Rangkuman Filsafat Aritmatika [PDF]

Citation preview

BACA HAL 1-10, TRUS 24-ALKHIR ALKINDI Nama lengkap al-Kindi adalah Abu Yusuf Ya`qub ibn Ishaq ibn Shabbah ibn Imran ibn Isma`il ibn Muhammad ibn al-Asy’ath ibn Qais al-Kindi. Tahun kelahiran dan kematian al-Kindi tidak diketahui secara jelas. Yang dapat dipastikan tentang hal ini adalah ahwa ia hidup pada masa kekhalifahan al-Amin (809-813), al-Ma’mun (813-833), alMu’tasim (833-842), al-Wathiq (842-847), dan al-Mutawakkil (847-861). Al-Kindi hidup pada masa penerjemahan besar-besaan karya-karya Yunani ke dalam bahasa Arab. Dan memang, sejak didirikannya Bayt al-Hikmah oleh al-Ma’mun, alKindi sendiri turut aktif dalam kegiatan penerjemahan ini. Di samping menerjemah, alKindi juga memperbaiki terjemahan-terjemahan sebelumnya. Karena keahlian dan keluasan pandangannya, ia diangkat sebagai ahli di istana dan menjadi guru putra Khalifah al-Mu’tasim, Ahmad. Ia adalah filosof berbangsa Arab dan dipandang sebagai filosof Muslim pertama. Memang, secara etnis, al-Kindi lahir dari keluarga berdarah Arab yang berasal dari suku Kindah, salah satu suku besar daerah Jazirah Arab Selatan. Salah satu kelebihan alKindi adalah menghadirkan filsafat Yunani kepada kaum Muslimin setelah terlebih dahulu mengislamkan pikiran-pikiran asing tersebut. Al-Kindi telah menulis hampir seluruh ilmu pengetahuan yang berkembang pada saat itu. Tetapi, di antara sekian banyak ilmu, ia sangat menghargai matematika. Hal ini disebabkan karena matematika, bagi al-Kindi, adalah mukaddimah bagi siapa saja yang ingin mempelajari filsafat. Mukaddimah ini begitu penting sehingga tidak mungkin bagi seseorang untuk mencapai keahlian dalam filsafat tanpa terlebih dulu menguasai matematika. Matematika di sini meliputi ilmu tentang bilangan, harmoni, geometri dan astronomi. Yang paling utama dari seluruh cakupan matematika di sini adalah ilmu bilangan atau aritmatika karena jika bilangan tidak ada, maka tidak akan ada sesuatu apapun. Di sini kita bisa melihat samar-samar pengaruh filsafat Pitagoras. Al-Kindi membagi daya jiwa menjadi tiga: daya bernafsu (appetitive), daya pemarah (irascible), dan daya berpikir (cognitive atau rational). Sebagaimana Plato, ia membandingkan ketiga kekuatan jiwa ini dengan mengibaratkan daya berpikir sebagai sais kereta dan dua kekuatan lainnya (pemarah dan nafsu) sebagai dua ekor kuda yang menarik kereta tersebut. Jika akal budi dapat berkembang dengan baik, maka dua daya jiwa lainnya dapat dikendalikan dengan baik pula. Orang yang hidupnya dikendalikan oleh dorongan-dorongan nafsu birahi dan amarah diibaratkan al-Kindi seperti anjing dan babi, sedang bagi mereka yang menjadikan akal budi sebagai tuannya, mereka diibaratkan sebagai raja. Menurut al-Kindi, fungsi filsafat sesungguhnya bukan untuk menggugat kebenaran wahyu atau untuk menuntut keunggulan yang lancang atau menuntut persamaan dengan wahyu. Filsafat haruslah sama sekali tidak mengajukan tuntutan sebagai jalan tertinggi menuju kebenaran dan mau merendahkan dirinya sebagai penunjang bagi wahyu.



Ia mendefinisikan filsafat sebagai pengetahuan tentang segala sesuatu sejauh jangkauan pengetahuan manusia. Karena itu, al-Kindi dengan tegas mengatakan bahwa filsafat memiliki keterbatasan dan bahwa ia tidak dapat mengatasi problem semisal mukjizat, surga, neraka, dan kehidupan akhirat. Dalam semangat ini pula, al-Kindi mempertahankan penciptaan dunia ex nihilio, kebangkitan jasmani, mukjizat, keabsahan wahyu, dan kelahiran dan kehancuran dunia oleh Tuhan.



Filsafat Aritmatika



Frege dan Husserl Karya Frege dan Husserl tentang logika matematika mungkin, dari perspektif modern, dibandingkan dalam tiga judul utama: matematika- logika ematical, logika filosofis, dan dasar-dasar matematika. Di bawah judul pertama hanya ada sedikit ruang untuk perbandingan. Frege menguasai hampir semua orang dalam sejarah logik dalam keputusan teknisnyaments dan penemuan. Husserl hampir tidak menyumbangkan pekerjaan teknis untuk pengembangan logika matematika. Di judul bawah kedua, namun, ada banyak ruang untuk perbandingan. Banyak dari is-gugatan yang diajukan oleh Frege dan Husserl yang melibatkan bahasa, makna, rujukan- ence, judgement, platonisme tentang logika, dan hal-hal lain aktif diperdebatkan dalam penelitian dalam logika filosofis. Meskipun ada beberapa tumpang tindih di antara tiga bidang, alasannya untuk perbandingan berbeda lagi dalam dasar-dasar matematika. Frege memiliki program teknis untuk dasar-dasar matematika di logikanya dan, seperti yang kita ketahui dari Grundlagen der Arithmetik , memang demikian program yang dibentuk oleh gagasan filosofis tertentu. Program ini untuk-mulated begitu tepat di Grundgesetze der Arithmetik yang mungkin terlihat gagal. Artinya, adalah mungkin untuk mendapatkan kontradiksi dari hukum dasar aritmatika seperti yang telah dirumuskan oleh Frege, dan sub- upaya berurutan untuk memperbaiki kerusakan mengarah pada perkembangan itu lebih jauh dan lebih jauh dihapus dari upaya Frege untuk mendapatkan prinsip-prinsip tersebut jumlah dari logika dengan jelas dan tegas. Sangat terlambat dalam karirnya, tapi masih beberapa tahun sebelum Gödel menetapkan teorema ketidaklengkapan Saya ingin kasih sayang kepada Bill Tait atas beberapa komentar kritis yang bermanfaat pandangan saya tentang Frege dan Husserl. bagi Principia Mathematica , Frege sama sekali meninggalkan logikaismenya



dan untuk mengembangkan beberapa karya berdasarkan gagasan 'geometris' barunya tentang hitung. Husserl jauh kurang tertarik dibandingkan Frege pada pekerjaan teknis dalam logika dan yayasan. Meskipun banyak dari idenya cocok untuk matematikaperkembangan ematical, Husserl sendiri tidak mengejar detailnya. Sebagai filsuf, dia terapkan terhadap perkembangan 'buta' atau tidak kritis pekerjaan formal. Di Logische Untersuchungen (LU) , misalnya, katanya Bahwa ahli matematika pada kenyataan adalah teknisi dan karena itu mereka melakukannya lupakan arti atau esensi dari teori mereka, dan dari kontrakonsep dan hukum yang merupakan kondisi teori mereka (Husserl LU , “Prolegomena ke Logika Murni,” § 71). Di sisi lain, dia menyebutkan itu filsuf melangkahi batas mereka ketika mereka gagal untuk mengakui bahwa hanya perkembangan matematika yang sah secara ilmiah membutuhkan teknologipekerjaan nical. Dalam LU dan tulisan lainnya Husserl berpendapat bahwa meskipun kritik filsuf atas pengetahuan dan teknis matematikawan Pekerjaan membutuhkan pembagian kerja yang mendasar, mereka tetaplah mukegiatan ilmiah yang saling melengkapi. Tidak mengherankan, kontribusi terkuat Husserl dapat ditemukan di filosofi matematika. Saya sebenarnya akan membantah itu, secara umum garis besar, pandangan postpsikologis, transendental Husserl tentang aritmatika masih menjadi pilihan langsung dalam filosofi matematika, tidak seperti Frege logikaisme. Ini juga lebih unggul dari pandangan akhir Frege tentang aritmatika di beberapa hal-hal penting. Saya berharap untuk menunjukkan, dalam prosesnya, bahwa kita masih punya sesuatu untuk membandingkan dan menganalisis gagasan Frege dan Husserl tentang aritmatika, terlebih dahulu karena gagasan Husserl masih sebagian besar tidak diketahui banyak orang dalam tradisi analitik filsafat. Kenyataan dari fakta bahwa program logikanya gagal, Frege berkontribusi banyak hal penting di atas yayasan dan mengangkat banyak yang menarik saling pandang pandangan seperti Husserl's. Ketegangan dari beberapa di antaranya belum hilang dan saya akan mengomentari mereka dengan cara berbeda poin dalam bab ini. § 1 Frege on Foundations of Arithmetic: Logicism Frege dan Husserl. Dasar-dasar aritmatika dengan sangat berbeda.



