Sejarah Perkembangan Integral Dan Aplikasi Sehari-Hari [PDF]

Citation preview

SEJARAH PERKEMBANGAN INTEGRAL DAN KEGUNAAN (APLIKASINYA) SEHARI-HARI



Disusun oleh Thessalonika Lunar Imanuella



KATA PENGANTAR



DAFTAR ISI



BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Matematika merupakan cabang ilmu pengetahuan yang amat menarik. Matematika punya tempatnya sendiri bersama fisika, kimia, dan biologi. Cabang ilmu satu ini sering disebut dengan ilmu universal karena semua ilmu akan merujuk pada matematika. Konon katanya, Matematika merupakan salah satu cara untuk kita memahami dunia yang amat kompleks. Matematika membagi cabang ilmunya lagi menjadi beberapa. Salah satu yang akan dibahas adalah Kalkulus. Kalkulus diambil dari bahasa latin calculus yang berarti batu kecil yang digunakan untuk menghitung. Kalkulus merupakan cabang ilmu matematika yang mencakup limit, integral, dan deret tak hingga. Kalkulus mempelajari tentang perubahan. Kalkulus memiliki cakupan aplikasi yang luas. Mulai dari bidang-bidang sains (fisika, kimia, biologi, matematika fisika, dll), ekonomi, dan teknik. Lebih sering kalkulus digunakan untuk memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus merupakan pintu gerbang menuju perlajaran matematika yang ebih tinggi. Khususnya, ketika mempelajari fungsi dan limit. Secara umum, topic tersebut masuk dalam matematika analisis. Untuk kali ini, hanya akan dibahas kalkulus integral. Integral adalah kebalikan dari proses diferesiasi. Integral ditemukan setelah matematikawan harus menyelesaikan masalah matematika yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.



Integral suatu objek matematika dapat diinterpertasikan sbagai luas wilayan ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses penggunaan integral disebut sebagai proses integrasi. Notasi matematika integral yang



unik berbentuk ‘s’ ∫ merupakan



singkatan dari sum. Integral mempunyai dua jenis yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Integral tentu jauh lebih umum digunakan sebab integral tertentu memiliki batas yang jelas. Sementara integral tak tentu cenderung tidak memiliki batas.



1.2. Rumusan Masalah 1. Bagaimana sejarah berkembangnya Kalkulus, khususnya Integral? 2. Siapa saja tokoh penting dalam perkembangan integral? 3. Bagaimana rumus perhitungan Integral pada umumnya? 4. Apa saja pengaplikasian Integral sehari-hari?



1.3. Tujuan 1. Mengetahui sejarah berkembangnya Kalkulus, khususnya Integral 2. Mengetahui siapa saja tokoh penting dalam perkembangan integral. 3. Mengetahui rumus umum perhitungan Integral 4. Mengetahui aplikasi Integral dalam kehidupan sehari-hari.



BAB II PEMBAHASAN 2. 1. Sejarah Berkembangnya Kalkulus a. Zaman Kuno (…-212 SM) Kalkulus berkembang sejak zaman kuno atau sebelum masehi. Ada. Beberapa pemikiran tentang kalkulus dapat ditemui pada Mesir Kuno pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) yang memperhitungkan volume dari Piramida Frustum. Namun, perhitungan kalkulus pada kurun waktu ini cenderung belum memiliki system yang baik dan sistematis.



Adalah



Archimedes yang mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristic yang sekarang ddenagn kalkulus integral. Dia mengembangkan sebuah metode yang sering disebut sebagai metode keletihan untuk menjumlahkan sejumlah besaran yang amat kecil. Beberapa sumbangan Archimedes bisa kita temukan dalam perhitungan rumus luar lingkaran, luas potong parabola, luas ellips, volume, dan luas permukaan bola dan volume kerucut, atau benda putar lainnya. b. Zaman Pertenghan (499 SM – Abad 16) Pada zaman pertengahan, mulailah muncul pemikir-pemikir brilian yang menyumbangkan banyak sekali pemikirannya dalam matematika terapan yang dipakai hingga sekarang. Dimulai



