Single Index Model PDF [PDF]

Citation preview

Single Index Model (Model Indeks Tunggal) Mujibah A Sufyani, SE., MM Ardi Gunardi, SE., MSi., CSRA Erik Syawal Alghifari, SE., MM



FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS UNIVERSITAS PASUNDAN



Single Index Model ü



ü



ü



William F. Sharpe (1963) mengembangkan model indeks tunggal (single-index model). Model ini menyederhanakan perhitungan di model portofolio Markowitz dengan menyediakan parameterparameter input yang dibutuhkan dalam perhitungan model portofolio Markowitz. Di samping itu, model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasi dan risiko portofolio.



Model indeks tunggal dan komponen returnya Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa harga dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks pasar. Hal ini menyarankan bahwa return-return dari sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadap perubahanperubahan nilai pasar. Model indeks tunggal membagi return sekuritas ke dalam dua komponen utama, yaitu: ● Komponen return yang unik (αi) hanya berhubungan dengan peristiwa mikro (micro event) yang hanya mempengaruhi perusahaan tertentu saja. ● Sedangkan komponen return yang berhubungan dengan return pasar (βi) menyangkut kejadian-kejadian makro yang mempengaruhi seluruh perusahaan.



Dengan dasar tersebut, return dari suatu sekuritas dan return dari indeks pasar yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan:



𝐑𝐢 = 𝐚𝐢 + 𝛃𝐢 . 𝐑𝐦



Model indeks tunggal juga dinyataka dalam retrun ekspektasian, dirumuskan:



E(Ri) = E(αi) + E(βi . RM) + E(ei)



E(Ri) = αi + βi . E(RM)



Ri= return sekuritas ke-i ai=suatu variabel acak yang menujukkan komponen dari return sekuritas ke-i yang indepeden terhadap kinerja pasar 𝛃𝐢 = Beta, yang merupakan koefisien yang mengukur perubahan Ri akibat dari perubahan RM. RM=Tingkat return dari indeks pasar, juga merupakansuatu variabel acak.



Contoh: Dik: return ekspektasian dari indeks pasar E(RM) adalah 20%. Bagian dari return ekspaktasian suatu sekuritas yang independen tehadap pasar (αi) adalah 4% dan βi sebesar 0,75. model indeks tunggal mengestimasikan besarnya return ekspektasi untuk sekuritas ini sebesar: E(Ri) = αi + βi . E(RM)



Jika ternyata nilai return realisasi sebesar ‘misalnya’ 21% maka besarnya kesalahan estimasi (ei) adalah sebesar:



21% - 19% = 2%



E(Ri) = 4% + 0,75 . 20% = 19%



Maka model indeks tunggal untuk sekuritas ini adalah:



Ri = 19% + ei



Jika nilai retrun realisasinya sama dengan nilai return yang diharapkan, maka investor mengestimasi retrun ekspektasian tanpa kesalahan.



Jenis-Jenis Model Penyerderhanaan Indeks 1. ASUMSI MODEL INDEKS TUNGGAL



2. VARIAN RETURN SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL



3. PARAMETER – PARAMETER INPUT UNTUK MODEL MARKOWITZ



ASUMSI MODEL INDEKS TUNGGAL Kesalahan residu dari sekuritas ke-I tidak berkorelasi dengan kesalahan residu sekuritas ke-j atau ei tidak berkorelasi dengan ej untuk semua nilai i dan j. asumsi ini secara matematis dapat dituliskan:



Karena secara konstruktif bahwa E(ei) dan E(ej) adalah sama dengan nol, maka : Cov (ei,ej) = E (ei,ej) ●



●



Asumsi dari model indeks tunggal mempunyai implikasi bahwa sekuritas bergerak bersamaan bukan karena efek diluar pasar (misalnya efek dari industri / perusahaan itu sendiri) melainkan karena mempunyai hubungan yang umum terhadap indeks pasar. Asumsi ini digunakan untuk menyederhanakan masalah



Varian return sekuritas model indeks tunggal Secara umum, varian return dari suatu sekuritas dapat dinyatakan sebagai:



Maka rumus varian return sekuritas berdasarkan model indekstunggal sebagai berikut:



Resiko (varian return) sekuritas yang dihitung berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian: ● Resiko yang berhubungan dengan pasar (market related risk), yaitu: ●