cara yang berbeda, meskipun mereka setuju pada beberapa poin umum tentang matematikaematik. Juga tidak puas dengan formalisme dalam gaya Hilbert, almeskipun karya awal Husserl di Bagian II dari Philosophie der Arithmetik adalah agak lebih dekat dengan Hilbert. Baik Frege dan kemudian Husserl pertarungan psikologi; memilih melawan dengan konvensionalisme, pragmatisme, dan naturalisme tentang matematika; dan menghibur tampak menjunjung tinggi beberapa bentuk realisme matematika. Untuk memperdalam pemahaman kitaMengingat perbedaan mereka, mari kita mulai dengan mengingat, garis besar, beberapa ciri-ciri khas pandangan Frege tentang dasar-dasar aritema. Sudah di Begriffsschrift Frege dibedakan menjadi dua macam kebenaran yang membutuhkan pembenaran: kebenaran yang harus dibenarkan didukung oleh fakta-fakta pengalaman, dan yang buktinya bisa dikalahkan murni melalui logika saja (Frege 1879 , hlm. 5–6). 1 Frege memberi tahu kami bahwa untuk mengukur produksi aritmatika menjadi salah satu dari dua kelas ini dia harus melakukan segala upaya untuk menjaga agar rantai tetap terlibat dalam bukti yang bebas dari celah. Ini membangun logika formal Begriffsschrift . Hanya dengan mengembangkana konsep 'formal' yang begitu ketat Tionghoa apakah mungkin untuk menghilangkan daya tarik intuisi dari bukti, dan memutuskan untuk memutuskan keputusan akhirnya aritmatika itu murni logis atau didukung oleh fakta pengalaman. Kepedulian Frege yang memotivasi ideal untuk bukti formal tanpa celah adalah mantanditumbuk lebih lengkap di Grundgesetze , di mana Frege mengutip axMetode iomatic sendiri sebagai cikal bakal ide ilmiah yang ketat metode dalam matematika (Frege 1893 , hlm. 2–3). Ide Frege adalah menyatakan secara eksplisit dalam bahasa formalnya semua proposisi yang menjadi digunakan tanpa bukti, hukum dasar, dan untuk memulai dengan sekecil mungkin jumlah proposisi tersebut. Frege melebihi Euclid, dalam menuntut bahwa semua metode yang akan digunakan di sistem formal ditentukan sebelumnya. Itu juga harus dilihat, sekali maknanya benar-benar, bahwa hukum dasar aritmatika mengungkapkan kebenaran logika murni, dan aturan inferensi benar-benar aturan logika dan bahwa mereka sehat. Jadi, jika langkah-langkah pembuktian dipecah menjadi langkah logis sederhana, jika kita telah memulai dari proposisi yang murni logis, dan jika kita benar-benar dapat memperoleh proposisi standar yang sudah ada



diberikan dalam aritmatika dari hukum dasar dengan hanya menggunakan aturan inferensi ditentukan, akhirnya kita akan melihat bahwa dasar-dasar aritmatika terletak pada logika sendirian, dan bahwa kita tidak perlu mengandalkan intuisi atau fakta pengalaman kapan saja. Frege juga memberi tahu kita bahwa dengan menghilangkan semua celah dalam nalaring kita akan mencapai lebih dari sekedar pembenaran empiris atau induktif untuk kebenaran aritmatika, dan melakukan itu akan menjadi kemajuan yang penting dalam matematika, selama kita gagal menghilangkan tanggung jawab, ada a kemungkinan bahwa kita akan melewatkan sesuatu yang mungkin menimbulkan keraguan atas bukti proposisi. Jadi, akhirnya kita bisa menghilangkannya kemungkinan kesalahan dalam penalaran kita, dan untuk menetapkan aritmatika pada a fondasi yang aman. Sistem formal yang Frege maksudkan untuk mendapatkan prinsip-prinsip tersebut aritmatika adalah logika orde tinggi klasik yang mencakup teori perluasan konsep (atau kelas). Dalam struktur ini Frege ingin melakukan memberikan definisi angka secara eksplisit. Interpretasi yang datang dari Sistem Grundgesetze dengan semua indikasi ekstensional. Frege tentu saja telah membuat pengertian / referensi (Frege 1892 ) dan telah memberikan penjelasan tentang identitas, tetapi dengan demikian dia juga dapat digunakan dalam Grundgesetze untuk mengesampingkan gagasan akal, dan untuk mencegah niat aspek sional makna dari menonjol. Angka harus ditentukan dalam hal perluasan konsep, tetapi konsep dalam filosofi Frege sendiri merujuk sebagai referensi kata-kata konsep. Perbedaanence konsep antara dan perluasan konsep untuk Frege tidak sesuai dengan perbedaan pengertian dan referensi. Malah, itu sama dengan perbedaan saturasi: konsep tidak jenuh dan sebagainya bukan objek, tetapi perluasan konsep jenuh dan merupakan objek. Frege tahu bahwa dengan konteks konteks yang miring akan membutuhkan logika sional, tetapi konteks miring tidak terjadi di Grundgesetze , dan Frege tidak mengembangkan logika. Argumen dari Grundlagen dan pertukarannya dengan Husserl juga menunjukkan bahwa, pada secara total, dia memihak pendekatan ekstensionalis terhadap logika.



Definisi, definisi bilangan akan menjadi definisi definisi. definisi dan karena definisi akan memperluas perluasan konsep itu akan bersifat reduktif, '' '', '' angka menjadi ekivalen tak hinggakelas lence. Tentu saja Bebas berpikir bahwa hari ini tidak melibatkan gagasan yang tidak memenuhi logis; bahwa dia hanya menarik untuk Mengakui gagasan 'logis' tentang perluasan konsep dalam definisi tion. Angka dengan demikian akan menjadi objek logis. Ini menarik, Namun, seperti yang dimiliki Pengantar volume pertama Grundgesetze Frege mengungkapkan beberapa keprihatinan bahwa hukum pengertian tentang nilai-nilai suatu fungsi (Hukum Dasar V yang bernasib buruk), yang termasuk gagasan perluasan konsep sebagai kasus khusus, mungkin tidak dipandang sebagai hukum logika. Hukum Dasar V tentu saja menjadi sumber kontradiksi dalam sistem Frege, mengingat asumsi lainnya. Di Lampiran tentang paradoks Russell di volume kedua Grundgesetze (Frege 1903 ), Frege mengatakan bahwa dia tidak pernah tinggal dari dirinya sendiri fakta bahwa Basic Hukum V tidak memiliki bukti diri yang dimiliki oleh hukum dasar lainnya. Seperti yang kita ketahui dari Grundlagen , Frege menganggapnya banyak yang tua dan pertanyaan filosofis mendasar tentang aritmatika sangat erat terkait dengan logikanya program. Perselisihan utama Grundlagen adalah yang menyelesaikan menyelesaikan, katanya, adalah apakah konsep bilangan itu dapat didefinisikan atau bukan (Frege 1884 , hlm. 5). Ia berpendapat jika ada alasan independen karena percaya bahwa prinsip dasar aritmatika adalah analitik (sebagai lawan dari sintetis), maka ini juga akan mendukung prinsipciples 'bisa dibuktikan dan nomor bisa ditentukan. Jika programnya Dapat dilakukan, kita juga akan melihat bahwa proposisi aritmatika yang benar Tions tidak memiliki beberapa konten matematika yang tidak dapat direduksi tidak sintetik apriori dan tidak bergantung pada intuisi (murni) seperti yang dimiliki Kant berpendapat, bahwa mereka tidak bersifat empiris seperti yang dipegang Pabrik, yang bervariasi itu teori bilangan sebagai agregat salah, bahwa upaya untuk mengidentifikasi angka-angka dengan tanda-tanda yang terlihat salah, dan seterusnya. Tambahan, Serangan keras Frege terhadap psikologi yang menunjukkan bahwa jumlah Entahlah, entitas mental, ketakutan dari berbagai upaya untuk memahami angka



dengan proses yang menarik psikologis seperti abstraksi yang salah, dan proposisi aritmatika yang benar tidak dapat ditafsirkan sebagai psikohukum logis. Frege menganggapnya penting untuk perkembangan sains ketetapan untuk menyatakan objektivitas, dan itik jumlah, melawan subjektivitas ide kami tentang angka. Kita harus mencatat bahwa meskipun dalam banyak tulisannya Husserl menggunakan istilah logika dalam arti yang sangat luas, bahkan sampai menggolongkan mathehukum di bawah logika dalam teori pada umumnya tentang sistem deduktif, kami tidak temukan dalam karyanya sesuatu seperti gambar yang disajikan. Husserl cenderung menganggap logika dalam tradisi Bolzano dan lainnya sebagai sesuatu seperti teori umum sains. Meskipun Husserl Berbicara tentang 'logika' dalam arti yang sangat luas ini, dia tentu saja tidak bisa menjadi seorang ahli logika Fregean. cist karena dia memberi tahu kita dalam karya-karya selanjutnya seperti Formale und transzendentale Logik (FTL) yang merupakan landasan fenomenologis-konstitusional formal alasan yang diperlukan, dan dasar filosofis dari logika harus ditemukan dalam fenomenologi transendental. Apalagi di awal menggarap sendiri Dalam Philosophie der Arithmetik (PA) dia mengemukakan konsep itu JUMLAH tidak dapat direduksi menjadi gagasan logis dalam pengertian Frege. § 2 Perselisihan Frege-Husserl atas Aritmatika Dalam Philosophie der Arithmetik yang terbit tahun 1891 , Husserl sempat mengkritik pandangan



