Ring Polinomial [PDF]

Citation preview

RING POLINOMIAL Polinomial adalah suatu konsep matematika yang telah kita kenal sejak duduk di bangku sekolah menengah. Ekspresi seperti 3𝑥 2 + 4𝑥 + 5 telah kita kenal sejak lama. Polinomial adalah salah satu konsep matemtika yang paling banyak dgunakan dalam aplikasi. Sebagai contoh fungsi polinomial adalah suatu fungsi yang amat mudah dihitung, sehingga polinomial sering digunakan untuk mengaproksimasi nilai dari fungsi-fungsi lain yang sulit. Selain kegunaannya dalam bidang aplikasi, polinomial juga merupakan suatu konsep yang penting dalam teori ring. Sebagai contoh, kita ingin memperluas ring ℤ dengan memasukkan suatu bilangan riil 𝑒 ≈ 2.72 kedalam ring ℤ sehingga membentuk suatu ring R yang baru. Akibat operasi penjumlahan pada R, unsurunsur di R mestilah mengandung kelipatan e. Demikian juga akibat operasi perkalian pada R unsur-unsur di R harus mengandung perpangkatan dari e. Lebih lanjut R mestilah mengandung unsur-unsur dalam bentuk 𝑎0 + 𝑎1 𝑒 + 𝑎2 𝑒 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑒 𝑛 2 yang merupakan polinomial dalam variabel e dengan koefisien 𝑎𝑖 ∈ ℤ, 𝑖 = 0,1,2, ⋯ , 𝑛. Sehingga untuk memperluas suatu ring kita menggunakan konsep polinomial Pada pembahasan kali ini kita akan mendiskusikan ring polinomial, yakni suatu ring yang terdiri dari polinomial dengan koefisien berasal dari suatu ring R. Kemudian akan dibahas beberapa sifat dari ring polinomial. Definisi M-1 Bentuk umum dari suatu polinomial adalah ∞



𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑎𝑖 ∈ 𝑅, 𝑖 ∈ ℤ+ 𝑖=0



Derajat dari suatu polinomial 𝑓(𝑥) adalah bilangan bulat positif terbesar 𝑛 sehingga 𝑎𝑛 ≠ 0. Suatu polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯,



merupakan polinomial atas R dengan 𝑎𝑛 ≠ 0 dan 𝑎1 = 0 ∀ 𝑖 > 𝑛, maka polinomial ini disebut polinomial berderajat n dan ditulis dengan deg 𝑓(𝑥) = 𝑛. Pada polinomial di atas, bentuk 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 kita sebut sebagai suku dari polinomial 𝑓(𝑥) dan untuk setiap suku 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 , 𝑘 = 0,1, ⋯ , 𝑛, 𝑎𝑘 disebut sebagai koefisien dari 𝑥 𝑘 . Bila 𝑓(𝑥) adalah polinomial berderajat n, maka koefisien 𝑎𝑛 , disebut sebagai koefisien utama (leading coeficient) dari 𝑓(𝑥). Polinomial 𝑓(𝑥) dikatakan sebagai polinomial monik jika koefisien utamanya adalah 1. Contoh 37: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 6 + 𝑥 4 − 4𝑥 + 6, adalah polinomial berderajat 6. Kesamaan dua polinomial didefinisikan sebagai berikut ini. Definisi M-2 Misalkan diberikan dua polinomial sebagai berikut: 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ∈ 𝑅, 𝑖 ∈ ℤ+ Polinomial 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dikatakan sama jika dan hanya jika 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 untuk semua 𝑖 ≥ 0. Contoh 38: 4𝑥 5 − 3𝑥 4 + 2𝑥 3 + 6𝑥 − 7 ≠ 4𝑥 5 − 8𝑥 4 + 2𝑥 3 + 6𝑥 − 7



karena



terdapat



koefisien yang tidak sama, yaitu koefisien 𝑥 4 diruas kiri tidak sama dengan 𝑥 5 − 3𝑥 4 + 2𝑥 3 + 6𝑥 2 − 7 = 𝑥 5 − 3𝑥 4 + 2𝑥 3 + 6𝑥 2 − 7 karena untuk masing-masing suku yang bersesuaian mempunyai koefisien yang sama. Operasi penjumlahan dan perkalian pada polinomial didefinisikan sebagai berikut:



Polinomial atau disebut juga suku banyak merupakan pernyataan matematika yang memuat jumlahan perkalian berpangkat dari satu atau lebih variabel dengan koefisien. Defenisi M-1 : Bentuk umum dari suatu polinomial adalah 



f ( x)   ai x i  a 0 a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n , ai  R, i    i 0



Derajat dari suatu polinomial f (x ) adalah bilangan bulat positif terbesar n sehingga



an  0 .



Suatu



Polinomial



f ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... ,



merupakan polinomial atas R dengan an  0 dan ai  0 i  n , maka polinomial ini disebut polinomial berderajat n dan ditulis dengan deg f ( x)  n . Pada polinomial di atas, bentuk a k x k disebut sebagai suku dari polinomial f (x ) dan untuk setiap suku a k x k , k  0,1,2,..., n, a k disebut sebagai koefisien dari x k . Bila f (x ) adalah polinomial berderajat n, maka koefisien a n disebut sebagai koefisien utama (leading coeficient) dari f (x ) . Polinomial f (x ) dikatakan sebagai



polinomial monik jika koefisien utamanya adalah 1.