Resiko untuk masing – masing perusahaan (unique risk), yaitu:



Contoh soal A: Return saham PT.A dan return indeks pasar selama 7 periode dan rata-rata aritmatikanya adalah sebagai berikut: Periode ke-t



Retrun saham PT.A (RA)



Retrun Indeks Pasar (RM)



1 2 3 4 5 6 7



0,060 0,077 0,095 0,193 0,047 0,113 0,112



0,040 0,041 0,050 0,055 0,015 0,065 0,055



0,09957



0,04586



Rata-rata aritmatika



Diketahui αi dan βi adalah konstan dari waktu ke waktu. Dan βA untuk sekuritas PT.A adalah 1,7.



PERTANYAAN: 1. Nilai ekspektasian PT.A (αA)? 2. Nilai ekspektasian dari kesalahan residu E(eA)? 3. Varian dari kesalahan residu? 4. Varian dari return pasar? 5. Total resiko berdasarkan model indeks tunggal dan varian return sekuritas.?



Jawaban :



● 1.



2. E(eA) = (-0,0296-0,0143-0,0116+0,0779 +0,0001-0,0191-0,0031) / (7-1) =0 3. 𝜎𝑒𝐴2 = [(−0,0296 − 0)2 + (−0,0143 − 0) +(-0,0116-0)2 + (0,0779 − 0)2 +(0,0001-0)2 + (−0,0191 − 0)2 +(-0,0031-0)2 ]/(7 − 1) = 0,0068/6 = 0,00128



Periode ke-t



eA,t = RA,t - αA – (ΒA . RM,t)



1 2 3 4 5 6 7



eA,1=0,060-0,0216-(1,7.0,040)=-0,0296 eA,2=0,077-0,0216-(1,7.0,041)=-0,0143 eA,3=0,095-0,0216-(1,7-0,050)=-0,0116 eA,4=0,193-0,0216-(1,7-0,055)=0,0779 eA,5=0,047-0,0216-(1,7-0,015)=0,0001 eA,6=0,113-0,0216-(1,7-0,065)=-0,0191 eA,7=0,112-0,0216-(1,7-0,055)=-0,0031



𝟒. 𝛔𝐌 𝟐 = [(𝟎, 𝟎𝟒𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 + (𝟎, 𝟎𝟒𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 + (𝟎, 𝟎𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 + (𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 + (𝟎, 𝟎𝟏𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 +(𝟎, 𝟎𝟔𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 + (𝟎, 𝟎𝟓𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 ]/(𝟕 − 𝟏) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟓𝟔/𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔



5. a.total resiko berdasarkan model indeks tunggal 𝜎𝐴 2 = 𝛽𝐴 2 . 𝜎𝑀 2 + 𝜎𝑒𝐴 2 = (1,7)2 . 0,00026 + 0,00128 = 0,002



b. Total resiko berdasarkan varian retrun sekuritas 𝜎𝐴2 = [(0,060 − 0,09957)2 +(0,077 − 0,09957)2 +(0,095 − 0,09957)2 +(0,193 − 0,09957)2 +(0,047 − 0,09957)2 +(0,113 − 0,09957)2 +(0,112 − 0,09957)2 ]/(7 − 1) = 0,002



KOVARIAN RETURN ANTARA SEKURITAS MODEL INDEKS KOVARIAN RETURN ANTARA SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL Rumus kovarian retrun antar dua sekuritas I dan j dapat dituliskan :



𝝈𝒊𝒋 = 𝜷𝒊 . 𝜷𝒋 . 𝝈𝑴 𝟐 Contoh : Dua buah sekuritas A dan B masing-masing mempunyai Beta yaitu βA=1,7 dan βB=1,3. Varian return dari indeks pasar diketahui sebesar 0,00026. Kovarian antara sekuritas A dan B adalah : Jawab : σij= βA . βB . σM² = 1,7 . 1,3 . 0,00026 = 0,00057



PARAMETER – PARAMETER INPUT UNTUK MODEL MARKOWITZ Model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasi (E(Ri)), varians dari sekuritas (σi2), dan kovarians antar sekuritas (σij) yang merupakan parameter-parameter input untuk analisis portofolio menggunakan model Markowitz.



