Prima Dan Komposit [PDF]

Citation preview

PRIMA, KOMPOSIT, DAN KETERBAGIAN PRIMA DAN KOMPOSIT



-



-



1) PRIMA Bilangan prima adalah bilangan asli yang memiliki dua faktor yang berbeda yaitu bilangan satu dan bilangan itu sendiri. Contoh : 2,3,5,7,11...dst 2) KOMPOSIT Bilangan komposit adalah bilangan yang memiliki lebih dari dua faktor dan bukan merupakan bilangan prima. Contoh : 4,6,8,9,10...dst



Saringan Erastothenes



-



Kotak merah Kotak putih



: bilangan prima : bilangan komposit



Keterangan :  



Angka 1 bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit. Langkah pertama memberi warna merah pada bilangan prima pertama yaitu angka 2. Kemudian lompat bilangan ke 2 dari angka 2.



 



Selanjutnya memberi warna merah pada blangan prima kedua yaitu angka 3. Kemudian lompat bilangan ke 3 dari angka 3 Ulangi langkah seperti yang diatas untuk mencari bilangan prima dan komposit.



Bilangan komposit memiliki lebih dari dua faktor dan dapat dinyatakan sebagai produk dari dua angka yang lebih kecil. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai produk dengan jumlah yang lebih kecil menggunakan pohon faktor. Berikut contoh pengunaan pohon faktor:



Dari pemfaktoran diatas bahwa 60 dinyatakan sebagai produk dari dua faktor dengan beberapa cara berbeda. Namun ketika kita terus memfakorkan hingga mencapai prima, masing2 metode mengarahkan kita ke faktorisasi utama yang sama. masing



Definisi “MEMBAGI” Jadikan a dan b menjadi berapa saja dengan syarat a ≠ 0 . Simbol dari membagi adalah a∨b (dibaca b habis dibagi a , jika dan hanya jika ada bilangan bulat x sehingga ax=b . Misalnya disini adalah 3∨12 benar, karena 3 ×4=12 . Simbol a∨b juga berarti a membagi b , a pembagi b , a adalah faktor dari b , b kelipatan dari a , b terbagi oleh a . Misalnya 216 adalah kelipatan dari 6. Hal ini benar karena 6 ×36=216 . Ada juga simbol a ∤b yang berarti a tidak membagi b .



KETERBAGIAN Keterbagian oleh 2, 5, dan 10  Sebuah angka dapat dibagi dengan 2 jika dan hanya jika digit terakhirnya adalah 0, 2, 4, 6, 8  Sebuah angka dapat dibagi dengan 5 jika dan hanya jika digit terakhirnya adalah 0 atau 5  Sebuah angka dapat dibagi dengan 10 jika dan hanya jika digit terakhirnya adalah 0 Contoh : 2∨12 Benar, karena 12 memang habis terbagi oleh 2



“TEORI DASAR” Biarkan a , m ,n , dan k



menjadi bilangan apapun dimana a ≠ 0 .



 Jika a∨m dan a∨n , ketika a∨(m+n) Jika a∨m , ketika ax=m untuk bilangan bulat x Jika a∨n , ketika ay=n untuk bilangan bulat y Oleh karena itu tambahkan sisi masing-masing dari 2 persamaan yang kita miliki Kita punya ax∨ay m+n atau a ( x+ y )=m+n Karena x+ y adalah bilangan bulat, sehingga persamaan terakhir menyatakan bahwa a∨(m+n)  Jika a∨m dan a∨n , ketika a∨(m−n) untuk m≥ n Jika a∨m , ketika ax=m untuk bilangan bulat x Jika a∨n , ketika ay=n untuk bilangan bulat y Oleh karena itu tambahkan sisi masing-masing dari 2 persamaan yang kita miliki Kita punya ax∨ay m−n atau a ( x− y )=m−n Karena x− y adalah bilangan bulat, sehingga persamaan terakhir menyatakan bahwa a∨(m−n)  Jika a∨m ketika a∨km Mengikuti definisi “membagi” yang tertera diatas. Keterbagian oleh 4 dan 8  Suatu angka dapat dibagi dengan 4 jika dan hanya jika angka tersebut diwakili oleh 2 digit terakhir yang dapat dibagi 4  Suatu angka dapat dibagi dengan 8 jika dan hanya jika angka tersebut diwakili oleh 3 digit terakhir yang dapat dibagi 8 Perhatikan bahwa tes untuk 4 melibatkan 2 digit dan 22=4 . Juga tes untuk 8 membutuhkan pertimbangan 3 digit terakhir dan 23=8 . Contoh : 4∨1432 a. Hal ini benar, 1432 habis dibagi 4, ketika 4∨32 yang artinya 32 habis dibagi 4



