Persamaan Hamilton [PDF]

Citation preview

PERSAMAAN HAMILTON



Oleh : Wanti



(1820209021)



Mawardi Pratama



(1810209003)



Hendi Pratama



(1830209029)



Meirizka Savitri



(1830209037)



Riska Agustin



(1830209043)



Yeni Fitriani



(1830209047)



Dosen Pengampu: Evelina Astra Patriot, M.Pd



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI RADEN FATAH PALEMBANG 2020



KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb. Alhamdulillahirobbil’aalamiin, puji syukur selalu dipanjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga tersusunlah sebuah Makalah berjudul Persamaan Hamilton. Makalah ini sebagai tugas kelompok untuk mata kuliah Mekanika. Laporan ini telah kami susun dengan sistematis dan sebaik mungkin. Dengan selesainya makalah ini, tidak lupa diucapkan terimakasih kepada semua pihak yang terlibat dalam penyusunan makalah ini. Khususnya kepada Ibu Evelina Astra Patriot, M.Pd. selaku dosen pengampu mata kuliah Mekanika. Demikian makalah yang telah dibuat. Mohon kritik dan sarannya apabila ada kekurangan dalam penyusunan makalah ini. Semoga makalah mekanika berjudul Persamaan Hamilton ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Wassalamu’alaikum Wr. Wb.



Palembang,



Januari 2021



Penyusun



ii



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR .................................................................................... ii DAFTAR ISI .................................................................................................. iii BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ................................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 2 1.3 Tujuan ............................................................................................. 2 BAB II PEMBAHASAN ................................................................................ 3 2.1 Mekanika Hamilton........................................................................... 3 2.2Penurunan Rumus Hamilton............................................................... 3 2.3 Aplikasi Persamaan Hamilton ........................................................... 5 2.4 Contoh Soal ...................................................................................... 7 BAB III PENUTUP ........................................................................................ 10 3.1 Kesimpulan ....................................................................................... 10 3.2 Saran................................................................................................. 10 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 11



iii



iv



BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Pada hukum Newton, persamaan gerak suatu benda bersifat deterministik yang berarti bahwa masa depan suatu benda dapat ditentukan apabila posisi awal benda tersebut diketahui. Sedangkan pada formulasi fisika kuantum tidak mungkin dapat menentukan masa depan suatu benda dengan mengetahui keadaan awalnya saja, namun yang dapat kita tentukan hanyalah menentukan suatu peluang. Di sinilah peranan persamaan Lagrange, Hamilton, dan persamaan Poisson Bracket yang dapat menjembatani antara mekanika klasik dan mekanika kuantum. Pada sistem benda yang sederhana, kita dapat menggunakan hukum Newton untuk menyelesaikan persoalan gerak suatu benda, tetapi jika kita dihadapkan pada sistem yang kompleks (sistem benda banyak), maka rasanya kita akan sangat kesulitan jika hanya mengandalkan hukum-hukum Newton. Namun demikian, untuk memecahkan persoalan dinamika suatu benda dengan sistem kompleks dapat digunakan dengan menggunakan persamaan Lagrange, Hamilton, dan Poisson Bracket yang sekaligus merupakan jembatan dalam mempelajari fisika kuantum. Mekanika Hamiltonian dapat digunakan untuk mendeskripsikan sistem sederhana seperti bola yang memantul, pendulum, atau pegas berosilasi di mana energi berubah dari kinetik ke potensial dan kembali lagi seiring waktu, kekuatannya ditunjukkan dalam sistem dinamis yang lebih kompleks, seperti orbit planet dalam mekanika angkasa, semakin banyak derajat kebebasan yang dimiliki sistem, semakin rumit evolusi waktunya dan dalam banyak kasus, ia menjadi kacau. Mekanika Hamiltonian bukanlah suatu teori baru, tetapi merupakan perluasan dari Mekanika Newton, sehingga merupakan suatu metode yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan gerak dari berbagai macam sistem dinamik yang ada.



