Soal Invers Matriks [PDF]

Citation preview

WORK SHEET INVERS MATRIKS INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2 1



0



Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu I  0 1 maka A dan B dikatakan saling invers.   1 Invers matriks A dinotasikan A . a



b  p q B dan   maka : d  r s a b   p q  1 0 ap  br  c d   r s   0 1   cp  dr      



Misal A   c  AB = I  ap + br = 1



 p



d c dan r  ad  bc ad  bc



 q



b a dan s  ad  bc ad  bc



cp + dr = 0 aq + bs = 0 cq + ds = 1



p



Karena B  A1 =  r 



q maka s 



A1 



aq  bs  1  cq  ds  0



d 1 ad  bc  c



0 1



 b a 



ad – bc disebut Determinan (D) atau A atau det(A). Jadi D  A  det( A)  ad  bc . Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. ad – bc  0 maka matriks A disebut matriks Non Singular. 2



Contoh 1: Tentukan determinan A  5  Jawab :



Jika



 3  1



A  ....



 5



2



Contoh 2: Tentukan invers dari P   3  1   Jawab



: P 1  ....  5



6



Contoh 3: Tentukan x jika A   2 x  merupakan matriks singular !   Jawab



: ad – bc = 0  …



LATIHAN SOAL 01 1. Tentukan determinannya ! 5



3



a. A  3 2  



4



b. B = 2 



6 3 



 2



3



 4



8 



c. C   3  1  



 4



 5 3 



10



 6  5



d. D   2 



2. Tentukan inversnya ! (jika ada)  1



a. A   5 



1 3



 5



b. B   4 



 1 0 



c. C   3  6  



d. D   8 



1



 8 singular 2 x 



 x



3. Tentukan x jika P   x  4. Tentukan matriks X jika : 4



5



8



5



1



a. X 2 0  14 15      2  28  X    4   14



3 c. 1 



2



4



3



b. 3 4 X  2  1     d.



2 X 4



8  1   14 1   10



2  5   2



INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3 1.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3 Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu : 1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5 2. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke atas.  a11 A  a21 a31



a13  a11 a23   det (A) = A  a21 a33  a31



a12 a22 a32



a12 a22 a32



a13 a11 a23 a21 a33 a31



a12 a22 a32



= ( ….. ) + ( …. ) + ( …. -( … )–( … )



Contoh 1: Jika



Jawab



:



1 P  1 1



.... P  .... ....



2 3 4



3 4 3



.... .... ....



maka tentukan



.... .... .... .... .... ....



.... .... ....



)–(



…



)



P



=…



=… MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, dan ditulis dengan M ij . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian M ij dengan   1 i  j dan ditulis dengan Aij . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A). Contoh 2: Diketahui a. M 12



1 M   1  2



b. M 22



2 1 1



 1 2  . Tentukan : 1 



c. A31



d. A23



e. Adj(M) 2



Jawab



: a. M 12 =



....



....



....



....



 ....



.... ....



....  .... .... .... ....   1 ... ....  .... .... ....



b. M 22 = c. A31 =



....



...  .... d. A23 =   1 ....



    a. Adj(M) =     



=



=



... ... ... ... ... ...



... ...   ...



... ... ... ... ... ...



...



... ...   ...



... ...  ... ... ... ... ... ... ... ...  ... ... ... ...   ...



... ...



....  .... ....



... ... ...  ... ... ...



...   ...  ...   ...  ...  ...  



T



T



... ...  ... 



... ... ...



2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3 Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus : A1 



1 Adj ( A) A



Contoh 3: Tentukan invers dari



Jawab



:



... P  ... ...



... ... ...



1 P  1 1



... ... ... ... ... ...



 ...   ...  ... Adj (P )     ...  ...  ...  P



1



... ...   ... ...   ...



... ... ...



2 3 4



3 4 5 



... ...  .... ...



... ... ... ... ... ...



... ... ... ... ... ... ... ... ... ...  ... ... 



... ... ...  ... ... ...



...   ...  ...  =…. ...   ...  ...  



... ...   .... ... 



LATIHAN SOAL 1. Tentukan determinan dari :



3



a.



 1 A   3  0



2. Tentukan x jika



3. Diketahui



2 2 3



0 1 1



3 4 2



4 X  0 3



a. M 21



b.



x 0 1



2 1 4



 4 B   3  1



2 3 1



1 0 2



c.



5 C    1  4



2 0 1



4 3 2



1  1  35 3



 2 1  . Tentukan :  1 



b. M 33



c. A12



d. A22



e. Adj(X)



4. Tentukan inversnya dari : a.



4 P   1  1



0 3 1



2 2 0 



b.



5 Q  3 0



2 3 1



1 4 2



4