua bola adalah 2 : 3 maka perbandingan volume dari kedua bola tersebut adalah .... A. 8 : 27 B. 4 : 9 C. 16 : 27 D. 1 : 5 10) Satu silinder dengan jari-jari lingkaran alasnya r dan tingginya juga r dimasukkan ke dalam bola yang berjari-jari r. Volume bagian bola yang tidak termuat dalam silinder adalah … volume bola. 2 A. 3 1 B. 3 1 C. 4 3 D. 4



4.57



 PDGK4206/MODUL 4



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 4 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 4. Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar ×100% Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 4, terutama bagian yang belum dikuasai.



4.58



Pendidikan Matematika 2 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C Volume kubus dengan sisi s adalah s3. Sisi kubus A (sA) ukurannya duakali sisi kubus B (sB), yaitu sA = 2 sB. Maka VA  s3A  (2sB )3  8VB . 2)



3) 4)



5) 6)



7) 8) 9)



A Karena embernya sama, berarti alasnya sama, dengan demikian tinggal melihat tingginya. Tinggi oleh botol A adalah 20 cm, tinggi oleh botol B adalah 2 dm. Padahal 2 dm = 20 cm. B 1 liter = 1 dm3. C 270 liter dibagi kepada 10 rumah secara merata. Artinya tiap rumah mendapatkan 27 liter = 27 dm3 = 27.000 mL. Karena bak air berbentuk kubus maka panjang sisi bak mandi adalah 3 27  3 dm = 30 cm = 0,3 m. A Volume kubus 216 mL = 0,216 L. Panjang sisi kubus adalah 3 0, 216  0,6 dm = 6 cm. D Pasir sebanyak 13,5 m3 = 13500 L = 13500000 mL dibagi menjadi 4. Jadi masing-masing bak memiliki volume 3375 L = 3,375 m3. Panjang sisi kubus adalah 3 3375  15 dm. A Luas satu permukaan kubus = s2 = 81 cm2, dengan demikian s = 9 cm. Jadi volume kubus adalah 729 cm3. A Volume kubus A (VA) = 1/8 volume kubus B (VB), maka s3A  1/ 8sB3  sA  1/ 2sB . B Ukuran sisi kubus A (sA) = 3 ukuran sisi kubus B (sB). Maka VA  s3A  (3sB )3  27VB .



10) D Panjang 3 sisi kubus A = 3sA = 12 cm. Jadi sA = 4 cm. Dengan demikian volume kubus A adalah = 64 cm3 = 0,064 L = 64 mL. 11) B Volume balok dengan panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 10 cm adalah V  8.6.10  480 cm3. 12) C Volume balok dengan panjang 6 cm, lebar 5 cm, dan tinggi 2 cm adalah V  6.5.2  60 cm3. 1 1 13) B pA = 2pB, lA = lB, dan tA = tB. Dengan demikian VA = ½ VB . 2 2 14) C Volume balok = luas alas  tinggi. Dengan demikian 340 L = 40 dm2  6 dm.



 PDGK4206/MODUL 4



4.59



15) A Volume balok A dua kali volume balok B, karena tinggi dan lebar sama/dapat dipandang sebagai alasnya. Dengan demikian panjang balok A dua kali panjang balok B. 16) D Karena perbandingan p : l : t = 3 : 2 : 1 dan diketahui l = 4, dengan demikian p = 6 dan t = 2 . Jadi volume bak air = 6  4  2 dm3 = 48 dm3. 17) C Perbandingan p : l : t = 3 : 1 : 2, diketahui volume 18 L. Tinggi bak air tersebut adalah 2/6  18 dm = 6 dm. 1 1 18) C LA = 2 LB dan VA = VB  VA = L A x t A = VB = LB  tB  2 2 2(LA  tA) = LB  tB  2(2LB  tA) = LB x tB  tB = 4 tA ) 19) A Diketahui VA = 8 VB bila kedua balok tersebut adalah kubus dengan sisi masing-masing adalah sA dan sB maka s3A  (2sB )3 atau sA = 2sB. Sisi balok A = 2 sisi balok B. 20) D Volume balok sama dengan 12 x volume kubus, kalau dituliskan VB = 12 VK = 12 s3. Perbandingan unsur balok, yaitu panjang: lebar : tinggi yang memungkinkan kelipatan 12 adalah 3:2:2. Tes Formatif 2 1) A Volume balok = panjang  lebar  tinggi, hasil kali ketiga unsur tersebut menghasilkan 8  6  5 = 240. 2) B Volume prisma = Luas alas jajar genjang  tinggi = Luas jajar genjang  10 = 100 cm3. Jadi luas jajar genjang = 10 cm2, padahal luas jajar genjang = alas  tinggi = 5  tinggi cm2 = 10 cm2. Jadi tinggi jajar genjang adalah 2 cm. 3) C Volume kolam = panjang  lebar  tinggi (kedalaman) = 125.000 m3. Diketahui panjang 125 m, lebar 100 m, dengan demikian kedalaman kolam adalah 125.000/12.500 m = 10 m. 4) B Volume silinder = luas alas  tinggi, karena alas silinder adalah lingkaran, dengan demikian volume silinder =  r 2 t . Selanjutnya diketahui alas masing-masing silinder adalah 3r dan 2r, jadi V1 : V2 =  (3r )2 t :  (2r )2 t = 9 : 4. 5) C



6) C



Karena alas prisma berbentuk trapesium maka volume prisma tersebut adalah = luas trapesium  tinggi = [½ (9 + 3)  5]  15 cm3 = 450 cm3. Volume silinder = luas alas x tinggi = 30  10 cm3 = 300 cm3.



4.60



7) B 8) A



9) A



10) B



Pendidikan Matematika 2 



Volume prisma = luas alas x tinggi  300 = 75  tinggi  tinggi = 300/75 = 4 cm. Volume prisma = luas alas  tinggi  270 = luas alas  10  luas alas = 27 cm2. Alas berupa segitiga siku-siku dengan sisi-sisi s1 dan 1 1 s2, luas segitiga = s1  s2. Dengan demikian 27 = s1  s2 atau 2 2 s1  s2 = 54. Panjang sisi-sisi segitiga yang memenuhi kesamaan tersebut adalah 6 cm dan 9 cm. Karena jari-jari alas kedua silinder sama, maka luas alas kedua silinder adalah sama (L1=L2). Perbandingan kedua silinder adalah V1:V2 = L1  t1 : L2  t2  2 : 3 = t1 : t2. Prisma tersebut memiliki alas berbentuk segitiga, volume prisma = luas alas  tinggi  300 = luas alas  15  luas alas = 20. Karena alas berbentuk segitiga dengan sisi 8, maka tinggi segitiga adalah 5.



Tes Formatif 3 1) B Gunakan rumus volume kerucut. 2) D Gunakan rumus limas. 3) A Karena volume kedua limas sama dan perbandingan tinggi kedua limas adalah 5 : 10 = 1 : 2, maka perbandingan kedua alasnya adalah 1 : 2) 4) B Perbandingan kedua volume kerucut 125 : 200 = 5 : 8, karena alas kedua kerucut sama dan sebangun maka perbandingan tinggi akan sama dengan perbandingan volumenya. 5) B Hitung tinggi kerucut, tinggi kerucut sesuai hukum Pythagoras adalah 3. Dengan demikian volume kerucut = 6) C



7) C 8) C



 3



 42  3  16 .



Volume tabung : volume kerucut =  r 2tTB :







r 2tTK  tTB : 13 tTK , 3 karena perbandingan tinggi tabung : tinggi kerucut = 4 : 3 maka perbandingan volume kedua benda tersebut adalah 4 : 3  1/3 = 4 : 1. Berdasarkan perbandingan alas tabung dan kerucut, diperoleh perbandingan tinggi kedua benda tersebut adalah 2 : 3. 1 Bangun tersebut adalah bagian dari volume kubus. 6



 PDGK4206/MODUL 4



4.61



9) D 10) B



Jelas. Luas alas limas = 1000/10  3 = 300. Perbandingan sisi siku-siku 1 yang menghasilkan luas tersebut adalah 20  30 = 300. 2 Tes Formatif 4 1) D Volume silinder 2310, tinggi silinder 15. Dengan demikian luas alas silinder adalah 154 cm2 dengan demikian jari-jari lingkaran alas 4  7 cm. Volume bola  π(73 ) . 3 2) C Perbandingan V1 : V2 = r13 : r23  V1 : V2 = 1 : 8)



4 3 πr  Vsilinder : Vbola = = 1 : 4/3) 3 4 = πr 2 × t : πr 3  Vsilinder : Vbola = = 1 : 4/3  27 = 3



3) B



Vsilinder : Vbola = πr 2 × t :



4)



Vsilinder : Vbola 1 : 36.



5) D



Vkerucut = Vbola, jejari bola = jejari alas kerucut 



4 3 1 2 πr  πr t 3 3



 t = 4 r. 6) A



Volume silinder = πr 2 (2r)  2πr 3 , volume bola =



2 3 πr , dengan demikian persentase terhadap 3 (2 / 3) 100%  33% . volume silinder adalah 2 ( 2/3) : (4/3) = 1 : 2. Perbandingan dua volume bola 1 : 27  perbandingan jari-jari 1 : 3. perbandingan dua jari-jari bola adalah 2 : 3  perbandingan volume 23 : 33 = 8 : 27. 4 Volume silinder πr 3 , volume bola πr 3 selisih dua volume adalah 3 1 3 πr . Selisih bila dibandingkan dengan volume bola (1/3) : (4/3) = 3 1 : 4. kedua volume adalah



7) C 8) D 9) A 10) C



4 3 πr . Selisih 3



4.62



Pendidikan Matematika 2 



Daftar Pustaka Troutman, P. Andria dan Betty K. Lichtenberg. (1982). Mathematics: A Good Beginning. USA: Brooks/Cole Publishing Company.



Modul 5



Simetri Sudirman



PEN D A HU L UA N



M



ateri dalam Modul 5 ini membahas tentang simetri lipat, simetri putar serta pengubinan, pencerminan, dan sistem koordinat yang dibagi menjadi 3 (tiga) kegiatan belajar sebagai berikut. 1. Kegiatan Belajar 1: Simetri Lipat. 2. Kegiatan Belajar 2: Simetri Putar. 3. Kegiatan Belajar 3: Pengubinan, Pencerminan, dan Sistem Koordinat. Untuk mempelajari modul ini Anda diharapkan memahami konsep bangun datar yang telah dibahas dalam Modul 1. Petunjuk Belajar! 1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan modul ini sehingga Anda memahami betul apa isi dan bagaimana memulai belajar modul ini. 2. Pelajarilah kembali Modul 1 yang membahas Bangun Datar karena bahasan itu merupakan prasyarat dalam mempelajari modul ini. 3. Pelajarilah dengan saksama bahasan dalam modul ini. Jika ada bagian yang belum Anda pahami, tanyakanlah kepada teman atau tutor Anda. 4. Kerjakanlah sendiri soal-soal latihan yang diberikan, kemudian diskusikan hasil yang Anda peroleh dengan teman atau tutor Anda. 5. Pelajarilah kembali uraian dan latihan dalam modul ini. 6. Kerjakanlah sendiri soal-soal tes formatif yang diberikan, kemudian diskusikan hasil yang Anda peroleh dengan teman atau tutor Anda. 7. Pelajarilah dengan baik modul ini secara berurutan. Jika Kegiatan Belajar 1 belum Anda kuasai dengan baik, jangan melanjutkan ke Kegiatan Belajar 2 dan seterusnya.



5.2



Pendidikan matematika 2 



Kemampuan memahami materi dalam Modul 5 ini sangat penting bagi Anda untuk dapat mengajarkan konsep simetri kepada siswa sesuai dengan kurikulum SD. Dengan mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu memahami konsep simetri, dapat menerapkan dalam kehidupan sehari-hari dan terampil mengajarkannya. Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu: 1. memberikan contoh bangun datar yang mempunyai simetri lipat; 2. menentukan sumbu simetri dari suatu bangun datar yang diberikan; 3. menentukan banyaknya simetri lipat suatu bangun datar; 4. mendefinisikan istilah simetri lipat secara induktif; 5. mengelompokkan bangun-bangun datar berdasarkan banyaknya simetri lipat; 6. memberikan contoh bangun datar yang mempunyai simetri putar; 7. menentukan pusat putar suatu bangun datar yang diberikan; 8. menentukan besarnya sudut putar; 9. menentukan banyaknya simetri putar suatu bangun datar; 10. mendefinisikan istilah simetri putar secara induktif; 11. memberikan contoh bangun datar yang mempunyai simetri lipat dan simetri putar; 12. memberikan contoh bangun datar yang banyaknya simetri lipat dan simetri putarnya sama; 13. menentukan banyaknya ubin kongruen yang diperlukan untuk menutup suatu bangun datar; 14. menentukan hubungan antara simetri lipat dan pencerminan; 15. menentukan koordinat suatu titik.



5.3



 PDGK4206/MODUL 5



Kegiatan Belajar 1



Simetri Lipat



S



ekarang Anda ambil selembar kertas atau karton. Lipat kertas atau karton tadi satu kali menurut kemauan Anda. Apa yang Anda peroleh? Anda tentunya memperoleh dua buah bangun yang dipisahkan oleh lipatan tadi. Apakah dua buah bangun yang Anda peroleh di atas pasti mempunyai bentuk dan ukuran yang sama atau kongruen? Selanjutnya ambil lagi selembar kertas atau karton yang berbentuk persegi panjang. Beri nama titik sudut-titik sudutnya dengan A, B, C, dan D. Tandai dengan titik tempat yang letaknya di tengah-tengah AB dan BD, dan beri nama dengan P dan Q. Lipat kertas atau karton tersebut menurut titik P dan Q. Apa yang Anda peroleh? Anda tentunya memperoleh dua buah bangun yang dipisahkan oleh ruas garis PQ tadi. Apakah dua buah bangun yang Anda peroleh di atas mempunyai bentuk dan ukuran yang sama atau kongruen? Kegiatan yang Anda lakukan di atas dapat digunakan untuk menjelaskan konsep simetri lipat. Perhatikan persegi panjang ABCD berikut.



Gambar 5.1.



Misalkan, g adalah garis yang posisinya, seperti pada Gambar 5.1. Jika persegi panjang ABCD dilipat sepanjang garis g maka proses ini disebut gerak lipat.



5.4



Pendidikan matematika 2 



Selanjutnya perhatikan Gambar 5.2 berikut.



dilipat



Gambar 5.2.



Jika persegi panjang ABCD dilipat sepanjang garis g maka titik sudut A berimpit dengan titik sudut D, titik sudut B berimpit dengan titik sudut C, titik E berimpit dengan titik E dan titik F berimpit dengan titik F. Demikian juga ruas garis AB berimpit dengan ruas garis DC, ruas garis AE berimpit dengan ruas garis ED dan ruas garis BF berimpit dengan ruas garis FC. Jika gerak lipat yang dilakukan menghasilkan dua bangun datar yang kongruen seperti ini maka dikatakan persegi panjang ABCD mempunyai simetri lipat, dan g disebut sumbu simetri. Banyaknya simetri lipat suatu bangun datar adalah banyaknya gerak lipat yang menghasilkan dua buah bangun datar yang kongruen. Dapatkah Anda menemukan simetri lipat yang lain pada persegi panjang ABCD? Selanjutnya dapatkah Anda menentukan ada berapa banyak simetri lipat pada persegi panjang ABCD? Catatan: Banyaknya simetri lipat suatu bangun datar sama dengan banyaknya sumbu simetri. Contoh 5.1. Tentukan banyaknya simetri lipat bangun datar pada Gambar 5.3 berikut.



Gambar 5.3.



5.5



 PDGK4206/MODUL 5



Penyelesaian: Perhatikan Gambar 5.4 berikut.



Gambar 5.4.



Misalkan, titik-titik F, G, H, I dan J berturut-turut adalah titik yang berada di tengah-tengah ruas garis AB, BC, CD, DE, dan EA. Maka, garis yang melalui A dan H, B dan I, C dan J, D dan F, serta E dan G berturut-turut merupakan sumbu simetri bangun datar pada Gambar 5.3. Karena bangun datar tersebut mempunyai lima sumbu simetri maka banyaknya simetri lipat juga lima. Jadi, banyaknya simetri lipat bangun pada Gambar 5.3 adalah lima. Contoh 5.2. Tentukan banyaknya simetri lipat bangun datar pada Gambar 5.5 berikut. A F



B



E



C D Gambar 5.5.



5.6



Pendidikan matematika 2 



Penyelesaian: Perhatikan Gambar 5.6 berikut.



Gambar 5.6.



Misalkan titik, G, H, I, J, K, dan L berturut-turut adalah titik yang berada di tengah-tengah ruas garis AB, BC, CD, DE, EF, dan FA. Maka, garis yang melalui titik A dan D, B dan E, C dan F, G dan J, H dan K, serta I dan L berturut-turut merupakan sumbu simetri bangun datar pada Gambar 5.5. Jadi, banyaknya simetri lipat bangun pada Gambar 5.5 adalah 6. Catatan: Garis putus-putus pada Gambar 5.6 adalah sumbu simetri dari bangun datar yang diberikan. Contoh 5.3. Tentukan banyaknya simetri lipat bangun datar berikut.



Gambar 5.7.



Penyelesaian: Jika Anda melakukan gerak lipat terhadap bangun datar pada Gambar 5.7 terhadap suatu garis maka Anda tidak akan memperoleh dua bangun datar



 PDGK4206/MODUL 5



5.7



yang kongruen. Ini berarti bangun datar tersebut tidak mempunyai sumbu simetri. Jadi, bangun datar pada Gambar 5.7 tidak mempunyai simetri lipat. Catatan: Untuk menjelaskan konsep simetri lipat kepada siswa SD, Anda hendaknya menggunakan benda-benda konkret sebagai media atau alat peraga. Gambar-gambar bangun datar seperti yang telah diuraikan di atas dapat Anda ganti dengan bahan kertas, karton atau yang lainnya, asalkan mudah dipahami oleh siswa. Sebagai contoh, Anda akan menjelaskan bahwa bangun datar persegi ABCD mempunyai empat simetri lipat, Anda tunjukkan dengan kertas atau karton yang berbentuk persegi kepada siswa, kemudian dilipat sehingga kertas atau karton tadi menjadi dua buah bangun yang kongruen. Lakukan kegiatan ini dengan cara lain yang juga menghasilkan dua buah bangun yang kongruen. Banyaknya cara melipat kertas atau karton sehingga menghasilkan dua buah bangun yang kongruen menunjukkan banyaknya simetri lipat bangun tersebut. Bekas atau tempat lipatnya disebut sumbu simetri. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai satu simetri lipat. Bangun datar apakah yang Anda buat? 2) Tentukan sumbu simetri bangun datar yang Anda buat pada soal nomor 1 dengan jalan menandai dengan garis putus-putus! 3) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut. ”Segitiga yang hanya mempunyai suatu simetri lipat adalah segitiga sama sisi”. Jelaskan! 4) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai dua simetri lipat. Bangun datar apakah yang Anda buat? 5) Tentukan sumbu simetri bangun datar yang Anda buat pada soal nomor 4 dengan jalan menandainya dengan garis putus-putus. 6) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai tiga simetri lipat. Bangun datar apakah yang Anda buat? 7) Tentukan sumbu simetri bangun datar yang Anda buat pada soal nomor 6 dengan jalan menandainya dengan garis putus-putus!



5.8



Pendidikan matematika 2 



8) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut. "Segitiga yang mempunyai tiga simetri lipat adalah segitiga sama kaki". Jelaskan! 9) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai empat simetri lipat. Bangun datar apakah yang Anda buat? 10) Tentukan sumbu simetri bangun datar yang Anda buat pada soal nomor 9 dengan jalan menandainya dengan garis putus-putus! 11) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut. "Segi empat yang mempunyai empat simetri lipat adalah persegi panjang". Jelaskan! Petunjuk Jawaban Latihan 1) Cobalah Anda perhatikan bangun datar segitiga sama kaki. 2) Buatlah suatu garis pada bangun datar tersebut sehingga jika dilipat menurut garis diperoleh dua bangun datar yang kongruen. 3) Salah, coba Anda lakukan kegiatan melipat. 4) Perhatikan bangun datar persegi panjang. 5) Cukup jelas. 6) Perhatikan bangun datar segitiga sama sisi. 7) Cukup jelas. 8) Salah, coba Anda lakukan kegiatan melipat. 9) Perhatikan bangun datar persegi. 10) Cukup jelas. 11) Salah, coba Anda lakukan kegiatan melipat. R A NG KU M AN 1.



2.



3.



4.



Jika suatu bangun datar yang dikenai gerak lipat menghasilkan dua buah bangun datar yang kongruen maka bangun datar tersebut dikatakan mempunyai simetri lipat. Suatu bangun datar dikatakan mempunyai simetri lipat jika terdapat suatu gerak lipat yang menghasilkan dua bangun datar yang kongruen. Suatu bangun datar dikatakan mempunyai simetri lipat jika terdapat suatu garis sehingga jika bangun itu dilipat menurut garis tersebut menghasilkan dua buah bangun datar yang kongruen. Banyaknya simetri lipat suatu bangun datar sama dengan banyaknya sumbu simetri.



5.9



 PDGK4206/MODUL 5



TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Dari bangun datar-bangun datar berikut ini yang mempunyai simetri lipat adalah... A.



B.



C.



D.



2) Perhatikan kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di bawah ini.



Di antara kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di atas yang semua anggotanya mempunyai simetri lipat adalah .... A. I B. II C. III D. IV



5.10



Pendidikan matematika 2 



3) Perhatikan kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di bawah ini.



Di antara kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di atas yang semua anggotanya mempunyai banyak simetri lipat yang sama adalah.... A. I B. II C. III D. IV 4) Perhatikan kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di bawah ini.



 PDGK4206/MODUL 5



5.11



Di antara kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di atas yang semua anggotanya tidak mempunyai simetri lipat adalah …. A. I B. II C. III D. IV 5) Diberikan bangun datar persegi, seperti gambar berikut.



Banyaknya sumbu simetri bangun datar tersebut adalah …. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6) Diberikan bangun datar persegi panjang, seperti gambar berikut.



Banyaknya simetri lipat bangun datar tersebut adalah …. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



5.12



Pendidikan matematika 2 



7) Diberikan bangun datar segi-8 (beraturan), seperti gambar berikut ini.



Banyaknya simetri lipat dan sumbu simetri bangun datar tersebut berturut-turut adalah …. A. 4 dan 8 B. 6 dan 12 C. 8 dan 8 D. 12 dan 6 8) Segi empat yang mempunyai tepat empat sumbu simetri adalah …. A. jajar genjang B. persegi C. persegi panjang D. layang-layang 9) Diberikan tiga buah bangun datar (persegi, persegi panjang, dan segitiga sama sisi), seperti gambar berikut.



Banyaknya simetri adalah …. A. 2, 4 dan 3 B. 4, 2 dan 3 C. 4, 4 dan 1 D. 2, 2 dan 1



lipat ketiga bangun datar di atas berturut-turut



5.13



 PDGK4206/MODUL 5



10) Dari tiga buah bangun datar berikut, yang semuanya tidak mempunyai simetri lipat adalah …. A.



B.



C.



D.



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



5.14



Pendidikan matematika 2 



Kegiatan Belajar 2



Simetri Putar



P



ada Kegiatan Belajar 1, Anda telah mengenal istilah gerak lipat yang mendahului pembahasan simetri lipat. Di dalam Kegiatan Belajar 2 ini kepada Anda akan diperkenalkan dengan istilah gerak putar yang akan mendahului pembahasan simetri putar. Coba Anda ambil selembar kertas atau karton berwarna putih yang berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisinya 30 cm. Beri nama semua titik sudutnya masing-masing dengan A, B dan C. Kemudian, ambil lagi karton berwarna merah yang berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang dan lebarnya berturut-turut adalah 30 cm dan 1 cm. Rekatkan salah satu ujung karton berwarna merah ke kertas atau karton yang berwarna putih dengan menggunakan lem (perekat). Tempelkan hasil yang Anda peroleh di papan tulis, kemudian ujung yang lain dari karton berwarna merah (yang ditandai dengan paku) Anda pegang.



Gambar 5.8.



Lukislah segitiga sama sisi di papan tulis tepat dimana karton putih menempel. Putar kertas atau karton berwarna merah sesuai dengan kemauan



5.15



 PDGK4206/MODUL 5



Anda. Apakah ada kemungkinan kertas atau karton tadi menempati tempatnya semula? Jika jawab Anda ya, berapa besar sudut putarnya? Selanjutnya ambil lagi selembar kertas atau karton yang berbentuk persegi. Beri nama titik-titik sudutnya dengan A, B, C dan D. Anda hubungkan dengan garis, titik A dan C serta titik B dan D. Tandailah dengan titik tempat perpotongan ruas garis AC dan BD serta beri nama T. Tempelkan kertas atau karton tersebut ke tembok dengan menggunakan jarum atau paku melalui titik T. Putar kertas atau karton tadi menurut kemauan Anda. Apakah ada kemungkinan kertas atau karton tadi menempati tempatnya semula? Jika jawab Anda ya, ada berapa cara? Berapa masing-masing besar sudut putarnya? Kegiatan yang Anda lakukan di atas dapat digunakan untuk menjelaskan konsep simetri putar. Perhatikan gambar berikut ini.



Gambar 5.9.



Tetapkan suatu titik T di luar persegi panjang ABCD. Hubungkan keempat titik sudutnya dengan T, kemudian putar sehingga tepat berimpit dengan persegi panjang EFGH. Proses memutar persegi panjang ABCD sehingga menempati persegi panjang EFGH melalui titik T disebut gerak putar. Titik T disebut pusat putar dan  adalah sudut putar (lihat Gambar 5.10).



5.16



Pendidikan matematika 2 



Gambar 5.10.



Keadaan lain yang dapat terjadi adalah titik T terletak pada persegi panjang ABCD (lihat Gambar 5.11).



Gambar 5.11.



Catatan: 1. Ada dua kemungkinan letak pusat putar. Pertama, pusat putar terletak di luar bidang datar yang diputar, dan kedua, pusat putar terletak pada bidang datar yang diputar. 2. Untuk selanjutnya, di dalam pembahasan Kegiatan Belajar 2 ini, yang dimaksud dengan pusat putar adalah sebagai berikut.



5.17



 PDGK4206/MODUL 5



a.



3.



Jika bangun datarnya berupa lingkaran, maka pusat putarnya adalah pada pusat lingkaran. b. Jika bangun datarnya berupa persegi atau persegi panjang, maka pusat putarnya adalah perpotongan dari kedua diagonalnya. c. Jika bangun datarnya berupa segitiga, maka pusat putarnya adalah perpotongan dari titik-titik beratnya, dan seterusnya. Dengan demikian, untuk selanjutnya suatu titik yang tidak memenuhi ketentuan seperti pada Catatan 2, tidak disebut pusat putar. Jadi pusat putar suatu bangun datar terletak pada titik berat bangun datar tersebut. Selanjutnya perhatikan Gambar 5.12 berikut ini.