tentang



pandangan



yang



memiliki



pandangan



Frege



dalam Grundlagen . Frege dan Husserl telah memulai korespondensi pada tahun 1891, beberapa tahun sebelum Frege Review PA yang terkenal pada tahun 1894 (Frege 1894 ). Sebuah titik sentral dalam studi mereka persetujuan, dari perspektif Husserl, pertanyaan sentral Yang Grundlagen : Adalah concept bilangan didefinisikan ATAU TIDAK? Frege berpikir bahwa itu benar dan Husserl berpikir bahwa itu tidak benar. Saya akan berdebat, Namun, bahwa ada perasaan di mana setiap filsuf melewatkan poin yang lain. Dari perspektif Frege, dilihat dari ulasannya tentang PA , locus of the ketidaksepakatan tentang intrusi psikologi ke setiap hampir aspek logika. Memang, Frege mengklaim bahwa Husserl bahkan bingung



sifat definisi karena dia gagal untuk menjaga psikologi berbeda dari logika. Namun, dalam mengingat klaim ini, kita perlu mengingat perubahan pandangan Frege sendiri tentang definisi dan masalah bagaimana definisi harus diimplementasikan dalam filosofi aritmatika terakhirnya sendiri. Klaim, saya akan mengklaim bahwa argumen Husserl ada benarnya definisi yang cukup independen dari psikologi. Saya tidak akan menceritakan elemen spesifik dari kritik Frege di sini, karena saya setuju ada banyak itu menyesatkan, tidak jelas, atau bahkan salah di PA . Di PA, Husserl kabur perbedaan antara subjektif dan objektif merugikan efeknya kadang-kadang, komentarnya tentang korespondensi satu-ke-satu pulau, dan sejumlah kesulitan penafsiran pandangannya bahwa jumlah bers adalah kumpulan unit tanpa sifat. Tapi seperti yang diingatkan oleh Husserl sendiri kami di FTL , lama setelah dia menyangkal psikologi, ada inti dari ide di PA yang tidak pernah dia tinggalkan (Husserl FTL , § 27). Di bagian tersebut “Penyelidikan Konstitusional Pertama terhadap Objektivitas Kategorial di Philosophie der Arithmetik ”dia menyatakannya sebagai berikut: Saya sudah mendapatkan arahan pasti tentang formal dan yang pertama pemahaman pengertiannya oleh Philosophie der Arithmetik , yang mengabaikan kesannya kedewasaan sebagai buku pertama, menghadirkan upaya awal untuk kembali ke spontanitas kegiatan menghitung dan menghitung, di mana koleksi ("jumlah", "set") dan mobilnomor akhir diberikan dengan cara berhubungan dari sesuatu yang ada Pada awalnya, dan dengan demikian untuk mendapatkan kejelasan hak, auKonsep, konsep teori fundamental himpunan dan teori nomor kardinal. Oleh karena itu, dalam terminologi saya selanjutnya, sebuah fenomenologisatau konstitusional; dan pada saat yang sama itu adalah sumber pertama itu berusaha membuat "objektivitas kategorial" dari tingkat pertama dan yang lebih tinggi (himpunan dan para kardinal dari tingkat ordinal yang lebih tinggi) dapat dikenakan atas dasar “kontrak stituting ”aktivitas yang disengaja. Husserl menjelaskan dalam tulisan-tulisannya kemudian bahwa fenomenologispenyelidikan konstitusional adalah epistemologis, bukan psikologis, undertaking. Dan semacam inilah inilah, saya yakin, yang mengandung



wawasan penting yang tidak ditemukan di Frege. Saya akan kembali ke ide dalam bagian ini di § 4 . Dalam PA Husserl mengemukakan bahwa konsep bilangan tidak dapat didefinisikan, Itu adalah konsep primitif, dan dia mengkritik tafsiran Frege tentang natbilangan ural sebagai kelas kesetaraan (tak terbatas). Husserl berpikir berpikir konsep sebagai entitas intensional, jadi apa yang dia maksud ketika dia mengatakan itu konsep bilangan tidak dapat didefinisikan, dalam istilah Frege, adalah yang itu tidak dapat mendefinisikan 'konten', atau arti (intensi) konsep nomor (Tieszen 1990 ). Pengertian konsep bilangan secara logis sederhana atau primitif, itu tidak dapat direduksi menjadi pengertian lain, begitu pula kami harus menyelidikinya dengan cara lain. Di PA, Husserl menaikkan, pada, versi awal paradoks analisis untuk pandangan Frege (Resnik 1980 ; Tieszen 1990 ; Dummett 1991b ). Masalahnya, sederhananya, adalah ini: logika, Bagi Frege, seharusnya terdiri dari proposisi analitik, tidak seharusnya berbagi pada intuisi, dan sebagainya. Jika kita mencoba untuk mendefinisikan arti dari ekspresi ekspresi, pengertian, maka definisi akan bisa sama atau berbeda dari definisi definiendum. Jika yaitu sama, definiens hanya terdiri dari definiendum jadi bahwa definisi tersebut tidak ada gunanya. Tetapi jika pengertian definiens berbedaDari Definiendum, Definiens Menambahkan sesuatu ke definiendum, dalam hal ini definisinya salah. Jadi, kita tidak bisa berharap untuk mendefinisikan konsep bilangan. Husserl thinking, di sisi lain, bahwa pemahaman kita tentang mantan Ketegangan konsep bilangan tidak bermasalah karena kita menerapkan konsep tanpa kesulitan. Karena Frege hanya mencirikan ekstensi konsep angka, karyanya gagal mencapai tujuan filosofis analisis konsep. Namun, berpendapat bahwa konsep nomor dapat didefinisikan, yang dapat didefinisikan secara eksplisit, definisi dari konsep tersebut diberikan. Lebih lanjut, dia berpendapat bahwa kritik Husserl benar-benar berlaku untuk semua konsep matematika, tetapi kritik kritik ini meleset sejak saat itu definisi konsep ekstensional cukup untuk tujuan matematika. Ketidaksepakatan di sini mencerminkan pembagian yang lebih umum antara Frege



dan Husserl tentang masalah yang melibatkan intensionalitas dan ekstensionalitas dalam logika dan matematika, dan sampai batas tertentu pada metode dan tujuan yang berbeda pose matematika dan filosofi. Husserl, dari awal karyanya karir, berpihak pada ahli logika intens dalam mengambil logika untuk diperhatikan dengan indera atau makna seperti itu. Pandangan Frege, di sisi lain, berhasil. Langsung tepat dalam komentar berikut (Frege 1892–95 , hlm. 122): Mereka ahli logika Umfangs] benar ketika, karena preferensi mereka untuk perluasan konsep ke intensi, mereka menyatakan bahwa mereka menyatakan referensi kata-kata, dan bukan artinya, menjadi penting untuk logika. Ahli logika inhalasi hanya tetap terlalu bahagia dengan artinya, untuk apa yang mereka sebut "Inhalt" (konten), jika tidak persis sama dengan Vorstellung, sudah pasti artinya (Sinn). Mereka jangan mempertimbangkan fakta bahwa dalam logika ini kesalahan pertanyaan tentang bagaimana pikiran muncul dari pikiran tanpa kebenaran kebenaran, bahwa, secara lebih umum, kemajuan dari makna (Sinne) ke referensi (Bedeutung) harus dibuat; bahwa hukum logis adalah hukum pertama di bidang referensi dan hanya kemudian menengah berhubungan dengan makna (Sinn). Logika bagi Frege, pertama-tama, berkaitan dengan kebenaran. Bukan itu prihatin dengan pikiran atau indera (Fregean) seperti itu, tetapi dengan pikiran sejauh itu benar. Seperti yang ditunjukkan Mohanty, Frege setuju Husserl bahwa perluasan konsep mengandaikan intensi sebuah konsep, namun ia juga menganggap konsep itu sendiri sebagai acuan a konsep-kata (Mohanty 1982 ). Konsep dan nilai nyata. ences untuk Frege. Husserl, di sisi lain, pengembangan licik, dan dia mengambil pandangan intensionalis menjadi khususnya penting untuk filosofi. Memang konsep kesengajaan, yang mana adalah inti dari filosofinya, panggilan untuk logika intensional, untuk tujuan Tionalitas tindakan mengukur, melihat, dan sebagainya, menciptakan kontinuitas miring. teks. Secara khusus, analisis keyakinan atau pengetahuan yang melibatkan angka ipso facto merupakan analisis intensitas. Tanda-tanda intensionalitas di Kegagalan Verifikasi penyelamatan substitusi Dan generalisasi eksistensial untuk review PRA melayani validitas pesan terlihat di seluruh filosofi Husserl kemudian.



