Prinsip Ketaktentuan Dan Sifat Gelombang [PDF]

Citation preview

Prinsip Ketaktentuan dan Sifat Gelombang Elektron



1 Vote



2.1



Pengantar



Dalam Bab I telah dikemukakan mengenai sifat cahaya yang dapat diteruskan berupa arus partikel atau dianggap sebagai gerak gelombang. Jadi ada dualisme dari sifat cahaya ini. Dualisme cahaya ini kemudian diterapkan oleh de Broglie terhadap elektron yang bergerak mengelilingi inti. Sifat gelombang dari elektron ini kemudian mengakibatkan adanya ketaktentuan dari kedudukan elektron sekeliling inti, yang diterangkan berdasarkan Prinsip Ketaktentuan dari Heisenberg. Dengan dasar gerak gelombang dari elektron, Schrodinger kemudian menurunkan persamaan gelombang berdasarkan mekanika gelombang. Dalam penurunan persamaannya, maka koordinat Cartes yang umum digunakan untuk menggambarkan materi dalam tiga dimensi, diubah menjadi koordinat polar. Penyelesaiannya menghasilkan suatu fungsi gelombang yang terdiri dari fungsi sudut dan fungsi radial. Kedua fungsi tersebut mempunyai arti fisik. Dengan persamaan Schrodinger dapat diturunkan pula tingkat-tingkat energi serta bilangan kuantum bagi elektron. Dengan menggunakan Prinsip Eksklusi dari Pauli, setiap elektron dalam masing-masing tingkat energi dapat diterangkan dengan menggunakan Prinsip Aufbau. Dasar teori kuantum dapat digunakan pula untuk menerangkan struktur dari Susunan Berkala dan demikian pula menerangkan keperiodikan dari sifat fisik dan kimia dari unsur-unsur. Transisi antara tingkat-tingkat energi berlangsung dalam radiasi elektromagnetik dari absorpsi maupun emisi. Aturan transisi ini akan dibahas dalam spektrum atom. 2.2



Prinsip Ketaktentuan dan Sifat Gelombang dari Elektron



2.2.1 Sifat Gelombang dari Elektron Seperti telah dikemukakan dalam Bab I, radiasi cahaya dapat dianggap sebagai arus foton atau sebagai gerak gelombang. Berdasarkan pendapat ini, maka pada tahun 1923 de Broglie mengemukakan bahwa dualisme yang sama terdapat pula dalam hal elektron. Menurut teori relativitas dari Einstein, energi suatu partikel dinyatakan sebagai:



E = mc2



(2-1)



m ialah massa partikel dan c2 ialah kecepatan cahaya. Dengan menggunakan hubungan E = hv, didapat mc2 = hv = hc/λ, sehingga untuk foton: λ = h/mc = h/p (2-2) p ialah momentum. De Broglie kemudian mengemukakan bahwa sifat gelombang-partikel dari radiasi dapat diterapkan terhadap elektron, karena elektron hampir sekecil foton. Untuk elektron berlaku: λ = h/mv = h/p (2-3) v ialah kecepatan elektron. Panjang gelombang dari partikel yang dihitung dengan jalan ini disebut panjang gelombang de Broglie. Sifat gelombang dari materi seperti yang dikemukakan oleh de Broglie kemudian dibenarkan oleh Davidson dan Germer dalam tahun 1928, yang mendapatkan pola difraksi dari elektron dengan menjatuhkan sinar pada suatu bidang dari kristal nikel. Dengan adanya gerak gelombang dari elektron, maka diperlukan suatu teori kuantum yang baru, yang selain dapat menerangkan gerak elektron dalam atom dan menghitung energi yang mungkin, juga dapat memperhitungkan efek difraksi. 2.2.2. Prinsip Ketaktentuan Heisenberg Dengan adanya teori gelombang dari elektron, maka kedudukan elektron sekeliling inti tak tertentu. Hal ini tercakup dalam Prinsip Ketaktentuan Heisenberg. Dalam tahun 1927 Heisenberg menunjukkan, bahwa nilai sepanjang pengamatan khas tak dapat ditentukan secara simultan dengan ketelitian tinggi. Contohnya adalah pasangan momentum dan kedudukan, dan pasangan energi dan waktu. Batas dalam ketelitian pengukuran fisik tertentu dinyatakan oleh hubungan: ∆q . ∆p > ħ/2



(2-4)



∆E . ∆t > ħ/2



(2-5)



ħ = h/2π; ∆q, ∆p, ∆E, ∆t ketaktentuan adalah berturut-turut dari kedudukan, momentum, energi dan waktu. Karena nilai ħ kecil, maka ketaktentuan ini tak dapat diamati untuk benda besar, tetapi sangat berarti bagi elektron, atom, dan molekul. Jadi ketaktentuan dari kedudukan elektron akan membawa serta ketaktentuan dalam momentum, sesuai dengan persamaan (2-4). Kedudukan dan momentum dari elektron memberikan informasi mengenai kebolehjadian menemukan elektron di sekeliling inti. Keterbatasan dalam pengukuran tingkat energi elektron dalam atom dapat ditunjukkan sebagai berikut. Andaikan atom tereksitasi mengemisi radiasi elektromagnetik dan berpindah ke tingkat yang lebih stabil, maka atom-atom ini berumur panjang dan garis spektrumnya tajam. Bila atom



tereksitasi berumur pendek, maka radiasi elektromagnetik mencakup daerah yang lebar dan garis kurang tajam. Nilai ketaktentuan ∆t lebih kecil dan ∆E besar karena perhubungan dengan ∆v lewat persamaan ∆E = h/∆v. 2.2.3. Sifat Gelombang Konsep kebolehjadian dapat diterapkan pada pola difraksi elektron. cincin-cincin difraksi adalah daerah dengan kebolehjadian yang tinggi. Rapat elektron berbanding lurus dengan kuadrat faktor amplitudo yang didapat dari persamaan gelombang. Sifat khas gerak gelombang adalah kemampuannya untuk meneruskan energi dari satu titik ke titik lain tanpa perpindahan permanen dari mediumnya. Gelombang ini disebut gelombang progresif (Gb. 2.1). Suatu persamaan gelombang dinyatakan sebagai berikut: ∂2/∂x2 = 1/c2 ∂2ϕ/∂r2



(2-6)



dimana ϕ = a sin 2π (x/λ – vt), v adalah frekuensi, a adalah nilai maksimum dari amplitudo, c adalah kecepatan perambatan. Persamaan (2-6) adalah linier, maka dengan Prinsip Superposisi dua persamaan dengan ϕ1 dan ϕ2 dapat dikombinasi linier. Untuk gelombang ϕ1 dan ϕ2: ∂2ϕ1/∂x2 = 1/c2 ∂2ϕ2/∂t2 dan ∂2ϕ2/∂x2 = 1/c2 ∂2ϕ2/∂t2 Kombinasi linier menghasilkan: ∂2(a1ϕ1 + a2ϕ2)/ ∂x2 = a1 ∂2ϕ1/∂x2 + a2 ∂2ϕ2/∂x2 = 1/c2 {a1 ∂2ϕ1/∂t2 + a2 ∂2ϕ2/∂t2} = 1/c2 ∂2(a1ϕ1 + a2ϕ2)/ ∂x2



(2-7).