Gambar 5.12.



Hubungkan titik A dengan C dan titik B dengan D. Sebut perpotongan ruas garis AC dan BD dengan Titik K. Jika titik A diputar 90 0 searah jarum jam dengan pusat K maka titik A menempati titik B, titik B menempati titik C, titik C menempati titik D dan titik D menempati titik A. Selanjutnya ruas garis AB menempati ruas garis BC, ruas garis BC menempati ruas garis CD, ruas garis CD menempati ruas garis DA dan ruas garis DA menempati ruas garis AB. Demikian juga jika titik A diputar 180o berlawanan arah dengan arah jarum jam maka titik A menempati titik C, titik B menempati titik D, titik C menempati titik A dan titik D menempati titik B. Ruas garis AB menempati ruas garis DC, ruas garis BC menempati ruas garis AD, ruas garis CD menempati ruas garis AB dan ruas garis DA menempati ruas garis BC.



5.18



Pendidikan matematika 2 



Proses perputaran bangun datar pada Gambar 5.12 dapat Anda lihat pada Gambar 5.13 dan 5.14.



Gambar 5.13



Gambar 5.14



Suatu bangun datar dikatakan mempunyai simetri putar jika terdapat suatu gerak putar sehingga bangun datar tersebut menempati tempatnya semula. Setiap bangun datar senantiasa mempunyai simetri putar. Suatu bangun datar dikatakan mempunyai tepat satu simetri putar, jika bangun datar tersebut hanya mempunyai gerak putar identitas. Jadi, jika  adalah besarnya sudut putar maka  harus memenuhi hubungan 0o  α  360o . Suatu gerak putar disebut gerak putar identitas jika  = 360o. Contoh 5.4. Tentukan banyaknya simetri putar bangun datar segitiga sama sisi berikut ini.



Gambar 5.15.



5.19



 PDGK4206/MODUL 5



Penyelesaian: Misalkan, titik E adalah titik tengah ruas garis BC dan F titik tengah ruas garis AB. Hubungkan titik A dan E serta C dan F. Misalkan, titik P adalah titik perpotongan antara ruas garis AE dan CF. Jika bangun datar pada Gambar 5.15 diputar dengan pusat putar di P sebesar 120 o searah jarum jam maka titik A menempati titik B, titik B menempati titik C dan titik C menempati titik A. Jadi, bangun datar tersebut menempati tempatnya semula. Jika bangun datar pada Gambar 5.15 diputar dengan pusat putar di P sebesar 2400 searah jarum jam maka titik A menempati titik C, titik B menempati titik A dan titik C menempati titik B. Jadi bangun datar tersebut juga menempati tempatnya semula. Bangun datar tersebut juga mempunyai gerak putar identitas maka dikatakan bangun datar pada Gambar 5.15 mempunyai tiga simetri putar (lihat Gambar 5.16).



Gambar 5.16.



Contoh 5.5. Tentukan banyaknya simetri putar bangun datar persegi panjang berikut ini.



Gambar 5.17.



5.20



Pendidikan matematika 2 



Penyelesaian: Hubungkan titik A dan C serta B dan D. Misalkan, Q adalah titik perpotongan antara ruas garis AC dan BD. Jika bangun datar pada Gambar 5.17 diputar sebesar 1800 searah jarum jam dengan sudut putar di Q maka titik A menempati titik C, titik B menempati titik D, titik C menempati titik A dan titik D menempati titik B. Jadi, bangun datar tersebut menempati tempatnya semula. Karena bangun datar itu juga mempunyai gerak putar identitas maka dikatakan bangun datar pada Gambar 5.17 mempunyai dua simetri putar (lihat Gambar 5.18).



Gambar 5.18.



Contoh 5.6. Tentukan banyaknya simetri putar bangun datar segitiga sama kaki berikut ini.



Gambar 5.19.



Penyelesaian: Bangun datar di atas hanya mempunyai gerak putar identitas. Jadi segitiga sama kaki hanya mempunyai satu simetri putar. Catatan: Untuk menjelaskan konsep simetri putar kepada siswa SD, Anda hendaknya menggunakan benda-benda konkret sebagai media atau alat



 PDGK4206/MODUL 5



5.21



peraga. Gambar-gambar bangun datar, seperti diuraikan di atas dapat Anda ganti dengan bahan kertas, karton atau yang lainnya, asal mudah dipahami siswa. Contoh, Anda akan menjelaskan bahwa bangun datar persegi ABCD mempunyai empat simetri putar, Anda tunjukkan kertas atau karton yang persegi sangkar kepada siswa. Anda beri nama titik sudut-titik sudut kertas atau karton di atas dengan A, B C dan D. Kemudian, hubungkan dengan benang titik A dan C serta B dan D. Misalkan perpotongannya adalah P. Anda tandai titik P dengan paku, kemudian putar bangun tadi dengan pusat di P sebesar 0o, 90o, 180o dan 360o searah jarum jam. Maka, bangun tadi menempati tempatnya semula. Jadi, banyaknya simetri putar bangun tersebut adalah empat. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai lima simetri putar. Bangun datar apakah yang Anda buat? 2) Tentukan pusat simetri bangun datar yang Anda buat pada soal nomor 1 dengan jalan menandai dengan titik! 3) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut. Segi empat yang hanya mempunyai dua simetri putar adalah persegi. Jelaskan! 4) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai enam simetri putar. Bangun datar apakah yang Anda buat? 5) Tentukan pusat simetri bangun datar yang Anda buat pada soal nomor 4 dengan jalan menandai dengan titik! 6) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai tiga simetri putar. Bangun datar apakah yang Anda buat? 7) Tentukan pusat simetri bangun datar yang Anda buat pada soal nomor 6 dengan jalan menandai dengan titik! 8) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut. Segitiga yang mempunyai tiga simetri putar adalah segi tiga sama kaki. Jelaskan! 9) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai empat simetri putar. Bangun datar apakah yang Anda buat? 10) Tentukan pusat simetri bangun datar yang Anda buat pada soal nomor 9 dengan jalan menandai dengan titik!



5.22



Pendidikan matematika 2 



11) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut: segi empat yang mempunyai empat simetri putar adalah persegi panjang. Jelaskan! 12) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang tidak mempunyai simetri putar. Bangun datar apakah yang Anda buat? 13) Buat suatu bangun datar yang mempunyai simetri putar, tetapi tidak mempunyai simetri lipat! 14) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut. "Suatu bangun datar yang mempunyai simetri putar pasti mempunyai simetri lipat". Jelaskan! 15) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut. Suatu bangun datar yang mempunyai simetri putar pasti tidak mempunyai simetri lipat. Jelaskan! Petunjuk Jawaban Latihan 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)



Perhatikan bangun datar segitiga beraturan. Cukup jelas. Salah, coba Anda lakukan gerak putar. Perhatikan segienam beraturan. Cukup jelas. Perhatikan segitiga sama sisi. Cukup jelas. Cukup jelas. Perhatikan bangun datar persegi. Cukup jelas. Cukup jelas. Cukup jelas. Cukup jelas. Cukup jelas. Cukup jelas. R A NG KU M AN



1. 2.



Pusat putar suatu bangun datar terletak pada titik berat bangun datar tersebut. Suatu bangun datar dikatakan mempunyai simetri putar jika terdapat suatu gerak putar sehingga benda putar tersebut menempati tempatnya semula.



5.23



 PDGK4206/MODUL 5



3. 4. 5.



Suatu bangun datar yang hanya mempunyai gerak putar identitas dikatakan mempunyai satu simetri putar. Suatu gerak putar dikatakan gerak putar identitas jika besarnya sudut putar  = 360o. Jika  adalah besarnya sudut putar maka  harus memenuhi hubungan 0o  α  360o . TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!



1) Di antara bangun datar berikut ini yang mempunyai lebih dari satu simetri putar adalah …. A. C.



B.



D.



2) Perhatikan kelompok bangun datar-kelompok bangun datar berikut.



5.24



Pendidikan matematika 2 



Di antara kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di atas yang semua anggota mempunyai lebih dari satu simetri putar adalah …. A. I B. II C. III D. IV 3) Perhatikan kelompok bangun datar-kelompok bangun datar berikut.



I



II



III



IV



Di antara kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di atas yang semua anggotanya mempunyai banyak simetri putar yang sama adalah .... A. I B. II C. III D. IV 4) Perhatikan kelompok bangun datar-kelompok bangun datar berikut. I



II



5.25



 PDGK4206/MODUL 5



III



IV



Di antara kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di atas yang semua anggotanya hanya mempunyai satu simetri putar adalah …. A. I B. II C. III D. IV 5) Diberikan bangun datar segitiga sama kaki, seperti gambar berikut ini.



Banyaknya simetri putar bangun datar di atas adalah …. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6) Diberikan bangun datar seperti gambar berikut ini.



5.26



Pendidikan matematika 2 



Banyaknya simetri putar bangun datar tersebut adalah …. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7) Diberikan tiga buah bangun datar seperti berikut ini.



Banyaknya simetri putar bangun datar-bangun datar tersebut berturutturut adalah .... A. 1, 0 dan 2 B. 2, 0 dan 1 C. 2, 1 dan 2 D. 2, 0 dan 2 8) Segi empat yang mempunyai tepat empat simetri putar adalah …. A. jajar genjang B. persegi C. persegi panjang D. layang-layang 9) Diberikan tiga buah bangun datar, yaitu persegi panjang ABCD, persegi panjang EFGN, dan persegi IJKL seperti berikut ini.



Banyaknya simetri putar ketiga bangun datar di atas berturut-turut adalah …. A. 2, 4, dan 2 B. 4, 2, dan 3 C. 2, 2, dan 4 D. 2, 3, dan 4



5.27



 PDGK4206/MODUL 5



10) Dari empat kelompok bangun datar di bawah ini yang semuanya hanya mempunyai satu simetri putar adalah … A.



B.



C.



D.



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



5.28



Pendidikan matematika 2 



Kegiatan Belajar 3



Pengubinan, Pencerminan, dan Sistem Koordinat A. PENGUBINAN Coba Anda perhatikan rumah atau sekolah Anda atau tempat-tempat lain yang lantainya ditutup dengan ubin (keramik). Ubin-ubin itu dipasang dengan tepat; yang satu di samping yang lain, tanpa ada celah di antaranya dan tanpa tumpang tindih. Biasanya ubin yang digunakan mempunyai bentuk dan ukuran yang sama atau kongruen. Proses menutup lantai dengan ubin sehingga tanpa ada celah di antaranya dan tanpa tumpang tindih disebut pengubinan. Sebagai contoh perhatikan beberapa pengubinan berikut ini. 1.



Pengubinan dengan Persegi Panjang yang Kongruen Perhatikan Gambar 5.20 berikut ini.



Gambar 5.20.



Lanjutkan pengubinan di atas sehingga bangun datar yang diberikan semuanya tertutup.



5.29



 PDGK4206/MODUL 5



2.



Pengubinan dengan Persegi yang Kongruen Perhatikan Gambar 5.21 berikut ini.



Gambar 5.21.



Lanjutkan pengubinan di atas sehingga bangun datar yang diberikan semuanya tertutup. 3.



Pengubinan dengan Segitiga Sama Kaki yang Kongruen Perhatikan Gambar 5.22 berikut ini



Gambar 5.22.



Lanjutkan pengubinan di atas sehingga bangun datar yang diberikan semuanya tertutup.



5.30



4.



Pendidikan matematika 2 



Pengubinan dengan Segitiga Sama Sisi yang Kongruen Perhatikan Gambar 5.23 berikut ini.



Gambar 5.23.



Lanjutkan pengubinan di atas sehingga bangun datar yang diberikan semuanya tertutup. Catatan: Pengubinan terhadap suatu bidang datar tidak harus selalu memakai atau menggunakan bangun datar-bangun datar yang kongruen dan juga tidak harus selalu menggunakan satu macam bangun datar saja. Anda boleh saja melakukan pengubinan terhadap suatu bidang datar dengan menggunakan bangun datar-bangun datar beraturan. Di samping itu Anda boleh juga melakukan pengubinan dengan menggunakan lebih dari satu macam bangun datar. 5.



Pengubinan dengan Segilima Beraturan dan Segitiga Sama Kaki Perhatikan Gambar 5.24 berikut ini.



Gambar 5.24.



Dapatkah Anda melanjutkan pengubinan di atas?



5.31



 PDGK4206/MODUL 5



6.



Pengubinan dengan Segi Delapan Beraturan dan Persegi Perhatikan Gambar 5.25 berikut ini.



Gambar 5.25.



Dapatkah Anda melanjutkan pengubinan di atas? B. PENCERMINAN Dalam kehidupan sehari-hari Anda sering berhadapan dengan cermin. Pada saat Anda menghadap cermin dan mengangkat tangan maka bayangan Anda di cermin juga mengangkat tangan. Jika diamati maka Anda dan bayangan Anda mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Demikian juga apabila Anda mengangkat salah satu kaki Anda maka bayangan yang ada di cermin juga mempunyai bentuk dan ukuran yang sama (kongruen) dengan Anda. Selanjutnya Anda letakkan sebuah boneka dalam tiga posisi yang berbeda. Jika Anda lihat pada cermin maka boneka tersebut dan bayangannya mempunyai bentuk dan ukuran yang sama (kongruen). Di samping itu, jarak boneka ke cermin sama dengan jarak bayangannya ke cermin. Sebagai ilustrasi, perhatikan Gambar 5.26 berikut.



5.32



Pendidikan matematika 2 



Gambar 5.26.



Sekarang Anda perhatikan gambar bangun datar dan cermin berikut.



Gambar 5.27.



Untuk menentukan bayangan bangun datar terhadap cermin tersebut Anda tarik suatu garis lurus dari titik A tegak lurus cermin (digambarkan dengan garis). Misalkan, perpotongannya adalah titik P. Anda ukur jarak titik A ke titik P, tetapkan titik A', yaitu suatu titik yang terletak pada perpanjangan AP dan jarak AP sama dengan jarak PA'. Lakukan hal yang sama terhadap titik B, C dan D. Misalkan, titik-titik hasilnya adalah B', C' dan D'. Selanjutnya hubungkan titik A' dengan B', B' dengan C', C' dengan D' serta D' dengan A'. Maka, diperoleh gambar suatu bangun A' B C' D' yang kongruen dengan bangun datar ABCD. Bangun datar A' B' C' D' yang diperoleh disebut bayangan dari bangun datar ABCD terhadap cermin (Gambar 5.28).



5.33



 PDGK4206/MODUL 5



Gambar 5.28.



Lebih lanjut perhatikan Gambar 5.29 berikut ini.



e



Gambar 5.29.



Misalkan E adalah cermin yang digambarkan dengan garis mendatar (horizontal). Titik P adalah perpotongan garis e dengan ruas garis AD dan Q perpotongan garis e dengan ruas garis BC. Bayangan titik A terhadap garis e adalah D, bayangan titik B adalah C, bayangan titik C adalah B, bayangan titik D adalah A, bayangan titik P adalah P dan bayangan titik Q adalah Q. Dalam hal ini bangun datar PQCD dapat dikatakan sebagai bayangan dari bangun datar PQBA terhadap garis e atau sebaliknya bangun datar PQBA adalah bayangan dari datar PQCD terhadap garis e. Masih ingatkah Anda dengan konsep simetri lipat? Adakah hubungan antara pencerminan dengan simetri lipat? Untuk menjawab permasalahan di atas, coba Anda ambil kertas atau karton yang berbentuk persegi panjang. Anda beri nama titik-titik sudutnya dengan titik A, B, C dan D. Pada waktu Anda mempelajari konsep simetri lipat, Anda sudah mengetahui bahwa persegi panjang ABCD di atas mempunyai dua simetri lipat karena terdapat dua gerak lipat yang menghasilkan dua buah bangun datar yang kongruen.



5.34



Pendidikan matematika 2 



Sekarang perhatikan kembali bangun datar persegi panjang ABCD di atas. Jika sebuah cermin yang digambarkan dengan garis, Anda letakkan pada ruas garis PQ dengan P dan Q berturut-turut adalah titik yang berada di tengahtengah ruas garis AD dan BC maka PQCD dapat dipandang sebagai bayangan PQBA terhadap garis yang melalui titik P dan Q. Karena bentuk dan ukuran PQCD dan PQBA adalah persis sama maka dikatakan PQCD dan PQBA adalah kongruen. Demikian juga sebaliknya, yaitu PQBA dapat dipandang sebagai bayangan PQCD terhadap garis yang melalui titik P dan Q. Pada bagian lain, jika sebuah cermin yang digambarkan dengan garis, Anda letakkan pada ruas garis RS dengan R dan S berturut-turut adalah titik yang berada di tengah-tengah ruas garis AB dan CD maka RSDA dapat dipandang sebagai bayangan RSCB terhadap garis yang melalui titik R dan S. Karena bentuk dan ukuran RSDA dan RSCB adalah persis sama maka dikatakan RSDA dan RSCB adalah kongruen. Demikian juga sebaliknya, yaitu RSCB dapat dipandang sebagai bayangan RSDA terdapat garis yang melalui titik R dan S. Dengan demikian dapat Anda lihat bahwa terhadap dua buah posisi cermin sehingga menghasilkan dua bangun datar yang kongruen. (lihat Gambar 5.30).



Gambar 5.30.



Dengan penjelasan di atas dapatkah Anda menarik kesimpulan? Untuk membantu Anda memperoleh jawaban atas permasalahan di atas dapat dijelaskan sebagai berikut. Pada waktu mempelajari simetri lipat, konsep diawali dari gerak lipat yang menghasilkan dua buah bangun datar yang kongruen pada tempat lipatan sehingga menghasilkan dua buah bangun datar yang kongruen. Tempat lipatan tadi disebut garis lipat atau sumbu lipat.



5.35



 PDGK4206/MODUL 5



Dalam pencerminan, sebagaimana yang telah diuraikan di atas bayangan suatu bangun yang diperoleh kongruen dengan bangun aslinya. Dengan demikian, konsep simetri lipat dapat dipandang sama dengan konsep pencerminan. Oleh karena itu, terdapat buku yang menulis istilah simetri lipat dengan simetri cermin. Catatan: Contoh-contoh bangun datar yang mempunyai simetri cermin dapat Anda lihat pada contoh-contoh bangun datar yang mempunyai simetri lipat dalam Kegiatan Belajar 1. C. SISTEM KOORDINAT Untuk menanamkan konsep sistem koordinat, Anda dapat melakukan melalui permainan. Misalnya, Anda panggil seorang siswa, kemudian mata siswa tersebut Anda tutup dengan sapu tangan. Anda katakan pada siswa itu bahwa Anda mempunyai kue dan akan diletakkan di suatu tempat. Siswa itu boleh memiliki kue tersebut asal dapat menemukannya berdasarkan petunjuk yang diberikan. Misalnya, melangkah tiga langkah ke kanan, belok kiri dan melangkah tiga langkah ke kiri, atau perintah yang lainnya. Dengan permainan ini Anda akan membantu siswa di dalam memahami posisi (yang selanjutnya disebut koordinat) dalam sistem koordinat bidang. Sekarang Anda buat suatu garis bilangan yang horizontal pada karton. Tandai garis bilangan tersebut dengan beberapa titik (lihat Gambar 5.31).



Gambar 5.31.



Bilangan yang dihubungkan dengan suatu titik pada garis bilangan tersebut disebut koordinat titik itu. Misalnya, titik A yang terletak paling kiri dihubungkan dengan bilangan 0 maka A dikatakan mempunyai koordinat 0. Kemudian, titik di sebelah kanannya, yaitu B dihubungkan dengan bilangan 1 maka dikatakan B mempunyai koordinat 1, (dalam sistem koordinat garis), dan seterusnya.



5.36



Pendidikan matematika 2 



Catatan: Garis bilangan yang terdapat dalam Gambar 5.31 boleh saja digambar dalam posisi vertikal (Gambar 5.32).



Gambar 5.32.



Selanjutnya gambarlah pada sebuah karton dua buah garis bilangan, yang satu horizontal dan yang satu vertikal serta beberapa titik yang dihubungkan dengan bilangan (Gambar 5.33). Garis vertikal



Garis horisontal Gambar 5.33.



Garis bilangan yang horizontal, seperti pada gambar di atas disebut sumbu pertama dan yang vertikal disebut sumbu kedua. Anda perhatikan titik A. Karena terdapat dua buah sumbu maka terdapat pasangan terurut bilangan



5.37



 PDGK4206/MODUL 5



yang dinyatakan dengan (a,b). Pasangan terurut (a,b) yang dihubungkan dengan titik A disebut koordinat titik A. Bilangan a dalam pasangan terurut (a,b) adalah bilangan yang terletak pada sumbu pertama, sedangkan bilangan b adalah bilangan yang terletak pada sumbu kedua. Bilangan pertama dalam pasangan (a,b) menyatakan berapa satuan harus dijalani ke kanan dari 0, sedangkan bilangan kedua menyatakan berapa satuan harus dijalani ke atas mulai dari 0. Catatan: Jika semesta pembicaraan pasangan terurut bilangan adalah himpunan bilangan real maka dengan menghubungkan setiap pasangan terurut bilangan dengan titik-titik pada bidang diperoleh bidang bilangan atau bidang koordinat. Selanjutnya, apabila sumbu pertama dan kedua saling tegak lurus maka koordinat-koordinat yang ada pada bidang itu disebut koordinat Cartesius. Nama ini dipakai untuk menghargai penemunya, yaitu Rene Descartes. Contoh 5.6. Perhatikan gambar berikut ini.



Gambar 5.34.



Untuk titik A, Anda harus menjalani satu satuan ke kanan dan dua satuan ke atas. Untuk titik B, Anda harus menjalani tiga satuan ke kanan dan tiga satuan ke atas. Untuk titik C, Anda harus menjalani lima satuan ke kanan dan dua satuan ke atas, sedangkan untuk titik D, Anda harus menjalani dua satuan ke kanan dan tiga satuan ke atas. Dengan demikian, koordinat titik A, B, C,



5.38



Pendidikan matematika 2 



dan D berturut-turut ditulis sebagai pasangan bilangan (1,2), (3,3), (5,2), dan (2, 3). Untuk selanjutnya bilangan pertama, yaitu 1, 3, 5, dan 2 disebut absis dan bilangan kedua, yaitu 2, 3, 2, dan 3 dinamakan ordinat. Contoh 5.7. Perhatikan gambar berikut ini.



Gambar 5.35.



Anda perhatikan titik-titik A, B, C, D, E, F, G, H, dan I. Sebagai latihan coba tentukan koordinat titik-titik yang diberikan. Perhatikan bahwa contoh-contoh yang diberikan di atas semuanya hanya melibatkan bilangan cacah. Padahal, posisi atau koordinat titik bisa saja tidak hanya pasangan bilangan cacah. Bisa saja koordinat itu melibatkan pasangan bilangan bulat, bilangan rasional atau bahkan campuran, seperti bulat dan rasional, rasional dan irasional dan seterusnya. Penyajian yang diawali dengan menggunakan bilangan cacah sebagaimana yang telah diuraikan di atas hanyalah untuk mempermudah Anda di dalam menyampaikan materi ini kepada siswa.



5.39



 PDGK4206/MODUL 5



Contoh 5.8. Perhatikan gambar berikut ini.



Gambar 5.36.



Untuk titik A, Anda harus menjalani satu satuan ke kanan dan dua satuan ke atas. Untuk titik B, Anda harus menjalani tiga satuan ke kanan dan satu satuan ke atas. Untuk titik C, Anda harus menjalani lima satuan ke kanan dan dua satuan ke atas. Untuk titik D, Anda harus menjalani dua satuan ke kanan dan satu satuan ke atas. Untuk titik E, Anda harus menjalani dua satuan ke kiri dan dua satuan ke atas. Untuk titik F, Anda harus menjalani tiga satuan ke kiri dan satu satuan ke atas, sedangkan untuk titik G, Anda harus menjalani empat satuan ke kiri dan dua satuan ke bawah. Dengan demikian, koordinat titik-titik A, B, C, D, E, F dan G berturut-turut adalah (1,2) (3,1), (5,2), (2,1), (-2,2), (3,1), dan (-4, -2). Contoh 5.9 Diberikan empat buah titik A, B, C dan D, seperti terlihat pada gambar berikut.



5.40



Pendidikan matematika 2 



Gambar 5.37.



Coba Anda tentukan koordinat-koordinat titik A, B, C, dan D. Jika titik A dihubungkan dengan B, B dengan C, C dengan D dan D dengan A, apa bentuk bangun datar ABCD di atas? Contoh 5.10. Diberikan pasangan terurut (5, 0), (5, 2), (2, 2), (4, 4), (3, 4), (5,6), (4, 6), (6, 8), (8, 6), (7, 6), (9, 4), (8, 4), (10, 2), (7, 2) dan (7, 0). Maka, gambar pasangan-pasangan bilangan di atas dalam sistem koordinat Cartesius dapat dilihat pada gambar berikut.



Gambar 5.38.



 PDGK4206/MODUL 5



5.41



Jika pasangan terurut-pasangan terurut bilangan (5,0), (5,2), (2,2), (4,4), (3,4), (5,6), (4,6), (6,8), (8,6), (7,6), (9,4), (8,4), (10,2), (7,2), dan (7,0) berturut-turut merupakan koordinat titik A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, dan O, coba Anda hubungkan titik A dengan B, B dengan C, C dengan D, D dengan E, E dengan F, F dengan G, G dengan H, H dengan I, I dengan J, J dengan K, K dengan L, L dengan M, M dengan N dan N dengan O. Bangun datar apakah yang Anda dapatkan? LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tahun ini Ahmad merencanakan perbaiki rumahnya. Salah satu yang menjadi keinginannya adalah menutup lantainya dengan ubin. Keterbatasan dana yang ada, menyebabkan, tahap pertama lantai yang akan ditutup dengan ubin adalah lantai pada ruang tamu yang berbentuk daerah persegi panjang. Ukuran panjang dan lebarnya berturut-turut adalah 5m dan 4m. Ubin yang rencananya akan dibeli berbentuk daerah persegi dengan panjang sisinya 25 cm. Tentukan berapa banyak ubin yang diperlukan untuk menutup lantai tersebut! 2) Jika harga satu ubin adalah Rp1.500,00, berapa uang yang harus disediakan untuk membeli semua ubin pada soal nomor 1! 3) Tono bercerita kepada Tini bahwa ubin di dalam kamarnya sudah banyak yang pecah. Tono rencananya akan mengganti semua ubin tersebut dengan ubin yang baru. Ukuran panjang dan lebar lantai kamarnya berturut-turut adalah 4m dan 3m. ubin yang akan dibeli ukuran panjang dan lebarnya berturut-turut 50 cm dan 25 cm. Tentukan berapa banyak ubin yang diperlukan untuk menutup lantai kamar tersebut. 4) Jika harga satu ubin adalah Rp2000,00, berapa uang yang harus disediakan untuk membeli semua ubin pada soal nomor 3! 5) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai satu simetri cermin, Bangun datar apakah yang Anda buat? 6) Tentukan posisi cermin pada bangun datar yang Anda buat di soal nomor 5 dengan jalan menandai dengan garis! 7) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut. Segitiga yang hanya mempunyai satu simetri cermin adalah segitiga sama sisi. Jelaskan!