Frege, di sisi lain, memberikan sedikit perhatian pada analisis keyakinan atau pengetahuan tentang angka. Dia tampak tidak mampu, setidaknya menurut ahli logika periode, untuk memahami kemungkinan analisis nonpsikologis jenis ini. Dengan demikian, seseorang merasakan bahwa ada beberapa masalah yang lebih dalam di balik FregePerselisihan Husserl dan bahwa, sampai batas tertentu, setiap filsuf melewatkan poin lainnya. Frege mengklaim bahwa dia tidak mengejar intensi konmenghentikan, sehingga Husserl merindukan signifikansinya proyek untuk matematika. Tapi Husserl tertarik, pada diketahui, pada logika makna, atau logika konteks miring yang dihasilkan oleh kepercayaan tentang angka, sehingga Frege melewatkan poin tentang betapa pentingnya pengembangan pendekatan intensif seperti itu mungkin lebih dalam pertanyaan dalam filsafat aritmatika. Karena Frege hanya mencirikan perluasan konsep bilangan, karyanya gagal mencapai tujuan dari analisis filosofis aritmatika. Mungkin akan diperdebatkan atas nama Frege bahwa kami memang memiliki definisi angka dalam berbagai teori himpunan standar, sehingga sesuatu dari Frege klaim asli kemungkinan memberikan ekstensional, reduktif definisi angka tetap ada, bahkan jika diberlakukannya bukan ke 'logika murni' dalam pengertian Frege. Saya pikir ini tidak dapat disangkal, dan kumpulan teori ini reduksi perkembangan merupakan yang sangat penting dalam yayasan matematika. Meski begitu, sesuatu dari poin Husserl bahwa rasa konsep bilangan secara logis sederhana atau primitif, yang tidak mungkin dikurangi ke arti lain, juga tetap. Antar, misalnya, faktanya bahwa ada banyak definisi yang ekstensional nonkivalen yang tak terhingga bilangan asli dalam teori himpunan. Pemandangan seperti Frege's dibebani dengan masalah yang ada banyak sekali. Adanya tidak ada yang setara definisi ekstensional dalam matematika tentu saja tidak terbatas pada elementeori bilangan mentary. Untuk mengambil contoh yang berbeda, bilangan real mungkin didefinisikan sebagai potongan Dedekind, sebagai anggota atas anggota atau bawah dari potongan tersebut, sebagai kelas kesetaraan dari urutan konvergen atau bilangan rasional, dan begitu seterusnya. Bilangan nyata yang ditetapkan sebagai potongan Dedekind, misalnya, tidak tical dengan bilangan real didefinisikan sebagai bagian bawah potongan sejak



mantan adalah pasangan terurut sedangkan yang terakhir adalah anggota dari pasangan semacam itu. Jadi, tidak ada definisi khusus dari tipe ini yang cukup untuk menangkap pengertian tersebut dari konsep bilangan real. Setiap definisi tersebut adalah 'reduktif' dan gagal untuk memasukkan definisi lain yang didukung oleh maknanya dari konsep tersebut. Jadi kita tidak bisa menduga bahwa kita tahu bilangan apa sebenarnya adalah atau tahu bahwa kami telah sampai pada esensi dari bilangan real di dasar dari salah satu definisi ini, bahkan jika beberapa definisi yang dilakukan tampak lebih 'alami' yang lain. Melihat kembali perselisihan Frege-Husserl, saya pikir kita bisa mengatakan itu hasil dari setuju Husserl adalah bahwa kita harus berusaha untuk memahami Arti atau intensi konsep bilangan dengan cara lain, dan bahwa secara filosofis penting bagi kita untuk melakukan, meskipun bermacam-macam definisi eksplisit dan reduktif dapat diberikan. Saya pikir itu selanjutnya bekerja di dasar-dasar matematika membuktikan ini. Hal Yang sama dapat dibuat tentang konsep dasar matematika lainnya. Ini istimewa bunga belakangan ini dalam kasus teori himpunan karena matematika dapat 'direduksi' menjadi teori himpunan, tetapi tidak ada yang mengerti apa yang memiliki eksplisit definisi konsep himpunan berarti. Frege tentu saja tidak diyakinkan oleh Husserl bahwa kita harus melakukan memahami aritmatika dan arti konsep aritmatika dalam sebuah difcara yang berbeda. PA terlalu dibayang-bayangi oleh kebingungan psikologis persuasif. Apa yang akhirnya meyakinkan Frege adalah paradoks Russell. § 3 Frege's Later Philosophy of Arithmetic Setelah mencoba beberapa saat untuk memperbaiki kerusakan yang dilakukan pada logikaismenya oleh Penemuan Russell tentang paradoks pada tahun 1902, Frege mengalihkan perhatiannya ke masalah lain. Ketika dia kembali ke dasar-dasar aritmatika dekat akhir hidupnya dia mencapai kenyataan bahwa dia telah mulai dari dalamasumsi filosofis yang benar dalam karya sebelumnya tentang aritmatika. Frege telah diadakan di Grundlagen (§ 89) bahwa geometri tradisional sintetis a priori dan dia sekarang mulai mengasimilasi aritmatika dengan geome-



mencoba. Dalam beberapa makalah yang tidak diterbitkan pada tahun 1924 dan 1925 Frege sekarang melihat tiga sumber pengetahuan: persepsi indera, geometri / sumber pengetahuan temporal, dan sumber pengetahuan logis (Frege 1924–25a dan 1924–25c ). Di kertas-kertas tersebut dia terus memegang bahwa persepsi indera tidak bisa menjadi sumber pengetahuan dalam aritmatika atau geometri, mengutip fakta bahwa "persepsi indra tidak dapat menghasilkan sesuatu yang tak terbatas" (Frege 1924–25c , hlm. 274). Ide tentang ketidakterbatasan diturunkan dari sumber pengetahuan geometris / temporal. Frege berpendapat demikian tidak masuk bahwa rangkaian bilangan asli mungkin akan berakhir, tetapi tidak bahwa mungkin hanya ada banyak objek fisik, dan juga mode kognisi yang terlibat dalam sumber pengetahuan geometris / temporal juga harus apriori (Frege 1924–25b , hlm. 277). Dia sekarang juga membantahnya meskipun logika harus dilibatkan dalam pengetahuan setiap kali ada digambar, logika logika tidak bisa dengan sendirinya menghasilkan objek apa pun. Dia bahkan memberikan analisis singkat tentang bagaimana ilusi tentang objek dapat muncul dalam logika, adil ketika ilusi tentang objek muncul dalam persepsi indera (Frege 1924–25c ). Di logika kami sangat terima kasih pada penggunaan bahasa dan ada kecenderungan di dalamnya bahasa, bahkan dalam bahasa yang sangat ilmiah, untuk membentuk nama yang tepat yang tidak ada objek yang sesuai. Frege mengatakan bahwa dia sendiri termasuk dalam hal ini ilusi dalam mencoba menafsirkan angka sebagai himpunan. Tetapi jika mode apriori kognisi harus terlibat dalam kesadaran akan angka, dan logika dapat bukan sumber ilmu hitung kita, lalu hitung kita pengetahuan harus memiliki sumber geometris. Ini menarik untuk diperhatikan bahwa Frege tidak mengejar sumber pengetahuan temporal dalam nama untuk aritmatika, mungkin karena geometri sudah ada sebagai matematika memang disiplin tetapi tidak ada yang serupa dengan itu untuk konsep waktu. Karena itu, dia mengatakan bahwa “saya soal masalah ini, semakin banyak yakin saya telah menjadi bahwa aritmatika dan geometri telah berkembang atas dasar yang sama - sebenarnya geometris - sehingga matematika ada totalnya benar-benar geometri ”(Frege 1924–25c , hal 277). Dalam ucapan ini kami



lihat bahwa upah Frege untuk mengurangi aritmatika menjadi sesuatu yang lain tidak tetapi hanya menemukan target yang berbeda. Frege terus menjelaskan dalam makalah-makalah terakhir ini bahwa dia adalah seorangtipsikologi dan merupakan antiformalis (dalam pengertian Hilbert) tentang matematikaematik. Dia masih menyatakan bahwa pernyataan bilangan mengandung pernyataan tentang sebuah konsep. Dia mengatakan itu sementara dia dalam Grundgesetze itu aritmatika tidak perlu menarik pengalaman dalam pembuktian, dia akan melakukannya sekarang berpendapat bahwa itu tidak perlu menarik persepsi inderawi dalam buktinya. Dia sekarang berkata, “Saya harus meninggalkan pandangan bahwa aritmatika tidak perlu menarik intuisi baik dalam buktinya, memahami dengan intuisi gesumber pengetahuan ometrical, yaitu sumber darimana mengalirnya sumbuiom geometri ”(Frege 1924–25a , hal. 278). Perhatikan bahwa karena Frege menolak persepsi indera tetapi sekarang menerima peran intuisi sebagai sumber pengetahuan dalam aritmatika, dia harus berkomitmen pada pandangan bahwa beberapa bentuk intuisi 'murni' atau tidak masuk akal diperlukan. Posisi baru Frege menimbulkan sejumlah pertanyaan yang tidak pernah dia jawab. Pertama, jenis akun apa yang dapat diberikan untuk bentuk tidak masuk akal ini intuisi? Sekarang Frege berpikir aritmatika (melalui geometri) perlu Nonsensory intuisi yang menarik dalam buktinya, apakah itu berarti dia harus meninggalkan idenya untuk memberikan bukti formal tanpa celah? Atau apakah dia salah bicara masih memungkinkan untuk memberikan bukti-bukti tersebut, kecuali bahwa sekarang akan melibatkan sebuah elemen yang tidak murni 'logis'? Apakah Frege percaya bahwa intuisi ini entah bagaimana kesetiaan dapat diformalkan atau dapat dilakukan aksioma atau, arus Gödel kemudian datang untuk percaya, bahwa intuisi aritmatika kita entah bagaimana tidak ada habisnya dan tidak dapat memenuhi dapat diformalkan? Dalam kasus terakhir, Frege memang akan membuat file penyimpangan radikal dari cita-cita ilmiah sebelumnya untuk menemukan formal tanpa celah bukti dan itu akan muncul lagi untuk mengikuti premisnya, misalnya, bahwa kita tidak bisa lebih dari pembenaran empiris dalam matematika bukti. Karena ini bertentangan dengan gagasan sumber geometris pengetahuan menghasilkan pengetahuan apriori, kita mungkin berharap Frege menolak