dari



matematikawan



India,



Aryabhata,



dia



mengungkapkan konsep kecil tak berhingga pada tahun 499 SM dan medeskripsikan tata cara astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Dari persamaan yang diungkapkan Aryabhata, seorang pemikir lainnya, Bhaskara II, mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan sangat kecil sehingga menjelaskan bentu awal dari “Teorema Rolle”. Maju 500 abad, pada abad 1000 M, matematikawan Irak bernama Ibn al-Haytham (Alhazen)



menjadi orang pertama yang



menghitung operasi pangkat empat. Dia juga menggunakan induksi



matematika dan mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Di abad 12, seorang Persia bernama Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil penting dalam kalkulus diferensial. Maju dua abad, pada abad 14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astromi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang ditulis dalam teks



Yuktibhasa,



J.



Kepler



sebagai



matematikawan



astronom



memperoleh data yang cermat mengenai orbit-orbit dari planet-planet sehingga sehingga melahirkan tiga hukum berhubungan dengan gerakan planet. (1). Planet bergerak dalam lintasan yang berupa ellips-ellips dengan matahari pada suatu fokusnya (2). Garis dari marahari ke planet membentuk luas sama dalam waktu sama. (3). Kuadrat periode kitaran sebanding dengan pangkat tiga dari garis tengah utama. c. Zaman Modern (Abad 17-sekarang) Pada zaman modern, penemuan terjadi pada awal abad ke 17 di Jepang oleh



matematikawan



seperti



Seki



Kova.



Di



Eropa,



beberapa



matematikawan seperti John Wills dan Isaac Barrow memberikan terobosan



dalam



kalkulus.



Pada



menerbitkan buku “La Geometri”



tahun



1637,



Rene



Descartes



yaitu penggabungan geometri tua



dengan aljabar. Geometri ini digunakan hingga saat ini dan dikenal sebagai Geometri Analitik/ gometri koordinat. B. Pascal (1623-1662) sebagai perintis utama dalam pengkajian teori probabilitas, koefisien bilangan yang terdiri dari koefisien-koefisien binomial yang dinamakan dengan segitiga pascal. Dari penemuan Pascal,



G. Leibniz dipengaruhi dan menemukan kalkulus. Pada Januari 1668, ketika



selama 18 bulan terjadi wabah pers, Isaac Newton menekuni



masalah matematika dalam waktu singkat. Dia juga dengan cepat menemukan teorema binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori warna, dan hukum gravitasi universal. Penemuan kalkulus yang dilakukan Newton dan Leibniz cukup dekat waktunya sehingga terjadi percekcokan antara pengikutnya. Leibniz sering disebut sebagai plagiat, padahal penelitian dan penemuan yang dilakukannya berbeda beberapa tahun. Sekarang, Leibniz disebut sebagai pioneer kalkulus dengan teori-teorinya. Leibniz juga orang pertama yang memberikan istiliah kalkulus. Ketika itu, Newton menyebut penemuannya dengan nama The Science of Fluxion. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus tahun 1668. Pada tahun 1691-1692 Benoulli menulis buku ajar pertamanya yang tidak menerbitkan bagian tentang kalkulus integral dan diferensial. Baru pada tahun 1696 L’Hospital menerbitkannya. Ditahun 1728 L. Euler memperkenalkan e sebagai bilangan dasar untuk logaritma asli dan memperlihatkan bahwa e dan e^2 adalah bilangan tidak rasional. Euler juga menemukan hubungan luar biasa ei = -1. Pada tahun 1738, Maria Agnesi menjadi wanita pertama yang mengembangkan kalkulus pada usia yang masih 20 tahun. Dia memulai karyanya dengan menerbitkan buku ajar kalkulus luas. Selanjutnya dia menerbitkan karyanya yang disebut versiere yang artinya membalik. Ilmuan



belia



J.