Prinsip superposisi ini sekarang digunakan untuk vibrasi tali gitar antara dua titik tertentu atau dua titik mati. Untuk gelombang progresif dari kiri ke kanan persamaan gelombangnya: ϕ1 = a sin 2π (x/λ – vt) (2-8) setelah mencapai ujung, gelombang direfleksi dan berjalan kembali dari kanan ke kiri dengan persamaan gelombang: ϕ2 = a sin 2π (x/λ – vt) (2-9) Gerak gelombang total dinyatakan dengan persamaan: ϕ = ϕ1 + ϕ2 = a sin 2π (x/λ – vt) + a sin 2π (x/λ + vt)



(2-10).



Untuk gelombang tegak atau gelombang stasioner, bila ϕ = 0, maka sin 2π x/λ = 0, yaitu bila: 2πx/λ = nπ dan x = nλ/2



(2-11).



n ialah bilangan bulat (Gb. 2.1). Gelombang stasioner dapat menggambarkan gerak gelombang dari elektron sekeliling inti dalam atom. Agar terjadi interferensi konstruktif dari gelombang de Broglie dengan elektron dalam lintasan Bohr, maka harus dipenuhi hubungan: 2πr = nλ



(2-12).



Substitusi persamaan (2-3) ke dalam persamaan (2-12) menghasilkan: Mvr = n h/2π; n = 1, 2, 3, … yang diturunkan oleh Bohr.



(2-13). n ialah bilangan kuantum utama. Hasilnya sama dengan



(Sumber: Noer Mansdsjoeriah Surdia. (1993) Ikatan dan Struktur Molekul. Dikbud. Hal: 25-28).



Persamaan Shroedinger dalam Koordinat Bola (Mekanika kuantum dalam Tiga Dimensi Bagian 1) By Dedy Kurniawan Setyoko



2 Votes



4.1 Persamaan Shroedinger dalam Koordinat Bola



Perluasan persamaan Shroedinger dalam tiga dimensi dapat kita lakukan secara langsung, di mana persamaan Shroedinger secara umum dapat kita tuliskan: [4.1]



Operator Hamiltonian[1] H diperoleh dari persamaan energi klasik.



dengan menggunakan rumusan standar P yang diperluas pada kasus tiga dimensi [4.2]



,



,



atau lebih singkatnya [4.3]



persamaan Shroedinger menjadi: [4.4]



di mana [4.5]



merupakan laplasian pada koordinat kartesian Energi potensial V dan fungsi gelombang , dalam koordinat bola kini hanya merupakan fungsi dan t. Probabilitas menemukan partikel pada elemen volume adalah , dan normalisasinya adalah: [4.6]



dengan batas integral pada semua ruang ( hingga ). Jika potensial tidak bergantung waktu, maka solusi persamaan Shroedinger untuk keadaan stasioner dalam tiga dimensi adalah [4.7]



di mana fungsi gelombang spasial



memenuhi persamaan Shroedinger tidak bergantung waktu.



[4.8]



Solusi umum dari persamaan Shroedinger (bergantung waktu) adalah [4.9]



dengan kostanta yang dihitung dari pemberian fungsi gelombang mula-mula, , dengan cara yang seperti biasa kita lakukan pada BAB 2 PERSAMAAN SHROEDINGER TIDAK BERGANTUNG WAKTU. (Jika potensial V merupakan fungsi keadaan kontinu, maka tanda pada persamaan 4.9 menjadi integral.)



Latihan Soal



Soal 4.1(a) Kerjakan aturan relasi komutasi untuk semua komponen operator r dan p: dan seterusnya. Jawaban: [4.10]



,



.



(b) tunjukkan bahwa: [4.11]



, dan



.



(Masing-masing tentunya terdiri dari tiga dimensi, satu untuk masing-masing komponen.)Petunjuk: Ingat bahwa persamaan 3.148 adalah valid untuk tiga dimensi. (c) Formulasikan prinsip ketidakpastian Heisenberg ke dalam tiga dimensi. Jawaban: [4.12]



, tetapi terkecuali pada katakanlah



,



,



Jika anda berminat untuk menjawab, silahkan anda bisa mengerjakannya dan memberikan hasilnya dengan menuliskannya pada kotak komentar yang pada akhir tulisan ini. Saya harap akan ada interaksi antara saya dengan anda, jawaban anda nantinya akan kita bahas bersama-sama dengan para pembaca lainnya. Jika anda kesulitan untuk menuliskan formula-formula atau persamaan-persamaan, silahkan anda mempelajari bagaimana cara menulis formula tersebut disini



4.1.1 Separasi Variabel Biasanya, Potensial adalah fungsi yang hanya bergantung pada jarak terhadap titik pusat. Pada kasus ini, baiknya kita menggunakan koordinat bola (Lihat gambar 4.1). Pada koordinat bola, bentuk laplasianya adalah[2]: (4.13)



Pada koordinat bola, persamaan schroedinger tidak bergantung waktu dibaca (4.14)



Sekarang,coba kita cari solusinya dengan menggunakan separasi variabel (4.15)



Gambar 4.1: Koordinat Bola (Sferis) dengan jarak r, sudut polar dan sudut azimut .



dengan mengaplikasikan persamaan 4.15 kedalam persamaan 4.14 kita dapatkan



kita bagi dengan YR dan mengalikannya dengan



rumusan pada kurung kurawal yang pertama hanya bergantung pada r, dimana yang lain bergantung pada dan , dan tentunya masing-masing bentuk rumusan harus konstan. Untuk alasan ini, saya akan memberikan konstanta separasi ke dalam bentuk [3]: (4.16)



dan (4.17)



Latihan Soal



Soal 4.2Gunakan separasi variabel dalam koordinat kartesius untuk menyelesaikan dinding kubus tak berhingga (Partikel dalam boks):



(a) Carilah fungsi gelombang dan energinya pada keadaan stasioner(b) Sebut saja energinya , dalam peningkatan energinya. Carilah . Hitunglah perubahan dari masing-masing energinya. 4.1.2 Persamaan Anguler Persamaan 4.17 menentukan kebergantungan terhadap dan ; dengan mengalikannya dengan , persamaan 4.17 menjadi (4.18)



kamu mungkin pernah bertemu persamaan ini sebelumnya, yang terdapat pada solusi persamaan Laplace pada elektrodinamika klasik. Seperti biasanya, kita coba dengan separasi variabel (4.19)



dengan menggunakan ini dan dibagi dengan



, kita dapatkan



Bagian yang pertama hanya merupakan fungsi dan bagian yang kedua merupakan fungsi , maka masing-masing bagian haruslah konstan. Kali ini sebut saja konstanta separasinya dengan [4]: [4.20]



dan fungsi adalah [4.21]



Persamaan 4.21 adalah persamanaan diferensial orde dua yang sederhana, persamaan ini mudah untuk diselesaikan [4.22]