●



CONTOH SOAL B: Periode Ke-t



Return saham PT ‘A’ (RA)



Return saham PT ‘B’ (RB)



Return index Pasar (RM)



1 2 3 4 5 6 7



0,060 0,077 0,095 0,193 0,047 0,113 0,112



0,15 0,25 0,30 0,40 0,27 0,15 0,55



0,040 0,041 0,050 0,055 0,015 0,065 0,055



Rata-rata



0,09957



0,2957



0,04586



Setelah perhitungan seperti contoh A : Dik :



𝛽𝐴 = 1,7, 𝜎𝐴2 = 0,02, 𝜎𝑀2 = 0,00026, 𝛽𝐵 = 1,3, 𝜎𝐵2 = 0,01998, 𝑊𝐴. 𝐵 = 0,5 Hitunglah 1) Kovarian antara return PT.A dan PT.B 2) Risiko portofolio berdasarkan model indeks tunggal



1.



Return Ekspektasi Portofolio 𝒏



𝒏



𝑬(𝑹𝑷 ) = ' 𝒘𝒊 . 𝜶𝒊 + ' 𝒘𝒊 . 𝜷𝒊 . 𝑬(𝑹𝑴 ) 𝒊=𝟏



2.



𝒊=𝟏



Resiko Portofolio 𝒏



𝒏



𝝈𝒑 𝟐 = (& 𝒘𝒊 . 𝜷𝒊 )𝟐 . 𝝈𝑴𝟐 + (& 𝒘𝒊 . 𝝈𝒆𝒊 )𝟐 𝒊=𝟏



𝒊=𝟏



Jumlah sekuritas (n)



Perbandingan jumlah parameter antara model Markowitz dengan model indeks tunggal



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100 200 500 1000 5000 10000



jumlah parameter yang harus dihitung model Makrowitz model indeks tunggal n + (n.(n-1)/2 (2.n+1) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 210 1275 5050 20100 125250 500500 12502500 50005000



3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 41 101 201 401 1001 2001 10001 20001



Dari contoh A dan B, telah dihitung besarnya 𝝈𝑴𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔, 𝝈𝒆𝑨𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟖 dan 𝝈𝒆𝑩𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟗𝟓𝟒. diketahui 𝜷𝒂 = 𝟏, 𝟕, 𝜷𝑩 = 𝟏, 𝟑, wA = 0,5 dan wB = 0,5. Maka risiko portofolio yg dihitung berdasarkan model indeks tunggal: 𝒏



𝒏



𝝈𝒑 𝟐 = (6 𝒘𝒊 . 𝜷𝒊 )𝟐 . 𝝈𝑴𝟐 + (6 𝒘𝒊 . 𝝈𝒆𝒊 )𝟐 𝒊=𝟏



𝒊=𝟏 𝟐



= (𝟎, 𝟓 . 𝟏, 𝟕 + 𝟎, 𝟓 . 𝟏, 𝟑) . 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔 + (𝟎, 𝟓 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟖 + 𝟎, 𝟓 . 𝟎, 𝟎𝟏𝟗𝟓𝟒)𝟐 = 0,000585 + 0,0001084 = 0,0006934 o



o



Semakin banyak sekuritas dalam portofolio maka nilai resiko yang tidak sistematik akan semakin kecil nilainya dan akan bernilai nol jika jumlah sekuritas semakin besar. Resiko portofolio yang terdiversifikasi dengan baik hanya terdiri dari unsur sistematik saja. Asumsi dari model indeks tunggal adalah bahwa sekuritas tidak berkorelasi satu dengan yang lainnya membuat risiko sistematik akan cepat hilang dengan bertambahnya aktiva. Namun jika kenyataannya sekuritas berkorelasi dengan yang lainnya, kecepatan menurunnya risiko dengan bertambahnya aktiva akan semakin lambat



PORTOFOLIO OPTIMAL BERDASARKAN MODEL INDEKS TUNGGAL



E (Ri ) - RBR ERBi = Bi Dimana : ERBi = excess return to beta securities E(Ri) = Ekspektasi return berdasarkan model indeks tunggal untuk sekuritas i RBR = Return bebas resiko Bi = Beta Sekuritas i



