Riset Operasi [PDF]

Citation preview

Nama : Muhammad Hafiansyah Surya K



NIM : 2034021017



Mata Kuliah : Riset Operasi dan TPK



1. Berikan beberapa contoh persoalan LP atara lain dalam bidang ekonomi, pemasaran, distribusi dan produksi. Berikan contoh pembatasan. a. Bidang ekonomi, contoh penerapannya fungsi permintaan, fungsi penawaran, fungsi biaya, fungsi penerimaan dan lain-lain. b. Bidang pemasaran, model linear programming banyak diterpakan dalam bidang pemasaran,diantaranya adalah masalah alokasi anggaran biaya advertensi, pemilihan media promosi,serta manajemen retailer dan salesman. c. Bidang ditribusi contoh penerapannya produsen berusaha meminimalkan biaya pengangkutan atau pengiriman antara beberapa kota/ tempat melalui beberapa alternatif untuk pengiriman. d. Bidang produksi, contoh penerapannya Dengan bantuan linear programming memungkinkan seorang manajer perusahaan untuk merancang jadwal produksi yang efesien. Masalah lain dalam bidang produksi adalah soal pencampuran bahan. Pembatasannya :Pimpinan perusahaan sebagai pembuat keputusan (decision maker), ternyata akan menghadapi pembatasan-pembatasan (limitation or constraints). misalnya jumlah permintaan masyarakat tidak sebanyak yang diproduksi, sehingga barang susah dijual. Pembatasan bukan berhenti disitu saja sebab mungkin dia menghadapi pembatasan seperti persediaan bahan mentah ternyata hanya tersedia sekian saja tidak bisa lebih, tenaga terampil yang aktif dan kreatif terbatas, machine hours untuk memproses produksi terbatas, modal terbatas, ruangan (storage) untuk menyimpan barang hasil produksi terbatas, dan last but not least, permintaan masyarakat ternyata juga terbatas (limited demand).



2. Sebutkan syarat –syarat agar persoalan dapat dipecahkan dengan teknik LP. Terangkan arti slack variable dan surplus variable        



Fungsi objektif harus didefinisikan secara jelas sebagai fungsi linear Ada alternatif pemecahan yang dipilih Sumber-sumber dan aktivitas Fungsi objektif dan ketidaksamaan yang menunjukkan adanya pembatasan Variabel keputusan harus positif dan tidak boleh ada yang negatif Sumber-sumber dan aktivitas memiliki sifat dapat di bagi serta terbatas Aktivitas harus proporsional berhubungan dengan sumber yang linear dan aktivitas Model progamming determanistik, artinya sumber dan aktivitas diketahui secara pasti.



Slack variable atau Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.



Surplus variable atau Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.



3. Pemecahan optimum dengan pembatasan, apa maksudnya dan berikan contoh. Persoalan yang timbul kernudian, bagaimana dapat mencapai hasil (output) yang optimum dengan memperhatikan input (men, money, material, time) yang tersedianya memang terbatas. Jadi mencari suatu pemecahan yang optimum dengan memperhatikan pembatasanpembatasan input. Inilah yang menjadi sasaran Riset Operasi, khususnya teknik linear programming. Pimpinan dalam menghadapi product-mix harus mencari pemecahan agar diperoleh maximum revenue atau maximum profit atau sebaliknya



minimum cost of production. Secara singkat, pemecahan optimal ialah pemecahan suatu persoalan untuk membuat nilai suatu fungsi (fungsi Obyektif/tujuan) menjadi maksimum atau minimum dengan pembatasan-pembatasan yg perlu diperhatikan. Contonya Jumlah devisa max,hasil penjualan max, biaya transport min, produksi barang max, dll. Pembatasan:tenaga kerja, material,uang, tempat,waktu,dll. 4. Apa arti pemecahan yang fisibel, pemecahan dasar yang fisibel, pemecahan LP yang optimum. Mengapa teknik LP sanngat berguna bagi ilmu ekonomi dan merupakan cara pendekatan pemecahan persoalan ekonomi yang rasional dan realistis? 