1



1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas, maka ada beberapa rumusan masalah yang akan dibahas pada makalah ini, yaitu: 1. Bagaimana persamaan fungsi Hamilton? 2. Apa saja bentuk pengaplikasian dari persamaan Hamilton? 3. Bagaimana cara menyelesaikan soal-soal tentang persamaan Hamilton?



1.3 Tujuan Adapun tujuan dari penulisan makalah ini, diantaranya: 1. Mahasiswa mampu menjelaskan persamaan Hamilton 2. Mahasiswa memahami bentuk pengaplikasian dari persamaan Hamilton 3. Mahasiswa dapat menyelesaikan soal tentang persamaan Hamilton



2



BAB II LANDASAN TEORI



2.1 Mekanika Hamilton Dua macam metode berbeda telah dikembangkan, persamaan Lagrange dan persamaan Hamiltonian. Dua teknik tersebut bukanlah hasil dari teori baru. Keduanya merupakan turunan dari hukum kedua Newton, Tetapi mereka memberikan penyelesaian yang lebih mudah dalam menangani kasus-kasus fisika yang rumit.



Dalam perumusan Hamilton, koordinat umum yang digunakan adalah posisi dan momentum, dalam menyelesaikan persamaan differensial orde satu. Prinsip Hamilton mengatakan: “ Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem dinamis untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik (konsisten dalam sembarang konstrain) lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis adalah lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara energi kinetik dengan energi potensial”.



2.2 Penurunan Rumus Hamilton Dalam persamaan Hamilton ini persamaan diferensial yang muncul adalah persamaan diferensial orde satu. Dari n buah syarat awal yang diperlukan oleh persamaan Lagrange, ingin dibuat suatu sistem persamaan diferensial orde satu yang menggambarkan dinamika dari 2n variabel yaitu qj , yang memenuhi persamaan.



3



𝜕𝐿



Pj = 𝜕𝑞𝑗 , j= 1,2,....,n



(1.41)



Di mana q adalah koordinat umum, dan p merupakan momentum conjugate dari koordinat umum. Jadi yang ingin dilakukan adalah perubahan transformasi dari sistem L(qj,qj;t) ke H(qj,pj;t) di mana sistem dapat direpresentasikan dalam ruang fasa yang berdimensi 2n (q,p) sedemikian hingga berlaku persamaan 𝑡2



δ ∫𝑡1 𝐿(𝑞, 𝑞; 𝑡)𝑑𝑡 = 0



(1.42)



Lintasan dalam ruang konfigurasi yang berdimensi n yang diambil dari sistem akan membuat variasi pada persamaan (1.42) sama dengan nol. Tinjau suatu fungsi f(x,y) dengan diferensial totalnya adalah 𝜕𝑓



𝜕𝑓



df = 𝜕𝑥dx + 𝜕𝑦dy = udx + vdy



(1.43)



Untuk mengganti fungsi f(x,y) menjadi g(u,y) diakukan transformasi Legendre dengan menuliskan g = f – ux



(1.44)



Lakukan diferesiasi total terhadap persamaan (1.44) kemudian substitusikan ke dalam persamaan (1.43) hasilnya adalah dg = df – xdu – udx = udx + vdy –xdu – udx = -xdx + vdy



(1.45)



Dari Mekanika bahwa fungsi Hamilton didefinisikan sebagai H (q,p;t) = ∑𝑛𝑗=1 𝑞𝑗 𝑝𝑗 − 𝐿 (𝑞, 𝑞, 𝑡) ∑𝑛𝑗=1 𝑞𝑗



𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑗



- L = h(q,q;t)



4



(1.46)