Contoh 1 : 



f ( x)  3 x 6  x 4  4 x 2  6 , merupakan polinomial berderajat 6 yang bukan polinomial monic







f ( x)  5 x 4  2 x 3  6 x 2  8 x  7 , merupakan polinomial berderajat 4 yang bukan polinomial monic







f ( x)  x 2  5 x  6 , merupakan polinomial monic berderajat 2



Kesamaan dua polinomial didefenisikan sebagai berikut ini : Definisi M-2 : Misalkan diberikan dua polinomial sebagai berikut: f ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n



g ( x)  b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n ai , bi  R, i  Z 



Polinomial f (x ) dan g (x ) dikatakan sama jika dan hanya jika ai  bi untuk semua i  0 . Contoh 2 : Misalkan diberikan dua polinomial sebagai berikut:



f ( x)  4 x 5  3x 4  2 x 3  6 x  7 dan g ( x)  4 x 5  8x 4  2 x 3  6 x  7 . f ( x)  g ( x) karena terdapat koefisien yang tidak sama pada kedua polinomial di



atas, yaitu koefisien x 4 . Contoh 3 : Misalkan diberikan dua polinomial sebagai berikut:



f ( x)  x 5  3x 4  2 x 3  6 x 2  7 dan g ( x)  x 5  3x 4  2 x 3  6 x 2  7 . f ( x)  g ( x) karena masing-masing suku yang bersuaian mempunyai koefisien



yang sama. Operasi penjumlahan dan perkalian pada polinomial didefenisikan sebagai berikut: Definisi M-3 : Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 dan 𝑔(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 ,𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ∈ 𝑅, 𝑖 ∈ 𝑍 + Maka didefinisikan operasi penjumlahan polynomial, 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 , dengan 𝑐𝑖 = ∑𝑖=0( 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 ) , 𝑐𝑖 ∈ 𝑅 , dan operasi perkalian polynomial, 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1 𝑥 + 𝑑2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑑2𝑛 𝑥 𝑛 dengan 𝑑1 = ∑𝑗+𝑘=𝑖 𝑎𝑗 𝑎𝑘 ,𝑗 = 0,1,2, … , 𝑑𝑖 ∈ 𝑅



Contoh 4 : 1) Misalkan p(x) dan q(x) dengan 𝑝(𝑥) = 2𝑥 2 + 2, 𝑞(𝑥) = 2𝑥 + 2 maka : Operasi penjumlahan polinomial : 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = (2𝑥 2 + 2) + (2𝑥 + 2) = 2𝑥 2 + 2𝑥 + 4 Operasi perkalian polinomial 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = (2𝑥 2 + 2). (2𝑥 + 2) = 4𝑥 3 + 4𝑥 2 + 4𝑥 + 4 2) Misalkan p(x) dan q(x) adalah polinom-polinom pada 𝑍3 [𝑥], dengan 𝑝(𝑥) = 2𝑥 2 + 2, 𝑞(𝑥) = 2𝑥 + 2 maka : Untuk operasi penjumlahan : 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = (2𝑥 2 + 2) + (2𝑥 + 2) = 2𝑥 2 + 2𝑥 + 4 Untuk operasi perkalian polinomal 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = (2𝑥 2 + 2). (2𝑥 + 2) = (2.2)𝑥 2+1 + (2.2)𝑥 + (2.2)𝑥 2 + (2.2) = 𝑥0 + 𝑥 + 𝑥2 + 1 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 Dari defenisi dan sifat-sifat polinomial tersebut, maka defenisi ring polinomial dinyatakan dalam teorema berikut : Teorema M-1 : Bila R adalah suatu ring komutatif maka himpunan ring polinomial R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial merupakan suatu ring. Maka, harus dapat dibuktikan R[x] adalah ring, yaitu memenuhi sifat : i.



Bersifat tertutup terhadap penjumlahan,



𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)𝑅[𝑥] berlaku 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] Dimana : (𝑥) + 𝑔(𝑥) = ( 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ ) + (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ ) = (𝑎0 + 𝑏0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 )𝑥 + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑥 𝑛 + ⋯



(karena bersifat tertutup terhadap penjumlahan di R) = 𝑑0 + 𝑑1 𝑥 + ⋯ + 𝑑𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ ∈ 𝑅[𝑥] dengan 𝑑𝑖 = ∑𝑖=0(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 ) ∈ 𝑅 ii.



Bersifat assosiatif terhadapat penjumlahan



𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] berlaku [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] + ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)_[𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)] iii.



Memiliki elemen identitias terhadap penjumlahan R[x] mempunyai elemen identtas terhadap penjumlahan yakni 0(x). Selanjutnya, 0(x) disebut dengan polinomial nol (zero polynomial). 𝑓(𝑥) + 0(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 0(𝑥) + 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥)𝑅[𝑥]



iv.



Memiliki invers terhadap penjumlahan



𝑓(𝑥) 𝑅[𝑥] − 𝑓(𝑥) 𝑅[𝑥] v.



Bersifat komutatif terhadap penjumlahan



𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)𝑅[𝑥] berlaku 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) vi.



Bersifat tertutup terhadap perkalian



𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] berlaku 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] vii.



Bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan



𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] berlaku 𝑓(𝑥)[𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)ℎ(𝑥) dan [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) Teorema M-2 : Jika R adalah daerah integral maka R[x] juga suatu daerah integral



Bukti : R adalah daerah integral, akan ditunjukkan R[x] adalah suatu daerah integral R adalah daerah integral, maka memenuhi : -



Ring Komutatif



-



Unsur Kesatuan



-



RTPN



Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑎0 𝑥 0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯, dan 𝑓(𝑥) = 𝑏0 𝑥 0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ Dengan 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ∈ 𝑅 dan 𝑖 ∈ ℤ+ ∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] 𝑅[𝑥] merupakan suatu ring polinomial atas 𝑅 (Teorema M-1) i. Bersifat komutatif terhadap perkalian ∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] berlaku 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) =(a0x0 + a1x +...+ anxn + ... ) (b0x0 + b1x +...+ bnxn + ... ) d0x0 + d1x + ...+dnxn + ... dengan d1= ∑𝑗+𝑘=𝑖 𝑎jbk = ∑𝑗+𝑘=𝑖 𝑏kaj (Karena R komutatif terhadap perkalian) akibatnya d1∈ R dan 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = (b0x0 + b1x +...+ bnxn + ... )(a0x0 + a1x +...+ anxn + ... ) = (l0x0 + l1x +...+ lnxn + ... ) Dengan li = ∑𝑗+𝑘=𝑖 𝑏 kaj , li∈ R Sehingga di = li Terbukti bahwa 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)



ii. Memiliki elemen kesatuan terhadap perkalian di R[x] Jika 1 adalah elemen kesatuan terhadap perkalian di R, maka ∀𝑓(𝑥) ∈ R[x] ∃ 𝐼(𝑥) = 1 + 0𝑥 + ⋯ +0xn + ... ∈ R[x] ∋ f(x) I(x) = (a0x0 + a1x +...+ anxn + ... )(1x0 + 0x +...+ 0xn + ... ) = (a01)x0 + (a11)x +...+ an1)xn + = a0x0 + a1x +...+ anxn + ... = f(x) Terbukti 𝑓(𝑥)𝐼(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝐼(𝑥)𝑓(𝑥) Sehingga R[x] merupakan ring dengan elemen kesatuan. iii. ∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] dengan 𝑓(𝑥) = a0x0 + a1x + a2x2 + ... + amxm , am≠ 0 𝑔(𝑥) = b0x0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn , bn≠ 0 Karena am≠ 0 dan bn≠ 0 , maka perkalian polinomial menghasilkan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) = 0, hal ini disebabkan oleh R adalah daerah integral maka



ambn≠ 0. Ini berarti bahwa 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) = 0 dipenuhi hanya bila 𝑓(𝑥) = 0 atau 𝑔(𝑥) = 0 . Sehingga R[x] merupakan ring tanpa pembagi nol. Sehingga R[x] merupakan daerah integral.



Pada Teorema M-1, jika R adalah ring komutatif maka R[x] adalah suatu ring. Pada Teorema M-2, kita juga melihat bahwa jika R adalah daerah interal maka R[x] juga suatu daerah integral. Muncul dugaan kita bahwa jika R adalah lapangan, maka R[x] adalah lapangan. Akan tetapi, faktanya tidak seperti itu. Teorema M-3 : Jika F adalah lapangan maka himpunan polinomial dalam indeterminate x atas F dinotasikan dengan F[x] adalah daerah integral dan F[x] bukan lapangan. Bukti : Karena F adalah lapangan, maka F merupakan daerah integral. Jika F merupakan daerah integral maka𝐹[𝑥] juga merupakan daerah integral (Teorema M-2) Akan ditunjukkan bahwa 𝐹[𝑥] bukan lapangan, dengan menunjukkan bahwa elemen tak nolnya tidak memiliki unsur satuan di 𝐹[𝑥] ∀𝑓(𝑥) = 𝑎0 𝑥 0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + ⋯ ∈ 𝐹[𝑥] 𝑓(𝑥) ≠ 0, 𝑎𝑚 ≠ 0, deg 𝑓(𝑥) > 0 ∃𝑓 −1 (𝑥) ∉ 𝐹[𝑥] ∋ 𝑓(𝑥)𝑓 −1 (𝑥) = 𝐼(𝑥)



𝑓



−1 (𝑥)



𝐼(𝑥) 1 + 0𝑥 + 0𝑥 2 + ⋯ + 0𝑥 𝑛 + ⋯ = = ∉ 𝐹[𝑥] 𝑓(𝑥) 𝑎0 𝑥 0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + ⋯



Karena perkalian f(x) dengan suatu polinomial tidak konstan 𝑓 −1 (𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] tidak sama dengan elemen kesatuan 𝐼(𝑥) = 1 + 0𝑥 + 0𝑥 2 + ⋯ + 0𝑥 𝑛 + ⋯, sebab deg 𝑓(𝑥) > 0, dan



deg 𝑓 −1 (𝑥) > 0



sehingga 𝑑𝑒𝑔 [𝑓(𝑥)𝑓 −1 ] = 𝑑𝑒𝑔𝑓(𝑥) +



𝑑𝑒𝑔 𝑓 −1 (𝑥), sedangkan deg 𝐼(𝑥) = 0. Oleh karena itu 𝐹[𝑥] tidak mempunyai unsur kesatuan sehingga 𝐹[𝑥] bukan lapangan.



N. PEMBAGIAN POLINOMIAL Perhatikan pembagian polinomial 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 + 3𝑥 3 + 𝑥 2 + 3𝑥 + 4 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 di ℤ5 [𝑋] dibawah ini. Pada pembagian ini tentu saja operasi penjumlahan dan perkalian dilakukan dengan modulo 5.



Sehingga dalam ℤ5 [𝑋], polinomial 𝑓(𝑥) dapat ditulis sebagai 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1, 𝑞(𝑥) = 2𝑥 4 + 4𝑥 + 1 dan 𝑟(𝑥) = 2𝑥 + 3. Pada pembagian diatas polinomial 𝑞(𝑥) disebut sebagai hasil bagi dan polinomial 𝑟(𝑥) disebut sisa hasil bagi.