5.42



Pendidikan matematika 2 



8) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai dua simetri cermin. Bangun datar apakah yang Anda buat? 9) Tentukan posisi cermin pada bangun datar yang Anda buat di soal nomor 8 dengan jalan menandai dengan garis! 10) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai tiga simetri cermin. Bangun datar apakah yang Anda buat? 11) Tentukan posisi cermin pada bangun datar yang Anda buat di soal nomor 10 dengan jalan menandai dengan garis. 12) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut. Segitiga yang mempunyai tiga simetri cermin adalah segitiga sama kaki. Jelaskan! 13) Buat suatu bangun datar dari bahan kertas atau karton yang mempunyai empat simetri cermin. Bangun datar apakah yang Anda buat? 14) Tentukan posisi cermin pada bangun datar yang Anda buat di soal nomor 13 dengan jalan menandai dengan garis. 15) Nyatakan benar atau salahkah pernyataan berikut: "segi empat yang mempunyai empat simetri cermin adalah persegi panjang. Jelaskan! 16) Diberikan pasangan terurut-pasangan terurut bilangan (0,3/2), (5/2,0), (0,-7/2) dan (-5/2,0). Gambarlah titik-titik tersebut pada kertas berpetak. 17) Apakah bentuk bangun datar pada soal 16? Petunjuk Jawaban Latihan 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)



Cukup jelas, perhatikan penjelasan Tes Formatif 3. Cukup jelas, perhatikan penjelasan Tes Formatif 3. Cukup jelas, perhatikan penjelasan Tes Formatif 3. Cukup jelas, perhatikan penjelasan Tes Formatif 3. Perhatikan segitiga samakaki. Cukup jelas. Cukup jelas. Perhatikan bangun datar persegi panjang. Cukup jelas. Perhatikan segitiga sama sisi. Cukup jelas. Cukup jelas. Perhatikan bangun datar persegi. Cukup jelas. Cukup jelas. Cukup jelas. Cukup jelas.



 PDGK4206/MODUL 5



5.43



R A NG KU M AN 1. 2. 3. 4.



Pengubinan adalah proses penutup suatu bangun datar dengan ubin tanpa ada celah di antaranya dan tanpa tumpang tindih. Di dalam melakukan pengubinan, ubin-ubin yang digunakan tidak harus kongruen dan tidak harus satu macam. Istilah simetri lipat sering kali disebut juga dengan simetri cermin. Sistem koordinat (cartesius) di bidang adalah himpunan semua titik pada bidang dengan dua buah sumbu yang saling tegak lurus (sumbu pertama adalah sumbu horizontal dan sumbu ke dua adalah sumbu vertikal) dan ukuran satu satuan pada ke dua sumbu adalah sama. TES F OR M AT IF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!



1) Tahun ini Ahmad merencanakan memperbaiki rumahnya. Salah satu yang menjadi keinginannya adalah menutup lantainya dengan ubin. keterbatasan dana yang ada, menyebabkan tahap pertama lantai yang akan ditutup dengan ubin adalah lantai pada ruang tamu yang berbentuk daerah persegi panjang. Ukuran panjang dan lebarnya berturut-turut adalah 8m dan 5m. Ubin yang rencananya akan dibeli berbentuk daerah persegi dengan panjang sisinya 25 cm. Maka, banyaknya ubin yang diperlukan untuk menutup lantai tersebut adalah …. A. 600 B. 620 C. 640 D. 660 2) Jika harga satu ubin pada soal nomor 1 adalah Rp3500,00. Maka, banyaknya uang yang harus disediakan untuk membeli ubin adalah …. A. Rp2.310.000,00 B. Rp2.240.000,00 C. Rp2.170.000,00 D. Rp2.100.000,00 3) Tono bercerita kepada Tini bahwa ubin di dalam kamarnya sudah banyak yang pecah. Tono rencananya akan mengganti semua ubin tersebut dengan ubin yang baru. Ukuran panjang dan lebar lantai kamarnya berturut-turut adalah 6m dan 4m. Ubin yang akan dibeli



5.44



Pendidikan matematika 2 



ukuran panjang dan lebarnya berturut-turut 50 cm dan 25 cm. Maka, banyaknya ubin yang diperlukan untuk menutup lantai kamar tersebut adalah …. A. 190 B. 192 C. 194 D. 196 4) Jika harga satu ubin pada soal nomor 3 adalah Rp2.500,00. Maka, banyaknya uang harus disediakan untuk membeli ubin adalah …. A. Rp485.000,00 B. Rp490.000,00 C. Rp475.000,00 D. Rp480.000,00 5) Dari bangun datar-bangun datar berikut yang mempunyai simetri cermin adalah … I. II.



III.



A. B. C. D.



IV.



I II III IV



6) Perhatikan kelompok bangun datar-bangun datar berikut.



 PDGK4206/MODUL 5



5.45



Di antara kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di atas yang semua anggotanya mempunyai simetri cermin adalah …. A. I B. II C. III D. IV 7) Perhatikan kelompok bangun datar-bangun datar berikut.



Di antara kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di atas yang semua anggotanya mempunyai banyak simetri cermin yang sama adalah .... A. I B. II C. III D. IV



5.46



Pendidikan matematika 2 



8) Diberikan 4 (empat) kelompok I, II, III dan IV yang setiap kelompoknya berisi bangun datar-bangun datar berikut. I.



II.



III.



IV.



Di antara kelompok bangun datar-kelompok bangun datar di atas yang semua anggotanya tidak mempunyai simetri cermin yang sama adalah … A. I B. II C. III D. IV 9) Diberikan bangun datar persegi panjang ABCD seperti berikut ini.



Banyaknya simetri cermin bangun datar tersebut adalah …. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



5.47



 PDGK4206/MODUL 5



10) Segi empat yang mempunyai tepat empat simetri cermin adalah …. A. jajar genjang B. persegi C. persegi panjang D. layang-layang 11) Diberikan tiga buah bangun datar (persegi, persegi panjang, dan segitiga sama kaki), seperti berikut ini.



Banyaknya simetri cermin ketiga bangun datar di atas berturut-turut adalah …. A. 4, 4, dan 1 B. 4, 2, dan 1 C. 4, 2, dan 3 D. 2, 2, dan 3 12) Dari empat kelompok bangun datar-bangun datar berikut yang semuanya tidak mempunyai simetri cermin adalah …. I.



II.



III.



A. B. C. D.



IV.



I II III IV



5.48



Pendidikan matematika 2 



13) Perhatikan gambar berikut ini



C



Maka, koordinat titik-titik A, B, C, D dan E berturut-turut adalah …. 5 A. (2, 1), (-2, 1), (-1, -2), (2, -1) dan (-3, ) 2 5 B. (1, 2), (-2, 1), (-1, -1), (2, -1) dan ( , -2) 2 5 C. (1, 2), (1, -2), (-1, -2), (2, -1) dan ( , -2) 2 5 D. (1, 2), (-2, 1), (-2, -1), (-1, 2) dan (-3, ) 2 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang



 PDGK4206/MODUL 5



5.49



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.



5.50



Pendidikan matematika 2 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) Jawabnya adalah C, karena jika bangun datar tersebut dilipat Anda akan memperoleh bangun datar yang kongruen. 2) Jawabnya adalah D, penjelasannya sama dengan soal nomor 1. 3) Jawabannya adalah C, karena ada 2 cara melipat yang menghasilkan 2 bangun datar yang kongruen. 4) Jawabnya adalah A, karena tidak ada cara melipat yang menghasilkan 2 bangun datar yang kongruen. 5) Jawabnya adalah D, karena ada 4 cara melipat yang menghasilkan 2 bangun datar yang kongruen. 6) Jawabnya adalah B, karena ada 2 cara melipat yang menghasilkan 2 bangun datar yang kongruen. 7) Jawabnya adalah C, karena banyaknya simetri lipat sama dengan banyaknya sumbu simetri. 8) Jawabnya adalah B, cobalah dengan cara melipat sehingga memperoleh 2 bangun datar yang kongruen. 9) Jawabnya adalah B, penjelasannya sama dengan soal nomor 8. 10) Jawabnya adalah B, penjelasannya sama dengan soal nomor 8. Tes Formatif 2 1) Jawabnya adalah C, karena mempunyai sudut putar 180o dan 360o. 2) Jawabnya adalah C, karena masing-masing bangun datar mempunyai 2 simetri putar. 3) Jawabnya adalah D, penjelasannya sama dengan soal nomor 2. 4) Jawabnya adalah B, karena sudut putarnya hanya 360o. 5) Jawabnya adalah C, karena sudut putarnya hanya 360o. 6) Jawabnya adalah B, karena mempunyai sudut putar 180o dan 360o. 7) Jawabnya adalah C, coba Anda lakukan pemutaran. 8) Jawabnya adalah B, coba Anda lakukan pemutaran. 9) Jawabnya adalah C, coba Anda lakukan pemutaran. 10) Jawabnya adalah B, karena besarnya sudut putarnya adalah 360o.



 PDGK4206/MODUL 5



5.51



Tes Formatif 3 1) Jawabnya adalah C, diperoleh dari 800  500 dibagi dengan 25  25. 2) Jawabnya adalah B, diperoleh dari 640  3500. 3) Jawabnya adalah B, diperoleh dari 600  400 dibagi dengan 50  25. 4) Jawabnya adalah D, diperoleh dari 192  2500. 5) Jawabnya adalah B, coba Anda lipat sehingga diperoleh 2 bangun datar yang kongruen. 6) Jawabnya adalah D, coba Anda lipat sehingga diperoleh 2 bangun datar yang kongruen. 7) Jawabnya adalah C, karena banyaknya simetri cermin masing-masing bangun datar adalah 2. 8) Jawabnya adalah A, karena tidak mempunyai simetri cermin. 9) Jawabnya adalah B, coba Anda lakukan gerak lipat terhadap bangun datar yang diberikan. 10) Jawabnya adalah B, coba Anda lakukan gerak lipat terhadap bangun datar yang diberikan. 11) Jawabnya adalah B, coba Anda lakukan gerak lipat terhadap bangun datar yang diberikan. 12) Jawabnya adalah C, karena tidak mempunyai simetri cermin. 13) Jawabnya adalah B, coba Anda cermati gambarnya.



5.52



Pendidikan matematika 2 



Daftar Pustaka Burger, William F dan Musser, Gary L. (1991). Mathematics for Elementary Teachers. Ontario: Macmillan. Kennedy, Leonard M. & Tips, Steve. (1994). Guiding Children's Learning of Mathematics. New York: Macmillan.



Modul 6



Pengukuran (I) Dr. Ipung Yuwono, M.S., M.Si.



PEN D A HU L UA N



M



odul yang ke-6 dari mata kuliah Pendidikan Matematika II ini berjudul “Pengukuran (I)”. Modul ini terdiri atas 2 kegiatan belajar. Kegiatan belajar yang pertama membahas pengukuran panjang, dan sudut, yang meliputi: konsep panjang dan pengertian pengukuran, membandingkan pengukuran, melakukan pengukuran dengan alat patokan sederhana, dan pengukuran dengan menggunakan alat ukur. Pengukuran panjang membahas: konsep panjang, membandingkan dan menentukan hubungan antar satuan panjang, melakukan pengukuran panjang, dan menggunakan alat ukur untuk mengukur dan memperkirakan panjang suatu benda. Pengukuran sudut membahas: pengertian sudut, konsep sudut, membandingkan dan menentukan hubungan antar satuan sudut, dan melakukan dan membandingkan sudut. Kegiatan belajar yang kedua membahas pengukuran luas dan volume. Pembahasan pada pengukuran volume meliputi: konsep volume, membandingkan pengukuran volume, melakukan pengukuran dengan alat patokan sederhana, dan pengukuran dan penghitungan volume benda dengan menggunakan satuan volume tertentu. Pengukuran luas membahas: konsep luas, membandingkan dan menentukan hubungan antar satuan luas, melakukan pengukuran luas, dan menentukan luas suatu daerah baik menggunakan satuan baku maupun tidak baku. Dengan mempelajari dan mengkaji modul ini diharapkan Anda dapat meningkatkan pengetahuan dan wawasan Anda tentang pengukuran panjang, luas, volume dan sudut. Dengan demikian kelak, Anda sebagai guru yang profesional akan dapat mendampingi dan memotivasi siswa Anda untuk mempelajari matematika secara menarik dan bermakna. Untuk mempelajari modul ini tidak diperlukan prasyarat khusus. Namun demikian penguasaan Anda pada modul sebelumnya, khususnya Modul 1, 2, 3, dan 4 banyak membantu Anda untuk mempelajari dan mengkaji modul ini.



6.2



Pendidikan matematika 2 



Setelah mempelajari dan mengkaji modul ini diharapkan Anda dapat: menjelaskan bahwa hakikat pengukuran adalah membandingkan dengan satuan baku; 2. menjelaskan tentang konsep pengukuran panjang dan luas; 3. menjelaskan tentang konsep pengukuran volume dan sudut; 4. menjelaskan cara penyelesaian soal yang berkaitan dengan panjang dan luas; 5. menjelaskan cara penyelesaian soal yang berkaitan dengan volume dan sudut; 6. merancang pembelajaran pengukuran panjang dan luas sesuai dengan Kurikulum SD yang berlaku; 7. merancang pembelajaran pengukuran volume dan sudut sesuai dengan Kurikulum SD yang berlaku; 8. mengimplementasikan rancangan pembelajaran tentang pengukuran panjang dan luas yang telah disusun; 9. mengimplementasikan rancangan pembelajaran tentang pengukuran volume dan sudut yang telah disusun; 10. melakukan penilaian (assessment) proses dan hasil belajar siswa tentang pengukuran panjang dan luas; 11. melakukan penilaian (assessment) proses dan hasil belajar siswa tentang pengukuran volume dan sudut. 1.



 PDGK4206/MODUL 6



6.3



Kegiatan Belajar 1



Pengukuran Panjang dan Sudut A. KONSEP PANJANG Sejak prasekolah siswa telah mempunyai pengalaman tentang pengukuran dan pembandingan, misalnya ketika dia mengukur atau membandingkan panjang kakinya dengan panjang kaki kawannya. Siswa dapat mengukur dengan membandingkan roti miliknya dengan roti milik kawannya. Tanpa dijelaskan, siswa dapat memahami dan menerima bahwa luas kamar mandi lebih kecil daripada luas ruang kelas. Namun demikian, siswa belum memahami dengan tepat tentang konsep pengukuran Dalam pembelajaran konsep pengukuran guru harus memulai dari pengalaman keseharian siswa. Siswa awalnya dapat diminta untuk mengukur panjang dan lebar ruang kelas. Biarkan siswa mengukur dengan satuan mereka masing-masing. Mungkin siswa mengukur dengan satuan langkah, satuan meter, atau satuan depa. Kegiatan demikian dapat membelajarkan kepada siswa bahwa satuan pengukuran banyak macamnya. Ada satuan panjang yang baku, misalnya meter dan ada satuan panjang yang tidak baku misalnya depa, langkah dan lain-lain. Kegiatan belajar lainnya juga harus diarahkan bahwa prinsip pengukuran adalah proses pembandingan dengan satuan yang telah ditetapkan, baik satuan baku maupun satuan tidak baku. B. PENGUKURAN PANJANG Untuk melakukan pengukuran panjang diperlukan satuan panjang. Satuan itu ada yang baku dan ada yang tidak baku. Satuan panjang yang baku pada Sistem Internasional (SI) adalah meter. Namun demikian, masih ada satuan panjang lain yang sering digunakan dalam kancah internasional, misalnya dalam dunia penerbangan orang lebih sering menggunakan satuan panjang atau tinggi, yaitu kaki. Dalam SI, satu meter didefinisikan sebagai 1.650.763.73 kali panjang gelombang sinar merah-oranye unsur Kripton-86 dalam ruang hampa. Satuan meter mempunyai beberapa konversi (turunan) seperti ditunjukkan dalam Tabel 6.1.



6.4



Pendidikan matematika 2 



Tabel 6.1. Konversi satuan meter Satuan 1 kilometer 1 hektometer 1 dekameter 1 meter 1 desimeter 1 sentimeter 1 milimeter



Singkatan km hm dam m dm cm mm



Padanan dengan meter 1000 m 100 m 10 m 1m 0,1 m 0,01 m 0,001 m



Tabel 6.1 memperlihatkan bahwa konversi satuan panjang meter dilakukan dengan memberi awalan kilo, hekto, deka, kepada meter. Awalan itu juga berlaku untuk satuan lainnya, misalnya luas, berat dan volume. Makna awalan itu diberikan dalam Tabel 6.2. Tabel 6.2. Awalan dan arti dalam pengukuran besaran Awalan eksa peta tera giga mega kilo hekto deka -desi senti mili mikro nano pico femto ato



Lambang E P T G M k h da -d c m mi n p f a



Arti 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18



Perlu diperhatikan, bahwa penyebutan awalan tersebut tidak semuanya perlu diberikan kepada siswa SD. Kepada mereka hanya diberikan awalan pengukuran yang sering digunakan pada keseharian, misalnya kilo, desi, senti



6.5



 PDGK4206/MODUL 6



dan mili. Di dunia teknologi informasi, sering digunakan awalan mega dan giga. Dalam pembelajaran pengukuran panjang di kelas awal SD, lebih mudah bila siswa diminta mengukur benda-benda di sekitarnya yang panjangnya sekitar 10-100 cm, dengan menggunakan penggaris yang berskala 1 cm-an. Penggunaan satuan yang tidak baku, misalnya depa, hasta, atau kaki juga perlu diperkenalkan kepada siswa. Siswa perlu menyadari bahwa alat ukur yang dipilih untuk mengukur perlu disesuaikan dengan panjang benda yang akan diukur. Untuk mengukur panjang lapangan sepakbola, misalnya, tentu tidak menggunakan penggaris skala 1 cm-an. Untuk mengukur panjang lapangan sepak bola perlu penggaris dengan skala 1 dm-an atau 1 m-an. Pada kelas atas di SD, siswa perlu diperkenalkan alat pengukur panjang yang lebih teliti, misalnya penggaris dengan skala 1 mm-an. C. HUBUNGAN ANTARA SATUAN PANJANG Selain sistem internasional atau sistem metrik, siswa juga perlu mengenal satuan panjang yang lain, misalnya sistem Inggris. Karena sistem tersebut masih sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dalam dunia transportasi, khususnya penerbangan dan pelayaran. Seorang pramugari pesawat udara biasanya menginformasikan kepada penumpang bahwa kita akan terbang pada ketinggian jelajah 30.000 feet (kaki) di atas permukaan laut. Pramugari tersebut telah menggunakan sistem Inggris, yaitu feet dalam satuan panjang. Satu kaki didefinisikan sebagai panjang telapak kaki orang dewasa yang normal, atau konversinya ke sistem metrik adalah 1 kaki = 1 foot = 30,48 cm. Satuan foot mempunyai beberapa konversi (turunan) seperti ditunjukkan dalam Tabel 6.3. Tabel 6.3. Konversi satuan panjang foot



Satuan 1 inch



Singkatan in



Padanan dengan foot



1 foot 1 yard 1 rod 1 furlong 1 mile



ft yd rd fg me



1 3 16,5 660 5280



1 12



6.6



Pendidikan matematika 2 



Kesepadanan antara sistem Inggris ke sistem metrik ditunjukkan oleh Tabel 6.4. Tabel 6.4. Kesepadanan antara sistem Inggris dengan sistem metrik Sistem Inggris 1 inch 1 foot 1 yard 1 rod 1 furlong 1 mile



Sistem metrik 2,54 cm 30,48 cm 91,44 cm 502,92 cm 201,168 m 1,609344 km



Orang sering memerlukan konversi antara sistem satuan, baik dari sistem Inggris ke sistem metrik atau sebaliknya. Berikut ini diberikan contoh konversi tersebut. Contoh 6.1. Suatu tiang listrik tingginya 19 ft 4,5 in. Tentukan tinggi tiang listrik tersebut dalam satuan meter. Jawab: 19 ft 4,5 in



= = = karena 1 in = 19 ft 4,5 in = = =



(19  12 + 4,5) in (228 + 4,5) in 232,5 in. 2,52 cm, maka 232,5  2,52 cm 590,55 cm 5,9055 m



Contoh 6.2. Jarak Malang – Surabaya sekitar 89 km. Nyatakan jarak itu dalam satuan mile. Jawab: 1 Karena 1 mile = 1,609344 km, maka 1 km = mile. Jadi jarak 1, 609344 1 Malang- Surabaya dalam satuan mile adalah  89 km = 55,3 mile. 1, 609344



6.7



 PDGK4206/MODUL 6



D. SUDUT Suatu garis dalam bidang membagi bidang tersebut atas 3 daerah yang saling asing, yakni titik pada garis dan dua setengah bidang. Pada Gambar 6.1 garis l membagi (mempartisi) bidang menjadi 2 bagian (bidang I dan II) dengan titik A berada pada bidang I dan titik B berada pada bidang II. I



l



∙ A



II



∙ B



Gambar 6.1. Garis l membagi bidang menjadi dua setengah bidang.



Suatu segmen garis (selanjutnya cukup disebut garis saja) terdiri atas dua titik pada garis dan semua titik pada garis antara dua titik tersebut. Garis AB terdiri atas titik B dan semua titik di antara A dan B. Suatu titik pada garis mempartisi garis itu menjadi 3 himpunan, titik tersebut dan 2 bagian garis. Suatu sinar memuat satu titik pada garis dan semua titik pada salah satu bagian dari garis tersebut (Gambar 6.2).



∙



∙



A



B Gambar 6.2. Sinar AB memuat titik A dan semua titik pada setengah garis AB



1.



Pengertian Sudut Sudut dibentuk oleh gabungan 2 sinar yang titik pangkalnya berimpit (Gambar 6.3.a). Sudut juga dapat didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh dua segmen garis yang salah satu ujungnya berimpit (Gambar 6.3.b). Pada buku ini untuk pengertian sudut digunakan definisi yang kedua (kecuali bila disebutkan lainnya).



6.8



Pendidikan matematika 2 



∙



B



A



∙ C



Gambar 6.3.a. Sudut ABC dibentuk oleh gabungan 2 sinar yang titik pangkalnya berimpit



δ Gambar 6.3.b. Sudut δ didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh dua segmen garis yang salah satu ujungnya berimpit.



2.



Pengukuran Sudut Untuk menjelaskan satuan pengukuran sudut kepada siswa SD dapat dimulai dengan memperkenalkan sudut siku-siku. Suatu representasi sudut siku-siku misalnya pojok buku, pojok keramik di lantai, pojok meja dan sebagainya (Gambar 6.4). Kegiatan selanjutnya adalah membandingkan besar sudut. Sudut yang lebih kecil dari sudut siku-siku dapat didapat dengan melipat pojok kertas yang berbentuk siku-siku menjadi dua bagian yang sama (Gambar 6.5). Sudut yang lebih kecil dari sudut siku-siku disebut sudut lancip.



6.9



 PDGK4206/MODUL 6



A Gambar 6.4. Sudut A adalah sudut siku-siku



B Gambar 6.5. Sudut B adalah sudut lancip



Untuk mengukur besar sudut, satuan yang bisa digunakan salah satunya adalah derajat. Sudut siku-siku besarnya didefinisikan sama dengan 90 derajat (ditulis 90o). Sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku dapat dijelaskan dengan cara menghimpitkan sudut siku-siku dengan sudut lancip (Gambar 6.6). Sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku disebut sudut tumpul.



C Gambar 6.6. Sudut C adalah sudut tumpul



6.10



Pendidikan matematika 2 



Sudut lurus dapat dijelaskan dengan menggabungkan dua sudut sikusiku. Siswa dapat diminta menjelaskan atau menentukan berapa besarnya sudut lurus. Jika besar dua sudut jumlahnya 90o maka dua sudut itu disebut saling komplementer (Gambar 6.7.a). Jika besar dua sudut jumlahnya 180o maka dua sudut itu disebut saling suplemen (Gambar 6.7.b).



A



B



Gambar 6.7.a. Sudut A dan sudut B saling berkomplementer



C



D



Gambar 6.7.b. Sudut C dan sudut D saling bersuplemen.



Sudut yang besarnya 360o disebut sudut satu putaran, diperoleh dengan menjumlahkan 4 sudut siku-siku. Siswa perlu diminta menemukan bahwa sudut satu putaran dapat diperoleh dengan mendekatkan empat sudut siku-siku (Gambar 6.8). Gambar 6.8. Sudut satu putaran



6.11



 PDGK4206/MODUL 6



Satuan yang biasa digunakan untuk mengukur besar sudut adalah derajat. Untuk mengukur besar suatu sudut dapat digunakan busur derajat. Beberapa sudut istimewa yang sering digunakan dalam pengukuran sudut bersama busur derajat ditunjukkan oleh Gambar 6.9. 90o



60o 45 o 30o 0o



Gambar Gambar 6.9. Busur 6.9. derajat. Busur derajat



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Pilihlah ukuran yang paling realistik untuk objek di sekitarmu berikut ini. a) panjang buku matematika : 28 mm 28 cm 28 m b) panjang sepatumu : 20 mm 20 cm 20 m c) tinggi siswa umur 12 tahun : 148 mm 148 cm 148 m d) tinggi suatu gedung : 205 cm 205 m 205 km e) tinggi pohon kelapa dewasa : 72 cm 72 m 72 km f) jarak antara dua kota : 512 cm 512 m 512 km 2) Berilah contoh objek atau benda yang panjangnya terletak dalam selang: a) kurang dari 10 cm. b) antara 2,5 dm sampai 5 dm. 3) Pada saat pukul 6.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji membentuk sudut berapa derajat? 4) Pada saat pukul 12.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji membentuk sudut berapa derajat?



6.12



Pendidikan matematika 2 



5) Ambillah kertas yang berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut untuk merepresentasikan sudut berikut. a) sudut lancip b) sudut tumpul c) dua sudut yang berkomplemen d) dua sudut yang bersuplemen 6) Berilah alasan mengapa satuan dalam sistem metrik lebih sering digunakan dari pada satuan dalam sistem inggris. Petunjuk Jawaban Latihan Periksa dan teliti kembali jawaban Anda, sekarang cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban berikut. 1. a) 28 cm b) 20 cm c) 148 cm d) 205 m e) 72 km f) 512 km 2) Soal ini merupakan soal open-ended. Jawaban siswa dapat bervariasi, menyesuaikan dengan soalnya. Contoh jawaban yang mungkin misalnya: a) karet penghapus. b) tali sepatu. 3) 180o 4) 0o 5) P b a



Q



A



B



Sudut a sudut lancip, sudut b sudut tumpul. Sudut A dan B bersuplemen dan sudut P dan Q berkomplemen.