b.



8∨98765432 Hal ini benar, 98765432 habis dibagi oleh 8, ketika 8∨432 yang artinya 432 habis dibagi 8



Keterbagian oleh 3 dan 9  Suatu angka dapat dibagi dengan 3 jika dan hanya jika jumlah setiap digitnya dapat dibagi 3  Suatu angka dapat dibagi dengan 9 jika dan hanya jika jumlah setiap digitnya dapat dibagi 9 Contoh : 1. 2.



3∨12345 3∨12345 , ketika 1+2+3+4 +5=15 , dan 3∨15 yang artinya 15 habis dibagi oleh 3 9∨6543 9∨6543 , ketika 6+5+ 4+3=18 , dan 9∨18 yang artinya 18 habis dibagi oleh 9



Keterbagian oleh 11 Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11. Contoh : tentukan yang di bawah ini apakah benar atau salah habis dibagi 11. a.



11 │5346



c.



11 │76,543



b.



11 │909,381



Jawab : a. Benar karena 11 │5346



jadi (5+ 4)– (3+ 6)=9−9=0 , dan11 │ 0 →11 membagi nol



b. Benar karena 11 │909,381 c. Salah karena 11 │76,543 11.



jadi (9+ 9+ 8)– (0+ 3+1)=26 – 4=22 ,dan 11 │22. jadi



(7+5+3) – (6+ 4)=15−10=5 , dan 5 tidak habis dibagi



Keterbagian oleh 6 Suatu bilangan bulat N habis dibagi 6 jika N habis dibagi oleh 2 & 3. Contoh : Selidiki apakah 4356 habis dibagi 6? Jawab :



4356 habis dibagi 2, karena angka terakhirnya dari bilangan 4356 yaitu 6 habis dibagi 2, sehingga 2│ 4356 jadi 4 +3+5+6=18 ,dan 3 │18 , maka 3 │ 4356 , karena 2│ 4356 dan 3 │ 4356 maka 6 │ 4356.



Uji faktor prima Teori : untuk menguji faktor prima dari angka N , seseorang hanya perlu mencari faktor prima p dari n,dimana p2 ≤ n atau (p ≤ √ n ) Langkah –langkah untuk menguji faktor prima : 1. Tentukan akar kuadrat dari bilangan yaitu



√n .



2. Daftarkan bilangan prima p yang kurang dari atau sama dengan



√n .



3. Cek apakah bilangan n habis dibagi oleh p atau tidak. Jika habis dibagi maka n bukan merupakan bilangan prima. Jika tidak,maka n merupakan bilangan prima. Contoh : tentukan apakah bilangan di bawah ini prima atau bukan a. 401 b. 299 Jawab : a.



401=√20 Bilangan prima yang kurang dari 20(2,3,5,7,11,13,17,19) . Cek apakah 401 habis dibagi oleh 2,3,5,7,11,13,17,19. Setelah dicek ternyata bilangan 401 tidak habis dibagi oleh 2,3,5,7,11,13,17,19 401 merupakah bilangan prima



b.



sehingga



299= √17 Bilangan prima yang kurang dari 17(2,3,5,7,11,13). Cek apakah 299 habis dibagi oleh 2,3,5,7,11,13. Setelah dicek ternyata bilangan 299 habis dibagi oleh 13 sehingga 299 bukan merupakan bilangan prima atau 299 disebut komposit.