Rata-Rata Data Berkolompok [PDF]

Citation preview

Mata Pelajaran Jejang Pendidikan Kelas Materi Pokok



: Matematika : SMA : XII : Statistika



Kompetensi Dasar 3.2 Menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu (anti turunan) fungsi aljabar. 4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.



BAHAN AJAR Rata-rata Data berkelompok Indikator Pencapaian Kompetensi 3.2.1 Menjelaskan rata-rata pada data berkelompok 3.2.2 Menentukan rata-rata pada data berkelompok yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dengan menggunakan titik tengah kelas. 3.2.3 Menentukan rata-rata pada data berkelompok yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dengan menggunakan rataan sementara. 3.2.4 Menentukan rata-rata pada data berkelompok yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dengan menggunakan koding. 3.2.5 Menentukan rata-rata pada data berkelompok yang disajikan dalam bentuk histogram dengan menggunakan titik tengah kelas. 3.2.6 Menentukan rata-rata pada data berkelompok yang disajikan dalam bentuk histogram dengan menggunakan rataan sementara. 3.2.7 Menentukan rata-rata pada data berkelompok pada disajikan dalam bentuk histogram dengan menggunakan koding. 3.2.8 Menganalisis hubungan antara rata-rata data tidak berkelompok dan data kelompok. 4.2.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rata-rata pada data berkelompok dalam tabel distribusi frekuensi. 4.2.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rata-rata pada data berkelompok dalam histogram.



Titik tengah Rata-rata data berkelompok



Rataan sementara Koding (pengodean)



BAHAN AJAR Rata-rata Data berkelompok Ukuran Pemusatan Ukuran pemusatan data adalah suatu ukuran yang menggambarkan pusat dari kumpulan data yang bisa mewakilinya. Mean, Median, Modus sama-sama merupakan ukuran pemusatan data yang termasuk kedalam analisis statistika deskriptif. Namun, ketiganya memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing dalam menerangkan suatu ukuran pemusatan data. Syaratnya ialah data sudah disusun atau dikelompokkan Ukuran pemusatan data atau ukuran penyebaran suatu data yang diperoleh dari populasi disebut dengan parameter, sedangkan jika datanya berasal dari sampel maka disebut dengan statistik. Sehingga rata-rata suatu data yang diperoleh dari suatu populasi merpakan parameter dan dilambangkan dengan . Rata-rata suatu data yang diperoleh dari sampel yang mewakili populasi merupakan statistik yang dilambangkan dengan 𝑥̅ . Namun mengetahui hanya rata-rata dari suatu data tidak cukup untuk mendeskripsikan data sepenuhnya. Kita juga perlu mengetahui bagaimana penyebaran data. Sebagai contoh, seorang penjual sepatu olah raga di suatu daerah telah mengetahui bahwa rata-rata ukuran sepatu olah raga yang laris adalah ukuran 40. Penjual sepatu tersebut tidak akan bertahan lama dalam penjualan sepatu olah raga ini jika dia menjual sepatu hanya ukuran 40. Walaupun dia mengetahui rata-rata ukuran sepatu pembeli di daerah tersebut, dia juga perlu mengetahui bagaiamana data menyebar, yaitu apakah datanya mendekati rata-rata ataukah menyebar merata. Ukuran yang menentukan penyebaran data disebut dengan ukuran penyebaran data. Untuk data berkelompok, ukuran penyebaran data meliputi simpangan ratarata, simpangan baku, dan ragam.



Data Berkelompok Data berkelompok adalah data yang telah digolongkan dalam distribusi frekuensi. Data berkelompok biasanya disajikan dalam bentuk tabel yang terdiri dari beberapa kelas. Yang dimaksud dengan kelas di sini adalah suatu bagian atau elemen dari tabel yang menunjukkan jumlah data yang berada pada suatu rentang tertentu.



Rata-rata (Mean) Rata-rata untuk data kelompok pada hakikatnya sama dengan menghitung ratarata data pada distribusi frekuensi tidak berkelompok dengan mengambil titik tengah kelas sebagai 𝑥𝑖 .