 PDGK4206/MODUL 6



6.13



6) Karena satuan dalam sistem metrik mempunyai sistem konversi yang lebih sederhana, yakni menggunakan kelipatan 10. R A NG KU M AN 1. 2. 3. 4.



5. 6.



Proses mengukur pada dasarnya adalah proses membandingkan dengan satuan baku. Untuk mengukur diperlukan satuan dasar, satuan dasar ada yang baku, ada yang tidak baku. Satuan dasar untuk panjang dalam sistem metrik adalah meter, sedangkan dalam sistem inggris adalah foot. Sistem metrik lebih sering digunakan karena satuan dalam sistem metrik mempunyai sistem konversi yang lebih sederhana, yakni menggunakan kelipatan 10. Satuan dasar untuk sudut adalah derajat. Alat untuk mengukur besar sudut adalah busur derajat. TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!



1) Di antara ukuran berikut yang paling realistik untuk menggambarkan jarak antara dua kota adalah .... A. 512 mm B. 512 cm C. 512 m D. 512 km 2) Satu mile = ….inch A. 5280 B. 5280 : 12 C. 16.040 D. 63.360 3) Di antara satuan berikut yang bukan satuan panjang adalah .... A. petak B. langkah C. jengkal D. lidi



6.14



Pendidikan matematika 2 



4) Di antara ukuran berikut yang paling realistik untuk menggambarkan tinggi seorang siswa SD adalah .... A. 1500 mm B. 1500 cm C. 1500 dm D. 1500 m 5) Manakah pernyataan yang benar? A. 90o = seperlima putaran B. 45o = seperdelapan putaran C. 30o = sepersepuluh putaran D. 60o = seperdelapan putaran 6) Semua yang berikut adalah sudut lancip, kecuali .… A. 80o B. 89o C. 91o C. 75o 7) Alat untuk mengukur besar suatu sudut disebut …. A. busur B. tali busur C. busur derajat D. penggaris 8) Sudut lancip yang dibentuk oleh jarum jam dengan jarum menit pada saat pukul 6.00 adalah .... A. sudut lurus B. 150o C. sudut siku-siku D. nol derajat 9) Sudut yang besarnya 45o akan terbentuk bila jarum jam dengan jarum menit suatu jam menunjukkan pukul …. A. 6.00 B. 6.30 C. 12.00 D. 9.00



6.15



 PDGK4206/MODUL 6



10) Di antara pasangan sudut berikut, pasangan yang saling berkomplemen adalah .… A. 20o dengan 70o B. 20o dengan 160o C. 20o dengan 80o D. 0o dengan 180o Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar ×100% Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



6.16



Pendidikan matematika 2 



Kegiatan Belajar 2



Luas dan Volume A. SATUAN LUAS Untuk mengantarkan pembelajaran satuan luas, siswa dapat diminta mengukur atau menghitung luas lantai ruang yang berkeramik. Sebagai satuan luas dapat digunakan satuan keramik pada lantai. Jika lantai kelas bukan dari bahan keramik, dapat diganti dengan mengukur luas permukaan meja atau daun yang telah disediakan oleh guru. Perlu diperkenalkan bahwa satuan luas tidak harus berupa persegi. Satuan luas dapat berupa lingkaran, segitiga, jajar genjang, maupun trapesium, seperti ditunjukkan dalam Gambar 6.10 berikut.



(a)



(b)



(c) Gambar 6.10. (a) Luas persegi mendekati 4 lingkaran (b) Luas persegi panjang adalah 4 segitiga (c) Luas bangun jajargenjang adalah 6 jajargenjang



6.17



 PDGK4206/MODUL 6



Luas juga dapat diperagakan menggunakan papan berpaku bersama karet gelang. Beberapa peragaan tersebut diperlihatkan pada Gambar 6.11 berikut. Gambar 6.11a. menunjukkan persegi satuan, yakni persegi yang luasnya 1 satuan. Gambar 6. 11.b menunjukkan persegi yang luasnya adalah 9 satuan.



































































































































(a)



(b)



Gambar 6. 11. (a) Persegi satuan. (b) Luas persegi adalah 9 satuan.



Untuk melakukan pengukuran luas pada kertas berpetak, Anda juga dapat menghitung luas suatu daerah yang bentuknya tidak persegi. Dalam menghitung tentunya ada beberapa bagian yang luasnya tidak utuh satu persegi. Sebagai contoh, luas daerah segitiga ABC pada Gambar 6.12 berikut adalah .... E C D 



























































A



B Gambar 6.12.



D. HUBUNGAN ANTARA SATUAN LUAS Dalam sistem metrik, satuan dasar dan baku untuk satuan luas adalah 1 m persegi atau 1 persegi yang luasnya 1m2. Dalam keseharian orang sering menggunakan satuan luas m2 untuk menentukan luas suatu tanah. Dalam bisnis properti (perumahan) sering disebutkan bahwa salah satu tipe rumah



6.18



Pendidikan matematika 2 



yang dipasarkan adalah tipe 54/120. Itu artinya rumah yang ditawarkan luas bangunan (rumahnya) adalah 54 m2 dan luas tanahnya adalah 120 m2.



1m



1 cm



Gambar 6. 13. Luas persegi besar = 100 x persegi kecil



Pada Gambar 6.13 luas persegi yang sisinya 1 m dapat ditutupi dengan tepat oleh 100 persegi kecil yang sisinya 1 cm. Persegi kecil yang sisinya 1 cm luasnya adalah 1 cm2. Persegi kecil yang sisinya 1 cm itu merupakan satuan luas yang lebih kecil dari luas persegi besar, yakni 1 m2. Karena itu didapat hubungan antara satuan luas sebagai berikut. 1 m2 = 100 cm2



Dengan menggunakan pemikiran yang serupa, didapat hubungan antara satuan luas seperti ditunjukkan dalam Tabel 6.5 berikut. Tabel 6.5. Hubungan Antara Beberapa Satuan Luas Satuan 1 kilometer persegi 1 hektometer persegi = 1 hektar 1 dekameter persegi = 1 are 1 meter persegi 1 desimeter persegi 1 sentimeter persegi 1 milimeter persegi



Singkatan 1 km2 1 ha 1a 1 m2 1 dm2 1cm2 1 mm2



Kesepadanan dengan m2 1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2



6.19



 PDGK4206/MODUL 6



Dalam keseharian orang sering menggunakan satuan luas hektar untuk menggambarkan luas tanah atau ladang atau kampus. E. PENGUKURAN VOLUME Dalam keseharian siswa telah terbiasa dengan pengukuran volume. Mereka mendengar bahwa ibu membeli beras 2 liter, atau membeli sirup obat batuk yang volumenya 50 cc. Untuk menerangkan konsep volume dapat dimulai dengan mengukur volume kotak atau balok. Satuan volume yang baku adalah kubus satuan (Gambar 6.14).



1dm



Gambar 6.14. Kubus satuan dengan volume 1 dm3



Volume benda pada Gambar 6.15 adalah 6 satuan volume atau 6 dm 3



Gambar 6.15.



6.20



Pendidikan matematika 2 



F. HUBUNGAN ANTAR SATUAN VOLUME Misalkan kita mempunyai kubus yang sisinya 1 dm atau 10 cm. Ke dalam kubus itu ditata dan diisikan kubus satuan dengan sisi 1 cm. Ada berapa kubus satuan yang diperlukan sehingga kubus besar terisi dengan tepat oleh kubus satuan? Pertanyaan itu sebenarnya adalah menjawab ada berapa cm3 dalam 1 dm3 ? Karena untuk pengisian itu diperlukan 1000 kubus satuan, maka 1dm3 = 1000 cm3



Dalam kehidupan sehari-hari sentimeter kubik sering disingkat dengan “cc” dan 1 liter = 1 dm3. G. MASALAH KONTEKSTUAL Pada kemasan air mineral, sering dituliskan satuan volume, yaitu “ml”. bagaimanakah hubungan antara satuan ml dengan cc? Apakah 1 cc = 1 ml? Selidiki! (Anda benar 1 liter = 1000 cc, kemudian Anda hitung berapa ml, sehingga Anda dapat menyimpulkan apakah 1 cc = 1 ml atau tidak?) LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Pilihlah ukuran luas yang paling realistik untuk objek di sekitarmu berikut ini. a) luas muka buku matematika : 2,8 ha 2,8 are 2,8 dm2 b) Luas kampus suatu Universitas : 100 ha 100 are 100 dm2 c) volume air mineral dalam gelas : 250 cc 250 liter 250 m3 d) volume tandon air di rumah : 500 cc 500 liter 500 m3 2) Dalam 1 liter ada berapa cc? 3) Hitunglah luas segitiga ABC pada gambar berikut.



6.21



 PDGK4206/MODUL 6



A











C 



























































 B











4) Hitunglah luas persegi pada gambar berikut, kemudian tentukan panjang ruas garis AB tanpa menggunakan dalil Pythagoras.



A



































































B 5) Luas suatu papan catur adalah 900 cm2. Tentukan keliling papan catur tersebut. 6) Berapakah panjang sisi persegi yang luasnya: a) 81 cm2 b) 225 cm2 c) 1,44 m2 d) 0,04 m2



6.22



Pendidikan matematika 2 



7) Perhatikan gambar berikut.























B











































A 























































































































C











































D























P



a) b) c) d)







Tentukan luas persegi ABCD. Tentukan panjang segmen garis AB. Tentukan hubungan antara AB2 dengan PB2 + PA2. Tentukan luas segitiga ABC



Petunjuk Jawaban Latihan Periksa dan teliti kembali jawaban Anda, sekarang cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban berikut. 1) a) 2,8 dm2 b) 100 ha c) 250 cc d) 500 liter 2) 1000 cc 3) 5 4) Luas = 8 satuan, panjang garis = 8 5) 120 cm 6) a) 9 cm b) 15 cm c) 1,2 cm



 PDGK4206/MODUL 6



d) 7) a) b) c) d)



6.23



0,2 m 29 29 AB2 = PB2 + PA2 14,5 R A NG KU M AN



1. 2. 3.



4.



Satuan luas baku adalah persegi. Satuan luas yang sering digunakan dalam keseharian adalah ha, dan m2. Untuk menghitung luas suatu daerah kadang digunakan cara tak langsung, yakni dengan menghitung keseluruhan luas kemudian dikurangi dengan peliputnya. Satuan volume yang sering digunakan sehari-hari adalah cc dan liter.



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Ukuran mana yang paling realistik menggambarkan luas suatu negara? A. 1000 m2 B. 1000 are C. 1000 mm2 D. 1000 km2 2) Ukuran mana yang paling realistik menggambarkan volume suatu obat batuk dalam kemasan plastik? A. 100 liter B. 100 cc C. 100 mm3 D. 100 km3 3) Satuan manakah yang merupakan satuan luas? A. mile B. are C. feet D. yard



6.24



Pendidikan matematika 2 



4) Satuan mana yang paling realistik menggambarkan luas suatu bangunan rumah pribadi? A. m2 B. cm2 C. mm2 D. km2 5) Dalam 1 mile2 ada berapa feet2 ? A. 278.784 B. 2.787.840 C. 27.878.400 D. 27878,4 6) Dalam 18 yard2 ada berapa feet2 ? A. 0,18 B. 2 C. 6 D. 54 7) Berapakah panjang sisi suatu persegi yang luasnya 0,25 m2 ? A. 0,5 cm B. 0,05 m C. 0,05 mm D. 0,5 m 8) Dalam 18 yard2 ada berapa feet2 ? A. 0,18 B. 2 C. 6 D. 54 9) Luas daerah pada gambar berikut adalah ....    A. 4 B. 2    C. 2 D. 1















6.25



 PDGK4206/MODUL 6



10) Luas daerah bangun berikut adalah ....



































































































































A. B. C. D.



13 14 15 16



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar ×100% Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



6.26



Pendidikan matematika 2 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)



D B A A B C C A



Jawaban A, B, dan C tidak masuk akal untuk jarak antara dua kota. Cukup jelas dari definisi satuan panjang. Cukup jelas dari definisi satuan panjang. Jawaban B, C, dan D tidak masuk akal untuk tinggi siswa SD. Cukup jelas dari definisi satuan sudut, 1 putaran = 360 o Cukup jelas dari definisi lancip. Cukup jelas. Didapat dari gambar seperti berikut. 12 9







3



6 9)



D



12 9







3



6 10)



D Cukup jelas, karena 0 + 180 = 180.



Tes Formatif 2 1) D Jawaban A, B, dan C tidak masuk akal untuk luas suatu negara. 2) B Jawaban A, D, dan C tidak masuk akal untuk kemasan suatu obat. 3) B Cukup jelas, karena lainnya merupakan satuan panjang. 4) A Jawaban B, C, dan D tidak masuk akal untuk luas suatu bangunan milik pribadi. 5) C Cukup jelas dari definisi 1 mile = 5280 foot. 6) D Ingat definisi 1 yard = 3 ft, jadi 1 yard2 = 3  3 ft2. 7) D Didapat dari √(0,25) = 0,5. 8) C Ingat definisi 1 ft = 12 in, jadi 1 ft2 = 12  12 in2.



 PDGK4206/MODUL 6



9) B 10) B



6.27



Luas daerah yang berupa persegi dihitung dengan menjumlahkan luas dua segitiga kongruen yang alasnya 2 dan tingginya 1 satuan. Hitunglah atau cacahlah banyaknya persegi satuan.



6.28



Pendidikan matematika 2 



Daftar Pustaka Bennett, B.A. (2004). Mathematics for Elementary Teachers. A Conceptual Approach. New York: MacGraw Hill. Bennett, B.A. (2004). Mathematics for Elementary Teachers. An Activity Approach. New York: MacGraw Hill. Burger, W.F. (1999). Mathematics for Elementary Teachers. Ontario: Mac Millan. Lappan, G,. Fey. J.T,. Fitzgerald, W.M, Friel, S.N,. & Phillips, E.D. (2002). Looking for Pythagorean Theorem. Palo Alto: Dale Seymour. Van de Walle, J.A. (1994). Elementary School Mathematics for Teaching Developmentally. New York: Longmann.



Modul 7



Pengukuran (II) Dr. Ipung Yuwono, M.S., M.Sc.



PEN D A HU L UA N



M



odul yang ke-7 dari mata kuliah Pendidikan Matematika II ini berjudul “Pengukuran (II)”. Modul ini terdiri atas 2 kegiatan belajar. Kegiatan belajar yang pertama membahas pengukuran berat dan debit, yang meliputi: konsep berat, membandingkan pengukuran berat, dan melakukan pengukuran berat. Pengukuran debit membahas: konsep debit, membandingkan dan menentukan hubungan antar satuan debit, dan melakukan pengukuran debit. Kegiatan belajar yang kedua membahas pengukuran waktu dan kecepatan, yang meliputi: konsep waktu dan kecepatan, membandingkan pengukuran waktu, dan melakukan pengukuran waktu. Pengukuran kecepatan senantiasa dikaitkan dengan waktu. Dengan mempelajari dan mengkaji modul ini diharapkan Anda dapat meningkatkan pengetahuan dan wawasan Anda tentang pengukuran waktu dan kecepatan. Dengan demikian kelak, Anda sebagai guru yang profesional akan dapat mendampingi dan memotivasi siswa Anda untuk mempelajari matematika secara menarik dan bermakna. Untuk mempelajari modul ini tidak diperlukan prasyarat khusus. Namun demikian, penguasaan Anda pada modul sebelumnya, khususnya Modul 1, 2, 3, dan 4 banyak membantu Anda untuk mempelajari dan mengkaji modul ini. Setelah mempelajari dan mengkaji modul ini diharapkan Anda dapat: 1. menjelaskan tentang konsep pengukuran berat dan debit. 2. menjelaskan tentang konsep pengukuran waktu dan kecepatan. 3. menjelaskan cara penyelesaian soal yang berkaitan dengan berat dan debit. 4. menjelaskan cara penyelesaian soal yang berkaitan dengan waktu dan kecepatan. 5. merancang pembelajaran pengukuran berat dan debit sesuai dengan Kurikulum SD yang berlaku.



7.2



6.



Pendidikan Matematika 2 



merancang pembelajaran pengukuran waktu dan kecepatan sesuai dengan Kurikulum SD yang berlaku. 7. mengimplementasikan rancangan pembelajaran tentang pengukuran berat dan debit yang telah disusun. 8. mengimplementasikan rancangan pembelajaran tentang pengukuran waktu dan kecepatan yang telah disusun. 9. melakukan penilaian (assessment) proses dan hasil belajar siswa tentang pengukuran berat dan debit. 10. melakukan penilaian (assessment) proses dan hasil belajar siswa tentang pengukuran waktu dan kecepatan



7.3



 PDGK4206/MODUL 7



Kegiatan Belajar 1



Berat dan Debit A. KONSEP BERAT Dalam keseharian tidak dibedakan antara berat dan massa. Dalam sains, dibedakan antara berat dan massa. Berat suatu benda didefinisikan sebagai gaya gravitasi yang bekerja terhadap benda tersebut. Massa suatu benda adalah suatu besaran yang menyatakan kuantitas benda tersebut. Dengan demikian, berat suatu benda bergantung pada gaya gravitasi, sedangkan massa suatu benda tidak bergantung pada gaya gravitasi. Seorang pedagang kelontong, pada suatu hari mendapat kiriman 1 karung beras. Pada karung itu tertulis 1 kuintal. Pedagang tersebut meminta pesuruhnya untuk mengemas beras tersebut. Berat masing-masing kemasan 5 kg. Setelah beras dalam karung habis, diperoleh 20 kemasan. Berdasarkan cerita di atas maka 1 kuintal = ...kg Anda tentunya telah mengenal satuan pengukuran berat, baik ketika Anda sedang duduk di bangku SD atau SMP, yakni dalam pelajaran Matematika atau Fisika. Mari kita ulang secara ringkas. Satuan berat kilogram disingkat dengan … dan gram disingkat dengan … 1 kg = ……gr Dengan menggunakan timbangan yang tersedia atau perkiraan Anda, berilah contoh benda di sekitar Anda yang beratnya sama atau mendekati: 1. 1 kg,



7.4



2. 3. 4. 5.



Pendidikan Matematika 2 



1 kg 4 500 gram 100 kg 1000 kg



Anda dapat memperkirakan, bahwa berat 1 bungkus mie instan kira-kira 1 adalah 100 gram, berat satu bungkus gula kg, dan berat setengah air 2 kira-kira adalah 500 gram. Benda-benda apa sajakah yang mempunyai berat yang sama? (Anda dapat mencobanya dengan menggunakan timbangan yang barangkali tersedia di laboratorium). Biasanya kita menggunakan satuan berat untuk benda yang cukup besar, misalnya berat badan kita, dengan satuan kg. Sedangkan untuk benda yang relatif lebih kecil, kita menggunakan satuan gram. Benda yang relatif lebih kecil itu misalnya cincin, dan dosis obat. Untuk mengukur berat benda yang jauh lebih besar lagi, misalnya truk, atau beras yang ada dalam gudang, biasanya kita gunakan satuan kuintal atau ton. Berikut ini akan dibahas satuan-satuan berat yang menggunakan satuan kuintal dan ton. “Pak Ali bekerja di gudang gula. Di dalam gudang tersebut terdapat banyak tumpukan bungkusan yang berisi gula dan tertera berat bersih 1 kuintal”. Ingatlah kembali bagaimana kesetaraan antara kuintal dan kilogram, kemudian isilah. 1 kuintal = ... kg. Pada bagian bawah suatu truk trailer tertera berat bersih kendaraan tersebut, yakni 1000 kilogram. Seorang petugas Timbangan Kendaraan akan menguji kebenaran tulisan yang tertera tersebut. Setelah ditimbang ternyata beratnya 1 ton, dan petugas menyatakan bahwa tulisan yang tertera tersebut memang benar. Kesimpulan: 1 ton setara dengan .... kg.



 PDGK4206/MODUL 7



7.5



Agar Anda lebih paham, dan untuk mengulang kemampuan Anda tentang satuan berat, cobalah kerjakan latihan berikut. 1. Lengkapi sehingga pernyataan berikut menyatakan kalimat yang benar. a. 50 kw = …. kg b. 7000 kg = …. kw c. 15 ton = … kg d. 2500 ton = … kw e. 350 kg = … kw f. 90 kw = … ton 1 g. kw = … kg 2 1 h. ton = … kw 2 1 i. 6 kw = … kg 2 1 j. 15 gram = … kg 2 2. Ibu mempunyai beras yang beratnya 1 kuintal lebih 25 kg. Berapa kilogramkah berat beras Ibu? 3. Ayah memiliki mobil yang beratnya sekitar 1 ton, sedangkan Pak Damar memiliki mobil yang beratnya sekitar 525 kg. Mobil siapakah yang lebih berat? 4. Di gudang Bulog terdapat 5 ton gula dan 55 kuintal beras. Manakah yang lebih berat, gula atau beras? 5. Di Toko Serba Ada tersedia 2 kuintal beras. Pak Ali ingin membeli 250 kg beras untuk mengisi koperasi kantornya. Terpenuhikah kebutuhan Pak Ali jika ia hanya membeli beras di Toko Serba Ada? 1.



Pengukuran Berat Dalam Sistem Internasional, satuan berat menggunakan “kilogram” (kg). Satu kilogram didefinisikan sebagai berat air yang volumenya 1 liter dan suhunya 4oC. Satuan berat lainnya adalah hektogram (hg), dekagram (dag) dan gram (gr). Hubungan antara ke tiga satuan tersebut dengan kilogram adalah sebagai berikut. 1 kg = 10 hg 1 hg = 10 dag 1dag = 10 gr



7.6



Pendidikan Matematika 2 



Satuan berat lainnya yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah kuintal (kw) dan ton. Hubungan antara kuintal dan ton dengan kilogram adalah sebagai berikut. 1 kw = 100 kg 1 ton = 1000 kg Dalam sistem Inggris satuan berat dinyatakan dengan ounce. Satu ounce setara dengan 28,349 gram. Dalam kehidupan sehari-hari ounce ini sering diterjemahkan dengan ”ons”. Satuan berat lainnya adalah pound (lb), grain, dan pound. Satu pound setara dengan 16 ounce. Kesetaraan satuan berat dalam sistem Inggris ditunjukkan oleh Tabel 7.1. Tabel 7.1. Kesetaraan satuan berat dalam sistem Inggris Satuan 1 ounce 1 grain 1 pound (lb) 1 ton Inggris



Kesetaraan dengan satuan lainnya 16 gram 0,002286 ounce 16 ounce 2000 pound



2.



Kesalahan yang Sering Terjadi Pada kehidupan sehari-hari orang sering menganggap bahwa 10 ounce (10 ons) = 1 kg. Hal itu tidak benar, karena ”ounce” dan ”kg” berada pada sistem satuan yang berlainan. Kg merupakan satuan berat dalam Sistem Internasional dan ounce merupakan sistem satuan berat dalam sistem Inggris. Kesalahan tersebut dapat dijelaskan dengan menggunakan cara berpikir kontradiksi sebagai berikut. Jika 10 ounce = 1 kg maka 1 ounce = 1 : 10 kg = 0,1 kg = 100 gram. Hal itu tentu bertentangan dengan pernyataan di atas bahwa satu ounce setara dengan 28,349 gram. Contoh 7.1: Dalam 14,3 pound ada berapa ounce? Jawab: Karena 1 pound = 16 ounce maka 14,3 pound = 14,3  16 = 228,8 ounce.



 PDGK4206/MODUL 7



7.7



Contoh 7.2: Dalam 1 ounce ada berapa kilogram? Jawab: Karena 1 ounce sama dengan 28,349 gram, dan 1 gram = 0,001 kg maka 1 ounce = 28,349 gram = 28,349 : 1000 = 0,028349 kg. Jadi anggapan selama ini bahwa 1 kg = 10 ounce, atau 1 ounce = 0,1 kg adalah tidak tepat. B. KONSEP DEBIT Untuk menggambarkan seberapa deras atau besar aliran air pada suatu pipa, atau menggambarkan derasnya aliran lumpur bercampur air yang dialirkan dalam suatu pipa, orang sering menyebutnya dengan satuan “debit”. Derasnya semburan lumpur yang dipancarkan oleh perut bumi ke permukaan tanah pada bencana semburan lumpur panas di Porong Sidoarjo, menurut para ahli adalah sekitar 120.000 m3/hari. Bandingkan derasnya aliran lumpur panas tersebut dengan derasnya aliran air yang mengalir pada pipa air PDAM di rumah Anda. Jika Anda mempunyai bak mandi dengan volume 1 m3 (ingat 1 m3 adalah volume kubus dengan rusuk 1 m), dan aliran lumpur panas pada bencana Porong tersebut dialirkan ke bak mandi Anda, dalam berapa detik bak mandi Anda akan penuh? Mari kita hitung. Karena 1 hari = 24 jam maka 120.000 m3/hari = 120.000 m3/24 jam. Karena 1 jam = 3600 detik, maka 1 hari = 24 jam = 3600  24 detik = 86.400 detik. Jadi didapat, 120.000 120.000 m3/hari = = 1,4 m3/detik. 86.400 Dengan kata lain, kolam atau bak mandi dengan volume 1 m3 tersebut akan penuh selama tidak lebih dari satu detik, atau tepatnya akan penuh selama 0,72 detik.



7.8



Pendidikan Matematika 2 



Debit merupakan satuan yang digunakan untuk mengukur volume cairan yang mengalir tiap satuan waktu. Dengan kata lain, satuan debit melibatkan satuan volume per atau dibagi dengan satuan waktu. Satuan debit menggambarkan seberapa besar volume cairan yang mengalir dalam kurun waktu tertentu. Jika debitnya besar maka cairan itu akan mengalir semakin cepat, sebaliknya jika debitnya kecil, aliran cairan akan mengalir semakin lambat. Contoh satuan debit misalnya liter/detik, cc/detik, dan m3/jam. 1.