[Sebenarnya terdapat dua solusi untuk persamaan 4.21, dan , tapi ini dapat disiasati dengan memasukkan tanda negatif ke dalam kostanta m (ingat m bisa juga bernilai negatif), Selain itu kita bisa memberikan faktor kontanta di depan solusi, tapi ada cara yang lebih baik, yaitu dengan memasukkannya ke dalam fungsi . Kebetulan dalam elektrodinamika kita bisa menuliskan fungsi azimut ( ) ke dalam bentuk sin dan cos, dan tentu saja dalam bentuk eksponensial, karena potensial listrik haruslah bernilai real. Mekanika kuantum adalah cabang ilmu fisika yang fleksibel dan fungsi eksponensial cukup mudah untuk bekerja di dalamnya.] Saat berada di 2 , maka akan kembali pada posisi semula ( ). Untuk lebih jelasnya bisa kita lihat gambar 4.1. Oleh karena itu, bisa kita tuliskan[5] [4.23]



Dengan kata lain, , atau dapat dikatakan bahwa m haruslah bernilai integer



. Dari pernyataan ini, jelaslah



[4.24]



Sedangkakn untuk persamaan , [4.25]



yang mungkin kelihatan tidak familiar, persamaan 4.25 adalah persamaan yang sangat sulit untuk diselesaikan, tetapi untuk saat ini cukuplah kita tahu bahwa solusi untuk persamaan tersebut adalah [4.26]



di mana



adalah fungsi Legendre terasosiasi yang didefinisikan oleh[6]



[4.27]



, adalah polinomial Legendre ke-l. Kita telah membahas ini pada BAB sebelumnya (persamaan 3.91) sebagai polinomial ortogonal pada interval (-1, +1), dan polinomial Legendre di definisikan oleh formula Rodrigues: [4.28]



misalnya,



dan seterusnya. Beberapa Polinomial Legendre untuk nilai l yang pertama ditampilkan dalam tabel 3.1. Seperti nama yang ditulisnya, adalah polinomial (dari sudut l) dalam x, dan apakah genap



atau ganjil itu tergantung dari paritas l. Tetapi , secara umum sebenarnya bukanlah merupakan polinomial, jika m ganjil maka akan terdapat faktor :



dan seterusnya. [Dengan kata lain, apa yang kita butuhkan adalah , dan , jadi adalah polinomial yang hanya dalam bentuk , apbila m genap maka digantikan dengan . Beberapa fungsi Legendre terasosiasi pada nilai l yang pertama ditampilkan dalam Tabel 4.1] Tabel 4.1: Beberapa nilai Fungsi Legendre terasosiasi,



.



Ingat bahwa l haruslah integer yang bukan negatif agar sesuai dengan formula Rodrigues, jika , maka persamaan 4.27, . Untuk setiap nilai l yang diberikan, maka terdapat (2l + 1) nilai m yang mungkin. [4.29]



Tetapi tunggu dulu, persamaan 4.25 adalah persamaan diferensial orde dua, yang seharusnya memiliki solusi independen linier, untuk setiap nilai l dan m genap. Di manakah semua solusi lainnya? Jawab: Mereka ada tentunya, tetapi hanya sebagai solusi matematis dari persamaan tersebut. Secara fisis, solusi ini tidak diterima karena nilainya menjadi sangat besar (mendekati tak hingga) pada dan/atau , dan tidak menghasilkan fungsi gelombang ternormalisasi (Lihat soal 4.4) Sekarang, coba kita kembali pada koordinat bola, elemen volume pada koordinat bola adalah[7] [4.30]



maka, kondisi ternormalisasi (persamaan 4.6) menjadi



dan sebaiknya untuk menormalisasikannya ke dalam fungsi R dan Y secara terpisah [4.31]



dan Fungsi gelombang anguler ternormalisasi[8] dinamakan dengan Spherical harmonis Tabel 4.2: Beberapa sferical harmonics yang pertama,



.



[4.32]



di mana ortogonal, maka



untuk



dan



untuk



. Persamaan 4.32 juga secara otomatis



[4.33]



Pada tabel 4.2 telah diperlihatkan beberapa nilai spherical harmonis yang pertama. 4.1.3 Persamaan Radial Ingat bahwa bagian anguler dari fungsi gelombang, sama untuk setiap potensial yang simetri secara speris. Bentuk nyata dari potensial, V(r) hanya berpengaruh pada bagain radial dari fungsi gelombang, R(r) yang dijelaskan oleh persamaan 4.16



[4.35]



Persamaan di atas akan kelihatan lebih sederhana jika kita ubah sedikit variabelnya, misalkan saja: [4.36]



maka dari itu,



,



,



, karena itu:



[4.37]



Persamaan 4.37 dinamakan dengan persamaan radial[9], yang bentuknya indentik dengan persamaan Shroedinger satu dimensi (Persamaan 2.4), kecuali bentuk potensial efektifnya [4.38]



Veff mengandung sedikit bagian ekstra, yang dinamakan dengan bagian centrifugal, . Bagian centrifugal ini cenderung untuk melempar partikel keluar (dari titik pusat), seperti gaya sentrifugal (semi sentrifugal) dalam mekanika klasik. Sementara itu, kondisi normalisasi (persamaan 4.31) menjadi: [4.39]



Kita tidak bisa memprosesnya lebih lanjut sebelum diberikan potensial yang spesifik.



ContohBerdasarkan pada dinding potensial tak berhingga. [4.40]



Di luar dinding potensial fungsi gelombang adalah nol, di dalam dinding potensial persamaan radial diberikan oleh: [4.41]



di mana [4.42]



sama seperti biasa yang kita lakukan, permasalahan kita adalah untuk menyelesaikan persamaan 4.41, dengan memasukkan syarat batas u(a) = 0, dan untuk kasus l=0 adalah mudah:



Tetapi kita harus ingat bahwa fungsi radial yang sebenarnya adalah , dan bernilai sangat besar ketika . Maka kita harus memilih B=0[10]. Dari syarat batas tersebut kita dapatkan , maka dari itu, untuk setiap nilai n integer, dengan jelas energi yang diijinkan adalah [4.41]



, dengan di mana hasil yang kita peroleh ini sama dengan apa yang ada pada sumur potensial tak berhingga satu dimensi (persamaan 2.23). Dengan menormalisasikan menghasilkan , dengan memasukkan bagian anguler (konstan, selama ) kita setuju bahwa [4.44]



[Ingat bahwa keadaan stasioner mengandung tiga bilangan kuantum, n, l, dan m: Energi hanya tergantung pada n dan l: ]



.



Solusi umum dari persamaan 4.41 (untuk sembarang nilai l integer) kelihatan tidak familiar di mata kita [4.45]



di mana adalah fungsi Bessel sferis untuk orde l, dan orde l. Keduanya didefinisikan seperti di bawah ini



adalah fungsi Neumann sferis untuk



[4.46]



; dan sebagai contoh ;



;



; ; dan seterusnya. Fungsi Bessel dan Neumann sferis untuk beberapa nilai l yang pertama dapat dilihat dalam tabel 4.3. Ingat bahwa untuk nilai x yang kecil (di mana dan ), ;



;



;



Tabel 4.3: Beberapa nilai Fungsi Bessel dan Neumann yang pertama,



; dan



.



dan lainnya. Intinya adalah bahwa fungsi Bessel nilainya terhingga pada titik pusat sedangkan fungsi Neumann nilainya menjadi tak terhingga pada titik pusat (x =0). Berdasarkan fakta ini, kita harus memutuskan kalau , maka dari itu [4.47]



Jika kita kembali pada syarat batas, [4.48]



