Persamaan Diferensial [PDF]

Citation preview

PDB Linier Orde Satu Nonhomogen



Bentuk umum dari persamaan differensial linier orde satu : dy  P( x )  y  Q ( x ) dx Berikut adalah beberapa cara penyelesaian dari persamaan differensial linier orde satu nonhomogen : 1. Bernoulli 2. Lagrange Cara Bernoulli Misal : y  uv 



dy dv du u v dx dx dx



dy  P( x )  y  Q( x) dx dv du u v  P( x )  u  v  Q( x ) dx dx du  dv  u  P( x )  v  v   Q( x) dx  dx 



 dv  Persamaan Pertama : u   P( x )  v   0 dx   du Persamaan Kedua : v  Q( x) dx Persamaan Pertama dv   P( x )  v dx dv   P ( x )dx  v







dv    P ( x )dx v



ln v    P ( x )dx



  P ( x ) dx  ve 



Persamaan Kedua du v  Q( x ) dx  P ( x ) dx  Q( x) du  dx   du   Q ( x )e  dx  c v  P ( x ) dx  u  Q ( x )e  dx  c







y  u  v   



 Q ( x )e



  P ( x ) dx 



  P ( x ) dx  dx  c  e  



Menyelesaikan persamaan differensial linear dapat juga dilakukan dengan Cara Lagrange. Cara ini dilakukan dengan mengubah persamaan linear sehingga ruas kanan sama dengan 0 dan mengubah konstanta C menjadi fungsi dari x atau c(x) . dy  P( x ) y  0 dx dy   P ( x )dx y dy  y    P ( x )dx  ln y    P( x )dx  ln c



  P ( x ) dx  y  ce 



  P ( x ) dx  y  c ( x )e  ln y    P ( x )dx  ln c ( x )



1 dy 1 dc ( x )   P( x )  y dx c( x ) dx dy y dc( x )   yP ( x ) dx c( x ) dx dy y dc( x )  yP ( x )  dx c( x ) dx



  P ( x ) dx  dc( x ) dy  yP ( x )  e   Q( x) dx dx  P ( x ) dx  dc( x )  Q ( x )e  dx  P ( x ) dx  c ( x )  Q ( x )e  dx  c