Hubungan antara Satuan Debit Karena satuan debit melibatkan perbandingan antara volume dan waktu, maka hubungan antara satuan debit juga melibatkan pembagian. Contoh 7.3: Karena 1 liter = 1000 cc, maka 1 liter/detik = 1000 cc/detik (karena 1 liter = 1000 cc). Karena 1 jam = 60 menit maka 1000 1 liter/jam = cc/menit = 50/3 cc/menit. 60 Contoh 7.4: Manakah yang lebih cepat, aliran air 7200 cc/jam atau aliran air 3600 cc/menit? Jawab: Karena 1 jam = 3600 detik maka 7200 7200 cc/jam = cc/detik = 2 cc/detik. 3600 Karena 1 menit = 60 detik maka 3600 3600 cc/menit = cc/detik = 60 cc/detik. 60 Jadi aliran air yang lebih cepat adalah 3600 cc/menit. Contoh 7.5: Air mengalir pada suatu selang atau pipa plastik dengan debit 7 cc/detik. Air tersebut ditampung dalam wadah berupa kotak yang berukuran panjang



 PDGK4206/MODUL 7



7.9



14 cm, lebar 13 cm dan tinggi 12 cm. Hitunglah waktu yang dibutuhkan sehingga kotak tersebut menjadi penuh. Jawab: Debit air = 7 cc/detik = 7 cm3 /detik. Jadi waktu yang diperlukan untuk mengisi kotak sampai penuh adalah: 141312 = 2  13  12 = 26  12 = 25  12 + 1  12 = 300 + 12 7 = 312 detik. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Isilah dengan benar a. 2 dag = …gr b. 5 hg = … gr c. 3 kw = … kg d. 5 ton = … kg e. 10 ton = … kw 2) Pilihlah satu jawaban yang paling masuk akal untuk ukuran berat yang berikut. a. Berat tubuh orang dewasa normal adalah sekitar… A. 65 gr B. 65 dag C. 65 hg D. 65 kg b. Kalung emas yang dipakai ibu beratnya sekitar… A. 20 gr B. 20 dag C. 20 hg D. 20 kg c. Berat satu lembu sekitar… A. 2 ton B. 2 dag C. 2 kg D. 2 kw 3) Seorang pedagang beras masih mempunyai beras sebanyak 10 karung. Setiap karung beras beratnya 40 kg. Ada berapa kuintal seluruh beras milik pedagang tersebut? 4) Benarkah bahwa 1 kg = 10 ounce? Jelaskan jawab Anda! 5) Isilah dengan benar. a. 1 liter/menit = ….liter/detik b. 1800 cc/jam = … cc/detik



7.10



Pendidikan Matematika 2 



c. d.



3,6 m3 /jam = …cc/detik 7200 cc/jam = …liter/detik.



6) Manakah aliran yang lebih deras, 7200 liter/jam atau 1800 cc/detik? Petunjuk Jawaban Latihan Periksa dan teliti kembali jawaban Anda, sekarang cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban berikut. 1) a. 20 b. 500 c. 300 d. 5000 e. 100 2) a. 65 kg b. 20 gr c. 2 kw 3) 4 kw 4) Tidak. 5) a. 1/60 b. 0,5 c. 1000 d. 0,0002 6) Lebih deras yang debitnya 7200 liter/jam, karena: 7200 liter/jam = 2000 cc/dt. R A NG KU M AN 1. 2. 3. 4.



Dalam keseharian tidak dibedakan antara massa dengan berat. Satuan dasar berat dalam sistem internasional adalah gram. Debit merupakan satuan yang menggambarkan derasnya suatu aliran zat cair. Satuan debit terdiri atas satuan volume per satuan waktu.



7.11



 PDGK4206/MODUL 7



TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Ukuran yang paling adalah .... A. 200 cc B. 200 gram C. 200 ounce D. 200 kw



realistik



menggambarkan berat 1 gelas aqua



2) Ukuran yang paling realistik menggambarkan derasnya aliran air pada suatu pipa yang berdiameter 1 dm adalah .... A. 10 liter/jam B. 10 liter/dt C. 10 mm3/detik D. 10 km3/jam 3) Satuan yang merupakan satuan debit adalah .... A. liter/gram B. gram/detik C. mm3/jam D. km3/kg 4) Semua satuan berikut merupakan satuan berat, kecuali .... A. kw B. gallon C. ounce D. ton 5) Dalam 2 pound ada berapa kg? A. 1 B. 448 C. 996 D. 46 6) Dalam 1800 cc/jam ada berapa liter/detik? A. 0,0005 B. 0,005 C. 0,5 D. 5



7.12



Pendidikan Matematika 2 



7) Pernyataan berikut ini yang benar adalah .... A. berat benda tertentu di alam semesta ini selalu sama B. massa benda tertentu di alam semesta ini selalu sama C. berat benda tertentu di bumi dan di bulan sama D. massa benda dipengaruhi oleh gravitasi 8) Semua pernyataan berikut benar, kecuali .... A. debit digunakan untuk mengukur kecepatan air yang mengalir di sungai B. galon adalah satuan volume C. 10 ounce = 1 kg D. pounds adalah satuan berat 9) Satuan yang menggambarkan derasnya aliran lumpur bercampur air dalam suatu pipa pada bencana lumpur panas di Porong Sidoarjo adalah .... A. kg/dt B. m3/dt C. m3/ft D. m/dt 10) Debit air yang mengalir pada pipa air di rumah paling dekat ke .... A. 300 cc/dt B. 300 dm3/dt C. 300 cc/jam D. 300 m3/dt Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang



 PDGK4206/MODUL 7



7.13



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



7.14



Pendidikan Matematika 2 



Kegiatan Belajar 2



Waktu dan Kecepatan A. SATUAN WAKTU Dalam kegiatan sehari-hari siswa telah terbiasa dengan satuan waktu tertentu. Satuan waktu yang sudah sangat akrab di telinga kita adalah jam dan hari. Waktu antara matahari terbit sampai dengan matahari terbenam kira-kira setara dengan setengah hari atau 12 jam. Jadi, 1 hari = 24 jam. Satuan waktu lainnya adalah detik (sekon), menit, tahun, windu dan abad. Lebih lanjut, satu detik didefinisikan sebagai berikut detik =



1  waktu 86.400



yang diperlukan bumi berputar pada porosnya. Untuk mengetahui hubungan antara satuan waktu, perhatikan percakapan berikut.



7.15



 PDGK4206/MODUL 7



Berdasarkan percakapan di atas, simpulkan tentang hubungan abad, windu, tahun, bulan, minggu, dan hari? Dengan mengisi titik-titik di bawah ini dengan benar Anda dapat mengetahui hubungan tersebut. 1 1 1 1 1



1. a.



b.



c.



2.



abad windu tahun bulan minggu



= = = = =



. . . . .



. . tahun . . tahun . . bulan . . minggu . . hari



Kesalahan yang sering terjadi: Walaupun 1 tahun 12 bulan dan 1 bulan 30 hari, tetapi 1 tahun kenyataannya bukan 360 hari, melainkan 365 hari. (Coba Anda periksa di kalender). Walaupun 1 tahun 12 bulan dan 1 bulan 4 minggu, tetapi kenyataannya 1 tahun bukan 48 minggu, melainkan 56 minggu. (Coba Anda periksa di kalender) Perlu diperhatikan bahwa 1 bulan tidak tepat sama dengan 4 minggu. Satu bulan secara rata-rata sama dengan 30 hari = 4,5 minggu.



Satuan Waktu yang Lebih Teliti Ani bangun tidur, jam dinding menunjukkan waktu seperti gambar di samping. Jadi, Ani bangun tidur pada pukul 05.00.



7.16



Pendidikan Matematika 2 



Jarum panjang penunjuk menit, jarum pendek penunjuk jam sedangkan jarum panjang tipis yang berjalan berbunyi tik…tik…tik… menunjukkan detik.



Bidin



Karim, 2 jam = 120 menit



Karim



Ya, Bidin ! Kalau 2 menit sama dengan 120 detik



Berdasar pembicaraan antara Bidin dan Karim, didapat: 1 jam = .... menit 1 menit = .... detik 1 jam = .... detik Contoh: Persyaratan untuk dapat mewakili sekolah dalam lomba lari 100 m tingkat Kota Malang adalah mereka yang mampu berlari 100 m dalam waktu kurang dari 150 detik. Untuk berlari 100 m, Dini memerlukan waktu selama 3 menit, 1 1 Sari 2 menit, Tika 2 menit, dan Lia 1 menit. Siapa sajakah yang dapat 2 2 mewakili sekolah dalam kegiatan lomba lari tersebut? Jawab: Dini mampu berlari 100 m dalam 3 menit = 3  60 detik = 180 detik. Sari mampu berlari 100 m dalam 2 menit = 2  60 detik = 120 detik. Tika mampu berlari 100 m dalam 2,5 menit = 2,5  60 detik = 150 detik. Lia mampu berlari 100 m dalam 1,5 menit = 1,5  60 detik = 90 detik. Jadi yang dapat mewakili Kota Malang untuk lomba lari 100 m adalah Sari dan Lia.



 PDGK4206/MODUL 7



7.17



3.



Kecepatan Kecepatan atau lebih tepatnya kelajuan menggambarkan besaran benda yang sedang bergerak. Karena itu satuan kecepatan menggunakan satuan panjang atau jarak per satuan waktu. Satuan kecepatan misalnya km/jam, m/detik, dan km/tahun. Dalam dunia pelayaran atau penerbangan, orang sering menggunakan satuan knot untuk kecepatan, misalnya untuk menyatakan kecepatan perahu atau kecepatan angin. 1 knot = 1,852 km/jam Dalam dunia astronomi, orang sering menyatakan bahwa kecepatan cahaya adalah batas kecepatan benda yang dapat dibuat manusia. Kecepatan cahaya adalah sekitar 300.000 km/detik. Berarti dalam 1 detik cahaya menempuh jarak 300.000 km. Jadi 1 tahun, cahaya menempuh jarak 365  24  3600  300.000 km Berdasar uraian yang terakhir, tahun cahaya merupakan satuan panjang, yang biasanya digunakan dalam dunia astronomi. Satuan kecepatan mirip dengan satuan debit, karena melibatkan pembandingan antara jarak dengan waktu. Karena itu dalam konversi satuan kecepatan juga melibatkan proses pembagian. Contoh 7.1: Mobil itu berjalan dengan kecepatan 72 km/detik. Nyatakan kecepatan mobil itu dalam m/detik. Jawab:



72000 m/detik. 3600 = 20 m/detik.



72 km/jam =



Contoh 7.2: Kecepatan roket atau pesawat antariksa adalah sekitar 36.000 km/jam. Jarak Bumi dengan planet terdekat di luar tata surya kita yang kemungkinan berpenghuni adalah 4 tahun cahaya. Tentukan berapa tahun perjalanan manusia ke planet tersebut.



7.18



Pendidikan Matematika 2 



Jawab: Jarak Bumi ke planet terdekat adalah 4 tahun cahaya, 4 tahun cahaya = 4  9,5  1012 km = 3,8  1013 km. Waktu yang diperlukan untuk perjalanan tersebut adalah 3,8 x 10 13 : 3,6  104 = 1,2  109 jam. Kita tahu bahwa 1 tahun = 365  24 jam = 8,76  103 jam. Jadi waktu yang digunakan untuk perjalanan antarplanet di luar tata surya tersebut adalah 1,2  109 : 8,76  103 ≈ 1,4  105 tahun, atau sekitar 140.000 tahun. Dengan demikian jika kita mengandalkan roket atau pesawat ruang angkasa dengan kecepatan yang masih jauh dari kecepatan cahaya, perjalanan antar planet di luar tata surya kita baru berupa mimpi. Tantangan umat manusia adalah membuat kendaraan yang kecepatannya mendekati kecepatan cahaya, dan itu agaknya masih jauh dari kemampuan umat manusia. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Isilah dengan benar a. 2 jam = … menit b. 2 tahun = … hari c. 5 abad = … tahun d. 5 windu = …tahun e. 32 tahun = …windu 2) Pilihlah satu jawaban yang paling masuk akal untuk besaran yang berkaitan dengan waktu berikut. a. Selang waktu fajar sampai matahari terbit kira-kira setara dengan .... A. 2 detik B. 2 menit C. 2 jam D. 2 hari b. Antara waktu peringatan Proklamasi tahun ini dengan peringatan Proklamasi tahun, kira-kira setara dengan A. 365 jam B. 365 windu C. 365 tahun D. 365 hari c. Waktu istirahat pada pertandingan sepak bola, antara babak I dan babak II sama dengan… A. 15 detik B. 15 menit C. 15 jam D. 15 hari



7.19



 PDGK4206/MODUL 7



d. e.



Kelajuan Daeng bersepeda kira-kira 10 m per… A. detik B. menit C. jam Umur manusia normal rata-rata sekitar… A. 70 abad B. 70 windu C. 70 tahun



D. hari D. 70 hari



3) Di Jepang terdapat kereta peluru dengan kecepatan rata-rata 360 km/jam. Dalam satu detik, berapa m jarak yang ditempuh oleh kereta itu? 4) Cahaya matahari sampai di bumi menempuh waktu perjalanan sekitar 15 menit. Jika kecepatan cahaya adalah 300.000 km/detik, tentukan jarak matahari ke bumi. Petunjuk Jawaban Latihan Periksa dan teliti kembali jawaban Anda, sekarang cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban berikut. 1) a. 120 b. 730 c. 500 d. 40 e. 4 2) a. 2 jam b. 365 hari c. 15 menit d. detik e. 70 3) 100 4) 270.000.000 km R A NG KU M AN 1. 2. 3.



Satuan dasar waktu dalam sistem metrik adalah detik. Satuan kecepatan merupakan satuan yang menyatakan cepatnya suatu benda bergerak. Satuan kecepatan mirip dengan satuan debit, karena melibatkan pembandingan antara jarak dengan waktu.



7.20



Pendidikan Matematika 2 



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Ukuran yang paling realistik menggambarkan lama orang berada di ATM untuk melakukan transaksi adalah .... A. 5 hari B. 5 jam C. 5 menit D. 5 detik 2) Ukuran yang paling realistik menggambarkan kecepatan pesawat udara saat di udara adalah .... A. 200 m/jam B. 200 m/dt C. 200 km/detik D. 200 km/jam 3) Satuan yang merupakan satuan waktu adalah .... A. windu B. gram/detik C. are D. inch 4) Semua satuan berikut merupakan satuan waktu, kecuali .... A. menit B. abad C. ounce D. tahun 5) Dalam 1 bulan ada berapa minggu? A. 4. B. 4,5. C. 5. D. 6. 6) Kecepatan mobil di jalan tol adalah 90 km/jam. Nyatakan kecepatan itu dalam m/detik .... A. 4,83 B. 5



7.21



 PDGK4206/MODUL 7



C. 50 D. 48,3 7) Pernyataan yang benar berikut ini adalah .... A. satuan waktu didasarkan atas jarum arloji B. satuan kecepatan sama dengan satuan debit C. jam/detik adalah satuan waktu D. abad adalah satuan waktu 8) Semua pernyataan berikut benar, kecuali .... A. debit digunakan untuk mengukur kecepatan benda yang bergerak B. abad adalah satuan waktu C. satuan dasar untuk waktu adalah detik D. pounds adalah satuan berat 9) Mobil itu berjalan dengan kecepatan 36 km/detik. Nyatakan kecepatan mobil itu dalam m/detik .... A. 1 B. 10 C. 100 D. 1000 10) Pernyataan yang benar berikut ini adalah .... A. tahun cahaya adalah satuan waktu. B. tahun cahaya adalah satuan jarak C. 1 kg = 10 ons D. ft/dt adalah satuan debit. Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang



7.22



Pendidikan Matematika 2 



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



7.23



 PDGK4206/MODUL 7



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) B. Jawaban A, C, dan D tidak masuk akal untuk berat 1 gelas aqua. 2) B. Jawaban A, D, dan C tidak masuk akal untuk debit air mengalir pada pipa berdiameter 1 dm. 3) C. Satuan debit adalah volume per waktu. 4) B. Galon merupakan satuan volume. 5) C. Cukup jelas berdasarkan definisi pound. 1,8 l 6) A. 1800 cc /jam = = 0,0005 l/dt. 3600 dt 7) B. Berat benda dipengaruhi gaya gravitasi, sedang massa benda selalu konstan. 8) C. Ounce dan kilogram merupakan sistem satuan yang berbeda, 1 kilogram tidak tepat sama dengan 10 ounce. 9) B. Satuan debit adalah volume per satuan waktu. 10) A. Jawaban B, C, dan D tidak masuk akal untuk debit air pada pipa air di rumah. Tes Formatif 2 1) C. Jawaban A, B, dan D tidak masuk akal untuk lamanya orang di ATM. 2) B. Jawaban A, D, dan C tidak masuk akal untuk kecepatan pesawat terbang, yakni sekitar 800 km/jam. 3) A. Cukup jelas. 4) C. Cukup jelas. 5) B. Satu bulan ada 30 hari, satu minggu ada 7 hari. 190.000 m 6) D. 90 km/jam = = 50 m/dt. 3600 dt 7) 8) 9) 10)



D. A. B. B.



Cukup jelas. Debit digunakan untuk mengukur volume persatuan vaktu. Mirip dengan penjelasan pada soal nomor 6. Cukup jelas.



7.24



Pendidikan Matematika 2 



Daftar Pustaka Bennett, B.A. (2004). Mathematics for Elementary Teachers. A Conceptual Approach. New York: MacGraw Hill. Bennett, B.A. (2004). Mathematics for Elementary Teachers. An Activity Approach. New York: MacGraw Hill. Burger, W.F. (1999). Mathematics for Elementary Teachers. Ontario: MacMillan. Van de Walle, J.A. (1994). Elementary School Mathematics for Teaching Developmentally. New York: Longmann.



Modul 8



Aritmetika Dr. Nanang Priatna, M.Pd.



PEN D A HU L UA N



D



alam modul ini dijelaskan pengertian aritmetika sederhana yang diterapkan dalam praktik kehidupan sehari-hari, terutama yang menyangkut bahasan perhitungan keuangan. Selain disajikan pengertian aritmetika secara sederhana, juga akan dibahas tentang pengiriman dan penyimpanan uang melalui wesel, tabungan (tabanas, taska, deposito), cek, saham, dan obligasi. Dalam Kegiatan pembelajaran hendaknya melibatkan siswa secara aktif agar proses belajar menjadi lebih bermakna dan menarik. Secara umum tujuan dari penyajian Modul 8 ini adalah agar Anda dapat mengajarkan penggunaan mata uang, wesel, tabungan, cek, saham obligasi dalam kehidupan sehari-hari pada siswa SD dengan metode dan media yang sesuai. Secara khusus tujuan yang hendak dicapai dari penyajian modul ini adalah agar Anda dapat: 1. menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal cerita yang berhubungan dengan mata uang, 2. merancang pembelajaran matematika tentang mata uang sesuai GBPP matematika SD 1994, 3. melaksanakan pembelajaran matematika tentang mata uang dan bagaimana penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari dengan metode dan media yang sesuai, 4. mengevaluasi hasil belajar siswa tentang penguasaan konsep mata uang, 5. menjelaskan bentuk-bentuk pengiriman uang, 6. menjelaskan bentuk-bentuk penyimpanan uang, 7. menjelaskan cara menggunakan wesel, tabungan, cek, saham dan obligasi dalam kehidupan sehari-hari, 8. menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal cerita yang berhubungan dengan pengiriman dan penyimpanan uang,



8.2



9.



Pendidikan matematika 2 



merancang pembelajaran matematika yang meliputi pengiriman dan penyimpanan uang sesuai GBPP matematika SD 1994, 10. melaksanakan pembelajaran matematika di SD yang meliputi pengiriman dan penyimpanan uang dengan metode dan media yang sesuai, 11. mengevaluasi hasil belajar siswa tentang penguasaan materi pengiriman dan penyimpanan uang.



 PDGK4206/MODUL 8



8.3



Kegiatan Belajar 1



Mata Uang



S



ejak manusia mengenal alat tukar yang standar di dalam kegiatan perdagangan, sejak itu pula budaya barter (kegiatan jual-beli dengan cara tukar menukar barang) secara bertahap mulai ditinggalkan. Alat tukar standar yang secara umum dipakai dalam kegiatan perdagangan tadi, kemudian dikenal dan disebut orang sebagai mata uang. Karena, sebelum manusia mengenal uang sebagai alat tukar mereka juga menggunakan alat tukar yang lain seperti emas. Mata uang yang dipergunakan oleh setiap bangsa jenisnya satu sama lain berbeda. Demikian pula dengan standar besarnya atau nilainya, karena itu kita mengenal bermacam-macam uang. Kita mengenal mata uang ringgit untuk orang Malaysia, dolar untuk Amerika, poundsterling untuk orang Inggris serta rupiah untuk orang Indonesia. Tiap mata uang memiliki nilai dan besaran tertentu. Misalnya, lima puluh ribu rupiah, seribu rupiah, dan lima ribu rupiah. Dengan mengenali macam-macam nilai mata uang ataupun satuan mata uang, sangat membantu kita dalam mengelompokkan nilai uang. Nilai uang Rp1.375,00 apabila dikelompokkan ke dalam macam-macam mata uang, di antaranya akan diperoleh: 1. 1 lembar uang dengan nilai Rp1.000,00. 2. 3 lembar uang dengan nilai Rp100,00. 3. 1 keping uang dengan nilai Rp50,00. 4. 1 keping uang dengan nilai Rp25,00. Selain sebagai alat untuk transaksi jual-beli, uang mempunyai fungsi yang lebih luas, yaitu: A. UANG SEBAGAI ALAT KESATUAN HITUNG ATAU UNIT OF ACCOUNT Sebagai alat satuan hitung, uang dipakai untuk menunjukkan nilai berbagai macam barang/jasa yang diperjualbelikan, menunjukkan besarnya kekayaan dan menghitung besar kecilnya pinjaman. Contohnya:



8.4



1. 2.



Pendidikan matematika 2 



Harga satu kilogram telur Rp7.500,00 (harga satu kilogram telur adalah tujuh ribu lima ratus rupiah). Pinjaman Pak Amir pada koperasi karyawan sebesar Rp2.000.000,00 (pinjaman Pak Amir pada koperasi karyawan sebesar dua juta rupiah).



B. UANG SEBAGAI ALAT TUKAR UMUM ATAU MEDIUM OF EXCHANGE Dengan uang orang akan melakukan pertukaran tidak perlu menukarkan dengan barang, tetapi cukup dengan menggunakan uang sebagai alat tukar. Contohnya: 1. Uang Rp1.000,00 ditukarkan dengan 1 buah roti. 2. Uang Rp10.000.000,00 ditukarkan dengan 1 buah sepeda motor. C. UANG SEBAGAI ALAT PENYIMPAN KEKAYAAN/MENABUNG ATAU STORE OF VALUE Menyimpan kekayaan dalam bentuk uang mempermudah pertukaran atau transaksi di saat sekarang maupun di masa yang akan datang. Menyimpan kekayaan dalam bentuk uang mempunyai kelebihan karena uang segera dapat dipergunakan untuk membeli barang dan jasa yang dibutuhkan ataupun dalam pembayaran utang. Di samping kita dapat mengelompokkan nilai uang dengan jumlah tertentu ke dalam macam-macam mata uang, kita pun dapat menghitung besarnya nilai uang dari kelompok mata uang. Misalnya, Ani mempunyai 2 lembar uang sepuluh ribuan, 7 lembar lima ribuan, 8 lembar ribuan, 4 keping uang ratusan dan 6 keping uang lima puluhan. Besarnya nilai uang Ani adalah jumlah nilai mata uang, dari macam-macam uang tersebut. Untuk ini perhitungan yang dilakukan adalah: 1. 2 lembar uang sepuluh ribuan, jumlahnya = 2  Rp.... = Rp.... 2. 7 lembar uang lima ribuan, jumlahnya = 7  Rp.... = Rp.... 3. 8 lembar uang ribuan, jumlahnya = 8 Rp.... = Rp.... 4. 4 keping uang ratusan, jumlahnya = 4  Rp.... = Rp.... 5. 6 keping uang lima puluhan, jumlahnya = 6  Rp.... = Rp.... Perhitungan di atas dapat ditulis dengan bentuk penjumlahan dari perkalian nilai uang berjajar seperti berikut.



 PDGK4206/MODUL 8



8.5



(2  Rp...) + (7  Rp...) + (8  Rp...) + (4  Rp ...) + (6  Rp ...) = Rp .... Berapakah hasilnya? Ya benar, hasilnya adalah Rp63.700,00. Dalam menjelaskan konsep atau pengertian di atas, guru hendaknya memilih suatu strategi pengajaran yang tepat. Untuk ini pengajaran konsep mata uang beserta operasinya dapat dilakukan guru dengan cara demonstrasi dan pemberian tugas (latihan). Dilakukan strategi belajar semacam itu agar murid di dalam memahami pengertian macam-macam mata uang, tidak asing dalam menghadapi kondisi praktis yang ada di sekitar mereka. Untuk itu pengenalan konsep mata uang beserta nilai yang dimilikinya harus disertai dengan demonstrasi mata uang secara langsung. Dalam kegiatan pembelajaran mengenai uang dan perdagangan, akan dibahas mengenai pengertian untung/laba dan rugi beserta persentasenya. Untuk itu maka pembahasan untung/laba dan rugi dari suatu kegiatan perdagangan tentunya akan berkaitan erat dengan modal yang menjadi dasar perhitungan. Dalam hal ini penetapan untung/laba dan rugi dapat ditentukan berdasarkan harga pembelian ataupun harga penjualan. Seseorang akan memperoleh untung/laba apabila yang bersangkutan menjualkan barang-barangnya dengan harga yang lebih tinggi dari harga pembelian. Begitu pula sebaliknya bila seseorang menjual harga barangbarang yang dibelinya dengan harga yang lebih rendah dari harga pembelian tentu orang tersebut akan memperoleh kerugian. Berarti ada selisih antara harga jual dan harga beli. Perhitungan besarnya keuntungan atau kerugian dari suatu penjualan terkadang ditentukan oleh situasi yang sebaliknya. Dengan mengetahui untung atau rugi dari suatu penjualan kita akan dapat menetapkan berapa besar nilai pembelian. Dan sebaliknya bila kita mengetahui harga pembelian dan keuntungan atau kerugiannya maka harga penjualan akan dapat dicari dengan sendirinya. Besarnya nilai keuntungan atau kerugian dalam suatu perdagangan sering dinyatakan dalam nilai persentase. Hal ini sebagai gambaran dari nilai keuntungan atau kerugian yang diperoleh seseorang berdasarkan ukuran dan situasi tertentu. Nilai persentase untung atau rugi pada dasarnya mengalikan perbandingan nilai untung atau rugi dengan suatu harga pembelian/penjualan terhadap nilai 100%.



8.6



Pendidikan matematika 2 



Contoh 8.1. Pak Agung membeli sebidang tanah dengan harga Rp4.500.000,00. Satu tahun kemudian tanah Pak Agung dijual Rp6.000.000,00. Berarti keuntungan Pak Agung sebesar Rp1.500.000,00. 1. Persentase keuntungan Pak Agung terhadap harga pembelian adalah



1.500.00  100% = 33,33% 4.500.000 2.



