Sistem Koordinat [PDF]

Citation preview

SISTEM KOORDINAT Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Salah satu Tugas Pada mata kuliah“Matematika 3”



Disusun Oleh: BINTI MASCHURROH NIM: 210610008



Dosen Pengampu: KURNIA HIDAYATI. M.Pd.



SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI



(STAIN) PONOROGO 2012



KATA PENGANTAR



Segala puji bagi Allah SWT, tak lupa sekuntum sholawat bertangkaian salam tetap terlimpahkan kepada Nabi Agung Muhammad SAW yang telah membawa umatnya menuju zaman sekarang ini. Pada kesempatan ini saya menyusun makalah ini yang berjudul “SISTEM KOORDINAT” guna memenuhi tugas pada mata kuliah Matematika 3. Saya selaku penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyusun makalah ini. Sebagai manusia biasa saya menyadari masih banyak kesalahan dan kekurangan. Sebab itu saya minta maaf dan mohon kritik serta sarannya agar menjadi lebih baik dan mendekati sempurna. Semoga makalah ini bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi rekan-rekan semua umumnya. Amin.



Ponorogo, 21 Maret 2012



Penyusun



DAFTAR ISI



HALAMAN JUDUL........................................................................................



i



KATA PENGANTAR......................................................................................



ii



DAFTAR ISI....................................................................................................



iii



BAB I



: PENDAHULUAN



A. Latar Belakang..........................................................................



1



B. Rumusan Masalah......................................................................



1



BAB II



: PEMBAHASAN A. Membuat Denah Letak Benda................................................... B. Mengenal Koordinat Posisi Sebuah Benda................................. C. Menentukan Posisi Titik Pada Sistem Koordinat Cartesius..........



2 3 4



D. Menyelesaikan Masalah Yang Berkaitan dengan Sistem Koordinat Cartesius BAB III



5



: PENUTUP Kesimpulan.....................................................................................



7



DAFTAR PUSTAKA



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehai-hari kita sering menjumpai gambar peta. Peta sangat memudahkan kita dalam mencari suatu tempat atau wilayah. Di peta juga terdapat garis lintang dan garis bujur. Dalam Ilmu Matematika itu disebut sistem koordinat.Pada makalah ini saya akan membahas lebih dalam tentang sitem koordinat.



B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana membuat denah letak benda? 2. Bagaimana mengenal koordinat posisi sebuah benda? 3. Bagaimana menentukan posisi titik pada sistem koordinat cartesius? 4. Bagaimana menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem koordinat cartesius?



BAB II PEMBAHASAN



A. Membuat Denah Letak Benda Perhatikan denah berikut:



Dari denah tersebut, kamu dapat memperoleh informasi berikut. 1.



Sebelah timur Kantor Kelurahan terdapat perumahan penduduk.



2.



Puskesmas terletak di sebelah barat perkebunan kelapa.



3.



Sebelah utara komplek perumahan terdapat perkebunan kelapa dan sekolah.



4.



Jembatan terletak di sebelah selatan pesawahan. Latihan 1



Perhatikan denah di atas 1. Di sebelah utara puskesmas terdapat... 2. Kompleks perumahan terdapat di sebelah... Pasar Tradisional 3. Di sebelah barat perumahan penduduk terdapat... Jawaban: 1. Perumahan Penduduk 2. Timur 3. Kantor Kelurahan



B. Mengenal Koordinat Posisi Sebuah Benda Koordinat adalah bilangan yang dipakai untuk menunjukkan lokasi suatu titik di garis permukaan atau ruang. Koordinat dapat memudahkan kita dalam menemukan letak benda. Latihan 2 Perhatikan gambar berikut:



1. Telepon terletak di posisi (3, B). 2. Helm terletak di posisi (6, ...). 3. Tempat pensil terletak di posisi (..., F). 4. Motor terletak di posisi (..., ...). 5. Kursi terletak di posisi (..., ...). 6. Komputer terletak di posisi (..., ...). 7. Rumah terletak di posisi (..., ...). 8. ... terletak di posisi (7, A). 9.