BAHAN AJAR Rata-rata Data berkelompok Berikut merupakan data nilai siswa kelas 12 SMA Pertiwi. 65, 63, 68, 43, 83, 85, 53, 55, 85, 43, 45, 50, 70, 73, 75, 50, 53, 90, 95, 53, 58, 60, 60, 63, 40, 70, 65, 65, 63, 65, 68, 30, 35, 70, 75, 78, 80, 80, 83, 90 Tentukan rata-rata nilai siswa kelas 12 SMA Pertiwi! Jawab: 𝑥𝑖 2595 = = 64,875 𝑛 40 Jadi rata-rata nilai siswa kelas 12 SMA Pertiwi adalah 64,875 𝑥̅ =



Apabila data nilai siswa kelas 12 SMA Pertiwi disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, bagaimana cara kalian memperoleh rata-rata nilainya?



Nilai 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100



Frekuensi 3 5 7 12 6 6 1



1. Menggunakan Titik tengah masing-masing kelas Untuk data yang disajikan dalam daftar distribusi frekuensi, maka rataan hitungnya dapat ditentukan dengan rumus: 𝑥̅ =



𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖



Keterangan: 𝑥𝑖 = titik tengah kelas interval 𝑓𝑖 = frekuensi dari 𝑥𝑖 𝑘= banyaknya kelas interval



Jawaban Permasalahan: Cara 1 (menentukan rata-rata dengan menggunakan titik tengah masingmasing kelas) Ikuti langkah-langkah berikut:



1. tentukan titik tengah masing-masing kelas tulis pada kolom titik tengah (𝑥𝑖 ) 2. kalikan frekuansi dan titik tengah pada kolom 𝑥𝑖 𝑓𝑖 3. jumlahkan semua frekuensi 4. jumlahkan semua 𝑥𝑖 𝑓𝑖



Nilai



Frekuensi (𝑓𝑖 )



Titik tengah (𝑥𝑖 )



𝑥𝑖 𝑓𝑖



31-40



3



35,5



106,5



41-50



5



45,5



227,5



51-60



7



55,5



388,5



61-70



12



65,5



786



71-80



6



75,5



453



81-90



6



85,5



513



91-100



1



95,5



95,5



jumlah



40



2570



BAHAN AJAR Rata-rata Data berkelompok 5. tentukan rata-rata dengan membagi hasil dari langkah 4 dibagi langkah 3



𝑥̅ =



𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖



=



2570 = 64,25 40



Jadi rata-rata nilai siswa kelas 12 SMA Pertiwi adalah 64,25



2. Menggunakan Rataan Sementara Selain menggunakan cara di atas, rataan hitung juga dapat ditentukan dengan mencari rataan sementara. Rataan hitung dengan cara rataan sementara dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut: Keterangan: 𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝑥̅𝑠 = rataan sementara 𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 + ; 𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥̅𝑠 𝑓𝑖 𝑑𝑖 = simpangan 𝑥𝑖 terhadap 𝑥̅𝑠



Jawaban Permasalahan: Cara 2 (menentukan rata-rata dengan menggunakan rataan sementara) Ikuti langkah-langkah berikut: 1. pilih rataan sementara, misalkan Frekuensi titik tengah 𝑥𝑖 − 𝑥̅ rata-rata sementara 𝑥̅𝑠 = 65,5 Nilai 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) (𝑓𝑖 ) (𝑥𝑖 ) (𝑑𝑖 ) 2. tentukan titik tengah masing31-40 3 35,5 -30 -90 masing kelas tulis pada kolom titik 41-50 5 45,5 -20 -100 tengah 3. kurangkan titik tengah dengan rata51-60 7 55,5 -10 -70 ̅) rata sementara 𝑑𝑖 = (𝑥𝑖 − 𝑥 61-70 12 65,5 0 0 4. kalikan frekuansi dan hasil 71-80 6 75,5 10 60 pengurangan titik tengah dengan 81-90 6 85,5 20 120 rata-rata sementara 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) 91-100 1 95,5 30 30 5. jumlahkan semua frekuensi 40 -50 jumlah 6. jumlahkan semua hasil perkalian pada langkah 4 7. tentukan rata-rata dengan menjumlahkan rata-rata sementara dengan hasil bagi dari langkah 7 dibagi langkah 6