Persentase keuntungan Pak Agung terhadap harga penjualan adalah



1.500.000  100% = 25% 6.000.000 Contoh 8.2. Keuntungan dari menjual sebuah sepeda motor adalah 15% dengan harga pembelian Rp2.750.000,00 Berarti keuntungannya adalah:



15  Rp2.750.000,00 = Rp412.500,00 100 Dengan demikian harga jual sepeda motor Rp2.750.000,00 + Rp412.500,00 = Rp3.162.500,00.



tersebut



adalah



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Diketahui nilai tukar dolar terhadap rupiah adalah Rp9.200,00. Apabila Nani menukarkan uang sebanyak 5 dolar, berapa uang rupiah yang akan diterima Nani dan berapa jumlah macam mata uang yang mungkin diperolehnya? 2) Agus memiliki sejumlah uang yang terdiri dari 3 lembar puluhan ribuan, 2 lembar lima ribuan, 6 lembar ribuan, 5 lembar lima ratusan, dan 4



 PDGK4206/MODUL 8



8.7



keping uang ratusan. Berapakah uang Agus tersisa, apabila dibelanjakan sebanyak Rp15.750,00? 3) Harga susu setiap liter adalah Rp325,00. Tentukan harga jual susu setiap liternya apabila kerugian yang didapat dari menjual susu sebanyak 45 liter adalah Rp1.575,00. 4) Keuntungan yang diperoleh dari menjual beras sebanyak 450 kg adalah 12% dari harga penjualan. Bila yang didapat dari menjual beras itu Rp270.000,00 tentukan harga penjualan beras setiap kilogramnya, dan tentukan persentase keuntungan terhadap pembeliannya. Petunjuk Jawaban Latihan Periksa dan teliti kembali jawaban Anda, sekarang cocokkan jawabannya dengan kunci jawaban berikut ini! 1) 1 dolar = Rp9.200,00 5 dolar = 5  Rp9.200,00 = Rp46.000,00. Uang Nani sebesar 46.000,00 dapat terdiri atas: a) 4 lembar uang puluh ribuan b) 10 lembar uang lima ratusan c) 10 lembar uang ratusan 2) Jumlah uang Agus adalah: 3  Rp10.000,00 = Rp30.000,00 2  Rp5.000,00 = Rp10.000,00 6  Rp1.000,00 = Rp 6.000,00 5  Rp500,00 = Rp 2.500,00 4  Rp100,00 = Rp 400,00 Jumlah = Rp48.900,00 dibelanjakan = Rp15.750,00 Uang tersisa = Rp33.150,00 3) Harga beli 1 liter susu Rp325,00 Kerugian 45 liter susu sebesar Rp1.575,00 Berarti kerugian 1 liter susu adalah Rp1.575,00 : 45 = Rp35,00 Jadi, harga jual susu setiap liternya adalah Rp325,00  Rp35,00 = Rp290,00



8.8



Pendidikan matematika 2 



4) Keuntungan harga jual beras adalah 12%  Rp270.000,00 = Rp32.400,00 Harga pembelian besar seluruhnya adalah Rp270.000,00  Rp32.400,00 = Rp237.600,00. Harga pembelian beras setiap kilogramnya adalah Rp237.600,00 : 450 = Rp528,00. Persentase keuntungan terhadap pembelian adalah



32.400  100% = 13,64% 237.600 R A NG KU M AN Uang adalah salah satu alat tukar yang lazim dipergunakan orang untuk kegiatan perdagangan, karena itu uang merupakan alat tukar standar untuk kegiatan tersebut. Untung/laba adalah selisih antara nilai (harga) penjualan dengan nilai pembelian, di mana harga penjualan lebih besar dari pada harga pembelian. Sedangkan rugi adalah selisih antara nilai penjualan dengan nilai pembelian, akan tetapi harga penjualan tersebut lebih kecil daripada harga pembelian. Menyatakan nilai suatu keuntungan atau kerugian dapat dilakukan dengan menyatakan persentasenya. Oleh karena itu, dikenal persentase keuntungan atau kerugian terhadap nilai penjualan dan ada pula persentase keuntungan atau kerugian terhadap nilai pembelian. TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Besaran rupiah menunjukkan besaran .... A. mata uang kita B. alat tukar kita C. harga D. nilai



 PDGK4206/MODUL 8



8.9



2) Uang senilai Rp11.850,00 akan terdiri dari .... A. 11 ribuan, 8 lima ratusan, dan 1 lima puluhan B. 2 lima ribuan, 8 ratusan, dan 1 lima puluhan C. 1 puluhan ribu, 3 lima ratusan, 3 ratusan dan 1 lima puluhan D. 1 puluhan ribuan, 10 ratusan, dan 15 lima puluhan 3) Jumlah uang sebesar Rp475,00 apabila terdiri atas uang logam ratusan, lima puluhan, dan dua puluh limaan akan didapat .... A. 7 keping mata uang logam B. 6 keping mata uang logam C. 5 keping mata uang logam D. 4 keping mata uang logam 4) Menjelaskan konsep mata uang kepada murid sebaiknya dilakukan oleh guru dengan cara .... A. ceramah B. diskusi C. demonstrasi D. praktik lapangan 5) Seseorang akan mendapat untung apabila .... A. ada selisih antara pembeli dan penjualan B. selisih pembelian dan penjualan adalah tetap C. harga jual lebih rendah dari harga pembelian D. harga beli lebih rendah dari harga jual 6) Keuntungan yang diperoleh dari menjual 3 pesawat radio sebesar Rp225.000,00. Jika harga beli per buahnya senilai Rp65.000,00 maka keuntungan per buahnya adalah .... A. Rp 10.000,00 B. Rp 25.000,00 C. Rp 30.000,00 D. Rp160.000,00 7) Apabila persentase keuntungan dari harga jual barang sebesar 9%. Sementara harga pembeliannya adalah Rp25,00 maka keuntungan yang diperolehnya adalah .... A. Rp27,25 B. Rp22,75 C. Rp10,75 D. Rp 2,25



8.10



Pendidikan matematika 2 



8) Persentase keuntungan dari menjual emas sebanyak 13 gram adalah 15%. Apabila harga beli emas seluruhnya Rp130.000,00 maka harga jual emas setiap gramnya adalah .... A. Rp19.500,00 B. Rp11.500,00 C. Rp10.500,00 D. Rp1.000,00 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



 PDGK4206/MODUL 8



8.11



Kegiatan Belaj ar 2



Bank dan Benda-benda Pos A. BENTUK-BENTUK PENGIRIMAN DAN PENYIMPANAN UANG Dalam kehidupan sehari-hari kita tidak pernah terlepas dari apa yang dinamakan uang. Uang berfungsi sebagai alat bayar, alat tukar dan juga sebagai alat investasi/menyimpan modal. Uang yang kita gunakan sehari-hari itu dapat dengan cepat berpindah tangan melalui dunia perdagangan. Perdagangan bisa terjadi dalam suatu daerah tertentu dan pula terjadi antardaerah bahkan antarnegara. Kalau perdagangan tersebut sudah merupakan perdagangan antardaerah tentu akan dicari sarana yang praktis untuk transaksi jual beli tersebut. Sekarang tidak lagi transaksi secara tatap muka, tetapi transaksi secara jarak jauh. Si penjual tetap berada di kotanya dan si pembeli pun tetap berada di daerahnya, pembayaran transaksi jual beli bisa dilakukan dengan pos. Dewasa ini sarana pengiriman uang tidak hanya melalui pos, tetapi melalui bank pun sudah bisa melakukan transaksi pengiriman uang, misalnya dengan transfer bank. Tetapi pengiriman uang melalui wesel pos lebih banyak digunakan, selain mudah juga bisa dilakukan oleh semua orang dan juga bisa menjangkau daerah-daerah terpencil. Lain halnya dengan transfer bank ini hanya bisa dilakukan oleh mereka yang menjadi nasabah bank saja. Di zaman dahulu ayah, ibu atau nenek kita kalau menyimpan uang cukup di balik kasur atau bungkus bambu, tetapi sekarang tentu sudah tidak ada lagi orang berbuat demikian, karena zaman sudah maju, teknologi sudah berkembang dengan pesat. Sekarang ini di mana-mana sudah berdiri bank sebagai lembaga keuangan yang fungsinya menerima simpanan masyarakat. Simpanan masyarakat yang diterima oleh bank ini bisa berupa tabungan, simpanan deposito. Simpanan masyarakat ini oleh bank akan disalurkan kembali kepada masyarakat dalam bentuk pemberian kredit. Selain alasan keamanan, masyarakat dewasa ini lebih senang menyimpan uang di bank karena dianggap lebih menguntungkan. Tetapi ada sebagian orang yang memilih membeli surat-surat berharga seperti saham dan obligasi untuk menyimpan uangnya dengan kata lain untuk investasi. Untuk lebih jelasnya mengenai pengiriman dan penyimpanan uang akan diuraikan dalam uraian di bawah ini.



8.12



Pendidikan matematika 2 



1.



Wesel Pos Wesel pos adalah suatu blangko yang dikeluarkan oleh PN. Postel yang digunakan untuk pengiriman uang melalui pos. Wesel pos ini lebih banyak digunakan, karena dapat digunakan oleh semua lapisan masyarakat dan dapat menjangkau daerah yang terpencil, selama di daerah tersebut ada kantor pos. Bagian-bagian wesel pos ialah: a. kolom pengirim, jumlah uang dan tanggal pengiriman. b. kolom alamat dan kolom uang. c. kolom berita. Cara pengiriman wesel pos sangatlah mudah dan sederhana sekali. Kita tinggal datang ke kantor pos dan mengisi kartu wesel pada setiap bagianbagian wesel pos tersebut kemudian kita kirimkan. Contoh Wesel Pos



8.13



 PDGK4206/MODUL 8



Selain wesel pos sebagai alat pengirim uang, di dalam dunia perdagangan ada istilah wesel. Yang dimaksud wesel di sini ialah suatu surat perintah membayar dari seseorang (yang mempunyai piutang) kepada orang yang mempunyai utang kepadanya. Inisiatif pembuatan wesel datang dari penagih (yang mempunyai piutang) sedangkan yang mempunyai utang adalah yang akan menerima. Di dalam wesel itu harus tercantum hal-hal sebagai berikut. a. Pada ruangan kata (teksnya) harus ada menyebutkan wesel atau surat wesel. b. Perintah tidak bersyarat mengenai pembayaran sejumlah uang. c. Nama yang akan membayar. d. Penetapan hari pembayaran. e. Penetapan tempat, di mana wesel itu harus dibayar. f. Nama orang yang ditunjuk, kepada siapa pembayaran itu harus dilakukan. g. Tanggal dan pembuatan wesel. h. Tanda tangan pembuat. Bentuk wesel, untuk jelasnya dapat dilihat pada contoh berikut. Bandung, 5 Desember 1986 Rp5.000.000,00 Dua bulan sesudah tanggal tersebut di atas, agar tuan dapat membayar surat wesel ini kepada saya kepada order (yang ditunjuk), uang sejumlah Lima Juta Rupiah.



Kepada Tn. E. Noormartono Jl. Kesatrian VIII H.16 Jakarta Adya Barata



8.14



a. b. c.



a. b.



Pendidikan matematika 2 



Orang-orang yang tanda tangannya tertera pada wesel adalah orangorang yang bersangkutan dengan wesel, disebut sebagai personal wesel. Orang yang membuat wesel itu atau yang membuat perintah membayar disebut penarik; pada contoh di atas penarik adalah: Adya Barata. Orang yang mendapat perintah untuk membayar wesel itu disebut sebagai yang kena tarik. Dalam contoh di atas adalah: E. Noormartono. Secara garis besarnya wesel terdiri dari dua jenis yaitu: 1) Wesel yang berbunga Pada surat wesel ini harus dicantumkan bunga wesel per tahunnya Nanti pada saat menerima, penarik akan memperoleh nilai nominal wesel ditambah bunga. 2) Wesel yang tidak berbunga Pada saat penarik menerima pembayaran, hanya akan menerima sejumlah nominalnya. Wesel berfungsi sebagai berikut. Alat pembayar (membeli barang dengan mengeluarkan wesel). Sebagai alat kredit (meminjamkan uang dalam mengeluarkan wesel atau menjaminkan wesel).



Selain berfungsi sebagai sarana untuk pengiriman uang, bank mempunyai fungsi yang lain, yaitu menerima dari nasabah dengan kata lain bank mempunyai peranan dalam penyimpanan uang masyarakat secara aman. Layanan bank dalam produk penyimpanan uang dapat berupa: a.



Tabungan Tabungan merupakan produk simpanan di bank yang penyetorannya dapat dilakukan kapan saja. Hampir semua orang merasa wajib memiliki tabungan di bank. Banyak tujuan orang dalam menabung. Yang pertama adalah untuk mengumpulkan dana untuk keperluan di masa depan. Yang kedua adalah menggunakan tabungan sebagai tempat menyimpan uang untuk biaya hidup sehari-hari. Bunga tabungan diberikan bank agar dana yang disimpan di dalam tabungan dapat berkembang sehingga nasabah makin rajin menabung. Bunga tabungan ini diberikan pada akhir bulan berdasarkan saldo rata-rata harian bulan tersebut. Bunga dapat diberikan secara singlet rate dapat juga secara bertingkat. Single rate artinya berapa pun jumlah uang di tabungan, tingkat



 PDGK4206/MODUL 8



8.15



bunganya sama. Sedangkan bunga bertingkat artinya, semakin banyak saldo yang ditabung, semakin tinggi bunga yang kita terima. Dengan demikian, berkembangnya teknologi, banyak bank yang memberikan fasilitas tambahan pada produk tabungan mereka seperti ATM (Automatic Teler Machine) dan debit card. ATM merupakan pelayanan pembayaran kepada nasabah dengan menggunakan mesin yang dikendalikan oleh komputer. Pemilik tabungan cukup memasukkan kartu ATM ke dalam mesin ATM untuk dapat menarik uang dari tabungannya. Pada saat ini, mesin ATM memiliki banyak fasilitas seperti pembayaran berbagai tagihan, transfer uang, hingga pembelian pulsa telepon seluler. Fasilitas lain yang sering ditambahkan pada produk tabungan masa kini adalah fasilitas debit card. Debit card (kartu debet) merupakan kartu pengganti uang untuk keperluan sehari-hari. Tempat-tempat yang menerima debit card biasanya sama dengan tempat yang menerima credit card. Debit card ‘bekerja’ berdasarkan tabungan, artinya ketika Anda menggunakan debit card sebagai alat bayar, sebenarnya Anda telah mengurangi jumlah tabungan sendiri. Hal ini berbeda dengan kartu kredit yang merupakan bentuk utang terhadap bank. b.



Jasa-jasa perbankan dalam negeri Selain menggunakan jasa kantor pos, dalam hal pengiriman uang pun dapat menggunakan jasa bank. Jasa-jasa bank dalam lalu lintas pembayaran dalam negeri meliputi: 1) Pengiriman uang Pengiriman uang atau transfer merupakan salah satu pelayanan jasa bank kepada masyarakat. Bank bersedia melaksanakan amanat nasabah untuk mengirimkan sejumlah uang yang ditujukan kepada pihak lain (perorangan atau badan) di tempat lain. 2) Inkaso Inkaso atau collection adalah pemberian kuasa kepada bank oleh perseorangan/badan untuk menagih atau memintakan persetujuan pembayaran (akseptasi). Misalnya, jika Anda menerima wesel atau cek yang harus ditagih atau diuangkan pada bank di luar negeri, yaitu bank yang namanya tercantum pada wesel atau cek tersebut tentu saja Anda tidak perlu ke luar negeri untuk menguangkan wesel atau cek tersebut,



8.16



Pendidikan matematika 2 



melainkan cukup Anda menyerahkan ke bank dalam negeri (bank devisa) untuk menagihnya. 3) Letter of credit dalam negeri Letter of credit dalam negeri (LC.DN) meliputi hal sebagai berikut. a) Letter of credit dalam negeri (LC.DN) merupakan salah satu bentuk jasa bank yang dapat dimanfaatkan oleh masyarakat untuk memperlancar arus pengadaan barang dari suatu tempat ke tempat lain, terutama yang bersifat antarpulau di dalam negeri. L/C dalam negeri dapat menampung kesulitan-kesulitan itu antara lain pemenuhan persyaratan oleh pembeli yang diminta oleh penjual. Sedangkan bagi penjual, dalam memenuhi pembayaran yang terjamin apabila pembeli dapat memenuhi syarat-syarat yang dikemukakan oleh penjual. b) Delegasi kredit atau bankir order pemberian kuasa dari badan hukum atau perorangan kepada bank untuk melakukan pembayaran kepada badan hukum atau perorangan di tempat lain secara berkala, sejumlah uang selama jangka waktu yang ditentukan. Dana untuk pembukaan delegasi kredit dapat dibebankan kepada rekening giro atau tabungan biasa. c.



Deposito Deposito adalah simpanan dari pihak ketiga kepada bank yang penarikannya dapat dilakukan dalam jangka waktu tertentu menurut perjanjian antara pihak ketiga dan bank yang bersangkutan. Orang yang menyimpan uang dalam bentuk deposito dinamakan deposan, dan bukti bahwa seseorang memiliki deposito adalah kita akan menerima selembar kertas yang bernama bilyet. Jangka waktu deposito dapat dipilih sesuai dengan kebutuhan yaitu: satu bulan, tiga bulan, enam bulan, dua belas bulan dan dua puluh empat bulan. Bila waktu yang ditentukan telah habis, maka seorang deposan dapat: 1) menarik deposito tersebut. 2) memperpanjang dengan suatu periode yang diinginkan. Macam-macam Deposito: 1) Deposito valuta asing berjangka Deposito ini ialah simpanan dari pihak ketiga kepada bank dalam bentuk mata uang asing. Deposito berjangka valuta asing pada beberapa bank



 PDGK4206/MODUL 8



8.17



pemerintah dapat diterbitkan dalam dolar Amerika atau mata uang lainnya yang terdaftar pada Bursa Valuta Asing Jakarta. Jangka waktu penyimpanan dapat dipilih sesuai kebutuhan, yakni 1 bulan, 3 bulan, 6 bulan, atau 12 bulan. Tarif bunga diberikan dengan sangat menarik dan fleksibel sesuai dengan perkembangan pasar. 2) Deposito on Call Deposito on Call ialah simpanan yang tetap berada di bank selama deposan tidak membutuhkannya. Deposito ini agak berbeda dengan deposito berjangka. Apabila deposan akan menarik simpanan depositonya terlebih dahulu ia harus memberitahukannya kepada bank. Pemberitahuan deposito disesuaikan dengan perjanjian antara deposan dengan bank, umpamanya sebulan atau dua bulan sebelum jangka waktu penarikan. Di negara kita deposito semacam ini memasyarakat dibandingkan dengan di luar negeri. 3) Deposito Automatic Roll-Over (ARO). Deposito yang sudah jatuh tempo, tetapi belum diuangkan berarti uang deposan menganggur tanpa bunga. Hal ini tidak akan terjadi bila depositonya berbentuk Automatic Roll-Over. Dengan Deposito Automatic Roll-Over uang deposan secara otomatis diperhitungkan bunganya, begitu jangka waktu deposito habis waktunya, uang deposan akan terus diberi bunga dan tidak pernah menganggur seandainya deposan tidak menarik simpanannya yang sudah jatuh tempo. Deposito jenis ini sudah banyak dilaksanakan di negara kita, baik pada bank pemerintah maupun bank swasta. d.



Giro Giro merupakan rekening yang cocok untuk pribadi yang sangat sering menggunakan jasa perbankan. Rekening giro adalah rekening yang uangnya dapat diambil setiap hari. Rekening ini dilengkapi dengan fasilitas pembayaran dengan cek dan giro bilyet. Apabila Anda bertransaksi dengan orang lain, Anda dapat membayarnya dengan menggunakan cek atau giro bilyet. Dewasa ini semakin banyak orang yang memanfaatkan jasa bank untuk menyimpan uang tunai karena berbagai alasan. Di antaranya untuk kemudahan dan keamanan bagi mereka yang menyimpan uang di bank, mereka diharuskan membuka rekening koran, untuk sarana penyimpanan



8.18



Pendidikan matematika 2 



uang mereka. Pemilik rekening tersebut dinamakan nasabah bank, yang masing-masing nasabah memiliki nomor rekening. Sebagai alat untuk mengambil uang jika nasabah memerlukannya maka bank akan memberikan buku cek. Cek ini juga berfungsi sebagai alat tukar atau alat pembayaran yang sah seperti uang. Hanya, kalau uang tidak boleh ditolak sedangkan cek boleh ditolak oleh penerima bila mereka meragukannya. Cek adalah suatu surat perintah membayar sejumlah uang dari seorang nasabah kepada bank di mana ia menyimpan uangnya. Sebuah cek dapat dinamakan cek apabila memuat: 1) nama bank; 2) nomor rekening nasabah yang bersangkutan; 3) tempat dan tanggal pembuat cek; 4) tanda tangan yang memberi perintah; 5) perintah membayar sejumlah uang; 6) cap nasabah (apabila ada/perusahaan instansi). Contoh Cek



 PDGK4206/MODUL 8



8.19



Macam-macam Cek 1) Cek yang tidak menyebut nama penerima, pembayarannya dapat dilakukan kepada siapa saja yang membawa cek tersebut. Cek ini disebut juga cek pada si pembawa. 2) Cek atas nama, pembayarannya hanya dapat dilakukan kepada orang yang namanya tercantum pada cek tersebut. 3) Cek perjalanan, cek yang dapat dipakai oleh mereka yang berada dalam perjalanan atau bepergian. Cek ini biasanya dapat ditukarkan di bank mana saja, atau langsung dibayarkan kepada penerima, misalnya: hotel, restoran dan toko-toko. Tujuan penggunaan cek ini untuk mengamankan uang pada saat yang bersangkutan dalam perjalanan. 4) Cek bersilang, cek yang bagian mukanya diberi dua garis sejajar yang menunjukkan bahwa cek tersebut hanya dapat dibayar kepada bank. Pemberian kode silang ini dimaksudkan untuk keamanan dari beberapa jenis kejahatan, karena cek semacam ini tidak dapat tunaikan. Cek bersilang ini ada dua macam, yaitu: a) cek silang umum, yaitu cek yang diberi silang dan di antara kedua garis silang itu tidak dicantumkan nama bank. b) cek silang khusus, yaitu cek yang diberi silang di mana di antara kedua garisnya dicantumkan nama banknya. Yang mengeluarkan buku cek biasanya bank-bank (bank pemerintah maupun bank swasta). Pengeluaran cek harus didasarkan pada simpanan yang ada pada bank, tanpa simpanan di bank, pengeluaran cek tidak dibenarkan. Di dalam kehidupan sehari-hari sering juga terjadi orang-orang yang tidak mempunyai simpanan (simpanannya habis) mengeluarkan cek, maka cek yang dikeluarkannya disebut cek kosong. Cek mundur adalah sehelai cek yang dibuat pada saat ini tetapi tanggalnya pada cek ditulis mundur, sehingga orang yang menerima baru dapat mencairkan cek itu menjadi uang tunai pada tanggal jatuh temponya, yaitu tanggal yang tertulis pada cek itu. Jangka waktu berlakunya cek adalah sejak tanggal yang tercantum dalam cek itu sampai batas tujuh puluh hari. e.



Saham Surat saham disebut juga surat sero adalah suatu surat tanda bukti menanamkan sejumlah uang dalam suatu perusahaan. Mereka yang memegang surat tersebut, berarti ikut serta memodali perusahaan dengan



8.20



Pendidikan matematika 2 



sejumlah uang yang tertera dalam surat saham tersebut. Atas penanaman modal tersebut pemegang saham akan mendapatkan bagian laba yang diperoleh perusahaan tersebut. Bagian laba yang diterima oleh pemegang saham tersebut dinamakan dividen, yang diterima pada waktu-waktu tertentu. Contoh Saham



Bentuk-bentuk saham Saham yang dikeluarkan oleh perusahaan dilakukan dalam jumlah lembaran yang banyak, yang terdiri dari: 1) Saham atas nama, yaitu saham yang dicantumkan nama pemegang sahamnya. Saham ini tidak dapat diperjualbelikan.



 PDGK4206/MODUL 8



8.21



2) Saham pembawa (terbuka), yaitu saham yang dikeluarkan tanpa nama pemegang sahamnya. 3) Saham biasa,yaitu saham yang mempunyai hak-hak prioritas istimewa. Pemegang saham ini dalam mendapatkan dividen sangat tergantung turun naiknya keuntungan perusahaan, jadi dividen yang akan diterimanya tidak tetap. 4) Saham istimewa, yaitu saham yang mempunyai hak-hak istimewa. Lembaran saham terdiri dari dua bagian yaitu: a) lembar induk disebut mantel, merupakan bagian muka luar saham yang berisi pernyataan perusahaan sebagai bukti keikutsertaan pemilikan saham. b) lembar belakang, yaitu lembar yang digunakan untuk alat mendapatkan hak laba (dividen). Lembar belakang ini disebut juga lembar dividen atau talon. Nilai Saham Nilai saham terdiri dari nilai nominal dan nilai jual. Nilai nominal, yaitu nilai yang tercantum lembaran saham. Nilai jual ini terdiri dari: 1) Sama dengan nilai nominal (pari). Penjualan saham pada tingkat nominal berarti kurs jual saham ini 100. Hal ini berarti nilai jual saham sama dengan nilai nominal. 2) Di bawah nilai nominalnya (di bawah pari). Penjualan saham pada tingkat di bawah nilai nominal berarti kurs jual di bawah 100. Misalnya, kurs jual 97, nilai nominal saham Rp10.000,00,00 maka nilai jual saham tersebut 97%  Rp10.000,00 = Rp9.700,00. 3) Di atas nilai nominalnya (di atas pari). Penjualan saham pada tingkat di atas nilai nominal berarti kurs jual di atas 100. Misalnya: kurs jual 102, nilai nominal saham Rp10.000,00 maka nilai jual saham tersebut 102%  10.000 = Rp10.200,00. f.



Obligasi Suatu perusahaan atau pemerintah yang memerlukan uang dalam jumlah besar, dapat dilakukan dengan berbagai cara. Salah satu cara mendapatkan uang dalam jumlah besar itu, perusahaan atau pemerintah dapat mengadakan pinjaman. Pinjaman tersebut harus dikembalikan setelah jangka waktu tertentu, berupa jangka pendek atau jangka panjang. Pinjaman yang harus



8.22



Pendidikan matematika 2 



dikembalikan sebelum masa satu tahun disebut pinjaman jangka pendek, dan pinjaman yang akan dikembalikan setelah lebih dari masa satu tahun dikatakan pinjaman jangka panjang. Untuk mendapatkan pinjaman-pinjaman tersebut perusahaan atau pemerintah dapat mengeluarkan suatu surat pinjaman yang disebut obligasi. Obligasi ialah surat tanda bukti meminjam sejumlah uang kepada umum yang memberikan hasil bunga yang tetap untuk selama jangka waktu tertentu yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan atau negara. Dengan demikian, hakikat daripada obligasi sebenarnya merupakan suatu surat bukti pengakuan meminjam sejumlah uang yang tertulis dalam surat tersebut. Obligasi yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan terdiri dari: a. Atas dasar jaminan (agunan), yaitu pengeluaran obligasi yang dijamin dengan benda-benda tetap sehingga keyakinan umum terhadap pemberian pinjaman itu ada dan lebih kuat. b. Tanpa jaminan, yaitu pengeluaran obligasi tidak dijamin oleh benda atau barang, tetapi berdasarkan kepada kepercayaan belaka. Pemegang obligasi mendapat bunga tetap yang dibayarkan pada waktu tertentu. Hingga pemegang obligasi ini disebut kupon, dan tanggal pembayaran bunga disebut hari kupon. Kupon yang dibayarkan kepada para pemegang obligasi terdiri dari: a. Bunga tetap/obligasi biasa Dasar bunganya tidak berubah yang dihitung X% dari nilai nominal. Obligasi ini besarnya kupon tetap. b. Besarnya bunga berubah. Dasar bunganya berubah dari satu masa kupon ke masa kupon berikutnya, dengan dasar bunga yang terus meningkat (naik).