... terletak di posisi (5, E).



10. ... terletak di posisi (4, C). Jawaban: 1. (3, B) 2. (6, B) 3. (2, F) 4. (4, F) 5. (6, G) 6. (1, G) 7. (7, F)



8. Handphone 9. Mobil 10. Rumah Sakit



C. Menentukan Posisi Titik Pada Sistem Koordinat Cartesius Sumbu diagram terdiri dari dua garis yang berpotongan tegak lurus. Garis yang mendatar disebut sumbu x dan yang tegak disebut sumbu y. Titik potong sumbu x dan y disebut titik asal. Titik ini dinyatakan sebagai titik nol. Pada sumbu x dan sumbu y terletak titik yang berjarak sama. Pada sumbu x dari titik nol ke kanan dan seterusnya merupakan bilangan positif, sedangkan dari titik nol ke kiri dan seterusnya merupakan bilangan negatif. Pada sumbu y, dari titik nol ke atas merupakan bilangan positif, dan dari titik nol ke bawah merupakan bilangan negatif. Setiap titik pada bidang cartesius dihubungkan pada jarak tertentu ke sumbu x yang disebut absis, sedangkan jarak tertentu ke sumbu y disebut ordinat. Absis dan ordinat mewakili pasangan bilangan (pasangan berurut) yang disebut koordinat. Penulisan koordinat ditulis dalam tanda kurung. Koordinat x selalu ditulis terlebih dahulu diikuti tanda koma dan kemudian koordinat y. Garis tegak lurus pada bidang cartesius, membagi bidang menjadi empat bagian, yang dinamakan kuadran, yaitu kuadran 1, kuadran 2, kuadran 3, dan kuadran 4. Pada kuadran 1 nilai x dan y positif, pada kuadran 2 nilai x negatif dan nilai y positif, pada kuadran 3 nilai x negatif dan nilai y negatif, dan pada kuadran 4 nilai x positif dan nilai y negatif



Latihan 3 Gambarlah pada kertas berpetak sebuah bidang koordinat kemudian tentukan letak titik-titik A (-2, 2), B (3, 2), C (3, -3), D (-2, -3) Jawaban:



D. Menyelesaikan Masalah Yang Berkaitan dengan Sistem Koordinat Cartesius Untuk memudahkan pebacaan peta, sering peta dilengkapi garis bantu yang mendatar dan tegak atau garis lintang dan garis bujur. Dasar pembuatan garis tersebut merupakan dasar dari bidang koordinat.



Latihan 4 Gambar dibawah menunjukkan peta propinsi Aceh.



Salin dan lengkapilah pernyataan-pernyataan berikut di buku latihanmu. 1. Kota Janto terletak pada koordinat (4, ...). 2. Kota Meulaboh terletak pada koordinat (..., J). 3. Kota Langsa terletak pada koordinat (..., ...). 4. Kota ... terletak pada koordinat (9, F). 5. Kota ... terletak pada koordinat (9, N). Jawaban: 1. (4, N) 2. (5, J) 3. (12, K) 4. Tapak Tuan 5. Lhoksumawe



BAB III PENUTUP



KESIMPULAN 1. Menentukan letak suatu benda atau lokasi dapat dilakukan dengan memperhatikan denah suatu benda atau lokasi. 2. Titik koordinat sangat berguna untuk mengetahui posisi suatu kota, gunung, danau dan lain sebagainya dalam bidang datar yang disebut peta. 3. Sumbu diagram terdiri dari dua garis yang berpotongan tegak lurus. Garis yang mendatar disebut sumbu x dan yang tegak disebut sumbu y. Titik potong sumbu x dan y disebut titik asal. Titik ini dinyatakan sebagai titik nol. 4. Setiap titik pada bidang Cartesius dihubungkan dengan jarak tertentu ke sumbu x yang disebut absis, sedangkan jarak tertentu ke sumbu y disebut koordinat. Absis dan ordinat mewakili pasangan bilangan atau pasangan berurut yang disebut koordinat.