Gagasan bahwa intuisi geometris kita tidak dapat mewujudkan diformalkan. Bukan itu jelas, namun, bahwa ini akan menjadi pandangan Frege. Masih banyak lagi lainnya pertanyaan tentang bagaimana konsep bilangan sekarang harus diterapkan sehubungan dengan berbagai masalah filosofis yang telah didiskusikan dengan Frege Yang Grundlagen . Misalnya, aritmatika sekarang sintetis, bukan analitik, tetapi apakah ini berarti bahwa konsep bilangan tidak dapat didefinisikan? Frege agaknya sekarang membutuhkan penjelasan tentang definisi yang berbeda dari salah satu akun sebelumnya. Dan jika intuisi diperlukan, bagaimana kita melakukannya hindari psikologi? Bagaimana Frege menjelaskan peran intuisi dalam diri kita pengetahuan tentang jumlah besar, dan jumlah tak terhingga? Apakah kita lagi Membutuhkan akun aritmatika atau geometri yang membutuhkan gagasan abstraksi dari pengalaman indera? Dan seterusnya. Banyak dari pertanyaan ini dibahas dalam filosofi Husserl, dan fakta bahwa mereka, saya akan melakukannya berdebat nanti, mewakili kemajuan atas pemikiran Frege tentang subjek. Ketika kita mempertimbangkan apa yang Frege buang dan pertahankan dari logikaismenya Kita melihat bahwa dalam beberapa hal dia telah mencapai yang lebih dekat menurut pandangan Kant bahwa sumber pengetahuan terletak pada aritmatika bentuk ori dari intuisi. Tentu saja ada beberapa perbedaan penting: Frege salah satu geometri dari sumber pengetahuan temporal saja untuk menyisihkan sumber temporal, sedangkan untuk Kant sumber temporal berkaitan dengan aritmatika, yang berbeda dari geometri. Mungkin juga ada perselisihan antara Frege dan Kant tentang pernyataan pernyataan itu nomor pernyataan tentang sebuah konsep, dan tentang apakah konsep bilangan dapat didefinisikan dan pernyataan bilangan dapat dibuktikan. Juga tidak ada jejak realisme tentang objek matematika di philosophy. Seperti yang akan kita lihat, di posisi postlogicist Frege di atas yayasan aritmatika juga lebih dekat dengan pandangan Husserl dalam beberapa hal, meskipun di sini juga akan ada beberapa perbedaan penting. § 4 Husserl dan Filsafat Aritmatika: Apa Asal Usulnya Pengetahuan Kita tentang Objek Ideal? Fenomenologi transendental Husserl menyarankan bahwa kita harus minta Memahami aritmatika dan arti konsep aritmatika dengan memulaibelajar dengan pertanyaan tentang bagaimana pengetahuan aritmatika itu mungkin. ParKhusus, Husserl menyarankan bahwa akun genetik dari kondisi untuk



kemungkinan pengetahuan aritmatika sangat dibutuhkan. Terlalu banyak detail dari akun semacam itu untuk pengakuan di sini, dan saya akan melakukannya memberikan gambaran tentang beberapa poin yang saya percaya erat dengan apa yang telah terjadi di dasar matematika sejak zaman Husserl. Di PA Husserl sudah mengemukakan hal itu sejak konsep bilangan adalah konsep primitif yang bisa kami lakukan menunjukkan konkretnya fenomena yang menyatakan konsep 'diabstraksi' dan dideskripsikan dengan jelas proses abstraksi yang digunakan. Analisis Husserl di PA merupakan awal dan upaya yang agak primitif untuk memberikan apa yang kemudian disebutnya sebagai a analisis 'genetik' dari konsep tersebut. Husserl banyak bicara tentang genetik analisis



dalam



berbagai



tulisan



selanjutnya



(misalnya,



Husserl 1929 , 1936 , 1939 ). Satu dari Esainya yang paling terkenal kemudian berjudul "The Origin of Geometry," dan subtitel dari Erfahrung und Urteil adalah "Investigasi dalam Silsilah Logika". Apa yang ditunjukkan Husserl dalam karya-karya selanjutnya ini adalah bahwa akun genetik kondisi untuk kemungkinan pengetahuan aritmatika harus menjelaskan bagaimana cara melihat tentang objek 'ideal', yaitu objek yang tidak terletak di ruang-waktu, tetapi yang tidak berubah dan akausal. Dalam analisisnya tentang sumber pengetahuan tentang bilangan awal sekitar tahun 1900 Husserl setuju dengan Frege bahwa objek tindakan yang ada diarahkan ke angka-angka sukses dari persepsi indra juga Konstruktivisme, Niat yang Dapat Dipenuhi, dan Asal-usul objek mental. Tapi mereka juga bukan 'objek logis' dalam pengertian Frege. Namun, mereka adalah objek 'ideal' atau abstrak, meskipun objek mendasari, tindakan pendiri di mana mereka berasal dapat gagasan persepsi indera. Husserl memiliki analisis yang lebih halus dari Frege of apa objek abstrak itu, dan bagaimana kita bisa menyadarinya. Dalam Pikiran ”(Frege 1918 ) Frege berjuang untuk memahami bagaimana kami bisa tunduk pada jenis tertentu yang abstrak, abadi, tidak berubah objek - pemikiran - dan komentarnya meninggalkan masalah itu terselubung dalam mystery. Husserl, di sisi lain, memberikan fenomenologis (dan juga a transendental) solusi untuk masalah ini: objek abstrak, dan angka



khususnya, harus diimplementasikan sebagai invarian dalam pengalaman matematika kita. ilmu pengetahuan, atau dalam fenomena matematika. Bahkan jika kami belum mengklarifikasi Arti konsep bilangan secara lengkap, kita masih bisa menyatakan bahwa jumlah bers adalah identitas melalui berbagai jenis tindakan dan proses dilakukan pada waktu dan tempat yang berbeda dan oleh ahli matematika yang berbeda, Dan ini sejalan dengan fakta bahwa objek fisik adalah identitas dalam diri kita mengalami meskipun kita tidak melihat semuanya tentang mereka. Sekarang beberapa fenomena tidak mempertahankan ketidakteraturan pada waktu, tempat, dan dan orang. Dalam kasus ilusi logis atau sensorik, misalnya, apa kami menganggap hadir pada satu titik dalam pengalaman kami tidak tetap pengalaman selanjutnya. Namun, bagian dari pengalaman aritmatika kami adalah sama sekali tidak seperti ini, dan faktanya menjadi cukup stabil dari waktu ke waktu, tempat, dan orang, sama seperti bagian lain dari pengalaman kami yang telah stabil. Begitu pun jika kita belum membawa makna dari konsep bilangan untuk kejelasan penuh, kita masih bisa mengatakan bahwa angka adalah 'objek' dalam arti itu mereka adalah identitas melalui multiplisitas tindakan kognitif kita sendiri dan proses. Kalau belum begitu, ilmu matematika seperti yang kita kenal itu tidak mungkin. Pengertian 'keabstrakan' angka berasal dari beberapa fakta. Angka tidak bisa menjadi objek (identitas) karena objek sensasi terjadi dan berubah dalam ruang dan waktu. Mereka bisa tidak bersifat mental karena yang terjadi adalah mental dan berubah waktu. Seseorang dapat mengembangkan klaim ini dengan sebaik-baiknya dengan menggunakan tenaga Argumen Fregean atau Husserlian. Angka juga merupakan identitas yang 'transscend 'dalam arti bahwa ada banyak hal tanpa batas kita tidak tahu tentang mereka pada waktu tertentu, dalam analogi dengan kita pengetahuan tentang persepsi, tetapi pada saat yang sama kita dapat berkembang pengetahuan kita tentang mereka dengan memecahkan masalah terbuka, konsep metode baruods, dll. Mereka melampaui kesadaran dengan cara yang sama seperti fisikbenda ical lakukan. Dan, sama saja, kita tidak menginginkan mereka menjadi apapun



Suka; kita juga tidak akan bisa mendapatkan apa pun yang benar tentang mereka. Mereka adalah mind indetergantung. Pada sisi objek analisisnya, Husserl dapat mengklaim menjadi semacam realis tentang angka. Angka tulisan ide kita sendiri. Pada saat yang sama ia juga merupakan tipe idealis di sisi subyektif analisisnya karena dia memiliki akun konstitusional kesadaran kita dan pengetahuan tentang angka dan perspektif kritis tentang metafisika klasik realisme. Mari kita sekarang fokus pada apa akun kesadaran konstitusional dan pengetahuan tentang angka sepertinya. Bagaimana pengetahuan tentang cita-cita tersebut benda mungkin? Untuk memahami bagaimana kesadaran dan pengetahuan segala jenis objek itu mungkin, kita harus menyadari, Pendapat berpendapat, bahwa itu beragam bentuk kesadaran, seperti melihat dan melihat, tidak melihat. Jadi angka, sebagai objek ideal, harus diimplementasikan sebagai objek tindakan itu disengaja. Tindakan yang diarahkan ke objek dengan cara isinya atau 'noemata'. Kami dapat menilai konten yang terkait dengan tindakan sebagai makna atau indera di mana kita menilai objek. Jadi dalam bahasa pekerjaan baru ini tentang kognisi dan makna, Husserl ingin memberikan teori isi (khusus untuk aritmatika) di mana asal mula konten aritmatika lebih primitif, perseptual tindakan dan konten 'pendiri', di mana idenya adalah untuk menentukan apriori struktur dan proses kognitif yang memungkinkan konten aritmatika. Dikatakan