 PDGK4206/MODUL 8



8.23



Contoh Obligasi



Contoh 1) Coba Anda jelaskan, alasan masyarakat menyimpan uang di bank! Jawaban Alasan masyarakat menyimpan uang di bank ialah: a) Aman, dengan menyimpan uang di bank, uang yang kita simpan terhindar dari pencurian/kehilangan. b) Produktif, artinya uang yang kita simpan akan bertambah, yaitu dengan adanya bunga. 2) Coba Anda jelaskan apa yang dimaksud dengan deposito! Jawaban Deposito adalah Simpanan dari pihak ketiga kepada bank yang penarikannya dapat dilakukan dalam jangka waktu tertentu menurut perjanjian antara pihak ketiga dengan bank yang bersangkutan.



8.24



Pendidikan matematika 2 



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Jelaskan yang dimaksud dengan Deposito On Call! 2) Apa yang termasuk bagian-bagian dari cek? 3) Bila nilai nominal saham Rp20.000,00 kursnya 90% berapa nilai jualnya? 4) Apa yang dimaksud dengan kupon? 5) Jelaskan yang dimaksud dengan obligasi atas dasar jaminan! Petunjuk Jawaban Latihan Periksa dan teliti kembali jawaban Anda, sekarang cocokkan jawabannya dengan kunci jawaban berikut ini! 1) Deposito On Call yaitu, simpanan (deposito) yang tetap berada di bank selama deposan tidak membutuhkannya. 2) Bagian-bagian dari cek ialah a) Nama Bank. b) Nomor Rekening Nasabah. c) Tempat dan tanggal pembuatan cek. d) Tanda tangan yang memberi perintah. 3) Nilai Nominal Rp20.000,00 kurs 90%. Nilai jualnya ialah: 90  Rp20.000,00 = Rp18.000,00. 100 4) Kupon ialah bunga dari obligasi. 5) Obligasi atas dasar jaminan ialah pengeluaran obligasi yang dijamin dengan benda-benda tetap. R A NG KU M AN Pengiriman uang dapat melalui Pos dan melalui Bank. Pengiriman melalui Pos, yaitu dengan Wesel Pos sedangkan melalui Bank dengan Cek. Cek adalah surat perintah membayar kepada seseorang. Wesel adalah salah satu alat pengiriman uang melalui Pos.



 PDGK4206/MODUL 8



1. 2. 3.



8.25



Bagian-bagian Wesel terdiri dari: kolom pengiriman. kolom alamat. kolom berita.



Uang yang ada pada masyarakat dapat disimpan di bank, karena aman dan menguntungkan. Cara penyimpanan uang di bank dapat berupa tabungan dan dapat juga dalam bentuk deposito. Tabungan dapat diambil oleh nasabah setiap saat, di mana nasabah memerlukan uang, sedangkan deposito hanya dapat diambil pada waktu tertentu, yaitu pada saat jatuh tempo. Selain dalam bentuk rupiah, deposito pun dapat dilakukan dalam bentuk mata uang asing/valuta asing. Selain menyimpan uang di bank ada sebagian dari masyarakat kita, menginvestasikan uangnya dengan membeli surat-surat berharga. Yang termasuk ke dalam surat-surat berharga yaitu: saham dan obligasi. Saham ialah surat tanda ikut bermodal dalam suatu perusahaan, sedangkan obligasi ialah surat tanda pinjaman uang. Apabila kita memiliki saham maka kita akan menerima balas jasa dari pemilikan saham tersebut yang bernama dividen, tetapi kalau kita memiliki obligasi balas jasanya dinamakan dengan kupon. TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Pengiriman uang melalu pos dikenal dengan nama .... A. kartu pos B. surat tertutup C. warkat pos D. wesel pos 2) Tanda bukti seseorang yang memiliki simpanan dalam bentuk Deposito ialah .... A. giro B. bilyet C. kupon D. rekening koran



8.26



Pendidikan matematika 2 



3) Deposito yang secara otomatis akan mengalami perpanjangan setelah habis masa jatuh temponya dinamakan .... A. Deposito Automatic Roll-Call B. Deposito otomatis C. Deposito On-Call D. Deposito Istimewa 4) Cek yang dapat dipakai oleh mereka yang berada dalam perjalanan dinamakan cek .... A. wisatawan B. bersilang C. perjalanan D. atas nama 5) Cek yang tidak ada dananya dinamakan cek .... A. kosong B. mundur C. habis D. turis 6) Saham yang dicantumkan nama pemegang sahamnya disebut saham .... A. pembawa B. atas nama C. biasa D. istimewa 7) Bila nilai nominal saham ada di atas nilai jual hal ini berarti kursnya .... A. 100% B. di bawah 100% C. di atas 100% D. pari 8) Obligasi yang jangka waktunya kurang dari satu tahun termasuk pinjaman .... A. jangka panjang B. jangka pendek C. hipotek D. wesel



8.27



 PDGK4206/MODUL 8



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



8.28



Pendidikan matematika 2 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) A. Jelas. 2) C. Coba Anda uraikan dalam puluhan ribu, lima ratusan, ratusan dan lima puluhan 3) B. Uraikan berdasarkan ratusan, lima puluhan dan dua puluh limaan lalu jumlahkan. 4) C. Anak akan lebih paham jika melihat sendiri. 5) D. Untung = harga jual – harga beli. Rp225.000,00 - Rp65.000,00 6) A. 3 9 7) D.  Rp2500,00 = Rp25,00 100 15 Rp130.000,00 8) B.  Rp130.000,00 + 100 3 Tes Formatif 2 1) D. Jelas. 2) B. Bilyet adalah selembar kertas tanda seseorang memiliki deposito. 3) A. Jelas. 4) C. Jelas. 5) A. Jelas. 6) B. Jelas. 7) C. Jelas. 8) B. Obligasi jangka pendek harus dikembalikan sebelum masa satu tahun.



8.29



 PDGK4206/MODUL 8



Daftar Pustaka Depdiknas. (2004). Kurikulum Matematika SD tahun 2004. Universitas Terbuka. (1991). Pendidikan Matematika 2.



Modul 9



Pengolahan Data Muchtar Abdul Karim Erry Hidayanto



PEN D A HU L UA N



D



alam modul ini Anda akan mempelajari statistika, yang mencakup cara mengumpulkan data, diagram, rata-rata, median dan modus. Modul ini terbagi menjadi tiga kegiatan belajar. Pada Kegiatan Belajar 1 Anda akan mempelajari cara mengumpulkan data yang meliputi data statistik, mengumpulkan data, dan menyusun data. Pada Kegiatan Belajar 2 Anda akan mempelajari diagram yang meliputi diagram lambang, diagram batang dan diagram garis. Selain itu, Anda akan mempelajari rata-rata, median, dan modus. Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda memahami statistika. Secara khusus Anda diharapkan dapat: 1. menjelaskan cara mengumpulkan data; 2. menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal tentang cara mengumpulkan data; 3. melakukan pembelajaran cara mengumpulkan data kepada siswa SD menggunakan media dan pendekatan yang tepat; 4. mengevaluasi hasil belajar siswa tentang cara mengumpulkan data; 5. menjelaskan tentang diagram; 6. menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal tentang diagram; 7. menjelaskan salah konsep tentang diagram dilihat dari sisi guru dan siswa; 8. melakukan pembelajaran diagram kepada siswa SD menggunakan media dan pendekatan yang tepat; 9. mengevaluasi hasil belajar siswa tentang diagram; 10. menjelaskan cara menghitung rata-rata, median, dan modus; 11. menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal tentang cara menghitung ratarata, median, dan modus;



9.2



Pendidikan matematika 2 



12. menjelaskan salah konsep tentang cara menghitung rata-rata, median, dan modus dilihat dari sisi guru dan siswa; 13. melakukan pembelajaran cara menghitung rata-rata, median, dan modus; kepada siswa SD menggunakan media dan pendekatan yang tepat; 14. mengevaluasi hasil belajar siswa tentang cara menghitung rata-rata, median, dan modus. Kemampuan tersebut sangat penting bagi Anda untuk dapat mengajarkan statistika kepada siswa sesuai dengan kurikulum SD. Di samping belajar sendiri disarankan juga Anda melakukan belajar kelompok yang terdiri dari 3 atau 4 orang. Dalam mengerjakan soal-soal latihan dan tes formatif, hendaknya Anda berusaha sekuat tenaga untuk mengerjakannya sendiri. Jika Anda menemui kesulitan, misalnya jawaban tidak sesuai dengan kunci, atau tidak dapat memecahkan persoalan yang Anda hadapi, barulah persoalan tersebut dibahas bersama teman-teman sekelompok Anda. Dianjurkan pula membahas bersama teman-teman persoalan yang sudah Anda pecahkan, karena mungkin teman Anda mempunyai jalan penyelesaian yang lebih sederhana. Jika dalam kelompok masih Anda temui kesulitan maka catatlah untuk dikonsultasikan kepada tutor Anda.



 PDGK4206/MODUL 9



9.3



Kegiatan Belajar 1



Cara Mengumpulkan Data



D



alam Kegiatan Belajar 1 ini Anda akan mempelajari data statistik, mengumpulkan data dan menyusun data. Sesuai dengan judul dari modul ini, yaitu statistika maka ada baiknya untuk mengawali modul ini Anda perhatikan terlebih dahulu pengertian dari statistika berikut ini. Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan fakta, pengolahan serta penganalisisannya, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta dan penganalisisan yang dilakukan (Sudjana, 1986). A. DATA STATISTIK Dalam kehidupan sehari-hari dengan tidak disadari sering kali Anda berhubungan, atau bahkan menggunakan data statistik. Sebagai contoh, tentunya Anda tidak asing dengan keterangan-keterangan berikut ini. 1. Pak Hasan mempunyai dua anak satu perempuan dan dua anak laki-laki. 2. Tinggi badan pemain bola voli nasional tidak kurang dari 180 cm. 3. Nilai matematika tertinggi siswa kelas 6 adalah 95. 4. Rata-rata siswa SD kelas satu umurnya 6 tahun. 5. SD Suka Maju pernah mendapat predikat desa teladan. 6. Andi senang sekali mendapat nilai bagus. 7. Barang-barang di gudang sudah banyak yang rusak. 8. Kebanyakan kecelakaan di jalan raya disebabkan oleh faktor kelalaian pengendara. Keterangan-keterangan atau fakta-fakta di atas merupakan contoh dari data atau lengkapnya data statistik. Bila Anda cermati lagi maka data di atas dapat Anda golongkan menjadi dua jenis. Data jenis pertama disebut data kuantitatif terdapat pada Nomor 1-4, dan data jenis kedua disebut data kualitatif terdapat pada Nomor 5-6. Kesalahan konsep yang terjadi pada data statistik ini adalah anggapan bahwa semua data berbentuk bilangan.



9.4



Pendidikan matematika 2 



B. MENGUMPULKAN DATA Di Sekolah Dasar siswa dapat diajak untuk mengumpulkan data dari lingkungan sekitar rumah mereka. Berikut ini contoh kegiatan yang dapat dilakukan siswa dalam rangka mengumpulkan data. Kegiatan 1 1. Mintalah siswa Anda untuk mencatat data yang diperoleh dari media masa, bisa dari televisi, radio, koran, majalah, dan lain sebagainya. 2. Mintalah kepada siswa untuk mengelompokkan data tersebut berdasarkan jenisnya, yaitu jenis kuantitatif atau jenis kualitatif. 3. Anda minta pula kepada siswa untuk mencatat sumber data, yaitu dari mana data itu diperoleh siswa. Ingatkan kepada siswa bahwa data yang diperoleh haruslah data yang sebenarnya, yaitu tidak dari hasil mereka-reka. Berikut ini adalah beberapa cara yang dapat Anda lakukan dalam mengumpulkan data: 1. Melakukan pengamatan langsung, kemudian mencatat hasilnya sesuai dengan permasalahan yang diperlukan. 2. Melalui wawancara. 3. Melalui angket, yaitu cara mengumpulkan data dengan menggunakan daftar isian atau daftar pertanyaan. 4. Mengambil data yang sudah ada dari suatu lembaga, atau orang lain. C. MENYUSUN DATA Setelah Anda selesai mengumpulkan data, pekerjaan berikutnya adalah menyusun data sehingga data mudah untuk dibaca. Yang dimaksud menyusun data dalam pembahasan ini adalah menyusun data menjadi bentuk tabel. Beberapa hal yang perlu Anda perhatikan dalam menyusun data menjadi bentuk tabel: 1. Judul Anda tulis secara singkat dan jelas dengan huruf besar. 2. Nama Anda susun menurut abjad. 3. Waktu Anda susun berurutan, dari yang rendah, misal 2000, 2001, 2002. 4. Kategori disusun menurut kebiasaan, misal laki-laki dulu baru perempuan.



9.5



 PDGK4206/MODUL 9



5. 6. 7. 8.



Untuk kategori yang menunjukkan jenjang Anda susun jenjang secara berurutan. Jika diperlukan, pada baris terakhir tuliskan jumlah. Sumber data Anda tulis di bawah sudut tabel bagian kiri, jika Anda mengambil data dari sumber lain. Jika tidak dicantumkan sumber data dianggap data milik pelapor.



Contoh 1. Berikut ini adalah tabel tentang IPK rata-rata mahasiswa Matematika UM dari tahun 2001 sampai dengan 2005. Tabel 9.1. Rata-rata IPK Mahasiswa Pendidikan Matematika FMIPA UM Tahun 2000-2004 Tahun Rata-rata IPK 2000 2,59 2001 2,67 2002 2,76 2003 3,21 2004 3,06 Sumber: Kemahasiswaan FMIPA UM.



Kegiatan berikut ini dapat Anda jadikan pertimbangan dalam mengajarkan cara menyusun data. Kegiatan 2 1. Buatlah tabel tentang banyak anggota keluarga beberapa siswa Anda, seperti berikut ini. Tabel 9.2. Banyak Anggota Keluarga Beberapa Siswa Nama



Banyak Anggota Keluarga



9.6



2.



3.



Pendidikan matematika 2 



Mintalah beberapa siswa (berdasarkan urutan abjad) untuk maju menuliskan nama dan banyaknya anggota keluarga pada kolom yang tersedia. Berikan tugas kepada siswa Anda untuk membuat tabel yang lainnya. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!



I.



Berilah tanda silang pada B jika pernyataan di bawah ini benar, dan S jika salah!



1) B – S Suatu data yang dinyatakan dalam bentuk bilangan akan sulit untuk dipahami. 2) B – S Rata-rata keluarga di perumahan A, mempunyai sebuah sepeda dapat diartikan bahwa dalam 10 keluarga terdapat 10 sepeda. 3) B – S Data hanya dapat diperoleh dari lingkungan. 4) B – S Ada sebanyak 4 aturan dalam pembulatan bilangan. II. Selesaikan soal-soal di bawah ini! 1) Manakah di antara ungkapan berikut ini yang merupakan data statistika? a) Tinggi bangunan hotel itu mencapai 50 meter. b) Hari ini hujan. c) "Berapa umur Ali?" d) Jumlah kecelakaan lalu lintas tahun 1996 menurun. e) "Mengapa di jalan raya sering terjadi kecelakaan?" f) "Pak, saya hari ini tidak sehat." g) "Bagaimana cara membuat kue tart?" h) "Tono, kamu harus belajar lebih keras lagi." 2) Dilakukan eksperimen pelemparan sebuah dadu 20 kali, selanjutnya dicatat jumlah mata dadu yang muncul sebagai berikut. 5, 6, 4, 3, 6, 2, 3, 3, 5, 1 5, 6, 1, 1, 1, 4, 3, 5, 6, 1



9.7



 PDGK4206/MODUL 9



a)



Lengkapilah tally pada bilangan-bilangan berikut. 1 2 3 4 5 6 ... ... |||| ... ... ... b) Gambarlah data di atas pada kertas berpetak. 3) Dilakukan eksperimen pelemparan sebuah mata uang sebanyak 30 kali, hasilnya sebagai berikut. G H H H G G H G G G H H G H G H H G G H H G G G G G H G H H a. Buatlah tally dari data di atas. b. Gambarlah data di atas pada kertas berpetak. 4) Nilai matematika dari 50 siswa adalah sebagai berikut. 60, 75, 65, 85, 80, 70, 75, 85, 95, 55, 60, 75, 100, 60, 75, 65, 85, 80, 70, 75, 85, 95, 55, 65, 85, 80, 70, 75, 85, 95, 55 75, 70, 65, 85, 80, 75, 75, 85, 95, 55 50, 65, 60, 80, 85, 80, 65, 95, 95, 55 a. Tentukan data terbesar dan terkecilnya. b. Buatlah tally dari data di atas. c. Gambarlah data di atas pada kertas berpetak. Petunjuk Jawaban Latihan I.



1) 2) 3) 4)



S B S S



II. 1) a, b, d, f, 2) a)



1 ||||



2 |



3 ||||



4 ||



5 ||||



6 ||||



9.8



Pendidikan matematika 2 



b) x x x x x 1



x 2



x x x x 3



x x 4



x x x x 5



x x x x 6



3) Lihat jawaban nomor 2. 4) Data terbesarnya 100, dan data terkecilnya 55. R A NG KU M AN Suatu data yang dinyatakan dengan bilangan akan mudah dipahami dan akan banyak membantu dalam membuat keputusan. Misalnya, diperoleh data berikut. Laporan cuaca menyebutkan bahwa risiko hari ini hujan sebesar 10%. Berdasarkan laporan tersebut kita dapat membuat keputusan yang lebih tepat, apakah perlu membawa payung atau tidak untuk bekerja. Di sekolah dasar, anak-anak dapat diajak untuk mengumpulkan data dari lingkungannya. Tentunya data yang dikumpulkan oleh anak-anak adalah data yang sederhana dan dikenal oleh anak-anak. Data juga dapat diperoleh dengan eksperimen. Misalnya, kita melakukan eksperimen pelemparan sebuah mata uang. Data yang diperoleh adalah muncul gambar atau muncul angka. TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Kalimat-kalimat berikut yang merupakan data adalah …. A. sedia payung sebelum hujan B. apakah semua siswa sudah datang ke sekolah? C. tolong ambilkan kapur itu D. toko pak Amir terletak di dekat per empatan jalan



9.9



 PDGK4206/MODUL 9



2) Jika diketahui data berikut ini apa yang dapat Anda simpulkan? Data: Jika kesebelasan dari Indonesia mengikuti pertandingan maka mempunyai kesempatan menang sebesar 80%. Kesimpulan kesebelasan dari Indonesia adalah …. A. sebaiknya mengikuti pertandingan B. boleh mengikuti pertandingan, boleh tidak mengikuti pertandingan C. sebaiknya tidak mengikuti pertandingan D. tidak ada jawaban yang tepat 3) Untuk keperluan praktis biasanya data dinyatakan sebagai .... A. bilangan B. huruf C. gambar D. lambang 4) Selain diperoleh dari lingkungan data dapat diperoleh juga dari .... A. percobaan (eksperimen) B. televisi C. radio D. jawaban A, B, dan C benar 5) Berikut ini merupakan cara dalam menyusun data, kecuali .... A. judul Anda tulis secara singkat dan jelas dengan huruf besar B. nama Anda susun menurut abjad C. waktu Anda susun berurutan, dari yang tinggi, misal 2006, 2005, 2004 D. kategori disusun menurut kebiasaan, misal laki-laki dulu baru perempuan Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal



 100%



9.10



Pendidikan matematika 2 



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



9.11



 PDGK4206/MODUL 9



Kegiatan Belajar 2



Diagram



P



ada Kegiatan Belajar 1 Anda telah mempelajari cara menyusun data. Agar diperoleh gambaran yang lebih jelas lagi tentang data maka data yang sudah Anda susun perlu Anda visualkan dalam bentuk diagram. Ada tiga macam diagram yang akan Anda kaji dalam pembahasan ini, yaitu diagram lambang, diagram batang, dan diagram garis. Pembahasan dimulai dengan diagram lambang. A. DIAGRAM LAMBANG Diagram lambang digunakan untuk mendapatkan gambaran kasar suatu data. Untuk siswa tingkat SD diagram lambang ini dapat pula dipakai sebagai alat peraga. Pada diagram lambang data digambarkan dengan lambang yang sesuai, sebagai contoh data tentang televisi dilambangkan sebagai



data tentang kuda dilambangkan sebagai



data tentang buku dilambangkan sebagai



dan lain sebagainya. Semakin bagus gambar yang dibuat akan semakin menarik perhatian pembaca atau pengguna data.



9.12



Pendidikan matematika 2 



Kesulitan yang muncul pada penggambaran diagram lambang ini adalah ketika menggambarkan bagian yang tidak penuh. Sebagai contoh 10 ekor singa dilambangkan sebagai



Maka, diperlukan ketelitian untuk menggambarkan 4 ekor singa, sebagai perkiraan adalah seperti berikut ini



Untuk kegiatan di kelas lambang yang sesuai dengan data yang dihadapi perlu didiskusikan dengan siswa sehingga tercapai kesepakatan bersama. Demikian pula tentang berapa jumlah satuan yang harus diwakili oleh sebuah lambang. Hal yang perlu diperhatikan bahwa jumlah satuan untuk sebuah lambang haruslah disesuaikan dengan penyebaran data sehingga tidak menimbulkan kesulitan dalam menggambarkannya. Kegiatan 1 1. Berilah masing-masing siswa kertas berbentuk persegi berukuran 5 × 5 cm2 . 2. 3.



Mintalah masing-masing siswa untuk menggambar buah kesayangannya pada kertas yang telah Anda berikan. Siapkan kertas karton berukuran secukupnya, disesuaikan dengan banyak siswa, dan garislah menjadi beberapa bagian persegi panjang. Misalnya, seperti terlihat pada gambar berikut ini. Pisang Jambu Apel Semangka Alpukat



4. 5.



Mintalah masing-masing siswa maju ke depan untuk menempelkannya pada tempat yang sesuai. Hasilnya kira-kira seperti pada Diagram 9.1 berikut ini.



 PDGK4206/MODUL 9



9.13



Diagram 9.1. Banyak Buah Kesukaan Siswa



Pisang



Jambu



Apel



Semangka



Alpukat 6.



Diskusikan bersama hasil dari kegiatan ini, sehingga sampai pada kesimpulan bahwa gambar yang telah dibuat tadi merupakan diagram lambang.



Kegiatan di atas dapat diulang pada situasi lain sehingga siswa benarbenar memahami cara menggambar diagram lambang. Pada kegiatan di atas terlihat bahwa tidak praktis untuk kelas dengan jumlah siswa yang cukup banyak. Oleh karena itu, perlu adanya perwakilan, misalnya 1 lambang mewakili 10 siswa, atau 15 siswa dan sebagainya disesuaikan dengan penyebaran datanya. Contoh 1 Dari hasil survei tentang banyak penggemar televisi ditinjau dari acaranya pada daerah tertentu diperoleh data seperti pada tabel berikut ini.



9.14



Pendidikan matematika 2 



Tabel 9.3. Banyak Penggemar Televisi Menurut Acaranya Acara Televisi Berita Film Anak Olah raga



Banyak Penggemar 14 25 16



Untuk menggambarkan diagram lambangnya ditentukan terlebih dahulu lambang yang sesuai. Sehingga Anda peroleh Diagram 9.2 seperti berikut. Diagram 9.2. Banyak Penggemar Televisi Menurut Acaranya Acara



Banyak Penggemar



Berita



Film Anak



Olah raga



Sebagai latihan Anda dapat memilih lambang lainnya yang sesuai, kemudian menentukan berapa banyak yang diwakili oleh satu lambang, misalnya 1 lambang mewakili 4 penggemar dan lain sebagainya. Contoh 2 Misal banyak binatang piaraan di Perumahan Sumber Sekar menurut jenisnya adalah seperti berikut ini: kucing sebanyak 10 ekor, kuda sebanyak 5 ekor, dan ayam sebanyak 30 ekor. Tabel dari data di atas adalah seperti berikut ini.



9.15



 PDGK4206/MODUL 9



Tabel 9.4 Banyak Binatang Piaraan di Perumahan Sumber Sekar Jenis Binatang Ayam Kucing Kuda



Banyak Binatang 30 10 5



Dan diagramnya adalah sebagai berikut ini. Diagram 9.3. Banyak Binatang Piaraan di Perumahan Sumber Sekar Jenis Binatang



Banyak



Ayam



Kucing



Kuda



Contoh berikutnya Anda berikan terlebih dahulu diagram lambangnya, kemudian Anda minta untuk mencoba menentukan datanya. Contoh 3 Diagram lambang berikut ini menggambarkan banyak pegawai negeri di 5 daerah.



9.16



Pendidikan matematika 2 



Diagram 9.4 Banyak Pegawai Negeri di 5 Daerah Daerah



Banyak Pegawai Negeri



A



B



C



D



E



Catatan: 1 lambang mewakili 10 pegawai negeri Data yang sesuai untuk diagram di atas adalah: Pegawai negeri di daerah A sebanyak 90 Pegawai negeri di daerah B sebanyak 80 Pegawai negeri di daerah C sebanyak 60 Pegawai negeri di daerah D sebanyak 20 Pegawai negeri di daerah E sebanyak 25 Berdasarkan pengalaman di atas terlihat bahwa betapa sulit untuk melambangkan bagian yang tidak utuh. Oleh karena itu, haruslah dicari penyajian diagram bentuk lain sebagai pemecahannya. Salah satunya adalah diagram batang, seperti diuraikan berikut ini.