Walaupun H(q,q;t) seperti fungsi energi h(q,q,t), namun keduanya memiliki kebergantungan yang berbeda terhadap variabel-variabelnya. Pada fungsi energi h(q,q;t) q diperoleh dari q , sedangkan fungsi Hamilton H(q,p;t) q dan p diperlakukan saling bebas. Persamaan Hamilton, dapat kita turunkan dengan cara melakukan diferensiasi total terhadap persamaan (1.46) yaitu



Jika kita bandingkan antara ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan (1.47), maka diperoleh persamaan: 𝜕𝐻



qj = 𝜕𝑃𝑗 ,



𝜕𝐻



pj= - 𝜕𝑞𝑗 ,



𝜕𝐻 𝜕𝑡



𝜕𝐿



= - 𝜕𝑡



(1.48)



Persamaan (1.48) di atas dikenal sebagai Persamaan Gerak Hamilton, yang lebih sederhana bila dibandingkan dengan persamaan Lagrange.



2.3 Aplikasi Persamaan Hamilton 1. Penggunaan persamaan Hamilton untuk mencari gerak osilator harmonik satu dimensi. Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai : 1



1



2



2



T = mx2 dan V = Kx2



Momentumnya dapat ditulis : 𝜕𝑇



𝑝



p = 𝜕𝑥 = mx atau x = 𝑚



5



Hamiltoniannya dapat ditulis : 1



𝐾



H = T + V = 2𝑚 p2 + 2 x2 Persamaan geraknya adalah : 𝜕𝐻 𝜕𝑝



𝜕𝐻



=x



𝜕𝑥



= -p



Dan diperoleh : 𝑝 𝑚



=x



Kx = -p



Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan menggunakan kedua persamaan diatas, dapat kita tulis :



mx + Kx = 0



yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik



2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di bawah pengaruh medan sentral. Energi kinetik dan energi potensial dapat dinyatakan dalam koordinat polar sebagai berikut:



6



2.4 Contoh Soal Persamaan Hamilton 1. Sebuah partikel bermassa m mengalami gaya tarik k/r 2, dengan k adalah konstanta. Turunkan fungsi Hamilton dan persamaan gerak Hamilton! Penyelesaian Gunakan koordinat polar (r,)



7



2. Tunjukkanlah gerak partikel massa m yang bergerak dipermukaan silinder berjari-jari a, ditarik oleh gaya yang sebanding dengan jaraknya ke sumbu –z Penyelesaian Berdasrkan koordinat silinder r,z,θ



8



9



BAB III SARAN DAN KESIMPULAN 3.1 Kesimpulan Prinsip Hamilton mengatakan: “ Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem dinamis untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik (konsisten dalam sembarang konstrain) lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis adalah lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara energi kinetik dengan energi potensial”.



Persamaan hamiltonian untuk gerak yaitu qj =



𝜕𝐻 𝜕𝑃𝑗



,



pj= -



𝜕𝐻 𝜕𝑞𝑗



,



𝜕𝐻 𝜕𝑡



=-



𝜕𝐿 𝜕𝑡



Serta aplikasi persamaan hamilton pada makalah ini yaitu digunakan untuk mencari gerak osilator harmonik satu dimensi dan untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di bawah pengaruh medan sentral.



3.2 Saran Makalah ini tentu memiliki banyak kekurangan baik dari aspek penulisan maupun isi. Jadi kami mengharapkan adanya kritik dan saran agar membangun pengetahuan kita semua.



10



DAFTAR PUSTAKA



Fowles, G. R.1986.Analytical Mechanics 4th Terjemah. New York: CBS Colledge Publishing. Fredy Farep.2014.Jurnal Fisika Mekanika Hamilton. Surakarta:Universitas Sebelas Maret Pandiangan Pagen.2014.Modul Pengantar Fisika Kuantum. Jakarta: Universitas Terbuka Rafsenjani Hafsemi, Pieter Vanty, dkk.2013. Metode Lagrangian dan Mekanika Hamilton. Surabaya: Universitas Negeri Surabaya



11