𝑓𝑖 𝑑𝑖 (−50) = 65,5 + = 64,25 𝑓𝑖 40 Jadi rata-rata nilai siswa kelas 12 SMA Pertiwi adalah 64,25 𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 +



BAHAN AJAR Rata-rata Data berkelompok



3. Menggunakan koding (Pengkodean) Cara ketiga untuk menentukan rataan hitung adalah dengan cara pengkodean. Rataan hitung dengan cara pengkodean dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut: Keterangan: 𝑐 = panjang kelas interval 𝑓𝑖 𝑢𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥̅𝑠 𝑢𝑖 = kode 𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 + ( ) 𝑐; 𝑢𝑖 = 𝑓𝑖 𝑐 Jawaban Permasalahan: Cara 3 (menentukan rata-rata dengan menggunakan koding (pengodean) Ikuti langkah-langkah berikut 1. pilih rataan sementara, misalkan rata-rata sementara 𝑥̅𝑠 = 65,5 2. tentukan titik tengah masing-masing kelas tulis pada kolom titik tengah 3. carilah kode pada kolom ui dengan cara mengurangkan titik tengan dengan ratarata sementara kemudian dibagi dengan 𝑥 −𝑥 ̅̅̅



4. 5. 6. 7.



31-40



Frekuensi (𝑓𝑖 ) 3



titik tengah (𝑥𝑖 ) 35,5



41-50



5



51-60



𝑢𝑖



𝑓𝑖 𝑢𝑖



-3



-9



45,5



-2



-10



7



55,5



-1



-7



61-70



12



65,5



0



0



71-80



6



75,5



1



6



Nilai



panjang kelas, 𝑢𝑖 = 𝑖 𝑠 𝑐 81-90 6 85,5 2 12 kalikan frekuansi dan hasil koding pada 91-100 1 95,5 3 3 kolom 𝑓𝑖 𝑢𝑖 jumlah 40 -5 jumlahkan semua frekuensi jumlahkan semua fiui tentukan rata-rata dengan menjumlahkan rata-rata sementara dengan hasil bagi dari langkah 7 dibagi langkah 6 yang dikalikan dengan panjang kelas



𝑓𝑖 𝑢𝑖 (−5) ) 𝑐 = 65,5 + ( ) 10 = 64,25 𝑓𝑖 40 Jadi rata-rata nilai siswa kelas 12 SMA Pertiwi adalah 64,25 𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 + (



Berdasarkan pengerjaan dengan tiga cara, diperoleh bahwa rata-rata nilai siswa kelas 12 SMA Pertiwi adalah 64,25. Sedangkan rata-rata data tidak berkelompok diperoleh 64,875. Mengapa rata-rata data ini berbeda? Hal ini dikarenakan bahwa rata-rata data berkelompok merupakan nilai pendekatan menggunakan titik tengah berbeda dengan rata-rata untuk data tidak berkelompok. Rata-rata data tidak berkelompok ditentukan secara eksak (menghitung data).



BAHAN AJAR Rata-rata Data berkelompok



Contoh Alzheimer adalah kondisi kelainan yang ditandai dengan penurunan daya ingat, penurunan kemampuan berpikir dan berbicara, serta perubahan perilaku pada penderita akibat gangguan di dalam otak yang sifatnya progresif atau perlahanlahan. Pada tahun 2050 diperkirakan banyak penderita penyakit ini mencapai angka 4 juta orang. Oleh sebab tiu, Puskesmas Gajahmungkur mengadakan program sosialisasi demensia alzheimer di Balai RW desa Bendan Ngisor. Sosialisasi ini diikuti oleh 30 warga yang memasuki masa perkembangan dewasa madya (41-65 tahun). banyak peserta yng mengikuti sosialisasi ini dikatagorikan dalam 5 interval kelas yang tergambar pada histogram berikut. Tentukan rata-rata usia peserta yang mengikuti sosialisasi ini!