 PDGK4206/MODUL 9



9.17



B. DIAGRAM BATANG Diagram batang merupakan perbaikan dari diagram lambang. Dengan diagram batang kesulitan penyajian dalam diagram lambang akan dapat diatasi sehingga diagram lambang ini dapat memberikan gambaran yang lebih tepat tentang data. Untuk menggambarkan diagram batang diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Tempat perpotongan dari kedua sumbu merupakan titik pangkalnya. Sumbu datar dibagi menjadi beberapa bagian dengan skala yang sama, demikian pula sumbu tegaknya. Perlu Anda perhatikan bahwa skala pada sumbu datar dan sumbu tegak tidak perlu sama. Kalau diagram Anda buat tegak maka sumbu datar menyatakan atribut, sedangkan nilai data Anda gambar pada sumbu tegak. Pembuatan diagram batang ini akan lebih tepat dan mudah dibaca jika Anda gambar pada kertas grafik milimeter. Kegiatan berikut ini salah satu contoh dari pembelajaran diagram batang. Prosedurnya adalah seperti berikut ini . Kegiatan 2 1. Mintalah masing-masing siswa membawa 17 kelereng. 2. Mintalah mereka untuk mengelompokkan kelereng tersebut berdasarkan warnanya. 3. Mintalah siswa untuk menggambarkan hasil pengelompokannya itu pada kertas berpetak. Anda jelaskan terlebih dahulu bahwa sumbu datar menyatakan warna kelereng, dan sumbu tegak menyatakan banyak kelereng. Hasilnya kira-kira seperti pada bagian kiri Diagram 5 berikut ini. 4. Mintalah mereka untuk menggambar kembali hasil nomor 3 pada sebelah kanannya. 5. Mintalah mereka untuk mewarnai persegi yang ada kelerengnya secara penuh. Akan lebih baik jika diwarnai berdasarkan warna kelereng. 6. Jelaskan pada mereka bahwa gambar yang diperoleh pada nomor 5 adalah gambar dari diagram batang yang menggambarkan banyak kelereng dari 17 kelereng menurut warnanya.



9.18



Pendidikan matematika 2 



Diagram 9.5 Banyak Kelereng Menurut Warnanya



Kegiatan di atas dapat Anda ulang dalam situasi yang berlainan, sehingga siswa benar-benar memahami cara menggambar diagram batang. Berikut ini merupakan contoh dari diagram batang jika diketahui datanya dalam bentuk tabel. Contoh 4 Anggap tabel berikut ini merupakan tabel dari banyak siswa yang tidak hadir pada minggu pertama tahun ajaran baru di SD Suka Maju. Tabel 9.5 Banyak Siswa yang Tidak Hadir Pada Minggu Pertama Tahun Ajaran Baru di SD Suka Maju Hari Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu



Banyak Siswa 8 4 3 2 2 5



Untuk menggambar diagram batangnya diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak. Berdasarkan data dari Tabel 9.5 di atas maka sumbu datar



9.19



 PDGK4206/MODUL 9



dipakai untuk menyatakan hari dan sumbu tegak dipakai untuk menyatakan banyak siswa yang tidak hadir. Oleh karena itu, diperoleh diagram seperti di bawah ini. Diagram 9.6. Banyak Siswa Yang Tidak Hadir pada Minggu Pertama Tahun Ajaran Baru di SD Suka Maju 8 7 6 5 4 3 2 Senin



Selasa



Rabu



Kamis Jum'at



Sabtu



Pada contoh di atas terlihat bahwa skala pada sumbu datar tidak sama dengan skala pada sumbu tegak. Pemilihan skala dapat Anda sesuaikan dengan kepentingan pembuatan diagram dan penyebaran data. Selanjutnya akan diberikan suatu diagram, dan Anda diminta untuk menentukan datanya. Contoh 5 Misal diagram berikut ini menggambarkan banyak siswa di Desa Kamulan menurut tingkat sekolahnya.



9.20



Pendidikan matematika 2 



Diagram 9.7. Banyak Siswa di Desa Kamulan Menurut Tingkat Sekolahnya 160 150 140 130 120 110 100 TK



SD



SMP



SMA



Data yang sesuai untuk diagram di atas adalah: Siswa TK sebanyak 150 Siswa SD sebanyak 160 Siswa SMP sebanyak 140 Siswa SMA sebanyak 100 C. DIAGRAM GARIS Diagram garis digunakan untuk menggambarkan keadaan yang kontinu atau serba terus, misalnya banyak pengeluaran rumah tangga tiap bulan, perkembangan penduduk tiap tahun, keadaan temperatur badan tiap jam dan lain-lain. Seperti pada diagram batang, pada diagram garis ini diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu datar menyatakan waktu, sedangkan sumbu tegak menyatakan nilai tiap waktu. Prosedur pembuatan diagram garis ini serupa dengan pembuatan diagram batang. Perbedaannya pada diagram garis nilai data diberi tanda titik. Selanjutnya antara titik pada satu nilai data dengan titik pada nilai data lainnya dihubungkan sehingga terbentuklah diagram garis. Pembelajaran yang mirip dengan kegiatan belajar pada pembahasan diagram batang dapat Anda buat untuk menjelaskan kepada siswa prosedur pembuatan diagram garis ini. Kegiatan belajar yang serupa dengan diagram batang dapat Anda buat untuk menjelaskan diagram garis pada siswa. Hal yang perlu Anda perhatikan dalam mengonstruksi kegiatan belajar tersebut



9.21



 PDGK4206/MODUL 9



adalah bahwa pada diagram garis ini menggambarkan keadaan yang serba terus. Contoh 6 Misal tabel di bawah ini menyatakan banyak penggunaan barang dalam satuan tertentu di suatu pabrik mulai tahun 2000 sampai dengan tahun 2005. Tabel 9.6. Banyak Penggunaan Barang di suatu Pabrik Tahun 2005-2006 Tahun 2000 2001 2002 2003 2004 2005



Banyak Barang 300 450 556 280 400 430



Diagram dari data yang terdapat pada tabel di atas seperti berikut ini Diagram 9.8. Banyak Penggunaan Barang di suatu Pabrik Tahun 2005-2006 600



500



400



300 2000



2001



2002



2003



2004



2005



Dengan memperhatikan gerak garis, Anda dapat menyimpulkan bagaimana naik turun penggunaan barang dari tahun ke tahun. Penggunaan barang paling banyak pada tahun 2002, sedangkan paling sedikit pada tahun 2003. Terlihat bahwa dari tahun 2002 ke tahun 2003 terjadi penurunan yang sangat tajam. Gejala semacam ini tentu sangat bermanfaat untuk keperluan pabrik sebagai bahan analisa dan penentuan kebijakan untuk tahun-tahun berikutnya.



9.22



Pendidikan matematika 2 



Beberapa bentuk diagram garis dengan penafsirannya dapat Anda lihat pada Diagram 9.9 berikut ini.



UNIT



Diagram 9.9.



WAKTU



UNIT



Keadaan bertambah secara tetap



WAKTU Keadaan bertambah dengan pertambahan naik



9.23



UNIT



 PDGK4206/MODUL 9



0



WAKTU



UNIT



Keadaan bertambah



WAKTU Keadaan menurun dengan penurunan tetap



9.24



UNIT



Pendidikan matematika 2 



WAKTU Keadaan menurun sampai pada saat tertentu naik



Seperti halnya pada pembahasan sebelumnya, pada contoh berikut ini akan diberikan diagram garis, Anda diminta untuk menentukan datanya. Contoh 7 Misal diagram berikut ini menyatakan temperatur badan seorang anak yang diukur pada tiap jam selama mulai jam 06.00 sampai dengan jam 12.00. Diagram 9.10. Temperatur Badan Seorang Anak Jam 06.00-12.00



TEMPERATUR



36.6 36.5 36.4 36.3 36.2 36.1 36.0 06.00



07.00



08.00



09.00 10.00



WAKTU



11.00



12.00



 PDGK4206/MODUL 9



9.25



Data yang sesuai untuk diagram di atas adalah sebagai berikut ini. Temperatur anak pada pukul 06.00 adalah 36,0 Temperatur anak pada pukul 07.00 adalah 36,3 Temperatur anak pada pukul 08.00 adalah 36,2 Temperatur anak pada pukul 09.00 adalah 36,5 Temperatur anak pada pukul 10.00 adalah 36,5 Temperatur anak pada pukul 11.00 adalah 36,4 Temperatur anak pada pukul 12.00 adalah 36,6 Meskipun temperatur anak naik turun, tetapi naik turunnya tidak sampai ke luar dari batas-batas temperatur badan normal, yaitu batas bawah 36 derajat Celcius dan batas atas 37 derajat Celcius. Oleh karena itu, Anda dapat mengatakan bahwa temperatur anak dalam keadaan normal. E. RATA-RATA, MODUS, DAN MEDIAN Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data, masih diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil dari kumpulan data tersebut. Beberapa ukuran yang akan dibahas pada kegiatan belajar ini adalah rata-rata, median dan modus. Rata-rata dan modus biasa disebut sebagai ukuran gejala pusat, sedangkan median biasa disebut sebagai ukuran letak. 1.



Rata-rata Dalam kehidupan sehari-hari tentunya Anda sering mendengar istilah rata-rata, atau bahkan menggunakannya. Sebagai contoh Anda perhatikan keterangan-keterangan berikut ini. a. Di desa Kalimasada rata-rata warganya memiliki dua ekor ayam. b. Orang tua murid kelas 6 rata-rata mempunyai satu sepeda motor. c. Anton minum air putih rata-rata dua liter sehari. d. Rata-rata nilai Amir pada rapor semester ini 9,8, sehingga Amir memperoleh ranking 1. Sekarang Anda perhatikan kalimat pertama pada keterangan di atas. Dari keterangan tersebut tentunya Anda tidak dapat mengartikan bahwa masingmasing warga mempunyai dua ekor ayam. Tidak menutup kemungkinan bahwa ada warga yang tidak mempunyai ayam, tetapi ada juga warga yang mempunyai lebih dari dua ekor ayam. Adapun arti yang benar dari



9.26



Pendidikan matematika 2 



keterangan di atas adalah bahwa jika semua ayam milik warga Kalimasada dikumpulkan kemudian dibagi ke tiap warga maka masing-masing warga mendapat dua ekor ayam. Proses yang terjadi pada fenomena di atas adalah sama saja dengan menghitung semua ayam milik warga kemudian membaginya dengan banyak warga. Jika banyak ayam dipandang sebagai nilai data maka rata-rata warga memiliki dua ekor ayam dapat dipandang sebagai rata-rata hitung data atau secara sederhana disebut sebagai rata-rata. Kegiatan di bawah ini dapat Anda jadikan bahan pertimbangan dalam mengajarkan konsep rata-rata kepada siswa Anda. Kegiatan 1 1) Mintalah beberapa siswa, misalnya 5 siswa untuk membawa kelereng masing-masing 6, 4, 8, 9, dan 3 kelereng. Dan anggaplah banyak kelereng ini sebagai nilai data. 2) Kumpulkan semua kelereng yang dibawa siswa-siswa tersebut. 3) Mintalah salah satu siswa untuk membagi kelereng-kelereng itu sehingga masing-masing dari kelima siswa tersebut mendapat bagian yang sama banyak. 4) Akan Anda lihat bahwa masing-masing siswa mendapat 6 kelereng. 5) Jelaskan pada siswa bahwa 6 kelereng itu merupakan rata-rata kelereng yang dibawa oleh kelima siswa. Rata-rata dihitung dengan jalan membagi jumlah semua nilai data oleh banyak data. Rata-rata ini biasanya diberi simbol sebagai x . Oleh karena itu, rata-rata dapat Anda rumuskan sebagai jumlah nilai data x . banyak data Contoh 1 Misalkan hasil ujian pelajaran matematika 5 siswa masing-masing adalah: 70, 69, 45, 80, dan 56. Maka rata-rata nilai ujian pelajaran matematika kelima siswa adalah



9.27



 PDGK4206/MODUL 9



70  69  45  80  56 5 270  5  54.



x



Contoh 2 Misalkan dalam suatu acara arisan keluarga yang terdiri dari 12 anggota keluarga, diketahui bahwa masing-masing keluarga membawa beras berturutturut: 10, 3, 7, 5, 8, 9, 6, 4, 8, 4, 4 dan 9 kilogram. Maka rata-rata keluarga membawa beras, dalam kilogram adalah 10  3  7  5  8  9  6  4  8  4  4  9 x 12 77  12  6, 42. Sekarang misalkan diketahui bahwa seorang siswa mempunyai nilai ratarata 8 dari 6 mata pelajaran satu di antaranya pelajaran matematika. Apa yang dapat Anda katakan tentang pernyataan bahwa nilai matematika siswa tersebut adalah 7? Jawab dari pertanyaan tersebut tentu bervariasi. Namun demikian, semua akan sepakat jika Anda mengatakan bahwa jika semua nilai 6 mata pelajaran siswa tersebut dijumlahkan kemudian dibagi 6 maka hasilnya 8. 2.



Modus Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak muncul atau nilai yang paling banyak terdapat digunakan ukuran modus. Kegiatan berikut ini dapat Anda jadikan pertimbangan dalam mengajarkan konsep modus pada siswa: a. Mintalah dua siswa untuk maju ke depan. b. Mintalah salah satu siswa di antara mereka untuk mengetos sebuah dadu sebanyak 10 kali. c. Mintalah siswa yang lainnya mencatat hasilnya di papan tulis yang berupa nilai dari mata dadu, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Hasil ini sebagai data. d. Siswa-siswa tersebut dipersilakan kembali duduk di kursi.



9.28



e. f.



Pendidikan matematika 2 



Mintalah siswa yang lainnya lagi maju ke depan untuk menentukan nilai yang paling banyak muncul. Berilah penjelasan pada siswa bahwa nilai data yang paling banyak muncul ini disebut sebagai modus.



Hal yang perlu Anda perhatikan bahwa mungkin saja siswa mendapat dua atau lebih nilai yang paling banyak muncul. Kalau ini terjadi berarti ada dua modus atau lebih. Namun demikian, jika masing-masing nilai muncul dalam jumlah yang sama maka data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus. Contoh 14 Misal terdapat 10 nilai matematika berikut ini: 70, 65, 80, 65, 65, 65, 50, 65, 55,dan 70. Maka modusnya adalah 65. Contoh 15 Data-data berikut ini tidak mempunyai modus, mengapa? Data 1: 1, 3, 5, 4, 6, 7, 2, 10. Data 2: 10, 10,15, 15, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 4, 4. Data 1, masing-masing nilai datanya muncul satu kali. Data dua masingmasing nilai datanya muncul dua kali. Bahan diskusi 1. Untuk menentukan ranking siswa di suatu kelas rata-rata yang digunakan. 2. Untuk menentukan ketua dari suatu perkumpulan ditentukan dengan cara pilihan. Seseorang akan menjadi ketua jika mendapat suara terbanyak, dalam hal ini modus yang digunakan. 3. Untuk menentukan rumah yang akan menjadi tempat pertemuan ditinjau dari kedekatan rumah tersebut terhadap masing-masing anggota, medianlah yang digunakan. 4. Dalam menentukan juara tinju dalam kejuaraan nasional maupun internasional, moduslah yang digunakan. Anda minta siswa mengemukakan argumen dari masing-masing pernyataan di atas. Mintalah pula masing-masing siswa untuk memberikan contoh dari penerapan rata-rata, median dan modus dalam kehidupan nyata.



 PDGK4206/MODUL 9



9.29



3.



Median Median menentukan letak data setelah data diurutkan berdasarkan nilainya. Kegiatan berikut ini dapat Anda jadikan pertimbangan dalam menanamkan konsep tentang median. Kegiatan 2 a. Mintalah dua siswa untuk maju ke depan. b. Mintalah salah satu siswa di antara mereka untuk mengetos sebuah dadu sebanyak 7 kali. c. Mintalah siswa yang lainnya mencatat hasilnya di papan tulis yang berupa nilai dari mata dadu, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 . Hasil ini sebagai data. d. Siswa-siswa tersebut dipersilakan kembali duduk di kursi. e. Mintalah siswa yang lainnya lagi maju ke depan untuk mengurutkan data yang diperoleh tadi. f. Tanyakan pada siswa nilai data yang mana yang letaknya di tengah. g. Berilah penjelasan pada siswa bahwa nilai data yang letaknya di tengah itu disebut median. Untuk data yang nilainya sebanyak ganjil, seperti kegiatan di atas mediannya merupakan nilai data yang letaknya di tengah setelah data diurutkan. Sedangkan untuk data yang nilainya sebanyak genap, mediannya merupakan rata-rata dua nilai data yang di tengah. Cara mudah untuk mengetahui median tanpa mengetahui banyak nilai data adalah dengan mencoret data dari kiri dan kanan dengan tanda yang berbeda, dengan jumlah coretan yang sama. Dari hasil coretan itu diperoleh dua kemungkinan sebagai berikut. a. Ada nilai data yang tidak tercoret. Jika ini terjadi maka mediannya adalah nilai data yang tidak tercoret tersebut. b. Ada dua nilai data yang tercoret terakhir. Jika ini yang terjadi maka mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang tercoret terakhir tersebut. Contoh 12 Misalkan diketahui data berikut ini: 4, 6, 2, 9, 7, 0, 4, 7, 4, 6, dan 1. Bagaimana cara menentukan mediannya? Untuk menentukan mediannya



9.30



Pendidikan matematika 2 



yang harus Anda lakukan pertama-tama mengurutkan nilai-nilai data. Sehingga Anda peroleh seperti berikut ini. 0, 1, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 9



Kedua Anda lakukan pencoretan seperti berikut ini.



0, 1, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 9 Anda lihat bahwa nilai data yang tidak tercoret adalah 4. Jadi median untuk data tersebut adalah 4. Contoh 13 Hasil ujian pelajaran Matematika 10 siswa adalah: 70, 80, 60, 75, 60, 95, 70, 85, 90, dan 90. Seperti halnya pada Contoh 12, untuk contoh ini data Anda urutkan terlebih dahulu, kemudian Anda lakukan pencoretan sehingga Anda peroleh: 60, 60, 70, 70, 75, 80, 85, 90, 90, 95 Hasil dua coretan terakhir adalah nilai data 75 dan 80. Oleh karena itu mediannya adalah 75  80  77,5. 2 LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!



I. Pilihlah B jika pernyataan berikut ini benar dan S jika salah! 1) B – S Tabel dan diagram lambang merupakan bentuk penyajian data dengan menggunakan diagram. 2) B – S Pada diagram lambang, lambang yang digunakan hendaknya sesuai dengan karakteristik data. 3) B – S Pada diagram lambang, lambang yang dipakai harus mewakili hanya sebuah nilai data. 4) B – S Skala sumbu datar dan skala sumbu tegak pada diagram batang maupun pada diagram garis haruslah sama.



9.31



 PDGK4206/MODUL 9



B – S Sumbu-sumbu pada diagram garis tidak perlu diadakan pemotongan karena akan mengaburkan pembaca dalam memahami data. 6) B – S Data yang dapat digambarkan pada diagram garis hanyalah data dari peristiwa yang kontinu. 7) B – S Untuk menggambarkan hubungan masing-masing bagian dengan keseluruhannya digunakan diagram lambang. 8) B – S Pada diagram lambang nilai data harus diubah terlebih dahulu menjadi bentuk derajat. 9) B – S Kalimat "Orang tua murid kelas 6 rerata mempunyai sebuah kendaraan", berarti masing-masing orang tua murid kelas 6 mempunyai sebuah kendaraan. 10) B – S Untuk menentukan letak sebuah data digunakan konsep modus. 11) B – S Pada umumnya rakyat Indonesia mata pencahariannya adalah sebagai petani. Istilah pada umumnya dalam statistika disebut rerata. 12) B – S Sebuah data pasti mempunyai modus. 5)



II. Selesaikan soal-soal berikut ini! 1) a. Tentukan lambang yang sesuai untuk Tabel 1, jika 1 lambang mewakili 10 penggemar! b. Buatlah diagram lambangnya, jika 1 lambang mewakili 8 penggemar! 2) Buatlah rangkaian kegiatan untuk menjelaskan konsep diagram garis pada siswa! 3) Daftar berikut menggambarkan pengeluaran seorang guru menurut tahunnya, dalam rupiah. DAFTAR



Tahun 1992 1993 1994 1995 1996



a. b.



Pengeluaran 1.800.000 1.890.000 1.950.000 2.000.000 2.250.000



Tentukan diagram yang paling cocok untuk permasalahan di atas! Buatlah diagramnya.



9.32



Pendidikan matematika 2 



4) Tentukan rerata, median dan modus data berikut ini! Data: 70, 60, 50, 40, 100, 90, 70, 75, 50, 60, 70, 50, 40, 25, 15, 60, 30, 80, 85. 5) Misalkan, dalam 1 kelas terdapat 12 siswa, masing-masing siswa diwajibkan membawa kelereng berturut-turut: 4, 6, 5, 5, 10, 5, 7, 8, 9, 6, 3, 2. Jika siswa ke-4 dan siswa ke-7 tidak hadir, tentukan rerata, median, dan modusnya. Petunjuk Jawaban Latihan I. 1) 2) 3) 4) 5) 6)



S B S S S B



II. 1) Pelajari kembali materi Kegiatan Belajar 2. 2) Pelajari kembali materi Kegiatan Belajar 2. 3) Diagram yang cocok adalah diagram garis karena data merupakan kegiatan yang kontinu. Lebih lanjut dengan menggunakan diagram garis dapat dilihat pengeluaran pada tahun 1992,5 ; 1993,4 ; dan sebagainya. 4) Untuk mempermudah perhitungan urutkan terlebih dahulu datanya. 5) Siswa ke-4 dan siswa ke-7 tidak hadir, berarti data ke-4 dan ke-7 dihilangkan, yaitu data 5 dan 7. Selanjutnya urutkan data yang tersisa. R A NG KU M AN Diagram lambang dipakai untuk mendapatkan gambaran kasar suatu data dan dipakai sebagai alat peraga bagi orang awam. Pada diagram ini, data dilambangkan dengan gambar yang sesuai, misalnya untuk data tentang televisi dilambangkan gambar televisi, pohon dilambangkan gambar pohon. Tentunya semakin bagus gambar yang dibuat akan semakin menarik perhatian pembaca atau pengguna data. Masing-masing lambang yang digunakan merupakan wakil dari sejumlah satuan tertentu.



 PDGK4206/MODUL 9



9.33



Diagram batang memberikan gambaran yang lebih tepat tentang data. Untuk menggambar diagram batang diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Tempat perpotongannya merupakan titik pangkalnya. Sumbu datar dibagi beberapa skala bagian yang sama, demikian pula sumbu tegaknya. Skala pada sumbu tegak dengan sumbu datar tidak perlu sama. Kalau diagram dibuat tegak maka sumbu datar dipakai untuk menyatakan atribut atau waktu, sedangkan nilai data digambar pada sumbu tegak. Diagram garis menggambarkan keadaan yang serba terus, misalnya produksi minyak tiap tahun, jumlah pengeluaran, jumlah penduduk tiap tahun, keadaan temperatur badan tiap jam. Diagram batang, berpotongan tegak lurus, sumbu datar menyatakan waktu, sedangkan sumbu tegak menyatakan nilai data tiap waktu. Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data, masih diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil kumpulan data tersebut. Beberapa ukuran yang akan dibahas adalah rerata, modus,dan median. Rerata dihitung dengan jalan membagi jumlah semua nilai data oleh banyak data. Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat digunakan ukuran modus. Median menentukan letak data setelah data disusun menurut urutan nilainya. TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Diagram yang sesuai untuk menggambarkan banyak murid di daerah A menurut tingkat pendidikannya adalah diagram …. A. lambang dan batang B. batang dan garis C. lambang dan lingkaran D. garis dan lingkaran 2) Sumbu tegak pada suatu diagram garis ada yang terputus maka penafsiran yang dapat diterima adalah nilai data …. A. tidak beraturan B. terkumpul pada nilai yang sangat kecil C. terkumpul di tengah-tengah D. terkumpul pada nilai yang cukup besar



9.34



Pendidikan matematika 2 



Untuk soal Nomor 3 - 5 perhatikan data berikut, yaitu 4, 6, 10, 7, 8, 5, 6, 2, 6. 3) Rerata data di atas adalah …. A. 4 B. 6 C. 10 D. 54 4) Median data di atas adalah …. A. 8 B. 6 C. 10 D. 2 5) Modus data di atas adalah …. A. tidak ada B. 10 C. 2 D. 6 6) Jika sebuah dadu dilempar 6 kali reratanya adalah …. A. 6 1 B. 6 1 C. 2 6 D. jawaban A, B, C salah semua 7) Diagram yang sesuai untuk menggambarkan banyak murid di daerah A menurut tingkat pendidikannya adalah diagram …. A. lambang dan batang B. batang dan garis C. lambang dan lingkaran D. garis dan lingkaran 8) Sumbu tegak pada suatu diagram garis ada yang terputus maka penafsiran yang dapat diterima adalah nilai data …. A. tidak berurutan B. terkumpul pada nilai yang sangat kecil C. terkumpul di tengah-tengah D. terkumpul pada nilai yang cukup besar



9.35



 PDGK4206/MODUL 9



9) Perhatikan diagram berikut ini.



Banyak warga pada daerah A ada …. A. 300 B. 350 C. 3 D. 3,5 10) Daerah yang paling padat penduduknya adalah daerah …. A. B. C. D.



A B C D



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal



 100%



9.36



Pendidikan matematika 2 



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat mengikuti Ujian Akhir Semester (UAS). SELAMAT! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



 PDGK4206/MODUL 9



9.37



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) D. Kalimat-kalimat pada A, B, dan C bukan merupakan data, sebab tidak mempunyai nilai benar atau salah atau kalimat tersebut bukan merupakan kalimat berita. 2) A. Kesebelasan dari Indonesia mempunyai kesempatan menang lebih besar. 3) A. Lihat rangkuman. 4) D. Lihat rangkuman. 5) C. Lihat aturan dalam penyusunan data. Tes Formatif 2 1) A. Lihat rangkuman. 2) D. Pelajari cara membuat diagram. 3) B. Jumlahkan data tersebut kemudian bagi dengan banyaknya data. 4) B. Urutkan data tersebut, nilai yang di tengah itulah median. 5) D. Lihat data yang paling banyak muncul. 6) D. Silakan coba. 7) A. Lihat rangkuman. 8) D. Silakan hitung sendiri. 9) B. Setiap gambar utuh kalikan 100 dan setiap setengah kalikan 50 kemudian jumlahkan. 10) A. Lihat daerah yang paling luas.



9.38



Pendidikan matematika 2 



Daftar Pustaka Burger, William F, dan Musser, Garry L. (1991). Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach. 2nd ed. New York: Macmillan Publishing Company. D'Augustine, Charles dan Smith C. Winston J.R. (1992). Teaching Elementary School Mathematics. New York: Harper Collins. D'Augustine, Charles, dan Smith, C. Winston JR. (1992). Teaching Elementary School Mathematic. New York: Harper Collins. Kennedy, Leonard M, dan Tipps, Steve. (1994). Guiding Children's Learning of Mathematics, 7th ed. Belmont: Wadsworth Publishing Company. Kennedy, Leonerd M dan Tipps, Steve. (1994). Guiding Children’s' Learning of Mathematics. 7th ed. Belmont: Wadsworth. Sudjana. (1986). Metode Statistika. Edisi ke-4. Bandung: Tarsito.