Posi Matematika [PDF]

Citation preview

BIDANG : MATEMATIKA SMP



FOKUS~HEBAT~JUARA



TINGKAT: SMA/MA BIDANG



MATEMATIKA Naskah soal ini terdiri dari 40 soal dalam bentuk Pilihan Berganda (120 menit)



Selama lomba berlangsung, tidak diperkenankan bertanya atau meminta penjelasan mengenai soal – soal yang diujikan kepada siapapun, termasuk panitia pengawas.



Jawablah lebih dahulu soal – soal yang menurut Anda mudah, kemudian lanjutkan dengan menjawab soal – soal yang lebih sukar sehingga semua soal terjawab



Tidak Boleh menggunakan kalkulator



Penyelenggara :



P O S I (PELATIHAN OLIMPIADE SAINS INDONESIA) Head Office : Jl. Eka Surya, Kecamatan Namorambe Kabupaten Deli Serdang, Kota Medan, Sumatera Utara Contact Person : 0812 6880 5832 & 0852 7075 0758



(KSN-K (SMP) & KSN-P (SD) POSI 2020)



Page 1 of 10 FOKUS – HEBAT – JUARA



FOKUS – HEBAT – JUARA



BIDANG : MATEMATIKA SMA



1.



Garis berat 𝐴𝐷 pada segitiga 𝐴𝐵𝐶 memotong garis berat 𝐶𝐹 di titik 𝑃, serta perpanjangan 𝐵𝑃 memotong 𝐴𝐵𝐶 di 𝐸. Jika diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐶 lancip dan 𝐴𝐵 = 6, maka panjang 𝐷𝐸 adalah ... a. 3 b. 4 c.



7 2



d. 6 e. 9



2.



Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika bilangan pertama tetap, bilangan kedua ditambah 10 dan bilangan ketiga ditambah bilangan prima, maka ketiga bilangan ini membentuk deret ukur. Bilangan ketiga dari bilangan bulat berurutan adalah ... a. 13 b. 11 c. 7 d. 17 e. 23



3.



Misalkan 𝑎, 𝑏 adalah bilangan real sehingga 𝑎 + 𝑏 =



4.



adalah … a. 2020 b. 2014 c. 2010 d. 2016 e. 2017 Nilai dari



1 𝑎



1



𝑏



𝑎



+ 𝑏 = 6. Nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 1986



2019



1 𝑘 +∑ (𝑘 + 1)! 2020! adalah … a. 1 1 b. c.



5.



6.



𝑘=1



2 2 3



d. 2 e. 0 Diketahui 𝑚 adalah nilai minimum dari 16 sin2 𝑥 + 9 sin 𝑥 untuk 0 < 𝑥 < 𝜋. Nilai dari 100𝑚 adalah … a. 2400 b. 1500 c. 1700 d. 2100 e. 2200 Misalkan 𝑆 adalah himpunan bilangan asli yang digitnya tidak berulang dan dipilih dari 1,3,5,7. Jumlah digit satuan dari semua anggota 𝑆 adalah ... a. 256



Olimpiade Pahlawan Sains Indonesia (OPSI)



Page 2 of 10



BIDANG : MATEMATIKA SMA



b. c. d. e.



7.



8.



FOKUS – HEBAT – JUARA



287 327 87 147



Misal 𝑥, 𝑦, 𝑧 > 1 dan 𝑤 > 0. Jika xlog 𝑤 = 4,ylog 𝑤 = 5, dan xyzlog 𝑤 = 2, maka zlog 𝑤 adalah … a. 20 b. 10 c. 25 d. 40 e. 35 Diberikan persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan panjang sisi 1 satuan. Titik 𝐸 dan 𝐹 berturut-turut berada pada sisi 𝐵𝐶 dan 𝐶𝐷 sehingga 𝐴𝐸𝐹 sama sisi. Dibuat persegi yang melewati 𝐵 yang sisisisi sejajar dengan 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan salah satu titik sudutnya berada pada ruas garis 𝐴𝐸, namun bukan 𝐴 dan bukan 𝐸 . Jika panjang sisi persegi yang lebih kecil adalah



9.



10.



11.



12.