 



Pemecahan fisibel ialah pemecahan yg memenuhi semua syarat pembatasan. Jika ada n variabel dan m persamaan, maka akan diperoleh nCm=n!/(m!.(n-m)!) pemecahan dasar fisibel. Pemecahan dasar fisibel membuat nilai Z maksimum merupakan pemecahan optimal. Pemecahan optimal dicapai pada saat pemecahan dasar fisibel.







Penyelesaian masalah dengan acara manual atau analitik membutuhkan waktu yang lama dan kurang efisien karena proses perhitungan akan dilakukan berulangulang. Beberapa persoalan matematika tidak selalu dapat diselesaikan secara analitik, yaitu menggunakan Kalkulator dana dalam prakteknya jarang sekali suatu produk yang hanya memerlukan dua bahan mentah saja, sehingga penyelesaian masalah dapat menggunakan Aplikasi Linear Programming untuk mencapai hasil yang lebih realistis. 2. PERSAMAAN UTAMA Z = 6x1 + 4x2 :Maksimum



  X1 X2



M1 2 4 48



PEMBATASN Pembatasan I  2x1 + 4x2 ≤48 Pembatasan II 4x1 + 2x2 ≤ 60



M2 4 2 60



M3 3 0 36



Penjuala n 6000 4000



Pembatasan III3x1 + x2 ≤ 36 X1, X2 ≥0 Pembatasan I  2x1 + 4x2 = 48 Jika X1 = 0  X2 = 12



(12,0)



Jika X2 = 0  X1 = 24



(0,24)



Pembatasan II  4x1 + 2x2 = 60 Jika X1 = 0  X2 = 30



(30,0)



Jika X2 = 0  X1 = 15



(0,15)



Pembatasan III  3x1 + x2 = 36 Jika X1 = 0  X2 = 36



(36,0)



Jika X2 = 0  X1 = 12



(0,12)



ELIMINASI 2x1 + 4x2 = 48 x2 4x1 + 2x2 = 60



x



8x2 = 96 2x2 = 30



-



x2 = 6 SUBTITUSI 2x1 + 4(6) = 48 2x1 = 24 x1 = 12 Z = 6(12) + 4(6) Z = 96



a b c



TITIK



A



Z = 6(12) + 4(0) Z = 72 TITIK B Z = 6(7,2) + 4(10,3) Z = 84,4 TITIK C Z = 6(0) + 4(12) Z = 48 Jadi hasil penjualan maksimum berada di titik B sebesar 84,4 ribu 3. PERSAMAAN UTAMA Z = 20x1 + 35x2 + 50x2 :Maksimum



  X1 X2 X3



BAHA N MENT AH 10 12 20



WAKT U MESI N 3 5 6



PEMBATASN Pembatasan I  10x1 + 12x2 + 20x3 ≤300 Pembatasan II 3x1 + 5x2 + 6x3 ≤ 120 Pembatasan III2x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 90



TENA GA KERJA 2 4 5



X1, X2, X3 ≥0 4. Cari x1 , x2 s.r.s. : Z = 15x1 + 10x2 : maksimum d.p. : 2x1 + 3x2 ≤ 8 x1 + 2x2 ≤ 5 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Pecahkan dengan metode grafik. Jawab: (1) Titik potong kendala 1 : 2x1 + 3x2 ≤ 8, pembatasnya adalah 2x1 + 3x2 = 8 Perpotongan dengan sumbu x1 → x2 = 0 2x1 + 3(0) = 8 2x1 = 8 x1 = 4 → (4;0) Perpotongan dengan sumbu x2 → x1 = 0 2(0) + 3x2 = 8 3x2 = 8 X2 = 2,7 → (0;2,7) (2) Titik potong kendala 2 : x1 + 2x2 ≤ 5, pembatasnya adalah x1 + 2x2 = 5 Perpotongan dengan sumbu x1 → x2 = 0 x1 + 2(0) = 5 x1 = 5 x1 = 5 → (5;0) Perpotongan dengan sumbu x2 → x1 = 0 (1) + 2x2 = 5 2x2 = 5 x2 = 2,5 → (0;2,5) (3) Z = 15x1 + 10x2 → Z = 30 Perpotongan dengan sumbu x1 → x2 = 0 15x1 + 10(0) = 30 15x1= 30 x1 = 2 → (2;0) Perpotongan dengan sumbu x2 → x1 = 0