Teorema N-1 : Andaikan F adalah suatu lapangan. Bila 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐹(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka terdapat polinomial 𝑞(𝑥) dan 𝑟(𝑥) di 𝐹(𝑥) yang tunggal sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) dengan 𝑟(𝑥) = 0 atau derajat 𝑟(𝑥) lebih kecil dari derajat 𝑔(𝑥). Bukti : Dengan menggunakan induksi pada derajat dari polinomial 𝑓(𝑥), akan diperlihatkan keberadaan polinomial𝑞(𝑥) dan 𝑟(𝑥). Jika 𝑓(𝑥) = 0 atau derajat 𝑓(𝑥) lebih kecil dari derajat 𝑔(𝑥), maka 𝑞(𝑥) dan 𝑟(𝑥) diperoleh dengan 𝑟(𝑥) = 𝑓(𝑥) dan 𝑞(𝑥) = 0. Selanjutnya, andaikan 𝑓(𝑥) berderajat n dan𝑞(𝑥) berderajat m dengan 𝑛 > 𝑚. Misalkan, 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 , Dengan menggunakan teknik pembagian seperti diatas, misalkan ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑎𝑛 𝑏𝑚 −1 𝑥 𝑛−𝑚 𝑔(𝑥) Sehingga ℎ(𝑥) = 0 atau derajat ℎ(𝑥) lebi kecil dari derajat 𝑓(𝑥). Dengan menggunakan asumsi pada induksi, untuk polinomial ℎ(𝑥) terdapat polinomial



𝑞1 (𝑥) dan 𝑟1 (𝑥) sehingga ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑞1 (𝑥) + 𝑟1 (𝑥) dengan 𝑟1 (𝑥) = 0 atau derajat 𝑟1 (𝑥) lebih kecil dari derajat 𝑔(𝑥). Hal ini berakibat 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑏𝑚 −1 𝑥 𝑛−𝑚 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑏𝑚 −1 𝑥 𝑛−𝑚 𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑞1 (𝑥) + 𝑟1 (𝑥) = 𝑔(𝑥)[𝑎𝑛 𝑏𝑚 −1 𝑥 𝑛−𝑚 + 𝑞1 (𝑥)] + 𝑟1 (𝑥) Dengan mengambil 𝑞(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑏𝑚 −1 𝑥 𝑛−𝑚 𝑞1 (𝑥) dan 𝑟(𝑥) = 𝑟1 (𝑥) diperoleh 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑟(𝑥) dengan 𝑟(𝑥) = 0 atau derajat 𝑟(𝑥) lebih kecil dari derajat 𝑔(𝑥). Selanjutnya akandiperlihatkan ekspresi 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) adalah tunggal. Misalkan 𝑓(𝑥) juga dapat ditulis sebagai 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑠(𝑥) + 𝑡(𝑥) dengan 𝑡(𝑥) = 0 atau derajat 𝑡(𝑥) lebih kecil dari derajat 𝑔(𝑥). Perhatikan bahwa 𝑔(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑠(𝑥) + 𝑡(𝑥) sehingga 𝑔(𝑥)[𝑞(𝑥) − 𝑠(𝑥)] = 𝑟(𝑥) − 𝑡(𝑥) Karena derajat dari 𝑟(𝑥) − 𝑡(𝑥) lebihkecil dariderajat 𝑔(𝑥), maka haruslah 𝑞(𝑥) − 𝑠(𝑥) = 0. Yakni 𝑞(𝑥) = 𝑠(𝑥) dan tentunya 𝑟(𝑥) = 𝑠(𝑥).



Akibat N-2 : Andaikan F adalah suatu lapangan. Bila a ∈ F dan f(x) ∈ F[x], maka f(a) adalah sisa hasil bagi dari f(x) oleh (x − a).



Bukti : Menurut Teorema N-1 untuk polinomial 𝑓(𝑥) dan (𝑥 − 𝑎) terdapat polinomial 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] sehingga 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) dengan derajat 𝑟(𝑥) lebih kecil dari derajat (𝑥 − 𝑎). Akibatnya 𝑟(𝑥) adalah suatu konstanta yang berada di F, sehingga 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑞(𝑥) + 𝑟. Karena 𝑓(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥], untuk 𝑥 ∈ 𝐹 kita dapat memandang 𝑓 sebagai suatu pemetaan 𝑓: 𝐹 → 𝐹.Sehingga𝑓(𝑎) = (𝑎 − 𝑎)𝑞(𝑎) + 𝑟 , yakni sisa hasil bagi



𝑟 = 𝑓(𝑎).



Akibat N-3 : 𝐴𝑛𝑑𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝐹 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑙𝑎𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑎 ∈𝐹 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥) ∈𝐹[𝑥] 𝑈𝑛𝑠𝑢𝑟 𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎h 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑓(𝑥) 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑛 h𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 (𝑥 - 𝑎) 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎h 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑓(𝑥) Akibat N-3 :



Bukti : Dengan menggunakan algoritma pembagian,maka polinomial 𝑓(𝑥) dapat ditulis sebagai 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) Dengan 𝑟(𝑥) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑟(𝑥) 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 0. Bila 𝑎 pembuat nol dari 𝑓(𝑥), maka 𝑓(𝑎) = 0 = (𝑎 − 𝑎)𝑞(𝑥) + 𝑟, Yang berakibat 𝑟 = 0. 𝐽𝑎𝑑𝑖 (𝑥 − 𝑎) adalah faktor dari 𝑓(𝑥). Sebaliknya jika (𝑥 − 𝑎)adalah faktor dari 𝑓(𝑥) , maka terdapat polinomial 𝑞(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] sehingga 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑞(𝑥). Hal ini berakibat 𝑓(𝑎) = (𝑎 − 𝑎)𝑞(𝑎) = 0𝑞 (𝑎) = 0. Jadi 𝑎 adalah pembuat nol dari 𝑓(𝑥).