Langkah-langkah untuk menentukan besarnya titik pembatas adalah sebagai berikut : 1. Urutkan sekuritas berdasarkan nilai ERB terbesar ke kecil, yang terbesar merupa-kan kandidat untuk dimasukkan ke dalam Portofolio Optimal 2. Hitung nilai Ai dan Bi untuk masing-masing sekuritas ke i, sebagai berikut



{ E (Ri ) - RBR }.Bi A= i



s



2.a



2 ei



Bi = 2.b



Bi



2 s ei



3. Menghitung nilai Ci 3.a



Ci =



σ m2 å Ai



1 + σ m2 å Bi



σm2 = varian dari return Indeks Pasar. Dengan mensubstitusikan nilai Ai dan Bi maka rumus Ci menjadi C* 4. Besarnya cut off point (C*) adalah nilai Ci yang terbesar Sekuritas yang membentuk Portofolio Optimal adalah sekuritas yang mem-punyai nilai ERB lebih besar atau sama nilainya. ERB di titik C* adalah nilai ERB yang kecil, tidak disertakan dalam pembentukan Portofolio Optimal.



5. Menentukan besarnya proporsi sekuritas



Zi wi = å Zi



5.a



bi zi = 2 (ERBi - C *) s ei



wi = Proporsi Sekuritas k = jumlah sekuritas di portofolio βi = beta sekuritas ke-i σ2ei = varian dari kesalahan residu sekuritas ke-I ERBi=excess retrun to Beta sekuritas ke-i C* =nilai Ci terbesar



5.b



Contoh D: Nilai Saham A B C D E



E(Ri) 20 19 27 23 25



βi 2,00 1,50 2,00 1,50 1,80



σ2ei 5,0 4,0 7,5 5,0 2,0



ERBi 5 6 8,5 8,677 8,333



Diketahui: 1. Retrun aktiva bebas resiko (RBR)=10% 2. Varian indeks pasar = 10%



Untuk masing –masing sekuritas dapat dihitung yg hasilnya disajikan ditabel berikut:



Nama E(Ri) Bi Saham D C E B A



23 27 25 19 20



1,50 2,00 1,80 1,50 2,00



𝝈𝒆𝒊 𝟐 5,0 7,5 2,0 4,0 5,0



ERBi Ai



8,677 8,5 8,33 6 5



3,9 4,533 13,5 3,375 4



Bi



0,45 0,533 1,62 0,563 0,8



𝒊



𝒋



% 𝑨𝒊



% 𝑩𝒋



𝒊=𝟏



𝒋=𝟏



3,9 8,433 21,933 25,308 29,308



0,45 0,983 2,603 3,166 3,966



Ci



7,091 7,787 8,114 7,749 7,208



Perhitungan: Ai = Ai =



{E (Ri ) - RBR }.Bi s ei2



(23 - 10 ).1,50 5,0



= 3,9



Bi =



Bi 2



s ei2



1,50 2 = = 0,45 5,0



i



å Aj = Ai +å Ai



sebelumnya



j =1



Ci =



i



å Bj = Bi +å Bi



sebelumnya



2 σm å Ai



2 1 + σm å Bi



j =1



Sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas yang mempunyai Erb lebih besar dari Ci, yaitu sekuritas D, C, dan E



i 1 2 3



Nama E(Ri) Bi 𝝈𝒆𝒊 𝟐 ERBi Ci Zi Wi Saham D 23 1,50 5,0 8,677 7,091 0,159 0,346 C 27 2,00 7,5 8,5 7,787 0,103 0,224 E 25 1,80 2,0 8,333 8,114 0,197 0,429 Total 1,000



Nilai Zi di tabel dihitung berdasarkan rumus 5.b, sebagai berikut: Z1=(1,50/5,0)(8,677 – 8,114) = 0,159 Z2=(2,00/7,5)(8,5 – 8,114) = 0,103 Z3=(1,80/20)(8,333 – 8,114) = 0,197 Besarnya nilai Σ Zj adalah sebesar Z1 + Z2 + Z3 atau 0,159 + 0,103 + 0.197 = 0,459 Nilai wi merupakan proporsi sekuritas ke-i. dapat dihitung berdasarkan rumus 5.a W1 = 0,159/0,459 = 0,346 = 34,6% W2 = 0,103/0,459 = 0,225 = 22,5% W3 = 0,197/0,459 = 0,429 = 42,9%



THANKS CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics & images by Freepik Please keep this slide for attribution.