15(0) + 10x2 = 30 10x2= 30 x2 = 3 → (0;3)



Sudut B pada titik (4;0) Sudut C merupakan titik hasil perpotongan kendala 1 & 2 : x2 → 2x1 + 3x2 = 8 x1 2x1 + 3x2 = 8 x1 + 2x2 = 5 x2 2x1 + 4x2 = 10 -x2 = -2 x2 = 2 x1 →



2x1 + 3(2) = 8



2x1 = 8 – 6 2x1 = 2 x1 = 1 → (1;2)



Sudut pada titik D pada titik (0;2,5)



Kesimpulan: Z = 15x1 + 10x2 mencapai nilai maksimum = 60, pada nilai x1 = 4 dan x2 = 0. 5. Cari x1 , x2 s.r.s. : Z = 8x1 + 5x2 : minimum d.p. : 2x1 + x2 ≥ 15 3x1 + 2x2 ≥ 10 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Pecahkan dengan metode grafik. Jawab: (2) Titik potong kendala 1 : 2x1 + x2 ≥ 15, pembatasnya adalah 2x1 + x2 = 15 Perpotongan dengan sumbu x1 → x2 = 0 2x1 + (0) = 15 2x1 = 15 x1 = 7,5 → (7,5;0) Perpotongan dengan sumbu x2 → x1 = 0 2(0) + x2 = 15 x2 = 15 → (0;15) (3) Titik potong kendala 2 : 3x1 + 2x2 ≥ 10, pembatasnya adalah 3x1 + 2x2 = 10 Perpotongan dengan sumbu x1 → x2 = 0 3x1 + 2(0) = 10 3x1 = 10 x1 = 3,3 → (3,3;0)



Perpotongan dengan sumbu x2 → x1 = 0 3(0) + 2x2 = 10 2x2 = 10 x2 = 5 → (0;5) (4) Z = 8x1 + 5x2 → Z = 40 Perpotongan dengan sumbu x1 → x2 = 0 8x1 + 5(0) = 40 8x1 = 40 x1 = 5 → (5;0) Perpotongan dengan sumbu x2 → x1 = 0 8(0) + 5x2 = 40 5x2 = 40 x2 = 8 → (0;8)



Sudut A pada titik (0;0) Sudut B pada titik (7,5;0) Sudut C pada titik (0;15)



Kesimpulan: Z = 8x1 + 5x2 mencapai nilai minimum = 60, pada nilai x1 = 7,5 dan x2 = 0.



6. PERSAMAAN UTAMA Z = 7x1 + 6x2 + 5x2 :Minimum   X1 X2 X3  



M1 9 3 1 20



M2 1 8 2 18



M3 4 6 6 15



PEMBATASN Pembatasan I  9x1 + 3x2 + x3 ≤20 Pembatasan II x1 + 8x2 + 2x3 ≤ 18 Pembatasan III4x1 + 6x2 + 6x3 ≤ 15 X1, X2, X3 ≥0 7.



PERSAMAAN UTAMA Z = 8x1 + 3x2 + 3,50x2 :Minimum  



Bahan



buruh



harga



X1 X2 X3



1 2 2,5



4,5 7,0 3,5



8 2 3,50



PEMBATASN Pembatasan I  x1 + 2x2 +2,5 x3 ≤350 Pembatasan II 4,5x1 + 7x2 + 2,5x3 ≤ 352 X1 =50 X2 ≤ 0 X3 ≤150