Akibat N-4 Bila 𝐹 adalah suatu lapangan, maka suatu polinomial di 𝐹[𝑥] yang berderajat 𝑛 ≥ 1 mempunyai paling banyak 𝑛 akar. Bukti: Andaikan 𝑓(𝑥) adalah suatu polinomialberderajat di 𝑛 𝐹[𝑥]. Kita akan memperlihatkan pernyataan di atas dengan menggunakan induksi pada derajat dari 𝑓(𝑥). Andaikan 𝑓(𝑥) adalah polinomial berderajat 𝑛 = 1. Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, dengan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐹 dan 𝑎 ≠ 0. Akibatnya 𝑎𝑏 −1 adalah akar dari 𝑓(𝑥). Sekarang, andaikan 𝑓(𝑥) berderajat 𝑛 > 1. Andaikan ∝ adalah pembuat nol dari 𝑓(𝑥). Menurut akibat 5.2.3, 𝑓(𝑥) dapat ditulis sebagai 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑔(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) adalah polinomial berderajat 𝑛 − 1, jika 𝛽 ≠∝ adalah akar dari 𝑓(𝑥), maka 0 = 𝑓(𝛽) = (𝛽−∝)𝑔(𝛽) Karena 𝛽−∝≠ 0, maka 𝑔(𝛽) = 0. Yakni 𝛽 adalah pembuat nol dari 𝑔(𝑥). Tetapi menurut hipotesis induksi 𝑔(𝑥) mempunyai paling banyak 𝑛 − 1 akar. Sehingga 𝑓 mempunyai paling banyak 𝑛 akar.



Contoh 39 Perhatikan polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑥 3 + 𝑥 2 + 4𝑥 ∈ ℤ5 [𝑥]. Karena 𝑓(0) = 0, 𝑓(1) = 0, 𝑓(2) = 0, 𝑓(3) = 0 dan 𝑓(4) = 0, maka 𝑓(𝑥) mempunyai empat buah akar di ℤ5 . Selanjutnya, kita perhatikan polinomial 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 2 + 1 ∈ ℤ5 [𝑥]. Maka 𝑔(0) = 1, 𝑔(1) = 0, 𝑔(2) = 4, 𝑔(3) = 4, 𝑔(4) = 0. Akibatnya 𝑔(𝑥) hanya mempunyai dua akar di ℤ5 . Suatu polinomial mungkin saja tidak mempunyai akar pada suatu lapangan yang tertentu. Sebagai contoh, kita perhatikan polinomial ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 1 ∈ ℤ5 [𝑥]. Maka



ℎ(0) = ℎ(1) = 1



sehingga ℎ(𝑥) tidak mempunyai akar di ℤ2 . Contoh 40 Bila lapangan F pada hipotesis dari akibat N-4 kita ganti dengan sebarang ring, maka suatu polinomial berderajat n mungkin saja mempunyai lebih dari n akar pada ring tersebut. Sebagai contoh, bila 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 2𝑥 ∈ ℤ4 [𝑥], maka 𝑓(0) = 0, 𝑓(1) = 0, 𝑓(2) = 0, dan 𝑓(3) = 0. Sehingga 𝑓(𝑥), suatu polinomial berderajat dua, mempunyai empat buah akar di ℤ4 . POLINOMIAL TAK TEREDUKSI Definisi O-4 Suatu polinomial yang tak konstan 𝑓(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] dikatakan polinomial iredusibel (tak tereduksi) di 𝐹[𝑥] jika tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali polinomial 𝑔(𝑥) dan ℎ(𝑥) dengan 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] yang berderajat lebih kecil dari derajat 𝑓(𝑥). Suatu polinomial 𝑓(𝑥) adalah redusibel (tereduksi) di 𝐹[𝑥] jika: ∃𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] ∋ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥); deg.𝑔(𝑥) < deg. 𝑓(𝑥) dan deg.ℎ(𝑥) < deg. 𝑓(𝑥) Contoh 41 Tunjukkan 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2 merupakan polinomial yang iredusibel di ℚ[𝑥] tetapi redusibel di ℝ[𝑥]. Bukti 𝑥 2 − 2 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)∀𝑎, 𝑏 ∈ ℚ



Dalam ring polinomial ℚ[𝑥], 𝑓(𝑥) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) dan ℎ(𝑥) berderajat lebih rendah dari 𝑓(𝑥). Sehingga 𝑓(𝑥) iredusibel di ℚ[𝑥]. Tetapi dalam ring polinomial ℝ[𝑥] , polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2 dapat dinyatakan sebagai 𝑓(𝑥) = (𝑥 + √2)(𝑥 − √2) dengan 𝑥 + √2 dan 𝑥 − √2 bukan unit di ℝ[𝑥]. Sehingga 𝑓(𝑥) redusibel di ℝ[𝑥].



Contoh 42 Polinomial 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 6 adalah tak tereduksi atas lapangan bilangan rasional ℚ, tetapi tereduksi atas daerah integral ℤ. Perhatikan bahwa jika 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 6 dituliskan dalam bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥), maka salah satu 𝑔(𝑥) atau ℎ(𝑥) harus merupakan polinomial konstanta di ℚ[𝑥], Sehingga 𝑔(𝑥) atau ℎ(𝑥) merupakan unsur unit di ℚ[𝑥], yang berarti 𝑓(𝑥) tidak tereduksi atas ℚ. Sebaliknya pada ring polinomial ℤ[𝑥], 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 6 = 3(𝑥 2 + 2). Karena 3 ∈ ℤ[𝑥] dan (𝑥 2 + 2) ∈ ℤ[𝑥] keduanya bukan unit di ℤ[𝑥], maka 𝑓(𝑥) tereduksi di ℤ[𝑥].