. Dengan jelas bahwa k harus dipilih sesuai dengan



di mana, ka bernilai nol untuk fungsi Bessel sferis orde ke-l. Sekarang fungsi Bessel berosilasi (lihat gambar 4.2), masing-masing memiliki nilai nol yang tak berhingga. Tetapi (untungnya bagi kita) itu tidak terlokalisasi pada poin-poin yang penting (seperti pada n, atau atau yang lainnya), dan ini harus dihitung secara numerik dengan bantuan komputer.[11]Pada setiap nilainya, syarat batas yang harus dipenuhi adalah [4.49]



,



Gambar 4.2: Grafik beberapa fungsi Bessel sferis. di mana adalah nol yang ke-n pada fungsi Bessel sferis yang ke-l. Energi yang diijinkan diberikan oleh [4.50]



, dan fungsi gelombangnya adalah [4.51]



[1] Mungkin di sini akan terjadi kebingungan, sebelumnya saya menggunakan tanda “topi” untuk membedakan dengan observabel klasik. Tetapi saya tidak mengira hal itu akan menjadi embigu pada Bab kali ini, dan tanda “topi” tersebut menjadi tidak praktis untuk digunakan, oleh karena itu mulai dari sekarang saya akan menghilangkan tanda “topi” tersebut. [2]Pada prinsipnya, ini dapat didapatkan dengan mengubah variabel dari ekspresi kartesian (Persamaan 4.5). Bagaimana juga, terdapat cara yang lebih efisien, lihatlah buku M.Boas,Mathematical Methods in the Physicaj Science,2nd ed. (New York:John Wiley and Sons,Inc.,1983) chapter 10 section 9 [3]Catatan:Kali ini tidak sembarangan dengan menuliskan konstanta separasi bisa berupa bilangan kompleks. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa harus berupa integral. Oleh karena itu,untuk mengantisipasi hal ini, saya mengekspresikan konstanta seperti dengan cara yang kelihatan agak aneh [4]Sekali lagi, tidak ada unsur sembarangan dalam menuliskan konstanta separasi, walaupun harus berupa integral. Hati-hati: sombol sekarang terdapat makna ganda, massa dan sekarang yang dinamakan dengan bilangan kuantum magnetik. tapi saya rasa tidak bijaksana kalau kita mengabaikan hal ini,karena keduanya merupakan simbol yang standar. Beberapa penulis mengganti dengan untuk bilangan kuantum magnetik dan untuk massa. [5]Ini lebih sulit untuk dipahai dari pada apa yang kita lihat. Setelah semuanya, rapat probabilitas ( ) adalah nilai tunggal yang tergantung pada m. Pada sesi 4.3 akan diberikan kondisi pada m yang benar-benar berbeda dan dengan argumen yang lebih mendalam. [6]Ingat bahwa



karene tanda me selalu berada dalam tanda mutlak.



[7]Untuk lebih jelasnya, silahkan lihat Boas (catatan kaki 2), BAB 5 Sesi 4. [8]Faktor normalisasi didapatkan dari soal 4.47. Faktor dipilih untuk konsistensi dengan notasi yang akan kita gunakan dalam teori momentum anguler dan ini merupakan standar yang cukup beralasan, walaupun beberapa buku yang lebih lama menggunkan konvensi yang lama. Ingat bahwa:



[9]Simbol m disini menunjukkan massa, tentunya kita tidak akan menemukan bilangan kuantum m dalam persamaan Radial. [10]Sebenarnya, semua yang kita butuhkan adalah bahwa fungsi gelombang haruslah ternormalisasi,bukan hanya yang terbatas pada pada titik pusat seharusnya



ternormalisasi (karena faktor dalam persamaan 4.31). Untuk bukti yang lebih jelas bahwa B=0, lihat R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics (New York: Plenum, 1980), halaman 351. About these ads



1. Fungsi Gelombang (pandangan kuantum) By Dedy Kurniawan Setyoko



3 Votes



Akhirnya, setelah berlama-lama tertunda peluncurannya, selain karena materi yang cukup sulit (bagi saya) tetapi juga karena banyak yang harus diperbaiki, banyak rumus-rumus fisika yang harus di transformasi ke dalam blog ini menggunakan Latex. Nah, kali ini adalah artikel mengenai fungsi gelombang yang dilihat dari kaca mata kuantum, tapi memang belum begitu sempurna dan membutuhkan uluran tangan dari para pembaca sekalian untuk perbaikannya. Semoga artikel ini bermanfaat untuk kita semua, khususnya bagi para mahasiswa jurusan fisika yang sedang mengambil mata kuliah Fisika Kuantum. Pendek kata dari saya, selamat membaca!



1. FUNGSI GELOMBANG (PANDANGAN KUANTUM) 1.1 Persamaan Shroedinger Bayangkan sebuah partikel dengan massa m, dipaksa untuk bergerak sepanjang sumbu-x, dikenai oleh sebuah gaya (Gambar 1.1). Biasanya yang dilakukan oleh mekanika klasik adalah



menghitung posisi dari partikel pada sembarang waktu : . Dengan mendapatkan fungsi posisi, kita dapat menemukan kecepatan ( ), momentum ( ), energi kinetik ( ), atau variabel-variabel dinamis lainnya yang kita suka. Dan bagaimana kita bisa menghitung ? Kita terapkan Hukum Newton kedua: . (untuk sistem yang konservatifsatu-satunya hal yang perlu kita pertimbangkan, dan untungnya hanya terjadi pada level mikroskopik-gaya dapat diekspresikan dalam bentuk derivatif dari fungsi energi potensial[1], , dan hukum Newton kedua menjadi .) Ini, keduanya merupakan kondisi awal yang tepat (biasanya posisi dan kecepatan pada ), ditulis dengan . Pendekatan mekanika kuantum pada masalah yang sama tersebut sungguh sangat berbeda. Pada kasus ini, apa yang kita lihat adalah fungsi gelombang , dari partikel, dan kita mendapatkannya dengan menyelesaikan persamaan Schroedinger : (1.1)



Gambar 1.1: Sebuah Partikel yang dipaksa bergerak dalam satu dimensi dibawah pengaruh suatu gaya Di mana i adalah akar dari -1, dan adalah konstanta Planck-atau sebaiknya, konstanta aslinya ( ) yang dibagi dengan 2π: (1.2)



persamaan Schroedinger memainkan peranan penting yang secara logika dapat dianalogikan dengan hukum Newton kedua: menentukan kondisi awal yang sesuai [biasanya, ], persamaan Shroedinger ditulis untuk setiap waktu yang akan datang, sama seperti dalam mekanika klasik, hukum Newton ditulis untuk setiap waktu yang akan datang.



1.2 Interpretasi Statistik Tetapi apakah sebenarnya “fungsi gelombang”, dan apakah yang harus kamu lakukan setelah kamu mendapatkannya? Baiklah, partikel, dengan sendirinya, terlokalisasi pada suatu titik, tetapi fungsi gelombang (seperti yang disebutkan namanya) tersebar pada suatu ruang (pada fungsi x, untuk setiap waktu). Bagaimana sebuah objek dapat dikatakan untuk menjelaskan keadaan dari sebuah partikel? Jawabannya adalah disajikan oleh interpretasi statistik Born dari suatu fungsi gelombang, di mana dikatakan bahwa adalah probabilitas untuk menemukan pertikel pada titik x, pada sutu waktu t, atau lebih tepatnya[2]: (1.3)



Untuk fungsi gelombang pada gambar 1.2, kemungkinan besar ditemukan partikel di sekitar titik A, dan relatif tidak mungkin untuk menemukan partikel di sekitar titik B.