Jadi,



such



as



inviting



participation,



tindakan abstraksi Yang



'didirikan' Dari Dan refleksi atas dasar, tindakan pendiri dan isinya adalah apriori kondisi untuk kemungkinan konten aritmatika, dan '' untuk kesadaran akan angka. Untuk atau memahami konsep memperjelas pengertian jumlah, oleh karena itu, tidak (atau tidak hanya) untuk menemukan eksplisit, reduktif definisi bilangan dalam beberapa teori matematika lainnya. Ini lebih tepat menyediakan, antara lain, akun genetik dari kondisi apriori untuk kemungkinan pengetahuan aritmatika. Husserl berpendapat bahwa konsep bilangan memiliki asal-usulnya dalam tindakan menghitung, menghitung, dan membandingkan (yaitu, menempatkan objek ke dalam file



korespondensi satu-ke-satu). Perhatikan bahwa ini adalah tindakan yang pantas ke nomor dan bukan, prima facie, ke geometri. Sejauh yang kami sadari angka-angka dalam tindakan ini tindakan harus melibatkan semacam abstraksi dari dan refleksi pada pengalaman persepsi kita yang paling primitif dengan sehari-hari benda. Mereka adalah tindakan 'didirikan' dalam arti bahwa mereka mengandaikan adanya tindakan persepsi yang lebih lugas. Jenis yang terakhir tindakan bisa ada jika tidak ada aritmatika, tetapi asal-usul aritmatika mengandaikan tindakan langsung seperti itu (lihat Tieszen 1989 ). Inilah apa Husserl berbicara ketika, dalam bagian yang dikutip sebelumnya, dia berbicara Konstruktivisme, Niat yang Dapat Dipenuhi, dan Asal-usul dari "upaya untuk kembali ke aktivitas spontan mengumpulkan dan menghitung, di mana koleksi ("jumlah", "set") dan bilangan pokok diberikan dengan cara dari sesuatu yang sedang dihasilkan awali, dan dengan demikian untuk mendapatkan kejelasan menghormati yang tepat, otentik, pengertian konsep dasar teori himpunan dan teori nomor kardinal, "dan ketika dia menambahkan bahwa dia berusaha membuat" 'kategorial objektivitas dari tingkat pertama dan tingkat yang lebih tinggi (set dan kardinal dari tingkat ordinal yang lebih tinggi) dapat mendukung dasar 'Pemesanan' aktivitas yang disengaja. " Bahkan, kondisi untuk kemungkinan kemungkinan semua kita lebih tinggi, teoritis, atau mode kognisi ilmiah adalah bahwa ada hierarki tindakan, konten, dan objek yang diinginkan. Artinya di berbagai tingkatan dalam hierarki kami memiliki tindakan yang diarahkan ke objek melalui isinya. Dalam pertumbuhan pengetahuan dari waktu ke waktu, konten ini dapat diperbaiki melalui pengalaman lebih lanjut atau mungkin tidak. Konstitusi konten dalam tindakan didirikan dan didirikan adalah fungsi dari interaksi dari waktu ke waktu antara konten tindakan yang ada dan pengalaman yang diberikan oleh Intuisi lebih lanjut, dan ini akan diatur sampai batas tertentu oleh apriori aturan atau struktur kognisi. Bukan hanya sembarangan. Proses oleh lapisan konten mana yang dibangun, disempurnakan, dan diperluas dalam perubahan untuk intuisi atau pengalaman oleh Husserl sebagai 'sintetik'. Itu Oleh karena itu, analisis asal usul aritmatika tidak sama dengan analisis empiris penyelidikan sejarah baik individu atau dimensi sosial, tetapi ini juga bukan hanya masalah inferensi analitik. Husserl akan membantah



catatan historis tentang pengetahuan aritmatika, tetapi juga terhadap apa pun jenis rasionalisme ahistoris tentang pengetahuan aritmatika. Dalam karya awalnya, Frege tentu saja selalu setuju dengan nomor akun Ber itu diperlukan proses abstraksi, dan dalam tinjauannya PA ia ambil Husserl akan melakukan ini juga. Namun, jika kita berhati-hati, selalu untuk membedakan Guish tindakan mental dan proses dari objek menuju tindakan itu diarahkan, maka kita dapat menghindari tanpa biaya. Kita bisa membedakan angka sebagai objek abstrak dalam dirinya sendiri dari tindakan dan proses kognitif yang mendukung untuk melihat angka, dan membantah bahwa kami tidak membuat angka-angka itu sendiri dengan abstraksi, tetapi hanya pengetahuan kita atau kesadaran akan angka. Bagaimana lagi pengetahuan aritmatika , sebagai opdiajukan ke bentuk persepsi persepsi yang lebih primitif ,kah? Saya t benar bahwa Husserl tidak memberi kita penjelasan rinci tentang abstraksi, tetapi Dia mencoba untuk mengklaim bahwa tindakan abstraksi haruslah terlibat dalam pengetahuan aritmatika. Saya pikir hal ini dengan sendirinya akan memungkinkan kita mengesampingkan persetujuan awal Frege tentang penilaian dan Objektif. Dan Frege mungkin sebenarnya membutuhkan pandangan epistemologis yang serupa abstraksi untuk mendukung akunnya nanti. Saya juga menyarankan, hadapi pandangan seperti yang hadapi Dummett (Dummett 1991c ), menyatakan bahwa Husserl tentang angka sebagai agregat unit tanpa bentuk di PA harus diterapkan dalam konteks upaya untuk memberikan analisis genetik dari konsep bilangan. Artinya, dalam Berbicara dari angka-angka sebagai agregat dari unit-unit tak berbentuk yang menggambarkan Husserl bahkan mungkin tahap yang cukup awal, dan yang lebih dekat dengan persepsi indera, dalam asal-usul kesadaran kita akan angka. Proyek umum di sini mengandung perbandingan dengan deskripsi Quine tentang asal-usul teori himpunan di The Roots of Reference . Kita tidak perlu berasumsi seperti itu deskripsi Husserl merupakan tahap terakhir atau tertinggi dalam kesadaran kita akan angka, terutama mengingat klarifikasi dan pengembangan yang telah dilakukan tempatkan dalam teori bilangan, mereologi, dan teori himpunan sejak zaman Husserl dan Frege. Saya setuju, namun, bahwa ada kesulitan tentang



tepatnya bagaimana angka harus diimplementasikan di PA , termasuk yang disebabkan ketidakjelasan seputar hubungan antara 'agregat' Husserlian dan 'konsep' Fregean. § 5 Peran Intuisi dalam Pengetahuan Aritmatika Dari sketsa singkat ini kita sudah mendapatkan gambaran yang sangat berbeda dari dasar aritmatika dari yang disajikan dalam logika Frege. Untuk mengisi gambar dalam perbandingannya dengan Frege, kita perlu mengingat peran tersebut bahwa intuisi harus bermain dalam konsepsi Husserl kemudian tentang arithpengetahuan metis. Intuisi implementasinya dalam istilah 'pemenuhan' isi tindakan kosong. Isi tindakan kita terpenuhi padahal tidak hanya diarahkan ke objek dalam pemikiran kita tetapi sebenarnya pengalaman objek dalam urutan tindakan dalam waktu, karena pengalamanlah yang memberi kita bukti benda. Beberapa konten tindakan kami dapat dipenuhi atau situs bekerja dalam intuisi dan beberapa tidak bisa. Kami mungkin mengatakan bahwa konten tindakan tanpa intuisi adalah kosong, sedangkan intuisi tanpa isi tindakan adalah buta. Perbedaan Husserl antara isi-tindakan yang kosong dan terpenuhi (atau dalamtentions) terkait erat dengan perbedaan Frege antara pikiran (contenda) dan produksi. Sejak Begriffsschrift Frege menggambar a antara perbedaan goresan 'konten' dan 'produksi' dalam nota formalnyation. Sebuah proposisi yang ditetapkan dengan guratan isi (seperti dalam —A) seharusnya untuk tidak memiliki kekuatan asertorik dari proposisi yang sama dengan yang ditentukan stroke ment (⊣ A). Menggambar paralel dengan Husserl, kata David Bell bahwa pergeseran dari konten ke langkah pengukuran juga menandai perbedaan Konstruktivisme, Niat yang Dapat Dipenuhi, dan Asal-usul jenis materi pelajaran (Bell 1990 ). Stroke konten digunakan hanya untuk Apa yang kemudian disebut Frege sebagai menunjukkan pemikiran, tanpa kekuatan asertorik apa pun, sejajar dengan gagasan Husserl tentang konten atau pengertian dari suatu tindakan. Per pergeseran dari ide hingga konten dapat dielakkan berdasarkan gagasan Frege itu dalam konteks kalimat kalimat tidak mengungkapkan atau memiliki gaya assertoric, dan tidak lagi mengacu pada objek atau properti apa pun.