Contoh 43 Polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2 tak tereduksi atas lapangan ℚ , tetapi tereduksi atas lapangan ℝ. Dalam ring polinomial ℚ[𝑥], maka 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) dan ℎ(𝑥) berderajat lebih rendah dari 𝑓(𝑥). Sehingga 𝑓(𝑥) tak tereduksi atas ℚ. Tetapi dalam ring polinomial ℝ[𝑥] , polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2 dapat dinyatakan sebagai 𝑓(𝑥) = (𝑥 + √2)(𝑥 − √2) dengan 𝑥 + √2 dan 𝑥 − √2 bukan unit di ℝ[𝑥]. Sehingga 𝑓(𝑥) tereduksi atas ℝ. Teorema O-2 Andaikan F adalah suatu lapangan dan misalkan 𝑓(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] adalah suatu polinomial berderajat 2 atau 3. 𝑓(𝑥) tereduksi atas F jika dan hanya jika 𝑓(𝑥) mempunyai akar di F. Bukti Andaikan 𝑓(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] adalah suatu polinomial tereduksi berderajat 2 atau 3. Bila 𝑓(𝑥) dinyatakan sebagai 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥), maka salah satu dari polinomial 𝑔(𝑥) atau ℎ(𝑥) mestilah berderajat 1. Tanpa kehilangan keumuman pembuktian,



misalkan 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐹 adalah polinomial berderajat 1. Maka 𝑥 = −𝑏𝑎−1 adalah akar dari 𝑔(𝑥). Akibatnya 𝑓(−𝑏𝑎−1 ) = 𝑔(−𝑏𝑎 −1 )ℎ(−𝑏𝑎−1 ) = (0)ℎ(−𝑏𝑎−1 ) = 0 Yakni, 𝑓(𝑥) mempunyai akar di F. Andaikan sebaliknya 𝑓(𝑥) mempunyai akar di F. Misalkan 𝑎 ∈ 𝐹 adalah akar dari 𝑓(𝑥), maka menurut Akibat N-3 𝑓(𝑥) dapat dinyatakan sebagai 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)ℎ(𝑥). Jadi 𝑓(𝑥) adalah polinomial tereduksi atas F.



Contoh 44 Perhatikan polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 + 1 ∈ ℤ5 [𝑥]. Maka 𝑓(0) = 1, 𝑓(1) = 4, 𝑓(2) = 3, 𝑓(3) = 4, 𝑓(4) = 3 Sehingga 𝑓(𝑥) tidak mempunyai akar di ℤ5 . Menurut Teorema O-2 𝑓(𝑥) tak tereduksi atas ℤ5 . Sebaliknya polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 + 1 adalah tereduksi atas ℤ5 , karena 𝑓(1) = 0. Sehingga 𝑓(𝑥) dapat dinyatakan sebagai 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)ℎ(𝑥) = (𝑥 + 4)ℎ(𝑥). Dengan menggunakan pembagian panjang diperoleh 𝑥 3 + 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 4)(𝑥 2 + 𝑥 + 4). Berikut ini kita akan mendiskusikan kriteria-kriteria polinomial tereduksi atas ring bilangan bulat ℤ.



Definisi O-2 : Andaikan 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 adalah suatu polinomial di ℤ[𝑥]. Isi dari 𝑓(𝑥) didefinisikan sebagai pembagi persekutuan terbesar dari 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 . suatu polinomial 𝑓(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] dikatakan primitif jika isi dari 𝑓(𝑥) adalah 1 Contoh 46 Isi dari polinomial 𝑓(𝑥) = 6 + 4𝑥 + 10𝑥 2 + 18𝑥 6 adalah 2, karena pembagi persekutuan terbesar dari 6,4,10 dan 18 adalah 2. Sementara isi dari polinomial 𝑔(𝑥)3𝑥 + 9𝑥 3 + 4𝑥 5 adalah 1. Sehingga g(𝑥) adalah primitip. Teorema O-3 : Andaikan 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 ∈ ℤ[𝑥] dan misalkan 𝑝 adalah suatu bilangan prima. Bila 𝑝 tidak membagi 𝑎𝑛 , 𝑝 membagi dan 𝑝 tidak membagi 𝑎0 , maka 𝑓(𝑥) adalah tak tereduksi atas ℚ



Bukti : Cukup diperlihatkan bahwa 𝑓(𝑥) adalah tak tereduksi atas ℤ. Andaikan sebaliknya bahwa 𝑓(𝑥) tereduksi atas ℤ , kita berharap akan memperoleh suatu kontradiksi. Misalkan : 𝑓(𝑥) = 𝑏(𝑥)𝑐(𝑥) = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ + 𝑏′ 𝑥 ′ )(𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + ⋯ + 𝑐′ 𝑥 ′ ) Dengan 𝑏(𝑥)𝑐(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] dan 𝑟, 𝑠 < 𝑛 . karena 𝑝 membagi 𝑎0 = 𝑏0 𝑐0 dan 𝑝2 tidak membagi 𝑎0 = 𝑏0 𝑐0 , maka 𝑝 membagi salah satu dari 𝑏0 atau 𝑐0 tetapi tidak membagi keduanya. Tanpa kehilangan keumuman pembuktian, misalkan 𝑝 membagi 𝑏0 tetapi 𝑝 tidak membagi 𝑐0 . Selanjutnya karena 𝑝 tidak membagi 𝑎𝑛 = 𝑏𝑟 𝑐𝑠 , maka 𝑝 tidak membagi 𝑏𝑟 dan 𝑝 juga tidak membagi 𝑐𝑠 . Hal ini berakibat terdapat suatu bilangan bulat positif terkecil 𝑡 < 𝑛 , sehingga 𝑝 tidak membagi 𝑏𝑡 . Sekarang kita perhatikan koefisien 𝑎𝑡 dari 𝑓(𝑥) dengan 𝑎𝑡 = 𝑏0 𝑐𝑡−1 +. . +𝑏𝑡 𝑐0 Karena , proses pemilihan 𝑡 < 𝑛 , maka 𝑝 membagi 𝑎𝑡 dan 𝑝 membagi semua 𝑏𝑖 dengan 𝑖 < 𝑡. Hal ini berakibat bahwa 𝑝 harus membagi 𝑏𝑡 𝑐0 . Kontradiksi dengan kenyataan bahwa 𝑝 tidak membagi 𝑏𝑡 dan 𝑝 tidak membagi 𝑐0 . Sehingga 𝑓(𝑥) adalah tak tereduksi atas ℤ. Teorema O-3 disebut sebagai kriteria Einstein untuk polinomial tak tereduksi atas lapangan ℚ. Sebagai akibat langsung dari teorema O-3 kita peroleh fakta berikut ini. Akibat O-4 : Bila 𝑝 adalah suatu bilangan prima, maka polinomial siklotomik 𝑥𝑝 − 1 ɸ𝑝 (𝑥) = = 𝑥 𝑝−1 + 𝑥 𝑝−2 + ⋯ + 1 𝑥−1 Adalah tak tereduksi atas lapangan bilangan rasional ℚ. Bukti : Untuk memperlihatkan hal di atas, perhatikan polinomial ɸ𝑝 (𝑥 + 1) =