JAWAB Cara 1 Tentukan titik tengah tiap interval kelas, kemudian hitung rata-ratanya



𝑥̅ = =



𝑓𝑖 𝑥 𝑖



𝑓𝑖 (5×43)+(11×48)+(9×53)+(4×58)+(1×63) 1515



30



= 30 = 50,5 Jadi rata-rata usia peserta yang mengikuti sosialisasi alzheimer adalah 50,5 tahun



BAHAN AJAR Rata-rata Data berkelompok Atau menggunakan tabel. Usia



Frekuensi (f)



Titik Tengah (xi)



41 – 45



5



43



215



46 – 50



11



48



528



51 – 55



9



53



477



56 – 60



4



58



232



61 – 65



1



63



63



30



𝑥̅ = =



f.xi



1515



𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖 1515 30



= 50,5



Cara 2 Tentukan titik tengah tiap interval kelas, tentukan rataan sementaranya, dan hitung rata-ratanya Misalkan 𝑥̅𝑠 = 53



𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 + = 53 + = 53 +



𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝑓𝑖



(5×(43−53))+(11×(48−53))+(9×(53−53))+(4×(58−53))+(1×(63−53)) 30 −75 30



= 53 − 2,5 = 50,5 Jadi rata-rata usia peserta yang mengikuti sosialisasi alzheimer adalah 50,5 tahun



BAHAN AJAR Rata-rata Data berkelompok Atau menggunakan tabel. Usia



Frekuensi (f)



Titik tengah



di



f.di



41 – 45



5



43



- 10



- 50



46 – 50



11



48



-5



- 55



51 – 55



9



53



0



0



56 – 60



4



58



5



20



61 – 65



1



63



10



10



30



𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 + = 53 +



- 75



𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝑓𝑖 −75 30



= 53 − 2,5 = 50,5



Cara 3 Tentukan titik tengah tiap interval kelas, tentukan rataan sementaranya, dan hitung rata-ratanya 𝑓𝑖 𝑢𝑖



𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 + (



𝑓𝑖



= 53 + ( = 53 + ( = 53 +



(5×



)𝑐



43−53 48−53 53−53 58−53 63−53 )+(11× )+(9× )+(4× )+(1× ) 5 5 5 5 5



(5×(−2))+(11×(−1))+(9×0)+(4×1)+(1×2)



−15 30



)5



30



30



)5



5



= 53 − 2,5 = 50,5 Jadi rata-rata usia peserta yang mengikuti sosialisasi alzheimer adalah 50,5 tahun



BAHAN AJAR Rata-rata Data berkelompok Atau menggunakan tabel. Usia



Frekuensi (f)



Titik tengah



ui



f.ui



41 – 45



5



43



-2



- 10



46 – 50



11



48



-1



- 11



51 – 55



9



53



0



0



56 – 60



4



58



1



4



61 – 65



1



63



2



2



30



𝑥̅ = 𝑥̅𝑠 + = 53 +



𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝑓𝑖 −15 30



= 53 − 2,5 = 50,5



.𝑐



.5



- 15



BAHAN AJAR Rata-rata Data berkelompok



LATIHAN



1. Disajikan data nilai ulangan matematika Kelas XI SMA Tunas Bangsa. Jika rata-rata dari data tersebut adalah 55,75, tentukan nilai dari 𝑥.



Nilai 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70



Frekuensi 3 6 𝑥 12 5 4



2. Seorang ahli tanaman mengumpulkan data terhadap varietas baru bunga mawar, yaitu varietas A dan varietas B dengan banyak masing-masing varietas yang sama. Untuk setiap tanaman yang dijadikan sampel, dicatat banyaknya hari yang dibutuhkan tanaman tersebut untuk berbunga. Hasil yang diperoleh ditunjukkan pada data pada histogram berikut. Tentukan manakah varietas yang lebih baik dilihat dari rata-rata hari yang dibutuhkan tanaman untuk berbunga.



Varietas A 15



25



17 13



12



10



10



8



5



FREKUENSI



FREKUENSI



20



Varietas B 20 15



20 16 12 8



10



4



5 0



0 1519



2024



2529 HARI



3034



3539 HARI