Lagrange



memulai



karyanya



“Mecanique



Analitigue” pada umurnya yang masih 19 tahun. Sayangnya, karyanya ini tidak diterbitkan. Namun, ketika ditemukan, idenya amat sangat berharga dalam metode pengali Lagrange. Kalkulus ditemukan jauh pada akhir abad 17, namun dasardasarnya tetap kacau hingga akhirnya Cauchy dan dan rekan sebayanya seperti Gauss, Abel, dan Bolzano, mengatakan ketelitian buku. Mereka



mneyumbangkan pemikiran yang memberikan definisi dasar kalkulus yang jela. Dalam kalkulus juga memberikan permbahasan tentang permukaan bidang lengkung termasuk Teorema Kedivergenan. Teori ini dianggap



masih



belum



lengkap.



Nantinya,



Karl



Wierstrass



mengembangkan teorinya secara lebih lengkap dengan deret fungsi dan menyusun



legitimasi



operasi-operasi



yang



demikian



sebagai



pengintegralan. Pada tahun 1854, G. Riemann memberikan definisi modern tentang integral tentu. Integral ini nantinya lebih dikenal dengan sebutan integral Riemann, sesuai dengan nama pendefinisinya. Teori



diferensial



selanjutnya



dikembangkan



oleh



Sonya



Kovalevsky, wanita lain yang menyumbangkan idenya dalam kalkulus. Tahun 1880, Gibbs mengembangkan perambangan dan aljabar vector. Maju sedikit, tahun 1961, gagasan-gagasan ini disajikan dalam buku mahasiswanya, E. B. Wilson yang berjudul “Vector Analysis”. Karya L. Lebesgue juga memajuan teori integral ganda. Dalam tesisnya, tahun 1902,



ia



mampu



memberikan



persyaratan



sederhana



yang



memperbolehkan integral ganda ditulis sebagi integral berulang (iterasi). Hasil yang belakangan disempurnakan oleh Guido Fubini.



2.2. Tokoh yang berperan besar dalam kalkulus 1. Archimedes (287-212 SM) Archimedes merupakan seorang pemikir, matematikawan yang sangat terkenal hingga sekarang. Berasal dari Syracuse, merupakan matematikawan tersebar pada zamannya. Merupakan turunan Yunani, ia menerima pendidikan di Alexandria, pusat pengajaran dan kebudayaan di Yunani. Alexandria juga hingga sekarang terkenal dengan perpustakaanya yang amat besar yang diisukan dibakar oleh penjajah. Archimedes pada masanya dikenal sebagai seorang inventor dan seorang ilmuwan praktis. Ia menciptakan sekrup Archimedes yang



digunakan untuk memompa air. Archimedes juga menyatakan sifat-sifat katrol dan pengungkit. Ia pernah menciptakan sebuah model mekanis yang meniru gerakan bulan dan planet-plante. Satu kali, untuk memuaskan raja Syracuse, ia menemukan cara untuk memutuskan apakah mahkota raja dibuat dari emas asli tanpa meleburnya dengan cara menenggelamkannya ke dalam air. Dari sini, terciptalah prinsip daya apung Archimedes. Penemuan-penemuan oleh Archimedes dianggapnya sebagai hiburan semata. Tulisan-tulisannya yang terbaik dan pikirannya yang paling tajam dicurahkan ke bagian dari matematika yang sekarang dikenal sebagai kalkulus integral. Dengan memakai metode di mana ia menjumlahkan sejumlah besaranbesaran yang sangat kecil, ia mengemukakan beberapa dari hasil-hasil itu. Sumbangannya berupa rumus luas lingkaran, luas dari potongan parabola, luas elips, volume dan luas permukaan bola, dan volume kerucut dan benda-benda putar lain. 2. René Descartes (1596-1650) Descartes dikenal sebagai ahli filsafat modern pertama yang besar. Ia juga seorang ahli fisika, biologi, dan matematikawan. Lahir di Tourine, Perancis, Descartes mengikuti jejak ayahnya yang seorang ahli hukum. Pada umur 20 tahun, Descartes telah mendapat gelar sarjana hukum dan selanjutnya menjalani hidunya sebagai seorang terhormat. Ia juga mengikuti dinas militer untuk beberapa tahun. Tingal di Paris hanya sementara sebelum pindah ke Belanda. Ia pergi ke Swedia untuk mengajar Ratu Christina di mana ia nantinya meninggal di sana akibat pneumonia pada tahun 1650. Pada masa hidupnya, Descartes menyelidiki suatu metode berpikir yang umum yang akan memberikan pertalian pada pengetahuan dan menuju kebenaran dalam ilmu-ilmu. Penyelidikan ini menuntunnya kepada matematika. Karya terbesarnya dan yang paling berpengaruh sepanjang masa terletak pada bukunya La Geometrie, yang diterbitkan pada tahun 1637. Di sini, ia mencoba suatu penggabungan dari geometri klasik dengan aljabar dasar. Penggabungan