(𝑥 + 1)𝑝 − 1 (𝑥 + 1)𝑝 − 1 = (𝑥 + 1) − 1 𝑥



atau 𝑝 𝑝 ɸ𝑝 (𝑥 + 1) = 𝑥 𝑝−1 + ( ) 𝑥 𝑝−1 + ⋯ + (𝑝 − 2) 𝑥 + 𝑝 1 Untuk bilangan prima 𝑝, kriteria Einsenstein dipenuhi oleh polinomial ɸ𝑝 (𝑥 + 1). Sehingga ɸ𝑝 (𝑥 + 1) adalah tak tereduksi atas ℚ. Selanjutnya, bila ɸ𝑝 (𝑥) adalah tereduksi atas 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥), yakni ɸ𝑝 (𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) maka ɸ𝑝 (𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥 + 1)𝑔(𝑥 + 1) bertentangan dengan kenyataan bahwa ɸ𝑝 (𝑥 + 1) adalah tak tereduksi. Jadi polinomial ɸ𝑝 (𝑥) adalah tak tereduksi atas ℚ. P. SUBRING DI R [𝒙] Pada bagian kita akan membicarakan tentang subring dari ring polinomial R [𝑥] Teorema P-1 : Jika S subring dari R maka S[𝑥] subring di R [𝑥] Bukti : Misalkan 𝑅[𝑥] = {𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ ; 𝑎𝑖 ∈ 𝑅, 𝑖 ∈ ℤ+ }, dan S adalah subring dari R akan ditunjukkan bahwa 𝑆[𝑥] = {𝑔(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ ; 𝑏𝑖 ∈ 𝑅, 𝑖 ∈ ℤ+ } merupakan subring dari 𝑅[𝑥]   



𝑆[𝑥] ≠ ∅ sebab : ambil 0(𝑥) = 0 + 0𝑥 + 0𝑥 2 + ⋯ + 0𝑥 𝑚 dengan 0 ∈ 𝑆 sehingga 0(𝑥) ∈ 𝑆[𝑥] 𝑆[𝑥] ⊆ 𝑅[𝑥] (dari definisi) Ambil sebarang 𝑔(𝑥) dan ℎ(𝑥) ∈ 𝑆[𝑥] dengan 𝑔(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 dan ℎ(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ; 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 ∈ 𝑆. 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 ) − (𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ) = (𝑏0 − 𝑐0 ) + (𝑏1 − 𝑐1 )𝑥 + ⋯ + (𝑏𝑛 − 𝑐𝑛 )𝑥 𝑛 = 𝑑0 + 𝑑1 𝑥 + ⋯ + 𝑑𝑛 𝑥 𝑛 ∈ 𝑆[𝑥] dengan 𝑑𝑖 = 𝑏𝑖 − 𝑐𝑖 ∈ 𝑆



Dapat memandang 𝑓 sebagai suatu pemetaan 𝑓: 𝐹 → 𝐹.Sehingga𝑓(𝑎) = (𝑎 − 𝑎)𝑞(𝑎) + 𝑟 , yakni sisa hasil bagi 𝑟 = 𝑓(𝑎).



Akibat N-3 : 𝐴𝑛𝑑𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝐹 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑙𝑎𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑎 ∈𝐹 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥) ∈𝐹[𝑥] 𝑈𝑛𝑠𝑢𝑟 𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎h 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑓(𝑥) 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 (𝑥 - 𝑎) 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎h 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑓(𝑥) Akibat N-3 : Bukti : Dengan menggunakan algoritma pembagian,maka polinomial 𝑓(𝑥) dapat ditulis sebagai 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) Dengan 𝑟(𝑥) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑟(𝑥) 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 0. Bila 𝑎 pembuat nol dari 𝑓(𝑥), maka 𝑓(𝑎) = 0 = (𝑎 − 𝑎)𝑞(𝑥) + 𝑟, Yang berakibat 𝑟 = 0. 𝐽𝑎𝑑𝑖 (𝑥 − 𝑎) adalah faktor dari 𝑓(𝑥). Sebaliknya jika (𝑥 − 𝑎)adalah faktor dari 𝑓(𝑥) , maka terdapat polinomial 𝑞(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] sehingga 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑞(𝑥). Hal ini berakibat 𝑓(𝑎) = (𝑎 − 𝑎)𝑞(𝑎) = 0𝑞 (𝑎) = 0. Jadi 𝑎 adalah pembuat nol dari 𝑓(𝑥). Ini menunjukkan bahwa S[x] adalah suatu subgrup dari R[x] dengan operasi penjumlahan. 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) = (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑋 𝑛 )(𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ) = 𝑏0 𝑐0 + (𝑏0 𝑐1 + 𝑏1 𝑐0 )𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑐𝑛 𝑥 2𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ ∈ 𝑁[𝑥] Dengan 𝑐𝑖 = ∑𝑘+𝑗=𝑖 𝑏𝑘 𝑎𝑗 ; 𝑗 = 0,1,2, … Karena 𝑏𝑘 ∈ 𝑅 dan 𝑎𝑗 ∈ 𝑁 maka 𝑏𝑘 𝑎𝑗 ∈ 𝑁 Dengan demikian, 𝑁[𝑥] adalah ideal dari R[x]. Teorema P-2: Jika F adalah suatu lapangan maka setiap ideal di F[x] adalah ideal pronsipal (ideal utama).