𝑎−√𝑏 𝑐



dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 bilangan bulat positif dan 𝑏 bukan kuadrat sempurna, maka 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = ⋯ a. 12 b. 13 c. 14 d. 11 e. 9 Suatu perusahaan permen memproduksi empat macam rasa permen. Permen dijual dalam bungkus, setiap bungkus berisi 10 permen dengan setiap rasa permen ada dalam bungkus. Banyaknya macam variasi isi bungkusan permen adalah ... a. 84 b. 81 c. 99 d. 97 e. 67 Bilangan-bilangan 1111,5276,8251, dan 9441 bersisa sama jika dibagi 𝑁. Nilai 𝑁 terbesar yang memiliki sifat tersebut adalah ... a. 595 b. 499 c. 327 d. 337 e. 401 Ada sebanyak 6! permutasi dari huruf-huruf OSNMAT. Jika semua permutasi tersebut diurutkan secara abjad dari A ke Z, maka OSNMAT pada urutan ke ... a. 447 b. 327 c. 373 d. 518 e. 327 Segitiga 𝐴𝐵𝐶 merupakan segitiga sama kaki dengan panjang 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 10 cm. Titik 𝐷 terletak pada garis 𝐴𝐵 sejauh 7 cm dari 𝐴 dan 𝐸 titik pada garis AC yang terletak sejauh



Olimpiade Pahlawan Sains Indonesia (OPSI)



Page 3 of 10



BIDANG : MATEMATIKA SMA



FOKUS – HEBAT – JUARA



𝑎



4 cm dari 𝐴. Dari 𝐴 ditarik garis tinggi dan memotong 𝐵𝐶 di 𝐹. Jika bilangan rasional 𝑏



13.



14.



15.



16.



17.



18.



menyatakan perbandingan luas segi empat 𝐴𝐷𝐹𝐸 terhadap luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 dalam bentuk yang paling sederhana, maka nilai dari 𝑎 + 𝑏 adalah ... a. 31 b. 44 c. 57 d. 23 e. 19 Hasil kali semua akar real dari persamaan 2𝑥 2 + 3𝑥 + 4 = 2√2𝑥 2 + 3𝑥 + 12 adalah … a. -2 b. 0 c. -1 d. -4 e. 1 Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐵 = 360, 𝐵𝐶 = 240 dan 𝐴𝐶 = 180 . Garis bagi dalam dan garis bagi luar dari ∠𝐶𝐴𝐵 memotong 𝐵𝐶 dan perpanjangan 𝐵𝐶 berturut-turut di 𝑃 dan 𝑄. Jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik 𝐴, 𝑃, dan 𝑄 adalah ... a. 160 b. 140 c. 150 d. 175 e. 135 Diberikan fungsi kuadrat 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 yang didefinisikan pada himpunan 𝑎+𝑐 bilangan bulat dengan 𝑏 ≠ 0. Jika f(x) selalu positif, maka nilai minimum untuk 𝑏 adalah … a. 2 b. 1 c. -1 d. -2 e. 0 Banyaknya pasangan bilangan prima (p,q) yang memenuhi persamaan (7𝑝 − 𝑞)2 = 2(𝑝 − 1)𝑞2 a. 2 b. 3 c. 0 d. 1 e. 5 Jumlah bilangan bulat n sehingga 𝑛4 − 51𝑛2 + 225 bilangan prima adalah … a. 0 b. 3 c. -4 d. 1 e. -3 Diberikan 20! + 14! = 243290𝑎0953𝑏4931200.



Olimpiade Pahlawan Sains Indonesia (OPSI)



Page 4 of 10



BIDANG : MATEMATIKA SMA



FOKUS – HEBAT – JUARA



𝑏



tentukan nilai dari ⌈𝑎⌉. a. 3 b. 2 c. 1 3 d. 2



19.



20.



21.



22.



23.



e. 5 Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang sisi-sisinya tidak sama panjang sehingga panjang garis berat 𝐴𝑁 dan 𝐵𝑃 berturut-turut 3 dan 6. Jika luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah 3√15 dan panjang garis berat ketiga 𝐶𝑀 dinyatakan dalam 𝑎√𝑏, maka nilai dari 𝑎 − 𝑏 = ... a. -3 b. -1 c. 1 d. 0 e. 3 Terdapat tiga meja bundar yang identik. Setiap meja harus dapat ditempati minimal satu siswa. Banyaknya cara mendudukkan enam siswa pada meja-meja tersebut adalah ... a. 225 b. 217 c. 197 d. 235 e. 164 Diberikan barisan monoton naik bilangan bulat tak negative 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑘 sehingga 2289 + 1 = 2𝑎1 + 2𝑎2 + ⋯ + 2𝑎𝑘 217 + 1 Tentukan 𝑘. a. 117 b. 136 c. 137 d. 273 e. 306 2019 lampu dikontrol oleh 2019 tombol saklar yang diberi nomor 1, 2, 3, . . . , 2019 . Menekan tombol saklar satu kali akan merubah nyala lampu (hidup atau mati). Pada awalnya semua lampu dalam keadaan mati. Pada hari pertama, semua tombol saklar ditekan satu kali. Pada hari kedua, semua tombol saklar bernomor 2 atau kelipatan 2 ditekan sekali. Dengan melakukan hal yang sama pada hari ke-n, semua tombol saklar lampu bernomor n atau kelipatan n ditekan sekali. Demikian seterusnya. Banyaknya lampu dalam kondisi hidup setelah operasi pada hari ke–2019 dilakukan adalah … a. 45 b. 44 c. 36 d. 101 e. 37 𝑐𝑥 Diberikan 𝑓 fungsi real dengan 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥−3 dan 𝑓(𝑓(𝑥 )) = 𝑥. Nilai dari ⌊𝑓 (2020)⌋ = ⋯