PENGERTIAN Koordinat adalah suatu titik hasil dari perpotongan antara garis lintang dan garis bujur yang menunjukan suatu objek baik itu orang, lokasi atau gedung dalam sebuah lokasi di lapangan atau bumi dengan di peta. Pengertian lain dari koordinat yang dilansir dari wikipedia, Koordinat adalah kedudukan suatu titik pada peta.



TUJUAN



Pengertian Koordinat Koordinat adalah suatu titik hasil dari perpotongan antara garis lintang dan garis bujur yang menunjukan suatu objek baik itu orang, lokasi atau gedung dalam sebuah lokasi di lapangan atau bumi dengan di peta. Pengertian lain dari koordinat yang dilansir dari wikipedia, Koordinat adalah kedudukan suatu titik pada peta. Secara teori, koordinat merupakan titik pertemuan antara absis dan ordinat. Koordinat ditentukan dengan menggunakan sistem sumbu, yakni perpotongan antara garis-garis yang tegak lurus satu sama lain. Sistem Koordinat Peta Sistem koordinat pada peta terbagi dua, yaitu; 1. Sistem Koordinat 2 Dimensi a. Sistem Koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua salib sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y. b. Sistem Koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Sistem kooerdinat 3 Dimensi a. Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 Dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus. b. Sistem Koordinat Bola, Posisi suatu titik dalam ruang, selain didefinisikan dengan sistem kartesian 3 Dimensi, dapat juga didefinisikan dalam sistem koordinat bola (pronsip dasarnya sama dengan koordinat polar, yaitu sudut dan jarak). c. Sistem Koordinat Ellipsoida, Untuk pendefinisian bentuk bumi sangatlah susah. Bentuk bumi dikenal sebagai geoid. Geoid didekati oleh permukaan muka laut rata-rata. Untuk mempermudah hitungan bentuk bumi, digunakan suatu model matematik yang disebut ellipsoida yaitu ellips yang putar. Fungsi Koordinat Pada Peta



Fungsi dari koordinat pada peta adalah menentukan letak atau keberadaan sebuah benda. Contohnya untuk menentukan posisi kapal. Setelah diketahui koordinatnya, posisi pada peta bisa segera disebutkan. Dalam menentukan titik koordinat, orang sangat dibantu dengan adanya Garis Lintang dan Garis Bujur, dua garis maya yang sangat berperan penting dalam pemetaan. Garis Lintang adalah garis maya yang melingkari bumi ditarik dari arah barat hingga ke timur atau sebaliknya , sejajar dengan equator (garis khatulistiwa). Garis lintang terus melingkari bumi, dari equator hingga ke bagian kutub utara dan kutub selatan bumi. Menurut penamaannya, kelompok garis yang berada di sebelah selatan equator disebut Lintang Selatan Garis Bujur adalah garis maya yang ditarik dari kutub utara hingga ke kutub selatan atau sebaliknya. Ada 3 cara penunjukan dalam penggunaan koordinat peta yakni cara koordinat 4 angka, cara koordinat 6 angka, dan cara koordinat 8 angka. 1. Cara 4 angka digunakan untuk memperlihatkan posisi suatu tempat yang cukup lebar, misalkan untuk menunjukan lokasi danau, telaga dsb. Jarak kira-kira 1000 meter (sisi bujur sangkar dibagi 1000). 2. Cara 6 angka: digunakan untuk menunjukan lokasi yang sempit. Semisal, loksai kemah, titik pertemuan (check poin) dll. Jarak 100 meter (sisi bujursangkar dibagi 10 bagian). 3. Cara 8 angka: digunakan untuk menunjukan suatu titik, miasal titik triangulasi, lokasi korban (sisi bujur sangkar dibagi 100). Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut. Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1). Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).



Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4. Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2). Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi. Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on the Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya. Lihat koordinat untuk sistem-sistem koordinat lain seperti sistem koordinat polar.



Sistem koordinat dua dimensi Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.) Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.



Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut. Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan hurufhuruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui. Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5). Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel dibawah ini). Kuadran I II III IV



nilai x >0 0 >0