ini disebut sebagai geometri analitik atau lebih familiar dengan sebutan gometri koordinat. 3. Gottfried Wilhelm Liebniz (1646-1716) Liebniz merupakan seorang jenius universal. Pengertiannya mencakup hukum, agama, filsafat, kesusateraan, politik, geologi, sejarah, dan matematika. Lahir di Leipzig, jerman, ia mendaftardi Universitas Leipzig dan nantinya mengambil gelar Doktornya di Universitas Altdorf. Seperti Descartes, Liebniz mencari suatu metode universal yang nantinya dapat memperoleh dan memahami kesatuan sifat-sifat dasarnya. Pada saat itu, Liebniz dan Isaac Newton menemukan kalkulus dalam waktu yang cenderung berdekatan. Ada debat yang cukup sengit waktu



itu



mengingat



keduanya



berasal



dari



negara



berbeda.



Liebniz



menciptakan lambang-lambang matematis terbesar seperti lambang baku dy/dx dan ∫ yang ditemukan oleh Leibniz. 4. Isaac Newton (1642-1727) Isaac Newton merupakan orang sederhana. Lahir pada keluarga petani di Inggris pada natal 1642. Isaac Newton awalnya menunjukkan sedikit sekali harapan akademis. Ia bosan dengan sekolah dan lebih memilih untuk bermain layangan, roda air, dan perkakas lainnya. Pamannya melihat bakat luar biasa pada anak itu dan meminta ibu Newton agar memperbolehkannya menyekolahkan Newton di Universitas Cambridge. Di situ ia bertemu Isaac Barrow. Ketika Inggris dilanda wabah pes pada tahun 1664-1665, Newton mengungsi kembali ke rumahnya. Selama 18 bulan di rumahnya, ia menekuni masalah matematika dan ilmu yang terkemuka. Dalam waktu itu juga ia menemukan teori binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial dan integral, teori warna-warna, dan hukum gravitasi universal. 5. Johann Bernoulli (1667-1748) Johann Bernoulli lahir dari keluarga yang hampir semuanya memiliki peran dalam ilmu matematika. Johann dan Jacques, saudaranya, merupakan perintisperintis terpenting dari kalkulus. Kedua bersaudara tersebut sering bersaing dan dengan sengit berusaha untuk mendapat pengakuan. Keluarga Bernoulli ini menangani semua jenis masalah dasar dalam kalkulus termasuk titik-titik balik,



panjang kurva-kurva, deret tak hingga, dan teknik-teknik pengintegralan. Johann menulis buku ajar kalkulus pada tahun 1691 and 1692 namun bagian kalkulus integral tidak diterbitkan hingga 1742. 6. Leonhard Euler (1707-1783) Merupakan seorang ilmuwan yang amat aktif. Euler menciptakan karya mengenai matematika hingga mencapai 75 buku. Euler memiliki minat dalam matematika dan fisika dan karya-karyanya tidak jauh dari sana. Ia menyumbang fungsi-fungsi transenden seperti fungsi bukan aljabar. Ia juga mengenalkan e sebagai bilangan dasar untuk logaritma natural, memperlihatkan bahwa e dan e^2 adalah bilangan irasional dan menemukan hubungan luar biasa bahwa e^iπ = -1 7. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Merupakan matematikawan terbesar setelah Newton. Orang-orang sebayanya memanggil



dia



dengan



sebutan



Pangeran



Matematikawan.