Olimpiade Pahlawan Sains Indonesia (OPSI)



Page 5 of 10



BIDANG : MATEMATIKA SMA



24.



25.



26.



27.



28.



29.



FOKUS – HEBAT – JUARA



a. 2 b. 1 c. 0 d. 3 e. −2 Misalkan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah bilangan bulat positif berbeda sehingga 𝑎 + 𝑏, 𝑏 + 𝑐, 𝑎 + 𝑐 bilangan kuadrat. Tentukan nilai minimal 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. a. 55 b. 48 c. 49 d. 101 e. 51 Jika |𝑥 | + 𝑥 + 𝑦 = 10 dan 𝑥 + |𝑦| − 𝑦 = 12, maka nilai dari 10(𝑥 + 𝑦) adalah … a. 18 b. 36 c. 19 d. 38 e. 40 Banyaknya bilangan bulat positif 𝑡 sehingga 𝑡 2 − 660 bilangan kuadrat sempurna adalah … a. 0 b. 4 c. 1 d. 3 e. 2 Diberikan tiga bilangan bulat 𝑎, 𝑏, 𝑐 lebih besar dari 3. Banyaknya (𝑎, 𝑏, 𝑐 ) sehingga 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 19 adalah … a. 36 b. 57 c. 55 d. 13 e. 23 Bilangan asli n dikatakan “cantik” jika n terdiri dari 3 atau lebih digit berbeda dan digitdigit penyusunnya membentuk barisan aritmetika atau barisan geometri. Sebagai contoh, 123 bilangan cantik karena 1, 2, 3 membentuk barisan aritmetika. Banyaknya bilangan cantik adalah ... a. 90 b. 92 c. 79 d. 69 e. 89 Misalkan M adalah titik tengah sisi BC pada segitiga ∆ABC dan ∠CAB = 45°, ∠ABC = 30°, maka tan ∠AMC adalah ...



Olimpiade Pahlawan Sains Indonesia (OPSI)



Page 6 of 10



BIDANG : MATEMATIKA SMA



a.



1 4



FOKUS – HEBAT – JUARA



√3



b. 1 1 c. 2 d. 30.



31.



3



√3



e. √3 Diberikan bilangan prima 𝑝 > 2013. Misalkan 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan asli sehingga 𝑝|𝑎 + 𝑏 , tetapi 𝑝2 ∤ 𝑎 + 𝑏 . Jika 𝑝|𝑎2019 + 𝑏2019 , maka banyaknya bilangan asli 𝑛 ≤ 2019 sehingga 𝑝𝑛 |𝑎2019 + 𝑏2019 adalah … a. 2018 b. 2019 c. 2020 d. 2017 e. 2021 Grafik parabola 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑎 dan 𝑥 = 𝑦 2 − 𝑏 dengan 𝑎, 𝑏 > 0, berpotongan di empat titik (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), dengan 𝑖 = 1,2,3,4. Nilai (𝑥1 + 𝑥2 )(𝑥1 + 𝑥3 )(𝑥1 + 𝑥4 ) adalah … a. 1 b. 2 1 c. 2 d. e.



32.



1



3 4 3 2



Sebuah dadu dilempar 2 kali. Misalkan a dan b berturut-turut adalah angka yang muncul pada pelemparan pertama dan kedua. Jika peluang terdapat bilangan real 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 yang memenuhi persamaan 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 dan 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑏 𝑘



adalah 𝑐 , 𝑐 ≠ 0 serta 𝑘 dan 𝑐 relatif prima, maka nilai dari 𝑘 + 𝑐 adalah …



33.