Gambar 1.2: Bentuk fungsi gelombang. Partikel kemugnkinan besar ditemukan di sekitar titik A, dan kemungkinan paling kecil ditemukan di sekitar titik B. Area terarsir merepresentasikan kemungkikan ditemukannya partkel pada jangkuan dx. Interpretasi statistik memperkenalkan istilah ketidakpastian dalam mekanika kuantum, bahkan jika kita telah mengetahui semua teori mengenai partikel (tentunya juga fungsi gelombang), kita tidak bisa memprediksi dengan tepat hasil dari percobaan sederhana untuk mengukur posisinya, semua mekanika kuantum menyarankan informasi statistik tentang hasil yang paling mungkin.



Ketidakpastian ini telah menganggu bagi para fisikawan dan filosof. Ini keanehan alam, kekurangan teori, kesalahan dalam pengukuran aparatus, atau apa? Andaikan saya mengukur posisi dari partikel, dan saya menemukannya pada titik C. Pertanyaanya: Di manakan partikel tersebut sesaat sebelum saya melakukan pengukuran? Ada tiga kemungkina jawaban untuk pertanyaan ini, dan masing-masing merupakan karakter pemikiran mengenai ketidakpastian kuantum: 1. Posisi realist: Partikel telah berada di C. Kepastian ini kelihatan seperti jawaban yang bijaksana, dan ini merupakan salah satu anjuran dari Einstein. Ingat, bagimanapun juga, jika ini adalah jawan yang benar, maka mekanika kuantum adalah teori yang belum lengkap, selama partikel benarbenar berada di C, dan sebelumnya mekanika kuantum memang tidak sanggup untuk mengatakan demikian. Bagi realist, ketidakpastian ini bukan berasal dari keanehan alam, tetapi merupakan pencerminan dari ketidaktahuan kita. Seperrti d’Espagnat katakan, “posisi partikel tidak pernah tidak pasti (pasti), tetapi merupakan ketidaktahuan dari peneliti.”[3] Dengan jelas Ψ adalah bukan penyebab utama, beberapa tambahan informasi (diketahui dengan istilah variabel tersembunyi) dibutuhkan untuk memberikan deskripsi yang lengkap mengenai partikel. 2. Posisi orthodox: Partikel tidak berada di mana-mana. Merupakan kenyataan bahwa pengukuran yang memaksa partikel untuk “berada” (bagimana dan mengapa partikel tersbut berada di titik C tidak dipertanyakan). Jordan mengatakannya secara tepat: ”Pengamatan tdak hanya mengganggu apa yang akan diukur, tetapi juga menciptakannya . . kita memaksa [partikel] untuk mengasumsikan posisi yang pasti.”[4] Pandangan ini (yang kemudian dikenal dengan istilah interpretasi copenhagen) yang merupakan kolega dari Bohr dan para pengikutnya. Di antara para fisikawan, ini adalah posisi yang paling dapat diterima. Ingat, bagaimanapun juga, bahwa jika ini benar, maka terdapat sesuatu yang ganjil mengenai kenyataan pengukuran, debat yang telah dilakukan lenih dari setengah abad, memberikan penjelasan yang sedikit berharga. 3. Posisi agnostic: menolak untuk menjawab. Ini tidak sekonyol seperti setelah apa yang kita dengar. Setelah semuanya—pertimbangan apa yang bisa kita gunakan sebelum melakukan pengukuran, ketika satu-satunya jalan untuk mengetahui apakah benar dan tepat apa yang dilakukan dalam melakukan pengukuran, dalam hal apa yang kamu dapat sebelum melakukan pengukuran? Ini adalah metafisika (dalam arti kata lain) untuk mengkawatirkan tentang sesuatu yang tidak dapat di uji coba. Pauli berkata, “Orang tidak harus memeras otak untuk memikirkan masalah yang tidak dapat diketahui mengenai keberadaannya, kemudian mengenai pertanyaan kuno, berapa banyak malaikat yang dapat duduk diatas jarum”[5]. Selama beberapa dekade ini menjadi posisi “fallback” dari kebanyakan fisikawan: mereka mencoba untuk memberikan jawaban no. 2, tetapi jika mereka ditanya secara terus-menerus, mereka akan beralih ke no.3 dan akhirnya mengakhiri percakapan.



Sampai akhir-akhir ini, semua jawaban (realist, ortodox, dan agnostic) memiliki banyak pengikut. Tetapi pada 1964, John Bell mengejutkan dunia fisika dengan menunujukkan bahwa itu akan membuat pengamatan yang berbeda jika partikel memiliki posisi yang tepat (meskipun tidak diketahui) sebelum dilakukan pengukuran. Penemuan Bell ini menghilangkan agnositisme (doktrin) dalam menentukan pilihan, dan membuat percobaan pertanyaan apakah jawaban no. 1 atau 2 yang paling tepat. Kita akan mengetahui cerita ini di lain waktu, dan kita akan bisa menghargai bahwa teorema Bell adalah yang paling tepat, dan untuk sekarang cukuplah untuk mengatakan eksperimen tersebut telah mengkonfirmasi interpretasi ortodox[6] secara tegas: sebuah partikel tidak memiliki posisi yang tepat sebelum pengukuran dan kebanyakan berada



disekitar lengkungan, ini adalah proses pengukuran yang menekankan pada suatu angka tertentu, dan dengan demikian akan menciptakan hasil yang spesifik, terbatas hanya pada pembobotan statistik yang dikenakan oleh fungsi gelombang.



Gambar 1.3: pengerucutan fungsi gelombang: grafik dari segera setelah pengukuran menemukan partikel di titik C. Tetapi bagimana jika dilakukan pengukuran kedua, segera setelah pengukuran yang pertama? Apakah akan didapatkan nilai C lagi, atau apakah didapatkan nilai baru pada setiap pengukuran berikutnya?Pada pertnyaan ini semua fisikawan setuju pada pernyataan ini: pengulangan pengukuran (pada partikel yang sama) harus dikembalikan pada kondisi semula. Memang, akan sulit untuk membuktikan bahwa partikel benar-benar berada di titik C pada contoh yang pertama jika hal ini tidak dapat segera dikonfirmasi dengan pengulangan pengukuran. Bagimana interpretasi ortodox memberikan jawaban untuk fakta bahwa pengukuran kedua adalah terikat pada nilai C? Jelas pengukuran yang pertama secara radikal telah mengubah funsi gelombang, sehingga sekarang berbentuk kerucut yang tajam pada titik C (gambar 1.3). Kita katakan bahwa fungsi gelombang mengerucut setelah dilakukan pengukuran, menjadi bentuk kerucut ditik C (yang segera menyebar lagi, sesuai dengan persamaan Schroedinger, sehingga pengukuran kedua harus segera dilakukan dengan cepat). Terdapat dua hal dalam proses fisika yang keduanya berbeda: “biasanya”, yang mana fungsi gelombang berevolusi dalam aturan persamaan Scroedinger, dan “pengukuran” yang mana secara tiba-tiba dan diskontinyu terkerucut.[7]



1.3 Probabilitas Karena interpretasi statistik, probabilitas memainkan aturan penting dalam mekanika kuantum, maka di sini akan dibahas materi yang sedikit menyimpang dari topik utama, yaitu diskusi singkat mengenai teori probabilitas. Hal ini terutama soal memperkenalkan beberapa notasi dan terminologi, dan kita akan melakukannya dalam konteks contoh sederhana. Bayangkan sebuah ruangan yang berisi 14 orang yang masing-masing berumur seperti yang disebutkan di bawah:  



satu orang berumur 14 tahun satu orang berumur 15 tahun



   



tiga orang berumur 16 tahun dua orang berumur 22 tahun dua orang berumur 24 tahun lima orang berumur 25 tahun.