Bukti: Misalkan N adalah suatu ideal dari F[x]. Jika N ={0} maka N = . Misalkan N ≠ {0} dan g(x) adalah suatu elemen tak kosong dengan derajat terkecil dalam N. Jika deg g(x) = 0 maka g(x) adalah unsur satuan di F sehingga N = F[x] = akibatnya N adalah ideal prinsipal. Jika deg.g(x)≥1, misalkan f(x) adalah suatu elemen dari N. Dengan f(x) = g(x) q(x) – r(x), dimana deg.r(x)) Misalkan ≠ {0} adalah ideal maksimal dari F[x]. Maka ≠ F[x], sehingga p(x) > ∉ F. Misalkan faktorisasi p(x) = f(x) g(x) di F[x]. Karena adalah ideal maksimal dan juga ideal prima, (f(x) g(x)) ∈ maka f(x) ∈ atau g(x) ∈ sehingga p(x) sebagai faktor dari f(x) atau g(x). Tetapi karena deg.f(x) < deg.p(x) dan deg.g(x) < deg.p(x) mengakibatkan p(x) adalah iredusibel atas F. (=>) Sebaliknya, jika p(x) adalah iredusibel atas F. Misalkan N adalah suatu ideal di F[x] sedemikian hingga ⊆ N ⊆ F[x]. Karena N adalah suatu ideal utama sehingga N = untuk suatu g(x) ∈ N maka p(x) ∈ N sehingga p(x) = g(x) q(x) untuk suatu q(x) ∈ F[x]. Tetapi p(x) adalah iredusibel maka 𝑑𝑒𝑔. 𝑔(𝑥) = 0 atau 𝑑𝑒𝑔. 𝑞(𝑥) = 0. Jika 𝑑𝑒𝑔. 𝑔(𝑥) = 0 dimana g(x) adalah polynomial konstan yang tak kosong, maka g(x) adalah unsur satuam di 𝐹[𝑥], sehingga < 𝑔(𝑥) ≥ 𝑁 = 𝐹[𝑥]. Jika 𝑑𝑒𝑔. 𝑞(𝑥) = 0 maka q(x) = c, dimana 𝑐 ∈ 𝐹 dan 𝑔(𝑥) = (1⁄𝑐 )𝑝(𝑥) berada di < 𝑝(𝑥) > sehingga 𝑁 =< 𝑝(𝑥) >. Oleh karena itu, < 𝑝(𝑥) >⊂ 𝑁 ⊂ 𝐹[𝑥], tidak mungkin terjadi, sehingga < 𝑝(𝑥) > adalah ideal maksimal.



Teorema P-4 : Suatu ring polynomial atas lapangan F adalah suatu daerah ideal utama.



Bukti : Misalkan F[x] adalah suatu ring polynomial atas lapangan F. Dari definisi, F[x] akan menjadi suatu daerah ideal utama jika dan hanya jika setiap ideal tak kosong dari F[x] adalah ideal utama.



Misalkan S adalah suatu ideal tak kosong dari F[x] dan g(x) adalah suatu polynomial tak kosong dengan derajat terkecil di S. Akan ditunjukkan bahwa S adalah ideal utama yang dibangun oleh g(x). Misalkan f(x) adalah suatu polynomial di S. Dari algoritma pembagian terdapat dua polynomial g(x) dan r(x) di F[x] sedemikian sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑟(𝑥) dengan 𝑟(𝑥) = 0 atau 𝑑𝑒𝑔. 𝑟(𝑥) < 𝑑𝑒𝑔. 𝑔(𝑥). Sekarang S menjadi suatu ideal, 𝑔(𝑥) ∈ 𝑆, 𝑞(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] → 𝑞(𝑥)𝑔(𝑥) ∈ 𝑆 dan 𝑓(𝑥) ∈ 𝑆, 𝑞(𝑥)𝑔(𝑥) ∈ 𝑆 → 𝑓(𝑥) − 𝑞(𝑥)𝑔(𝑥) ∈ 𝑆 → 𝑟(𝑥) ∈ 𝑆[ 𝑑𝑎𝑟𝑖 (1)] Tetapi karena 𝑑𝑒𝑔. 𝑟(𝑥) < 𝑑𝑒𝑔. 𝑔(𝑥), 𝑟(𝑥) tidak berada di S. Sehingga 𝑟(𝑥) ∈ 𝑆 → 𝑟(𝑥) = 0 Dan pers. (1) menjadi 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑔(𝑥) Sehingga S adalah ideal utama yang dibangun oleh g(x). Karena S adalah sebarang ideal dari F[x], berarti setiap ideal dari F[x] adalah ideal utama dan terbukti bahwa F[x] adalah daerah ideal utama.