erty di dunia alami; mengacu pada suatu pengertian. Referensinya sekarang perasaan yang diekspresikan sebelum itu tertanam secara intens konteks. Sedikit yang dikatakan Frege tentang konsep pengetahuan adalah penjelasan dikelompokkan melalui penelitian. Terlambat seperti tahun 1924 (Frege 1924–25c ) pandangan tersebut secara singkat: Ketika seseorang melihat sesuatu, itu adalah pikirannya jadilah benar. Untuk itu dia harus menangkap pikirannya. Namun saya tidak menghitung cengkeraman itu dari pikiran sebagai pengetahuan, tetapi kebenaran kebenarannya layak. Apa yang saya anggap sebagai sumber pengetahuan adalah apa yang membenarkan pengakuan itu kebenaran, penghakiman. Tentu saja kisah Frege tentang pemahaman pikiran, dan peran seperti itu menggenggam seharusnya bermain dalam referensi atau pengetahuan, berbeda dari pandangan Husserl (lihat, misalnya, Dummett 1991d ). Menurut Husserl, tidak demikian perlu bahwa pikiran itu sendiri menjadi objek tindakan kesadaran agar kita dapat mengungkapkan pada persepsi persepsi atau objek seperti angka, meskipun mungkin untuk merefleksikan pemikiran tersebut. Itu jalur ke suatu objek tidak memerlukan jalan memutar melalui objek yang berbeda kesadaran. Sekarang masalah kritis bagi Frege adalah ini: bagaimana, dan dalam kondisi apa Tions, apakah mungkin untuk melanjutkan, secara epistemis, dari pemikiran (atau konten) untuk sampel dalam kasus di mana pemikiran tentang angka, atau lainnya benda matematika? Frege mengatakan bahwa sumber pengetahuan adalah apa yang pengakuan kebenaran kebenaran. Namun, atas dasar apa, pengakuan apakah kebenaran tentang angka dapat dibenarkan? Pandangan Husserl tentang pendirian dan menetapkan tindakan dan konten, dan tentang peran intuisi dalam pengetahuan edge, menjawab untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan dengan tepat. Husserl mendefinisikan konsep intuisi dalam hal pemenuhan isi tindakan (kosong) dan berpendapat bahwa kondisi kemungkinan pengetahuan adalah bahwa ada dipelajaran objek di berbagai tingkat dalam hierarki tindakan, konten, dan



benda yang ada. Dengan demikian Husserl berpendapat bahwa ada intuisi abstrak atau objek 'ideal' seperti bilangan asli, meskipun intuisi ini akan melakukannya Tentu saja menjadi bentuk intuisi yang didirikan (Tieszen 1989 ). Itu dibangun dari bentuk persepsi lugas kita dari intuisi dalam abstraksi tindakan dan refleksi yang melibatkan menghitung, mengumpulkan, dan membandingkan. Oleh karena itu, gagasan yang sebelumnya, Husserl mulai memberi kita analisis sumber pengetahuan tentang angka, dan apa yang membenarkan Pengakuan suatu kebenaran tentang angka adalah bentuk dasar tertentu Intuisi, suatu bentuk di mana niat yang diarahkan ke angka terpenuhi atau Dapat dipenuhi. Ini jelas menunjukkan pandangan aritmatika yang lebih mirip Pandangan Frege kemudian: yaitu, aritmatika adalah sintetik apriori dan bahwa kita seharusnya tidak berharap untuk mencapai prinsip-prinsip aritmatika dari logika. Mengatakan bahwa angka tidak cocok menurut pandangan Husserl berarti memang demikian mungkin untuk melakukan urutan tindakan dalam waktu di mana niat untuk itu nomor tertentu akan terpenuhi, yaitu di mana nomor tersebut sendiri akan disajikan. Saya telah membantah di tempat lain bahwa ini sesuai untuk dan pada kenyataannya memperdalam pemahaman kita tentang kebutuhan konstruktivismenyebutkan bahwa kita harus dapat menemukan nomor tersebut (Tieszen 1989 ). Ini adalah sebuah bentuk dasar intuisi yang tidak masuk akal sejauh kualitas sensorik tidak memainkan peran penting dalam membuat penentuan nomor dalam menghitung menghitunging, mengumpulkan, dan membandingkan. Jadi kita bisa menganggap '—A' sebagai penunjukan proposisi, konten, atau niat A, dan '⊣ A' sebagai makna bahwa kita memiliki bukti, fakta, atau pemenuhan tentang A, kecuali yang sekarang bukti, hasil, atau pemenuhan tidak berdasarkan sumber logis murni pengetahuan, bukan langsung pada pengalaman inderawi, melainkan atas dasar bentuk intuisi dari jenis yang terwujud dalam konstruksi matematika (lihat Tieszen 1989 dan Bab 13 ). Dalam tulisan-tulisannya yang terakhir Frege juga berpikir bahwa tidak masuk akal atau didirikan bentuk intuisi adalah sumber pengetahuan matematika, tapi dia punya tidak ada penjelasan tentang bentuk intuisi seperti itu. Husserl, Agak, memiliki



teori yang rumit untuk menjelaskan bagaimana mungkin memiliki pengetahuan tindakan diarahkan ke bilangan asli, di mana bilangan tetap diimplementasikan sebagai objek 'abstrak'. Tidak seperti Frege yang belakangan, namun, dia melakukannya jangan mencoba mereduksi ini menjadi intuisi geometris. Meski mungkin ada hubungan antara aritmatika dan intuisi geometris, Husserl adalah tidak reduksionis sejak awal. Ini harus menjadi analisis pengertian konsep angka, dan tindakan, isi, dan intuisi dari jenis yang sesuai harus dilibatkan. § 6 Pandangan Baru tentang Dasar-dasar Aritmatika Sekarang mari kita isi sedikit lebih banyak detail tentang dasar-dasar arithMetic pada pandangan Husserl kemudian. Husserl mengatakan bahwa apa yang membenarkan memegang proposisi tentang angka menjadi benar-benar adalah bukti yang diberikan oleh (didirikan) intuisi. Seperti yang kami katakan, apa yang diberikan dalam intuisi mungkin dirusak atau disempurnakan dalam intuisi berikutnya. Bukti yang diberikan oleh dibiaya kuliah memiliki derajat dan jenis yang berbeda: memadai, apodiktik, apriori, jelas, dan berbeda. Husserl akan setuju dengan Frege bahwa aritmatika kami pengetahuan adalah apriori, dan itu setidaknya inti dari pernyataan aritmatika harus dilaksanakan sebagai kebenaran yang diperlukan (atau apodiktik). Posisi Husserl menyiratkan bahwa bukti kami untuk jumlah besar dan pernyataan umum tentang angka tidak memadai, dalam arti bahwa kita tidak dapat benar-benar proses perhitungan, validasi, atau perbandingan dalam kasus ini. Posisi Husserl juga menyiratkan bahwa kita belum menjelaskan dan keunikan pemahaman kita tentang konsep number. Faktanya, kejelasan dan perbedaan sempurna, dan kecukupan sempurna, adalah benar-benar cita-cita yang hanya bisa kita dekati dalam pengetahuan kita. Jadi meskipun aritmatika memiliki 'dasar' dalam intuisi bagi Husserl, orang dapat membantahnya ini tidak mengharuskan kita untuk menjadi absolut atau 'fundamentalis' aritmatika dalam arti yang tidak menyenangkan. Kami telah mengatakan dengan Frege bahwa sumber pengetahuan adalah apa kebenaran pengakuan atas kebenaran, dan kami menambahkan bahwa bentuk dasar intuisi ition adalah kondisi yang diperlukan untuk pengetahuan aritmatika. Kami punya banyak niat aritmatika tetapi tidak semua ini terpenuhi. Ide Husserl tentang “Pengakuan atas kebenaran” bukti kebenaran , atau apa yang dia sebut “kebenaran



dalam cakrawala, ”sedangkan untuk Frege hanya ada yang absolut atau konsepsi ideal tentang kebenaran, seolah-olah, dicukur dari hubungan apa pun dengan a tunduk pada subjek. Diperkirakan, misalnya, bahwa A v ¬A (yaitu, ⊣ A v ¬A). Bagaimana pemikiran kita pemikiran itu benar dalam kasus ini? Kita tidak menemukan jawaban yang memuaskan untuk pertanyaan ini dalam karya Frege. Dalam kontra berhubungan dengan gagasannya tentang "kebenaran kebenaran" di FTL , namun, poin Husserl Ketahuilah bahwa keputusan ini melibatkan idealisasi yang agak substansial (Husserl FTL , § 77): Hukum kelompok tengah yang dikecualikan, dalam aspek subyektifnya, ... tidak hanya menetapkan itu jika keputusan dapat dibawa ke kecukupan ... maka itu dapat dibawa ke salah satunya kecukupan positif ATAU negatif, TAPI ... Yang Harus Diakui Oleh SETIAP PENILAIAN dibawa ke kecukupan - "perlu" diimplementasikan dengan idealitas untuk yang memang tidak pernah dicari bukti yang bertanggung jawab. Pernyataan ini memiliki implikasi yang jelas untuk cara kita harus memahami tahan pengetahuan intuitif kita tentang 'kebutuhan' dari pernyataan tertentu logika, dan mereka memiliki kemiripan yang mencolok dengan beberapa pandangan konstruktivis logika. Dalam FTL dan karya lainnya Husserl mengembangkan 'kritik', dalam Kantian Arti, idealisasi seperti itu dalam matematika dan logika. Ini, korelSecara efektif, kritik terhadap formalisasi, dalam arti tidak hanya Hilbert tetapi juga dari Frege. Sebab Husserl mengemukakan dalam berbagai tulisan bahwa sistem formal mengidealkan dan mengabstraksi dari pengalaman kami, sehingga beberapa data pengalaman akan selalu tidak diperhitungkan dalam sistem formal. Jadi, kami tidak menemukan Husserl, dalam buku fenomenologis-konstitusionalnya. sisa-sisa , manajemen pada poin Frege tentang menghilangkan semua informal atau celah intuitif dalam penalaran matematis kita untuk memiliki dasar tion untuk aritmatika. Kami juga tidak menemukan dia bahwa yayasan seperti itu Dapat memiliki hanya atas dasar formalisasi. Untuk Husserl, founDasi aritmatika tidak dapat didasarkan pada apa pun seperti Frege sebelumnya pandangan, tetapi pada kenyataannya harus membayar pada bukti yang diberikan oleh didirikan oleh di-