Jika N(j) menggambarkan jumlah orang pada umur j, maka



Gambar 1.4: Histogram menunujukkan jumlah orang N(j) dengan umur j, untuk contoh pada sesi 1.3.      



N(14) = 1 N(15) = 1 N(16) = 3 N(22) = 2 N(24) = 2 N(25) = 5



Di mana N(17), adalah nol. Jumlah total orang yang ada dalam ruangan adalah: (1.4)



(tentunya, N=14) Gambar 1.4 adalah histogram dari data. Di bawah ini adalah beberapa pertanyaan yang akan mempertanyakan seputar distribusi. Pertanyaan pertama. Jika kita mengambil secara random satu individu dalam group ini, berapakah probabilitas bahwa orang ini berumur 15 tahun? Jawaban: satu peluang dalam 14, jadi terdapat 14 kemungkinan pilihan. Jika P(j) adalah probabilitas untuk mendapatkan umur j, maka P(14) = 1/14, P(15) = 1/14, P(16) = 3/14, dan seterusnya. Dapat ditulis, (1.5)



Ingat bahwa probabilitas untuk mendapatkan 14 dan 15 adalah jumlah dari probabilitas masingmasing (yaitu, 1/7). Dengan kata lain, jumlah total dari probabilitas masing-masing umur adalah 1: (1.6)



Pertanyaan kedua. Berapkah probabilitas umur yang paling besar? Jawab: 25, karena terdapat 5 orang dalam kelompok umur ini, sedangkan pada umur yang lain tidak lebih besar dari 3 orang. Dengan kata lain, probabilitas j paling besar adalah j yang memiliki P(j) maksimum. Pertanyaan ketiga. Berapakah mediannya? Jawab: 23, di mana 7 orang berumur lebih muda, dan 7 orang lainnya lebih tua. (dengan kata lain, median adalah nilai dari j yang probabilitas mendapatkan umur yang lebih besar sama dengan probabilitas mendapatkan umur yang lebih kecil.) Pertanyaan keempat. Berapakah rata-ratanya (mean)? Jawab:



Dengan kata lain, nilai rata-rata dari j (yang lebih sering ditulis dengan :



) diberikan oleh



(1.7)



Ingat bahwa tidak ada seorangpun yang memiliki umur pada mean atau median, pada contoh ini, tak ada seorangpun yang berumur 21 atau 23. Pada mekanika kuantum, rata-rata biasanya adalah kuantitas penting, dalam konteks dapat dinamakan dengan nilai ekspektasi. Ini adalah bentuk yang dapat menyesatkan kita, yang dapat diartikan bahwa ini adalah hasil yang paling mungkin didapatkan dalam pengukuran tunggal (bahwa probabilitas terbesar bukan berarti nilai rata-rata), tetapi saya kuatir kita akan terjebak dengan istilah ini. Pertanyaan kelima. Berapakah rata-rata kuadaratnya? Jawab: kita mendapatkan 142 = 196, dengan probabilitas 1/14, atau 152=225 dengan probabilitas 1/14, atau 162 = 256 dengan parobabilitas 3/14, dan seterusnya. Rata-ratanya, kemudian adalah (1.8)



Dengan kata lain, nilai rata-rata dari beberapa fungsi j adalah diberikan oleh (1.9)



(Persamaan 1.6, 1.7, dan 1.8 adalah, jika kamu perhatikan merupakan kasus khusus dari formula ini). Hati-hati: rata-rata dari kuadrat ( ) adalah tidak sama dengan kuadrat dari rata-rata ( ). sederhanya, jika sebuah ruangan hanya berisi dua bayi, yang berumur, 1 dan 3 tahun, maka



tetapi



.



Gambar 1.5: Dua buah histogram dengan rata-rata, median, nilai paling mungkin yang sama, tetapi memiliki standar deviasi yang berbeda.. Sekarang, terdapat perbedaan yang sangat mencolok dari dua buah histogram dalam gambar 1.5, walaupun keduanya memiliki median sama, mean yang sama, probabilitas yang sama, dan elemen angka yang sama pula: yang pertama mengkerucut tajam pada rata-rata, dan yang kedua menyebar dan cenderung datar. (yang pertama mungkin merepresentaskan profil umur siswa di kelas-kelas perkotaan besar, dan kedua pada sekolah-sekolah yang ada di pedesaan.) kita membutukan ukuran jumlahan numerik mengenai “sebaran” distribusi, yang berkaitan dengan rata-rata. Cara yang paling jelas untuk melakukan ini adalah menemukan seberapa jauh seorang individu menyimpang dari rata-rata. (1.10)



Dan menghitung rata-rata dari . Permasalahannya adalah, tentunya kita akan mendapatkan hasil nol, karena pengurangan dengan rata rata, dengan sendirinya, bisa positif dan negatif:



(Ingat, bahwa adalah konstanta, dan itu tidak akan berubah dari satu bentuk jumlahan ke bentuk yang lain.) Untuk menghindari permasalahan yang menjengkelkan ini, kita sebaiknya menghitung rata-rata dari nilai absolut dari . Tetapi nilai absolut adalah suatu pekerjaan yang tidak menyenangkan, tetapi, kita dapat menyelesaikan masalah ini dengan mengkuadratkan dulu sebelum menhitung rata-ratanya: (1.11)



Kuantitas ini dikenal dengan variansi dari distribusi, sendiri (akar dari rata-rata kuadrat dari deviasi dari rata-rata – wow!) dinamakan standar deviasi. Yang terakhir adalah pengukuran dari penyebaran . Terdapat teori sederhana yang menggunakan standar deviasi:



Atau, (1.12)



Persamaan 1.12 membuktikan metode perhitungan yang lebih cepat: hanya dengan menghitung dan



, dan mengurangkannya. Secara kebetulan, saya ingatkan beberapa saat yang lalu



bahwa tidak sama dengan . Selama tidak negatif (dari definisi pada persamaa 1.11), persamaan 1.12 secara tidak langsung juga berarti bahwa (1.13)



Dan keduanya akan sama hanya jika , yang dapat dikatakan untuk distribusi dengan tanpa sebaran (setiap pengukuran menghasilkan nilai yang sama).