Gauss



menghabiskan hampir seluruh waktu hidupnya di observatorium astronomi di Gottingen, sebuah kota kecil di jantung Jerman. Di sini ia membangun tradisi kecil untuk matematikawan dan Gottingen dan universitasnya sebagai pusat matematika di dunia. Tradisi ini lalu berakhir akibat Hitler yang membubarkan tradisi ini, disebabkan karena sebagian staff yang bekerja pada Gauss merupakan orang Yahudi. Tesis doktornya pada tahun 1799 memberikan bukti pertama dari Teorema DasarAljabar. Karya klasiknya yaitu Disquisitiones Arithmeticae tahun 1801 merupakan buku yang paling berpengaruh tentang teori bilangan sepanjang masa. Dia juga menyumbang dalam permukaan melengkung termasuk Teorema Kedivergenan. 8. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) Lahir di Pris dan dididik di Ecole Polytechnique. Cauchy dan rekan-rekannya merupakan orang yang mengadakan ketelitian baku. Ia memberikan definisi jelas pada konsep limit, sesuatu yang cukup berantakan pada waktu ia hidup. 9. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)



Hidup Riemann singkat dan ia meninggal akibat TBC. Riemann merupakan seseorang yang memberi definisi modern tentang integral tentu.



2.3. Rumus Umum Integral Integral merupakan susuan ditemukannya masalah dalam diferensiasi. Operasi integral dilambangkan dengan ∫. Agar lebih jelas digunakan pernyataan berikut: F₁(x) = x^2 + 5x – 6



maka F₁’(x) = 2x + 5



F₂(x) = x^2 + 5x + 12



maka F₂’(x) = 2x + 5



F₃(x) = x^2 + 5



maka F₃’(x) = 2x + 5



Pada fungsi yang berbeda konstanta diperloleh dalam bentuk turunan /derivative yang sama. Operasi dari F(x) menjadi F’(x) merupakan kebalikaan dari F’(x) menjadi F(x) disebut dengan INTEGRAL (anti turunan)



Integral Tak Tentu Merupakan



suatu



bentuk



operasi



pengintegralan



suatu



fungsi



yang



menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variable) atau batas atas dan batas bawah sehingga cara pengintegralan yang dihasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu. Ada beberapa aturan yang harus digunakan dalam penyelesaian integral :



Integral tak tentu juga berhubungan dengan fungsi-fungsi trigonometri. Berikut adalah fungsi-fungsi trigonometri.



Dari rumus-rumus tersebut, F’(x) = f(x) integral tak tentu di dapat sebagai berikut.



Sedangkan aturan integral tak tentu dar fungsi-fungsi trigonometri dalam variable sudut ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut:



Integral Tentu Merupakan proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Yang membedakan dengan integral tertentu adalah integral tentu memiiki batas bawah dan batas atas sebuah integral. Secara umum, integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas dapat dirumuskan sebagai berikut:



Sifat dari integral tertentu dinyatakan sebagai berikut :



2.4. Penggunaan Integral dalam Kehidupan Sehari-hari 1. Bidang Ekonomi 



Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya







Mencari biaya total







Mencari penerimaan total







Mencari pola konsumsi







Mencari besar tabungan







Mencari capital dari investasi



2. Teknologi 



Menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu







Menentukan kecepatn pesawat ulang alik Endeavour dalam menentukan ketinggian maksimum pada waktu tertentu







Memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume, panjang kurva, perkiraan populasi, kardiak, gaya pada bendungan, usaha, dsb



3. Fisika 



Analisis rangkaian listrik arus AC







Analisis medan magnet pada kumparan







Analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung



4. Matematika 



Menentukan luas suatu bidang







Menentukan volume benda putar







Menentukan panjang busur



BAB III PENUTUP 3.1. Kesimpulan