uang



sekolah. Dalam



pandangan



ini



tidak



mengherankan



jika



Frege



tidak



dapatmenemukan Hukum Dasar V memiliki bukti diri yang sama dengan hukum dasar lainnya hukum, karena melibatkan suatu tingkat abstraksi atau idealisasi dari pengalamanence yang tidak memungkinkan untuk diimplementasikan sebagai pengungkapan pengetahuan kebenaran yang diperlukan berdasarkan intuisi yang didirikan. Itu memungkinkan kita untuk membentuk yang benar nama yang tidak sesuai dengan objek. Husserl, di sisi lain, memiliki di Setidaknya sebuah teori bukti matematika, teori yang didasarkan pada membangun / membangun struktur bentuk kognisi kami yang lebih teoritis. Daya tarik Husserl untuk struktur seperti itu sama dengan mengkondisikan rasionalisme dengan empirisme dengan cara yang tidak kita temukan dalam logikaisme Frege, dan memberikan pandangannya tentang intuisi objek matematika tertentu a kemiringan konstruktivis. Malah, pernyataan ahli logika Frege mewujudkan hanya jenis rasionalisme tak terbatas yang diharapkan untuk dikeluarkan antinomi. Ide awal Frege tentang bukti formal tanpa celah di mana semua aturan inferensi ditentukan sebelumnya, dan di mana intuisi memenuhi dapat dihilangkan, dapat dicapai, paling banter, dalam logika predikat, atau hanya dalam formalitas sistem yang kami memiliki teorema kelengkapan dan kelengkapan. Dari Tentu saja, konsepsi logika Frege tidak memasukkan sesuatu seperti gagasan itu dari bukti kelengkapan metamathematical. Tapi, kita tahu dari teorema ketidaklengkapan Gödel yang tidak dapat dilakukan tentukan secara tepat semua hukum dasar dan aturan inferensi aritmatika dalam satu sistem formal dan aksiomatik. Jadi kita tidak bisa menghabiskan akal atau akal isi pernyataan aritmatika dalam sistem seperti itu. Bertentangan dengan Frege's pandangan, kita juga tidak bisa menjadikan semua intuisi aritmatika kita eksplisit sistem aritmatika formal. Pada awal abad kedua puluh satu yang kita miliki datang jauh dari cita-cita Frege tentang metode yang sangat ilmiah matematika, tetapi ini adalah perkembangan yang cukup cocok dengannya Pandangan Husserl kemudian tentang intuisi. Faktanya, kita tahu bahwa Gödel sendiri (Gödel * 1961 /?) Telah menempatkan filosofi Husserl di pusat dari penelitian dasar terbaru untuk alasan yang sama.



Apa arti semua ini bagi cita-cita dalam logikaisme Frege untuk mengeliminasi semua kesalahan dalam penalaran aritmatika dan membangun aritmatika dengan aman sekali dan untuk semua? Dan bagaimana kita membenarkan aritmatika? Di Husserlian Pandangan yang telah kami menggambarkan, keyakinan tentang bilangan asli dibenarkan dengan bentuk intuisi yang sesuai dengan pemenuhan aritmetika kita niat cal, dan kami telah memperdebatkan bahwa intuisi ini sebagai suatu proses harus diimplementasikan secara konstruktif. Kami tetap memiliki gradasi evDalam aritmatika itu sendiri, bukti itu sendiri mungkin memiliki derajat yang berbeda kecukupan, dan karena itu kami tidak dapat mengesampingkan koreksi kami pengetahuan aritmatika di masa depan. Pada saat yang sama kami mengimbau benda dan fakta yang merupakan invarian ideal dalam aritmatika dan untuk gangguan dari waktu ke waktu bagian dari pengalaman aritmatika kami. Hitung adalah apriori dan inti dari pernyataannya harus diimplementasikan seperlunya kebenaran, dalam arti bahwa mereka tidak dapat berasimilasi dengan kebenaran yang ditetapkan dengan induksi empiris, bahkan jika kita tidak memiliki bukti yang memadai setiap dimana dalam aritmatika. Di atas dasar aritmatika intuitif ini kami bisa mencari konsistensi relatif untuk aritmatika dan terlibat dalam konseptual analisis berbagai pengertian aritmatika. Pendapat berpendapat bahwa dengan menganalisis asal-usul konsep matematika kitaKecuali dalam kerangka fenomenologis kita pasti akan memperdalam kita pemahaman tentang artinya. Analisis seperti itu akan menghasilkan lebih banyak kesadaran eksplisit dan langsung prasuposisi implisit yang mendasari kita konsep. Indra yang diasumsikan oleh konsep, bersama dengan 'cakrawala' pengalaman yang mungkin terkait dengan konsep tersebut, akan terungkap Sehingga analisis genetik akan mengarah pada klarifikasi berbagai yang tersembunyi implikasi hadir dalam konsep. Selain itu, Husserl berpikir kami bisa memperjelas konten tindakan kami melalui prosedur variasi gratis dalam menyenangkan (Husserl 1911 ; 1913 , §§ 66–70; 1939 , §§ 87–93). Ini proCedure, bersama dengan analisis genetik, sama dengan bentuk apa yang Kreisel telah disebut sebagai 'ketelitian informal', yaitu konsep informal tapi ketat analisis (Kreisel 1967 ). Melalui penerapan prosedur gratis variasi konsep bilangan yang seharusnya dapat kami perjelas pemahaman kita tentang fitur-fitur penting dari angka. Menggunakan prosedurTentu kita akan melihat, misalnya, bahwa aksioma Dedekind-Peano memilih



keluar fitur penting (bukan kebetulan) dari konsep bilangan, genap jika aksioma hanya menangkap sebagian dari makna konsep bilanganber. Lebih penting lagi, kita bisa berharap untuk Memperluas pengetahuan kita klarifikasi lebih lanjut tentang makna konsep matematika dalam a cara untuk memecahkan masalah terbuka, mengembangkan metode baru, dan sebagainya. § 7 Kesimpulan Dalam periode logikaisnya, Frege menggambarkan analisis genetika sebagai hal yang sia-sia matematika dan logika dan sebagai benar-benar membawa kita menjauh dari matematika kerja. Dia menyatakan tuduhan ini dalam banyak konteks, menerapkannya pada Mill untuk contoh di Grundlagen dan kepada Husserl dalam ulasannya tentang PA . Dari pembahasan sebelumnya, lalu, kita melihat bahwa apa yang dihitung oleh analisis genetik dalam karya Husserl selanjutnya sangat berbeda dari apa yang dirawat Pabrik, dan juga dari apa yang Frege anggap. Ini, pertama-tama, bukan psikologis penyelidikan. Malah, ini adalah penyelidikan atas kondisi apriori untuk kemungkinan kesadaran dan pengetahuan tentang angka. Begitu Frege harus membantah bahwa analisis genetik, seperti yang kami gambarkan, memiliki tidak ada tempat dalam filsafat aritmatika. Tapi atas dasar apa bisa dia membuat argumen seperti itu? Memang benar bahwa analisis genetik mungkin mengarah kita jauh dari pekerjaan formal , tetapi ini karena kita tidak bisa melupakan dasar intuitif dan filosofis dari konsep bilangan, dan karena kita tidak bisa mengukur konsep angka masuk sistem formal tertentu. Ada perasaan di mana cita-cita Frege metode ilmiah yang ketat dalam aritmatika harus ditanggapi. Kita tidak bisa memiliki sistem lengkap bukti formal tanpa celah untuk angka. Husserl tampilan selanjutnya memberikan tambahan pada konsep informal dan ketat analisis yang merupakan sumber pekerjaan formal. Kekakuan informal dan kritis analisis di satu sisi, dan pekerjaan teknis matematikawan di lainnya, adalah kegiatan ilmiah pelengkap. Jadi, teknis dan formal Karya ilmiah sama sekali tidak bertentangan dengan analisis asal-usul konsep. Hanya saja, karya seperti itu sendiri sekarang dipandang sebelah mata dari



kekakuan informal, sehingga kita tidak dapat berharap untuk menggantikan kekakuan informal tersebut dengan beberapa sistem formal. Atas dasar ini, pekerjaan teknis dapat mendukung, ekstensionalisme tidak perlu ditantang, dan seterusnya. Sebuah kasus dapat dibuat untuk mengklaim bahwa unsur-unsur Husserlian filsafat aritmatika transendental yang didasarkan pada kompatibel dengan Situasi Pasca Fregean, Pasca Hilbertian, dan Pasca Gödelian di dasar matematika. Dan mereka masih tetap kompatibel membuat semacam rasionalisme (atau antiempirisme) tentang matematika. sible, sehingga melestarikan sesuatu dari antiempirisme Frege sendiri tentang JUMLAH. Selain itu, mereka juga melestarikan sesuatu dari realisme atau objektivisme tentang matematika yang diperjuangkan Frege, tetapi dengan cara yang demikian tidak membuat kemungkinan pengetahuan aritmatika menjadi misteri. Itu pandangan mendukung dan mendorong formalisasi tetapi tidak menuntut sikap formalistik eksklusif, karena ada juga peran kekakuan informal. Ini penjelasan penjelasan tentang cara memahami istilah-istilah primitif dan aturan teori matematika, dan bukti matematika Keadaan dibangun prespektif yang kritis tentang banding untuk bukti diri. Ini memberikan gambaran yang lebih seimbang tentang pengetahuan aritmatika, dan tentang peran formalisasi dan aksiomatisasi dalam pengetahuan tersebut. PADA Namun, pada saat yang sama, dalam banyak hal hanya skema untuk filosofi aritmatika yang perlu diisi dan ditingkatkan.