Sejauh ini, diasumsikan jika kita hanya berhubungan dengan variabel diskret, yang mamberikan nilai yang pasti (pada contoh ini, j memiliki nilai yang bulat selama hanya menggunakan tahun saja). Tetapi cukup sderhana jika diperluas menjadi distribusi kontinyu. Jika saya mengambil orang secara random di jalan, probabilitas bahwa umurnya adalah 16 tahun, 4 jam, 27 menit, dan 3,3333 detik adalah nol. Satu-satunya hal yang paling mungkin adalah mengatakan probabilitas bahwa usianya terletak dalam interval tertentu, katakanlah diantara 16 tahun, dan 16 tahun lebih satu hari. Jika intervalnya cukup pendek, probabbilitasnya akan proporsonal dengan panjang intervalnya. Misalnya, kemungkinan bahwa umunya diantara 16 dan 16 lebih 2 hari adalah kirakira 2 kali dari probabilitas umurnya berada diantara 16 dan 16 lebih 1 hari.(kecuali, kalau terjadi kejadian luar biasa, misalkan ledakan kelahiran bayi pada 16 tahun yang lalu pada hari itu, pada kasus ini, kita telah mengambil interval terlalu panjang untuk digunakan. Jika ledakan kelahiran bayi terjadi 6 jam terakhir, sebaiknya kita mengambil interval pada skala detik atau kurang, untuk lebih amanya.Secara teknis, kita berbicara mengenai interval yang sangat kecil.) Dengan demikian (1.14)



Faktor proporsionalitas, , sering dinamakan dengan “probabilitas untuk mendapatkan x,” tetapi ini adalah bahasa yang tidak bagus, bentuk yang lebih baik adalah “ rapat probabilitas.” Probablilitas bahwa x berada diantara a dan b (pada interval terbatas) diberikan oleh integral dari : (1.15)



Dan aturan yang telah dideduksi dari distribusi diskret di wujudkan dalam cara di bawah: (1.16)



di mana



adalah



(1.17)



maka untuk



adalah



(1.18)



dengan demikian (1.19)



1.4 Normalisasi Sekarang Kita kembali ke interpretasi statistik fungsi gelombang (persamaan 1.3), yang dikatakan bahwa adalah rapat probabilitas dalam menemukan partikel pada titik x dalam waktu t. Dari persamaan 1.16 dikatakan juga bahwa integral harus bernilai 1 (yang berarti partikel harus berada pada suatu tempat):



(1.20)



Tanpa ini, interpretasi statistik tidak akan bernilai apa-apa. Bagaimanapun, hal ini seharunya mengganggu kita: fungsi gelombang dihasilkan dengan menyelesaikan persamaan Schroedinger, tetapi kita tidak dapat menentukan kondisi tanpa memperhatikan bahwa keduanya konsisten. Sepintas persamaan 1.1 menyatakan bahwa merupakan solusi, begitu juga dengan , di mana A adalah suatu konstanta kompleks. Apa yang harus kita lakukan kemudian adalah dengan memasukkan faktor pengganda pada persamaan 1.20 untuk meyakinkan bahwa persamaan 1.20 dapat terpenuhi. Proses ini dinamakan dengan normaslisasi fungsi gelombang. Pada beberapa solusi persamaan Shroedinger, batasan integralnya adalah tak terbatas (infinite), pada kasus ini tak ada faktor pengganda yang bisa menghasilkan nilai 1, yang pada akhirnya akan menghasilkan solusi trivial . Kelihatan seperti solusi yang tak ternormalisasi yang tak dapat merepresentasikan sebuah partikel, dan ini tidak dapat diterima. Keadan yanng dapat dicapai secara fisis berkaitan dengan solusi “pengintegral-kuadrat” (square-integrable[8]) pada persamaan Schroedinger. Tetapi tunggu dulu! Andaikan saya telah menormalisasikan fungsi gelombang pada waktu , bagaimana saya bisa memastikan kalau itu akan tetap ternormalisasi setelah waktunya berjalan dan berubah? (kita tidak bisa tetap menormaslisasikannya, karena A menjadi sebuah fungsi t, dan mkita tidak akan mendapatkan solusi dari persamaan Shroedinger.) Untungnya, persamaan Scroedinger mempunyai sifat yang dapat mempertahankan normalisasi fungsi gelombang. Tanpa keistimewaan ini, persamaan Shroedinger tidak akan cocok dengan interpretasi statistik, dan teori-



teori yang telah dijelaskan tadi akan runtuh.maka sebaiknya kita berhenti sejenak dan coba perhatikan bukti ini dengan seksama: (1.21)



[Ingat bahwa integral tersebut hanya merupakan fungsi t, maka digunakan turunan total ( ) dalam bentuk yang pertama (bagian kiri tanda =), tetapi integran adalah fungsi x dan juga t, maka digunakan turunan parsial ( ) pada bentuk kedua (sebelah kanan tanda =)]. Dengan aturan perkalian, (1.22)



Di mana persamaan Schroedinger tampak seperti di bawah ini (1.23)



Dan karenanya (dengan menggunakan kompleks konjugat pada persamaan 1.23) (1.24)



Maka (1.25)



Integralnya (persamaan 1.21) dapat ditulis secara eksplisit: (1.26)



Tetapi pasti bernilai nol, karena batas integralnya adalah (±) tak terbatas, sebaliknya fungsi gelombang tidak akan ternormalisasi, sehingga persamaan 1.26 menjadi (1.27)



Dan oleh karena itu, integral pada bagian kiri konstan (tidak bergantung waktu), jika ternormalisasi pada , maka akan tetap ternormalisasi pada waktu ke depannya. TERBUKTI



1.5 Momentum Partikel dengan keadaan



, nilai ekspetasi x adalah



(1.28)



Apakah sebenarnya ini artinya? Ini secara tegas bukan berarti jika kamu mengukur posisi partikel, lagi, lagi, dan lagi, adalah rata-rata dari hasil yang kamu peroleh. Kebalikannya, pengukuran pertama (yang tidak tentu) akan mengkerucutkan fungsi gelombang yang menajam pada nilai yang dihasilkan pada pengukuran tersebut, dan pengukuran selanjutnya (jika dilakukan dengan segera) akan menghasilkan nilai yang sama. Pengertian yang lebih baik, adalah rata-rata pengukuran yang dilakukan pada partikel dengan keadaan , yang berarti kamu harus mengembalikan partikel kepada keadaan awal setelah masing-masing pengukuran, atau dengan cara lain, kamu menyiapkan banyak partikel, yang masing-masing memiliki keadaan yang sama, dan mengukur posisi masing-masing partikel tersebut: adalah rata-rata dari setiap hasil tersebut.[saya lebih suka menggambarkannya dengan sebarisan botol di atas papan, setiap botol berisi partikel dengan keadaan yang sama (relatif terhadap pusat botol). Beberapa orang mahasiswa dengan alat ukur berada pada maasing-masing botol, dan pada saat diberi tanda mereka mengukur posisi dari partikel yang ada di botol yang di depannya secara bersamaan. Ketika dibuatan histogram dari hasil pengukuran dengan , dan dihitung rata-ratanya, yang seharusnya



sama dengan . (tentunya, kita hanya bisa menggunakan contoh yang berhingga, kita tidak bisa mengharapkan hasil yang sempurna, tetapi lebih banyak botol yang digunakan maka hasil yang didapatkan akan semakin baik)]. Pendek kata, nilai ekspektasi adalah rata-rata dari pengulangan pengukuran pada beberapa sistem yang identik, bukan rata-rata dari pengulangan pengukuran pada sistem yang sama. Sekarang, dengan berjalannya waktu, akan berubah (karena faktor kebergantungan terhadap waktu), dan mungkin kita akan tertarik untuk mengetahui seberapa cepat perubahannya. Merujuk pada persamaan 1.25 dan 1.28, kita lihat bahwa[9] (1.29)