a. 12 b. 13 c. 15 d. 7 e. 16 Misalkan ∆1 , ∆2 , ∆3 adalah barisan segitiga sama sisi dengan panjang sisi ∆1 adalah 1. Untuk 𝑛 ≥ 1 , segitiga ∆𝑛+1 didefinisikan dengan cara sebagai berikut: pertama, didefinisikan 𝑃𝑛 sebagai persegi yang titik-titik sudutnya terletak pada sisi-sisi ∆𝑛 , selanjutnya didefinisikan 𝐿𝑛 sebagai lingkaran terbesar di dalam 𝑃𝑛 , kemudian didefinisikan ∆𝑛+1 sebagai segitiga sama sisi yang titik-titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran. Jika panjang sisi dari ∆2019 dapat dinyatakan dalam 𝑡 𝑎 ( ) 𝑏 + 𝑐√𝑑 𝑡 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑡 ∈ ℕ dan 𝑐 < 𝑑, maka nilai dari ⌈(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑)⌉ adalah ... a. 144



Olimpiade Pahlawan Sains Indonesia (OPSI)



Page 7 of 10



BIDANG : MATEMATIKA SMA



b. c. d. e. 34.



35.



FOKUS – HEBAT – JUARA



170 169 127 212 1



2



Suatu barisan 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 dengan 𝑥1 = 2 dan 𝑥𝑛+1 = (𝑛 + 1) 𝑥𝑛 + 𝑛 untuk setiap bilangan asli 𝑛. Nilai dari 𝑥2020 adalah … a. 8076 b. 8080 c. 2018 d. 8078 e. 2019 Diberikan bujursangkar dengan panjang sisi sama dengan 2 √3. Di dalam bujursangkar tersebut terdapat dua segitiga sama sisi dengan alas merupakan sisi-sisi bujursangkar yang berhadapan. Perpotongan kedua segitiga sama sisi membentuk belah ketupat. Jika luas belah ketupat dinyatakan dalam 𝑝√𝑞 − 𝑟 dengan 𝑝 < 𝑟 dan 𝑞 tidak habis dibagi oleh bilangan kuadrat apapun selain 1, maka nilai dari a. b. c.



2



𝑝𝑞 𝑟



adalah ...



3 1 2 3 4



d. 2 e. 1 36.



37.



38.



Bilangan bulat positif a dan b yang memenuhi 𝐹𝑃𝐵(𝑎, 𝑏, ) = 1 dan 𝑎 25𝑏 + 𝑏 21𝑎 bulat ada sebanyak … a. 5 b. 3 c. 1 d. 0 e. 2 Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐵 = 20, 𝐴𝐶 = 21 dan 𝐵𝐶 = 29 . Titik 𝐷 dan 𝐸 terletak pada segmen 𝐵𝐶 , sehingga 𝐵𝐷 = 8 dan 𝐸𝐶 = 9 . Besarnya ∠𝐷𝐴𝐸 sama dengan ... (dalam derajat). a. 30 b. 75 c. 45 d. 60 e. 72 Suatu kompetisi diikuti oleh 2020 peserta. Pada setiap ronde, dua peserta bertanding. Setiap peserta yang kalah dua kali dikeluarkan dari kompetisi, peserta yang terakhir berada di kompetisi adalah pemenangnya. Jika diketahui pemenang kompetisi tidak pernah kalah, banyaknya pertandingan yang dilangsungkan pada kompetisi tersebut adalah ... a. 4036



Olimpiade Pahlawan Sains Indonesia (OPSI)



Page 8 of 10



FOKUS – HEBAT – JUARA



BIDANG : MATEMATIKA SMA



39.



40.



b. 4038 c. 2019 d. 2020 e. 2018 Jumlah dari semua bilangan bulat 𝑥 sehingga 2log(𝑥 2 − 4𝑥 − 1) bulat adalah … a. 4 b. 0 c. 1 d. 2 e. 3 Jumlah semua bilangan bulat 𝑛 sehingga 𝑛! + 5 bilangan kubik adalah … a. 5 b. 11 c. 30 d. 3 e. 2



Notasi: Misal [𝑋𝑌𝑍] menyatakan luas bangun 𝑋𝑌𝑍. ⌈𝑥 ⌉ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 𝑥. Sebagai contoh, ⌈3,14⌉ = 4 ⌊𝑥 ⌋ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan 𝑥. Sebagai contoh, ⌊2,75⌋ = 2



Olimpiade Pahlawan Sains Indonesia (OPSI)



Page 9 of 10



FOKUS – HEBAT – JUARA



BIDANG : MATEMATIKA SMA



KUNCI JAWABAN BIDANG : MATEMATIKA TINGKAT : SMA PAKET 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40



A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C B B A B B A B B B A B C D E D C B A A



Olimpiade Pahlawan Sains Indonesia (OPSI)



Page 10 of 10