Ungkapan di atas dapat disederhanakan dengan integral terpisah[10] (1.30)



[saya menggunakan fakta bahwa .dan mengeluarkannya dari batas integral, akan bernilai nol pada ±∞.] dengan menerapkan integral terpisah pada bentuk kedua, didapatkan (1.31)



Bagimanakah hasilnya? Ingat bahwa kita berbicara mengenai “kecepatan” dari nilai ekspektasi x, yang mana tidak sama dengan kecepatan dari partikel. Tak ada yang bisa kita tahu lebih jauh untuk menghitung kecepatan partikel, tidak jelas apakah pengertian kecepatan dalam mekanika kuantum. Jika partikel tidak mempunyai posisi yang tepat (pada saat pengukuran), maka kita juga tidak dapat menentukan kecepatan partikel dengan benar. Semua yang dapat kita jawab adalah mengenai probabilitas untuk mendapatkan kuantitas fisis secara terpisah. Akan kita lihat dalam pembahasan selanjutnya bagaimana mengkonstruksi rapat probabilitas untuk kecepatan pada keadaan , untuk saat ini cukuplah mempostulatkan bahwa nilai ekspektasi dari kecepatan adalah turunan terhadap waktu dari nilai ekspektasi posisi: (1.32)



Persamaan 1.31 memberitahukan kita bagaimana menghitung Sebenarnya, biasanya lebih mudah bekerja dengan momentum



secara langsung dari



.



, dari pada kecepatan:



(1.33)



tetapi coba kita ekspresikan



dan



dengan jalan lain yang lebih sederhana :



(1.34)



dan untuk



adalah:



(1.35)



Dapat dikatakan bahwa operator x “merepresentasikan” posisi, dan operator “merepresentasikan” momentum, dalam mekanika kuantum, untuk menghitung nilai ekspektasi, kita menempatkan operator yang tepat diantara dan , kemudian mengintegrasikannya. Indah bukan? Tetapi bagaimana dengan variabel dinamis yang lain? Faktanya adalah semua kuantitas fisis dapat ditulis dalam bentuk posisi dan momentum. Energi kinetik, misalnya, adalah:



Dan momentum angular adalah



(persamaan yang terakhir, tentunya tidak hanya berdasarkan pada gerak satu dimensi saja). Untuk menghitung nilai ekspektasi kuantitas seperti ini, sederhananya saja dengan mengganti setiap p dengan , memasukkannya ke dalam dan , kemudian mengintegrasinya: (1.36)



misalnya (1.37)



Persamaaan 1.36 adalah perumusan untuk mnghitung nilai ekspektasi untuk semua kuantitas dinamis untuk partikel pada keadaan yang berasal dari persamaan 1.34 dan 1.35 .



1.6 Prinsip Ketidakpastian Bayangkan kalau kamu sedang memegang ujung sebuah tali yang sangat panjang, dan kamu membangkitkan gelombang dengan mengguncangnya naik turun secara beraturan (Gambar 1.6). Jika seeorang bertanya kepadamu,”tepatnya, di manakah gelombang itu berada?” Kamu mungkin akan berfikir kalau dia sedikit gila: Gelombangnya tidak tepat berada di suatu tempat, gelombangnya tersebar pada interval 50 kaki, kira-kira begitu jawabannya. Dengan kata lain, jika dia menanyakan berapakah panjang gelombannya, kamu mungkin bisa menjawabnya dengan jawaban yang beralasan: itu sekitar 6 kaki.Tetapi sebaliknya, jika kemu memberikan sentakan yang tiba-tiba pada tali itu (Gambar 1.7), kamu akan mendapatkan sebuah lengkungan sempit yang bergerak merambat pada tali. Kali ini pertanyaannya (tepatnya, di manakah gelombangnya berada?) ini adalah perntanyaan yang logis, dan yang kedua (Berpakah panjang gelombangnya?) kelihatan sebuah pertanyaan yang aneh, kali ini gelombangnya memiliki periode yang tidak tentu, bagimanakah kamu bisa menentukan panjang gelombangnya?



Gambar 1.6: gelombang dengan (secara wajar) memiliki panjang gelombang yang pasti tetapi posisinya tidak jelas.



Tentunya, kamu dapat menggambarkan gelombang dengan kasus di atara dua gelombang tadi, yang memiliki posisi yang terdefinisi dengan baik dan panjang gelombang yang juga terdefinisi dengan baik, tetapi terdapat harga yang harus dibayar: gelobang yang memilki posisi yang pasti, adalah gelombang yang memiliki panjang gelombang yang tidak pasti, dan vice versa[12]. Teorema analisis Fourier dengan tepat membahas hal ini, tetapi kali ini hanya akan dibahas secara kualitatif. Penggunaan ini tentunya untuk semua fenomena gelombang, dan juga pada fungsi gelombang mekanika kuantum. Sekarang panjang gelombang dihubungkan dengan momentum dari partikel dengan menggunakan formulasi de Broglie[13]: (1.39)



Oleh karena itu, penyebaran panjang gelombang berkitan dengan penyebaran momentum, dan secara umum dapat dikatakan bahwa, penentuan posisi yang paling tepat adalah penentuan momentum yang tidak tepat. Secara kuantitatif: (1.40)



Di mana, adalah standar deviasi x, dan adalah standar deviasi p. Ini adalah prinsip ketidakpastian Heissenberg yang terkenal. (penjelasan mengenai ini akan dijeaskan kemudian)



Gambar 1.7: Gelombang dengan posisi yang dapat ditentukan secara pasti tetapi memiliki panjang gelombang yang tidak pasti. Mohon dimengerti pengertian dari prinsip ketidak pastian: seperti pengukuran posisi, pengukuran momentum menghasilkan jawaban yang tepat, “penyebaran” di sini merujuk pada fakta bahwa pengukuran tersebut pada sistem-sistem yang identik tidak menghasilkan nilai yang konsisten. Kamu bisa, jika kamu mau, siapkan sistem seperti pada pengukuran posisi berulang yang dilakukan sangat cepat antara satu pengukuran dengan yang lain (dengan membuat Ψ yang terlokalisasi dalam “kerucut”), tetapi ada harga yang harus dibayar: Momentum pada pengukuran ini akan sangat lebar penyebarannya. Atau kamu bisa menyiapkan sistem yang bisa menghasilkan momentum (dengan membuat Ψ gelombang sinusoidal panjang), tetapi pada kasus ini pengukuran posisi kan menghasilkan nilai yang penyebarannya sangat lebar. Atau kamu sudah jenuh untuk menyiapkan sistem tersebut dan akhirnya membuat sistem dengan posisi dan momentum yang tidak terdefinisi dengan baik: persamaan 1.40 adalah sebuah



ketidaksamaan, dan tidak terdapat batas tentang seberapa besar dan , hanya dengan membuat Ψ pada tali yang cukup panjang dengan banyak perut dan lembah gelombang dan tanpa struktur periodik.



[1] Gaya magnetik adalah pengecualian, tapi jangan dulu dikawatirkan mengenai hal ini. Dengan kata lain, kita sebaiknya mengasumsikannya kali ini bahwa gerakannya adalah non-relativistk (v